Тольятти 2007

ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Механика и инженерная защита окружающей среды »

Курс лекций по дисциплине «Теория механизмов и машин»

по программе «30/70» часть 2

2

Содержание Модуль 3. Динамический анализ механизмов ................................................................................3

1. Задачи кинетостатики ...............................................................................................................3 2. Силы, действующие на механизм ............................................................................................3

2.1. Классификация сил ............................................................................................................3 2.2. Внешние силы и механические характеристики машин................................................4 2.3. Определение сил инерции.................................................................................................6

3. Силовой анализ механизмов. Определение реакций в кинематических парах...................8 4. Трение в кинематических парах ............................................................................................12

4.1. Трение скольжения ..........................................................................................................12 4.2. Сухое трение ....................................................................................................................13 4.3. Жидкостное трение..........................................................................................................13 4.4. Трение при скольжении ползуна по тали плоскости ...................................................13 4.5. Трение в кинематической паре шип - подшипник .......................................................14

5. Коэффициент полезного действия механизма......................................................................14 6. Определение реакций в кинематических парах с учетом трения .......................................15

6.1. Силовой анализ зубчатых механизмов ..........................................................................16 6.2. Определение моментов в планетарном механизме без учета трения .........................18 6.3. Определение коэффициента полезного действия планетарного механизма .............21 6.4. Силовой расчет кулачковых механизмов. .....................................................................21

Модуль 4. Анализ движения механизма под действием сил .......................................................24 1. Уравновешивание механизмов...............................................................................................24

1.1. Общие сведения ...............................................................................................................24 1.2. Уравновешивание вращающихся тел ............................................................................24 1.3. Уравновешивание механизмов на фундаменте ............................................................28

2. Анализ движения механизма под действием сил.................................................................31 2.1. Основные режимы движения механизма ......................................................................31 2.2. Приведение масс, сил и моментов .................................................................................34 2.3. Уравнение движения механизма ....................................................................................36 2.4. Определение момента инерции махового колеса .........................................................36 2.5. Методика определения момента инерции махового колеса........................................51

Литература ........................................................................................................................................54

3

Модуль 3. Динамический анализ механизмов

1. Задачи кинетостатики Проектирование новых механизмов сопровождается обычно расчетом их элементов на

прочность, и размеры звеньев устанавливаются в соответствии с теми силами, которые на них действуют.

Если в кинематике механизмов, в которой рассматривалась лишь геометрия движения, очер-танием звеньев пренебрегали, фиксируя лишь характерные размеры, как, например, расстояние между центрами шарниров и другие размеры, определяющие относительное движение звеньев, то при расчете на прочность необходимо иметь представление о звене в трехмерном простран-стве. Силы, действующие на элементы кинематических пар, появляющиеся в результате техно-логических и механических сопротивлений, определяют напряжения в звеньях, если размеры последних выбраны, или же определяют размеры звеньев, если заданы напряжения материала звеньев.

Таким образом, расчету механизмов на прочность должно предшествовать определение сил, поэтому одной из основных задач кинетостатики является определение тех сил, которые дейст-вуют на элементы кинематических пар и вызывают деформации звеньев в процессе работы.

Методы расчета сил, действующих на звенья механизма без учета сил инерции, объединены под названием статики механизмов, а методы расчета сил с учетом сил инерции звеньев, опре-деленных приближенно, - кинетостатики механизмов. Практически методы статического и ки-нетостатического расчетов механизмов ничем не отличаются, если считать силы инерции за-данными внешними силами.

Кинетостатика объединяет методы расчета сил, действующих на звенья механизма, с учетом сил инерции.

2. Силы, действующие на механизм

2.1. Классификация сил

В процессе работы машины к звеньям ее приложены заданные внешние силы, к которым от-носятся: движущая сила, сила технологического сопротивления, силы тяжести звеньев, механи-ческие или добавочные сопротивления и силы инерции, появляющиеся в результате движения звена. Неизвестными силами будут реакции связей, действующие на элементы кинематических пар.

Силы, действующие на звенья, условно разделяют на 2 группы: движущие силы Pдв и силы сопротивления РС.

Движущими силами называют силы, производящие положительную работу, т.е. направле-ния движущей силы и скорости точки её приложения либо совпадают, либо образуют острый угол.

Однако в некоторых случаях сила, приложенная к ведущему звену, может обратиться в силу сопротивления и, следовательно, будет производить отрицательную работу. В качестве примера можно указать тепловые двигатели, в которых сила, действующая на поршень, при сжатии га-зовой смеси производит отрицательную работу.

В двигателе внутреннего сгорания, например, движущей силой будет равнодействующая от сил давления при воспламенении горючей смеси.

Силами сопротивления называют силы, препятствующие движению звеньев механизма. Ра-бота этих сил всегда отрицательна, т.е. направление силы и скорости точки её приложения либо противоположны, либо образуют тупой угол. Различают силы полезного сопротивления и вред-ного сопротивления. В рабочих машинах силой полезного сопротивления является, например, сопротивление резанию металла, сопротивление при сжатии газов. Силами вредного сопротив-ления являются силы трения, силы сопротивления среды.

4

Кроме этих сил необходимо учитывать силы тяжести (силы веса) звеньев G, которые при-ложены в центрах тяжести их, силы инерции звеньев и силы реакций связи.

Силы инерции Pu появляются при неравномерном движении звена. Силы инерции так же, как и силы веса, могут совершать как положительную, так и отрицательную работу.

Силы реакции связи R, действующих в кинематических парах, вводим при рассмотрении ка-кого-либо звена изолированного от механизма. При рассмотрении всего механизма в целом ре-акции связей следует считать внутренними силами, т.е. попарно уравновешивающимися.

Механические или добавочные сопротивления F в машинах встречаются главным образом в виде сил сопротивления, появляющихся при относительном движении элементов кинематиче-ских пар, или, иначе, сил трения, в виде сопротивления среды, например аэродинамических со-противлений, силы сопротивления, обусловленной жесткостью гибких звеньев, например кана-тов, цепей, ремней и т. д. Силы трения появляются под действием нормальных реакций, дейст-вующих в кинематических парах , и являются известными силами. Силы трения, как правило, производят отрицательную работу, потому что они всегда направлены в сторону, обратную скорости относительного движения элементов кинематических пар. Этот вид добавочного со-противления, сопровождающего работу машин, наиболее важен, потому что во многих случаях почти вся энергия, затрачиваемая на приведение в движение машины, расходуется на преодо-ление сил трения. Ввиду этого силы трения будут рассмотрены особо.

2.2. Внешние силы и механические характеристики машин

Внешние силы могут быть постоянными, как, например, силы тяжести, сопротивления реза-нию металла при постоянном сечении стружки и др., или зависящими только от положения звена, на которое они действуют (силы давления газов, действующих на поршень двигателя внутреннего сгорания или компрессора, сопротивление, встречаемое пуансоном пресса при прошивании отверстий и др.), от скорости звена (момент электродвигателя, силы трения сма-занных тел и др.), от времени. Кроме того, в машине могут действовать силы, зависящие от ря-да перечисленных выше независимых переменных. Определение конкретной величины внеш-ней силы возможно только в том случае, если задана ее характеристика.

Так для основного механизма четырехтактного двигателя внутреннего сгорания закон изме-нения давления P газа в цилиндре задается индикаторной диаграммой – зависимостью P=ƒ(H) (рис.1)

P

H F O

B

A

D

x S

Рис.1

Полный цикл работы двигателя заканчивается в течении двух оборотов кривошипа. За пер-вую половину оборота происходит всасывание горючей смеси FO, за вторую половину оборота сжатие этой смеси OD, по кривой DA – воспламенение смеси, по кривой AB – расширение вос-пламененной смеси (рабочий ход) по кривой BF – выхлоп.

5

Откладывая по оси H перемещение x, взятое с плана механизма, нетрудно найти соответст-вующую ординату на индикаторной диаграмме.

Избыточное давление Риз на поршень – это разность давления газа в цилиндре и атмосфер-ного давления, пропорционально ординате, отсчитываемой от линии атмосферного давления.

Силу, действующую на поршень определяют из формулы: 2

изdP P4

π= ⋅ ,

где d – диаметр поршня. Для компрессора простого действия закон изменения давления газа в цилиндре дается также

индикаторной диаграммой (рис.2).

P

F B

A

S

C

D

x H

Y è

Рис.2

Кривая FCD – сжатие газа, DA – выхлоп, AB – расширение газа, оставшегося в мертвом объеме, BF – всасывание новой порции газа

Pμ – масштабный коэффициент силы

2

из p udY4

P π= ⋅ ⋅μ ,

где uY – ордината соответствующая переменной x.

Диаграмма изменения мощности на валу двигателя или среднего момента QсрM в зависимо-сти от числа оборотов называется механической характеристикой двигателя (рис. 3).

6

Ì

ì

à

õ

Ì

ï Рис. 3

2.3. Определение сил инерции

При работе механизма возникают силы инерции. Они вызывают добавочное давление в ки-нематических парах. Особенно большой величины эти силы достигают в быстроходных маши-нах.

Силы инерции определяются по заданному весу звеньев и их ускорениям. Метод определе-ния зависит от вида движения звена.

Первый случай: звено совершает плоскопараллельное движение (шатун). Известно, что эле-ментарные силы инерции в этом случае приводятся к равнодействующей силе Pu и к моменту сил инерции Мu.

Сила инерции Pu приложена в центре тяжести звена и равна: u SP ma= − (1)

где m – масса звена as– линейное ускорение центра тяжести звена. Момент сил инерции:

u SM J= − ⋅ε (2)где Js – момент инерции звена относительно центра тяжести, ε – угловое ускорение звена. Знак минус указывает на то, что сила инерции Pu направлена в сторону обратную ускоре-

нию as, а момент Мu – в сторону обратную угловому ускорению ε . Величина и направление ускорений определяются из кинематического расчета. А значение

m, Js должно быть задано. Сила Pu и момент Pu могут быть заменены одной результирующей силой Pu приложенной в

точке качания (рис.4). Для этого силу инерции Pu нужно перенести на расстояние равное

7

u

u

MSKP

= (3)

A

S K

P è

B

b s a

p p

Рис. 4 Величина этого плеча находится следующим способом: с плана ускорения (рис.3) на звено

AB переносится треугольник abAB ππ ∞

S S

l

J JSKm S m S

= =⋅π ⋅π ⋅μ

(4)

отрезок l

SKSK =μ

найдя точку “К” (точку качания) прикладываем в ней вектор силы инер-

ции, направленный в сторону противоположную вектору ускорения центра тяжести. Второй случай: звено совершает вращательное движение (рис.5) а) При неравномерном вращении и при несовпадении центра тяжести с осью вращения

имеют место сила инерции Pu и момент сил инерции u SM J= − ⋅ε . При приведении силы и мо-мента плечо SK определяется по формуле (4):

SJSKm S

=⋅π

O

S K

A

Ð è Ð è

Рис. 5

где SK – расстояние от центра тяжести до точки качания.

S OSπ =

б) При равномерном движении Pи положена в центре тяжести. Ми = 0 т.к. ε =0.

8

в) Центр тяжести совпадает с осью вращенияε =0, то Pи = 0; Ми = 0. Третий случай: звено совершает поступательное движение (ползун) (рис.6). Здесь 0ε = , Ми = 0. Если движение звена неравномерное, то возникает сила инерции

u SP m a= − ⋅

Ñ a c P è ñ

Рис.6

Если в задании на курсовое проектирование не задан момент инерции звена, его можно при-ближенно определить по формуле:

2

SmlIK

= (6)

где m – масса звена, l – длина звена, K – коэффициент 8 ÷ 10 Одной из задач динамики механизмов является определение сил, действующих на элементы

кинематических пар, и так называемых уравновешивающих сил. Знание этих сил необходимо для расчета механизмов на прочность, определения мощности двигателя, износа трущихся по-верхностей, установления типа подшипников и их смазки и т. д., т. е. силовой расчет механизма является одной из существенных стадий проектирования машин.

