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学出版社
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书书书
高等教育 “十一五”规划教材
高 等 数 学（下 册）
颜宝平 主 编
张鑊文 副主编
北 京
内 容 简 介
本书分上、下两册。上册内容包括函数、极限与连续、导数与微分、
中值定理与导数的应用、积分及其应用、空间解析几何等；下册内容包括
多元函数微分及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分
方程等。全书基本上覆盖了现行理工科类院校 《高等数学》课程的全部教
学内容。内容深浅适宜，注意与中学数学的衔接；例题充分结合内容，难
易适当，强调应用。
本书可供高等院校理工科各专业作为教材使用，也可作为理工科学生
考研参考用书。
图书在版编目 （犆犐犘）数据
高等数学 （下册）／颜宝平主编．—北京：科学出版社，２０１０．６
（高等教育 “十一五”规划教材）
ＩＳＢＮ９７８７０３０２７５３６３
Ⅰ．①高… Ⅱ．①颜… Ⅲ．①高等数学—高等学校—教材 Ⅳ．①Ｏ１３
中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字 （２０１０）第０８４２２９号
策划：姜天鹏 宋 芳
责任编辑：王纯刚 隽青龙／责任校对：王万红
责任印制：吕春珉／封面设计：东方人华平面设计部
出版
北京东黄城根北街１６号
邮政编码：１００７１７
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｓｃｉｅｎｃｅｐ．ｃｏｍ
印刷
科学出版社发行 各地新华书店经销
２０１０年６月第 一 版 开本：７８７×１０９２ １／１６
２０１０年６月第一次印刷 印张：１５
印数：１３０００ 字数：３４４０００
定价：５８００元 （本册定价２８００元）
（如有印装质量问题，我社负责调换 〈环伟〉）
销售部电话０１０６２１４０８５０ 编辑部电话０１０６２１３５５１７２０３７
版权所有，侵权必究举报电话：０１０６４０３０２２９；０１０６４０３４３１５；１３５０１１５１３０３
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书书书
前 言
我们编写 《高等数学》（上、下册）是根据教育部提出的 “高等教育面向２１世纪教
学内容和课程体系改革计划”的精神，结合近几年全国高校工科数学教学指导委员会
工作会议的意见，作为贵州铜仁学院精品课程建设，强调高等数学的实用性而编写的
一本教材。全书分上、下两册。上册内容包括函数极限、一元函数微积分及应用、空
间解析几何，下册内容包括多元函数微积分、级数、微分方程。各章节配有习题与总
练习题，利用总练习题检测学习效果，题目难易适当，层次分明，通过努力基本能够
完成。
本书注重将数学素质的培养融合到教学内容之中，突出微积分的基本思想和方法；
在内容上力求实用、简洁、易懂；在使用过程中注意以问题驱动的教学，带着问题教
学，为解决问题而引入新知识、新方法是编写本书的另一初衷。
在编写过程中，借鉴了传统高等数学的体系结构，但也做了一点尝试，将传统的
不定积分这一章融入定积分之中，改为积分及其应用。当学生学习定积分的概念之后，
要计算定积分就会产生困难，为解决这个问题就得学习不定积分，这也是问题驱动的
数学教学的一种方式。
本书由李超、李德瑾主编，由张鑊文副主编。参加编写的还有张焰、杨英杰、覃
启伦、段彦玲。本书的问世，是铜仁学院狠抓教学改革的一个缩影。在编写过程中，
参考了众多高等数学教材，特别是得到我的老师———贵州大学教务处长向淑文教授鼎
力支持，同时也特别感谢铜仁学院教务处长雷晓军教授提供大量参考资料。本书的问
世，还离不开我的同事———铜仁学院数学与计算机科学系全体教师的支持；在出版过
程中，得到了科学出版社领导的大力支持和帮助，责任编辑隽青龙为本书的编辑、出
版付出了辛勤的劳动，在此一并致以谢意。
限于编写时间仓促，本书不妥和错误在所难免，恳请专家、同行及读者批评指正，
编者联系方式：５２３１００４＠１６３．ｃｏｍ。
编者
２０１０．５
书书书
目 录
第六章 多元函数微分法及其应用 １!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一节 多元函数 １!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、多元函数概念 １!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、二元函数的极限 ４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、二元函数的连续性 ５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．１ ６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二节 偏导数 ７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、偏导数的定义 ７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、偏导数的计算 ９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、高阶偏导数 １０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．２ １１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三节 全微分 １２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、全微分的定义 １２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、可微分的条件 １３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．３ １５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四节 多元复合函数的求导法则 １６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．４ ２０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五节 隐函数的求导公式 ２１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、一个方程的情形 ２１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、方程组的情形 ２３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．５ ２５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六节 偏导数的应用 ２６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、偏导数的几何上的应用 ２６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、多元函数的极值及其求法 ３０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．６ ３５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七节 方向导数与梯度 ３６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、方向导数 ３６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、梯度 ３８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题６．７ ４０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
总习题六 ４０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七章 重积分 ４２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一节 二重积分的概念与性质 ４２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、二重积分的概念 ４２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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·ｉｖ· 高等数学 （下册）
二、二重积分的性质 ４４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题７．１ ４５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二节 二重积分的计算 ４６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、利用直角坐标系计算二重积分 ４６!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、利用极坐标计算二重积分 ５０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题７．２ ５４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三节 三重积分的概念及其计算 ５７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题７．３ ５９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 ６０!!!!!!!!!!!!!
一、利用柱面坐标计算三重积分 ６０!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、利用球面坐标计算三重积分 ６１!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题７．４ ６３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五节 重积分的应用 ６４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、二重积分的应用 ６４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、三重积分的应用 ７０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题７．５ ７５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
总习题七 ７６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第八章 曲线积分与曲面积分 ７８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一节 对弧长的曲线积分 ７８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 ７８!!!!!!!!!!!!!!!!
二、对弧长的曲线积分的计算法 ７９!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．１ ８１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二节 对坐标的曲线积分 ８２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 ８２!!!!!!!!!!!!!!!!
二、对坐标的曲线积分的计算法 ８５!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、两类曲线积分之间的联系 ８８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．２ ９０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三节 格林公式 ９１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、格林公式 ９１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 ９４!!!!!!!!!!!!!!!
三、二元函数的全微分求积 ９６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．３ ９９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四节 对面积的曲面积分 １０１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、对面积的曲面积分的概念与性质 １０１!!!!!!!!!!!!!!!
二、对面积的曲面积分的计算法 １０２!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．４ １０５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五节 对坐标的曲面积分 １０５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 １０５!!!!!!!!!!!!!!!
目 录 ·ｖ·
二、对坐标的曲面积分的计算法 １０８!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、两类曲面积分之间的联系 １１１!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．５ １１３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六节 高斯公式 １１４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．６ １１７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七节 向量场的散度与旋度 １１８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、通量与散度 １１８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、斯托克斯公式 １２１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、环流量与旋度 １２４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题８．７ １２５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
总习题八 １２６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第九章 无穷级数 １２９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一节 常数项级数的概念与性质 １２９!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、常数项级数的概念 １２９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、无穷级数的基本性质 １３１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、级数收敛的必要条件 １３３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题９．１ １３４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二节 常数项级数的审敛法 １３５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、正项级数及其审敛法 １３５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、交错级数及其审敛法 １４３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、任意项级数的敛散性（绝对收敛与条件收敛） １４４!!!!!!!!!!
习题９．２ １４６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三节 幂级数 １４７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、函数项级数的一般概念 １４７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、幂级数及其敛散性 １４８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、幂级数的运算 １５３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题９．３ １５６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四节 函数展开成幂级数 １５７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、泰勒级数 １５７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、函数展开成幂级数 １５９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、函数的幂级数展开式的应用 １６６!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题９．４ １７０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五节 傅里叶级数 １７０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、三角级数及三角函数系的正交性 １７１!!!!!!!!!!!!!!!
二、函数展开成傅里叶级数 １７２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、正弦级数和余弦级数 １８０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
四、傅里叶级数的复数形式 １８２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题９．５ １８４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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·ｖｉ· 高等数学 （下册）
总习题九 １８５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第十章 微分方程 １８８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第一节 微分方程的基本概念 １８８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．１ １９１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二节 可分离变量的微分方程、齐次方程 １９２!!!!!!!!!!!!!!
一、可分离变量的微分方程 １９２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、齐次方程 １９４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．２ １９７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三节 一阶线性微分方程、贝努利方程 １９８!!!!!!!!!!!!!!!
一、一阶线性微分方程 １９８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、贝努利方程 ２００!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．３ ２０３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四节 全微分方程 ２０４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．４ ２０６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五节 可降阶的高阶微分方程 ２０６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、狔（狀）＝犳（狓）型的微分方程 ２０６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、狔″＝犳（狓，狔′）型的微分方程 ２０７!!!!!!!!!!!!!!!!!
三、狔″＝犳（狔，狔′）型的微分方程 ２０８!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．５ ２０９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六节 线性微分方程的解的结构 ２１０!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一、线性微分方程的基本概念 ２１０!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、线性微分方程的解的结构 ２１１!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．６ ２１３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 ２１４!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．７ ２１８!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 ２１９!!!!!!!!!!!!!!!
一、犳（狓）＝犘犿（狓）犲λ狓型 ２１９!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
二、犳（狓）＝犲λ狓［犘犾（狓）ｃｏｓ狑狓＋犘狀（狓）ｓｉｎ狑狓］型 ２２２!!!!!!!!!!!
