Óóë Õàí öîãöîëáîð ñóðãóóëü Ý.Ýíõíàðàí Web viewÃåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð. Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò

Ãåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð

Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò

Õàìðàõ õ¿ðýý: 11 æèëèéí 11-ð àíãè

Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òóõàé ìýäëýãòýé áîëæ ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä ãàäàðãóóã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.

Àðãà: Áîä, õàìòàð, õóâààëö, òàéëáàðòàé äàñãàë, àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ

Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñóðàõ áè÷èã, ¿ç¿¿ëýí, òàðààõ ìàòåðèàë

Àãóóëãà

Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Îëîí òàëñò

- Äèàãîíàëü îãòëîë

- Ãóðâàí òàëñò ºíöºã

- Ïðèçì

- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé

- Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í

- Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ- Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã ¿ãýýð

õýëýõ, çóðàã äýýð òýìäýãëýõ- Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã

ÿëãàõ- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé,

ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ- Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ

Öàã òºëºâëºëò

¹ Ýýëæèò õè÷ýýëèéí ñýäýâ Öàã

Õóãà öàà Çîðèëò

1Îëîí òàëñòûí åðºíõèé îéëãîëò 1

Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ

2 Îëîí òàëñò ºíöºã 1 Îëîí òàëñò ºíöºã, ò¿¿íèé õýìæýýã ìýäýõ

3 Ïðèçì 1 Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ4 Áàòàòãàë 3

5 Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í 2 Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìü¸îíû ãàðãàëãàà õèéõ, ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ6 Áàòàòãàë 1

7 Õÿíàëòûí àæèë 1 Ïðèçì ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàðûã ¿íýëýõ

1

Òºëºâëºëò 1. Ñýäýâ: Îëîí òàëñòûí åðºíõèé îéëãîëò

Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, ÿëãàí òàíèõ, îëîí òàëñòûí îðîé, èðìýã,

òàëñûã íýðëýõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.

¯å

øàòÁàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà

Øèí

ý ìý

äëýã

á¿ò

ýýõ

(20

ìèí) Îãòîðãóéí áèåòèéí òîäîðõîéëîëòûã

ºãíº. Æèøýý ãàðãóóëæ ÿðèëöàíà.

Îëîí òàëñòûí òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.

Òàëñ, èðìýã, îðîé , õºðø òàëñ ãýñýí

óõàãäàõóóíûã àñóóæ ÿðèëöàí

áè÷¿¿ëíý.

Îëîí òàëñòûí äèàãîíàëü, äèàãîíàëü

îãòëîëûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Îãòîðãóéä áàéãàà ÿìàð íýãýí þìûã

ýçýëæ áàéãàà îãòîðãóéí õýñãèéã

îãòîðãóéí áèåò ãýíý. Æèøýý: áºìáºã, íîì,

ø¿¿ãýý

Òºãñãºëºã òîîíû îëîí ºíöºãòººð

çààãëàãäñàí õàâòãàéí öýã¿¿äýýñ

á¿ðäýõ ãàäàðãóóòàé îãòîðãóéí

áèåòèéã îëîí òàëñò ãýíý.

A, B, C, D îëîí òàëñòûí îðîé,

AB, BC, CD îëîí òàëñòûí

èðìýã

ABCD òàëñ

Íýã òàëñ äýýð ¿ë îðøèõ

õî¸ð öýãèéã õîëáîñîí õýð÷ìèéã îëîí

òàëñòûí äèàãîíàëü, íýã òàëñ äýýð ¿ë

îðøèõ ãóðâàí îðîéã äàéðñàí

õàâòãàéãààð îëîí òàëñòûã îãòëîõîä

¿¿ñýõ îãòëîëûã äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.

Áàò

àòãà

õ

(18

ìèí)Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí

õóóäàñ 174, ¹1

1. 9 èðìýãòýé îëîí òàëñò çóð.

Ò¿¿íèé îðîé, èðìýã, òàëñóóäûã

íýðë¿¿ëíý.

2

Ãýð

èéí

äààë

ãàâà

ð (2

Ãýðò îëîí òàëñò çóðæ ò¿¿íèé

èðìýã, îðîé, òàëñóóäûã íýðýëýõ,

êóáûí èðìýã, îðîé, òàëñóóäûã

íýðëýæ, òýìäýãëýõ

Äààëãàâàð òýìäýãëýí õèéõ, óíøèõ

Òºëºâëºëò 2. Ñýäýâ: Îëîí òàëñò ºíöºã

Çîðèëãî: Îëîí òàëñò ºíöºã, ò¿¿íèé õýìæýýã ìýäýõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.

¯å øàò Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà

Øèí

ý ìý

äëýã

á¿ò

ýýõ

Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº. Ýíý çóðàã äýýð ÿìàð õàâòãàé ºíöã¿¿ä áàéãààã àñóóíà.N òàëñò ºíöºã ãýæ ÿìàð ºíöºã áîëîõûã àñóóí òîäîðõîéëîëòûã ºãíºÃóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿äèéí íèéëáýðèéí òóõàé òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.

1-ð æèøýý: Õýðýâ ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð õàüòãàé ºíöºã íü 700 áà 1000 áîë ãóðàâ äàõü ºíöãèéí àâ÷ áîëîõ á¿õ óòãûã îë.

Åðºíõèé îðîéòîé, õîñ õîñîîðîî åðºíõèé òàëòàé,

íýã õàâòãàéä ¿ë îðøèõ ãóðâàí

õàâòãàé ºíöãººð

õÿçãààðëàãäñàí îãòîðãóéí

õýñãèéã ãóðâàí òàëñò ºíöºã

ãýíý.

AOB, BOC, COA ãýñýí ãóðâàí õàâòãàé

ºíöãººð õÿçãààðëàãäñàí OABC ãóðâàí òàëñò

ºíöºã ä¿ðñëýãäæýý. AOB, BOC, COA

ºíöã¿¿äèéã ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä áóþó òàëñóóä ãýíý. Òàëñóóäûí

õîîðîíäîõ ºíöãèéã ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð

òàëñò ºíöºã ãýíý. Åðºíõèé îðîéòîé, n øèðõýã

õàâòãàé ºíöãººð õçãààðëàãäñàí îãòîðãóéí

õýñãèéã n òàëñò ºíöºã ãýíý.

Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿äèéí

íèéëáýð 2π-ýýñ áàãà áàéíà.

1-ð æèøýý: Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä α, 700,1000 áîë òåîðåì2-îîð

{α<700+1000

α+700>1000

α+1000>700 áàéõ áà ýíäýýñ 300<α<1700

3

Áàò

àòãà

õÁàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 174, ¹7

7. Ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õàâòãàé ºíöã¿¿ä à) 300,600, 200,á) 450,450, 900 â) 300,450, 600 áàéæ áîëîõ óó?

Ãýð

èéí

äààë

ãàâà

Ãýðèéí äààëãàâàðò 8, 9-ð äàñãàë

8. Õýðýâ ãóðâàí òàëñò ºíöãèéí õî¸ð õàâòãàé ºíöºã íü à) 700 áà 800 á) 1300 áà 1500 áîë ãóðàâ äàõü ºíöãèéí àâ÷ áîëîõ á¿õ óòãûã îë.

Òºëºâëºëò 3. Ñýäýâ: Ïðèçì

Çîðèëãî: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


Øèí

ý ìý

äëýã

á¿ò

ýýõ

(21

ìèí)

1-ð æèøýý áîäëîãûã óíøóóëæ ñýäýëæ¿¿ëíý. Ýíýõ¿¿ áîäëîãûã áîäîõûí òóëä ïðèçì õýìýýõ áèåòèéã ñóäëàõ øààðäëàãà ãàð÷ èðíý.Ïðèçìèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.N ºíöºãò ïðèçì ãýñýí óõàãäàõóóíûã òàéëáàðëàíà.

Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý. Ïðèçìèéí ºíäºð, äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîë ãýñýí óõàãäàõóóíóóäûã òàéëáàðëàíà. Øóëóóí ïðèçì, íàëóó ïðèçì, õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéãèéí îéëãîëòûã ºãíº.

Áîäëîãî. Çóðàãò ¿ç¿¿ëñýí àñàðûí ºðãºí 3.2ì, óðò 4ì áîëíî. Áóñàä õýìæýýñèéã 13-ð çóðàãò õàðóóëàâ. Àñàðûã î¸õîä õè÷íýýí ìåòð äààâóó îðîõ âý?Ñóóðü ãýæ íýðëýãäýõ 2 òàëñ íü õîîðîíäîî ïàðàëëåëü áºãººä õàðèí áóñàä òàëñóóä íü õîîðîíäîî ïàðàëëåëü èðìýã¿¿äýýð îãòëîëöäîã îëîí òàëñòûã ïðèçì ãýæ íýðëýíý.Ïðèçìèéí ñóóðèóä íü òýíö¿¿ îëîí ºíöºãò¿¿ä áàéõ áºãººä ñóóðü íü n ºíöºãò áàéõ ïðèçìèéã n-ºíöºãò ïðèçì ãýíý. Æèøýý íü, ïàðàëëåëåïèïåä áà êóá íü äºðâºí ºíöºãò ïðèçì þì.Òåîðåì.Àëèâàà ïðèçìèéí õî¸ð ñóóðü íü õîîðîíäîî òýíö¿¿ áºãººä õàæóó òàëñóóä íü ïàðàëëåëîãðàìì áàéíà.Ñóóðèéí õàâòãàéíóóäûí õîîðîíäîõ çàéã ïðèçìèéí ºíäºð ãýíý. Íýã òàëñàä õàðüÿàëàãäàõã¿é õî¸ð îðîéã õîëáîñîí õýð÷ìèéã ïðèçìèéí äèàãîíàëü ãýíý. ßìàð íýãýí äèàãîíàëü áà õàæóó èðìýãèéã äàéðñàí õàâòãàéãààð ïðèçìèéã îãòëîõîä ¿¿ñýõ îëîí ºíöºãòèéã ïðèçìèéí äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã¿¿ä ñóóðüò ïåðïåíäèêóëÿð áîë óã ïðèçìèéã øóëóóí ïðèçì ãýíý.

4

Áàò

àòãà

õ (1

7 ìè

í) Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 179-èéí 13, 15-èéã õèéëãýíý.

13. Áèåò¿¿äýýñ ïðèçìèéã ÿëãàíà.15. à)n ºíöºãò ïðèçì õè÷íýýí òàëñòàé âý? á)n øèðõýã òàëñòàé ïðèçìèéí ñóóðü ÿìàð îëîí ºíöºãò áàéõ âý?

â) ¿ç¿¿ðëýýã¿é 6 òàëñò õàðàíäàà õè÷íýýí òàëñòàé âý?

Ãýð

èéí

äààë

ãàâà

Ãýðèéí äààëãàâàðò 16-20-ð äàñãàë

17. Ãóðâàí ºíöºãò, äºðâºí ºíöºãò, òàâàí ºíöºãò, n ºíöºãò ïðèçìä õýäýí äèàãîíàëü òàòàæ áîëîõ âý?18. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí äèàãîíàëü îãòëîë ÿìàð ä¿ðñ ãàðàõ âý?

Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã ÿëãàõ, ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.

Үе шат Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà Ñóðàëöàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà

2минут

17минут

19

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçì ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí

òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí

òàëáàéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Æèøýý. Àäèë õàæóóò

ãóðâàëæèí ñóóðüòàé ïðèçìèéí

ãóðâàëæíû ñóóðü 3.2ì, îðîéãîîñ

ñóóðü ëóó áóóëãàñàí ºíäºð 1.2ì,

ïðèçìèéí ºíäºð 4ì áîë ïðèçìèéí

ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã

îë.