Под уравновешивающими силами принято понимать силы, уравновешивающие заданные внешние силы и силы инерции звеньев механизма, определенные из условия равномерного вращения кривошипа. Число уравновешивающих сил, которые нужно приложить к механизму, равно количеству начальных звеньев или, иначе, - числу степеней свободы механизма. Так, на-пример, если механизм обладает двумя степенями свободы, то в механизме должны быть при-ложены две уравновешивающие силы.

3. Силовой анализ механизмов. Определение реакций в кинематических парах

Силовой анализ механизмов основывается на решении прямой, или первой, задачи динами-ки - по заданному движению определить действующие силы. Поэтому законы движения на-чальных звеньев при силовом анализе считаются заданными. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма, обычно тоже считаются заданными и, следовательно, подлежат определе-нию только реакции в кинематических парах. Но иногда внешние силы, приложенные к на-чальным звеньям, считают неизвестными. Тогда в силовой анализ входит определение сил, при которых выполняются принятые законы движения начальных звеньев. При решении обеих за-дач используется принцип Д'Аламбера, согласно которому звено механизма может рассматри-ваться как находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам, действующим на него, до-бавить силы инерции. Уравнения равновесия в этом случае называют уравнениями кинетоста-тики, чтобы отличить их от обычных уравнений статики, т. е. уравнений равновесия без учета сил инерции. Обычно звенья плоских механизмов имеют плоскость симметрии, параллельную плоскости движения. Тогда главный вектор сил инерции звена Pu и главный момент сил инер-ции звена uM , определяются по формулам:

9

u SP m a= − ⋅ u SM J= − ⋅ε ,

где m- масса звена;

Sa - вектор ускорения центра масс.

При кинетостатическом расчете механизма необходимо определить реакции в кинематиче-ских парах и либо уравновешивающую силу, либо уравновешивающий момент пары сил.

Силовой расчет механизмов будем вести в предложении, что трение в кинематических парах отсутствует и все силы, действующие на механизм расположены в одной плоскости.

Одним из известных методов силового расчета является метод рассмотрения каждого звена механизма в равновесии. При этом методе механизм расчленяется на отдельные звенья.

Вначале рассматривается равновесие крайнего звена, считая от главного (ведущего), затем равновесие звена, соединенного с крайним, и т.д. Равновесие главного звена рассматривается в последнюю очередь.

Рассматривая отдельно взятое звено в равновесии, необходимо приложить к нему все внеш-ние силы (PДВ, РПС ,РИ ,G) включая реакции связей, с которыми отсоединенные звенья действу-ют на взятое звено.

Изложим методику расчета на примере четырехзвенного механизма. Вначале рассмотрим в равновесии звено 3 (коромысло), приложив к нему все действующие силы, включая реакции связей. (Рис.7)

A

B C

D

S P y

P Ï . Ñ .

Ð è Ê

G 3

P Ï . Ñ . S

G 3

D

Ð è

C

Ê

1

2

3

3

R 0 3

R 2 3

R 2 3

R 2 3

à ) á )

Ð è ñ . 7 Реакция во вращательной паре “С” неизвестна ни по величине, ни по направлению. Для определения этой реакции заменяем её двумя составляющими (рис. 7б), одну из которых – '

23R направляем по шатуну (2), вторую составляющую 23R –' '23R – по коромыслу (3).

' ' '23 23 23R R R= +

Величина '23R может быть найдена из условия равновесия рассматриваемого звена.

Звено (3) находится в равновесии под действием следующих сил РП.С.; Риз; G3; R03; '23R ; ' '

23R .

Составляем уравнение моментов всех сил относительно точки D

D iM (P ) 0=∑

10

'P h Р h G h R h 0u pП.С. рП.С. 3 G 23 'u R3 23− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

откуда G h P h Р h3 G П.С. рП.С. u p3 u

'hR23

'R23⋅ − ⋅ − ⋅

=

Если после определения этой величины она окажется отрицательной, то её направление бу-дет противоположно выбранному.

Составляющую ''R23можно найти, рассмотрев в равновесии отдельно взятое звено (2) (рис.8а).

R 3 2 R 3 2 B

2 C Ê S

G 2

R 1 2

Ê

P è f

d c

b

a G

R 3 2

R 3 2 P è R 1 2

à ) á )

Ð è ñ . 8 Из условия равновесия звена (2) можно написать

B iM (P ) 0=∑

2 22

''Р h G h R h 0u p G 23 ''u R23−⋅ ⋅ − ⋅ =

причем ' ' ' '32 23R R= −

2

' '32

u2 pu 2 G' '32

R

P h G hR

h⋅ − ⋅

=

Оставшуюся неизвестную реакцию R12 можно найти графическим методом, построив план сил этого звена (рис. 8б).

Уравнение равновесия звена (2) имеет следующий вид: ' ' '

12 2 u2 32 32R G P R R 0+ + + + =

Из произвольно выбранного полюса f откладываем в масштабе pμ силу ' '32R в виде вектора

fd , к нему геометрически прибавляем вектор db , изображающий в том же масштабе Рμ силу G и т.д.

Вектор df дает нам величину реакции R12 в масштабе pμ .

Далее приступаем к нахождению силы, уравновешивающей механизм. Для этого рассматриваем в равновесии кривошип AB. (рис.9).

11

P y B

A G 1

S K

R 0 1

R 2 1 P è

Ð è ñ . 9 Кривошип находится под действием силы веса G1, реакции шатуна (2) на кривошип R21, си-

лу инерции Pu1. Под действием этих сил кривошипы в общем случае не будет находиться в равновесии. Для

равновесия необходимо приложить уравновешивающую силу Рy, или уравновешивающий мо-мент Мy.

Этими уравновешивающими силой и моментом являются реактивные силы или момент от двигателя.

Пусть уравновешивающая сила будет направлена по нормали к кривошипу и приложения в точке В. Из условия равновесия звена АВ можно составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки А.

A iM (P ) 0=∑

21 y21 R G1 y PR h G h P h 0− ⋅ − ⋅ − ⋅ =

откуда

21

y

21 R G1y

P

R h G hP

h− ⋅ − ⋅

= ;

Уравновешивающую силу можно найти также методом, при котором в равновесии рассмат-ривается весь механизм.

Условие равновесия механизма можно выразить следующим уравнением:

iN(P ) 0=∑ (7)

Сумма мощностей всех сил, приложенных к механизму, с учетом сил инерции и уравнове-шивающих сил равна нулю.

Мгновенная мощность силы, приложенной в i –той точке пропорциональна моменту этой силы относительно конца вектора повернутой скорости данной точки (рис.10).

i p i iN P hυ= μ ⋅μ ⋅ ⋅ (8)

12

i

v i

v i

P i

h i

Ð è ñ . 1 0 Из уравнения равновесия можно найти уравновешивающую силу. Часто удобно находить Рy

с помощью вспомогательного рычага Жуковского, когда для механизма построен полярный план скоростей, повернутый на 90°. В последнем случае к концам найденных векторов скоро-стей следует приложить действующие внешние силы.

После этого, рассматривая повернутый план скоростей как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса Р можно написать уравнение равновесия рычага в виде суммы моментов сил от-носительно полюса:

P iM (P ) 0=∑

Уравнение равновесия плана скоростей, рассматриваемого как жесткий рычаг, тождественно уравнению мощностей.

Если к звеньям механизма кроме сил приложен еще и момент М (рис.11), то его можно рас-сматривать как пару сил, составляющая которой равна:

AB

MPl

= (11)

Найденные силы Р прикладываются в соответствующих изображающих точках плана скоро-стей.

l

A B

P A

B

P M

Ð è ñ . 1 1

4. Трение в кинематических парах

4.1. Трение скольжения

Под потерями на трение в механизме имеют в виду потери на трение в его кинематиче-ских парах. Различают трение двух основных видов: трение скольжения и трение качения. В низших кинематических парах возникает трение скольжения, в высших – только трение каче-ния или трение качения совместно с трением скольжения.

13

Если поверхности движущихся тел А и В (рис. 13) соприкасаются, то трение, возникающее при этом, называют сухим. Если поверхности не соприкасаются (рис. 14) и между ними имеется слой смазки, то такое трение называют жидкостным. Встречаются также случаи, когда имеется полусухое (преобладает сухое), или полужидкостное, трение.

À

Â

V V

Q

h

B

Ð è ñ . 1 2 Ð è ñ . 1 3

4.2. Сухое трение

Основные законы: 1. В определенном диапазоне скоростей и нагрузок коэффициент трения скольжения можно

считать постоянным, а силу трения — F пропорциональной нормальному давлению: F fN= ,

где f - коэффициент трения скольжения, N - нормальное давление. 2. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и состояния трущихся поверхно-

стей. 3. Силы трения всегда направлены в сторону, противоположную относительным скоростям. 4. Коэффициент трения покоя несколько больше коэффициента трения при движении. 5. С увеличением скорости движения сила трения в большинстве случаев уменьшается, при-

ближаясь к некоторому постоянному значению; при малых скоростях коэффициент трения поч-ти не зависит от скорости.

6. С возрастанием удельного давления коэффициент трения в большинстве случаев увели-чивается. При малых удельных давлениях коэффициент трения почти не зависит от величины удельного давления и площади соприкосновения.

7. С увеличением времени предварительного контакта сила трения возрастает.

4.3. Жидкостное трение

При сухом трении происходит большая затрата работы, превращающейся в теплоту, и износ трущихся поверхностей. Для устранения этих явлений между трущимися поверхностями вво-дится слой смазки. В этом случае при соблюдении определенных условий слой смазки может полностью разделять трущиеся поверхности (рис. 14).

4.4. Трение при скольжении ползуна по тали плоскости

Поступательная кинетическая пара, состоящая из горизонтальной направляющей 2 и ползу-

на 1, показана на рисунке 15. Пусть на ползун 1 действуют следующие силы: PД - движущая, G- вес груза или нагрузка, действующая на ползун, N - нормальная реакция, F0- сила трения (каса-тельная реакция) при покое. При движущемся ползуне вместо силы трения F0 действует сила трения F при движении, причем N G= − , и полная реакция R F N= + .

Угол ϕ отклонения полной реакции от нормали в сторону, противоположную движению ползуна, называют углом трения.

Учитывая, что F N tg G tg= ⋅ ϕ = ⋅ ϕ , F fG= ,то f tg= ϕ . Следовательно, коэффициент трения равен тангенсу угла трения.

14

4.5. Трение в кинематической паре шип - подшипник

При наличии зазора цапфа под действием MД из своего низшего положения перекатывается

в новое положение, которое характеризуется наступившим равновесием между движущими си-лами и силами сопротивления. На рис. 16а приняты следующие обозначения: r - радиус шипа, Q - внешняя на грузка, R - реакция подшипника, действующая на шип, ϕ - угол трения,ρ - ра-диус круга трения (рис.15)

Силы Q и R образуют пару момент которой представляет собой момент сопротивления сопрM ; в каждый данный момент он уравновешивает момент движущих сил ДM , т.е.

сопр ДM M= .