习题１０．８ ２２５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第九节 欧拉方程 ２２５!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．９ ２２７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第十节 微分方程的应用 ２２７!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题１０．１０ ２３０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
总习题十 ２３１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献 ２３２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
书书书
第六章 多元函数微分法及其应用
在第二章到第四章中，我们所讨论的函数都是只有一个自变量，但实际问题中往
往需要考虑自变量个数是两个甚至更多个的情形，这就是多元函数．本章将在一元函
数的微分法及其应用的基础之上，讨论多元函数的微分法及其应用．由于从一元函数
到二元函数有许多本质的变化，而二元函数到二元以上的函数只有自变量的个数不同，
没有本质的区别，完全可以将有关的内容类推．因此，我们的讨论以二元函数为主．
多元函数微分法是一元函数微分法的推广和发展，学习时要注意两者的区别和联系．
第一节 多 元 函 数
一、多元函数概念
（１）区域
设犘０（犪，犫）是直角坐标平面上一点，δ是某一正数．与点犘０（犪，犫）的距离小于δ
的所有点犘（狓，狔）的集合，称为点犘０（犪，犫）的δ邻域，记为犝。
δ（犘０），即
犝。
δ（犘０）＝ 犘 狘犘０犘狘＜ ｝δ ＝ （狓，狔｛ ） （狓－犪）２＋（狔－犫）槡
２＜｛ ｝δ
犝δ（犘０）在几何上表示直角坐标平面上以点犘０（犪，犫）为圆心，以δ为半径的圆内的
所有点．如果去掉邻域的中心，称为点犘０（犪，犫）的去心的δ邻域，记为犝。
δ（狆０），即
犝。
δ（犘０）＝ 犘 ０＜狘犘０犘狘＜｛ ｝δ ＝ （狓，狔）０＜ （狓－犪）２＋（狔－犫）槡
２＜｛ ｝δ
如果不考虑邻域的半径，则用犝（犘０）表示点犘０的某一邻域，犝。
（犘０）表示点犘０的某
一去心邻域．
设犈是平面点集，犘是平面上一点．如果存在点犘的某一邻域犝（犘），使犝（犘）犈，
则称点犘是犈的内点．显然，犘∈犈（如图６．１）．
如果点集犈的任意点都是内点，则称犈是开集．例如犈＝ （狓，狔）狘狓２＋狔
２＜｛ ｝１ ．
犈中所有点都是犈的内点，所以犈是开集．
图６．１
图６．２
如果在点犘的任意邻域内，既有点属于犈，同时又有点不属于犈，则称点犘是犈
的边界点，（如图６．２）．犈 的所有边界点组成的集合， 称为犈 的边界． 例如犈 ＝
（狓，狔）狘１＜狓２＋狔
２≤｛ ｝２ 的边界是圆周狓２＋狔
２＝１和狓
２＋狔
２＝２．由此可见，点集
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·２ · 高等数学（下册）
犈的边界点（或边界）可能属于犈，也可能不属于犈．
设犈是开集．如果犈内任意两点都能用属于犈的折线连结起来，则称开集犈是连通的．
连通的开集称为开区域． 开区域添上它的边界一起， 称为 闭区域． 例如
（狓，狔）狘狓２＋狔
２＞｛ ｝１ 是开区域， （狓，狔）狘狓
２＋狔
２≥｛ ｝１ 是闭区域．
有时为简便起见，并在不致引起混淆的情况下，将开区域和闭区域都笼统地简称
为区域．
设犈是平面点集．如果存在某一正数犚，使犈犝犚（犗），点犗为原点，则称犈是有
界集．否则，犈 是无界集． 例如｛（狓，狔）狘１＜狓２＋狔
２＜２｝是有界开区域，
（狓，狔）狘狓＋狔≥｛ ｝１ 是无界闭区域．
（２）狀维空间
在空间解析几何中，引入直角坐标系后，使得空间的点与有序的三元数组（狓，狔，
狕）一一对应．从而，有序三元数组（狓，狔，狕）的全体表示空间一切点的集合，称为（三
维）空间．一般地，有序狀元数组（狓１，狓２，…，狓狀）的全体称为狀维空间，记为犚狀（狀为
自然数）．其中每个有序狀元数组（狓１，狓２，…，狓狀）称为狀维空间的一个点犘，记为
犘（狓１，狓２，…，狓狀），数狓犻称为点犘的第犻个坐标．当狀＝１时，犚１表示数轴，当狀＝
２时，犚２ 表示平面，当狀＝３时，犚３ 表示空间．
设犘（狓１，狓２，…，狓狀），犙（狔１，狔２，…，狔狀）为犚狀中任意两点，两点间的距离定义为
狘犘犙狘＝ （狔１－狓１）２＋（狔２－狓２）
２＋…＋（狔狀－狓狀）槡
２
关于平面点集给出的一系列概念，可完全推广到狀维空间．例如邻域概念，设点
犘０ ∈犚狀，δ是某一正数，则犚
狀中与点犘０的距离小于δ的所有点犘 的集合，称为点犘０
的δ邻域，即
犝δ（犘０）＝ 犘 狘犘０犘狘＜δ，犘∈犚｛ ｝狀
（３）二元函数概念
定义１ 设犇是平面上的一个点集．如果对于每个点犘（狓，狔）∈犇，变量狕按着一
定的法则总有唯一确定的值与之对应，则称狕是变量狓，狔的二元函数（或点犘的函数），
记为狕＝犳（狓，狔）（或狕＝犳（犘）），其中狓，狔称为自变量，狕称为因变量，点集犇称为
函数的定义域．数集犠 ＝ ｛狕狘狕＝犳（狓，狔），（狓，狔）∈犇｝称为函数的值域．
表示函数对应关系的记号犳也可用其他字母表示，如函数狕＝φ（狓，狔），狕＝狌（狓，
狔）等等．
例６．１ 圆柱体的体积犞 和它的底半径狉，高犺之间的关系是
犞 ＝π狉２犺．
例６．２ 物体运动的动能犠 和物体的质量犿，运动的速度狏之间的关系是
犠 ＝１
２犿狏２．
例６．３ 一定量的理想气体的压强犘和体积犞，绝对温度犜之间的关系是
犘＝犚犜犞（犚为常数）．
以上三例都是二元函数的实例．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３ ·
如果将平面点集犇改为狀维空间点集犇犚狀（狀≥３），类似地，可定义三元函数狌＝
犳（狓，狔，狕）及狀元函数狌＝犳（狓１，狓２，…，狓狀）．当狀＝１时，狀元函数为一元函数．当狀≥
２时，狀元函数统称为多元函数．多元函数可简记为狌＝犳（犘），点犘（狓１，狓２，…，狓狀）∈犇．
如何求多元函数的定义域呢？与一元函数相类似，如果多元函数是用解析式表示
的，则函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量所确定的点集．如果函数有确
定的实际意义，即该函数是某个实际问题的数学模型，则它的定义域应由实际问题来
确定．
例６．４ 求函数狕＝１
槡狓ｌｎ（１－狓－狔）的定义域
解 狓，狔应满足不等式
狓＞０
１－狓－狔＞｛ ０
，即狓＞０
狓＋狔＜｛ １
从而，定义域为犇＝ ｛（狓，狔）狘狓＞０且狓＋狔＜１｝，是无界的开区域（如图６．３）．
例６．５ 求函数狕＝ａｒｃｓｉｎ（狓２＋狔
２）＋ ２－狓２－狔槡
２ 的定义域．
解 狓，狔应满足不等式
２－狓２－狔
２≥０
狓２＋狔２≤
｛ １，即狓２＋狔
２≤１．
从而，定义域犇＝ ｛（狓，狔）狘狓２＋狔
２≤１｝，是有界闭区域（如图６．４）．
图６．３
图６．４
二元函数的图形：设函数狕＝犳（狓，狔）的定义域为犇．对于任意取定的点犘（狓，狔）∈
犇，有确定的函数值狕＝犳（狓，狔）与之对应．于是，以狓为横坐标，狔为纵坐标，狕为竖
坐标，在空间确定一个点犕（狓，狔，狕），所有这样确定的空间点的集合
｛（狓，狔，狕）狘狕＝犳（狓，狔），（狓，狔）∈犇｝
图６．５
称为二元函数狕＝犳（狓，狔）的图形．一般地，二元函数的
图形是空间曲面，而这个曲面在狓犗狔面上的投影就是该函
数的定义域犇，（如图６．５）．例如函数狕＝狓２＋狔
２ 是定义
在狓犗狔面上，顶点在原点，开口向上的旋转抛物面，由方
程狓２＋狔２＋狕
２＝犪
２所确定的函数狕＝犳（狓，狔）的图形是
球心在原点，半径为犪的球面，定义域是
犇＝ ｛（狓，狔）狘狓２＋狔
２≤犪
２｝．
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·４ · 高等数学（下册）
由狕＝± 犪２－狓２－狔槡
２可知，对于任一点犘（狓，狔）∈犇，狕有两个确定的值与之对应，
因此，该函数为多值函数，其中两个单值分支狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２ 和狕＝－ 犪２－狓２－狔槡
２
分别表示上半球面和下半球面．除特别声明外，本书主要讨论单值函数．
二、二元函数的极限
类似于一元函数的极限概念，二元函数的极限也是反映当点犘（狓，狔）越来越趋向
于点犘０（狓０，狔０）（但犘（狓，狔）≠犘０（狓０，狔０））时，对应的函数值犳（狓，狔）的变化趋势．
定义２ 设二元函数犳（狓，狔）在区域犇上有定义，点犘０（狓０，狔０）是犇的内点或边
界点，犃为常数．如果对 ε＞０，δ＞０，使得满足不等式
０＜狘犘０犘狘＝ （狓－狓０）２＋（狔－狔０）槡
２＜δ
的一切点犘（狓，狔）∈犇，都有
狘犳（狓，狔）－犃狘＜ε
则称犃为函数犳（狓，狔）当狓狓０，狔狔０ 时的（二重）极限，记作
ｌｉｍ狓狓０狔狔０
犳（狓，狔）＝犃，
或 犳（狓，狔）犃 （犘犘０）．
注意：犘（狓，狔）犘０（狓０，狔０）是从任何方向，以任意方式进行的．这一点有别于
一元函数的极限．如果当点犘（狓，狔）以两种不同的方式趋于点犘０（狓０，狔０）时，函数值
趋向于两个不同的常数，则可以肯定函数的极限不存在．
例６．６ 设犳（狓，狔）＝３狓２＋５狔
２
狓２＋狔槡２（狓２＋狔
２≠０），证明：ｌｉｍ
狓０狔０
犳（狓，狔）＝０．
证明 因为狘犳（狓，狔）－０狘＝３狓２＋５狔
２
狓２＋狔槡２ ≤５ 狓２＋狔槡
２，所以，对任意给定的ε＞
０，取δ＝ε５，则当狓，狔满足
０＜ （狓－０）２＋（狔－０）槡
２＜δ
时，总有 狘犳（狓，狔）－０狘＜ε，
故 ｌｉｍ狓０狔０
犳（狓，狔）＝０
关于二重极限的运算，有类似于一元函数的运算法则．
例６．７ 求ｌｉｍ狓０狔０
狓狔
狓狔＋槡 １－１．
解 分子、分母同乘以因式 狓狔＋槡 １＋１，得
ｌｉｍ狓０狔０
狓狔
狓狔＋槡 １－１＝ｌｉｍ
狓０狔０
狓狔（狓狔＋槡 １＋１）
狓狔＝ｌｉｍ
狓０狔０
（狓狔＋槡 １＋１）＝２．
例６．８ 求ｌｉｍ狓０狔０
１－ｃｏｓ（狓２＋狔
２）
（狓２＋狔２）犲狓
２狔２ ．
解 ｌｉｍ狓０狔０
１－ｃｏｓ（狓２＋狔
２）
（狓２＋狔２）犲狓
２狔２ ＝ｌｉｍ
狓０狔０
２ｓｉｎ２狓２＋狔
２
２
（狓２＋狔２）犲狓
２狔２
第六章 多元函数微分法及其应用 ·５ ·
＝ｌｉｍ狓０狔０
ｓｉｎ狓２＋狔
２
２
狓２＋狔２
熿
燀
燄
燅２
２
·狓２＋狔
２
２犲狓２狔２ ＝１·０＝０．
例６．９ 证明极限ｌｉｍ狓０狔０
狓狔２
狓２＋狔４不存在．
证明 当点犘（狓，狔）沿狓轴趋于点犘０（０，０）时，
ｌｉｍ狓０狔０
狓狔２
狓２＋狔４ ＝ｌｉｍ
狓００＝０，
但是，当点犘（狓，狔）沿抛物线狔＝槡狓趋于点犘０（０，０）时，
ｌｉｍ狓０
狔＝槡狓
狓狔２
狓２＋狔４ ＝ｌｉｍ
狓０
狓２
２狓２＝１
２
所以ｌｉｍ狓０狔０
狓狔２
狓２＋狔４不存在．
三、二元函数的连续性
与一元函数的连续性相类似，在多元函数极限的基础上，我们将研究多元函数的
连续性．
定义３ 设函数犳（狓，狔）在区域犇上有定义，点犘０（狓０，狔０）∈犇（犘０是犇的内点
或边界点）．如果
ｌｉｍ狓狓０狔狔０
犳（狓，狔）＝犳（狓０，狔０）
则称函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）连续．
如果函数犳（狓，狔）在区域犇上的每一点都连续，则称函数犳（狓，狔）在区域犇上是
连续函数．
关于二元函数连续性的概念，可完全推广到狀元函数狌＝犳（犘）上去．
如果函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处不连续，则称点犘０（狓０，狔０）为函数犳（狓，狔）
的间断点．
例如函数犳（狓，狔）＝
狓狔２
狓２＋狔４，狓２＋狔
２≠０
０， 狓２＋狔２＝
烅
烄
烆 ０
．
虽然犳（狓，狔）在点（０，０）处有定义，但是当狓０，狔０时，函数的极限不存在，
所以点（０，０）是该函数的一个间断点．
又如函数狕＝狓狔
狔－２狓２在抛物线狔＝２狓
２ 上没有定义，所以抛物线上的点都是该函
数的间断点．
由此可见，二元函数的间断点有时可能形成一条或几条曲线．
类似于一元初等函数的定义，所谓多元初等函数，就是由常数和自变量（如狓，狔
等）利用基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的函数．例如
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·６ · 高等数学（下册）
ｃｏｓ狓２＋狔
２
２，ｌｎ
狓２＋狔２
１＋狓狔等都是多元初等函数．
由于多元函数也有类似于一元函数的极限运算法则，根据这些运算法则及连续函
数的定义，可证得如下结论：
１）多元连续函数的和、差、积均为连续函数，连续函数的商在分母不为零处也
连续．
２）多元连续函数的复合函数仍为连续函数．
３）一切多元初等函数在其定义域内是连续的．
利用多元初等函数的连续性，可以求某些多元函数的极限．设犳（狆）是多元初等函
数，而点犘０ 是犳（犘）的定义域内的一点，则
ｌｉｍ犘犘０
犳（犘）＝犳（犘０）
例６．１０ 求 ｌｉｍ狓１狔０
ｃｏｓ（狓－犲狔）
狓２＋狔槡２．
解 函数犳（狓，狔）＝ｃｏｓ（狓－犲狔）
狓２＋狔槡２是初等函数，而点犘０（１，０）在其定义域内，所以
犳（狓，狔）在点犘０ 处连续．
ｌｉｍ狓１狔０
ｃｏｓ（狓－犲狔）
狓２＋狔槡２＝犳（１，０）＝１．
闭区间上连续函数的性质可推广到多元连续函数上去．
定理１（最值性） 如果多元函数犳（犘）在有界闭区域犇上连续，则犳（犘）在犇上一
定有最小值和最大值．即在闭区域犇上至少存在两点犘１，犘２，使得犳（犘１）为最小值，
犳（犘２）为最大值．
定理２（介值性） 设多元函数犳（犘）在有界闭区域犇上连续．如果犳（犘）在犇上取
得两个不同的函数值μ１，μ２，则犳（犘）在犇上一定取得介于μ１和μ２之间的任何值μ至
少一次．特别地，如果μ介于函数犳（犘）的最小值犿和最大值犕 之间，则在犇上至少存
在一点犘０，使犳（犘０）＝μ．
习题６．１
１．设狕＝狓＋狔＋犳（狓－狔），若当狔＝０时，狕′＝狓２，求函数犳及狕．
２．设犳（狓＋狔，狔狓）＝狓
２－狔
２，求犳（狓，狔）．
３．设犳（狓，狔）＝ 狓４＋狔槡４－２狓狔，求犳（狋狓，狋狔）．
４．求下列函数的定义域：
（１）狕＝ ２狓２－槡 狔； （２）狕＝ｌｎ［狓ｌｎ（狔－狓）］；
（３）狕＝１
狓－槡槡 狔＋ａｒｃｓｉｎ（１－狓
２－狔
２）； （４）狕＝ｌｎ（狔－狓）＋槡狓
１－狓２－狔槡
２；
（５）狌＝犲１－狓
２－狔２－狕槡 ２
－１
狕－狓２－狔槡
２；
第六章 多元函数微分法及其应用 ·７ ·
（６）狌＝ ２－狓２－狔
２－狕槡
２＋
１
狓２＋狔２＋狕
２－槡 １．
５．证明ｌｉｍ狓０狔０
（狓２＋狔２）ｓｉｎ
１
狓狔＝０．
６．求下列极限：
（１）ｌｉｍ狓１狔２
狓＋狔狓２－狓狔＋狔
２； （２）ｌｉｍ
狓１狔１
ｃｏｓ 狘狓狔狘－槡 １；
（３）ｌｉｍ狓０狔０
ｓｉｎ狓狔狓
； （４）ｌｉｍ狓０狔０
（狓ｓｉｎ１
狔＋狔ｓｉｎ
１
狓）；
（５）ｌｉｍ狓∞狔犽
（１＋狔狓）狓（犽≠０）； （６）ｌｉｍ
狓０狔０
２－ 狓狔＋槡 ４
狓狔．
７．证明下列极限不存在
（１）ｌｉｍ狓０狔０
狓－狔２
狓＋狔２； （２）ｌｉｍ
狓０狔０
２狓狔３
狓２＋狔６．
８．讨论函数犳（狓，狔）＝
２狓狔狓２＋狔
２，狓２＋狔
２≠０
０， 狓２＋狔２＝
烅
烄
烆 ０
的连续性．
９．指出下列函数的间断点
（１）狕＝ｓｉｎ狓ｓｉｎ狔狓＋狔
； （２）狕＝１
ｃｏｓ（狓２＋狔２）．
第二节 偏 导 数
我们已经在第二章中研究了一元函数的变化率问题，并引进了函数的导数的概念．
本节将以此为基础讨论多元函数关于其中一个自变量的变化率问题，并引进偏导数的
概念．下面就二元函数给出偏导数的定义、计算方法以及高阶偏导数．
一、偏导数的定义
定义 设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）的某一邻域内有定义．先固定狔＝狔０，
当狓在狓０ 处有增量Δ狓时，相应地，函数有关于狓的偏增量，记为Δ狕狓，即
Δ狕狓 ＝犳（狓０＋Δ狓，狔０）－犳（狓０，狔０）．
如果 ｌｉｍΔ狓０
Δ狕狓
Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓０
犳（狓０＋Δ狓，狔０）－犳（狓０，狔０）
Δ狓
存在，则称此极限值为函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处对狓的偏导数，记为
狕
狓狓＝狓０狔＝狔０
，或犳狓
狓＝狓０狔＝狔０
，或狕狓狓＝狓０狔＝狔０
，或犳狓（狓０，狔０）．
即 犳狓（狓０，狔０）＝ｌｉｍΔ狓０
犳（狓０＋Δ狓，狔０）－犳（狓０，狔０）
Δ狓（６．１）
同样，先固定狓＝狓０，函数关于狔的偏增量记为Δ狕狔，即Δ狕狔＝犳（狓０，狔０＋Δ狔）－
犳（狓０，狔０），函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处关于狔的偏导数定义为
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·８ · 高等数学（下册）
ｌｉｍΔ狔０
Δ狕狔Δ狔＝ｌｉｍ
Δ狔０
犳（狓０，狔０＋Δ狓）－犳（狓０，狔０）
Δ狔，
记为
狕
狔狓＝狓０狔＝狔０
，或犳狔
狓＝狓０狔＝狔０
，或狕狔 狓＝狓０狔＝狔０
，或犳狔（狓０，狔０）．
即 犳狔（狓０，狔０）＝ｌｉｍΔ狔０
犳（狓０，狔０＋Δ狔）－犳（狓０，狔０）
Δ狔（６．２）
如果函数狕＝犳（狓，狔）在开区域犇内每一点（狓，狔）处对狓的偏导数都存在，则在
犇内定义了一个新的二元函数，称为函数狕＝犳（狓，狔）对狓的偏导函数（偏导数），记为
狕
狓，犳狓，狕狓，犳狓（狓，狔）．
同理，可以定义函数狕＝犳（狓，狔）对狔的偏导函数（偏导数），记为狕
狔，犳狔，狕狔，
犳狔（狓，狔）．
二元函数的偏导数定义可以推广到二元以上的函数．例如三元函数狌＝犳（狓，狔，
狕），如果函数犳（狓，狔，狕）在点（狓，狔，狕）某一邻域内有定义，则在点（狓，狔，狕）处关
于狓的偏导数定义为
狌
狓＝ｌｉｍ
Δ狓０
犳（狓＋Δ狓，狔，狕）－犳（狓，狔，狕）
Δ狓．
类似地，可定义函数关于狔的偏导数狌
狔及关于狕的偏导数
狌
狕．
图６．６
二元函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处偏导数
的几何意义：一般地，二元函数狕＝犳（狓，狔）的图形为
空间曲面．由偏导数的定义可知，函数狕＝犳（狓，狔）在点
犘０（狓０，狔０）处关于狓的偏导数犳狓（狓０，狔０）就是一元函数狕
＝犳（狓，狔０）在点狓０处的导数，而一元函数狕＝犳（狓，狔０）
的几何图形是曲面狕＝犳（狓，狔）与平面狔＝狔０的交线，因
此偏导数犳狓（狓０，狔０）表示曲线狕＝犳（狓，狔）
狔＝狔｛０
在点犕０（狓０，
狔０，犳（狓０，狔０））处的切线对狓轴的斜率．同理，偏导数
犳狔（狓０，狔０）表示曲面狕＝犳（狓，狔）与平面狓＝狓０的交线在
点犕０ 处的切线对狔轴的斜率（如图６．６）．
对于一元函数来说，如果狔＝犳（狓）在点狓０处可导，则狔＝犳（狓）在点狓０处一定连
续．但是，如果多元函数在某点处各偏导数都存在，函数在该点却不一定连续．这是
因为偏导数在点犘０处存在，只能说明点犘沿着平行于坐标轴的方向趋于点犘０时，函数
值犳（犘）趋于犳（犘０），而当点犘沿其余任何方式趋于犘０时，函数值犳（犘）不一定都趋于
犳（犘０）．例如函数
犳（狓，狔）＝
狓狔２
狓２＋狔４，狓２＋狔
２≠０
０， 狓２＋狔２＝
烅
烄
烆 ０
第六章 多元函数微分法及其应用 ·９ ·
在点（０，０）处对狓的偏导数为
犳狓（０，０）＝ｌｉｍΔ狓０
犳（０＋Δ狓，０）－犳（０，０）
Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓００＝０，
对狔的偏导数为
犳狔（０，０）＝ｌｉｍΔ狔０
犳（０，０＋Δ狔）－犳（０，０）
Δ狔＝ｌｉｍ
Δ狔００＝０．
但是，由例６．９知，函数犳（狓，狔）在点（０，０）处不连续．
二、偏导数的计算
由偏导数的定义可知，求函数对其中一个自变量的偏导数，其余的自变量暂时看
作常量．这时，求函数的偏导数相当于一元函数的求导问题．因此，一元函数的求导
公式，求导法则仍然适用．如二元函数狕＝犳（狓，狔），求偏导数狕
狓时，把狔暂时看作常
量而对狓求导，求偏导数狕
狔时，把狓暂时看作常量而对狔求导．
例６．１１ 求函数犳（狓，狔）＝狓２狔－狓狔＋狓
３ 在点（１，２）处的偏导数．
解 把狔看作常量对狓求导，得
犳狓＝２狓狔－狔＋３狓
２，
把狓看作常量对狔求导，得
犳狔＝狓
２－狓．
将点（１，２）代入偏导数中，得
犳狓 狓＝１
狔＝２
＝５，犳狔 狓＝１
狔＝２
＝０．
例６．１２ 设犳（狓，狔）＝狔ｓｉｎ狓狔，求犳狓，犳狔．
解 犳狓＝狔ｃｏｓ狓狔·狔＝狔
２ｃｏｓ狓狔，
犳狔＝ｓｉｎ狓狔＋狔ｃｏｓ狓狔·狓＝ｓｉｎ狓狔＋狓狔ｃｏｓ狓狔．
例６．１３ 设狕＝犲－（１狓＋
１狔），证明狓２
狕
狓＋狔
２狕
狔＝２狕．
证明 因为狕
狓＝１
狓２犲－
（１狓＋
１狔），狕狔＝１
狔２犲－（１狓＋
１狔）
所以 狓２狕
狓＋狔
２狕
狔＝２犲
－（１狓＋
１狔）＝２狕
例６．１４ 求狌＝狓狔狕 的偏导数．
解 把狔，狕都看作常量对狓求导，得
狌
狓＝狔狕狓
狔狕－１
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·１０ · 高等数学（下册）
同理 狌
狔＝１
狕狓
狔狕ｌｎ狓，
狌
狕＝－
狔狕２狓狔狕ｌｎ狓．
例６．１５ 理想气体的状态方程是犘犞 ＝犚犜（犚为常数），证明
犘
犞·犞犜·犜犘
＝－１．
证明 由犘＝犚犜犞，得犘犞
＝－犚犜
犞２，
由 犞 ＝犚犜犘，得犞犜
＝犚犘，由犜＝
犘犞犚，得犜犘
＝犞犚．
所以 犘
犞·犞犜·犜犘
＝－犚犜
犞２·犚犘·犞犚＝－犚犜犘犞
＝－１．
对于一元函数来说，导数记号ｄ狔ｄ狓可看作函数的微分ｄ狔与自变量的微分ｄ狓之商．
由例６．１５说明，偏导数记号狕
狓是一个整体记号，不可看作狕与狓之商．
三、高阶偏导数
设函数狕＝犳（狓，狔）在开区间犇内存在偏导数．
狕
狓＝犳狓（狓，狔），
狕
狔＝犳狔（狓，狔）
一般地，这两个偏导数犳狓（狓，狔），犳狔（狓，狔）仍是狓，狔的二元函数，如果这两个
函数的偏导数也存在，则称它们为二元函数狕＝犳（狓，狔）的二阶偏导数．二元函数的二
阶偏导数有如下四个， 记为２狕
狓２，
２狕
狓狔，
２狕
狔狓，
２狕
狔２或犳狓狓（狓，狔），犳狓狔（狓，狔），
犳狔狓（狓，狔），犳狔狔（狓，狔），即
２狕
狓２ ＝
狓（狕狓），
２狕
狓狔＝狔（狕狓），
２狕
狔狓＝狓（狕狔），
２狕
狔２ ＝
狔（狕狔），
其中偏导数２狕
狓狔和
２狕
狔狓称为二阶混合偏导数．
类似地，二阶偏导数的偏导数称为函数犳（狓，狔）的三阶偏导数，狀－１阶偏导数的
偏导数称为函数犳（狓，狔）的狀阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．
例６．１６ 设函数狕＝狓狔２＋ｓｉｎ
狓
狔，求二阶偏导数．
解 由狕
狓＝狔
２＋１
狔ｃｏｓ狓
狔，狕狔＝２狓狔－
狓
狔２ｃｏｓ
狓
狔．
得 ２狕
狓２ ＝－
１
狔２ｓｉｎ
狓
狔，
２狕
狓狔＝２狔－
１
狔２ｃｏｓ
狓
狔＋狓
狔３ｓｉｎ
狓
狔，
２狕
狔狓＝２狔－
１
狔２ｃｏｓ
狓
狔＋狓
狔３ｓｉｎ
狓
狔，
２狕
狔２ ＝２狓＋
２狓
狔３ｃｏｓ
狓
狔－狓２
狔４ｓｉｎ
狓
狔．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·１１ ·
由例６．１６可见，两个混合偏导数相等，即偏导数与求导次序无关．一般地，如果
函数满足一定条件，这一结论一定成立，即有如下定理．
定理 如果函数狕＝犳（狓，狔）的两个二阶混合偏导数２狕
狓狔，
２狕
狔狓在区域犇 内连
续，则在该区域犇内有２狕
狓狔＝２狕
狔狓．
简单地说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关．定理证明从略．
关于高阶偏导数的定义及上述结论可以推广到二元以上的函数上去．
