循环码和 BCH 码

简述

1957 年开始研究 循环码的优点：

编码和校正子的计算容易实现 具有固定的代数结构，能找到很多实用的方法来译

码

循环码定义

对一个 n 维码字向量 v=(v0,v1,…,vn-1) 做一次向右循环移位，得到 v(1)=(vn-1,v0,…,vn-2) ，类似，向右做 i 次移位，得到 v(i)=(vn-i,vn-i+1,…,vn-i-1) ，等价于向左移位 n-i 次

循环码：一个 (n,k) 线性码 C ，若每个码字的循环移位仍然是 C 的码字，则称其为循环码 为研究循环码的代数结构，将码字 v 的分量看做多

项式的系数： v(x)=v0+v1X+v2X2+…+vn-1Xn-1

每个码字对应于一个次数等于或小于 n-1 的多项式 码字和多项式是一一对应的， v(x) 叫做码多项式

码多项式

若 v 的码多项式为 v(x)=v0+v1X+v2X2+…+vn-1Xn-1

则 v(i) 的码多项式为 vn-i+vn-i+1X+…+vn-i-1Xn-1

计算 xiv(x)-v(i) 得到 :

(1) 也就是说 v(i) 就是 xiv(x) 除 Xn+1 后的余式

循环码的性质

1. 循环码中非零次数最低的多项式是唯一的 证明： ( 反证法 ) 假设有两个最低次数一样的多项式，这这

两个多项式之和的次数更低，而且应该是码多项式（线性，封闭性），矛盾。

2. 循环码中非零次数最低多项式常数项为 1 证明： ( 反证法 ) 假设常数项为 0 ，则码多项式可提取公因

子 X ，另一个因子是次数更低的码多项式（循环左移 1次），矛盾。

3. 设 g(X)=1+g1X+…+Xr 是 (n,k) 循环码非零次数最低的多项式，次数小于或等于 n-1 的二进制多项式是码多项式当且仅当它是 g(X) 的整倍数。

循环码的性质

证明： 1 ）若 v(X) 是 g(X) 的整倍数，即 v(X)=(1+u1X+...+uiXi)g(X) ， Xig(X) 是 g(X) 向

左循环移位 i 次的码多项式，故 v(X) 是码的线性组合； 2 ）设 v(X) 是码多项式，有 v(X)= a(X)g(X)+ b(X) ， b(X) 次数小于 g(X) ， b(X) 可以写成 b(X)= a(X)g(X)+v(X) ，故 b(X) 是码多项式或 0 ，因 g(X) 是次数最低的非零多项式，故 b(X)=0 ，即 v(X) 是 g(X) 的整倍数

循环码的性质

4. (n,k) 循环码有且仅有一个 n-k 次的码多项式 g(X)=1+…+Xn-k ，这就是次数最小的码多项式，也称为码的生成多项式

循环码的性质

5. (n,k) 循环码的生成多项式 g(X) 是 Xn+1 的一个因子

证明：由公式 (1) 显然。6. 若 g(X) 是次数为 n-k ，且是 Xn+1 的一个因子，

则 g(X) 是生成多项式，生成一个 (n,k) 循环码 证明 : 略。

性质 6 说明 Xn+1 任何一个 n-k 次多项式都可以生成一个 (n,k) 循环码，当 n 很大时，可以构造很多的 (n,k) 循环码，有好有坏，如何选择？

例子： X7+1

X7+1=(1+ X)(1+X+X3)(1+X2+X3) 故有两个 (7,4) 循环码

循环码的系统形式

码字前 n-k 分量为校验位，后 k 分量是信息位

编码步骤：1. 用 Xn-k 乘信息序列 u(X)

2. 用生成多项式 g(X) 除 Xn-ku(X) ，得余式 b(X) 为校验位

3. 得到码多项式 Xn-ku(X)+b(X)

