ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 77 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τα γραμμικά στοιχεία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν Τα γραμμικά στοιχεία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε δύο ομάδες: σε δύο ομάδες: Τα φυσικά και Τα φυσικά και Τα ιδεατά στοιχείαΤα ιδεατά στοιχεία

Την ανάλυση χώρου απασχολούν και οι δύο ομάδες Την ανάλυση χώρου απασχολούν και οι δύο ομάδες των γραμμικών στοιχείων.των γραμμικών στοιχείων.

Η ανάλυση χώρου αφορά κυρίως:Η ανάλυση χώρου αφορά κυρίως: Τους επιμέρους συνδέσμους και τις ροές που Τους επιμέρους συνδέσμους και τις ροές που

δημιουργούν ένα δίκτυο και δημιουργούν ένα δίκτυο και Τα κέντρα ή τους κόμβους που διασυνδέονται με τους Τα κέντρα ή τους κόμβους που διασυνδέονται με τους

συνδέσμους αυτούς.συνδέσμους αυτούς.

ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑ

Η βασική διαδικασία απλοποίησης των δικτύων είναι Η βασική διαδικασία απλοποίησης των δικτύων είναι η μετατροπή τους σε γραφήματα και η εφαρμογή της η μετατροπή τους σε γραφήματα και η εφαρμογή της θεωρίας των γραφημάτων θεωρίας των γραφημάτων (graph theory)(graph theory). .

Στην απεικόνιση ενός δικτύου με τη μορφή Στην απεικόνιση ενός δικτύου με τη μορφή γραφήματος το ενδιαφέρον εστιάζεται στα τοπολογικά γραφήματος το ενδιαφέρον εστιάζεται στα τοπολογικά χαρακτηριστικά του συστήματος και όχι στα διάφορα χαρακτηριστικά του συστήματος και όχι στα διάφορα άλλα χαρακτηριστικά του.άλλα χαρακτηριστικά του.

Ένα τμήμα του γραφήματος ενός δικτύου μπορεί να Ένα τμήμα του γραφήματος ενός δικτύου μπορεί να περιέχει ενδιάμεσα σημεία, γνωστής θέσης, μεταξύ περιέχει ενδιάμεσα σημεία, γνωστής θέσης, μεταξύ των κόμβων της αρχής και του τέλους του και των κόμβων της αρχής και του τέλους του και ονομάζονται κορυφές.ονομάζονται κορυφές.

ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΓΡΑΦΗΜΑ

Η τοπολογία ενός γραφήματος δικτύου του εκφράζεται ως Η τοπολογία ενός γραφήματος δικτύου του εκφράζεται ως εξής:εξής:

Κάθε τμήμα έχει έναν κόμβο αρχής και έναν κόμβο τέλους. Κάθε τμήμα έχει έναν κόμβο αρχής και έναν κόμβο τέλους. Κάθε τμήμα μπορεί να περιέχει καμιά, μία ή περισσότερες Κάθε τμήμα μπορεί να περιέχει καμιά, μία ή περισσότερες

κορυφές.κορυφές. Κάθε διασταύρωση δύο γραμμικών τμημάτων αποτελεί έναν Κάθε διασταύρωση δύο γραμμικών τμημάτων αποτελεί έναν

κόμβο, δημιουργώντας ένα σχεδιαστικό γράφημα.κόμβο, δημιουργώντας ένα σχεδιαστικό γράφημα. Δύο γραμμικά τμήματα συνδέονται άμεσα, αν μοιράζονται έναν Δύο γραμμικά τμήματα συνδέονται άμεσα, αν μοιράζονται έναν

κοινό κόμβο.κοινό κόμβο. Δύο γραμμικά τμήματα που δεν συνδέονται άμεσα, μπορούν να Δύο γραμμικά τμήματα που δεν συνδέονται άμεσα, μπορούν να

συνδεθούν έμμεσα μέσω άλλων τμημάτων που, όμως, είναι συνδεθούν έμμεσα μέσω άλλων τμημάτων που, όμως, είναι άμεσα συνδεδεμένα.άμεσα συνδεδεμένα.

ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Ως Ως συνδετικότητασυνδετικότητα ενός δικτύου ορίζεται ο βαθμός ενός δικτύου ορίζεται ο βαθμός σύνδεσης μεταξύ των κόμβων.σύνδεσης μεταξύ των κόμβων.

Η έννοια της συνδετικότητας έχει αξία ως εργαλείο Η έννοια της συνδετικότητας έχει αξία ως εργαλείο χωρικής ανάλυσης, όταν ένα δίκτυο:χωρικής ανάλυσης, όταν ένα δίκτυο: Το συγκρίνουμε με άλλα δίκτυα.Το συγκρίνουμε με άλλα δίκτυα. Η ανάπτυξή του εξετάζεται διαχρονικάΗ ανάπτυξή του εξετάζεται διαχρονικά..

Ο βαθμός συνδετικότητας ενός συγκοινωνιακού Ο βαθμός συνδετικότητας ενός συγκοινωνιακού δικτύου είναι ενδεικτικός της πολυπλοκότητας του δικτύου είναι ενδεικτικός της πολυπλοκότητας του χωρικού συστήματος που εξυπηρετείται από το χωρικού συστήματος που εξυπηρετείται από το συγκεκριμένο δίκτυο.συγκεκριμένο δίκτυο.


