1

บทท 6 การเคลอนทแบบหมนและแบบกลง ( Rotational and rolling motion)

2

ตวอยางท 61. Rotating wheelวงลออนหนงมการหมนดวยความเรงเชงมมคงทเทากบ 35. rad/s2 ถาอตราเรวเชงมม

ของวงลอคอ 2 .0 0 /rad s ณ เวลา ti = 0 จงหาวา () เมอวงลอหมนไป ณ . เวลา t = 2 s วงลอจะหมนไดมมเทาไร (b) เมอวงลอหมนไป ณ . เวลา t = 2 s วงลอจะมอตราเรวเชงมมเทาไร

วธทำา(a) จากสตร หรอ2

21 ttiif 2

21 tti

2).2)(2/50.3(21)00.2)(/00.2( oossradssrad

rad0.11

reereerad deg630)deg3.57)(11(

3

(b) จากสตร tif

)00.2)(2/50.3()/00.2( ssradsradf

sradf /00.9

4

ตวอยาง 102. CD playerบนแผน CD ขอมลของเสยงจะถกบนทกลงในรองและผวเรยบบน CD ในรปของเลขฐานสองเมอมการอานโดยเครองเลน CD ขอมลจะถกแปลกลบไปเปนคลนเสยง รองและพนทเรยบทมความยาวเทากนจะถกอานโดยเลเซอรและเลนส เพอใหเวลาในการอานสญญาณแตละสญญาณมคาเทากนทวทงแผน ๆ อตราเรวเชงเสนของแผน ณ ตำาแหนงทผานเลเซอร จะตองมคาคงท ดงนนอตราเรวเชงเสนจะตองมคาเปลยนไปเมอระบบเลเซอรมการเปลยนตำาแหนงตามแนวรศมถาแผน CD มการหมนทวนเขมนาฬกาและมความเรวของพนผวทตำาแหนงเลเซอรเปน 1 .3 /

รปท 66. A ccc cccc cccc

5

(a) จงหาวาอตราเรวเชงมมของแผนดสกเปนกรอบตอนาทเมอเรมตนอานจาก track ดานใน ซงม r = 23 mm ออกไปยง track ดานนอกทม r = 58 mm

วธทำา ใชสมการ 6.10 เราสามารถหาอตราเรวเชงมมได สำาหรบ track ดานใน

sradmsm

irv

i /5.5631023/3.1

จำานวนรอบตอนาท = min/2104.5min/60/2/5.56 revsrevradsrad

6

สำาหรบ track ดานนอก

sradm

sm

frv

f /4.222108.5/3.1

จำานวนรอบตอนาท = min/2101.2min/60/2/4.22 revsrevradsrad

เครองเลนจะตองปรบอตราเรวเชงมมใหอยในชวงน โดยถาอตราเรวเชงมมเปนบวกดสกจะเคลอนทในทศทางทวนเขมนาฬกา

7

(b) ถาเวลามาตรฐานในการเลน CD คอ 77 นาท 33 วนาท ดสกจะเคลอนทไดกรอบวธทำา

เราพบวาอตราเรวเชงมมมคาลดลงสมมตวาใหลดลงดวยคาคงท ในชวงเวลาทงหมด t โดยกำาหนดใหตำาแหนงเชงมม (angular position ) i 0= และพจารณาท f ใชสมการ 63. ในการคำานวณ แทนอตราเรวเชงมมเฉลย ดวย ดวย

sss 4473)33(min)/60min74(

)(21

fi

tfiif )(21

revss

revrev 4108.2)447360min1min)(/210min/540(2

10

8

(c ) จงหาความยาวของ track ทเคลอนทผาน เลนสในชวงเวลา 4473 sวธทำา

เราทราบความเรวเชงเสนซงคงท และชวงเวลาทใชทำาใหสามารถคำานวณความยาว track ไดโดยตรง

mssmtivfx3108.5)4473)(/3.1(

9

ตวอยาง 63. The oxygen molecule พจารณาโมเลกลออกซเจน O2 ในระนาบ xy หมนรอบแกน Z ซงผานจดศนยกลาง

ของโมเลกลตงฉากระหวางระยะทางระหวางออกซเจนทงสองมวลอะตอมของออกซเจนเทากบ 266 10. x -26 kg ทอณหภมหองระยะหางระหวางอะตอมออกซเจนคอ 121 10d = . x -10 (พจารณา

