ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования “Уральский государственный университет им. А.М. Горького”

Г.П. Быстрай, С.А. Охотников

ТЕРМОДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. ПЕРЕХОД К

ХАОСУ

Учебное пособие

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Уральского государственного университета

им. А.М. Горького

Екатеринбург Издательство Уральского университета

2008

2

УДК

Рецензенты: кафедра Теоретической физики УрГУ,

зав. кафедрой, профессор, д.ф.-м.н. А.С.Москвин Член-корреспондент Мархасин Научный редактор – профессор, д.ф.м.н. В.Г.Черняк Быстрай Г.П., Охотников С.А. Термодинамика нелинейных биологических процессов. Переход к хаосу.

Учебное пособие. − Екатеринбург: Изд-во Урал ун-та, 2008, – с. В данном пособии излагается термодинамика нелинейных процессов, в

которой рассматриваются основные законы термодинамики неравновесных процессов. Применен динамический подход в моделировании неравновесных процессов. Формулируется и доказывается теорема, которая является анало-гом теоремы Пригожина для нелинейных систем и связана с дрей-фом/диффузией к локальному/глобальному минимуму и структурной устой-чивостью исследуемых нелинейных систем. В качестве примеров рассмотре-ны такие биологические как саркомеры, ионные каналы и скелетные мышцы.

Пособие предназначено для студентов старших курсов физических специ-альностей университетов, специализирующихся по молекулярной физике, медицинской физике, а также является дополнением к курсу Термодинамика открытых систем.

© Уральский государственный университет, 2008 © Быстрай Г.П., Охотников С.А. 2008

3

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ .5 ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМАДИНАМИКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ ........... 8

1.1.Термодинамические потенциалы для неравновесных систем .................. 9 1.2.Основные используемые принципы. Устойчивость по Ляпунову ......... 10 1.3. Принцип локального неравновесия. Закон сохранения энергии для открытых неравновесных систем ..................................................................... 16 1.4. Устойчивые по Ляпунову равновесные и стационарные состояния ..... 22 1.5.Теорема Пригожина для линейных неравновесных систем .................... 26 1.6. Доказательство основных неравенств термодинамики неравновесных процессов на основе второго метода Ляпунова.............................................. 27 1.7. Термодинамика систем с инверсной заселенностью верхнего уровня . 30

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ................................................... 34

2.1. Динамический подход в моделировании нелинейных процессов ......... 34 2.2. Соответствие между нелинейной моделью и II законом термодинамики.............................................................................................................................. 38 2.3. Устойчивость нелинейных термодинамических систем ........................ 39 2.4. Термодинамика нелинейных процессов. Анализ скорости изменения энтропии и свободной энергии ......................................................................... 44 2.5. Как связаны метод Тома определения устойчивости состояний со вторым методом Ляпунова................................................................................ 50 2.6. Коэффициент эффективности энергетических превращений в нелинейных системах ........................................................................................ 50

ГЛАВА 3. ТЕРМОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА (НА ПРИМЕРЕ ДИФФУЗИИ) .................................................................................. 53

3.1.Термодинамическое обоснование параболического уравнения переноса вещества .............................................................................................................. 53 3.2. Локально-неравновесные процессы переноса. Локально-неравновесная термодинамика ................................................................................................... 56 3.3.Гиперболическое уравнение диффузии с притоком вещества................ 59

ГЛАВА 4. ПЕРЕХОД К ХАОСУ: ТЕРМОДИНАМИКА ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ....................................................................................................... 62

4.1. Переход от релаксационных уравнений локально-неравновесных систем к уравнениям второго порядка............................................................. 63 4.2.Дифференциальное уравнение второго порядка с релаксациией и с последействием. Возникновение хаоса .......................................................... 65 4.3. Сжатие фазового объема. Диссипативность локально-неравновесной термодинамической системы............................................................................ 72 4.4.Показатели Ляпунова................................................................................... 73 4.5.Энтропия Колмогорова ............................................................................... 76 4.6.Переход от непрерывных термодинамических у равнений к дискретным

4

(отображениям) .................................................................................................. 78 4.7.Бифуркационные диаграммы...................................................................... 80 4.8.Хаос и необратимость.................................................................................. 83

ГЛАВА 5. ХАОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИКИ ТОКА В ОДИНОЧНЫХ ИОННЫХ К+-КАНАЛАХ .................................................... 86

5.1. Описание моделей....................................................................................... 87 5.2. Хаотическая динамика параметра порядка в ионном канале биомембраны. ..................................................................................................... 89 5.3. Показатели Ляпунова.................................................................................. 92 5.4. Время, за которое система забывает начальные условия. ...................... 92 5.5. Карта динамических режимов. .................................................................. 93 5.6. Функция распределения хаотических пульсаций.................................... 94 5.8. Метод Херста (R/S - анализ) ...................................................................... 98 5.9. Фрактальная размерность ........................................................................ 101

ГЛАВА 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗУЮЩЕГОСЯ САРКОМЕРА С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА ................................................... 103

6.1.Динамика линейного сокращения саркомера ......................................... 104 6.2.Динамика нелинейного сокращения саркомера ..................................... 108 6.3.Пульсации температуры............................................................................ 122

ГЛАВА 7. ВОЗНИКНОВЕНИЕ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ И ЕГО ОПИСАНИЕ В СИСТЕМЕ САРКОМЕР–РАСТВОР ............................... 133

7.1. Цикл реакций, проходящих в системе саркомер–раствор................... 133 7.2.Кинетические уравнения и результаты их численного решения......... 135

ГЛАВА 8. ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА СКЕЛЕТНЫХ МЫШЦ ЧЕЛОВЕКА С ГОМО- И ГЕТЕРОГЕННЫМ ХАОСОМ ............................................................................................................ 141

8.1. Основные нелинейные характеристики.................................................. 142 8.2. Базовая модель. ......................................................................................... 150

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 153

5

ВВЕДЕНИЕ

Предметом термодинамики является рассмотрение общих закономер-

ностей превращения энергии при ее переносе в форме теплоты и работы ме-

жду телами.

В зависимости от характера обмена энергии и массы с окружающей

средой через границы системы различают три группы систем:

- изолированные системы, которые не обмениваются с внешней сре-

дой ни энергией, ни массой, они полностью изолированы от влияния окру-

жающей среды;

- закрытые системы, которые могут обмениваться энергией с окру-

жающей средой, но не могут обмениваться массой (веществом);

- открытые системы, которые обмениваются с окружающей средой и

энергией и массой.

Процессы, протекающие в системе и изменяющие ее состояние, могут

быть равновесными или неравновесными. Равновесные, или обратимые про-

цессы протекают таким образом, что вызванные ими изменения в состоянии

системы могут произойти в обратном направлении (последовательности), без

дополнительных изменений в окружающей среде.

Неравновесные, или необратимые, процессы, к которым относятся ре-

альные превращения в природе, не обладают этими свойствами и их проте-

кание в обратном направлении сопровождается остаточными изменениями в

окружающей среде. Процессы переноса энергии и вещества имеют самое

широкое распространение в природе и технике. Этим объясняется исключи-

тельно важное научное и практическое значение построения теории процес-

сов переноса, установления основных закономерностей их протекания соз-

дания эффективных методов решения задач переноса.

Еще в начале прошлого века стало ясно, что термодинамика в равно-

весном виде не может справиться с описанием окружающего мира и ее пыта-

лись улучшить. Считается, что Л. Онзагер сделал первый шаг – появилось

понятие “неравновесная термодинамика” [1]. Более 50 лет понадобилось для

6

развития этого направления, в основе которого лежала попытка уточнить ре-

шения для нелинейной системы, используя метод разложения нелинейных

функций в ряд или полиномиальные представления, последние наиболее

полно представлены в работах И. Пригожина [2,3]. Тем не менее, все разви-

тые подходы оказались слабыми, т.к. они, хотя и приводили к требуемой ди-

намике и в них присутствовало время, но термодинамический анализ, напри-

мер, основанный на потенциалах Гиббса , использовании II закона термоди-

намики, теоремы Пригожина при этом исчезал и по-прежнему существовала

проблема доказательств термодинамических неравенств. Наконец, при изло-

жении классических теорий переноса тепла, массы, импульса и т.д. вопрос о

поведении свободной энергии, энтропии, скоростей их изменения и их вто-

рых производных всегда остается открытым. Это говорит о том, что термо-

динамика и теория переноса несвязанны между собой, что, вероятно, не со-

всем правильно.

В методическом отношении излагаемый подход отличается от анало-

гичных подходов тем, что он является последовательной попыткой изложе-

ния теории необратимых процессов с использованием теории устойчивости

по Ляпунову. Эта идея была предложена Пригожиным [3], но реализована

она была только в последнее десятилетие. Благодаря этому возникает воз-

можность решения проблемы термодинамических неравенств в рамках тер-

модинамических тождеств.

Цель, которая стояла перед автором - изложить формализованный язык

феноменологической термодинамики линейных и нелинейных неравновес-

ных процессов для открытых систем, исходя из некоторых основных прин-

ципов – постулатов, а также описать с помощью нелинейной термодинамики

такие биологические системы как мышцы, ионные каналы и саркомеры. Если

правильно выбрать систему таких принципов, то можно получить основные

законы линейной неравновесной термодинамики, как следствия этих прин-

ципов. Если удастся сформулировать более общую теорию линейных нерав-

новесных процессов в открытых системах, то можно из этой теории слабо

7

неравновесных процессов получить в предельном случае основные уравне-

ния термодинамики равновесных процессов и определить пределы примени-

мости последней [4]. Используемый метод − метод термодинамических по-

тенциалов Гиббса, скоростями изменения которых определены неравновес-

ные состояния.

Отличие предлагаемого подхода от существующей формы обобщения

классической термодинамики на неравновесные системы состоит в рассмот-

рении локального объема, который не находится в равновесии.

Развитие этой концепции позволяет обосновать идеи Мандельштама-

Леонтовича о необходимости введения дополнительных параметров для оп-

ределения состояния неравновесных систем. Именно Леонтович ввел впер-

вые для неравновесного состояния дифференциал изменения термодинами-

ческого потенциала, определяемый через термодинамические силы. Однако

он включал в дифференциал свободной энергии либо только внешние, либо

только внутренние потоки и силы. В учебном пособии излагается подход,

связанный с совокупным влиянием внешних и внутренних потоков и сил на

изменение термодинамических потенциалов во времени.

8

ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМАДИНАМИКИ НЕРАВНОВЕСНЫХ

ПРОЦЕССОВ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ

Процессы, протекающие в системе и изменяющие ее состояние, могут

быть равновесными или неравновесными. Равновесные, или обратимые про-

цессы протекают таким образом, что вызванные ими изменения в состоянии

системы могут произойти в обратном направлении (последовательности), без

дополнительных изменений в окружающей среде.

Неравновесные, или необратимые, процессы, к которым относятся ре-

альные превращения в природе, не обладают этими свойствами, и их проте-

кание в обратном направлении сопровождается остаточными изменениями в

окружающей среде. Процессы переноса энергии, вещества, импульса и заря-

да имеют самое широкое распространение в природе и технике. Этим объяс-

няется исключительно важное научное и практическое значение построения

математической теории процессов переноса, установления основных законо-

мерностей их протекания и создания эффективных методов решения задач

переноса.

Еще в начале прошлого века стало ясно, что термодинамика в равно-

весном виде не может справиться с описанием окружающего мира и ее пыта-

лись улучшить. Считается, что Л. Онзагер сделал первый шаг – появилось

понятие “неравновесная термодинамика”. Более 50 лет понадобилось для

развития этого направления, в основе которого лежала попытка уточнить ре-

шения для нелинейных систем, используя метод разложения нелинейных

функций в ряд или полиномиальные представления, последние наиболее

полно представлены в работе Г.Николиса и И. Пригожина [1,2,3]. Тем не ме-

нее, все развитые подходы оказались слабыми, т.к. они, хотя и приводили к

требуемой динамике, и в них присутствовало время, но термодинамический

анализ, например, основанный на потенциалах Гиббса, использовании II за-

кона термодинамики, теоремы Пригожина при этом исчезал и по-прежнему

существовала проблема доказательств термодинамических неравенств. На-

конец, при изложении классических теорий переноса тепла, массы, импульса

и т.д. вопрос о поведении свободной энергии, энтропии, скоростей их изме-

нения и их вторых производных всегда оставался открытым. Это говорит о

том, что термодинамика и теория переноса не были связаны между собой.

Отличие предлагаемого подхода от существующей формы обобщения

классической термодинамики на неравновесные системы состоит в рассмот-

рении локального объема, который не находится в равновесии. Более того,

он далек от равновесия.

1.1.Термодинамические потенциалы для неравновесных систем

В теории поглощения звука Л. Мандельштама и М. Леонтовича, осно-

ванной на термодинамике неравновесных процессов, использовался принцип

локального неравновесия, в котором термодинамические потенциалы зави-

сели от параметра неравновесности ξ: U(S,V,ξ), F(T,V,ξ), H(S,P,ξ), Ф(T,P,ξ).

В постановке М. Леонтовича при описании неравновесных состояний

учитывались слагаемые с T и P и слагаемое, связанное с внутренними сила-

ми Xdξi. Например, для дифференциала внутренней энергии им получено

iXdPdVTdSdU ξ−−= , где V,Si

iU),V,S(X ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ∂

∂−=ξ ,

(в наших обозначениях). Таким образом, приращения термодинамических

функций в неравновесном процессе Леонтович описывал формулами равно-

весной термодинамики с добавлением к ним слагаемого, соответствующего

работе возвращения системы к равновесному состоянию. Для неравновес-

ных процессов рассматриваются изменения независимых переменных − эн-

тропии S, объема V; T, P – температура и давление соответственно для таких

неравновесных состояний.

Если термодинамическая система вновь придет к равновесному состоя-

нию, то параметр ξ примет свое равновесное значение и потенциалы возвра-

9

10

тятся к потенциальным функциям равновесной термодинамики. Физический

смысл X состоит в том, что эта сила численно равна работе, которую должна

совершить система, чтобы возвратиться в равновесное состояние. Релакса-

ционная сила равна нулю, если ξ=ξ0 (система находится в состоянии равно-

весия). Равновесное состояние соответствуют минимуму определенных та-

ким образом термодинамических потенциалов.

К недостаткам данного подхода относится то, что отсутствует внешний

источник энергии и слагаемое с потерями на всевозможные неформализуе-

мые потери. Их следует учесть, чтобы закон изменения энергии не был на-

рушен.

1.2.Основные используемые принципы.

Устойчивость по Ляпунову

Принцип минимальности свободной энергии в состоянии равнове-

сия. С изменением температуры Т соотношение между вкладом энергии U и

энтропии S изменяется:

F=U−TS.

Если следовать [2,3], то можно считать, что в равновесии свободная

энергия F0 минимальна относительно всех внутренних параметров системы, в

частности относительно степени упорядоченности. Это соответствует, воз-

можно, меньшим значениям U0 в уравнении: F0=U0 – TS0, где S0 – в состоянии

равновесия максимальна. Величина S – энтропия характеризует величину

беспорядка, хаотичности в системе и при переходе от неупорядоченной

структуры к упорядоченной структуре она уменьшается.

Таким образом, в свободной энергии F=U – TS вклад слагаемого с

энергией U описывает тенденцию к упорядоченности, а энтропийного сла-

гаемого − к неупорядоченности, и выбор системой равновесного состояния с

минимальной свободной энергией F0 определяется конкуренцией между

этими вкладами. С понижением температуры Т степень хаотичности и энтро-

пия уменьшаются, вклад энтропийного слагаемого – связанной энергии TS –

стремится к нулю, и свободная энергия определяется энергией U0. Поэтому

при низких температурах Т все равновесные системы должны быть так или

иначе упорядочены.

11

Рис.1.1. Иллюстрация применения принципа минимальности свобод-ной энергии в состоянии равновесия: термодинамический потенциал мини-мален (принимает минимальное значение F0 (а)), а функция состояния S (эн-тропия) максимальна (принимает максимальное значение S0 (б)).

Благодаря принципу минимальности термодинамического потенциала

при описании неравновесных состояний в изолированной системе можно

всегда ввести знакоположительную функцию ΛF=F – F0 ≥ 0; знакоотрицатель-

ной функцией является ΛS=S – S0 ≤0 [3]. Это позволяет использовать для ана-

лиза устойчивости систем второй метод Ляпунова [9].

При анализе неравновесных процессов можно выделить два случая.

Первый − при установлении в системе равновесного состояния, т.е. при

стремлении F→F0 функция Λ уменьшается со временем: dΛ/dt<0. Второй –

при удалении/отклонении от состояния равновесия функция Λ увеличивается

со временем: dΛ/dt>0 (рис.1.1).

Принцип Ле-Шателье в применении к нестационарным состояни-

ям. Будем использовать принцип Ле-Шателье в следующей формулировке:

при установлении в системе стационарного состояния внутренние неравно-

весные процессы в ней действуют в направлении, вызывающем понижение

скорости прироста энтропии [1]. Появление потока Ji в стационарной откры-

той системе, ослабляющего действие внешнего возмущения, выражает прин-

цип Ле-Шателье в применении к стационарным состояниям.

S S0

ΛS=S – S0 ≤ 0

F

t

б F0

а

t

ΛF=F – F0 ≥ 0

Ограничимся рассмотрением двухпотоковой схемы описания неравно-

весной системы (один внешний поток, один внутренний), т.е. рассмотрение

проведем на уровне сокращенного описания (рис.1.2). На самом деле даже

под воздействием одного внешнего потока в системе количество возникаю-

щих внутренних потоков и сил может быть достаточно большим.

Je≡dξe/dt

Ji ≡dξi/dt

Xe≡∂S/∂ξe

Xi≡– ∂S/∂ξi

Рис. 1.2. Принцип Ле−Шателье для открытых термодинамических сис-тем. Появление потока Ji в стационарной системе, ослабляющего действие внешнего возмущения, выражает принцип Ле−Шателье в применении к ста-ционарным состояниям.

Однако в данной сокращенной схеме описания перекрестные эффекты

между неучтенными и учтенными потоками и силами предполагаются ма-

лыми (нулевыми). Нужные комбинации неучтенных потоков и сил считаются

заданными. Такое сокращенное описание, связанное с нашим нежелани-

ем/неумением формализовать до конца все возникающие внутренние пото-

ки и силы должно учитываться в теории и, прежде всего, в законе изменения

энергии.

Принцип устойчивости состояний по Ляпунову. Одним из главных

вопросов в нелинейной термодинамике является вопрос о достаточных усло-

виях устойчивости состояний равновесия или стационарных состояний.

А.М. Ляпунов создал два общих метода исследования устойчивости

нелинейных систем. Первый основан на линеаризации уравнений, описы-

вающих поведение системы.

Второй метод заключается в прямом исследовании устойчивости нели-

нейной системы путем определения такой функции Λ координат точки фазо-

12

вого пространства данной системы, которая была бы в некоторой степени

аналогична потенциальной энергии покоящейся материальной точки в обыч-

ном пространстве. Далее используется аналогия с теоремой Лежен-Дирихле:

точки минимума потенциальной энергии являются положениями устойчиво-

го равновесия, точки максимума – положениями неустойчивого равновесия.

Введем некоторые определения.

Рассмотрим функцию Λ(x)= Λ(x1,…,xn), определенную в фазовом про-

странстве переменных x1,…,xn, непрерывную в некоторой области D, вклю-

чающей в себя начало координат. Предположим также, что функция Λ(x)

обладает в области D непрерывными частными производными.

Функцию Λ(x1,…,xn) назовем определенно положительной в области D,

если всюду в области D, кроме начала координат, имеет место неравенство

Λ>0. В этом случае функция может называться также знакоопределенной.

Если в области D имеет всюду неравенство Λ≥0 или неравенство Λ≤0,

то функция Λ(x) называется знакопостоянной.

Выделим движение y=f(t) некоторой дифференциальной системы и на-

зовем его невозмущенным.

Движение y=f(t) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для

всякого ε>0 можно указать δ>0 такое, что из неравенства )()( 00 tfty − <δ сле-

дует неравенство )()( tfty − <ε при t≥t0.

Движение y=f(t) называется асимптотически устойчивым в смысле

Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое

положительное число h, что при )()( 00 tfty − <h будем иметь

0)()(lim =−∞→

tftyt

.

Второй метод исследования достаточных условий устойчивости дается

следующими теоремами Ляпунова.

13

Теорема Ляпунова 1: Если для дифференциальных уравнений возму-

щенного движения можно найти знакоопределенную функцию Λ, производ-

ная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией про-

тивоположного знака с Λ, или тождественно равна нулю, то невозмущенное

движение устойчиво (асимптотически устойчиво, если является знакооп-

ределенной функцией).

•Λ

Теорема Ляпунова 2. Если для дифференциальных уравнений возму-

щенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производ-

ная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией

противоположного знака с

Λ

oΛ

Λ , или тождественно равна нулю, то невозмущен-

ное движение асимптотически устойчиво.

Для термодинамических систем важны не только устойчивость, но

также длительность и характер переходных процессов.

Цель прямого метода Ляпунова − решение задачи устойчивости невоз-

мущенного движения для системы нелинейных дифференциальных уравне-

ний без непосредственного их интегрирования.

Приведем некоторые особенности определения устойчивости эволю-

ции по Ляпунову. Во-первых, предполагается, что возмущения налагаются

только на начальные условия, иначе говоря, возмущенное движение проис-

ходит при тех же силах, что и невозмущенное движение. Во−вторых, устой-

чивость рассматривается на бесконечно большом промежутке времени.

В−третьих, возмущения предполагаются малыми. Кроме того, говоря об ус-

тойчивости движения, необходимо всегда оговаривать, относительно каких

величин рассматривается устойчивость.

Можно отметить одно важное обстоятельство, благодаря которому

теория устойчивости Ляпунова имеет очень широкое применение: изучение

ляпуновской устойчивости − особенности поведения системы на бесконеч-

ном интервале времени – оказывается значительно проще, чем исследование

особенностей устойчивого поведения в конечный промежуток времени.

Методы Ляпунова являются сейчас общепринятыми средствами анали-

за в точном естествознании. Определение устойчивости по Ляпунову являет-

14

ся эффективным и плодотворным в физике, астрономии, химии, биологии и

др.

Впервые использовал применительно к термодинамике второй метод

Ляпунова И.Р.Пригожин [3,20]. Он указал на возможность построения функ-

ций Ляпунова для энтропии неравновесных состояний изолированной термо-

динамической системы в виде избыточной энтропии ΔS=S−S0 , для которой

соотношения

0≤ΔS , 0≥Δdt

Sd

равносильны асимптотической устойчивости (Рис.1.1б), где S0 – энтропия

равновесного состояния, S – энтропия неравновесного состояния. Однако в

последующем эти идеи не были развиты. Так в открытых системах, не нахо-

дящихся в состоянии равновесия, вследствие наличия двух членов в выраже-

нии для баланса энтропии

SdSddS ie +=

второй закон термодинамики больше не определяет знак изменения

энтропии

0≥Sdi

dS . Поэтому долгое время считалось, что универсальной функции

Ляпунова для открытых систем не существует, и это порождало проблему

определения устойчивости состояний, далеких от равновесия.

Напомним, что классическая теория обыкновенных ДУ, которую пре-

подают студентам, имеет дело с поведением на конечном временном интер-

вале. Это позволяет доказать многие теоремы и строить вычислительные ал-

горитмы. Нелинейная термодинамика интересуется асимптотическим пове-

дением системы, когда время стремится к бесконечности. Такая же проблема

решается и в рамках новой зарождающейся научной дисциплины – нелиней-

ной динамики. Поэтому использование в термодинамике второго метода Ля-

пунова является привлекательным.

15

1.3. Принцип локального неравновесия.

Закон сохранения энергии для открытых неравновесных систем

Рассмотрим первый частный случай − изменение внутренней энергии

при неравновесном процессе для малого открытого объема сплошной среды,

когда независимыми переменными для такой системы являются энтропия,

объем, а также внешние и внутренние параметры неравновесия (мы ограни-

чились двумя параметрами неравновесия), которые определяют и энтропию.

Уравнения возмущенного движения. В термодинамике для локальной

области системы уравнения возмущенного движения известны – ими явля-

ются уравнения Л.Онзагера [9] для термодинамических потоков ie J,J

ieieeee XLXLJ += , iiieiei XLXLJ += . (1.1)

возникновение которых обусловлено термодинамическими силами .

Число сил и потоков в неравновесных стационарных задачах может быть

увеличено, также как число параметров Lie, связывающих эти характеристи-

ки. Эти уравнения К. Эккарт в 1940 году назвал термодинамическими урав-

нениями движения.

ie X,X

В нелинейных задачах указанные параметры зависят от термодинами-

ческих сил. Уравнения (1.1) являются стационарными уравнениями, устанав-

ливающими для любого момента времени взаимно однозначное соответствие

между потоками и силами.

При этом Lii являются, например, коэффициентом теплопроводности,

коэффициентом диффузии, электропроводности и т.д. Коэффициенты Lie при

i ≠e связаны с налагающимися явлениями (например, коэффициент термо-

диффузии и т.д.). Коэффициенты взаимности Lie и Lei могут иметь любой

знак, однако для линейных процессов существует важное соотношение вза-

имности Lie =Lei (для некоторых систем Lie =−Lei), которое выполняется при

соответствующем выборе потоков и сил. Внутренний процесс – сопряжен-

ный − идет против градиента движущей силы за счет энергии второго сопря-

гающего процесса. Запись уравнений в форме (1.1) означает, что имеется не-

16

которая симметрия во взаимодействии различных процессов: например, по-

добно тому, как градиент температуры вызывает градиент концентрации, так

и градиент концентрации порождает градиент температуры [10].

Определение 1. Внешними и внутренними термодинамическими пото-

ками назовем величины, характеризующие скорости изменения внешних ξe и

внутренних ξI параметров неравновесия:

dtdJ e

eξ

= ; dt

dJ ii

ξ= .

Внешними и внутренними термодинамическими силами назовем вели-

чины, характеризующие градиенты термодинамического потенциала по

внешней и внутренней переменной соответственно:

ee

SXξ∂∂

= ; i

iSXξ∂

∂−= .

Определение 2. Уравнения возмущенного движения для внешней и

внутренней переменных для неравновесных линейных систем представим в

линейной задаче в виде скоростей их изменения и их зависимости от гради-

ентов ξ∂∂S/ и некоторых параметров:

iei

eee

e SaSadt

dξ∂

∂+

ξ∂∂

=ξ ;

iii

eie

i SaSadt

dξ∂

∂+

ξ∂∂

=ξ . (1.2)

где aii, aie, aee, aei − постоянные параметры. Уравнения возмущенного движе-

ния (1.2) представлены в виде термодинамических уравнений движения Бек-

кера.

Появление потока Ji в стационарной системе, ослабляющего дейст-

вие внешнего возмущения, выражает принцип Ле-Шателье в применении к

стационарным состояниям. Если поток (внешний) выбран так, что dξe/dt >0,

то aee(∂S/∂ξl)>0, aei(∂S/∂ξi )<0 в соответствии с принципом Ле Шателье. Ес-

ли dξi /dt<0, то aii(∂S/∂ξi)>0, aie(∂S/∂ξe )<0.

17

Пусть функция U(S(ξe,ξI,t),V,t) − внутренняя энергия локального объема

сплошной среды, которая является функцией состояния, принимающая в со-

стоянии равновесия минимальное значение U0, здесь S, V − независимые

внутренние переменные (энтропия и локальный объем), ξe, ξi − внешняя и

внутренняя переменные соответственно (параметры неравновесия). Будем

предполагать, что функция U является дважды дифференцируемой. Энтропия

малого локального объема принимается зависящей от указанных выше пара-

метров − S(ξe,ξI,t). Предполагается справедливость принципа минимальности

термодинамического потенциала в состоянии равновесия.

Для полной производной энергии неравновесной системы имеем:

+ξ

∂ξ∂

∂∂

+ξ

∂ξ∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=dt

dSSU

dtdS

SU

tS

SU

dtdU i

i

e

e tU

dtdV

VU

∂∂

+∂∂ . (1.3)

Руководствуясь физическим смыслом, введем обозначения –

θ=∂∂

SU , P

VU

−=∂∂ ; e

e Jdt

d=

ξ ; ii J

dtd

=ξ . (1.4)

eee

XSSUU

θ≡ξ∂∂

∂∂

=ξ∂

∂ , iii

XSSUU

θ−≡ξ∂

∂∂∂

=ξ∂

∂ ; (1.5)

ee

UXξ∂

∂θ

=1 ,

ii

UXξ∂

∂θ

−=1 ,

tU∂

∂θ

−=σ1 ;

здесь - температура неравновесного состояния, P-давление, определяющее

наравне с другими параметрами неравновесное состояние, - неформали-

зуемые постоянные потери энергии.

θ

θσ

Тогда равенство (1.3) для рассматриваемой системы можно записать в

виде:

θσ−θ−θ+−∂∂

θ= iiee JXJXdtdVP

tS

dtdU . (1.6)

Это и есть математическое выражение принципа локального неравновесия.

Следует обратить внимание на то, что первое слагаемое в правой части урав-

нения (1.6) содержит частную производную t/S ∂∂ , которая превращается в

полную при всех силах и потоках, равных нулю. Дифференциальное уравне-

ние (1.6) применимо как для линейных так и нелинейных процессов.

Выделяя в температуре TT δ±=θ неравновесную часть Tδ , приводим

последнее уравнение к виду

18

σ−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

− TJTXJTXdtdVP

tST

dtdU

iiee , (1.7)

( ) ( ) UdXdXSTX,X,J,JUU iieeieie δ+ξ+ξ−δ±= .

Неравновесное значение внутренней энергии здесь связано, во-первых,

с зависимостью ее от термодинамических сил и потоков (первое слагаемое в

правой части для U), во-вторых, с неравновесными значениями температу-

ры (второе слагаемое).

Следует отметить, что в отличие от (1.1) зависимость внутренней энер-

гии U от параметров неравновесия дается через энтропию. Уравнение (1.7)

будем считать основным уравнением, отражающим неравновесные измене-

ния внутренней энергии для некоторого малого открытого объема. Дадим

определение равновесного локального объема.

Определение 3. Малый локальный объем V назовем равновесным, если

для него внешние и внутренние термодинамические силы и потоки равны

нулю: Xe=Xi=Je=Ji=σ=0; термодинамический потенциал в этом случае при-

нимает минимальное значение U=U0.

Если объем вновь придет к равновесному состоянию, то температура

T=θ

i ξ=ξ

и параметры неравновесия примут свое равновесное значение

, а потенциалы возвратятся к потенциальным функциям равновесной

термодинамики. В результате из (1.7) получаем основное уравнение термо-

динамики равновесных процессов:

0ee ξ=ξ

0i

dtdVP

dtdST

dtdU

−=00==== ieie JJXX .

или в общепринятом виде – первое начало термодинамики в приращениях

для очень медленных (квазистатических) процессов:

VPQU Δ−δ=Δ 0 ; T/QS δ=Δ . (1.8)

В уравнении (1.8) Q – количество поступившего тепла в систему, - не яв-

ляется полным дифференциалом. Полным дифференциалом является прира-

щение энтропии по Клаузиусу

Qδ

T/QdS δ= . Это общепринятые обозначения

19

термодинамики равновесных процессов. При Δt>>τ0, τ0 − некоторое харак-

терное время, которое следует далее определить. Это означает, что система в

целом неравновесна, а в каждой локальной области выполняется уравнение

Гиббса, т.е. справедлив принцип локального равновесия.