例６．１７ 设函数狕＝ａｒｃｔａｎ狔狓，求二阶偏导数．
解 由狕
狓＝－
狔狓２＋狔
２，狕狔＝
狓
狓２＋狔２
于是 ２狕
狓２ ＝
２狓狔（狓２＋狔
２）２，
２狕
狔２ ＝－
２狓狔（狓２＋狔
２）２，
２狕
狓狔＝－
（狓２＋狔２）－狔·２狔
（狓２＋狔２）２ ＝
狔２－狓
２
（狓２＋狔２）２ ＝
２狕
狔狓．
例６．１８ 验证函数狌＝１
狉满足拉普拉斯方程
２狌
狓２＋２狌
狔２＋２狌
狕２ ＝０，其中狉＝ 狓２＋狔
２＋狕槡
２．
解 由狌
狓＝ｄ狌ｄ狉·狉狓＝－
１
狉２· 狓
狓２＋狔２＋狕槡
２＝－
狓
狉３．
从而 ２狌
狓２ ＝－
１
狉３＋３狓
狉４·狉狓＝－
１
狉３＋３狓２
狉５．
又由函数关于自变量的对称性可知：
２狌
狔２ ＝－
１
狉３＋３狔
２
狉５，
２狌
狕２ ＝－
１
狉３＋３狕２
狉５，
所以
２狌
狓２＋２狌
狔２＋２狌
狕２ ＝－
３
狉３＋３（狓２＋狔
２＋狕
２）
狉５＝－
３
狉３＋３
狉３＝０．
习题６．２
１．求下列函数的偏导数：
（１）狕＝２狓２－３狓狔－狔
２； （２）狕＝ｌｎｔａｎ狓
狔；
（３）狕＝ａｒｃｃｏｓ 狓槡狔； （４）狕＝ｓｉｎ狓
狔·ｃｏｓ狔
狓；
（５）狕＝犲ｓｉｎ狔狓； （６）狕＝ （１＋狓狔）狔；
（７）狌＝ａｒｃｔａｎ（狓－狔）狕； （８）狌＝狓狔
狕
．
２．设犳（狓，狔）＝狓２＋（狔
２－１）ｔａｎ
狓
槡狔，求犳狓（狓，１）．
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·１２ · 高等数学（下册）
３．设狕＝ｌｎ（槡狓＋槡狔），验证狓狕
狓＋狔狕
狔＝１
２．
４．设狕＝犲狓
狔２，证明２狓
狕
狓＋狔狕
狔＝０．
５．求曲线狕＝ １＋狓
２＋狔槡
２
狓＝烅烄
烆 １在点（１，１，槡３）处的切线与狔轴正向所成的倾角是
多少？
６．求下列函数的二阶偏导数：
（１）狕＝狓２狔＋狓ｃｏｓ狔＋狔ｓｉｎ狓； （２）狕＝ 狓槡狔；
（３）狕＝ａｒｃｔａｎ狓＋狔１－狓狔
； （４）狕＝狓犲狔＋ｌｎ（狓＋狔）．
７．设犳（狓，狔，狕）＝狓狔２＋狔狕
２＋狕狓
２，求犳狓狓（０，０，１），犳狓狕（１，０，２），犳狔狕（０，－１，
０）及犳狕狕狓（２，０，１）．
８．设狕＝ｌｎ（犲狓＋犲狔），证明
２狕
狓２·
２狕
狔２－（
２狕
狓狔）２ ＝０．
９．设狉＝ 狓２＋狔２＋狕槡
２，验证２狉
狓２＋２狉
狔２＋２狉
狕２ ＝
２
狉．
１０．设狕＝犲２狔ｓｉｎ（狓＋狔），求
３狕
狓２狔，
３狕
狓狔２．
第三节 全 微 分
类似于一元函数的微分概念，本节就二元函数给出全微分的定义，讨论函数可微
分的必要条件和充分条件．
一、全微分的定义
设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）的某一邻域内有定义，在点犘处分别给自变量
的增量Δ狓，Δ狔，在该邻域内得到另一点犙（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔），从而函数有增量为Δ狕＝
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）称为函数在点犘处对应于Δ狓，Δ狔的全增量．
一般地，计算函数的全增量是比较繁的，类似于一元函数，我们考虑能否用Δ狓，
Δ狔的线性函数近似表示Δ狕，从而有如下全微分的定义．
定义 如果函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）的全增量
Δ狕＝犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）
可表示为
Δ狕＝犃Δ狔＋犅Δ狔＋狅（ρ） （６．３）
其中犃，犅不依赖于Δ狓，Δ狔，仅与狓，狔有关，ρ＝ （Δ狓）２＋（Δ狔）槡
２，则称函数
狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）可微分，而犃Δ狓＋犅Δ狔称为函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，
狔）的全微分，记为ｄ狕，即
ｄ狕＝犃Δ狓＋犅Δ狔．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·１３ ·
如果函数犳（狓，狔）在开区域犇内每一点都可微分，则称函数犳（狓，狔）在犇内可
微分．
我们已经知道，如果函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）处偏导数都存在，并不能保证
函数犳（狓，狔）在该点一定连续．但是，如果函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）处可微分，
则函数狕＝犳（狓，狔）在该点一定连续．这是因为函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）处可微
分，则（６．３）式成立，即
Δ狕＝犃Δ狓＋犅Δ狔＋狅（ρ）
从而 ｌｉｍρ０Δ狕＝ｌｉｍ
ρ０
［犃Δ狓＋犅Δ狔＋狅（ρ）］＝０
即 ｌｉｍρ０
［犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）］＝０
于是 ｌｉｍΔ狓０Δ狔０
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）＝犳（狓，狔）．
因此函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）处连续．
二、可微分的条件
我们知道，一元函数在某点可微的充要条件是它在该点可导，即可微与可导等价．
但是对于多元函数来说，函数在某点可微分与偏导数存在却不一定等价，这一点要特
别注意．
下面讨论二元函数狕＝犳（狓，狔）在某点可微分的条件．
定理１（必要条件） 如果函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）可微分，则函数狕＝犳（狓，
狔）在点犘（狓，狔）的偏导数狕
狓，狕狔存在，且
ｄ狕＝狕
狓Δ狓＋
狕
狔Δ狔． （６．４）
证明 因为函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）可微分，所以，对于点犘（狓，狔）某一
邻域内任意一点犙（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔），（６．３）式总成立．特别地，当Δ狔＝０时，（６．３）
式也成立，且ρ＝狘Δ狓狘，于是有
犳（狓＋Δ狓，狔）－犳（狓，狔）＝犃Δ狓＋犗（狘Δ狓狘）
用Δ狓除上式两端，再取极限（Δ狓０），有
ｌｉｍΔ狓０
犳（狓＋Δ狓，狔）－犳（狓，狔）
Δ狓＝犃．
即偏导数狕
狓存在，且狕
狓＝犃，同理可得
狕
狔＝犅，故（６．４）式成立．
由于自变量的增量等于自变量的微分，即Δ狓＝ｄ狓，Δ狔＝ｄ狔，于是，习惯上函数
狕＝犳（狓，狔）的全微分表示为
ｄ狕＝狕
狓ｄ狓＋
狕
狔ｄ狔． （６．５）
例６．１９ 讨论犳（狓，狔）＝ 狘狓狔槡 狘在点（０，０）处偏导数存在性及可微性．
解 由偏导数定义（６．１）式和（６．２）式，有
犳狓（０，０）＝ｌｉｍΔ狓０
犳（Δ狓，０）－犳（０，０）
Δ狓＝ｌｉｍ
Δ狓０
０
Δ狓＝０，
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犳狔（０，０）＝ｌｉｍΔ狔０
犳（０，Δ狔）－犳（０，０）
Δ狔＝ｌｉｍ
Δ狔０
０
Δ狔＝０．
即函数犳（狓，狔）在点（０，０）处两个偏导数都存在．但是，函数犳（狓，狔）在点（０，０）处
不可微．这是因为
Δ狕－［犳狓（０，０）Δ狓＋犳狔（０，０）Δ狔］＝ 狘Δ狓·Δ狔槡 狘，
从而 ｌｉｍρ０
Δ狕－［犳狓（０，０）Δ狓＋犳狔（０，０）Δ狔］
ρ
＝ｌｉｍΔ狓０Δ狔０
狘Δ狓·Δ狔槡 狘
（Δ狓）２＋（Δ狔）槡
２．
如果选取点犘（０＋Δ狓，０＋Δ狔）沿直线狔＝狓趋于点（０，０），则
ｌｉｍΔ狔＝Δ狓０
狘Δ狓·Δ狔槡 狘
（Δ狓）２＋（Δ狔）槡
２＝ｌｉｍ
Δ狓０
狘Δ狓狘
槡２狘Δ狓狘＝１
槡２，
于是， ｌｉｍρ０
Δ狕－［犳狓（０，０）Δ狓＋犳狔（０，０）Δ狔］
ρ≠０．
由全微分定义可知，函数犳（狓，狔）＝ 狘狓狔槡 狘在点（０，０）处不可微．
由此可见，偏导数存在是可微分的必要条件，而不是充分条件．
那么，函数在偏导数存在的前提下，还应具备什么条件才能保证一定可微分呢？
下面的定理回答了这个问题．
定理２（充分条件） 如果函数狕＝犳（狓，狔）的偏导数狕
狓，狕狔在点（狓，狔）连续，则
函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）可微分．
证明 由于偏导数在点（狓，狔）连续，所以在点（狓，狔）的某一邻域内偏导数必然存
在．在该邻域内任取一点（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔），函数有全增量
Δ狕＝犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）
＝ ［犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔＋Δ狔）］＋［犳（狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）］
在第一个方括号内的表达式中，狔＋Δ狔不变，相当于狓的一元函数犳（狓，狔＋Δ狔）的增
量，由一元函数的拉格朗日中值定理，有
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔＋Δ狔）＝犳狓（狓＋θ１Δ狓，狔＋Δ狔）Δ狓，（０＜θ１ ＜１）
再由假设犳狓（狓，狔）在点（狓，狔）连续，有
犳狓（狓＋θ１Δ狓，狔＋Δ狔）＝犳狓（狓，狔）＋ε１，
其中ε１ 为Δ狓，Δ狔的函数，当Δ狓０，Δ狔０时，ε１０．从而
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔＋Δ狔）＝犳狓（狓，狔＋Δ狔）Δ狓＋ε１Δ狓． （６．６）
同理，第二个方括号内的表达式可表示为
犳（狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）＝犳狔（狓，狔）Δ狔＋ε２Δ狔 （６．７）
其中ε２ 为Δ狔的函数，且当Δ狔０时，ε２０．
由（６．６）式和（６．７）式可知，在偏导数连续的条件下，全增量Δ狕可表示为
Δ狕＝犳狓（狓，狔）Δ狓＋犳狔（狓，狔）Δ狔＋ε１Δ狓＋ε２Δ狔． （６．８）
显然， ε１Δ狓＋ε２Δ狔
ρ≤狘ε１狘＋狘ε２狘，
第六章 多元函数微分法及其应用 ·１５ ·
于是，当Δ狓０，Δ狔０时，即ρ０时，有
ε１Δ狓＋ε２Δ狔
ρ０．
故函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓，狔）可微分．
以上关于二元函数的全微分定义及可微分的必要条件和充分条件可类似地推广到
二元以上的函数．例如，如果三元函数狌＝犳（狓，狔，狕）可微分，则它的全微分可表
示为
ｄ狌＝狌
狓ｄ狓＋
狌
狔ｄ狔＋
狌
狕ｄ狕．
例６．２０ 求函数狕＝犲狓狔 在点（１，１）处关于Δ狓＝０．１５，Δ狔＝０．１的全微分．
解 因为狕
狓＝狔犲
狓狔，狕狔＝狓犲
狓狔．
从而，ｄ狕＝狕
狓ｄ狓＋
狕
狔ｄ狔＝狔犲
狓狔ｄ狓＋狓犲狓狔ｄ狔．
将狓＝１，狔＝１，ｄ狓＝Δ狓＝０．１５，ｄ狔＝Δ狔＝０．１代入上式，得
ｄ狕＝０．２５犲．
例６．２１ 求函数狕＝ｌｎ 狓２＋狔槡２ 的全微分．
解 由于狕＝１
２ｌｎ（狓２＋狔
２），
从而 狕
狓＝
狓
狓２＋狔２，狕狔＝
狔狓２＋狔
２．
于是 ｄ狕＝１
狓２＋狔２（狓ｄ狓＋狔ｄ狔）．
设函数狕＝犳（狓，狔）的偏导数狕
狓，狕狔在点（狓，狔）连续，且狘Δ狓狘，狘Δ狔狘都较小
时，有Δ狕≈ｄ狕，即
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）－犳（狓，狔）≈ｄ狕＝犳狓（狓，狔）Δ狓＋犳狔（狓，狔）Δ狔，
从而得到二元函数的分近似计算公式
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔）≈犳（狓，狔）＋犳狓（狓，狔）Δ狓＋犳狔（狓，狔）Δ狔
例６．２２ 计算（１．０４）２．０２ 的近似值．
解 设犳（狓，狔）＝狓狔，取狓＝１，狔＝２，Δ狓＝０．０４，Δ狔＝０．０２．
由犳狓（狓，狔）＝狔狓狔－１，犳狔（狓，狔）＝狓
狔ｌｎ狓得犳狓（１，２）＝２，犳狔（１，２）＝０，而犳（１，
２）＝１，
所以
（１．０４）２．０２ ≈１＋２×０．０４＋０×０．０２＝１．０８
习题６．３
１．求函数狕＝狓狔在点（２，３）处关于Δ狓＝０．１与Δ狔＝０．２的全增量与全微分．
２．求函数狕＝狓２狔＋狔
３ 在点（２，１）处的全微分．
３．设狕＝ （１＋狓狔）狓，求ｄ狕狘狓＝１
狔＝１．
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４．求下列函数的全微分：
（１）狕＝２狓狔２＋ｃｏｓ狔； （２）狕＝犲
狔狓；
（３）狕＝狔
狓２＋狔槡２； （４）狕＝ａｒｃｃｏｓ
狓
槡狔（狔＞狓＞０）；
（５）狌＝ｓｉｎ狓狔狕
； （６）狌＝狓狔狕．
５．计算 （１．０２）３＋（１．９７）槡３ 的近似值．
第四节 多元复合函数的求导法则
我们已经讨论过一元复合函数的求导法则，本节在此基础上将研究多元复合函数
的求导法则．这一法则在多元函数的求导问题中起着至关重要的作用，应给予足够的
重视．
定理 如果函数狌＝φ（狋），狏＝ψ（狋）都在点狋可导，函数狕＝犳（狌，狏）在对应点（狌，
狏）具有连续偏导数，则复合函数狕＝犳［φ（狋），ψ（狋）］在点狋可导，且
ｄ狕ｄ狋＝狕
狌·ｄ狌ｄ狋＋狕
狏·ｄ狏ｄ狋， （６．９）
并称导数ｄ狕ｄ狋为全导数．
证明 给自变量狋以增量Δ狋，变量狌，狏相应有增量Δ狌，Δ狏，从而变量狕也相应有
增量Δ狕．由假设狕＝犳（狌，狏）在点（狌，狏）具有连续偏导数，根据（６．８）式，有
Δ狕＝狕
狌Δ狌＋
狕
狏Δ狏＋ε１Δ狌＋ε２Δ狏，
其中当Δ狌０，Δ狏０时，ε１０，ε２０．
上面等式两端同除Δ狋，有
Δ狕
Δ狋＝狕
狌Δ狌
Δ狋＋狕
狏Δ狏
Δ狋＋ε１
Δ狌
Δ狋＋ε２
Δ狏
Δ狋．
因为当Δ狋０时，Δ狌０，Δ狏０，Δ狌
Δ狋ｄ狌ｄ狋，Δ狏Δ狋ｄ狏ｄ狋．
所以 ｌｉｍΔ狋０
Δ狕
Δ狋＝狕
狌ｄ狌ｄ狋＋狕
狏ｄ狏ｄ狋，
即 ｄ狕ｄ狋＝狕
狌ｄ狌ｄ狋＋狕
狏ｄ狏ｄ狋．
同理，复合函数的中间变量多于两个也有类似的结论．例如，设狕＝犳（狌，狏，狑），
狌＝φ（狋），狏 ＝ψ（狋）， 狑 ＝ ω（狋）满足定理的相应条件， 那么复合函数狕 ＝
犳φ（狋），ψ（狋），ω（狋［ ］）在点狋可导，且全导数为
ｄ狕ｄ狋＝狕
狌ｄ狌ｄ狋＋狕
狏ｄ狏ｄ狋＋狕
狑ｄ狑ｄ狋． （６．１０）
推论 如果函数狌＝φ（狓，狔），狏＝ψ（狓，狔）都在点（狓，狔）存在偏导数，函数狕＝
犳（狌，狏）在对应点（狌，狏）具有连续偏导数，则复合函数狕＝犳［φ（狓，狔），ψ（狓，狔）］在
第六章 多元函数微分法及其应用 ·１７ ·
点（狓，狔）存在偏导数，且
狕
狓＝狕
狌狌
狓＋狕
狏狏
狓，
狕
狔＝狕
狌狌
狔＋狕
狏狏
狔． （６．１１）
类似地，可将推论推广到中间变量多于两个的情形．例如，如果狌＝φ（狓，狔），
狏＝ψ（狓，狔），狑＝ω（狓，狔）在点（狓，狔）都有偏导数，狕＝犳（狌，狏，狑）在相应点（狌，
狏，狑）具有连续的偏导数，则复合函数狕＝犳［φ（狓，狔），ψ（狓，狔），ω（狓，狔）］在点（狓，
狔）偏导数存在，且
狕
狓＝狕
狌狌
狓＋狕
狏狏
狓＋狕
狑狑
狓，
狕
狔＝狕
狌狌
狔＋狕
狏狏
狔＋狕
狑狑
狔． （６．１２）
特别地，当狏＝狓，狑＝狔时，复合函数为狕＝犳［φ（狓，狔），狓，狔］，这时狏
狓＝１，
狑
狓＝０，
狏
狔＝０，
狑
狔＝１，则（６．１２）式可简化为
狕
狓＝犳狌狌
狓＋犳狓，
狕
狔＝犳狌狌
狔＋犳狔
（６．１３）
需要注意的是，（６．１３）式中狕
狓和犳狓的意义是不同的，狕
狓是当自变量狔暂时看作
不变时函数狕对自变量狓的偏导数，犳狓是当中间变量狌，狔暂时看作不变时对中间变量
狓的偏导数．同理狕
狔和犳狔的意义也不相同．
例６．２３ 设狕＝狌狏，而狌＝ｓｉｎ狋，狏＝ｃｏｓ狋，求全导数
ｄ狕ｄ狋．
解 由（６．９）式，有
ｄ狕ｄ狋＝狕
狌ｄ狌ｄ狋＋狕
狏ｄ狏ｄ狋
＝狏狌狏－１·ｃｏｓ狋＋狌
狏ｌｎ狌·（－ｓｉｎ狋）
＝ （ｓｉｎ狋）ｃｏｓ狋（ｃｏｓ狋ｃｏｔ狋－ｓｉｎ狋ｌｎｓｉｎ狋）．
例６．２４ 设狕＝狌狏＋ｃｏｓ２狋，而狌＝犲
狋，狏＝ｓｉｎ狋，求全导数ｄ狕ｄ狋．
解 由（６．１０）式，有
ｄ狕ｄ狋＝狕
狌ｄ狌ｄ狋＋狕
狏ｄ狏ｄ狋＋狕
狋·１
＝狏犲狋＋狌ｃｏｓ狋＋２ｃｏｓ狋（－ｓｉｎ狋）
＝犲狋（ｓｉｎ狋＋ｃｏｓ狋）－ｓｉｎ２狋．
例６．２５ 设狕＝犲狌狏，而狌＝ｌｎ 狓２＋狔槡
２，狏＝ａｒｃｔａｎ狔狓，求狕狓，狕狔．
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·１８ · 高等数学（下册）
解 由（６．１１）式，有
狕
狓＝狕
狌狌
狓＋狕
狏狏
狓
＝狏犲狌狏· 狓
狓２＋狔２＋狌犲
狌狏· －狔
狓２＋狔（ ）２＝
犲狌狏
狓２＋狔２（狓狏－狔狌），
狕
狔＝狕
狌狌
狔＋狕
狏狏
狔
＝狏犲狌狏· 狔狓２＋狔
２＋狌犲狌狏· 狓
狓２＋狔２
＝犲狌狏
狓２＋狔２（狔狏＋狓狌）．
例６．２６ 设狕＝狓犲狔＋狔φ（狌），而狌＝ｓｉｎ（狓＋狔），φ（狌）为可导函数，求狕
狓，狕狔．
解 设犳（狓，狔，狌）＝狓犲狔＋狔φ（狌），而狌＝ｓｉｎ（狓＋狔），由（６．１３）式，有
狕
狓＝犳狓＋犳狌狌
狓＝犲狔＋狔φ′（狌）·ｃｏｓ（狓＋狔）
＝犲狔＋狔ｃｏｓ（狓＋狔）φ′（狌），
狕
狔＝犳狔＋犳狌狌
狔＝狓犲狔＋φ（狌）＋狔ｃｏｓ（狓＋狔）φ′（狌）．
例６．２７ 设狕＝犳（犲狓ｓｉｎ狔，狓
２＋狔
２），犳具有二阶连续偏导数，求
狕
狓，
２狕
狓狔．
解 令狌＝犲狓ｓｉｎ狔，狏＝狓
２＋狔
２，则狕＝犳（狌，狏）．
为了表达简便，按中间变量的位置次序，将狌，狏记为１，２，而函数狕对它们的导
数分别记为犳狌＝犳１′，
犳狏＝犳２′．
其中下标１表示对第一个中间变量狌求偏导数，下标２表示对第二个中间变量求偏
导数，同样可理解犳１１″，犳１２″．
于是，由（６．１１）式，有
狕
狓＝狕
狌狌
狓＋狕
狏狏
狓＝犲
狓ｓｉｎ狔犳１′＋２狓犳２′，
２狕
狓狔＝狔（犲狓ｓｉｎ狔犳１′＋２狓犳２′）＝犲
狓（ｃｏｓ狔犳１′＋ｓｉｎ狔犳１′
狔）＋２狓
犳２′
狔，
这里应注意，犳１′，犳２′与犳具有相同的复合层次，同样由（６．１１）式，得
犳１′
狔＝犳１′
狌狌
狔＋犳１′
狏狏
狔＝犳１１″·犲
狓ｃｏｓ狔＋犳１２″·２狔，
犳２′
狔＝犳２′
狌狌
狔＋犳２′
狏狏
狔＝犳２１″·犲
狓ｃｏｓ狔＋犳２２″·２狔．
所以 ２狕
狓狔＝犲
狓ｃｏｓ狔犳１′＋１
２犲２狓ｓｉｎ２狔犳１１″＋２犲
狓（狔ｓｉｎ狔＋狓ｃｏｓ狔）犳１２″＋４狓狔犳２２″．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·１９ ·
例６．２８ 设狌＝犳（狓，狔）的二阶偏导数连续，试将表达式
２狌
狓２＋２狌
狔２转化为极坐标的形式
解 由直角坐标与极坐标的关系式
狓＝狉ｃｏｓθ，狔＝狉ｓｉｎθ
于是，函数狌＝犳（狓，狔）可表示为极坐标狉，θ的函数
狌＝犳（狓，狔）＝犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）＝犉（狉，θ）．
这时，函数狌＝犳（狓，狔）可看作是函数狌＝犉（狉，θ），而狉＝ 狓２＋狔槡２，θ＝ａｒｃｔａｎ
狔狓
（或θ＝ａｒｃｔａｎ狔狓＋π）的复合函数．因而
狌
狓，狌狔可按（６．１１）式求得，即
狌
狓＝狌
狉狉
狓＋狌
θθ狓＝狌
狉狓狉－狌
θ狔狉２
＝狌
狉ｃｏｓθ－
狌
θ
ｓｉｎθ狉，
狌
狔＝狌
狉狉
狔＋狌
θθ狔＝狌
狉狔狉－狌
θ
狓
狉２
＝狌
狉ｓｉｎθ＋
狌
θ
ｃｏｓθ狉．
再求二阶偏导数，得
２狌
狓２ ＝
狓
狌
（ ）狓 ＝狉狌
（ ）狓 ·狉狓＋θ
狌
（ ）狓 ·θ狓＝狉狌
狉ｃｏｓθ－
狌
θ
ｓｉｎθ（ ）狉·ｃｏｓθ－
θ
狌
狉ｃｏｓθ－
狌
θ
ｓｉｎθ（ ）狉·ｓｉｎθ狉
＝２狌
狉２ｃｏｓ
２θ－２
２狌
狉θ
ｓｉｎθｃｏｓθ狉
＋２狌
θ２
ｓｉｎ２θ狉２
＋狌
θ
ｓｉｎ２θ狉２
＋狌
狉ｓｉｎ２θ狉，
２狌
狔２ ＝
狔
狌
（ ）狔 ＝狉狌
（ ）狔 ·狉
狔＋θ
狌
（ ）狔 ·θ狔＝狉狌
狉ｓｉｎθ＋
狌
θ
ｃｏｓθ（ ）狉·ｓｉｎθ＋
θ
狌
狉ｓｉｎθ＋
狌
θ
ｃｏｓθ（ ）狉·ｃｏｓθ狉
＝２狌
狉２ｓｉｎ
２θ＋２
２狌
狉θ
ｓｉｎθｃｏｓθ狉
＋２狌
θ２
ｃｏｓ２θ狉２
－狌
θ
ｓｉｎ２θ狉２
＋狌
狉ｃｏｓ２θ狉，
所以 ２狌
狓２＋２狌
狔２ ＝２狌
狉２＋
１
狉狌
狉＋１
狉２２狌
θ２
一元函数有微分形式的不变性，类似地，多元函数也有全微分形式的不变性．
设函数狕＝犳（狌，狏）具有连续的偏导数，则函数的全微分为
ｄ狕＝狕
狌ｄ狌＋
狕
狏ｄ狏
如果狌，狏是中间变量，即狌＝狌（狓，狔），狏＝狏（狓，狔），且这两个函数的偏导数也连续，
则函数狕＝犳［狌（狓，狔），狏（狓，狔）］的全微分为
ｄ狕＝狕
狓ｄ狓＋
狕
狔ｄ狔
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·２０ · 高等数学（下册）
这时，狕狓，狕狔可由（６．１１）式给出，代入上式，得
ｄ狕＝狕
狌狌
狓＋狕
狏狏
（ ）狓 ｄ狓＋ 狕
狌狌
狔＋狕
狏狏
（ ）狔 ｄ狔＝狕
狌狌
狓ｄ狓＋
狌
狔ｄ（ ）狔 ＋狕狏
狏
狓ｄ狓＋
狏
狔ｄ（ ）狔
＝狕
狌ｄ狌＋
狕
狏ｄ狏．
由此可见，不论狌，狏是自变量，还是中间变量，函数狕＝犳（狌，狏）的全微分形式
是相同的．这一性质称为全微分形式不变性．
利用全微分形式的不变性，可同时求得函数的偏导数．
例６．２９ 设狕＝犲狌狏，而狌＝ｌｎ 狓２＋狔槡
２，狏＝ａｒｃｔａｎ狔狓，求狕狓，狕狔．
解 ｄ狕＝ｄ（犲狌狏）＝狏犲
狌狏ｄ狌＋狌犲狌狏ｄ狏
而
ｄ狌＝ｄｌｎ 狓２＋狔槡２＝
狓
狓２＋狔２ｄ狓＋
狔狓２＋狔
２ｄ狔，
ｄ狏＝ｄａｒｃｔａｎ狔狓＝－
狔狓２＋狔
２ｄ狓＋狓
狓２＋狔２ｄ狔，
将ｄ狌，ｄ狏代入ｄ狕中，得
ｄ狕＝犲狌狏
狓２＋狔２（狓狏－狔狌）ｄ狓＋
犲狌狏
狓２＋狔２（狔狏＋狓狌）ｄ狔，
于是，由全微分表达式，得
狕
狓＝
犲狌狏
狓２＋狔２（狓狏－狔狌），
狕
狔＝
犲狌狏
狓２＋狔２（狔狏＋狓狌）．
与例６．２５的结果一样．
习题６．４
１．设狕＝犲狓－３狔，而狓＝狋
３，狔＝ｃｏｓ狋，求ｄ狕ｄ狋．
２．设狕＝ａｒｃｔａｎ狓
狔，而狔＝ 狓２＋槡 １，求
ｄ狕ｄ狓．
３．设狌＝犲犪狓（狔＋狕）
犪２＋犫２，而狔＝犪ｓｉｎ狓，狕＝犫ｃｏｓ狓，犪，犫为常数，求
ｄ狌ｄ狓．
４．设狕＝犲狌ｓｉｎ狏，而狌＝狓狔，狏＝狓＋狔，求
狕
狓，狕狔．
５．设狌＝ｌｎ（狓２＋狔
２＋狕
２），而狕＝ｔａｎ（狓狔），求狌
狓，狌狔．
６．设狕＝狔
犳（狓２－狔
２），其中犳（狌）为可导函数，证明
１
狓狕
狓＋１
狔
狕
狔＝狕
狔２．
７．设狕＝狓狔＋狓２
φ（狌），而狌＝狔狓，φ（狌）为可导函数，求证
第六章 多元函数微分法及其应用 ·２１ ·
狓狕
狓＋狔狕
狔＝２狕．
８．求下列函数的一阶偏导数（其中犳具有一阶连续偏导数）．
（１）狌＝犳（狓２＋狔
２，狓狔）； （２）狌＝犳（狓２－狔
２，犲狓狔）；
（３）狌＝犳狓
狔，狔（ ）狕 ； （４）狌＝犳（ｓｉｎ狓，狓犲狔，狓
狔狕）．
９．设狕＝犳［狓＋φ（狔）］，其中犳，φ都是二阶可导函数，证明
狕
狓２狕
狓狔＝狕
狔
２狕
狓２．
１０．求下列函数的二阶偏导数２狕
狓２，
２狕
狓狔，
２狕
狔２（其中犳具有二阶连续偏导数）
（１）狕＝犳（狓－狔，狓狔２）； （２）狕＝犳（狓；
狓
狔）；
（３）狕＝犳（狓，狔，犲狓狔）； （４）狕＝犳（ｓｉｎ狓，ｃｏｓ狔，犲
狓＋狔）．
１１．设狌＝犳（狓，狔）具有二阶连续偏导数，而