Το δίκτυο Το δίκτυο ΑΑ δεν είναι πλήρως συνδεδεμένο. δεν είναι πλήρως συνδεδεμένο. Τα δίκτυα Τα δίκτυα ΒΒ και και ΓΓ θεωρούνται συνδεδεμένα γραφήματα. θεωρούνται συνδεδεμένα γραφήματα.


Για την αξιολόγηση της δομής ενός δικτύου και κυρίως Για την αξιολόγηση της δομής ενός δικτύου και κυρίως για τη σύγκριση της πολυπλοκότητας της δομής δύο ή για τη σύγκριση της πολυπλοκότητας της δομής δύο ή περισσοτέρων δικτύων, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω περισσοτέρων δικτύων, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω δείκτες:δείκτες:

Ο Δείκτης Γάμμα Ο Δείκτης Γάμμα Ο Δείκτης Άλφα Ο Δείκτης Άλφα Ο Διάμετρος ΔικτύουΟ Διάμετρος Δικτύου

ΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑ

Ο δείκτης Ο δείκτης ΓάμμαΓάμμα είναι απλώςείναι απλώς ο λόγος του αριθμού των ο λόγος του αριθμού των συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο σσ προς το μέγιστο δυνατό προς το μέγιστο δυνατό αριθμό συνδέσμων αριθμό συνδέσμων σσmaxmax που μπορούν να υπάρξουν στο δίκτυο που μπορούν να υπάρξουν στο δίκτυο αυτό:αυτό:

Ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων σε ένα σχεδιαστικό δίκτυο είναι Ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων σε ένα σχεδιαστικό δίκτυο είναι πάντοτε ίσος με πάντοτε ίσος με 3(κ-2)3(κ-2)..

max

υπάρχοντες σύνδεσμοι σγ

μέγιστος αριθμός συνδέσμων σ

2-κ3

σ

σ

σγ

max

ΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑΔΕΙΚΤΗΣ ΓΑΜΜΑ

Στο σχήμα του βιβλίου:Στο σχήμα του βιβλίου:

σ 10

Δίκτυο Α 0,303 κ-2 33

36,033

12

2-κ3

σΒ Δίκτυο

55,033

18

2-κ3

σΓ Δίκτυο

ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑ

Οι Οι Κυκλικοί ΣύνδεσμοιΚυκλικοί Σύνδεσμοι (circuits)(circuits) ορίζονται ως ορίζονται ως συγκεκριμένες διαδρομές στο δίκτυο όπου ο αρχικός συγκεκριμένες διαδρομές στο δίκτυο όπου ο αρχικός κόμβος της αλληλουχίας των συνδέσμων συμπίπτει με κόμβος της αλληλουχίας των συνδέσμων συμπίπτει με τον τελικό κόμβο. τον τελικό κόμβο.

Σε ένα δεδομένο δίκτυο με Σε ένα δεδομένο δίκτυο με σσ συνδέσμους και συνδέσμους και κκ κόμβους, ο αριθμός των συνδέσμων είναι:κόμβους, ο αριθμός των συνδέσμων είναι:

σ =κ-1σ =κ-1, όταν το δίκτυο είναι ελάχιστα συνδεδεμένο,, όταν το δίκτυο είναι ελάχιστα συνδεδεμένο, σ>κ-1σ>κ-1,, όταν υπάρχουν κυκλικοί σύνδεσμοι,όταν υπάρχουν κυκλικοί σύνδεσμοι,

σ – κ +1σ – κ +1 είναι ο αριθμός κυκλικών συνδέσμων και είναι ο αριθμός κυκλικών συνδέσμων και 3(κ-2)3(κ-2) είναι ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων είναι ο μέγιστος αριθμός συνδέσμων

ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑΔΕΙΚΤΗΣ ΑΛΦΑ

Ο Ο δείκτης Άλφαδείκτης Άλφα ορίζεται ως ο λόγος του αριθμού των κυκλικών ορίζεται ως ο λόγος του αριθμού των κυκλικών συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο προς το μέγιστο δυνατό συνδέσμων που υπάρχουν σε ένα δίκτυο προς το μέγιστο δυνατό αριθμό τους. αριθμό τους.

Στο σχήμα του βιβλίου:Στο σχήμα του βιβλίου:

5-2κ

1κ-σ

συνδέσμων κυκλικώναριθμός μέγιστος

σύνδεσμοι κυκλικοίυπάρχοντεςα

Δίκτυο Α: Δεν μπορεί να υπολογιστεί

σ-κ 1 12 13 1 0Δίκτυο Β : 0

2κ-5 2 13 5 21

σ-κ 1 18 13 1 6Δίκτυο Γ : 0,29

2κ-5 2 13 5 21

ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥΔΙΑΜΕΤΡΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ Ως διάμετρος ενός συνδεδεμένου δικτύου ορίζεται ο Ως διάμετρος ενός συνδεδεμένου δικτύου ορίζεται ο

μέγιστος αριθμός συνδέσμων που απαιτείται για τη μέγιστος αριθμός συνδέσμων που απαιτείται για τη μετακίνηση από έναν κόμβο σε έναν άλλο, μέσω μιας μετακίνηση από έναν κόμβο σε έναν άλλο, μέσω μιας ελάχιστης διαδρομής.ελάχιστης διαδρομής.