Бататгал: - 179-ð õóóäàñíû

№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã

áîäóóëíà.

Ïðèçìèéí á¿õ õàæóó òàëñûí òàëáàéí

íèéëáýðèéã ò¿¿íèé õàæóó

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýõ áà Sõ.ã

ãýæ òýìäýãëýíý. Ïðèçìèéí ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü õàæóó

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé äýýð õî¸ð

ñóóðèéí òàëáàéã íýìñýíòýé òýíö¿¿.

Æèøýý áîäëîãûã áîäñîí àðãà äýýðýý

òóëãóóðëàí áîäîëòûã õèéíý Sã.ã=

Sõ.ã+2Sc

Áîäîëò.

E îðîéãîîñ òàòñàí ºíäºð EF ãýâýë

BF= BC2

=3.22

=1.6ì áà EF=1.2ì òóë

∆ BFE :BE2=BF2+EF 2=2.56+1.44=4⇒BE=2

5

минут

2минут

Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí


òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí

ýñýõèéã ä¿ãíýõ

Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã 179-ð õóóäàñ

¹ 22, 23, 25

ì, Sõ.ã=

ì2, Sc=

2 ∙ SBEC=2∙BC ∙ EF2

=3.2 ∙1.2=3.84ì2

Sã.ã= Sõ.ã+2Sc=28.8+3.84=67.2

Уг хичээлээñ ойлгосон áîëîí

àíõààðàõ ç¿éëñèéã ÿðèëöàí

дүгнэõ

ªгөгдсөн бодлогыг áè÷èæ òýìäýãëýõ



6

2минут

20минут

16минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý? Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïåðïåíäèêóëÿð

îãòëîëûí

òîäîðõîéëîëò

ºãíº.

Òåîðåì,

ìºðäëºãºº áè÷¿¿ëíý.

Æèøýý. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü

AB=CD=13ñì, BC=11ñì áà

AD=21ñì òàëòàé àäèë õàæóóò

òðàïåö áîëíî. Ïðèçìèéí äèàãîíàëü

îãòëîëûí òàëáàé 180ñì2 áîë

ïðèçìèéí á¿òýí ãàäàðãóóãèéí

òàëáàéã îë.



áîäóóëíà.






¹ 27, 29

Ïðèçìèéã èðìýãò íü ïåðïåíäèêóëÿð õàâòãàéãààð îãòëîõîä ¿¿ññýí îëîí ºíöºãòèéã ïåðïåíäèêóëÿð îãòëîë ãýíý.Òåîðåì. Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ò¿¿íèé õàæóó èðìýãèéí óðòûã ïåðïåíäèêóëÿð îãòëîëûí ïåðèìåòðýýð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿.Ìºðäëºãºº. Øóëóóí ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ñóóðèéí ïåðèìåòðèéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. Sõ.ã=l ∙ Pc

Áîäîëò. ABCD àäèë õàæóóò òðàïåöèéí Ñ îðîéãîîñ ºíäºð áóóëãàæ ñóóðèéã H ãýå.

HD= AD−BC2

⇒HD=5ñì, AH=AD-

HD=21-5=16ñì, ∆CHD :CH 2=CD2−HD2=132−52=169−25=144⇒CH=12ñì∆ AHC : AC2=AH 2+CH 2=162+122=256+144=400⇒AC=20

ñì

SA A 1C1C=180ñì2

⇒ A A1 ∙ AC=180⇒ A A1=180AC

=18020

=9

ñì,

Sõ.ã=A A1 ∙PABCD=9 ∙ (2∙13+11+21 )=522

ñì2

Sc=(AD+BC )∙CH

2=(21+11) ∙12

2=192

ñì2

Sã.ã=2Sc+Sõ.ã=2 ∙192+522=906ñì2

7




2минут

17минут

19минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí

òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý?

Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí

òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?

Мэдлэг бүтээх:Ïàðàëëåëåïèïåäèéí òîäîðõîéëîëò

ºãíº.

Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí

ºíäºð 12ñì, ñóóðèéí òàëóóä 4ñì,

3ñì áîë ñóóðèéí



áîäóóëíà.






¹ 32, 35

Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü

ïàðàëëåëîãðàìì áîë ò¿¿íèéã

ïàðàëëåëåïèïåä ãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåä

íü òóñ á¿ð 4 ïàðàëëåëü èðìýãýýñ

òîãòîõ ãóðâàí õîñ, íèéò 12 èðìýãòýé

áà 6 îðîéòîé. Õîîðîíäîî ïàðàëëåëü 4

èðìýã íü ¿ëäñýí èðìýã¿¿äýä

ïåðïåíäèêóëÿð áàéâàë óã

ïàðàëëåëåïèïåäèéã øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåä, ýñðýã òîõèîëäîëä

íàëóó ïàðàëëåëåïèïåä ãýæ íýðëýíý.

Á¿õ òàëñ íü òýãø ºíöºãò áàéõ

ïàðàëëåëåïèïåäèéã òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåä ãýíý.

Ïàðàëëåëåïèïåäèéí ýñðýã îðîéíóóäûã

õîëáîñîí õýð÷ìèéã ò¿¿íèé äèàãîíàëü

ãýíý.

8

Òºëºâëºëò 7 . Ñýäýâ: Ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í

Çîðèëãî: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


Øèí

ý ìý

äëýã

á¿ò

ýýõ

1-ð æèøýý áîäëîãûã òàâüæ ñýäýëæ¿¿ëíý.

çóðàã 26Çóðãààñ õàðàõàä çîîðü áàðèõ ãàçàð íü ïðèçì õýëáýðòýé áàéíà óó. Õè÷íýýí ì3 øîðîî ãàðàõûã îëíî ãýäýã íü øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îëíî ãýñýí ¿ã.Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.Áàòàëãààã õàìòðàí ÿðèëöàí õèéíý.

1-ð æèøýý: Íîãîîíû í¿õýí çîîðü áàðèõààð òàøóó ãàçðûã ñóðàõ áè÷ãèéí 26-ð çóðàãò ¿ç¿¿ëñýí áàéäëààð óõàõààð áîëæýý. Óã ãàçðûã áàðèõàä õè÷íýýí ì3 øîðîî ãàðàõ âý?Òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ñóóðüòàé ïðèçì áàéíà.Òåîðåì. Øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. V=Sc ∙ h

Ýõëýýä øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü ∠ ABC=90°áàéõ òýãø ºíöºãò ÀÂÑ ãóðâàëæèí áàéõ òîõèîëäîëä àâ÷ ¿çíý. ªãñºí ïðèçìýý òýãø ºíöºãò ABCD ñóóðüòàé, h

ºíäºðòýé ïàðàëëåëåïèïåä áîëãîí ã¿éöýýíý. ABCA1B1C1, CDAC1D1A1 ïðèçì¿¿ä õîîðîíäîî òýíö¿¿. Èéìä 2V ABC A 1B1C1=V ABCD A1B 1C 1D 1

=SABCD ∙ h=2 SABC ∙ h⇒V ABC A1B1C 1=SABC ∙h1-ð æèøýý. Ýíý ïðèçìèéí ñóóðü 3ì áà 16ì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áºãººä

ºíäºð 10ì áàéâ. Sc=3 ∙162

=24 h=10 V=24

∙10=240ì3

Áàò

àòãà

õ

Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 187, ¹41, 42

41. çóðàãò ºãºãäñºí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îë.

46. äàðààõ ñóóðüòàé,h=8äì ºíäºðòýé ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã îë.

À) òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí a=24ñì, b=15ñì, α=900 á) Çºâ ãóðâàëæèí a=b=c=5ñì â) ïàðàëëåëîãðàììûí a=4.5ñì, h=3ñì

Ãýð

èéí

äààë

ãà Ãýðèéí äààëãàâàðò 40, 43-ð äàñãàë

43. òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí õýìæýýñ¿¿ä 28ì, 42ì, 63ì áîëíî. Ò¿¿íòýé èæèë ýçëýõ¿¿íòýé êóáûí èðìýãèéã îë.

9

Òºëºâëºëò 8 . Ñýäýâ: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿í/áàòàòãàë/

Çîðèëãî: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


Ñýð

ãýýí

ñàí

àõ

Ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿íèéã õýðõýí îëîõûã

àñóóæ ÿðèëöàíà.

Æèøýý: Øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåäèéí

ñóóðü õîîðîíäîî 60° ºíöºã ¿¿ñäýã 3ì

áà 5ì óðò òàëóóäòàé

ïàðàëëåë¿ãðàìì áàéâ. Èõ

äèàãîíàëü îãòëîëûí òàëáàé 63ì2 áîë

ïàðàëëåëåïèïåäèéí áàãà

äèàãîíàëèéí óðò áà ýçýëõ¿¿íèéã

îë.

Òåîðåì. Øóëóóí ïðèçìèéí ýçëýõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿. V=Sc ∙ h

ABCDA1B1C1D1 øóëóóí ïàðàëëåëåïèïåä àâúÿ. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí áàãà äèàãîíàëü íü BD1=B1D . Ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí BD äèàãîíàëèéí óðò îëú¸.

Êîñèíóñûí òåîðåì ¸ñîîð

⊿ ABD :BD2=AB2+AD2−2 AB∙ ADcos 60°=32+52−2 ∙3 ∙5 ∙ 12=19

. Ïàðàëëåëîãðàììûí äèàãîíàëèóäûí óðòûí êâàäðàòóóäûí íèéëáýð òàëóóäûí óðòûí êâàäðàòûí íèéëáýðòýé òýíö¿¿ áàéäàã ÷àíàð ¸ñîîð AC2+BD2=2 ( AB2+AD2 )⇒ AC2+19=2 (9+25 )=68⇒ AC2=68−19=49⇒ AC=7

ì. SA A 1c1c=AC ∙ A A1=63ì2⇒ A A1=637

=9ì.

BD12=B D2+D D1

2=19+81=100ì2

⇒B D1=10ì. Ñóóðèéí ïàðàëëåëîãðàììûí òàëáàé

SABCD=AB ∙ ADsin60°=3 ∙5 ∙ √32

=15√32

ì2.

V=S ABCD ∙h=15√32

∙9=135√32

≈116.9ì3

Áàò

àòãà

õ

Áàòàòãàõ äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí õóóäàñ 187, ¹44, 45

45. ãîëûí ýðãèéí äàëàíãèéí õºíäëºí îãòëîë íü òðàïåö õýëáýðòýé áºãººä ò¿¿íèé äýýä, äîîä ñóóðü õàðãàëçàí 3ì, 10ì, ºíäºð íü 3ì, õàæóó èðìýã¿¿ä íü 5ì, 3√2ì áîëíî.

À) 5êì óðò äàëàíä õè÷íýýí êóá ìåòð øîðîî îðîõ âý?

á) óã äàëàíãèéí äýýã¿¿ð íîãîî óðãàñàí ãàçðûí òàëáàéã îë.

10

Ãýð

èéí

äààë

ãàâà

ðÃýðèéí äààëãàâàðò 46, 47-ð äàñãàë

46. òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí õýìæýýñ¿¿ä 28ì, 42ì, 63ì áîëíî. Ò¿¿íòýé èæèë ýçëýõ¿¿íòýé êóáûí èðìýãèéã îë.

