γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 23 12 2014

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Τράπεζα Θεμάτων

ASKISOPOLIS

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί:

Βλαχόπουλος Αποστόλης, Δικαιοσυνόπουλος Νίκος

Κολλινιάτη Γιωργία, Μάκος Σπύρος

Μαρωνίτη Ειρήνη, Μαρωνίτης Λάμπρος

Μπουρούνης Μιχάλης, Μιχαήλογλου Στέλιος

Πανούσης Γιώργος, Παπαθανάση Κέλλυ

Πατσιμάς Ανδρέας, Πατσιμάς Δημήτρης

Ραμαντάνης Βαγγέλης, Σαμπάνης Νίκος

Τόλης Ευάγγελος, Φανέλη Αναστασία

Φερεντίνου Σταυρούλα

Έκδοση 4η 23-12-2014

Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση

Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις 4_19013, 4_19020 και 4_19037

Αλλαγές: Στην άσκηση 4_19039 άλλαξε το β ερώτημα,

στην 4_19029 αφαιρέθηκε το δ ερώτημα

στην 4_19027 αφαιρέθηκε το δ ερώτημα και

στην 4_19016 άλλαξε η σειρά στα σημεία Δ και Ε

Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου

1

Θεώρημα Θαλή

2.18975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 15 . Από το βαρύκεντρο Θ τουτριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στασημεία Δ και Ε αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι

2

3και

2 . μ 15

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. μ 10Λύση

α) Επειδή το Θ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , η

απόστασή του από τη κορυφή Α είναι ίση με τα 23

της

διαμέσου ΑΜ, δηλαδή 2 2M3 M 3

Επειδή ΔΕ // ΒΓ από το θεώρημα Θαλή ισχύει ότι:

23

και

23

13

2

β) Είναι 2 2 2 189 63 3 3 3

και

2 2 15 2 15 3 5

2.19024. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος, το τμήμα ΔΕείναι παράλληλο στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου. Από το σημείοΔ φέρουμε την παράλληλη προς τη ΒΕ η οποία τέμνει τηνΑΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α)

μ 10 β)

μ 10

γ)

μ 5

Λύση

α) Επειδή το τρίγωνο ΑΔΕ ορίζεται από τις ευθείες δυο πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και μιαπαράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ, τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν

πλευρές ανάλογες άρα (1)

β) Επειδή το τρίγωνο ΑΔΖ ορίζεται από τις ευθείες δυο πλευρών του τριγώνου ΑΒΕ και μια

παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου ΑΒΕ τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΒΕ έχουν


γ) Οι σχέσεις (1),(2) έχουν δεύτερα μέλη ίσα άρα και πρώτα επομένως


1




2

3και

2 . μ 15




της



23

και

23

13

2

β) Είναι 2 2 2 189 63 3 3 3

και

2 2 15 2 15 3 5


α)

μ 10 β)

μ 10

γ)

μ 5

Λύση








1




2

3και

2 . μ 15




της



23

και

23

13

2

β) Είναι 2 2 2 189 63 3 3 3

και

2 2 15 2 15 3 5


α)

μ 10 β)

μ 10

γ)

μ 5

Λύση








2

2.19026. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ. Φέρνουμε από τοσημείο Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές ΑΒκαι ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α)

μ 10 β)

μ 10 γ)

1 μ 5

Λύση

α) Επειδή το τρίγωνο ΒΕΔ ορίζεται από τις ευθείες δυοπλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και μια παράλληλη προς τηντρίτη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ τα τρίγωνα ΒΕΔ και ΑΒΓ

έχουν πλευρές ανάλογες άρα

(1)

β) Επειδή το τρίγωνο ΖΔΓ ορίζεται από τις ευθείες δυοπλευρών του τριγώνου ΑΒΓ και μια παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ

τα τρίγωνα ΖΔΓ και ΑΒΓ έχουν πλευρές ανάλογες άρα

(2)

γ) Από πρόσθεση κατά μέλη των (1),(2) προκύπτει

1

2.19033.Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η καιΘ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια ώστε

1

3. Να αποδείξετε ότι :

α) ΕΖ//ΘΗ//ΔΒ μ 10

β) 1

3μ 10

γ) ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμο. μ 5Λύση

α) Επειδή

λόγω του Θεωρήματος Θαλή είναι ΕΖ//ΔΒ (1).

Ομοίως

και λόγω του Θεωρήματος Θαλή είναι ΘΗ//ΒΔ (2).

Από (1) , (2) προκύπτει ότι ΕΖ//ΘΗ//ΔΒ.

β) Επειδή ΕΖ//ΔΒ ισχύει ότι

.

Από υπόθεση έχουμε ότι 13

άρα και 1

3

13

(3)

Ομοίως λόγω του ότι ΘΗ//ΔΒ ισχύει

οπότε 1

3

διότι 1

3

από υπόθεση. Άρα 13

(4)

Από (3) , (4) προκύπτει ότι 13

γ) Το ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμο αφού ΕΖ = // ΗΘ.


2


α)

μ 10 β)

μ 10 γ)

1 μ 5

Λύση



(1)



(2)


1


1



β) 1

3μ 10


α) Επειδή


Ομοίως




.


άρα και 1

3

13

(3)


οπότε 1

3

διότι 1

3


(4)




2


α)

μ 10 β)

μ 10 γ)

1 μ 5

Λύση



(1)



(2)


1


1



β) 1

3μ 10


α) Επειδή


Ομοίως




.


άρα και 1

3

13

(3)


οπότε 1

3

διότι 1

3


(4)




3

2.19036.Οι διαγώνιοι του τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) μεΓΔ>ΑΒ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Β προς τηνΑΔ τέμνει την ΑΓ στο Μ. Αν ΟΑ= 12, ΟΒ= 9 και ΟΓ= 36,να αποδείξετε ότι:α) ΟΔ = 27 μ 12β) ΟΜ = 4 μ 13

Λύση

α) Αφού ΑΒ//ΓΔ τότε από το Θεώρημα Θαλή έχουμε ΟΑ ΟΒ 12 9 ΟΔ 27ΟΓ ΟΔ 36 ΟΔ

β) Επειδή ΒΜ//ΑΔ τότε από το Θεώρημα Θαλή προκύπτει ότι:ΟΜ ΟΒ ΟΜ 9 ΟΜ 4ΟΑ ΟΔ 12 27

4.19027.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε τωνπλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ώστε

1

3. Από το σημείο Α φέρνουμε ευθεία (ε)

παράλληλη στη ΒΓ. Η ευθεία (ε) τέμνει τις προεκτάσειςτων ΒΕ και ΓΔ στασημεία Ζ, Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) ΔΕ//ΓΒ μ 8 β) 1

2μ 8 γ)

1

2μ 9

Λύση

α) Από υπόθεση έχουμε

και λόγω του θεωρήματος Θαλή είναι ΔΕ//ΓΒ.

