要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析

第 8 课时 距 离

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点

2.点线距

空间有七个距离

(1)定义：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度，叫两条异面直线之间的距离 .

(2)求法：高考要求题中给出公垂线段，故只须直接找出即可 .

1.点点距

3.线线距 (包括两条平行直线间的距离 )

5.线面距

(1)定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离 .

(2)求法：①直接法；②作线的垂线，下证垂直于面；③等体积法；④平行转化法 .

4.点面距

(1)定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到平面的距离，叫这条直线和平面的距离 .

(2)求法：转化成点面距 .

7.球面距

(1)定义：夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度，叫两平行平面之间的距离 .

(2)求法：转化成线面距、点面距 .

6.面面距

(1)定义：球面上经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，叫这两点的球面距离 .

(2)求法： l =θ·R(其中 θ是这两点对球心的张角， R是球的半径 )

1. α 、 β是两个平行平面， aα， bβ ， a 与 b 之

间的距离为 d1 ， α与 β之间的距离为 d2，则 ( )

(A)d １ =d2

(B)d １＞ d2

(C)d1＜ d2

(D)d １≥ d2

课 前 热 身

D

C

2. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直 .如果公共边 AC=a，则异面直线 AB与 CD的距 离是 ( )

(A)

(B) a

(C)

(D)

2

a

a2

2

a2

2

3. ABC△ 中， AB=9， AC=15，∠ BAC=120°，△ ABC

所在平面外一点 P到三个顶点 A、 B、 C的距离都是14，

那么点 P到平面 α的距离为 ( )

(A)7 (B)9

(C)11 (D)13

A

4. 在长方体， 中，已知 AB=4， AA1

=3， AD=1，则点 C1到直线 A1B的距离为 _________.

DCBAABCD —

5

13

5. 已知 Rt ABC△ 的直角顶点 C 在平面 α 内，斜边AB∥α ， AB=26 ， AC 、 BC 分别和平面 α 成 45° 和30° 角，则 AB 到平面 α 的距离为 ______.2

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能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法1.如图所示，在棱长为 a的正方体 ABCD—A1B1C1D1

中，求异面直线 BC1与 D1D， BC1与 DC间的距离 .

【解题回顾】由构造异面直线的公垂线段求异面直线

的距离，是高考所要求的 . 其构造途径一般有两条：

一是在已知几何体中的现成线段中寻找；二是过其中

一条上一点作出另一条的相交垂线段 .

2. 已 知 AB 是 异 面 直 线 a 、 b 的 公 垂 线段， AB=2， a、 b成 30°角，在直线 a上取一点 P，使 PA=4，求 P到直线 b的距离 .

【解题回顾】 (1)本题关键是怎样添作辅助平面和辅助

线 .解法类似于课本例题 .

(2)运用面面垂直性质和三垂线定理得到所求距离，再

通过解直角三角形求出距离 .

3. 在棱长为 1 的正方体 中，(1) 求点 A 到平面 的距离；(2) 求点 到平面 的距离；(3) 求平面 与平面 的距离；(4) 求直线 AB 与平面 的距离 .

DCBAABCD —

ADB

DBA DBA DCB

BACD

【解题回顾】 (1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算 .即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视 .

(2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形 .

4. 已知如图，边长为 a的菱形 ABCD中，∠ ABC=60°，PC⊥平面 ABCD， E是 PA的中点，求 E到平面 PBC的距离 .

【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互

转化，有时能取得意想不到的效果

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5. 如 图 所 示 ， 已 知 ABCD 是 矩形， AB=a， AD=b， PA⊥平面 ABCD， PA=2c， Q是 PA的中点 .求： (1)Q到 BD的距离；(2)P到平面 BQD的距离 .

延伸延伸 ·· 拓展拓展

【解题回顾】直接法和间接法是求点面距离的常见求

法，无论哪种方法都体现了化归思想 .

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1. 距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系 (平面与垂直 )与解三角形的过程，值得注

“ ”意的是， 作、证、算、答 是立体几何计算题不可缺少的步骤，尤其是证明那一步 .

误解分析误解分析

2. 在课前热身 1和 4中，都要分类讨论，不要遗漏 .

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