БЫКОВ A.A. Проф., д-р физ.-мат. Наук,

главный редактор журнала «Проблемы анализа риска»

Приложения асимптотической Приложения асимптотической теории вероятностей теории вероятностей

экстремальных значений к экстремальных значений к решению проблем решению проблем

безопасности безопасности жизнедеятельностижизнедеятельности

Экспертный совет МЧС РоссииМосква, 2009

Демонстрация некоторых простых возможных приложений асимптотической теории вероятностей экстремальных значений для прогнозирования риска прогнозирования риска экстремальных ЧСэкстремальных ЧС

Обычно в прикладных задачах статистику ЧС представляют в частотном виде, изучая динамические закономерности частот, и меньшее внимание уделяется вероятностным распределениямвероятностным распределениям произошедших событий и анализу закономерностей им присущих.

Но именно анализ вероятностного анализ вероятностного распределенияраспределения реализации ЧС позволяет точнее оценить риск экстремальных ЧСриск экстремальных ЧС

на основе теорем о сходимости к предельным распределениям,

а исследование многолетних данныхисследование многолетних данных позволяет более точно осуществлять

прогнозирование риска экстремальных ЧС.

ДВА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТАДВА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТА

КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

xGxbMaP nnn

Классическая теория экстремальных значений в основном имеет дело с независимыми и одинаково распределенными независимыми и одинаково распределенными случайными величинамислучайными величинами и со свойствами распределения их максимумасвойствами распределения их максимума

nnM ...,,,max 21

Основной классический результатОсновной классический результат

утверждает, что если

случайная величина an(Mn — bn) имеет невырожденную

предельную функцию распределения G(х)

то эта функция G(х) должна иметь одну из

трех единственно возможных форм

обычно называемых тремя распределениями экстремальных значений

Класс максимум - устойчивых распределений:

,exp xexG

,0,0,exp

,0,0

xнекоторогодляx

xxG

.0,1

,0,0,exp

x

xнекоторогодляxxG

Тип I: < x <

Тип II:

Тип III:

Класс минимум - устойчивых распределений:

,,exp1 xexH x

,01

,0,0го некотородля,exp1

x

xxxH

.0,0некоторого для,exp1

,00

xx

xxH

Тип I:

Тип II:

Тип III:

Другой основной классический результатДругой основной классический результат

связан с выводом условий сходимости

к тому или иному типу распределений.

Для каждого типа известны необходимые и

достаточные условия, относящиеся к

«поведению хвоста»«поведению хвоста» 1—F(х) при возрастании х.

Приведем несколько очень простых и полезных достаточных условий,

применимых в случае, когда ф. p. F имеет плотность f.

Тип I: f имеет отрицательную производную f' для всех х в некотором интервале (х0, xF)(xF ≤ ∞), f (х) = 0 для х ≥ xF и

= —1 ;

Тип II: f (x) > 0 для всех конечных х ≥ х0 и

= α > 0 ;

Тип III: f(х) > 0 для всех х некотором конечном интервале (х0, xF), f(х) = 0 для х > xF и

= α > 0 ;

limFõt )(

))(1)(('2 tf

tFtf

limt )(1

)(

tF

ttf

limFõt )(1

)()(

tF

tftхF

Таким образомТаким образом

не обладая представительным статистическим рядом

данных об экстремальных ЧС, тем не менее можно

утверждать:

1) что «хвосты» распределения гипотетически будут

подчиняться

одному из трех ассимптотических типов распределений;

Таким образомТаким образом

2) обладая знаниями о характере закона распределения F «вокруг средних значений»,

предполагая, что F абсолютно непрерывна и имеет плотность f

и используя теоремы о сходимости

можно определить тип экстремального распределения и его параметры

ГГрафические статистические средства –

техника построения квантиль диаграмм иликвантиль диаграмм или

графиков квантилей на вероятностной бумаге. графиков квантилей на вероятностной бумаге.

xxF ,

Преимущество вероятностной бумаги по сравнению с обычными способами построения кривых заключается в том, что она

преобразует теоретическую кривую

в прямую линиюв прямую линию.

Вопрос о том, правильно или неправильно выбрана правильно или неправильно выбрана функция распределенияфункция распределения, может быть решен простой визуальной проверкой.

Если достигнуто достаточно хорошее согласие, то предсказание (в ограниченных пределах) может быть сделано путем продолжения прямой.