อะตอมใหเปนจด ) (a) จงคำานวณโมเมนตความเฉอยของโมเลกลรอบแกน z

วธทำา เพราะวาระยะหางระหวางแกน Z และอะตอมคอ d/2 ดงนนโมเมนตความเฉอยคอ

2212)2(

2)2(2 mddmdmi irimI

2.461095.1

2)101021.1)(261066.2(21

mkg

mkg

10

(b) ถาอตราเรวเชงมมของโมเลกลรอบแกน Z คอ 4 .6 0 1 0x 12 พลงงานจลนของการหมนมคาเทาไร

วธทำาโดยการใชคาโมเมนตความเฉอยทไดจากการคำานวณและสมการท 616. จะไดวา

221IRK

J

sradmkg211006.2

2)/121060.4)(2.461095.1(21

11

ตวอยาง 63. Four rotating massesทรงกลมเลก ๆ 4 อนยดตดกบมมทงสของกรอบ วางตวอยในระนาบ xy ดงรป 68

โดยสมมตวาทรงกลมมรศมนอยมากเมอเทยบกบขนาดของกรอบ

รป6.8 ทรงกลม 4 ลกยดทตำาแหนงตาง ๆดงรป โมเมนตความเฉอยของระบบ ขนอยกบแกนท

พจารณา

12

(a) ถาระบบหมนรอบแกน y ดวยอตราเรวเชงมม จงหาโมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนของการหมนรอบแกนน

วธทำาพจารณาทรงกลมมวล c สองอนซงอยบนแกน y จะไมเปนสวนประกอบของ I y ( ri 0= สำาหรบทรงกลมมวล c รอบแกน y) จากสมการท 615. จะไดวา

22222 MaMaMai irimyI

ดงนนพลงงานจลนของการหมนรอบแกน y คอ

222)22(212

21 MaMayIRK

13

จะเหนวาการทมวล c ไมปรากฏอยในคำาตอบ เพราะวามนไมไดเกดการหมนรอบแกน y ดงนนมนจงไมมพลงงานจลนเนองจากการหมน ในกรณทคลายกนเราคาดเดาไดวาโมเมนตความเฉอยรอบแกน x คอ พลงงานจลนเนองจากการหมนรอบแกน x

22maxI 22MbK R

(b) สมมตวาระบบหมนในระนาบ xy ผานจด O ( แกน z ) จงคำานวณโมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนในการหมนรอบแกนน

วธทำาเพราะวา ci ในสมการท 615. คอระยะทางตงฉากกบแกนหมนจะไดวา

222222222 mbMambmbMai MairimzI

2222222 )()22(21

21 mbMambMaIK zR

14

เปรยบเทยบผลทไดจากขอ (a) และ (b) เราสรปไดวาโมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนในการหมนซงมอตราเรวเชงมมเดยวกนขนอยกบแกนของการหมนในขอ (b) เราคาดวาผลทไดเกดจากทรงกลมและระยะทางทงส เพราะวาทรงกลมทงสหมนในระนาบ xy นอกจากนพลงงานจลนในการหมนในขอ (a) จะมคานอยกวาในขอ (b) แสดงใหเหนวามนใชงานในการทำาใหระบบหมนรอบแกน y นอยกวาการทำาใหระบบหมนรอบแกน z

15

ตวอยาง 65 Uniform hoopจงหาโมเมนตความเฉอยของหวงเอกรปมวล M รศม R ซงหมนรอบแกน ซง

ตงฉากกบระนาบและผานจดศนยกลางของหวงเอกรปดงรป 69

รปท 6.9 มวลเลก ๆ dm ของหวงเอกรปซงม ระยะหางจากจด O เทากน

16

วธทำา มวลเลก ๆ dm ทกชนอยหางจากแกนหมนเปนระยะทาง r = R โดยการใชสมการ 6.17

ในการคำานวณหาโมเมนตความเฉอยรอบแกน z ซงผานจด O จะไดวา

222 MRdmRdmrzI

นนคอโมเมนตความเฉอยจะมคาเทากนสำาหรบอนภาคเดยวมวล M ซงอยหางจากแกนหมน เปนระยะทาง R

17

ตวอยางท 66. Unnnnnn nnnnn nnnจงคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงแขงเกรงเอกรป มความยาว L มวล M

ดงรป 610. รอบแกนซงตงฉากกบแทงแขงเกรงเอกรป (แกน y) และผานจดศนยกลางของมวล

รปท 610. แทงแขงเกรงเอกรปความยาว Lโมเมนตความเฉอยรอบแกน y จะนอยกวารอบแกน y/

18

วธทำาสวนทแรเงา dx มมวล cc ซงมคาเทากบมวลตอหนงหนวยความยาว คณกบ dx

dxLMdxdm

แทนคา dm ลงในสมการ 6.17 เมอ r = x จะไดวา

dxLLx

LML

Ldx

LMxdmrIy

2/2/22/

2/22

21212/

2/33

MLL

Lx

LM

19

ตวอยาง 67 U niform solid cylinderทรงกระบอกแขงเอกรปมรศม R มวล M และมความยาว L จงคำานวณโมเมนต

ความเฉอยรอบแกนกลาง (แกน z ) ดงรป 611.

