МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИКСИРОВАННОЙ СТАВКИ.

Илья Гихман

6077 Ivy Woods Court Mason, OH 45040, USA Ph. 513-573-9348 Email: ilyagikhman@yahoo.com

Абстракт. В этой статье рассматривается концепция стохастической учётной ставки. В работе [1] указаны некоторые недостатки, встречающиеся в моделях рандомизированной учётной ставки. В этой работе предложен новый подход к построению стохастической процентной ставки. Этот подход основан на использовании понятия форвардной стохастической ставки.

В [1,2] также предложена новая форма модели популярной ставки LIBOR. Эта форма используется при построении цены деривативов, имеющих своим базисом евро-доллар контракт. LIBOR по определению представляет собою депозитную ставку, вычисляемую как среднее значение депозитных ставок панели основных мировых банков в Англии. Предлагаемое в [1,2] альтернативное построение ставки евро-доллар контракта использует синтетический подход. Синтетический подход вычисляет цену инструмента, складывая её из цен образующих её компонент. Такая интерпретация ставки LIBOR подразумевает депозит $1 в Английский банк в начальный момент времени, немедленная его конвертация в британский фунт. Затем, полученная сумма инвестируется в без рисковые английские облигации. По окончанию действия контракта сумма обратно конвертируется в доллары. Вычисляемая процентная ставка трансакций представляет собою аналитическое представление долларового вклада в без рисковый Английский банк. Моделируя, таким образом, ставку LIBOR, мы получаем аналитическое приближение для эмпирического среднего арифметического панели лучших банков.

Формально кажется, более правильным строить модель исходя из строгих определений, а не из численных эмпирических данных. Численные данные должны лишь использоваться для нахождения неизвестных параметров аналитической модели. Современные модели LIBOR вообще не используют формального определения ставки LIBOR как депозит $1 в Английский банк.

Таким образом говоря о LIBOR следует отличать эмпирическое среднее и формальное определение депозитной ставки евро-доллар контракта.

I. Основные обозначения и определения. Обозначим B ( t , T ) , 0 ≤ t ≤ T цену

без рисковой облигации с нулевым купоном в момент времени t у которой время жизни заканчивается в момент T и B ( T , T ) = 1. Простая процентная ставка i s и соответствующая дисконт-ставка определяются с помощью формул

1

B ( t , T ) = [ 1 + i s ( t , T ) ( T – t ) ] – 1 = 1 - i d ( t , T ) ( T – t ) (1)

Здесь, T – t выражается в подходящем 365 или 360 годовом формате. Предположим, что непрерывная во времени цена облигации следует уравнению

d B ( t , T ) = r ( t , T ) B ( t , T ) d t (1′)

Функцию r ( t , T ) > 0 называют годовой процентной ставкой. Цена облигации, которая предлагает дополнительно купон величиною с в моменты времени t 1 < t 2 < … < t n = T, определяется с помощью формулы

B c ( t , T ) = ∑j = 1

n

c B ( t , t j ) + F B ( t , T )

Здесь, величина F представляет собою номинальную величину облигации, т.е. сумму выплаты держателю облигации в момент времени Т. Представляется полезным представлять финансовый контракт в форме денежного потока. Так например, цена облигации B c ( t , T ) может быть интерпретирована как текущее значение в момент времени t финансового потока

CF = ∑j = 1

n

c χ ( t = t j ) + F χ ( t = T )

где χ ( A ) обозначает индикатор события А. Современная теория финансов интерпретирует текущее значение облигации как B c ( t , T ) = PV t { CF }.

II. Форвардной ставки контракт (Forward rate agreement, FRA). Это хорошо

известный и популярный тип финансовых контрактов. При построении цены контракта мы обращаем здесь внимание на важные детали, которые обычно теряются при исследовании проблемы. FRA – это двусторонний ОТС (Over the Counter) контракт относящийся к будущему моменту времени. Значение трансакции определяется как произведение величины контракта (notional principal) на разность между соответствующей реализованной на момент времени Т ставкой L ( S , T ) и её оценкой в исходный момент времени t. Эту оценку называют предполагаемой или ожидаемой форвардной ставкой (implied forward rate).

Пусть t обозначает исходный момент времени, а реализуемая и ожидаемой форвардной ставки относятся к будущему временному интервалу [ T , T + H ] , H > 0. Форвардной ставки контракт, FRA определяется следующим образом. Пусть t 0 < t spot < t fixing < t settle < t mature моменты времени которые обозначают следующее. Момент t 0 есть момент сделки. В этот момент уточняются все детали контракта. Момент t spot обычно равен t 0 + 2 (дня) и является началом, а t settle = Т окончанием ‘форвард’ периода. Пусть t settle - t spot = m ( месяцев). Обозначим N величину FRA контракта, а FRA ( T , T + H ; t 0 ) обозначает величину предполагаемой форвардной ставки, период H также измеряется в месяцах. Таким образом, FRA определяется как m × H контракт. Момент t fixing обычно равен Т – 2 (дня). В этот день определяется величина

2

реализованной ставки на период [ Т , T + H ] , t mature = T + H. В момент Т чистая цена контракта равна величине трансакции

N [ L ( t fixing , t fixing + H ) – FRA ( T , T + H ; t 0 ) ] H

Если эта сумма положительна, то продавец FRA платит эту сумму покупателю (владельцу) FRA контракта. В противном случае владелец FRA платит эту сумму продавцу FRA. Проблема цены состоит в определении на момент времени t величины ставки FRA ( T , T + H ; t 0 ). Обычно, при построении цены предполагается, что t = t 0 = t spot and T = t fixing = t settle . В момент времени t форвардная ставка может быть также интерпретирован как цена займа на будущий интервал времени [ T , T + H ] . В этой интерпретации покупатель займа покупает контракт в момент t за