Òºëºâëºëò 9. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçìèéí ýçýë¿¿í /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ëîãàðèôì òýíöýòãýë áèøèéã îðëóóëàõ àðãààð áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýæ þóã õýëýõ âý? Ïðèçìèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí îëîõ âý?Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Òýãø ºíöºãò

ïàðàëëåëîïèïåäèéí ãóðâàí òàëñûí

äèàãîíàëü 7, 8, 9 íýãæ óðòòàé

áîë ïàðàëëåëîïèïåäèéí

ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Òàëñ á¿ð äýýð ÿìàð ãóðâàëæèí

¿¿ññýíèéã àñóóíà. Òàëñûí

äèàãîíàëü á¿ð òýãø ºíöºãò

ãóðâàëæíû ÿìàð òàë áîëæ áóéã

àæèãëóóëíà.



áîäóóëíà.

Ä¿ãíýëò: Ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé

áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí


Ãýðèéí äààëãàâàð:

ªãñºí íºõöºëººð

A1B=7 ,BC1=9 ,

BD=8 áàéíà.

Òýãø ºíöºãò

ãóðâàëæèí

á¿ðèéí õóâüä Ïèôàãîðûí òåîðåì áè÷íý.

BC12=a2+c2; BD2=a2+b2 ;

B A12=b2+c2

{a2+c2=81

a2+b2=64b2+c2=49

⇒{c2−b2=17b2+c2=49

⇒2c2=66 , c2=33 , b2=16 , a2=48

V=a ∙b ∙ c=√a2 ∙ b2 ∙c2=√33 ∙16∙ 48=48√11

Äàñãàë áîäëîãûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.

Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ

òýìäýãëýíý.

11

2минут

Ñóðàõ áè÷èã 188-ð õóóäàñ

¹ 49, 51, 52

Òºëºâëºëò 10. Ñýäýâ:Õÿíàëòûí àæèë.

Çîðèëãî: Ïðèçì ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.

À âàðèàíò

1. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü 6ñì, 8ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áàéâ.

Ïðèçìèéí ºíäºð íü 9 ñì áîë ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.

2. Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã 6 ñì áà ñóóðèéí õàâòãàéòàé 600 ºíöºã ¿¿ñãýíý.

Ïðèçìèéí ºíäðèéã îë.

3. Çºâ çóðãààí ºíöºãò ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 428ñì2 , õàæóó

òàëñûí äèàãîíàëü 5ñì áîë ò¿¿íèé ºíäºð áà ñóóðèéã îë.

4. Òðàïåöèéí ñóóðèóä 8ì, 4ì, ºíäºð íü 3ì. Òðàïåö ñóóðüòàé ïðèçìèéí ºíäºð 7ì áîë

ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Á âàðèàíò

1. Øóëóóí ïðèçìèéí ñóóðü íü 9ñì òàëòàé çºâ ãóðâàëæèí áàéâ. Ïðèçìèéí ºíäºð íü

5 ñì áîë ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.

2. Ïðèçìèéí õàæóó èðìýã 10 ñì áà ñóóðèéí õàâòãàéòàé 300 ºíöºã ¿¿ñãýíý.

Ïðèçìèéí ºíäðèéã îë.

3. Çºâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 536ñì2 , õàæóó

òàëñûí äèàãîíàëü 6ñì áîë ò¿¿íèé ºíäºð áà ñóóðèéã îë.

4. Ïàðàëëåëîãðàìûí òàë 5ì, ºíäºð íü 4ì. Ïàðàëëåëîãðàì ñóóðüòàé ïðèçìèéí ºíäºð

11ì áîë ïðèçìèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.

12


Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò /Ïèðàìèä 9öаг/


Çîðèëãî: Îëîí òàëñòûí òóõàé ìýäëýãòýé áîëæ ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóó, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ, ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.



Àãóóëãà

Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Ïèðàìèä

- Ïèðàìèäûí ºíäºð, õàæóó èðìýã,

õàæóó òàëñ, àïîôåì

- Ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóó,

ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé

- Ïèðàìèäûí îãòëîë, îãòëîãäñîí ïèðàìèä

- Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ- Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã ¿ãýýð

õýëýõ, çóðàã äýýð òýìäýãëýõ- Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí ïðèçìèéã

ÿëãàõ- Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé,

ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ




1 Áàòàòãàë 1 Îëîí òàëñòûã ÿëãàõ, íýðëýõ Äèàãîíàëü, äèàãîíàëü îãòëîëûã

¿ãýýð õýëýõ, çóðàã äýýð 2 Ïèðàìèä 1

3 Áàòàòãàë 1

13

òýìäýãëýõ Ïðèçìèéã ìýäýõ, íàëóó, øóëóóí

ïðèçìèéã ÿëãàõ Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí

òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ

4 Ïèðàìèäûí îãòëîë 1


6 Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í 1


8 Õÿíàëòûí àæèë 1

Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Ïðèçì /Áàòàòãàë/ Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïðèçìèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


14

2минут

17минут

19минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïðèçì ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Çºâ äºðâºí ºíöºãò

ïðèçìèéí äèàãîíàëü ñóóðèéí

õàâòãàéòàé 300 ºíöºã ¿¿ñãýõ áà

óðò íü 2 íýãæ

áîë ïðèçìèéí

á¿òýí

ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.

Бататгал: ÒªÌ äýýðõ áîäëîãî áîäóóëíà.





Ãýðèéí äààëãàâàð:“Ìàòåìàòèêèéí òåñò” íîìíû

¹ 279, 280, 281

Ïðèçìèéí á¿õ õàæóó òàëñûí òàëáàéí

íèéëáýðèéã ò¿¿íèé õàæóó

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýõ áà Sõ.ã

ãýæ òýìäýãëýíý. Ïðèçìèéí ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü õàæóó

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé äýýð õî¸ð

ñóóðèéí òàëáàéã íýìñýíòýé òýíö¿¿.

Áîäîëò.

ºãñºí íºõöºëººð ABCD êâàäðàò,

B1D=2 ,∡BDB1=30° áàéíà. ∡BDB1

–èéí õóâüä 30°-èéí ýñðýã îðøèõ

êàòåò ãèïîòåíóçûí õàãàñòàé òýíö¿¿.

Ýíäýýñ BB1=BD2

=1,

BD=√B1D2−BB12=√4−1=√3

ABCD êâàäðàòûí òàëûã à ãýå.

BD2=a2+a2=2a2⇒ 3=2a2⇒a=√ 32 ,

Sã.ã=

2 (AD ∙D D1+DC ∙D D1+AD ∙DC )=2(√ 32 ∙1+1∙√ 32 +√ 32 ∙√ 32 )=2(2√ 32+ 32 )=4√3√2+3=3+2√6

Уг хичээлээñ ойлгосон áîëîí

àíõààðàõ ç¿éëñèéã ÿðèëöàí

дүгнэõ


Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä

15

Ээлжит хичээлийн зорилго: Ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò, ¿íäñýí íýð òîìü¸îã ìýäýæ, ò¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Åãèïåòèéí ïèðàìèäûí òóõàé ñîíèðõîëòîé ìýäýýëëèéã ñóðàëöàã÷èäòàé ÿðèëöàíà.Мэдлэг бүтээх: Ïèðàìèäûí

òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.Ïèðàìèäûã ñóóðèéí îëîí ºíöºãòººð ãóðâàëæèí, äºðâºí ºíöºãò, òàâàí ºíöºãò ïèðàìèä ãýæ àíãèëíà.Òåîðåì1(Õàæóó èðìýã¿¿ä íü òýíö¿¿ áàéõ ïèðàìèäûí ÷àíàð) Õýðýâ ïèðàìèäûí á¿õ õàæóó èðìýã¿¿ä òýíö¿¿ áîë ò¿¿íèé ºíäðèéí ñóóðèéí öýã, ñóóðèéí îëîí ºíöºãòèéã áàãòààñàí òîéðãèéí òºâòýé äàâõöàíà.Æèøýý. Ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ñì áà 4ñì êàòåòóóäòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áîëíî. Õýðýâ ýíý ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä 6–òàé òýíö¿¿ áîë ò¿¿íèé ºíäðèéã îë. Бататгал: 192-ð õóóäàñíû

№ 57, 59-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:


¹ 53-56, 58, 60

Ñóóðü ãýæ íýðëýãäýõ íýã òàëñ íü ÿìàð íýã n-îëîí ºíöºãò, áóñàä òàëñ íü åðºíõèé îðîéòîé ãóðâàëæíóóä áàéõ îëîí òàëñòûã n ºíöºãò ïèðàìèä ãýíý.n îëîí ºíöºãòèéã ïèðàìèäûí ñóóðü, åðºíõèé S îðîéã ïèðàìèäûí îðîé, ïèðàìèäûí îðîéãîîñ ñóóðèéí õàâòãàéä áóóëãàñàí SO ïåðïåíäèêóëÿðûã ïèðàìèäûí ºíäºð, ïèðàìèäûí îðîéã ñóóðèéí îðîéíóóäòàé õîëáîñîí S A1 , S A2 ,…,S An õýð÷ì¿¿äèéã ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä, õàæóó èðìýã¿¿ä áîëîí ñóóðèéí òàëóóäààð áàéãóóëàãäñàí òàëñóóäûã ïèðàìèäûí õàæóó òàëñ, õàæóó òàëñûí îðîéãîîñ áóóëãàñàí SK ºíäð¿¿äèéã àïîôåì ãýíý. Õàæóó òàëñóóäûí òàëáàéí íèéëáýðèéã ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé ãýýä Sõ.ã ãýæ òýìèäýãëýíý. Sõ.ã=S∆ S A1 A2+S∆S A 2A 3

+…+S∆ S An A 1

S.ã.ã= Sõ.ã+ Sñ

Áîäîëò. AB=3, BC=4, ∠ ABC=90° ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã¿¿ä òýíö¿¿ òóë SA=SB=SC=6 òåîðåì 1 ¸ñîîð ºíäðèéí ñóóðü íü Î íü ÀÂÑ òýãø ºíöºãò ãóðâàëæíûã áàãòààñàí òîéðãèéí áóþó ÀÑ ãèïîòåíóçûí äóíäàæ öýã áàéíà. ∆ ABC :AC=√32+42=5 áà

OC=12∙ AC=1

2∙5=5

2 ,

∆ SOC :SO=√l2−OC 2=√36−6.25=√29.75

Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä /Áàòàòãàë/

16



2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïèðàìèä ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïèðàìèäûí òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.

Çºâ ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Æèøýý. Çºâ äºðâºí ºíöºãò

ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 14 ñì,

õàæóó èðìýã 10 ñì áîëíî.

Ïèðàìèäûí à) ºíäºð á) õàæóó



№ 61, 62, 63-ä ºãºãäñºí

áîäëîãûã áîäóóëíà.

Ä¿ãíýëò: Ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã, ºíäºð

çýðýã ïèðàìèäòàé õîëáîîòîé

áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñíûã

¿íýëíý.


¹ 64-66

Òåîðåì 2. Ïèðàìèäûí õàæóó òàëñóóä ñóóðèéí õàâòãàéòàé òýíö¿¿ ºíöã¿¿ä ¿¿ñãýæ áàéâàëÀ) ªíäðèéí ñóóðèéí öýã, ñóóðèéí îëîí ºíöºãòºä áàãòñàí òîéðãèéí òºâòýé äàâõöàíà. Á) Õàæóó òàëñûí àïîôåìóóä õîîðîíäîî òýíö¿¿ áàéíà.Ñóóðü íü çºâ îëîí ºíöºãò áàéäàã ïèðàìèäûí ºíäºð ñóóðèéí òºâ äýýð áóóæ áàéâàë ò¿¿íèéã çºâ ïèðàìèä ãýíý. Çºâ ïèðàìèäûí ºíäðèéã àãóóëñàí øóëóóíûã ò¿¿íèé òýíõëýã ãýíý. Á¿õ èðìýã íü òýíö¿¿ áàéõ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûã òåðàýäð ãýíý.Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð AB=BC=CD=AD=14ñì, SA=SB=SD=SC=10 ñìÀ) ∆ ABC :AC=√142+142=14√2 ñì,

OC=12AC=7√2 ñì.