Момент сил сопротивления сопрM R Ncos

ρ= ρ =

ϕ,

где NRcos

=ϕ

Момент сил трения F сопрM M Fr= = ,

где F fN= ; r - радиус шипа;

FM fNr Ncosρ

= =

Вследствие малости угла ϕ величина cos 0ϕ ≈ . Следовательно, радиус круга трения frρ = равен смещению полной реакции R от внешней нагрузки Q.

Итак, момент сил трения FM fQr=

5. Коэффициент полезного действия механизма Механическим к. п. д. машины называют отношение абсолютного значения работы полез-

ных сопротивлений АП.С. к работе движущих сил АД за период установившегося движения:

П.С.

Д

АА

η = (1)

Из уравнения движения машины при установившимся движении П.С. В.С. ДА А А+ = находим

П.С. Д В.С.А А А= − .

После подстановки СПA . в выражение (1) получим следующее выражение для к. п. д.:

Д В.С. В.С.

Д Д

А A A1 1А А−

η = = − = − ψ ,

где В.С.

Д

AА

ψ = - коэффициент потерь.

К. п. д. тем больше, чем меньше работа вредных сопротивлений. Определив, например, мгновенные к. п. д. в двенадцати положениях рычажного механизма за один оборот установив-шегося движения, можно построить график функции ( )η = η ϕ . На практике обычно пользуются средним арифметическим значением к. п. д. за период установившегося движения:

1 2 12...12

η + η + ηη = .

Машина может иметь очень низкий мгновенный к. п. д. в отдельных положениях механизма. Мгновенный к. п. д. рычажного механизма можно выразить как отношение мощностей:

15

П.С.

Д

NN

η = ,

где NП.С. - мгновенная мощность сил полезного сопротивления для каждого положения ме-ханизма;

NД - мгновенная мощность движущих сил для соответствующего положения механизма. К. п. д. группы последовательно соединенных механизмов или машин. Ряд машин или меха-

низмов, входящих в агрегат, может быть соединен последовательно (рис.11а), параллельно (рис.11б)

Общий к. п. д. машины при последовательном соединении механизмов равен произведению их к. п. д.

В общем случае

1 2 3 n...η = η η η η .

К. п. д. группы параллельно соединенных механизмов или машин. Это соединение характе-ризуется разветвлением общего потока энергии.

Общий к. п. д. равен: ' ' '' ''

Д Д' ''Д Д

A AA A

η + ηη =

+

Ì à ø è í à - ä â è ã à ò å ë ü

Ñ ò à í î ê Ñ ò à í î ê Ñ ò à í î ê

Ì à ø è í à - ä â è ã à ò å ë ü

Ð å ä ó ê ò î ð

Ñ ò à í î ê

à á

Ð è ñ . 1 6

6. Определение реакций в кинематических парах с учетом трения Выполненный в первой части расчет без учета трения дает значения реакций в кинематиче-

ских парах механизма в первом приближении. Определение же сил с учетом трения является дальнейшим уточнением и проводится обычно (и в нашем случае) методом последовательного приближения. Для выполнения второго приближения задаются значения коэффициентов трения скольжения во всех парах и диаметры цапф вращательных пар. Методика расчета механизма с учетом и без учета трения одна и та же. Разница только в том, что силы реакций в поступатель-ных парах отклоняются от своих прежних нормалей на угол трения и направлены против векто-ра скорости поступательной пары. Во вращательных – линиях их действия пройдет касательно к кругам трения, эти реакции можно заменить реакцией приложенной в центре шарнира, при этом нужно приложить к данному шарниру момент трения определяемого по формуле:

16

TM R r= ⋅ (11)где r – радиус трения, определяемый по формуле:

yDr sin

2= ⋅ ρ (12)

где Dy – диаметр цапф, ρ - угол трения. R в формуле (11) – это реакция в данном шарнире, полученная в первой части, без учета сил

трения. Направление момента противоположно угловой скорости звена относительно данного шарнира.

6.1. Силовой анализ зубчатых механизмов

Для подавляющего большинства зубчатых передач основным является установившийся ре-жим работы. Поэтому в передачах этого типа моменты от сил инерции будут равны нулю (без учета колебаний, вызываемых переменной жесткостью и ошибками шага).

Давление между эвольвентными профилями передается по линии зацепления, которая сов-падает с их общей нормалью.

Если к ведомому колесу приложен момент сопротивления MC, то сила сопротивления:

2

CC

O

M MPr r

= =

Сила PC приложена к ведущему колесу 1; ведомому колесу 2 приложена движущая сила

CQ P= − . Из формулы следует, что, если CM const= , то сила PC давления между зубьями по-стоянна как по величине, так и по направлению; она увеличивается с увеличением угла зацеп-ления.

В центре ведущего колеса 1 приложим две равные и противоположно направленные силы PC.Силы R* — давление в опорах колеса; две другие силы R образуют пару сил, момент которой равен моменту MД. Подставляя значение PC из формулы, получаем

122

10

01

2uM

rrMr

rMM c

cc

Д ===.

Пара 2OQr , приложенная к колесу 2, преодолевает приложенный к этому колесу момент со-

противления MC. Равные и обратно направленные силыR* и Q* образуют пару с моментом

1 2p O OAM R(r r ) R

cos= + =

α.

Эта пара стремится повернуть стойку (раму) передачи (в нашем случае по часовой стрелке). Для того чтобы этого не произошло, стойка должна быть закреплена. Момент, создаваемый рассматриваемой парой, получил название реактивного момента.

Очевидно, что и при переменном MC направления сил давления между зубьями и в опорах валов будут постоянны. Это является одним из преимуществ эвольвентного зацепления, так как обеспечивает спокойную работу передачи.

Так как профили зубьев в процессе их зацепления имеют относительное скольжение, то ме-жду ними возникают силы трения, равнодействующая F которых направлена против скорости скольжения скυ

Величина этой силы

2

C C

O 2

M MF fR f fr r cos

= = =α

,

17

где f - коэффициент трения скольжения профилей. Мощность сил трения в наружном зацеплении

Cтр ск 1 2 0 1 2 0

2

MN F fR( )P M f ( )P Mr cos

= υ = ω + ω = ω + ωα

.

Следовательно, мощность сил трения в зацеплении переменна и увеличивается по мере того, как точка M касания профилей удаляется от полюса зацепления.

В опорах валов также возникают силы трения, пропорциональные давлениям R и Q в этих опорах. Величины этих сил трения зависят от ряда факторов (от условий смазки соприкасаю-щихся поверхностей, от их упругих свойств, определяющих закон распределения удельных давлений, от скорости скольжения опорных поверхностей и т. д.). Равнодействующая этих сил 1 n1F f R= ,

À

Î 2

r 0 2

r 0 1

a

a

a

M c w 2

M ä

w 1

Î 1 r 0 1

r 0 2

Î 2

Î 1

M c w 2

w 1

M ä

Q *

Q Q *

R

R *

R

P 0

P 0

Ð è ñ . 1 7 где fn1 - коэффициент трения, учитывающий условия работы вала в подшипниках. Приложе-

на эта сила в одной из точек опорной поверхности вала на расстоянии rB от его оси. Мощность сил трения в опорах

Cтр1 тр1 1 1 B1 1 n1 B1 1 n1 B1 1

2

MN M Fr f Rr f rr cos

= ω = ω = ω = ωα

;

Cтр2 n2 B2 2

2

MN f rr cos

= ωα

.

Из формул видно, что если CM const= , то и мощность сил трения в опорах постоянна.

Пользуясь этой формулой, можно определить момент MД и мощность NД двигателя, который должен быть соединен с ведущим валом передачи, если заданы MCи i12

Величины коэффициентов f и fn зависят от большого числа различных факторов и могут ко-лебаться в очень широких пределах. Например, коэффициенты трения профилей зависят не только от материалов и точности их обработки, но и от смазки; кроме трения скольжения, меж-ду профилями имеет место трение качения; если передача работает в масляной ванне, то затра-чивается работа на перемешивание масла и т. д.

18

6.2. Определение моментов в планетарном механизме без учета трения

4

2

1

3 À

Â

Î

Ì 1

Ì 2

Ì 3

Ñ Ð 1 3

Ð 3 1 Ð 3 2

Ð 2 3 Ð 4 3

Ð 3 4

a

Ð è ñ . 1 8 Рассмотрим вопрос определения моментов в планетарном механизме, звенья которого вра-

щаются равномерно. В планетарном механизме изображенном на (рис.13 солнечное колесо 1, водило 2 и коронное колесо 4 вращаются вокруг центральной оси С. Тангенциальная состав-ляющая Р31 реакции на сателлит 3 со стороны солнечного колеса 1 без учета силы трения при-ложена в полюсе зацепления А. В обратную сторону направлена сила Р13. В точке В действуют составляющие реакции Р34 и Р43, а в центре сателлита – Р23 и Р32.

Будем рассматривать такие планетарные механизмы, в которых сателлит не является выход-ным звеном, т.е. М3=0. Тогда 31 34P P= и потому:

32 34 31 31P P P 2P= + = (13’)

Рассматривая равновесие звена 1 получим:

13 1 1kP r M 0⋅ − =

откуда

19

113

1

MPkr

= (13)

где k – количество сателлитов механизма. Из равновесия звена 2 имеем: 23 2 2kP r M 0− ⋅ + =

Откуда 2 23 2M kP r= ⋅ (14)

Учитывая (13’) и (13), перепишем (14):

2 13 2M 2kP r= − ⋅

из (14) и (13) получим:

2 2

1 1

M r2M r

= − (14’)

Запишем условие равновесия звена 4:

4 43 4M kP r 0− + =

Откуда 4 43 4M kP r= (15)

Поэтому, учитывая условие: Р43= –Р13 из (13) имеем:

4 4

1 1

M rM r

=

Следовательно, если один из моментов, действующих в планетарном механизме, известен, то зная радиусы начальных окружностей, по формулам (15’) и (15) можно определить неизвест-ных моменты.

Задачу определения моментов можно решить и с помощью общего плана угловых скоро-стей. Рассмотрим методику определения моментов.

Пусть для планетарного редуктора с корригированными зубчатыми колесами построен об-щий план угловых скоростей (рис.19)

20

2 1

1

2

4

3

Î

Î

Å

 4

d b

p

w 3

w 1

w 2

w 4

ð

Ð è ñ . 1 9 1 1M ω – мощность, подводимая к звену 1. 2 2M ω – мощность, снимаемая с водила. Так как

потери не учитываются, то:

1 1 2 2M Mω = ω

откуда: 4

но 2 2

1 1

P 42P 41

ω= =

ω

поэтому

4

1

M 12M 24

= (16’)

Так как под действием моментов, планетарный механизм в установившемся равновесном режиме находится в равновесии, то имеет место равенство 1 2 4M M M 0+ + = (16)

где М4, при 4 0ω = следует понимать как момент, который необходимо приложить к звену 4, чтобы удержать его от вращения.

Из (16) получим:

4 2

1 1

M M 1M M

= − − (17)

Учитывая (16’) перепишем (17) так:

4

1

M 41 1M 42

= −

или после упрощения:

4

1

M 41 42 21M 42 42

−= =

Окончательно получим:

21

4

1

M 12M 24

=

Из (16’) и (17) следует правило для определения моментов.

6.3. Определение коэффициента полезного действия планетарного механизма

К.п.д. механической передачи зависит от многих факторов, из которых наибольшее значе-ние имеют потери мощности в зацеплении пар зубчатых колес. Определим к.п.д. планетарного редуктора при передаче моментов от звена 1 к звену 2 по формуле:

2 2 2 1212

1 121 1

N M UN UM

⋅ωη = − = − =

⋅ω (18)

где 1212

1

MUM

= называется силовым передаточным отношением. Здесь 2M и 1M – моменты,

действующие на звенья 2 и 1 с учетом трения в зацеплении 112

2

U ω=

ω– кинематическое переда-

точное отношение.