N FRA ( T , T + Н ; t ) H и должен возвратить процентную ставку на заём, обычно соответствующую курсу LIBOR за период [ T , T + H ] в момент T + Н. Эта сумма возврата равна D – 1 ( T , T + H ) N L ( T , T + H ) H. Ставка L ( T , T + H ) становиться известной в момент T, поэтому расплата может быть также назначена и на момент T с учётом соответствующего дисконта. Следовательно, величина контракта в момент T определяется с помощью формулы

V ( t , T , T + H ) = N [ L ( T , T + H ) – FRA ( T , T + H ; t ) ] H (2)

В этой интерпретации а) процентная ставка и дисконт должны соответствовать друг другу и б) необязательно быть связаны с курсом LIBOR. Заметим, что ставка FRA ( T , T + H ; t ) должна быть определена в момент t в то время как величина L ( T , T + H ) неизвестна в этот момент. В соответствии с правилами рынка рыночной оценкой неизвестного курса L ( T , T + H ) на момент времени t является предполагаемый будущий курс l ( t , T + H ; t ) определяемый формулой

l ( T , T + H ; t ) =

1H

[1 − L ( t , T + H ) ( T + H − t )

1 − L ( t , T ) ( T − t )− 1 ]

Здесь, рыночная оценка может также интерпретироваться как статическая оценка, а курс LIBOR L ( t , T ) на период [ t , T ] известен в момент времени t. Используя предполагаемый курс l ( T , T + H ; t ) в качестве оценки неизвестного курса L ( T , T + H ), значение величины V ( t , T , T + H ) в формуле (2) изменяется на её предполагаемую аппроксимацию

v ( t , T , T + H ) = N [ l ( T , T + H ; t ) – fra ( T , T + H ; t ) ] H (2′)

Здесь, fra ( T , T + H ; t ) обозначает известное ‘не-арбитражное’ решение FRA проблемы, соответствующее расчёту согласно равенству (2′). Поскольку справедливая цена контракта для покупателя или для продавца должна быть равна нулю, то

fra ( T , T + H ; t ) = l ( T , T + H ; t )

Таким образом, используя в качестве дисконта курс LIBOR видим, что цена контракта FRA на текущий момент t равна N L ( t , T ) l ( T , T + H ; t ) H. Заметим, что представленное не допускающее арбитраж решение FRA проблемы с расчётной функцией (2′) не совпадает с решением FRA проблемы с реальной расчётной функцией (2). Это несовпадение определяет

3

рыночный риск финансового инструмента FRA. Более точно рыночный риск обусловлен неравенством

δ l = L ( T , T + H ) - l ( T , T + H ; t ) ≠ 0

реализующимся в момент T. С точки зрения покупателя контракта рыночный риск обусловлен сценариями рынка, при которых величина δ l < 0, в то время как неравенство δ l > 0 характеризует рыночный риск продавца FRA. Для того чтобы двигаться дальше и иметь возможность получить количественные характеристики риска необходимо рассмотреть рандомизацию проблемы цены. При построении цены имеются две функции L ( T , T + H ) и l ( T , T + H ; t ) которые допускают рандомизацию. Предположим, что

L ( T , T + H , ) = L ( t , t + H ) + ∫t

T

( s ) L ( s , s + H ) d s +

(3)

+ ∫t

T

( s ) L ( s , s + H ) d w ( s )

Здесь, коэффициенты уравнения , случайные или неслучайные известные функции, удовлетворяющие стандартным условиям обеспечивающим существование и единственность решения уравнения Ито (3). Решение уравнения (3) зависит от параметра Н. Предполагая существование предела, когда Н > 0 стремиться к 0 приходим к уравнению, определяющему

инфинитезимальную ставку L ( T , ) = L ( T , T + 0 , ) = P.lim

H ↓ 0 L ( T , T + H , ) в будущий момент времени T

L ( T , ) = L ( t ) + ∫t

T

( s ) L ( s , ) d s + ∫t

T

( s ) L ( s , ) d w ( s )

Существует альтернативный подход к построению будущей ставки L ( T , T + H , ), основанный на ожидаемой будущей ставке l ( T , T + H ; t ). Рассмотрим случайную функцию l ( T , T + H ; u ) переменной u, которая для каждого u , u [ t , T ] представляет собою ожидаемую процентную ставку LIBOR в течении [ T , T + H ]. Предположим, что

l ( T , T + H ; u ) = l ( T , T + H ; t ) + ∫t

u

( v ) l ( T , T + H ; v ) d v +

(3′)

+ ∫t

u

λ ( v ) l ( T , T + H ; v ) d w ( v )

4

Полагая в уравнении (3′) u = T и замечая, что l ( T , T + H ; T ) = L ( T , T + H , ) приходим к уравнению определяющему неизвестную функцию L ( T , T + H , ). Имея модель неизвестной ставки L ( T , T + H ) в одной из форм (3) или (3′) имеется возможность посчитать рыночный риск FRA в форме P { δ l > 0 } , P { δ l < 0 } для продавца или покупателя соответственно. Имеется также возможность определить функцию распределения риска соответствующей случайной величине δ l и подсчитать средние для прибыли и потерь и соответствующие им средние квадратические отклонения.

Замечание 1. Подчеркнём отличие между предложенным выше и стандартным подходами для построениями цены. Следуя [6, p.87] при построении цены FRA отмечается: “ Цена FRA может быть построена, если:

1. Вычислить расчётную функцию (2) в предположении, что будущая и подразумеваемая ставки равны ( т.е. R M = R F ).

2. Применить дисконт, используя не имеющую риска процентную ставку.

