-
-
- . - 68 1600 1800, -
911 1800 2000. [email protected] 939 39 43.
!
, , , . - - .
- , . , , - .
ISBN 5
94057
003
8
9 785940 570035
.
..
- - . - .
: . , - , .
- . ,
. .
2002
M Y K
-
- :
. . , . . ,. . (. .), . . .
1999 .
20
. .
2002
-
510.2 22.12
97
, , . , - , :
, , ?
, - , , . -, , .
3, .
-, 8 2000 911 ( . . ) - 2001 1011 12 (. . ).
, - : , , .
.
ISBN 5-94057-003-8 . ., 2002. , 2002.
.
.
(: )..: , 2002. 40 .: .
. . . . .. .
01335 24/III 2000 . 7/X 2002 . 6088 1/16. 1. . . . . 2,50.
. . . 2,44. .-. . 2,31. 3000 . 3424.
.121002, , -2, . ., 11. . 241 05 00.
- .140010, . ., -, 403. . 554 21 86.
?
- , , : , 9- , , .
, : () ,
1 , .
1. , - .
.
.
? , : , . , :
{, , , , , , , }.
: , . , , :
,
. . . - , , .
, - ? , : -. , , . , - - , , 1 2. :
{, , 1, , , , , , 2}.
: , . - : .
, ., - ,
-, , , , ,
{ }.
3
-
, - .
, A - B? , A B. , B , A -, ,B. : AB.
, - , {0, 1, 2} - {0, 1, 2, 3}.
:{ } { }. ? , AB? ,
a A B. 2: A -
2 , ,
B, aA, a /B, a , AB.
, ?
{ } { }3. -
3 : - ?
4 - .
-: . , : 4.
, -. , , . , ? -, , . !
, , - .
, . - ,
.
4
, 5. ,
5 : - , - ?-, , - .
, , , , , -: - ? , , . , . , , , , -
, . ? : -
,, :
{ , }. , , - , , ,
{ }? : , - .
. ,
6 , - ?
, . , , , ( ), -
( )6. { }.
. - ?
, - , . - :
, ?( ; ,, .)
, . M={ A, A /A}
M A,
5
-
. , . ,
A={1, 2, 3}, B={{1, 2}, 3},
A 1, 2, 3, B -: {1, 2} 3. , : . (-, .)
M . - , MM, , M /M. , M /M, MM.
, , - . - .
, - , , . : , , - , - . , ,
A={ },B={ }
( ), AB, AB. - A B:
AB={(a, b): aA, bB} , , . AB , , - .
. - ( ), ( ). , , -, , *).
*) . - : x x; x x; ! x x; Set{} {} ; {x: f(x)} - x, f(x); ; - .
. [4].
6
1. . - :, , .
1. z (z x z y)
x=y.
2. . - .
2. Set{z: y x (z y)}.
3. . A - f
B={x: xA, f(x)}
A, f.
3. x (f(x) x y)
Set{x: f(x)}.
, - , , , , - , .
4. . - .
4. Set{y: yx}.
5. . X , f(y, z) - . - y z, f(y, z), - z, yX, f(y, z) .
5. y ! z f(y, z)
Set{z: y x f(y, z)}.
6. . - :
A1A2A3.
6. y (y x)
y x z y (z / x).
7. . ,. . A, A - A {A}.
7. x ((y x z (z / y)) y x z x (w z
w y w=y)).
8. . , .
7
-
A B. f A B ( f: AB) , -
A B, . ( A B, . 1, .)
)
A Bf
)
A Bf
. 1
f , B A (. 1, ).
A B , - f: AB. - : , .
, {0, 1, 2} {, , } -, {0, 1, 2} {, } 7. {}? - 7 : , {} ( {} , ,
, ).
1
A P(A)
{}
{1} {, {1}}
{1, 2} {, {1}, {2}, {1, 2}}
2
j1 2 3 4 5 6 7 8
1 + + + + i 2 + + + +
3 + + + +
N ( ) N {1} (- ) : , f: NN {1}, f: nn+1, - . N Z ( ) ( , , -
).
8
P(A) A. P(A) A . 1. (E-, A -, A.)
A={1, 2, 3} ( ), -: i j, i- j- , - (. 2). , , , {1, 2, 3}.
n , n ( ), - +, . 2n ., A n , - P(A) 2n , A.
8 , , - , - . - .
, ? , , - . , P(N) , N.
. A, P(A) - A.
. . 8.
f(a)
a
)
f(a)
a
)
. 2
, A P(A), . . -
f: AP(A), a A - f(a) A.