Закон изменения внутренней энергии. Внесем первых два слагае-

мых в правой части (1.7) под знак производной. В результате для открытой

неравновесной системы из (1.7) получаем локальное энергетическое уравне-

ние − закон изменения внутренней энергии:

( ) ( )σ++σ−=−

iie XJT

dtUUd 0 , (1.9)

где − функция внешних источников, eee XJ−≡σ const=σ . По сравнению с

масштабом неравновесных процессов масштаб времени изменения равновес-

ных процессов является бесконечно большим, поэтому значение U0(t) в (1.9)

может быть заменено в некоторых задачах постоянным значением U0(t)≅U0.

Изменение неравновесного термодинамического потенциала ΛU =U−U0 по-

лучено для уравнений возмущенного движения (1.2).

Уравнение (1.9) означает, что приращение термодинамической функ-

ций в неравновесном процессе можно выразить формулами равновесной

термодинамики с добавлением к ним слагаемых, соответствующих работе

возвращения системы к равновесному состоянию при наличии внешних по-

токов и сил. Данное уравнение также учитывает неформализуемые потери

Tσ.

Уравнение (1.9) для выбранных переменных имеет следующий физиче-

ский смысл: если переменными состояния открытой неравновесной системы

(малого локального объема) являются энтропия, объем, некоторые внешние и

внутренние параметры, то поступаемая через границы в систему энергия

(TJeXe) при неравновесном процессе идет на увеличение внутренней энергии

(U), работу по поддержанию формализуемых (основных, известных) внут-

ренних неравновесных процессов (TJiXi), а также на работу по поддержанию

20

других неравновесных процессов (Тσ), которые относятся к энергетическим

потерям и в данной задаче не формализуются.

Производство энтропии. Скорость изменения энтропии для локально-

го объема также является функцией времени и состоит из двух составляю-

щих:

σ++−=+== iieeie XJXJdt

Sddt

SddtdSG .

В общем случае G является знакопеременной функцией; при этом dS

является полным, а deS, diS − неполными дифференциалами. Производство

энтропии (знакоположительная величина) здесь включает также все неучтен-

ные внутренние процессы σ (они имеют одинаковы знак):

σ+= iii XJdt

Sd , . constXJ 'i

'i ==σ

Если в структуре всех таких потоков выделить поток с теплом ,

то для потока энтропии через ограничивающую малый локальный объем по-

верхность Ω имеем

dt/Sd0

dtSd

dtSdXJd

dtSd /

eee

e +==Ωℑ= ∫ 0 ,

dt/Sd /e − все остальные потоки. В этом выражении внешний термодинами-

ческий поток Je и сила Xe определены на поверхности локального объема V.

Возникновение слагаемого −Tσ в правой части (1.8) связано с неполным (со-

кращенным) описанием: предположение об единственности внешнего потока

Je (e=1) совсем не означает, что возникающий в системе поток Ji также явля-

ется единственным − таких потоков может быть несколько. Это слагаемое

возникает в математических задачах, связанных с нежеланием/неумением

наблюдателя формализовать до конца все возможные возникающие потоки и

силы. В сокращенной схеме описания перекрестные эффекты между неуч-

тенными и учтенными потоками и силами предполагаются малыми (нуле-

выми) и нужные комбинации неучтенных внутренних потоков и сил счита-

21

ются заданными, например, , где − неучтенный внутренний по-

ток; − неучтенная внутренняя сила. Под последними можно понимать

обычные неформализуемые потери тепла за счет обмена с окружающей сре-

дой (теплопроводность, излучение), неупругих деформаций, потерей в виде

звуковых волн и т.д.

'i

'i JX=σ '

iJ

'iX

1.4. Устойчивые по Ляпунову равновесные и стационарные

состояния

Для описания локально-равновесных систем введем в анализ свобод-

ную энергию Гельмгольца F(θ(ξe,ξI,t),V,t). Пусть σe − функция внешних ис-

точников, σi=JiXi+σ − производство энтропии, F −свободная энергия Гельм-

гольца неравновесного состояния, θ - температура неравновесного состояния,

Сформулируем и докажем следующую теорему об устойчивости стационар-

ных неравновесных состояний.

Теорема 1. Для локально-равновесных систем, описываемых термоди-

намическими уравнениями возмущенного движения - стационарными урав-

нениями Онзагера для термодинамических потоков -

ieieeee XLXLJ += , iiieiei XLXLJ += (1.10)

можно найти знакоопределенную функцию ΛF=F−F0 ≥ 0 (избыточную сво-

бодную энергию), производная которой

( σ++−=Λ

iieeF

XJXJTd

)t

d (1.11)

( ) ( )iieeieie dXdXSTX,X,J,JFF ξ+ξ−δ±=

является знакоопределенной функцией противоположного знака с Λ или то-

ждественно равна нулю, то невозмущенное состояние устойчиво.

Доказательство. Выражение (1.11) получается аналогично (1.7)

В состоянии равновесия все термодинамические силы и потоки равны

нулю: Xe=Xi =0; Je=Ji =0. В стационарном состоянии

22

0=σ++σ iie XJ при Xe ≠ 0, Xi ≠ 0; Je Ji 0. ≠ ≠

Уравнение (1.11) описывает изменение избыточной свободной энер-

гии Гельмгольца ΛF =F−F0 при неравновесном процессе в открытой системе

(локальном объме V). Таким образом, для уравнений возмущенного движе-

ния – стационарных уравнений Онзагера (1.10) – найдена в силу используе-

мого принципа минимальности термодинамического потенциала знакоопре-

деленная функция ΛF=F−F0 0 и уравнение (1.11) для скорости изменения

ΛF, включающего уравнения возмущенного движения (уравнения Онзагера).

Поэтому в силу первой теоремы Ляпунова для устойчивых процессов невоз-

мущенное движение устойчиво. При этом могут быть получены очень важ-

ные для термодинамики необратимых процессов следствия, которые сфор-

мулированы ниже также в виде теоремы и следующих из нее выводов.

≥

Теорема 2. Для устойчивых по Ляпунову термодинамических систем

энтропия должна возрастать:

0≤Λdt

d F; 0≥σ+σ= ie

dtdS

. (1.12)

Уравнение (1.11) и знакоопределенная функция ΛF>0 найдены для

уравнений возмущенного движения (1.10) для локально-равновесных систем.

При анализе необратимых процессов можно выделить два случая: первый −

при установлении в системе равновесного состояния, т.е. при стремлении

F→F0, функция ΛF уменьшается во времени: dΛF/dt<0 и процесс является ус-

тойчивым по Ляпунову; второй − при удалении/отклонении от состояния

равновесия dΛF/dt>0, поэтому данный процесс является неустойчивым по

Ляпунову.

Отметим, что уравнение (1.11) характеризует закон изменения сво-

бодной энергии и одновременно является тождеством, благодаря которому в

рассмотрение вводится непротиворечивым образом второй закон термодина-

мики. В формулировке теоремы содержится по крайней мере семь содержа-

тельных выводов.

23

1. Для равновесного состояния функция dt/d FΛ в нуль обращает-

ся только в начале координат 0 , поэтому справедлива теорема

Ляпунова об асимптотической устойчивости. В этом случае невозмущенное

движение (равновесное состояние) устойчиво асимптотически. Это означает,

что устойчивые по Ляпунову процессы протекают в направлении уменьше-

ния F до тех пор, пока свободная энергия не достигнет минимума F0 в рав-

новесном состоянии.

0 =σ=σ ie ,

2. Функция ΛF=F−F0 ≥ 0 является функцией Ляпунова, т.к. она знако-

положительна для всех неравновесных состояний. Тогда при приближении

системы к стационарному состоянию, в котором F=F0, в силу используемого

принципа производная ее должна иметь противоположный знак 0≤Λdt

d F,

или тождественно равна нулю в стационарном состоянии 0=σ+σ ie ,

. В соответствии c теоремой Ляпунова такое стационарное со-

стояние будет устойчивым по Ляпунову. Однако условия асимптотической

устойчивости для стационарных состояний выполняются не всегда (см.

Табл.1.1).

00 ≠σ≠σ ie ,

3. Для открытой термодинамической системы для устойчивых по Ля-

пунову термодинамических процессов энтропия в соответствии с (1.11) и

(1.12) должна увеличиваться:

0≥σ++−≡σ+σ== iieeie JXJX

dtdSG . (1.13)

Изменение энтропии σe за счет процессов ее переноса (притока, оттока)

может быть как положительным, так и отрицательным.

4. Для открытой системы энтропия может как увеличиваться так и

уменьшаться со временем, так как при стремлении F→F0 функция ΛF в (1.11)

уменьшается во времени dΛF/dt<0, а при удалении/отклонении от состояния

равновесия dΛF/dt>0. Таким образом, уменьшение энтропии является неус-

тойчивым по Ляпунову процессом, т.е. оно не выполняется на бесконечном 24

интервале времени. Этот случай соответствует образованию диссипативных

структур.

5. Приращение энтропии при неравновесном процессе больше, чем при

равновесном

dtdVP

dtdU

dtdST +≥ 0 . (1.14)

(см. следствие в конце параграфа 1.6).

7. Для равновесных (и стационарных) состояний из уравнения (1.11)

следует выполнимость уравнения Гиббса:

dtdVP

dtdTS

dtFd

−−=00==== ieie JJXX . (1.15)

Это говорит о локально-равновесном состоянии рассматриваемой сис-

темы. Все это и доказывает теорему 2.

Такая система является устойчивой на бесконечном интервале време-

ни. Для неизолированных систем член σi>0 будет описывать те (необрати-

мые) процессы, которые будут по−прежнему иметь место даже в отсутствие

потокового члена σe .

Неравенство σi>0 эквивалентно условию диссипативности, так как со-

ответствует ненулевым внутренним потокам и силам. С другой стороны, если

σi, σe обращаются в нуль, то процесс будет обратимым и будет всего лишь

захватывать соседние состояния равновесия путем медленного изменения

члена STQ Δ=δ в уравнении (1.8).

Именно эта последняя ситуация обычно изучается во вводных курсах

термодинамики [10], где рассматриваются циклы Карно и различные типы

тепловых машин. К числу наиболее общих необратимых процессов, дающих

вклад в σi, входят химические реакции, теплопроводность, диффузия, вязкая

диссипация и релаксационные явления в электрических или магнитно-

поляризуемых системах. Для каждого из них можно определить соответст-

вующий поток Ji, по существу отражающий скорость течения процесса

25

(dξi/dt), а также движущую силу Xi, являющуюся градиентом энтропии

( ). iS/ ξ∂∂−

Таблица 1.1.

Устойчивость по Ляпунову равновесных и стационарных состоя-ний.

Неравновесное состояние. Функции Ляпунова

00 ≥−=Λ FFF

0><+σ−=

Λ )XJ(Tdt

dii

eF

Равновесное состоя-ние и его асимптоти-ческая устойчивость

00 =−=Λ FFF

Начало координат: 0=σ== e

ii XJ

000 =+−=Λ )(Tdt

d F

(Равно нулю в начале координат).

0≥ΛF

0≤Λ•F

FΛ − знакоопределен-ная функция;

•

ΛF − знакоопреде-ленная функция, про-тивоположного знака с FΛ .

Стационарное состоя-ние и его устойчи-вость по Ляпунову

00 =−=Λ stF FF

Начало коорди-нат:

000 ≠σ≠≠ eii ,X,J

0=+σ−=Λ )XJ(Tdt

dii

eF

(Тождественно равно нулю).

0≥ΛF

0≤Λ•F

FΛ − знакоопределен-ная функция

•

ΛF

F

− знакопостоян-ная функция, проти-воположного знака с Λ .

1.5.Теорема Пригожина для линейных неравновесных систем

Эта теорема впервые была сформулирована И.Р. Пригожиным в 1947

году [1]. Для линейных процессов она безусловно выполняется.

Теорема Пригожина: Временная эволюция в системе при заданных по-

стоянных граничных условиях происходит так, что производство энтропии в 26

системе стремится убывать и достигает минимального (положительного)

значения в стационарном состоянии диссипативной системы, то есть

0≤σdt

d i, σ+=≡σ ii

ii XJdt

Sd , (1.16)

где знак равенства соответствует стационарному состоянию.

Доказательство данной теоремы, а также следствий вытекающих из не-

го можно прочитать в [9].

Необходимо подчеркнуть, что в открытых системах эволюция к устой-

чивому термодинамическому равновесию зачастую вообще невозможна, если

граничные условия зафиксированы, т.е. conste =σ . Как мы видим, и с мате-

матической точки зрения существует принципиальное отличие стационарных

и равновесных состояний термодинамической системы.

1.6. Доказательство основных неравенств термодинамики

неравновесных процессов на основе второго метода Ляпунова

В данном параграфе будут рассмотрены основные неравенства нерав-

новесной термодинамики.

Изменение энтропии для открытой системы И. Пригожин в 1947 году

представил в виде суммы двух членов [1]

dS=deS+diS

и тем самым ввел понятие производства энтропии и потока энтропии. Это

позволило Пригожину ввести аналитическое выражение для второго начала

термодинамики в виде неравенства diS≥0. Заметим, что классическая термо-

динамика основана на определении Клаузиуса. Выделим в структуре обрати-

мых потоков через границу, составляющую с теплом T/QSd δ=0 :

, где все остальные потоки. При протекании необра-

тимых процессов, производство энтропии уже не исчезает и мы приходим к

классическому неравенству Карно−Клаузиуса (табл.1.2)

SdSdSd /ee += 0 −Sd /

e

27 TQdS δ

≥ , (1.17)

которое следует из неравенства

00 ≥δ

−=+−=TQdS)SdSd(dSSd /

ei , при 0 . (1.18) =Sd /e

Благодаря тому, что такой подход дает тождества, с которыми и связа-

ны термодинамические неравенства, возникает возможность решения про-

блемы термодинамических неравенств (Таблица 1.2).

Например, тождество для необратимого процесса переноса тепла, соот-

ветствующего параболическому уравнению переноса тепла с внутренними

источниками (см. параграф), имеет вид

2

0)T(

TTq

dtdS

20

∇λ

+δ

=

•

, •

δ= qW

и оно указывает, как происходит изменение энтропии в локальной области:

за счет ее производства или за счет внутренних источников W. Так как про-

изводство энтропии положительно, то возникает неравенство

0Tq

dtdS

•δ

≥ , или 0TqdS δ

≥ .

Такие неравенства говорят о том, что для локальной области прираще-

ние энтропии при неравновесном процессе больше, чем при равновесном.

Уравнения равновесной термодинамики возникают, как следует из данного

примера, при достаточно малой диссипации.

Отметим в заключение, что используемый в данной работе метод явля-

ется феноменологическим и позволяет выявить основные закономерности

разнообразных процессов, не обращаясь к молекулярным механизмам и не

прибегая к модельным представлениям о строении и структуре системы.

Следствия. Одной из наиболее привлекательных черт термодинамиче-

ского метода всегда была возможность получения глубоких по содержанию

следствий на основе небольшого числа первичных принципов.

Следствие 1. Реальные процессы при фиксированных граничных усло-

виях протекают в направлении уменьшения свободной энергии F до тех пор,

28

пока свободная энергия не достигнет минимума в устойчивом равновесном

состоянии.

Следствие 2. Переходя к дифференциалам, вводя термодинамический

потенциал внешней среды Λe , а также ΛF=F−F0 – термодинамический по-

тенциал неравновесной системы, можно получить результат, полученный

А.Б. Рубиным [11] (записан в наших обозначениях). )(dSTd eF

i Λ+Λ−=

Следствие 3. Скорость продуцирования энтропии, или диссипации

энергии согласно (1.18), в единицу времени равна [11]

0τΔΛ

−==β eidt

SdT . (1.19)

Следствие 4. Если имеются две системы, для которых , то

из (1.19) при τ1< τ2 следует что

**21 ΔΛ=ΔΛ

21 ββ f , т.е. скорость диссипации энергии в

первом цикле больше, чем во втором, при том же значении совершенной

работы. (задача Т. Мицунойя (1959) [11]).

Следствие 5. Уменьшение энтропии для открытой системы является

неустойчивым по Ляпунову процессом, т.е. оно не выполняется на бесконеч-

ном интервале времени.

Следствие 6. Описываемая система является устойчивой на бесконеч-

ном интервале времени. Для неизолированных систем член σi>0 будет опи-

сывать те (необратимые) процессы, которые будут по−прежнему иметь ме-

сто даже в отсутствие потокового члена σe. Приращение энтропии при не-

равновесном процессе больше, чем при равновесном

dtdVP

dtdU

dtdST +≥ 0 . (1.20)

29

Таблица 1.2. Доказательство термодинамических неравенств ( - производство

энтропии, ).

iσ

0T/qe •δ=σ

Классические неравенства

Тождества неравновесной термодинамики и до-казательство неравенств

0≥σi

0TqdS δ

≥

0≤σdt

d i

0dF ≤

dtd

TTqi Λ

−δ

−=σ

•

00

1 , 00 ≥−=Λ FF , , при 0≤Λ•

00

=δ

=σ

•

Tqe , тогда 0≥σi .

iT

qdtdS

σ+δ

=

•

0,

0Tq

dtdS

•δ

≥ при 0≥σi , тогда 0TqdS δ

≥ .

2

2

0

1dtd

Tdtd

dtd ei Λ

−σ

−=σ , 00 ≥−=Λ FF , , , 0≤Λ

•

30

0>Λ••

тогда 0≤σdt

d i при const

Tqe =

δ=σ

•

0.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛σ+

δ−=

−•

iT

qTdt

)FF(d

00

0 , 00 ≤−

dt)FF(d для

00 >−=Λ FF , тогда 0≤dtdF ,или 0dF ≤

1.7. Термодинамика систем с инверсной заселенностью

верхнего уровня

Рассмотрим термодинамические системы, для которых функция Ляпу-

нова 0 является знакоотрицательной в силу того, что для них

свободная энергия принимает максимальное значение . Это так называе-

мые лазерные системы - системы с инверсной заселенность верхнего уровня

энергии (лазерные системы). Состояние вещества, при котором хотя бы для

0 ≤−=Λ FFF

0F

двух уровней энергии частиц верхний уровень оказался более населённым,

чем нижний, называется состоянием с инверсией населённостей. При T>0

состояния с меньшей энергией являются заполненными; при T<0 более за-

полненными оказываются верхние энергетические уровни.

Пусть функция F(θ(ξe,ξI,t),V,t) − свободная энергия Гельмгольца для

единицы объема V, которая является функцией состояния системы, прини-

мающая в состоянии равновесия максимальное значение F0 (заполнен верх-

ний уровень энергии). Аналогично выводу выражения (1.6), получаем

σ++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

−− TJTXJTXdtdVP

tTS

dtdF

iiee , (1.21)

( ) ( )iieeieie dXdXSTX,X,J,JFF ξ+ξ−δ±= ,

где введены следующие обозначения:

ΛF=F−F0; SF=

θ∂∂ , P

VF

−=∂∂ ;

eeeSFF

ξ∂

θ∂≡

ξ∂θ∂

θ∂∂

=ξ∂

∂ ,

iiiSFF

ξ∂

θ∂≡

ξ∂θ∂

θ∂∂

=ξ∂

∂ ; i

iSX

ξ∂θ∂

θ= ,

dtdJ e

eξ

−= ; dt

dJ i

iξ

−= ;

e

eSX

ξ∂θ∂

θ−= ; ;

tF

∂∂

θ=σ

1 .

Здесь σi=JiXi+σ − производство энтропии, F −свободная энергия Гельмгольца

неравновесного состояния системы с заселенным верхним уровнем, P-

давление, определяющее наравне с другими параметрами неравновесное со-

стояние, σT - неформализуемые потери энергии.

В результате приходим к закону изменения свободной энергии нерав-

новесного состояния для систем с инверсной заселенностью верхнего уровня

( )σ++σ=Λ

iie

FXJT

dtd , (1.22)

Уравнение (1.22) отличается для таких систем от аналогичного уравнения

(1.11) наличием положительного знака перед температурой в правой части

(рис.1.4). 31

32

00 ≤−=Λ FFF 00 ≥−=Λ SSS

0≥Λ• F

0≤Λ• S

0≤Λ• F

0≥Λ• S

00 ≥−=Λ FFF 00 ≤−=Λ SSS

Рис.1.4. Математические особенности нижнего и верхнего уровней энергии

Уравнение (1.22) описывает изменение избыточной свободной энер-

гии Гельмгольца 0 при неравновесном процессе в открытой

системе (локальном объeме V). Для устойчивых по Ляпунову процес-

сов ,

0 ≤−=Λ FFF

0≥d0≤ΛF Λ t/d F

i ≥σ

и из (1.22) следует что для изолированного верхне-

го энергетического уровня как и для нижнего выполняется второй закон тер-

модинамики .0

При доказательстве теоремы Пригожина для верхнего уровня энергии

будем исходить из того, что система при фиксированных граничных услови-

ях имеет одно стационарное состояние, характеризующееся максимальным

значением термодинамического потенциала F0. Используем уравнение со-

хранения энергии:

Максимум термоди-намического потен-циала

Неравновесные состояния верхнего уровня

( )σ++σ=Λ

iie

FXJT

dtd

Неравновесные состояния ниж-него уровня

( )σ++σ−=Λ

iie

FXJT

dtd

Минимум тер-модинамическо-го потенциала

( )ieF

Tdt

dσ+σ=

Λ ,

здесь ΛF=F−F0 ≥ 0 − положительно определенная дифференцируемая функ-

ция; σe 0 − знакопеременная дифференцируемая функция; σi 0− положи-

тельно определенная диффекренцируемая функция. Дифференцируя уравне-

ние по t, получаем:

>< ≥

2

21

dt

dTdt

ddt

d Fei Λ+

σ=

σ .

По теореме граничные условия зафиксированы, т.е. σe=const, а ΛF≤0 в силу

принципа минимальности термодинамического потенциала для состояний

равновесия. Для устойчивых по Ляпунову систем справедливо неравенство

dΛF/dt ; при стремлении системы к равновесию вторая производная по

времени эта функция меньше нуля: d2ΛF/dt2

0≥

0≤ . Теорема Пригожина для

верхнего заселенного уровня доказана.

33

34

ГЛАВА 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Излагается термодинамика нелинейных процессов, в которой основные

(базовые) термодинамические уравнения первого уровня – релаксационные

локальные уравнения для термодинамических сил и потоков. В анализе не-

линейных процессов используется теория катастроф, в частности потенци-

альная функция катастрофы сборки, в которой выделяется функция Ляпуно-

ва. В задачу такого описания входит описание фазовых переходов первого и

второго рода. Формулируется и доказывается теорема для функции произ-

водства энтропии, которая является аналогом теоремы Пригожина для нели-

нейных систем и связана с дрейфом/диффузией к локальному/глобальному

минимуму и структурной устойчивостью исследуемых нелинейных систем в

рамках катастрофы сборки. Формулируется более общая теорема, в которой

утверждается что при различных нелинейностях в каждом потенциале ката-

строф Тома с четной наивысшей степенью параметра порядка можно выде-

лить знакоположительную функцию Ляпунова. Последнее позволяет со-

вместить метод определения устойчивости Тома с прямым методом Ляпуно-

ва. Последний вывод является важным также для математической теории

катастроф.

2.1. Динамический подход в моделировании

нелинейных процессов

Известно, что состояния открытых систем, удаленных от термодинами-

ческого равновесия, не подчиняются описанию в рамках линейной термоди-

намики, формализм которой справедлив лишь вблизи равновесных состоя-

ний. Это также означает, что для таких систем теорема Пригожина не вы-

полняется. Предметом нелинейной термодинамики необратимых процессов,

является установление зависимости между скоростью протекания необрати-

мых процессов и термодинамическими силами в широкой кинетической об-

ласти существования.

Рассматривая различные масштабы времени, будем руководствоваться

следующим положением. Роль медленных переменных проявляется в про-

цессах обмена с окружающей средой, а быстрые процессы представляют со-

бой внутренние необратимые процессы. Разделение переменных на быстрые

и медленные позволяет сократить в математических моделях число диффе-

ренциальных уравнений и соответствует переводу подсистемы быстрых пе-

ременных в равновесное (или стационарное) состояние.

Динамика линейных систем. Рассмотрим для открытой системы в не-

которой локальной области однородное уравнение нелинейного возмущенно-

го движения для внутренней переменной Xi − термодинамической силы в

форме

eii XX

dtdX

β+α−= , α>0, β >< 0 ; (2.1)

этим самым предполагается наличие релаксации со временем релаксации

α=τ /1

/α

к равновесному состоянию при внешней термодинамической силе

Xe=0 и наличие стационарного состояния для линейных процессов, при кото-

ром . Увеличение Xe в частной задаче β>0 приводит в (2.1) к

возрастанию скорости изменения внутренней переменной Xi. Отметим, что

выбор потоков и сил при моделировании произволен, но он должен быть со-

вместим с условием положительности производства энтропии (1.15). Отме-

тим, что такой подход не исключает другого случая, а именно β<0, когда

увеличение внешней силы уменьшает скорость изменения Xi.

ie X/X=β

Представим уравнение (2.1) в виде

i

iXG

dtdX

∂∂

ϕ−= , или i*

iXG

dtdX

∂∂

−= , , (2.2) tt* ϕ=

где ϕ − некоторая константа, а G – потенциальная функция, определяющая

скорость изменения энтропии открытой системы (функция предполагается

дифференцируемой): 35

σ++−== iiee XJXJdtdSG .

Учтем в G(Ji, Je, Xi, Xe,σ) величину потерь σ=const, которая также яв-

ляется составной частью производства энтропии и зависит от степени сопря-

жения внешних и внутренних потоков, введением некоторого постоянного

параметра χ≥1: ii XJ)( 1−χ=σ , при χ=1 σ=0; тогда выражение для G(Ji, Je,

Xi, Xe,,χ) G будет более определенным:

iiee XJXJdtdSG χ+−== ; ii

i XJdt

Sdχ= .

Преимущество уравнения (2.2) перед уравнением (2.1) очевидно: ди-

намика внутренней термодинамической силы, порождаемая внешним воз-

действием, определяется градиентом скорости изменения энтропии с точно-

стью до постоянных ϕ, χ. Учитывая уравнения Онзагера (1.10) несложно по-

казать, что G является квадратичной формой для линейной задачи:

)XLXXL(XXLX-LG iiiieieieeieee22 +χ+−= ,

iiieieeii

XLX)LL(XG

χ+χ+−=∂∂ 2 .

Равенства для постоянных параметров 02 >χ=α iiL ,

>0 являются условиями совместности уравнений (2.1) и

(2.2). Отсюда следует справедливость уравнения (2.2) для линейных неравно-

весных процессов.

)LL( eiie −χ−=β

Динамика нелинейных систем. Следуя идее Дьярмати [6] и ее прак-

тической реализации, приводимой в [9], представим коэффициент Онзагера

для нелинейных процессов в виде полинома термодинамической силы по аб-

солютной величине: 2

321 iiiii XkXkk)X(L +−= ,

здесь 01 iiLk = − коэффициент Онзагера для линейных процессов. Таким об-

разом, уравнение (2.2) принимает форму нелинейного однородного ДУ

36

eiiii Xk)XkXkXk(

dtdX

43

32

212 ++−χ−= ; (2.3)

04 >−χ−≡β= )LL(k eiie ;

здесь внешняя переменная Xe задана как постоянный параметр − этим самым

предполагается более медленный характер ее изменения, чем внутренней пе-

ременной Xi. Параметрами уравнения являются также все величины ϑk , где

ϑ=1,2,3,4. Для упрощения записи для последующих выкладок введем неко-

торые переобозначения: iXx ≡ , H≡Xe; в результате уравнение (2.3) приво-

дится к виду

Hk)xkxkxk(dtdx

43

32

212 ++−χ−= . (2.4)

Уравнение (2.4) можно привести, следуя [7], к каноническому виду:

)ba(dtd ** +η+η−=

η 3 , , (2.5) ** xx 0−=η

)x(a ** 13 20 −−= , . 3

00 23 **** xxHb −+−=

или

η∂∂

−=η *G

dtd (2.6)

00

2421

41 ≥

≤η+η+η=+==η ***

i*

*e

*

**** ba

*dtSd

dt

Sd

dt

dS)b,a,(G ;

в такой записи G* − приведенная знакопеременная потенциальная функция,

равная относительной (безразмерной) скорости изменения энтропии систе-

мы. Согласно (2.6) градиент скорости изменения энтропии по внутренней

термодинамической силе определяет с точностью до знака скорость измене-

ния этой силы. Отметим, что за счет перехода к новой переменной η и новым

управляющим параметрам a* и b* в правой части канонического уравнения

(2.5) исчезает квадратичный член. Именно такие уравнения в канонической

форме изучаются в теории катастроф и нелинейной динамике [7,15]. Потен-

циальная функция G* может принимать отрицательные значения, что соот- 37

ветствует процессам самоорганизации, или положительные значения. В пер-

вом случае энтропия системы уменьшается, во втором – увеличивается.

2.2. Соответствие между нелинейной моделью

и II законом термодинамики

Уравнение (2.4) должно быть совместимо с условием положительности

производства энтропии

023

21 43

1

221 ≥

χ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−χ=χ==σ x

kx

kk

xkx)x(Jdt

Sdii , , iXx =

Последнее может быть представлено в виде:

( ) 06441

022 ≥+−=∗ ****i xxxxG . (2.7)

Решение неравенство вида 02 ≥++ cbxax

ac

зависит от знака параметров

и дискриминанта a bD 42 −= ; 1=a b 4−=, , 6*x0 =c

0

. При >0 следует

лишь рассматривать знаки . При >0 – неравенство можно записать в ви-

де

a

D

−−

D

≥2 =++ −+ x)(x )xx(acbxax , где a/acbb⎜⎝⎛−x+

2

, =− 22 ⎟⎠⎞± 4− –

два действительных корня уравнения 0=++ cbxax . Неравенство имеет

следующие решения x > и +x x < −x . Если 0≤D

*

, тогда уравнение

не имеет действительных корней или имеем один корень

(D=0), поэтому (2.7) выполнимо для любого . Необходимо рассмотреть

случай ,

02 =++ cbx

0≤D

ax

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 16 2

0*xD

23 , поэтому условию 0≤D удовлетворяет нера-

венство:

232

0 ≤*x , или 22k < 312

9 kk . (2.8)

Делая замену переменной в (2.7) получаем следующее канониче-

ское выражение для производства энтропии (Рис.2.1):

** xx 0+η=

38

021

41

024 ≥+η+η+η= **

s*i* HHaG , , (2.9) *

o* xx −=η

здесь

)x(a* 13 20 −−= , , 3

00 23 ***s xxH −= )x(xH *** 2

02

00 243

−= .

39

Рис.2.1. Производство энтропии в канонической форме. Глобальный минимум соответствует равновесному состоянию, так как для него термоди-намическая сила равна нулю x=Xi=0, локальный – стационарному состоянию;

. ** xx 0+η=

Выражение (2.9) не содержит внешнее поле H*=0. Положительности

производства энтропии в уравнении (2.9) отвечает условие: ,

. Сама же потенциальная функция G* может иметь любой знак, так

как включает еще линейное по

232

0 /x* ≤

23 /a −≥∗

η слагаемое, связанное с обратимыми пото-

ками энтропии.