6.4. Силовой расчет кулачковых механизмов.

Схема действия сил. Так как ведомое звено (штанга-толкатель)-движется с переменной скоростью, то схемы дей-

ствия сил, приложенных к кулачковому механизму на разных участках интервала его переме-щения, различны.

В интервале рабочего перемещения к ведомому звену приложена сила полезного сопротивления R, направленная против скорости звена. Сила R, как правило, все-

гда задана; она может быть постоянной или переменной. Если в механизме осуществлено силовое замыкание высшей пары, то на ведомое звено в том

же направлении действует упругая сила PП пружины, которая в это время сжимается. Из-за неравномерного движения штанги возникает сила инерции:

И ш шР m а= − ,

где шm — масса штанги, ша —ее ускорение; направлена сила ИР Ра противоположно уско-

рению штанги. Так как масса штанги постоянная шшm

gυ

= , то закон (график) изменения силы

ИР совпадает с законом (графиком) изменения ускорения штанги.

22

Q = R + P n í P u

N 2

N 1

C

A

r

w k

h

B

n

n

t

t g

P 1

P 2 P

V ø

V ê

Ð è ñ . 2 0 Равнодействующая Q всех сил, приложенных к штанге равна:

П ИQ R P P= + ±

Если пренебречь трением в паре кулачок – штанга, то направление силы P давления кулачка на штангу совпадает с нормалью к профилю кулачка. Если не учитывать трение в направляю-щей C, то, для того чтобы штанга двигалась по заданному закону, надо, чтобы в каждом поло-жении механизма сила P давления кулачка на штангу равнялась бы

QPcos

=γ

,

23

где γ - угол между силой P и направлением движения штанги – угол передачи движения. Если не учитывать трение в подшипниках вала кулачка, то движущий момент на валу ку-

лачка

ДQM Ph r sin Qr tg

cos= = = ⋅ γ

γ,

где r - радиус-вектор профиля кулачка. Самоторможение. Учитывая силы трения при силовом расчете механизма, можно выявить

такие соотношения между параметрами механизма, при которых вследствие трения движение звена в требуемом направлении не может начаться независимо от величины движущей силы.

В большинстве механизмов самоторможение недопустимо, но в некоторых случаях оно ис-пользуется для предотвращения самопроизвольного движения в обратном направлении (дом-крат, некоторые типы подъемных механизмов и др.).

Угол давления. Углом давления на звено i со стороны звена jназывается угол между на-правлением силы давления (нормальной реакции) на звено i со стороны звена j и скоростью точки приложения этой силы. Угол давления на звено i со стороны звена обозначается че-рез ijϑ . Часто, однако, рассматривается лишь один угол давления. Тогда индексы в обозначени-ях опускаются.

Например, при синтезе кулачкового механизма, показанного на рис. 21 имеет значение лишь угол давления 21ϑ , который обозначается через ϑ . С увеличением углаϑ увеличиваются со-ставляющие ? и ? и, соответственно, увеличиваются потери на трение. При больших значениях угла давления возможно даже самоторможение. Поэтому параметры механизма выбираются так, чтобы угол давления ϑ не превосходил, допускаемого значения ДОПϑ . Выбор этого значе-ния зависит от типа механизма.

24

Модуль 4. Анализ движения механизма под действием сил

1. Уравновешивание механизмов

1.1. Общие сведения

Динамические давления – это дополнительные усилия, которые возникают в кинематиче-ских парах при движении механизма. Эти давления являются причиной вибраций некоторых звеньев механизма, они переменны по величине и направлению. Станина данного механизма тоже испытывает динамические давления, которые оказывают вредное воздействие на его кре-пления и нарушая тем самым связь станины с фундаментом. Также динамические давления увеличивают силы трения в точках опоры вращающихся валов, увеличивают износ подшипни-ков. Поэтому при проектировании механизмов стараются достичь полного или частичного по-гашения динамических давлений (задача об уравновешивании сил инерции механизмов).

Звено механизма будет считаться уравновешенным, если его главный вектор и главный мо-мент сил инерции материальных точек будут равны нулю. Неуравновешенным может быть ка-ждое звено механизма в отдельности, но механизм при этом в целом может быть уравновешен полностью или частично. Проблему уравновешивания сил инерции в механизмах можно разде-лить на две задачи: 1) об уравновешивании давлений в кинематических парах механизма 2) об уравновешивании давлений механизма в целом на фундамент.

Огромное значение имеет уравновешивание вращающихся звеньев. Незначительный дисба-ланс быстро вращающихся роторов и электродвигателей вызывает большие динамические дав-ления на подшипники.

1.2. Уравновешивание вращающихся тел

Задача об уравновешивание вращающихся тел состоит в таком выборе их масс, при котором произойдёт полное или частичное погашение добавочных инерционных давлений на опоры.

Результирующая центробежная сила инерции: 2 2u i i SP m r mr= ω = ω∑

Результирующий момент всех сил инерции тела относительно плоскости, проходящей через центр масс.

_22

raiiii JarmM ωω =∑= ,

где m – масса всего тела, sr - расстояние центра S масс тела от оси вращения; _

raJ - центро-бежный момент инерции относительно оси вращения и плоскости, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центр S масс тела.

При вращение тела угол между векторами _

иР и _

иМ сохраняет всё время одно и тоже значе-

ние α . Если результирующая сила инерции _

иР и результирующий момент _

иМ сил инерции равны нулю, тогда тело будет полностью уравновешенным, а значит вращающееся тело не ока-зывает никаких динамических давлений на опоры.

S i imr m r 0= =∑ (1)

ya i i iJ m r a 0= =∑ (2)

Эти условия будут выполняется только тогда, когда центр масс тела будет лежать на оси вращения, которая будет являться одной из его главных осей инерции. Если одновременно вы-

полняются равенства (1) и (2), то центробежный момент инерции _

raJ будет равен нулю. Если

25

выполняется (1) условие, то тело считается уравновешенным статически, если выполняется (2) условие, то тело считается уравновешенным динамически.

Статический дисбаланс CΔ измеряется статическим моментом.

srC G (н м)Δ = ⋅ (3)

G – вес вращающегося тела, н.

Динамический дисбаланс ДΔ вращающегося тела измеряется величиной

2Д i i iG r a (н м )Δ = ⋅∑ (4)

На практике неуравновешенное тело уравновешивают при помощи противовесов. Вращаю-щиеся тела, у которых общая длина а значительно меньше их диаметра, имеют незначительные центробежные моменты инерции raJ ; поэтому такие тела достаточно уравновесить только ста-тически.

Предположим, что тело А статически неуравновешенно. В простейшем случае противовес помещают на линии, проходящей через центр тяжести S, по другую сторону от оси вращения на расстоянии прr от неё. (рис. 1)

1 P 1

m 1

A S

C m ï ð

P 2 m 2

P u

r

s

a 1 a 2

r

ï

ð

Рис. 1

Массу прm противовеса находим из уравнения (1.) :

sпр

пр

rm mr

= (5)

Вместо установки противовеса можно удалить часть массы. Величина удаляемой массы оп-ределяется по формуле (5). Иногда плоскость крепления противовеса не может быть выбрана конструктивно в той плоскости вращения, в которой расположены неуравновешенные массы. В этом случае можно установить два противовеса в двух перпендикулярных к оси вращения плоскостях, обычно называемых плоскостями исправления, но при этом необходимо исключить возможность появления давления на опоры не только от результирующей силы инерции, но и от моментов сил инерции. Массы 1m и 2m противовесов определяем вы соответствии с форму-лами (1) и (2) из уравнений

прпрs rmrmmr 21 +=

и ,02211 =− armarm прпр

откуда

26

s 2 s 11 2

пр 1 2 пр 1 2

r a r am m и m mr (a a ) r (a a )

= =+ +

(6)

Сложив массы этих противовесов, получим

s1 2 пр

пр

rm m m m ,r

+ = ⋅ =

а из их отношения найдём

1

2

2

1

aa

mm

=

Полное уравновешивание вращающегося тела может быть достигнуто также при помощи двух противовесов, расположенных в произвольно выбранных плоскостях 1 и 2 и на произ-вольных расстояниях от оси вращения.

Вращающиеся тела обычно выполняют так, чтобы они были уравновешены сами по себе. Чаще всего вращающиеся тела выполняют в форме одного или нескольких цилиндров, имею-щих общую ось, совпадающую с осью вращения тела. Однако во многих случаях такая форма не может быть выполнена и вращающееся тело без противовесов является неуравновешенным. Для определения величины и положения противовесов необходимо по чертежу выделить урав-новешенную часть тела и определить для оставшихся частей – колен, кулачков и т.д. центры тяжести их, считая, что в них сосредоточены массы этих частей.

Предположим, что для какого-либо тела все его неуравновешенные массы свелись к трём неуравновешенным массам (рис.2). Пользуясь методом приведения вектора к заданному цен-тру, можно любое число вращающихся в различных плоскостях масс уравновесить двумя про-

тивовесами. Пусть центры тяжести масс 21, mm и 3m расположены в трёх плоскостях, перпен-дикулярных к оси вращения. Условия отсутствия давления на подшипники от главного вектора и главного момента относительно центра приведения 1О центробежных сил инерции выража-ются уравнениями:

27

1 2 m 1 m 2

m 3

a 2

a 1

r

2 r

1

r

3

y

a 3 0 1

0

1 2

3 n

0

1 2

3

n 1

m

k

1 2

0

1

2

3

m

2 r

2

m

1 r

1

m 3 r

3

0

p r

a

1 x

m

1 r

1

a

2 x m

2 r

2

a 3 x m

3 r

3

Рис. 2

n ___

i i1

m r 0=∑

n _ ___

i i i1

a m r 0⋅ =∑

Строим многоугольники векторов сил и векторов моментов рис.2(г, д). Уравновешивающим

в первом случае является вектор __

3О , изображённый в плоскости 2 вектором __Оm ,(рис. 2 в) а во

втором – вектор __

rO (рис. 2 д), изображающий повёрнутый момент пары векторов __

On , распо-

ложенного в плоскости 1, и __

1On__

1On , расположенного в плоскости 2. Каждый из них равен по

величине a

rO__

. Таким образом, заданные массы 21, mm и 3m будут полностью уравновешены

двумя массами, расположенными вдоль __

On в плоскости 1 и вдоль равнодействующей __Ок в

плоскости 2. Из изложенного следует, что: 1.) любое количество вращающихся масс, расположенных в одной плоскости вращения,

уравновешивается одним противовесом, находящимся в той же плоскости, при соблюдении ус-ловия равновесия

28

n

i i1

m r 0=∑

(7)

2.) любое количество масс, лежащих в разных плоскостях вращения, уравновешивается дву-мя противовесами, установленными в двух произвольных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, при соблюдении двух условий равновесия:

n

i i1

m r 0=∑

(8)

m

i i i1

a m r 0⋅ =∑

1.3. Уравновешивание механизмов на фундаменте

Для уравновешивания плоского механизма на фундаменте необходимо и достаточно так по-добрать массы звеньев этого механизма, чтобы общий центр масс движущихся звеньев его ос-тавался неподвижным: constxs = (9)

constys = и центробежные моменты инерции масс звеньев относительно осей x и z, y и z были посто-

янными: xz yzJ const, J const.= = (10)

При соблюдении этих условий будут уравновешены главный вектор сил инерции и главные моменты сил инерции относительно осей x и y. Главный момент сил инерции относительно оси z, перпендикулярной к плоскости движения механизма, уравновешивается моментом движущих сил и сил сопротивлений на главном валу машины.

