Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Лекция

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема ГильбертаШестая лекция

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat



числами

Часть 2. Десятая проблема ГильбертаШестая лекция






числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Шестая лекция






числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Шестая лекция





Формализмы для описанияпараллельных/распределенных вычислений

Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)

Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes

Системы векторного сложения (systems of vector addition)

Формализмы для описанияпараллельных/распределенных вычисленийСети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)




Wikipedia:

Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes



Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri

in August 1939– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes



Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939

– at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes



Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939– at the age of 13

– for the purpose of describing chemical processes








Системы векторного сложения

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉...

δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉

→ 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1

→ A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2

→ A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3

→ . . .


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

Проблема достижимости

ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1, . . . ,∆k} идва вектора A и B

ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора Aв этой системе?







Проблема включения

ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1, . . . , Γk}и {∆1, . . . ,∆k} и вектор A

ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимыйиз вектора A во второй системе, достижим извектора A также и в первой системе?

Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблемавключения для систем векторного сложения неразрешима.

















Проблема эквивалентности


ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый извектора A в одной из этих систем, достижим извектора A также и в другой системе?

Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблемаэквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.

Проблема эквивалентности


ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый извектора A в одной из этих систем, достижим извектора A также и в другой системе?

Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблемаэквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.

Обобщенные кони на многомерной шахматной доске

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

Обозначение. K(α1, . . . , αn) – это множество всех полей, накоторых может побывать конь, начав свой путь с поля 〈α1, . . . , αn〉

Проблема включенияВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле A

ВОПРОС: Верно ли, K′(A) ⊇ K′′(A)

Проблема эквивалентностиВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле A

ВОПРОС: Верно ли, K′(A) = K′′(A)


∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉







∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉







∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉






Сравнение проблемОбозначение. K(α1, . . . , αn) – это множество всех полей, накоторых может побывать конь, начав свой путь с поля 〈α1, . . . , αn〉


ВОПРОС: Верно ли, что K′(A) ⊇ K′′(A)


ВОПРОС: Верно ли, что K′(A) = K′′(A)

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)






K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)






K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)






K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

Специальные кони

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1δj1 = · · · = δjb = 1δm = 0, если m 6∈ {i1, . . . , ia, j1, . . . , jb}

〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb


〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1

δj1 = · · · = δjb = 1δm = 0, если m 6∈ {i1, . . . , ia, j1, . . . , jb}

〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb


〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}

δi1 = · · · = δia = −1δj1 = · · · = δjb = 1

δm = 0, если m 6∈ {i1, . . . , ia, j1, . . . , jb}

〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb


〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}


〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb


〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}


〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb


〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ {−1, 0, 1}


〈i1, . . . , ia〉� 〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb

Шахматная машина

Шахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться в одномиз конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкции машиныимеют вид

Si0Ri1 . . .Ria � Sj0Rj1 . . .Rjb

где все числа i0, i1, . . . , ia, j0, j1, . . . , jb попарно различны.

Шахматная машина является недетерминированной!

Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число.

Машина может находиться в одномиз конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкции машиныимеют вид




Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться в одномиз конечного числа состояний S1, . . . ,Sm;

инструкции машиныимеют вид




Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться в одномиз конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкции машиныимеют вид




Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться в одномиз конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкции машиныимеют вид




Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машине выделеноначальное состояние Sb

, заключительное состояние Se , входныерегистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

где rb = 1, ri1 = x1,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функциюF (x1, . . . , xk), если выполены следующие три условия.1. Если поле 〈r ′1, . . . , r ′n〉 достижимо с поля (∗), то

r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)

2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1, . . . , xk), существует поле〈r ′1, . . . , r ′n〉, достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.

3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкциймашины.

Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машине выделеноначальное состояние Sb , заключительное состояние Se

, входныерегистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)


r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)



Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машине выделеноначальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входныерегистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .

Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)


r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)



Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машине выделеноначальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входныерегистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

где rb = 1, ri1 = x1,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.

Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функциюF (x1, . . . , xk), если выполены следующие три условия.1. Если поле 〈r ′1, . . . , r ′n〉 достижимо с поля (∗), то

r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)




〈r1, . . . , rn〉 (∗)

где rb = 1, ri1 = x1,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты.Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функциюF (x1, . . . , xk), если выполены следующие три условия.