β) Αφού ΑΖ//ΒΓ έχουμε ότι

(1)

Από υπόθεση ισχύει 1 1 13 3 1 2

(2) Άρα από την (1) έχουμε

1 12 2

γ) Είναι 12

και 1

2

δηλαδή

και επειδή ˆ ˆ ως κατακορυφήν,

τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΕΒΓ έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες στις

πλευρές αυτές ίσες, οπότε είναι όμοια. Είναι 12

, άρα 1

2

Θεωρήματα διχοτόμων

2.19031. Στο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος , η διχοτόμος τηςγωνίας Α είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ και τέμνει τη ΔΒ στο Ε και τη ΔΓ στο Ζ.Αν 12 , 8 , 9 και 6 , να αποδείξετε ότι:α) 6 μ 13 β) 9 μ 12


3


Λύση




1



α) ΔΕ//ΓΒ μ 8 β) 1

2μ 8 γ)

1

2μ 9

Λύση




(1)



1 12 2

γ) Είναι 12

και 1

2

δηλαδή




, άρα 1

2




3


Λύση




1



α) ΔΕ//ΓΒ μ 8 β) 1

2μ 8 γ)

1

2μ 9

Λύση




(1)



1 12 2

γ) Είναι 12

και 1

2

δηλαδή




, άρα 1

2




4

Λύση

α) Από Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΔΒ,έχουμε ότι9 12 9 8 6

8 12

β) Επειδή ΖΕ//ΒΓ ισχύει ότι 6 99 6

2.19040.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ >ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕη εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος τουαντίστοιχα.Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=3, ΒΓ=5 και ΒΕ=15, νααποδείξετε ότι:α) ΑΓ = 4 μ 12 β) ΔΕ = 12 μ 13

Λύση

α) Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει ότι3 6 42

.

β) Είναι όπου 15 5 10 και ΔΓ ΒΓ ΒΔ 5 3 2 .Άρα 2 10 12 .

Όμοια πολύγωνα

2.19023. Στο διπλανό σχήμα, τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΚΛΜΝΡ

είναι όμοια και έχουν

και .α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους.Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 8

β) Να υπολογίσετε το μήκος x της πλευράς ΑΕ. μ 8

γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ. μ 9

Λύση

α) Επειδή K , ,

, είναι και οπότε στις πλευρέςΑΒ, ΒΓ, ΓΔ ,ΔΕ, ΕΑ του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ ομόλογες πλευρές του ΚΛΜΡΝ είναι οι ΚΛ,ΛΜ, ΜΝ, ΝΡ, ΡΚ.Ο λόγος ομοιότητας λ των ομοίων πολυγώνων είναι ο λόγος δυο ομόλογων πλευρών άρα

λ= 10 215 3

.

β) Αφού τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΚΛΜΝΡ είναι όμοια άρα 2 xλ3 18

δηλαδή


4

Λύση


8 12



Λύση


.








Λύση



λ= 10 215 3

.


δηλαδή


4

Λύση


8 12



Λύση


.








Λύση



λ= 10 215 3

.


δηλαδή


5

2 x 3x 36 x 123 18

γ) Η περίμετρος 2 του πολυγώνου ΚΛΜΝΡ είναι 15+12+9+15+18=69

Αν 1 η περίμετρος του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ τότε 1 1

2

2 λ3 69

Συνεπώς

11 1

2 3 2 69 463 69

Όμοια τρίγωνα2.18984. Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ.α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναιόμοια και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.i. AB 8, 12, 35 , 20, 30, 35 .

ii. 47 , 38 , 47 , 95 .

iii. , , . μ 15β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο ΑΒΓ είναι όμοιο με το ΔΕΖ, να γράψετε τους ίσουςλόγους των ομόλογων πλευρών του. μ 10

Λύση

α) i. Είναι , 8 220 5

και 12 2

30 5

, δηλαδή

25

Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τιςπεριεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, είναι όμοια.

ii. Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ έχουμε: 180 47 38 180 95

Είναι και , δηλαδή τα δύο τρίγωνα έχουν δύο

γωνίες τους ίσες μία προς μία, οπότε είναι όμοια.

iii. Επειδή

και , τα δύο τρίγωνα έχουν δύο

πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτέςγωνίες ίσες, είναι όμοια.

β) i.

ii.

iii.


6

2.18990. Στο διπλανό σχήμα τα τμήματα ΑΕ και ΒΔτέμνονται στο Γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ καιΕΔΓ είναι όμοια σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:α) ΑΒ // ΔΕ μ 12

β) 2 και 1

2μ 13

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΔΓ έχουν : 1) ως κατακορυφήν και2) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ

που τέμνονται από την ΑΕΕπειδή τα δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, άρα είναι όμοια.

β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΔΓ έχουν : 1) 2

, 21

2

, δηλαδή 2

και

2) ως κατακορυφήν.Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενες στις πλευρέςαυτές γωνίες ίσες, είναι όμοια.

2.18993. α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια σε κάθε μία από τιςπαρακάτω περιπτώσεις:i. 4, 16, 18, 10, 40, 48

ii. 63 , 83 , 63 , 34 μ 15β) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 6, 7 και 8 . Ποιο θα είναι το μήκοςτων πλευρών ενός τριγώνου ΔΕΖ το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, με λόγοομοιότητας 3; μ 10

Λύση

α) i. Επειδή η ΑΓ είναι η μικρότερη πλευρά του τριγώνου ΑΒΓ και η ΔΖ η μικρότερη του

ΔΕΖ είναι αντίστοιχες και έχουν λόγο 410

.

Επειδή οι πλευρές ΒΑ και ΔΕ είναι οι μεγαλύτερες πλευρές των τριγώνων, είναι

αντίστοιχες και έχουν λόγο 18 348 8

Επειδή

τα δύο τρίγωνα δεν είναι όμοια.


Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν 63 και 34 , οπότε είναι όμοια.

β) Έστω ότι η πλευρά ΔΕ είναι αντίστοιχη της ΑΒ, η ΔΖ της ΑΓ και η ΕΖ της ΒΓ, τότε:

3 3 3 6 18

, 3 3 3 7 21

και

3 3 3 8 24


6


β) 2 και 1

2μ 13

Λύση




, 21

2

, δηλαδή 2

και




Λύση



.



Επειδή





3 3 3 6 18

, 3 3 3 7 21

και

3 3 3 8 24


6


β) 2 και 1

2μ 13

Λύση




, 21

2

, δηλαδή 2

και




Λύση



.