2.3. Устойчивость нелинейных термодинамических систем

Докажем следующую теорему для нелинейных систем [20].

1

2

3

)(G i* η

*

Дрейф

1

-2 -1 0 1 2 x

3 2

14309511 0 ,x* =− 2-1,172791

3-1,225527

Диффузия

Теорема 3. Временная эволюция в нелинейной термодинамической

системе при заданных постоянных граничных условиях происходит так, что

производство энтропии G*i с четной наивысшей степенью параметра поряд-

ка, стремится убывать

0≤dt

dG i* (2.10)

и достигает минимального (положительного) значения в ближайшем стацио-

нарном состоянии, локальная или глобальная устойчивость которого опреде-

ляется теоремой Тома. Движение к локальному/глобальному минимуму осу-

ществляется посредством дрейфа/диффузии.

Доказательство. Производство энтропии (2.9) с ростком катастрофы является при 2 (см. Рис.2.1) знакоположительной функцией

для различных значениях переменной

4η

i*G

320 /x* ≤

0≥ η. После дифференцирования

G*i по времени получаем

dtd)Ha(

dt*dG *

s*

i η+η+η= 3 . (2.11)

Так как из (2.5) следует при внешнем поле Н*=0 уравнение

)Ha(dtd *

s* +η+η−=

η 3 ,

то в результате получаем из (2.11), что функция •

i*G является функцией зна-

коотрицательной:

23 )Ha(dt

*dG *s

*i

+η+η−= .

Отсюда следует что функции

G*i , 0≥ 0≤•

i*G (2.12)

являются функциями Ляпунова. Этим доказывается часть теоремы, связанная

с уменьшением производства энтропии. В глобально устойчивом состоянии

40

(невозмущенное состояние равновесия 0 ) производство эн-

тропии обращается в нуль.

== ci* X/Xx

При наличии флуктуаций нелинейная система описывается вероятно-

стной функцией распределения g, которая связана с потенциальной функцией

системы посредством уравнения Фоккера-Планка [7] i*G

( ) (Dg*Gg )tg i 2∇+∇∇=

∂∂ , (2.13)

здесь D - коэффициент диффузии.

Правая часть уравнения состоит из двух членов – “дрейфа” и “диффу-

зии”. Дрейф заставляет функцию распределения двигаться по на-

правлению к ближайшему локальному минимуму. Роль диффузии

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∇∇i*Gg

( )Dg2∇

двояка: она описывает (1) размах функции распределения, которая концен-

трируется вокруг локального минимума, и (2) вероятность, с которой флук-

туация может перевести систему из метастабильного (локального) минимума

в глобальный минимум (см. Рис.2.1). Так в рассмотрение вводится устойчи-

вость и доказывается вторая часть теоремы. Для описываемой катастрофы

левый экстремум соответствует равновесному состоянию, правый – стацио-

нарному состоянию. Таким образом теорема доказана для частного случая

катастрофы сборки. С увеличением показателя ростка катастрофы x5 , x6

число стационарных состояний увеличивается.

Если флуктуаций нет (или они ничтожно малы), то диффузия от ло-

кального к глобальному минимуму производства энтропии отсутствует. У

таких систем производство энтропии может принимать достаточно высокое

значение.

Ниже для исследуемых функций введены такие основные понятия, как

росток катастрофы, возмущение, устойчивость, наследственность и особен-

ность. Они являются необходимыми для формулировки теоремы Тома и до-

казательства устойчивости.

41

Катастрофа сборки в описании неравновесных нелинейных процессов в от-крытых системах. Элементарная теория катастроф [3,7] в качестве одного из прибли-жений, при которых она получена, содержит k управляющих параметров катастрофы с ростком xk+2, независимых от времени t. В данной работе рассматриваются динамиче-ские особенности одной элементарной катастрофы - катастрофы сборки. Катастрофа сборки, где x- переменная, описывается дифференциальным уравнением

x)b,a,x(F

dtdx

∂∂

−= ,

здесь семейство типичных потенциальных функций согласно теореме Тома [6] определе-но в виде

bxaxx)b,a,x(F ++= 2421

41

.

Такое представление тождественно базовому уравнению (2.5). В силу важности такого представления укажем его основные математические и геометрические свойства. Росток катастрофы. Возмущение. В потенциале F величина x4 является рост-

ком катастрофы, а величина 221 axbxf +=ε - произвольным возмущением.

Лист состояний и лист управляющих параметров катастрофы сборки. Гра-фическое изображение катастрофы. Рисунок 2.2 дает наглядное изображение катаст-рофы сборки, которая состоит из двух листов: листа состояний и листа управляющих па-

раметров. Лист состояний описывается кубическим уравнением 03 =++ baxx , т.е. со-ответствует равновесным решениям, число которых в области действительных чисел бу-дет определяться управляющими параметрами a, b.

Как определяется устойчивость состояний? Локальная или глобальная устой-чивость текущего состояния системы определяется видом потенциальной функции F. На рис.2.2а,б представлены частные случаи исследования устойчивости текущих состояний. Для локально устойчивых состояний второй минимум выражен слабо. Это соответствует метастабильному состоянию.

x

Лист состояний. Каждая точка листа С соответствует экстремумам потенциальной функции F*

42

Рис.2.2. Катастрофа сборки в анализе локальной и глобальной устойчивости сис-тем; C - критическая точка. Заштрихована область метастабильной первой фазы x>0.

Вырожденные точки. Для катастрофы сборки вводятся следующие особые (в ма-

тематическом отношении) точки.

L

N

a*

b

B

М

Лист управляющих параметров. Каждая точка листа соответствует заданным L значениям

1. 0=dxdF

03 =++ baxx − вырожденные точки (соответствуют экстремуму

потенциальной функции F).

2. 02

2=

dxFd

03 2 =+ ax − дважды вырожденные точки расположенные по

линиям LC, BC (решения, соответствующие двум экстремумам потенциальной функции становятся равными).

3. 03

3=

dxFd

6x=0 − трижды вырожденная точка С (решения, соответствующие

трем экстремумам потенциальной функции становятся равными и равны 0). Сепаратриса. Решение двух совместных алгебраических уравнений

03 =++ baxx , 03 2 =+ ax , дает уравнение сепаратрисы {LC,BC}:

023

23=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ba

.

Сепаратриса является предельной для метастабильных состояний. Особенности. Произвольное возмущение может изменить местонахождение и ори-ентацию сепаратрисы, однако оно не может изменить ее вида. Другими словами особен-ность в отображении проектирования устойчива относительно возмущений. Особенности присутствуют лишь в отображении проектированию вниз на плоскость управляющих па-раметров. Наследственное свойство. Возмущение в точке, где имеет место наследственное свойство (устойчивая точка), качественно на это свойство не влияет. Возмущения же в неустойчивой точке будут приводить к значительным изменениям.

43

Рис. 2.3. а) Вид потенциальной функции на линии равновесия NC; 1− при a>0 (вы-

е критической точки система всегда устойчива, но у нее не может быть развития ); 2, 3 – ниже критической точки (двухфазное состояние с одинаковой устойчивостью обеих фаз); б)вид потенциальной функции на сепаратрисе; 2- глобальная устойчивость второй фазы; 1 – глобальная устойчивость первой фазы.

ш

Время релаксации. Согласно теории неравновесных фазовых переходов [7] при

варьировании левой и правой частей уравнения (2.5) получаем релаксационное уравнение

2 1 0 1 2 -0.4

-0.2

0

0.2

0.4

F*

η

1 2

2 1 0 1 2 - 0 .2

0

0 .2

F *1

0 .4

2

3

η x

A B

τδ

−=δ xdt

xd, где

ax +=τ 23

1.

Последнее означает, что при описании фазовых переходов можно ввести время ре-лаксации τ; здесь отклонение от равновесного значения δx=x-x0, где x0 находится при b=0

из решения кубического уравнения x(x2+a)=0: ax −±=0 . При x→x0 τ →τ0=1/2x02.

Фазовые переходы. Каждая точка равновесия А или B характеризуется своей структурой. Переход из состояния A в состояние B (или наоборот) является фазовым пе-реходом первого рода. При фазовых переходах I рода x меняется скачком и имеет место гистерезис.

Переход через точку С по линии равновесия является аналогом фазового перехода

второго рода. При фазовых переходах II рода x меняется непрерывным образом и гисте-резис отсутствует.

Время релаксации τ0 стремится к бесконечности при x0→0 (a→0) и обеспечивает согласно теории неравновесных фазовых переходов [7] существование макроскопических состояний, отвечающих неполному равновесию описываемой системы при заданных не-равновесных значениях x.

Влияние внешнего поля. Для бифуркационного уравнения, описывающего ката-строфу сборки управляющий параметр в правой части уравнения есть b=−fe+fi, где fe − “силовая” стационарная характеристика внешнего поля, fi − “силовая” характеристика стационарного внутреннего самосогласованного поля.

Восприимчивость. Восприимчивость axf

x)a,x(e +

=∂∂

=χ 231

для равновесного

состояния системы, описываемого уравнением x3 +ax +b=0, или fe=fi+ax +x3, харак-теризует изменение параметра порядка при изменении внешнего поля fe.

Деформация потенциальной функции. Под деформацией потенциальной функ-ции будем понимать последовательные изменения вида потенциальной функции: переход от кривой 1 к кривой 2 (рис.2.3б) и наоборот. Эта деформация осуществляется за счет включения внешнего поля, т.е. за счет изменения управляющего параметра b при a<0.

2.4. Термодинамика нелинейных процессов. Анализ скорости

изменения энтропии и свободной энергии

Приведенная знакопеременная потенциальная функция, равная относи-

тельной (безразмерной) скорости изменения энтропии системы

00

2421

41 ≥

≤η+η+η=+==η **i*e**

**** baGG

dt

dS)b,a,(G (2.14)

входит в структуру уравнения

η∂∂

−=η *G

dtd .

44

Здесь производство энтропии и обратимые потоки энтропии

равны соответственно

0≥i*G e*G

021

41

024 ≥+η+η+η= **

s*i* HHaG , , *

o* xx −=η

0

00≥

≤η+−= )HH(G **e* ,

здесь

, , *s

** HHb +−= )x(a* 13 20 −−=

300 23 ***

s xxH −= , )x(xH *** 20

200 2

43

−= .

Условие положительности производства энтропии отражается в потен-

циальной функции G* условием для различных значений x*. Сама

же потенциальная функция G* может иметь любой знак, так как включает

еще слагаемое , связанное с обратимыми потоками энтропии. Проведем

анализ скорости изменения энтропии G* =G*e+G*i, придерживаясь следую-

щей последовательности.

2320 /x* ≤

e*G

1. Случай a*<0. Рассмотрим влияние на устойчивость двух условий,

соответствующих двум принципиально различным состояниям термодина-

мической системы: a*<0, a*>0.

Динамика такой неравновесной системы является нелинейной (рис.2.3),

а количество устойчивых стационарных состояний при заданных параметрах

– два , ), *x+*x−

45

Таким образом, переменная является параметром порядка,

характеризующим отклонение переменной (например, внутренней термоди-

намической силы) от некоторого среднего значения. Именно такой смысл

придавал Г. Хакен параметру порядка. В общем же случае множества ста-

ционарных состояний наивысший показатель степени при x* в уравнении ти-

па (2.5), будет задавать количество этих стационарных состояний, часть из

** xx 0−=η

46

0

которых будет принадлежать локально или глобально устойчивым состояни-

ям. Как доказано выше положительность производства энтропии дается ус-

ловием >*x .

Медленным изменением внешней термодинамической силы H*≡Xe/Xc

такую систему можно перевести из одного стационарного состояния в дру-

гое. В отличие от симметричного потенциала (рис.2.4а, кривая 1) левый ми-

нимум потенциала, представленного на рис.2.4б (кривая 1), следуя [], будем

называть глобальным, правый локальным, они соответствуют стационарным

состояниям и наблюдаются в области с отрицательными значениями скоро-

сти изменения энтропии, которые принято считать, что они описывают про-

цессы самоорганизации [2,3]. Если в потенциальной функции выделяются

локальный и глобальный минимумы, то говорят обычно о структурной ус-

тойчивости (локальной или глобальной), когда учет малого и на первый

взгляд не существенного параметра может изменить результаты анализа ус-

тойчивости.

Состояние системы относительно η (внутренней термодинамической

силы) и параметра b* (внешней силы) в глобальном минимуме будет устой-

чивым, в локальном – метастабильным, оба этих состояния, тем не менее, не-

устойчивы по Ляпунову.

Рассмотрим теперь, следуя [15], масштабы времени и связанные с ними

стационарные состояния. Взяв вариационную производную 0η−η=δη

1−)a*

от

левой и правой частей уравнения (2.5) получаем релаксационное уравнение

(2.7) где время релаксации параметра порядка . Времена

релаксации в окрестности каждого стационарного состояния (см. рис.2.4 б)

в общем случае не совпадают

20 3 +η=τ (

0201 τ≠τ . Для симметричных состояний в

приближении Ландау (рис.2.3а) , т.к. . Таким об-

разом, для квазистатических (медленных) процессов (

* =η2a/21−=0201 τ=τ *a−

0=== ie XX= ie JJ ),

изучаемых в равновесной термодинамике, можно ввести длительность про-

цессов, которая должна быть 0τ>>Δt .

При a*>0 b*=0 скорость изменения энтропии является определенно-

положительной функцией относительно координаты η (термодинамической

силы)

021

41 24 >η+η=η ** a)(G .

2. Случай a*>0. Критическая точка является предельной для биста-

бильной системы − выше критической точки исчезают оба стационарных ре-

жима.

Эта функция однозначна, непрерывна, производная ее по времени яв-

ляется знакопостоянной функцией противоположного знака с G*(η)

023 ≤η+η−= )a(dt

dG **

.

Знакоопределенная функция G* имеет при η=0 экстремум − минимум

(см. Рис.2.4a кривая 2), т.е. G* является функцией Ляпунова. Невозмущенное

движение η=0, соответствующее постоянной энтропии, асимптотически ус-

тойчиво по Ляпунову, так как * − знакоопределенная функция и обраща-

ется в нуль в начале координат когда η=0.

oG

Скорость изменения свободной энергии согласно уравнению (1.11)

может быть представлена в приведенном (безразмерном) в виде

**F*

GTdt

d−=

Λ ,

тогда вторая производная с учетом (2.6) равна

2

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ η

=η

η−=

ΛdtdT

dtd

ddGT

dtd *F*

, (T*>0)

функция G* и ее знак будут определять знак функции F*oΛ :

, . Это и означает, что при a*>0 для устойчивых по Ляпуно-0<Λ F*o

0>Λ F*oo

47

ву нелинейных процессов приращение свободной энергии является знакопо-

ложительной функцией:

01≥−=Λ *F* F , F*=F/F0.

48

Рис.2.4. Эволюция открытой термодинамической системы к ближай-шему локальному минимуму скорости изменения энтропии G*. Система опи-сывается дифференциальным однородным уравнением: a – b*=0; б −0.2; в – 0.6 ; кривая 1 − a*= −1.5; кривая 2 − a*=1.5. Штриховые линии соответству-ют области устойчивых по Ляпунову процессов, непрерывные линии – об-ласти самоорганизации. В последнем случае имеем структурную устойчи-вость.

При b*≠0 имеются как области устойчивых, так и неустойчивых по

Ляпунову процессов.

Функция распределения. Рассмотрим ситуации, которые возникают в

физических системах, когда в ней имеются флуктуации. В этом случае нели-

нейная термодинамическая система описывается вероятностной функцией

распределения g, которая связана с потенциальной функцией системы G* по-

средством уравнения Фоккера-Планка с потенциальной функцией G.

В виду важности укажем, что правая часть уравнения состоит из двух

членов – “дрейфа” и “диффузии”. Дрейф ( )Gg∇∇ заставляет функцию распре-

деления двигаться по направлению к ближайшему локальному минимуму.

2 0 η 2

1

0

G *

1

2

в

2 0 η 1

0.5

0

G *

1

2

б

2 0 η 1

0 .5

0

G *

1

2

a

49

)Роль диффузии двояка: она описывает (1) размах функции распреде-

ления, которая концентрируется вокруг локального минимума, и (2) вероят-

ность, с которой флуктуация может перевести систему из метастабильного

(локального) минимума в глобальный минимум.

(Dg2∇

Такой подход показывает, что анализ решений (2.5), (2.6) для неста-

ционарных условий подразумевает использование термодинамических урав-

нений для свободной энергии, определенной для неравновесных условий.

Совместное рассмотрение указанной системы уравнений в обоих рассмот-

ренных случаях (по потокам и силам) позволяют сделать следующие выводы.

Временная эволюция в нелинейной системе при заданных постоянных гра-

ничных условиях (H=const) происходит так, что скорость изменения энтро-

пии G*<0 (при a*<0, b*≠0) достигает одного из ближайших минимумов – со-

стояние определяется устойчивым (стабильным) или метастабильным мини-

мумом до тех пор пока он существует. При a*>0 b*=0 начало координат яв-

ляется асимптотически устойчивым по Ляпунову. При наличии внутренних

флуктуаций система из метастабильного минимума движется к глобальному. Моделирование динамики внутреннего потока. Рассмотрим теперь для открытой

системы однородное уравнение нелинейного возмущенного движения для внутренней переменной Ji − термодинамического потока

eii JJ

dtdJ

11 β+α−= , α1>0, β>0 . (2.15)

Здесь взаимосвязь между внешними и внутренними потоками также дается в виде уравнений Онзагера c матрицей коэффициентов ieR :

Xe= ReeJe + ReiJi,, Xi= RieJe + RiiJi,. Представим уравнение (2.18) в виде, удобном для физической интерпретации не-

равновесных процессов:

i

iJG

dtdJ

∂∂

ϕ−= 1 , или i*

iJG

dtdJ

∂∂

−= , , (2.16) tt* 1ϕ=

где по-прежнему

iiee* XJXJdt/dSG χ+−==

− скорость изменения энтропии; ϕ1 − некоторая константа. Здесь также несложно пока-зать, что равенства

021 >χ=α iiR , )RR( eiie −χ−=β1 >0 (χ≥1) являются условиями совместности уравнений (2.15) и (2.16). Вводя обозначения iJx ≡ , H≡Je , приводим уравнение (2.16) с учетом нелинейности также к канонической форме, аналогичной (2.5), только в качестве переменной здесь выступает внутренний поток.

Таким образом, в общем случае базовое уравнение (2.5) содержит параметр поряд-ка, определенный через термодинамическую силу, или через термодинамический поток.

2.5. Как связаны метод Тома определения устойчивости состояний

со вторым методом Ляпунова

Теорема. При различных нелинейностях в потенциалах катастроф То-

ма с четной наивысшей степенью можно выделить знакоположительную

функцию Ляпунова.

Следствие. Данная теорема позволяет совместить метод определения

устойчивости Тома с прямым методом определения устойчивости Ляпунова.

Теорема является важной также для математической теории катастроф.

2.6. Коэффициент эффективности энергетических превращений

в нелинейных системах

Потребность создания раздела термодинамики, дополняющего клас-

сическую теорию необратимых процессов анализом взаимосвязи термоди-

намической эффективности и интенсивности взаимообмена с внешней сре-

дой и внутренними потоками и силами диктуется логикой развития многих

областей знания [5]. Кинетика процессов полезного преобразования энергии

интересует не только энергетику и энерготехнологию, для которых эти про-

цессы являются основными. Термодинамическое исследование биологиче-

ских систем также невозможно без учета работы, поддерживающей неравно-

весное состояние таких систем и обеспечивающей их жизнедеятельность

[14,22].

Линейные процессы. В стационарных задачах из (1.9) следует [14]

− 0=σ++ TXTJXTJ iiee .

Здесь первый член характеризует входную энергию, остальные два –

энергию на выходе. Учтем функцию потерь Tσ введением некоторого ко-

эффициента φ: eeXJ)( φ−−=σ 1 . Последнее означает, что при

Lei= 0<−= ieie LL ieLχ)(β +−= 1 >0

50

задан коэффициент эффективности энергетических/энтропийных превраще-

ний для линейных процессов в виде

bcy/bcy

XTJXTJ

ВходВыход

ee

ii−

−−=−==φ

1;

ee

iiLL

с = ; e

iXXy = ;

eeii

ieLL

Lb = . (2.17)

Его величина определяется степенью сопряжения b внешнего и внут-

реннего потоков (рис.2.5 a), т.е. зависит от перекрестных коэффициентов

Онзагера, которые принимаются для линейных процессов равными eiie LL = .

Процесс с индексом “e” “приводит в движение” процесс “i” и 10 ≤φ≤

при условии, что знаки у сy и b различны [14]. Выражение (2.17) широко ис-

пользуется в термодинамике биологических процессов [14], в том числе и

для многопотоковых систем.

51

Рис.2.4. Коэффициент эффективности линейных (a) и нелинейных (б) энергетических/энтропийных превращений: a - линейные процессы; б – не-линейные процессы. Кривая 1 − b=0.7, 2 − 0.85б, 3 − 0.94, 4 − 0.99; 4` − c1=0.2, c2=0.3; 4``− c1=0.304, c2=0.304; 5 − b=1.

0 0.50

0.5

φ

cy

1 2

3

4

5

0 0.5 1 0

0.5

1

(

cy

4

4``

4`

φ

Можно также показать, что коэффициент эффективности энергетиче-

ских/энтропийных превращений для нелинейных процессов может быть оп-

ределен по уравнению

2

13

22

11 bcy/

b)cy(c)cy(сcy−

−+−−=φ . (2.18)

Отметим, что в стационарном состоянии величина χst связана с коэф-

фициентом энергетических превращений φ: ∞ > 11 ≥φ=χ /st , 0<φ≤1.

52

53

ГЛАВА 3

ТЕРМОДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

(НА ПРИМЕРЕ ДИФФУЗИИ)

В настоящее время сложилось странное разделение двух направлений

по существу одного и того же учения о теплоте – термодинамики и теории

переноса. В 1821 г. появилась известная работа Ж.Фурье, положившая нача-

ло теории теплообмена, а в 1824 – знаменитая работа C Карно, заложившая

фундамент термодинамики. Однако как неоднократно отмечалось в литера-

туре (см. обзор В.Эткина [5]) оба указанных направления развивались со-

вершенно независимо. Отметим в качестве примера проблему нахождения в

рамках параболического и гиперболического уравнений диффузии для ло-

кальной точки сплошной среды не только концентрацию вещества, но и

свободной энергии, химического потенциала и скоростей их изменения. Та-

кой синтез позволил бы связать скорость изменения, например, свободной

энергии в единице объема сплошной среды с градиентами концентрации,

давления и др., т.е. с термодинамическими силами. Химический потенциал,

свободная энергия для локально-неравновесных систем также могут быть

определены через них.

В данной главе излагается теория переноса вещества для локально-

равновесных и локально-неравновесных термодинамических систем, которая

соединена с термодинамикой, что позволяет за параболическими и гипербо-

лическими уравнениями переноса увидеть локальную термодинамику в виде

соответствующих выражений для свободной энергии, химического потен-

циала, скоростей их изменения и вторых производных, а также для производ-

ства энтропии. Рассмотрение ведется как с источниками тепла, так и их сто-

ками.

3.1. Термодинамическое обоснование

параболического уравнения переноса вещества

Процесс переноса тепла по своей сути нелокален, так как частица пере-

носит энергию или массу из одной точки пространства в другую, причем этот

перенос происходит не мгновенно, а требует конечного промежутка времени

τ. Если выполняются приближения локального равновесия τ<<t0, где t0 харак-

терное время рассматриваемого процесса, и принцип пространственной ло-

кальности L>>h, то этими эффектами можно пренебречь и можно описывать

процесс переноса классическими уравнениями параболического типа с ис-

точниками вещества

( )−+ −+∇=∂∂ ChChcD

tc

212 , (3.1)

где D – коэффициент диффузии (м2/c), – изменение концентрации

вещества за счет притока C+ и оттока C- вещества (моль/м3 с), требуется по-

строить термодинамику неравновесных процессов в терминах свободной

энергии и энтропии, их первых и вторых производных во времени. Будем

исходить из закона сохранения энергии для единицы объема в неравновес-

ных системах с источником (1.11), который представим при V=const в виде

[9]:

−+ − ChCh 21

)(0 DDe XJT

dtdF

+σ−= , (3.2)

где химический потенциал μ входит в структуру скорости изменения сво-

бодной энергии

tc

cF

dtdF

∂∂

∂∂

= , Vc

F⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=μ , тогда )(0 DDe XJT

dtdc

+σ−=μ .

В уравнении (3.2) − функция источников массы при химических

реакциях, [F]=Дж/м3, [σe]=Вт/м3K. После дифференцирования по времени

(3.2), получаем с учетом общепринятых обозначений

eT σ0

dxdcDXLJ DDDD −== ; , 0cuTLDD =

dxdc

cRX D −= , (3.3)

дифференциальное уравнение сохранения энергии в случае фиксированных

потоков

54

tT

tLXT

tXJT

tc

tc

t

eDD

DD

D ∂σ∂

+∂

∂+

∂∂

=∂∂

μ+∂∂

∂μ∂

02

002

2

. (3.4)

При записи (3.3) и (3.4) предполагалось, что температура T0 является

средней температурой в определении градиента концентрации; с помощью

нее и определялся коэффициент диффузии D. Рассмотрим двухкомпонент-

ную смесь, для которой c1+c2=1. Соответствующие производные

. После деления правой и левой частей (3.4) на в предпо-

ложении, что получаем уравнение для второй компоненты с≡с2

( ) ( tctc ∂∂−=∂∂ // 21

/(μ

)•

μ

1/) <<Δμ•

t

V

e

cRTcT

xcD

xc

cD

tc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂ 0

2

22

.

Условиями совместности последнего уравнения и уравнения диффузии (3.1)

является наличие условий:

1) −+ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂σ∂ ChChcRT

cT

V

e

210 ; 2) 0

2

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂xc

cD .

Второе условие означает, что слабая пространственная неоднородность кон-

центрации приводит к нулевому значению первого члена в правой час-

ти этого уравнения.

0≈∇c

В случае независимости функции источников от концентрации

получаем равенство, связывающее внешние потоки с

функцией источников вещества

constChCh =− −+21

eσ

( ) cChChTRTe ln21

0

−+ −=σ .

Химический потенциал. Используя уравнение (3.2), в котором выде-

лен химический потенциал

)(0 DDe XJT

dtdc

+σ−=μ ,

можно найти выражение для изменения химического потенциала неравно-

весного состояния при диффузии в виде

•

σ+=μΔ

cTcART

i

0ln ,

55

где , A= . Для равновесного состояния и

, или , т.е. получаем хорошо известное в физиче-

ской химии выражение для химического потенциала сложных химических

систем, содержащее константу А.

( ) ccRDi /2∇=σ

cART ln

( ) •−+ − cChCh /21

cART ln0 +

0=σi

=μΔ μ=μ

Скорость изменения энтропии для параболического уравнения диффу-

зии (3.1) равна

( ) ( )221

0

ln cc

RDcChChTRTXJ

dtdS

qqe ∇+−=+σ= −+ , (3.5)

где [ ]=Дж/м3K c. При этом производство энтропии является знакоположи-

тельной функцией в отличие от функции источников , которая может

иметь любой знак. Второй закон термодинамики применительно к уравне-

нию (3.1) выражается неравенством для производства энтропии

•

Seσ

( ) 02 ≥∇==σ cc

RDXJ DDi , D>0.

Теорема Пригожина. Теорема Пригожина для диффузионных необра-

тимых процессов может быть сформулирована в следующем виде. Произ-

водство энтропии ( ) c/2cRDXJ DDi ∇==σ

conste =σ

стремится убывать, при постоянных

граничных условиях ( ), принимая минимальное положительное зна-

чение в стационарном состоянии в соответствии с уравнением

2

2

0

1tF

Ttdtd ei

∂∂

−∂σ∂

−=σ , 01

2

2

0

≥∂∂

tF

T .

3.2. Локально-неравновесные процессы переноса.

Локально-неравновесная термодинамика

Основные положения. Одной из наиболее последовательных и деталь-

но разработанных термодинамических теорий, не опирающихся на принцип

локального равновесия, является так называемая “расширенная необратимая

термодинамика” (РНТ) (см. обзор [41]). В рамках РНТ рассматриваются сле-

дующие дифференциальные уравнения для диссипативных потоков релакса-

ционного типа [41]: 56

Ttqq T ∇λ−=

∂∂

τ+ , CDtjj D ∇−=

∂∂

τ+ , (3.6), (3.7)

ϑ∇ζ−=∂∂

τ+ ϑ tpp ,

•ϑϑ ϑη−=

∂∂

τ+ 2 2 tPP p , (3.8), (3.9)

где λ − коэффициент теплопроводности, D − коэффициент диффузии,

Tτ , , , − времена релаксации соответствующих диссипативных по-

токов; P=pδ+Pυ, δ − единичный тензор, p − вязкое давление (1/3 следа тензо-

ра P), Pυ−часть тензора P со следом, равным нулю, ζ − объемная вязкость, η

− сдвиговая вязкость, − симметрическая часть градиента скорости. При

этом потоки уже не определяются градиентом соответствующего термодина-

мического потенциала переноса, а являются решениями эволюционных урав-

нений (3.6) – (3.9). Эти уравнения описывают процессы релаксации диссипа-

тивных потоков к своим локально-равновесным значениям. Например, в сис-

теме с нулевым градиентом концентрации начальное значение массового по-

тока j0 релаксирует к равновесному значению j=0 по экспоненциальному за-

кону:

Dτ ϑτ p2τ

•υ

( )T0 expj /t−j(t) τ= .

Уравнение Максвелла-Катанео (3.6) может быть представлено как при-

ближение первого порядка при разложении в ряд Фурье по более общего

соотношения:

Tτ

T)q(t T ∇λ−=τ+ . Последнее означает, что между тепловым

потоком и градиентом температуры существует временной сдвиг, равный

времени релаксации. Уравнения (3.6)-(3.9) описывают простейшие случаи

одноступенчатой (или одностадийной) релаксации и не учитывают как пере-

крестных, так и пространственно-нелокальных эффектов.

