第二节描述性统计量及检验

第二节描述性统计量及检验2.1. 描述性统计量随机变量的期望： =E(X) 随机变量的方差： 2=E[(X- )2] k- 阶矩： E(Xk) k- 阶中心矩： E[(X － )k] 偏度 (skewness) ： S=E[(X-)3/3] 峰度 (kurtosis) ： K ＝ E[(X-)4/4]

偏度和峰度都是用来测定收益率分布的形状，且都以正态分布为基准的。

正态分布：偏度 =0，峰度 =3 。

第二节描述性统计量及检验

偏度的符号反映了分布偏斜的方向：当偏度 S 值 =0 时，序列分布是对称的。当偏度 S >0 时，称为正偏，意味着序列分布有长的

右拖尾。当偏度 S <0 时，称为负偏，意味着序列分布有长的

左拖尾。

偏度的大小反映了分布偏斜的程度。


S=0 S>0 S<0

均值＝中位数均值 > 中位数均值 < 中位数


峰度反应分布隆起的程度：当峰度 K>3 时，序列分布曲线的凸起程度大于正态

分布，即相对于正态分布更隆起；当峰度 K<3 时，序列分布曲线的凸起程度小于正态

分布，即相对于正态分布更平坦。

正态分布的峰度 K=3 。


K=3 K>3 K<3

正态分布的峰度＝ 3


峰度也反映了分布尾部的厚薄。正态分布的峰度 K=3 。 K-3 称为超出峰度。具有正的超出峰度的分布称为尖峰分布。尖峰分布具有厚尾性，即该分布在其支撑的尾部有

比正态分布更大的概率。用公式表示为： P{ <c}>p{X<c} ， c 是一个比较小

的数。服从尖峰分布随机变量， X 服从正态分布。


在实际中，意味着来自于尖峰分布的随机样本会有更多的极端值。

如果小概率事件发生的可能性大于正态分布所描述的情形，那该变量的分布应当用尖峰分布来描述。

这在金融市场风险研究中有着重要的意义。


样本均值

样本方差

样本偏度

样本峰度

T

ttrT

rE1

1)(

T

ttrT

r1

22 )(1

1)var(

T

ttrT

k1

44)(1

1

T

ttrT

s1

33)(1

1


Eviews 操作：主菜单： File/New/Filework 工作窗口 : Unstructured/Deservation/OK 主菜单窗口： Data/ 空格 / 变量名 / 回车工作窗口：导入数据 /view/Descriptive Ststistics （描述统计量） /

Histogram and Stats （直方图和统计量）


例 2.1 右表是我国 1992-2003 年的实际 GDP 增长率（可比价格），对其进行描述性统计分析。


1992 14.2

1993 13.5

1994 12.6

1995 10.5

1996 9.6

1997 8.8

1998 7.8

1999 7.1

2000 8.0

2001 7.5

2002 8.0

2003 9.1

例 2.1 中 GDP 增长率的统计量：

例 2.1 中 GDP 增长率的偏度是 0.78 ，峰度 K 为2.14 ，

说明 GDP 增长率的分布是不对称的，相对于正态分布也是平坦的。


2.2. 统计量的检验 Jarque-Bera检验统计量

其中 n 是样本个数， S 是偏度， K 是峰度

由于正态分布的偏度 S=0 ，峰度 K=3 ，所以 JB 统计量是用来衡量偏度和峰度偏离 0 和 3 的程度。

JB 统计量是用来检验时间序列是否服从正态分布的。

]4

)3([

6

22

KS

nJB



检验步骤：原假设：时间序列服从正态分布。计算 S 、 K ，并计算 JB 统计量。在原假设下， JB 统计量服从自由度为 2 的 X^2 分

布，即 JB ~ X^2(2) 。以检验水平 5% 为例，对应的临界值 =5.99 ，即 P(X>5.99)=0.05 。

若计算的 JB >5.99 ，则拒绝原假设，分布不是正态分布。否则接受原假设。

上证综合指数收盘价曲线

0

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

250 500 750 1000

SH

上证综合指数收盘价曲线统计量

0

40

80

120

160

200

240

1000 2000 3000 4000 5000 6000

Series: SHSample 1 1000Observations 1000

Mean 2501.364Median 1743.640Maximum 6092.060Minimum 1011.500Std. Dev. 1460.333Skewness 0.783449Kurtosis 2.267514

Jarque-Bera 124.6544Probability 0.000000

上证综合指数收益率曲线

-.100

-.075

-.050

-.025

.000

.025

.050

.075

.100

250 500 750 1000

SHR

上证综合指数收益率统计量

0

40

80

120

160

200

240

-0.05 0.00 0.05

Series: SHRSample 1 1000Observations 999

Mean 0.000550Median 0.000353Maximum 0.088875Minimum -0.092562Std. Dev. 0.018805Skewness -0.460843Kurtosis 6.365833