Επειδή





3 3 3 6 18

, 3 3 3 7 21

και

3 3 3 8 24


7

2.19011.Από ένα σημείο Σ που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρουμε ταεφαπτόμενα τμήματα ΣΑ και ΣΒ και μία τέμνουσα ΣΓΔ.Να αποδείξετε ότι:α) i. Τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΔΒ είναι όμοια.

ii. Τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΔΑ είναι όμοια. μ 16β) ΑΓ⋅ΒΔ=ΑΔ⋅ΒΓ μ 9

Λύση

α) i) Τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΔΒ έχουν : 1̂ κοινή ˆˆ (γωνία χορδής και εφαπτομένης ίση με την

εγγεγραμμένη που βαίνει στοαντίστοιχο τόξο της χορδής)

Άρα τα τρίγωνα είναι όμοια

ii) Τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΔΑ έχουν : 2̂ κοινή ˆ ˆ (γωνία χορδής και εφαπτομένης ίση με την εγγεγραμμένη που βαίνει

στο αντίστοιχο τόξο της χορδής)Άρα τα τρίγωνα είναι όμοια.

β) Από α)i) έχουμε :

(1) και από α)ii)

(2)

Επειδή τα ΒΣ,ΑΣ είναι εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Σ, είναι ίσα, άρα:

2.19014.Τα παρακάτω τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖέχουν

ˆ ˆ,

ˆ ˆκαι ΑΓ=25, ΕΖ=12, ΕΔ=18

και ΖΔ=15.α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖείναι όμοια. μ 8β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγωνμε τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου ΔΕΖ :

... ... ...

μ 9

γ) Να υπολογίσετε τα x και y. μ 8Λύση

α) Τα δύο τρίγωνα είναι όμοια επειδή έχουν δύο γωνίες ίσες.

β) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουμε:Z

γ) y 25 xZ 12 15 18

.Άρα :

y 25 15y 12 25 y 2012 15 και 25 x 15x 18 25 x 30

15 18


7



Λύση








(2)



ˆ ˆ,



... ... ...

μ 9




γ) y 25 xZ 12 15 18

.Άρα :

y 25 15y 12 25 y 2012 15 και 25 x 15x 18 25 x 30

15 18


7



Λύση








(2)



ˆ ˆ,



... ... ...

μ 9




γ) y 25 xZ 12 15 18

.Άρα :

y 25 15y 12 25 y 2012 15 και 25 x 15x 18 25 x 30

15 18


8

2.19015. Στο διπλανό σχήμα , το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλοστην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ και επιπλέον ισχύουνΑΔ=4, ΔΒ=5 και ΔΕ=6.α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. μ 9β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά

στην ισότητα:

...

... ...μ 9

γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία 4 5

6 xγια να υπολογίσει το x.

Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να γράψετε τη σωστή και ναυπολογίσετε την τιμή του x. μ 7

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουν : ̂ κοινή ˆ ˆ (εντός εκτός και επί τα αυτά των

παραλλήλων ΔΕ και ΒΓ που τέμνονταιαπό τη ΒΓ)

Άρα τα τρίγωνα είναι όμοιαβ) Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουμε:

γ) Είναι λάθος επειδή στους 3 όρους της αναλογίας έχει πλευρές των όμοιων τριγώνων ενώο 4ος είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΔΒ.

Η σωστή αναλογία είναι 9 x 4 9 544x 54 x 13,54 6 6 x 4

2.19017. Τα διπλανά τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναιορθογώνια με ορθές τις γωνίες Α και Δ αντίστοιχα.Επιπλέον, για τις πλευρές των τριγώνων ΑΒΓ καιΔΕΖ αντίστοιχα ισχύουν ΑΒ=28, ΑΓ=24 καιΔΕ=21, ΔΖ=18.α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναιόμοια. μ 10β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε

κατάλληλα τα κενά:

...

... ...μ 9

γ) Από τις παρακάτω ισότητες να επιλέξετε τη σωστή.

i. 18

21ii.

24

28iii.

3

4iv.

4

3μ 6

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν :

4

24

3

18

( 7)4 283 21

ˆ ˆ 90

Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν δύο πλευρές ανάλογες και τις περιεχόμενεςστις πλευρές αυτές γωνίες ίσες άρα είναι όμοια.


8



...

... ...μ 9




Λύση








...

... ...μ 9


i. 18

21ii.

24

28iii.

3

4iv.

4

3μ 6

Λύση


4

24

3

18

( 7)4 283 21

ˆ ˆ 90



8



...

... ...μ 9




Λύση








...

... ...μ 9


i. 18

21ii.

24

28iii.

3

4iv.

4

3μ 6

Λύση


4

24

3

18

( 7)4 283 21

ˆ ˆ 90



9

β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια ισχύει ότι:

γ) 28 4 34 321 3 4

2.19019. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν ΑΒ//ΔΓ, ΑΕ=6,ΑΒ=8, ΓΕ=15 και ΔΕ=10.α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνωνΑΕΒ και ΔΕΓ.Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 8β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναιόμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων τωνομόλογων πλευρών τους. μ 9γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΕ και ΔΓ. μ 8

Λύση

α) ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλωνΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΓ και

ˆ ˆ γιατί είναι κατακορυφήν.

β) Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ έχουν : ˆ ˆ ˆ ˆ

Επομένως τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία και είναι όμοια,

οπότε οι ομόλογες πλευρές του είναι ανάλογες, δηλαδή

.

γ) Αφού τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναι όμοια : 6 815 10

6 15 60 4

15 10

6 8 6 120 2015


9


γ) 28 4 34 321 3 4


Λύση






.


6 15 60 4

15 10

6 8 6 120 2015


9


γ) 28 4 34 321 3 4


Λύση






.


6 15 60 4

15 10

6 8 6 120 2015


10

2.19021. Να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που σας δίνονται για το κάθε ζεύγοςτριγώνων των παρακάτω σχημάτων, προκειμένου να απαντήσετε στα ακόλουθα:α) Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια και ποιο δεν είναι;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 14β) Για το ζεύγος των όμοιων τριγώνων του προηγούμενου ερωτήματος,i. να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών. μ 6ii. να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. μ 51ο ζεύγος: τρίγωνα ΚΛΜ και ΖΔΕ 2ο ζεύγος: τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΚΛ

Λύση

α) 1ο ζεύγος: ισχύει 10 2 615 3 9

(1) και = 090

Επομένως τα τρίγωνα ΚΛΜ και ΔΕΖ είναι όμοια γιατί έχουν δυο πλευρές ανάλογες μίαπρος μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες2ο ζεύγος: Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΗΛ ήταν όμοια, τότε θα είχαν τις γωνίεςαπέναντι από τις ομόλογες πλευρές ίσες. Όμως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με γωνία

κορυφής 040 επομένως 0180 40 702

άρα καμία γωνία του δεν είναι065 άτοπο. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ δεν είναι όμοια.