1. Если поле 〈r ′1, . . . , r ′n〉 достижимо с поля (∗), тоr ′j ≤ F (x1, . . . , xk)




〈r1, . . . , rn〉 (∗)


r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)




〈r1, . . . , rn〉 (∗)


r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)




〈r1, . . . , rn〉 (∗)


r ′j ≤ F (x1, . . . , xk)



Сложение чисел

S1I4 � S2O6

S1I5 � S2O6

S1 � S3

S2 � S1

Умножение чисел

S1I6 � S2

S2I7 � S3R8O9

S3 � S2

S3 � S4

S4R8 � S1I7

S1 � S4

S1 � S5

Сложение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1) + F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I4 � S2O6

S1I5 � S2O6

S1 � S3

S2 � S1

Сложение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1) + F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I4 � S2O6

S1I5 � S2O6

S1 � S3

S2 � S1

Умножение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1)× F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I6 � S2

S2I7 � S3R8O9

S3 � S2

S3 � S4

S4R8 � S1I7

S1 � S4

S1 � S5

Умножение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1)× F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I6 � S2

S2I7 � S3R8O9

S3 � S2

S3 � S4

S4R8 � S1I7

S1 � S4

S1 � S5

АльтернативыI либо

∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

I либо∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо∃x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) = B(x1, . . . , xm)}

I либо

∀x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1}


∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

I либо∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)


I либо

∀x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1}


∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

I либо∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)


I либо

∀x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1}


∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

I либо∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)


I либо

∀x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1}


∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

I либо∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)


I либо

∀x1 . . . xm{A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1}

Машина K′A

A(x1, . . . , xm)

= A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .

Sm+2 � Sm+3Rim,1 . . .Rim,wXm

Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,

Обозначим полученную машину через K′A, её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),


Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′.

ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры

, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр

,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние

, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9.

Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),


Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,

Обозначим полученную машину через K′A

, её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

),


Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,


Машина K′′B

B(x1, . . . , xm) + 1 = B ′′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

).

Построим шахматную машину, вычисляющую B ′′, ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр,Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров исостояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции:

Sm+2 � Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . .� . . .


Sm+3 � Sm+2

Sm+3 � Sb,

Обозначим полученную машину через K′′B , её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′

Добавим к машине K′A следующие инструкции

1. для каждого регистра Ri машины K′A кроме X1, . . . , Xm+1:

SsRi � St

2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1, . . . , Xm+1:

Ss � StRj

3. для каждого состояния Sk машины KB :

Ss � Sk

4.St � Ss

Машина K′

Добавим к машине K′A следующие инструкции1. для каждого регистра Ri машины K′A кроме X1, . . . , Xm+1:

SsRi � St


Ss � StRj


Ss � Sk

4.St � Ss

Машина K′


SsRi � St


Ss � StRj


Ss � Sk

4.St � Ss

Машина K′


SsRi � St


Ss � StRj


Ss � Sk

4.St � Ss

Машина K′


SsRi � St


Ss � StRj


Ss � Sk

4.St � Ss

Машина K′′

Машина K′′ имеет те же инструкции, что и машина K′′B , но к нейдобавлены все регистры машины K′A.

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}⇐⇒ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}



K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

⇐⇒ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}


K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}





K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}




K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}





K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}





K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}





K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) = 0}

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xm{D(x1, . . . , xm) 6= 0}

Включение и эквивалентностьПроблема включения

ВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле AВОПРОС: Верно ли, что K′(A) ⊇ K′′(A)



K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A) ∧ K′′(A) ⊇ K′(A)

K′(r1, . . . , rn) ⊇ K′′(r1, . . . , rn) ⇐⇒⇐⇒ K′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

K(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)





K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A) ∧ K′′(A) ⊇ K′(A)


K(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)





K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A) ∧ K′′(A) ⊇ K′(A)


K(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)





K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A) ∧ K′′(A) ⊇ K′(A)


K(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

Включение и эквивалентностьK′ K′′

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb

K′′′

Tm+4Ri1 . . .Ria � Tm+5Rj1 . . .Rjb Tm+6Ri1 . . .Ria � Tm+7Rj1 . . .Rjb


Sm+8 � Tm+4Sm+2 Sm+8 � Tm+6Sm+2Sm+8 � Tm+5Sm+2 Sm+8 � Tm+7Sm+2

Tm+4 �Tm+5 �

K′′′′

все инструкции K′′′

Tm+6 �Tm+7 �

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Включение и эквивалентностьK′ K′′

Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb Ri1 . . .Ria � Rj1 . . .Rjb

K′′′



Sm+8 � Tm+4Sm+2 Sm+8 � Tm+6Sm+2Sm+8 � Tm+5Sm+2 Sm+8 � Tm+7Sm+2

Tm+4 �Tm+5 �

K′′′′

все инструкции K′′′

Tm+6 �Tm+7 �

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Archiving Diophantine Sets

a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =

{1, if k ∈M0 otherwise

Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice Bob

Bn Bnn bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn

Bnn bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?COMPRESSION

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?COMPRESSION

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?COMPRESSION

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?COMPRESSION

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?COMPRESSION

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIPA A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIP

A A−1


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

B = b1 . . . bk . . . bk =


Bn = b1 . . . bk . . . bn

Alice BobBn Bn

n bits -

?

?Cn

- CnLength(Cn) bits

6

DECOMPRESSION

6

ZIP UNZIP

A A−1

Saving Constant Number of Bits

B = b1 . . . bk . . .

