新世纪（版）数学教材分析新世纪（版）数学教材分析

与教学案例与教学案例

南京师范大学数学与计算机科学学院顾继玲

gujiling@njnu.edu.cn

一、我们的特色与变化二、如何整体把握教材三、有关教学 1. 问题情境的创设 2. 教材的使用四、我们的资源

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化

“ 棱角分明、特色突出”

“ 这套教材是真正站在学生的角度考虑的”

“ 是一套体现学习数学价值的教材”

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

1. 教材的体系——“混编”的方式 混编的优点： (1) 关注不同数学内容之间的联系，即突出数与

代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，体现数学的整体性。展示使用不同领域的数学知识去表达与思考同一研究对象、以及综合运用多种数学知识解决问题的过程，以提高学生综合运用数学知识的能力、发展良好的数学观．

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

(2) 引起学生的学习兴趣，丰富学生的思维方式，培养每一位学生数学学习的自信心。

交替展现，不固化思维，同时可能将一些枯燥的学习内容分散。如几何证明，代数运算。

( 混编的缺点，如何克服？ )

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

2. 逐步渗透重要的数学思想方法 教材采用由浅入深、逐级递进、螺旋上升的方式逐步渗透重要的数学思想方法，如符号感、函数思想、统计意识、推理能力、空间观念等．为此，在每一册的“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等学习领域中，学生们都将有机会感受、应用与领悟相关的数学思想方法．

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

3. 力图体现“问题情境—数学模型—解释、拓广与应用”的模式

七上 第五章 一元一次方程 第 1 节 你今年几岁了 第 2 节 解方程 第 3 节  日历中的方程 第 4 节   我变胖了 第 5 节   打折销售 第 6 节 “希望工程”义演 第 7 节 能追上小明吗 第 8 节 教育储蓄

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

教材的体例——问题情境（以学生自身和周围环境中的现象、以自然、社会与其他学科中的问题为知识学习的切入点．突出数学与现实世界、与其它学科之间的联系，使学生感受到数学的现实意义和应用价值）

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

问题串（设立有层次的问题）── 活动（探究问题 : 练一练、想一想、议一议）── 思考与整理（对探究过程与结果的思考）── 表达 （学生用自己的语言表达结果）—— 明晰 （重要的结论、术语、概念、法则，采用不同

方式） —— 例题（随各部分的特点而定）—— 随堂练习—— 阅读材料（每章至少有一个”读一读”栏目）—— 作业（ * ）

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

回顾与思考：不采用“呈现”的方式，而是通过问题的形式，以帮助学生通过思考与交流，去梳理所学的知识、建立符合个体认知特点的知识结构．

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

4. 教科书呈现了大量丰富的具有现实意义和数学意义的、具有挑战性的、具有一定趣味性的素材或问题情境。

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

教学需要情境的支撑——案例 1 ： 为了研究比较大的数如指数的位数时，可以

选取“ 2 的 24 次方是几位数？”这样的问题，但如果直接呈现上述问题，学生对此并不关心。而换一个提法，效果就大不一样。

“ 某人听到一则谣言后 1小时内传给 2人，此 2人在 1小时内每人又分别传给 2人，…如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？”

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

案例 2 ： “已知两个同心圆的半径，求圆环面积。”—— 这是每个学生都能解的问题。 而把问题换一种提法： “ 用比地球赤道长 1米的绳子给地球加个圈，

在地球与绳子之间必然存在一定的缝隙，这个缝隙中能够放进一个拳头吗？缝隙的面积有多大？有人估计大不了多少（地球赤道的周长约为 4万千米），可是有人估计缝隙的面积比你们学校大多了，你的意见呢？”

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

案例 3 ：问法 1 ：计算图中的阴影面积。

问法 2 ：“图中有 4 个量——两个小圆半径、，大圆半径R，以及两个小圆的公切线在大圆内的长 l，为了计算阴影面积，这 4 个量中至少要测量几个？”

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————教材的主要特点教材的主要特点

5.满足多样化的学习需求 教材在保证基本要求的同时，也为有更多数学学习需求的学生提供了有效的途径．

“ 开放性的问题或问题串”： “ 读一读” 栏目： 教材中的习题分类：

七上：第 1章 丰富的图形世界第 2章 有理数及其运算第 3章 字母表示数第 4章 平面图形及其位置关系第 5章 一元一次方程第 6章 生活中的数据第 7章 可能性课题学习 制作一个尽可能大的无盖长方体形纸盒