∆ SOC :OS=h=√102−(7 √2)2=√2

Á) Sõ.ã=pc ∙ l⇒ pc=4 ∙142

=28 ñì

l=SM=√h2+OM2=√2+49=√51, Sõ.ã=28√51 ñì2


Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèä /Áàòàòãàë/

17



2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Ïèðàìèä ãýæ ÿìàð îëîí òàëñòûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Ïèðàìèäûí òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.

Çºâ ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Æèøýý. À óðòòàé èðìýã á¿õèé

çºâ òåòðàýäðèéí ñóóðèéí íýã

èðìýã áà ýñðýã èðìýãèéí

äóíäàæèéã äàéðñàí õàâòãàé,

òåòðàýäðèéí ñóóðèéí òàëñòàé

¿¿ñãýõ ºíöãèéí õýìæýýã îë.


№ 67, 68 -ä ºãºãäñºí áîäëîãûã

áîäóóëíà.

Ä¿ãíýëò: Ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã, ºíäºð

çýðýã ïèðàìèäòàé õîëáîîòîé

áîäëîãûã õýðõýí áîäîæ ñóðñíûã

¿íýëíý.


¹ 69, 70

Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð ABCD òåòðàýäð, á¿õ èðìýã òýíö¿¿, S öýã DC-èéí äóíäàæ áîë

∠ SO1C=α=?

O1C=√AC2−O1 A

2

4=√a2− a2

4= a2 √3

SC=DC2

=a2 , ∆ DCA íü çºâ

ãóðâàëæèí òóë AS íü ∆ DCA ºíäºð áîëíî.

SCCO1

=sinα⇒ sinα=

23a

23a√3

=√33

,

α=arcsin √33


Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí îãòëîë 18

Ээлжит хичээлийн зорилго: Oãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Çºâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Äèàãîíàëü îãòëîë, îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëòûã ºãíº.

Æèøýý. Îãòëîãäñîí çºâ 4 ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 8ì áà 4 ì. ªíäºð íü 3ì áîë á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.Бататгал: - 196-ð õóóäàñíû

№ 73, 76-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ä¿ãíýëò: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí ýñýõèéã ä¿ãíýõ


¹ 74, 75

À) Ïèðàìèäûí íýã òàëñ äýýð ¿ë îðøèõ

2 õàæóó èðìýãèéã äàéðñàí îãòëîëûã

ïèðàìèäûí äèàãîíàëü îãòëîë ãýíý.

Á) Ïèðàìèäûã ñóóðüòàé íü ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîõîä ïèðàìèä íü íýã ïèðàìèä áà ººð íýã îëîí òàëñò áîëîí õóâààãäàíà. Òýð ¿¿ññýí îëîí òàëñòûã îãòëîãäñîí ïèðàìèä ãýíý.Çóðàã äýýð îãòëîãäñîí ãóðâàëæèí ïèðàìèä áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèàìèäûí õàæóó òàëñ á¿ð íü òðàïåö áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ïàðàëëåëü õî¸ð òàëñûã äýýä, äîîä ñóóðü ãýíý. ABC äýýä ñóóðü, A1B1C1 äîîä ñóóðü, îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí 2 ñóóðèéí õàâòãàéí õîîðîíäîõ çàéã îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ºíäºð ãýíý. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó òàëñóóäûí ºíäðèéã óã õàæóó òàëñûí àïîôåì ãýíý. Áîäîëò. ºãñºí íºõöºë ¸ñîîð AB=BC=CD=AC=8, A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=4, B1H=3 ∆ ABD :BD=√AB2+AD2=√64+64=8√2, ∆ A1B1D1 :B1D1=√ A1B1

2+A1D12=√16+16=4 √2

,

HB=BD−B1D1

2=8√2−4√2

2=4√2

2=2√2

∆ BH B1 :B B1=√BH2+B1H2=√8+9=√17 ,

BM=AB−A1B1

2=8−4

2=2

∆ BB1M :B1M=√B B12−BM2=√17−4=√3

, Sõ.ã=

4 ∙ SA A1B1 B=4 ∙AB+A1B1

2∙B1M=4 ∙ 8+4

2∙√3=24√3

ñì2

Òºëºâëºëò 6. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí îãòëîë /Áàòàòãàë/

19

Ээлжит хичээлийн зорилго: Oãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé îëîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Çºâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Òåîðåìûã áè÷¿¿ëíý.Ìºðäëºãºº. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòëýõ çàéíóóäûí õàðüöààíû êâàäðàòòàé òýíö¿¿.

Æèøýý. Îãòëîãäñîí çºâ äºðâºí ºíöºãò ïèðàìèäûí õàæóó èðìýã 10ñì, àïîôåì íü 8 ñì, õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 640ñì2 áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë.


№ 77, 78-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ä¿ãíýëò: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã õýðõýí áîäîæ ñóðñàí ýñýõèéã ä¿ãíýõÃýðèéí äààëãàâàð:

Ñóðàõ áè÷èã 196-ð õóóäàñ ¹ 79, 80

Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóä õîîðîíäîî òºñººòýé áàéíà. Òýð òºñººãèéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòýëõ çàéíóóäûí õàðüöààòàé òýíö¿¿.Áàòàëãàà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèä íü ABC A1B1C1 áîëîã. Ïàðàëëåëü õàâòãàéíóóä íýã õàâòãàéã ïàðàëëåëü øóëóóíóóäààð îãòîëíî. Èéìä AB∥ A1 B1, BC ∥B1C1, CA ∥C1 A1⇒∆ SAB ∆S A1B1∆ SBC ∆ SB1C1 ,∆ SCA ∆S C1 A1⇒

SAS A1

= SBS B1

= SCSC1

= ABA1B1

= BCB1C 1

= CAC1 A1

⇒∆ ABC ∆ A1B1C1

Áîäîëò. A A1=BB1=CC1=DD1=10ñì, B1Ì=8, Sõ.ã=640ñì2

∆M B1B:MB=√B1B2−B1M2=√100−64=6

A1B1=x ãýâýë AB=A1B1+2MB=x+2∙6=x+12Sõ.ã=

SA A 1B1B=AB+A1B1

2∙B1M= x+12+x

2∙8=640⇒ 4 (2 x+12 )=640⇒ 2x+12=160⇒2 x=148⇒ x=74 ,

A1B1=74 , AB=74+12=86ñì

ªãºäñºí äàñãàë áîäëîãûã õèéíý.

Òºëºâëºëò 7. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í

20

Ээлжит хичээлийн зорилго:Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Çºâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì1-èéã áè÷¿¿ëæ áàòàëãààã õàìòðàí õèéíý.Òåîðåìîîñ ãàðàõ ìºðäëºãººã áè÷¿¿ëíý.Òåîðåì2. Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í íü ñóóðèéã òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿.

V=13Sc ∙ h, ýíä Sc ïèðàìèäûí

ñóóðèéí òàëáàé, h-ïèðàìèäûí ºíäºðÆèøýý. Çºâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 10ì, ñóóðèéí òàë íü 6ì áîë ýçëýõ¿¿íèéã îë.Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõûí òóëä þó, þó õýðýãòýéã àñóóíà.Ñóóðü íü çºâ ãóðâàëæèí òóë çºâ ãóðâàëæíû òàëáàéã îëíî.




Òåîðåì1. Èæèë ºíäºðòýé, òýíö¿¿ ñóóðèéí òàëáàéòàé ïèðàìèäóóä íü èæèë ýçëýõ¿¿íòýé áàéíà.Áàòàëãàà. Óã õî¸ð ïèðàìèäûã ñóóðèóä íü íýã α õàâòãàéä, îðîéíóóä íü óã α õàâòãàéí íýã òàëä îðøèæ áàéõààð áàéðëóóëíà. Ïèðàìèäûí ºíäð¿¿äèéã îãòëîõ, α õàâòãàéòàé ïàðàëëåëü α 1 õàâòãàé òàòíà. Õýðýâ SO1

SO=k ãýâýë áèäíèé ¿çñýí

îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òóõàé òåîðåì ¸ñîîð õî¸ð ïèðàìèäûí îãòëîëûí òàëáàéíóóä íü õîîðîíäîî òýíö¿¿ k 2S áàéíà. Íýãýíò îãòëîëûí òàëáàéíóóä òýíö¿¿ òóë Êàâàëüåðèéí çàð÷ìààð óã ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í íü òýíö¿¿ þì.Ìºðäëºãºº. Ïèðàìèäûí ñóóðèéã òýíö¿¿ õýñã¿¿äýä õóâààâàë, ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í ìºí òýíö¿¿ õýñã¿¿äýä õóâààãäàíà.

Áîäîëò. V=13Sc ∙ h

Sc=a2√34

=36 √34

=9√3ì2,

∆ SOM :OM=a2=62=3 ,

SO=h=√SM 2−OM2=√100−9=√91V=1

3Sc ∙ h=

13∙9√3 ∙√91=3√273ì3

Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.

Òºëºâëºëò 8. Õичээлийн сэдэв: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í

21

Ээлжит хичээлийн зорилго: Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Çºâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã

õýëýõ âý?

Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì3-èéã áè÷¿¿ëæ

áàòàëãààã õàìòðàí õèéíý.

Æèøýý. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí

ºíäºð 15ì, ýçýëõ¿¿í íü 475ì3,

ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà

4:9 áîëíî. Ñóóðèóäûí òàëáàéã

îë.


№ 87, 88, 89-ä ºãºãäñºí



¹ 85, 86, 90

Òåîðåì 3. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëáàé íü S áà S1, ºíäºð h áîë ýçëýõ¿¿í íü

V=h3(S+√S ∙S1+S1) áàéíà.

∎ îãòëîãäñîí ïèðàìèäàà á¿òýí ïèðàìèä áîëòîë ã¿éöýýõýä á¿òýí ïèðàìèäûí ºíäºð íü h+x áàéñàí ãýæ ¿çüå. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí äýýä, äîîä

ñóóðèóäûí òºñººãèéí õàðüöàà íü h+xx

áàéíà. Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ñóóðèóäûí òàëáàéí õàðüöàà íü òýäãýýð ñóóðèóäààñ ïèðàìèäûí îðîé õ¿ðòëýõ çàéíóóäûí õàðüöààíû êâàäðàòòàé òýíö¿¿ ãýñýí ìºðäëºãºº

¸ñîîð SS1

=( h+xx )

2

⇒ x=h√S1

√S−√S1 èéìä

V=13 (S (h+x )−S1 x )=13 (S h√S

√S−√S1−S1

h√S1√S−√ S1 )=h

3 (S+√S ∙S1+S1)

.Áîäîëò. H=15ì, V=475ì3. Äýýä, äîîä ñóóðèóäûí òàëáàé S , S1 ãýâýë S1S

= 49⇒ S1=

49S áà òåîðåì3 ¸ñîîð

V=h3 (S+√S ∙ S1+S1 )⇒

13∙15( 49 S+√ 49 S2+S)=475⇒ 49 S+ 2

3S+S=95⇒ 19

9S=95⇒ S=45

ì2 , S1=49S=49∙45=20ì2.

Îãòëîãäñîí ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.

22


Çîðèëãî: Áºìáºðöºã ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.

À âàðèàíò

1. Çºâ äºðâºí ºíöºãò ñóóðüòàé ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 4ñì, ïèðàìèäûí ºíäºð 5ñì

áîë õàæóó èðìýãèéã îë.