Ο υπολογισμός της διαμέτρου για τα δίκτυα του Ο υπολογισμός της διαμέτρου για τα δίκτυα του σχήματος του βιβλίου έχει ως εξής:σχήματος του βιβλίου έχει ως εξής: Δίκτυο Α: Δεν μπορεί να υπολογιστεί.Δίκτυο Α: Δεν μπορεί να υπολογιστεί. Δικτύου Β: Είναι 8 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 1 Δικτύου Β: Είναι 8 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 1

και 13 απαιτεί 8 συνδέσμους)και 13 απαιτεί 8 συνδέσμους) Δίκτυο Γ: Είναι 5 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 2 Δίκτυο Γ: Είναι 5 (η διαδρομή μεταξύ κόμβου 2

και 13 απαιτεί 5 συνδέσμους)και 13 απαιτεί 5 συνδέσμους)

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΔΙΚΤΥΩΝΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΔΙΚΤΥΩΝ

Δείκτης Γάμμα Δείκτης Άλφα

Ελάχιστα Συνδεδεμένο 2

1γ31 όπου κ 4 0 όπου κ = σ + 1

Ενδιάμεσο 32γ2

1 όπου κ 4 21α0 όπου κ 3

Μέγιστα Συνδεδεμένο

1γ32 όπου κ 3 1α2

1 όπου κ 3

Τα ελάχιστα συνδεδεμένα Τα ελάχιστα συνδεδεμένα Τα μέγιστα συνδεδεμέναΤα μέγιστα συνδεδεμένα Τα ενδιάμεσης συνδετικότητας.Τα ενδιάμεσης συνδετικότητας.

ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΔΙΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

Οι δείκτες πέρα από τη χρησιμότητά τους για τη σχετική Οι δείκτες πέρα από τη χρησιμότητά τους για τη σχετική αξιολόγηση της συνδετικότητας ενός δικτύου, μπορούν να αξιολόγηση της συνδετικότητας ενός δικτύου, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για την αναγνώριση αλλαγών σε ένα χρησιμοποιηθούν και για την αναγνώριση αλλαγών σε ένα δίκτυο διαχρονικά.δίκτυο διαχρονικά.

Δείκτης ΓΑΜΜΑ Δείκτης ΑΛΦΑ

ΣΤΑΔΙΟ Α 0,30 - ΣΤΑΔΙΟ Β 0,36 0 ΣΤΑΔΙΟ Γ 0,55 0,29

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΔΟΜΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ:ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΔΟΜΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ: ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ

Στην αναγνώριση της χωρικής δομής μέσα από τη σχέση Στην αναγνώριση της χωρικής δομής μέσα από τη σχέση κόμβων-συνδέσμων του δικτύου θα μπορούσαν να εξεταστούν:κόμβων-συνδέσμων του δικτύου θα μπορούσαν να εξεταστούν:

Οι σύνδεσμοι και οι ροές μεταξύ συγκεκριμένων κόμβων.Οι σύνδεσμοι και οι ροές μεταξύ συγκεκριμένων κόμβων. Οι κόμβοι σε σχέση με τις λειτουργίες τους και την Οι κόμβοι σε σχέση με τις λειτουργίες τους και την

προσιτότητά τους προσιτότητά τους (accessibility) (accessibility) με το υπόλοιπο δίκτυο.με το υπόλοιπο δίκτυο. Στη δεύτερη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στη χωρική Στη δεύτερη περίπτωση το ενδιαφέρον εστιάζεται στη χωρική

επικυριαρχία και τον ανταγωνισμό μεταξύ των κόμβων. Στην επικυριαρχία και τον ανταγωνισμό μεταξύ των κόμβων. Στην περίπτωση αυτή οι αλλαγές αντανακλώνται στις αλλαγές της περίπτωση αυτή οι αλλαγές αντανακλώνται στις αλλαγές της προσιτότητας των κόμβων.προσιτότητας των κόμβων.

ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ: ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ: ΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΠΙΝΑΚΑΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΩΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Κάθε δίκτυο ή η αφαιρετική μορφή του, που είναι το γράφημα, Κάθε δίκτυο ή η αφαιρετική μορφή του, που είναι το γράφημα, μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή ενός πίνακα. μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή ενός πίνακα.

Σε ένα τέτοιο πίνακα, παραδοσιακά, οι οριζόντιες σειρές ορίζονται Σε ένα τέτοιο πίνακα, παραδοσιακά, οι οριζόντιες σειρές ορίζονται ως το σύνολο των κόμβων αποστολής ως το σύνολο των κόμβων αποστολής (ή αρχής)(ή αρχής) και οι κάθετες και οι κάθετες στήλες ως το σύνολο των κόμβων προορισμού στήλες ως το σύνολο των κόμβων προορισμού (ή τέλους(ή τέλους. .

Κάθε φατνίο του πίνακα εκφράζει κάποια σχέση ανάμεσα στο Κάθε φατνίο του πίνακα εκφράζει κάποια σχέση ανάμεσα στο αντίστοιχο ζεύγος των κόμβων.αντίστοιχο ζεύγος των κόμβων.

Ανάλογα με το είδος της πληροφορίας που αποτυπώνεται σε κάθε Ανάλογα με το είδος της πληροφορίας που αποτυπώνεται σε κάθε φατνίο τους, οι πίνακες μπορούν να αντιπροσωπεύουν τη δομή ενός φατνίο τους, οι πίνακες μπορούν να αντιπροσωπεύουν τη δομή ενός δικτύου ή τις ροές σε ένα δίκτυο.δικτύου ή τις ροές σε ένα δίκτυο.