รปท 6.11 แสดงการหาคา I รอบแกน zสำาหรบทรงกระบอกตนทสมมาตร

วธทำาเพอความสะดวก จะทำาการแบงทรงกระบอกออกเปนชนทรงกระบอก จำานวนมาก

ซงมรศม c ความหนา cc มความยาว L ดงรป 611. ปรมาตร dV ของชนทรงกระบอก คอคาภาคตดขวางคณกบความยาวของมน ถามวลตอหนงหนวยปรมาตรคอ มวลของความแตกตางของปรมาตรของชนทรงกระบอกคอ แทนสตรนลงในสมการ 617.

LrdrLdAdV )2(.

20

421

0322 LR

RdrrLdmrIz

เพราะวาปรมาตรรวมของทรงกระบอกคอ เราพบวา แทนคา ลงในสมการขางบนจะไดวา

LR2 LRMVM 2//

2214)2(2

1 MRRLR

MLzI

(1)

จะพบวาผลทไดไมขนอยกบความยาวของทรงกระบอก L

21

ตวอยางท 6.8 การประยกตใชทฤษฎบทแกนขนาน

พจารณาแทงวตถแขงเกรงเอกรป มวล M ความยาว L ดงรป 610. จงหาโมเมนตความเฉอยของแทงรอบแกนซงตงฉากกบแทงซงผานปลายดานหนง (แกน y/ ในรปท 610. )วธทำา

เราคาดวาโมเมนตความเฉอยทปลายแทงจะมคามากกวาโมเมนตความเฉอยทจดศนยกลางมวล จากรป 610. ระยะทางจากจดศนยกลางมวลและแกนหมนคอ D = L/2

Question จงคำานวณโมเมนตความเฉอยของแทงซงหมนรอบแกนตงฉากซงผานจด x =L/4ตอบ

221MLCMI

3312)2(

2212 MLLMMLMDCMII

2487MLI

22

ตวอยาง 69 The net torque on a cylinderทรงกระบอกชนหนงลกษณะดงรป 614. มสวนของแกนโผลออกมาจากทรงกระบอก

ใหญ ทรงกระบอกหมนอยางอสระรอบแกนกลาง มเสนเชอกคลองรอบทรงกระบอกรศม R1 ออกแรง กระทำาไปทางขวาของทรงกระบอก ออกแรง กบเสนเชอกทคลองอยทแกนซงมรศม R2 ในแนวดง

1F

2F

(a) ทอรกสทธทกระทำาตอทรงกระบอกรอบแกนหมน ( แกน z ) มคาเทาไร

รปท 6.14 ทรงกระบอกแขงหมนรอบแกนหมน z ซง ผานจด O แขนโมเมนตของ คอ R1 และ แขนโมเมนต

ของ คอ R22F 1F

23

วธทำาทอรกทเกดจากแรง คอ ( เครองหมายเปนลบหมายความวาทอรกทำาใหเกด

การหมนตามเขมนาฬกา)ทอรกทเกดจากแรง คอ (เครองหมายเปนบวกหมายความวาทอรกทำาใหเกดการหมนทวนเขมนาฬกา ) ดงนนทอรกรวมรอบแกนหมนคอ

1F

2F

11FR

22FR

221121 FRFR

สมมตวาแรงทกระทำามคาเทากน ทอรกสทธมคาเปนบวกเพราะวา R1 > R2 ถาระบบเรมแรกหยดนงแลวออกแรงทงสองกระทำาตอระบบทรงกระบอกจะหมนตามเขมนาฬกาเพราะวาแรง ทำาใหเกดผลการหมนมากกวาแรง 1F

2F

24

ตวอยาง 6.11 ทรงกลมกลงลงจากพนเอยง จากรปท 6.5 ทรงกลมตนกลงลงจากพนเอยงจงคำานวณอตราเรวเชงเสนของศนยกลาง