2. Îãòëîãäñîí çºâ äºðâºí ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 10 ì áà 4ì. ºíäºð íü 6ì

áîë á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òîìü¸îã îë.

3. Çºâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 13 ñì, ºíäºð íü 12ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

4. Ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ì áà 4ì òàëòàé òýãø ºíöºãò áîëíî. Õàæóó èðìýã á¿ð íü

10ì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Á âàðèàíò

1. Çºâ äºðâºí ºíöºãò ñóóðüòàé ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë 6ñì, õàæóó èðìýã íü 10ñì

áîë ïèðàìèäûí ºíäðèéã îë.

2. Îãòëîãäñîí çºâ çóðãààí ºíöºãò ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàëóóä 6 ì áà 4ì. ºíäºð íü 3ì

áîë õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.

3. Çºâ ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí àïîôåì íü 5 ñì, ºíäºð íü 4ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

4. Ïèðàìèäûí ñóóðü íü 3ì áà 4ì òàëòàé òýãø ºíöºãò áîëíî. Õàæóó èðìýã á¿ð íü

10ì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.


23

Íýãæ ñýäýâ: Ýðãýëòèéí áèå /8öаг /


Çîðèëãî: Ýðãýëòèéí áèåèéí øèíæ ÷àíàðóóäûã íýýæ, òýäãýýðèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.



Àãóóëãà

Ñóäëàãäàõóóíû òîãòîëöîî Óð óõààíû òîãòîëöîî

Öèëèíäð, ò¿¿íèé

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé

Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿í

Êîíóñ, ò¿¿íèé ãàäàðãóóãèéí

òàëáàé

Êîíóñûí ýçýëõ¿¿í

Ýðãýëòèéí áèå(öèëèíäð, êîíóñ)-¿¿ä òýäãýýðèéí àíãèëàë, ýëåìåíòèéí óõàãäàõóóíû òîäîðõîéëîëòûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð ãýõ ìýò îëîí õýëáýðýýð èëýðõèéëýõ, ò¿¿íèéãýý áàéãàëü íèéãìèéí îð÷èíòîé õàðèëöàõ õàðèëöààíû õýðýãë¿¿ð áîëãîí àøèãëàõ

Ýðãýëòèéí áèåòýä õàìààòàé á¿õ óõàãäàõóóí õàðèëöàí áàéðøèë áîëîí õýìæýýñèéí ÷àíàðûã ñóäëàí èëð¿¿ëæ ò¿¿íèéãýý ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð òîìú¸îëîí ó÷èðëàí áàòëàõ, áàòàòãàõ ãàðãàëãàà õèéõ




1 Áàòàòãàë 1 Ýðãýëòèéí áèå(öèëèíäð, êîíóñ)-¿¿ä

òýäãýýðèéí àíãèëàë, ýëåìåíòèéí óõàãäàõóóíû òîäîðõîéëîëòûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð ãýõ ìýò îëîí õýëáýðýýð èëýðõèéëýõ, ò¿¿íèéãýý áàéãàëü íèéãìèéí îð÷èíòîé õàðèëöàõ õàðèëöààíû õýðýãë¿¿ð áîëãîí àøèãëàõ

Ýðãýëòèéí áèåòýä õàìààòàé á¿õ óõàãäàõóóí õàðèëöàí áàéðøèë áîëîí õýìæýýñèéí ÷àíàðûã ñóäëàí èëð¿¿ëæ ò¿¿íèéãýý ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð, òýìäýãëýëýýð òîìú¸îëîí ó÷èðëàí áàòëàõ, áàòàòãàõ ãàðãàëãàà õèéõ

2 Öèëèíäð 1


4 Êîíóñ 1

5 Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 1

6 Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í 1



Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í

24

Ээлжит хичээлийн зорилго:Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Çºâ ïèðàìèä ãýæ ÿìàð ïèðàìèäûã õýëýõ âý?

Мэдлэг бүтээх:Æèøýý. Ãóðâàëæèí ïèðàìèäûí ñóóðèéí íýã òàëûã äàéð÷ ýñðýã èðìýãòýé ïåðïåíäèêóëÿð áàéðëàõ õàâòãàé ñóóðèéí íýã õàâòãàéòàé 450 ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ýíý îãòëîëä 5, 6, 9 íýãæ òàëóóäòàé ãóðâàëæèí ¿¿ññýí áîë òàëáàé íü õýäýí êâ.íýãæ áàéõ âý?


№ 81, 82-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.


¹ 83, 84

Áîäîëò. ºãñºí íºõöºëººð AM=5, MC=6, AC=9∡MDB=45°

Îëîõ íü, SABC=?

SABC=AC ∙ DB2

, AM 2−x2=62−(9−x )2;25−x2=36−81+18 x−x2⇒18x=70⇒ x=359

DM=√25−122581 =209 √2

DB=√2DM 2=√2∙ 40081 ∙2=409

SABC=AC ∙ DB2

=9 ∙ 4092

=20

Ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿í îëîõ òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî äàñãàëûã õèéíý.

Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Öèëèíäð25

Ээлжит хичээлийн зорилго: Öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

19минут

17минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Åãèïåòèéí ïèðàìèäûí òóõàé ñîíèðõîëòîé ìýäýýëëèéã ñóðàëöàã÷èäòàé ÿðèëöàíà.Мэдлэг бүтээх:Ýðãýëòèéí áèåò¿¿ä äîòðîîñ

õàìãèéí õÿëáàð áèåò íü öèëèíäð

þì.

Öèëèíäð ãàäàðãóó

×èãë¿¿ëýã÷

Áàéãóóëàã÷óóä ãýñýí

óõàãäàõóóíóóä òàéëáàðëàí

öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Öèëèíäðèéí òýíõëýãèéã íü

äàéðñàí õàâòãàéãààð îãòëîõîä

¿¿ñýõ òýãø ºíöºãò îãòëîëûã

öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë ãýæ

íýðëýíý.

Æèøýý. Öèëèíäðèéã òýíõëýãýýñ

íü √3 çàéòàé áºãººä òýíõëýãòýé

ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîõîä

ñóóðèéí òîéðãîîñ 60° íóì òàñàëñàí

áàéæýý. Öèëèíäðèéí ºíäºð 10 ñì

áîë îãòëîëûí òàëáàéã îë.

Бататгал: 79-ð õóóäàñíû



¹ 22, 23, 25

Íýã õàâòãàé äýýð ¿ë îðøèõ òîéðîã, øóëóóí õî¸ð ºã÷ýý. Òîéðãèéí öýã íýã á¿ðèéã äàéðóóëñàí ºãñºí øóëóóíòàé

ïàðàëëåëü øóëóóí òàòàõàä ¿¿ñýõ ä¿ðñèéã äóãóé öèëèíäð ãàäàðãóó ãýíý.

Òîéðãèéã öèëèíäð ãàäàðãóóãèéí ÷èãë¿¿ëýã÷, òàòñàí øóëóóíóóäûã áàéãóóëàã÷óóä

ãýíý. Öèëèíäð ãàäàðãóóã îãòîëñîí ïàðàëëåëü õî¸ð õàâòãàéãààð õàøèãäñàí áèåèéã öèëèíäð ãýíý. Õýðýâ ýäãýýð õàâòãàé íü áàéãóóëàã÷óóäàä ïåðïåíäèêóëÿð áîë øóëóóí öèëèíäð ãýíý. Ýñðýã òîõèîëäîëä íàëóó öèëèíäð ãýíý.Îãòëîã÷ õî¸ð õàâòãàé äýýð îðøèõ õî¸ð äóãóéã öèëèíäðèéí ñóóðèóä, ñóóðèéí òîéðãóóäûã õîëáîñîí öèëèíäðèéí ãàäàðãóóãèéí õýñãèéã õàæóó ãàäàðãóó ãýíý. Ñóóðèóäûí õàâòãàéí õîîðîíäîõ çàéã öèëèíäðèéí ºíäºð, ñóóðèóäûí òºâèéã äàéðñàí øóëóóíûã öèëèíäðèéí òýíõëýã ãýíý.Áîäîëò. OH=√3 , AB=60° , A A1=10 ñì áàéã. Ñóóðèéí òîéðîãò AB=60° òóë ∠ AOB=60° áàéíà. AO=BO ó÷ðààñ AOB íü çºâ ãóðâàëæèí áºãººä OH íü óã ãóðâàëæíû ºíäºð òóë ∠ AOB=30° áîëíî.

∆OHA :ctg30°=OHAH

⇒ AH=√3√3

=1,

AB=2 AH=2ñì èéìä SA A 1B1B=A A1∙ AB=10 ∙2=20ñì2

ªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.

26

Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Öèëèíäð /Áàòàòãàë/Ээлжит хичээлийн зорилго: Öèëèíäðèéí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Öèëèíäð ãýæ ÿìàð áèåèéã õýëýõ âý? Öèëèíäð òýíõëýã, òýíõëýã îãòëîë ãýæ þóã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Öèëèíäðèéí ýçëýõ¿¿íèé òåîðåìûã

áè÷¿¿ëíý.

Æèøýý. Çóñëàíãèéí õàøààíä 5ì

äèàìåòðòýé, 1.8ì ºíäºðòýé

öèëèíäð õýëáýðèéí áàññåéí

áàéãóóëàâ. Áàññåéíèéã ò¿¿íèé

õàíàíû äýýä èðìýãýýñ 0.2 ì

äîîãóóð ò¿âøèíòýé áîëòîë óñààð

ä¿¿ðãýõèéí òóëä õè÷íýýí ëèòð

óñ øààðäàëàãàòàé âý?




¹ 22, 23, 25

AB=CD íü òýíõëýã îãòëîëûí íýã òàë, AD=BC=2 R íü òýíõëýã îãòëîëûí íºãºº òàë áîëíî. Öèëèíäðèéã àëü íýã áàéãóóëàã÷èéíõ íü äàãóó ç¿ñýýä äýëãýâýë íýã òýãø ºíöºãò, õî¸ð èæèë äóãóé ¿¿ñíý(çóðàã). Ýíý òýãø ºíöºãòèéí òàëáàé íü öèëèíäðèéí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Sõ.ã áîëîõ áà òýãø ºíöºãòèéí íýã òàë íü öèëèíäðèéí ºíäºð AB=h áà õàðèí íºãºº òàë áîëîõ AE íü R ðàäèóñòàé òîéðãèéí óðò òóë 2πR áîëíî. Èéìä Sõ.ã=AB∙ AE=2πR ∙h áîëíî. Öèëèíäðèéí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü Sã.ã= Sõ.ã+2 ∙ Sc=2πR ∙h+2π R2=2 π R (R+h) áéíà.Òåîðåì. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü R, ºíäºð íü h áàéõ öèëèíäðèéí ýçëýõ¿¿í íü V=Sc ∙ h=π R2∙ hÁîäîëò. 5ì äèàìåòðòýé, 1.8-0.2=1.6ì ºíäºðòýé öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëú¸. R=2.5ì, h=1.6ì òóë V=π ∙6.25∙1.6≈31.4ì3(π ≈3.14), 1ë=1äì3 áºãººä 1ì3=1000äì3 òóë áàññåéíä V=3.14ì3=31400ë óñ øààðäëàãàòàé.


Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.