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化————各册目录各册目录

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七下：第 1章 整式的运算第 2章 平行线与相交线第 3章 生活中的数据课题学习 制作人口图第 4章 概率第 5章 三角形第 6章 变量之间的关系第 7章 生活中的轴对称

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八上：第 1章 勾股定理第 2章 实数第 3章 图形的平移与旋转

第 4章 四边形性质探索 课题学习 平面图形的镶嵌 第 5章 位置的确定 第 6章 一次函数 第 7章 二元一次方程组 第 8章 数据的代表

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八下：第 1章 一元一次不等式（组）第 2章 分解因式第 3章 分式第 4章 相似图形课题学习 制作视力表第 5章 数据的收集与整理课题学习 吸烟的危害第 6章 证明（一）

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九上：第 1章 证明（二）第 2章 一元二次方程第 3章 证明（三）第 4章 投影与视图第 5章 反比例函数课题学习 猜想、证明与拓广第 6章 频率与概率

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九下：第1章 直角三角形的边角关系

第 2章 二次函数 课题学习 拱桥设计 第 3章 圆 课题学习 设计遮阳蓬 第 4章 统计与概率

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

六年使用 ,五轮修订 坚持新世纪（版）初中数学教材的基本体例，

突出其对发展学生探究能力、推理能力的促进作用；继续呈现数学与学生现实的联系，以利于提高学生解决问题的能力，全方位地感受数学的价值；深化各主要学习主题的内涵，并改进相关的呈现方式，以利于教师更好地使用教材帮助学生理解数学。

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

进一步开发素材，精致化问题情境，进一步清晰数学化过程；

进一步充分挖掘原有情境的价值，替换或去掉那些学生不熟悉的情境等 ;

继续坚持突出学生探究过程 , 如对“问题串”的层次性进一步深入考虑，对“议一议”、“想一想”等栏目中问题的提法重新进行考虑等。

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

具体地：数与代数 1 、进一步突出代数思维的特点，突出符号的作

用，突出数学模型思想。如运算中的推理等。2 、继续突出函数主线，突出函数、代数式、方

程、不等式之间的联系。3 、继续突出代数的四种表示（语言、符号、表

格、图象）之间的联系。4 、依据《课程标准》的要求，教材将增加或删

减一些内容，对有些内容作适当整合。

增加： 最简二次根式、二次方程根与系数的关系、根

的判别式、三元一次方程组删减： 大数的感受、有效数字、不等式组的应用等。整合： 合并同类项与整式的加减、科学记数法、近似

数和有理数

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

空间与图形1 、对现有教材中关于几何图形性质的探

索和证明这部分内容的处理进行适当的调整。

平行线和三角形：探索和证明分两阶段进行

四边形：探索和证明整合（八上起）

2 、增加一些几何证明问题的例题，以利于学生更好地发展书面表达证明过程的能力。

3 、依据《课程标准》的要求，对相关的内容进行调整，如对圆、相似形、视图等内容作相应的增加和删减。

圆： (1) 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 (2) 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。

（ 3 ）探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 相似形： （ 1 ）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比

例。 （ 2 ）探索并证明相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。

视图：先投影后视图

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

统计与概率1 、对在小学阶段已经学过的内容作必要的整合，如认识

大数、条形统计图、折线统计图、扇形统计图，感知随机事件、感知随机事件发生的可能性大小等。

2 、对过去相对重复的内容，进行进一步的整合。如随机事件，从随机事件的可能性有大有小，到频率的稳定性、概率的意义，将在同一章明确这几个层次；以后，将通过概率模型的变化来巩固和发展学生的随机观念。

3 、按照《课程标准》的要求，对概率和统计内容做必要的调整。

5 章内容分散到 5册第一章 数据的收集与表示第 1节 普查与抽样调查 第 2节 数据表示 第二章 概率第 1节 感受随机事件 第 2节 频率与概率 第 3节 摸球中的概率 第 4节 几何概率

第三章 数据的代表与数据的波动三节内容：平均数、中位数与众数、数据的波动。

第四章 频率与概率第 1 节 数字和为 3 的概率 第 2 节 投针实验 第 3 节 生日相同的概率 第五章 统计与概率三节内容： 50 年的变化、哪种方式更合算、游