狓＝狊－槡３狋２
，狔＝槡３狊＋狋２
，
证明 （１）狌
（ ）狓２
＋狌
（ ）狔２
＝狌
（ ）狊２
＋狌
（ ）狋２
；
（２）２狌
狓２＋２狌
狔２ ＝２狌
狊２ ＋２狌
狋２．
第五节 隐函数的求导公式
在第２章中，我们在隐函数存在的前提下介绍了隐函数的求导方法，但没有给出一
般的求导公式．本节将进一步讨论隐函数存在性，并根据多元复合函数的求导法则推
导出隐函数的求导公式．
一、一个方程的情形
定理１ 设函数犉（狓，狔）在点犘（狓０，狔０）的某一邻域内具有连续的偏导数，且
犉（狓０，狔０）＝０，犉狔（狓０，狔０）≠０，则方程犉（狓，狔）＝０在点犘（狓０，狔０）的某一邻域内
能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的一元函数狔＝犳（狓）使狔０ ＝犳（狓０），且
ｄ狔ｄ狓＝－犉狓犉狔． （６．１４）
公式（６．１４）为隐函数的求导公式．
定理１证明从略，仅推导公式（６．１４）．
因为函数狔＝犳（狓）是由方程犉（狓，狔）＝０所确定的，从而将其代入方程中，得
犉（狓，犳（狓））≡０
上式左端是狓的复合函数，等式两端同时对狓求导，得
犉狓＋犉狔·ｄ狔ｄ狓＝０
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·２２ · 高等数学（下册）
由于函数犉狔连续，且犉狔（狓０，狔０）≠０，所以存在点犘（狓０，狔０）的某一邻域，使得在该
邻域内犉狔 ≠０，于是有
ｄ狔ｄ狓＝－犉狓犉狔．
例６．３０ 验证方程狔３＋狔－狓
２＝０在点（０，０）的某一邻域内能唯一确定一个单值
且有连续导数的隐函数狔＝犳（狓），且当狓＝０时，狔＝０，并求ｄ狔ｄ狓狘狓＝０，
ｄ２狔ｄ狓２狘狓＝０
解 设犉（狓，狔）＝狔３＋狔－狓
２，则犉狓 ＝－２狓，犉狔 ＝３狔２＋１，在点（０，０）的某一
邻域内连续，且犉（０，０）＝０，犉狔（０，０）＝１≠０由定理１可知，方程狔３＋狔－狓
２＝０
在点（０，０）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数的隐函数，狔＝犳（狓）满足
当狓＝０时狔＝０，且有
ｄ狔ｄ狓＝－犉狓犉狔＝
２狓
３狔２＋１，ｄ狔ｄ狓狘狓＝０ ＝０，
ｄ２狔ｄ狓２
＝ｄ
ｄ狓（ ２狓３狔
２＋１）＝２（３狔
２＋１）－１２狓狔·
ｄ狔ｄ狓
（３狔２＋１）
２
＝２（３狔
２＋１）
２－２４狓
２狔
（３狔２＋１）
３，ｄ
２狔ｄ狓２狘狓＝０ ＝２．
类似地，将定理１推广到方程中变量多于两个的情形．如三元方程犉（狓，狔，狕）＝
０，当三元函数犉（狓，狔，狕）满足相应的条件也可以确定一个二元隐函数．于是有下面
的定理．
定理２ 设函数犉（狓，狔，狕）在点犘（狓０，狔０，狕０）的某一邻域内具有连续的偏导数，
且犉（狓０，狔０，狕０）＝０，犉狕（狓０，狔０，狕０）≠０，则方程犉（狓，狔，狕）＝０在点犘（狓０，狔０，狕０）
的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数狕＝犳（狓，狔），使得狕０＝
犳（狓０，狔０），且有
狕
狓＝－犉狓犉狕，狕狔＝－犉狔犉狕
（６．１５）
定理２证明从略，类似于定理１，仅推导公式（６．１５）
将函数狕＝犳（狓，狔）代入方程中，得恒等式
犉［狓，狔，犳（狓，狔）］≡０
等式的左端是狓，狔的复合函数，两端分别对狓和狔求导，得
犉狓＋犉狕狕
狓＝０，犉狔＋犉狕
狕
狔＝０．
由于函数犉狕 连续，且犉狕（狓０，狔０，狕０）≠０，所以存在点犘（狓０，狔０，狕０）的某一邻
域，使得在该邻域内犉狕 ≠０，从而
狕
狓＝－犉狓犉狕，狕狔＝－犉狔犉狕．
例６．３１ 设犲狕－狓狔狕＝０，求２狕
狓狔．
解 设犉（狓，狔，狕）＝犲狕－狓狔狕，由（６．１５）式得
第六章 多元函数微分法及其应用 ·２３ ·
狕
狓＝－犉狓犉狕＝－
－狔狕
犲狕－狓狔＝
狔狕
犲狕－狓狔，
狕
狔＝－犉狔犉狕＝－
－狓狕
犲狕－狓狔＝
狓狕
犲狕－狓狔．
于是 ２狕
狓狔＝狔
狔狕
犲狕－狓（ ）狔
＝
狕＋狔狕
（ ）狔 （犲狕－狓狔）－狔狕犲狕狕
狔－（ ）狓
（犲狕－狓狔）２
将狕
狔＝
狔狕
犲狕－狓狔代入上式，得
２狕
狓狔＝－
狓２狔２狕
（犲狕－狓狔）３．
二、方程组的情形
隐函数存在定理还可以推广到方程的个数多于两个，即方程组的情形．但这时方
程组中变量的个数应多于方程的个数．如方程组犉（狓，狔，狌，狏）＝０
犌（狓，狔，狌，狏）＝｛ ０，由于方程组中
含有四个变量，两个方程，所以一般只有两个变量是独立的，从而当函数犉，犌满足某
些条件时，方程组有可能确定两个二元隐函数，即有如下定理．
定理３ 设函数犉（狓，狔，狌，狏），犌（狓，狔，狌，狏）在点犘（狓０，狔０，狌０，狏０）的某一
邻域内所有偏导数都连续，又犉（狓０，狔０，狌０，狏０）＝０，犌（狓０，狔０，狌０，狏０）＝０，且偏
导数所组成的行列式（或称雅可比（犑犪犮狅犫犻）式）
犑＝（犉，犌）
（狌，狏）＝犉狌 犉狏
犌狌 犌狏
在点犘（狓０，狔０，狌０，狏０）不等于零，则方程组犉（狓，狔，狌，狏）＝０，犌（狓，狔，狌，
狏）＝０在点犘（狓０，狔０，狌０，狏０）的某一邻域内能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导
数狌＝狌（狓，狔），狏＝ （狓，狔）使得狌０ ＝狌（狓０，狔０），狏０ ＝狏（狓０，狔０），且有
狌
狓＝－
１
犑（犉，犌）
（狓，狏）＝－
犉狓 犉狏
犌狓 犌狏
犉狌 犉狏
犌狌 犌狏
，狏狓＝－
１
犑（犉，犌）
（狌，狓）＝－
犉狌 犉狓
犌狌 犌狓
犉狌 犉狏
犌狌 犌狏
狌
狔＝－
１
犑（犉，犌）
（狔，狏）＝－
犉狔 犉狏
犌狔 犌狏
犉狌 犉狏
犌狌 犌狏
，狏狔＝－
１
犑（犉，犌）
（狌，狔）＝－
犉狌 犉狔
犌狌 犌狔犉狌 犉狏
犌狌 犌狏
（６．１６）
我们不推证定理３，现就具体方程组，介绍求偏导数的方法．
例６．３２ 设方程组狓２＋狔
２－狌狏＝０
狓狔－狌２＋狏
２＝｛ ０，求狌狓，狌狔，狏狓，狏狔．
解 根据所求的偏导数可知，变量狌，狏可看作狓，狔的函数，此题可直接由（６．１６）
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·２４ · 高等数学（下册）
式求出偏导数，也可用下面的方法求得．
将所给的方程两边对狓求导并移项，得
狏狌
狓＋狌狏
狓＝２狓
２狌狌
狓－２狏
狏
狓＝
烅
烄
烆狔
．
从而，解得
狌
狓＝
２狓 狌
狔 －２狏狏 狌
２狌 －２狏
＝４狓狏＋狔狌
２（狌２＋狏２），
狏
狓＝
狏 ２狓
２狌 狔狏 狌
２狌 －２狏
＝４狓狌－狔狏
２（狌２＋狏２）． （狌２＋狏
２≠０）
同理，将所给的方程两边对狔求导，可得
狌
狔＝狓狌＋４狔狏
２（狌２＋狏２），狏狔＝４狔狌－狓狏
２（狌２＋狏２）·（狌２＋狏
２≠０）
例６．３３ 验证方程组狓２＋狔
２＋狕
２－６＝０
狓＋狔＋狕＝｛ ０在点犘（１，－２，１）的某一邻域内能唯
一确定一组单值连续且具有连续导数的函数狔＝狔（狓），狕＝狕（狓），并求ｄ狔ｄ狓，ｄ狕ｄ狓．
解 设犉（狓，狔，狕）＝狓２＋狔
２＋狕
２－６，犌（狓，狔，狕）＝狓＋狔＋狕由于犉狓 ＝２狓，
犉狔 ＝２狔，犉狕 ＝２狓，犌狓 ＝１，犌狔 ＝１，犌狕 ＝１在点犘（１，－２，１）的某一邻域内连续，
且犉（１，－２，１）＝０，犌（１，－２，１）＝０，而犑＝犉狔 犉狕
犌狔 犌狕＝２狔 ２狕
１ １＝２（狔－狕）在
点犘（１，－２，１）处不为零，由定理３可知，在点犘（１，－２，１）的某一邻域内唯一确定
一组单值连续且具有连续导数的函数狔＝狔（狓），狕＝狕（狓）．
将所给的方程两边对狓求导并移项，得
狔ｄ狔ｄ狓＋狕ｄ狕ｄ狓＝－狓，
ｄ狔ｄ狓＋ｄ狕ｄ狓＝－１
烅
烄
烆．
从中求得 ｄ狔ｄ狓＝
－狓 狕
－１ １
狔 狕
１ １
＝狕－狓
狔－狕，
ｄ狕ｄ狓＝
狔 －狓
１ －１
狔 狕
１ １
＝狓－狔狔－狕
． （狔－狕≠０）
第六章 多元函数微分法及其应用 ·２５ ·
习题６．５
１．设ｓｉｎ（狓狔）－犲狓狔 －狓
２狔＝０，求
ｄ狔ｄ狓．
２．设ｌｎ 狓２＋狔槡２＝ａｒｃｔａｎ
狔狓，求ｄ狔ｄ狓．
３．设狓狔 ＝狔狓（狓≠狔），求
ｄ狔ｄ狓．
４．设狓２＋狔２＋狕
２＝犲
２，求狕狓，狕狔．
５．设狓狕＝ｌｎ
狕
狔，求狕狓，狕狔．
６．设犲狔狕－狓狕＝０，求２狕
狓２．
７．设狕３－３狓狔狕＝犪３，求
２狕
狓狔．
８．设狓＝狓（狔，狕），狔＝狔（狓，狕），狕＝狕（狓，狔）都是由方程犉（狓，狔，狕）＝０所确
定的隐函数，证明
狓
狔·狔狕·狕狓＝－１．
９．设狕＝狕（狓，狔）由方程狕＝狓＋狔φ（狕）所确定，且１－狔φ′（狕）≠０，证明
狕
狔＝φ（狕）
狕
狓．
１０．设犉（狌，狏）具有连续的偏导数，证明由方程犉（狓＋狕
狔，狔＋
狕狓）＝０所确定的隐
函数狕＝狕（狓，狔）满足方程
狓狕
狓＋狔狕
狔＝狕－狓狔．
１１．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
（１）设狓２＋狔
２＋狕
２＝１
狓＋狔＋狕＝｛ ０，求ｄ狓
ｄ狕，ｄ狔ｄ狕；
（２）设２狓２＋３狔
２－狕
２＝２５
狓２＋狔２＝｛ 狕
，求ｄ狔ｄ狓，ｄ狕ｄ狓；
（３）设
狓＝狌ｃｏｓ狏狌
狔＝狌ｓｉｎ狏
烅
烄
烆 狌
，求狌狓，狌狔，狏狓，狏狔；
（４）设狌＝犳（狌狓，狏＋狔）
狏＝犵（狌－狓，狏２狔
｛ ），其中犳，犵具有一阶连续偏导数，求
狌
狓，狏狓．
１２．设狔＝犳（狓，狋），而狋是由方程犉（狓，狔，狋）＝０所确定的狓，狔的函数，其中犳，
犉都具有连续偏导数，试证明
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·２６ · 高等数学（下册）
ｄ狔ｄ狓＝
犳狓犉
狋－犳狋犉
狓
犳狋犉
狔＋犉
狋
．
第六节 偏导数的应用
类似于一元函数的导数应用，多元函数的偏导数也有在几何上及在极值问题中的
应用．本节将利用偏导数研究空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线、多元
函数的无条件极值和有条件极值等问题．
一、偏导数的几何上的应用
（１）空间曲线的切线与法平面
图６．７
设空间曲线Γ的参数方程为
狓＝φ（狋），狔＝ψ（狋），狕＝ω（狋），
其中φ（狋），ψ（狋），ω（狋），在区间犐内均可导，且对任意点
狋∈犐，对应的三个导数值不全为零．
在曲线Γ上取定一点犕０（狓０，狔０，狕０），对应于狋＝
狋０，在点犕０的邻近任取一点犕（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔，狕０＋
Δ狕），对应于狋＝狋０＋Δ狋，且狋０，狋０＋Δ狋∈犐（如图６．７）．
由空间解析几何可知，割线犕０犕 的方程为
狓－狓０
Δ狓＝狔－狔０
Δ狔＝狕－狕０
Δ狕．
用Δ狋除上式各分母，得
狓－狓０
Δ狓
Δ狋
＝狔－狔０
Δ狔Δ狋
＝狕－狕０
Δ狕
Δ狋
，
当点犕沿曲线Γ趋近于点犕０（即Δ狋０）时，割线犕０犕的极限位置犕０犜为曲线Γ在点
犕０ 处的切线，从而曲线在点犕０ 处的切线方程为
狓－狓０
φ′（狋０）＝狔－狔０
ψ′（狋０）＝狕－狕０
ω′（狋０）． （６．１７）
其中切线的方向向量犜＝｛φ′（狋０），ψ′（狋０），ω′（狋０）｝称为曲线Γ在点犕０处的一个切
向量．
通过点犕０且与切线垂直的平面称为曲线在点犕０处的法平面．这时，曲线在点犕０
处的切向量犜为法平面的一个法向量，于是，法平面方程为
φ′（狋０）（狓－狓０）＋ψ′（狋０）（狔－狔０）＋ω′（狋０）（狕－狕０）＝０ （６．１８）
例６．３４ 求螺旋线狓＝犪ｃｏｓ狋，狔＝犪ｓｉｎ狋，狕＝犫狋在狋０＝π３处的切线及法平面方程．
解 因为狓′＝－犪ｓｉｎ狋，狔′＝犪ｃｏｓ狋，狕′＝犫，
从而，狋０ ＝π３所对应的曲线切向量为
第六章 多元函数微分法及其应用 ·２７ ·
犜＝ －槡３２犪，１
２犪，｛ ｝犫 ．
曲线上对应的点为犕０犪２，槡３２犪，π３
（ ）犫 ．于是，切线方程为
狓－犪２
－槡３２犪
＝狔－槡３２犪
１
２犪
＝
狕－π３犫
犫，
法平面方程为
－槡３２犪狓－
犪（ ）２ ＋１
２犪狔－
槡３２
（ ）犪 ＋犫狕－π３（ ）犫 ＝０，即 槡３ ３犪狓－３犪狔－６犫狕＋２π犫
２＝０．
如果空间曲线Γ的方程为
狔＝φ（狓）
狕＝ψ（狓｛ ）
其中φ（狓），ψ（狓）均在狓＝狓０ 处可导，那么可取狓为参数，这时曲线Γ的方程为
狓＝狓，狔＝φ（狓），狕＝ψ（狓）．
从而，曲线在点犕０（狓０，狔０，狕０）处的切向量为
犜＝ ｛１，φ′（狓０），ψ′（狓０）｝
于是，曲线在点犕０ 处的切线方程为
狓－狓０１
＝狔－狔０
φ′（狓０）＝狕－狕０
ψ′（狓０）， （６．１９）
在点犕０ 处法平面方程为
（狓－狓０）＋φ′（狓０）（狔－狔０）＋ψ′（狓０）（狕－狕０）＝０． （６．２０）
一般地，如果曲线Γ的方程为
犉（狓，狔，狕）＝０，
犌（狓，狔，狕）＝０｛ ．
犕０（狓０，狔０，狕０）为曲线Γ上的一点，由隐函数存在定理３可知，当犉，犌具有连续偏导
数且
（犉，犌）
（狔，狕）＝犉狔 犉狕
犌狔 犌狕≠０．
时，此方程组在点犕０ 的某一邻域内确定了一组函数，狔＝狔（狓），狕＝狕（狓）
且 ｄ狔ｄ狓＝
犉狕 犉狓
犌狕 犌狓
犉狔 犉狕
犌狔 犌狕
，ｄ狕ｄ狓＝
犉狓 犉狔
犌狓 犌狔犉狔 犉狕
犌狔 犌狕
．
从而，曲线在点犕０ 处的切向量为
犜＝ １，ｄ狔ｄ狓
犕０，ｄ狕ｄ狓
犕｛ ｝０ ，
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·２８ · 高等数学（下册）
其中 ｄ狔ｄ狓
犕０＝
犉狕 犉狓
犌狕 犌狓 犕０
犉狔 犉狕
犌狔 犌狕 犕０
，ｄ狕ｄ狓狘犕
０＝
犉狓 犉狔
犌狓 犌狔 犕０
犉狔 犉狕
犌狔 犌狕 犕０
．
于是，曲线在点犕０ 处的切线方程为
狓－狓０１
＝狔－狔０ｄ狔ｄ狓
犕０
＝狕－狕０ｄ狕ｄ狓
犕０
（６．２１）
曲线在点犕０ 处的法平面方程为
（狓－狓０）＋ｄ狔ｄ狓
犕０（狔－狔０）＋
ｄ狕ｄ狓
犕０（狕－狕０）＝０． （６．２２）
例６．３５ 求曲线狓２＋狔
２＋狕
２＝６
狓＋狔＋狕＝｛ ０在点（１，－２，１）处的切线及法平面方程．
解 由例６．３３知，将所给方程两边对狓求导并移项
狔ｄ狔ｄ狓＋狕ｄ狕ｄ狓＝－狓，
ｄ狔ｄ狓＋ｄ狕ｄ狓＝－
烅
烄
烆１
．
得 ｄ狔ｄ狓＝狕－狓
狔－狕，ｄ狕ｄ狓＝狓－狔狔－狕
．（狔－狕≠０）
从而 ｄ狔ｄ狓
（１，－２，１）＝０，ｄ狕ｄ狓
（１，－２，１）＝－１．
于是，曲线的切向量 犜＝ ｛１，０，－１｝．
切线方程为 狓－１１
＝狔＋２０
＝狕－１
－１，
法平面方程为 （狓－１）＋０（狔＋２）－（狕－１）＝０，
即 狓－狕＝０．
图６．８
（２）曲面的切平面与法线
设曲面Σ的方程为犉（狓，狔，狕）＝０．犕０（狓０，狔０，
狕０）为曲面Σ上的一点，犉（狓，狔，狕）的偏导数在点犕０处
连续且不全为零．
在曲面Σ 上过点 犕０ 任意作一条光滑曲线Γ（如
图６．８），设曲线Γ的参数方程狓＝狓（狋），狔＝狔（狋），狕＝
狕（狋），当狋＝狋０ 时对应于点 犕０， 且狓′（狋０），狔′（狋０），
狕′（狋０）不全为零，则曲线Γ在点犕０ 处的切向量为
犜＝ ｛狓′（狋０），狔′（狋０），狕′（狋０）｝．
因为曲线Γ在曲面Σ上，所以曲线上点的坐标满足
曲面方程．
即有
犉［狓（狋），狔（狋），狕（狋）］≡０
第六章 多元函数微分法及其应用 ·２９ ·
又因为犉（狓，狔，狕）的偏导数在点 犕０（狓０，狔０，狕０）处连续，而狓′（狋０），狔′（狋０），
狕′（狋０）均存在，所以上式两端在狋＝狋０ 处可对狋求全导数，得
犉狓（狓０，狔０，狕０）狓′（狋０）＋犉狔（狓０，狔０，狕０）狔′（狋０）＋犉狕（狓０，狔０，狕０）狕′（狋０）＝０．
设向量狀＝｛犉狓（狓０，狔０，狕０），犉狔（狓０，狔０，狕０），犉狕（狓０，狔０，狕０）｝，由向量的内积
公式可知上式可表示为狀·犜＝０．即切向量犜与狀垂直．由于曲线Γ的任意性，所以在
曲面Σ上过点犕０的任意曲线在点犕０处的切线都垂直于向量狀．于是，这些切线都在过
点犕０ 的同一个平面上，称该平面为曲面Σ在点犕０ 处的切平面．
显然，向量狀＝ ｛犉狓（狓０，狔０，狕０），犉狔（狓０，狔０，狕０），犉狕（狓０，狔０，狕０）｝是切平面
的一个法向量，称为曲面Σ的一个法向量．从而，切平面方程为
犉狓（狓０，狔０，狕０）（狓－狓０）＋犉狔（狓０，狔０，狕０）（狔－狔０）＋犉狕（狓０，狔０，狕０）（狕－狕０）＝０
（６．２３）
过点犕０ 且垂直于切平面的直线，称为曲面在点犕０ 处的法线．于是，法线方程为
狓－狓０犉狓（狓０，狔０，狕０）
＝狔－狔０
犉狔（狓０，狔０，狕０）＝
狕－狕０犉狕（狓０，狔０，狕０）
． （６．２４）
特别地，设曲面Σ的方程为狕＝犳（狓，狔），函数犳（狓，狔）在点（狓０，狔０）处具有连续
的偏导数，则令
犉（狓，狔，狕）＝犳（狓，狔）－狕，
从而，犉狓（狓，狔，狕）＝犳狓（狓，狔），犉狔（狓，狔，狕）＝犳狔（狓，狔），犉狕（狓，狔，狕）＝－１．
于是，曲面在点犕０（狓０，狔０，狕０）处一个法向量为
狀＝ ｛犳狓（狓０，狔０），犳狔（狓０，狔０），－１｝，
所以，切平面方程为
犳狓（狓０，狔０）（狓－狓０）＋犳狔（狓０，狔０）（狔－狔０）－（狕－狕０）＝０，
即 犳狓（狓０，狔０）（狓－狓０）＋犳狔（狓０，狔０）（狔－狔０）＝ （狕－狕０）， （６．２５）
法线方程为
狓－狓０
犳狓（狓０，狔０）＝
狔－狔０
犳狓（狓０，狔０）＝狕－狕０
－１． （６．２６）
这里顺便解释全微分的几何意义．由于（６．２５）式的左端是函数狕＝犳（狓，狔）在点
（狓０，狔０）处的全微分，右端是切平面竖坐标的增量．所以，函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓０，
狔０）处的全微分，在几何上表示曲面狕＝犳（狓，狔）在点（狓０，狔０，狕０）处的切平面上点的
竖坐标的增量．
设曲面法向量狀的方向角为α，β，γ，且狀的方向是向上的，即γ是锐角，则法向
量为
狀＝ ｛－犳狓（狓０，狔０），－犳狔（狓０，狔０），１｝
于是，法向量的方向余弦为
ｃｏｓα＝－犳狓
１＋犳２狓＋犳
２槡 狔
，
ｃｏｓβ＝－犳狓
１＋犳２狓＋犳
２槡 狔
，
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·３０ · 高等数学（下册）
ｃｏｓγ＝１
１＋犳２狓＋犳
２槡 狔
．
其中，犳狓，犳狔 分别表示犳狓（狓０，狔０），犳狔（狓０，狔０）．
例６．３６ 求曲面犲狕－狕＋狓狔＝３在点（２，１，０）处的切平面及法线方程．
解 设犉（狓，狔，狕）＝犲狕－狕＋狓狔－３，
狀＝ ｛犉狓，犉狔，犉狕｝＝ ｛狔，狓，犲狕－１｝，
狀狘（２，１，０）＝ ｛１，２，０｝
所以曲面在点（２，１，０）的切平面方程为
（狓－２）＋２（狔－１）＝０，
即 狓＋２狔－４＝０．
法线方程为 狓－２１
＝狔－１２
＝狕０，
即
狓－２１
＝狔－１２，
狕＝０
烅
烄
烆 ．
例６．３７ 求旋转抛物面狕＝狓２＋狔
２－１在点（２，１，４）处的切平面及法线方程．
解 狀＝ ｛狕狓，狕狔，－１｝＝ ｛２狓，２狔，－１｝，
狀狘（２，１，４）＝ ｛４，２，－１｝．
于是，曲面在点（２，１，４）处的切平面方程
４（狓－２）＋２（狔－１）－（狕－４）＝０，
即 ４狓＋２狔－狕＝６．
法线方程为 狓－２４
＝狔－１２
＝狕－４
－１．
二、多元函数的极值及其求法
在实际问题中，我们有时会遇到多元函数的最大值和最小值的问题．类似于一元函
数，本节将利用偏导数，主要研究二元函数的极值及最大值和最小值问题，再进一步
研究多元函数的条件极值．
（１）多元函数的极值及最大值和最小值
定义 设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）的某一邻域内有定义，如果当点犘（狓，
狔）∈犝狅
（犘０）时，有
犳（狓，狔）＜犳（狓０，狔０）
则称函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）取得极大值犳（狓０，狔０）；如果当点犘（狓，狔）∈
犝狅
（犘０）时，有
犳（狓，狔）＞犳（狓０，狔０）
则称函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）取得极小值犳（狓０，狔０），极大值与极小值统称
为极值，使函数取得极值的点犘０（狓０，狔０）称为极值点．
例６．３８ 函数犳（狓，狔）＝（狓－２）２＋狔
２－３在点犘０（２，０）处取得极小值犳（２，０）
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３１ ·
＝－３，这是因为当点（狓，狔）∈犝狅
（犘０）时，（狓－２）２＋狔
２＞０，从而犳（狓，狔）＞
犳（２，０）．
例６．３９ 函数犳（狓，狔）＝１－ 狓２＋２狔槡２ 在点犘０（０，０）处取得极大值犳（０，０）＝
１．这是因为当点（狓，狔）∈犝狅
（犘０）时，狓２＋２狔
２＞０，于是犳（狓，狔）＜犳（０，０）．
类似于一元函数，我们首先讨论极值存在的必要条件．
定理１（必要条件） 设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处偏导数存在，且在点
犘０（狓０，狔０）处取得极值，则有
犳狓（狓０，狔０）＝０，犳狔（狓０，狔０）＝０．
一般地，使偏导数犳狓（狓，狔）＝０，犳狔（狓，狔）＝０同时成立的点（狓０，狔０）称为函数
犳（狓，狔）的驻点．
由定理１可知，在偏导数存在的前提下，函数的极值点一定是驻点．反之，驻点不
一定是极值点．例如函数犳（狓，狔）＝狓２－狔
２，由犳狓（狓，狔）＝２狓，犳狔（狓，狔）＝－２狔得
驻点为犘０（０，０），但点犘０（０，０）不是函数的极值点． 这是因为存在点（狓，０）∈
犝狅
（犘０），使得犳（狓，０）＝狓２＞犳（０，０）＝０，也存在点（０，狔）∈犝
狅
（犘０），使得犳（０，狔）
＝－狔２＜犳（０，０）＝０，所以点犘０（０，０）不是极值点．
那么，函数满足什么条件时，驻点一定是极值点呢？我们讨论极值存在的充分
条件．
定理２（充分条件） 设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）的某邻域内存在二阶连
续偏导数，且犳狓（狓０，狔０）＝０，犳狓（狓０，狔０）＝０，令犃＝犳狓狓（狓０，狔０），犅＝犳狓狔（狓０，
狔０），犆＝犳狔狔（狓０，狔０），
１）如果犃犆－犅２＞０，则函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处取得极值，且当犃＞０
时，取得极小值，当犃＜０时，取得极大值；
２）如果犃犆－犅２＜０，则函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处不取极值；
３）如果犃犆－犅２＝０，则函数犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）处可能取得极值，也可能
不取得极值．
定理证明从略．
例６．４０ 求函数犳（狓，狔）＝狓３＋狔
３－３狓狔的极值．
解 由方程组犳狓（狓，狔）＝３狓
２－３狔＝０，
犳狔（狓，狔）＝３狔２－３狓＝
烅烄
烆 ０
得驻点为（０，０），（１，１）．求二阶偏导数为
犳狓狓（狓，狔）＝６狓，犳狓狔（狓，狔）＝－３，犳狔狔（狓，狔）＝６狔．
于是，在点（０，０）处，犃犆－犅２＝－９＜０，所以函数在点（０，０）处不取得极值；
在点（１，１）处，犃犆－犅２＝６
２－（－３）
２＞０，且犃＝６＞０，所以函数在点（１，１）
处取得极小值为犳（１，１）＝－１．
值得注意，如果函数在某点处偏导数不存在，显然该点不是函数的驻点，但它也
可能是函数的极值点．如例６．３９，函数犳（狓，狔）＝１－ 狓２＋２狔槡２在（０，０）处偏导数都
不存在，但该函数在点（０，０）处取得极大值．因此，求函数的极值时，驻点和使偏导
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·３２ · 高等数学（下册）
数不存在的点都应考虑．
顺便指出，如果函数狕＝犳（狓，狔）在点（狓０，狔０）处取得极值，且曲面狕＝犳（狓，狔）
在点犕０（狓０，狔０，狕０）处有切平面，则切平面一定平行于狓狅狔坐标面，这是因为切平面