На практике при уравновешивании механизмов указанные условия (9) и (10) выполняются частично.

A S 1

B C S 2

S 3

D A

S 1

B C S 2

S 3

D

A

S 1

B C

S 3

D S 2

Рис. 3

29

Пусть, например, дан механизм шарнирного четырёхзвенника ABCD (рис. 3) требуется уравновесить только главный вектор сил инерции. Обозначим массы звеньев AB, BC и CD со-ответственно через 21, mm и 3m ; длины звеньев – через 21, ll и ,3l а расстояние центров тяжести

21, SS и 3S этих звеньев от точек А, В и С – через 21, ss и 3s . Для удовлетворения условия (9.) необходимо, чтобы общий центр S масс механизма находился на прямой AD, либо между точ-ками А и D, либо за ними. В этом случае центр S масс механизма при его движении будет оста-ваться неподвижным и, следовательно, главный вектор сил инерции механизма будет уравно-вешен.

Массы звеньев и положения центров тяжести их должны быть подобраны так, чтобы

2 11 1 2 2

2

m lm S (l S )l

= − − (11)

).( 333

2322 Sl

llmSm −−=

(12)

Если механизм состоит из n подвижных звеньев, то при решение задач о подборе масс меха-низма, удовлетворяющих условию уравновешенности главного вектора сил инерции механиз-ма, имеем 2n неизвестных величин; уравнений же, связывающих эти величины, можно соста-вить (n-1). После произвольного выбора (n+1) величин остальные величины получают опреде-лённые значения. В исследуемом механизме количество подвижных звеньев n=3, количество подбираемых величин 2n=6, число же независимых уравнений n-1=2. Таким образом, задаваясь, например, значениями m3 и s3, из уравнения (12) получаем значение m2s2, в котором можно за-даваться одним из неизвестных и получать другое. Подставляя полученные значения в уравне-ние (11), определяем значение m1s2, в котором также можно задаться одной величиной. Из урав-нений (11) и (12) при различных исходных заданиях можно получить три варианта схем урав-новешенного четырёхзвенного механизма Рис. 3(а, в, д). Следовательно, если считать, что рас-положение центра тяжести звена за его шарнирами соответствует как бы установке противове-са, то можно сказать, что задачу уравновешивания главного вектора сил инерции механизма шарнирного четырёхзвенника можно решить путём установки противовесов на двух его звень-ях.

Аналогичным образом можно решить задачу подбора масс отдельных звеньев для уравно-вешивания шарнирного шестизвенника и любого механизма, образованного путём наслоения двухповодковых групп. Дав уравнения (9.) можно заменить одним векторным уравнением sr const= (13)

Где rs- вектор, определяющий положение общего центра масс. Условие (13) удовлетворяется в частности, когда rs=0 ; это условие приводит к способу под-

бора механизмов с симметрично расположенными звеньями равных масс, вследствие чего по-лучается самоуравновешивание механизма в целом.

30

A

B

B 1

C C 1

A

B

B 1

C C 1

D

D 1

Рис. 4

На рисунке 4 показаны схемы симметричных кривошипно-ползунного и шарнирного четы-рёхзвенного механизмов. В тех случаях, когда размещение звеньев в симметричных механиз-мах очень громоздко или подбор масс конструктивно нецелесообразен, применяется метод ус-тановки противовесов.

Пусть, например, требуется уравновесить только главный вектор сил инерции кривошипно-ползунного механизма, схема которого изображена на рисунке 5. Обозначим массы кривошипа 1, шатуна 2 и ползуна 3 через m1, m2, m3 и будем считать их сосредоточенными соответственно в центрах тяжести S1, S2 и В звеньев. Устанавливаем на линии АВ в точке D противовес и опре-деляем его массу mпр из условия, чтобы центр тяжести масс mпр, m2 и m3 совпадал с точкой А. Из уравнения статических моментов относительно точки А имеем

,223 cmamLm пр=+

откуда

).(1232amLm

cmпр +=

Массу 1прm , противовеса, установленного в точке С кривошипа, определяем из условия, что-

бы центр тяжести масс 1прm , 1m и 322

mmmm прA ++= совпадал с точкой О. Из уравнения стати-ческих моментов относительно точки О находим

).(111lmRm

sm Aпр +=

Радиусы s и с противовесов выбираются произвольно. После установки противовесов центр

масс механизма во всех его положениях будет совпадать с точкой О и, следовательно, будет во всё время работы оставаться неподвижным. Таким образом, два противовеса

1прm и 2прm полно-

стью уравновешивают все силы инерции рассматриваемого механизма. Однако подобное пол-ное уравновешивание сил инерции кривошипно-ползунных механизмов на практике применяют редко, так как при малом значении радиуса с масса

2прm получается весьма большой, что ведёт к появлению добавочных нагрузок в кинематических парах и звеньях механизма. При большом значении радиуса с сильно увеличиваются габаритные размеры всего механизма. Поэтому час-то ограничиваются лишь приближённым уравновешиванием сил инерции. Так, в кривошипно-ползунных механизмах метод установки противовеса на кривошипе является наиболее распро-странённым методом приближённого уравновешивания сил инерции. В этих механизмах на практике часто применяют уравновешивание только массы кривошипа и части массы шатуна.

31

D

C

A

1

2 3

s

R

C a L

e w S 1

S 2

0

Рис. 5

2. Анализ движения механизма под действием сил

2.1. Основные режимы движения механизма

При решении некоторых вопросов динамики механизма с одной степенью свободы можно применить закон изменения кинетической энергии, который формулируется так: приращение кинетической энергии механизма на конечном его перемещении равно алгебраической сумме работ всех задаваемых сил.

∑=− ATT 0 ,

где ∑=2

2υmT - кинетическая энергия механизма в произвольном положении

∑=2

20

0υmT - кинетическая энергия механизма в начальном положении

∑ A - алгебраическая сумма работ всех сил и моментов, приложенных к механизму

Для плоскопараллельного движения:

22

22SS mJ

Tυω

+= ,

где SJ - момент инерции звена относительно оси проходящей через центр масс S

По характеру изменения кинетической энергии полный цикл работы машинного агрегата в общем случае складывается из трех частей: разгона (пуска), установившегося и выбега (оста-новки) (рис. 1). Время tp характеризуется увеличением скорости ведущего звена, а это возможно когда дA > сA , а за время выбега дA < сA , т.е. кривая зависимости кинетической энергии в пер-вом случае монотонно возрастает, во втором случае - монотонно убывает.

32

Установившееся движение является более продолжительным. В течение этого этапа выпол-няется полезная работа, для совершения которой предназначен механизм. Поэтому полное вре-мя установившегося движения может состоять из любого числа циклов движения, соответст-вующих одному или нескольким оборотам кривошипа.

Имеем два варианта установившегося движения. Первый вариант: кинетическая энергия Tмеханизма в течение всего режима движения по-

стоянна. Пример: система зубчатых колес, вращающихся с постоянными угловыми скоростями, обладает постоянной кинетической энергией.

Второй вариант: характеризуется периодичностью движения ведущего вала механизма с не-большими колебаниями T внутри периода. Периодичность может включить один или два обо-рота кривошипа, например для двигателя периодичность изменения T- два оборота кривошипа.

Весь поток энергии, подводимой к машине, а также кинетическая энергия самой машины в процессе ее работы может быть сбалансирована так:

0=±±−− иAAрAпсAдA ТТ ,

где дА - работа сил движущая

псА -работа сил полезного сопротивления

ТрА -работа сил трения

ТA -работа сил тяжести

иA -работа сил инерции

Для времени установившегося движения, когда в конце цикла и в начале следующего цикла величина скорости одинакова, т.е. работа иA и ТA равны нулю, т.е.

трAисAдA +=

t ö

w

m

a

x

w

m

i

n w

c

p

t

w

Рис. 1

Пренебрегая силой трения, имеем псAдA =

Это уравнение является основным энергетическим уравнением установившегося периодиче-ского движения механизма.

Угловая скорость ведущего звена в пределах цикла установившегося движения в общем случае является величиной переменной.

33

Изменения угловой скорости звена приведения вызывают в кинематических парах дополни-тельные (динамические) давления, которые снижают общий КПД машины, надежность ее рабо-ты и долговечность. Кроме того колебания скоростей ухудшают рабочий процесс машины.

Колебание скорости является следствием двух факторов – периодического изменения при-веденного момента инерции механизма и периодического характера действия сил и моментов.

Кроме периодических колебаний скоростей в механизме могут происходить колебания и не-периодические, т.е. неповторяющиеся, вызываемые различными причинами, например внезап-ное изменение нагрузки.

Первый тип колебаний регулируется в пределах допустимой неравномерности движения, насаживанием на вал дополнительной массы (маховика).

Во втором случае задачу регулирования решают, устанавливая специальный механизм, на-зывающийся регулятором.

Пределы допускаемого изменения угловой скорости устанавливают опытным путем. Нерав-номерность движения машины характеризуется отношением абсолютной неравномерности

minmax ωω − к ее средней скорости

срω

ωωδ minmax +

=

Обычно задают δ и срω , где30n

срπ

ω =

Имея следующие соотношения:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

ср

cp

ω

ωωδ

ωωω

minmax2

minmax

(1)

Решаем совместно два уравнения (1) и находим:

)2

1(maxδωω += cp

)2

1(minδωω −= cp

Или пренебрегая величиной 4

2δ

ввиду ее малости получаем: 2 2 (1 )max cpω = ω + δ 2 2 (1 )cpminω = ω − δ

Периодическая неравномерность хода машины, как правило, представляет вредное влияние и может быть допущена для большинства машин лишь в определенных пределах. Эти вредные явления в машинах выражаются, например, в следующем: рывки при движении транспортных машин, обрыв нити в текстильных машинах, перегревание обмоток электродвигателей, мигание света из-за неравномерности вращения якоря генератора электрического тока, недостаточная чистота и точность обработки поверхностей деталей на металлорежущих станках, неоднород-ность и не одинаковая толщина сварных швов при сварке с помощью сварочных автоматов, разрыв листа во время вытяжки изделий на прессах и т. п.

Допускаемая неравномерность хода машины задается коэффициентом δ и зависит от назна-чения машины. Эти величины установлены многолетним опытом эксплуатации машины.

34

Вот примеры значений δ : металлорежущие станки 1 1...

25 50δ =

электрогенераторы переменного тока δ=1/200…1/300,

с/х машины δ=1/5…1/50,

судовые двигатели δ=1/20…1/150,

авиационные двигатели δ=1/300 и менее, асинхронные двигатели

δ= 1/20…1/30

Таким образом, maxω и minω отличаются от заданной средней угловой скорости cpω на

срωδ

2, что при δ=1/25 составляет всего 2%, а при δ=1/50 наибольшее отклонение составит все-

го 1% от cpω . Отсюда видно, что даже при сравнительно больших δ, движение ведущего звена машины достаточно равномерно.

Движение ведущего звена тем ближе к равномерному, чем больше приведенный момент инерции или приведенная масса механизма. Увеличение приведенных масс и момента инерции производится практически посадкой на вал машины маховика с определенной массой и момен-том инерции.

2.2. Приведение масс, сил и моментов

При анализе работы машины и определении закона движения начального звена механизма с одной степенью свободы удобно оперировать не действительными массами, которые движутся с переменными скоростями, а массами, или эквивалентными, условно перенесенными на какое-либо звено механизма.

Точно так же силы или моменты, приложенные к отдельным звеньям, могут быть условно заменены силой или моментом, приложенным к какому-либо звену механизма.