มวลทจดตำาสดของพนเอยง และขนาดของอตราเรงเชงเสนของจดศนยกลางมวล วธทำา

ทรงกลมมจดเรมตนอยทสวนบนสดของพนเอยงมพลงงานศกด พลงงานจลน K= 0 ถาทรงกลมตกลงมาในแนวดงจะพบวาอตราเรวเชงเสนกอนทมนจะ

กระทบพน คอ

MghgU

gh2

ภายหลงกลงลงจากพนเอยงอตราเรวเชงเสนของจดศนยกลางมวล จะนอยกวาคานเพราะวาพลงงานศกย ในตอนเรมตนจะเปลยนเปนพลงงานจลนในการหมนมากกวาพลงงานจลนในการเคลอนยายสำาหรบทรงกลมตนเอกรป (ตาราง 62. ) จากสมการท 627. จะไดวา2

52MRCMI

25

2/1710

2/1

225/21

2

gh

MRMRgh

CMv

ซงคาทไดนอยกวา ในการคำานวณอตราเรงเชงเสน ของจดศนยกลางมวล โดยทระยะขจดในแนวดงจะสมพนธกบระยะขจด x ในแนวพนเอยงโดยใชสมการ

ยกกำาลงสองทงสองขางจะไดวา

gh2sinxh

sin7102 gxCMv

เปรยบเทยบกบสตรทางกลศาสตร เราจะพบวาอตราเรงเชงเสนของจดศนยกลางมวลคอ

xCMaCMv 22

sin75gCMa

26

คำาตอบทไดแสดงใหเหนวา อตราเรว และอตราเรงเชงเสนของจดศนยกลางมวล ไมขนอยกบมวลและรศมของทรงกลม นนคอทรงกลมตนเอกรปใด ๆ จะมอตราเรวและอตรา

เรงเชงเสนเดยวกนบนพนเอยงเดยวกน

สำาหรบทรงกลมกลวง,ทรงกระบอกตน ,หวงวงกลม จะไดผลการคำานวณทคลายกนโดยจะมความแตกตางกนตรงคา คาคงทในสตร vCM และ cCM ขนอยกบคาโมเมนตความเฉอยรอบจดศนยกลางมวลของวตถทมรปทรงตาง ๆ กน โดยในทก ๆ กรณอตราเรงของจดศนยกลางมวลจะนอยกวาคา ซงเปนคาอตราเรงทไดในกรณทพนเอยงไมมความฝดและไมมการกลงเกดขน

sing

sing

27

ตวอยาง 6.12 การกลงของทรงกลม ในสวนนจะใชวธทางกลศาสตรในการหาคำาตอบจากตวอยางท 6.11 แสดงแผนภาพ

ของทรงกลมอสระในรปท 6.22

รปท 6.22 ทรงกลมตนกลงลงมาจากพนเอยง

28

วธทำาใชกฎขอทสองของนวตนกบจดศนยกลางมวล

CMMafMgxF sin

0cosMgnyF

(1)

เมอวด x ในแนวพนผวของพนเอยงตอไปทำาการหาทอรคทกระทำาตอทรงกลม โดยเลอกแกนหมนทผานจดศนยกลางของ

ทรงกลมและตงฉากกบระนาบของรป เนองจาก n และ Mg ผานจดศนยกลางมวล มนจงมแขนโมเมนต เปนศนยรอบแกนหมนน ดงนนจงไมทำาใหเกดทอรค อยางไรกตามแรงเสยดทาน fจะเปนตวทำาใหเกดทอรครอบแกนหมนซงมคาเทากบ fR ในทศทางตามเขมนาฬกา

CMIfRCM

29

เพราะวา และ จะไดวา252MRCMI RCMa /

CMMaRCMa

R

MR

RCMI

f 52

252

(2)

แทนคาสมการ (2) ลงใน (1)sin7

5gCMa

ซงใหผลสอดคลองกบตวอยางท 611. สตร จะใชไดกตอเมอแรง ทกระทำากบทรงกลมเปนแรงสทธ จากภายนอก และ c คออตราเรงของจดศนยกลางมวล ในกรณททรงกลมกลงลงมาตามพนเอยงแรงเสยดทาน ไมทำาใหเกดการเปลยนแปลงของพลงงานจลนรวมของทรงกลมแรงเสยดทานทรวมอยใน และทำาใหอตราเรงของจดศนยกลางมวลมคาลดลง

maF F

F

30

6 .ต ว อ ย า ง 1 3 ผ ล ค ณ แ บ บ c r o s s p r o d u c t เ ว ก เ ต อ ร A i j 2 3 แ ล ะ เ ว ก เ ต อ ร