方程
狕－狕０ ＝犳狓（狓０，狔０）（狓－狓０）＋犳狔（狓０，狔０）（狔－狔０）＝０，
即切平面方程为狕＝狕０．
以上关于二元函数的极值概念以及极值存在的必要条件，可以推广到二元以上的
函数．
设狀元函数狌＝犳（犘）在点犘０的某一邻域内有定义，如果当点犘∈犝狅
（犘０）时，有
犳（犘）＜犳（犘０） （或犳（犘）＞犳（犘０））
则称函数犳（犘）在点犘０ 取得极大值（或极小值）犳（犘０）
类似地，如果函数狌＝犳（犘）在点犘０处偏导数存在，且在点犘０处取得极值，则在
点犘０ 处偏导数都为零．即在偏导数存在的前提下，极值点一定是驻点，反之未必．
下面，我们讨论多元函数的最大值和最小值问题．
如果函数狕＝犳（狓，狔）在有界闭区域犇上连续，则函数犳（狓，狔）在犇上一定取得
最大值和最小值．但是函数的最大（小）值可能在犇的内部取到，也可能在犇的边界上
取到．如果再假设函数犳（狓，狔）在犇内可微且只有有限个驻点，那么，类似于一元函
数，求函数犳（狓，狔）在犇上的最大值和最小值，需要将所有驻点处的函数值和犇的边
界上函数的最大值和最小值相比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值．由此
可见，求函数的最大值和最小值相当麻烦．但是，在某些实际问题中，如果知道函数的
最大值（或最小值）确实存在，且在犇内只有一个驻点，则函数在该驻点处一定取得最
大值（或最小值）．
例６．４１ 用钢板制成一个容积为犞 的无盖长方体水箱，问怎样选择长、宽、高，
才能使用料最省？
解 设水箱长为狓，宽为狔，高为狕，已知狓狔狕＝犞，从而狕＝犞狓狔，水箱的表面积为
犛＝狓狔＋２犞１
狓＋１（ ）狔 ．
所求材料最省，就是求表面积犛取得最小值问题．
解方程组
犛狓 ＝狔－２犞
狓２＝０，
犛狔 ＝狓－２犞
狔２ ＝０
烅
烄
烆．
得
狓＝狔＝３
２槡犞，即驻点为（３
２槡犞，３
２槡犞）．
由题的实际意义可知，表面积犛的最小值一定存在，现在犇 内只有一个驻点，所
以当狓＝３
２槡犞，狔＝３
２槡犞 时，犛取得最小值，这时狕＝犞狓狔＝
３
２槡犞２，于是，当水箱的
底是边长为３
２槡犞 的正方形，高为３
２槡犞２
时所用材料最省．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３３ ·
例６．４２ 有一块长方形薄铁皮，宽２４ｃｍ，将它的两边折起做成一个截面为等腰梯
形的水槽，（如图６．９）．问狓和倾角α如何选取，使截面的面积最大？
图６．９
解 设梯形截面面积为犛，如图所示，梯形的下底为２４－２狓，上底为２４－２狓＋
２狓ｃｏｓα，高为狓ｓｉｎα，从而
犛＝１
２［（２４－２狓）＋（２４－２狓＋２狓ｃｏｓα）］·狓ｓｉｎα，
即 犛＝２４狓ｓｉｎα－２狓２ｓｉｎα＋狓
２ｓｉｎαｃｏｓα．（０＜狓＜１２，０＜α≤π２）
解方程组犛狓 ＝２４ｓｉｎα－４狓ｓｉｎα＋２狓ｓｉｎαｃｏｓα＝０，
犛α ＝２４狓ｃｏｓα－２狓２ｃｏｓα＋狓
２（ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α）＝０
烅烄
烆 ．
由于ｓｉｎα≠０，狓≠０，方程组化简为
１２－２狓＋狓ｃｏｓα＝０，
２４ｃｏｓα－２狓ｃｏｓα＋狓（ｃｏｓ２α－ｓｉｎ
２α）＝０｛ ．
解得 α＝π３，狓＝８．
由实际问题可知，截面面积犛的最大值一定存在，而现在犇的内部只有一个驻点，
所以当狓＝８ｃｍ，α＝π３时截面面积最大．
（２）条件极值、拉格朗日乘数法
在多元函数的极值问题中，有些函数的自变量只要求在其定义域内取值，而不受
其他条件的约束．我们称这种情况下的极值为无条件极值，而有些函数的自变量除了限
制在定义域内，还需要满足一定的附加条件，称这种情况下的极值为条件极值．例如
例６．４１，是求体积一定，而表面积最小的极值问题．由于表面积为
犛＝狓狔＋２（狔狕＋狓狕）．
因而，自变量狓，狔，狕需要满足狓＞０，狔＞０，狕＞０而且必须满足条件狓狔狕＝犞，因
此这种极值就是条件极值．如果从条件狓狔狕＝犞 中解出狕＝犞狓狔代入函数犛中，得
犛＝狓狔＋２犞１
狓＋１（ ）狔 ． （狓＞０，狔＞０）
这时，条件极值就转化为无条件极值．
由于有些条件极值问题不易转化为无条件极值，所以有必要寻找一种直接求条件
极值的方法——— 拉格朗日乘数法．
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·３４ · 高等数学（下册）
下面讨论函数狕＝犳（狓，狔）在满足条件φ（狓，狔）＝０下取得极值的必要条件．
假设函数在点（狓０，狔０）取得极值，显然φ（狓０，狔０）＝０． 又假设函数犳（狓，狔），
φ（狓，狔）在点（狓０，狔０）的某一领域内有连续的一阶偏导数，且φ狔（狓０，狔０）≠０，则由隐
函数存在定理１可知，方程φ（狓，狔）＝０在点（狓０，狔０）某一邻域内确定一个单值可导且
具有连续导数的函数狔＝ψ（狓），将狔＝ψ（狓）代入函数狕＝犳（狓，狔）中，得一元函数
狕＝犳［狓，ψ（狓）］在狓０ 处取得极值，又由一元函数极值存在的必要条件可知
ｄ狕ｄ狓狘狓＝狓０ ＝犳狓（狓０，狔０）＋犳狔（狓０，狔０）
ｄ狔ｄ狓狘狓＝狓０ ＝０，
其中ｄ狔ｄ狓可由隐函数求导公式（６．１４）求得，即
ｄ狔ｄ狓狘狓＝狓０ ＝－
φ狓（狓０，狔０）
φ狔（狓０，狔０），
将其代入上式，得
犳狓（狓０，狔０）＋犳狔（狓０，狔０）－φ狓（狓０，狔０）
φ狔（狓０，狔０（ ））＝０．
如果令λ＝－犳狔（狓０，狔０）
φ狔（狓０，狔０），且犳狓（狓０，狔０）＋λφ狓（狓０，狔０）＝０，且犳狔（狓０，狔０）＋λφ狔（狓０，
狔０）＝０，从而，极值存在的必要条件为
犳狓（狓０，狔０）＋λφ狓（狓０，狔０）＝０，
犳狔（狓０，狔０）＋λφ狔（狓０，狔０）＝０，
φ（狓０，狔０）＝０
烅
烄
烆 ．
显然，前两式左端可以看作函数犉（狓，狔）＝犳（狓，狔）＋λφ（狓，狔）在点（狓０，狔０）处的偏
导数．
拉格朗日数乘法 要求函数狕＝犳（狓，狔）在条件φ（狓，狔）＝０下的极值，可先构造
辅助函数
犉（狓，狔）＝犳（狓，狔）＋λφ（狓，狔） （６．２７）
然后，函数犉（狓，狔）分别对狓，狔求一阶偏导数且令其为零，并与条件φ（狓，狔）＝０联
立，即得联立方程组
犳狓（狓，狔）＋λφ狓（狓，狔）＝０，
犳狔（狓，狔）＋λφ狔（狓，狔）＝０，
φ（狓，狔）＝０
烅
烄
烆 ．
（６．２８）
这是条件极值点（狓，狔）所需满足的必要条件，由（６．２８）式求得的狓，狔可能是条件
极值点的坐标．
最后，根据问题的具体意义判定所求得的点是否为极值点．
以上所介绍的求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法．
这一方法可以推广到自变量为两个以上，条件多于一个的情形．
例如求函数狌＝犳（狓，狔，狕，狋）在条件φ（狓，狔，狕，狋）＝０及ψ（狓，狔，狕，狋）＝０
下的极值，构造的辅助函数为
犉（狓，狔，狕，狋）＝犳（狓，狔，狕，狋）＋λ１φ（狓，狔，狕，狋）＋λ２ψ（狓，狔，狕，狋），
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３５ ·
其中λ１，λ２ 为待定常数．
类似地，求出犉（狓，狔，狕，狋）对狓，狔，狕，狋的一阶偏导数，并令它们为零，再与
两个条件方程联立得方程组，求解得出函数犳（狓，狔，狕，狋）可能的极值点（狓，狔，狕，
狋），再由实际问题加以判定．
例６．４３ 求内接于半径为α的球且体积最大的长方体．
解 设长方体的长、宽、高为狓，狔，狕，体积为犞，由已知条件可知，狓２＋狔
２＋狕
２
＝４犪２，则所求的问题就是体积犞＝狓狔狕在条件φ（狓，狔，狕）＝狓
２＋狔
２＋狕
２－４犪
２下取
得最大值的问题，构造辅助函数为
犉（狓，狔，狕）＝狓狔狕＋λ（狓２＋狔
２＋狕
２－４犪
２） （狓＞０，狔＞０，狕＞０）
令
犉狓 ＝狔狕＋２λ狓＝０，
犉狔 ＝狓狕＋２λ狔＝０，
犉狕 ＝狓狔＋２λ狕＝０，
狓２＋狔２＋狕
２－４犪
２＝０
烅
烄
烆 ．
（１）
（２）
（３）
（４）
由（１），（２），（３）解得狓＝狔＝狕代入（４），得
狓＝狔＝狕＝槡２ ３３犪．
这是唯一可能的极值点的坐标，由所求的问题可知，体积犞 的最大值一定存在，所以
最大值一定在这个可能的极值点取得．即边长为 槡２ ３３犪的正方体的体积最大，且体积
为 槡８ ３９犪３．
习题６．６
１．求曲线狓＝狋－ｃｏｓ狋，狔＝３＋ｓｉｎ２狋，狕＝１＋ｃｏｓ３狋在狋＝π２处的切线及法平面
方程．
２．求曲线狓２ ＝３狔，２狓狕＝１在点 ３，３，（ ）１６ 处的切线及法平面方程．
３．求曲线狓２＋狔２＋狕
２＝４，狓
２＋狔
２＝２狓在点（１，１，槡２）处的切线及法平面方程．
４．求曲线狓＝狋，狔＝狋２，狕＝狋
３上求一点，使该点处的切线平行于平面狓＋２狔＋狕＝４．
５．求曲线狕＝狓２＋狓狔＋狔
２ 在点（１，１，３）处的切平面及法线方程．
６．求曲线狓２＋２狔２＋３狕
２＝２１上平行于平面狓＋４狔＋６狕＝０的切平面方程．
７．在曲线狕＝狓狔上求一点，使该点处的法线垂直于平面狓＋３狔＋狕＋９＝０．
８．试证曲面槡狓＋槡狔＋槡狕＝槡犪（犪＞０）上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之
和等于犪．
９．求函数狕＝狓３＋狔
３－３狓狔的极值．
１０．求函数犳（狓，狔）＝ （６狓－狓２）（４狔－狔
２）的极值．
１１．求方程狓２＋狔２＋狕
２－２狓＋２狔－４狕＝１０所确定的函数狕＝狕（狓，狔）的极值．
１２．求函数犳（狓，狔）＝３狓＋４狔在圆狓２＋狔
２＝１上的极大值和极小值．
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·３６ · 高等数学（下册）
１３．从斜边为定长犾的直角三角形中，求周长最大的直角三角形．
１４．求表面积为２犪而体积最大的长方体的体积．
１５．已知矩形的周长为２狆，将它绕一边旋转成一个圆柱体，求矩形的边长各为多
少时，圆柱体的体积最大？
１６．求旋转椭球面２狓２＋狔２＋狕
２＝１上距平面２狓＋狔－狕＝６有最近距离的点．
１７．求原点到椭圆狕＝狓
２＋狔
２
狓＋狔＋狕＝｛ １的最长与最短的距离．
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
在很多实际问题中，需要研究函数在某点沿某一方向的变化率．例如，要预报某地
的风向和风力，就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率．下面，我们将讨论函数
狕＝犳（狓，狔）在点犘沿某一方向的变化率问题．
图６．１０
设函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）的某一邻域犝（犘０）
内有定义，从点犘０ 引一条射线犾，设犾的方向余弦为ｃｏｓα，
ｃｏｓβ．在射线犾上任取一点犘′（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔）∈犝（犘０）（如
图６．１０）， 如果极限ｌｉｍρ０
犳（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔）－犳（狓０，狔０）
ρ
存在，其中ρ＝狘犘０犘′狘＝ （Δ狓）２＋（Δ狔）槡
２．则称此极限为函
数犳（狓，狔）在点犘０ 沿方向犾的方向导数，记为犳犾狘（狓
０，狔０
）．
根据方向导数定义，如果函数犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）的
偏导数犳狓，犳狔存在，则函数犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）沿狓轴正
向犲１ ＝ ｛１，０｝，狔轴正向犲２ ＝ ｛０，１｝这两个特殊方向的方向导数一定存在且分别为
犳狓，犳狔．而且，函数犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）沿狓轴负向犲′１＝｛－１，０｝，狔轴负向犲′２＝
｛０，－１｝这两个特殊方向的方向导数也存在且分别为－犳狓，－犳狔．这里，我们只推导沿
狓轴负向的方向导数．
在狓轴负向上任取一点犘′（狓＋Δ狓，狔）∈犝（犘），
ｌｉｍρ０
犳（狓＋Δ狓，狔）－犳（狓，狔）
ρ＝ｌｉｍ
Δ狓０
犳（狓＋Δ狓，狔）－犳（狓，狔）
－Δ狓＝－犳狓（狓，狔）．
一般地，函数满足什么条件，在点犘（狓，狔）沿任意方向的方向导数一定存在呢？
我们有如下定理．
定理 如果函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０（狓０，狔０）可微，则函数狕＝犳（狓，狔）在点犘０
沿任意方向犾的方向导数都存在，且
犳犾狘犘
０＝犳狓狘犘
０ｃｏｓα＋
犳狔狘犘
０ｃｏｓβ， （６．２９）
其中ｃｏｓα，ｃｏｓβ是方向犾的方向余弦．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３７ ·
证明 在犾上任取一点犘（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔），由犳（狓，狔）在犘０处可微，函数在犘０
处的增量可表示为
犳（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔）－犳（狓０，狔０）＝犳狓（狓０，狔０）Δ狓＋犳狔（狓０，狔０）Δ狔＋狅（ρ）．
因而
ｌｉｍρ０
犳（狓０＋Δ狓，狔０＋Δ狔）－犳（狓０，狔０）
ρ＝犳狓（狓０，狔０）ｃｏｓα＋犳狔（狓０，狔０）ｃｏｓβ．
即 犳犾狘犘
０＝犳狓狘犘
０ｃｏｓα＋
犳狔狘犘
０ｃｏｓβ．
以上关于方向导数的定义及其计算公式可推广到三元函数．三元函数狌＝犳（狓，狔，
狕）在点犘（狓，狔，狕）沿方向犾的方向导数定义为
犳犾＝ｌｉｍ
ρ０
犳（狓＋Δ狓，狔＋Δ狔，狕＋Δ狕）－犳（狓，狔，狕）
ρ，
其中 ρ＝ （Δ狓）２＋（Δ狔）
２＋（Δ狕）槡
２．
如果函数犳（狓，狔，狕）在点犘（狓，狔，狕）可微，则函数犳（狓，狔，狕）在点犘沿任意方
向犾的方向导数为
犳犾＝犳狓ｃｏｓα＋
犳狔ｃｏｓβ＋
犳狕ｃｏｓγ． （６．３０）
其中ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓγ为犾的方向余弦．
例６．４４ 设由原点到点（狓，狔）的向径为狉，狓轴到狉的转角为θ，狓轴到射线犾的转
角为φ，求狉
犾，其中狉＝狘狉狘＝ 狓２＋狔槡
２（狉≠０）．
解 因为狉
狓＝
狓
狓２＋狔槡２＝狓狉＝ｃｏｓθ
狉
狔＝
狔
狓２＋狔槡２＝狔狉＝ｓｉｎθ
所以狉
犾＝狉
狓ｃｏｓφ＋
狉
狔ｃｏｓ
π２－（ ）φ ＝ｃｏｓθｃｏｓφ＋ｓｉｎθｓｉｎφ＝ｃｏｓ（θ－φ）．
显然，当φ＝θ±π２时，狉犾＝０，即函数狉在点（狓，狔）沿垂直于向径的方向的方向
导数为零，而当φ＝θ时，狉
犾＝１即函数狉在点犘（狓，狔）沿向径的方向的方向导数最大
为１．
例６．４５ 求函数狌＝ｌｎ（２狓＋狔２＋狕
２）在点犕（１，０，１）处沿向量犾
＝（－２，１，１）
的方向导数．
解 狌
狓 犕＝
２
２狓＋狔２＋狕
２犕＝２
３；
狌
狔 犕＝
２狔２狓＋狔
２＋狕
２犕＝０；
狌
狕 犕＝
２狕
２狓＋狔２＋狕
２犕＝２
３；
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·３８ · 高等数学（下册）
由于狘犾
狘＝槡６，从而，方向犾
的方向余弦为
ｃｏｓα＝－２
槡６，ｃｏｓβ＝
１
槡６，ｃｏｓγ＝
１
槡６．
所以 狌
犾 犕＝２
３× －
２
槡（ ）６＋０×
１
槡６＋２
３×１
槡６＝－槡６９．
由６．４４可知，函数狉沿向径方向的方向导数最大．一般地，函数在点犘沿哪个方向
的变化率最大呢？我们将给出与其相关的梯度的概念．
二、梯度
设函数狕＝犳（狓，狔）在开区域犇内具有一阶连续偏导数，则对于每一点犘（狓，狔）
∈犇，都可确定一个向量
犳狓犻＋犳狔犼
称该向量为函数狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）的梯度，记为ｇｒａｄ犳（狓，狔），即
ｇｒａｄ犳（狓，狔）＝犳狓犻＋犳狔犼． （６．３１）
我们首先讨论梯度与方向导数的关系．
设向量犲＝ ｛ｃｏｓα，ｃｏｓβ｝是与犾同方向的单位向量，又由（６．２９）式，方向导数为
犳犾＝犳狓ｃｏｓα＋
犳狔ｃｏｓβ＝ ｛
犳狓，犳狔｝·｛ｃｏｓα，ｃｏｓβ｝
＝ｇｒａｄ犳（狓，狔）·犲＝狘ｇｒａｄ犳（狓，狔）狘ｃｏｓ（ｇｒａｄ犳（狓，狔））^，犲），
其中（ｇｒａｄ犳（狓，狔））^，犲）表示梯度ｇｒａｄ犳（狓，狔）与犲的夹角．
显然，当犾与梯度的方向一致时，有
ｃｏｓ（ｇｒａｄ犳（狓，狔）^，犲）＝１，
从而，犳犾取得最大值．即梯度的方向是函数犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）增加最快的方向．
由此可见，梯度的方向是函数取得最大方向导数的方向，梯度的模为方向导数的
最大值．
设狓轴到梯度的转角为θ，如果犳狓≠０，则
ｔａｎθ＝
犳狔犳狓
而且 狘ｇｒａｄ犳（狓，狔）狘＝犳（ ）狓
２
＋犳（ ）狔槡
２
下面，我们再来讨论梯度与等高线的关系．
设曲面狕＝犳（狓，狔）被平面狕＝犮（犮为常数）所截得的曲线犔的方程为
狕＝犳（狓，狔），
狕＝犮｛ ．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·３９ ·
该曲线在狓狅狔面的投影曲线犔 的方程为
犳（狓，狔）＝犮．
对于曲线犔 上任意点，对应的函数值犳（狓，狔）都是犮，则称平面曲线犔 为函数
狕＝犳（狓，狔）的等高线（如图６．１１）．
图６．１１
由于等高线犳（狓，狔）＝犮上任意点犘（狓，狔）处的法
线斜率为
犽＝－１
ｄ狔ｄ狓
＝－１
－犳狓
犳（ ）狔
＝犳狔犳狓
即梯度与等高线在点犘（狓，狔）的法线共线．因此，函数
狕＝犳（狓，狔）在点犘（狓，狔）的梯度的方向与过点犘的等
高线犳（狓，狔）＝犮在该点的法线的一个方向相同，且从
数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模
等于函数在该法线方向的方向导数．
以上关于梯度的概念及相关结论可推广到三元函数．设函数狌＝犳（狓，狔，狕）在空
间开区域犌内具有一阶连续偏导数，则对于每一点犘（狓，狔，狕）∈犌都确定一个向量
犳狓犻＋犳狔犼＋
犳狕犽．
称该向量为函数狌＝犳（狓，狔，狕）在点犘（狓，狔，狕）的梯度，记为ｇｒａｄ犳（狓，狔，狕），即
ｇｒａｄ犳（狓，狔，狕）＝犳狓犻＋犳狔犼＋
犳狕犽． （６．３２）
类似地，三元函数的梯度的方向也是函数取得最大方向导数的方向，它的模是方
向导数的最大值．
同理，定义曲面犳（狓，狔，狕）＝犮为函数狌＝犳（狓，狔，狕）的等量面，则函数狌＝
犳（狓，狔，狕）在点犘（狓，狔，狕）的梯度方向与过点犘的等量面犳（狓，狔，狕）＝犮在该点的
法线的一个方向一致，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，梯度的模等于
函数沿该法线方向的方向导数．
例６．４６ 求函数狕＝ 狓２－狔槡２ 在点（５，３）的梯度．
解 因为
狕
狓狘狓＝５狔＝３＝
狓
狓２－狔槡２狘狓＝５狔＝３＝５
４，
狕
狔狘狓＝５狔＝３＝
－狔
狓２－狔槡２狘狓＝５狔＝３＝－
３
４，
所以 ｇｒａｄ狕＝５
４犻－
３
４犼＝
１
４（５犻－３犼）．
例６．４７ 设犳（狓，狔，狕）＝狓２狔２＋狔狕
３，求ｇｒａｄ犳（１，２，１）．
解 因为ｇｒａｄ犳（狓，狔，狕）＝２狓狔２犻＋（２狓
２狔＋狕
３）犼＋３狔狕２犽
所以 ｇｒａｄ犳（１，２，１）＝８犻＋５犼＋６犽
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·４０ · 高等数学（下册）
习题６．７
１．求函数狕＝狓犲２狔在点犘（１，０）处沿从点犘（１，０）到点犙（２，－１）方向的方向导数．
２．求函数狕＝３狓２狔－狔
２在点犘（２，３）处沿曲线狔＝狓２－１在该点处的切线且狓增
大方向的方向导数．
３．求函数狕＝１－狓２
犪２＋狔２
犫（ ）２ 在点 犪
槡２，犫
槡（ ）
２处沿曲线狓
２
犪２＋狔２
犫２＝１在该点内法线方向
的方向导数．
４．求函数狌＝狓２＋狔
２－狕
２在点犘（－１，１，２）处沿方向犾＝２犻－犼＋２犽的方向导
数．
５．求函数狌＝狓２＋狔
２＋狕
２在曲线狓＝狋，狔＝狋２，狕＝狋
３上点（１，１，１）处沿曲线
在该点的切线正方向（对应于狋增大的方向）的方向导数．
６．求函数狌＝狓狔狕在点犘（３，４，５）处沿锥面狕＝ 狓２＋狔槡２ 的法线方向的方向
导数．
７．求函数狕＝狓３＋狔
３－３狓狔在点犘（２，１）处的梯度．
８．求函数狌＝ｌｎ（狓２＋狔
２＋狕
２），求ｇｒａｄ狌（１，１，１）．
９．求函数狌＝狓狔２狕在点犘（１，－１，２）处沿哪个方向的方向导数最大？并求最大的
方向导数．
１０．证明函数犳（狓，狔）＝ 狓２＋狔槡２在点（０，０）处不可微，但在点（０，０）处沿任意
方向犾的方向导数都存在．
总 习 题 六
１．求函数狕＝ｌｎ（狔－狓２）＋ １－狔－狓槡
２ 的定义域．
２．求极限ｌｉｍ狓∞狔犪
１＋１（ ）狓
狓２
狓＋狔
．
３．证明极限ｌｉｍ狓０狔０
狓２狔２
狓２狔２＋（狓－狔）
２不存在．
４．设犳（狓，狔）＝
狓２＋狔２
（狓２＋狔２）
３２
，狓２＋狔２≠０
０， 狓２＋狔２＝
烅
烄
烆 ０
证明犳（狓，狔）在点（０，０）处连续且偏导数存在，但不可微分．
５．求下列函数的二阶偏导数：
（１）狕＝ｔａｎ（狓＋狔）＋狓２狔； （２）狕＝狓狔
６．设狕＝犲狓＋狔，而狔＝狔（狓）由方程狔－
１
２ｓｉｎ狔＝狓所确定，求
ｄ狕ｄ狓．
７．设狕＝狓犳（狓狔２，犲狓
２狔），求ｄ狕．
８．设狓＝犲狌ｃｏｓ狏，狔＝犲
狌ｓｉｎ狏，狕＝狌狏，，求狕
狓，狕狔．
第六章 多元函数微分法及其应用 ·４１ ·
９．设狕＝犳（狓２－狔，φ（狓狔）），其中犳（狌，狏）具有二阶连续的偏导数，φ（狋）二阶可
导，求２狕
狓狔．
１０．已知φ（狌，狏）具有连续偏导数，证明由方程φ（犮狓－犪狕，犮狔－犫狕）＝０所确定的
函数满足
犪狕
狓＋犫狕
狔＝犮．
１１．求曲线犳（狓，狔）＝狓２＋狕
２＝１０
狔２＋狕
２＝｛ １０
在点（１，１，３）处的切线及法平面方程．
１２．求曲面狕＝狓２＋狔
２ 的切平面，使它垂直于直线狓＋２狕＝１
狔＋２狕＝｛ ２．
１３．求函数狌＝狓＋狔＋狕在点犘（０，０，１）处沿球面狓２＋狔
２＋狕
２＝１的外法线方
向的方向导数．
１４．设狓轴正向到方向犾的转角为φ，求函数犳（狓，狔）＝狓２－狓狔＋狔
２在点（１，１）沿
方向犾的方向导数，并分别确定转角φ，使方向导数有（１）最大值，（２）最小值，（３）等
于零．
１５．在椭球面狓２
犪２＋狔２
犫２＋狕２
犮２＝１的第一卦限部分上求一点，使在该点的切平面与坐标
面所围成的四面体的体积最小．
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第七章 重 积 分
在解决许多几何、物理以及其他实际问题时，常常需要对多元实值函数积分，一
元函数的积分（即定积分）区域是闭区间（直线段），由于多元函数自变量个数多于一个，
积分域形状不同就有各种不同的多元函数的积分．本章将介绍二元函数在平面有界区
域上的二重积分和三元函数在空间有界体上的三重积分，它们是定积分的推广，也是
某种确定形式的和式的极限，其计算借助于定积分．
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
（１）曲顶柱体的体积
所谓曲顶柱体是指这样的立体，它的底面是狓狅狔面上的闭区域犇，它的侧面是以犇
的边界曲线为准线而母线平行于狕轴的柱面，它的顶是曲面狕＝犳（狓，狔），这里犳（狓，
狔）≥０且在犇上连续（图７．１）．
图７．１
我们的问题是：怎样定义和计算这个曲顶柱体的体
积．只要能算出这种曲顶柱体的体积；那么一般的立体的
体积，都可以化为曲顶柱体体积的代数和．我们知道平顶
柱体的体积可用公式
体积 ＝ 底面积×高
来计算，而对于曲顶柱体，当点（狓，狔）在区域犇 上
变动时，高度犳（狓，狔）是一个变量，因此它的体积不能直