, - ,
, a , a f(a)(. 2, ), , a / f(a) (. 2, ).A (, ). f , xA, f(x)=.
-: x ? , x. x f(x), f(x)= ,
9
-
, x . . x , x / f(x)=, x , x . . , x, , , , .
, -, . , -, A P(A). , ,. . A P(A) . .
,
- : N {1} N . , , - , *). , : , - .
.
. , - 9. ,
9 ,
10 , , .
11 -?
12 - - .
. 1 . 2 3 10,
1 11. - 4, 5, 6 7, 2 3. -: , , 12n
.
2n, 2n+1, , 2n+11,
2n1, 2n1+1, , 2n1,
*) , -. , , .
10
. - 12.
? .
? . ? -: 13.
m- ? 2n1m2n1, 12n . . , . -? , - ?
13 - - .
14. , ,
14 , , . - .
.
- -. : -
, , , , *). , , , .
. - ? : , , .
n , ? : - , - . . , .
? - .
*) , , : , . . , .
11
-
, . - , ., 15.
1 2 3. . .
. 3
? -, -. -? , - , n
n, (. 3). ,
15 , .
16 -, .
. . , ? ,
{ }., -, , , , . .
16? - , . , , ( ), . : . - .
. [4, 5].
. S1, .
m(A) A , - .
1. m(S1)=1.2. ( - .) -
A1, A2, , An, :
m
(i=1
Ai
)=
i=1
m(Ai).
3. ( .) m(A)0.12
, , -, , . .
4. ( -), :
m(A)=m(f(A)),
f .
, A , m(A)= 12.
, B=S1 A A,
m(A)+m(B)=m(AB)=m(S1)=1 m(B)=m(fp(A))=m(A),
2m(A)=1 m(A)= 12.
A ,. . A m(A)?, .
.
0 2p 0 2p. a b ,
ab=q 2p, qQ
( ab). , - Ax, x , x. Ax Ay ? u , ux xAx uy yAy.
ux=q1 2p, q1Q,uy=q2 2p, q2Q,
xy=(q2q1) 2p, . . xy, q2q1Q. ,Ax=Ay.
, (=), - () : ab, bc, ac. , , - : ab, ba; aa a.
, - V. V? m(V)
13
-
0, qQ
f2pq(V)=S1
( f2pq(V) ), qQ
m(f2pq(V))=
= qQ
01. m(V)
0, ,
m(S1)= qQ
m(f2pq(V))=+.
, m(V) , . . V - .
, . . .
M, a, b , ab (. . M ). M2=MM: , M, a b, ab.
, , MM, :
1) aa aM;2) ab bc, ac;3) ab ba, a=b. , ,
(), (), (a b a b).
- , , -, . . a b ,
14
ab, ba, - : .
, , , , , - : , , , , n , (n+1)-. - , .
-
a15
a14
a13
a12
a11
a21
a31
a41
a51
. 4
: - - *). , , , - , .
- .
0. .1. {}.2. {, {}}., -
(). , - :
3. {, {}, {, {}}}.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .n. {, {}, {, {}}, , (n2), (n1)} n- -
n1 .. -
. N.
, (. . 7).
*) M , M. M: , M . , , M - , . , , - . . 4 a15 a51 .
15
-
M Aa, aM. :
1) Amin M ;2) aM Ab ba*) , Aa . Aa . . , , -
, . . , Aa
. E . , . ( , EM,M ). - 2).
.. R3 -
( ). : -
, . . , . .
. : -, - . -, .
, .
R3 . R3 - , , - , . . a (- {b: ba}) R3 ( -). . , . - -. R3, . .
R3 . , - . a0 R3 (
*) , ab, ab ab.16
). - . , b, a, . a .
1. a -. .
2. a -. . -, a. . , - , , ! - . , p, a . p , ( T) . - p ,
a
p
. 5
a (. 5). T - ,, , a - , . , , , R3.
. , .
, , . , , (.6,)..,, , ,, ( , , ,. 6, ). . ? ( ) - . Oz ( - ).
xOy (. . ) Oz (. 6, ).
17
-
-
)
)
)
z
. 6
, - , -. , - .
1. R R, - *).
2. , - .
1920- -, . , - , - .,, . , .
f: XY , X - A1,A2, ,An, f Ai ( ) i j f(Ai) f(Aj) -. , X Y , XY (
, -). , .
, ,
. -, . ,
17 , - , , -, .
*) .
18
, ( - 1, 17) . , , .
, .
1. ABC AC, AB.
, - , :
ABC A = C , A = B .
. , : A B B A , A = B ( X Y , XY, X - Y, - ; , , - ).