戏公平吗

一、我们的特色与变化一、我们的特色与变化——修订思路——修订思路

课题学习原来的特点：现实性、活动性、综合性、探索性、过程性。

深化探索性（问题提出、数学理解），增加

选择性（内容、题材、形式）。关于呈现形式——细化、问题串，或者一个

概括性问题？

二、如何整体把握教材二、如何整体把握教材 一、数与代数 过去数与代数给人们的印象更多的是： 内容庞杂、枯燥，充斥着大量烦琐的运算（形

式推演），而缺乏实际的应用价值；过 于形式化。 实际状况是：数与代数领域与现实生活联系密切，包含着许多有用的现实模型。

教科书对数的处理思路： 关于有理数和实数，从数学的发展进程来

看，它们最初出现的主要原因并不是因为“扩充运算”的需要，更多的还是由于对实际现象（事物）的“表示”需要。这一点应当在学生认识它们的过程中得到反映。因此，对于有理数和实数的引入就采用了：产生的实际背景——数的意义——数的表示的线索。对于数的运算，则让学生借助已有的相关知识和经验，通过归纳、类比等活动去获得有关的运算法则和运算律。这样的处理，既便于学生的学习，又有益于发展其一般数学能力，促进数学思考和解决问题目标的实现。

案例：无理数的引入（八上）活动 1 ：数怎么又不够用了 有两个边长为 1 的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

(1) 设大正方形的边长为 a， a满足什么条件？

(2) a可能是整数吗？说说你的理由(3) a可能是以 2 为分母的分数吗？可能是以 3 为分母的分数吗？说说你的理由 .

(4) a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流．

活动 2 ：面积为 2 的正方形的边长 a究竟是多少呢？

（ 1 ）如上图， 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。

（ 2 ）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。

（ 3 ）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？

边长 a 面积 S

1<a<2 1<S<4

1.4<a<1.5 1.96<S<2.25

1.41<a<1.42 1.988 1<S<2.016 4

1.414<a<1.415 1.999 396<S<2.002 225

1.4142<a<1.4143 1.999 961 64<S<2.000 224 49

还可以继续算下去吗？ a可能是有限小数吗？

问题讨论 :

1. 数及其运算与过去相比有哪些改变 ?

（ 1 ）对于新数的引入和相关运算法则、运算规律的获得，强调学生的自主探索

（ 2 ）重视在现实背景中对运算的意义理解和运算的应用

（ 3 ）对于运算工具，鼓励使用计算器进行有关繁难的计算和近似计算

（ 4 ）继续关注运算技能的培养，但对于笔算难度和速度的要求有所降低

（ 5 ）对于运算的方法，鼓励算法多样化

算法多样化 = 一题多解 ?

个性化学习的尊重 ;

重要的课程资源 ;

了解学生 ,因材施教。

案例：哪个方法好？ 这是二元一次方程组的一节应用课。在学生自主选择方法解决了我国古典名题《鸡兔同笼》（学生可以分别用小学算术方法、一元一次方程和本章刚刚学习的二元一次方程组求解），老师提请学生思考这些方法的繁简程度和相互间的关系后，教师进一步呈现了下面的问题，要求学生自主选择方法解决：

“今有牛五，羊二，直金十两。牛二，羊五，直金八两。牛羊各直金几何？”

在其后学生的汇报中，发现几乎所有学生都能列二元一次方程，部分学生列的是一元一次方程，而只有几个学生用小学的算术方法获得答案。

下面是部分学生对几种方法的评价： 生 1 ：小学的方法比较巧妙，我很佩服这个同学。但方程方法比较扎实。 生 2 ：小学的方法没有什么了不起，只是方程方法的解答过程…… 生 3 ：二元一次方程组的方法最基本，列一个未知数只是将一个条件先用掉了。

生 4 ：二元一次方程组的方法最简单，但它的步骤多了些。实际上，没有一个绝对好的方法。

教学处理中注意 :一是重视学生之间和师生之间的交流。 二是防止“过度”算法多样化。

（ 6 ）对于运算结果的获得，在重视原有的精确计算的基础上，加强了估算

2 ．教学中怎样把握好运算的“度”？对基本运算技能的培养 : 多种方式教材对运算的处理 : 逐步完善，学段目标计算器的使用 : 时间把握，防止产生依赖心理

教科书对式的处理思路： 代数是表示、交流与解决问题的工具。关于代数式的运算（含因式分解），则力图突出运算的含义、几何背景、运算原理和作为工具的意义——解决问题的需要。淡化为运算而运算的思路，消除“代数运算就是符号游戏”的看法。