Используя принятые здесь обозначения заметим, что R F = l ( T 1 , T 2 ; t ) , R M = L ( T 1 , T 2 ) и, следовательно, стандартный подход имеет смысл в детерминированной постановке и является некорректным при стохастическом подходе игнорируя факт, что вообще говоря, т.е. с вероятностью 1 справедливо равенство R M ≠ R F . В стохастическом случае, ожидаемая ставка

R F = l ( T 1 , T 2 ; t ) известна в момент t и должна рассматриваться как статистическая оценка неизвестной в момент t случайной ставки R M = L ( T 1 , T 2 ). Тогда случайная величина

[ l ( T 1 , T 2 ; t ) - L ( T 1 , T 2 ) ] { l ( T 1 , T 2 ; t ) > L ( T 1 , T 2 ) }

представляет собою рыночный риск с точки зрения держателя FRA контракта. Аналогичным образом величина

[ l ( T 1 , T 2 ; t ) - L ( T 1 , T 2 ) ] { l ( T 1 , T 2 ; t ) < L ( T 1 , T 2 ) }

представляет рыночный риск продавца FRA контракта. Заметим, что

limt → T 1 l ( T 1 , T 2 ; t ) = L ( T 1 , T 2 )

Тем не менее, в стохастическом случае ожидаемая величина ставки в момент t не совпадает с величиной будущей ставки, т.е. l ( T 1 , T 2 ; t ) ≠ L ( T 1 , T 2 ). Следовательно, вообще говоря Р{ R M = R F } = 0. Важно отметить, что в стохастическом постановке распределение случайной величины L ( T 1 , T 2 ; ) предполагается известным в предшествующие моменты времени t . Это замечание имеет решающее значение для понимания цены инструмента в стохастическом рынке и ведёт к новому пониманию концепции цены производных инструментов. В новом пониманию цены шанс отсутствия потерь для одной из сторон сделки всегда близок или равен 0 независимо от того, что эта цена гарантирует отсутствие арбитража. Это доказывает, что риск потерь при покупке инструмента является атрибутом формального понимания теоретической (рыночной) цены. Таким образом, если рынок интерпретирует l ( T 1 , T 2 ; t ) как ожидаемую оценку ставки L ( T 1 , T 2 ), то цена контракта при N = 1 состоит из двух компонент

5

{ l ( T 1 , T 2 ; t ) , P [ L ( T 1 , T 2 ; ) < l ( T 1 , T 2 ; t ) ] }

Вторая компонента цены представляет собою рыночный риск покупателя. Основной характеристикой риска покупателя является его средние потери M п , определяемые формулой

M п = E L ( T 1 , T 2 ; ) { L ( T 1 , T 2 ; ) < l ( T 1 , T 2 ; t ) } =

= ∫0

l ( T 1 , T 2 ; t )

y P{ L ( T 1 , T 2 ; ) d y }

Легко представить формулу для стандартного отклонения потерь

E [ L ( T 1 , T 2 ; ) { L ( T 1 , T 2 ; ) < l ( T 1 , T 2 ; t ) } - M п ] 2

Уточнение относительно понимания цены инструментов на стохастическом рынке недооценивается в современных теориях, а концепция рыночного риска полностью исключена из концепции цены производных инструментов. Этот феномен берёт своё начало с момента его зарождения.

Замечание 2. Рандомизации ставки дохода посвящены популярные модели HJM и LMM. В работе [1] рассматривается рандомизация инфинитезимальной будущей ставки дохода, определяемой как

f ( t , T ) = lim

H ↓ 0 l ( t ; T , T + H ; 0 ). Модель HJM которая является основой для построения рыночной модели LIBOR (LMM) для которой инфинитезимальная будущая ставка дохода f ( t , T ) = f ( t , T , ) предполагается представимой в виде

f ( t , T , ) = f ( 0 , T ) + ∫0

t

α ( u , T ) d u + ∫0

t

σ ( u , T ) d w ( u )

Коэффициенты α ( u , T ) , σ ( u , T ) предполагаются известными функциями, удовлетворяющими обычным условиям, обеспечивающих смысл правой части предыдущего равенства. Полагая в предыдущем равенстве T ↓ t замечаем, что моментальная рыночная ставка r ( t ) = f ( t , t + 0 ) удовлетворяет равенству

r ( t ) = f ( 0 , t ) + ∫0

t

α ( u , t ) d u + ∫0

t

σ ( u , t ) d w ( u )

Напомним, что моментальная рыночная ставка не может моделироваться вне связи с ценой облигации. Покажем, что предложенное соотношение для r ( t ) противоречит формальному определению цены облигации. Действительно, с учётом предыдущего равенства цена облигации определятся как

B ( t , T ) = exp – ∫t

T

r ( u ) d u =

6

= exp – ∫t

T

{ f ( 0 , u ) + ∫0

u

α ( v , u ) d v + ∫0

u

σ ( v , u ) d w ( v ) } du

Эта формула, в частности показывает, что наблюдаемая цена B ( t , T ) в любой момент t зависит от значений облигации B ( u , T ) , u [ 0 , T ]. Последнее равенство не выглядит вполне аккуратным. Действительно, по определению известно, что

B ( t , T ) = 1 – ∫t

T

r ( u ) B ( u , T ) d u

и, в частности

r ( t ) = B – 1 ( t , T )

∂ B ( t , T )∂ t

Эта формула показывает, что значение r ( t ) полностью определяется знанием цены облигации на интервале времени ( t , T ]. Чтобы избежать указанных противоречий исходный поток событий, определяющий стохастический интеграл Ито, следует определять как поток с обращённым временем, а стохастический интеграл определять как обратный стохастический интеграл Ито. В работе [1] даны подробные детали соответствующего построения.

III. Цена процентного свопа ( interest rate swap, IRS ). В этом разделе исследуется

рыночный риск, возникающий при построении ожидаемой рыночной цены процентного свопа. Своп представляет собою обмен переменной ставки на постоянную в заранее известные моменты времени в будущем. Разница ставок затем умножается на фиксированный множитель, представляющего собою величину свопа. Текущей ценой свопа называется величина фиксированной ставки, которая уравнивает текущее значение переменной стороны свопа. Эта величина так же известна как спрэд. Для вычисления текущего значения переменной стороны свопа реальная будущая ставка, которая не известна в начальный момент, заменяется её ожидаемой оценкой. Для каждой такой будущей трансакции замена реальной будущей ставки на ожидаемую оценку подразумевает рыночный риск аналогично рассмотренному выше FRA контракту.