Κ1

Κ2

Κ3

Κ4

Κ5

Κ6


Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ

1 0 1 0 0 0 0 1

2 1 0 1 0 0 0 2

3 0 1 0 1 1 0 3

4 0 0 1 0 0 0 1

5 0 0 1 0 0 1 2

6 0 0 0 0 1 0 1

Πίνακας Συνδετικότητας CΠίνακας Συνδετικότητας C

(αποτυπώνεται η παρουσία ή η απουσία σύνδεσης)(αποτυπώνεται η παρουσία ή η απουσία σύνδεσης)

ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ ΚΟΜΒΩΝΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑ ΚΟΜΒΩΝ

Η πιο απλή μέτρηση της προσιτότητας μπορεί να εξαχθεί από τον πίνακα Η πιο απλή μέτρηση της προσιτότητας μπορεί να εξαχθεί από τον πίνακα συνδετικότητας.συνδετικότητας.

Το άθροισμα των επιμέρους σειρών δημιουργεί μια στήλη, που αντιπροσωπεύει Το άθροισμα των επιμέρους σειρών δημιουργεί μια στήλη, που αντιπροσωπεύει το συνολικό αριθμό συνδέσεων από έναν συγκεκριμένο κόμβο προς όλους τους το συνολικό αριθμό συνδέσεων από έναν συγκεκριμένο κόμβο προς όλους τους υπόλοιπους κόμβους του δικτύου και ορίζεται ως ουπόλοιπους κόμβους του δικτύου και ορίζεται ως ο βαθμός του κόμβουβαθμός του κόμβου..

Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή για έναν συγκεκριμένο κόμβο τόσο μεγαλύτερη Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή για έναν συγκεκριμένο κόμβο τόσο μεγαλύτερη είναι και η προσιτότητά του προς τους υπόλοιπους κόμβους.είναι και η προσιτότητά του προς τους υπόλοιπους κόμβους.

Ο βαθμός ενός κόμβου, όμως, έχει μεγάλους περιορισμούς ως έκφραση της Ο βαθμός ενός κόμβου, όμως, έχει μεγάλους περιορισμούς ως έκφραση της προσιτότητας.προσιτότητας.

Απαιτείται μια έκφραση της προσιτότητας που να λαμβάνει υπόψη τις άμεσες και Απαιτείται μια έκφραση της προσιτότητας που να λαμβάνει υπόψη τις άμεσες και τις έμμεσες συνδέσεις των κόμβων ενός δικτύου.τις έμμεσες συνδέσεις των κόμβων ενός δικτύου.

ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Ο αριθμός των έμμεσων συνδέσεων ή των διαδρομών μεταξύ ζευγών κόμβων μπορεί να Ο αριθμός των έμμεσων συνδέσεων ή των διαδρομών μεταξύ ζευγών κόμβων μπορεί να

καθοριστεί μέσα από πολλαπλασιασμούς του πίνακα συνδετικότητας.καθοριστεί μέσα από πολλαπλασιασμούς του πίνακα συνδετικότητας. Γενικά, κατά τον πολλαπλασιασμό του Γενικά, κατά τον πολλαπλασιασμό του CC με τον εαυτό του, που δίνει τον πίνακα με τον εαυτό του, που δίνει τον πίνακα CC22, ,

καταγράφεται για κάθε φατνίο η τιμή:καταγράφεται για κάθε φατνίο η τιμή:

η οποία δηλώνει τη μοναδική έμμεση σύνδεση ή τη μοναδική διαδρομή με δύο συνδέσμους η οποία δηλώνει τη μοναδική έμμεση σύνδεση ή τη μοναδική διαδρομή με δύο συνδέσμους

από τον κόμβο από τον κόμβο ii στον κόμβο στον κόμβο jj μέσω του κόμβου μέσω του κόμβου κκ..

Επομένως, στον πίνακα Επομένως, στον πίνακα CC22 τα μη μηδενικά στοιχεία του απεικονίζουν την ύπαρξη των τα μη μηδενικά στοιχεία του απεικονίζουν την ύπαρξη των μοναδικών έμμεσων συνδέσεων με δύο συνδέσμους.μοναδικών έμμεσων συνδέσεων με δύο συνδέσμους.

Το άθροισμα των σειρών στον πίνακα Το άθροισμα των σειρών στον πίνακα CC22 εκφράζει τον αριθμό των διαφορετικών διαδρομών εκφράζει τον αριθμό των διαφορετικών διαδρομών με ακριβώς δύο συνδέσμους.με ακριβώς δύο συνδέσμους.

n

1κκjκi

2ij ccc

ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

C C =

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ

1 1 0 1 0 0 0 2

2 0 2 0 1 1 0 4

3 1 0 3 0 0 1 5

4 0 1 0 1 1 0 3

5 0 1 0 1 2 0 4

6 0 0 1 0 0 1 2

Πίνακας Συνδετικότητας CΠίνακας Συνδετικότητας C22

ΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑΕΜΜΕΣΗ ΣΥΝΔΕΤΙΚΟΤΗΤΑ

Πίνακας Συνδετικότητας CΠίνακας Συνδετικότητας C33

C C2 =

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ

1 0 2 0 1 1 0 4

2 2 0 4 0 0 1 7

3 0 4 0 3 4 0 11

4 1 0 3 0 0 1 5

5 1 0 4 0 0 1 7

6 0 1 0 1 2 0 4

Πίνακας συνδετικότητας Πίνακας συνδετικότητας nn βαθμού ορίζεται ο βαθμού ορίζεται ο CCnn όπου όπου είναι η διαδρομή με είναι η διαδρομή με nn συνδέσεις μεταξύ συνδέσεις μεταξύ ii και και jj, και , και nn διαμέτρου του δικτύου.διαμέτρου του δικτύου.

