Кодирование числовой информации.

Системы счисленияАвтор: Пророченко Ю.М.

«Все есть число», - говорили

древнегреческие философы, ученики Пифагора,

подчеркивая необычайно важную роль чисел

в практической деятельности.

Система счисления — это знаковая система,

в которой числа записываются по определенным правилам

с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Непозиционные системы счисления

В НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ КАЖДОЙ ЦИФРЫ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ЕЕ ПОЛОЖЕНИЯ (МЕСТА, ПОЗИЦИИ) В ЗАПИСИ ЧИСЛА.

Единичная система счисления. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной).

Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве.

Древнеегипетская непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т. д. использовались

специальные значки - иероглифыВсе остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов

Алфавит римской системы счисленияI = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M =1000

Правила записи чисел в римской системе счисления

- Числа читаются слева на право (от большего к меньшему): MXI = 1011; - Все цифры складываются кроме тех, которые стоят перед их превосходящими: XIX = 19; - Слева от цифр их больших могут стоять только I, X, C: - I может стоять слева только от V и X; - X может стоять слева только от L и C; - C может стоять слева только от D и M; - Подряд могут идти только три одинаковые цифры. Подряд могут идти I, X, C, M; - V, L, D могут встречаться только один раз; - I, X, C слева (от большей цифры) могут встречаться только один; - Цифра, которая стоит справа не может стоять слева.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы.

К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие.

В них числа от 1 до 9, десятки (от 10 до 90) и сотни (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

Греческая система счисления

Славянская система счисления

1 10 100 1 000

2 20 200

3 30 300

4 40 400

5 50 500

6 60 600

7 70 700

8 80 800

9 90 900

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел

• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа

• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Позиция цифры в числе называется разрядом.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Вавилонская десятеричная / шестидесятеричная система счисления

Древнекитайская десятеричная система счисления

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Двадцатеричная система счисления индейцев Майя

Позиционные системы с произвольным основанием.Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.

Десятичная система счисленияОснование: q = 10.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А10, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, производится следующим образом:

Коэффициенты аь в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается следующим образом:

Двоичная система счисленияОснование: q = 2.Алфавит: 0, 1.Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А2, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных раз рядов числа, производится следующим образом:

Коэффициенты at в этой записи являются цифрами двоичного числа (0 или 1), которое в свернутой форме записывается следующим образом:

Восьмеричная система счисленияОснование: q = 8.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Шестнадцатеричная система счисленияОснование: q = 16.Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F