3. . 1
. . f: CA. C C0, B B0,
A C1. f B, B1 A C1. f , :
C0B0C1B1C2B2Z, Z Ci Bi. , B C (. . B0 C0) :
C=(C0 B0) (B0 C1) (C1 B1)Z (1)B=(B0 C1) (C1 B1) (B1 C2)Z (2)
C0C1 B0B1, C0 B0C1 B1, B0B1 C1C2, B0 C1B1 C2, . . , (1) (2) - .
: , - (C0 B0), (B0 C1)
19
-
Z. 1 -, B C . . h: CB (1) f, Z , . .
h(x)=
f(x), xi(Ci Bi),
x, xZi(Bi Ci+1).
, - , . .
. , - . , , -, .
f y , , , , . , f y, f1 y1
. , ., , , -
( -, , -), . , . , - , . - . f,y, f1 y1. , . ff1, f1f, yy1 y1y.
: - . , , . . - . , G=f, y (, f y) -, f y ( , , f y q 2p, q ;
).
. - f y,
20
. ? G - fg . fg f y. - G , fg g .
x . . , x. x x G. - . 7. , G , , , , - f, y, f1 y1 - f y. ,
-
x
fx
y1x
f-1x
yx
. 7
, -. , - , - f y . - , G.
, , - , - . - f y, f2=1, y3=1 (. . f 180, y 120). x .
x (. 8), , . . , , .
A, B C, ABC ABC. ,
f(A)=BC,y(A)=B,
y2(A)=C.
(3)
. x , . A.
21
-
xfx yx y2x
f2x=x yfx y2fx fyx y2x y3x=x fy2x y3x=x y4x=yx
fyfx y2fx y3fx=fx fy2fx y3fx=fx y4fx=yfx. 8
fx yx B, y2x C. . 3.
3
aA aB aC
a y faB faA faA
a fyaB yaC yaA
y2aC y2aA y2aB
, . a - x. a gx, g f, y y2. ,
Ax
Bfx
Byx
Cy2x
Cyfx A y2fx A fyx A fy2x
Afyfx
Bfy2fx
Byfyx
Cy2fyx
Byfy2x
Cy2fy2x
. 9
a y. - fa, - .
22
, fa , - a. aA, faB, aB, faA, aC, faA. . 9 , x.
, , -, - x A, B C , -, (3).
, ( S) A, B, C Q1 ( Q1 ,. . , f y ), ABC ABC. , Q1 . , ( f y), -
Q1 Q2, Q1Q2=, . . Q2ABC(, , i- , - , , , - Q1 , , , ). BCAC, , Q2C.
- S=ABCQ1, :
S=(AQ1) (BQ2) (CQ2).,
AQ1BCQ1ACQ1BCAQ1S,BQ2AQ1S. , S - S CQ2. 1 .
( - D) -. D ( O) O. - , . O . , - , - , , . , , . . , - . 1
.
, . , , ,
23
-
. , .
. A B , AB.
. A , . . C1. , A , . . D1. - C2 D2, C2BD2. , C1 D1. C1AD1C1, ,
- 1 , AC1. BC2, C1C2, AB.
. - .
. -
18 , , 0 1 . , - , .
, , , .
, , 18. , - -, . . ,
(ab f(a)f(b)). . A B, , , .
.-.- A B. , a A, a0, B. B , a0, B , B A. , A.
. -. ( , -, .) - , . . AB, A B ( , ).
24
.. 1 19.
19 , ,{}, 1,
2, 3, . . , w. - ( ), w+1, . ., w+w ( 2w),. . - . 3w, 4w . ., w
w.
: an=1n,
(. 10).
0 1/61/5
1/41/3
1/2 1. . .
. 10
w1, , , . - . . w1. .
, 1, 2, 3, , w, w+1, w+2, , w+w, 3w, , w w, w3, , w1, ?
, , . , .( : .) -, , ( - ).
-
, ( ?), (, ) . ., : 2a - a. , , 2ww, , 2w w1. . ,
. 2w=c=[0, 1] *).
*) c [0, 1].
25
-
- : - , . , , : . . .
:
2aba
cb, cb2a,
. . a - a 2a. ,
. , , , -, (. . ).
. - , --:
2a=a+,
a+ a . 1930- , - -
, 1960- , - , 1980- , .
, - - ,, -? - . - : a+ 2a a, - - . .
: , - . .
a , b, a, b - a. a ,
26
- m a, - 0, 1, m()=0, m(a)=1. , m d-, . .
m(A)={1, aA,0, a /A,
a . -
, . - .
4. a , a -.
- (, ; , , - ). .