Пусть q и L обозначают фиксированную и переменную ставки соответственно, N – размер контракта, и t = t 0 < t 1 < t 2 < … < t n = T моменты трансакций. В моменты времени t j , j = 1, 2, ... n покупатель свопа обязуется заплатить сумму N q его продавцу в то время как продавец должен заплатить N L ( t j – 1 , t j ). В реальности только чистая разница (сальдо) между фиксированной и переменной ставками выплачивается той стороне, чьё обязательство к оплате меньше. Обычно в качестве L выбирается одна из основных ставок, например LIBOR. Ставка L ( t j – 1 , t j ) известна только в момент t j – 1 , j = 1, 2, … n и, поэтому, только значение L ( t 0 , t 1 ) известно в начальный момент времени t = t 0 . Реальный финансовый поток с точки зрения покупателя свопа может быть представлен в виде

7

CF A → B ( t , T ) = ∑j = 1

n

[ L ( t j – 1 , t j ) - c ] χ ( t = t j ) (4)

Неотрицательные слагаемые в правой части (4) соответствуют сценариям при которых продавец свопа платит его покупателю, в то время как отрицательные слагаемые соответствуют сценариям, когда продавец платит покупателю свопа сумму c - L ( t j – 1 , t j ). Проблема цены свопа состоит в определении фиксированной ставки с , которая уравнивает денежный поток переменной ставки. Термин ‘уравнивает’ нуждается в уточнении. В детерминированном случае и в случае когда подразумеваемые форвардные ставки рассматриваются вместо действительных форвардных ставок цена свопа определяется единственным образом. В стохастическом случае, любой выбор фиксированной ставки подразумевает рыночный риск для обеих сторон свопа. Стандартный подход к определению текущей цены свопа использует ожидаемые форвардные ставки как рыночные оценки действительных значений переменной ставки L. Вплоть до настоящего времени существовало два основных курса ставок, которые использовались для расчёта без рисковых долларовых депозитов. Это курсы государственных облигаций и LIBOR. Обозначим D ( t , T ) дисконт фактор соответствующий курсу LIBOR, хотя дисконт может также соответствовать курсу государственной облигации. Тогда

D ( t , T ) = [ 1 + L ( t , T ) ( T – t ) ] – 1

Этот дисконт фактор может быть интерпретирован как значение виртуальной облигации обеспечивающей $1 в момент времени T. Напомним, что реальной облигации соответствующей курсу LIBOR не существует. Определяемый в момент t ожидаемый форвардный курс для будущего интервала времени [ t j – 1 , t j ] определяется с помощью дисконт фактора равенством

l ( t j – 1 , t j ; t ) =

1Δ t j

[D ( t , t j − 1 )

D ( t , t j )− 1 ]

Из этого равенства в частности следует

D ( t , t j – 1 ) - D ( t , t j ) = D ( t , t j ) l ( t j – 1 , t j ; t ) Δ t j

Таким образом, текущее значение переменной стороны свопа на момент времени t равно

N ∑j = 1

n

[ D ( t , t j – 1 ) - D ( t , t j ) ] = N [ 1 - D ( t , T ) ] = N ∑j = 1

n

D ( t , t j ) l ( t j – 1 , t j ; t ) Δ t j

Для рынка является обычной практикой интерпретировать равенство денежных потоков как равенство их текущих значений. Текущее на момент времени t значение фиксированного потока определяется формулой

∑j = 1

n

c D ( t , t j ) Δ t j

8

Для вычисления текущего значение переменного потока заменим сначала неизвестную ставку L ( t j – 1 , t j ) её ожидаемой на момент t оценкой l ( t j – 1 , t j ; t ). Тогда, текущее значение переменного потока на момент времени t можно записать с помощью формулы

N

∑j = 1

n

D ( t , t j ) l ( t j – 1 , t j ; t ) Δ t j = N [ 1 - D ( t , T ) ]

По определению, величина свопа в момент времени t определяется как разность плавающей и фиксированной сторон свопа, равна

V ( t , T ) = N [ 1 - D ( t , T ) - ∑j = 1

n

c D ( t , t j ) Δ t j ] (5)

Цена свопа определяется как решение уравнения V ( t , T ) = 0. Отсюда

c =

1 − D ( t , T )

∑j = 1

n

D ( t , t j ) Δ t j (6)

Цена свопа с = с ( t , T , n ) называют также спрэдом. В случае, когда величина с считается известной, равенство (6) можно разрешить относительно D ( t , T ) = D ( t , t n ). Тогда из (5) следует, что

1 - D ( t , t n ) - ∑j = 1

n

c D ( t , t j ) Δ t j = 0

Решая уравнение относительно D ( t , t n ) приходим к рекуррентной формуле

D ( t , t n ) =

1 − ∑j = 1

n − 1

c D ( t , t j ) Δ t j

1 + c Δ t n

Замечание 3. Формула (6) даёт ожидаемое значение своп спрэда на момент t. Это значение может быть вычислено в момент t на основании, имеющихся на этот момент рыночных данных. Аналогично контракту FRA замена истинной ставки L ( t j – 1 , t j ) на её ожидаемую оценку l ( t j – 1 , t j ; t ) подразумевает рыночный риск который может быть представлен в форме потока

∑j = 1

n

N [ L ( t j – 1 , t j , ) - l ( t j – 1 , t j ; t ) ] Δ t j { t = t j }

Слагаемые в квадратных скобках могут быть как положительными, так и отрицательными. Для вычисления риск характеристик предположим, что L ( T , T + H , ) определяется как решение уравнения (3). Тогда L ( T , T + H , ) может быть записано в виде

9

L ( T , T + H , ) = L ( t , t + H ) ρ ( t , T )

где

ρ ( t , T , ) = exp {∫t

T

[ ( s ) -

σ 2 ( s )2 d s ] +

∫t

T

( s ) d w ( s ) }

Предположим, что Δ t j = Δ t . Тогда текущее значение на момент t переменной стороны свопа равно

