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ロボティクス特論
2015年度前期
第8回
動力学を用いたロボット制御のための計算
動力学シミュレーション,M.Matsuda, K.Tsujita, et al., 2008
機構自由度:18次元制御系自由度:24次元時間刻み:1.0 [ms]
非線形振動子とリフレックスダイナミクスを用いた生物規範型歩行制御,M.Matsuda, K.Tsujita, et al., 2008
機構自由度:18次元制御系自由度:24次元時間刻み:1.0 [ms]
連続体のNewtonの運動方程式
if
連続体(剛体)内の微小要素 を考える.
慣性座標系
任意点 P
(微小要素)
剛体
動座標系0r
1
1x
0
1
ix
iii fxdm
微小要素の位置座標
微小要素に作用する力
Newton の運動方程式
11 i
i
i
ii fxdm
連続体内部の質量の総和を取る
作用反作用の法則から,内力の総和はゼロになるので
FxM CM M
F
CMx
剛体に作用する外力
質量
剛体質量中心の位置ベクトル連続体の Newton の運動方程式
idm
連続体のEulerの運動方程式
if
連続体(剛体)内の微小要素 を考える.
慣性座標系
任意点 P
(微小要素)
剛体
動座標系0r
1
1x
0
1
idm
ix
iiiii fxxxdm
微小要素の位置座標
微小要素に作用する力
Euler の運動方程式
Newton の運動方程式と同様に,連続体内部の質量の総和を取る
L
N 剛体に作用する外モーメント
剛体の角運動量
連続体の Euler の運動方程式
NL
運動方程式の導出方法
ロボットの運動方程式
Newton-Euler 形式による定式化
Lagrange 形式による定式化
要素毎の力の釣り合い方程式から求める
エネルギーを基にしたスカラー関数(Lagrange 関数)の変分形式を用いて求める
基礎の復習
Newton の運動方程式
バネ質点系
質点の運動
Fxm
kxxm
02
0 xx m
k0
tctcx 0201 cossin
固有角振動数
解析力学の基礎
質点の運動
x
x
位相平面
(位相空間) A
‐A
ω0A
-ω0A
t=2π/ω0
t= 0
tctcx 0201 cossin
2
0
22
0
22
2
0
22 cossin AtAtA
xx
ばねー質点の力学系の運動は,位相平面(位相空間)内でただ1本の連続な曲線(解曲線という)となる
解析力学の基礎
系の位相空間内での運動軌道から仮想的にずれた軌道を考える= 仮想変分
q∈RN
位相空間
t=t1
t=t2
δq 仮想変分
始点(t=t1)と終点(t=t2)では,仮想変分を取らないとする
021
tttt
解析力学の基礎
Lagrange 方程式の導出
Lagrange 関数
外力の仮想仕事
汎関数
仮想変分
UTL
qUqqTqqLL ,,
FdqW
dtWLJt
t 2
1
dtWLJt
t 2
1
Lagrange方程式
Lagrange 方程式 Fq
L
q
L
dt
d
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dtqFq
L
dt
d
q
L
dtqFq
Lq
q
L
dt
dq
q
L
dtqFq
Ldtq
q
L
dtqFq
Lq
q
LJ
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
散逸項のあるLagrange方程式
このとき,Lagrange 方程式は次の式となる
q
VF
q
L
q
L
dt
d
系にエネルギー散逸を伴う外力が働く場合,Lagrange 方程式は,散逸項を導く逸散ポテンシャル関数から散逸力を付加することで,全体の運動方程式が求められる.
外力 F が,例えば, のような粘性抵抗の場合の
逸散ポテンシャル関数 V は,
xcF
2
2
1xcV
例)Spring-Massシステム(MDKシステム)
質量m
x
ばね定数 k
粘性係数 c
質点の運動エネルギー
バネのポテンシャルエネルギー
2
2
1xmT
2
2
1kxU
ダッシュポッドによる逸散関数2
2
1xcV
Lagrange 関数 22
2
1
2
1kxxmUTL
例)Spring-Massシステム(MDKシステム)
質量m
x
MDKシステムの運動方程式
ばね定数 k
粘性係数 c
xckxxm
x
VF
x
L
x
L
dt
d
Lagrange 方程式
xmkxxmxdt
d
x
L
dt
d
22
2
1
2
1
kxkxxmxx
L
22
2
1
2
1
xcxcxx
V
2
2
1
MDKシステムの運動
質量m
x
MDKシステムの運動方程式ばね定数 k
粘性係数 c
xckxxm tex とおいて 02 tekcm
m
mkcc
2
42
0te なので 02 m
k
m
c
特性方程式
m
k
mk
c 0,
2 と置いて解く
一般解は
1
2
1
1
20
200 ttt
ececex
1
1
10
特性根は2実根
特性根は重根(実根)
特性根は複素根(実部は実指数関数,虚部は三角関数)
MDKシステムの解の挙動
1
1
10
挙動は指数関数的(過減衰)
挙動は指数関数的(臨界減衰)
挙動は振動的(減衰振動)
Po
sit
ion
[m
]
Time [sec]
ζ= 1.2
ω0=1
ζ= 1.0
ζ= 0.707
ζ= 0.3
例)剛体振子
微小要素の運動エネルギー
微小要素のポテンシャルエネルギー
2222
2
1
2
1
d
l
myxd
l
mdT
cosgdl
mgyd
l
mdU
d
質量m長さ l
微小要素の位置,速度
cos
sin
y
x
sin
cos
y
x
全体の運動エネルギー2
2
0
22
62
ml
dl
mdTT
l
全体のポテンシャルエネルギー
2
coscos
0
mgld
l
mgU
l
0
LL
dt
d
Lagrange 方程式
0sin22
2
mglml
g
例)倒立振子
運動方程式
系の運動エネルギー
系のポテンシャルエネルギー
xml
mlxmMT2
cos
3
1
2
1
2
1 222
cos2
mglU
Lagrange 関数
cos22
cos
3
1
2
1
2
1 222 mglx
mlmlxmML
umlml
xmM 2
2
sin
2
cos
ux
L
x
L
dt
d
0sin22
cos
3
1 2
mgl
xml
ml 0
LL
dt
d
例)倒立振子
線形化
運動方程式
umlml
xmM 2
2
sin
2
cos
0sin22
cos
3
1 2
mgl
xml
ml
1,1,1 x
uml
xmM 2
0223
1 2 mgl
xml
ml 線形化された運動方程式
ugmMl
mM
3
4両式から xを消去して
u = 0 のとき,解は双曲型の不安定系となり,
u ≠ 0 のとき,u によってθが駆動される(倒立できる可能性)
例)2リンクマニピュレータ
XO
Y
θ1
θ2
(x’,y’)
(X,Y)
第1リンク
長さ:l1 質量: m1
第2リンク
長さ:l2 質量: m2
運動方程式の導出手順(Lagrange 形式)
1. リンク上の任意点の位置ベクトルを求める
2. リンク上の任意点の速度ベクトルを求める
3. 運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーを求める
4. Lagrange 関数を構成する
5. Lagrange 方程式を用いて運動方程式を導出する
ロボットの運動方程式の一般形
TEGHM )(),(
T
E
G
H
M
)(
),(
一般化座標慣性行列非線形項(遠心力、コリオリ力など)重力項拘束条件ヤコビ行列拘束力入力トルク