B i j 2 อ ย บ น ร ะ น า บ x y จ ง ห า BA แ ล ะ พ ส จ น ว า A B B A

ว ธ ท ำา 6 . 3จ า ก ส ม ก า ร ท 4 a ถ ง 6 . 3 4 b จ ะ ไ ด ว า

A B i j i j ( ) ( )2 3 2

kkkijji 734))(3()22(

จ ะ เ ห น ว า เ ท อ ม i i j j k k 0 6 . 3ด ง ส ม ก า ร ท 4 a ต อ ไ ป จ ะ พ ส จ น ว า A B B A

B A i j i j ( ) ( )2 2 3

)22()3( ijji

3 4 7k k kด ง น น

B A k7 เ ท ย บ ก บ ผ ล จ า ก ส ว น แ ร ก จ ะ ไ ด ว า

A B B A เ ป น จ ร ง

31

ตวอยางท 64. การเคลอนทเปนวงกลมอนภาคตวหนงเคลอนทในระนาบ xy ในเสนทางวงกลมรศม c ดงรปท 611.

รปท 627. อนภาคเคลอนทเปนวงกลมรศมc มขนาดของโมเมนตมเชงมมรอบจด Oเทากบ มทศพงออกจากแผนภาพPrL

32

(a) จงหาขนาดและทศทางของโมเมนตมเชงมมทสมพทธกบจด O เมออนภาคมความเรวเชงเสน vวธทำา

เนองจากโมเมนตมเชงเสนของอนภาคมการเปลยนแปลงตลอดเวลา (ขนาดไมเปลยนแตทศทางเปลยน ) ขนาดของโมเมนตมเชงมม เมอ ตงฉากกบ มคาดงนL r v

mvromvrL 90sin

จะเหนวาขนาดของโมเมนตมเชงมม มคาคงทเนองจากเทอมทางซายมอมคาคงทและทศทางของ คงทดวย โดยการพจารณาทศของโมเมนตมเชงมม ซงมทศเปลยนตลอดเวลาและถาเราเลอนใหหาง ตอกบหางของ จากสตร เนองจาก มทศทางเดยวกบ ใชกฎมอขวาในการหาทศของ โดยนวทงสวนรอบจาก ไปยง จะพบวา มทศพงออกจากระนาบ xy หรออาจเขยนวา และถาอนภาคเคลอนทตามเขมนาฬกา มทศพงเขาระนาบ xy

L

L vmP

v r PrL v

L r v L

kmvrL )( L

33

(b) จงห าขนาดและ ทศทางของ L ใ นเทอมของอตราเรวเชงมม

วธท ำา เน องจาก v r ส ำาหรบอนภาคทห มนเป นวงกลมจะ ไ ดวา

L m v r m r I 2

เมอ I คอโ มเมนตความเฉอยของอนภาครอบแกน z ซ งผานจด O เน องจากเป นการหมนทวนเขม นาฬกา มท ศตามแกน z ( ดเน อห า 6.1 ) โ ดย

L มท ศเดยวกบ ห รอ

L I I k

n nnnnnnn รถมวล 1500 kg เคลอนทดวยอตราเรวเชงเสน 40m/s เปนวงกลมรศม 50m โมเมนตมเชงมมสมพทธกบจดศนยกลางการเคลอนทของรถมคาเทาใด

34

ตวอยางท 615. ลกโบลงจงหาขนาดของโมเมนตมเชงมมของลกโบลงมวล 6 kg รศม 12 cm ซงหมน 10 รอบ / ดงรปท 629.

รปท 629. ลกโบลงหมนรอบแกน z ในทศทางดงรปมโมเมนตมเชงมม ในทศทางบวก z ถากลบทศการหมน จะชในทศทางลบ z

L

L

35

วธทำาจากตารางท 62. บอกใหเราทราบวาลกโบลงทรงกลมตนมโมเมนตความเฉอยดงน

2.035.02)12.0)(6(522

52 mkgmkgMRI

ดงนนขนาดของโมเมนตมเชงมมคอ )/2)(/10)(2.035.0( revradsrevmkgIL

smkg /2.2.2

36

ตวอยาง 6.16 แทงแขงเกรงทเกดการหมน แทงแขงเกรงมวล M ยาว l ตดอยกบเดอยทไมมความเสยดทาน ทจดกงกลางของมน

ดงรปท 6.30 อนภาคมวล m1 และ m2 ตดอยทปลายทงสองของมน แทงและมวลทงสอง หมนในแนวดงดวยอตราเรวเชงมม