N ∑j = 1

n

D ( t , t j ) L ( t j – 1 , t j ) Δ t j = N L ( t , t + Δ t ) ∑j = 1

n

D ( t , t j ) ρ ( t , t j – 1 , ) Δ t

Величина свопа может быть представлена формулой

V ( t , T , ) = N [ L ( t , t + Δ t )∑j = 1

n

D ( t , t j ) ρ ( t , t j – 1 , ) Δ t - ∑j = 1

n

Q D ( t , t j ) Δ t ] (5′)

Из этой формулы следует, что реальное значение цены свопа зависит от сценария рынка. Таким образом, величина реального спрэда равна

Q ( ) =

1 − ∑j = 1

n

D ( t , t j ) ρ ( t , t j − 1 ) Δ t

∑j = 1

n

D ( t , t j ) Δ t (6′)

С точки зрения покупателя свопа рыночный риск ассоциируется с отрицательными слагаемыми в правой части (4) и представляется с помощью формулы

P { Q ( ) < c } = P { ∑j = 1

n D ( t , t j )D ( t , T ) ρ ( t , t j – 1 , ) Δ t > 1 }

Эта формула указывает на величину шанса, что покупатель свопа платит более высокую цену, чем это подразумевается рынком. Заметим, что сумма случайных слагаемых в правой части предыдущей формулы может быть аппроксимирована с помощью интеграла

P { ∑j = 1

n D ( t , t j )D ( t , T ) ρ ( t , t j – 1 , ) Δ t > 1 } P {

∫0

TD ( t , u )D ( t , T ) ρ ( t , u , ) d u > 1 }

Замечание 4. Отметим, что приведённые вычисления относятся к исходному вероятностному пространству в то время как обычной практикой является использование так называемого риск- нейтрального пространства на котором истинная ставка заменяется на ставку не имеющего риска. Такая замена обусловлена интерпретацией цены деривативов предложенной Black и Scholes (BS)

10

для определения цены опциона. В этой связи, возможно, имеет смысл представить короткий комментарий относительно BS концепции. Подробнее эта концепция подробно обсуждается в работах [ 3, 4 ]. Напомним кратко стандартное определения цены опциона.

Пусть C ( t , S ( t )) обозначает BS цену Европейского опциона на продажу в момент времени t. Опцион на продажу даёт его владельцу право на покупку, базисной акции за известную заранее цену К, называемую ценой исполнения или страйк ценой в момент окончания контракта. Предполагается, что цена акции, предназначенной для доставки по истечению контракта, удовлетворяет уравнению

d S ( t ) = S ( t ) d t + σ S ( t ) d w ( t )

с постоянными коэффициентами и σ. Black и Scholes предложили рассмотреть портфель, цена которого в момент t задаётся формулой

Π ( t , S ( t )) = − C ( t , S ( t )) +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S S ( t ) (П1)

Следуя современной трактовке концепции [6], Black и Scholes предположили, что инфинитезимальное изменение цены портфеля представляется с помощью формулы

d Π ( t , S ( t )) = − d C ( t , S ( t ) ) +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S d S ( t ) (П2)

Для вычисления дифференциала цены опциона воспользуемся формулой Ито

d C ( t , S ( t ) ) = [

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

σ 2 S 2( t )2

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

] d t +

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S d S ( t )

Тогда, нетрудно заметить

d Π ( t , S ( t ) ) = – [

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

12

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

σ 2 S 2 ( t ) ] d t (П3)

Это равенство указывает, что изменение цены портфеля за время dt не содержит компоненты риска ассоциируемого с множителем d w ( t ). Если изменение цены рыночного инструмента в течении время dt не содержит риска то единственной возможностью исключить арбитраж это предположить, что ставка дохода инструмента равна не имеющей риска ставке r. Следовательно

d Π ( t , S ( t ) ) = r Π ( t , S ( t ) ) d t

Учитывая, представленные выше выражения для d Π и Π приходим к известному уравнению Блэка Шоулса

11

∂ C ( t , S ( t ) )∂ t +

12

∂ 2 C ( t , S ( t ) )∂ S 2

σ 2 S 2 ( t ) = r [ C –

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S S ( t ) ]

( t , S ) [ 0 , T ) ( - ∞ , + ∞ ) c граничным условием

C ( Т , S ) = max { S - K , 0 }

Это определение портфеля и предположение о характере его инфинитезимальное изменении является фундаментом для определения цены деривативов в отсутствии арбитража. Наиболее простым способом убедится в ошибке авторов состоит в непосредственной проверке того что решение уравнения Блэка Шоулса, которое может быть записано аналитически, не удовлетворяет его схеме построения. Для этого взяв явное решение уравнения Блэка Шоулса следуя формуле (П1) необходимо записать явную формулу для портфеля Π ( t , S ( t )). Затем, имея явную формулу для Π ( t , S ( t )) очень легко убедится, что равенство (П2) для дифференциала цены портфеля записано

неправильно. А именно, неравная нулю функция S ( t ) d

∂ C ( t , S ( t ) )∂ S потеряна в правой части

последнего равенства для дифференциала портфеля d Π ( t , S ( t ) ). Как следствие указанной ошибки отметим, что решение уравнения Блэка Шоулса не обладает свойством исключительного хеджирования, которое ему приписывают. Утверждение, что портфель Π ( t , S ( t )) осуществляет не имеющий риска динамический хедж выглядит некорректным, и также, построение цен любых деривативов для их стохастических базисных инструментов на риск-нейтральных вероятностных пространствах ошибочно. Указанные заблуждения имеют место как следствие математической ошибки при вычислении дифференциала произведения двух функций. Вторая концептуальная ошибка Блэка Шоулса относится к пониманию цены дериватива, определяемого стохастическим базисным инструментом. Потеря рыночного риска при интерпретации текущей цены дериватива приводит к неправильному пониманию его цены.