5. , -, .
, . , , . , - . .
, -, - - (, - . .), . . . , - . , - , . . .
, , , - . , , .
. , M , (an) (In), M, - Ik ak.
27
-
, ., - k ak. - . , , - .
, - , .
. , A , U, Q, AU .
, Q - . , U, - Q, I2n a2n. - I2n1 a2n1.
, .
., .
, M Q. , U , - Q. U=RU , , , , - U. , UM (MU) .
. .
? . -, - (. 1), - . - . {Fa: a2w} . , - a Fa.
- A1, F1. - A2, F1F2. , , Ab,
ib
Fi. -
, - A=
i2w
Ai . -
, {Fa} , Fa Fb , , -
28
- . (. 2), - , Ab,
ib
Fi (
).A - , Ai , i 2w. ,A Fb Aa, ab, . . (,- -) . , A .
20,
20 , , - .
. - A [0, 1]. - - , - , . . -
21 . - .
, . ,
A, , , 21.
, A , -
. , , , , . . A , . - , A( , ). - A ( ), : -, , . .
, A . : , , . ., , , . .
A , . ,
29
-
A [0, 1] , -.
, . - , . -, , ( ).
, :
1) [0, 1] ;2) ;3) ;4) . , -
, , -, . , .
. [2].
[1] . . : . ..:, 1974.[2] . . . -
. .: , 1984.[3] . . . . .: , 1969.[4] . II.
: . . .: , 1982.[5] T. J. J e c h. The axiom of choice. (Studies
in Logic and the Foun-
dations of Mathematics. Vol. 75). AmsterdamLondon: North-Holland
Publishing Co.; New York: American Elsevier PublishingCo., Inc.,
1973.
1.
M , -. , - (. . , , -, ). -, , , , , ,
30
. , - , (, ). - , , - R (, ). , M , M ( RM M R). , M , - m. mM,
, m, M, . . , M, , M -. , , , M , M (!).
.
. M - (. . - ).
. U - , - . , . , m - M, - (m1, m2)M, m ( , M ). - . (m1, m) m3,
(m, m2) m4. m U, , (m3, m4). , , m M - U. , U, , M, U. , U M.
, - .
2.
.
A , - a b [c, d] [a, b],
A. , an=1n
, .
. - .
. , - Ak ,
iAi=[a, b].
31
-
. I1 - , [a, b] A1. I1 , A2. I2. , I2 I3, - A3, . . Ik ( ). Ak,,
[a, b].
M , - e Ik - e, M*). , . -, . , , .
)0 1
)00 01 1110
)000 001 010 011 100 101 110 111
)
)
)
. 11
[0, 1]. . - (. 11, ).
23.
(. 11, ). 49=(23
)2.
(. 11, ) , -, -, . . . - . , - 1, 0 (. 11, ). ,
*) . - , .
32
, , - : , 1, 0, . . (- ), . 11, , . - , . -, , . , (. . 27). - :
an, . , , -
an=122
n . ,
( !).
3. *)
A B , A B, . :A=B.
A B, A B. -: AB.
1. , - :
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {{1}, 2, 3}, {{1, 2}, 3}, {3, 2, 1},
{{2, 1}}.
2. , A - B, , - B, A.
3. , A, B C) AA; ) AB BC, AC;) A=B, AB BA.
, . : .
4. :
, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {{1}, 2, 3}, {{1, 2}, 3}, {}, {{2,
1}}?
5. ?
*) , 2002 57 . 8-, 10- 11- .
33
-
6. ) 0; *) 7; ) 16 -?
A B , x, xA xB. : AB.
A B , x, xA xB. : AB.
A B , x, xA x /B. : AB.
7. A={1, 3, 7, 137},B={3, 7, 23},C={0, 1, 3, 23},D={0, 7, 23,
1998}. :
) AB; ) AB; ) (AB)D;) C (DB); ) (AB) (CD); ) (A (BC))D;) (CA)
((A (CD))B); ) (AB) (CD);) A (B (CD)); ) ((A (BD))C)B.8. A , B
,
3. AB.9. , A, B, C) AB=BA, AB=BA;) A (BC)=(AB)C, A (BC)=(AB)C;)
A (BC)=(AB) (AC), A (BC)=(AB) (AC);) A (BC)=(AB) (AC), A (BC)=(AB)
(AC).10. , A, B, C) A=, A=A; ) AA=A, AA=A;) AB=A AB; ) (AB)B=A;) A
(AB)=AB; ) A (BC)=(AB) (AC);) (AB) (BA)=AB?
x X f(x) Y, , - f X Y. , f(x)=y, y x f, - x y f. -: f: XY.
