Embed Size (px)
DESCRIPTION
Для школьнико и студентов шпаргалка основных формул на каждый день
Citation preview
1
sin cosα α+ =2 2 1 - основное тригонометрическое тождество
( )( )
sin sin cos cos sincos cos cos sin sin
α β α β α β
α β α β α β
+ = +
+ = −
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
sin sin cos coscos cos cos cossin cos sin sin
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= − − +
= − + +
= − + +
2
2
2
( )
( )
( )
sinsin sin sin cos tg tg
cos cossin
sin sin cos sin ctg ctgsin sincos
cos cos cos cos tg ctgcos sin
cos cos sin sin
x yx y
x yy x
x yx yx y
x yx y
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
±+ −+ = ± =
±+ −− = ± =
+ −+ = ± = ±
+ −− = −
22 2
22 2
22 2
22 2
∓
sin cos sin cos
sin cos sin cos ctg tg ctg
x x x x
x x x x x x x
π π
π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ + = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ − = ⋅ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 24 4
2 2 2 24 4
sin sin cos
cos cos sin cos cos
sin sin sin sin cos
cos cos cos
α α α
α α α α α
α α α α α
α α α
=
= − = +
= − = −
= −
2 2 2
3 2
3
2 2
2 2 1 2
3 3 4 2 1 2
3 4 3
tg tg coscos sin tg
costg tg
α αα αα αα α α
− −= = =
++ +
2
2
2 2
1 2 12 22 11 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
sintg tg tg tgtg tg tg tg tgtg tg ctg ctg cos cos
sinctg ctg tg ctgctg tg ctg ctg ctgctg ctg ctg tg sin sin
costg ctg ctgtg ctg ctg tg ctgtg tg cos stg
α βα β α βα β α β α βα β α β α β
β αα β α βα β α β α βα β α β α β
α βα α βα α β α βα β αα
±+ ++ = = ± =
− +
±− ++ = = ± =
+ +
−+= = + =
+− 2
1
1
22
1
( )in
cosctgctg ctg tgctg sin cos
β
α βαα α βα α β
+−= − =
2 12
2
sec sec tg
cos
cosec cosec ctgsin
x x
x x
αα
αα
= = +
= = +
2 2
2 2
11
11
( )sin arcsincos arccostg arctg
ctg arcctg
kx a x a kx a x a kx a x a kx a x a k
ππ
ππ
= = − += = ± += = += = +
1
2 - решения простейших тригонометрических уравнений
2
( )( )
arccos arccosarcctg arcctg
x xx x
ππ
− = −
− = −
arcsin arccos
arctg arcctg
x x
x x
π
π
= −
= −
2
2
arctg arcctg
arctg arctg
arcctg arcctg
xx
xx
xx
π
π
=
= −
= +
1
1
1
Решение уравнения sin cosa x b x c+ = :
1) Применим формулы tg
sintg
x
x x=+ 2
22
12
и tg
costg
x
x x
−=
+
2
2
12
12
, и сделаем замену переменной tg x t=2
, в
результате чего получим квадратное уравнение относительно переменной t .
2) Используем способ введения дополнительного угла; делим уравнение на a b+2 2 и т.д.
log a ba b= - основное логарифмическое тождество
log log log
log log log
log log
loglog
log
a a a
a a a
ra a
ca
c
bc b c
b b ccb r b
bb
a
= +
= −
= ⋅
=
log log
loglog
r aa
ab
b br
ba
= ⋅
=
1
1
Конус Усечённый конус
,бокS r l V r hπ π= = 213
( ) ( ),бокS r r l V h r r r rπ π= + = + + 221 1 1
13
Шар
,S R V Rπ π= =2 344
3
2-й замечательный предел
( ) ( )lim lim limx x
axx x x
ae x e e a Rx x→∞ → →±∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + = ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
0
11 1 1
Экстремум функции двух переменных M <2 0 - экстремума нет,
,M M> >2 10 0 - min,
,M M> <2 10 0 - max.
3
4
Касательная к графику функции ( )y f x= в точке x a=
( )( ) ( )y f a x a f a′= − +
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
arcsin
arccos
arctg
ln arcctg
log lnln
sin cos sh ch
cos sin ch sh
tg thcos ch
ctg ctsin
a a
x x
a
uv u v u xx
xx
x a x xx
a a a xx
x xx a x
x x x x
x x x x
x xx x
xx
v
u u v uvv v
−
′ =−
′ = −−
′ ′= ⋅ =+
′ ′= ⋅ = −+
′′ = =⋅
′ ′= =
′ ′= − =
′ ′=
′ ′ ′= +
′ ′ ′−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎠
=
′ = −
⎝
2
2
12
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
11
11 1
1 1
1 ( )hsh
xx
′ = −2
1
( )
ln tg ln cos
ctg ln sinln
sin cos ln tgsin
cos sin ln tgcos
tg arcsin arccoscos
ctg lnsin
arc
xx
dx x x dx xx
aa dx x dx xa
dx xx dx xx
dx xx dx xx
dx dx x xx a x aa ax a x
dx dxx x x ax x a
dxaa x
π
= = −
= =
= − =
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = − − < <−
= − = + ±±
=+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
2 2 2
2 22 2 2
2 2
2
2 4
1 tg
ln
xa
dx a xa a xa x
+=
−−∫ 2 2
12
5
Тригонометрические подстановки:
tgarctg
sin
cos
t xx t
dtdxttxt
xt
==
=+
=+
=+
2
22
2
22
1
11
1
tg
sin
cos
xt
dtdxttxttxt
=
=+
=+
−=
+
2
2
2
2
22
12
1
1
1
(у.т.п.) Разложение правильной алгебраической рациональной дроби на сумму простейших дробей:
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
A B Cx xx x x
A B Cx Dx x xx xAx B Cx Dx xx x x x
= + +− −− − −
+= + +
+++ +
= ++ ++ + + +
...
...
...
2 2
2 22 2
2 2 22 2
1 21 2 2
11
11 1
Разное. tg tg tg tg tg tgx y z x y z+ + = ⋅ ⋅ при x y z π+ + =