β) i) από (1) 23

ii) Ο λόγος ομοιότητας λ των ομοίων τριγώνων ΚΛΜ και ΔΕΖ είναι ο λόγος δυο

ομόλογων πλευρών άρα λ= 23

2.19030.Στη διχοτόμο Οδ της γωνίας ̂xOy θεωρούμετα σημεία Α, Β τέτοια ώστε: 2 . Η κάθετοςστην Οδ στο σημείο Α τέμνει την πλευρά Οx στοσημείο Ε και έστω Δ η προβολή του Β στην Οy.Να αποδείξετε ότι :α) Τα τρίγωνα ΟΑΕ και ΟΔΒ είναι όμοια . μ 10β) 22 μ 15

Λύση

α) Η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆx y άρα 1 2ˆ ˆ .

Επειδή τα τρίγωνα ΕΟΑ και ΒΟΔ είναι ορθογώνια, έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία,οπότε είναι όμοια.

β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ΟΑΕ και ΟΔΒ είναι όμοια. Άρα έχουμε

(1).


10


Λύση


(1) και = 090




β) i) από (1) 23




Λύση




(1).


10


Λύση


(1) και = 090




β) i) από (1) 23




Λύση




(1).


11

Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι 2 οπότε αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει2 δηλαδή 22

2.19035.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των

πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ώστε

A 1

3.

Από το σημείο Ε φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΒ, η οποίατέμνει την ΒΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι :α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. μ 10β) 3ΒΖ = ΒΓ. μ 15

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια γιατί έχουν A

και ̂ κοινή (2ο κριτήριο

ομοιότητας).

β) Αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια θα έχουν ˆ ˆ και ˆ ˆ , οπότεΔΕ//ΒΓ (εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες). Επιπλέον αφού ΕΖ//ΑΒ τότε το ΔΕΖΒείναι παραλληλόγραμμο, άρα ΔΕ ΒΖ 1 . Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και

ΑΔΕ προκύπτει 13

άρα 3 οπότε από την (1) έχουμε 3 .

4.18976. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη του ΑΔ και ΒΕ.α) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και σκαληνό, τότε:i. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια. μ 10ii. Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΕΑ δεν μπορεί να είναι όμοια. μ 10β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές με κορυφή το Γ, τότε μπορούμε ναισχυριστούμε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΕΑ είναι όμοια; Να αιτιολογήσετε τηναπάντησή σας. μ 5

Λύση

α) i. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ έχουν:1) 90 και 2) τη γωνία Γ κοινή, οπότε έχουν δύο γωνίεςίσες μία προς μία και είναι όμοια.

ii. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΕΑ έχουν τις γωνίες Δ και Ε ορθές.Αν ήταν όμοια τότε η γωνία 1 θα ήταν ίση με την 1 ή την A .Αν

1 1 , τότε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ θα είχαν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε θαείχαν και που είναι αδύνατο.Αν

1 A είναι άτοπο γιατί αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο το ύψος ΑΔ είναιεσωτερικό της ΒΑΓ, οπότε

1 A .Άρα τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΕΑ δεν μπορεί να είναι όμοια.

β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή το Γ, τότε γιατί θα βρίσκονταν στηβάση του ισοσκελούς.Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΕΑ έχουν: 1) 90 και 2) , δηλαδή έχουν δύο γωνίεςίσες μία προς μία οπότε είναι όμοια.


11




A 1

3.


Λύση








Λύση








11




A 1

3.


Λύση








Λύση








12

4.18994 .Στην πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο, ώστε

1

3και στην πλευρά ΔΓ θεωρούμε σημείο Ζ τέτοιο, ώστε

1

3. Αν η

διαγώνιος ΑΓ τέμνει τις ΔΕ και ΒΖ στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) ΑΜ=ΓΝ=2MN μ 13 β) 1

5μ 12

Λύση

α) Είναι 1 13 3

και ΒΕ//ΔΖ,

άρα το τετράπλευρο ΔΖΒΕ είναιπαραλληλόγραμμο και ΔΕ//ΖΒ.Τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΑΒΝ έχουν : ˆ κοινή ˆ ˆ ( εντός εκτός και επί τα αυτά

των παραλλήλων ΕΜ και ΒΝ που τέμνονται από την ΑΒ)Επομένως τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΑΒΝ έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναιόμοια.

Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(1)

Όμοια τα τρίγωνα ΖΓΝ και ΔΓΜ έχουν : ˆ κοινή ˆˆ ( εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΖΝ και ΔΜ πουτέμνονται από την ΓΔ)Επομένως τα τρίγωνα ΖΓΝ και ΔΓΜ έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναιόμοια.

Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(2).

Από (1),(2) έχουμε ΑΜ=ΓΝ=2MN

2ος τρόποςΤα τρίγωνα ΑΜΕ και ΖΝΓ είναι ίσα γιατί έχουν:

2 2ΑΕ ΑΒ ΓΔ ΖΓ 3 3 , MEA NZ (γωνίες με πλευρές παράλληλες),

(εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΓ).Άρα θα ισχύει: (1)

Επειδή ΔΜ//ΖΝ, θα ισχύει:

2 ΓΔΓΖ ΓΝ ΓΝ ΓΝ3 2 ΓΝ 2ΜΝ1ΖΔ ΜΝ ΜΝ ΜΝΓΔ3

(2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΑΜ = ΓΝ = 2ΜΝ


12


1


1

3. Αν η



5μ 12

Λύση


και ΒΕ//ΔΖ,



Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(1)


Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(2).







(2)



12


1


1

3. Αν η



5μ 12

Λύση


και ΒΕ//ΔΖ,



Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(1)


Οπότε

23

2 23 3

2 ( ) 3 2 2 23

(2).







(2)



13

β)α) 12 2 5

5

4.19000.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε ΑΜ τη διάμεσό τουκαι Ε τυχαίο σημείο του τμήματος ΒΜ. Από το Ε φέρουμε ευθείαπαράλληλη στην ΑΜ που τέμνει την πλευρά ΑΒ στο Δ και τηνπροέκταση της ΓΑ στο Ζ.α) Να συμπληρώσετε τις αναλογίες και να αιτιολογήσετε τηνεπιλογή σας:

i.

... ...

... ...

ii.

... ...

...μ 12

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα είναι σταθερό, για οποιαδήποτε θέση του Εστο ΒΜ. μ 13

Λύση

α) i) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΒΑΜ έχουν : ̂ κοινή ˆ ˆ (εντός, εκτός και επί τα αυτά των

παραλλήλων ΕΔ και ΑΜ που τέμνονταιαπό την ΒΓ)

Επομένως τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΒΑΜ έχουν δύο γωνίεςίσες μία προς μία και είναι όμοια.

Άρα η ζητούμενη αναλογία είναι η:

(1) .

ii) Τα τρίγωνα ΓΖΕ και ΓΑΜ έχουν : ̂ κοινή ˆ ˆ (εντός, εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΕΖ και ΑΜ που

τέμνονται από την ΒΓ)Επομένως τα τρίγωνα ΓΖΕ και ΓΑΜ έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία άρα είναι

όμοια. Άρα η ζητούμενη αναλογία είναι η:

(2) .