Статистические данныеСтатистические данные

по лесным пожарам и пожарам в жилом секторе Тверской области с 1990 по 2005 гг.

Максимальные длительности пожаров в Тверской области с 1990 по 2005 годы

№ п/п Год Максимальная длительность, сут.

Вариационный ряд максимальных

длительностей, сут.

1 1990 4 2

2 1991 2 2

3 1992 18 3

4 1993 3 3

5 1994 10 4

6 1995 15 4

7 1996 16 4

8 1997 4 4

9 1998 3 6

10 1999 8 6

11 2000 6 6

12 2001 6 8

13 2002 6 10

14 2003 4 15

15 2004 4 16

16 2005 2 18

Линейная регрессия + 68% контрольная полоса

lnx = 0,64y + 1,3738

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Нормированные отклонения (Фреше квантиль), y

ln Д

лительности, ln

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

квантиль диаграммы в этом случае строятся

с использованием координатной плоскости:

)ln(),

1ln(ln( *

ixn

i

.

ЗЗакон распределения акон распределения максимальных длительностеймаксимальных длительностей лесных

пожаров

])2531,0exp[()( 5625,1 xxF

Закон распределения Закон распределения максимальных максимальных площадейплощадей

(в га) лесных пожаров в Тверской области:

])0444,0exp[()( 893,0 xxF

Квантиль диаграмма ln количества (числа) лесных пожаров в Тверской области

.

Логнормальная квантиль: линейная регрессия + контрольная полоса с доверительной вероятностью 67%

Lnx = 1,4418y + 5,4309R = 0,994

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Логнормальная квантиль

Ln Ч

исл

а п

ож

аров

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0Логнормальная квантиль

Вероятность

Закон распределенияЗакон распределения, в данном случае задаваемый плотностью распределения, количества лесных пожаровколичества лесных пожаров в Тверской области выглядит следующим образом:

)]4,228/(ln039,1exp[275,0

)( 2 xx

xf

максимально возможное количество лесных пожаров в год может достигать значения

x

23002400.

Квантиль диаграмма максимального количества погибших при пожарах в жилом секторе

F(x)=exp[-exp[-1,37x+5,06]]

значению вероятности 0,95 соответствует значение x=6

Линейная регрессия + 68% контрольная полоса

x=0,732y+3,708

0

1

2

3

4

5

6

7

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Нормированные отклонения (квантиль Гумбеля), y

мак

сим

аль

но

е ко

ли

чес

тво

по

гиб

ши

х п

ри

по

жар

ах,

x (ч

ел.)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

С точки зрения прогнозирования важным элементом является установление

динамики изменения здинамики изменения законов распределенияаконов распределения

Например, параметров пожаров (год от года):

длительностей, площадей и др.

Годовая динамика параметров распределения Вейбулла по площади пожаровплощади пожаров в жилом секторе Тверской области

средняя площадь пожаров в жилом секторе и дисперсия с каждым годом

постепенно уменьшаются

y = 0,0013x - 2,4249

y = -0,002x + 4,8794

0,225

0,23

0,235

0,24

0,245

0,25

0,255

0,26

0,265

0,27

0,275

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

год

"тау

"

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

"ля

мд

а"

ז λ Линейный ( )ז Линейный (λ)

Годовая динамика параметров распределения Вейбула по длительности пожаровдлительности пожаров в жилом секторе Тверской области

средняя длительность пожаров в жилом секторе и дисперсия с каждым годом постепенно уменьшаются

y = -0,007x + 14,426

y = 0,0163x - 31,485

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

год

"тау

"

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

"ля

мд

а"

ז λ Линейный (λ) Линейный (ז(

С точки зрения прогнозирования важным элементом является также

определение периодов повторяемостипериодов повторяемости

Квантиль диаграмма и периоды повторяемости

T1(x) (левая ветвь) и T(x) (правая ветвь)

количества пожаров в жилом секторе Тверской области

Нормальная квантиль: линейная регрессия и период повторяемости (контрольные полосы с доверительной

вероятностью 68% )

x = 8,5964y + 37,615

R2 = 0,9662

0

10

20

30

40

50

60

-1,465 -1,068 -0,792 -0,566 -0,366 -0,180 0,000 0,180 0,366 0,566 0,792 1,068 1,465

Нормальная квантиль, y

Ко

ли

чес

тво

по

жар

ов

, x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Пер

иод

пов

торя

емос

ти, г

оды

Диапазон числа пожаров

Ожидаемый период повторяемости, год

Диапазон периода повторяемости, год

<25 >50 17 6 55

25-28 48 -50 12 4 39

28-30 46 -48 6 1,5 19,5

30-32 44 -46 4,5 1 13,5

32-36 40—44 3 0,66 9

36-37 39—40 2,5 0,5 7

37—39 2 0,5 7

Прогноз: наиболее часто следует ожидать количество пожаров из диапазона значений от 37 до 39 в год, ожидаемый период которых составляет минимальную величину 2 года.