Характерные пространственно-временные масштабы L, h, τe=t0 и τi

определяют две характерные скорости [41]: ee /L τ=ϑ , ii /h τ=ϑ . Ско-

рость , представляющая собой отношение макромасштабов рассматривае-

мого процесса, характеризует линейную скорость изменения параметров сис-

темы, вызванную внешними причинами. Например, это может быть скорость

перемещения изотерм при движении источника тепловыделения в теплопро-

eϑ

57

водящей среде. Отношение микропараметров iϑ является внутренней харак-

теристикой самой системы и не зависит от внешних условий. Величина iϑ −

скорость распространения возмущений потенциала переноса для внутреннего

потока. Например, в газах характерными микропараметрами среды как для

процессов теплопереноса, так и процессов массопереноса, являются средняя

длина свободного пробега h и время между двумя последовательными столк-

новениями молекул τ. Поэтому iϑ – средняя скорость молекул газа, причем

=3D/h=3a/h (D – коэффициент диффузии), поскольку в газах a=D. В рас-

плавах металлов коэффициент диффузии примеси D~10–9−10–8 м2с–1 значи-

тельно меньше коэффициента температуропроводности a~10–5−10–4 м2с–1. В

результате скорость распространения концентрационных возмущений

~1−20 мс–1 много меньше скорости распространения тепловых возмуще-

ний ~10–3– 104 мс–1. В такой системе сначала устанавливаются локально-

равновесные значения потока, обладающего минимальным временем релак-

сации, а только в последующем – локально-равновесные значения другого

потока. При этом характерное время

iϑ

Dϑ

Tϑ

Dτ ~h/ Dϑ много больше, чем время те-

пловой релаксации Tτ ~h/ Tϑ . Это означает, что в такой системе, сначала, че-

рез время порядка устанавливаются локально–равновесные значения тем-

пературы и только через время порядка

Tτ

Dτ – локально-равновесные значе-

ния концентрации. Последовательная релаксация к тепловому, а лишь затем

к диффузионному равновесию может возникнуть в системах со сложной

структурой, например, в полимерах и капиллярно-пористых средах. В ре-

зультате для локально-неравновесных систем скорость изменения энтропии,

объединяющая все внешние и внутренние потоки, также будет зависеть от

времени релаксации τr, которое связано с одним из наибольших времен ре-

лаксации потоков (с самым длительным лимитирующим процессом):

σ++−=∂∂

τ+ iieer XJXJtGG . (3.10)

58

Прежде чем использовать полученное уравнение (3.10), обратимся к

уравнению теплопроводности для локально-неравновесных систем.

Уравнения возмущенного движения для локально- неравновесных

систем. Учет перекрестных эффектов в приближении РНТ позволяет пред-

ставить уравнения возмущенного движения в виде, отличающемся от (3.6),

(3.9):

iii

eie

iii

SaSat

JJ

ξ∂∂

+ξ∂∂

=∂

∂τ+ ;

iei

eee

eee

SaSat

JJ

ξ∂∂

+ξ∂∂

=∂

∂τ+ ; (3.11)

здесь τi, τe – время релаксации внутренних и внешних термодинамических

потоков. Поскольку потоки определены в виде dt/dJ ee ξ= , dt/dJ ii ξ= ,

то уравнения (3.11) являются ДУ второго порядка.

Следует отметить, что для локально-неравновесных систем, описывае-

мых уравнениями возмущенного движения - нестационарными уравнениями

Онзагера (3.10) можно также сформулировать теоремы 1-3.

3.3. Гиперболическое уравнение диффузии

с притоком вещества

Если приближения локального равновесия не выполняются τ<<t0, то

этим эффектом, учитывающим время релаксации, пренебречь уже нельзя. В

этом случае процесс диффузии описывается уравнением гиперболического

типа

( −+ −+∇= )∂∂

τ+∂∂ ChChcD

tc

tc

D 212

2

2

(3.12)

отличающимся от (3.1) наличием второй производной концентрации по вре-

мени и содержащим время релаксации диффузионного потока . Справед-

ливость данного уравнения также можно доказать в рамках термодинамики

неравновесных процессов.

Dτ

59

Термодинамическое обоснование гиперболического уравнения

диффузии. Используя способ изложенный в параграфе 3.1, а также имея в

виду что , получаем дифференциальное уравнение вида: DDDDD JXL•

τ−=DJ

cRcc

cDcD

tc

tc e

∂σ∂

+∇−Δ=∂∂

μ

δμ+μ+

∂∂

•2

2

2

)( . (3.13)

Локально-неравновесный химический потенциал равен μ(t)=μeq+δμ, где

приращение δμ находится из выражения

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇−Δτ−=δμ 20 )( c

cDcD

cRT

D .

Таким образом, локально-неравновесный химический потенциал явля-

ется функцией параметров неравновесия , или ••

DD JX ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇−Δτ−μ=μ 20 )()( c

cDcD

cRT

t Deq . (3.14)

В результате функция притока-оттока, как и в параболическом уравнении

диффузии определена в явном

( ) cChChTRTe ln21

0

−+ −=σ .

При имеем случай локально-равновесных систем с диффузи-

ей; при этом уравнение становится параболическим уравнением диффузии с

внутренними источниками и стоками массы.

1/ <<Δτ tD

Знание пространственно распределенной концентрации, которая нахо-

дится из гиперболического уравнения диффузии (3.12), позволяет для ло-

кально-неравновесных процессов переноса массы вычислить скорость изме-

нения энтропии, свободной энергии, производство энтропии, которые также

зависят от координат и времени.

Скорость изменения энтропии. Скорость изменения энтропии для

гиперболического уравнения диффузии (3.12) равна

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇∇τ−∇+−=+σ=

•−+ ccc

cRDcChCh

TRTXJ

dtdS

Dqqe 2

210

ln (3.15)

60

Второй закон термодинамики применительно к уравнению теплопро-

водности (3.12) выражается неравенством

( ) 02 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇∇τ−∇==σ

•

cccc

RDXJ DDDi .

Скорость изменения свободной энергии. Скорость изменения сво-

бодной энергии для локального объема при существующем градиенте кон-

центрации для уравнения диффузии равна

)XJ(TdtdF

qqe +σ−= 0 , или ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇∇τ−∇+−−=

•−+ ccc

cRDcChCh

TRTT

dtdF

D2

210

0 ln ,

здесь концентрация в трехмерной задаче является функцией времени и коор-

динат , от координат также зависит скорость изменение свобод-

ной энергии .

),,,( tzyxcc =

(FF••

= )t,z,y,x

Теорема Пригожина. Производство энтропии ( ,

) при постоянной разнице между притоком и оттоком веще-

ства ( ) стремится убывать и принимает минимальное поло-

жительное значение в стационарном состоянии в соответствии с термодина-

мическим уравнением

DD XJ=σ i

DTDDD JXLJ•

τ−=D

ChCh =− −+21 const

( ) 2

2

0

221

1tF

TChCh

cR

dtd i

∂∂

−−−=σ −+ .

Аналогично изложено уравнение теплопроводности одним из авторов

[9].

61

62

ГЛАВА 4

ПЕРЕХОД К ХАОСУ: ТЕРМОДИНАМИКА ХАОТИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ.

Согласно общим принципам статистической механики даже в термоди-

намически устойчивой системе должны происходить флуктуации, т.е. мест-

ные и переходящие отклонения от нормального состояния, которую приводят

систему в состояние менее вероятное. В обычной статистической теории од-

нородной молекулярной системы, в частности, газа или жидкости, рассмат-

риваются (моделируются) небольшие флуктуации плотности, лежащие в

пределах, совместимых с сохранением данной фазы системы. Следуя

Я.Френкелю, будем называть эти обычные флуктуации плотности «гомофаз-

ными». Наряду с ними необходимо принимать во внимание также флуктуа-

ции исследуемых переменных, которые выходят за пределы, совместимые с

исходным агрегатным состоянием. Это соответствует образование зароды-

шей какой-либо другой фазы рассматриваемого вещества. Такие флуктуации

будем называть «гетеровазными». Гетерофазные флуктуации разрушают од-

нофазные состояния протекания химических реакций, состояние открытости

и закрытости ионных каналов в биологии и т.д. Для моделирования таких ге-

терофазных флуктуаций в открытых системах нужны новые представления,

которые нам не может дать статистическая теория. В этой главе при реше-

нии этой проблемы используется методология математического моделирова-

ния, которая основана на нелинейной динамике, теории детерминированного

хаоса.

В нелинейной динамике обычно выделяют следующие основные ха-

рактеристики хаотических движений [16]:

1. Сложный непериодический характер временной эволюции динамиче-

ских переменных.

2. Экспоненциальный характер разбегания близких по начальным дан-

ным траекторий на аттракторе.

3. Диссипативный характер протекающих процессов, который говорит

о сжатии фазового объема.

4. Непрерывная зависимость спектральной плотности мощности пуль-

саций от частоты в конечном диапазоне частот.

5. Специфический характер реакции системы на малое изменение па-

раметров и на внешнее воздействие сигналом малой амплитуды.

6. Конечная или бесконечная последовательность бифуркаций, наблю-

даемая при вариации некоторого управляющего параметра системы, в ре-

зультате которых топологическая структура фазовых траекторий претерпева-

ет ряд (конечный или бесконечный) изменений, завершающихся рождением

странного аттрактора. Следует указать, что это неполный перечень свойств,

которые изучались нами в нелинейных моделях с последействием.

Вначале этой главы сделаем переход от релаксационных уравнений

термодинамики к уравнениям второго порядка для параметра порядка, кото-

рые возникают в связи релаксацией термодинамических сил и потоков.

4.1. Переход от релаксационных уравнений локально-

неравновесных систем к уравнениям второго порядка

Для локально-неравновесных систем, в которых необходимо учитывать

релаксацию скорости изменения энтропии (3.14) следует решать совместно

систему двух динамических уравнений для параметра порядка η(t)

и приведенной скорости изменения энтропии G*. Последняя является знако-

переменной потенциальной функцией и для нее справедливо градиентное

уравнение

*0

* xx −=η

η∂

∂−=

η *Gdtd , η+η+η=τ+ *2*4

**

21

41 ba

dtdGG r (4.1), (4.2)

63

здесь τr≡τr/t0 − время релаксации скорости изменения энтропии, или время

релаксации потока одного из самых длительных неравновесных процессов.

Запись в форме (4.2) означает, что если хотя бы один термодинамический

поток или сила в релаксируют по законам (3.10)-(3.13), то будет ре-ie ,σσ

лаксировать и скорость изменения энтропии. Параметр порядка η связан с

отклонением термодинамического потока x=Ji (или силы Xi) от среднего зна-

чения x0 в приведенном виде

cc xx

xx 0−=η ,

здесь xс=Jiс – некоторый масштаб потока (или силы Xic ). В системе уравнений

(4.1)-(4.2) уже два параметра порядка η и *G .

Дифференцируя (4.2) по η и подставляя полученное выражение в (4.1)

получаем дифференциальное уравнение второго порядка для локально-

неравновесных систем

),(2

2

tftt r η=

∂η∂

τ+∂η∂ , )(G),( **3

*

batf +η+η−=η∂

∂−=η , (4.3)

где f − обобщенная сила двухямного потенциала G* [9]. Член с τr можно не

учитывать когда время релаксации скорости изменения энтропии существен-

но меньше времени действия внешних сил τr /Δt<<1. Термодинамические

уравнения (4.1)-(4.3) характеризуют локально-неравновесные процессы. Сле-

дует обратить внимание на то, что в нелинейном уравнении (4.3) сила f, па-

раметр порядка η, скорость его изменения и член определены в один и

тот же момент времени t.

o

ηoo

ητ r

Можно рассмотреть частный случай, когда внешняя сила H* изменяет-

ся по гармоническому закону. Это означает, что управляющие параметры в

(4.3) можно представить в виде

tcos*0

*** ω−=+−= hHHb s , , ; (4.4) 3*0

*0

* 23 xxH s −= )1(3 2*0

* −−= xa

здесь ω – циклическая частота изменения H*; при t =0 . Нали-

чие в (4.3) времени релаксации и переход к ДУ второго порядка является не-

обходимым, но недостаточным условием возникновения хаоса.

***0 sHHh −=

64

4.2. Дифференциальное уравнение второго порядка с релакса-

циией и с последействием. Возникновение хаоса

Если следовать [9,15,19], то в реальных сложных системах следует

учитывать также последействие [aftereffekt]. Процитируем вводные суждения

Дж.Хейла: “Во многих приложениях предполагается, что… будущее состоя-

ние системы не зависит от прошлых состояний. ….Однако при более тща-

тельном изучении часто становится очевидным, что… более реалистичная

модель должна включать некоторые из предшествующих состояний систе-

мы”.

Последействие можно найти во многих задачах механики, механики

сплошных сред, биофизики и т.д. Сформулируем одну из самых простых по-

становок задач по моделированию с учетом последействия. В термодинами-

ческом смысле, если внешнее воздействие представлено в момент времени

t−τ, то обобщенная сила задана при последействии в виде

, где

η∂−∂= /*Gf

)(),( tfPtf∧

=τ−ηdtdP τ−=

∧

1

)(tr

oo

ητ

- оператор (Табл.4.1). При этом диссипатив-

ный и инерционный члены определены в момент времени t. При

этом в каждом конкретном смысле причина последействия – в структуре и

различной неоднородности сплошной среды. В релаксационных теориях

акустики обычно используют операторную форму. Чтобы облегчить даль-

нейшие обобщения, мы применим операторный метод записи уравнений с

последействием.

)(to

η

В результате приходим к уравнению для параметра порядка η с запаз-

дыванием:

),(2

2

tfPtt r η=

∂η∂

τ+∂η∂ ∧

, (4.5)

здесь τ − время последействия. В результате имеем

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+η

η∂∂

τ−≅η∧

tf

dtd)t(f)t(f)t,(fP , . (4.6) tcosh)a()t,(f ** ω+η+η−=η 0

3

65

Таблица 4.1.

Операторный метод исследования релаксации и последействия.

Свойства Оператор Операторное уравнение

Дифференциальное уравнение

Приложения

Релакса-ция

dtdT rτ+=

∧1

•∧

εκ=σ ikikT 2

=+dt

d ikrik

στσ

•

ikεκ2

Ньютоновская жид-кость

•εκ=σ ikik 2

1,

<<Δτ t/r Упругая среда

ikrik )/( ετκ=σ 21>>

,Δτ t/r

После-действие

dtdP τ−=

∧1

),( tfPdtd ηη ∧

=

),(1 tfdtdf ηη

ητ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+

Приложения к теории катастроф [93]

η∂∂τ+η

=η

/f)t,(f

dtd

1

В системе уравнений (4.1.),(4.2)) и (4.6) уже три параметра порядка

η, *G и )t,(f τ−η . В результате вместо уравнения (4.3) получаем для ло-

кально-неравновесных систем с запаздыванием каноническое однородное

уравнение второго порядка во времени, содержащее время ретардации (за-

паздывания), в котором:

thatr ω=η+η+ηηΓ+ητ cos),( `*0

*3ooo

. (4.7)

Здесь декремент затухания и амплитуда внешней силы равны соответственно

0)3(1),( *2 >+ητ−=ηΓ at , =`*h0*0h ))(1( ttg ωτω+ ;

где − приведенное время ретардации (запаздывания); 0t/τ=τ 0t/rr τ=τ −

приведенное время релаксации скорости изменения энтропии (определяется

наибольшим временем релаксации одного из термодинамических потоков).

66

Таблица 4.2.

Операторный метод исследования последействия в элементарной тео-рии катастроф; )t,(f η явно от времени не зависит.

Катастрофа

Обобщенная сила η∂

∂−=η

F)t,(f ;

)t,(fdtd

η=η

Дифференциальное уравнение с последействием

η∂∂τ+η

=η

/f)t,(f

dtd

1

Складка )a()t,(f +η−=η 2

τη−+η

−=η

21

2 adtd

Сборка )ba()t,(f +η+η−=η 3

)a(

badtd

+ητ−

+η+η−=

η3

3

31

Ласточкин хвост )cba()t,(f +η+η+η−=η 24

ba(

cbadtd

+η+ητ−

+η+η+η−=

η

241 3

24

Бабочка )dcba()t,(f +η+η+η+η−=η 235

)cba(

dcbadtd

+η+η+ητ−

+η+η+η+η−=

η

2351 24

235

Базовое уравнение в общем случае соответствует различной нелиней-

ности - катастрофе складки, сборки, ласточкину хвосту и т.д. (Табл.4.2). Для

иллюстрации выбрано базовое уравнение для катастрофы сборки, которое

описывает фазовые переходы первого и второго рода.

Численные решения нелинейного уравнения для η (4.7), которое пред-

ставлялось системой трех нелинейных дифференциальных уравнений, пока-

зывают на наличие в широкой области значений управляющих параметров не

только регулярных, но и хаотических решений (рис.4.1, рис.4.2а, рис. 4.3б).

Как видно из рисунков при некоторых значениях параметров в уравне-

нии имеет место как гомо− так и гетерофазный хаос, реализующийся по ти-

пу странного аттрактора.

В такой нелинейной термодинамической системе параметр порядка η

“мечется” между двумя симметричными стационарными состояниями (фаза-

ми) *a−=η+ , *a−−=η− , оба из которых являются неустойчивыми 67

(рис.4.2 а).

68

Рис.4.1. Моделирование гомофазных и гетерофазных флуктуаций

внутренней термодинамической силы (а), фазовый портрет (б). а*=−1.5, , , η(0)=0.3, b0*=1.8. Фазовый портрет соответствует двум ат-

тракторам. 6.2=ω 216.0=τ

Рис.4.2 а. Хаотическая динамика скорости изменения энтропии G* (а,б) и параметра порядка η (в). Положительные значения G* соответствуют устойчивым состояниям по Ляпунову, отрицательные – структурной устой-чивости.

Скорость изменения энтропии и производство энтропии как функ-

а

0 50 100 150 2002

0

22

2−

Z n 1,

Y0

0

Y0−

2000

η

t n( ) t

2 0 22

0

2

o

η

η

б

2 0 η1

0

1 G*

0 50 t 1

0

1G*

2 0 η

0

50

t

а б

в

Хаос

ционал. Подставляя хаотические решения в выражение для скорости изме-

нения энтропии G*, получаем для этой функции (второго параметра порядка)

хаотические значения (при a*<0, рис.4.2). Третий параметр порядка )t(f τ− ,

определяемый выражением (4.6), также дает хаотические решения возле его

нулевого значения. Хаотическую динамику решений уравнения (4.7) можно

представить как хаотические колебания в одной из потенциальных ям с пере-

бросом время от времени в другую яму. Можно определить среднее значение

G*.

Параметр порядка η, зависящий от времени последействия τ, при

движении по странному аттрактору характеризует отклонение истории од-

ного движения от истории другого, т. е. метрику [31].

Достаточно интересным при наличии хаоса является поведение произ-

водства энтропии (рис.4.2б). Расчет производился по функционалу

*k

*sk

*k

i*k HHaG 0

2421

41

+η+η+η= ,

в который подставлялись значения решений уравнения (4.7); здесь

, , )x(a* 13 20 −−= 3

00 23 ***s xxH −= )x(xH *** 2

02

00 243

−= .

На рис.4.2б (в) стационарные области обозначены круговыми областя-

ми. Центр этих областей есть стационарное состояние.

При таком моделировании критерий эволюции системы – производство

энтропии - начинает зависеть от флуктуаций и они отражают присущие сис-

теме нелинейные свойства. Проблема устойчивости в условиях хаоса сводит-

ся к перенесению свойств функций Ляпунова G*i ≥ G с асимптоти-

ческой устойчивостью на подходящие свойства функционала Ляпунова i*kG .

0 , 0≤•

i*

При всех значениях ηk производство энтропии остается положитель-

ной величиной. Левый минимум на рис.4.2 б соответствует равновесному со-

стоянию, правый – стационарному. При численных расчетах обнаружено

69

достаточно большое время пребывания в правой нише, т.е. в состоянии с

большим производством энтропии. Такие состояния часто встречаются в фи-

зических системах. Переменная во времени функция G*i(t, )t(η ) изменяется

вдоль возмущенного движения )t(η немонотонно, неограниченно не возрас-

тает, находясь вблизи двух аттракторов, но и не убывает.

70

0 50 t0

1

2

Рис.4.2б. Поведение приведенного функционала производства (а,б) эн-тропии при в условиях воздействия периодической внешней силой

, b=1.9,

i*kG *x0

352.=ω 11.r =τ , , . Начальные условия для трех

переменных: 0.1, 0,02, 0.1; линией указано среднее значение функционала во времени 0.381; Δt=0.01 - шаг разбиения; продолжительность всей истории движения h=t(n)=100. в) вид функционала от параметра порядка, опреде-ленного в предшествующий момент времени с задержкой Δ=20 расчетных точек.

2160.=τ 20410 .x* =

2 0 20

1

2

Z

2 0 20

1

2

i*kG

a

Δ+ηk б

i*kG

n 20+ , 1.883

Δ+ηk в

Таблица 4.3.

Исследуемые в работе хаотические свойства модельных уравнений с по-следействием

Свойства Обозначения

1. Временная эволюция динамиче-ских переменных

2. Фазовые портреты 3. Показатели Ляпунова. 4. Сжатие фазового объема. Пара-

метр диссипации 4. Время забывания системой на-

чальных условий (время необратимости) 5. Энтропия Колмогорова, порядок

огрубления фазового пространства 6. Псевдофазовые портреты. Время

задержки Δ 7. Сплошные спектры хаотических

пульсаций 8. Бифуркационные диаграммы.

Точки бифуркаций. Окна детерминиро-ванного поведения.

•ηη, , и др.

•i*i* G,G

)(f•η=η

λ

r/)t,( τηΓ=γ

tr

0Κ , μ0

)(f kk η=η Δ+

S(ω)

Из сравнения рис.4.2а и 4.2б видны отличия в поведении скорости из-

менения энтропии и производства энтропии.

Описываемый хаос в термодинамической системе по первому прибли-

жению является детерминированным, т.к. решаемое численными методами

уравнение не содержит источников шума; он обусловлен нелинейными осо-

бенностями уравнения, проявляемых при периодическом воздействии на сис-

тему. Для таких нелинейных “наследственных” систем, которые принято на-

зывать системами с последействием, динамические законы однозначно опре-

71

деляют эволюцию во времени состояния системы при известной предысто-

рии. В задачи описания хаотических свойств входили свойства, приводимые

в таблице 4.3.

4.3. Сжатие фазового объема. Диссипативность

локально-неравновесной термодинамической системы

Напомним, что если система частиц описывается уравнениями Гамиль-

тона, то при движении частиц фазовый объем остается неизменным. Дисси-

пативные системы обладают той особенностью, что при их движении фазо-

вый объем сжимается. Причем он сжимается к аттрактору более низкой раз-

мерности, чем исходное пространство [16]. Покажем, что рассматриваемая

нами термодинамическая система, описываемая уравнением (4.7), является

диссипативной. Для этого представим ДУ для локально-неравновесной среды

в виде автономной системы трех дифференциальных уравнений

( ),

,

)(cos)(1,

*3`*0

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω=

++−Γτ

−=

=

o

o

o

Z

XaXZhYXY

YX

r

(4.8)

где

η=X , t

X∂η∂

=o

, ; . )3(1)( *2 aXX +⋅τ−=Γ )1(*0

`*0 tgZhh ⋅τω+=

Эта система уравнений имеет три степени свободы. Поверхность S, ограни-

чивающая произвольно выбранный в фазовом пространстве {X,Y,Z} фазовый

объем V, эволюционизирует так, что каждая ее точка движется по траекто-

рии, определяемой системой уравнений (4.8). Для такой системы скорость

изменения фазового объема определяется выражением

( )∫ +⋅−−=Γ

−=V r

VaXdXdYdZddV )(11)X(

t*2

r

τττ

,

Переменный параметр r/)t,( τηΓ=γ является параметром диссипа-

ции. Последнее и означает, что элементарный фазовый объем такой дисси-

72

73

0

пативной системы в условиях локального неравновесия сжимается экспонен-

циально во времени <dt/dV :

⎜⎜⎝

⎛= -V(0)exp ⎟⎟

⎠

⎞+⋅− ))(1(tV(t) *2

r

aXττ

; τ>0, τr>0, a*<0.

4.4. Показатели Ляпунова

Одной из важнейших характеристик определяющих хаос являются по-

казатели Ляпунова (см. Табл.4.1). Хаос в детерминированных системах под-

разумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означа-

ет, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в неко-

торый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в

среднем время [18]. Если фазовое пространство ограничено, то рано или

поздно разбежавшиеся траектории вернутся друг к другу. И так много раз.

Такие системы в нелинейной динамике называются системами с пере-

мешиванием. C течением времени (tr) информация о начальных условиях в

них полностью утрачивается. О перемешивании мы судим по показателю

Ляпунова, точнее по наибольшему из них.

Для определения показателей Ляпунова можно использовать следую-

щую процедуру. Если в системе δη0 − мера начального расстояния между

двумя исходными точками для параметра порядка (переменной) η, то, спустя

малое время, расстояние между траекториями η(t)/ и η(t)//, выходящими из

этих точек, становится равным

)texp()( 0 λδη=δη t , (4.9)

При этом расстояние между двумя расчетными соседними траектория-

ми определяется величиной ///)( η−η=tδη . На рис. 4.3а представлены регу-

лярные колебания δη(t) (показатель Ляпунова λ<0), на рис. 4.3б − хаотиче-

ские пульсации (λ>0). Детерминированный хаос имеет место вблизи двух ат-

тракторов. В углах рисунков (4.3) находятся расчетные значения траекторий

η(t). В этом случае время жизни детерминированной траектории (tr) является

ограниченным.

0 200 400 600 800 10001 .10 8

1 .10 7

1 .10 6

1 .10 5

1 .10 4

1 .10 3

0.01

0.10.011

10 8−

δ n 1,

10000 t n( ) s,

t

δη(t)

0 500 1000 1500 20001 .10 121 .10 111 .10 10

1 .10 91 .10 81 .10 71 .10 61 .10 51 .10 41 .10 30.01

0.11

102.978

7.788 10 12−×

δ n 1,

D s( )

22000 t n( ) s,

tr

δη(t)

t

а

б

η(t)

η(t)

λ<0

Рис.4.3. Хаос и эволюция “расстояния” между двумя расчетными тра-

екториями уравнения (1.66) при заданных отличающихся начальных услови-ях. Расстояние между двумя соседними траекториями η(t)/ и η(t)// определя-лось величиной δη(t)= /// )t(t)( η−η ; a) δη0=8⋅10−3, λ=−0.018<0; б)

δη0=10−9, λ=0.018>0. tr – характерное время, за которое система забывает на-чальные условия, где λ − показатель Ляпунова.

Для системы можно указать область параметров, в которой решения

ведут себя хаотически, это − область детерминированного хаоса λ>0. При

λ>0 соответствующий режим является локально неустойчивым и хаотиче-

ским; при λ<0 режим является устойчивым и периодическим [16].

Для хаотических состояний решения ДУ (4.7) являются необратимы-

ми, т.к. за время tr система полностью забывает начальные условия.

О необратимости описываемых физических процессов говорят и псев-

дофазовые портреты )(f nn η=η Δ+ , представленные на рис.4.4. На них при-

водятся зависимости каждого последующего значения от предыдущего; с

74

каждым шагом расчета n зависимость становится более размытой, хотя по-

прежнему детерминированной и детерминированной достаточно сложным

образом. Данный вывод обусловлен последействием, когда в анализ включе-

ны предшествующие состояния системы.

0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

2.5

0.5

Z n 2+ 1,

2.50.5 Z n 1,

ηn+1

а

75

ηn

Рис.4.4. Псевдофазовые портреты решений термодинамического урав-нения (4.7) с последействием для времен задержки Δ=1 (а) и Δ=30 (б). Чем больше время задержки тем более неопределенными в наследственных сис-темах становятся зависимости каждых последующих состояний от предыду-щих.

Таким образом, поведение термодинамической хаотической системы

во времени оказывается сложным. Система объединяет в себе локальную не-

устойчивость – малые погрешности начальных данных нарастают и близкие

траектории расходятся, и глобальную устойчивость, когда траектория не

уходит из некоторой области фазового пространства.

0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

2.5

0.5

Z n 30+ 1,

2.50.5 Z n 1,

ηn+30

б

ηn

4.5. Энтропия Колмогорова

Энтропия Колмогорова [9,16,27] – важнейшая характеристика хаотиче-

ского движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Вспомним, что термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в

данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, − молекулы

газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем вне-

запно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе

нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба.

Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до

того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали боль-

ше).

Более строго, энтропия S, определенная как по Шеннону

∑−≈i

ii PlnPS ,

где {Pi} − вероятности для системы оказаться в состояниях {i}, есть мера

информации, необходимая для определения местоположения системы в не-

котором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе. Если при опреде-

лениии S(t) перейти от натурального логарифма к десятичному, то S будет

измеряться в бит.

Г.Шустер [16] отмечает, что энтропию Колмогорова K0, показываю-

щую “насколько динамическая система хаотична”, также можно определить

формулой Шенона, так что K0 пропорциональна скорости потери информа-

ции о состоянии динамической системы с течением времени. Для одномер-

ных отображений K0 является также и показателем Ляпунова. Итак, энтропия

Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери ин-

формации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспо-

ненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Опре-

деление метрической энтропии является необходимым элементом комплекс-

ного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в

анализе фазовых переходов в различных системах.

76

Время, за которое система забывает начальные условия. При опре-

делении информационной энтропии в виде S(t)=K0t (t→∞) со сколь угодно

большой точностью огрубления фазового пространства μ→0 энтропия мак-

симума не достигает. Анализ существенно упрощается, если зафиксировать

конечный порядок огрубления фазового пространства μ0, тогда за время tr

область ΔΓ=μ0 расширяется до предельного значения δη=ΓΔ_

, последнее

связано с размером описываемого аттрактора. В результате время жизни фа-

зовой траектории связано с метрической энтропией К0 = λ точной формулой:

00

1μδη

Κ= lntr ;

00

11μΚ

= lntr (4.10)

отметим что в формуле Г.М. Заславского предельное значение нормирова-

но: 1=δη [8]. На рис.4.3б расстояние между двумя траекториями меньше

этого значения.

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы

возможно только на интервале времени tr, а на временах, больших tr, возмож-

ны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения эн-

тропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова:

K0=λ>0 [16].

Вычислив, таким образом K0 , можно определить время разбегания

двух соседних траекторий за время tr≡tr/t0. При полной неустойчивости раз-

личие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно

заданной термодинамической системы с фазовыми переходами, таким обра-

зом, можно определить будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непред-

сказуемому поведению фазовой траектории, и анализ таких явлений является

чрезвычайно важным, как мы видели выше, для понимания необратимости,

так как начальные условия для физических систем задаются всегда с ограни-

ченной точностью. Именно это и обуславливает невозможность долгосроч-

ного динамического прогноза состояния динамической системы. Энтропия

77

Колмогорова (на самом деле производство энтропии >0) может

служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического)

поведения параметра порядка (K0=0), хаотического (K0>0) и случайного

(K0→∞). Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются

близкими. Для хаотического движения первоначально близкие точки расхо-

дятся экспоненциально. Для случайного движения первоначально близкие

точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интерва-

лам. Системы, для которых K0→∞ являются классическими неравновесными

системами с независимыми во времени флуктуациями. При K0>0 каждые по-

следующие флуктуации зависят от предыдущих флуктуаций. При K0=0 имеет

место регулярный безфлуктационный режим.

dtdS /0 =Κ

4.6. Переход от непрерывных термодинамических

уравнений к дискретным (отображениям)

Дискретный характер протекающих процессов возникает при решении

некоторых частных задач фазовых переходов в межфазном слое в системе

жидкость−пар, при химических реакциях и др., т.е. там, где можно выде-

лить прямой процесс и обратный ему. Системе дифференциальных уравне-

ний, но более высокого порядка (содержащую большее число переменных)

можно сопоставить отображение – уравнение в дискретной форме для одной

или двух переменных.