รปท 6.30 แทงแขงเกรงตดอยกบเดอย

37

) จงหาขนาดของโมเมนตมเชงมมของระบบวธทำา

โมเมนตความเฉอยของระบบจะเทากบผลรวมของโมเมนตความเฉอยของสวนประกอบทงสามสวนจากตาราง 102. โมเมนความเฉอยของแทง ทมแกนหมนผานจดศนยกลางคอ และ สำาหรบแตละอนภาค โดยโมเมนตความเฉอยรวมรอบจด O คอ2

121MlI 2mrI

222

221

2121

lmlmMlI

2134

2mmMl

ดงนนขนาดของโมเมนตมเชงมมคอ

)3(4 21

2

mmMlIL

38

) จงแสดงสตรของขนาดของอตราเรงเชงมมของระบบเมอแทงหมนทำามมกบแนวระดบวธทำา

ถามวลของอนภาทงสองเทากนระบบจะไมมอตราเรงเชงมมเพราะวาทอรคสทธทกระทำาในระบบเทากบศนยเมอ c1 c c2 ถามม (vertical position) ระบบจะอยในสมดล ในการหาอตราเรงเชงเสนของระบบทมม ใด ๆ จะเรมจากการคำานวณหาทอรคสทธของระบบ โดยทอรคทเกดจากแรง c1 g กระทำารอบเดอยคอ

22

or

Iext

cos211lgm มทศพงออกจากกระดาษ1

โดยทอรคทเกดจากแรง c2 g กระทำารอบเดอยคอ cos2

122 gm มทศพงเขาไปในกระดาษ2

39

ดงนนทอรคสทธจากภายนอกทกระทำารอบจด O คอ

cos)21(21

21 glmmext

ทศทางของ จะพงออกจากกระดาษถา c1 c c 2 และพงเขากระดาษถา c1 c c 2 ในการหาอตราเรงเชงมม เรมจาก โดยใช I จากขอ (a)

ext

Iext

)213/(cos)21(2mmMl

gmmIext

จะมคาเปนศนยถา (vertical position) และ จะมคามากทสดถา (horizontal position) 22

or or0

Questionถา c1 > m2 มม ททำาให มคามากทสดมคาเทาไร

40

ตวอยางท 617. มวล 2 ชนทเชอมตอกนทรงกลมมวล c1 และกลองสเหลยมมวล c2 เชอมตอกนดวยเชอกเบา ซงคลองผาน

รอกดงรปท 631. รอกมรศม R โมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนคอ I กลองลนไถลบนพนทไมมความฝด จงหาสตรทแสดงอตราเรงเชงเสนของวตถทงสองโดยใชแนวคดของโมเมนตมเชงมมและทอรค

รปท 6.31 ทรงกลมมวล m1 ผกตดกบกลอง สเหลยมมวล m2 ดวยเชอกเบาคลองผานรอก

41

วธทำากำาหนดโมเมนตมเชงมมของระบบทประกอบดวย ทรงกลม กลองสเหลยม และ รอก

รอบแกนหมนของรอกในกรณททรงกลมและกลองสเหลยมมอตราเรว v โมเมนตมเชงมมของทรงกลมคอ กลองสเหลยมคอ และรอกคอ ดงนน โมเมนตมเชงมมรวมของระบบมคาเทากบ

vRm1 vRm2 RIvI /

RvIvRmvRmL 21(

1)ตอไปหาคาทอรคภายนอกสทธทกระทำากบระบบรอบแกนหมน แรงในแนวตงฉากท

พนกระทำาตอกลองสเหลยมมคาเทากบแรงเนองแรงโนมถวง c2 g ดงนน c2 g ไมทำาใหเกดทอรค แรง c1 g เนองจากทรงกลมทำาใหเกดทอรครอบแกนหมนมขนาดเทากบ c1 gR เมอ

R คอแขนโมเมนตของแรงรอบแกนหมน ทอรคภายนอกสทธรอบแกนหมนมคาเทากบ จากสมการ (1) และสมการท 644. เราพบวา gRmext 1

42

dtdL

ext

RvIvRmvRm

dtdgRm 211

dtdvRI

dtdvRmmgRm 211(2)

เนองจาก dv/dt = a ดงนน

2/)21(1

RImmgm

a

43

ตวอยาง 118 การเกดดาวนวตรอนดาวดวงหนงหมนดวยคาบเวลา 30 วน รอบแกนซงผานศนยกลางมวล ภายหลงจาก

ดาวดวงนนววฒนาการระเบดไปเปน supernova แกนกลางของดาวซงมรศม เกดการยบตวไปเปนดาวนวตรอนซงมรศม 3 km จงบอกคาบเวลาของการหมนของดาวนวตรอนวธทำา