27

Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: ÊîíóñЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí òîäîðõîéëîëò, ÷àíàðûã ¿ãýýð, çóðàã ä¿ðñëýëýýð èëýðõèéëýõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý


2минут

20минут

16минут

2минут

Мэдлэг бүтээх:

SO ºíäðèéã êîíóñûí òýíõëýãý ãýíý. Êîíóñûã òýíõëýãèéã íü äàéðñàí õàâòãàéãààð îãòëîõîä ¿¿ñýõ îãòëîëûã ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîë ãýíý.Êîíóñûã ñóóðü áà ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð õàøèãäñàí êîíóñûí õýñãèéã

îãòëîãäñîí êîíóñ ãýíý.1-ð æèøýý. 9ì ºíäºðòýé êîíóñûã ñóóðüòàé íü ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð îãòëîâ. ¿¿ññýí

îãòëîëûí òàëáàé ñóóðèéí òàëáàéãààñ 4 äàõèí áàãà áîë îãòëîãäñîí êîíóñûí ºíäðèéã îë.Бататгал: 79-ð õóóäàñíû

№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã

179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25

Òîéðãèéí îðøèõ õàâòãàéí ãàäíà îðøèõ

S öýãèéã òîéðãèéí öýã òóñ á¿ðòýé

õîëáîñîí øóëóóíóóäààñ òîãòñîí

ãàäàðãóóã äóãóé êîíóñ ãàäàðãóó ãýíý.

Òîéðãèéã êîíóñ ãàäàðãóóãèéí

÷èãë¿¿ëýã÷, øóëóóíóóäûã ò¿¿íèé

áàéãóóëàã÷óóä, S öýãèéã îðîé ãýæ

íýðëýíý.

Êîíóñ ãàäàðãóó áà ò¿¿íèé îðîéã

äàéðàõã¿é ÷èãë¿¿ëýã÷èéã àãóóëäàã

õàâòãàéòàé ïàðàëëåü

ÿìàð íýãýí õàâòãàé

õî¸ðûí õîîðîíä õàøèãäñàí

îãòîðãóéí áèåòèéã êîíóñ ãýíý.

Îãòëîã÷ õàâòãàé äýýð

îðøèõ äóãóéã êîíóñûí ñóóðü ãýíý.

Êîíóñûí îðîéãîîñ ñóóðèéí îðøèõ

õàâòãàéä òàòñàí ïåðïåíäèêóëÿðûã

êîíóñûí ºíäºð ãýíý. Õýðýâ óã

ïåðïåíäèêóëÿðûí ñóóðü íü êîíóñûí

ñóóðèéí äóãóéí Î òºâòýé äàâõöàæ

áàéâàë êîíóñûã øóëóóí äóãóé êîíóñ ãýíý.

O1O=OS−O1S=9−O1S áà O1 A1=R1 ,OA=R ãýå.

S1=π R12

S=π R2 }⇒ S1S

=π R1

2

π R2=

R12

R2=14⇒ R1

R=12,

∆O1S A1 ∆OSA⇒S O1SO

=R1R

=12, SO1=

92=4.5⇒O1O=9−4.5=4.5

28

Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéí òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Мэдлэг бүтээх:Êîíóñûã àëü íýã áàéãóóëàã÷èéíõ

íü äàãóó ç¿ñýýä, õàâòãàé äýýð

äýëãýâýë çóðãàãò ä¿ðñýëñýí

äýëãýýñ ãàðíà.

Æèøýý. Êîíóñûí ñóóðèéí ðàäèóñ

áà ºíäðèéí õàðüöàà 3:4 áà

ñóóðèéí òàëáàé íü 36π áîë

ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã

îë.


№ 21, 24-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã

179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25

Çóðãààñ õàðàõàä êîíóñûí ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü ò¿¿íèé l

ðàäèóñòàé òîéðãèéí 2πR óðòòàé AC

íóìä òóëñàí ñåêòîðûí òàëáàé áà êîíóñûí

ñóóðèéí Sc=π R2 òàëáàéí íèéëáýðòýé

òýíö¿¿.

Ñåêòîðûí òàëáàé íü íóìûí óðòûã

ðàäèóñààð ¿ðæ¿¿ëñíèé õàãàñüàé

òýíö¿¿ òóë

Sõ.ã=12AC ∙ SA=1

2∙2πR ∙ l=πRl ýíäýýñ

êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü

ò¿¿íèé ñóóðèéí òîéðãèéí óðò,

áàéãóóëàã÷ õî¸ðûí ¿ðæâýðèéí õàãàñ

áàéíà ãýæ ãàðíà. ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü Sã.ã=

πRl+π R2=πR(l+R)

Áîäîëò. Ñóóðèéí ðàäèóñ R, áàéãóóëàã÷

l õî¸ðûã îëîõ õýðýãòýé.

S=36π R2⇒π R2=36π⇒R=6 ºãñºí

íºõöºë ¸ñîîð Rh

=34⇒h=8

∆ SOA :SA2=SO2+AO2=64+36⇒ l=SA=10⇒

Sã.ã¿ πR (l+R )=π ∙6 (10+6 )=96 π



29

Òºëºâëºëò 6. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íЭэлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


18минут

18минут

2минут

Мэдлэг бүтээх:Êîíóñò áàãòñàí, áàãòààñàí

ïèðàìèäûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Êîíóñûí ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸îíû

ãàðãàëãààã õèéíý. Ä¿ãíýëò

áóþó òåîðåì áè÷¿¿ëíý.

Òåîðåì. Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í íü

ò¿¿íèé ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð

¿ðæ¿¿ëñíèé ãóðàâíû íýãòýé

òýíö¿¿ áàéíà.

Æèøýý. Öààòàí èðãýäèéí

àìüäàðäàã óðöûí ñóóðèéí

äèàìåòð íü 4ì áà áàéãóóëàã÷

ìîäíû óðò √13ì áîë óðöûí

ýçëýõ¿¿íèéã îë.



Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã

179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25

Îðîé íü êîíóñûí îðîéòîé äàâõàöäàã,

ñóóðü íü êîíóñûí ñóóðèéí òîéðîãò

áàãòñàí ýñâýë òîéðãèéã áàãòààñàí

ïèðàìèäûã õàðãàëçàí óã êîíóñò áàãòñàí

ýñâýë áàãòààñàí ïèðàìèä ãýíý.

Êîíóñò çºâ n ºíöºãò áàãòààãààä õàæóó

òàëñûí òîî áóþó n-èéã õÿçãààðã¿é

îëøðóóëàõàä ïèðàìèäûí ñóóðèéí

òàëáàéí õÿçãààð íü êîíóñûí ñóóðèéí

òàëáàé ãàðàõ áà õàðèí ïèðàìèäûí ºíäºð

íü ÿìàãò êîíóñûí ºíäºðòýé òýíö¿¿ õýâýýð

áàéíà. Óã ïèðàìèäûí ýçëýõ¿¿íèéã V n,

ñóóðèéí òàëáàéã íü Sn ãýå. Ïèðàìèäûí

ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸î ¸ñîîð

V n=13Sn ∙ h=

π3R2h. Ýíäýýñ äàðààõ

òåîðåì ãàðíà.

Áîäîëò. Äèàìåòð íü 4ì òóë R=2ì, l=√13ì òóë

h=√l2−R2=√13−4=3ì

V¿ π3R2h=π

3∙22 ∙3=4 π ì3



30

Òºëºâëºëò 7. Õичээлийн сэдэв: Êîíóñûí ýçëýõ¿¿í/Áàòàòãàë/

Ээлжит хичээлийн зорилго: Êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ òîìü¸îã áàòëàõ, ó÷èðëàí

¿íäýñëýõ, ò¿¿íèéã áîäëîãî áîäîõîä àøèãëàõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Мэдлэг бүтээх:Îãòëîãäñîí êîíóñûí õàæóó

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ

òîìü¸îã õýëíý.

Æèøýý. Òýãø ºíöºãò òðàïåöèéí

áàãà ñóóðü íü 4ñì áà ºíäºð íü 6√3ñì, èõ ñóóðü õàæóó òàëòàéãàà

30° ºíöºã ¿¿ñãýæ áàéâ. Ýíý

òðàïåö áàãà õàæóó òàëàà òîéðîí

ýðãýõýä ¿¿ññýí áèåòèéí ã¿éöýä




Ãýðèéí äààëãàâàð:Ñóðàõ áè÷èã

179-ð õóóäàñ ¹ 22, 23, 25

Îãòëîãäñîí êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí

òàëáàéã îëîõäîî îãòëîãäñîí êîíóñûã

ã¿éöýýæ á¿òýí êîíóñ áîëãîîä òîì êîíóñûí

õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàéãààñ

æèæèã êîíóñûí õàæóó ãàäàðãóóãèéí

òàëáàéã õàñäàã.

Sõ.ã=πl(R+R1),

Sã.ã=πl (R+R1 )+π R2+π R12

Áîäîëò. ¿¿ññýí áèåò íü îãòëîãäñîí êîíóñ

áîëîõ íü õàðàãäàæ áàéíà. Áîäëîãîä ºãñºí

¸ñîîð OO1 A A1 íü òýãø ºíöºãò òðàïåö

òóë O1 A1=4ñì, A1 K=6√3 ,∠K AA1=30°

áàéíà.

∆ A1KA :sin 30°=A1 KA A1

⇒ A A1=A1 Ksin 30°

=12√3

ñì, cos30°= AK

A A1⇒ AK=A A1 cos30

°=18

ñì, ÎÀ=4+18=22ñì

Sã.ã=

πl (R+R1 )+π R2+π R12=π (4+22 ) ∙12√3+π ∙42+π ∙222=312π √3+500π


Ãýðèéí äààëãàâàð áè÷èæ òýìäýãëýíý.31


Çîðèëãî: Ýðãýëòèéí áèå ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.

À âàðèàíò

1. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü 3ì, ºíäºð íü 4ì áàéõ öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîëûí

äèàãîíàëèéã îë.

2. Öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü 84ì2 òàëáàéòàé êâàäðàò áîëíî. Öèëèíäðèéí

ñóóðèéí òàëáàéã îë.

3. AB=3, CD=5 òàëòàé ABCD òýãø ºíöºãò CD òàëàà òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ

öèëèíäðèéí à) õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé á) ýçýëõ¿¿íèéã îë.

4. Êîíóñûí áàéãóóëàã÷ 4ñì, ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîëûí îðîé äàõü ºíöºã 600 áîë

êîíóñûí ñóóðèéí òàëáàéã îë.

5. 5ñì, 8ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ãèïîòåíóçýý òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ

ýðãýëòèéí áèåòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Á âàðèàíò

1. Ñóóðèéí ðàäèóñ íü 5ì, ºíäºð íü 7ì áàéõ öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîëûí

äèàãîíàëèéã îë.

2. Öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü 68ì2 òàëáàéòàé êâàäðàò áîëíî. Öèëèíäðèéí

ñóóðèéí òàëáàéã îë.

3. AB=6, CD=5 òàëòàé ABCD òýãø ºíöºãò CD òàëàà òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ

öèëèíäðèéí à) õàæóó ãàäàðãóóãèéí òàëáàé á) ýçýëõ¿¿íèéã îë.

4. Êîíóñûí áàéãóóëàã÷ 6ñì, ò¿¿íèé òýíõëýã îãòëîëûí îðîé äàõü ºíöºã 300 áîë

êîíóñûí ñóóðèéí òàëáàéã îë.

5. 5ñì, 7ñì êàòåòòàé òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí ãèïîòåíóçýý òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ñýõ

ýðãýëòèéí áèåòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.

32


Íýãæ ñýäýâ: Ýðãýëòèéí áèå


Çîðèëãî: Áºìáºðöºã, áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöãèéí òóõàé ìýäëýã ýçýìøèí áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, ýçýëõ¿¿í îëîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.