进一步，计算机（器）的介入，又使得复杂的代数运算可以借助机器去完成，因此，代数内容的重心就从关注计算转向关注模型、表示与计算。

案例： “代数式” 的开始课，我们可以采用两种不同的教学方式：

方式一： 1.  回忆学生以前曾经学过的许多数学公式；  2. 给出代数式的定义（含义）、有关概念的说

明； 3. 例题讲解、练习巩固。

方式二：  1.设置具有挑战性的问题情境或有趣的游戏，学生在解决问题的过程中必须接触到“代数式”；

  2.回忆一些具有共同特征的典型实例；  3. 提出若干供学生思考、交流的问题，帮助学生通过归纳、概括等活动了解“代数式”的含义；

  4.给出代数式的含义与相关概念。

符号意识：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。

法国的“小九九” 法国的“小九九”从“一一得一”到

“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．

下面两个图框是用法国“小九九”计算 7×8 和 8×9 的两个示例．

（ 1 ）用法国“小九九” 计算 7×9 ，左、右手依次伸出手指的个数是多少？你是怎么得到的？

（ 2 ）你能说出其中的道理吗？7×8= ？

右手左手

∵两手伸出的手指数的和为 5,

未伸出的手指数的积为 6 ，∴7×8=56 ．（ 7×8=10×(2+3)+3×2=56 ）

8×9= ？

右手

∵两手伸出的手指数的和为 7,

未伸出的手指数的积为 2 ，∴8×9=72 ．（ 8×9=10×(3+4)+2×1=72 ）

左手

教科书对于方程的处理思路：循序渐进 以“问题情景 ---数学模型 ---解释拓广与

应用”的模式展开教学。

关注问题情境的多样性，注意了题材的现实性、科学性和趣味性

将方程技能的训练贯穿于问题解决之中方程应用中避免题型化

问题讨论 :1. 方程学习的重点是什么 ?

方程观念 ?

体现模型化思想 , 体现方程的应用 ,强调利用多种方法寻求方程的解 (精确解或近似解 )

2. 运用方程解决实际问题是否要分类 ?

教科书对于不等式的处理思路：与方程类似

教科书对于函数的处理思路：作为“变化过程中变量之间关系”的数学模型。采用“注重背景、及早渗透、关注联系，推迟形式化”思路本套教科书对函数的学习是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计的：

七上《字母表示数》 七下《变量之间的关系》 八上《一次函数 》 九上《反比例函数》 九下《二次函数》

为什么？循序渐进地展开有关知识技能、思想方法的学习，

是数学学科发展的必要要求。 循序渐进地展开有关知识技能、思想方法的学习，也顺应了学生的认识规律。 《标准》也为循序渐进地展开有关知识技能、思想

方法的学习提供了可能。

现在的效果如何？ 青岛六十三中学王绪峰老师认为：循序渐进地安排教

学内容，确实大大促进了学生各种能力的提高。在八（上）一次函数一章讲完后，该校对学生进行了一次单元测试，初二年级共 560人参加测试，合格人数为453人，其中优秀人数为 232人。该校初三的老师看到题目后也拿去检测，结果成绩触目惊心：检测了两个班 108 人，合格人数为 44，其中优秀人数为 18 人，优秀率与合格率都低于初二年级。通过试卷分析发现，对于解决生活中的实际问题，初三学生感到无从下手，很难建立相应的函数模型，而相对而言，初二学生的建模能力和函数观念明显强于初三的学生。

二、空间与图形 最基本目标发生显著变化：

发展学生的逻辑论证能力——发展学生的空间观念

空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；能够想象出空间物体的方位和相互之间的位置关系；依据语言描述画出图形等。

图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明

为什么要将几何拓展为“空间与图形”（过去对几何及其教学目标的认识）

为什么将“空间与图形”分成四个方面（四条主线）（过去主线内容上关注图形的复杂程度、方法上主要是逻辑证明，因而系统性和逻辑证明是过去几何教学的主旋律 -----课程标准认识图形重要、认识图形的方法也十分重要、而且方法是多样的）

图形性质部分的处理方式——先空间，后平面；先探索，后证明

图形与坐标部分的处理方式—— “确定物体位置的活动——确定物体位置的不

同方法——坐标系——解决问题”

图形与变换部分的处理方式——关注生活中的变换现象，将变换作为认识图形的一种方法，而变换本身所具有的性质则不作为学习的重点

图形与证明部分的思路与处理： 对于证明学习的铺垫数学证明的学习包含两个不同的方面：理解逻辑关系和形

式化表达逻辑关系。其中，理解逻辑关系是核心，而且它有一个发展的过程；表达则是形式、对它的掌握有一种抽象的要求。为此，我们让学生在探索图形性质的活动中就从事“推理”活动，即首先关注对逻辑关系的理解，而对于因果关系的表达形式，则采用符合学生认知水平的处理方式，作一些铺垫——鼓励学生使用具体的、形象化的自然语言或图像（箭头、具体图形）表达相应的逻辑关系，规范的形式化证明则稍后进行。