ใชหลกฟสกสเหมอนกบการหมนตวไดเรวขนของนกสเกต เมอเขาหดแขนและขาเขาหาตวโดยสมมตวาในการหดตวของแกนกลางมเงอนไขดงน (1) ไมมทอรคกระทำาตอดาว (2) รปรางของดาวยงเปนทรงกลม

(3) มวลของดาวมคาคงท

km4101

44

ถา T แทนคาบเวลา TI แทนคาบเวลาในตอนเรมตนของดาว Tf แทนคาบเวลาของดาวนวตรอน โดยคาบเวลาหมายถงชวงเวลาทจดๆ หนงทอยบนเสนศนยสตรเคลอนทเปนวงกลมไดครบหนงรอบ รอบแกนของการหมน

เมออตราเรวเชงมมของดาวคอ และโมเมนตความเฉอย I เปนสดสวนตรงกบ c2 จากสมการท 648. จะไดวา

T 2

24101

0.3)30(22

kmkmdays

irfr

iTfT

sdays23.06107.2

นนคอดาวนวตรอนจะหมนได 4 รอบใน 1 วนาท

45

ตวอยางท 119. มาเวยน - -(the Merry Go Round)แผนรปรางเปนวงกลมอยในแนวราบหมนในแนวระนาบรอบแกนซงอยในแนวดง

ดงรปท 116. ถาแผนวงกลมมมวล M = 100 kg และมรศม R = 2.0 m มเดกมวล 60 kgเดนอยางชา ๆ จากขอบไปยงจดศนยกลางของแผนวงกลมถาอตราเรวเชงมมของระบบมคาเปน

20. rad/s เมอเดกอยทขอบ อตราเรวเชงมมจะมคาเทาไรถาเดกเดนเขาใกลจดศนยกลางโดยหางจากจดศนยกลางของแผนวงกลมเปนระยะ 050r = . m

รปท 632. เมอเดกเดนเขาสศนยกลางของแผนกลมทหมนอตราเรวเชงมมของระบบเพมขน เพราะวาโมเมนตมเชงมมมคาคงท

46

วธทำาการเปลยนแปลงความเรวในทนคลายกบการเพมอตราเรวเชงมมในการหมนตวของ

นกสเกตขณะดงแขนเขาหาตวเอง ถาโมเมนตความเฉอยของแผนวงกลม คอ IP และโมเมนตความเฉอยของเดก คอ IS ถาพจารณาใหเดกเปนมวลแบบจด c ดงนนโมเมนตความเฉอยเรมแรกของระบบรอบแกนหมนคอ

2221 mRMRSiIPiIiI

เมอเดกเดนเขาไปทตำาแหนง r < R โมเมนตความเฉอยของระบบจะมคาลดลง

2221 mrMRsfIpfIfI

เราใชรศม R ในการคำานวณ Ipf เนองจากรศมของแผนวงกลมมคาคงท และเนองจากไมมทอรคจากภายนอกกระทำากบระบบรอบแกนหมนเราจงสามารถใชกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมมได

47

ffIiiI

fmrMRimRMR

22

2122

21

imrMR

mRMRf

22

21

2221

sradsradf /1.4/0.215200240200

นนคออตราเรวเชงเสนมคาเพมขน

48

ตวอยางท 1110. การหมนของลอรถจกรยานนกเรยนถอแกนหมนของลอรถจกรยานขณะนงอยบนมานง ซงสามารถหมนได

อยางอสระดงรป 1117. นกเรยนและมาหมนจะหยดนงในตอนเรมตน ขณะทลอรถหมนอยในแนวระนาบดวยโมเมนตมเชงมมเรมตน มทศชขนขางบน (ทวนเขมนาฬกา ) เมอนกเรยนจบลอหมนพลกควำาลงเปนมม 180o รอบแกนของมน เดกและมานงจะเรมเกดการหมนดวยโมเมนตมเชงมม จงหาขนาดและทศของโมเมนตมเชงมม ของเดกรวมกบมานง

iL

iL

L

รปท 6.33 ลอรถเรมหมนในขณะทเดกนกเรยนนงนงอยกบท

49

วธทำาระบบประกอบดวยเดกนกเรยน มานง และ วงลอรถจกรยาน ในตอนแรกโมเมนตม

เชงมม รวมของระบบเปน ซงไดจากการหมนของวงลอรถจกรยาน เมองวงลอรถจกรยานมการหมนกลบทศ แมวาเดกใหทอรคกบวงลอ แตทอรคทใหเปนทอรคภายในระบบ นนคอไมมทอรคจากภายนอก กระทำากบระบบรอบแกนหมนในแนวดง ดงนนโมเมนตมเชงมมของระบบจะมคาคงทจะไดวา