循环码的生成矩阵

设 g(x)=g0+…+gn-kXn-k, 则有生成矩阵如下：

若不是系统形式，可通过行变换变成系统形式

校验矩阵 H

令 h(X) 满足， Xn+1=g(X)h(X), 则 h(X) 的 k 个系数张成矩阵 ,h(X) 称为校验多项式

循环码的对偶码

设码 C 的生成多项式为 g(X) ，校验多项式为 h(X)

其对偶码的生成多项式为 Xkh(X-1) ，也是一个循环码

一个循环码被其校验矩阵唯一确定

例子

（ 7,4 ）循环码 C ，生成多项式 g(X)=1+X+X3

其校验多项式为 h(X)=Xn+1/g(X)=1+X+X2+X4

码 C 的对偶码的生成多项式为 X4h(X-1)=1+X2+X3+X4

循环码的编码

编码步骤：1. 用 Xn-k 乘信息序列 u(X)

2. 用生成多项式 g(X) 除 Xn-ku(X) ，得余式 b(X) 为校验位

3. 得到码多项式 b(X) +Xn-ku(X)

循环码的译码

同线性码 计算校正子 求错误模式 纠错或计算码字

查错

令 v(X) 表示输入码字， e(X) 为错误模式，则接受向量 r(X)=v(X)+e(X)=a(X)g(X)+e(X) ，故有：e(X)=a(X)g(X)+b(X)g(X)+s(X)=c(X)g(X)+s(X) ，即校正子是错误模式除以生成多项式的余式

从接受向量 r(X) 可以计算校正子 s(X) ，错误模式 e 是未知的，故需要从 s(X) 去求 e(X) 。若 e(X) 是标准阵的陪集首，则可用查表译码，由校正子获得错误模式。

若 e(X) 是 0 ，则 s(X)=0 ；若 e(X) 是码多项式，则 e(X) 是漏检错误模式。

计算校正子

设接受序列为 r(X) ，则有： r(X)=a(X) g(X)+s(X) ，当且仅当 r(X) 是码多项

式时， s(X) 是 0 ， s(X) 就是校正子 性质： r(1)(X) 的校正子 s(1)(X) 是 s(X) 的一次循

环移动。 也就是说码字循环位移得到新码字的校验子是

原校验子循环位移后除以生成多项式的余式，即： s(i)(X) =Xis(X)-b(X)g(X)=ri(X)-c(X)g(X) ， s(i)(X) 的次数低于 g(X)

译码

串行译码 每次只译一个接收比特 , 然后循环移位，继续译

下一个接受比特 若校正子 s(X) 与 Xn-1 有错所对应的错误模式对

应，则接受比特 vn-1 有错 得到修正接收多项式 r1(X)=r0+r1X+…+rn-2Xn-2 +

(rn-1+en-1)Xn-1 ，循环位移得到 r1(1)(X)=(rn-1+en-1) +

r0X+r1X2+…+rn-2Xn-1 ，且 s1(1)(X)=s(1)(X)+1

Meggitt 译码器（算法）

假设错误是突发错误，即错误模式 e 包含连续若干个 1 ， (n,k) 循环码能检测长度小于等于n-k 的突发错误 证明： e(X)=XjB(X),B(X) 的次数小于等于 n-k-1 ，小

于 g(X) 的次数，又因为 g(X) 和 Xj 互素，因此 e(X)不是 g(x) 的倍式，故 s(X) 不为 0 。检测出错误。

长度为 n-k+1 的突发错误中，不能被检测的数目占 2-(n-k-1); 长度 >n-k+1, 不能被检测的 2-(n-k)

证明：共有 2 (n-k-1) 种突发错误，不能被检测的只有当 e(X) 是 g(x) 的倍式 ; 共有 2 (n-k) 种突发错误，不能被检测的 2l-(n-k)-2 种。