Метод дискретных отображений в последнее время широко использу-

ется при моделировании нелинейных систем. Первое отличие его от непре-

рывных моделей, в том числе и для теплофизических систем, состоит в том,

что отслеживаются значения динамических переменных ηk (k=1,2,3,….m, m −

номер временного шага) в определенные моменты времени, при этом интер-

валы времени не малы, и что происходит с переменными в про-

межуточные моменты времени не исследуется. Второе отличие связано с тем,

что вместо дифференциальных уравнений используются рекурентные соот-

kk ttt −=Δ +1

78

ношения (отображения), связывающие значения переменных со значением их

в момент времени tk .

Может быть предложен следующий алгоритм перехода к уравнениям,

дающим при сохранении классических свойств фазовых переходов, их новые

характеристики. Эти характеристики связаны с появлением в системе детер-

минированного хаоса, который также можно рассматривать как основу по-

строения моделей флуктуаций в термодинамических системах. Процесс всту-

пления в химическую реакцию, связанный с конечной скоростью диффузии,

испарение молекул с малой поверхности и др. рассматриваются как мгновен-

ные «удары», приводящие в такой нелинейной системе к резкому изменению

параметра порядка η (плотности, концентрации и др.). При этом реализуются

промежуточные стадии, когда процесс повторяется. Следуя работе [16], от

модели (4.7) перейдем к двумерному отображению

)3(1 2

3

01 ∗

∗∗

+ +η⋅τ−+η+η

−η=ηabaT

k

kkkk ; (4.11)

))(1( 301

∗∗+ +η+η−−= baTyy kkkk .

Отношение τ/T0 определяет для отображения (4.11) различную степень

неравновесия в рассматриваемой системе. При уменьшении отношения τ/T0

характеристики итерируемого процесса приближаются к равновесным. Вре-

мя стробирования Δt может быть выбрано в виде Δt=T0=1 ( ). В резуль-

тате двумерное отображение становится одномерным и предстает в форме

(4.11), что существенно облегчает нелинейный анализ рассматриваемой не-

линейной задачи, которая ранее сводилась к системе 3−х нелинейных диф-

ференциальных уравнений.

/Tt 00 =

Отображение (4.11) также следует из уравнения для сборки с запазды-

ванием (табл.4.2), если его представить в дискретном виде. Отображение

(4.11) является по сути дискретным представлением уравнения Ландау- Ха-

латникова, широко распространенного в теории фазовых переходов [15], на

которое наложено условие последействия. Здесь оно дополнено также усло-

79

вием запаздывания.

80

0 100 200 300 t

0

η

а

a*

b*

λ

T0=1 τ=0.03

б

Рис.4.5. Хаотическая динамика параметра порядка (а) и показатель Ляпунова λ (б) для термодинамической системы, описываемой отображени-ем (5.14). Хаос имеет место при λ>0 (заштрихованные области (б)), T0=1, τ=0.03.

Уравнение эволюции в дискретной форме (4.11), дает не только перио-

дические, релаксационные, но и хаотические решения (см. Рис.4.5). Хаотиче-

ские решения также имеют скорости изменения энтропии, свободной энер-

гии и других термодинамических характеристик. Поскольку связи между ни-

ми на термодинамическом уровне выявлены, и они представлены в виде

уравнений, то все эти термодинамические характеристики также могут быть

исследованы на хаос. Это означает, что мы имеем удобный способ моделиро-

вания флуктуаций в нелинейных системах, обусловленных не случайными

значениями, а детерминированными нелинейными особенностями самой ло-

кально-неравновесной системы.

4.7. Бифуркационные диаграммы

Исследование хаоса подразумевает получение бифуркационных диа-

грамм и соответствующих им показателей Ляпунова [16]. Бифуркационная

диаграмма, построение которой является довольно интересным занятием, по-

казывает зависимость решений уравнения (отображения) от тех или иных

управляющих параметров. Диаграмма имеет вид вилки, от которого и про-

изошло слово “бифуркация” (от французского слова bifurcation – раздвоение,

ветвление).

Для описания перехода от циклического поведения переменной к хао-

тическому при изменении управляющих параметров отображения были ис-

пользованы бифуркационные диаграммы, которые для переменной ηk могут

быть построены от параметров a, T0, τ, b (для катастрофы сборки. Для

рассматриваемой катастрофы на рис.4.6 а представлена бифуркационная диа-

грамма и, соответствующие ей значения показателя Ляпунова λ (рис. 4.6 б).

Значения λ определялись по формуле

( )∑=

∞→ ηηϕ

=λN

k k

k

N dd

N 1ln1lim , ( kk ηϕ= )η +1 , (4.12)

где N− число итераций отображения, функция ( )kηϕ - правая часть отображе-

ния (4.11), которую надо продифференцировать.

Непрерывное изменение управляющих параметров приводит к каскаду

бифуркаций, которые проявляются в виде ветвлений на бифуркационной

диаграмме и сопровождаются удвоением периода, связанным с субгармони-

ческой неустойчивостью. Каждое из ветвлений соответствует потере устой-

чивости одной из неподвижных точек и образованию двух устойчивых. При

этом система распадается на две новые фазы, которые соответствуют двум

устойчивым точкам: x+ и x−. Теперь каждая последующая итерация переводит

систему из одной фазы в другую. Таким образом, аттрактор с периодом 1

сменяется аттрактором с периодом 2 [16].

Выше критических значений τ∞≈0.266 и а∞≈−1.85 в описываемой сис-

теме начинается область так называемого детерминированного хаоса, где па-

раметр порядка ведет себя хаотически. Расчет всех точек бифуркаций ре-

нормгрупповым методом, как это выполнялось для логистического отобра-

жения [16], затруднен вследствие сложности полученного отображения. Из

рис. 4.6 видно, что в области хаоса имеются участки с периодической дина-

81

микой параметра порядка − окна детерминированности (светлые полосы),

соответствующие отрицательным показателям Ляпунова.

В отличие от логистического отображения, в котором имеется всего

один управляющий параметр, исследуемое отображение (4.11) являются

многопараметрическим; для таких систем важно знать характер их поведения

в зависимости сразу от нескольких управляющих параметров. Этот вопрос

является также интересным с точки зрения управления хаосом − темы попу-

лярной в последнее время. При наличии, например, плоской или трехмерной

области управляющих параметров границы между областями с различным

поведением не сводятся к точкам бифуркации, а представляют собой кривые

или поверхности (см. Рис.4.7).

82

Рис.4.6. Бифуркационная диаграмма (а) для переменной ηk отображе-

ния сборки и его показатель Ляпунова (б) при T=0.35, τ=0.14. В плоскости управляющих параметров всех трех диаграмм изображены

некоторые контурные графики из линий равного уровня для различных зна-

чений λ. Аномальные пики в области регулярного движения (λ<0) соответст-

вуют различным режимам периодического движения, характеризуемых пе-

риодом, амплитудой и т.д. Для каждого временного интервала коэффициент

затухания является кусочно-постоянной функцией, последнее утверждение

соответствует пошаговым временным значениям статистических данных.

Ф2=- − a

Ф1= − a

2 1.5 1 0.5 0

0.5

1

0

1

η k

a

бa

0 λ - 0.5

τ =0.14 T0=0.35

- 1.5

η+

η-

a1 a∞

a

λ

T=1

τ

A

B

C

C`

Рис.4.7. Двухпараметрическая зависимость показателя Ляпунова λ(τ, а) для отображения сборки при T0=1; в области хаоса λ(τ, а)>0; A−область хаоса; B−область регулярного движения; CC`− граничная кривая перехода к хаосу.

4.8. Хаос и необратимость

Получаемые в рамках нелинейной динамики результаты не противоре-

чат классической теории неравновесных процессов (термодинамике необра-

тимых процессов), дополняя последнюю новыми возможностями, в том чис-

ле возможностью описания флуктуаций в виде хаотических пульсаций, ко-

торые она не могла учитывать, алгоритмами описания устойчивости по Ля-

пунову равновесных и стационарных состояний и описать возникновение не-

обратимости по времени. Для таких хаотических термодинамических систем

могут быть построены бифуркационные диаграммы, рассчитаны показатели

Ляпунова, определено время необратимости Колмогорова.

Что очень важно, это то, что для хаотических состояний термодинами-

ческих систем может быть так же, как и в нелинейных задачах механики оп-

ределена энтропия Колмогорова, характеризующая скорость забывания сис-

темой (локальным объемом) начальных условий. Такой подход устанавлива-

ет связь между необратимостью по времени неравновесных термодинамиче-

ских процессов и энтропией Колмогорова K0:

S(t)=K0t, 00 ≥=ΚdtdS .

Являясь по существу производством энтропии, K0 характеризует меру 83

экспоненциальной скорости разбегания траекторий термодинамической сис-

темы. Описываемые необратимые термодинамические процессы определя-

ются временем необратимости tr.

При 00 =Κ имеет место регулярный без-флуктуационный нелинейный режим.

84

Хаотические системы (на-следственные системы) с зависимыми во времени флуктуациями когда каж-дые последующие флук-туации зависят от преды-

Рис.4.8. Области регулярного безфлуктуационного нелинейного режи-ма, хаотического режима и режима с независимыми во времени флуктуация-ми.

Таким образом, в этой главе определен алгоритм нахождения для тер-

модинамических систем энтропии Колмогорова, характеризующей скорость

забывания системой (локальным объемом) начальных условий. Такой под-

ход устанавливает для наследственных систем связь между необратимостью

по времени неравновесных термодинамических процессов и энтропией Кол-

могорова (Κ 0). Являясь по существу производством энтропии, она характе-

ризует меру экспоненциальной скорости разбегания траекторий термодина-

мической системы. Описываемые необратимые термодинамические процес-

сы определяются временем необратимости. Произведено отождествление

хаотических решений с флуктуациями на основе анализа энтропии Колмого-

рова. Описываемые системы, для которых являются классическими

неравновесными системами с независимыми во времени флуктуациями. При

∞→Κ 0

Классические неравновесные системы с неза-висимыми во времени флук-туациями

K ∞ 0 →K0>0 K0=0

00 >Κ

00 =Κ

каждые последующие флуктуации зависят от предыдущих. При

имеет место регулярный безфлуктуационный нелинейный режим.

85

ГЛАВА 5

ХАОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИКИ ТОКА В ОДИНОЧНЫХ

ИОННЫХ К+-КАНАЛАХ

Ионные каналы являются одной из важнейших белковых систем мем-

браны, посредством их происходит управление потоками ионов и обмен ин-

формацией и энергией клетки с окружающей средой. Простейший одиноч-

ный канал может находиться только в открытом и закрытом состоянии и

случайно переходит из одного в другое, при этом ток в канале изменяется

скачком [23]. Каналы могут иметь также подсостояния проводимости, пере-

ключения между которыми обеспечиваются конформационными перестрой-

ками структуры белковой молекулы (“воротный” процесс) [17]. Различные

дискретные уровни проводимости соответствуют дискретным стабильным

конформационным состояниям канального белка, которые в свою очередь

определяются минимумами конформационного потенциала. Считается воз-

можным объяснить возникновение дискретности и переходов между уровня-

ми самосогласованным взаимодействием ионного потока и структурных

групп канала (синергетический подход).

Рис 5.1. Функциональная модель ионного канала [Satter, Moran, 1988].

86

Несмотря на различную природу, проводимость и ионную избиратель-

ность, одиночные ионные каналы имеют кинетическое сходство [17], и соот-

ветственно поведение тока в них может быть описано одним механизмом.

5.1. Описание моделей.

Созданы две модели проводимости одиночного ионного канала в рамках

детерминированного хаоса без ланжевеновского источника шума: модель

внешнего гармонического воздействия и модель «перескоков»[17].

В первой модели предполагается, что ионный канал подвергается различ-

ным внешним воздействиям. Это могут быть механические колебания в мем-

бранах (в т.ч. автоволны), колебания разности гидростатических давлений,

оказываемых на мембранный фрагмент водными растворами в регистри-

рующей пипетке и экспериментальной камере, флуктуации [Са2+] или рН с

цитоплазматической стороны мембраны [42].

Эта модель представлена в виде нелинейного уравнения второго порядка,

со временем релаксации и ретардации (запаздывания):

tcosEηaηηΓ(t)ητ `*0

*3r ω=+++

ooo

, (5.1)

0)a(31(t) *2 >+ητ−=Γ , ; t))tg((1EE *0

`*0 ωωτ+=

здесь − приведенное время ретардации, 0tτ/τ = 0rr t/ττ ≡ − приведенное время

релаксации, ω - частота воздействия на ионный поток; Г(t) – декремент зату-

хания возмущения, оказываемого на ионный поток внешней периодической

силой.

Внешние воздействия на канал могут быть пренебрежимо малы, и не

сказываться на его функционировании. Тогда взаимодействия проходящего

по каналу иона с молекулярными группами канального белка будут серьезно

влиять на функционирование канала. Прохождение ионов по каналу, соглас-

но теории Эйринга, можно представить в виде перескоков отдельного иона

через ряд потенциальных барьеров, разделяющих места “связывания” иона

[23]. При этом ионы не только взаимодействуют между собой, кулоновски

87

отталкиваясь (ион-ионное взаимодействие), но также и влияют на конформа-

ционное состояние каналообразовательного белка (ион-конформационное

взаимодействие). Вследствие этого энергетический профиль канала сильно

зависит от проходящих через него ионов. Оба взаимодействия играют роль

динамических факторов, и они существенно ускоряют процесс ионного

транспорта через каналы.

i эксп

0 t, c

3.5

0.1

пА

0

(б)10−2 с

0.075 0.15

0

t,с0

2 i* (а)

10−2 с

Рис. 5.2. а) Динамика тока одиночного ионного канала i*(t) – решения уравнения (9); б) Экспериментальная запись активности Са2+-активируемого канала при [Cа2+]=10 мкмоль/л и потенциале V=20 мВ; данные [11].

Переход иона из одной ямы в другую (или попадание иона в яму) вызывает

подвижность энергетического барьера, что, в конечном счете, вызывает из-

менения параметра порядка. Данная модель была представлена в виде мате-

матического отображения (4.14).

Отношение τ/T0 определяет для отображения (4.14) различную степень

неравновесия в рассматриваемой системе, или иначе степень “рассасывания”

возмущения, вызванного прошедшим ионом при подходе следующего.

88

Описываемый хаос, зависящий от начальных условий, как и в уравнении

(5.1) является детерминированным, поскольку уравнение (4.14) не содержит

ланжевеновского источника шума [17].

5.2. Хаотическая динамика параметра порядка в ионном канале

биомембраны.

В главе 4 рассмотрены хаотические свойства динамики параметра по-

рядка: построена бифуркационная диаграмма ηk(a*), описывающая переход

от циклического поведения параметра порядка в ионном канале к хаотиче-

скому. Из диаграммы можно определить при каких значениях параметра а*

параметр порядка начинает вести себя хаотически, а также переход от моно-

стабильного режима к бистабильному.

Получен график функциональной зависимости показателя Ляпунова

λ=λ( ,a*) от двух управляющих параметров, которая наглядно демонстриру-

ет сложную структуру областей хаоса и регулярной эволюции параметра по-

рядка.

τ

Ниже критической точки Е*=Еcr*, в системе возникает область, где пара-

метр порядка ведет себя хаотически, это - область детерминированного хаоса

λ>0. При λ>0 соответствующий режим является локально неустойчивым и

хаотическим; при λ<0 режим является устойчивым и периодическим [17].

Кинетические характеристики ионных каналов. Цель перехода от

(5.1) к (4.14) – облегчить анализ хаотических свойств параметра порядка для

ионных каналов. Основной кинетической характеристикой одиночных ион-

ных каналов при экспериментальном их исследовании является вероятность

нахождения канала в открытом состоянии Р0. При исследовании отображе-

ния (4.14) создалась возможность получения зависимости этой характеристи-

ки от управляющих параметров а* и b*. Так как осцилляции тока велики и

могут достигать другого состояния, то границы пачки определяются на уров-

не 50%−го значения амплитуды тока через канал [42]; это обоснованно также

89

потому, что параметр η характеризует отклонение плотности тока i* от сред-

него значения i0*. Устойчивые закрытое и открытое состояния разграничи-

ваются неустойчивым состоянием, в котором η=0.

1 (a)

0.17 0.16 0.15 0.140.001

0.01

0.1

b*

1

2 3

4

P0

Р 0

1.0

0.1

0.01

0.001 10 10 2 10 3

[Ca 2+ ], мкмоль /л

1 2

3 4 1.0

0.1

0.01

0.001 10 10 2 10 3

[Ca 2+ ],мкмоль/ л

12

34

(б)

Рис.5.3. Количественное сравнение теории с экспериментом. Зависи-мость вероятности нахождения в открытом состоянии P0: а) от управляющего параметра b* при различных значениях а*:−1.78 (1),−1.72 (2),−1.66 (3),−1.61 (4); при Т0=1, τ=0.001, η0 =0.0001, 6000 шагов; расчет по (7.6); б) экспери-ментальные концентрационные зависимости Р0 ([Са2+]) при различных уров-нях V (мВ): +10 (1), 0 (2), −10 (3), −20 (4); данные [17].

4

-1.8-1.75-1.7 -1.65-1.6 0

0.2

0.4

P0 1

2 3

a*

(a) 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0-20 -10 0 10 20 30 V,

1

2

3

4

Р0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0-20 -10 0 10 20 30

V, мВ

1

2

3

4

(б)

Рис. 5.4. Зависимость вероятности нахождения в открытом состоянии P0

от управляющего параметра а* при различных значениях b*:−0.04 (1),−0.08 (2),−0.12 (3),−0.165 (4); при Т0=1, τ=0.001, η0 =0.0001, 6000 шагов; расчет по отображению (13); б) зависимость Р0(V) при различных концентрациях [Са2+] (мкмоль / л): 330 (1), 100 (2), 33 (3), 10 (4); данные [17].

Значения Р0 практически не зависят от длины расчетного временного

интервала. Для управляющих параметров рассмотрены интервалы, на кото-

90

рых реализуется хаотическое поведение параметра порядка: как правило, ве-

роятности определялись нами для интервалов а*~−1.55÷ −1.95 и b*~

−0.2÷0.2.

Полученные зависимости вероятности нахождения канала в открытом

состоянии Р0 (рис.5.3 и рис.5.4) от управляющих параметров а* и b* сравни-

вались с экспериментальными зависимостями от мембранного потенциала V

и концентрации [Са2+] для Са2+−активируемых каналов . В результате срав-

нения сделан следующий вывод − управляющему параметру а* соответствует

мембранный потенциал V, а параметру b*− концентрация [Са2+] для каналов

подобного типа. Обратим внимание, что параметр b* является суперпозицией

приложенного внешнего поля Е* и собственного (самосогласованного) поля

, тогда как а* зависит только от среднего равновесного значения

тока i0*. Это, возможно, объясняется тем, что в описываемых каналах изме-

нение мембранного потенциала приводит к перестройкам в белковой струк-

туре и изменению характера движения ионов по каналу, следовательно, из-

меняется среднее равновесное значение тока. Самосогласованное же поле Еr*

может возникать из-за взаимодействия ионов Са2+ с каналом вследствие их

связывания внутри него, что несомненно влияет на структуру потенциально-

го профиля канального белка. Внешнее поле Е* может включать в себя не

только концентрацию активатора, но и другие внешние воздействия.

3*0

*0

* 23 iiEr −=

Также из решения отображения (4.14) получена такая характеристика

динамики тока ионного канала как средняя длительность пачки импульсов

тока и ее зависимость от параметров а* и b*. Анализ этих зависимостей по-

зволяет утверждать, что каналы можно классифицировать по временному па-

раметру τ как быстрые и медленные. Однако такая классификация будет

весьма условной, и вернее будет сказать, что существует полный спектр под-

типов каналов с различными τ, в котором быстрые и медленные каналы пред-

ставляют крайние группы.

91

5.3. Показатели Ляпунова.

На рисунке 5.5 приведена эволюция расстояния между двумя траекто-

риями, с помощью которой определяется и показатель Ляпунова. rt

92

Рис.5.5. Эволюция расстояния δη между двумя сериями итераций ото-

бражения (4.14), тангенс угла наклона прямой линии соответствует показате-лю Ляпунова λ=0.165, tr≈117 − время «забывания» начальных условий (a*= –1.5, b*= –1.1, δη0=10-8).

5.4. Время, за которое система забывает начальные условия.

Величина tr является ограниченной и характеризует время “жизни” де-

терминированной фазовой траектории. За это время система полностью за-

бывает начальные условия, что говорит о необратимом характере процесса

переноса ионов при t>tr.

Время вычисляли по формуле

117108191.0ln

165.01ln1t 8

00r ≈

⋅=

μδη

=−K

,

где правой части, в соответствие условиям рисунка 5.5, приведено численное

значение времени жизни фазовой траектории tr, рассчитанное по формуле

при K0=λ=0.165 (энтропия Колмогорова равна положительным значениям

показателя Ляпунова) [14], μ=8·10−8 и 191,0=δη (δη есть среднее значение

100

δη1

10

0 200 300

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3

0.010.1

tr

δη

с102.5t -4⋅⋅ ,

флуктуации параметра порядка на временном интервале (tr=300)). Таким об-

разом, вычислив K0, можно определить время разбегания траекторий tr≡tr/t0 (в

данном случае tr=0.029 секунд)

Рис.5.6. Зависимость энтропии Колмо-горова от управляющих параметров a* и τ при флуктуациях тока в каналах (T0=1). По-ложительные, но конечные значения K0 со-ответствуют хаосу.

τ

Κ0

a* K0=0

Для ионного канала функциональная зависимость от разности потенциа-

лов a* и τ имеет, сложную структуру (Рис.5.6). Отличительной особенностью

метрической энтропии является ее устойчивый характер. Для канального

белка, свойства внутри которого могут меняться очень сильно, она, тем не

менее, представляет собой медленно меняющуюся функцию.

5.5. Карта динамических режимов.

В уравнениях динамических систем обычно присутствуют параметры–

величины, которые считаются постоянными во времени, но от задания, кото-

рых может зависеть характер реализующегося в системе режима. Когда

управляющих параметра два, очень ценное наглядное представление о пове-

дении системы даёт карта динамических режимов – диаграмма на плоскости,

где по осям координат отложены два параметра, а области различных режи-

мов динамики показаны определенным цветом, либо обозначены границы

этих областей.

Простейший по своей идее способ построения карты динамических ре-

жимов на компьютере подразумевает, что в каждой точке плоскости пара-

метров, соответствующей элементу графического изображения, решается

93

численно дифференциальное уравнение или итерируется изображение, за-

дающее динамическую систему, и производится анализ характера режима.

Мы для диагностики режимов вычислили показатель Ляпунова (рис. 5.3).

В модели одиночного ионного канала управляющими параметрами яв-

ляются: a*, которому соответствует мембранный потенциал, и b*, которому

соответствует концентрация ионов. Показатели Ляпунова вычислялись по

формуле (4.15).

А

М

Рис 5.7. Карта динамических режимов модели одиночного ионного ка-нала на плоскости параметров a* и b*( 00.002, 0.2τ = η = ). Цифры обозначают зна-чение показателя Ляпунова.

По рисунку 5.7 легко определить, при каких значениях a* и b*, параметр

порядка ведет себя хаотически, т.е. определить область детерминированного

хаоса λ>0 (слева от кривой АМ) и область регулярных движений λ≤0 (справа

от кривой АМ).

5.6. Функция распределения хаотических пульсаций.

Конформационный потенциал белка-каналообразователя определяет по-

тенциальная функция F. Рассмотрим вероятностную функцию распределе-

ния P, которая связана с потенциальной функцией F посредством уравнения

Фоккера—Планка [7]: 94

)()( 2 DPFPPt

∇+∇∇=∂∂ , (5.2)

Функция распределения P зависит как от η, так и от a*,b* и t. Найдем

решение уравнения (5.2) в случае асимптотического предела, не зависящего

от времени. Тогда управляющие параметры зафиксированы, и потенциальная

функция не зависит от времени. Поэтому можно искать стационарную (t→0)

и вероятностную функцию распределения, положив 0/ =∂∂ tP . В результате

уравнение сводится к

))((0 DPFP ∇+∇∇= ,

решением, которого является

)/),,(exp(),;( **** DbaFNbaP η−=η ,

где D– коэффициент диффузии, N– нормировочная постоянная.

Приведенный коэффициент диффузии определяется формулой []:

r

2

tl

=D , (5.3)

где δη=l согласно рисунку 5.8.

Подставляя численные значения в (5.3) соответственно получаем, что

D=0.008 (b= –1.1, a= –1.5, tr=117) и D=0.01 (b*=1.1, a*= –1.5, tr=97). 10

95

Рис.5.8 Функция распределения P(η) и конформационный потенциал

F(η): (а)– при значениях b*=1.1, a*=–1.5; (б)– при значениях b*=–1.1, a*=–1.5.

Из рисунка 5.8 видно, что метастабильному состоянию открытого канала

(когда вероятность закрытого состояния мала, но возможна) соответствует

положительное значение управляющего параметра b*=1.1, а метастабильно-

2 0 2 4

0

10

F η( )

P η( )

η

(a)

2 0 2 4

0

(b)

F η( )

P η( )

η

му состоянию закрытого канала − отрицательное значение b*=–1.1.

96

Рис.5.9 Функция конформационный потенциал F(η)

Также было определено (рис.5.9), что при b=0 вероятностная функция

расп

в правой его части

ая кон

распределения P(η) и : при значениях b*=0, a*=–1.7.

ределения становится двугорбой, т.е. состояния канала равновероятны.

Данный рисунок демонстрирует справедливость сказанных ранее слов о том,

что структура канального белка испытывает два типа флуктуаций: малые

флуктуации в пределах сохранения исходного состояния и флуктуации-

“перескоки” между открытым и закрытым состояниями.

Обсуждая качественные свойства уравнения (5.2),

можно выделить два члена – «дрейфа» и «диффузии». Грубо говоря, дрейф

V)(P∇∇ заставляет функцию распределения двигаться по направлению к

шему локальному минимуму. Роль диффузии (DP)2∇ двояка: она опи-

сывает первое, размах функции распределения, котор центрируется во-

круг локального минимума, и второе, вероятность, с которой флуктуация

может перевести систему из метастабильного минимума в некоторый отда-

ленный глобальный минимум.

ближай

97

5.7. Спектры мощности пульсаций

Применяя алгор ти пульсаций па-

рамет

Рис. 5.10 Спектры : а); для модели внешнего

возд

Провидено исследование последовательностей длительности одиночных им-

то, что их порождают параллельные

(б)

итм для построения спектров мощнос

ра порядка (тока), было получено что, на высоких частотах (102–103)

спектры пульсаций тока спадают в двойных логарифмических координатах

приблизительно линейно с ростом ω, т.е. S(ω) ∼ ω−α, где α=1, α=1.1 (рис.

5.10).

(а)

мощности гармоническогоействия, б) для модели «перескоков».

пульсов тока и длительности межимпульсных интервалов методом быстрого

Фурье-преобразования, которое дало спектр мощности спадающий линейно.

Авторы [17] связывают особенности такого спектра (0.25<α<0.9) с фракталь-

ным характером активности одиночных ионных каналов, или иначе с корре-

лированностью событий. Значения α для расчетных спектров, как для модели

внешнего гармонического воздействия, так и для модели «перескоков» лежат

в пределах получаемых в эксперименте. Поэтому можно сказать, что по ха-

рактерным особенностям спектров нельзя отдать предпочтение одной из мо-

делей. Для более достоверной оценки применимости моделей необходим

анализ спектров последовательностей кинетических параметров, т.е. харак-

теристик полученных в эксперименте.

Особенность такого шума является

98

рела

5.8. Метод Херста (R/S - анализ)

Для одиночных и давно Лейбовичем

была

ррелированность членов иссле-

дуемо

временных ряда: {

ксационные процессы. Столь высокие частоты спектра связаны с тем,

что основная функциональная роль ионных каналов чаще всего состоит в бы-

строй передачи сигнала в клетку. К примеру, через один ионный канал может

проходить 107 –108 ионов в секунду. Поэтому такие частоты объясняются ма-

лыми временами физико–химических процессов (к примеру, t0≅2.5·10-4 се-

кунд). Напомним, что частота есть отношение единицы ко времени. Наличие

такого спада частоты также можно объяснить отсутствием источника ланже-

веновского шума, который обычно дает «белый шум» (α=0).

онных каналов уже сравнительно

выдвинута гипотеза о фрактальности воротного механизма. Для доказа-

тельства этой гипотезы был применен метод Херста и определено значение

фрактальной размерности временного ряда.

Показатель Херста характеризует ско

го ряда. Значения Н>0,5 указывают на положительную корреляцию

(персистентный процесс), а Н<0.5 на отрицательную корреляцию (антипер-

систентный процесс). И тот и другой процессы являются процессами с «па-

мятью», когда последующие события определяются предшествующими. Ве-

личина Н=0,5 характеризует случайный процесс [43].

В нашем случае исследовались два дискретных openτ }

и {

пл з кан

cloτ se } - последовательности промежутков времени, когда канал находится

соответственно в открытом и закрытом состояниях. Длительность открытых

{ openτ } и закрытых { closeτ } состояний канала определялись на 50%-м уровне

ам итуды тока чере ал. Данными для определения показателя Херста

служили численные решения отображения (4.14).

На рис.5.11 и рис.5.12 приведен пример ( R / S Nτ− )-зависимостей (гра-

фиков Херста), построенных в логарифмических натах, для двух дис-

кретных временных рядов: { open

коорди

τ } и { closeτ }. Здесь R и S – соответственно ку-

99

ткл я о

аружено, что по-

каз

мулятивные и стандартные о онени т среднего в заданной подвыборке

из Nτ событий реализующихся на временном интервале τ . Показатель Хер-

ста ределялся через тангенс наклона прямой, полученной в результате ап-

проксимации точек прямой методом линейной регрессии.

В результате исследования временного ряда было об

оп

ате

н

ль Херста для выборок { openτ } и { closeτ } больше, чем 0,5, что соответст-

вует экспериментальным данны [42]. Т для выборки { openτ } значения по-

казателя Херста лежат в интервале Н=(0,63

м ак

÷0,80) в зависимости от длины

исследуемого ряда, а для выборки { closeτ } Н=(0,71 ÷0,84) (см. табл.7.1). Такая

зависимость значений Н от длины временного интервала τ для { openτ } указы-

вает на то, что существует, по меньшей мере, два режима канала:

на относительно небольших временных интервалах (от 1 до 3 секунд) корре-

ляция не очень большая (Н=0,60

активности

÷ 0,64), а на больших временах – высокая

(Н=0,8). Для выборки { closeτ } на временных интервалах более чем 2,5 секунды

корреляция очень высок (Н=0,83ая ÷ 0,84).

Рис. 5.11. График Херста для временного ряда }{ closeτ : Н=0,73, b=0.01,

В экспериментах на клетка нейрона Lymnaea stagnalis было показано,

что

а*. Поэтому было проведено исследование на предмет потенциалозависимо-

5.2 сек.

=τ

показатель Херста не зависит от уровня мембранного потенциала. В на-

шей модели мембранному потенциалу соответствует управляющий параметр

сти показателя Херста для модели динамики ионного тока, основанной на

отображениях.

100

ис.5.12. Р График Херста для временного ряда }{ openτ : Н=0,60, , b=0,01,

Таблица 5.1.