证明学习的重点证明学习的重点不是特定的证明技巧。我们关注的是对证明必要性的感受——意识到为什么需要证明；对证明基本过程的理解——知道证明一个结论需要做哪些工作；对基本证明方法的掌握——能够运用基本的方法证明一些结论。

展开的线索 在探索图形性质的过程中采用“说理”的方式处理一些步数较少的推理问题，通过提供几个方面的实例，说明证明的必要性以及证明中需要使用的数学语言、符号；

形式化证明：以需要证明的对象为标准分类，处理“标准”上的命题。

三、 统计与概率学习目标：统计观念和随机观念

统计观念的外在表现主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有

关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑。简单地说，统计观念是统计意识、统计技能和统计评判质疑能力的统一体。三者之间的关系

统计有关知识与教科书的设计思路加强统计全过程的教学注重教学素材及其呈现方式的多样化关注学生对知识的意义理解与应用

随机观念的外在表现和层次学生对随机观念的认识表现为两个层面：对随机

现象本体的认识和应用随机观念解释自然、社会现象、解决实际问题的一种行为主动性或者说一种主动的应用意识。

对随机现象本体认识的几个层次：（ 1 ）理解确定事件和不确定事件的基本概念，能够辨别一个事件是否是确定事件。

（ 2 ）粗略地感知某一事件发生的可能性。 （ 3 ）用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性。

（ 4 ）理解某一事件发生的实验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的。

（ 5 ）理解模拟实验或随机抽样结果的随机性。

义务教育阶段有关概率模型 第 1类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；

第 2类问题虽然存在理论概率，但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的学力范围；

第 3类问题则是简单的古典概型，理论上很容易求出其概率。

（ 1 ）等可能样本空间中基本事件发生的概率。 （ 2 ）等可能样本空间中复杂事件发生的概率。 （ 3 ）涉及两步或两步以上实验的事件发生的概率。

问题讨论 :

概率试验有什么作用 ?1.通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特

点。2.通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率。

3.通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识。

四、课题学习 “ 实践和综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的，具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。

问题讨论 : 课题学习好考查吗 ? 如何考查 ?用背景素材或用学习过程(青岛 2004) 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图①所示）：

（ 1 ）在测点 A 处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角∠MCE =α ；

（ 2 ）量出测点 A 到旗杆底部 N 的水平距离 AN = m ；（ 3 ）量出测倾器的高度 AC = h．根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．

如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图②）的方案：

（ 1 ）在图②中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当字母）；

（ 2 ）写出你设计的方案．

三、有关教学——有关问题情境的三、有关教学——有关问题情境的创设创设

数学问题情境教学的理论依据是什么？ （ 1 ）数学问题情境教学能够反映数学与

生活的联系（ 2 ）数学问题情境教学能够体现数学化

的过程（ 3 ）数学问题情境教学能够增强学生数

学应用的意识

人们争议的焦点是什么？（ 1 ）教学中有必要创设那么多的问题情

境吗（ 2 ）生活化的问题情境是否会削弱数学（ 3 ）什么才是好的数学问题情境

情境创新的途径：对教科书中的情境的改造应用和对学生现实生活的挖掘。

而对教科书中的情境的改造应用，可以从这样几个方面入手：

（ 1 ）根据原有情境的意义，选择一个类似的替代情境。（ 2 ）对教科书中的一些原有的问题加以挖掘加工，如

对某些教学素材赋予一定的现实背景，将其情境化。（ 3 ）将多个情境进行必要的整合。

案例：平面直角坐标系（一）北师大版数学教材八年级上册第五章第二节

问题情境： 秋天到了，紧张的期中考试也已经走了，金黄的落叶洒在地上，让我们有种想出去与大自然亲近的感觉，现在我们就到风景美丽的中山陵风景区，去闻一闻秋天的味道 . 给出中山陵风景区地图，对于那么多景点，不同组的同学怎样说明自己现在的位置呢？以发生在学生身边的事情作为切入点，引入新课，让学生切实体会数学来源于实际生活，并且问题的解决也需要通过数学 .对于如何确定位置，不同的学生事先作出的约定可能不同，即使相同，给出的数据方案也未必相同 .在激烈的冲突中，引入新知识平面直角坐标系的概念 .从而引导学生学习，让学生体会到平面直角坐标系是很自然的而且不可避免 .

秋天到了 ,你看 ,多美的风景呀！紧张的期中考试结束了，想出去闻一闻秋天的味道吗 ?