接用上式来定义和计算．我们的办法还是像以前处理曲边
梯形面积那样来处理曲顶柱体的体积．
图７．２
为此，用一组曲线网将犇分成狀个小闭区域Δσ１，
Δσ２，…，Δσ狀．分别以这些小闭区域的边界曲线为准
线，作母线平行于狕轴的柱面，这些柱面把原来的曲
顶柱体分为狀个细曲顶柱体．在分割得很细的情形下，
由于犳（狓，狔）连续，对同一个小闭区域来说，犳（狓，
狔）变化很小，这时细曲顶柱体可近似看作平顶柱体．
在每个Δσ犻（这个小闭区域的面积也记作Δσ犻）中任取一
点（ξ犻，η犻），以犳（ξ犻，η犻）为高而底为Δσ犻 的平顶柱体
（图７．２）体积为犳（ξ犻，η犻）Δσ犻（犻＝１，２，…，狀），这狀
个平顶柱体体积之和
∑狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻
第七章 重 积 分 ·４３ ·
可看作所求曲顶柱体体积的近似值．令狀个小闭区域的直径中的最大值（记作λ）趋
于零．那么上述和式的极限值为
犞 ＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻
我们很自然地就把它定义为所求曲顶柱体的体积．
（２）平面薄片的质量
设有一平面薄片，放置在狓狅狔平面上，它所占有的闭区域为犇，它在点（狓，狔）处
的面密度为ρ（狓，狔），这里ρ（狓，狔）＞０且在犇上连续，现在要求该薄片的质量犕．
我们知道，如果薄片是均匀的（即ρ为常数），其质量可用公式
质量 ＝ 面密度×面积
来计算．而现在面密度ρ（狓，狔）为变量，所以质量不能直接用上式来计算，但我们
可以用解决曲顶柱体积问题的方法来处理该问题．
由于ρ（狓，狔）连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Δσ犻的直径
很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片．在Δσ犻上任取一点（ξ犻，η犻），则
ρ（ξ犻，η犻）Δσ犻 （犻＝１，２，…，狀）
可看作第犻个小块的质量的近似值（图７．３），通过求和，取极限，得到
犕 ＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１ρ（ξ犻，η犻）Δσ犻
图７．３
虽然上面两个问题的实际意义不同，但所求量都归结为同一形式的和式的极限，
由此我们可以抽象出二重积分的定义．
定义 设犳（狓，狔）是有界闭区域犇上的有界函数，将闭区域犇任意分成狀个小闭
区域
Δσ１，Δσ２，…，Δσ狀
其中Δσ犻表示第犻个小闭区域，也表示它的面积．在每个Δσ犻上任取一点（ξ犻，η犻），作乘
积犳（ξ犻，η犻）Δσ犻（犻＝１，２，…，狀），并作和∑狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻．如果对区域犇的任意一种
分割法以及对点（ξ犻，η犻）的任意取法，当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这
和式的极限存在，则称此极限为函数犳（狓，狔）在闭区域犇 上的二重积分，记作犇
犳（狓，
狔）ｄσ，即
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·４４ · 高等数学（下册）
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻 （７．１）
其中犳（狓，狔）叫做被积函数，犳（狓，狔）ｄσ叫做被积表达式，ｄσ叫做面积微元（元素），狓
与狔叫做积分变量，犇叫做积分区域，∑狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻叫做积分和．
在二重积分的定义中对犇的划分是任意的，如果用直角坐标系中平行于坐标轴的
直线网来划分犇，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形
闭区域．设矩形区域Δσ犻的边长为Δ狓犼和Δ狔犽，则Δσ犻＝Δ狓犼·Δ狔犽．因此在直角坐标系
中，ｄσ可记作ｄ狓ｄ狔，而二重积分记作
犇
犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔
其中ｄ狓ｄ狔叫做直角坐标系中的面积微元（元素）．
应该指出的是，当犳（狓，狔）在闭区域犇上连续时，（７．１）式右边的和式的极限一定
存在，即函数犳（狓，狔）在犇上的二重积分一定存在．
一般地，如果犳（狓，狔）≥０，被积函数犳（狓，狔）可解释为曲顶柱体的顶点（狓，狔）
处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果犳（狓，狔）是负的，
这时二重积分的值是负的，但其绝对值仍等于柱体的体积．
二、二重积分的性质
二重积分与一元函数定积分都是某种有限和的极限，它们具有类似的定义，所以
也具有一系列类似的基本性质，现叙述如下．
性质１ 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即
犇
犽犳（狓，狔）ｄσ＝犽犇
犳（狓，狔）ｄσ （犽为常数）
性质２ 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即
犇
［犳（狓，狔）±犵（狓，狔）］ｄσ＝犇
犳（狓，狔）ｄσ±犇
犵（狓，狔）ｄσ
性质３ 如果闭区域犇被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在犇上的二重积分
等于在各部分区域上的二重积分之和．例如犇分为犇１ 与犇２，则
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝犇１
犳（狓，狔）ｄσ＋犇２
犳（狓，狔）ｄσ
性质４ 如果在犇上，犳（狓，狔）＝１，σ为犇 的面积，则
犇
ｄσ＝σ
性质５ 如果在犇上，犳（狓，狔）≤φ（狓，狔），则有不等式
犇
犳（狓，狔）ｄσ≤犇
φ（狓，狔）ｄσ
特别地，由于
－狘犳（狓，狔）狘≤犳（狓，狔）≤狘犳（狓，狔）狘
第七章 重 积 分 ·４５ ·
又有不等式
狘犇
犳（狓，狔）ｄσ狘≤犇
狘犳（狓，狔）狘ｄσ
性质６ 设犕，犿分别是犳（狓，狔）在闭区域犇上的最大值和最小值，σ是犇的面积，
则有
犿σ≤犇
犳（狓，狔）ｄσ≤犕σ
性质７ （二重积分的中值定理）设函数犳（狓，狔）在闭区域犇上连续，σ是犇 的面
积，则在犇上至少存在一点（ξ，η），使得下式成立：
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝犳（ξ，η）σ．
习题７．１
１．利用二重积分的定义证明：
（１）犇
ｄσ＝λ （其中λ为犇 的面积）；
（２）犇
犽犳（狓，狔）ｄσ＝犽犇
犳（狓，狔）ｄσ （其中犽为常数）．
２．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
（１）犇
（狓＋狔）２ｄσ与
犇
（狓＋狔）３ｄσ，其中犇是由狓轴，狔轴与直线狓＋狔＝１所围成
的区域；
（２）犇
（狓＋狔）２ｄσ与
犇
（狓＋狔）３ｄσ，其中犇是由圆周（狓－２）
２＋（狔－１）
２＝２所围成
的区域；
（３）犇
ｌｎ（狓＋狔）ｄσ与犇
［ｌｎ（狓＋狔）］２ｄσ，其中犇是三角形闭区域，三顶点分别为（１，
０），（１，１），（２，０）；
（４）犇
ｌｎ（狓＋狔）ｄσ与犇
［ｌｎ（狓＋狔）］２ｄσ，其中犇是矩形闭区域：３≤狓≤５，０≤狔≤１．
３．利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（１）犐＝犇
狓狔（狓＋狔）ｄσ，其中犇是矩形闭区域：０≤狓≤１，０≤狔≤１；
（２）犐＝犇
ｓｉｎ２狓ｓｉｎ２狔ｄσ，其中犇是矩形闭区域：０≤狓≤π，０≤狔≤π；
（３）犐＝犇
（狓＋狔＋１）ｄσ，其中犇是矩形闭区域：０≤狓≤１，０≤狔≤２；
（４）犐＝犇
（狓２＋４狔２＋９）ｄσ，其中犇是圆形闭区域：狓
２＋狔
２≤４．
４．利用二重积分的定义证明：如果闭区域犇分为两个闭区域犇１ 与犇２，则
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·４６ · 高等数学（下册）
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝犇１
犳（狓，狔）ｄσ＋犇２
犳（狓，狔）ｄσ．
５．下列积分有怎样的符号：
（１）犇
ｌｎ（狓２＋狔２）ｄ狓ｄ狔； 犇：狘狓狘＋狘狔狘≤１；
（２）犇
３
１－狓２－狔槡
２ｄ狓ｄ狔， 犇：狓２＋狔２≤４；
（３）犇
ａｒｃｓｉｎ（狓＋狔）ｄ狓ｄ狔； 犇：０≤狓≤１，－１≤狔≤１－狓．
第二节 二重积分的计算
二重积分的定义本身也给出了计算的方法．但是，这种方法只对少数特别简单的
被积函数和积分区域来说是可行的，具有很大的局限性．本节将给出计算二重积分常
用的方法．这种方法就是把二重积分化为两次定积分来计算．
一、利用直角坐标系计算二重积分
下面我们用二重积分的几何意义来建立其计算公式．先假定犳（狓，狔）≥０，积分区
域犇由狓狅狔平面上的两条曲线φ１（狓）≤狔≤φ２（狓），犪≤狓≤犫所围成（图７．４），其中函
数φ１（狓），φ２（狓）在区间［犪，犫］上连续，由二重积分的几何意义，犇
犳（狓，狔）ｄσ的值等
于以犇为底，以曲面狕＝犳（狓，狔）为顶的曲顶柱体（图７．５）的体积．下面应用第五章中
计算 “平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．
图７．４
现在用平行于狔狅狕平面的平面狓＝狓０（狓０∈ ［犪，犫］）去截曲顶柱体，其截面是一个
以区间［φ１（狓０），φ２（狓０）］为底，曲线狕＝犳（狓０，狔）为曲边的曲边梯形．（图７．５阴影部
分）．所以这截面的面积为犃（狓０）＝∫
φ２（狓０）
φ１（狓０）犳（狓０，狔）ｄ狔将上式中的狓０换成狓，表示过区间
［犪，犫］上任一点且平行于狔狅狕面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为犃（狓）＝∫φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，
狔）ｄ狔应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为
第七章 重 积 分 ·４７ ·
犞 ＝∫犫
犪犃（狓）ｄ狓＝∫
犫
犪∫φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，狔）ｄ［ ］狔 ｄ狓
从而有等式
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫犫
犪∫φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，狔）ｄ［ ］狔 ｄ狓 （７．２）
上式右端是两个定积分：先对狔积分，后对狓积分，称之为累次积分．这个累次积
分也常记作∫犫
犪ｄ狓∫
φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，狔）ｄ狔．
因此，等式（７．２）也写成
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫犪
犫ｄ狓∫
φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，狔）ｄ狔
这就是把二重积分化为先对狔，后对狓的累次积分的公式．
图７．５
上面我们假定了犳（狓，狔）≥０，事实上，去掉这个假定，只要犳（狓，狔）是连续函
数，公式（７．２）仍然成立．
类似地，如果积分区域犇可以用不等式
ψ１（狔）≤狓≤ψ２（狔），犮≤狔≤ｄ
来表示（图７．６），其中函数ψ１（狔），ψ２（狔）在区间［犮，ｄ］上连续，那么就有
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫ｄ
犮∫ψ２（狔）
ψ１（狔）犳（狓，狔）ｄ［ ］狓 ｄ狔
上式右端为先对狓，后对狔的二次积分，此积分也常记作
图７．６
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·４８ · 高等数学（下册）
∫ｄ
犮ｄ狔∫
ψ２（狔）
ψ１（狔）犳（狓，狔）ｄ狓 （７．３）
因此，等式（７．３）也写成
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫ｄ
犮ｄ狔∫
ψ２（狔）
ψ１（狔）犳（狓，狔）ｄ狓
图７．７
这就是把二重积分化为先对狓后对狔 的累次积分的
公式．
我们称图７．４所示的积分区域为犡－型区域，图７．６所
示的积分区域为犢－型区域．应用公式（７．２）时，积分区域
必须是犡－型区域．而应用公式（７．３）时，积分区域必须是
犢－型区域，许多常见的区域都可分解成有限多个除边界外
无公共点的犡－型或犢－型的区域（如图７．７），这样，我们
便可以对它们分别用公式（７．２）和（７．３）来计算．然后把结
果加起来．
如果积分区域犇既是犡－型区域又是犢－型区域如图７．８，那么公式（７．２）和（７．３）
都可以应用．将它们加以比较，便得到等式
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫犫
犪ｄ狓∫
φ２（狓）
φ１（狓）犳（狓，狔）ｄ狔＝∫
ｄ
犮ｄ狔∫
ψ２（狔）
ψ１（狔）犳（狓，狔）ｄ狓
图７．８
特别地，如果犳（狓，狔）在矩形犇：犪≤狓≤犫，犮≤狔≤ｄ上连续，则
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝∫犫
犪ｄ狓∫
ｄ
犮犳（狓，狔）ｄ狔
＝∫ｄ
犮ｄ狔∫
犫
犪犳（狓，狔）ｄ狓 （７．４）
二重积分化为累次积分时，关键是确定积分限．积分限是根据积分区域犇 来确定
的，先画出犇的图形，如果是犡－型的，如图７．９所示，可用平行于狔轴的直线沿狔轴
正向穿越区域犇，若入口线为狔＝φ（狓１），出口线为狔＝φ（狓２），则公式（７．２）中先把狓
看作常量而对狔积分时的下限为φ１，上限为φ２．因为上面的狓值是在［犪，犫］上任意取
定的，所以再把狓看作变量而对狓积分时，积分区间为［犪，犫］．
第七章 重 积 分 ·４９ ·
图７．９
例７．１ 计算二重积分犐＝犇
狓２
狔２ｄ狓ｄ狔，其中犇是由
直线狓＝２，狔＝狓及双曲线狓狔＝１所围成的区域．
解 首先画出犇的图形（如图７．１０），由图可知犇
是犡－型区域．为了确定积分限，需要求出直线狔＝狓
与双曲线狓狔＝１的交点（在犇所在的第一象限内）．求
出方程狔＝狓与狓狔＝１的公共解，得到所要求的交点为
（１，１），于是对狓积分时，其变化区间为［１，２］，当固
定狓于这一区间上时，狔的变化区间为１
狓≤狔≤狓．由
公式（７．２）
犐＝∫２
１∫狓
１狓
狓２
狔２ｄ［ ］狔 ｄ狓＝∫
２
１－狓２［ ］狔
狓
１狓
ｄ狓＝∫２
１
（狓３－狓）ｄ狓＝９
４
图７．１０
如果应用公式（７．３）来计算积分犐，那就要麻烦很多．原因在于这时积分区域犇的
左边界是由一直线段及一双线段所组，它们是用不同的方程表示的．这样，就得用直
线段狔＝１把犇分成两个犢－型区域犇１ 与犇２ 来计算才行．这时
犐＝犇１
狓２
狔２ｄ狔ｄ狓＋
犇２
狓２
狔２ｄ狔ｄ狓＝∫
１
１２∫
２
１狔
狓２
狔２ｄ［ ］狓 ｄ狔＋∫
２
１∫２
狔
狓２
狔２ｄ［ ］狓 ｄ狔
＝∫１
１２
８
３狔２－
１
３狔（ ）５ ｄ狔＋∫２
１
８
３狔２－
１
３狔（ ）５ ｄ狔＝１７
２＋５
６＝９
４．
总的来看，这个算法要麻烦得多．由此可见，积分次序的选择如何，影响到计算
的繁简．
例７．２ 求两个圆柱面狓２＋狔２＝犪
２，狓２＋狕２＝犪
２ 相交部分的体积．
解 利用立体关于坐标平面的对称性，只须计算其中第一卦限部分（图７．１１）的体
积犞１，然后再乘以８即可．
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
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·５０ · 高等数学（下册）
犇＝ ｛（狓，狔）狘０≤狔≤ 犪２－狓槡２，０≤狓≤犪｝
如图７．１２所示，它的顶是柱面狕＝ 犪２－狓槡２，于是
图７．１１ 图７．１２
犞１ ＝犇
犪２－狓槡２ｄ狓ｄ狔＝∫
犪
０∫犪２－狓槡 ２
０犪２－狓槡
２ｄ［ ］狔 ｄ狓
＝∫犪
０犪２－狓槡
２·［ ］狔犪２－狓槡 ２
０ｄ狓＝∫
犪
０
（犪２－狓２）ｄ狓＝
２
３犪３
从而所求体积为
犞 ＝８犞１ ＝１６
３犪３．
图７．１３
例７．３ 设犇由曲线狓＝０，狔＝１及狔＝狓所围成的
区域（图７．１３），求二重积分犐＝犇
狓２犲－狔２
ｄ狓ｄ狔的值．
解 如果先对狔积分，后对狓积分有，
犐＝∫１
０狓２ｄ狓∫
１
狓犲－狔
２
ｄ狔
这里，由于犲－狔２
的原函数不能用初等函数来表示，所
以很难进行下去．但是，先对狓后对狔积分，就很容易算
出犐的值．
犐＝∫１
０ｄ狔∫
狔
０狓２犲－狔
２
ｄ狓＝１
３∫１
０狔３犲－狔
２
ｄ狔＝１
６∫１
０狔２犲－狔
２
ｄ（狔２）
＝１
６－狔
２犲－狔２ １
０＋∫
１
０犲－狔
２
ｄ（狔２［ ］）＝ １６ －
１
犲－犲
－狔２（ ）
１
０＝１
６－１
３犲
从上面几个例子可以看出，化二重积分为累次积分计算时，必须注意积分次序对
计算的影响，应考察被积函数的性质及积分区域的形状，据此大致估计哪种积分次序
更好些．
二、利用极坐标计算二重积分
在计算二重积分时，如果积分区域犇 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，
第七章 重 积 分 ·５１ ·
且被积函数用极坐标变量狉，θ表达较简单，这时，可考虑利用极坐标来计算二重积分
犇
犳（狓，狔）ｄσ．
我们知道二重积分的定义为和式的极限，即
犇
犳（狓，狔）ｄσ＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻
下面我们就要讨论这个和式的极限在极坐标系中的形式．
假定从极点犗出发且穿过闭区域内部的射线与犇 的边界曲线相交不多于两点．现
在用以极点为中心的一族同心圆：狉＝ 常数，以及从极点出发的一族射线：θ＝ 常数，
把犇分成狀个小闭区域（图７．１４）．除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面
积Δσ犻为
Δσ犻 ＝１
２（狉犻＋Δ狉犻）
２·Δθ犻－１
２狉２犻Δθ犻
＝１
２（２狉犻＋Δ狉犻）Δ狉犻Δθ犻
＝狉犻＋（狉犻＋Δ狉犻）
２Δ狉犻Δθ犻
＝狉犻Δ狉犻Δθ犻
图７．１４
其中狉犻表示相邻两弧的半径的平均值．在这个小闭区域内取圆周狉＝狉犻 上的一点
（狉犻，θ犻），该点的直角坐标若为（ξ犻，η犻），则由直角坐标与极坐标之间的关系有ξ犻 ＝
狉犻ｃｏｓθ犻，ξ犻 ＝狉犻ｓｉｎθ犻．于是
ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻）Δσ犻 ＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（狉犻ｃｏｓθ犻，狉犻ｓｉｎθ犻）狉犻·Δ狉犻·Δθ犻
所以 犇
犳（狓，狔）ｄσ＝犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ
即 犇
犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔＝犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ （７．５）
这就是二重积分的变量由直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中狉ｄ狉ｄθ为极坐标
系中的面积元素．
由公式（７．５）可知，直角坐标（狓，狔）与极坐标（狉，θ）之间的换算关系为
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·５２ · 高等数学（下册）
狓＝狉ｃｏｓθ，狔＝狉ｓｉｎθ
极坐标系中的二重积分，也可以化为累次积分来计算．
设积分区域犇用不等式
φ１（θ）≤狉≤φ２（θ），α≤θ≤β来表示（图７．１５）
图７．１５
其中φ１（θ），φ２（θ）在［α，β］上连续．
在［α，β］上任取一个θ值，对应于θ，犇上的点的极径狉从φ１（θ）变到φ２（θ）．而θ的
变化范围是［α，β］，可以看出，极坐标系中二重积分化为二次积分的公式为
犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ＝∫β
α∫φ２（θ）
φ１（θ）犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ［ ］狉ｄθ （７．６）
也可写成
犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ＝∫β
αｄθ∫
φ２（θ）
φ１（θ）犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉
如果积分区域犇是如图７．１６所示的曲边扇形，则犇可用不等式０≤狉≤φ（θ），
α≤θ≤β来表示．
这时有
犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ
＝∫β
αｄθ∫
φ（θ）
０犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉
如果区域犇 是一条把原点犗 包围在其内部的封闭曲线所围成，其方程为狉＝
狉（θ）（如图７．１７所示），则有
犇
犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉ｄθ＝∫２π
０ｄθ∫
狉（θ）
０犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ）狉ｄ狉
图７．１６ 图７．１７
第七章 重 积 分 ·５３ ·
例７．４ 计算二重积分犐＝犇
犲－狓２－狔２
ｄ狓ｄ狔，其中区域犇是由圆周狓２＋狔
２＝犪
２所围成．
解 令狓＝狉ｃｏｓθ，狔＝狉ｓｉｎθ
则犇可表示为０≤狉≤犪，０≤θ≤２π．
所以 犐＝犇
犲－狓２－狔２
ｄ狓ｄ狔＝犇
犲－狉２
狉ｄ狉ｄθ
＝∫２π
０∫犪
０犲－狉
２
狉ｄ［ ］狉ｄθ＝∫２π
０－１
２犲－狉［ ］
２ 犪
０ｄθ
＝１
２（１－犲－
犪２
［ ］）∫２π
０ｄθ＝π（１－犲－
犪２
）
例７．５ 求球体狓２＋狔２＋狕
２≤４犪
２被圆柱面狓２＋狔２＝２犪狓所截出的立体的体积犞
（图７．１８）．
（ａ） （ｂ）
图７．１８
解 由对称性
犞 ＝４犇
４犪２－狉槡２狉ｄ狉ｄθ
其中犇：０≤狉≤犪ｃｏｓθ，０≤θ≤π２
于是
犞 ＝４犇
４犪２－狉槡２狉ｄ狉ｄθ＝４∫
π２
０ｄθ∫
２犪ｃｏｓθ
０４犪２－狉槡
２狉ｄ狉
＝３２
３犪３∫
π２
０
（１－ｓｉｎ３θ）ｄθ
＝３２
３犪３（π２－２
３）
例７．６ 求由双纽线（狓２＋狔２）２＝２犪
２（狓２－狔２）所围成的区域的面积犃（如图７．１９）．
解 原曲线方程在极坐标下为
狉２ ＝２犪２ｃｏｓ２θ
由对称性，先计算其中阴影部分犇的面积犛犇，这时０≤θ≤π４，由二重积分的性质
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·５４ · 高等数学（下册）
图７．１９
犛犇 ＝犇
ｄσ＝犇
狉ｄ狉ｄθ＝∫π４
０ｄθ∫
犪 ２ｃｏｓ２槡 θ
０狉ｄ狉
＝犪２
∫π４
０ｃｏｓ２θｄθ＝
１
２犪２
从而所求面积为
犃＝４×１
２犪２ ＝２犪
２
从上面的例子可以看出，如果积分区域犇 是圆或者是圆的一部分时，用极坐标可
以简化二重积分的计算．如果在被积函数中出现狓２＋狔２ 时也可以用极坐标变换．
习题７．２
１．计算下列二重积分：
（１）犇
（狓２＋狔２）ｄσ，其中犇是矩形闭区域：狘狓狘≤１，狘狔狘≤１；
（２）犇
（３狓＋２狔）ｄσ，其中犇是由两坐标轴及直线狓＋狔＝２所围成的闭区域；
（３）犇
（狓３＋３狓２狔＋