Àãóóëãà

Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí- Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöºã

- Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòð

- Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í

- Áºìáºðöºã ñåãìåíò

- Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã

- Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé

- Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí

òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ

- Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ

- Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ

- Áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ

- Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöãèéí

òîäîðõîéëîëò ìýäýõ

- Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ



Õóãà

öààÇîðèëò

1 Áºìáºðöºã 1 Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ


3 Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í 1 Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í, áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ4 Áàòàòãàë 1

5 Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã 1 Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé

áîäëîãî áîäîõ 6 Áàòàòãàë 1

7 Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 1 Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îëîõ

33


Òºëºâëºëò 1. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


34

2минут

20минут

16минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Òîéðîã, òîéðãèéí õºâ÷,

äèàìåòðèéí òóõàé ÿðèëöàíà.

Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðèéí

òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Òåîðåì 1. Áºìáºðöãèéã

õàâòãàéãààð îãòîëñîí àëèâàà

îãòëîë íü äóãóé áàéíà.

Æèøýý. 3 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí

õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 5π

áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ îãòëîã÷

õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.

Áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëä

ÿìàð ä¿ðñ ¿¿ñýõ âý?

Äóãóéí òàëáàéã õýðõýí îëäîã âý?


№ 162, 164-ä ºãºãäñºí



¹ 161, 163, 165

Òîäîðõîéëîëò. Îãòîðãóéä ÿìàð íýãýí Î

öýãýýñ èæèëõýí R(R>0) çàéä

àëñëàãäñàí öýã¿¿äèéí ¿¿ñãýõ

ãàäàðãóóã áºìáºëºã ãàäàðãóó ãýæ

íýðëýíý. Áºìáºëºã ãàäàðãóóãààð

çààãëàãäñàí îãòîðãóéí áèåèéã

áºìáºðöºã ãýæ íýðëýíý. Î öýãèéã

áºìáºðöãèéí òºâ, R òîîã áºìáºðöãèéí

ðàäèóñ ãýíý.

Òºãñãºë¿¿ä íü áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó

äýýð îðøèõ õýð÷ìèéã áºìáºðöãèéí õºâ÷,

áºìáºðöãèéí òºâèéã äàéðñàí õºâ÷èéã

äèàìåòð ãýíý.

Áîäîëò. Îãòëîëä ¿¿ñýõ äóãóéí òàëáàé íü

π ∙O1M2=5π

ãýäãýýñ ðàäèóñ íü

O1M=√5 ãýæ

ãàðíà. Çóðãààñ

Ïèôàãîðûí òåîðåìîîð

O1O=√9−5=√4=2

Äàñãàë áîäëîãûã áºìáºðöãèéí òóõàé

ìýäëýãýý àøèãëàí õèéíý.


Òºëºâëºëò 2. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöãèéí òîäîðõîéëîëòûã ìýäýõ, áºìáºðöãèéí õºâ÷, äèàìåòðûã íýðëýõ, áºìáºðöãèéí îãòëîã÷ õàâòãàéòàé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.

35


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºëºã ãàäàðãóó, áºìáºðöºã ãýæ þóã õýëýõ âý?Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé

òåîðåìóóäûã áè÷¿¿ëíý.

Áºìáºðöãèéí òºâèéã äàéðñàí

îãòëîëä ¿¿ñýõ äóãóéã èõ äóãóé

ãýõ áà ò¿¿íèé õèëèéã èõ òîéðîã

ãýíý.

Ø¿ðãýã÷ õàâòãàéí òîäîðõîéëîëò

ºãíº.

Æèøýý. Áºìáºðöãèéí òºâººñ 8ñì

çàéòàé À öýãèéã äàéðñàí

ø¿ðãýã÷ õàâòãàé òàòàõàä À

öýãýýñ ø¿ðãýëòèéí öýã

õ¿ðòýëõçàé 6ñì áîë áºìáºðöãèéí

ðàäèóñûã îë.

Бататгал: 221-ð õóóäàñíû № 166, 168-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã áîäóóëíà.Ãýðèéí äààëãàâàð:


Òåîðåì 2. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýðõ,

íýã äèàìåòðèéí òºãñãºë¿¿ä äýýð ¿ë

îðøèõ äóðûí õî¸ð öýãèéã äàéðñàí èõ

òîéðîã çºâõºí ãàíöûã òàòàæ áîëíî.

Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóòàé çºâõºí ãàíö

åðºíõèé öýãòýé õàâòãàéãáºìáºðöãèéí

ø¿ðãýã÷ õàâòãàé ãýíý.

Òåîðåì. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñûí

òºãñãºëèéã äàéðóóëæ, óã ðàäèóñò

ïåðïåíäèêóëÿð òàòñàí õàâòãàé íü

ø¿ðãýã÷ õàâòãàé áàéíà. Ìºí óðâóó

ºã¿¿ëáýð ¿íýí áàéíà.

Áîäîëò. Çóðãààñ õàðàõàä ºãñºí íºõöºë

¸ñîîð AO=8ñì, AB=6ñì áàéíà. Ðàäèóñûí

òºãñãºëèéí öýãò òàòñàí ø¿ðãýã÷

õàâòãàé íü ðàäèóñò ïåðïåíäèêóëÿð

áàéõ ó÷èð

∆ ABO :BO=√AO2−AB2=√64−36=√28=2√7ñì áàéíà.

Äàñãàë áîäëîãûã áºìáºðöãèéí òóõàé

ìýäëýãýý àøèãëàí õèéíý.


Òºëºâëºëò 3. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í Çорилго: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿íèé òîìü¸î àøèãëàí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.

36


22минут

14минут

2минут

Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã äàðààõ

áàéäëààð Êàâàëüåðèéí çàð÷ìûí

òóñëàìæòàéãààð îëäîã.

Áèä öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé

Vöèë=h ∙Sc, êîíóñûí ýçýëõ¿¿íèé

Vêîí=13h ∙Sc òîìü¸îã ¿çñýí áèëýý.

Æèøýý. 3ñì áà 4 ñìðàäèóñòàé

õî¸ð ìåòàëë áºìáºðöãèéã

õàéëóóëæ äàõèí áºìáºðöºã

öóòãàâ. Øèíý áºìáºðöãèéí

ðàäèóñûã îë.

Õî¸ð áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿í

õàðãàëçàí V= 43π ∙33=36 π ,

V= 43π ∙43=256 π

3 , òýäãýýðèéí

íèéëáýð ýçýëõ¿¿í

36 π+256 π3

=364 π3


№ 170,172-ä ºãºãäñºí áîäëîãûã

áîäóóëíà.


¹ 171, 173

Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí

ýçýëõ¿¿í íü V= 43π R3 áàéíà.

2R ºíäºðòýé, ñóóðèéí ðàäèóñ íü R áàéõ

øóëóóí öèëèíäðò áºìáºðöºã áàãòààÿ.

Öèëèíäðýýñ áºìáºðöãèéã õàñàõàä

¿¿ñýõ áèåòèéã ñîíèðõîíî. Óã áèåòèéã

áºìáºðöãèéí òºâººñ õ çàéòàé öèëèíäðèéí

ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð

îãòîëáîë, îãòëîëä r áà R ðàäèóñòàé

òîéðãóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí öàãàðèã

¿¿ñíý. Ïèôàãîðûí òåîðåì ¸ñîîð R2−r2=x2

òóë óã öàãàðèãèéí òàëáàé

π R2−π r2=π x2. Íºãºº òàëààñ òýíõëýã

îãòëîë íü 2R ãèïîòåíóçòàé àäèë õàæóóò

òýãø ºíöºãò ãóðâàëæèí áàéõ êîíóñûã,

ò¿¿íèé îðîéãîîñ õ çàéòàé êîíóñûí

ñóóðüòàé ïàðàëëåëü õàâòãàéãààð

îãòëîõîä îãòëîëûí òàëáàé íü ìºí π x2

áàéíà. Èéìä Êàâàëüåðèéí çàð÷èì ¸ñîîð

öèëèíäðýýñ áºìáºðöãèéã õàñàõàä

¿¿ñýõ áèåò íü 2 øèðõýã èéì êîíóñòàé

èæèë ýçëýõ¿¿íòýé áàéíà. Òýãýõëýýð

Váºì=Vöèë-2Vêîí=

2 R∙ π R2−2 ∙ 13R ∙π R2=4

3π R3ªãñºí

äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.


Òºëºâëºëò 4. Õичээлийн сэдэв: Áºìáºðöãèéí ýçëýõ¿¿í /áàòàòãàë/

37

Ээлжит хичээлийн зорилго: Áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìü¸î àøèãëàí ýçýëõ¿¿íòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

17минут

19минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã õýðõýí

îëäîã âý?

Мэдлэг бүтээх:Áºìáºðöãèéí òºâèéã íü

äàéðààã¿é õàâòãàéãààð

îãòëîõîä ¿¿ñýõ õî¸ð õýñãèéí

áàãûã íü áºìáºðöºã ñåãìåíò ãýíý.

.

Æèøýý. Áºìáºðöãèéí ñåãìåíòèéí

ºíäºð áºìáºðöãèéí ðàäèóñààñ 5

äàõèí áàãà áàéâ. Ýíý ñåãìåíòèéí

ýçýëõ¿¿íèéã áºìáºðöãèéí

ýçýëõ¿¿íä õàðüöóóëñàí

õàðüöààã îë.





¹ 175, 176, 178

R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã

V= 43π R3 òîìü¸îãîîð îëíî.

Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðöãººñ

òàñëàãäñàí h ºíäºðòýé ñåãìåíòèéí

ýçýëõ¿¿í íü π h2 ∙(R−13h) áàéíà.

Îãòëîëûí äóãóéã áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí

ñóóðü ãýíý. Áºìáºðöºã ñåãìåíòèéí äîòîð

ñóóðüä ïåðïåíäèêóëÿðààð îðøèõ,

áºìáºðöãèéí ðàäèóñûí õýñãèéã

ñåãìåíòèéí ºíäºð ãýíý

Áîäîëò. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã R ãýâýë

ñåãìåíòèéí ºíäºð h=R5 áàéíà. Ñåãìåíòèéí

ýçýëõ¿¿í íü

π ∙ R2

25∙(R−1

3∙ R5 )= 14

375π R3

Îëîõ õàðüöàà íü

( 14375 π R3) :( 43 π R3)= 7250



38

Òºëºâëºëò 5. Õичээлийн сэдэв: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã Ээлжит хичээлийн зорилго: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

16минут

20минут

2минут


îëäîã âý?

Мэдлэг бүтээх:Áºìáºëºãò áàãòñàí îëîí òàëñò,

áºìáºðöãèéã áàãòààñàí îëîí

òàëñòûí òîäîðõîéëîëò ºãíº.

Æèøýý. Çºâ ãóðâàëæèí

ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë à-òàé

òýíö¿¿ áà õàæóó èðìýã íü

ñóóðèéí õàâòãàéä α ºíöãººð

íàëæýý. Ïèðàìèäûã áàãòààñàí

áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.





¹ 184, 186, 187



Õýðýâ á¿õ îðîé íü íýã áºìáºëºã äýýð

îðøèæ áàéâàë îëîí òàëñòûã áºìáºëºãò áàãòñàí áàéíà ãýíý.

Õýðâýý ã¿äãýð îëîí òàëñòûí á¿õ òàëñ

íü íýã áºìáºðöãèéã ø¿ðãýæ áàéâàë

áºìáºðöãèéã áàãòààñàí îëîí òàëñò

ãýäýã.

Áîäîëò. SABC çºâ ãóðâàëæèí ïèðàìèä Î

òºâòýé áºìáºðöºãò áàãòñàí áàéã. À

òàëòàé ÀÂÑ ãóðâàëæíûã áàãòààñàí

òîéðãèéí òºâ Î1 áîë ðàäèóñ íü AO1=a√3

áàéäàã.