WE CAN always save any constant number k of bits (for n > k):

Cn = A(Bn) =

{0Bn if n ≤ k + 11bk+2bk+3 . . . bn otherwise

A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6

Cn Cn-Length(Cn) bits


B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =


A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn)

=


A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =

{

0Bn

if n ≤ k + 1

1bk+2bk+3 . . . bn

otherwise

A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =

{0Bn if n ≤ k + 1

1bk+2bk+3 . . . bn

otherwise

A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =


A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =


A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



B = b1 . . . bk . . .


Cn = A(Bn) =


A−1(0C ) = C

A−1(1C ) = b1 . . . bk+1C

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6


Case of Decidable M

Bn = b1b2 . . . bk . . . bn bk =


Cn = A(Bn) = n = binary notation of n

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6

Cn CnLength(Cn) bits

n ndlog(n)e bits

-

-

Case of Decidable M

Bn = b1b2 . . . bk . . . bn bk =


Cn = A(Bn)

= n = binary notation of n

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6


n ndlog(n)e bits

-

-

Case of Decidable M

Bn = b1b2 . . . bk . . . bn bk =



Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6


n ndlog(n)e bits

-

-

Case of Decidable M

Bn = b1b2 . . . bk . . . bn bk =



Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6


n ndlog(n)e bits

--

Case of Diophantine M

a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

Bn = b1 . . . bk . . . bn ba =


Cn = A(Bn) = nqn

where qn is the number of "1" in Bn and qn is the binary notation ofqn padded by leading zeros to the length of n.

Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6

Cn CnLength(Cn) bits -

nqn nqn-2dlog(n)e bits


a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

Bn = b1 . . . bk . . . bn ba =


Cn = A(Bn)

= nqn


Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6




a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

Bn = b1 . . . bk . . . bn ba =


Cn = A(Bn) = nqn


Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6




a ∈M⇐⇒ ∃x1 . . . xm[P(a, x1, . . . , xm) = 0]

Bn = b1 . . . bk . . . bn ba =


Cn = A(Bn) = nqn


Alice BobBn Bn

n bits

?6

-

A A−1

?6



Computational Chaos in Number Theory

Gregory Chaitin [1987] constructed a particular one-parameterexponential Diophantine equation and considered the set of all valuesof the parameter for which the equation has infinitely many solutions:

a ∈M⇐⇒ ∃∞x1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]

He proved that so called prefix-free Kolmogorov complexity (defined upto an additive constant) of this set is equal to n.

Informally, one can say that the set M is completely chaotic.



a ∈M⇐⇒ ∃∞x1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]





a ∈M⇐⇒ ∃∞x1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]



More Computational Chaos in Number Theory

Toby Ord and Tien D.Kieu [2003] constructed another particularone-parameter exponential Diophantine equation which for every valueof the parameter has only finitely many solutions and considered theset of all values of the parameter for which the equation has evennumber of solutions:

a ∈M⇐⇒ ∃evenx1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]

They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set isalso equal to n (up to an additive constant).

More Computational Chaos in Number Theory

Toby Ord and Tien D.Kieu [2003] constructed another particularone-parameter exponential Diophantine equation which for every valueof the parameter has only finitely many solutions and considered theset of all values of the parameter for which the equation has evennumber of solutions:

a ∈M⇐⇒ ∃evenx1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]

They proved that the prefix-free Kolmogorov complexity of this set isalso equal to n (up to an additive constant).

Even More Computational Chaos in Number TheoryTheorem (Matiyasevich [2006]). Let U be a decidable infinite setwith infinite complement. WE CAN construct an exponentialDiophantine equation which for every value of the parameter has onlyfinitely many solutions and such that the prefix-free Kolmogorovcomplexity of the set

a ∈M⇐⇒ ∃Ux1 . . . xm[E (a, x1, x2, . . . , xm) = 0]

is equal to n (up to an additive constant).

Унификация (невсеобщее равенство)

E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)

Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первогопорядка разрешима.

Проблема унификации для исчисления предикатов третьегопорядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новоедоказательство этого факта с использованием неразрешимостидиофантовых уравнений.

W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемаунификации для исчисления предикатов второго порядка, исходяиз неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.


E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)





E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)


Проблема унификации для исчисления предикатов третьегопорядка неразрешима.

L. D. Baxter [1978] дал новоедоказательство этого факта с использованием неразрешимостидиофантовых уравнений.



E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)





E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)




Одна история

Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткойE -унификации (simultaneous rigid E -unification)?

Одна историяРазрешима ли проблема так называемой одновременной жесткойE -унификации (simultaneous rigid E -unification)?


A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимостьодновременной жесткой E -унификации


A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимостьодновременной жесткой E -унификации путем сведения к ней такназываемой проблемы монадической полуунификации (monadicsemi-unification problem).



Неразрешимость проблемы монадической полуунификацииустановил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемыунификации для исчисления предикатов второго порядка.



Неразрешимость проблемы монадической полуунификацииустановил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к ней проблемыунификации для исчисления предикатов второго порядка.

W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемыунификации для исчисления предикатов второго порядка, исходяиз неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.


A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательствонеразрешимость одновременной жесткой E -унификации на основенеразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

Documents

Что можно делать с вещественными числами и нельзя с целыми, осень 2013: Лекция