nijc

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ «Τ»ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΙΤΟΤΗΤΑΣ «Τ»

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ

1 3 3 5 1 1 1 14

2 3 8 5 5 6 1 28

3 5 5 14 4 5 5 38

4 1 5 4 4 5 1 20

5 1 6 5 5 8 3 28

6 1 1 5 1 3 3 14

Σ = 142

4

1n

nc


Ο πίνακας Ο πίνακας ΤΤ αναφέρεται συνήθως ως η επιφάνεια προσιτότητας αναφέρεται συνήθως ως η επιφάνεια προσιτότητας του δικτύου, διότι αξιολογεί την προσιτότητα τόσο των κόμβων του δικτύου, διότι αξιολογεί την προσιτότητα τόσο των κόμβων όσο και του δικτύου:όσο και του δικτύου:

Τα στοιχεία κάθε σειράς του πίνακα παρουσιάζουν την προσιτότητα Τα στοιχεία κάθε σειράς του πίνακα παρουσιάζουν την προσιτότητα ενός κόμβου προς τους άλλους κόμβους του δικτύου.ενός κόμβου προς τους άλλους κόμβους του δικτύου.

Το άθροισμα των σειρών του πίνακα δίνειΤο άθροισμα των σειρών του πίνακα δίνει ένα διάνυσμα τιμών που ένα διάνυσμα τιμών που τα στοιχεία του αντιπροσωπεύουν την προσιτότητα ενός κόμβου στο τα στοιχεία του αντιπροσωπεύουν την προσιτότητα ενός κόμβου στο δίκτυο.δίκτυο.

Το συνολικό άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών εκφράζει το Το συνολικό άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών εκφράζει το επίπεδο προσιτότητας ολόκληρου του δικτύου.επίπεδο προσιτότητας ολόκληρου του δικτύου.


Συγκρίνοντας τα στοιχεία μιας σειράς του πίνακα Συγκρίνοντας τα στοιχεία μιας σειράς του πίνακα ΤΤ, μπορούμε να , μπορούμε να αξιολογήσουμε την προσιτότητα ενός κόμβου σε σχέση με τους άλλους αξιολογήσουμε την προσιτότητα ενός κόμβου σε σχέση με τους άλλους κόμβους (όσο μεγαλύτερο είναι το άθροισμα αυτό τόσο μεγαλύτερη είναι η κόμβους (όσο μεγαλύτερο είναι το άθροισμα αυτό τόσο μεγαλύτερη είναι η προσιτότητα των κόμβων). προσιτότητα των κόμβων).

Συγκρίνοντας το άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών μεταξύ των πινάκων Συγκρίνοντας το άθροισμα των αθροισμάτων των σειρών μεταξύ των πινάκων προσιτότητας διαφόρων δικτύων, αξιολογούμε το επίπεδο προσιτότητάς τους προσιτότητας διαφόρων δικτύων, αξιολογούμε το επίπεδο προσιτότητάς τους (όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του αθροίσματος αυτού, τόσο περισσότερες (όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του αθροίσματος αυτού, τόσο περισσότερες εναλλακτικές διαδρομές υπάρχουν στο σύστημα και τόσο καλύτερα συνδέονται εναλλακτικές διαδρομές υπάρχουν στο σύστημα και τόσο καλύτερα συνδέονται οι κόμβοι του δικτύου).οι κόμβοι του δικτύου).

Ο πίνακας προσιτότητας, όπως και όλοι οι πίνακες με εξαίρεση τον Ο πίνακας προσιτότητας, όπως και όλοι οι πίνακες με εξαίρεση τον CC, , παρουσιάζει το πρόβλημα των πλεονασμών, αφού καταγράφουν διαδρομές που παρουσιάζει το πρόβλημα των πλεονασμών, αφού καταγράφουν διαδρομές που περνούν από έναν κόμβο περισσότερες από μιας φορές.περνούν από έναν κόμβο περισσότερες από μιας φορές.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ

Ένα βασικό πρόβλημα στον υπολογισμό της προσιτότητας Ένα βασικό πρόβλημα στον υπολογισμό της προσιτότητας ενός κόμβου μέσω του πίνακα προσιτότητας είναι ότι οι ενός κόμβου μέσω του πίνακα προσιτότητας είναι ότι οι σύνδεσμοι μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων, ανεξάρτητα από το σύνδεσμοι μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων, ανεξάρτητα από το πόσο έμμεσοι είναι, θεωρούνται ότι όλοι έχουν την ίδια πόσο έμμεσοι είναι, θεωρούνται ότι όλοι έχουν την ίδια σπουδαιότητα. Ο Garrison πρότεινε τη χρήση ενός θετικού σπουδαιότητα. Ο Garrison πρότεινε τη χρήση ενός θετικού αριθμού στη διαδικασία πολλαπλασιασμού:αριθμού στη διαδικασία πολλαπλασιασμού:

T = αC + αT = αC + α22CC22 + α + α33CC33 + … + α + … + αnnCCnn

όπου:όπου: αα = θετικός αριθμός που παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1 = θετικός αριθμός που παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1

(0<α<1) και εκφράζει τη σπουδαιότητα των (0<α<1) και εκφράζει τη σπουδαιότητα των

έμμεσων συνδέσμων έμμεσων συνδέσμων


Ο Shimbel πρότεινε η προσιτότητα να υπολογίζεται από τον πίνακα Ο Shimbel πρότεινε η προσιτότητα να υπολογίζεται από τον πίνακα DD, , τα στοιχεία του οποίου δηλώνουν την τοπολογική απόσταση της τα στοιχεία του οποίου δηλώνουν την τοπολογική απόσταση της συντομότερης διαδρομής για κάθε ζευγάρι κόμβων του δικτύου.συντομότερης διαδρομής για κάθε ζευγάρι κόμβων του δικτύου.