循环码的差错检测能力

差错检测能力强！

（ 23 ， 12 ）格雷码

生成多项式 : 若 g1(X)=1+X2+X4+X5+X6+X10+X11, g2(X)=1+X+X5+

X6+X7+X9+X11

X23+1=(1+X)g1(X)g2(X)

（ 23 ， 12 ）格雷码的系统搜索译码 通过循环位移，不大于 3 个错误的错误模式在特定 11

个连续位 ( 校验位 ) 之外至多有 1 个错误 步骤：

计算校正子 接收向量和校正子循环位移 23 次，检查校正子重量是否小

于等于 3 ，若满足则可纠错 若否，则对第一个信息位取反，重复上一步，检查是否有重

量小于 2 的校正子，若有则第 1 位错，校正子指出其他两个错，完成译码

若上一步判断是否定的，则第 1 位正确，恢复第 1 位，类似检查第二个信息位，第三个…，直到第 12 个信息位

每种错误数目不大于 3个错误模式，至少 1个错误，一旦纠正了，会令其他的错误在连续的 11位中，可用普通方式来纠正（通过逐一取反 12个

信息位，假设检验）。

准循环码

每次循环移动 n0 位， 若 n0=1 ，就是循环码，否则就是准循环码

N0 叫做移位约束 准循环码的对偶码也是准循环码

BCH 码

BCH三个人： Bose, Chaudhuri, Hocquenghem 是一类循环码，是汉明码的推广，可纠正多个

错误 定义：

对任意正整数 m(m>2) 和 t(t<2m-1) ，存在具有如下参数的 BCH 码

分组长度 n=2m-1 奇偶校验位数目 n-k<=mt 最小距离 dmin>=2t+1

该码能校正小于等于 t个错

误

BCH 码的生成多项式（本原 BCH码） 设 a 是 GF(2m) 的生成元。码长为 2m-1 ，纠正 t 个

或少于 t 个错误的 BCH 码的生成多项式 就是以

为根的最低次多项式。 设 的最小多项式为 ，则

任何整数 i 都可以写成 i=i’2l ，其中 i’ 是奇数 ，我们有 ，当 l>1 时， 是 的共轭元，具有相同的最小多项式 ，故 g(X) 可写为

g(X) 的次数最多为mt，因为每个多项式的次数至多为

m，也就是 n-k<=mt

非本原 BCH 码

给定正整数 m(m>2) 和 t(t<2m-1) 之后，通过选择 FG(2m) 中的本原元构建生成多项式获得本原 BCH 码

若选择的不是本原元，则得到非本原 BCH 码，n!=2m-1

BCH 码就是循环码的生成多项式的根是连续的 FG(2m) 的元素 ，该码的最小距离至少为 2t+1

BCH 的码多项式

设码 ，其码多项式为：

故码多项式有生成多项式 g(X) 的全部根，也就是 及其共轭元，有一个码多项式的定义：当且仅当包含有 为根的多项式 称为码多项式

对 1<=i<=2t ，码多项式

BCH 的码多项式

也就是向量内积： 对任意的 1<=i<=2t ，上式都成立，即码向量

v 和下列矩阵 H 的乘积为 0

vHT=0 ， H 是该码的校验矩阵

简化的校验矩阵 H

码多项式 其共轭元 必然满足 H 中偶数行的 是某个奇数行的共轭元，故 H

可以简化为如下：

BCH 码的译码

假设发送码字 ，传输中的错误导致了 令错误模式为

有 译码第一步，计算校正子 令 的最小多项式为 ，并将接收向量写为：

，故有 S的第 i 个分量 ，即在用 r(X) 除以 的余式 中代入 ，得到 Si

BCH 码的译码步骤

1. 由接收多项式 r(X) 计算校正子

2. 由校正子分量确定错误位置多项式3. 通过求解 的根，确定错误位置，并纠正 r

(X) 中的错误 注意到校正子分量 即校正子仅取决于错误模式 假设错误模式包含 v 个错误，位置在