начение показателя Херста Н в зависимости от длины временного

интервала . Расчет по отображению (2): а= - 1,8, b= 0.01

8.1a* −=

5.2=τ сек.

З

τ

Время τ, секПоказатель Херста Н

{τopen} {τclose}

1 0,63 0,71

2,5 0,60 0,73

3 0,64 0,83

4 0,80 0,84

5 0,80 0,84

Как показано в табл.5.2, при изменении а* от -1,65 до -1,8 (что соответствует

начению потенциала от -20 до 30 мВ) как для {з openτ }, так и для { } Н не closeτ

претерпевает существенных изменений. Н для { openτ } варьирует в пределах

для 1 секунды 0,58-0,60; для 2,5 секунд 0,61-0,73; 3 до 5 секунд 0-0,75.

Н для { closeτ } изменяется в пределах одной секунды ,66-0,71; для 2,5 секунд

0,60-0,64; от 3 до 5 секунд 0,58-0,70. В целом это небольшие изменения па-

от

0

0,7

101

и

Таблица 5.2.

Значения Н при различных значениях а* и

раметра, они свидетельствуют о том, что параметр Н как и в работе [42]

слабо зависит от потенциала, т.е. от а*.

τ

{τopen} {τclose}-1,65 1 0,60 0,66-1,65 2,5 0,73 0,69-1,65 3 0,72 0,70-1,65 4 0,70 0,67-1,65 5 0,72 0,67-1,7 1 0,59 0,67-1,7 2,5 0,68 0,64-1,7 3 0,75 0,62-1,7 4 0,72 0,65-1,7 5 0,71 0,65

-1,75 1 0,58 0,71-1,75 2,5 0,61 0,60-1,75 3 0,61 0,59-1,75 4 0,71 0,58-1,75 5 0,70 0,61

Параметр а* Время τ, секПоказатель Херста, Н

Таким образом, полученные нами данные свидетельствуют о том, что

активность каналов является преимущественно устойчивым (персистентным)

процессом. Наличие фрактальности указывает на скоррелированность собы-

тий во времени, или зависимость последующих событий от предыдущих

(«память»). При этом скоррелированность событий зависит от временного

интервала: на небольших отрезках она слабая (Н 0.6≈ ), а на больших она уве-

личивается (Н 0.70 0.84≈ − ).

5.9. Фрактальная размерность

Фрактальная размерность временного ряда связана с величиной показа-

теля Херста Н соотноше

днее значение Н согласно данным табли-

нием [43]:

D = 2 – H. (5.4)

Для расчета D определим сре

102

цы 2. Так для выборки { } ди ля выборки { closeτ } средний показатель Хер-openτ

ста совпадает и равен H 0.68 0.02= ± . Подставляя найденное значение в выра-

жение (5.4) находим, что актальная размерность временного ряды «ворот-

ного» механизма ионны авна D=1.32

фр

х каналов р ± 0.02.

Известно, что по величине фрактальной размерности временного ряда

выделяют три типа поведения системы [43] . Случайному поведению соот-

ветствует D=1.5, при этом в системе полностью отсутствует эффект памяти

(события в прошлом никак не влияют на события в будущем). При 1.5<D ≤ 2

наблюдается антиперсистентность – смена тенденции (эффект памяти, при

котором система после отклонения возвращается в начальное состояние ч -

ще, чем при случайном процессе). Таким образом, динамике параметра по-

рядка соответствует персистентное поведение, т.е. он после отклонения в ре-

зультате внешнего воздействия возвращается к своему среднему значению

через длительное время (в сравнении с 5.20

а

=t сек).

Таким образом, фрактальная кинетика свойственна нелинейным дина-

мическим системам с высокой чувствительностью к начальным условиям.

Детерминированные нелинейные системы, где отсутствуют случайные или

непредсказуемые силы или параметры, способные переходить в режим хао-

тических колебаний, характеризующихся фрактальной динамикой [7]. Ион-

ные каналы – это нелинейные динамические системы, находящиеся под дей-

ствием как детерминированных сил (межатомные взаимодействия, напря-

женность электростатического поля и др.), так и случайных взаимодействий

(тепловые флуктуации). Фрактальная кинетика может быть обнаружена и в

таких системах. Мы показали теоретически, что системы с двумя устойчи-

выми состояниями (двумя потенциальными ямами), соответствующими ос-

новному открытому и закрытому состояниям, переходы между которыми

происходят под действиями инерционных сил, обладает фрактальной кине-

тикой, а процесс переноса иона является скоррелированным.

103

ГЛАВА 6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

САМООРГАНИЗУЮЩЕГО МЕРА С ХАОТИЧЕСКОЙ

Мышечное оядерную клет-

у, содержащую одну-две тысячи более тонких вытянутых волоконец (мио-

ф

ы, актина, миозина, а также схема

ематическое моделирование составляет существенную часть исследований.

Совр

СЯ САРКО

ДИНАМИКОЙ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА

волокно представляет собой сложную мног

к

ибрилл) диаметром 1–2 мкм, состоящих из элементарных сократительных

единиц – саркомеров, длина последних в покоящейся мышце составляет ~2.2

мкм, т.е. это достаточно протяженные объекты, для моделирования дефор-

мации которых можно использовать феноменологический подход [11]. Тол-

стые и тонкие нити саркомеров образованы из сократительных (миозин и ак-

тин) и Ca+2 –чувствительных регуляторных белков (Рис.6.1.).

Миофибрилла

Актин

Миозин

Схема процесса рас-тяжения и сжатия

Рис.6.1. Изображение миофибрилл

процесса растяжения и сжатия.

Для понимания молекулярных механизмов мышечного сокращения ма-

т

еменный уровень техники не позволяет проследить за динамикой моле-

кулярного мотора непосредственно в мышце, однако, его работу можно смо-

104

т

зменяют свою дли-

ну, а

м, что экспериментально в работах [26] зафиксирована само-

возб

сокращения саркомера

Линейная модель вязкоупругих деформаций. В классической теории

мышечного сокращения все модели растяжения саркомера в общем виде

делировать, основываясь на знаниях о молекулярной конструкции саркомера

и его физико-химических свойств как вязкоупругой среды. Критерием адек-

ватности модели служит степень совпадения описания макроскопически

смоделированных свойств мышцы с экспериментальными результатами.

Описать такие сложные клетки требуется не только на механическом и элек-

трофизическом уровнях, но и на уровне ермодинамики.

Общепринято считать, что в процессе цикла укорочения-удлинения сар-

комера, нити сократительных белков, актин и миозин не и

лишь скользят относительно друг друга [11,24]. Между тем, экспери-

ментально установлено, что потенциальная возможность изменения длины

существует для каждого пучка белка саркомера. Имеются многочисленные

экспериментальные доказательства того, что внутренние напряжения в сар-

комере формируются в результате химических реакций с участием Ca, Mg,

ATP и др. [29].

Проблема моделирования сокращений саркомера в условиях скольжения

усугубляется те

уждающаяся хаотическая динамика сокращений, это, вероятно, и обу-

славливает дрожание фибрилл и мышц в целом. Вопросы нелинейного пове-

дения мышц (саркомеров) в нестационарных условиях как указывается в [11],

остаются открытыми [28]. Можно лишь указать, что нелинейные процессы

имеют, в отличие от линейных, несколько стационарных состояний, которые

должны обуславливать ступенчатый характер деформации саркомеров [26].

При значительных (нелинейных) деформациях таких ступенек должно быть

много. Таким образом, рациональная модель должна давать не только сту-

пенчатый характер, отмеченный в экспериментах по сокращению, но и хао-

тическую динамику данного процесса.

6.1.Динамика линейного

105

подчиняются закону Гука:

ikik με2σ = , (6.1)

где ikσ – тензор напряжений (поток импульса), ikε – тензор деформации

(термодинамическая сила), μ – модуль упругости. Законом (6.1) описывают-

ся малые линейные трехразме

р

рные деформации ( осям x, y, z). Постулиру-

тся развиваемые напряжения не за

по

е висят от поперечной координаты , что

саркомера. Тогда динамическое уравнение одноразмерного продольного со-

кращения относительно оси астяжения в продольном направлении в линей-

ной задаче в условиях действия внешнего напряжения σ примет вид

ε∂

∂ϕ−=

ε Gdtd , где 2

21

με+εσ−= eG , (6.2)

следовательно

edtd

σ+με−=ε

ϕ1 , (6.3)

десь ε – модуль относите ной деформа

лимера, G – потенциальная функция, упругая составляющая

пропорциональна квадрату растяжени

растяжении

з льной одноразмер ции вдоль протя-

женной цепи по

которой я, и работе внешних сил при

εσ− e , ϕ – некоторая размерная константа. Согласно (6.3) рассо-

гласование внутренних напряжений με=σi , и внешних eσ , определяется ско-

ростью деформации dtd /ε с точностью до постоянной ϕ.

Будем предполагать, что в случае вязкоупругих напряжений саркомер c

малой скоро одноразмерных деформаций при σстью ei ≈σ подчиняется урав-

нению Максвелла [30]

•

εη=σ

τ+σd i , (6.4) 0dti

где τ – время релаксации внутренних напряжений саркомера, η0 – коэффици-

ент динамической вязкости. При моделировании на основе (6.4), предполага-

ется, что саркомер по своим деформационным свойствам является промежу-

между ньютоновской жидкостью (точным 1/ <<Δτ t ) и твердым телом

( 1/ >>Δτ t ), подчиняющемуся закону Гука (6.1) [15].

106

ная за

ой и дл кая зависимость следует

из то

Связь с классической теорией. В литературе описывается несколько

математических моделей мышечного сокращения [11,24]. В теории Хаксли

[11] и ряде других моделей постулируется линей висимость между си-

л иной (координатой мостика) саркомера. Та

го, что данные модели опираются на классический закон Гука, который

в свою очередь и дает линейную зависимость между силой и величиной уп-

ругой деформации.

В кинетической теории В.И. Дещеревского [24], рассмотрена модель ра-

боты мостика с трехстадийным кинетическим циклом, включающим одно

замкнутое состояние α мостика и два замкнутых – тянущее n при x > 0 и

тормозящее m при x < 0 (Рис. 6.2.).

) не зависят от координаты

мост

а:

Кроме того, рассматривая предельный случай, константы скоростей об-

ратных переходов в цикле мостика можно не учитывать, так как они пренеб-

режимо малы. Постулируется, что и развиваемая сила и константы скоростей

переходов между стадиями цикла ( δϑ /,, 21 kk

ика.

В соответствии с циклом модели (Рис. 6.1.) для числа тянущих (n) и тор-

мозящих (m) мостиков Дещеревский записал систему обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений для саркомер

⎪⎩

⎪⎨

−δ

ϑ=

δ

mkndtdmdt

2

1

, (6.5)

где α – полное число доступных для зам

⎪

⎪⎧ ϑ−−−α=

nmnkdn )(

ыкания мостиков при длине 0.5 сар-

[11,24], – скорость скольжения нитейкомера ϑ ,δ – длина зоны, в которой

ос к развивает тянущую силу, – среднее з

замыкания свободных мостиков, – константа скорости распада тормозя-

м

м ачение константы скорости ти 1k

2k

н

щих остиков.

Рис. 6.2. Трехстадийный цикл модели В.И. Дещеревского.

Покажем, в виду модель малых деформаций

(6.3)

мера соответствует модели Дещеревского (6.5) [28]. Будем считать, что ве-

личи

кинетический

важности, что линейная

и (6.4), являющаяся базовой для построения нелинейной модели сарко-

,

на деформации пропорциональна числу тянущих мостиков nL ⋅=ε (L =

const – деформационный параметр одного мостика). Тогда первое уравнение

системы (6.5) примет вид:

)( mLkkdtd

−α+ε⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δϑ

+−=ε . (6.6)

Из сравнения (6.6) и (6.3)

11

следует, что между модулем упругости μ0 и кон-

стантами рис.1 существует взаимозависимость

107

⎟⎠⎝ δ10⎞

⎜⎛ ϑ

+=ϕμ k , ϕ

Рассмотрим случай малой скорости деформации

−α=σ

)(1 mLk . (6.7),(6.8) .

dt/dε , в котором внутренние

и внешние напряжения равны σ=σ≈σ ie

мостиков

(6.8): m

. Выражение (6.8) показывает, что с

увеличением числа тормозящих m уменьшаются. Та-напряжения

точким образом, уравнения (6.3) и (6.6) идентичны с ностью до обозначения

коэффициентов. Выразим m из 1/ Lkσϕ−α= . Учитывая временные за-

висимости внутренних напряжений )t(σ=σ и числа тормозящих мостиков

m=m(t) в саркомере получаем:

dtd

Lkdtdm σϕ

−=1

; 0=α

dt. (6.9)

Подставим (6.9) во второе урав

d

нение системы (6.5), а также учтем, что в со-

ответствии с уравнением (6.3) справедливо уравнение:

ϕμ

σ+ε−=ε ,

в результате получаем уравнение типа уравнения Максвелла для внутренних

•1ϕμ 00

108

ия (6.4): напряжений, несущественно отличающемуся от уравнен

fdtd

+εη=σ Aτ+σ

•

)( 0 . (6.10)

Здесь φϕ=τ / – время релаксации внутренних напряжений, δϕφμϑ=η 010 /)( kf –

функция коэффициента вязкости 0η , ϕα= /21 LkkA – константа,

. Если δμ= /0 ϑ+/ 12 kkϕ φ<<αLkk 21 , то то

к уравнению

Такая модель соответствует следующим представлениям. Пусть сарко-

некоторую длину, которой соответство

торое число тормозящих мостик

саркомер или позволив ему сжаться до длины

l2, т

, эквивалентна системе уравнений Дещеревского (6.5), в которой

релаксация напряжений напрям ена.

констан й A можно пренебречь, что и

приводит (6.4).

мер имел первоначальную вало неко-

ов. Если в момент времени t=0 скачком из-

менить его длину l1, растянув

о этому будет соответствовать другое число тормозящих мостиков. Из

(6.5) и (6.10) следует, что количество тормозящих мостиков, а с ним и на-

пряжения будут стремиться к своему новому значению по экспоненциально-

му закону: tkemm 2−= , τ−σ=σ /te . (6.11)

Таким образом, установлено, что система линейных уравнений (6.3),

(6.4), описывающая линейные деформации и релаксацию вязких напряжений

в саркомере

0 0

ую не залож

Предположено, что деформационный параметр одного мостика является

постоянным (L = const), что справедливо для линейной модели. В случае не-

линейной модели L является функцией от величины деформации ε , т.е.

)(ε= fL .

преобразуется в энергию упругой деформации молекул фермента, которая

атем может быть использована для совершения механической работы. Опи-

сываемый процесс динамики мышечных белков при значительных (средних)

6.2.Динамика нелинейного сокращения саркомера

Нелинейная модель. Известно, что свободная энергия гидролиза АТФ

з

109

деформация мы не мо-

жем

х не является линейным, поэтому при моделировании

использовать линейный закон Гука. Для нелинейных процессов одно-

размерной деформации по оси растяжения представим коэффициент упруго-

сти, следуя [15], в виде полинома:

)1()( 20 χε+ε−μ=εμ k , (6.12)

где 0μ – коэффициент упругости для линейных систем, а k и χ – некоторые

коэффициенты [28], характеризующие зависимость модуля упругости в на-

правлении оси растяжения от величины деформации.

Подставив выражение для μ (ε) в исходное динамическое уравнение

.3), получаем, для саркомера, термодинамич(6 еское уравнение с кубической

правой частью

)( 02

03

0 ekdtd

σ−εμ+εμ−χεμϕ−=ε , (6.13)

или, вводя в модель потенциальную функцию G - свободную энергию, свя-

занную с нелинейной упругой деформацией, получаем

ε∂

∂ϕ−=

εdtd G , εσ−εμ+

εμ−

χεμ= е

kG 20

30

40

21

34. (6.14)

Линейная часть этого потенциала содержит квад

, (6.15)

в котором внешние напряжения

ратичную функцию. Для

стационарных деформаций в результате из (6.13) следует нелинейный закон

деформации саркомера 3

02

00 χεμ+εμ−εμ=σ ke

eσ и внутренние (правая часть (6.15)) равны

друг

укорочения. Вводя для напряженного сар-

омера скорость укорочения и внутренние напря

другу. При малых деформациях (в линейном случае) из (6.15) получаем

закон Гука.

Стационарная скорость

к жения в виде

dtdε

≡υ , εμ=σ≡σ 0i ,

представим уравнение (6.13) в после деления правой и левой частей на maxυ

виде

DCBA +⎟⎟⎠⎝ σ⎠0

⎞⎜⎛ σ

−⎟⎞

⎜⎛ σ

+⎟⎞

⎜⎛ σ

−=υ

23

, ⎜⎝ σ⎟

⎠⎜⎟⎜

⎝ συ 00max

где соответствующие константы равны

110

max20

30

υμ

ϕχσ=A ;

max0

2

max

0υ

ϕσ=C0

υμ

σϕ=

kB ; ; maxυ

ϕσ= eD .

При , тогда D=1. В результате получаем теоретическую

0/ 0 =σσ 1/ max =υυ

зависимость скорости укорочения от 0/ σσ (Рис. 6.3а, кривая 1: A=7.3;

B=8.15; A=10.01, B =5.95), которая соответствует

экспери результатам [11]. стационарную скорость энер-

C=3.95,

м

ции

кривая 2:

ентальным

)(/( 0 εσσ

=12.9, C

дя Вво

гопродук )/ 0ε=E , получаем следующие уравнение

FDCBAdtdE

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

σσ

+⎟⎟⎞

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

σσ

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

σσ

−=0000

,

которое содержит свободные параметры и приводит к результату, изобра-

женному на рис. 6.3б. (Рис. 5.2б, кривая 1: A=11.3; B=4.4;C=2.8; D=1; F=0.65,

кривая 2: A=6.3, , D=1, F=4.65). Важно, что при боль

⎠⎝⎠⎜⎜⎝

⎛σσ

⎠⎝⎠⎝

234

B=3.4, C=3.8 ших скоро-

стях укорочения dE/dt нелинейно зависит от относительных напряжений и

оказывается меньше значений, предсказываемых классическими теориями

[11,24]. Эта функция имеет экстремум, аналогичный экстремумам, получае-

мым в экспериментах. Соответствие экспериментальных данных теоретиче-

ским на рис. 6.3. достигаются при различных параметрах. Это происходит в

виду того, что на этих рисунках изображены две различные функции, поэто-

му они соответствуют экспериментальным данным при различных парамет-

рах. Параметры для относительной скорости укорочения и скорости выделе-

ния энергии (кривые 1) для саркомера были определены нами для различных

экспериментальных данных (точки на рис. 6.3), что указывает на их различие.

Что касается кривых 2 на рис. 6.3, они соответствуют данным с другими ус-

ловиями проведения экспериментов, что приводит к другим значениям сво-

бодных параметров.

111

стационарного укорочения саркомера: a -

max/ Рис. 6.3. Свойства зависимость относительной скорости υυ от относительной силы (напря-

сти выделения энергии сокра- 2 отличаются различными значениями

оны действия нелинейной модели, т.е

жения) ; б – зависимость полнщающийся саркомера. Кривые 1 иконстант и показывают рабочие диапаз

0/ σσ ой скоро

о перейти к безразмерному виду уравнения (6.13) [9]. Для этого умно-

жим

. те значения параметров модели, которые отвечают реальным эксперимен-тальным данным. Точки соответствуют экспериментальным результатам [11].

Нелинейная динамика сокращения. Для уравнения (6.13) можно выде-

лить некоторую критическую точку, в которой происходит смена режима ра-

боты саркомера. Используя значения переменной и параметров в этой точке,

ожнм

левую и правую часть дифференциального уравнения (6.13) на 13

02 −χεμ )с( и получаем

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−ε

χε+ε

χε−ε−=

ε **2

2*3** 1

cc

kdt

d , (6.16)

где сε – значение модуля деформации в некоторой критической точке

1 ). Тем самыс ( ε*ε=ε = м мы ввели масштаб деформации. Приведем следую-

ие обозначения: щ

сε=ε , ε*

χ=ε

3с12 , t

ttt c ≡=χϕεμ=

00 , t2*

сс σ=

χεμσσ

=σ 30

.

Величина с

*

σ =χμ0ε3с характеризует значение обобщенного внешнего по-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

dtdE

0 0,25 0,5 0,75 1 0/ σσ

1

2

б

0

0,2

0,4

0,6

0 0,25 0,5 0,75 0/

0,8 maxυυ

a

2

1

σ σ

112

кой точке. Чтобы перейти к канонической форме, необхо-

димо переобозначит переменную и параметры равнения (6.1

дет к исчезновению части членов, в данном случае исчезнет квадратичный

член я п

b

ля в этой критичес

ь у 6), что приве-

[7]. Следу [28], ерейдем к новой переменной *0

* εεη −= , характери-

зующей отклонение приведенной величины деформации саркомера cεε=ε /*

от некоторого среднего значения cχε== k/3/εεε c0*

0 . Тогда уравнение (6.16)

при условии равенства a*= *=0 в критической точке, и, следовательно, η=0,

примет вид:

)( **3 ba +η+ηdtd

−=η , (6.17)

(рассо-

при-

режим бис-

где канонические управляющие параметры a представлены выражения-

ми:

* и b*

, *** 23 ε−ε+σ−= еb

вляется параметром

**sе σ+σ− . Далее

те

мо

рассматриваемая система

образом, им

азываются ка

)1(3 2*0

* −ε−=a3*

00 .

В модели (6.17) параметр я

саркомера : будем упрощения

нимать

м элементе замкнутого

тие):

хъямным и пер

абильного поведения [7]. Таким

но и

у

*b

*b =

суперпозиции

для

еходит в

гласования) приложенного внешнего поля *σ и собственного поля напряже-

ний 3*0

*0

* 23 ε−ε=σ s

. ** σ≡σе

Как одно из следствий нелинейной модели получаем, что при продвиже-

нии нитей навстречу друг другу в результа скачка длины η в последова-

тельном упруго стика возникает упругая деформа-

ция (сжа3*** η+η+σ=σ as .

Особенностью уравнения (17) является то, что в его трижды вырожден-

ной критической точке η=a*=b*=0 ( 1**0

* =σ=ε=ε ), потенциал из одноямного

становится дву

т еет место потеря устойчивости,

имеется всегда возможность стабилизации в одной из минимумов по-

тенциала. Именно такие равнения н ноническими и изучаются в

теории катастроф и нелинейной динамике [7].

113

саркомера разбивается на два

сост

яния полагаем

Решая (6.18),

Для двухямного потенциала (a*<0) имеем для указанных знаков b* не-

линейную модель деформации саркомера, и ее асимптотические приближе-

ния – линейную модель и модель Дещеревского (таблица 6.1).

Следовательно, одно замкнутое состояние

ояния в зависимости от знака развиваемой силы – тянущее, при условии

00 >ε−ε=η ** и тормозящее при условии 0*0

* <ε−ε=η (рис. 6.4.). Значение *0ε

определяется следующим образом: для стационарного состо

0=*b , тогда

*2 . (6.18)

получаем два ненулевых корня

0)( =+ηη a

* *a−=η1 , a−−=η2 .

Таблица 6.1.

Асимптотические нелинейной модели

b* Нелинейная модель Линейная

модель

Модель Де-

щеревского Примечание

приближения

Знак

3η+η−σ=σ *a*s

* η−σ=σ *a*s

* *s

* σ=σ b*>0 См. Рис.5.3

Рисунок См. Рис.5.3

3η−η+σ−=σ *a*s

* η+σ−=σb*<0 *a*s

* м. Рис.5.3**sσ−=σ С

Подставляя решения в , получаем два выражения *0

* ε−ε=η **0

*1 a−+ε=ε

**0

*2 ε=ε a−− , из сложения находим полезную формулу дл

значения , как некоторого значения деформации саркомера

которых

среднего

я среднего

*0ε

2

*2

*1*

0ε+ε

= .

бразом, среднее значение деформации саркомера определяется

как средне арифметическое между деформациями в минимумах потенц

.

бразом, среднее значение деформации саркомера определяется

как средне арифметическое между деформациями в минимумах потенц

ε (6.19)

Таким о

е иала

ε (6.19)

Таким о

е иала

η+ *b2 η+η= *a*G214

41

при

Рис. 6.4. Напряжения , развиваемые замкнутыми мостиками в сар-комере, в зависимости от удлинения (укорочения). При a*=0.02 имеем

b*=0.

114

*σ

*a−=η1 =0.141, *2 a−

– −=η = – 0.141. Связь с моделью Дещеревского:

соответствует ε = δ началу тянущей зоны; c/ εδ=1 η cεδ−=η /1 соответствует

главой 2

рое для данной задачи записывается в ви-

е

ε = – δ – началу тормозящей зоны.

Второй закон термодинамики и нелинейная модель. Аналогично с

уравнение (2.13) должно быть совместимо с условием положитель-

ности производства энтропии, кото

д

041

31

21)( 22

0' ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ χε+ε−εμ=εε= kJ

dtSdi ,

где константа 000' /Tμ=μ имеет размерность Дж/К, а параметр T0 – температу-

ра, при которой т сокращение саркомера. Выражение для произ-

водства энтропии может быть представлено выражением, аналогич-

происходи

dtSdi /

*sσ−

-0,05

0,05

*sσ

σ*

-η -0,2 0,2 η η1

η2

ным (2.10):

( ) 06441 **

02*2* ≥+εε−εε=∗iG , (5.20)

с2 *где , , .

Далее, следуя выкладкам для выражения (2.10), необходимо рассмат-

ривать решения неравенства вида

сти о знака дискриминанта ;

εε=ε /* χ=ε 3/1с cχε== k/3/εεε c00

02 ≥++ cbxax ,

a и

входящего в (5.20), в зави-

симо т параметров acbD 42 −= 1=a ,

ряли следую

*0ε , 6=c . Для выполнения выражения (5.20) необходимо, чтобы пара-

метры, входящие в него, удовлетво щим неравенствам:

4−=b

232*

0ε или ≤ , χ≤292k .

*0

*Делая замену переменной в (5.20) , получаем уравнение (2.12) для

производства энтропии с параметром

ε+η=ε

порядка η и со следующими обозначе-

ниями , , . Вы н содержит внешнее поле *0

*0 ε≡x *

ss H≡σ ∗ *00 HG ≡∗ ражение (2.12) е

0** =σ≡σе . Положительности производства энтропии отвечает условие:

2/3−≥∗a (см. рис. 2.1.). Отсюда следует что функции G*i 0≥ , 0≤•

i*G яв-

ная знакопеременная потенциальная функция, равная относи-

(безразмерной) скорости изменения энтропии системы т при-

мет вид:

ляются функциями Ляпунова.

Приведен

тельной акже

00

*2*4***

**

21

41 ≥

≤η+η+η=+== baGGdtdSG ie .

Здесь обратимые потоки энтропии также могут принимать разные знаки e*G

0

0

**0

* )(≥

≤ησ+−= GG e .

Поэтому потенциальная функция может иметь любой знак, так как вклю- ∗G

чает еще линейное по η слагаемое оторое связанно с обратимыми потока, к -

ми энтропии.

мОбобщенная диссипативная одель сокращения саркомера. Переход

к хаосу. Используя приведенный в главе 4 переход от релаксационных урав- 115

116

ниям второго порядка и учитывая эффект последействия, по-

луча

нений к уравне

ем однородное каноническое уравнение второго порядка для величины

деформации η в первом приближении (4.7), где /*0

`*0 σ≡h , *

0*0 σ≡h .

В правой части уравнения (4.7) стоит периодическая сила, действующая

на саркомер, присутствие которой можно связать с кроветоком. Переменный

параметр rt τηΓ=γ /),( является в такой модели параметром диссипации (ко-

эфф

в хаотичес

утствие

ициентом трения), а описываемый процесс – диссипативным. Справед-

ливость уравнения (4.7), дающего при некоторых значениях управляющих

параметро кие решения, означает, во-первых, что установление

равновесия в саркомере происходит не монотонно, а в колебательном режиме

с собственными частотами хаотических колебаний, определяемыми физиче-

скими параметрами саркомера (актин-миозиновой системы). Поэтому в ре-

альном саркомере будет целый спектр собственных частот. Во-вторых, ре-

ально мостики нелинейно взаимодействуют с актином, в условиях последей-

ствия и релаксации результатом будут хаотические колебания такого маят-

ника, следовательно, в реальном саркомере существуют малые высококоча-

стотные пульсации, при которых энергия переходит в тепло. Это означает

что энергия диссипирует в мелкомасштабных пульсациях, как и при турбу-

лентности. При этом малые частоты соответствуют масштабу энергии, сред-

ние - инерционному интервалу, большие – мелкомасштабному интервалу.

Своеобразие заключается в том, что пульсации параметра порядка не явля-

ются независимыми во времени, так как для наследственных систем [], каж-

дое последующее неравновесное состояние зависит от предыдущего.

Результаты экспериментов. Результаты численных расчетов. В

работе [26] были представлены результаты экспериментов по сокращению

саркомеров. Их детальный анализ динамики продемонстрировал отс

гладкости процессов удлинения и укорочения препаратов. Трассы изменения

длины саркомеров, как на фазе удлинения, так и укорочения имели хаотиче-

скую ступенчатообразную форму (Рис. 6.5а.), часто с высокой регулярностью

чередования периодов движения и остановок. Размер ступеней не является

случайной величиной, он оказался кратным определенной величине (2.3 нм)

и не зависел от направленности изменения длины саркомеров. Конечно, тео-

ретические решения в пределах одной ступени имеют большую амплитуду,

чем в экспериментах. Тем не менее, данный результат следует признать

удовлетворительным, т.к. модель (4.7) впервые дает не только ступенчатый,

но хаотический характер поведения величины деформации.

t, ct, c

l , мкм

117

ис. 6.5. Экспериментальные результаты по сокращению саркомера (а) [26], которые сравниваются с теоретической кривой (б); ,

Р 51.a* −= 62.=ω ,

, η(0)=0.3, пунктирные линии на рисунках а кусами аттракторов, которые и сравниваются с экспериментальными данны-ми).

Ст

одинаковыми, хотя можно было заметить некоторое перераспределение

наиб

2160.=τ 810 ./* =σ ( и б являются фо-

упени наблюдались как в активирующем растворе, так и в отсутствии

АТФ и ионов кальция. В том и другом случае характерные размеры ступеней

были

олее вероятных величин ступеней. При средних деформациях наблюда-

ется три ступени, с увеличением деформации число ступенек становится

больше трех. Отметим своеобразный характер самовозбуждения такой нели-

нейной системы при периодическом воздействии на нее с потерей устойчи-

вости и одновременно с некоторой стабилизацией на ступеньках.

Автономная система уравнений для нелинейных колебаний длины

p

1

0

1

140 1602

22

2−

Zn 1,

Y0

0

Y0−

175140 t n( )

0 6 t, с

2.60

2.618

ба

118

уравнений

стра

и стацио-

нарн

саркомера. Численные решения нелинейного уравнения для η (4.7), которое

представлялось системой трех нелинейных дифференциальных

(4.8), показывают на наличие в широкой области значений управляющих па-

раметров не только регулярных, но и хаотических решений (рис. 6.5б.) для

трехступенчатой реакции, что качественно соответствует эксперименту [26].