猜猜这是哪 ?

– 想去中山陵玩吗 ?那么我们就去中山陵去呼吸秋天的味道 .

那我们现在就出发到中山陵风景区 ,全班同学自由分成三个小组 ,每组同学从不同的地方 , 最终要在 11 点整到中山陵顶集合 .

在大家赶往中山陵的过程中 , 小明和小亮这两个好朋友被分在了不同组 , 中途，老师到达后用手机询问各小组进程 .

我现在在中山陵 . 你们现在的位置？

我在静心亭 .在谭延恺墓

的正北方向 3500米 .我在中山植

物园往东走500米就到梅花山 .

老师有点糊涂，又是谭延恺墓正北方向 3500米 .又是中山植物园往东走 500米梅花山 .

现在老师有点疑问，他们到底在哪？你能帮老师解决这个问题吗？

北

Y

O X

我们以中山陵为原点，作两条互相垂直的数轴，分别取向右和向上的方向为数轴的正方向，一个边长看作一个单位长度，你能表示静心亭的坐标吗 ? 明孝陵呢 ?

100万有多大估计数学课本一页的字数；估计 100万字的书有多厚；估计 100万本这样的书摞在一起有多高；估计 100万本这样的书平摊在地上，面积有多大；估计 100万本这样的书堆放在一起，你们的教室能放得下吗；

估计 100万本这样的书装在载重 4吨的卡车上，要装多少车

案例：八上 实数 公园有多宽 陈怡问题 1 ：某地拟开发一个长方形的荒地，

新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2倍，面积为 400000平方米。

（ 1 ）公园的宽大约是多少？它有 1000米吗？ （ 2 ）如果要求误差小于 10米，那么它的宽

大约是多少？与同伴交流。 （ 3 ）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积

是 800平方米，你能估计它的半径吗？（误差小于 1米）

（ 4 ）公园左边有一个正方形水房，用来灌溉花圃，它的体积是 900立方米，你能估计水房的高吗？（误差小于 1米）

问题 2 ：水房盖好后，要架梯子粉刷外墙。生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端的距离约为梯子长度的 1/3 ，则梯子比较稳定。现有一长度为 6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6米高的墙头吗？

问题 3 ：在公园两侧分别有一柱状花塑，高度分别是 米和 1/2米，通过估算，试比较它们的高矮。

2

15

三、有关教学——有关教材的使用三、有关教学——有关教材的使用

教教材——用教材

对素材的改造—— 案例：北师大版七下（第 2 章 第 1节 台球桌面上的角） 胡兆云

从《台球桌面上的角》看教学素材的处理

2

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CB

E F1

1. 忠实教材

2

A

D

CB

E F1

1. 忠实教材老师提出 2个问题 ,学生分组讨论探索 :

①图中有几个角？②这些角与∠ 1有什么关系？

2

A

D

CB

E F1

学生的回答整理如下：生 1:有 9个角

生 2:∠ADC=90º - ∠1生3:∠1=∠2

生6:∠1+∠ADB=∠EDB ……

生5:∠1+∠ADC+∠CDB +∠2=180º

生 4:∠EDC =∠1+∠ADC

①图中有几个角？②这些角与∠ 1有什么关系？

1. 忠实教材

2

A

D

CB

E F1

生 7:∠EDC比∠ 1 大生 8:∠ADB也比∠ 1大……

学生的回答整理如下 :

①图中有几个角？②这些角与∠ 1有什么关系？

1. 忠实教材

师：哪个角与∠ 1 有什么关系是指一个角与∠ 1 的关系。

2

A

D

CB

E F1

生 9:∠１+∠ADC=90º……

①图中有几个角？②这些角与∠ 1有什么关系？

学生的回答整理如下：1. 忠实教材

师：还有哪些角具有与生２的结论类似？

2

A

D

CB

E F1

1. 忠实教材

∠EDB+∠1=180º

∠ADF+∠1=180º

①图中有几个角？②这些角与∠ 1有什么关系？

学生的回答整理如下：

师 : 还有吗 ?