iL

whellLiLsystemL

หลงจากวงลอหมนไปในทศตรงขามจะไดวาiLwhellinvertedL

50

เนองจากโมเมนตมเชงมมมคาคงท บางสวนของระบบ (เดกนกเรยนและมานง ) จะเรมตนหมนนนคอโมเมนตมเชงมมรวมยงคงเทากบโมเมนตมเชงมมรวมเรมแรก ดงนนสามารถแสดงใหเหนวา

iL

iLstoolstudentLiLfL

iLstoolstudentL 2

51

แบบฝกหดบทท 61. วงลออนหนงมความเรวเชงมม 30 รอบ/s ถกทำาใหอยในภาวะความเรงคงท วงลอหมน 60

รอบกอนจะหยด(a) จงหาคาความเรงเชงมม(b) จงหาคาเวลาทผานไปกอนวงลอจะหยดวธทำา(a) ความเรงเชงมมอาจคำานวณไดจากสตร )(222

ifif

22222

/47)2)(60(2)2)(/30(0

)(2 sradradsrevif

if

(b) เวลาหาไดจาก tif

s

t if

447)2)(30(0

52

2. รถคนหนงใชเวลา 7 s ในการเรงจากหยดนงไปจนมความเรว ซงทำาใหลอรถหมนดวย อตรา 6 รอบ/s

(a) จงหาความเรงเชงมมของวงลอ(b) วงลอหมนไปไดทงหมดกรอบ

วธทำา(a) หาความเรงเชงมมของวงลอไดโดยใชสตร tif

tif

2/86.07/60 srev

ssrev

22 /38.5)/86.0)(2( sradsrev

53

(b) วงลอหมนไปไดทงหมดกรอบคำานวณไดจากt

revssrevsrevtif 21)7(2)/6/0(

2

radrev 132)21)(2(

3 ลอ ๆ หนงมมวล 6 kg และมรศมการหมน 40 cm กำาลงหมนดวยอตราเรว 300 รอบ /minจงหาโมเมนตความเฉอยและพลงงานจลนในการหมนของลอน

222 .96.0)4.0)(6( mkgmkgMrI

พลงงานจลนในการหมน 221I

sradรอบradsรอบ /4.31)/2)(60min/1min)(/300(

JsradmkgKE 4732)/4.31)(2.96.0(21

54

4. แผนกลมแผนหนงมโมเมนตความเฉอย I1 กำาลงหมนดวยอตราเรวเชงมม 1w ถาวางแผนกลมแผนทสองซงมโมเมนตความเฉอย I2 ซงไมไดหมนลงบนแผนกลมทหนง หลงจากนนแผนกลมทงสองหมนไปดวยกนเหมอนเปนวตถกอนเดยวกน จงหาอตราเรวเชงมมในตอนสดทายจากกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม

โมเมนตมเชงมมกอน c โมเมนตมเชงมมหลง2211 II

21

11

III

55

5.ลกโบลงมมวล 4 kg มโมเมนตความเฉอย มรศม c 01 ถาลกโบลงกลงไปตามรางโดยปราศจากการลนไถลดวยความเรว 4m/s พลงงานรวมของลกโบลงมคาเทาไร

2.2106.1 mkg

2212

21 mvIKE

22

22 )/4)(4(21

1.0/4).106.1(2

1 smkgmsmmkg

J8.44

6. จานแขงสมำาเสมอมมวล 3 kg มรศม 20. m หมนรอบแกนซงอยกบทและผานศนยกลางมวลของจานถาความถเชงมมของการหมนเปน 60. rad /s จงหาโมเมนตมเชงมมของจานแขงน

smkgsradmkgmrIL /2.36.0)/0.6(2)2)(3(212

21

56

คนควาเพมเตมไดจาก

1. http://www.lehigh.edu/~jcl3/lecture.html2. http://www.pas.rochester.edu/~tipton/p121-1n.pdf3. http://www.udayton.edu/~amophys/125/fift/fift.html4. http://www.rockpile.phys.virginia.edu/arcoo/arch16.pdf5. http://www.webcomposer.pace.edu/moremland/hs-physics/hs-phys-lec8.html6. http://www.phy.mtu.edu/~kjmorgan/lecture/serway9.pdf