Приведенной силой называется такая сила, мощность которой равна сумме мощностей всех сил, приложенных к звеньям.

Звено, к которому приложена приведенная сила, называется звеном приведения. Пусть на кривошипно-ползунный механизм действуют силы: nG , ncP (рис.2)

2 1

P è ñ . 2

Ñ

3 À

Â

S 1

P n c

G 1

P 1

Условно заменим эти две силы, приведенной силой, nP приложенной в точке B, мощность

которой

35

n AN P= ⋅υ (2)где

piN N= ∑ , (3)

то есть сумме мощностей всех сил.

Мощность любой силы, приложенной в "i " точке исходя из предыдущего раздела может

быть определена как момент этой силы относительно конца вектора скорости piM

Поэтому

pi pin i i i i

B

N MP P cos M

V= = = ⋅υ ⋅ α + ⋅ω

ω∑ ∑ ∑ (4)

Мощность можно записать через приведенный момент сил nN M= ⋅ω (5)

Откуда приведенный момент

pi i i i iпр

N P cos MM⋅υ ⋅ α ⋅ω

= = +ω ω ω

∑ ∑ ∑ (6)

Приведенная масса есть такая фиктивная масса, сосредоточенная в точке звена приведения, кинетическая энергия которой равна кинетической энергии всего механизма

22

22ipi

iBn J

EVm ω⋅Σ=Σ=

⋅

Откуда

2

2

B

ipin V

Jm

ω⋅Σ= ,

где nI – приведенный момент инерции звена,

nω - угловая скорость звена приведения,

Bυ - скорость точки В звена приведения.

Приведенный момент инерции

Приведенным к главному валу (звену приведения) моментом инерции nI называется такой условный момент инерции, обладая которым главный вал имеет в данном положении машины кинетическую энергию, равную кинетической энергии всего механизма.

Кинетическая энергия звена приведения равна

2 2

i sin n n nn k

mJ JE E2 2 2

⋅υ⋅ω ⋅ω= = +∑ ∑ ∑ (8)

где piI – момент инерции " i " звена,

iω – угловая скорость " i " звена.

Расчетная формула приведенного момента инерции в общем виде

2 2

siin si i

n n

J J m⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞υω⎢ ⎥= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ (9)

36

2.3. Уравнение движения механизма

Большинство машин работает, как правило, в установившемся режиме, который характери-зуется тем, что машина получает от двигателя за 1 цикл столько энергии, сколько она расходует её за то же время на производство работы, для которой она предназначена.

Циклом называют промежуток времени, по истечении которого все параметры, характери-зующие работу машины, повторяются (периодическое повторение скоростей, ускорений, на-грузки и т. п.). Движение звеньев машины, таким образом, носит периодический характер. По-нятие об установившемся движении вовсе не означает, что ведущее звено машины движется равномерно.

Рассмотрим уравнение движения звена приведения:

ϕωε

ddJJМM n

nпс

пд ⋅+=−

2

2, откуда

n

nпс

nд

JddJМM

ϕω

ε⋅−−

= 2

2

Из этого уравнения следует, что для равномерного движения (т. е. когда ε=0) в любой мо-мент цикла должны соблюдаться условия:

constJn = и пс

пд МM = или

ϕω

ddJМM nп

спд ⋅=−

2

2,

т.е. изменения момента должен следовать закону изменения произведения ϕ

ωddJn⋅

2

2, что на

практике не может быть доступно простыми средствами. Таким образом, даже при

пс

пд МM = , но var=nJ , 0≠ε ,

так как в таком случае

ϕωε

ddJJ n

n ⋅−=2

2

Так, например, кривошип строгательного станка, в состав которого входит кулисный меха-низм, или кривошипного пресса, в состав которого входит кривошипно-ползунный механизм, даже без нагрузки )0( == п

спд МM не будут двигаться равномерно.

Равенство моментов на практике соблюдается чрезвычайно редко. Вследствие этих причин установившееся движение машин происходит с периодическим изменением скорости, которая внутри цикла изменяется в приделах:

minmaxωωω ≥≥ (см. рисунок 1).

Большинство машин работает, как правило, в установившемся режиме, который характери-зуется тем, что машина за один цикл затрачивает такую работу, которую она получает за цикл от двигателя, т. е. обязательным условием установившегося движения является.

2.4. Определение момента инерции махового колеса

Физическая роль маховика в машине Физическую роль маховика в машине можно представить себе следующим образом. Если в

пределах некоторого угла поворота начального звена механизма работа движущих сил больше

37

работы сил сопротивления, то начальное звено вращается ускоренно и кинетическая энергия механизма увеличивается.

При отсутствии маховика весь прирост кинетической энергии распределяется между масса-ми звеньев механизма. Маховик увеличивает общую массу механизма и поэтому при том же увеличении кинетической энергии прирост угловой скорости без маховика будет больше, чем при наличии маховика.

Итак, маховик является аккумулятором кинетической энергии, расходующим ее, когда рабо-та сил сопротивления больше работы сил движущих.

Маховик выполняют в форме сплошного диска или шкива со спицами и массивным ободом и укрепляют на валу машины. Особенно большое значение имеет установка маховика для ма-шин, работающих с резко возрастающей нагрузкой (пресса, дробилки, прокатные станы). В данных машинах накопленная маховиком энергия используется для преодоления повышенных полезных нагрузок без увеличения мощности двигателя.

Определение момента инерции маховика при constJ n = .

Задача об удержании скорости ведущего звена в заранее заданных пределах

max minω ≥ ω ≥ ω может быть решена с помощью постановки на одно из звеньев машины, со-

вершающих вращательное движение, диска с необходимым (расчетным) моментом инерции. Пусть задано δ, ωcp, n

cM ( )ϕ (φ) и constJ n =

Последнее означает, что движение всех звеньев связано с движением ведущего звена меха-низма постоянным передаточным отношением.

Требуется определить такой момент инерции маховика MJ , чтобы скорости ведущего звена не выходили за пределы ωmax и ωmin, которые определяются по формуле:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

±=2

1maxmin

δωω ср

В случае, когда constJ n = эти значения угловой скорости будут соответствовать положе-

ниям звена приведения, когда кинетическая энергия механизма будет принимать экстремальные значения, что в общем случае не имеет места при constJ n = .

Отметим, что случай constJ n = в известном смысле распространяется и на случай, если

varJn = . Дело в том, что методах Мерцалова и Гутьяра прежде, чем рассчитать момент инер-

ции маховика, его кинетическая энергия выделяется из кинетической энергии машины и таким образом задача сводится к определению момента инерции маховика для системы с constJn = .

Получим уравнение, с помощью которого можно определить JM механизма, удовлетворяю-щий постоянному условию.

В случае constJ n = , 0/ =ϕddJn и дифференциальное уравнение движения машины

принимает вид:

εnпс

пд JМM =−

и т. к.

ϕ

ωω

ω

ϕ

ωωε

d

d

d

d

dt

d=== ,

38

то, обозначив M nnc

Mnд

M =− ,

будем иметь ϕ

ωω

d

d

nJM n =

Интегрируя это уравнение на участке углов поворота звена приведения от ϕιϕι до ϕκ , бу-

дем иметь:

k k

i k

i i

2 2k i

n n nM d J d или T J2

ϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

ω − ωϕ = ω ω Δ∫ ∫ ∼ (*)

Т. к. полученное равенство справедливо для любых значений угла поворота главного вала, то выберем углы поворота ϕι и ϕκ так, чтобы они соответствовали экстремальным значениям

угловых скоростей звена приведения. Пустьϕι соответствует min

ω , а ϕκ -max

ω . Тогда

наибTTTki

T Δ=−=Δ minmax~ ϕϕ представит наибольший перепад кинетической энергии

машины за цикл и уравнение (*) запишется так:

δωω

ωωωωωωωcpn

cp

cpnnнаиб JJJT =

+⋅

−=

−=Δ

)(2

)(2

minmaxminmax2min

2max

откуда

наибn 2

ср

TJ Δ=

ω δ (**)

По этой формуле может быть определен приведенный момент инерции механизма при за-данной нагрузке, ωср и δ. Как видим, для совершенно равномерного движения звена приведения (δ=0) ∞=nJ .

Заметим, что вид этой формулы сохраняется и в том случае, если var=nJ , т. к. из кинети-ческой энергии механизма выделяется

кинетическая энергия маховика, у которого nJ const= и тогда наибTΔ будет отнесено к ма-ховику. Можно так же показать, что при одной и той же нагрузке потеря скорости звена приве-дения будет тем меньше, чем больше момент инерции звена приведения:

( ) наибcpnnnнаиб JJJT ωωωωωωωωΔ=−

+=

−=Δ minmax

minmax2min

2max

22

откуда

cpn

наибнаиб J

Tω

ω Δ=Δ

Эта зависимость оправдывает наше утверждение, т. е. чем больше инерционность механиз-ма, тем меньше потери скорости. Заданного значения δ добиваются путем постановки на одно из вращающихся звеньев механизма маховика с требуемым приведенным к звену приведения моментом инерции, который вычисляется из условия:

∑−=n

JзвniJ nJ M

1,

39

Где MJ - приведенный к звену приведения момент инерции маховика;

n звJni

1∑ - сумма приведенных к звену приведения моментов инерции всех

звеньев механизма (без маховика);

Jn - расчетный приведенный момент инерции звена приведения, вычисленный по формуле

(**). Обычно нагрузка на машину задается в виде графика приведенных моментов сил сопротив-

ления и по этой нагрузке подбирается соответствующий двигатель, момент которого задается в виде графика приведенных к звену приведения движущих сил. Интегрируя эти графики на про-тяжении одного цикла, получают работу сил движущих и сил сопротивления за цикл (рис. 3). Для установившегося движения (Ад) цикла = (Ас) цикла – это является основным условием ус-тановившегося движения и служит основанием для определения мощности двигателя.

Затем, вычитая из ординат графика Ад(φ) ординаты графика Ас(φ), получают график избы-точных работ или, что одно и тоже, график приращений кинетической энергии машины, по ко-торому и определяют наибTΔ и подставляют в формулу (**).

D

T

í

à

è

á

À

ñ

.

ö

. =

À

ä

.

ñ

.

f

f

f

Ì n

0

0

0

A c

A ä

À è ç á = D Ò

Ì n ä

Ì n c

f ö

Рис. 3

Отметим, что операцию вычитания можно произвести сразу на графике моментов и, минуя при этом график работ, получить график ∆Т (φ). Это следует из того, что интеграл суммы равен сумме интегралов.

Как видим, Mnд и M

nс имеют не одинаковые значения в различных положениях механиз-

ма. Маховик накапливает кинетическую энергию на участках цикла, где nnM Mсд> и поэтому

40

скорость звена приведения возрастает. На участках же, где nnM Mсд< , маховик и другие звенья

механизма отдают кинетическую энергию, снижая скорость, и дополняют момент движущих сил до равенства с моментом сил сопротивления за счет инерционного момента сил тормозя-щихся масс. Таким образом, маховик выполняет роль аккумулятора кинетической энергии, ко-торый накапливает и отдает ее в соответствующих положениях механизма, снижая потерю ско-рости звена приведения.

Отметим следующее: 1. Для определения наибTΔ нет необходимости иметь график полной кинетической энергии

машины. Достаточно иметь график ее приращений. 2. Нет необходимости вычислять предельные скорости maxω и ωmin кроме отдельных

специальных случаев, когда по ним определяется δ (например определения δ, если машина при-водится от асинхронного двигателя).