Jarque-Bera 506.9232Probability 0.000000


Quantile—QuantileQuantile—Quantile 图图 Q-Q 图是借助分位数来比较两个分布的一种简单而

重要的工具（比 JB 统计量的用途更加广泛）。

分位数（ QuantileQuantile ））：对于介于 0 ， 1之间的数 q ，满足如下条件的数 x(q) 称为 q 的分位数：

P( x< x(q) ) < q


分位数的计算：对于一组观察值，取概率： Pi=(i-0.5)/n ， i=1,…,n 。与 Pi 对应的分位数是把数据从小到大排列后的第 i

个数，记为 Q(Pi) 。对任意概率 P ： Pi <P< Pi+1, 有 P=Pi +a( Pi+1-Pi) ，

那么 Q(P)=(1-a)Q(Pi) +aQ(Pi+1)

第二节描述性统计量及检验例：数据为 1.1 ， 3.1 ， 0.9 ， 4.2 ， 0.7 从小到大排列为： 0.7 ， 0.9 ， 1.1 ， 3.1 ， 4.2 与概率 P 对应的分位数： P1=(1-0.5)/5=0.1, ， P2=0.3 ， P3=0.5 ， P4=0.7 ， P5=0.9 Q(0.1)=0.7 ， Q(0.3)=0.9 ， Q(0.5)=1.1 ， Q(0.7)=3.1 ， Q(0.9)=4.2

对于概率 0.2 ，由于介于 P1 和 P2 之间，且有 0.2=0.1+0.5X (0.3-0.1) ，所以 Q(0.2)=(1-0.5) X Q(0.1)+0.5X Q(0.3)=0.5X0.7+0.5X0.9=0.8


随机变量分位数的计算：若已知某个随机变量的分布函数，给定概率 q ，由

公式 P( x< x(q) )=q

即可求解出分位数 x(q)


Q-Q 图 ----把已知分布的分位数标在纵轴上，样本分位数标在横轴上，所得到的图形称为 Q-Q 图

Q-Q 图方法是根据 Q-Q 图的形状来判定样本数据分布是否与已知分布相同：

若样本数据分布与已知分布相同，则 Q-Q 图在一条直线上。

若 Q-Q 图不在一条直线上，则样本数据分布与已知分布不相同。


Q-Q 图的 Eviews 6 操作：双击文件名 (sh), 选择View

/Graph … /Quantile-Quantile

点击QQ graph中的 options


Q-Q 图的 Eviews 6 操作：双击文件名 (sh), 选择View

/Graph … /Quantile-Quantile

点击QQ graph中的 options ，出现右边的对话框


Q-Q 图的 Eviews 6 操作：

双击文件名 (sh), 选择View/Graph … /Quantile-Quantile

点击QQ graph中的 options ，在出现对话框中 distribution 选择对比的分布，如 Normal

第二节描述性统计量及检验可选与如下的理论分布的分位数相比较 : Normal( 正态 ) 分布：钟形并且对称的分布 . Uniform( 均匀 ) 分布：矩形密度函数分布 . Exponential( 指数 ) 分布：联合指数分布是一个有着一条

长右尾的正态分布 . Logistic(逻辑 ) 分布：除比正态分布有更长的尾外是一种近似于正态的对称分布 .

Extreme value( 极值 ) 分布： I 型极小值分布是有一条左长尾的负偏分布 , 它非常近似于对数正态分布 .

可以在工作文件中选择一些序列来与这些典型序列的分位数相比较，也可以在编辑框中键入序列或组的名称来选择对照的序列或组， EViews将针对列出的每个序列计算出 QQ图。


Q-Q 图的 Eviews 6 操作：双击文件名 (sh), 选择View/G

raph … /Quantile-Quantile 点击QQ graph中的 options ，

在出现对话框中 distribution 选择对比的分布，如 Normal


Q-Q 图的 Eviews 6 操作：双击文件名 (sh), 选择View/Graph … /Quantile-Quantile


点击 OK ，再点击确定，即出现上证综指收盘价 sh与正态分布的 QQ图

-4,000

-2,000

0

2,000

4,000

6,000

8,000

0 2,000 4,000 6,000 8,000

Quantiles of SH

Qu

antil

es

of

No

rma

l




点击 OK ，再点击确定，即出现上证综指收盘价 sh与指数分布的 QQ图

0

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

0 2,000 4,000 6,000 8,000

Quantiles of SH

Qu

an

tile

s o

f E

xpo

ne

nti

al




点击 OK ，再点击确定，即出现上证综指收盘价 sh与正态分布的 QQ图

-.08

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

.08

-.10 -.05 .00 .05 .10

Quantiles of SHR

Qu

antil

es

of N

orm

al


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