β) Από (1),(2) έχουμε:μέσο 2

2 2

4.19016.Στο διπλανό σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ στις πλευρές

ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, έτσι ώστε να ισχύουν: 2

3

και 2

3.

α) Να αποδείξετε ότι . ˆ ˆ

. μ 9

β) Να εξετάσετε αν ισχύει :

. μ 8


13

β)α) 12 2 5

5


i.

... ...

... ...

ii.

... ...

...μ 12


Λύση





(1) .




(2) .


2 2



3

και 2

3.


. μ 9


. μ 8


13

β)α) 12 2 5

5


i.

... ...

... ...

ii.

... ...

...μ 12


Λύση





(1) .




(2) .


2 2



3

και 2

3.


. μ 9


. μ 8


14

γ) Να εξετάσετε αν το τμήμα ΒΓ είναι παράλληλο στο τμήμα ΔΕ.Να αιτιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας. μ 8

Λύση

α) Από τις δεδομένες σχέσεις έχουμε: 2 23 3

και 2 2

3 3

.

Άρα και

.

Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια γιατί έχουν δύο πλευρές ανάλογες μια προς μια καιτις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες. Οι γωνίες που είναι απέναντι από τιςανάλογες πλευρές είναι ίσες άρα: ˆ ˆ .

β) Από τις ανάλογες πλευρές των όμοιων τριγώνων έχουμε:

, άρα ισχύει η

δεδομένη σχέση.

γ) Αν το τμήμα ΒΓ είναι παράλληλο στο ΔΕ θα πρέπει οι γωνίες Β και Ε να είναι ίσες ωςεντός εκτός και επί τα αυτά μέρη. Όμως από τα όμοια τρίγωνα οι γωνίες Ε και Γ είναι ίσες.Άρα θα πρέπει και οι Β και Γ να είναι ίσες γωνίες. Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει γιατί τοτρίγωνο είναι σκαληνό.

4.19029.Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Μ σημείο της

πλευράς ΑΔ ώστε

1

3. Από το Μ φέρνουμε παράλληλη

προς τις βάσεις του τραπεζίου, η οποία τέμνει τις ΑΓ και ΒΓστα σημεία Κ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α)

1

3μ 8

β)

2

3μ 8

γ) 1 2

3 3μ 9

Λύση

α) Έπειδή ΜΚ//ΔΓ από το θεώρημα Θαλή ισχύει ότι 13

οπότε 1

3

.

β) Επειδή ΑΒ//ΓΔ και ΚΝ//ΔΓ είναι και ΚΝ//ΑΒ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΚΝ έχουν

πλευρές παράλληλες, δηλαδή:

. Άρα

1 21 13 3

γ) Από το σχήμα έχουμε ότι (3)

Από το β) ερώτημα έχουμε ότι 23

άρα 2

3 (4)

Επειδή ΜΚ//ΔΓ έχουμε ότι 13

λόγω του α) οπότε 1

3 (5)

Αντικαθιστώ τις (4) , (5) στην (3) οπότε προκύπτει 1 23 3


14


Λύση


και 2 2

3 3

.

Άρα και

.








1



α)

1

3μ 8

β)

2

3μ 8

γ) 1 2

3 3μ 9

Λύση


οπότε 1

3

.



. Άρα

1 21 13 3



άρα 2

3 (4)



3 (5)



14


Λύση


και 2 2

3 3

.

Άρα και

.








1



α)

1

3μ 8

β)

2

3μ 8

γ) 1 2

3 3μ 9

Λύση


οπότε 1

3

.



. Άρα

1 21 13 3



άρα 2

3 (4)



3 (5)



15

4.19039. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, 0ˆ

36 και ηδιχοτόμος του ΒΔ.α) Να αποδείξετε ότι:i) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοια. μ 6ii) 2 . μ 9β) Αν ΑΓ = 1,να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΔ .

μ 10Λύση

α) i) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές τότε0 0

0180 36ˆ ˆ 722

, οπότε αφού η

ΒΔ είναι διχοτόμος, ισχύει ότι 01 2

ˆ ˆ 36 . Άρα τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΑΒΓ είναι όμοιαγιατί έχουν 0

2ˆˆ 36 και ̂κοινή.

ii) Είναι 0 0 0 0 02

ˆ ˆ ˆ180 180 36 72 72 , συνεπώς το τρίγωνο ΒΓΔ είναιισοσκελές και ΒΓ= ΒΔ. Επίσης το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές ( 0

1ˆˆ 36 ) οπότε

ΑΔ = ΒΔ. Άρα ΒΓ= ΑΔ (1).Από την ομοιότητα των τριγώνων ΒΔΓ και ΑΒΓ προκύπτει

22

.

Οπότε από τη σχέση (1) θα είναι 2 .

2ος τρόποςΕπειδή ΒΔ διχοτόμος, από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι:

ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΔ2ΔΑ ΑΒ ΑΔ ΑΓ ΑΔ ΑΓ ΑΔ ΔΓ ΑΓ

ΔΓ ΒΓ ΔΓ ΒΓ ΔΓ ΑΔ

β) Έστω x και 1 τότε 1 x οπότε από τη σχέση (2)προκύπτει:

2 2x 1 x 3 x 1 x x x 1 01 x

, οπότε 1

5 1x2

ή

25 1x 02

(απορρίπτεται). Άρα 5 1

2

.

Πυθαγόρειο θεώρημα

2.18997. Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνωστη ράμπα του διπλανού σχήματος.α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από

το έδαφος κάθε χρονική στιγμή, ισχύει ότι s

y4

, όπου s το

μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. μ 15β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2m, να βρείτε:i. το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. μ 3ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας Α. μ 7

Λύση


15



μ 10Λύση


0180 36ˆ ˆ 722





ii) Είναι 0 0 0 0 02




22

.






2 2x 1 x 3 x 1 x x x 1 01 x

, οπότε 1

5 1x2

ή

25 1x 02


2

.




y4

, όπου s το

μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. μ 15β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2m, να βρείτε:i. το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. μ 3ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας Α. μ 7

Λύση


15



μ 10Λύση


0180 36ˆ ˆ 722





ii) Είναι 0 0 0 0 02




22

.






2 2x 1 x 3 x 1 x x x 1 01 x

, οπότε 1

5 1x2

ή

25 1x 02


2

.




y4

, όπου s το

μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. μ 15β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2m, να βρείτε:

i. το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. μ 3ii. Την απόσταση του σημείου Δ από την άκρη της ράμπας Α. μ 7

Λύση


16

α) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΒΓ έχουν:1) 90 και2) Τη γωνία Α κοινήΕπειδή έχουν δύο γωνίες ίσες, τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότεοι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή:

y s 5y5 20

s

204

s4

β) Για y 2m είναι:

i. s2 s 8m4

ii. 25

(1)

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:2 2 2 2 2AB 20 5 400 25 375 375 25 15 5 15

Από τη σχέση (1) έχουμε: 25 5

2 15

15 m

2.19005. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την πλευρά ΒΓ σε σημείο Δ,

τέτοιο, ώστε

3

4.