IV. Ликвидность. Проблема ликвидности в её наиболее общем понимании есть проблема

дополнительной суммы необходимой заплатить или получить относительно единой теоретической цены, которая ассоциируется с совершенной ликвидностью. Проблема ликвидности привлекает широкое внимание в последние годы, как с теоретической, так и с практической точек зрения. В теории совершенная ликвидность выражается единой ценой для покупки и продажи. Фактически, обычная теория деривативов предполагает совершенную ликвидность, как для ценных базисных бумаг так и соответствующих им деривативов. Простейшей мерой ликвидности инструментов является их bid-ask спрэд. Таким образом, рассматривая проблему ликвидности необходимо изначально рассматривать проблему в формате не нулевого bid-ask спрэда. Современные подходы к изучению ликвидности основываются вычислении добавочной платы к цене соответствующего инструмента имеющего совершенную ликвидность. На практике, совершенная ликвидность обычно ассоциируется с возможностью немедленной реализацией сделки. Поэтому, в теории, единая цена покупки и продажи неявно предполагает, что продавец или покупатель ценной бумаги может немедленно реализовать свою цель за одну и ту же цену в произвольный момент времени. Положительный bid-ask спрэд в свою очередь указывает на несовпадение цен для покупки и продажи. Это несовпадение является рыночным фактором тормозящим реализацию сделки. Имея

12

решение проблемы цены дериватива в формате одной цены, которая обычно понимается как средняя цена покупки и продажи. В этом случае, ухудшение ликвидности проявляется включением в цену половины bid-ask спрэда. Указанная добавка может охарактеризована как премиум ликвидности. В стохастической постановке решение проблемы заметно усложняется.

Отличают два основных типа ликвидности. Первый связан непосредственно с торговлей ценными бумагами, в то время как второй с возможностью получения финансирования, т.е. второй тип ликвидности, характеризуется лёгкостью получения кредитов для сделок.

Рассмотрим два аспекта ликвидности. Первый состоит в спецификации цен покупки и продажи ценных бумаг. Второй – определение количественной характеристики или характеристик позволяющих говорить о большей или меньшей ликвидности ценных бумаг. Для одной облигации её ликвидность в момент времени t связывают с величиной спрэда

λ 1, B ( t ; T ) = B ask ( t , T ) - B bid ( t , T )

Заметим, что этот индикатор ликвидности зависит также от параметра T , который указывает ликвидность только этого инструмента и в только в момент времени t. Аналогичные инструменты с различными сроком их окончания T или тот же инструмент с различным временем t имеют, вообще говоря, различную ликвидность. Величина не ликвидности представляет собою потери при немедленной купли-продажи выбранной облигации. Можно дать несколько иное определение ликвидности, которое в принципе эквивалентно предыдущему. Определим доходность облигации d B ( s , t ; T ), указывающей на порцию дохода или потерь при её покупке в момент времени s за её ask-цену и её продажу за bid-цену в последующий момент t

d B ( s , t ; T ) =

B bid ( s , T )B ask ( t , T )

и определим величину ликвидности λ B в момент t как λ B ( t ; T ) = lims → t d B ( s , t ; T ),

λ B ( t ; T ) =

B bid ( t , T )B ask ( t , T ) (7)

Величина не ликвидности представляет собою порцию потерь при немедленной купли и продажи выбранной облигации. Исключительная ликвидность соответствует значению λ B ( t , T ) = 1 в то время как полная не ликвидность соответствует λ B ( t , T ) = 0. Следующее замечание не зависит от выбора определения ликвидности. Будем говорить, что ценная бумага А обладает большей ликвидностью в момент времени t чем G, если λ A < λ G . Если это утверждение справедливо в любой момент времени в течении времени [ 0 , T ], то тогда А более ликвидно, чем G на всём интервале [ 0 , T ]. Если ценная бумага А обладает большей ликвидностью, чем G на каком то подинтервале в то время как на другом под интервале наблюдается противоположное соотношение, то для того чтобы сделать суждение о ликвидности на всём промежутке [ 0 , T ] смысл ликвидности нуждается в уточнении. Для примера, будем говорить что А более ликвидно, чем G в смысле среднего в течении времени [ 0 , T ], если

13

1T

∫0

T

λ A ( t , T ) d t ≤

1T

∫0

T

λ G ( t , T ) d t (7′)

где λ A и λ G обозначены величины ликвидности инструментов А и G соответственно. Это определение ликвидности не охватывает, конечно, всех проявлений. Например, такая характеристика как объём торгов в течение некоторого периода времени, также может характеризовать ликвидность. Действительно, теоретически при равенстве величин ликвидности А и G в смысле (7) или (7′) объём торгов может служить решающим фактором для определения большей ликвидности. Вернёмся к определению ликвидности (7). Без рисковая облигация с окончанием в момент T задаётся своими bid и ask ценами:

B bid ( t , T ) < B ask ( t , T ) , t [ 0 , T )

B bid ( T , T ) = B ask ( T , T ) = 1

Очевидно, что в формате одной цены совершенная ликвидность, определяемая как средняя цена

B ( t , T ) =

12 [ B bid ( t , T ) + B ask ( t , T ) ] (8)

носит эвристический характер и не представляет собою совершенную ликвидность ни для покупателя, ни для её продавца. Совершенная ликвидность для покупателя облигации ассоциируется с желаемой ценой покупки, т.е. с её bid-ценой. В то время как реальная цена покупки есть её ask-цена. Точно таким же образом совершенная ликвидность для продавца облигации есть её ask-цена в то время как её реальная цена есть bid-цена. Принимая во внимание это замечание, совершенная ликвидность определяется отдельно для покупателя и продавца облигации.

Таким образом, только реальные рыночные цены B bid ( t , T ) , B ask ( t , T ) характеризуют ликвидность облигации. Следовательно, ликвидность не имеющей риска облигации, цена которой определяется формулой (8) не является совершенной ни для покупателя, ни для её продавца. В случае рискованных облигаций ситуация с ликвидностью становиться ещё более сложной. Этот случай будет рассмотрен позже. Учёт ликвидности автоматически предполагает нахождение поправки к теоретической цене (8). С другой стороны можно исследовать ликвидность непосредственно изучая B bid ( t , T ), B ask ( t , T ).

