ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο

7. ΕΚΤΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (EXTENSIONAL FLOWS) Ο απλούστερος ορισµός µιας εκτατικής ροής είναι η ροή που περιλαµβάνει

τάνυση/τέντωµα (stretching) κατά µήκος των ροικών γραµµών (streamlines). Για

παράδειγµα, εάν x1 είναι η πρωτεύουσα/κύρια κατεύθυνση τάνυσης (principal stretching

direction), τότε δύο σωµατίδια του ρευστού στην ίδια ροϊκή γραµµή αποµακρύνονται όλο

και περισσότερο όσο η παραµόρφωση συνεχίζεται. Βλέπε Σχήµα 7.1.

Σχήµα 7.1. Αποµάκρυνση των σωµατιδίων ρευστού σε απλή εκτατική ροή (simple extension)

Σε αντίθεση µε την απλή τάνυση, τέτοια αποµάκρυνση δεν συµβαίνει σε απλή διάτµηση

(βλέπε Σχήµα 7.2).

Σχήµα 7.2. Μετατόπιση δύο σωµατιδίων σε απλή διάτµηση.

Σε απλή διάτµηση, τάνυση (stretching) µπορεί να συµβεί µόνο για σωµατίδια που δεν

βρίσκονται στην ίδια ροϊκή γραµµή. Βλέπε Σχήµα 7.3.

Figure 7.3. Τάνυση δύο σωµατιδίων που βρίσκονται σε διαφορετικές ροϊκές γραµµές.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 2

Για απλή διάτµηση στην κατεύθυνση x1, τα στοιχεία του τανυστή ρυθµού

παραµόρφωσης είναι:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000000

γγ

γ &

&

&ij (7.1)

Υποσηµαίνεται ότι τα διαγώνια στοιχεία είναι όλα µηδενικά. Οµως έαν το σύστηµα

συντεταγµένων περιστραφεί, διαγώνια στοιχεία µπορούν να εµφανισθούν. Για εκτατικές

ροές (shear-free flow) στην κατεύθυνση x1, ο τανυστής ρυθµού παραµόρφωσης έχει την

εξής γενική µορφή:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

00

0000

α

αα

γ ij& (7.2)

όπου 1α , 2α , και 3α έχουν µονάδες αντιστροφου χρόνου και 0321 =++ ααα για

ασυµπίεστο υλικό. Υποσηµαίνουµε ότι δεν υπάρχουν µη-διαγώνια στοιχεία του τανυστή

σε τέτοιες ροές.

Η εκτατική ροή που έχει χρησιµοποιηθεί πιο πολύ στη ρεολογία είναι η

µονοαξονική τάνυση ή µονοαξονικός εφελκυσµός (uniaxial extension), η οποία είναι µία

αξονοσυµµετρική ροή (axisymmetric flow) µε την τάνυση στην κατεύθυνση του άξονα

συµµετρίας. Αυτή η ροή απεικονίζεται στο Σχήµα 7.4.

Figure 7.4. Απλή µονοαξονική τάνυση (uniaxial extension)

Υπάρχει µία άλλη αξονοσυµµετρική εκτατική ροή (axisymmetric extensional flow) η

οποία είναι γνωστή σαν διαξονική εκτατική ροή ή διαξονική ροή εφελκυσµού (biaxial

extension). Βλέπε Σχήµα 7.5. Εδώ υπάρχει συµπίεση στην κατεύθυνση του άξονα

συµµετρίας και επέκταση στην ακτινική κατεύθυνση (radial direction).

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 3

Σχήµα 7.5. ∆ιαξονική τάνυση ή διαξονική εκτατική ροή ή διαξονικός εφελκυσµός (biaxial

extension).

Μία άλλη µη-αξονοσυµµετρική εκτατική ροή που χρησιµοποιείται στο εργαστήριο είναι

η επίπεδη τάνυση ή επίπεδη εκτατική ροή (planar extension). Βλέπε Σχήµα 7.6 για

επεξήγηση της ροής.

Σχήµα 7.6. Επίπεδη τάνυση ή εκτατική ροή (planar extension).

Η µοριακή προσαρµογή και οργάνωση (molecular conformation and organization) σε

τέτοιες ροές έχει ως ακολούθως. Σε απλή τάνυση, τα µόρια έχουν την τάση

ευθυγράµµισης στην κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας. Στη διαξονική τάνυση, η

ευθυγράµµιση είναι στην ακτινική κατεύθυνση. Οµως στην επίπεδη τάνυση, η

ευθυγράµµιση είναι στο x1-x3 επίπεδο, και σε κάποιο βαθµό στην κατεύθυνση x1.

Ενα σχετικά σηµαντικό φαινόµενο στις εκτατικές ροές είναι η ερώτηση της

εκτατικής πάχυνσης (strain hardening or extensional thickening). Η ιδέα βασίζεται στην

σύγκριση της τάσης στην εκκίνηση ροής µε αυτή που προβλέπεται από την θεωρία της

γραµµικής ιξωδοελαστικότητας. Εάν η τάση αυξηθεί πιο γρήγορα τότε η συνµπεριφορά

λέγεται ότι είναι εκτατική πάχυνση (strain hardening or extension thickening). Αυτό

επεξηγείται στο Σχήµα 7.7.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 4

Σχήµα 7.7. Η καµπύλη “1” δείχνει την ανταπόκριση (response) του υλικού που προβλέπεται από

την γραµµική ιξωδοελαστικότητα. Η καµπύλη “2” δείχνει συµπεριφορά εκτατικής πάχυνσης (“extension thickening”) και η καµπύλη “3” δείχνει συµπεριφορά εκτατικής λέπτυνσης (“extension thinning”).

Σχεδόν όλες οι διεργασίες πολυµερών περιλαµβάνουν εκτατικές ροές ή στοιχεία

εκτατικής ροής σε κάποιο βαθµό. Για παράδειγµα, συγκλίνουσα ροή (converging flow)

(επιτάχυνση - acceleration) ή αποκλίνουσα ροή (diverging) (επιβράδυνση - deceleration)

υποννοούν κάποιο βαθµό εκτατικής ροής. Οµως σε τέτοιες ροές η διάτµηση είναι η

επικρατέστερη/κυρίαρχη συνιστώσα της ροής. Οι διεργασίες melt spinning, film

stretching and casting, film blowing, blow molding περιλαµβάνουν ροές µε σηµαντικά

στοιχεία εκτατικής ροής. Η απαρχή ασταθειών σε τέτοιες ροές (συντονισµός

τραβήγµατος ή έλξης - draw resonance) πιστεύεται ότι εξαρτάται από τις εκτατικές

ρεολογικές ιδιότητες.

7.1. ΑΠΛΗ ΤΑΝΥΣΗ (SIMPLE EXTENSION)

Η κατανοµή ταχύτητας είναι:

33

22

11

2121

xv

xv

xv

ε

ε

ε

&

&

&

−=

−=

=

(7.3)

Επειδή η ροή είναι αξονοσυµµετρική, µπορεί να περιγραφεί ως:

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 5

rv

zv

r

z

ε

ε

&

&

21

−=

= (7.4)

όπου ε& είναι ο ρυθµός παραµόρφωσης Hencky (Hencky strain rate). Οι συνιστώσες του

τανυστή ρυθµού παραµόρφωσης είναι:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

ε

εε

γ&

&

&

&

00

00002

ij (7.5)

Σ΄ αυτή τη ροή οι κύριες τάσεις (principal stresses) για την εκτατική ροή είναι

στην ίδια κατεύθυνση µε αυτές του ρυθµού παραµόρφωσης (αυτό δεν είναι το ίδιο µε την

διάτµηση). Οι συνιστώσες του τανυστή τάσης είναι:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

33

22

11

00

0000

σ

σσ

σ ij (7.6)

Η τάση εφελκυσµού ορίζεται ως:

33112211 σσσσσ −=−=E (7.7)

Ετσι, σε ένα πείραµα εφελκυσµού µετράµε την τάση εφελκυσµού (tensile stress)

σαν συνάρτηση του χρόνου. Αυτή είναι η ροή που έχει χρησιµοποιειθεί κατά κόρον στη

µέτρηση των εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων των πολυµερών.

7.2. Συναρτήσεις υλικών σε απλή τάνυση (material functions for simple extension)

Κλιµακωτή παραµόρφωση σε τάνυση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον

καθορισµό του µη γραµµικού µέτρου χαλάρωσης (nonlinear relaxation modulus),

),( εtE . Μπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί για το καθορισµό της συνάρτησης απόσβεσης

(damping function), )(εh . Μπορεί να αποδειχθεί ότι:

)()(),(2

tGheetE εε

εεε −−

= (7.8)

Στη εκκίνηση ροής (περισσότερο συνηθισµένη), το δείγµα υποβάλλεται σε σταθερή απλή

τάνυση (steady simple extension). Ο συντελεστής ανάπτυξης της εφελκυστικής τάσης

ορίζεται ως:

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 6

εεσ

εη&

&&

),(),(

tt E

E ≡+ (7.9)

Σε µεγάλους χρόνους η σταθερή/µόνιµη τιµή της εφελκυστικής τάσης ορίζει το εκτατικό

ιξώδες ως:

)()],([lim εηεη && EEt

t =+

∞→

(7.10)

Στην γραµµική ιξωδοελαστικότητα, ο συντελεστής ανάπτυξης της εφελκυστικής τάσης

(the tensile stress growth coefficient) γίνεται ίσος µε τρείς φορές τον συντελστή

ανάπτυξης της διατµητικής τάσης (shear stress growth coefficient), και το εκτατικό

ιξώδες γίνεται ισο µε τρεις φορές το ιξωδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης. Ετσι,

∫=== +++

→

t

EE dssGttt00

)(3)(3)(,(lim ηηεηε

&&

(7.11)

Σε σταθερή απλή τάνυση (steady simple extension), εάν η ροή τερµατισθεί, αφού η τάση

πάρει την µόνιµη τιµή της, ο συντελεστής χαλάρωσης της εφελκυστικής τάσης (tensile

stress decay coefficient) µπορεί να ορισθεί ως:

εεσ

εη&

&&

),(),( tt EE ≡−

Αντίστοιχη µε την ενδοτικότητα εκτατικής έρπισης (tensile creep compliance) της

γραµµικής ιξωδοελαστικότητας είναι η µη-γραµµική ενδοτικότητα εκτατικής έρπισης

(nonlinear tensile creep compliance), ),( EtD σ ,

EE

ttDσεσ )(),( ≡ (7.12)

Σε αρκετά µεγάλους χρόνους όπου ο ρυθµός παραµόρφωσης γίνεται σταθερός, η εξής

σχέση ισχύει

)()(),(

EEESE

tDtDση

σσ += (7.13)

όπου SD είναι η µόνιµη εκτατική ενδοτικότητα.

Σε καποιο χρόνο, to, κατά την διάρκεια του πειράµατος εκκίνησης ροής ή

έρπισης, η τάση µπορεί να αποσυρθεί (eliminated) και σ΄αυτή την περίπτωση η

ανάκτηση παραµόρφωσης (recoil strain) ),( oor ttt −ε µετρείται σαν συνάρτηση του

χρόνου (t-to) που παρέρχεται από την στιγµή της απόσυρσης της τάσης. Η τελική

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 7

εκτατική ανάκτηση (ultimate tensile recoil) ή παραµόρφωση ανάκτησης (recoverable

strain) είναι ∞ε όπου:

[ ]),()( lim)(

oortt

o tttto

−=∞→−

∞ εε (7.14)

Αυτή η ποσότητα είναι επίσης συνάρτηση του ε& .

7.3. Πειραµατικοί µέθοδοι στην εκτατική ρεολογία (experimental methods for

extensional rheology)

7.3.1. Ακριβείς µέθοδοι (exact methods)

Η µέτρηση εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων είναι πολύ πιο δύσκολη από την

µέτρηση τςν αντίστοιχων ρεολογικών ιδιοτήτων σε διάτµηση (Dealy and Wissbrun,

1990). Ενα από τα πρώτα εκτατικά ρεόµετρα απεικονίζεται στο Σχήµα 7.8, όπου το

δείγµα αιωρείται µέσα σε λάδι (oil bath) για αντιστάθµιση της επίδρασης της βαρύτητας.

Σ΄αυτό το ρεόµετρο, ένα σταθερό φορτίο (δύναµη) ασκείται αλλά η εφελκυστική

τάση και η τάνυση κοντρολάρονται ηλεκτρονικά για να πάρουµε σταθερό ρυθµό

παραµόρφωσης.

Σχήµα 7.8: Το εκτατικό ρεόµετρο (extensional creep-meter) του Munstedt

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 8

Το Σχήµα 7.9 δείχνει ένα εκτατικό ρεόµετρο που παρακάµπτει την δυσκολία στο

ρεόµετρο του Munstedt όπου η µέγιστη παραµόρφωση που µπορεί να ασκηθεί στο υλικό

είιναι περιορισµένη λόγω του περιορισµένου µήκους του λουτρού του λαδιού (oil bath).

Σχήµα 7.9: Εκτατικό ρεόµετρο (extensional creep-meter) που αναπτύχθηκε από τον Meissner. Z1

και Z2 είναι περιστρεφόµενοι σφιγκτήρες (rotary clamps). Τα τόξα δείχνουν την θέση ψαλιδιών για µετρήσεος ελαστικής ανάκτησης.

Ενα άλλο ρεόµετρο που έχει χρησιµοποιειθεί πολύ είναι αυτό που φαίνεται στο Σχήµα

7.10 όπου το δείγµα στηρίζεται κάθετα µέσα σε µπάνιο λαδιού (oil bath).

Σχήµα 7.10: Το εκτατικό ρεόµετρο (Extensional creep-meter) που αναπτύχθηκε από τον

Munstedt

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 9

Ενα άλλο ρεόµετρο που αναπτύχθηκε πρόσφατα, εύκολο στην χρήση του που δίνει

αξιόπιστα αποτε΄λεσµατα είναι το εκατατικό ρεόµετρο SER rheometer. Ενα πλό σχήµα

αυτού του ρεοµέτρου απεικονίζεται στο Σχήµα 7.11.

Το SER αποτελείται από δύο κυλίνδρους οι οποίοι περιστρέφονται για την

τάνυση πολυµερικών δειγµάτων όπως φαίνεται στο Σχήµα 7.11. Ειναι σχεδιασµένο σαν

προσάρτηµε (fixture) για χρήση σε περιστροφικά ρεόµετρα του εµπορίου (commercial

rotational rheometers). Το SER µπορεί να φτάσει ρυθµούς τάνυσης (Hencky strain rates)

µέχρι 20s-1 κάτω από σταθερή θερµοκρασία µέχρι 250°C. Για πιο πολλές λεπτοµέρειες

βλέπε Sentamanat (2003).

Σχήµα 7-11: Το SER εκτατικό ρεόµετρο.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 10

Σχήµα 7-12: Πραγµατική εικόνα του εκτατικού ρεόµετρου SER, φορτωµένο µε ένα πραγµατικό δείγµα.

Το Σχήµα 7-12 είναι µία πραγµατική φωτογραφία του ρεοµέτρου SER

φορτωµένο µε ένα πραγµατικό δείγµα.

Τα Σχήµατα 7-13 και 7-14 δείχνουν τυπικές εκτατικές ρεολογικές µετρήσεις για

ένα LDPE και δύο διαφορετικά δείγµατα ζυµαριού αντίστοιχα µε το ρεόµετερο SER. Και

στις δύο περιπτώσεις, τα υλικά επιδεικνύουν σηµαντική εκτατική σκλήρυνση (strain

hardening).

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 11

Σχήµα 7.13: Ο συντελεστής ανάπτυξης εφελκυστικής τάσης ενός LLDPE (Lupolen 184OH).

Figure 7-14: Ο συντελεστής ανάπτυξης εφελκυστικής τάσης για διάφορους εκτατικούς ρυθµούς για δύο διαφορετικά δείγµατα ζυµαριών.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 12

7.3.2. Προσεγγιστικές µέθοδοι (approximate methods)

Ξέχωρα από τις µεθόδους που περιγράφηκαν πριν για την µέτρηση των εκτατικών

ρεολογικών ιδιοτήτων, υπάρχουν και προσεγγιστικές µέθοδοι. Οι τεχνικές αυτές

βασίζονται στην ανάλυση Cogswell που χρησιµοποιεί µετρήσεις διαφοράς πίεσης για

ροή υλικών σε απότοµα ή σταδιακά στενέµατα (sudden or gradual contraction) σε

ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα (capillary rheometer).

Σχήµα 7-15: Η αξονική µεταβολή πίεσης σε ένα ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα που

περιλαµβάνει την είσοδο και έξοδο του σωλήνα

Το Σχήµα 7-15 δείχνει την µεταβολή τηε αξονικής πίεσης σε ένα τριχοειδές

σωλήνα που περιλαµβάνει και την είσοδο και την έξοδο του. Μπορούµε να δούµε ότι η

ολική πτώση πίεσης (total pressure drop), ∆P, αποτελείται από δύο συνιστώσες

(components) και ότι µπορεί να γραφεί ως:

ExitEntCapEndCap P P + P P P = P ∆+∆∆=∆+∆∆ (7-15)

όπου ∆P είναι η ολική πτώση πίεσης από το ρεζερβουάρ (reservoir) µέχρι την έξοδο του

τριχοειδούς σωλήνα, ∆PCap είναι η πτώση πίεσης κατά µήκος του τριχοειδούς σωλήνα

όπου η ροή είναι πλήρως ανεπτυγµένη (fully developed), και ∆PEnd = ∆PEnt + ∆PExit είναι

Reservoir Capillary

z=0 z=L

Exit

EntP∆

ExitP∆

CapP∆

P∆

P

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 13

η πρόσθετη πτώση πίεσης λόγω της εισόδου και εξόδου του σωλήνα. Η πτώση πίεσης

εξόδου συνήθως είναι πολύ µικρή συγκρινόµενη µε την αντίστοιχη της εισόδου (abrupt

entrance) και ως εκ τούτου, µπορούµε να υποθέσουµε ότι ∆PEnd ≈ ∆PEnt

Σχήµα 7-16: Τυπικός τριχοειδής σωλήνας (orifice die) που χρησιµοποιείται για την µέτρηση πτώσης πίεσης στην είσοδο (entrance pressure).

Το Σχήµα 7-16 δείχνει ένα τυπικό σχέδιο για τριχοειδή σωλήνα (orifice die) που

χρησιµοποιείται στην µέτρηση ∆PEnd . Οι συνθήκες ροής είναι µικτές διάτµησης και

τάνυσης. Ο Cogswell (1972) έχει αναπτύξει µία µέθοδο για τον υπολογισµό εκτατικών

ρεολογικών ιδιοτήτων από µετρήσεις ∆PEnd. Ετσι, το εκτατικό ιξώδες των πολυµερών

µπορεί να υπολογισθεί από ∆Pend, χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις Cogswell (1972). Ο

µέσος ρυθµός τάνυσης, .ε , και το µέσο εκτατικό ιξώδες,

.)(εη E , σαν συναρτήσεις της

πτώσης πίεσης, ∆PEnd, του ιξώδους, ηS και του τοπικού εκθέτη (power-law exponent), n,

είναι:

d=0.762 mm

D=9.525 mm

LC φ

LC=(D-d)/[2tan(φ/2)]D/d=12.5

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 14

.2

22..2.

32

)()1(9)(,

)1(34

γη

εηγε

S

EndE

End

PnPn

∆+=

∆+= (7-16)

όπου ο τοπικός εκθέτης (power law exponent), n, υπολογίζεται από απεικόνιση της

διατµητικής τάσης σαν συνάρτηση του φαινοµενικού ρυθµού διάτµησης σε λογαριθµική

κλίµακα (shear stress vs. apparent shear rate log-log plot).

Πρέπει να τονισθεί ότι το εκτατικό µέρος της ροής είναι µεταβατικό (transient), και

πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε την ολική παραµόρφωση πριν αποκτήσουµε την

δυνατότητα για τον υπολογισµό του εκτατικού ιξώδους. Επίσης δεν είναι γνωστό εάν

πράγµατι υπάρχει µόνιµη εκτατική ροή (όπως πολλά µοντέλα προβλέπουν) ή εάν η

εκτατική ροή προσεγγίζει ποτέ µόνιµη κατάσταση (Padmanabhan and Macosco, 1997).

Αυτοί οι ερευνητές σύγκριναν πολλές µεθόδους και βρήκαν µεγάλες διαφορές, οπότε η

µέθοδος του Cogswell πρέπει να χρησιµοποιείται µε σκεπτικισµό.

Υπάρχουν και άλλες προσεγγιστικές µέθοδοι όπως αυτή του Binding (1988, 1991), η

οποία είναι µία καλύτερη παραλλαγή της µεθόδου Cogswell. Για παράδειγµα, οι Gotsis

και Odriozola (1998) έχουν δείξει ότι η µέθοδος Binding δίνει πολύ καλά αποτελέσµατα

για διακλαδωτά πολυµερή όπως το LDPE και PP, ειδικά σε πολύ µεγάλους ρυθµούς

παραµόρφωσης.

7.4. Πειραµατικές παρατηρήσεις (experimental observations)

Πολλές πειραµατικές µετρήσεις έχουν δηµοσιευθεί για το LDPE για την µελέτη

της επίδρασης των µεγάλων διακλαδώσεων (long chain branching) στις ρεολογικές

ιδιότητες.

Το Σχήµα 7-17 δείχνει πειραµατικές µετρήσεις για την ανάκτηση παραµόρφωσης

ή τάνυσης (recoverable strain), ),( εεε &∞ σε διαφορετικά στάδια πειραµάτων που

πραγµατιποιήθηκαν σε διαφορετικούς ρυθµούς τάνυσης. Για µεγάλους ρυθµούς όλη η

παραµόρφωση είναι πλήρως ανακτήσιµη µόνο σε µικρούς χρόνους, ακριβώς όπως στην

περιπτωση ελαστοµερών (crosslinked rubber), ενώ σε µεγάλους χρόνους η ανάκτηση

τάνυσης προσεγγίζει µία σταθερή τιµή. Σε µικρούς ρυθµούς, η συµπεριφορά είναι πιο

πολύ ιξώδης και έτσι η ανάκτηση είναι πιο κοντά στο µηδέν.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 15

Σχήµα 7.17: Τελική εκτατική ανάκτηση (ultimate extensional recoil) µετά από εκκίνηση τάνυσης

για LDPE σε διάφορους ρυθµούς τάνυσης.

Το Σχήµα 7-18 δείχνει την συνάρτηση ανάπτυξης εκτατικής τάσης σε εκκίνηση

(start-up tensile stress growth function) για ένα LDPE στούς 150oC για διάφορους

ρυθµούς παραµόρφωσης. Για πολύ µικρούς ρυθµούς, η συµπεριφορά προσεγγίζει αυτή

που προβλέπει η γραµµική ιξωδοελαστικότητα, που είναι ),(3 εη &tE+ . Η απόκλιση από

αυτή την συµπεριφορά δείχνει εκτατική πάχυνση (extension thickening) που είναι

χαρακτηριστικό µεγάλων διακλαδώσεων (long branches) στην µοριακή αρχιτεκτονική

(molecular architecture).

Από τα πειραµατικά δεδοµένα, δεν είναι δυνατόν να δούµε το κατά πόσον η τιµή

του ),( εη &tE+ έχει προσεγγίσει σταθερή τιµή (µόνιµη κατάσταση). Φαινοµενικά υπάρχει

µία ζώνη που µερικοί ερευνητές έχουν ερµηνεύσει σαν µόνιµη κατάσταση (tensile stress

is almost constant). Από αυτές τις τιµές το εκτατικό ιξώδες µπορεί να υπολογισθεί και να

απεικονισθεί σαν συνάρτηση του ρυθµού παραµόρφωσης. Αυτό γίνεται στο Σχήµα 7-19.

Η συµπεριφορά εκτατικής πάχυνσης (extensional thickening) γίνεται εµφανής

όταν το εκτατικό ιξώδες αυξάνει και γίνεται µεγαλύτερο από oη3 .Αυτή η συµπεριφορά

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 16

είναι διαφορετική απ΄ ότι στην περίπτωση γραµµικών πολυµερών. Στην περίπτωση των

περισσότερων γραµµικών πολυµερών η συµπεριφορά είναι εκτατική λέπτυνση

(extension thinning).

Σχήµα 7-18: Ανάπτυξη συνάρτησης εκτατικής τάσης (tensile stress growth function) για ένα

LDPE.

Σχήµα 7.19: Εκτατικό ιξώδες σαν συνάρτηση του ρυθµού παραµόρφωσης για ένα LDPE.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 17

7.5. ∆ΙΑΞΟΝΙΚΗ ΤΑΝΥΣΗ (BIAXIAL EXTENSION)

Η κινηµατική (κατανοµή ταχύτητας) µιας τέτοιας ροής είναι:

33

22

11

2 xvxvxv

B

B

B

εεε

&

&

&

−===

(7.17)

όπου Bε& είναι ο διαξονικός ρυθµός τάνυσης (biaxial strain rate) που είναι θετικός. Η

εξίσωση 7.17 µπορεί να αντιπροσωπευθεί σε κυλινδρικές συντεταγµένες ως:

zvrv

Bz

Br

εε

&

&

2−==

(7.18)

Η ρεολογική ανταπόκριση ενός υλικού που υπόκειται σε διαξονική εκτατική ροή

καταδεικνύεται από την εκτατική τάση, Bσ .

zzrrB σσσσσσσ −=−=−≡ 33223311 (7.19)

Ο συντελεστής ανάπτυξης της διαξονικής τάσης (biaxial stress growth coefficient) για

µία εκκίνηση διαξονικής ροής είναι:

B

BBB t

εσ

εη&

& ≡+ ),( (7.20)

και το διαξονικό εκτατικό ιξώδες (biaxial extensional viscosity) είναι:

)],([)( lim εηεη && tBt

BB+

∞→

= (7.21)

Στο όριο πολύ µικρών ρυθµών, η γραµµική ιξωδοελαστική συµπεριφορά παρατηρείται:

)(6)()],([lim0

ttt BBB

+++

→

== ηηεηε

&&

(7.22)

και

oBB

ηεηε

6)]([lim0

=+

→

&&

(7.23)

∆ιάφορες τεχνικές έχουν χρησιµοποιηθεί για την µέτρηση εκτατικών ρεολογικών

ιδιότήτων των πολυµερών σε αξονική τάνυση. Αυτές περιλαµβάνουν εµφύσηση φύλλου

πολυµερούς (sheet inflation), λιπαντισµένη ροή συµπίεσης (lubricated squeeze flow), ροή

απόκλισης (diverging pressure flow) και η χρήση περιστρεφόµενων σφιγκτήρων (rotary

clamps). Βλέπε Dealy και Wissbrun (1990) για πιο πολλές λεπτοµέρειες αυτών των

τεχνικών.

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 18

7.5. ΕΠΙΠΕ∆Η ΤΑΝΥΣΗ (ΡLANAR EXTENSION)

Η κινηµατική (kinematics) ή η κατανοµή ταχύτητας για µια τέτοια ροή είναι:

33

2

11

0xv

vxv

ε

ε

&

&

−===

(7.24)

όπου ε& είναι ο ρυθµός παραµόρφωσης Hencky στην κύρια κατεύθυνση της

παραµόρφωσης (principal strain direction). Ετσι, υπάρχει τάνυση στην διεύθυνση x1,

συµπίεση στην κατεύθυνση x3 και καµµία µετατόπιση στην κατεύθυνση x2. Αυτός ο

τύπος παραµόρφωσης µιµείται µερικώς τις διεργασίες film blowing και sheet extrusion.

Ο τανυστής του ρυθµού παραµόρφωσης έχει τις εξής συνιστώσες:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

ε

εγ

&

&

&

200

000002

ij (7.25)

Για ένα Νευτώνειο υγρό και γραµµική ιξωδοελαστική συµπεριφορά αυτό υποννοεί ότι

022 =τ . Αυτό όµως δεν ισχύει στην µη-γραµµική ιξωδοελαστικότητα όπου 022 >τ .

Αυτό σηµαίνει ότι για να παράγουµε επίπεδη τάνυση είναι απαραίτητο να ασκήσουµε

διαφορετικές εκτατικές τάσεις στις κατευθύνσεις x1 και x3. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν

τρεις διαφορές κάθετων τάσεων:

221122111 ττσσ −=−≡N (7.26a)

332233222 ττσσ −=−≡N (7.26b)

331133113 ττσσ −=−≡N (7.26c)

Προφανώς µόνο δύο από τις τρεις είναι ανεξάρτητες. Για εκκίνηση ροής, δύο

συναρτήσεις ανάπτυξης τάσεων µπορούν να ορισθούν ως:

εσσ

η&

33111

−≡+

p (7.27)

εσσ

η&

33222

−≡+

p (7.28)

Στο όριο µικρών ρυθµών παραµόρφωσης, γραµµική ιξωδοελαστικότητα παρατηρείται:

)(41 tp++ = ηη (7.29)

and

ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ – Κ07 19

)(22 tp++ = ηη (7.30)

Η αναπαραγωγή επίπεδης τάνυσης στο εργαστήριο και η µέτρηση σχετικών

συναρτήσεων είναι πολύ δύσκολη. Η τεχνική εµφύσησης υµένα (sheet inflation) και η

τεχνική λιπαντισµένης επίπεδης στάσιµης ροής (lubricated planar stagnation flow) έχουν

χρησιµοποιηθεί γι΄ αυτό το σκοπό. Βλέπε Dealy και Wissbrun (1990) για πιό πολλές

λεπτοµέρειες.

Βιβλιογραφικές αναφορές

Cogswell FN (1972) Measuring the Extensional Rheology of Polymer Melts. Trans Soc Rheol 16:383-403.

Laun HM, and Schuch H (1989) Transient Elongational Viscosities and Drawability of Polymer Melts. J Rheol 33:119-175.

Binding DM (1988) An Approximate Analysis for Contraction and Converging Flows. J Non-Newtonian Fluid Mech 27:173-189.

Binding DM (1991) Further Considerations of Axisymmetric Contraction Flows. J Non-Newtonian Fluid Mech 41:27-42.

Gotsis AD, Odriozola A (1998) The Relevance of Entry Flow Measurements for the Estimation of Extensional Viscosity of Polymer Melts. Rheol Acta 37:430-437.

Padmanabhan M, Macosco CW (1997) Extensional Viscosity from Entrance Pressure Drop Measurements. Rheol Acta 36:144-151.

Sentmanat M. L., “A novel device for characterizing polymer flows in uniaxial extension,” ANTEC ’03, Soc. Plastics Eng’rs, Tech. Papers, 49, CD-ROM, New York, (2003a).

Sentmanat M. L., “Dual windup extensional rheometer,” US Patent No. 6,578,413 (2003b).