Странный аттрактор. Как видно из рис.6.6 а и б при некоторых зна-

чениях параметров в решениях уравнения (4.7) возникает как гомо - так и

гетерофазный хаос, реализующийся по типу странного аттрактора. Его

нность заключается в том, что траектории занимают ограниченную об-

ласть фазового пространства (рис. 6.6б), малые изменения параметров в

уравнении (4.7) изменяют структуру аттрактора, а также аттрактор чувстви-

телен к начальным условиям. Данные свойства описаны Г. Шустером [16] и

являются основными, для того чтобы считать аттрактор странным.

Малое изменение параметров приводит к изменению структуры аттрак-

тора, в том числе показателя Ляпунова, значения размерности и стационар-

ных состояний аттрактора. У полученного аттрактора имеются тр

ых состояния (фокуса), и каждое является неустойчивым. Движение во-

круг фокусов траектории является блуждающим, т.е. она делает один виток

направо, затем несколько витков налево и т.д. Траектории полученного ат-

трактора мечутся между двумя предельными неустойчивыми стационарными

состояниями, захватывая среднее, а их топологическая структура траекторий

изменяется, поэтому аттрактор можно назвать структурно неустойчивым.

В такой нелинейной термодинамической системе параметр порядка “ме-

чется” между тремя стационарными состояниями (гетерофазный хаос)

*a−=+η , 00 =η , *a−−=−η ,

два,

офаз-

ный хаос) обуславливают вязкую ссип ию энерги . Подставляя хаотиче-

из которых являются симметричными. Последнее условие и определяет

инерционный интервал пульсаций. Мелкомасштабные пульсации (гом

ди ац и

ские решения в выражение для потенциальной функции *G , получаем хаоти-

119

а

яму. Как видно не-

лине

ис. 6.6. самовозбуждения трансформацией пе-

риодических на хаотические; порядка в модели одно-размерной нелинейной деформации саркомера релаксации и по-лед ствия (а); портрет (б). t=t/t0 Фиксируются как чен

саркомере Решения реализуются по

тип

ческие значения в условии постоянно действующих периодических внешних

воздействий (при 0<*a , рис. 6.6.). Ниши функции соответствуют состояниям

1 и 2 замкнутого мостика. Параметр порядка *0

* ε−ε=η х рактеризует изме-

нение механической координаты для саркомера.

Хаотическую мику решений уравнения можно представить как

хаотические колебания в одной из потенциальн иссипативный интер-

вал пульсаций) с перебросом время от времени в

дина

Динамикавоздействий

фазовый

ых ям (д

другую

саркомеров с параметр

при наличии , t0=0.34 c.

.

йные процессы имеют несколько стационарных состояний, которые, ве-

роятно, и обуславливают ступенчатый характер деформации, представлен-

ный на рис. 6.5а. Хаос является детерминированным [16] и отражает прояв-

ление нелинейности, релаксации и последействия.

2 0 2 2

0

2

Р

со

ейь малые пульсации, так и средние.

Перескоки между ступенями на стадии удлинения объекта и на стадии

его сокращения рассматриваются как неравновесные фазовые переходы, свя-

занные со структурными изменениями в

у странного аттрактора, отличающегося от странного аттрактора Лоренца

увеличенным числом фокусов (рис. 6.6б.). Подставляя хаотические решения

в выражение для скорости изменения энтропии G* , получаем для этой функ-

ции хаотические значения (при a*<0, рис. 4.2а.).

Рассмотрим поведение производства энтропии при наличии хаоса

η

o

η

б 0 50 150 200100

2

0

22

Z n 1,

2−

Y0

0

Y0−

2000

η

t n( ) tа

(рис.4.2б.). Расчет производился по функционалу

*0

*2*4* 11 aG kskki

k ησ+η+η=24

в который подставлялись значения решений уравне

G+ ,

ния (4.7) (k – индекс шага

расчета); здесь

, )1(3 20

* −ε−= ∗a 3*0

*0

* 23 ε−ε=σ s , )2(4

На рис. 4

3 2*0

2*0

*0 ε−ε=G .

.2б. представлено возмущенное состояние саркомера с вре-

менной задержкой Δ= 20. В отличие от невозмущенного состояния данный

график характеризуется замкнутыми областям отвечающими определен-

ные н

ения параметра можно

получ

х о

пунова

λ по м

и, за

евозмущенные стационарные состояния. Центры этих областей явля-

ются глобальными или локальными минимумами.

Согласно второй теореме об устойчивости функционала [31] произ-

водство энтропии и его производную можно оценить некоторыми числами

сверху. Таким образом, перебирая различные знач *0ε

ить различные средние значения функционала ikG ∗ , которые будут ог-

раничены двумя числами снизу (0 – равновесное состояние) и сверху.

Бифуркационные диаграммы. Показатели Ляпунова. Анализ хаоти-

ческих и регулярных процессов в нелинейных система бычно начинается с

построения бифуркационных диаграмм и определения показателей Ля

етодике [18]. Показатели Ляпунова λ дают информацию о расходимо-

сти двух соседних по начальным условиям траекторий [16]. Для сокращения

саркомера можно указать область параметров, где решения ведут себя хаоти-

чески, т.е. область детерминированного хаоса λ>0. При λ>0 соответствующий

режим является локально неустойчивым и хаотическим, при λ=0 – нейтраль-

но устойчивым, λ<0 – устойчивым и периодическим. Данное движение пе-

риодично на всем временном интервале, хотя и характеризуется для различ-

ных показателей λ<0 своим периодом и амплитудой. На бесконечном интер-

вале времени при любом λ<0 все траектории становятся неразличимыми, т.е.

между ними нет расхождения.

120

121

), которое качественно эквивалентно (4.7)

[9,16]

50 число точек, Δ=100), получены размерности ат-

тракт

ηk а

еются окна

детер

Построение бифуркационных диаграмм для уравнения (4.7) затрудне-

но, но качественный характер этих диаграмм может быть выяснен, если об-

ратиться к отображению (4.14

. Мы легко строим бифуркационные диаграммы для отображений, но

еще не разработали алгоритм построения бифуркационных диаграмм для

уравнений типа (4.7).

Изменяя параметр ∗a области хаоса (от –0.8 до –1.1) в выражении для

отображения (5.29) при фиксированных других параметров (T0=1.667,

τ=0.0216, 2.0*0 ±=ε , N= 0 –

в

а

ора, которые лежат диапазоне от 1.4 до 1.7 (среднее значение 1.564).

Тот факт, что размерность ттрактора не равна целому числу, также указыва-

ет на стра полученного нами аттрактора. При значении параметра ∗a =0 и *b =0 размерность аттрактора равна 0.429, т.е. в трижды вырожденной

точке аттрактор не является точкой, но еще не является прямой.

На рис. 6.9. представлены бифуркационная диаграмма для переменной

отобр жения сборки и его показатели Ляпунова, которые определены по

отображению (4.14). Из рисунка видно, что в областях хаоса им

нность

минированного поведения (λ<0).

На рис.6.10. представлены псевдофазовые портреты )(f nn ηη Δ =+ . На

них приводятся зависимости каждого последующего значения от предыду-

щего. При малых Δ область является узкой, а с увеличением Δ область стано-

вится ическая раз

более широкой, но и в том и другом случаях тополог мер-

ность пространства равна 2.

η

0

b*

λ

-1

122

Рис. 6.9. Бифуркационная диаграмма (а) и показатель Ляпунова (б) при 0=1, τ=0.05, .

Рис.6.10. Псевдофазовые портреты решений уравнения (27) для Δ=7 (а) Δ=30 (б) при =1.9, ω = 2.35,

T 2.0*0 ±=ε , 5.0* −=a

и *b 1.1=rτ , 216.0=τ , 204.1*0 =ε .

ещеревского, М. Волькенштейна [11,24,25]

при моделировании прини ратительные систе-

мы фу

6.3.Пульсации температуры

В работах А. Хилла, В. Д

мается, что биологические сок

нкционируют в условиях постоянных температуры и давлении. Говоря

о температуре, авторы подразумевают ее усредненное во времени значение.

Cчиталось, что существенные изменение средней температуры происходит

на расстояниях 0ε (основной масштаб сокращения), на которых меняется

средняя скорость сокращения за цикл. Вследствие того, что в саркомере про-

б

ηn ηn

а ηn+Δ

123

пульсаций

исходят пульсация сдвига на характерных пространственных масштабах, ис-

тинная температура T вследствие диссипации также повышается и испыты-

вает отклонение от некоторого среднего значения 0T : 0' TTT −= .

Пульсации температуры по Обухову. В теории турбулентности вво-

дят энергетический, инерционный и диссипативный интервалы

[32]. Инерционный интервал берет энергию из больших вихрей и снабжает

энергией малые пульсации. Инерционный интервал является в то же время

конвективным,- выравнивание температур в нем происходит путем механи-

ческого перемешивания различно нагретых «частиц» без участия истинной

теплопроводности; свойства температурных пульсаций в этом интервале не

зависят и от крупномасштабного движения. В рассматриваемой задаче счита-

ется, что число Прандтля Pr= νχ / =1 и поле температур подобно полю ско-

ростей деформации. Последнее означает, что коэффициенты температуро-

проводности и кинематической зкости для инерционного интервала рав-

ны: γγ η⋅ε=ν=χ , l/∗γ ε≡ε ; γε и γη − приведенные пульсации пространствен-

ного масштаба и скорости пульсаций, отнесенной к средней скорости сокра-

щени оси льн е повышение температуры 0* /TTT Δ≡Δ в

инерционном интервале по Обухову [32] , где 0T =309.6 К − температура

внутренней среды организма. Тогда скорость диссипации эн чет

теплопроводности со значением γη⋅γε=ν=χ дает выражением [33]:

вя

оя. Определим отн те

ергии за с

ся

2

2*2**

γγ

εΔ⎞⎛ TdT

* )( γηε≅⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

χ=φdx

из которого следует полезная формула для расчета относитель-

ной темп пульсациях длины и скоро-

,

повышения

саркомера

ературы при турбулентных

сти:

γ

γεφ=Δ **T , (6.30)

η

здесь – скорость диссипации энергии за сч теплопроводности: ет *φ

γ==φ TT EE 0* , – приведенная средняя энергия диссипации, – удель-pcpTc/ TE

124

о

При расщ ле

я энергии превращается в тепло

(не вс

ред-

ная теплоемкость при п стоянном давлении.

еп нии АТФ происходит конформационное превращение

белка, производящее работу. Часть оставшейс

я энергия расходуется на производство работы), что вызывает пульса-

ции температуры. После того как температура выравнивается, до среднего

значения, белок переходит в другую конформационную форму. Этот процесс

приводит к торможению саркомера и появлению ступенек (см. рис. 6.5.).

Для нахождения пульсаций температуры необходимо знать скорость

диссипации энергии. Для этого, используя метод теории катастроф [7], п

ставим γTE в виде полинома четвертой степени от пространственного мас-

штаба γε :

γγγγ ε+ε+ε= baET24 )(1)(1 ,

гдеaи не

24

– которые приведенные параметры. В формуле (6.30) неизвестно b

езначени γTE . Для его нахождения воспользуемся выражением

∑=

γγγ ε=N

nnTT EE

1)(1 , (6.31)

γ

N

где N – общее число точек, на которое делится функция по оси −

значение в точке n. Для нахождения приведе

TE γε , nγε

γε нной скорости пульсаций γη

используем dt

d γγ ε

=η .

ΔT*

γTE

γTE

εγ

εγ

а

б

Рис.6.11. Зависимость приведенной температуры *TΔ (

а) и приведен- диссипации энергии (б) от пространственного масштаба пульсаций при a= −0.07, b=0,

ной γTE

γ γTE =3.309· 410− . ε

125

рез

Таким

диссипацию энергии

С помощью численных расчетов были получены ультаты по повы-

шению температуры в результате диссипации, представленные в таблице 5.2.

образом, формула дает достаточно реальные значения повышения

температуры 4-16оС. На рис.6.11. приведена зависимость приведенных пуль-

саций температура от приведенного значения пространственного масштаба γε .

Расчет средней диссипации энергии. Зная среднюю приведенную

γTE и можно определить среднюю диссипацию энер-

гии

pc

T . Для нахождения pc воспользуемся тем, что саркомер находятся в

растворе с ионами кальция, поэтому рассчитаем

E

TE для раствора хлорида

кальция 2CaCl [25] ( pc = 40.88 Дж/(моль·К) ) по формуле 0γ TcEE pTT = .

блица 6.2.

Та

Определение разности температур по формуле(30) ( =0) b

, К

a γTE *ΔT TΔ

−0.08 51.026· 410− 0.015068 4.66 −0.07 3.309· 0.019623 6.075 410−

−0.06 5.599· 410− 0.028729 8.894 −0.05 7.899· 410− 0.030559 9.461 −0.04 1.021· 310− 0.034813 10.778 −0.03 1.253· 310− 0.040197 12.445

−0.02 1.486· 310− 0.045388 14.052

−0.01 1.72·1 0.051918 30− 16.074

е занесен бл цу 6.3. В [ ртняжной м лягуш-

и при сокращении на 2 мкм энергия рассеивания равна 0.13 Дж/г. Данное

значе

Данны ы в та и 11] для по ышцы

к

ние соответствует пульсации температуры при сокращении саркомера в

4.7 К.

Таблица 6.3.

126

Определение средней диссипации энергии TE по формуле(5.31)

=0)

Параметр

ная энергия дисси-пации

(b

Средняя приведен- Средняя дис-

сипация энер-

a

γTE гии

TE ,

ль( 2CaCl ) Дж/мо

−0.08 1.026· 1.30 410−

−0.07 3.309· 4.19 410−

−0.06 5.599· 410− 7.09

−0.05 7.899· 410− 10.00

−0.04 1.021· 310− 12.92

−0.03 1.253· 310− 15.86

−0.02 1.486· 310− 18.81

−0.01 1.72·1 21.77 30−

Спектр ости пульсаций параметра по η. Для модели по-

троены нормированные спектры мощности пульсаций параметра порядка

метод

вании многомасштабной струк-

туры

ы (104 – 4·104 сек−1) послед-

няя ре

ср

мощн рядка

с

ом Фурье-преобразования (рис.6.12.).

Из рисунка 6.12 видно, что теоретически полученный спектр является

сплошным, что свидетельствует о существо

поля скорости деформации саркомера [16]. Именно многомасштабность

и является важнейшим признаком развитой турбулентности, приводя к воз-

буждению гигантского числа степеней свободы.

В области больших частот (ω>4·104 сек−1), спектральная плотность из-

меняется по закону ~ 2ω− . С уменьшением частот

зко возрастает, что соответствует закону ~ 7ω− турбулентных пульсаций

Гейзенберга в диссипативном (вязком) интервале [34]; в достаточно узкой

области частот (103 – 104 сек−1) спектр можно авнить с колмогоровским

127

с.6.12. Зависимость спектра параметра порядка η ( ) от

Sη~ 3/5ω− , который всегда наблюдался в развитой турбулентности [35]. В об-

ласти еще меньших частот (ω<1·103 сек−1) в узком интервале имеет место

фликкер − шум Sη~ 1ω− . В области инерционного интервала происходит пе-

реход от спектра Sη~ 7ω− к спектру Sη~ 35 /−ω .

ичастоты

ηS

ω

Р пульсаций ηS

ω при значениях параметров (

н гармонических колебаний), следующих

.5.1* −=a , 62.=ω частота

в ешних 2160=τ , η пр

турбулентной дисси

возьмем от выражения для приведен-

ной

(0)=0.1, σ /* = 8.1 . На0

ляется пик при 62.=ω . Приведенная скорость изменен пации энер-

гии. Для ее нахожден

спектреояв

д

ия

производнуюия

иссипации энергии γTE , получим:

γγγγ η+ε+ε= ))()(( 3 baEdT . (6.32)

dt

работе А. [11] было , что при изотонических уко-

ро ации энергии условиях

ния в

В

чения

Хилла установлено

в х скорость диссип стационарного сокраще-

безразмерном виде выглядит:

γγ η= bEdT . (6.33)

dt

128

едует, что модель А. Хилла является ли-

нейной не зависи

этих выражений в рамках нашей модели были построены зависимости дис-

сипации

ис.6.13. Зависимость приведенной скорости диссипации энер-гии от приведенного масштаба пульсаций длинны по модели

. по модели (5.33) (б) при следующих значениях параметров

Из сравнения (6.32) и (6.33) сл

по скорости укорочения и т от величины деформации. Для

энергии от приведенных скоростей и укорочений

(Рис.6.13,6.14,6.15). Данные зависимости показывают отличие нелинейной

модели от линейной модели.

Рdtd T /)( γ

32) (а); −=

E γε (5

5.1 , 62.=ω , 2160.=*a

dtE(d T

а

)γ

εγ

б εγ а

τ , η(0)=0.3, 810 .=σ .

/*

б

ηγ ηγ

dt(d )ET

γ

Рис.6.14. Зависимость приведенной скорости диссипации энергии

от приведенного масштаба пульсаций скорости по модели (32) модели (33) (б) при следующих значениях параметровdtEd T( γ

(а); по

γη

/) 5.1* −=a , 62.=ω ,

210.=τ 6 , η(0)=0.3, 810 .=σ .

Нелинейная модель показывает, что при сокращении саркомера может

/*

129

иметь н стойчи х состояний в отличие от модели А. Хилла. Па-

рамет в теории А. Хилла зависит лишь от нагрузки, прилагаемой к сарко-

меру,

именно величина , а не .

ис.6.15. Зависимость от t в нелинейной модели при следую-

щих значениях

есколько у вы

р b

в нелинейной модели он изменяется по гармоническому закону. В ана-

лизах [11,24,25] часто используется dtEd T /)( γ , т.к. на практике измеряется

Tγ γ

T

dtEd /)( E

dt)E γ(d T

t

dtEd T /)( γ параметров 5.1* −=a , 62.=ω

Р, , η(0)=0.3, 2160.=τ

810 ./* = , 24.5γ =•

TEσ · .

Термодинамика сокращения саркомера. Рас от

ночный растворе и рассмотрим динамику его деформации, сопро-

вождающейся изменением температуры и количества вещества в каждой рас-

сматр

410−

процессов см рим оди-

саркомер в

иваемой точке [15]. Введем в рассмотрение энергетическую функцию

F(T, ε , in ) – свободную энергию, ε – величина деформации, in – количество

вещества i в связи с протекающими АТФ реакциями [25]. Тогда

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+ε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ε∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=i

i

i dtdn

nF

tF

dtdT

TF

dtdF , (6.34)

где )/( dtdT , )/ε( dtd и )/( dtdni зависят от времени.

dd

Дифференцируя левую и правую части

− = S – энтропия, −

, а так же учитывая что

( )T∂∂ / ( ) ( ) iinF μ/ =∂∂F ε/ ∂∂F σ= – напряжение, – химиче-

ский потенциал оне

стных производных

i комп нты, получаем дифференциальное уравнение в ча-

130

=μ−μεσ

++ ∑∑ii

ii

dtdnd

dtdd

dtTdSdTdS 22

−σ+ε i

ind

dtdtdtd

dtdtdt 2

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dtdX

Jdt

dJXT k

kk

k0 , (6.35)

где – термодинамическая сила, – термодинамический поток. Пренеб-

регая релаксацией температуры и количества вещества, а, также считая, что

их изменение относительно некоторого значения T происходит в резу

го р

kX

kJ

0 льтате

само процесса сокращения, (6.35) п еобразуется к виду:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−++ ∑ dt

dXJ

dtdJ

XTdtdn

dtd

dtd

dtd

dtd

dtdT

dtdS k

kk

ki

ii0

2 μεσεσ . (6.36)

Введем термодинамическую силу и коэффициент Онзагера•

2

следующим обра-

зом , , тогда при независимости от времени тер-

. Правая часть уравнения в

этом случае принимает вид:

: X =

модинамический

02/ε Tk )00 )η(2 TfLkk =

поток выглядит

η( 0f

(6.35) :•

= ε)η( 0fJ k

•••

⎠⎞

⎝⎛ dX

dtdJ kk

После деления на ε ( ≠ε

εεη=⎟⎜ + )( 00 fdt

JXT kk .

), (6.36) приводится к следующему уравнению: ••

0••

••

••

••

•• +σ

τ+dTS

•

εη=ε

μ−σ

ε∑ )( 0fn

dt ii

i , (6.37)

где прео•••

= ε/ε , а также делая бразования τ

•••••••••

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= TT

TSTS τσε/εε

ε/ , •••••

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

= iii nτσε/μ , ⎠⎝ ∂ in

n

чаем р

полу еологическое уравнение

∑•••

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=+i

ii

nn

TT

fdtd τστσε)η(στσ 0 . (6.38)

от уравнения Максвелла (6.4) наличием

членов, связанных с изменением температуры и количеством вещества сар-

комера. Таким образом, если температура, и количество вещества постоянны

Уравнение (6.38) отличается

131

во всем объеме саркомера, тогда можно использовать уравнение Максвелла

д я сокращения саркомера. Также с

дим к

ля описани равнивая (6.38) и (6.10) прихо-

выводу, что константа А в (6.10) связана с температурой и количест-

вом вещества.

Находя общее решение уравнения (6.37), получаем:

ττζ

0

τ0 ζ

τ)ζ(σσ

ttt

edeLe−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ , (6.39)

где 0σ – напряжение в начальный момент времени, ζ – переменная интегри-

рования; в (6.39) введено обозначение

∑••• ⎞⎛ σ∂⎞⎛ σ∂

τ⎟⎟⎜⎜+τ⎟⎠

⎜⎝ ∂

+εη= inTT

ftL )()( 0 .

Выражение (6.39) состоит из 3 слагаемых. Первое связано со скоро-

д

третье с количеством вещества.

Сравнение с кинетической моделью. А.Хилл в некоторых моделях

[11] использовал следующую величину деформации:

⎠⎝ ∂i in

стью еформации (соответствует линейной модели В. Дещеревского (5.11)),

второе – с изменением температуры, а

( ))τ/exp(1ε)(ε 10 tt −−= , (6.42)

где 0ε – начальная величина деформации, 1τ – время релаксации ε . Пренеб-

регая членами с температурой и количеством вещества в (6.38) получаем:

•

εη=σ

τ+σ )( 0fdtd . (6.43)

Дан ывает вязкоупруги

небрежении температурным и химическим полями. Подставляя (6.42) в

ное уравнение опис е сокращения саркомера при пре-

(6.43), получаем следующее уравнение:

)/exp( 1τ−=σ

τ+σ tadt

, (6.44)

где . Находим общее решение (6.44) по формуле (6.39). Оно

имеет вид:

d

100

τ/ε)η(fa =

)/exp()/exp()()( 220 1τ−

ττ

−τ−ττ

+σ=σ tt taa , (6.45)

132

где τ1

τ1

τ1

−= – введенн ии, которое совпадает с введен-12

ое время релаксац

временем в

и описывают кинетические свойства саркомера, что в целом со-

ответст подходу М. Волькенштейна [25], п

модель сокращения, где – время установления стационарного состояния,

емя скольж

.6.16. Зависимость величины деформации

ным работе М. Волькенштейна [25]. Уравнения (6.42) и (6.43) в

совокупност

вует редставляя нестационарную

τ 1τ

– вр ения, а 2τ – разность между временем замыкания мостика и

временем скольжения при максимальной скорости.

)( tε

)( tσ

)( t•

ε

t

Рис ε , напряжений σ , скоро-

сти сокращения от времени t (безразмерный вид).

аким образом, используя постулаты модели В. Дещеревского [24], по-

лучаем в новой модели нестационарную модель сокращения саркомера с

тремя

из графиков, если мгно-

венно изменить значение величины деформации , значение напряженности

спад

•

ε

Т

характерными временами. На рис.6.16. приведены зависимости, рас-

считанные по формулам (6.42) и (6.45). Как видно

ε

σ ает по экспоненте, что соответствует линейной модели вязкоупругой

жидкости.

133

НОВЕНИЕ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ И ЕГО ОПИСАНИЕ В

СИСТЕМЕ САРКОМЕР–РАСТВОР

З счет полного описания химических реакций в системе саркомер–

аствор, к которому добавляют АТФ, и соответствующих кинетических

уравнений впервые численными получено самовозбуждение рас-

см -

стояниям с показат азвитием неустой-

чивых низкочастотных пульсаций.

рого времени, более 1 мс, можно наблю-

ать следующие процессы: сокращение саркомера, затем процесс самовоз-

буждени ия

нелин

ГЛАВА 7

ВОЗНИК

а

р

методами

атриваемой системы, выразившееся в виде перехода к хаотическим со

елями Ляпунова λ>0 и последующим р

7.1. Цикл реакций, проходящих в системе саркомер–раствор.

Рассмотрим следующую задачу: саркомер находится в растворе, к ко-

торому добавляют АТФ. В этой системе идут химические реакции, однако

внешних периодических воздействий нет. Эксперимент [38] свидетельствует

о том, что про прошествии некото

д

я, который проявляется в виде самопроизвольного возникновен

ейных колебаний в процессе релаксации к первоначальному состоя-

нию. К сожалению, в настоящее время отсутствует какая – либо математиче-

ская модель, которая могла бы описывать все стадии данного процесса. В

данной работе рассмотрен цикл реакций в растворе с участием АТФ и сарко-

мера по следующей схеме:

210 22 XXX ↔+ , (a1,a1/ ) (7.1)

432 22 XXX +↔ , (a2,a2/ ) (7.2)

532 XX ↔ , (a3,a3/ ) (7.3)

65 XX ↔ , (a4,a4/ ) (7.4)

6 , (a5,a5 ) (7.5) /97 2XXX +↔

, (a6,a6 ) (7.6) /806 22XXX ++↔ 9X

134

807 2XXX +↔ ,

где – актинмиозиновый ко

(a7,a7/ ) (7.7)

мплекс, ATPX =1 , ATPMX .2 = – комплекс AMX =0

молекулы АТФ, – комплекс миозина, молекулы АТФ миозина и MX .3 = iPADP.

и – фосфора, += HX 4 ион водорода, iPADPAMX ..5 = , iPADPAMX ..6∗= ,

ADPAM .∗X 7 = , ADPX =8 , iPX =9 – фосфор. В скобках указаны константы

прямой и обратной реакции соответс

Предп .2) и (7.6), описанн

о. Учитывал

кле нами учтен также участие 2

“головок” миозина в реакциях (7.1) – (7.3) и (7.5) – (7.7), что должно обу-

славливать возникновение в кинетических уравнениях квадратичных членов.

реакций, в которых участвуют

твенно.

олагалось, что реакции (7.1), (7 ые в работе

[37], протекают не мгновенн ось также, что реакция (7.6) идет па-

раллельно с реакцией (7.5). В данном ци о

В результате модель стала содержать 7

10 веществ. Этими реакциями описываются следующие процессы:

(1) – присоединение АТФ к “головкам” миозина с образованием АТФ–

миозинового комплекса;

(2) – гидролиз ATPM . с образованием iPADPM .. комплекса и ионов +H . Ионы

водорода в дальнейшем уходят в водную среду;

данной

ки активной конформации миозина ;

ас

миозина производит тя-

(наряду с

, а на

ел

(3) – образование из комплекса iPADPM .. вещества iPADPAM .. . В ходе

реакции происходит продвижению головок миозина к актину;

(4) – образование энергетичес iPADPAM ..∗

(5) – изменение конформации легкой ч ти миозина, которое происходит при

распаде iPADPAM .. на ADPAM . и iP (“головка” ∗ ∗

нущее усилие);

(6) – описывает распад iPADPAM .. на соответствующие продукты∗

(5)). При распаде происходит мгновенное выделение энергии меха-

ническом уровне “головки” миозина производят тянущее усилия;

(7) – распад ADP с выд ением ADAM .∗ P (выделяется энергия).

Эти реакции служат основой для написания кинетических уравнений.

135

уравнения

– (7.7),

к

7.2.Кинетические и результаты их численного решения.

Используя закон действующих масс и принцип макроскопической обратимо-

сти [3], можно записать кинетические уравнения для реакций (7.1)

приведенные безразмерному виду ( 00 ,/ tttt ≡ - масштаб времени – свободный

ществ

i = 0,…,9) со временем в объеме:

параметр) и определяющие изменения приведенных концентраций ве

cii xx /~

≡ ( единичном x

2806

2876

29

280767

2101

221

0 )()()()()()( xxkxxkxxxkxkxxkxkdt

dx ′−+′−+−′= ,

2101

221

1 )()( xxkxkdtdx

−′= ,

2342

222

2101

221

2 )()()()( xxkxkxxkxkdt

′+−+′−= , dx

234353

2342

222

3 )()()( xxkxkxxkxkdx

−′+′−= , dt

234353

2342

222

4 )()()( xxkxkxxkxkdt

dx−′+′−= ,

2343536454

5 )(xxkxkxkxkdt

dx+′−′+−= ,

29

280767

2975656454

6 )()()( xxxkxkxxkxkxkxkdt

dx ′+−′+−′−= ,

2806

2876

297565

7 )()()( xxkxxkxxkxkdt

dx ′+−′−= ,

2806

2876

8 )()( xxkxxkdt

dx ′−= ,

29

280767

2806

2876

297565

9 )()()()()( xxxkxkxxkxxkxxkxkdt

dx ′−+′+−′−= ,

где и – приведенные константы скоростей реакций (i = 0,…,9), xc –

масшт б концентраций. В системе уравнений для приведенных величин кон-

станты реакций ki и

ik

а

ik ′

скоростей ik ′ связаны с константами ai и выражениями:

, , ,

,

ia′

2011 cxtak = 2

033 cxtk = 055 tak =a

cxta 01′k1 =′ 033 tak ′=′ , ,

,

205 cxtak =′ 5′

, , 2xtak =c02 044xtak 2= tak = 066 c

2022 cxtak ′=′ , 044 tak ′=′ , 2

066 cxtak ′=′ ,

077 tak = , 407 xtak ′ . 7 c=′

Значение x ся как м значен кон-

центрации. Дл ения н ему уравнений

dxi/dt=0.

Таким обр систе ых уравнений,

которую требуется решать при заданных начальных условиях. Для уравнений

1–2 (реакция (7.1)) задаются начальные условия, для остальных веществ кон-

цент

ки равновесия. Приравнивая правые части системы кинетических

c определяет аксимальное возможное ие

я его нахожд еобходимо решить сист

азом, получена ма однородных нелинейн

рация в начальный момент времени равна 0, так как они не участвуют в

этой реакции. Доказывается теорема о задаче Коши для данной системы.

Точ

уравнений к нулю, получаем следующие точки равновесия:

1) xi=0 (i = 0,…,9);

2) x0=C1,

136

1321

33211 Ckkk

Ckkkx

′′′= ,

32

3322 kk

Ckkx

′′= ,

23

333 Ck

Ckx

′= , x4=C2, x5=C3, 3

4

46 C

kk

x′

= , x7=C4,

2⎞⎛ ′′ Ckk

M,VTT ++−x =8

6

165⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=k

T ,46

176

CkM = ,

22 Ckk ′′

446

7510764

CkkV

′= ,

2 )(4 kkCCkkk +′′

76

8069 xk

x = , 2xxk ′

32 kC = 3

3

3 C , где C1, C3, C4 – произвольные константы.

ьные константы вводятся а счет нел

нений. Таким образом, кроме постоянной точки равновесия, получена еще и

блуждающая точка которая зависит от констант C1, C3, C4.