Ο υπολογισμός του πίνακα Ο υπολογισμός του πίνακα DD έχει ως εξής: έχει ως εξής: OO πίνακας συνδετικότητας πίνακας συνδετικότητας CC υψώνεται στις διαδοχικές δυνάμεις υψώνεται στις διαδοχικές δυνάμεις

2, 3, … , n 2, 3, … , n (όπου n=διάμετρος του δικτύου).(όπου n=διάμετρος του δικτύου). Σε κάθε βήμα ο πίνακας που προκύπτειΣε κάθε βήμα ο πίνακας που προκύπτει ,, εξετάζεται για την εξετάζεται για την

ανεύρεση νέων μη μηδενικών στοιχείων.ανεύρεση νέων μη μηδενικών στοιχείων. Τα μη μηδενικά αυτά στοιχεία δημιουργούν τα αντίστοιχα Τα μη μηδενικά αυτά στοιχεία δημιουργούν τα αντίστοιχα

στοιχεία του πίνακα στοιχεία του πίνακα DD με τιμή ίση με τη δύναμη που έχει υψωθεί με τιμή ίση με τη δύναμη που έχει υψωθεί ο πίνακας ο πίνακας CC..

Η διαδικασία σταματά όταν δεν εμφανίζονται νέα μη μηδενικά Η διαδικασία σταματά όταν δεν εμφανίζονται νέα μη μηδενικά στοιχεία, εκτός βέβαια από τα στοιχεία των διαγωνίων.στοιχεία, εκτός βέβαια από τα στοιχεία των διαγωνίων.


Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 1 0 0 0 0

2 1 0 1 0 0 0

3 0 1 0 1 1 0

4 0 0 1 0 0 0

5 0 0 1 0 0 1

6 0 0 0 0 1 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 1 0 1 0 0 0

2 0 2 0 1 1 0

3 1 0 3 0 0 1

4 0 1 0 1 1 0

5 0 1 0 1 2 0

6 0 0 1 0 0 1

C =

C2 =

D =

D2 =

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 1 - - - -

2 1 0 1 - - -

3 - 1 0 1 1 -

4 - - 1 0 - -

5 - - 1 - 0 1

6 - - - - 1 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 - - -

2 1 0 1 2 2 -

3 2 1 0 1 1 2

4 - 2 1 0 2 -

5 - 2 1 2 0 1

6 - - 2 - 1 0


Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 3 - 1 0 2 0 1 1 0

2 1 0 1 2 2 3 2 2 0 4 0 0 1

3 2 1 0 1 1 2 3 0 4 0 3 4 0

4 3 2 1 0 2 3 4 1 0 3 0 0 1

5 3 2 1 2 0 1 5 1 0 4 0 0 2

6 - 3 2 3 1 0 6 0 1 0 1 2 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 3 4 13 1 2 0 4 0 0 1

2 1 0 1 2 2 3 9 2 0 6 0 4 5 0

3 2 1 0 1 1 2 7 3 4 0 11 0 0 4

4 3 2 1 0 2 3 11 4 0 4 0 3 4 0

5 3 2 1 2 0 1 9 5 0 5 0 4 6 0

6 4 3 2 3 1 0 13 6 1 0 4 0 0 2

C4 = D4

=

C3 = D3

=

ΑΞΙΟΛΟΓΗΜΕΝΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑΑΞΙΟΛΟΓΗΜΕΝΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Προσδιορίζοντας την προσιτότητα των κόμβων δικτύου με τον πίνακα της Προσδιορίζοντας την προσιτότητα των κόμβων δικτύου με τον πίνακα της συντομότερης απόστασης, η απόσταση μετριέται τοπολογικά.συντομότερης απόστασης, η απόσταση μετριέται τοπολογικά.

ΌλοιΌλοι οι σύνδεσμοι θεωρούνται ότι έχουν ίση αξία. οι σύνδεσμοι θεωρούνται ότι έχουν ίση αξία.

Όταν υπάρχουν επιπρόσθετες πληροφορίες, που ορίζουν την απόσταση με Όταν υπάρχουν επιπρόσθετες πληροφορίες, που ορίζουν την απόσταση με πιο ρεαλιστικό τρόπο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον πιο ρεαλιστικό τρόπο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τον προσδιορισμό της προσιτότητας των κόμβων ενός δικτύου.προσδιορισμό της προσιτότητας των κόμβων ενός δικτύου.

Στην περίπτωση αυτή το δίκτυο εκφράζεται μέσα από ένα γράφημα, που Στην περίπτωση αυτή το δίκτυο εκφράζεται μέσα από ένα γράφημα, που λόγω της βαρύτητας που αποδίδεται σε κάθε σύνδεσμο, ονομάζεται λόγω της βαρύτητας που αποδίδεται σε κάθε σύνδεσμο, ονομάζεται αξιολογημένο γράφημα.αξιολογημένο γράφημα.