11. {7, 8, 9} {0, 1}.
f: XY, yY, AX,BY. y f {xX f(x)=y}. -: f1(y). AX f - {f(x) xA}. :
f(A). - BY {xX f(x)B}. : f1(B).34
12. f: {0, 1, 3, 4}{2, 5, 7, 18}, -, f({0, 3}), f({1, 3, 4}),
f1(2), f1({2, 5}), f1({5, 18}).
)
0
1
3
4
2
5
7
18
)
0
1
3
4
2
5
7
18
)
0
1
3
4
2
5
7
18
13. f: XY, A1, A2X, B1, B2Y. , ) f(X)=Y; ) f1(Y)=X;)
f(A1A2)=f(A1)f(A2); ) f(A1A2)=f(A1)f(A2);) f1(B1B2)=f1(B1)f1(B2); )
f1(B1B2)=f1(B1)f1(B2);) f(A1)f(A2), A1A2; ) f1(B1)f1(B2), B1B2?
f:XY g: YZ -, xX g(f(x)) - Z. : gf.
14. , f: XY,g: YZ h: ZW : h (gf)=(hg)f.
15. f: {1, 2, 3, 5}{0, 1, 2}, g: {0, 1, 2}{3, 7, 37, 137},h: {3,
7, 37, 137}{1, 2, 3, 5}, :
f:
1
2
3
5
0
1
2g:
0
1
2
3
7
37
137
h:
3
7
37
137
1
2
3
5
:) gf; ) hg; ) fhg; ) ghf. f:XY ,
yY xX , f(x)=y.
16. f: XY, g: YZ. , f g , gf ?
17. f: {1, 2, 3}{1, 2, 3}, g: {1, 2, 3}{1, 2, 3}, -, :
f:
1
2
3
1
2
3
g:
1
2
3
1
2
335
-
:) gfg; ) fgf; ) fgfgfg.18. , -
( , ):
a) ;) ;) 3.
g: YX f: XY, g(f(x))=x f(g(y))=y xX yY.
19. , ) ; ) ;) .
X Y , - f: XY. : X = Y .
20. , ) A = A ; ) A = B , B = A ;) A = B B = C , A = C .21. , :)
; ) ;) ; ) ;)
;) ; *) .
, - .
22. , ) ;) ;) ,
.23. , :) ;) ;) ;*) T .24. , :) ;) ;
36
) ;
) .25*.
.26. , :) -
;) , -
( );
) o , - , , -.
X - r: XXR, :
1) x, yX r(x, y)0, r(x, y)=0, x=y( );
2) x, yX r(x, y)=r(y, x) ( );3) x, y, zX r(x, y)+r(y, z)r(x, z)
( -
).
27. , (X, r) - :
)X=R, r(x, y)= xy ;
)X=R2, r2((x1, y1), (x2, y2))=(x1x2)2+(y1y2)2;)X=C[a, b] [a, b]
,
r(f, g)= supx[a,b]
f(x)g(x) ;
)X=S1 O, r(x, y) - xOy;
)X ,
r(f, g)=maxxD
r2(f(x), g(x)),
D .
(, ) r X x Ur(x)=={y x: r(x, y)r} (, Br(x)={yX: r(x, y)r}).
UX , U .
37
-
, , -. , , .
FX , F.
, , - ( , 1).
28. , ) ,
;) -
;) -
.29. , ) -
;) A
( A) .
f: XY , .
30. , .
31. , ) rF(x)=inf
yFr(x, y) -
;) ) -
F.32. f: XY -
. , ?
f: XY, -, .-X, Y, , - .
33. , - :
) ; ) ; ) ;) ; ) ; ) ;) ; ) ;) .
38
34. X, Y - f: XY, (. . f(x)f(y) xy -)?
35*. , - (. . x f(x) U V, f - U V).
.
X . xn ,
e0 n k, mn r(xk, xm)e.36. , -
. ?
, - .
37. , , , ?38. , -
; - .
39. , - , - , .
40. - ?
f X ,
c (0c1): x, yX r(f(x), f(y))cr(x, y).41. , .42. ) , -
.) 1:5 000 000
1:20 000 000. , , .
43*. , - 42, ?
, ; -
39
-
( , 2).
44. ) a, b, a, bR aabb. , [a, b], [a, b], [a, b] c .
) a, b, c, eR ab, c0, e0. - [a, b],
x [a, b]: y (0 xy e) f(x)f(y) xy c, [a, b]c .
45. ( .) , .
46. , , , [0, 1], - [0, 1] c .
47*. f [0, 1]. -, .