Численные решения. Решая полученную систему численными мето-

дами, были лучены сл ается по-

сле выделения

k ′

Произвол з инейность кинетических урав-

,

по едующие результаты. Полный цикл заверш

ADP . Принимая во внимание, что весь процесс, составляет 80

елаксация сарко-

мера

мс [11], получаем масштаб времени t0=1.6 мс.

На рис.7.1а. можно выделить 3 участка, отвечающих механике сокра-

щения саркомера: 1 – процесс сокращения саркомера; 2 – р

к стационарному состоянию; 3 – процесс “дрожания” саркомера. При

137

лено, что не весь АТФ расхо-

дуется

к невозбу

расщеплении iPDPA . , реакции 7.5 и 7.6, происходит релаксация саркоме-

ра, а также процесс самовозбуждения. Установ

AM .∗

на конформацию головок миозина и на полимеризацию актина (см.

рис.7.1б.). Концентрация ионов водорода возрастает до определенного мо-

мента времени. Часть ионов связывается с АТФ [16,28], что ведет к релакса-

ции саркомера жденному состоянию (рис.7.1а. участок 2). В модели

В.И. Дещеревского [24] отсутствует участок 3, представленный на рис.7.1а.,

и наблюдающийся в экспериментах [38], а участки 1 и 2 соответствуют тя-

нущим и тормозящим усилиям при сокращении саркомера.

Рис.7.1. Зависимость концентраций веществ AMX =0 (

времениt≡t/t ,t =1.6мс.а), б) от

0 0

ATPX =1 (019.11 =k , 049.02 =k , 711.23 =k , 00059.04 =k , 015.05 =k ,

1.86 =k , 21.17 =k , 1. , 01.02 =′k01 =′k , 3.33 =′k , 01.04 =′k , 5 10=′k , 6 =′k 7 , 1.07 =′ . k

На рис.7.2. представлены графики самовозбуждения веществ

, i 7PADPAM ..6∗=X ADPAMX .∗= , ADPX =8 , iPX =9

рис.7.2. состоит из 3 ст стадия п те

к а

. История процессов на

д ьное нелинейное измене-

мс стадия – начало самовозбу-

частотны пульсации периодические движения

(1.6

адий: 1

онцентр

высоко

ра

еустойчивости

– ре

ций (73.6

е

роцесса

вари л

); 2

и

мс). Т

ние соответствующих

ждения, содержащие

(4.8 м с

рые приводят к

с); 3 тадия – звитие неустойчивых низкочастотных пульсаций, кото-

н п аким образом, в теорети-

ческой модели обнаружена 3 стадия очень малой длительности, которая не

могла быть обнаружена в эксперименте [11]. На стадии релаксации саркоме-

ра наблюдается самопроизвольное возникновение нелинейных колебаний.

Как видно из рисунков, самовозбуждение в системе происходит после выде-

ления ADP . В свою очередь это ведет к началу процесса релаксации саркоме-

ра в растворе, т.е. отсоединение “головок” миозина от актиновых нитей и

возвращение их в начальное положение.

t

x0

3

1 2

3 а

x

t

б

1

138

Рис.7.2. Зависимость концентраций веществ а), б), в),

x

x

6

7

t t

x8

а

в

x9 1 2 3

б

г

iPADPAMX ..6∗= (

ADPAMX .7∗= ( ADPX =8 ( iPX =9 (г) от времени t≡t/t0 вре-

менной ход реакции без самовозбуждения, 2 – самовозбуждение, 3 – выход а стационарное значение. Параметры взяты с рис.7.1.

Показатели Ляпунова. Анализ хаотических и регулярных процессов в

нелин разности траекто

и определени азателей унова

8].

, t0=1.6 мс. 1 –

н

ейных системах обычно начинается с построения рий

я пок Ляп λ. Показатели Ляпунова λ дают инфор-

мацию о расходимости двух соседних по начальным условиям траекторий

[1

Зная начальное расстояние между двумя траекториями (δx)0, очень не-

значительно отличающимися друг от друга, а также значения расстояние

)()()( txtxtx ″−′=δ в любой момент времени t, можно определить показатель

Ляпунова λ по выражению: )exp()()( 0 txtx λδ=δ . Время забывания начальных

условий tr вычислялось по формуле:

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

μδ

λ= ln1 xtr ,

ль Ляпунова,

⎠⎝ 0

где λ – показате xδ – среднее значение концентрации, которое

образовалось за промежуток еличения начального значения время tr путем ув

139

ок огрубления фазового пространства.

Данная формула формулу Г. Заславского [8] при

концентрации (δx)0, 00 )( xδ=μ – поряд

переходит в 1=δx .

Рис. 7.3. а) между двумя соседними траекториями концен-рации фосфора симости от времени

аt

δx9 Sx~ω-5/2

аб

9xδ

tr

Расстояние в завит iP 0/ ttt ≡ . μ0=9·10−7, 376.09 =δx ,

=8.14 мс-1, tr=1.3 t0=1.6 мс. б) Зав ь спектра пульсаций онцентрации x4 ) ыλк

мс, tr≡tr/t0, от частот

исимост (Sx ω с параметрами

Таблица 7.1

й

рис. 1.

Вещество Показатель

Ляпунова λ, мс

–1

Время забывания

начальных услови

tr , мс

AM 7.51 1.4832

ATP 8.76 0.9952

iPADPAM ..∗ 8.20 2.5456

iP 8.14 1.2880

ADPAM .∗ 8.76 2.8032

ADP 7.61 1.3440

На рис. 7.3а. приведен менение ра я между двумя траекто-

риями концентрации фосфор во времени ано время tr . Описывае-

мый хаос является детерминированным [16] . 7.3б. изображен спектр

пульсаций концентрации x4 частоты

о из сстояни

а (x9) и указ

. На рис

от ω . Полученный спектр является

сплошным, и во всей области изменяется по закону ~ω-5/2. Он превышает

48 ω,c-1

140

хорошо известный колмогоровский спектр ~ 3/5ω− , который наблюдался в раз-

витой турбулентности.

В таблице 7.1 приведены показатели япунова λ и времена забывания

начальных условий tr для веществ AM , AT

Л

P , iPADPAM ..∗ , ADPAM .∗ , iP , ADP при

указанных выше начальных условиях. Описываемая система характеризуется

большими значениями показателей Ляпунова 8.85.7~ ÷λ мс-1, а также малы-

ми вр

чен я в ериментах А. Хи а 11]

омплек

-

ваемо

k - номер итерации при численных расчет

еменами забывания начальных условий. Полученные времена примерно

одного порядка со временами укоро и э лл [ .

Псевдофазовые портреты. На рис.4. представлены пседофазовые

портреты для концентрации актинмиозинового са, которые характе-

ризуют зависимость каждого последующего значения концентрации от пре-

дыдущего с шагом Δ: )( 00kk xfx =Δ+ . Все кривые исходят из состояния, зада

ксп

к

ах.

го начальными условиями.

ис.7.4. Псевдофазовые портреты для актинмиозинового комплекса

10

+kx 10

0+kx

б

а

kx0

РAM ;

kx0

1000

+kx

в

141

ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА

СКЕЛЕТНЫХ МЫШЦ ЧЕЛОВЕКА С ГОМО- И ГЕТЕРОГЕННЫМ

ХАОСОМ

Иссле при

ра -

зированию является одним из бур щихся направлений в таких об-

астях науки как биомеханика медицинского приложения, биофизика, меди-

цинск

роко используется метод электрофизиоло-

гичес

ГЛАВА 8

дование особенностей двигательной активности человека

зличных патологиях применительно к решению проблем техники и проте

но развиваю

л

ая физика, ортопедия. Л. Гласс и М. Мэки предложили для болезней,

характеризующихся аномальной временной организацией, название динами-

ческих болезней В последние годы динамические болезни – постоянный

предмет исследований специалистов в области нелинейной динамики [27].

Многими авторами высказывалась мысль о том, что режимы хаотических ко-

лебаний в сложных физиологических системах более применимы для их су-

ществования, чем периодические.

Биомеханика обладает значительным арсеналом методов исследования

локомоторной функции, как в статике, так и в динамике, что дает возмож-

ность выявить целый комплекс параметров, характеризующих двигательный

образ. В клинической практике ши

кого исследования нервно – мышечного аппарата, такой как электро-

миография (ЭМГ). Этот метод, основанный на регистрации биопотенциалов

периферических нервов и мышц, позволяет проводить исследование функции

и диагностику уровня поражения периферического нейромоторного аппарата

[39]. Анализ ЭМГ в двигательном акте включает оценку формы, амплитуды,

частоты следования и длительности потенциалов действия отдельных мы-

шечных волокон двигательных единиц [40]. Амплитуда колебаний измеряет-

ся в микровольтах (мкВ) или милливольтах (мВ) между наиболее высокой и

наиболее низкой точками электрографической кривой (от пика до пика).

Длительность потенциала электрической активности в течение двигательного

142

тель Ляпунова и время за-

быван

е у

е

,

аотичности, полученных для больных

и здор

возникает не из-за внеш-

них источников шума и не из-за бесконечного числа степеней свободы био-

кинематических п ределяется

свойс

цикла измеряется от начального отклонения до возвращения его к изоэлек-

трической линии, включая все фазы колебания.

С точки зрения нелинейной динамики основной измеряемой характе-

ристикой согласованности работы мышц является расстояние между двумя

траекториями потенциала симметричных одноименных мышц нижних ко-

нечностей человека. По ним определяется показа

ия начальных условий, что отражает хаотическую в общем случае

динамику мышечной активности. К достоинствам данного метода оценки

относятся количественное представление характеристик нелинейно-

динамических параметров электромиографической активности мышц, на-

глядное представление результатов, высокая прогностическая информатив-

ность определения показателей Ляпунова и энтропии Колмогорова. В то же

время эти р зультаты подтверждают важнейш ю роль нелинейного баланса

системы в аспекте нормы и патологии.

Была выдвинута гипотеза, что естественное возбуждение и сокращени

мышц во время двигательного акта, в том числе и у здорового человека, про-

являют черты детерминированного хаоса. Результаты дальнейшего анализа

показали, что значения характеристик х

овых пациентов, оказываются различными.

8.1. Основные нелинейные характеристики.

Наблюдаемое во времени хаотическое поведение естественного возбу-

ждения, и сокращения мышц в двигательном акте

ар. Настоящая первопричина нерегулярности оп

твом нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первона-

чально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства.

Положим, что Δδ0 − мера начального расстояния между двумя исходными

точками электрического поверхностного потенциала, снятого соответственно

с левой L(n) и правой R(n) одноименных мышц конечностей человека. “Рас-

стояние” между двумя расчетными соседними траекториями определяется

величиной: Δδn )()( nRnL −= , где

L(n), R(n) – соответствуют значениям потенциала одноименных мышц левой

и правой конечностей; “расстояние” между двумя расчетными соседними

траекториями измеряется в милливольтах (мВ). Введем время забывания сис-

темой начал r. За tьных условий t малое время ≤ tr расстояние между траекто-

ш

риями L(n) и R(n), выходящими из этих точек, становится равным:

Δδn=Δδ0exp(λt), где λ − показатель Ляпунова. Для определения tr воспользу-

емся выражением (4.10). Одна из фазовых траекторий сдвигалась относи-

тельно другой траектории таким образом, чтобы для начального условия ка-

ждой траектории задавалось значение μ0=10−2÷10−8 мВ в достаточно ироком

интервале.

Для отображений K0=λ (энтропия Колмогорова равна положительным

значениям показателя Ляпунова ), δΔ – среднее значение флуктуаций при t ≥

tr. Для независимых стохастических процессов K0 ∞→ . Отметим, что по-

следнее очень важно в анализе классификации различных патологий. Поэто-

му в з

я

λ характеризует наклон кривой

адачу данной работы входило определение энтропии Колмогорова как

функции показателей Ляпунова дл различных групп пациентов, включая

группу нормы.

Одной из основных характеристик хаотических пульсаций является

показатель Ляпунова λ, а численный расчет расстояния между траекториями

согласно [27] дает эволюцию расстояния между двумя изначально близкими

траекториями. Параметр )δ(tΔ в логарифми-

ческо

о пов

также соответствующие фазовые портреты этих процессов (рис. 8.1 b, d). Из

м представлении к значениям времени tr. Экспоненциальную расходи-

мость – сходимость фазовых траекторий системы также оценивают с помо-

щью показателей Ляпунова.

На рис.8.1 представлены результаты динамическог едения сокра-

щения мышц при ходьбе для “нормы” (рис. 8.1а) и патологии (рис. 8.1 с), а

143

144

рмы ведет себя регулярно, хотя и наблюдаются

хаоти

рис. 8.1 а сразу следует вывод о том, что в отличие от величин L(n) и R(n)

(рис.8.1) величина Δδn для но

ческие пульсации большой частоты.

В течение первых 0.5с показатель Ляпунова λ=0 – соответствует ней-

трально устойчивому режиму системы (мышцы) с хаотическими пульсация-

ми. Через 0.5с начинается резкий рост расстояния (продолжительностью

приблизительно 0.5с), где показатель Ляпунова λ≈5.7 (tr=0.386 с), следова-

тельно, движение динамической системы неустойчиво, а область фазового

прост

,

ранства является ограниченной, т.е. процесс полностью детерминиро-

ван. Отмеченные на рисунке положительные значения λ>0 указывают на

хаотическое поведение поверхностного потенциала в начальной фазе каждо-

го периода, а именно на детерминированный хаос так как значения потен-

циала не являются случайными, а обусловлены нелинейными физиологиче-

скими процессами, происходящими в мышце.

Показания, отражающие зависимость nδΔ от времени t для нормы (а) и

нервно-мышечной патологии (с); фазовые портреты естественного возбужде-

ния мышц во время двигательного акта, для нормы (b) и для пациентов с

нервно – мышечной патологией (d).

При патологии (рис. 8.1c) нейтрально устойчивый режим имеет боль-

шую длительность (~0.9с), для него показатель Ляпунова равен нулю (λ=0).

По истечению этого времени происходит резкий скачек (продолжительно-

стью 0.01с), для которого показатель Ляпунова становится очень большим

(стохастический режим) λ≈25c−1 (tr=0.145 с). Можно предположить, что это

связано с разгрузкой мышечного аппарата ноги в результате уменьшения ее

опороспособности, ограничением движений в суставах по амплитудным и

скоростным параметрам или недостаточным натяжениям мышц после раз-

личных оперативных вмешательств.

10 10

145

Рис. 8.1. Сопоставление динамики расстояния )n(R)n(LΔδn −= между двумя расчетными траекториями потенциала мышц правой и левой конечно-стей с фазовыми портретами при естественном возбуждении и сокращении мышц в двигательном акте на примере . Gastrocnemius.

интерес представляет рис. 8.2, отражающий результаты анали-

го контингента испы-

туемы

Особый

за по всем больным и здоровым пациентам. На основе полученных независи-

мых значения показателя λ и времени забывания начальных условий tr, рас-

считанных по всем семи парам мышц для исследуемо

х, можно выделить четыре диапазона значений, два из которых (I и III)

характеризуют четко выраженные патологии при λ≈0.8÷4.9 и λ>5.8 с−1. По-

следние соответствуют значениям групп больных с повышенной и понижен-

t,с

Δδn, мВ

0 2 4 610 4

10 3

0.01

0.1

1

(а)

tr Норма

50 0 5010

4

103

0.01

0.1

1

(b)

Норма

Δ*

δ (t) мВ/с

мВ

Δδn, мВ

Δδn,

0 2 4 610 4

10 3

0.01

0.1

1

10

λ>0

(c)

Патология

50 0 5010

4

103

0.01

0.1

1

10(d) λ>0

t,с

Патология

Δδn, мВ

Δ*

δ (t) мВ/с

ной чувствительностью мышц (на рисунке это AB и FN кривые). Причем

важной количественной характеристикой является тот факт, что чем λ>5.8,

тем более поврежденной является мышца. На рис. 8.1 c это отображено рез-

ким значительным скачком Δδ на два порядка (с 0.01мB почти до 1 мВ) за

0.01 секунды в отличие от “нормы”. Это говорит о наличии режимов хаоти-

ческих колебаний в этой сложной динамической системе, которая проявляет

черты детерминированного хаоса.

0,10

1,00

tr, c

a

146

Рис. 8.2. Зависимость времени забывания начальных условий tr от по-казателей Ляпунова в логарифмических координатах для пациентов с нор-мой (CD) и различными патологиями (AB), (FN) и (NM) (a). Зависимость нормированной энтропии Колмогорова от показателя Ляпунова для указан-ных областей (б).

λ

0,1 1,0 10,0 λ, c−1

A

II I III

B

С

N M

F D IV

Норма

0,01

0,1

1

10

100

K

0,1 1 10 λ, c-1

I

II

III IV

Норма

б

147

Полученные значения, соответствующие “норме” (II), представляют собой

интервал значений (5.0÷5.7) с−1, в этом случае время забывания начальных

условий изменяется в пределах от 0.337÷0.5 с (Таблица 8.1).

При λ≥17 и tr≈0.145 c сокращение мышц является стохастическим про-

цессом (линия NM, где λ

λ≅

∞→

начальные

во

для

варьированием

), при котором мышечные волокна практически

сразу ”забывают” свои условия. Сами двигательные акты при

этом нескоррелированы времени и полностью независимы. Вывод этот

является интересным ортопедии. Данные группы (II), относящиеся к

“норм

ходьбы, темпом, позовых характеристик человека и тем, что

ателя Ляпунова

λ 5.

е” (CD) и с возрастанием времени забывания начальных условий пока-

затель Ляпунова тоже возрастает. Это обусловлено нагрузкой, огромным ко-

личеством степеней свободы данной системы, привычным стереотипом

при локомоциях для здоровой мышцы существует нейтрально устойчивый

режим передачи сигнала по цепочке “двигательная клетка – периферический

нерв – мышца”. Для нормы изменение значений показ

≅ ( 0÷5.7) с−1 и времени забывания tr ≅ (0.337÷0.5 с) в пределах интервалов

обусловлены индивидуал активностью мышц.

Границу между областями I,II и III в последующем следует уточнить.

В таблице 8.1 приведены динамические закономерности и пределы

времени забывания начальных условий tr c и показателей Ляпунова λ с−1 для

различных групп пациентов. Приведена также нормированная на константу

ϕ энтропия Колмогорова

ьной

000 Κϕ

=Δ

Κγ

=μδlntr , (8.1)

и пределы ее изменения для каждой группы.

Как это хорошо видно из таблицы нормальные двигательные акты (от-

сутствие патологий) характеризуются малыми значениями энтропии Колмо-

горова – это очти периодические движения с хаотическими пульсациями

(K`0~0,08). Таким образом периодическое движени

п

е (островок устойчивости

148

тиче-

ские

Таблица 8.1 Динамические законы и энтропия Колмогорова двигательных ак-

тов при ходьбе для пациентов с нормой и птам)

Харак

Патология Норма II

Патология III

Патология IV

для двигательных актов) имеет место когда 00 →Κ` ; ∞→Κ`0 − стохас

(независимые во времени) двигательные акты. Энтропия Колмогорова

имеет дробную размерность.

атологиями (по 30 пациен-

I теристики (AB) (CD) (FN) (NM)

Динамический закон

ных условий t c и

-1

и пределы времени забывания началь-

r показателей Ляпуно-ва λ , с

7.0/4.1 λ=rt2÷0,48 0,8 ÷ 4,5

5.118.0 λ=

rt0,267÷0.628

5÷6

6.1/14 λ=

rt 0,145÷0,796

6÷17,6

tr

≤ 0.145 λ≥ 17,6

Нормированная эн-тропия Колмогорова

ϕ=Κ /K`0 и пре-

70.`

I λ=Κ 0,7÷2,9

511 .`

1

II / λ=Κ 61.`

0,068÷0,089

III λ=Κ

17,6÷93,0

K>93 делы ее изменения

Фазовым портретом в данной задаче будем называть зависи-

мость )(δ tΔ от скорости изменения величины *

)(δ tΔ . Применяя алгоритм по-

строения фазовых порт пол н

в в определенные фазы ого а с хаот й

редста лены на рис 8.1 Из рисунков видно что

ой существует две зоны притяжения при ≈ и

е атт ся

, в отличие от патологии, так как в норме он характеризуется почти

оками и одного аттрактора в другой Фазовый орт-

рет имеет ф

в с нервно – мышечной патологией, ичие от пациен-

тов с (в норме ~0.1мВ), вторая область притяжения (“шляпка

ретов, были учены следу

орн

b ,d.

рм

ющие типич ые зависи-

мости аттракторо локомот цикл ическо

динамикой, которые п

для пациентов с норм

вторая при nδΔ ≈0.02

странным

в . ,

nδ 0.1мВΔ

мВ. При показаниях в но рактор не являет

периодическими переск

орму “гриб

Для пациенто

з . п

а”.

в отл

нормой nδΔ

149

гриба В О

кото ия

”) лежит при nδΔ ~1 м ,. тличием от нормы так же является “ножка

гриба”, рая при патологии достигает значен nδ Δ ~0.007, тогда как при

норме это значение составляет nδΔ ~1мВ.

При сопоставлении полученных данных фазовых портретов и графиков

показателей Ляпунова, было обнаружено, что информативностью также об-

ладают сами значения Δδn, а также то, что при расчете показате Ляпунова

можно выделить следующие значения:

Δδn≈0.007 мВ – “длительность” процесса возбуждения мышечного во-

локна, которое при достижении порогового значения распространяется по

всему мышечному волокн

ля

у (у здоровой мышцы характеризуется временем

T≈0.5

ий”

ружено, что параметру также соответствует времени, через ко-

торый поврежденная мышца “ ывает” свою нагруз-

ку на

го зн

ослабленная

секунды, у больной до Т≈1 секунды);

Δδn≈0.1 мВ – “рабоч режим мышцы при норме;

Δδn≈1 мВ – “рабочий” режим при патологии.

При сравнении расчетных данных с эксперим альными было обна-

r

ент

промежуток

переклад

ачения

t

или

здоровую функционирующую мышцу.

О необратимости описываемых физических процессов говорят и псев-

дофазовые портреты, представленные на рис. 8.3. На рисунках приводятся

зависимости каждого последующе Δ+= nn L)L(f и

от предыдущего задержкойΔ+nn = R)R(f с =Δ 1, 10, 100

[11].

ной

симо

для обеих мышц. В

ержки

олее размытой, хотя

по-пр достаточно сложным

образ

а зави сть становится более

нелинейной динамике псевдофазовые портреты говорят о временной корре-

ляции событий в зависимости от времени зад

С увеличением задержки зависимость становится б

ежнему детерминированной и детерминирован

ом. При показаниях, соответствующих “норме”, псевдофазовый портрет

практически не меняется и с каждым шагом расчета зависимость скоррели-

рована во времени в малой области (рис. 8.3 а). А при показаниях, соответст-

вующих патологии, с каждым шагом расчет

150

размы

п чт е могут быть усп н

применены в их

той и принимает форму “бабочки” (рис. 8.3 b). Патология, таким обра-

зом, характеризуется мало выраженной временной скоррелированностью.

Исследования оказали, о псевдофазовы портреты еш о

анализе электромиографическ сигналов, характеризуя сте-

пень тяжести заболевания.

Рис. 8.3. Типичные псевдофазовые портреты зависимостей каждого по-следующего значения потенциала мышц левой и правой конечностей от пре-дыдущего значения с шагом n ( Δ =1,10,100) на примере m. biceps fem. (а) – показания, соответствующие норме; (b) – показания для пациентов с нервно –

й патологией.

8.2. Базовая модель.

Рассмотрим простую задачу, в которой период центрально–

запрограммированного возбуждения мотонейронного пула име две зоны:

мальной и умеренной активности. Вв м в рассмотрение энергетиче-

потенциальную функцию, отражающую в себе нелинейность процес-

происходящих в мышечных волокнах. Для этого рассмотрим изменения

электрической активности

мышечно

макси

скую

сов,

ет

еде

Α в мышце в единицу изменения времени в виде

полинома третьей степени. Последнее язано с тем, что именно полином

третье

св

й степени при соответствующем выборе знаков у параметров даст нам

1 0 12

0

2

L n 1+( )

L n( )1 0 1

2

0

2

L n 10+( )

L n( )1 0 1

2

0

2

L n 100+( )

L n( )

1 0 12

0

2

R2 n2 1+( )

R2 n2( )1 0 1

2

0

2

R2 n2 10+( )

R2 n2( )1 0 1

2

0

2

R2 n2 100+( )

R2 n2( )

Ln+1 Ln+10 Ln+100

Ln

Rn

Ln Ln

Rn Rn

Rn+1 Rn+10 Rn+100

(а) (а) (а)

(b) (b) (b)

два устойчивых состояния режима работы и один неустойчивый. Учитывая

это, скорость изменения электрической активности мышцы можно записать в

151

иде нелинейной функции Αв , аналогично (2.4):

AkAkAk HkdtdA

3−= , (8.2) 421

где

32 +−+

ik – некоторые параметры задачи ( i = 1, 2, 3, 4), выбор знаков у ik свя-

зан с наличием двух устойчивых состояний; H - «внешнее» управляющее по-

ле. Введем η ** ΑΑ 0−= , CAAA /* = , cAAA /0*0 = , где А* – приведенное зна-

чение; АC – значение в некоторой критической точке. Уравнение (8.2) сведем

к каноническому виду (2.5) де а*, b* – канонические управляющие парамет-

ры, представленные выражениями: а* )1(32*

0 −−= A ,

***

, г

SHHb +−= , 3*0

*0

* 23 AAHS −= , CHHH /* = .

Рис. 8.4. Вид потенциальных функций электромиографического потен-циала скелетных мышц нижних конечностей человека на примере m. tibialis; (а) – для случая нормы; (b) – показания для пациентов с нервно – мышечной

патологией.

Управляющий параметр а* – характеризует исходный уровень активно

зависящий от нагрузки на мышцы правой и левой конечностей; b* – ха

рактеризует кривизну возрастания электрической активности мышц, завися

от «внешнего» управляющего поля H* и внутреннего самосогласованно

-

сти, -

-

щую -

го поля , темпа ходьбы, и отражает увеличение мощности супраспиналь-

A B

2 0 2

0

*SH

0.2

η

(a)

-0.1

F(η)

η 2 0 2

0.1

0

0.2(b)

152

ных влияний. Из уравнения (2.5) можно получить выражение для потенци-

альн у в виде (2.6).

В данной задаче безразмерная потенциальная функция отра-

жает энергетическую зависимость средней амплитуды лектрической актив-

ности мышц нижних конечностей в течение цикла от параметра порядка и

управляю параметров. Ее вид азличен нормы и патологии (Рис.8.4).

ой ф нкции

),,η( ** baF

э

щих р для

153

ЛИТЕРАТУРА

1. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: ИЛ, 1960. -127 с.

2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1973. -511 с.

3. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. -342 с. 4. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Соровский

образовательный журнал.N 8,1996. С. 109-116. 5. Эткин В.А. Термокинетика (термодинамика неравновесных процессов

переноса и преобразования энергии): Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., - Тольятти, 1999.- 216 с.

6. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1974.-304 с. 7. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир.. 1984. T.1. -350 с. T.2.-

285 с.8. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-

270 c. 9. Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем. Учебное пособие. Екате-

ринбург: Изд-во Урал. университета (гриф УМО). 2007.- 120 с. 10. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976.-447 c. 11. Рубин А.Б. Биофизика. T.1. -.448 c. T.2. -467 c. М.: Книжный дом «Уни-

ерситет», 1999. 12. Семенченко В.К. Вступительная И.Дьярмати Неравновес-

ная термодинамика. М.: Мир, 1

ика

каналы / под ред. Чизмаджева Ю.А., 1981.

в статья к книге

974. С.5-19. 13. Ландау Л., Лифщиц Е. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука. 1976. – 583

c.

14. Кеплен С.Р., Эссиг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необра-тимых процессов. М.: Мир, 1986. -382 c. 15. Быстрай Г.П. Шилин Г.Ф. Макаров Л.В. Неравновесная термодинампроцессов горного производства. Недра, 1991.- 120 с.

16. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир. 1988. -240 с. 17. Быстрай Г.П., Ворох А.С., Андреев С.В. Детерминированный хаос в динамике тока одиночных ионных каналов биомембран. Биофизика. 2005, т.50, вып.5, с.851-861. 18. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.-368 c.

19. Гладышев Г.П. Термодинамика и макрокинетика природных иерархиче-ских процессов. М.:Наука 1988.-287 с. 20. Николис Г. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир. 1979. С. 350. 21. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока// ДАН СССР, 1941 г., т. 32, №1, с. 22−24. го потока// ДАН СССР, 1941 г., т. 32,

1№ , с. 22−24. 22. Murray J.D. Mathematical Biology. Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New

York. London. Paris. Tokyo. 1984.- 760 c. 23. Мембраны: ионные

154

Nagornyak Е., Blyakhman F., Pollack G.H. Effect of sarcomere length on

ромиографических ис-

рядка//Вестник кибернетики. № . ИПС СО РАН 2007.

. М.: Наука, 1965.-204 с.

тем// Известия Уральского государственного университе-

гр. и геофизика. 1949. Т.13. С. 58-69.

атгиз, 1963. mon Press,

В. Антина, Химические основы жизни. 2007. М.: Химия,

, M. Suzuki and others, Biophysical Journal V.93, 4330

Н. Т.167, N 10. C.1095 офизи-

24. Дещеревский В.И. Математические модели мышечного сокращения. М.: Наука, 1977. -160 с.

25. Волькенштейн М.В. Биофизика. М.: Наука, 1988. – 592с. 26.

step size in relaxed rabbit psoas muscle// Journal of muscle research and cell motil-ity. 2004. V. 25. P. 37-43.

27. Быстрай Г.П., Богинич А.В., Шкляр Т.Ф. Хаотическая динамика поверх-ностного потенциала скелетных мышц человека электследованиях// Биофизика. 2007. Т., вып. С.

28. Быстрай Г.П., БогиничА.В. Термодинамика многоядерных клеток: Сис-темное моделирование самоорганизующегося саркомера с хаотической ди-намикой параметра поС.

29. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы и движение. М.: Мир.1970.-256 с. 30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости31. Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Судьба одного подхода к изучению

наследственных систа. 2004. №32. С. 12-24.

32. Обухов А.М. Структура поля температуры в турбулентном потоке // Изв. АН СССР. Гео

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988.-733 с. 34. Хинце И.О. Турбулентность. М.: Физм35. Meksyn D. New methods in laminar boundary layer theory. Perga

London, 1961. 36. Е.В. Румянцев, Е.

КолоС. 37. V.B. Siththanandan, J.L. Donnelly, M.A. Ferenczi, Biophysical Journal V.90,

3653 (2006). 38. Y. Shimamoto, F. Kono

(2007) 39. Гехт Б.М. Теоретическая и клиническая электромиография. Л., 1990. -

229c. 40. Водолазский Л. А. Основы техники клинической электрографии. М., 1986.

- 270c. 41. Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса //

УФ42. Казаченко В.Н., Кочетков К.В., Асланиди О.В., Гриневич А.А // Би

ка. 2001. Т.46, вып.6. С. 1062-1070. 43. Федер Е. Фракталы. М:Мир, 1991.- 262 с.