Το γράφημα με τη σειρά του αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα, όπου οι Το γράφημα με τη σειρά του αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα, όπου οι τιμές κάθε φατνίου εκφράζουν μετρήσεις της απόστασης τιμές κάθε φατνίου εκφράζουν μετρήσεις της απόστασης (με οποιονδήποτε (με οποιονδήποτε τρόπο κι αν ορίζεται)τρόπο κι αν ορίζεται) μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων. μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων.


Γράφημα Αξιολογημένου ΔικτύουΓράφημα Αξιολογημένου Δικτύου


Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 10 2 10 0 20 3 20 0 10 30 4 10 0 5 30 0 5

6 5 0

L =

Πίνακας Αξιολογημένου ΔικτύουΠίνακας Αξιολογημένου Δικτύου

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ

Η διαδικασία αυτή αποσκοπεί στην εύρεση της συντομότερης απόστασης, η Η διαδικασία αυτή αποσκοπεί στην εύρεση της συντομότερης απόστασης, η οποία μετράται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο μεταξύ των κόμβων ενός οποία μετράται με κάποιο συγκεκριμένο τρόπο μεταξύ των κόμβων ενός δικτύου.δικτύου.

Η διαδικασία είναι σχετικά απλή και αναφέρεται στην ύψωση του Η διαδικασία είναι σχετικά απλή και αναφέρεται στην ύψωση του αξιολογημένου πίνακα διαδοχικά σε μεγαλύτερες δυνάμεις. αξιολογημένου πίνακα διαδοχικά σε μεγαλύτερες δυνάμεις.

Η διαδικασία είναι παρόμοια με αυτήν της εύρεσης του πίνακα Η διαδικασία είναι παρόμοια με αυτήν της εύρεσης του πίνακα DDnn, διαφέρει σε , διαφέρει σε δύο σημεία:δύο σημεία: Αντί του πολλαπλασιασμού των στοιχείων της σειράς με αντίστοιχα στοιχεία της Αντί του πολλαπλασιασμού των στοιχείων της σειράς με αντίστοιχα στοιχεία της

στήλης, χρησιμοποιεί στοιχείο της σειράς με στοιχείο της στήλης προσθετικάστήλης, χρησιμοποιεί στοιχείο της σειράς με στοιχείο της στήλης προσθετικά Αντί για την εύρεση του αθροίσματος των αποτελεσμάτων, το ενδιαφέρον Αντί για την εύρεση του αθροίσματος των αποτελεσμάτων, το ενδιαφέρον

εστιάζεται στην ελάχιστη τιμή που αποτελεί και την τιμή του φατνίου εστιάζεται στην ελάχιστη τιμή που αποτελεί και την τιμή του φατνίου ii, , jj του νέου του νέου πίνακα. πίνακα.


Η τιμή του φατνίου Η τιμή του φατνίου ii, , jj στο νέο πίνακα δεν είναι το άθροισμα των στο νέο πίνακα δεν είναι το άθροισμα των γινομένων των συνδέσμων από τον κόμβο αρχής γινομένων των συνδέσμων από τον κόμβο αρχής ii προς όλους τους προς όλους τους ενδιάμεσους κόμβους ενδιάμεσους κόμβους κκ, και από κάθε ενδιάμεσο κόμβο στον κόμβο , και από κάθε ενδιάμεσο κόμβο στον κόμβο προορισμού προορισμού jj::

αλλά είναι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος αυτών των διαδρομών αλλά είναι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος αυτών των διαδρομών δύο συνδέσμων από τον κόμβο αρχής δύο συνδέσμων από τον κόμβο αρχής ii στον κόμβο στον κόμβο κκ και από εκεί και από εκεί στον κόμβο προορισμού στον κόμβο προορισμού jj. Δηλαδή:. Δηλαδή:

n

iκ κjκ 1

c c

n

iκ κj iκ jκκ 1

c c min c c


Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 10 30

2 10 0 20 30 50

3 30 20 0 10 30 35

4 30 10 0 40

5 50 30 40 0 5

6 35 5 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 10 30 40 60

2 10 0 20 30 50 55

3 30 20 0 10 30 35

4 40 30 10 0 40 45

5 60 50 30 40 0 5

6 55 35 40 5 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Σ

1 0 10 30 40 60 65 205

2 10 0 20 30 50 55 165

3 30 20 0 10 30 35 125

4 40 30 10 0 40 45 165

5 60 50 30 40 0 5 185

6 65 55 35 45 5 0 205

L·L=L2

L·L3=L4

L·L2=L3

Προσιτότητα Προσιτότητα Αξιολογημένου Αξιολογημένου

ΠίνακαΠίνακα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗΤΑΞΙΔΕΥΟΝΤΑ ΠΩΛΗΤΗ

Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος που αντιμετωπίζει ένας «πωλητής», όταν πρέπει να προβλήματος που αντιμετωπίζει ένας «πωλητής», όταν πρέπει να μετακινηθεί από μια συγκεκριμένη αφετηρία σε μια σειρά από άλλα μετακινηθεί από μια συγκεκριμένη αφετηρία σε μια σειρά από άλλα σημεία των οποίων η θέση είναι γνωστή. σημεία των οποίων η θέση είναι γνωστή.

Το πρόβλημα αφορά ένα δίκτυο, με συγκεκριμένο αριθμό κόμβων και Το πρόβλημα αφορά ένα δίκτυο, με συγκεκριμένο αριθμό κόμβων και συνδέσμων, καθώς και το κόστος μετακίνησης που μπορεί να μετρηθεί με συνδέσμων, καθώς και το κόστος μετακίνησης που μπορεί να μετρηθεί με διαφορετικούς τρόπους διαφορετικούς τρόπους (χρόνος, απόσταση, χρήμα κ.λπ) (χρόνος, απόσταση, χρήμα κ.λπ) μεταξύ κάθε μεταξύ κάθε ζεύγους κόμβων.ζεύγους κόμβων.