α) Να αποδείξετε ότι 3

4. μ 12

β) Αν επιπλέον ισχύει ότι 5

4, να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. μ 13Λύση

α) Από το θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:3 34 4

β) Είναι

162

2 2 2 2 2 23 9 1 254 16 1 16

και

22 25 25

4 16

.

Επειδή 2 2 2 το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με 90 .


17

2.19008. α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθμών μπορούν ναθεωρηθούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησήσας.

i. 3, 4, 5 ii. 3λ, 4λ, 5λ ( λ>0) iii. 4, 5, 6μ 18

β) Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να αποδείξετε ότι,το μήκος x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4. μ 7

Λύση

α) Οι δύο πρώτες τριάδες μπορούν να θεωρηθούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνουεπειδή σ’ αυτές ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα .

i. 2 2 25 3 4 25 9 16 25 25

ii. 2 2 2 2 2 25λ 3λ 4λ 25λ 9λ 16λ 2 225λ 25λ

Ενώ στην iii) 2 2 24 5 16 25 41 36( 6 )

β) Από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:2 2 2 2 2 2 2 2 2 285 51 4624 68 άρα x 68 4 17 .

Άρα το μήκος x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4.

2.19041.Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 0 με ύψος ΑΔ και ΑΓ = 8, και

ΔΓ= 32

5. Να υπολογίσετε τα μήκη των παρακάτω τμημάτων:

α) ΒΓ μ 9 β) ΑΒ μ 8 γ) ΑΔ μ 8Λύση

α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο) έχουμε:

2 2 32 328 645 5

5 64 1032

.

β) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο90 ) έχουμε:2 2 210 8 100 64 36 36 6 .

γ) Ισχύει:32 50 32 1810 3,65 5 5

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΓΔ ( ο90 ) έχουμε:


18

22 32 1024 1600 1024 576 2464 64 4,8

5 25 25 25 5

2.19043. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 0 με ΑΓ = 4 και ύψος ΑΔ= 12

5.

α) Να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΔΓ. μ 10

β) Να αποδείξετε ότι ΔΒ= 9

5. μ 10

γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. μ 5

Λύση

α) Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΓ 90 έχουμε:2

2 2 2 2 12 144 400 144 2564 165 25 25 25

256 1625 5

β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:2

2 12 16 144 16 5 144 95 5 25 5 25 16 5

γ) Για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ έχουμε

(ΑΒΓ)=

16 9 12 25 12β υ 125 5 5 5 5 6

2 2 2 2 2

4.18985. Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές του ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται σε ένασημείο Μ.α) Αν το σημείο Α είναι μέσο του τόξου ΓΔ, να αποδείξετε ότι:i. Όταν η χορδή ΑΒ είναι κάθετη στη χορδή ΓΔ, τότε 2 μ 8ii. Όταν η χορδή ΑΒ δεν είναι κάθετη στη χορδή ΓΔ, ισχύει η σχέση 2 ;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 9β) Αν για τις χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται σε σημείο Μ ισχύει ότι 2 ,να αποδείξετε ότι το σημείο Α είναι το μέσο του τόξου ΓΔ. μ 8

Λύση

α) i. Επειδή το Α είναι μέσο του τόξου ΓΔ, η ΟΑ είναι μεσοκάθετοςτης χορδής ΓΔ. Όμως η χορδή ΑΒ είναι κάθετη στη χορδή ΓΔ, άραη ΑΒ διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου.Η γωνία είναι ορθή γιατί είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο.Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ για τη κάθετη πλευρά ΑΓ ισχύει ότι:

2

ii. Έστω τώρα ότι η AB δεν είναι κάθετη στη χορδή ΓΔ.Τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΑΓΒ έχουν:


19

1) 1 γιατί είναι εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα και

2) τη γωνία Α κοινήΆρα τα δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία καιείναι όμοια, οπότε και οι πλευρές τους είναι ανάλογες, δηλαδή:

2 .

β) Στα τρίγωνα ΑΓΜ και ΑΓΒ ισχύει ότι:2

.

Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ανάλογες και τις περιεχόμενες γωνίες στιςπλευρές αυτές ίσες ( η γωνία Α είναι κοινή), τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε έχουν και τιςυπόλοιπες γωνίες τους αντίστοιχα ίσες. Άρα

1 , οπότε και τα αντίστοιχα τόξα τους ΑΓκαι ΑΔ είναι ίσα, δηλαδή το Α είναι μέσο του τόξου ΓΔ.

4.19006. Δίνεται κύκλος (O,R) και μία διάμετρός του ΑΒ.Με διαμέτρους τα τμήματα ΟΑ και ΟΒ γράφουμε τουςκύκλους κέντρων Κ και Λ αντίστοιχα. Ένας τέταρτοςκύκλος κέντρου Μ και ακτίνας ρ εφάπτεται εξωτερικάτων κύκλων κέντρων Κ και Λ και εσωτερικά του κύκλουκέντρου Ο.α) Να εκφράσετε τις διακέντρους ΚΜ, ΛΜ και ΟΜ τωναντιστοίχων κύκλων ως συνάρτηση των ακτίνων τους,δικαιολογώντας την απάντησή σας. μ 12

β) Να αποδείξετε ότι R

3. μ 13

Λύσηα) Η διάκεντρος δύο εφαπτόμενων εξωτερικά κύκλων διέρχεται από

το σημείο επαφής των 2 κύκλων και ισούται με τοάθροισμα των ακτίνων τους.

Οπότε R ρ2

και

R ρ2

Η διάκεντρος δύο εφαπτόμενων εσωτερικά κύκλωνδιέρχεται από το σημείο επαφής των 2 κύκλων και ισούταιμε την διαφορά των ακτίνων τους.Επομένως

R ρ

β) Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές αφού ΚΜ=ΛΜ (από το (α)ερώτημα), με Ο το μέσο της πλευράς ΚΛ, άρα η διάμεσος ΜΟείναι και ύψος, δηλαδή 090 Από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΜΟΚ έχουμε

2 22 2 2 2R Rρ (R ρ)

2 4

2ρ2RR ρ

4

2R4

2 2R 2R ρ ρ 3 R 2ρ R Rρ3


19



2 .


.





3. μ 13



Οπότε R ρ2

και

R ρ2


R ρ


2 22 2 2 2R Rρ (R ρ)

2 4

2ρ2RR ρ

4

2R4

2 2R 2R ρ ρ 3 R 2ρ R Rρ3


19



2 .


.