3. При постоянном приведенном моменте инерции механизма и постоянной нагрузке ∆T=0 при любом φ, в этом случае маховик не нужен.

4. После того, как найден наибn 2

ср

TJ Δ=

ω δ, можно построить график полной кинетической энер-

гии машины T(φ) (рис. 4) и, следовательно могут быть определены действительные угловые скорости звена приведения в любом положении механизма. Положение оси абсцисс графика полной кинетической энергии машины определяется из тех соображений, что известны значе-ния полной кинетической энергии при экстремальных значениях угловых скоростей звена при-ведения:

2

2max

maxωJ

T n= ; ( )μTOAT = ,

T m a x = J n w 2 m a x / 2

f

T

A

O 0 Рис. 4

откуда ( )μ

ω

μ T

J n

T

TOA2

2maxmax == .

5. Форма кривой графика Т(φ) определяется внешними силами, действующими на механизм, и при отсутствии последних будет представлена прямой параллельной оси абсцисс для любого механизма независимо от его структуры, как при constJn = , так и при var=nJ .

Как отмечалось выше, задача об удержании скорости ведущего звена машины в заранее за-данных пределах

minmaxωωω ≥≥ может быть решена с помощью постановки на одно из

звеньев, совершающих вращательное движение, маховика с необходимым моментом инерции.

41

Покажем, как рассчитать δ для асинхронного двигателя. Из технического задания на проектирование машины обычно бывают известными: произво-

дительность машины, механическая характеристика силы сопротивления и тип двигателя. В подавляющем большинстве случаев в качестве двигателя принимается асинхронный элек-

тродвигатель как наиболее простой и дешевый. По заданной производительности машины рассчитывается средняя угловая скорость cpω

главного вала машины, а затем определяется работа силы сопротивления за цикл и мощность двигателя:

ϕ

ω

ц

срA цс

tц

A цсN ср

.... ==

После того, как проведен энергетический расчет машины и определена мощность электро-двигателя, производится расчет момента инерции маховика. Для привода проектируемой ма-шины по каталогу можно выбрать электродвигатели различных типов с одной и той же мощно-стью. Например, для привода машин с неравномерной и пиковой нагрузками применяются электродвига-

тели типов АО и АОС. Покажем, как выбор того или иного типа электродвигателя влияет на величину коэффициента неравномер-

ности движения машины, а следовательно на размеры ее маховика. Исходя из данных механической характеристики асинхронного электродвигателя (рис. 5),

можно установить математическую связь между номинальным скольжением ротора электро-двигателя и коэффициентом неравномерности движения машины.

С достаточной для практики точностью можно принять, что устойчивая часть механической характеристики асинхронных двигателей прямолинейна, тогда (рис. 4) из подобия треугольни-ков имеем:

λ

ωωω

ωωω

ωωωω

==−

−

=−

−=

SS

ММ

н

кр

с

нс

с

крс

нс

крс

н

кр

где: крМ - критический момент, при котором двигатель переходит на неустойчивую часть

механической характеристики;

нМ - номинальный момент на валу электродвигателя;

сω - синхронная угловая скорость ротора электродвигателя;

нω - номинальная угловая скорость электродвигателя;

ωкр - критическая угловая скорость ротора электродвигателя;

крS - критическое скольжение ротора электродвигателя,

определяемое равенством:

ωωωc

ccкрS

−= ,

42

гдеS н - номинальное скольжение ротора электродвигателя,

определяемое равенством:

ωωωc

нcнS

−=

λ- коэффициент опрокидывания.

w ê ð

w m i n

w í = w c p

w m a x

w c

w

M

M ê ð

M í

l = Ì ê ð / M í > 2

w ê ð

w m i n

w í = w c p

w m a x

w c

w

M

M ê ð

M í

l = Ì ê ð / M í < 2

Рис. 5

Из таблицы технических данных асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ро-тором общего назначения следует, что для двигателей типа АО (электродвигатели в закрытом обдуваемом исполнении) с синхронным числом оборотов ротора, равным 1000 об/мин коэффи-циент опрокидывания колеблется в пределах λ=1,8…2,2, а для двигателей для АОС (электро-двигатели с повышенным скольжением в закрытом обдуваемом исполнении) при том же значе-нии синхронных чисел оборотов коэффициент опрокидывания лежит в пределах:

λ=2,2…2,6. В соответствии с этим рассмотрим два случая, предварительно заметив, что в качестве сред-

ней угловой скорости принята номинальная угловая скорость ротора электродвигателя и пре-дельные значения угловых скоростей ротора

maxω и

minω поэтому должны симметрично

располагаться по отношению к его номинальной угловой скорости ωω срн =

Случай 1. Этот случай соответствует, когда коэффициент 2≥λ , тогда ωω кр>min , а

максимальное значение угловой скорости принимаем равным синхронной угловой скорости. Исходя из этих соображений, находим предельные угловые скорости ротора:

ωω c=max ,

( ) ωωωωωω сннcн −=−−= 2min

Далее определяем коэффициент неравномерности движения машины:

43

( )ω

ω

ωωω

ωω

ωωω

ωωωω

ωωωδ

н

сн

с

н

с

нс

н

нс

н

ссс

ср

S2

2222minmax =

−

=−

=−−

=−

=

И так ( )SS нccнсн −=−= 1ωωωω , то

н

н

S1 S

δ =−

(1)

Случай 2. Этот случай соответствует коэффициенту опрокидывания λ<2, тогда ωω c<max , а минимальное значение угловой скорости принимаем равной критической угловой скорости ротора. Как и прежде, находим предельные значения угловых скоростей ротора:

ωω кр=min

( ) ωωωωωω крнкрнн −=−+= 2max

Далее определяем коэффициент неравномерности движения машины: ( )

( ) =−−

−−=−=

−=

−−=−= ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

SS

нс

крс

н

кр

н

крн

н

кркрн

ср 11

121222minmax

ωω

ωω

ωωω

ωωωω

ωωωδ

SSS

SS

н

нкр

н

кр

−−

=−−

−= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

12

11

12

Итак,

кр н

н

S S2

1 S−

δ =−

(2)

Полученные в обоих случаях δ являются одновременно и критическими значениями. В качестве примера возьмем два электродвигателя одинаковой мощности и с одинаковыми

синхронными числами оборотов ротора Но разных типов: Двигатель типа АО мощностью 40 квт и синхронным числом оборотов ро-

тора, равным 1000 об/мин и двигатель типа АОС с теми же показателями. Для обоих двигателей коэффициент опрокидывания 2>λ , поэтому коэффициент неравномерности движения вы-числяем по формуле (1). Для двигателя типа АО получим δ=0,0204; а для типа двигателя АОС δ=0,087.

Рассматривая эти результаты видим, что при всех прочих равных условиях момент инерции маховика , работающего с двигателем типа АО должен быть в 4,3 раза больше момента инерции маховика, работающего с двигателем типа АОС.

Надо иметь в виду, что двигатель никогда не доведет угловую скорость маховика до значе-ния соответствующего синхронной скорости ротора, т. к. в машине всегда присутствуют вред-ные сопротивления (трение, гидравлические сопротивления смазки, сопротивление воздуха и т. п.). В силу этих причин ωω c>max и при определении δ следует всегда вводить на это неко-торую поправку. Кроме того, нельзя доводить значение ωmin до критической скорости и поэтому должно иметь место следующее соотношение: ωкр<ωmin

44

Технические данные асинхронных электродвигателей с короткозамкнутым ротором общего назначения. Синхронное число оборотов ротора 1500 об/мин.

Тип АО – электродвигатели в закрытом обдуваемом

исполнении

Тип АОС - электродвигатели с повышенным скольжением в

закрытом обдуваемом исполнении Номиналь-ная мощ-ность квт

Номиноаль-ное число обо-ротов ротора

об/мин

Коэф-т опроки-дывания

Номиналь-ное сколь-же-ние

Номиноаль-ное число обо-ротов ротора

об/мин

Коэф-т опроки-дывания

Номинальное скольжение

1,0 1410 2,0 0,060 1300 2,3 0,133 1,7 1420 2,0 0,053 1300 2,3 0,133 2,8 1420 2,0 0,053 1300 2,3 0,133 4,5 1440 2,0 0,040 1335 2,3 0,110 7,0 1440 2,0 0,040 1335 2,3 0,110 10 1460 2,3 0,027 1350 2,5 0,100 14 1460 2,3 0,027 1350 2,5 0,100 20 1460 2,3 0,027 1350 2,5 0,100 28 1460 2,3 0,027 1365 2,6 0,090 40 1470 2,3 0,020 1380 2,6 0,080 55 1470 2,3 0,020 1395 2,6 0,070 75 1470 2,3 0,020 1395 2,6 0,070 100 1470 2,3 0,020 1395 2,6 0,070 Определение угловой скорости главного звена при заданном приведенном моменте. Пусть для машины задан закон изменения приведенного момента

constfCMиfgM === )()( ϕϕ

f

f

M c

M q

A c A q

P è ñ . 6 .

A

M

Согласно закону сил изменение кинетической энергии механизма равно работе внешних сил

∫ +==−ϕ

ϕϕ0

)()(01 dQMgMAEE

(11)

где Е0 – кинетическая энергия механизма в начальный момент,

45

A(φ) – работа внешних сил, произведенная внешними силами движущими и силами сопро-тивления за время поворота начального звена на угол φ.

После построения диаграммы избыточного момента нетрудно построить диаграмму измене-ния кинетической энергии

∫==−ϕ

ϕϕ0

)()(01 dMAEE

Интегральную кривую можно построить методом графического интегрирования

)6.()(00

)( рисdCMCAиdgMgA ϕϕϕ

ϕ ∫=∫=

Работа gA есть площадь между кривой gM и осью ϕ .

Работа cA есть площадь между кривой CM и осью ϕ : E2-E1=Ag-Ac

Для нахождения реальной угловой скорости главного звена используем уравнение 8.

2

2ω⋅=

InE

откуда

InE22 =ω (12)

Строим в масштабе Ipμ диаграмму приведенного момента инерции )(ϕIn

f

P è ñ . 7 .

Ι n

f

Ι n

Δ E

Ι M

ψ m a x

ψ

Δ E

ψ m i n

46

Построением добиваемся исключения параметраϕ .Получаем замкнутую кривую )(InfE =Δ .

Отметим произвольную точку К и соединим ее с началом координат

Enk

Ik

nk

k

IE

IEtg

μμ

⋅⋅

==Ψ (13)

Из уравнений (12) и (13)

I

Etgμμω Ψ= 22

Подсчитав для каждого положения ω можно построить график )(ϕω f= (рис. 8)

P è ñ . 8 .

f

w m a x

w m i n

w

maxmax2

Ψ⋅= tgI

E

μμω (14)

minmin2

Ψ⋅= tgI

E

μμω (15)

cpωωωδ minmax −

= (16)

Отсюда

)1(2

1

)1(2

1

22minmin

22maxmax

δωωδωω

δωωδωω

−≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

+≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

cpcp

cpcp

и

и

Такое допущение можно сделать, так как δ – очень мало. Тогда

E

Icptgμ

μδω2

)1(2

max

⋅+⋅=Ψ (17)

E

Icptgμ

μδω2

)1(2

min

⋅−⋅=Ψ (18)

При заданных cpω и δ можно определить minmax ΨΨ и .

Если при этом уже построены диаграммы )( nIfE = , то можно определить дополнительный момент инерции, который необходимо добавить к механизму с целью получения механизма с лучшим коэффициентом неравномерности.

47

Под углами minmax ΨΨ и проводим лучи касательно к кривой )( nIfE = . В точке пересе-чения этих лучей получим новую систему координат с новым значением EиIn .