Ο αντικειμενικός στόχος είναι να βρεθεί ηΟ αντικειμενικός στόχος είναι να βρεθεί η διαδρομή που ελαχιστοποιεί το διαδρομή που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος μετακίνησης.συνολικό κόστος μετακίνησης.


Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος του ταξιδεύοντα πωλητή ολοκληρώνεται Η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος του ταξιδεύοντα πωλητή ολοκληρώνεται μέσα από μια σειρά επαναλαμβανόμενων βημάτων που καθένα περιέχει τέσσερις μέσα από μια σειρά επαναλαμβανόμενων βημάτων που καθένα περιέχει τέσσερις συγκεκριμένες διαδικασίες:συγκεκριμένες διαδικασίες: Διαδικασία σειρών:Διαδικασία σειρών: είναι η αναγνώριση του ελάχιστου κόστους για κάθε σειρά και είναι η αναγνώριση του ελάχιστου κόστους για κάθε σειρά και

κατόπιν η αφαίρεση της ελάχιστης τιμής από την τιμή κάθε φατνίου της σειράς.κατόπιν η αφαίρεση της ελάχιστης τιμής από την τιμή κάθε φατνίου της σειράς. Διαδικασία στηλών:Διαδικασία στηλών: αποσκοπεί στην ύπαρξη τουλάχιστον ενός φατνίου με τιμή αποσκοπεί στην ύπαρξη τουλάχιστον ενός φατνίου με τιμή

μηδέν σε κάθε στήλη και δημιουργείται ο πίνακας κόστους μηδέν σε κάθε στήλη και δημιουργείται ο πίνακας κόστους ΓΓ.. Καθορισμός κριτικής:Καθορισμός κριτικής: για κάθε φατνίο με τιμή μηδέν, η κριτική τιμή είναι το για κάθε φατνίο με τιμή μηδέν, η κριτική τιμή είναι το

άθροισμα δύο τιμών που αναφέρονται στη σειρά και στη στήλη τους στον πίνακα άθροισμα δύο τιμών που αναφέρονται στη σειρά και στη στήλη τους στον πίνακα Γ Γ Αναγνώριση συνδέσμου και αναθεώρηση του πίνακα κόστους:Αναγνώριση συνδέσμου και αναθεώρηση του πίνακα κόστους: αφορά στην αφορά στην

επιλογή του συνδέσμου με βάση την κριτική τιμή.επιλογή του συνδέσμου με βάση την κριτική τιμή.



Κόμβοι 1 2 3 4 5 6 Μin

1 10 35 10

2 10 20 30 35 40 10

3 20 10 30 10

4 35 30 10 10

5 35 30 5 5

6 40 5 5

Πίνακας Κόστους 1ΑΠίνακας Κόστους 1Α

ΒΗΜΑ 1ΒΗΜΑ 1

Πίνακας Κόστους 1Β και Πίνακας Κόστους 1Β και Τελικού Κόστους 1ΓΤελικού Κόστους 1Γ

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0 25

2 0 10 20 25 30

3 10 0 20

4 25 20 0

5 30 25 0

6 35 0

Min 0 0 0 0 0 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5 6

1 0(35) 25

2 0(35) 10 20 25 30

3 10 0(35) 20

4 25 20 0(25)

5 30 25 0(55)

6 35 0(55)

Κόμβοι 1 2 3 4 5 Min

1 0 25 0

2 0 10 20 25 0

3 10 0 20 0

4 25 20 0 0

5 35 35

6 0 25 0

Πίνακας Κόστους 2ΑΠίνακας Κόστους 2Α

Πίνακας Κριτικών ΤιμώνΠίνακας Κριτικών Τιμών


Πίνακας Κόστους 2Β Πίνακας Κόστους 2Β

Πίνακας Κριτικών Τιμών 2Πίνακας Κριτικών Τιμών 2

Πίνακας Τελικού Κόστους 2ΓΠίνακας Τελικού Κόστους 2Γ

Κόμβοι 1 2 3 4 5

1 0 25

2 0 10 20 25

3 10 0 20

4 25 20 0

6 0 0

Min 0 0 0 0 20

Κόμβοι 1 2 3 4 5

1 0 25

2 0 10 20 5

3 10 0 0

4 25 20 0

6 0

Κόμβοι 1 2 3 4 5

1 0(15) 25

2 0(30) 10 20 5

3 10 0(15) 0(5)

4 25 20 0(25)

6 0


Κόμβοι 2 3 4 5 Min

1 25 25

3 0 0 0

4 15 0 0

6

Πίνακας Κόστους 3Α Πίνακας Κόστους 3Α

Πίνακας Τελικού Κόστους 3Γ και Κριτικών Τιμών 3Πίνακας Τελικού Κόστους 3Γ και Κριτικών Τιμών 3

Κόμβοι 2 3 4 5

1 0()

3 0(0) 0(0)

4 15 0(15)

6 0(15) 0(0) 0(0) 0(0)


Κόμβοι 2 3 5

3 - - 0()

4 15 0(15) -

6 0(15) 0(0) 0(0)


Κόμβοι 2 3

4 15 0(15)

6 0(15) 0(0)



Documents

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΗΜΕΙΩΝ