บทท่ี 7ตัวแบบมารค์อฟ

(Markov Model)

ตัวแบบมารค์อฟ (Markov Model)

คือ ตัวแบบทางคณิตศาสตรท่ี์ใชใ้นการวเิคราะห์พฤติกรรมของตัวแปร เพื่อพยากรณ์

พฤติกรรมในอนาคตของตัวแปรนัน้

วธิกีารใชตั้วแบบมารค์อฟ ได้รบั

การพฒันาโดยนักคณิตศาสตร์

ชาวรสัเซยี ชื่อ อังเดร เอ มารค์อฟ

คณุสมบติัสำาคัญของปัญหาท่ีจะนำาตัวแบบมารค์อฟมาแก้ปัญหา

1. ปัญหานัน้ต้องมผีลลัพธท่ี์จะเกิดขึน้จำานวนท่ีแน่นอนจำานวนหนึ่ง

2. ค่าความน่าจะเป็นของผลลัพธถั์ดไป ต้องขึน้อยูกั่บผลลัพธก่์อนหน้านัน้

?

3. ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดผลลัพธต่์างๆ ต้องมค่ีาคงท่ีเสมอไมเ่ปลี่ยนแปลงตามเวลาท่ีเปล่ียนไป

ลกูโซม่ารค์อฟ

ลกูโซม่ารค์อฟ (Markov Chain)คือ ลำาดับของการเกิดเหตกุารณ์ ซึง่ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตกุารณ์

แต่ละเหตกุารณ์จะขึน้อยูกั่บเหตกุารณ์ที่เกิดขึน้

ก่อนหน้านัน้

2. สถานะ (State) : สภาพท่ีเป็นอยูใ่นเวลาใดเวลาหนึ่ง ซึง่

สถานะนัน้ๆ อาจจะเปลี่ยนแปลงหรอืไมเ่ปลี่ยนแปลงก็ได้ แต่ในระยะยาว สถานะนัน้ๆ จะคงท่ี

1. เหตกุารณ์ (Event) : สิง่ท่ีอาจเกิดขึน้หรอื การเปลี่ยนแปลงท่ี

เกิดขึน้

สญัลักษณ์สญัลักษณ์ SS แทนสถานะ j ใดๆ (เมื่อ j = 1, 2, 3, …n) เชน่ บรษัิทหนึ่งมพีนักงาน 3 สถานะ

(ระดับ)S1 = พนักงานระดับปฏิบติัการ

S2 = หัวหน้างานS3 = ผู้บรหิาร

3. ความน่าจะเปน็แบบทรานสชิัน่

(Transition Probability)

สญัลักษณ์ Pij แทน ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก Si ไป Sjเชน่ P12 = 0.1 หมายถึง ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสถานะจาก S1 ไปเป็น S2 มค่ีาเท่ากับ 0.1

3. ความน่าจะเป็นแบบทรานสชิัน่ (Transition Probability)

การแสดงค่าความน่าจะเป็นแบบทรานสชิัน่ สามารถทำาได้ 2 วธิีวธิท่ีี 1 การใชไ้ดอะแกรมแสดงสถานะ (State Diagram)

S2S1P11

P12 = 0.4

P21 = 0.3

P220.6 0.7

วธิท่ีี 2 การใชท้รานสชิัน่ แบบเมทรกิซ ์(Transition Matrix)

จากสถานะ

เปล่ียนไปเป็นสถานะ

รวมS1 S2

S1 0.6 0.4 1S2 0.3 0.7 1

4. ค่าความน่าจะเปน็แบบทรานเชยีนท์ (Transient

Probability)

4. ค่าความน่าจะเป็นแบบทรานเชยีนท์ (Transient robability)

ค่าความน่าจะเป็นของการอยูใ่นสถานะใดสถานะหนึ่งของลกูโซม่ารค์อฟ (ค่าความน่าจะเป็นระยะสัน้) ก่อนท่ีจะเขา้สูส่ถานะคงตัว

สตูรP(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3) + … Pn1 P(Sn)P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3) + … Pn2 P(Sn) นำาค่าความน่าจะเป็นในตารางทรานสชิัน่ เมทรกิซ ์มาแทนค่าในสตูร เพื่อหาค่าความน่าจะเป็น

P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) + P33 P(S3)

ตัวอยา่งท่ี 7.2 หน้า 172กรณีลกูโซม่ารค์อฟม ี3 สถานะ

จากไดอะแกรมขา้งต้นนำามาเขยีนในรูปของเมตริกซ์

เพื่อง่ายในการคำานวณ

S3S1

S2

0.10.3

0.1

0.3

0.8

0.6

0.1

0.3

0.4

จากสถาน

ะ

เปล่ียนไปเป็นสถานะ รวมS1 S2 S3

S1 0.4 0.3 0.3 1S2 0.1 0.8 0.1 1S3 0.1 0.3 0.6 1

กำาหนดให้P(S1) = 0.4P(S2) = 0.3P(S3) = 0.3(ค่าความน่าจะเป็น ณ ปัจจุบนั)

การหาค่าความน่าจะเป็นในระยะสัน้ (ทรานเชยีนท์)

(ค่าความน่าจะเป็นในครัง้ถัดไป)

โดยการนำาค่าความน่าจะเป็น ณ ปัจจุบนัไปคณูกับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะหน่ึงไป

ยงัอีกสถานะหนึ่ง

สตูรP(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3)= (0.4)(0.4) + (0.1)(0.3) +

(0.1)(0.3)= 0.16 + 0.03 + 0.03= 0.22

P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3)= (0.3)(0.4) + (0.8)

(0.3) + (0.3)(0.3)= 0.12 + 0.24 + 0.09= 0.45

P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) + P33 P(S3)= (0.3)(0.4) + (0.1)

(0.3) + (0.6)(0.3)= 0.12 + 0.03 + 0.18= 0.33

ผลของการคำานวณค่าความน่าจะเป็นแบบทรานเชีย่น

ในครัง้ต่อๆ ไปครัง้ท่ี P(S1)

P(S2)

P(S3)

 1 0.4 0.3 0.3 = 12 0.2

20.45

0.33

= 13 0.1

660.525

0.309

= 14 0.1

500.565

0.285

= 15 0.1

450.580

0.275

= 1

ครัง้ท่ี 3

P(S1) = (0.4)(0.22) + (0.1)(0.45) + (0.1)(0.33)

= 0.088 + 0.045 + 0.033= 0.166

P(S2) = (0.3)(0.22) + (0.8)(0.45) + (0.3)(0.33)

= 0.066 + 0.36 + 0.099= 0.525

P(S3) = (0.3)(0.22) + (0.1)(0.45) + (0.6)(0.33)

= 0.066 + 0.045 + 0.198= 0.309

หรอื P(S3) = 1 – P(S1) – P(S2)

= 1 – 0.166 – 0.525= 0.309

5. ความน่าจะเปน็แบบสเตดีเสตท

(Steady – State Probability)

ความน่าจะเป็นของการอยูใ่นสถานะใดสถานะหน่ึงของ

ลกูโซม่ารค์อฟซึง่มค่ีาคงตัว (ค่าความน่าจะเป็นในระยะยาว)

ความน่าจะเป็นแบบสเตดีเสตท (Steady – State

Probability)

ตัวอยา่ง 7.3 หน้า 175จาก

สถานะเปล่ียนไปเป็น

สถานะS1 S2S1 0.75 0.25S2 0.25 0.75

สตูรP(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2)P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2)P(S1) + P(S2) = 1หาค่าความน่าจะเป็นของ P(S1), P(S2), P(S3) โดยวธิ ีแก้สมการ

วธิทีำาแทนค่า P11 = 0.75, P21 = 0.25

P12 = 0.25, P22 = 0.75

P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2)

= 0.75 P(S1) + 0.25 P(S2)

P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2)

= 0.25 P(S1) + 0.75 P(S2)

P(S1) + P(S2) = 1

1

2

3

แก้สมการหาค่า P(S1) จากสมการ 1

P(S1) = 0.75 P(S1) + 0.25 P(S2)

P(S1) – 0.75 P(S1) = 0.25 P(S2)

0.25 P(S1) = 0.25 P(S2)

P(S1) = P(S2)

แก้สมการหาค่า P(S2) จากสมการ 2P(S2) = 0.25 P(S1) +

0.75 P(S2)P(S2) – 0.75 P(S2) = 0.25

P(S1) 0.25 P(S2) = 0.25 P(S1)

P(S2) = P(S1)

จากสมการ 3 P(S1) + P(S2) = 1จากการแก้สมการ 1, 2, 3 จะได้ P(S1) = P(S2)

P(S1) = 0.5P(S2) = 0.5

โจทย ์หน้า 180 – 182

บรษัิทแห่งหนึ่งมพีนักงานในระดับต่างๆ รวมท้ังสิน้ 500 คน ดังนี้

ระดับ 1 มจีำานวน 350 คน คิดเป็น 70%ระดับ 2 มจีำานวน 100 คน คิดเป็น 20%ระดับ 3 มจีำานวน 50 คน คิดเป็น 10%