∠ SAO1=α⇒∠ ASO=∠ ASO1=90°−α

ãýæ ãàðàõ áºãººä AOS àäèë õàæóóò

ãóðâàëæèí ó÷ðààñ

∠ SAO=∠ASO=90°−α ⇒

∠ AOO1=180°−2α

∆ AO1O :R=AO=AO1

sin (180°−2α )=

AO1

sin 2α= a

√3sin 2αªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.


39

Òºëºâëºëò 6. Ñýäýâ: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã Çîðèëãî: Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºãòýé õîëáîîòîé áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðûã ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут


îëäîã âý?

Мэдлэг бүтээх:

Æèøýý. Çºâ ãóðâàëæèí

ïèðàìèäûí ñóóðèéí òàë à, ñóóðü

äàõü õî¸ð òàëñò ºíöºã φ –òýé

òýíö¿¿ áàéâ. Ýíý ïèðàìèäàä

áàãòñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã

îë.

Áîäîëò. SABC çºâ ãóðâàëæèí

ïèðàìèä, ºíäºð íü SO1, áàãòñàí

áºìáºðöãèéí òºâ Î, àïîôåì íü SM

áîëîã. Òýãâýë MO1=a2√3 áàéíà.

Áºìáºðöãèéí òºâ Î öýã íü SMC

øóãàìàí ºíöãèéí áèññåêòðèñ áà

SO1 ºíäðèéí îãòëîëöîë äýýð

îðøèíî. Èéìä

∠OMO1=∠SM O1

2=φ2

,

∆M OO1 :r=OO1=¿

¿MO1 ∙tg (∠OMO1 )=¿ a2√3

∙ tg φ2







Õýðýâ áºìáºðöºã öèëèíäð, êîíóñ,

îãòëîãäñîí êîíóñûí á¿õ áàéãóóëàã÷óóä

áà ñóóðèóäûã ø¿ðãýæ áàéâàë

áºìáºðöãèéã òýäãýýðò áàãòàæ áàéíà

ãýäýã. Ìºí ÿíç á¿ðèéí áîäëîãî áîäîõîä

òýíõëýã îãòëîëûã àâ÷ ¿çâýë àøèãòàé

áàéäàã. Òýäãýýð òýíõëýã îãòëîëóóäûã

õàðâàë ÿìàð ÷ êîíóñò áºìáºðöºã áàãòàõ

áà õàðèí öèëèíäð áà îãòëîãäñîí êîíóñò

áºìáºðöºã ÿìàãò áàãòàõ àëáàã¿é þì.

Òóõàéëáàë áºìáºðöºã áàãòààñàí

öèëèíäðèéí òýíõëýã îãòëîë íü êâàäðàò,

áàãòààñàí îãòëîãäñîí êîíóñûí òýíõëýã

îãòëîë íü òîéðîã áàãòààñàí àäèë

õàæóóò òðàïåö áóþó äóíäàæ øóãàì íü

õàæóó òàëòàéãàà òýíö¿¿ áàéäàã àäèë

õàæóóò òðàïåö áàéõ ¸ñòîé.



40

¹ 189, 191, 192

Òºëºâëºëò 7. Ñýäýâ: Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Çîðèëãî: Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéí òîìü¸îã àøèãëàí áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàð ýçýìøèíý.


2минут

18минут

18минут

2минут

Сэðãýýí ñàíóóëàõ:Áàãòñàí áà áàãòààñàí áºìáºðöºã

ãýæ ÿìàð áºìáºðöãèéã õýëýõ âý?

Мэдлэг бүтээх:Òåîðåì. R ðàäèóñòàé

áºìáºðöãèéã áàãòààñàí ã¿äãýð

îëîí òàëñòûí ã¿éöýä

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé Sã.ã

ýçýëõ¿¿í íü V=13∙ r ∙Sã.ã

Òåîðåì. R ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí

ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü

S=4 π R2 áàéíà.

Æèøýý. 15ñì ðàäèóñòàé

áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãààñ 10ñì

çàéä îðøèõ öýãèéã äàéðóóëæ

áºìáºðöãèéã ø¿ðãýõ õî¸ð øóëóóí

òàòàâ. Ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿äèéí

õîîðîíäîõ çàé õàìãèéí èõäýý ÿìàð

áàéõ âý?





¹ 213, 215, 216

Áºìáºðöãèéã õàíãàëòòàé îëîí æèæèã òàëñòàé îëîí òàëñòàä áàãòààâàë, óã îëîí òàëñòûí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé íü áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóä äºõíº. Ýõëýýä áºìáºðöºã áàãòààñàí îëîí òàëñòûí ã¿éöýä ãàäàðãóóãèéí òàëáàé áà ýçýëõ¿¿íèé õîëáîîã èëýðõèéëñýí íýãýí ä¿ãíýëò áàòàëúÿ.Áàòàëãàà. Áàãòñàí áºìáºðöãèéí òºâ áîëîõ Î öýãèéã îëîí òàëñòûí á¿õ îðîéòîé õîëáîâîë åðºíõèé Î îðîéòîé, ñóóðèóä íü îëîí òàëñòûí òàëñóóä áàéõ ïèðàìèäóóä ¿¿ñíý. Ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿ä ð¿¿ òàòñàí ðàäèóñóóä ýäãýýð ïèðàìèäóóäûí ºíäºð íü áîëíî. Èéìä õýðýâ îëîí òàëñòûí òàëñûí òàëáàéíóóä S1 , S2 ,…,Sn áîë îëîí òàëñòûí ýçýëõ¿¿í íü ýäãýýð ïèðàìèä òóñ á¿ðèéí ýçýëõ¿¿í¿¿äèéí íèéëáýð ó÷ðààñ

V=13S1 ∙ r+

13S2 ∙ r+…+ 1

3Sn∙ r=

13r (S1+S2+…+Sn )=13 ∙r ∙

Sã.ã

Áîäîëò.áºìáºðöãèéí òºâèéã Î, öýãèéã À ãýâýë ÎÀ=25ñì áîëíî. ø¿ðãýëòèéí öýã¿¿äèéí õàìãèéí õîë çàé íü ÂÑ õýð÷ìèéí óðòòàé òýíö¿¿.

∆ BOD ∆ AOB⇒ ODOB

=OBOA

⇒ OD15

=1525

⇒OD=9

ñì, Ïèôàãîðûí òåîðåìîîð BD=√152−92=12ñì, BC=2 ∙12=24ñìªãñºí äàñãàëûã õèéæ ã¿éöýòãýíý.


41


Çîðèëãî: Áºìáºðöºã ñýäâýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàðûã ¿íýëæ ä¿ãíýíý.

À âàðèàíò

6. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýð õîîðîíäîõ çàéíóóä íü 3ñì, 4ñì, 5ñì áàéõ ãóðâàí öýã

ºãºâ. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ 7ñì áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ ýäãýýð öýã¿¿äèéã

äàéðñàí õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.

7. 5 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 8π áîë áºìáºðöãèéí

òºâººñ îãòëîã÷ õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.

8. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ íü 6 ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

9. Çºâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí ñóóðèéí òàë áà õàæóó èðìýã íü 5ñì áà 13ñì áîë

áàãòààñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.

10.Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 64π ì2 áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

Á âàðèàíò

1. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóó äýýð õîîðîíäîõ çàéíóóä íü 7ñì, 8ñì, 9ñì áàéõ ãóðâàí öýã

ºãºâ. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ 6ñì áîë áºìáºðöãèéí òºâººñ ýäãýýð öýã¿¿äèéã

äàéðñàí õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.

2. 8 ðàäèóñòàé áºìáºðöãèéí õàâòãàé îãòëîëûí òàëáàé íü 10π áîë áºìáºðöãèéí

òºâººñ îãòëîã÷ õàâòãàé õ¿ðòýëõ çàéã îë.

3. Áºìáºðöãèéí ðàäèóñ íü 4 ñì áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

4. Çºâ äºðâºí ºíöºãò ïðèçìèéí ñóóðèéí òàë áà õàæóó èðìýã íü 4ñì áà 11ñì áîë

áàãòààñàí áºìáºðöãèéí ðàäèóñûã îë.

5. Áºìáºðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé 144π ì2 áîë ýçýëõ¿¿íèéã îë.

42

Ãåîìåòðèéí áîäëîãî

1. Øóëóóí ãóðâàëæèí ïèðèçìèéí ñóóðèéí òàëóóä 2:3:3 ãýæ õàðüöàíà .Õàæóó èðìýã 5

ñì õàæóó ãàäàðãóó 80 ñì2

áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë

2. Òýãø ºíöºãòèéí ïàðàëëåëåïèïåäèéí ãóðâàí õýìæýýñ à=8 â=9 ñ=12 áîë Sõ.ã=?

Sáã=? V-èéã îë

3. Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí òàëóóä 6ì ,8ì ïàðàëëåëåïèïåäèéí

äèàãîíàëü ñóóðèéí õàâòãàéòàé 45ãðàäóñ ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí

äèàãîíàëü îãòëîëûí S èéã îë .

4. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 9π, ò¿¿íèé ýçëýõ¿¿í 18π áîë ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí Sáã =?

Sõã - ãîë

5. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 16π, òýíõëýã îãòëîëûí òàëáàé 24 áîë

ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí Sáã=? Sõã, ýçýëõ¿¿íèéã îë

6. Êîíóñûí R=5ì, áàéãóóëàã÷ áà ñóóðèéí äèàìåòðòýé ¿¿ñãýõ ºíöºã íü α =30 ãðàäóñ

áîë Sáã=? Sõ.ã=? V=? îë

7. Êîíóñûí l=5äì ,áàéãóóëàã÷ áà ñóóðèéí äèàìåòðòýé ¿¿ñãýõ ºíöºã íü α =45 ãðàäóñ

áîë Sáã =? Sõã=? V=? oë

8. Çºâ òåòðàýäðèéí èðìýãèéí óðò íü 4 ñì áîë ò¿¿íèé á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.

9. Çºâ òåòðàýäðèéí á¿òýí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé √3ñì2 áîë ò¿¿íèé èðìýãèéã îë .

10. Øóëóóí ãóðâàëæèí ïðèçìèéí ñóóðèéí òàëóóä 4:3:5 ãýñýí õàðüöààòàé. Õàæóó èðìýã

5 ñì, õàæóó ãàäàãóóãèéí òàëáàé 120 ñì2 áîë ñóóðèéí òàëóóäûã îë.

11. Òýãø ºíöºãòèéí ïàðàëëåëåïèïåäèéí ãóðâàí õýìæýýñ à=15 â=8 ñ=9 áîë Sõ.ã=?

Sáã=? V-èéã îë

12. Òýãø ºíöºãò ïàðàëëåëåïèïåäèéí ñóóðèéí òàëóóä 5ì ,12ì ïàðàëëåëåïèïåäèéí

äèàãîíàëü ñóóðèéí õàâòãàéòàé 45ãðàäóñ ºíöºã ¿¿ñãýíý. Ïàðàëëåëåïèïåäèéí

äèàãîíàëü îãòëîëûí S èéã îë .

13. Öèëèíäðèéí ñóóðèéí òàëáàé 25π òýíõëýã îãòëîëûí òàëáàé 30 áîë ýíýõ¿¿ öèëèíäðèéí

Sáã=? Sõã, ýçëýõ¿¿íèéã îë

43

44

Documents

Óóë Õàí öîãöîëáîð ñóðãóóëü Ý.Ýíõíàðàí Web viewÃåîìåòðèéí íýãæ õè÷ýýëèéí õºòºëáºð. Íýãæ ñýäýâ: Îëîí òàëñò