３）ｄσ，其中犇是矩形闭区域：０≤狓≤１，０≤狔≤１；
（４）犇
狓ｃｏｓ（狓＋狔）ｄσ，其中犇是顶点分别为（０，０），（π，０）和（π，π）的三角形闭
区域；
（５）犇
（１＋狓）ｓｉｎ狔ｄσ；其中犇是顶点（０，０），（１，０），（１，２）和（０，１）的梯形闭区域．
２．计算下列二重积分：
（１）犇
狓槡狔ｄσ，其中犇是由两条抛物线狔＝槡狓，狔＝狓２ 所围成的闭区域；
（２）犇
狓狔２ｄσ，其中犇是由圆周狓
２＋狔
２＝４及狔轴所围成的右半闭区域；
（３）犇
犲狓＋狔ｄσ，其中犇是由狘狓狘＋狘狔狘≤１所确定的闭区域；
（４）犇
（狓２＋狔２－狓）ｄσ，其中犇是由直线狔＝２，狔＝狓，及狔＝２狓所围成的闭区域；
（５）犇
（狓２－狔２）ｄσ，其中犇是闭区域：０≤狔≤ｓｉｎ狓，０≤狓≤π．
３．如果二重积分犇
犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔的被积函数犳（狓，狔）是两个函数犳１（狓）及犳２（狔）的
乘积，即犳（狓，狔）＝犳１（狓）·犳２（狔），积分区域犇为犪≤狓≤犫，犮≤狔≤犱，证明
犇
犳１（狓）·犳２（狔）ｄ狓ｄ狔＝∫犫
犪犳１（狓）ｄ［ ］狓·∫
ｄ
犮犳２（狔）ｄ［ ］狔 ．
４．设犳（狓）在［犪，犫］上连续，狀＞０，证明
第七章 重 积 分 ·５５ ·
∫犫
犪ｄ狔∫
狔
犪
（狔－狓）狀犳（狓）ｄ狓＝
１
狀＋１∫犫
犪
（犫－狓）狀＋１犳（狓）ｄ狓．
５．设犳（狓，狔）在犇上连续，其中犇是由直线狔＝狓，狔＝犪及狓＝犫（犫＞犪）所围
成的闭区域，证明
∫犫
犪ｄ狓∫
狓
犪犳（狓，狔）ｄ狔＝∫
犫
犪ｄ狔∫
犫
狔犳（狓，狔）ｄ狓．
６．改变下列二次积分的次序：
（１）∫１
０ｄ狔∫
狔
０犳（狓，狔）ｄ狓；
（２）∫２
０ｄ狔∫
２狔
狔２犳（狓，狔）ｄ狓；
（３）∫１
０ｄ狔∫
１－狔槡 ２
－ １－狔槡 ２犳（狓，狔）ｄ狓；
（４）∫２
１ｄ狓∫
２狓－狓槡 ２
２－狓犳（狓，狔）ｄ狔；
（５）∫犲
１ｄ狓∫
ｌｎ狓
０犳（狓，狔）ｄ狔；
（６）∫１
０ｄ狔∫
２狔
０犳（狓，狔）ｄ狓＋∫
３
１ｄ狔∫
３－狔
０犳（狓，狔）ｄ狓；
（７）∫π
０ｄ狓∫
ｓｉｎ狓
－ｓｉｎ狓２
犳（狓，狔）ｄ狔．
７．设平面薄片所占的闭区域犇是由直线狓＋狔＝２，狔＝狓和狓轴所围成，它的面
密度ρ（狓，狔）＝狓２＋狔
２，求该薄片的质量．
８．求椭圆抛物面狔＝狓２
犪２＋狕２
犫２与平面狔＝犫所围成的立体的体积．
９．求由曲面狕＝狓２＋２狔
２ 及狕＝６－２狓２－狔
２ 所围成的立体的体积．
１０．画出积分区域，把积分犇
犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔表示为极坐标形式的二次积分，其中积
分区域犇是：
（１）狓２＋狔２≤犪
２，（犪＞０）；
（２）狓２＋狔２≤２狓；
（３）犪２ ≤狓２＋狔
２≤犫
２，其中０＜犪＜犫；
（４）０≤狔≤１－狓，０≤狓≤１；
（５）狓２ ≤狔≤１，－１≤狓≤１．
１１．在下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
（１）∫１
０ｄ狓∫
１
０犳（狓，狔）ｄ狔；
（２）∫２
０ｄ狓∫
３槡狓
狓犳（狓
２＋狔槡
２）ｄ狔；
（３）∫１
０ｄ狓∫
１－狓槡 ２
１－狓犳（狓，狔）ｄ狔；
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·５６ · 高等数学（下册）
（４）∫１
０ｄ狓∫
狓２
０犳（狓，狔）ｄ狔．
１２．把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：
（１）∫２犪
０ｄ狓∫
２犪狓－狓槡 ２
（狓２＋狔２）ｄ狔；
（２）∫犪
０ｄ狓∫
狓
０狓２＋狔槡
２ｄ狔；
（３）∫１
０ｄ狓∫
狓
狓２（狓２＋狔
２）－１２ｄ狔；
（４）∫犪
０ｄ狔∫
犪２－狔槡 ２
０
（狓２＋狔２）ｄ狓．
１３．利用极坐标计算下列各题：
（１）犇
犲狓２＋狔２
ｄσ，其中犇是由圆周狓２＋狔
２＝４所围成的闭区域；
（２）犇
ｌｎ（１＋狓２＋狔
２）ｄσ，其中犇是由圆周狓２＋狔
２＝１及坐标轴所围成的在第一象
限的闭区域；
（３）犇
ａｒｃｔａｎ狔狓ｄσ，其中犇是由圆周狓
２＋狔
２＝４，狓
２＋狔
２＝１及直线狔＝０，狔＝
狓所围成的在第一象限的区域．
１４．选用适当的坐标计算下列各题：
（１）犇
狓２
狔２ｄσ，其中犇是由直线狓＝２，狔＝狓及曲线狓狔＝１所围成的闭区域；
（２）犇
１－狓２－狔
２
１＋狓２＋狔槡 ２ｄσ，其中犇是由圆周狓
２＋狔
２＝１及坐标轴所围成的在第一象限
内的闭区域；
（３）犇
（狓２＋狔２）ｄσ，其中犇是由直线狔＝狓，狔＝狓＋犪，狔＝犪，狔＝３犪（犪＞０）所
围成的闭区域；
（４）犇
狓２＋狔槡２ｄσ，其中犇是圆环形闭区域：犪
２≤狓
２＋狔
２≤犫
２；
（５）犇
犚２－狓２－狔槡
２ｄσ，其中犇是由圆周狓２＋狔
２＝犚狓所围成的闭区域．
１５．设平面薄片所占的闭区域犇是由螺线狉＝２θ上一段弧（０≤θ≤π２）与直线θ＝
π２所围成，它的面密度为ρ（狓，狔）＝狓
２＋狔
２，求这薄片的质量．
１６．计算以狓狅狔面上的圆周狓２＋狔
２＝犪狓围成的闭区域为底，而以曲面狕＝狓
２＋狔
２
为顶的曲顶柱体的体积．
第七章 重 积 分 ·５７ ·
第三节 三重积分的概念及其计算
二重积分是二元函数在平面区域上的积分．三重积分是三元函数在空间区域上的
积分．我们可以象定义二重积分一样，也用和式的极限来定义三重积分．
定义 设犳（狓，狔，狕）是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成狀个小闭
区域
Δ狏１，Δ狏２，…，Δ狏狀，
其中Δ狏犻表示第犻个小闭区域，也表示它的体积．在每个Δ狏犻 上任取一点（ξ犻，η犻，
ζ犻），作和式∑狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻，ζ犻）Δ狏犻．如果对区域Ω的任意一种分割法及点（ξ犻，η犻，ζ犻）的
任意取法，当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限
为函数犳（狓，狔，狕）在闭区域Ω上的三重积分，记作Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏，即
Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
犳（ξ犻，η犻，ζ犻）Δ狏犻 （７．７）
其中ｄ狏叫做体积微元（元素）．
在直角坐标系中，如果用平行于坐标平面的平面来分割Ω，得到的小闭区域Δ狏犻为
长方体，其边长分别为Δ狓犼，Δ狔犽，Δ狕犻，则Δ狏犻＝Δ狓犼Δ狔犽Δ狕犻．因此，在直角坐标系中
三重积分的体积元素为ｄ狏＝ｄ狓ｄ狔ｄ狕．这时三重积分记作
Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕
关于三重积分的存在性及其性质都与二重积分类似，这里不再重述．
图７．２０
如果犳（狓，狔，狕）表示某物体在点（狓，狔，狕）
处的密度，Ω 是该物体所占有的空间闭区域，
犳（狓，狔，狕）在Ω上连续，则该物体的质量犕 为
犕 ＝Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏
三重积分的计算通常都可以化成三次定积分，
或一次定积分与一次二重积分．
假设平行于狕轴且穿过闭区域Ω内部的直线
与Ω的边界曲面犛相交不多于两点（如图７．２０）Ω
的上，下两个曲面的方程分别为
狕＝狕２（狓，狔），狕＝狕１（狓，狔）
闭区域Ω在狓狅狔平面上投影的区域犇的边界是由曲线狔＝φ１（狓）与狔＝φ２（狓）所给
出，则函数犳（狓，狔，狕）在闭区域Ω上的三重积分可化为三次定积分，即
Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏＝∫犫
犪ｄ狓∫
φ２（狓）
φ１（狓）ｄ狔∫
狕２（狓，狔）
狕１（狓，狔）犳（狓，狔，狕）ｄ狕 （７．８）
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或 Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏＝犇∫
狕２（狓，狔）
狕１（狓，狔）犳（狓，狔，狕）ｄ［ ］狕ｄ狓ｄ狔 （７．９）
计算三重积分可化为三次定积分，如果积分次序是先对狕，其次对狔，最后对狓，
积分上、下限的取法如下：首先把Ω投影在狓狅狔平面上得区域犇，在区域犇上任取一点
（狓，狔），在Ω内部，狕的变化由狕１（狓，狔）变到狕２（狓，狔），再将区域犇投影到狓轴上，
得区间［犪，犫］，在［犪，犫］上任取一点狓，在犇 的内部，狔的变化由φ１（狓）变到φ２（狓），
最后狓的变化由犪变到犫．
图７．２１
例７．７ 计算三重积分Ω
ｄ狓ｄ狔ｄ狕．其中Ω是由平面
狓＝０，狔＝０，狕＝０及狓＋狔＋狕＝１所围成（如图７．２１）．
解 作闭区域Ω如图７．２１中所示．如果先对狕作积
分，将Ω投影到狓狅狔面上．得三角形区域犇．由狓＝０，
狔＝０，狓＋狔＝１所围成，在犇内任取一点（狓，狔），过
此点作平行于狕轴的直线，该直线通过平面狕＝０穿入Ω
内，然后通过平面狕＝１－狓－狔穿出Ω外（即狕的变化由
狕＝０到狕＝１－狓－狔）．其次对狔作积分，将三角形区
域犇投影到狓轴上，得区间［０，１］，在［０，１］上任取一
点狓，在犇内部，狔的变化由狔＝０到狔＝１－狓，最后
对狓作积分，显然狓的变化由０到１，即
Ω
ｄ狓ｄ狔ｄ狕＝∫１
０ｄ狓∫
１－狓
０ｄ狔∫
１－狓－狔
０ｄ狕＝∫
１
０ｄ狓∫
１－狓
０
（１－狓－狔）ｄ狔
＝∫１
０
（狔－狓狔－狔２
２）１－狓
０ｄ狓＝∫
１
０
１－狓－狓（１－狓）－１
２（１－狓）［ ］２ ｄ狓
＝∫１
０
１
２－狓－
１
２狓（ ）２ ｄ狓
＝１
６
图７．２２
例７．８ 计算三重积分犐＝Ω
狕ｄ狓ｄ狔ｄ狕．其中Ω是
由锥面狕２ ＝犺２
犚２（狓２＋狔
２）及平面狕＝犺所围成．
解 作闭区域Ω如图７．２２所示，可以看出Ω在
狓狅狔平面上的投影犇就是圆域狓２＋狔
２≤犚
２．Ω的顶面是
狕＝犺，底面是锥面狕＝犺犚
狓２＋狔槡２，（狓，狔）∈犇．
因此
犐＝Ω
狕ｄ狓ｄ狔ｄ狕＝犇
ｄ狓ｄ狔∫犺
犺犚 狓
２＋狔槡 ２狕ｄ狕
＝１
２犇
［犺２－犺２
犚２（狓２＋狔
２）］ｄ狓ｄ狔
第七章 重 积 分 ·５９ ·
再利用极坐标计算这个二重积分，得到
犐＝犺２
２犚２∫２π
０ｄθ∫
犚
０
（犚２－狉２）狉ｄ狉＝
π４犚２犺２
习题７．３
１．化三重积分犐＝犳（狓，狔，狕）Ωｄ狓ｄ狔ｄ狕为三次积分，其中积分区域Ω分别是（１）由双曲抛物面狓狔＝狕及平面狓＋狔－１＝０，狕＝０所围成的闭区域；
（２）由曲面狕＝狓２＋狔
２ 及平面狕＝１所围成的闭区域；
（３）由曲面犮狕＝狓狔（犮＞０）及狓２
犪２＋狔２
犫２＝１，狕＝０所围成的闭区域．
２．求旋转抛物面狕＝狓２＋狔
２及平面狕＝１（狓≥０，狔≥０）所围成的物体的质量，假
定其密度为ρ＝狓＋狔．
３．如果三重积分Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕的被积函数犳（狓，狔，狕）是三个函数犳１（狓），
犳２（狔），犳３（狕）的乘积，积分区域Ω为犪≤狓≤犫，犮≤狔≤ｄ，犾≤狕≤犿，证明
Ω
犳１（狓）犳２（狔）犳３（狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕＝∫犫
犪犳１（狓）ｄ狓∫
ｄ
犮犳２（狔）ｄ狔∫
犿
犾犳３（狕）ｄ狕．
４．计算Ω
狓狔２狕３ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是由曲面狕＝狓狔，狔＝狓，狓＝１，狕＝０所围成的
区域．
５．计算Ω
ｄ狓ｄ狔ｄ狕（１＋狓＋狔＋狕）
３，其中Ω是由平面狓＝０，狕＝０，狓＋狔＋狕＝１所围成
的区域．
６．计算Ω
狓狔狕ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是由曲面狓２＋狔
２＋狕
２＝１，狓＝０，狔＝０，狕＝０
所围成的区域．
７．计算Ω
狔ｃｏｓ（狕＋狓）ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是由曲面狔＝槡狓，狔＝０，狕＝０，狓＋狕＝
π２所围成的区域．
８．计算Ω
狓狔ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是由曲面狓狔＝狕及平面狓＋狔＝１，狕＝０所围成的
区域．
９．计算Ω
狕ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是由锥面狕＝犺犚
狓２＋狔槡２与平面狕＝犺（犚＞０，犺＞０）
所围成的闭区域．
１０．计算Ω
狕２ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是两个球：狓２＋狔
２＋狕
２≤犚
２ 和狓２＋狔２＋狕
２≤２犚狕
（犚＞０）的公共部分．
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·６０ · 高等数学（下册）
第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
在前面计算二重积分时我们看到，利用极坐标可以简化一些二重积分的计算．这
种思想同样适用于三重积分，三重积分也可以利用柱面坐标或球面坐标来进行计算．
一、利用柱面坐标计算三重积分
对于空间一点犕（狓，狔，狕），设点犕在狓狅狔面上的投影犘的极坐标为狉，θ，这样的
三个数狉，θ，狕就叫做点犕 的柱面坐标（图７．２３）．
图７．２３
这里规定
０≤狉＜＋∞
０≤θ＜２π
－∞ ＜狕＜＋∞
三组坐标面分别为
狉＝犪（常数） 表示以狕轴为轴，半径为犪的圆柱面；
θ＝犫（常数） 表示过狕轴，极角为犫的半平面；
狕＝犮（常数） 表示与狓狅狔面平行且相距为犮的平面．
显然，点犕 的直角坐标与柱面坐标的关系为
狓＝狉ｃｏｓθ
狔＝狉ｓｉｎθ
狕＝
烅
烄
烆 狕
（７．１０）
为了把三重积分Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏中的变量变换为柱面坐标．可用三组坐标面（狉＝
常数，θ＝ 常数，狕＝ 常数）去分割积分区域Ω，得到许多小闭区域（柱体）．现考虑由
狉，θ，狕各取得微小改变量ｄ狉，ｄθ，ｄ狕所成的柱体的体积（如图７．２４所示）．这个体积
等于底面积×高．即
ｄ狏＝狉ｄ狉ｄθｄ狕
图７．２４
第七章 重 积 分 ·６１ ·
这就是柱面坐标系中的体积元素．再由（７．１０）式有
Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏＝Ω
犉（狉，θ，狕）狉ｄ狉ｄθｄ狕 （７．１１）
其中
犉（狉，θ，狕）＝犳（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ，狕）
（７．１１）式就是把三重积分中的变量从直角坐标变换到柱面坐标的变化公式．
可以看出，这个变换就是将空间的点犕（狓，狔，狕）中的狓，狔坐标换成极坐标狉，θ，
而狕坐标不变．经过这样变换后的三重积分，可化为三次积分来进行计算，下面举例
说明．
例７．９ 计算三重积分犐＝Ω
（狓２＋狔２）ｄ狏，其中Ω为圆锥面狓
２＋狔
２＝狕
２与平面
狕＝５所围成的立体．
图７．２５
解 画出Ω的图形（图７．２５）．平面狕＝５的柱面坐
标方程仍为狕＝５，圆锥面狓２＋狔
２＝狕
２的柱面坐标方程
为狕＝狉，Ω在狓狅狔平面上的投影区域犇是一个圆形闭区
域，由
狕＝５
狕＝｛ 狉
消去狕，得犇 的边界（圆周）方程为狉＝５．犇：
０≤狉≤５，０≤θ≤２π．在犇内任取一点（狉，θ），过该
点作平行于狕轴的直线，此直线沿狕轴正方向通过锥
面狕＝狉穿入Ω内，然后通过平面狕＝５穿出Ω外．因
此，Ω可用不等式
狉≤狕≤５，０≤狉≤５，０≤θ≤２π
来表示，于是犐＝Ω
（狓２＋狔２）ｄ狏＝
Ω
狉２狉ｄ狉ｄθｄ狕
＝∫２π
０ｄθ∫
５
０狉３ｄ狉∫
５
狉ｄ狕＝２π∫
５
０狉３（５－狉）ｄ狉
＝２π６２５
４＝３１２．５π
二、利用球面坐标计算三重积分
除了直角坐标和柱面坐标外，空间一点还可用球面坐标表示，如图７．２６所示，设
犕（狓，狔，狕）为空间中的一点．用狉表示点犕 到原点犗的距离，φ为有向线段→犗犕 与狕轴
正向之间的夹角，θ为从正狕轴来看自狓轴按逆时针方向转到→犗犘的角度，这里犘为点犕
在狓狅狔面上的投影．这样的三个数狉，φ，θ叫做点犕 的球面坐标．从图７．２６可以看出，
点犕 的直角坐标与球面坐标的关系为
狓＝犗犘ｃｏｓθ＝狉ｓｉｎφｃｏｓθ
狔＝犗犘ｓｉｎθ＝狉ｓｉｎφｓｉｎθ
狕＝狉ｃｏｓ
烅
烄
烆 φ
（７．１２）
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其中 ０≤狉≤＋∞
０≤φ≤π
０≤θ≤２π
在球面坐标系中，三组坐标面分别为
狉＝ 常数，即以原点为球心的球面；
φ＝ 常数，即以原点为顶点，狕轴为轴的圆锥面；
θ＝ 常数，即过狕轴的半平面．
为了得到三重积分的球面坐标累次积分公式，首先导出体积元素ｄ狏在球面坐标下
的表达式，为此，用三组坐标面（狉＝常数，φ＝常数，θ＝常数）把积分区域Ω分成许
多小闭区域． 考虑由狉，φ，θ各取得微小增量ｄ狉，ｄφ，ｄθ所成的六面体的体积
（图７．２７）．当忽略高阶无穷小时，可把这个六面体看作长方体，于是得
ｄ狏＝狉２ｓｉｎφｄ狉ｄφｄθ
图７．２６ 图７．２７
这就是球面坐标系中的体积元素．再由关系式（７．１２）就有
Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕＝Ω
犉（狉，φ，θ）狉２ｓｉｎφｄ狉ｄφｄθ （７．１３）
其中 犉（狉，φ，θ）＝犳（狉ｓｉｎφｃｏｓθ，狉ｓｉｎφｓｉｎθ，狉ｃｏｓφ）
（７．１３）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式．在应用该公
式计算三重积分时，可把它化为对狉，对φ，及对θ的三次积分．
如果积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的曲面，其球面坐标方程为狉＝
狉（φ，θ），则有
犐＝Ω
犉（狉，φ，θ）狉２ｓｉｎφｄ狉ｄφｄθ
＝∫２π
０ｄθ∫
π
０ｄφ∫
狉（φ，θ）
０犉（狉，φ，θ）狉
２ｓｉｎφｄ狉
特别地，当Ω为球面狉＝犪所围成时，则有
犐＝∫２π
０ｄθ∫
π
０ｄφ∫
犪
０犉（狉，φ，θ）狉
２ｓｉｎφｄ狉
例７．１０ 计算三重积分Ω
（狓２＋狔２＋狕
２）ｄ狓ｄ狔ｄ狕，其中Ω是锥面狓２＋狔
２＝狕
２和狓２＋
第七章 重 积 分 ·６３ ·
狔２＋狕
２＝犚
２ 所围成（狕≥０）（如图７．２８）．
解 利用（７．１２）式作替换，则锥面和球面在球面坐标下分别是：φ＝π４和狉＝犚，
Ω变为０≤狉≤犚，０≤φ≤π４，０≤θ≤２π
Ω
（狓２＋狔２＋狕
２）ｄ狓ｄ狔ｄ狕
＝∫π４
０ｄφ∫
２π
０ｄθ∫
犚
０狉２·狉２ｓｉｎφｄ狉＝∫
π４
０ｓｉｎφｄφ∫
２π
０ｄθ∫
犚
０狉４ｄ狉
＝ １－槡２（ ）２·２π·
犚５
５＝π犚
５
５（２－槡２）
例７．１１ 求半径为犪的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积（图７．２９）
解 设球面通过原点犗，球心在狕轴上，内接锥面的顶点在原点犗，其轴与狕轴重
合，则球面方程为狉＝２犪ｃｏｓφ，锥面方程为φ＝α·Ω可用不等式０≤狉≤２犪ｃｏｓφ，０≤
φ≤α，０≤θ≤２π来表示．因此
犞 ＝Ω
狉２ｓｉｎφｄ狉ｄφｄθ
＝∫２π
０ｄθ∫
α
０ｄφ∫
２犪ｃｏｓφ
０狉２ｓｉｎφｄ狉
＝２π∫α
０ｓｉｎφｄφ∫
２犪ｃｏｓφ
０狉２ｄ狉
＝１６
３π犪
３
∫α
０ｃｏｓ３φｓｉｎφｄφ
＝４π犪
３
３（１－ｃｏｓ
４α）
图７．２８ 图７．２９
习题７．４
１．利用柱面坐标计算下列三重积分：
（１）Ω
狓２＋狔槡２ｄ狏，其中Ω是由曲面狓
２＋狔
２＝１６，狔＋狕＝４，狕＝０所围成的闭
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区域．
（２）Ω
（狓２＋狔２）ｄ狏，其中Ω是由曲面狓
２＋狔
２＝２狕及平面狕＝２所围成的闭区域．
２．利用球面坐标计算下列三重积分：
（１）Ω
狓２＋狔２＋狕槡
２ｄ狏，其中Ω是由曲面狓２＋狔
２＋狕
２≤狓所围成的闭区域．
（２）Ω
狕ｄ狏，其中Ω是由不等式狓２＋狔
２＋（狕－犪）
２≤犪
２，狓２＋狔２≤狕
２所确定的闭
区域．
３．选择适当的坐标来计算下列各题：
（１）Ω
狓狔ｄ狏，其中Ω是由柱面狓２＋狔
２＝１及平面狕＝１，狕＝０，狓＝０，狔＝０所
围成的在第一卦限内的闭区域；
（２）Ω
狓２＋狔２＋狕槡
２ｄ狏，其中Ω是由球面狓２＋狔
２＋狕
２＝狕所围成的闭区域；
（３）Ω
（狓２＋狔２）ｄ狏，其中Ω是由曲面４狕
２＝２５（狓
２＋狔
２）及平面狕＝５所围成的闭
区域；
（４）Ω
（狓２＋狔２）ｄ狏，其中Ω是由两个半球面狕＝ 犃２－狓
２－狔槡
２，狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２
（犃＞犪＞０）及平面狕＝０所围成的闭区域；
（５）Ω
狕ｌｎ（狓２＋狔２＋狕
２＋１）
狓２＋狔２＋狕
２＋１
ｄ狏，其中Ω是由球面狓２＋狔
２＋狕
２＝１所围成的闭区域．
４．求由曲面狓２＋狔２＝２犪狓，狓
２＋狔
２＝２犪狕，狕＝０所围成的立体的体积．
５．求由曲面（狓２＋狔２＋狕
２）３ ＝犪２（狓２＋狔
２）２ 所围成的立体的体积．
第五节 重积分的应用
重积分在几何上，物理上以及工程技术上有很多应用，在这里只介绍几种简单的
几何应用与物理应用．而更多的应用，将会在后继课程中陆续接触到．
一、二重积分的应用
（１）曲面的面积
设曲面Σ是由定义在区域犇上的函数狕＝犳（狓，狔）所给出（如图７．３０），假设函数
犳（狓，狔）在犇上有连续偏导数，那么，在曲面Σ上每一点都存在切平面和法线．
我们首先定义曲面Σ的面积．为此，把区域犇分为狀个小区域Δσ犻（犻＝１，２，…，
狀）．小区域的面积也记作Δσ犻．在Δσ犻上任取一点（狓犻，狔犻），通过该点引垂直于狓狅狔平面
的直线，这条直线与曲面相交于点（狓犻，狔犻，狕犻），其中狕犻 ＝犳（狓犻，狔犻）．在点（狓犻，狔犻，
狕犻）作曲面Σ的切平面，然后以每一个Δσ犻为底竖起柱面，很显然，这些柱面把曲面Σ分
成了狀个小曲面Δ狇犻（犻＝１，２，…，狀）．同时通过曲面上点（狓犻，狔犻，狕犻）的切平面也被
该柱面所截，截得的面积设为Δ犃犻，显然Δ犃犻与曲面上对应的小曲面Δ狇犻在狓狅狔平面上
第七章 重 积 分 ·６５ ·
图７．３０
的投影是一样的，都是Δσ犻．由解析几何公式，有
Δσ犻 ＝Δ犃犻ｃｏｓγ犻其中γ犻是曲面在点（狓犻，狔犻，狕犻）的法线与狕轴所成的锐角，则有
ｃｏｓγ犻 ＝１
１＋犳狓′２（狓犻，狔犻）＋犳狔′
２（狓犻，狔犻槡 ）
于是
Δ犃犻＝ １＋犳狓′２（狓犻，狔犻）＋犳狔′
２（狓犻，狔犻槡 ）Δσ犻如果小区域Δσ犻的直径很小，则曲面上的小曲面Δ狇犻的面积应该非常接近于Δ犃犻的
面积，因此，∑狀
犻＝１
Δ犃犻就非常接近于曲面Σ的面积．
设狀个小区域的直径中的最大值为λ，如果当λ趋于零时，和数∑狀
犻＝１
Δ犃犻存在极限，
设极限值为犃，则称犃是曲面Σ的面积．
即 犃＝ｌｉｍλ０∑
狀
犻＝１
Δ犃犻＝犇
１＋犳狓′２＋犳狔′槡
２ｄσ
或
犃＝犇
１＋狕
（ ）狓２
＋狕
（ ）狔槡２
ｄ狓ｄ狔 （７．１４）
称ｄ犃＝犇
１＋犳狓′２＋犳狔′槡
２ｄσ为曲面Σ的面积微元（元素）．
这就是计算曲面面积的公式．
若曲面的方程为狓＝φ（狔，狕）或狔＝φ（狕，狓），可分别把曲面投影到狔狅狕面上（投影
区域记作犇狔狕）或投影到狕狅狓面上（投影区域记作犇狕狓）．类似地可得
犃＝犇狔狕
１＋狓
（ ）狔２
＋狓
（ ）狕槡２
ｄ狔ｄ狕
或
犃＝犇狕狓
１＋狔（ ）狕
２
＋狔（ ）狓槡
２
ｄ狕ｄ狓
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例７．１２ 求半径为犪的球的表面积．