Математически рандомизацию проблемы ликвидности при отсутствии дефолта можно рассмотреть, задавая одновременно пару случайных процессов для bid-ask цен для которых с вероятностью 1 выполняются соотношения

0 < B bid ( t , T ; ) < B ask ( t , T ; ) ≤ 1

B bid ( T , T ; ) = B ask ( T , T ; ) = 1

В bid-ask формате по определению полагаем

14

B k ( t , T ; ) = exp – ∫t

T

r k ( u , ) d u (9)

k = bid, ask. Здесь, процентная ставка r k ( u ) определяется равенством

r k ( t , ) = lim

Δ t → 0

1 − B k ( t , t + Δ t ; ω )Δ t =

= lim

Δ t → 0

B k ( t + Δ t , t + Δ t ) − B k ( t , t + Δ t ; ω )Δ t

Из формулы (9) в частности следует, что

B k ( t , T ; ) = 1 + ∫t

T

r k ( u , ) B k ( u , T ; ) d u (9′)

где процентная ставка

r k ( t ) =

1B k( t , T )

d B k ( t , T )d t

возможно зависит также от T. Из формул (9′) следует, что значения цены облигации и процентной ставки в момент времени t зависят от значений цены облигации на интервале ( t , T ]. При рандомизации цены облигации обычно предполагается, что функция (8) удовлетворяет линейному стохастическому уравнению Ито. Заметим, что в этом случае можно гарантировать условие B ( t , T ) > 0. Однако, условие B ( t , T ) ≤ 1 нарушается и это противоречит определению цены облигации. В этом случае можно говорить только о линейном стохастическом уравнении как об аппроксимации динамики цены. При этом говорить о хорошем совпадении теории с рыночными

данными имеет смысл убедившись, что вероятность события P {sup

t ∈ [ 0 , T ]B ( t , T ) > 1 } достаточно мала. Следуя [1], рассмотрим подход к рандомизации цены облигации игнорируя пока вопросы связанные с ликвидностью. Предположим, что функция r ( t ) удовлетворяет стохастическому

уравнению Ито с обращённым временем

r ( t , ) = r T – ∫t

T

( u , r ( u , )) d u – ∫t

T

( u , r ( u , )) d w←

( u ) (10)

где стохастический интеграл в правой части (9) представляет собою обратный стохастический интеграл Ито [5].

Случайная величина r T = r ( T + ) в правой части (10) представляет собою мгновенную

процентную ставку в момент Т. Эта величина становиться известной только в момент времени Т. Выбор обратного стохастического уравнения (10) продиктован связью цены облигации с её

15

процентной ставкой с помощью формул (9),(9′). Если основной поток событий образован наблюдениями за значениями цены облигации, то из первого уравнения (9) вытекает, что величина B ( t , T ; ) и соответствующая процентная ставка в момент времени t полностью определяется наблюдениями за ценой облигации в течении интервала времени [ t , T ].

Современные модели процентной ставки при которых она в момент времени t > 0 определяется значениями r ( u ) до этого момента времени t подразумевает, что r ( t ) неявно зависит от цен до момента t , т.е. B ( u , T ; ) , u ≤ t. Это предположение находится в противоречии с определением процентной ставки (9,9′). Следовательно, при рандомизации процентной ставки необходимо согласовывать смысл рандомизированной процентной ставки с рандомизированной

ценой облигации. Вернёмся к уравнению (10). Определим поток σ-алгебр F←

[ t , T ], порождаемый наблюдениями за ценой облигации на [ t , T ]. Стрелка сверху указывает на то, что параметр T зафиксирован, а t рассматривается как переменная меняющаяся от T к 0. При построении потока σ-алгебр имеется возможность для выбора его направления. Направление потока выбирается так,

чтобы он соответствовал предлагаемой модели. Пусть F←

T = F←

[ T , + ∞ ) . Тогда ‘начальное’ условие

r T = r ( T + ) является F←

T измеримой случайной величиной, которая определяется равенством

r T = lim

Δ ↓ 0 ( ) – 1 r ( T , T + ) (11)

где r ( T , T + ) определяется равенством (1′). Предположим, по крайней мере в теории, что r ( t , T ) известно для любых значений 0 ≤ t ≤ T. Для исключения возможности арбитража заменим неизвестную будущую ставку её ожидаемой рынком оценкой. Подразумеваемая рынком оценка r ( T , T + H ; t ) случайной величины r ( T , T + H ) определяется c помощью уравнения

[ 1 + r ( t , T + H ) ( T + H - t ) ] = [ 1 + r ( t , T ) ( T - t ) ] [ 1 + r ( T , T + H ; t ) H ]

Разрешая уравнение относительно r ( T , T + H ; t ) имеем

r ( T , T + H ; t ) =

1H

r ( t , T + H ) ( T + H − t ) − r ( t , T ) ( T − t )1 + r ( t , T ) ( T − t )

Принимая во внимание определение ожидаемой рынком оценки будущей ставки, находим оценку случайной величины r T

r ( T , T + 0 ; t ) = lim

H ↓ 0

1H

r ( t , T + H ) ( T + H − t ) − r ( t , T ) ( T − t )1 + r ( t , T ) ( T − t )

Неслучайная величина r T ( t ) = r ( T , T + 0 ; t ) известна в момент t и замена r T на r T ( t ) в уравнении (10) подразумевает рыночный риск связанный с тем фактом, что r T ≠ r T ( t ). Пусть r ( t ; T , r T ) обозначает решение уравнения (10). Тогда r ( t ; T , r T ( t )) соответствует решению этого уравнения с ‘начальным’ условием в момент времени T, r ( Т ; T , r T ( t )) = r T ( t ). Риск покупателя облигации состоит в том , что он платит большую цену за облигацию, чем та которая соответствует ставке r T ( t ) = r ( T , T + 0 ; t ) в момент T. Таким образом, риск покупателя