3. μ 13



Οπότε R ρ2

και

R ρ2


R ρ


2 22 2 2 2R Rρ (R ρ)

2 4

2ρ2RR ρ

4

2R4

2 2R 2R ρ ρ 3 R 2ρ R Rρ3


20

4.19009. Ένα κινητό ξεκινάει από ένα σημείοΑ και κινείται βόρεια 3 χιλιόμετρα, κατόπινσυνεχίζει 10 χιλιόμετρα ανατολικά, στησυνέχεια προχωράει 4 χιλιόμετρα βόρειακαι τέλος 14 χιλιόμετρα ανατολικάκαταλήγοντας στο σημείο Ε.α) Αν από το σημείο Ε επιστρέψει στοσημείο Α από το οποίο ξεκίνησε, κινούμενοευθύγραμμα, να βρείτε την απόσταση ΑΕ που θα διανύσει. μ 12β) Τα σημεία Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά;Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας. μ 13

Λύση

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΕ ( ο90 ) από τοΠυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

2 2 2 2 2(3 4) (10 14) 2 2 27 24 49 576 625

625 25

β) Αν τα σημεία Α, Γ και Ε ήταν συνευθειακά θα πρέπει να ισχύει: ΑΓ+ΓΕ=ΑΕΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο90 ) από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:

2 2 2 2 23 10 9 100 109 109

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΓ ( ο90 ) από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε:2 2 2 2 214 4 196 16 212 212

109 212 10,4403 14,5602 25,0005 25 .

2ος τρόπος109 212 = άρρητος αριθμός ως άθροισμα άρρητών αριθμών άρα είναι

διαφορετικός του 25 που είναι ρητός αριθμός.Άρα τα σημεία δεν είναι συνευθειακά.

Γενίκευση πυθαγορείου θεωρήματος

2.19001. Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι 8, 6 και 5 .α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. μ 11β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. μ 14

Λύση

α) Είναι 2 2β γ 36 25 61 και 2α 64 .

Επειδή 2 2 2α β γ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο με 90 .

β) Η προβολή της ΑΒ στην ΑΓ είναι το ΑΔ και στην ΒΓ το ΒΕ.Από το θεώρημα αμβλείας για τη γωνία Α στο τρίγωνοΑΒΓ, έχουμε:

2 2 2 2 2 22 8 5 6 2 6


20


Λύση


2 2 2 2 2(3 4) (10 14) 2 2 27 24 49 576 625

625 25


2 2 2 2 23 10 9 100 109 109


109 212 10,4403 14,5602 25,0005 25 .





Λύση

α) Είναι 2 2β γ 36 25 61 και 2α 64 .



2 2 2 2 2 22 8 5 6 2 6


20


Λύση


2 2 2 2 2(3 4) (10 14) 2 2 27 24 49 576 625

625 25


2 2 2 2 23 10 9 100 109 109


109 212 10,4403 14,5602 25,0005 25 .





Λύση

α) Είναι 2 2β γ 36 25 61 και 2α 64 .



2 2 2 2 2 22 8 5 6 2 6


21

3 164 25 36 12 12 312 4

Από το θεώρημα οξείας για τη γωνία Β, έχουμε:2 2 2 2 2 22 6 5 8 2 8

5336 25 64 16 16 5316

2.19045.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 6, ΒΓ = 9 και 60

α) Να αποδείξετε ότι 3 7 . μ 8β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. μ 8γ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ. μ 9

Λύση

α) Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:2 2 2 2 2 0ˆ2 συν 6 9 2 6 9 συν60 2 136 81 2 6 9 117 54 63

2 63 3 7

β) Για το είδος του τριγώνου ελέγχουμε το τετράγωνο τηςμεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων τωνδύο άλλων πλευρών και έχουμε:

2 2 29 6 (3 7) 81 36 63 81 99 . Άρα ο90 και το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

γ) Η προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην πλευρά ΑΓ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ.Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε ο90 και ο60 άρα 0ˆBA 30 . Οπότε

ΒΔ= 6 32 2 .

Θεωρήματα διαμέσων

2.19042.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 7, β = 4 και 33 .α) Να αποδείξετε ότι . μ 13β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. μ 12

Λύση

α) Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:2 2 2 2 2 2

2β

2α 2γ β 2 7 2 γ 4μ

4 4

2 2 22 2 7 2 γ 433

4

2 2 24 33 2 7 2 γ 4

2 132 98 16 50γ 25 γ 52 2

β) Είναι 2 2β γ 16 25 41 και 2α 49 , δηλαδή 2 2 2α β γ 90

και το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.


22

Τέμνουσες κύκλου

4.19025. Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Οι διαγώνιοί του ΑΓκαι ΒΔ τέμνονται στο σημείο Μ, το οποίο είναι το μέσο της διαγωνίου ΒΔ. Νααποδείξετε ότι:α) 2 4 μ 7β) 2 2 2 μ 9γ) 2 2 2 2 22 μ 9

Λύση

α) Οι χορδές ΔΒ και ΑΓ τέμνονται στο Μ συνεπώς

2 2

2 4 (1)

β) Από 1ο θεώρημα διαμέσων στο ΑΒΔ τρίγωνο έχουμε2

2 2 222

(2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει: 2 2 2 422

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

γ) Από 2ο ερώτημα ισχύει ότι 2 2 2 όμοια προκύπτει από το 1ο θεώρημαδιαμέσων στο ΔΓΒ τρίγωνο 2 2 2 , προσθέτοντας αυτές τις σχέσειςπροκύπτει 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων

2.19028. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και ΒΕ το ύψος του. Αν είναι 3 , 7 και 4 τότε,α) να αποδείξετε ότι 2 3 . μ 13β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. μ 12

Λύση

α) Θεωρούμε το ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με4 και ˆ ˆ και ύψος ΒΕ.

Φέρνουμε το ύψος ΑΖ. Είναι ΑΖ//ΒΕ και ΑΒ//ΖΕ απόυπόθεση άρα ΑΒΕΖ παραλληλόγραμμο συνεπώς

3 .Είναι 4 και ˆ ˆ , άρα τα ορθογώνιατρίγωνα ΑΖΔ και ΒΕΓ είναι ίσα συνεπώς

7 3 22

.

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ και έχουμε:


22



Λύση


2 2

2 4 (1)


2 2 222

(2)


2 2 22 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2 2 2 2 22



Λύση




7 3 22

.



22



Λύση


2 2

2 4 (1)


2 2 222

(2)


2 2 22 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2 2 2 2 22



Λύση




7 3 22

.



23

2 2 2 2 24 2 12 άρα 2 3

β) α

β 1υ α υ2 2

12 2

7 3 12 3 7 2 32 2

10 3 7 3 3 3

2ος τρόπος

1 1ΑΒΓ ΑΒ ΒΕ 3 2 3 3 32 2

Λόγος εμβαδών

2.19038. Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ κέντρου Ο θεωρούμεσημείο του Δ. Η χορδή ΔΒ τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου ΟΒστο Γ. Να αποδείξετε ότι:α) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΟΓΒ είναι όμοια. μ 12β) (ΑΔΒ)= 4 (ΟΓΒ) μ 13

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΟΓΒ είναι όμοια γιατί έχουν0ˆ ˆA 90 (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε

ημικύκλιο) και ̂ γωνία κοινή.