พนักงานแต่ละระดับมกีารเปลี่ยนแปลงสถานะ ดังนี้

จากสถานะ เปล่ียนไปเป็นสถานะ1 2 3

1 0.90 0.10 0.002 0.20 0.75 0.053 0.10 0.00 0.90

นโยบายของบรษัิท กำาหนดไวว้า่ เมื่อไรท่ีมคีนออกไมว่า่จะเป็นพนักงานระดับใด จะทำาการจา้งพนักงานระดับ 1 เขา้มาทดแทนจำานวนท่ีขาดไป

ให้วเิคราะห์หาสดัสว่นของพนักงานในปีหน้า และสดัสว่นของพนักงานในระยะยาว

วธิทีำา

1. หาสดัสว่นพนักงานปีหน้า(ความน่าจะเป็นแบบ ทรานเชยีนท์)

กำาหนดให้ P(S1) = พนักงานระดับ 1 = 0.7

P(S2) = พนักงานระดับ 2 = 0.2

P(S3) = พนักงานระดับ 3 = 0.1

สตูร P(S1) = P11 P(S1) + P21 P(S2) + P31 P(S3)

= (0.9)(0.7) + (0.2)(0.2) + (0.1)(0.1) = 0.63 + 0.04 + 0.01 = 0.68

P(S2) = P12 P(S1) + P22 P(S2) + P32 P(S3)

= (0.1)(0.7) + (0.75)(0.2) + (0)(0.1)

= 0.07 + 0.15 + 0 = 0.22

P(S3) = P13 P(S1) + P23 P(S2) + P33 P(S3)

= (0)(0.7) + (0.05)(0.2) + (0.9)(0.1)

= 0 + 0.01 + 0.09= 0.10

หรอื P(S3) = 1 - P(S1) - P(S2)

= 1 – 0.68 – 0.22= 0.10

ในปีหน้าจำานวนพนักงานในระดับต่างๆ จะเป็นดังน้ี

จำานวนพนักงานระดับ 1 มสีดัสว่นเป็น 68% หรอื 340 คนจำานวนพนักงานระดับ 2 มสีดัสว่นเป็น 22% หรอื 110 คนจำานวนพนักงานระดับ 3 มสีดัสว่นเป็น 10% หรอื 50 คน

2. หาสดัสว่นพนักงานในระยะยาว(ความน่าจะเป็นแบบสเตดีสเตท)

สรา้งสมการจากตัวแบบมารค์อฟP(S1) = 0.9 P(S1) + 0.2 P(S2) + 0.1 P(S3)P(S2) = 0.1 P(S1) + 0.75 P(S2) + 0 P(S3)P(S3) = 0 P(S1) + 0.05 P(S2) + 0.9 P(S3)P(S1) + P(S2) + P(S3) = 1

1

3

4

2

แก้สมการหาค่า P(S1), P(S2), P(S3)พจิารณา สมการ 2

P(S2) = 0.1 P(S1) + 0.75 P(S2) + 0

P(S2) – 0.75 P(S2) = 0.1 P(S1) 0.25 P(S2) = 0.1 P(S1)

(0.1 หาร) 2.5 P(S2) = P(S1)

หรอื เอา 0.25 หาร จะได้P(S2) = 0.4 P(S1)

5

พจิารณา สมการ 3P(S3) = 0 + 0.05 P(S2)

+ 0.9 P(S3) P(S3) – 0.9 P(S3) = 0.05 P(S2)

0.1 P(S3) = 0.05 P(S2) (0.1 หาร) P(S3) = 0.5 P(S2)

หรอื เอา 0.05 หาร จะได้ 2 P(S3) = P(S2)

6

แทนค่าใน P(S1) + P(S2) + P(S3) = 1 2.5 P(S2) + P(S2) + 0.5 P(S2) = 1

4 P(S2) = 1 P(S2) =

0.25

แทน P(S2) ใน สมการ 5, 6P(S1) = 2.5 P(S2)

= 2.5 (0.25) = 0.625

P(S3) = 0.5 P(S2) = 0.5 (0.25) =

0.125

จะได้ :P(S1) = 0.625P(S2) = 0.25P(S3) = 0.125

พนักงานระดับ 1 มสีดัสว่น 62.5% หรอื 312 คน (312.5)พนักงานระดับ 2 มสีดัสว่น 25% หรอื 125 คนพนักงานระดับ 3 มสีดัสว่น 12.5% หรอื 63 คน (62.5)

หมายเหต ุพนักงานระดับ 1, 3 ได้จากการปัดเศษให้เป็นจำานวนเต็ม