2

A

D

CB

E F1

如图， CD EF⊥ ， D 为垂足，∠ 1= 2∠ ，讨论 :

小组活动

∠ADC与∠ BDC有什么关系？

∠BDC与∠ 1 有什么关系？∠ADC与∠ 1 有什么关系？

哪些角互余？哪些角互补？

1. 忠实教材

2

A

D

CB

E F1

∠1+∠2+∠ADB = 180º

∠2+∠EDB，

∠1+∠FDA ，

∠BDE–∠EDC ，∠EDC+∠FDC，

∠EDF–∠FDC，

∠1+∠ADC =∠2+∠BDC ，∠EDB–∠BDC = 90º ，∠1+∠2+∠BDC ，

∠1+∠ADC ，

∠2+∠CDB，

哪些角互余？哪些角互补？

小组活动结果1. 忠实教材

2

A

D

CB

E F1

2. 重选素材

光的入射角与反射角

2. 重选素材

光的入射角与反射角

2

A

D

CB

EF1

2. 重选素材

2. 重选素材 光的入射角与反射角

2

A

D

CB

EF1 ①图中有几个角？

②这些角与∠ 1有什么关系？

教师提出 2 个问题 ,学生分组讨索 :

2. 重选素材 光的入射角与反射角

2

A

D

CB

EF1

生 1 ：∠ 1=∠2生 2 ：∠ 1比∠ ADC小生 3 ：∠ 1+∠ADC+∠CDB+∠2=180º生 4：∠ EDC—∠1=∠ADC生 5：∠ 1=∠FDC—∠ADC生 6：∠ 1+∠ADF=180º生 7：∠ ADB是钝角，∠ 1是锐角， ∠ADB＞∠ 1生 8：∠ CDE＞∠ 1生 9：∠ 1比∠ CDB小 ……生 10：∠ 1是∠ 1 与∠ 2 的和的一半生 11 ：∠ 1比∠ CDF小生 12 ：∠ 1比其它角都小，∠ 2除外 ……

学生的回答整理如下 :

这些角与∠ 1 有什么关系？

2. 重选素材 光的入射角与反射角

生 1 ：∠ 1=∠2生 2 ：∠ 1比∠ ADC小生 3 ：∠ 1+∠ADC+∠CDB+∠2=180º生 4：∠ EDC—∠1=∠ADC生 5：∠ 1=∠FDC—∠ADC生 6：∠ 1+∠ADF=180º生 7：∠ ADB是钝角，∠ 1是锐角， ∠ADB＞∠ 1生 8：∠ CDE＞∠ 1生 9：∠ 1比∠ CDB小 ……生 10：∠ 1是∠ 1 与∠ 2 的和的一半生 11 ：∠ 1比∠ CDF小生 12 ：∠ 1比其它角都小，∠ 2除外 ……

学生的回答整理如下 :

2

A

D

CB

EF1

这些角与∠ 1 有什么关系？

2

A

D

B

E F1

3. 改造素材

2

A

D

B

E F1

(3) 改变打台球的角度 ,图中的角有什么变化 ? 它们与∠ 1的关系有什么变化 ?同 (2) 比较 ,哪些关系改变了 ?哪些关系没有改变 ?

(2) 这些角与∠ 1有什么关系？用你的方式给予分类 ?

老师提出 3 个问题 , 学生分组讨索 :

(1) 图中有几个角？

3. 改造素材

2

A

D

B

E F1

老师提出 3 个问题 , 学生分组讨论 :

组１：第一类，大小关系， 如∠ 1＜∠ ADB ，∠ 1＜ EDB ，… 第二类，相等关系， 如∠ 1=∠2 ； 第三类，和差等量关系， 如∠ 1+∠ADB =∠ADE ， ∠1+∠ADF =180º, ……

组 2：分为四类， 把组 1的第三类分为两类， 一类是和为定值 180º ， 另一类是和差不为定值的 .

学生的回答 :

这些角与∠ 1有什么关系？用你的方式给予分类 ?

3. 改造素材

三、有关教学——有关教材的三、有关教学——有关教材的使用使用

对内容重新组合——案例：平行四边形的判别北师大版八年级上数学 §4. 2 黎恒涛教材 2 课时：对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

过程分析

过程分析

活动探究活动一

活动二活动三

自主总结

问题解决

工具：两对长度分别相等的牙签（其中两根是标准 长度，另两根分别为从标准长度中截去相同 长度后剩下的部分） .

（ 1 ）你能在平面内将这四根牙签首尾顺次相接 组成一个平行四边形吗？

（ 3 ）你能用推理的方法来说明你的拼接是正确 的吗？

活动一

（ 2 ）若能，请将这四根牙签首尾顺次相接组成 的平行四边形画在纸上，通过实际操作来 验证你的拼接是正确的 .

（ 4 ）通过以上活动你得到了什么结论？

问题：

问题的设置富有层次性 .