解 把直角坐标系的原点取在球心，于是上半球面的方程为狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２，
在狓狅狔面上的投影区域犇 为狓２＋狔
２≤犪
２．（如图７．３１）由
狕
狓＝－
狓
犪２－狓２－狔槡
２
狕
狔＝－
狔
犪２－狓２－狔槡
２
得 １＋狕
（ ）狓２
＋狕
（ ）狔槡２
＝犪
犪２－狓２－狔槡
２
上半球的表面积为
犃＝犇
犪
犪２－狓２－狔槡
２ｄ狓ｄ狔
图７．３１
因为这函数在闭区域犇 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式．所以先取区域
犇１＝｛（狓，狔）狘狓２＋狔
２≤犫
２｝（０＜犫＜犪）为积分区域，算出相应于犇１上的球面面积犃１
后，令犫犪取的极限就得半球面的面积．
犃１ ＝犇１
犪
犪２－狓２－狔槡
２ｄ狓ｄ狔，
利用极坐标，得
犃１ ＝犇１
犪
犪２－狉槡２狉ｄ狉ｄθ＝犪∫
２π
０ｄθ∫
犫
０
狉ｄ狉
犪２－狉槡２
＝２π犪∫犫
０
狉ｄ狉
犪２－狉槡２＝２π犪（犪－ 犪２－犫槡
２）
于是 ｌｉｍ犫犪犃１ ＝ｌｉｍ
犫犪２π犪（犪－ 犪２－犫槡
２）＝２π犪２
因为上、下半球表面积相等，所以球的表面积犛＝２犃，即
犛＝４π犪２
（２）平面薄片的质心
设在狓狅狔平面上有狀个质点，它们的质量分别为犿１，犿２，…，犿狀．第犻个质点位
于（狓犻，狔犻）处，根据力学知识，该质点系的质心坐标为
狓＝犕狓犕＝∑狀
犻＝１
犿犻狓犻
∑狀
犻＝１
犿犻
，
第七章 重 积 分 ·６７ ·
狔＝犕狔犕＝∑狀
犻＝１
犿犻狔犻
∑狀
犻＝１
犿犻
，
其中犕 ＝∑狀
犻＝１
犿犻为该质点系的总质量，
犕狓 ＝∑狀
犻＝１
犿犻狓犻， 犕狔 ＝∑狀
犻＝１
犿犻狔犻
设有一平面薄片，占有狓狅狔 平面上的闭区域犇，在点（狓，狔）处的面密度为ρ＝
ρ（狓，狔）．假定ρ＝ρ（狓，狔）在犇上连续．现在求该平面薄片的质心坐标．
在犇上任取一直径很小的闭区域Δσ（其面积也记作Δσ），点（狓，狔）为Δσ内一个点．
由于Δσ很小，且ρ（狓，狔）在犇上连续，所以薄片中对应于Δσ的部分的质量近似等于
ρ（狓，狔）Δσ，这部分质量可认为集中于点（狓，狔）．因此有
ｄ犕狓 ＝狓ρ（狓，狔）Δσ，ｄ犕狔 ＝狔ρ（狓，狔）Δσ．
从而
犕狓 ＝犇
狓ρ（狓，狔）ｄσ，犕狔 ＝犇
狔ρ（狓，狔）ｄσ．
又因为
犕 ＝犇
ρ（狓，狔）ｄσ
所以，薄片的质心的坐标为
狓＝犕狓犕＝犇
狓ρ（狓，狔）ｄσ
犇
ρ（狓，狔）ｄσ
狔＝犕狔犕＝犇
狔ρ（狓，狔）ｄσ
犇
ρ（狓，狔）ｄσ
如果薄片是均匀的，此时ρ（狓，狔）为常量，则有
狓＝１
犃犇
狓ｄσ，狔＝１
犃犇
狔ｄσ （７．１５）
其中犃＝犇
ｄσ为闭区域犇 的面积．
例７．１３ 求位于两圆狓２＋（狔－２）２＝４和狓
２＋（狔－１）
２＝１之间的均匀薄片的质
心（图７．３２）．
解 因为密度为常数，所以重心为
狓＝１
犃犇
狓ｄσ，狔＝１
犃犇
狔ｄσ
显然 犃＝π·２２－π·１
２＝３π
又因为薄片是左右对称的，所以狓＝０，现在用极坐标计算狔．区域犇的边界的极
坐标方程为狉＝２ｓｉｎθ及狉＝４ｓｉｎθ，（０≤θ≤π）．于是
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·６８ · 高等数学（下册）
图７．３２
Ω
狔ｄσ＝∫π
０ｄθ∫
４ｓｉｎθ
２ｓｉｎθ狉２ｓｉｎθｄ狉
＝∫π
０
５６
３ｓｉｎ４θｄθ
＝１１２
３∫π２
０ｓｉｎ４θｄθ
＝１１２
３·４３·１２·π２＝７π
因此，狔＝７π３π＝７
３，所求重心是 ０，（ ）７３ ．
（３）平面薄片的转动惯量
设狓狅狔平面上有狀个质点，他们的质量分别为犿１，犿２，…，犿狀．第犻个质点位于
点（狓犻，狔犻）处．根据力学知识知道，该质点系对于狓轴以及对于狔 轴的转动惯量依
次为：
犐狓 ＝∑狀
犻＝１
狔２犻犿犻；犐狔 ＝∑
狀
犻＝１
狓２犻犿犻
对于位于狓狅狔平面上，密度为ρ（狓，狔）的平面薄板，假设它占有狓狅狔平面上的闭区
域犇，且ρ（狓，狔）在犇上连续．现在要求该薄片对于狓轴的转动惯量犐狓 以及对于狔轴
的转动惯量犐狔．
我们可以象上面求平面薄片的质心那样，在犇 上任取一个直径很小的闭区域Δσ．
进行同样的分析及近似代替，就可以写出薄片对于狓轴以及狔轴的转动惯量元素：
ｄ犐狓 ＝狔２
ρ（狓，狔）Δσ，ｄ犐狔 ＝狓２
ρ（狓，狔）Δσ．
以这些元素为被积表达式，在闭区域犇上积分，便有
犐狓 ＝犇
狔２
ρ（狓，狔）ｄσ，犐狔 ＝犇
狓２ρ（狓，狔）ｄσ （７．１６）
类似地，薄片对原点犗的转动惯量为
犐＝犇
（狔２＋狓
２）ρ（狓，狔）ｄσ （７．１７）
例７．１４ 求圆心在原点半径为犪的均匀薄片对坐标轴及原点的转动惯量．
解 设薄片密度为ρ（常数），采用极坐标得到三个转动惯量为
第七章 重 积 分 ·６９ ·
犐狓 ＝犇
狔２
ρｄσ
＝ρ∫２π
０ｄθ∫
犪
０狉２ｓｉｎ２θ狉ｄ狉
＝ρ∫２π
０ｓｉｎ２θｄθ∫
犪
０狉３ｄ狉
＝πρ犪
４
４＝１
４犕犪２
（其中犕 ＝π犪２
ρ为圆片质量）．
犐狔 ＝犇
狓２ρｄσ
＝ρ∫２π
０ｄθ∫
犪
０狉２ｃｏｓ２θ狉ｄ狉
＝ρ∫２π
０ｃｏｓ２θｄθ∫
犪
０狉３ｄ狉
＝１
４犕犪２
犐犗 ＝犇
（狓２＋狔２）ρｄσ
＝ρ∫２π
０ｄθ∫
犪
０狉狉２ｄ狉
＝１
２犕犪２
（或犐犗 ＝犐狓＋犐狔 ＝１
２犕犪２）
（４）平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片，占有狓狅狔 平面上的闭区域犇，在点（狓，狔）处的面密度为ρ（狓，
狔），假定ρ（狓，狔）在犇上连续．现在要求该薄片对位于狕轴上的点犕０（０，０，犪）（犪＞
０）处的单位质量的质点的引力．
我们还是利用元素法来分析：在犇 上任取一直径很小的闭区域Δσ（其面积也记作
Δσ），（狓，狔）是Δσ内的一个点．薄片中相应于Δσ部分的质量可看作集中在点（狓，狔）
处，近似等于ρ（狓，狔）Δσ．
由两质点间的引力公式可得出这部分薄片对该质点的引力为犌ρ（狓，狔）Δσ狉２
，方向与
｛狓，狔，０－犪｝一致，其中狉＝ 狓２＋狔２＋犪槡
２，犌为引力常数．于是薄片对该质点的引
力在三个坐标轴上的投影犉狓，犉狔，犉狕 的元素为：
ｄ犉狓 ＝犌ρ（狓，狔）狓Δσ狉３
ｄ犉狔 ＝犌ρ（狓，狔）狔Δσ狉３
ｄ犉狕 ＝犌ρ（狓，狔）（０－犪）Δσ
狉３
以这些元素为被积表达式，在闭区域犇上积分，便有
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·７０ · 高等数学（下册）
犉狓 ＝犌犇
ρ（狓，狔）狓
（狓２＋狔２＋犪
２）３２
ｄσ，
犉狔 ＝犌犇
ρ（狓，狔）狔（狓２＋狔
２＋犪
２）３２
ｄσ，
犉狕 ＝－犌犪犇
ρ（狓，狔）
（狓２＋狔２＋犪
２）３２
ｄσ
（７．１８）
例７．１５ 设在狓狅狔面上有一质量为犕的匀质半圆形薄片，占有平面区域：狓２＋狔
２≤
犚２，狔≥０，过圆心犗垂直于薄片的直线上有一质量为犿的质点犘，犗犘＝犪，求半圆形
薄片对质点犘的引力．
解 由对称性知 犉狓 ＝０ ρ＝２犕
π犚２
犉狔 ＝犿犌ρ犇
狔
（狓２＋狔２＋犪
２）３２
ｄσ，
＝犿犌ρ∫π
０ｄθ∫
犚
０
狉ｓｉｎθ·狉
（狉２＋犪２）
３２
ｄ狉，
＝２犿犌ρ －狉
狉２－犪槡２＋ｌｎ（狉＋ 狉２＋犪槡
２［ ］）犚
０
＝４犕犿犌
π犚２ ｌｎ
犚＋ 犚２＋犪槡２
犪－
犚
犚２＋犪槡［ ］２
犉狕 ＝犌ρ犿犇
－犪ｄσ
（狓２＋狔２＋犪
２）３２
，
＝－犪犌ρ犿∫π
０ｄθ∫
犚
０
狉
（狉２＋犪２）
３２
ｄ狉，
＝－犪π犌犿２犕
π犚２
１
犪－
１
犚２＋犪槡［ ］２
＝－２犕犌犿
犚２１－
犪
犚２＋犪槡（ ）２犉＝ ０，
４犕犌犿
π犚２ ｌｎ
犚＋ 犚２＋犪槡２
犪－
犚
犚２＋犪槡
烄
烆
烌
烎２，－２犕犌犿
犚２１－
犪
犚２－犪槡（ ）烅烄
烆烍烌
烎２
二、三重积分的应用
（１）空间立体的体积
空间闭区域Ω所围成的立体的体积犞 的计算，可以考虑定义在Ω上的三元函数
犳（狓，狔，狕）≡１在Ω上三重积分．由三重积分的定义可以得到，该体积为
犞 ＝犇
ｄ狓ｄ狔ｄ狕．
例如例７．７就是利用三重积分求体积的例子．
在例７．２中我们用二重积分求出了两个圆柱面：狓２＋狔２＝犪
２，狓２＋狕２＝犪
２相交部
分的体积．现在，我们用三重积分计算，请读者进行比较．
由该立体关于坐标面的对称性，只需计算第一卦限部分的体积犞１，然后再乘以８
第七章 重 积 分 ·７１ ·
即可．所求立体在第一卦限部分为一闭区域Ω１．
Ω１：０≤狕≤ 犪２－狓槡２，０≤狔≤ 犪２－狓槡
２，０≤狓≤犪，
所以
犞１ ＝Ω１
ｄ狏＝∫犪
０ｄ狓∫
犪２－狓槡 ２
０ｄ狔∫
犪２－狓槡 ２
０ｄ狕
＝∫犪
０ｄ狓∫
犪２－狓槡 ２
０狕
犪２－狓槡 ２
（ ）０
ｄ狔
＝∫犪
０ｄ狓∫
犪２－狓槡 ２
０犪２－狓槡
２ｄ狔
＝∫犪
０犪２－狓槡
２狔
犪２－狓槡 ２
（ ）０
ｄ狓
＝∫犪
０
（犪２－狓２）ｄ狓＝
２
３犪３
从而
犞 ＝８犞１ ＝１６
３犪３．
（２）物体的质量
在定义三重积分时已经指出：如果犳（狓，狔，狕）表示物体在点（狓，狔，狕）处的密度，
Ω是该物体所占有的空间区域，则该物体的质量犕 为：
犕 ＝Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狏 （７．１９）
例７．１６ 球心在原点，半径为犚的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到
球心的距离成正比，求这球体的质量．
解 由题意球体密度为
ρ（狓，狔，狕）＝犽 狓２＋狔２＋狕槡
２
设球体质量为犕，利用球面坐标得
犕 ＝Ω
ρ（狓，狔，狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕
＝∫２π
０ｄθ∫
π
０ｄφ∫
犚
０犽狉·狉２ｓｉｎφｄ狉
＝２π犽∫π
０ｓｉｎφｄφ∫
犚
０狉３ｄ狉＝犽π犚
４
（３）物体的质心
若函数ρ（狓，狔，狕）表示物体Ω的一点（狓，狔，狕）的密度，且ρ（狓，狔，狕）在Ω上连
续．把Ω分成狀个直径很小的小块：
Δ狏１，Δ狏２，…，Δ狏狀．
在Δ狏犻上任取一点（狓犻，狔犻，狕犻）则小块的质量可近似表示为
ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻．
这样我们就可以把整个物体看作是由狀个质点组成的质点系，由力学知，质点系的
质心的横坐标、纵坐标和竖坐标分别是
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·７２ · 高等数学（下册）
∑狀
犻＝１
狓犻ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
∑狀
犻＝１ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
∑狀
犻＝１
狔犻ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
∑狀
犻＝１ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
∑狀
犻＝１
狕犻ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
∑狀
犻＝１ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻
当Δ狏犻（犻＝１，２，…，狀）的最大直径趋于零时，我们很自然地取上面三个式子的极
限值作为物体Ω的质心坐标狓，狔，狕．于是
狓＝Ω
狓ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
Ω
ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
狔＝Ω
狔ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
Ω
ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
狕＝Ω
狕ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
Ω
ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
（７．２０）
因为它们的分母都是物体Ω的质量，所以可以简写为
狓＝１
犕Ω
狓ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
狔＝１
犕Ω
狔ρ（狓，狔，狕）ｄ狏
狕＝１
犕Ω
狕ρ（狓，狔，狕）ｄ
烅
烄
烆狏
（７．２１）
其中犕 ＝Ω
ρ（狓，狔，狕）ｄ狏表示物体Ω的质量．
例７．１７ 求密度为１的均匀半球体Ω：狓２＋狔
２＋狕
２≤犪
２，狕≥０的质心．
解 因为半球Ω对于狔狅狕，狓狅狕平面是对称的，所以狓，狔为零．为了计算狕用柱面
坐标替换
狓＝狉ｃｏｓθ，狔＝狉ｓｉｎθ，狕＝狕
则 Ω
狕ｄ狏＝∫２π
０ｄθ∫
犪
０狕ｄ狕∫
犪２－狕槡 ２
０狉ｄ狉
第七章 重 积 分 ·７３ ·
＝２π∫犪
０
犪２－狕２
２狕ｄ狕
＝π犪２狕２
２－狕４［ ］４
犪
０
＝１
４π犪
４
因为半球体的质量犕 ＝２
３π犪
３，所以狕＝３
８犪，则物体的重心为 ０，０，
３
８（ ）犪 ．
说明：在特殊情况下，如果物体是均匀的，也就是说，密度ρ是一个常数，则犕＝
ρ犞，其中犞 代表物体Ω的体积，而求重心的公式简化为
狓＝１
犞Ω
狓ｄ狏，狔＝１
犞Ω
狔ｄ狏，狕＝１
犞Ω
狕ｄ狏 （７．２２）
（４）物体的转动惯量
在讨论物体Ω的转动惯量时，我们像前面所做过的那样，把物体Ω近似地看作是狀
个质点组成的质点系，这个质点系对狓狅狔平面的转动惯量是
∑狀
犻＝１
狕２犻ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻，
对于狓轴的转动惯量是
∑狀
犻＝１
（狔２犻 ＋狕
２犻）ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻，
对于原点犗的转动惯量是
∑狀
犻＝１
（狓２犻 ＋狔２犻 ＋狕
２犻）ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻，
取极限后，便得到给定物体Ω对于狓狅狔平面，对于狓轴以及对于原点犗 的转动惯
量，分别是
犐狓犗狔 ＝Ω
狕２ρ（狓，狔，狕）ｄ狏，
犐狓 ＝Ω
（狔２＋狕
２）ρ（狓，狔，狕）ｄ狏，
犐犗 ＝Ω
（狓２＋狔２＋狕
２）ρ（狓，狔，狕）ｄ狏，
（７．２３）
物体对于狓狅狕平面，狔狅狕平面以及对于狔轴，狕轴的转动惯量与此类似．
例７．１８ 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴犾的转动惯量．
解 取球心为坐标原点，狕轴与轴犾重合，又设球的半径为犪，则球体所占空间闭
区域Ω可用不等式
Ω＝ ｛（狓，狔，狕）狘狓２＋狔
２＋狕
２≤犪
２｝．
来表示．
所求转动惯量即球体对于狕轴的转动惯量犐狕 为
犐狕 ＝Ω
（狓２＋狔２）ρｄ狏
＝ρΩ
（狉２ｓｉｎ２φｃｏｓ２θ＋狉
２ｓｉｎ２φｓｉｎ２θ）狉
２ｓｉｎφｄ狉ｄφｄθ
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·７４ · 高等数学（下册）
＝ρΩ
狉４ｓｉｎ３φｄ狉ｄφｄθ＝ρ∫２π
０ｄθ∫
π
０ｓｉｎ３φｄφ∫
犪
０狉４ｄ狉
＝ρ·２π·犪５
５∫π
０ｓｉｎ３φｄφ＝
２
５π犪
５
ρ·４
３＝２
５犪２犕
其中犕 ＝４
３π犪
３
ρ为球体的质量．
（５）物体的引力
设有一物体，占有空间闭区域Ω，在点（狓，狔，狕）处的密度为ρ（狓，狔，狕），假定
ρ（狓，狔，狕）在Ω上连续，现在要计算该物体对位于其外部一点犕０（狓０，狔０，狕０）处的质
量为犿的质点的引力．
我们像前面那样，把物体近似地看作是由狀个质点组成的质点系，这个质点系对质
点犕 的引力为∑狀
犻＝１
Δ犉犻．它在三个坐标轴上的分量为
犌犿∑狀
犻＝１
狓犻－狓０狉３犻
ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻，
犌犿∑狀
犻＝１
狔犻－狔０狉３犻
ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻，
犌犿∑狀
犻＝１
狕犻－狕０狉３犻ρ（狓犻，狔犻，狕犻）Δ狏犻．
取极限后，得到引力→犉在三个坐标轴上的分量
犉犡 ＝犌犿Ω
狕－狕０狉３ ρ
（狓，狔，狕）ｄ狏，
犉犢 ＝犌犿Ω
狔－狔０狉３ ρ
（狓，狔，狕）ｄ狏，
犉犣 ＝犌犿Ω
狕－狕０狉３ ρ
（狓，狔，狕）ｄ狏． （７．２４）
其中犌为引力常数．
例７．１９ 求半径为犚的匀质球：狓２＋狔２＋狕
２≤犚
２对于位于犕０（０，０，犪）（犪＞犚）
处的单位质量的质点的引力．
解 设球的密度为ρ，由球体的对称性可知犉狓 ＝犉狔 ＝０．而
犉狕 ＝Ω
犌ρ狕－犪
［狓２＋狔２＋（狕－犪）
２］３２
ｄ狏
＝犌ρ∫犚
－犚
（狕－犪）ｄ狕 狓２＋狔２≤犚２－狕２
ｄ狓ｄ狔
［狓２＋狔２＋（狕－犪）
２］３２
＝犌ρ∫犚
－犚
（狕－犪）ｄ狕∫２π
０ｄθ∫
犚２－狕槡 ２
０ｄθ
狉ｄ狉
［狉２＋（狕－犪）２］
３２
＝２π犌ρ∫犚
－犚
（狕－犪）（１
犪－狕－
１
犚２－２犪狕＋犪槡２）ｄ狕
＝２π犌ρ［－２犚＋１
犪∫犚
－犚
（狕－犪）ｄ 犚２－２犪狕＋犪槡２］
第七章 重 积 分 ·７５ ·
＝２π犌ρ［－２犚＋２犚－２犚３
３犪２］
＝－犌·４π犚
３
３ ρ·１犪２
＝－犌犕
犪２
其中犕 ＝犌·４π犚
３
３ ρ为此球的质量．
习题７．５
１．求球面狓２＋狔２＋狕
２＝犪
２ 含在圆柱面狓２＋狔２＝犪狓内部的那部分的面积．
２．求锥面狕＝ 狓２＋狔槡２ 被柱面狕２ ＝２狓所割下部分的曲面面积．
３．求底圆半径相等的两个直交圆柱面狓２＋狔２＝犚
２ 及狓２＋狕２＝犚
２ 所围立体的表
面积．
４．设薄片所占的闭区域犇如下，求均匀薄片的重心：
（１）犇由狔＝ ２狆槡 狓，狓＝狓０，狔＝０所围成；
（２）犇是介于两个圆狉＝犪ｃｏｓθ，狉＝犫ｃｏｓθ，（０＜犪＜犫）之间的闭区域．
５．设平面薄片所占的闭区域犇是由抛物线狔＝狓２及直线狔＝狓所围成，它在点（狓，
狔）处的面密度ρ（狓，狔）＝狓２狔，求该薄片的重心．
６．求圆形薄片狓２＋狔２≤犪
２ 的重心，其各点的密度与该点到犃（犪，０）点的距离成
比例．
７．设均匀薄片（面密度ρ＝１）所占闭区域犇如下，求指定的转动惯量．
（１）犇：狓２
犪２＋狔２
犫２≤１，求犐狔；
（２）犇由抛物线狔２＝９
２狓与直线狓＝２所围成，求犐狓 和犐狔；
（３）犇由（狓－犪）２＋（狔－犪）
２＝犪
２，狓＝０，狔＝０（０≤狓≤犪）所围成，求犐狓 和犐狔．
８．求以犪为边的正三角形的面积对于通过三角形重心并与它的高成α角的直线的转
动惯量．
９．利用三重积分求下列曲面所围立体的重心．（设密度ρ＝１）：
（１）狕＝１－ 狓２＋狔槡２，狕＝０；
（２）狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２，狕＝０；
（３）狕＝ 犃２－狓２－狔槡
２，狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２，（犃＞犪＞０），狕＝０．
１０．球体狓２＋狔２＋狕
２≤２犚狕内，任一点的体密度等于该点到坐标原点的距离的平
方，试求这球体的重心．
１１．求狕＝ 犪２－狓２－狔槡
２ 及狕＝０所围成的上半球体对狓狅狔 平面的转动惯量
（ρ＝０）．
１２．求由曲面狕＝狓２＋狔
２，狓＋狔＝±１，狓－狔＝±１，狕＝０所围均匀物体对狕轴
的转动惯量（ρ＝１）．
１３．求半径为犪，高为犺的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（ρ＝１）．
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·７６ · 高等数学（下册）
１４．求均匀柱体：狓２＋狔２≤犚
２，０≤狕≤犺对于位于点犕０（０，０，犪）（犪＞犺）处的
单位质量的质点的引力．
总 习 题 七
１．利用二重积分的性质估计下列积分的值：
（１）犇
（狓２＋４狔２＋９）
１４ｄσ，其中犇是狓
２＋狔
２≤４；
（２）犇
（狓３＋狔３－３狓狔）ｄσ，犇：０≤狓≤２，－１≤狔≤２；
（３）犇
犲－狓２－狔２
ｄσ，犇：狓２＋狔
２≤１．
２．设犳（狓，狔）在有界闭区域犇上连续，证明
犇
犳（狓，狔）ｄσ ≤犇
狘犳（狓，狔）狘ｄσ．
３．改变下列二次积分次序：
（１）∫１
０ｄ狓∫
狓２
狓３犳（狓，狔）ｄ狔；
（２）∫１
０ｄ狓∫
狓２
０犳（狓，狔）ｄ狔＋∫
３
１ｄ狓∫
１２（３－狓）
０犳（狓，狔）ｄ狔；
（３）∫２犪
０ｄ狓∫
２槡犪狓
２犪狓－狓槡 ２犳（狓，狔）ｄ狔．
４．计算由四个平面狓＝０，狓＝１，狔＝１，所围成的柱体被平面狕＝０及２狓＋３狔＋
狕＝６截得的立体的体积．
５．求由平面狓＝０，狔＝０，狓＋狔＝１所围成的柱体被平面狕＝０及抛物面狓２＋狔
２＝
６－狕截得的立体的体积．
６．将二重积分犳（狓，狔）犇ｄ狓ｄ狔化为极坐标下的二次积分，其中犇由０≤狓≤１，０≤狔≤１－狓所确定．
７．计算犇
（狓２＋狔２）ｄ狓ｄ狔，其中犇是狔＝狓，狔＝狓＋犪，狔＝犪和狔＝３犪（犪＞０）为
边的平行四边形．
８．计算犇
ｓｉｎ 狓２＋狔槡２ｄ狓ｄ狔，犇：π
２≤狓
２＋狔
２≤４π
２．
９．证明∫犫
犪ｄ狓∫
狓
犪犳（狔）ｄ狔＝∫
犫
犪犳（狓）（犫－狓）ｄ狓，已知犳（狓）在［犪，犫］上连续．
１０．求由平面狔＝０，狔＝犽狓（犽＞０），狕＝０以及球心在原点，半径为犚的上半球
面所围成的在第一卦限内的立体的体积．
１１．化三重积分犐＝Ω
犳（狓，狔，狕）ｄ狓ｄ狔ｄ狕为三次积分，其中积分区域Ω分别是：
（１）由曲面犮狕＝狓狔（犮＞０），狓２
犪２＋狔２
犫２＝１，狕＝０所围成的在第一卦限内的闭区域；
第七章 重 积 分 ·７７ ·
（２）由曲面狕＝狓２＋狔
２，狔＝狓２ 及平面狔＝１，狕＝０，所围成的闭区域．
１２．计算犐＝犇
狓（狔－狕）ｄ狏，其中Ω：０≤狓≤２，０≤狔≤１，－２≤狕≤２．
１３．计算犐＝犇
狕ｄ狏．其中Ω为狓２＋狔
２＋狕
２≤１及狕≥０所确定．
１４．用柱面坐标计算犇
狔（１－狓２）ｄ狏，其中Ω是由狔＝－ １－狓
２－狕槡
２，狓２＋狔２＝１
及狔＝１所围成．
１５．计算Ω
（狓＋狕）ｄ狏，其中Ω为曲面狕＝ 狓２＋狔槡２ 及狕＝ １－狓
２－狔槡
２ 所围成的
闭区域．
１６．计算Ω
狓犲狓２＋狔２＋狕２
犪２ ｄ狏，其中Ω为狓
２＋狔
２＋狕
２≤犪
２ 在第一卦限的部分．
１７．计算Ω
１
狓２＋狔２＋狕槡
２ｄ狏，其中Ω：狓
２＋狔
２＋狕
２≤２狕．
１８．求狓２＋狔２＋狕
２＝犪
２ 在两圆柱面狓２＋狔２＝±犪狓外的那部分面积．
１９．求螺旋面
狓＝狉ｃｏｓφ
狔＝狉ｓｉｎφ
狕＝犺
烅
烄
烆 φ
０≤狉≤犪 ０≤φ≤２π的面积．
２０．求下列均匀密度的平面薄片的重心：
（１）半椭圆狓２
犪２＋狔２
犫２≤１，狔≥０；
（２）高为犺，底分别为犪和犫的等腰梯形．
２１．求下列均匀密度物体的重心：
（１）狕≤１－狓２－狔
２，狕≥０；
（２）由坐标面及平面狓＋２狔－狕＝１所围的四面体．
２２．求下列均匀密度的平面薄片的转动惯量：
（１）半径为犚的圆关于其切线的转动惯量；
（２）边长为犪和犫，且夹角为φ的平行四边形，关于底边犫的转动惯量．
２３．求边长为犪密度均匀的立方体，关于其任一棱边的转动惯性．
２４．设球体狓２＋狔２＋狕
２≤２狓的密度等于它到坐标原点的距离，求这球体的质量．
２５．计算下列吸引力：
（１）均匀薄片狓２＋狔２≤犚
２，狕＝０对于轴上一点（０，０，犮）（犮＞０）处的单位质量的
吸引力；
（２）均匀柱体狓２＋狔２≤犪
２，０≤狕≤犺对于犘（０，０，犮）（犮＞犺）处的单位质量的吸
引力．
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