MI – приведенный момент инерции маховика.

Определение момента инерции маховика в случае, когда var=J n

Трудность решения задачи о маховике в этом случае заключается в том, что положения ме-ханизма с экстремальными значениями кинетической энергии и угловых скоростей в общем случае не совпадают и, следовательно, нет основания полагать, что наибольшему перепаду энергии T наибΔ соответствуют положения звена приведения, где имеют место ωmax и ωmin,

тогда δω2

срnнаиб JT ≠Δ, как это было при constJ n =

Тогда, представляя приведенный момент инерции состоящим из постоянной и переменной частей, запишем:

звMn JJJ += ,

где nJ - приведенный момент инерции механизма;

J M - приведенный момент инерции маховика;

звJ - приведенный момент инерции звеньев, движение которых связано с движением звена приведения переменным передаточным отношением (т. е. звеньев, направления движений ко-торых изменяются).

Заметим, что кинетическая энергия маховика будет иметь экстремальные значения в тех же положениях звена приведения, где будут иметь место экстремальные значения его угловой ско-рости;

2

2min

2max

minmaxωω −

=−=Δ nMMнаиб JTTT

(где индекс М означает принадлежность к маховику) т. к. . Поэтому, если из кинетической энергии машины выделить кинетическую энергию маховика

ТМ, то можно определить наибольший перепад его энергии, а затем определить и его необхо-димый момент инерции тем же методом, как это делалось для машин с constJn = .

Интегральные методы расчета маховика, основанные на решении уравнения движения ма-шины, представленного в виде закона изменения кинетической энергии, отличаются друг от друга способами определения наибольшего перепада энергии маховика наибTΔ .

Здесь существуют принципиально точные методы расчета без использования каких- либо упрощенных предположений и приближенные методы, использующие эти предположения.

Метод Мерцалова Н. И. (приближенный метод)

Предложен в 1914 году. Основан на выделении из кинетической энергии машины кинетиче-ской энергии маховика, как имеющего постоянный приведенный момент инерции constJ M = .

Пусть задана нагрузка на машину в виде зависимостей )(ϕncM и )(ϕn

gM . Тогда, интегри-руя уравнение движения, получим: TTT Δ+= 0 (*)

Представляя Т состоящей из энергии ТМ и Тзв звеньев будем иметь:

48

TTTT звM +=+ 0 ;

выделяя из кинетической энергии механизма энергию ТМ, получим:

звM TTTT −+= 0 .

Представим теперь ТМ таким образом: MM TTT += 0 ; (за То можно принять любое значе-ние кинетической энергии и вести от него отсчет приращений ∆ТМ).

Для удобства примем То, равным его значению в выражении (*), т. е. отсчет значений ∆ТМ будем производить от той же оси абсцисс, что и отсчет прираще-

ний кинетической энергии машины, тогда:

звM TTTTT −Δ+=+ 00 или M звT T TΔ = Δ −

Таким образом, чтобы построить график ∆ТМ(φ), надо иметь график ∆Т(φ) и кинетическую энергию звеньев Тзв(φ)

2

2ωJ звТ зв = .

График ∆Т(φ) получим, интегрируя диаграмму моментов.

Ò ç

f

f ö

Ì n

f

A

f

M n

c

M n

g

A ñ ö = A g ö

f ö

D Ò

Ì

í à è á

D Ò

Â

D

Рис. 9 Точки В и Д (рис. 9) приближенно соответствуют максимальному и минимальному значени-

ям кинетической энергии маховика ТМmax и ТМmin соответственно.

49

Далее надо построить график 2

зв срзв

JT ( )

2ω

ϕ = , однако мы не располагаем истинными значе-

ниями угловых скоростей и поэтому не можем построить этот график точно, но принимая во внимание, что при задаваемых значениях коэффициента неравномерность хода машины δ, ис-тинные скорости машины будут очень мало отличаться от средней ωср, можно построить этот график приближенно по зависимости:

2зв ср

зв

JJ ( )

2ω

ϕ = ,

тогда, вычитая из ординат графика ∆Т(φ) ординаты графика Тзв(φ) получим график ∆ТМ(φ), по которому графически легко найти приближенное значение наибольшего перепада кинетиче-ской энергии маховика ∆ТМ наиб, а затем и его момент инерции:

δω2ср

МнаибM

TJΔ

=

Метод Гутьяра Б.М. (точный метод) Этот метод был предложен в 1939 году. Ход рассуждений, касающийся Мерцалова, приме-

ним и в методе Гутьяра, однако из графика ∆Т(φ) будем вычитать энергию звеньев, вычислен-ную по формуле:

2)(

2maxωϕ JТ зв

зв = , тогда

2

2maxωJТ зв

М Т −Δ=Δ .

Очевидно, что в этом случае мы вычитаем завышенные по абсолютной величине значения ординат графика Тзв(φ), т. к. из ∆Т(φ) мы вычитаем величины больше чем следует по отноше-нию к истинному значению ординат, которые получились бы, если бы мы вычитали:

2

2ωJТ звзв =

где ω – истинное значение угловой скорости звена приведения. Определим на сколько завышены по абсолютной величине ординаты графика ∆ТМ(φ). Нам следовало вычитать:

2зв

зв 2

jТ =

ω,

а мы вычитаем

2

2maxωTT зв

зв =

следовательно, в каждом положении нами внесена ошибка

( )ωωωω 22max

22max

222−=−=Δ JJJ звзвзв

звJ выносится за скобки т. к. это приведенный момент инерции звеньев в одном и том же

положении.

50

Однако в положении звена приведения, где maxω = ω , ошибка ∆=0. Значит, в этом положении мы имеем истинное значение ∆ТМ. Этому положению соответствует:

2

2min

minωJT M

M =.

В результате построения кривых 1 и 2 (рис. 6), получим точки А и В, соответствующие мак-симуму и минимуму кинетической энергии маховика ТМmax и ТМmin.

Имея эти точки А и В на графике, находим точное значение наибольшего перепада кинети-ческой энергии маховика ∆ТМ наиб и вычисляем момент инерции маховика:

δω2ср

МнаибM

TJΔ=

f ö

D Ò

0 2

1 À |

À

Â

 | f i

f

Ò

Ì

m

i

n

T

M

m

a

x

D

Ò

Ì

í

à

è

á

D Ò ( f )

D Ò ( f ) - J ç â w 2 m i n / 2

D Ò ( f ) - J ç â w 2 m a x / 2

f

Рис. 10

Примечание 1: Все ординаты графиков в одном и том же положении механизма

2

2max

(max)ωJТ зв

зв = и 2

2min

(min)ωJТ зв

зв =

связаны зависимостью:

constcTTзв

зв ===ωω

2min

2max

(min)

(max).

Примечание 2: Учитывая пункт 1 примечания можно строить только одну кривую, например ТЗВ(min)(φ) и вносить соответствующую поправку в точке А΄, т. к. экстремальные значения для обеих кривых будут лежать на одной и той же ординате, т. е. точка А΄ должна быть перенесена в точку А, соответствующую истинному минимуму энергии маховика.

Таким образом, вместо построения кривой 2

зв maxJТ( )2ω

Δ ϕ − на всем интервале, равном циклу,

следует определить точку А по выражению:

51

зв i maxi

J ( )Т( )2

ϕ ωΔ ϕ − ,

где φi – угол, определяющий положение звена приведения, в котором кинетическая энергия будет максимальной.

2.5. Методика определения момента инерции махового колеса

Рассмотрим два типичных случая задания сил. Случай А. Заданы движущие силы и силы тяжести звеньев. Приведенный момент всех сил

сопротивления – величина постоянная. Последовательность выполнения работы: Используя планы аналогов скоростей, определим приведенные моменты Gg MиM для

вычерченных положений механизма (отдельно от каждой силы). Выбрав масштабы Mи μμϕ , строим диаграммы )()( ϕϕ MMиMM Qig == (рис.

11а) Строим суммарный график )()( ϕMMM Gig =+

Графическим интегрированием (при полюсном расстоянии H1) переходим от диаграммы )( Gg MM + к диаграмме )( Gg AA + с масштабом 1HMA ⋅⋅= μμμ ϕ (рис. 11б)

Так как приведенный момент прM постоянен, то его работа пропорциональна углу поворо-та ϕ . С другой стороны, его работа за период установившегося движения должна равняться сумме работ Gg AA ± , изображенной на рисунке отрезком ВС. Соединив точки О и С прямой, получим диаграмму ϕ−CA

Графическим дифференцированием переходим от диаграммы C CA к M− ϕ − ϕ при том же полюсном расстоянии H1. Получаем прямую горизонтальную линию CM − ϕ (рис. 11)

52

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

f 2 4

A ( c )

A ( g â + Â )

â )

á )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

f 2 4

À

À

Ì c

Ì G + g

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

f 2 4

Ι n

ä )

Ι n B

D

3 2

7 0

5

Y m i n

y m a x

D E

ã )

à )

Ì g

Ì G 1

Ì G 2

Рис. 11

1. Откладываем разность ординат диаграмм ϕ−± )( Gg AA и ϕ−CA вверх или вниз от оси абсцисс в зависимости от ее знака и строим диаграмму ϕ−ΔE (рис. 11в)

AE μμ = Использую данные величин моментов инерции звеньев, масс звеньев строим диаграмму ϕ−nI в масштабе nIμ (рис. 11г)

Графически исключая угол ϕ , строим диаграмму nIE =Δ (рис.11б). Эта диаграмма имеет вид замкнутой кривой, которая может иметь петлю, если графики ϕϕ −−Δ nIиE не симмет-ричны.

По формуле 17 и 18 определяем minmax ΨΨ и , коэффициент неравномерности должен быть задан, либо его определяют по данным учебника Артоболевского в зависимости от типа машины.

Проводим касательные к кривой nIE −Δ под углом minmax ΨΨ и к оси nI ; и отсекаем ими на оси ординат отрезок "AD"

53

Определяем момент инерции маховика

Ecp

MADI μ

δω⋅

⋅= 2 (19)

где 1HMAE ⋅⋅== ϕμμμμ

Определение махового момента. Маховым моментом называют произведения GD2, где G – вес обода маховика а H., D – средний диаметр маховика, м

g

GDIM 4

2

= (20)

g – ускорение силы тяжести, м/сек2 Отсюда

gIGD M 4⋅= Зная маховой момент, можно задаться диаметром Д из конструктивных соображений, затем

определить вес маховика или наоборот. Соображения экономического характера: Излишнее уменьшение δ ведет к неоправданному увеличению MJ .

Перевод маховика на быстроходный вал ведет к уменьшению MJ , но к увеличению сил, пе-редаваемых звеньями, расположенными за маховиком (например, увеличиваются размеры зуб-чатых колес, изготавливаемых из дорогостоящей стали).

54

Литература 1. Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов. Госиздат технико-теоретической лите-

ратуры, 1951 г. 2. Добровольский В.В. Теория механизмов. Машгиз, М., 1951 г. 3. Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин. Изд. Машиностроение, 1969 г. 4. Борисов С.И., Комаров В.Ф., Токарев В.Л. Теория механизмов и детали точных приборов.

Изд. “Машиностроение”, 1966 г. 5. Кореняко А.Г., Кременштейн А.И. Курсовое проектирование по теории механизмов и ма-

шин. Машгиз, 1964 г. 6. Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин. Изд. “Высшая школа”, 1967 г. 7. Кудрявцев В.Н. Планетарные передачи, 1966 г. 8. Царев Г.В. Лекции по теории механизмов и машин. Часть ΙΙ, изд. ТПИ, 1971 г.