设计方案 —— 动手操作 —— 实际验证—— 理论论证

概括总结

绝大多数学生都能在纸上拼出一个平行四边形，而在第二个问题的回答中，学生给出了精彩的不同的回答：①利用量角器测出∠ A、∠ B、∠ C的大小，看是否有等式∠ A＋∠ B=180°和等式∠ B＋∠ C=180°成立；②利用一副三角板平推来验证是否 AB∥CD、 AD∥BC；③利用割补法，将∠ B剪下，先将它拼到∠ A处看能否构成一个平角，再将它拼到∠ C处看能否构成一个平角 . 由于第二问的设置，学生的思路完全被激活，主动参与的程度相当高；有了第二问的铺垫，第三个问题也就迎刃而解，最后的结论也非常容易地被描述出来 .

j C

A D

B

学生的亮点：

工具：两根长度相等的牙签，一张练习本的纸 .

（ 1 ）你能将两根长度相等的牙签放置在纸上， 使得两根牙签的端点所代表的四个点能在 纸上画出一个平行四边形吗？说说你是怎 么操作的 .

活动二

问题：

（ 2 ）你能用推理的方法说明你的操作是正确的吗 ?

（ 3 ）通过以上活动你得到了什么结论？

A D

B C

学生的想法出乎预料：

师问：“为什么四边形 ABCD是平行四边形？” 生答：“由于 AB＝ CD ， AD BC∥ ，所以

四边形 ABCD是平行四边形 .” 师问：“你得到了什么结论？” 生答：“一个四边形中如果有一组对边相等，另 一组对边平行，那么这个四边形就是平 行四边形 .”

A D

B C

师问：“在有平行线的纸上要摆出一个满足一组对边相等并且另一组对边平行的四边形，只有刚才这一位同学的摆法吗？”

A D

B C

收获：这位同学犯的错误非常好，也非常及时，使全体学生通过感性认识提高了对平行四边形判别条件的理解 .

再问：“一个四边形中如果有一组对边相等，另 一组对边平行，那么这个四边形就是平行四边形吗？”

┓┓

A

D

B

C

师问：“这样的摆放方法你是怎样设想的？” 生答：“目的是使两根牙签互相平行 .”

师问：“在我们做实验用的纸上，有没有使两根

牙签互相平行的更方便的放置方法呢？”

A B

C D

A B

C D

对于第二问：“你能用推理的方法说明你的操

作是正确的吗 ?” 有的学生利用第三章所学的知识

给出了非常简明的说理方法：线段 CD 可看作有线

段 AB 平移得来，有平移性质可知： AC BD∥ ，

AB CD∥ ，所以四边形 ABDC是平行四边形 .

学生的想法有时老师是无法预测的，尽管看似

一个较简单的问题，由于学生自身个体因素的差异，

给出的解决方案可能是错的，也有可能不是最方便

的，但是我们要放手让学生去思考，这样才能培养

他们的探究能力，也有利于知识的掌握 .

感想：

工具：两根长度不相等的细线 .

（ 1 ）你能用这两根长度不相等的细线在纸上摆出 图形，使得两根细线的四个端点顺次连接所 形成的四边形是平行四边形吗？说说你是怎 么做的 .

（ 2 ）你能用推理的方法说明你的操作是正确的吗 ?

活动三

（ 3 ）通过以上活动你得到了什么结论？

第三个活动更具开放性，有的学生受平行四边形

形状的影响，想用这两根细线围成一个平行四边形，

但由于没有其他工具，始终只能做到形似而非就是，

无法通过说理的方法来说明得到的四边形是平行四边

形，甚至于有的学生围成了下图的形状 .

将两根细线交叉后再对折，这时它们会勾在一

起，此时在结点处将两根细线分别打结，然后将两

根细线分别拉直，将它们的端点顺次连接起来，就

得到一个平行四边形 . 这个方法的优点在于它的固

定性非常好 .

学生的亮点：

平行四边形的判别方法：（ 1 ）两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 . （定义）

（ 4 ）两条对角线互相平分的四边形是 平行四边形 .

（ 3 ）一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形 .

（ 2 ）两组对边分别相等的四边形是 平行四边形 .

小 结

1.如图， AC=BD=16, AB=CD=EF=15, CE=DF=9. 图中有哪些互相平行的线段 .

问题解决

A

B D

C

E

F

2. 如图， AC ED∥ ，点 B 在 AC 上且 AB=ED=BC.请找出图中的平行四边形 .

A CB

E D

3. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC ，BD 相交于点 O ，点 E ， F 在对角线 AC上，且 OE=OF.

（ 1 ） OA 与 OC ， OB 与 OD是否相等？

（ 2 ）四边形 BFDE是平行四边形吗？A

B C

D

OE

F

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