16

связан с рыночными сценариями { : r ( t , T ; r T ( )) < r ( t , T ; r T ( t ) ) }. Предположим теперь, что случайная функция r k ( t , ) удовлетворяет уравнению

r k ( t , ) = r T , k – ∫t

T

k ( u , r ( u , )) d u – ∫t

T

( u , r ( u , )) d w←

( u ) (10′)

Здесь, k = ask, bid , r T , ask < r T , bid , и аsk ( u , r ) < bid ( u , r ). Эти неравенства соответствуют известным соотношениям между ask и bid ценами. Случайные величины r T , ask , r T , bid

определены в соответствии с равенством (11) и являются F←

T измеримыми случайными величинами. Рыночная практика заменяет будущую случайную процентную ставку её ожидаемым значением, r T , k ( t ) = r k ( T , T + 0 ; t ). Модель (10′) единственным образом определяет решение уравнения (10′), r k ( t , ) = r k ( t ; T , r T , k ( t )) с начальным условием заданным в конечный момент времени Т

r k ( Т ; t , ) = r T , k ( t ) = r k ( T , T + 0 ; t )

k = ask, bid. В отсутствии новых непредсказуемых в смысле модели (10′) источников, влияющих на характер динамики r k ( t , ) можно предположить, что текущие (spot) ask-bid цены облигации в момент времени t могут быть аппроксимированы их условным средним по отношению к наблюдениям за ценами облигации вплоть до момента t. Таким образом

r spot , k ( t ) = E { r k ( t , ) | F→

t } (12′)

где F→

t = F [ 0 , t ) = σ { B ( u , T ) , u < t }. В то же время можно предложить рыночную оценку текущей ставки, соответствующей модели (10). Для этого значение будущей ставки r ( u , ), u [ t , T ] , входящей в правую часть (10) заменим её ожидаемой на момент t рыночной оценкой

r u ( t ) = r ( u , t ). Тогда приходим к представлению

r k( im )

( t , ) = r T , k – ∫t

T

k ( u , r u ( t )) d u – ∫t

T

( u , r u ( t )) d w←

( u )

k = ask, bid . Верхний индекс ‘im’ в левой части равенства соответствует значению ‘implied’. В соответствии с формулой (12′) положим

r spot , k( im )

( t ) = E { r k( im )

( t , ) | F→

t } (12′′)

Заметим, что r k( im )

( t , ) является гауссовой случайной величиной со средним и дисперсией равными

r T , k – ∫t

T

k ( u , r u ( t )) d u , ∫t

T

Е [ ( u , r u ( t )) ] 2 d u

17

соответственно. Формулы (12′), (12′′) являются основными , для определения цены облигаций с нулевым риском цены которых определяются формулой (9). Отметим два типа риска, допущенных при построении модели текущей цены облигации. Один это – риск модели, который представлен предположениями о в виде формул (10), (12′), (12′′). Второй тип риска это – риск имитации рынка. Этот риск представлен заменой реальной будущей ставки в уравнении (10) её ожидаемым рынком оценкой.

В момент t определим ожидаемый курс процентной ставки в течении будущего интервала [ T , T + H ], T > t , H > 0. Обозначим этот ожидаемый курс f k ( T , T + H ; t ), k = ask, bid. По определению полагаем

f k ( T , T + H ; t ) =

1H

[1 − D k ( t , T + H ) ( T + H − t )

1 − D k ( t , T ) ( T − t )− 1 ]

k = ask, bid. Заметим, что ставка дисконта D k в правой части равенства необязательно связана с определённой облигацией. Например, в случае LIBOR, по определению полагаем в предыдущей формуле, что D k = L k и f k = l k . Тогда, в частности

fra k ( T , T + H ; t ) = l k ( T , T + H ; t )

и bid-ask спрэд определяется как

λ l ( t , fra ( T , T + H ; t ) ) = l ask ( T , T + H ; t ) - l bid ( T , T + H ; t )

Эта формула даёт возможность для сравнения ликвидности FRA контрактов для различных T , H. Напомним, что цена и курс контракта фиксированной ставки находятся в обратно пропорциональной зависимости. В нашем случае это l bid > l ask . Как уже отмечалось, предполагаемый в будущем курс может быть интерпретирован как статистическая оценка реального курса, неизвестного в текущий момент t и трактуемого как случайная величина. Использование предполагаемого курса вместо случайного реального курса автоматически подразумевает рыночный риск. Этот риск обусловлен несовпадением предполагаемых будущих ставок l bid , l ask с их реальными будущими значениями которые реализуются в момент Т. Другими словами, рыночный риск ликвидности FRA контракта, ставка которого определяется облигацией, является следствием неравенства

f bid ( T , T + H ; t ) - f ask ( T , T + H ; t ) ≠ B bid ( T , T + H ) - B ask ( T , T + H )

а вероятность

P { f bid ( T , T + H ; t ) - f ask ( T , T + H ; t ) > B bid ( T , T + H ) - B ask ( T , T + H ) }

представляет величину риска отсутствия ликвидности у FRA. Здесь, FRA контракт был использован в качестве иллюстрации эффекта стохастичности при анализе ликвидности. Текущий в момент t спрэд ликвидности λ f = f ask - f bid представляет собою статистическую оценку и может быть как больше так и меньше истиной величины спрэда

λ l = l ask ( T , T + H ) - l bid ( T , T + H )

18

Более широкий спрэд предсказывает дополнительные расходы покупателя в будущем, а более узкий спрэд указывает на лучшую ликвидность в будущем и на меньший премиум ликвидности.

Литература.

1. I. Gikhman. Fixed Income Basic Notions and Randomization. http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1964307.

2. I. Gikhman. FX Basic Notions and Randomization. http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1971373.

3. I. Gikhman. О построении цены производных инструментов., http :// www . slideshare . net / list 2 do

4. I. Gikhman. Derivatives pricing., http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2140830 .

5. I. Gikhman. Stochastic Differential Equations and Its Applications: Stochastic analysis of the dynamic systems. Lap Lambert Academic Publishing, 2011, p.252.

6. J. Hull. Options, Futures, and other Derivatives, 7 ed., 814.

19