Максимальное количество пожаров которое может превышать значение 50 пожаров в год следует ожидать 1 раз в 17 лет.

В то же время это значение может быть близким к 6 годам, что требует учета при планировании финансового резерва для ликвидации пожаров.

Вопрос: Можно ли,

зная законы распределения количества пожаров и затрат на ликвидацию пожаров,

спрогнозироватьспрогнозировать (или запланировать, например, на будущий год)

размер необходимых затрат С95 на ликвидацию пожаров так,

чтобы его было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95%95%?

Квантиль диаграмма числа пожаров в жилом секторе Тверской области

Нормальная квантиль: линейная регрессия + контрольная полоса с доверительной вероятностью 68%

x=0,116y-4,38

0

10

20

30

40

50

60

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Нормированные отклонения (нормальная квантиль), y

Ко

ли

чес

тво

по

жар

ов

в

жи

ло

м с

екто

ре,

x

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Вер

оя

тно

сть

2)116,0

38,4(

2

1

2116,0

1)(

x

xf e

Квантиль диаграмма

ln максимальных затрат на ликвидацию

Значению вероятности 0,95 соответствует значение ln x = 8,6

)]6,1069/(ln35,0exp[133,0

)( 2 xx

xf

Линейная регрессия + 68% контрольная полоса

lnx=1,195y+6,975

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Нормированные отклонения (Логнормальная квантиль), y

ln м

акси

мал

ьн

ых

затр

ат н

а л

икв

ид

аци

ю п

осл

едст

ви

й

по

жар

ов

, ln

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Вер

оя

тно

сть

Вопрос: Можно ли, зная законы распределения количества пожаров и затрат на ликвидацию пожаров, спрогнозировать размер необходимых затрат С95 на ликвидацию пожаров так, чтобы его было было достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95%достаточно для ликвидации пожаров с гарантией 95%?

Ответ: Да, можно, если дополнительно применить к полученным результатам на основе ассимптотической теории экстремальных значений классическую классическую технику актуарных расчетовтехнику актуарных расчетов.

На основе методов актуарной математики была выведена формула для расчета С95 :

где математические ожидания, дисперсии

затрат на ликвидацию V и числа пожаров N соответственно.

)(645,1 2295 NVVNNVC

NV ,22 , NV

Вопрос: Можно ли, используя графическую технику предложить упрощенный подход для введения статистического критерия экстремальной ЧС?

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6Экспоненциальная квантиль

Поги

бш

ие (

1991-9

6)

Экспоненциальная квантиль-диаграмма эмпирических данных по погибшим в результате взрывов и пожаров в России в 1991-96 г.г.

График экспоненциальной квантили имеет квазилинейный квазилинейный участокучасток вплоть до значения числа погибших меньше или равно 7:

Xi 7.

При этом значении наблюдается перегиб на графикеперегиб на графике.

Этот факт возможно использовать в дальнейшем в качестве основной идеиосновной идеи метода введения статистического статистического критерия экстремальнойкритерия экстремальной чрезвычайной ситуации.

Эти и многие другие приложения ассимптотической теории вероятностей экстремальных значений с применением более «изощренных» методов достаточно подробно описаны в подготовленной к изданию в 2009 году монографии:

Введение в статистику экстремальных Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения.значений и ее приложения.

Однако, прикладные возможностиприкладные возможности ассимптотической теории вероятностей экстремальных значений гораздо шире описанных в монографии :

Введение в статистику экстремальных Введение в статистику экстремальных значений и ее приложения,значений и ее приложения,

далеко не до конца изучены и достаточно перспективны

в области прогнозирования риска ЧС и безопасности жизнедеятельности

СПАСИБО ЗА СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!ВНИМАНИЕ!

БЫКОВ Aндрей Aлександрович E-mail: par@dex.ru

Тел. +7(926) 368-10-01