β) Ο λόγος ομοιότητας των ομοίων τριγώνων ΑΔΒ και ΒΟΓ είναιρ 12ρ 2

οπότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι

21 1 42 4

4.19022. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) τέτοιο ώστε να ισχύει 2 2 22 . Αν η προέκταση της διάμεσου του ΑΜ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ρ, να

αποδείξετε ότι :

α)

3

2μ 8 β)

3

6μ 6 γ) μ 9

Λύση

α) Από πρώτο θεώρημα διαμέσων είναι2 2 2

2α

2β 2γ αμ

4

,

όμως 2 2 22α β γ άρα2 2 2

2α

4α α 3αμ4 4

αα 3μ

2

β) Επειδή οι χορδές ΑΡ και ΒΓ τέμνονται στο Μ ισχύει ότι:

α 3 α α2 2 2

α α 362 3

γ) ΑΜ διάμεσος στο τρίγωνο ΑΒΓ άρα τα εμβαδά των τριγώνων ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα


23

2 2 2 2 24 2 12 άρα 2 3

β) α

β 1υ α υ2 2

12 2

7 3 12 3 7 2 32 2

10 3 7 3 3 3

2ος τρόπος

1 1ΑΒΓ ΑΒ ΒΕ 3 2 3 3 32 2



Λύση





21 1 42 4



α)

3

2μ 8 β)

3

6μ 6 γ) μ 9

Λύση


2α

2β 2γ αμ

4

,


2α

4α α 3αμ4 4

αα 3μ

2


α 3 α α2 2 2

α α 362 3



23

2 2 2 2 24 2 12 άρα 2 3

β) α

β 1υ α υ2 2

12 2

7 3 12 3 7 2 32 2

10 3 7 3 3 3

2ος τρόπος

1 1ΑΒΓ ΑΒ ΒΕ 3 2 3 3 32 2



Λύση





21 1 42 4



α)

3

2μ 8 β)

3

6μ 6 γ) μ 9

Λύση


2α

2β 2γ αμ

4

,


2α

4α α 3αμ4 4

αα 3μ

2


α 3 α α2 2 2

α α 362 3



24

και ίσα με το μισό του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ (Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναιισοδύναμα αφού έχουν ίσες τις πλευρές ΒΜ και ΜΓ και το ίδιο ύψος από τη κορυφή Α).Ακόμη τα τρίγωνα ΜΡΓ και ΑΒΜ είναι όμοια, αφού ως εγγεγραμμένες στο ίδιο

τόξο ΑΓ και ως κατακορυφήν. Συνεπώς ο λόγος των εμβαδών τους είναιίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας άρα

2( )( )

2α

( ) 2( ) α 3

6

2( ) 3( ) 3

( ) 3( )

1 ( )2 3( )

6

4.19032. Δίνονται δύο κύκλοι O, και , με ,οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο Μ. Φέρνουμε το κοινόεφαπτόμενο τμήμα ΑΒ με Α, Β σημεία των κύκλων O,

και , αντίστοιχα. Από το Μ θεωρούμε την κάθετη στοΑΒ, η οποία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΚ και ΑΒ στασημεία Λ και Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α)

μ 8

β)

μ 8

γ) Αν 1 και 2 είναι τα εμβαδά των κύκλων O, και , αντίστοιχα,

τότε

2

1

2

μ 9

Λύση

α) Ισχύει ότι και άρα ΜΛ//ΟΑ οπότε από το θεώρημα Θαλή έχουμε

ότι β β αβα α β α α β

2ος τρόποςΕπειδή τα τρίγωνα ΚΛΜ και ΚΑΟ είναι όμοια (Κ: κοινή, ΑΟΚ = ΛΜΚ: εντός εναλλάξ

γωνίες των παραλλήλων ΜΛ, ΟΑ που τέμνονται από την ΟΚ) έχουμε

ΜΛ ΚΜ ΜΛ β αβΜΛΟΑ ΚΟ α α β α β

β) Ισχύει ότι ΛΝ//ΚΒ άρα

(1) .Όμως στο τρίγωνο ΚΑΟ από το θεώρημα Θαλή

έχουμε αα β

δηλαδή

αα β


24



2( )( )

2α

( ) 2( ) α 3

6

2( ) 3( ) 3

( ) 3( )

1 ( )2 3( )

6



α)

μ 8

β)

μ 8


τότε

2

1

2

μ 9

Λύση









δηλαδή

αα β


24



2( )( )

2α

( ) 2( ) α 3

6

2( ) 3( ) 3

( ) 3( )

1 ( )2 3( )

6



α)

μ 8

β)

μ 8


τότε

2

1

2

μ 9

Λύση









δηλαδή

αα β


25

Άρα από την (1) προκύπτει α α αβα β β α β α β

.

2ος τρόποςΙσχύει ότι και άρα ΝΛ//ΚΒ οπότε επειδή τα τρίγωνα ΑΝΛ και ΑΚΒ

είναι όμοια (Α: κοινή, ΑΝΜ = ΑΒΚ = 90 ) έχουμε ότι ΛΝ ΑΛΚΒ ΑΚ (i)

Στο τρίγωνο ΑΟΚ επειδή ΜΛ//ΑΟ έχουμε ότι ΑΛ ΟΜΑΚ ΟΚ (ii)

Από (i) και (ii) προκύπτει ότι ΛΝ ΟΜ ΛΝ α αβΛΝΚΒ ΟΚ β α β α β

.

γ) Τα τρίγωνα ΑΛΝ και ΜΛΚ έχουν ˆ ˆ (ως κατακορυφήν) οπότε( )( )

αβ

(2)

Όμως2 22 2 2 (2)

1 12 2 2

2 2

πρ πα α α ( )πρ πβ β β ( )

4.19034. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Μ, Λ και Ζ πάνω στις πλευρές ΑΒ , ΑΓ και

ΒΓ αντίστοιχα τέτοια, ώστε 1

2,

2

3και

1

3.

α) Να αποδείξετε ότι 1

3. μ 7

β) Να αποδείξετε ότι

5

18. μ 12

γ) Να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών

. μ 6

Λύση

α) Τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία ̂ κοινή οπότε

1 21 12 33 3

β) Αφού τα τρίγωνα ΒΜΖ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Β̂ κοινή τότε

1 112 36

.

Επίσης τα τρίγωνα ΓΛΖ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Γ̂ κοινή οπότε

1 223 39

.

Άρα


26

1 1 2 18 6 3 4 513 6 9 18 18

.

γ) Είναι

1 5 113 18 18

.

Documents

γεωμετρία β λυκείου θέματα & λύσεις (Askisopolis) 23 12 2014