Л.А. Внукова, О.А. Дерябина, Н.Н. Егорова, Е.В ...bek.sibadi.org/fulltext/ED1944.pdfПредставление чисел в позиционных системах

48

Л.А. Внукова, О.А. Дерябина, Н.Н. Егорова, Е.В. Селезнева

ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

49

Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

Л.А. Внукова, О.А. Дерябина, Н.Н. Егорова, Е.В. Селезнева

ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Учебно-методическое пособие

Омск Издательство СибАДИ

2006

50

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………………………………... 3 Раздел 1. Представление числовой информации……………………………………. 4

1.1. Понятие о системах счисления. Основные определения……………….. 4 1.2. Представление чисел в позиционных системах счисления…………….. 5 1.3. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления и обратно…... 6 1.4. Арифметические операции в позиционных системах счисления……… 10

Практические задания…………………………………………………………. 11 Самостоятельная работа……………………………………………………….. 12

Раздел 2. Измерение информации……………………………………………………. 21 2.1. Основные сведения………………………………………………………... 21 2.2. Алфавитный подход к измерению информации………………………… 21

Практические задания…………………………………………………………. 22 2.3. Содержательный подход к измерению информации…………………… 23

Практические задания…………………………………………………………. 24 2.4. Вероятностный подход к измерению информации……………………... 24

Практические задания…………………………………………………………. 26 Самостоятельная работа………………………………………………………. 26

Раздел 3. Основы логики и логические основы компьютера…………………………. 33 3.1. Алгебра высказываний. Логические выражения и таблицы истинности 33 Практические задания…………………………………………………………. 36 3.2. Логические формулы……………………………………………………… 37 Практические задания…………………………………………………………. 38 3.3. Логические схемы………………………………………………………… 38 Практические задания…………………………………………………………. 39 Самостоятельная работа……………………………………………………….. 42

Раздел 4. Основы алгоритмизации…………………………………………………… 48 4.1. Алгоритм и его свойства………………………………………………….. 48 4.2. Свойства алгоритмов……………………………………………………… 49 4.3. Формы записи алгоритмов………………………………………………... 49 4.4. Компоненты алгоритмического языка…………………………………… 53 4.5. Стандартные функции…………………………………………………….. 54 4.6. Основные типы алгоритмических структур……………………………... 56 Практические задания…………………………………………………………. 64 Самостоятельная работа……………………………………………………….. 67

Библиографический список…………………………………………………………… 72

51

УДК 681.3.06 ББК 32.973.2 О 75

Рецензенты д-р пед. наук З.В. Семенова,

канд. физ.-мат. наук Л.Г. Кузнецова

Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебно-методического пособия для всех специальностей очного обучения

Основы информатики / Л.А. Внукова, О.А. Дерябина, Н.Н. Егорова, Е.В. Селез-нева: Учебно-методическое пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2006. – 74 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических заня-

тий курса «Информатика» для студентов очной формы обучения всех специальностей Си-бАДИ. В пособие включены следующие разделы: «Представление числовой информации», «Измерение информации», «Основы логики и логические основы компьютера», «Основы алгоритмизации», темы которых соответствуют требованиям государственного образова-тельного стандарта высшего профессионального образования и программе «Информати-ка».

Разделы содержат теорию и практические задания, а также практические задания в форме самостоятельной работы по вариантам для контроля знаний.

Табл. 12. Библиогр.: 9 назв.

Л.А. Внукова, О.А. Дерябина,

52

ISBN 5-93204-263х Н.Н. Егорова, Е.В. Селезнева, 2006

53

Введение

Информатика входит в число базовых дисциплин системы высшего обра-зования и в комплексе с другими фундаментальными дисциплинами форми-рует основу профессионального образования в вузе. Уже сегодня важнейшей составляющей образованности человека является свободное владение инфор-мационными технологиями, так как деятельность людей все в большей степе-ни зависит от информированности и способности эффективно использовать информацию. Для этого квалифицированный специалист любого профиля должен уметь находить, обрабатывать и использовать информацию с помо-щью компьютеров и других вычислительных и телекоммуникационных средств. Знания информатики и информационных технологий – необходимые требования профессиональной пригодности в XXI веке.

Информатика как учебная дисциплина ориентирована прежде всего на формирование системного мировоззрения в информационной сфере и приоб-ретение информационной культуры, т.е. умений целенаправленно и эффек-тивно работать с информацией, используя информационные технологии. По-следние в этом плане представляют собой не только инструмент, но и опре-деляют технологии интеллектуальной, мыслительной деятельности человека.

Практические занятия в первом семестре курса «Информатика» посвяще-ны изучению таких понятий, как системы счисления, измерение информации, основы логики, основы алгоритмизации. В связи с этим в учебно-методическое пособие включены следующие разделы: «Представление чи-словой информации», «Измерение информации», «Основы логики и логиче-ские основы компьютера», «Основы алгоритмизации».

Каждый раздел учебно-методического пособия содержит теоретический материал, практические задания и задания для самостоятельной работы по вариантам. Данный материал рассчитан на студентов очного обучения всех специальностей для проведения практических аудиторных работ вне компью-терного класса.

Раздел 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ

54

1.1. Понятие о системах счисления. Основные определения

Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наиме-нования чисел.

Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной называется такая система счисления, в которой количест-

венный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, пози-ции) в коде числа.

Следует отметить, что непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Приведем примеры непозиционных систем счисления.

Пример 1. Римская система счисления: I – 1; V – 5; X – 10; L – 50; C – 100; D – 500; M – 1000 и т. д.

Пример 2. Система счисления Древнего Египта: 1 – 2 –

10 –

Непозиционные системы счисления имеют недостатки: для записи боль-ших чисел необходимо вводить новые цифры; нельзя записать дробные и от-рицательные числа; сложно выполнять арифметические операции.

Система счисления называется позиционной, если количественный экви-валент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа.

Основные достоинства позиционных систем счисления: простота выпол-нения арифметических операций; ограниченное количество символов, необ-ходимых для записи любого числа.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется коли-чество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

В повседневной жизни используется позиционная десятичная система. Основание равно десяти: для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Из двух рядом стоящих цифр (напри-мер, число 35) левая цифра выражает число, в десять раз больше, чем правая. Кроме того, имеет значение не только сама цифра, но и ее место (позиция), что указывает на позиционный характер данной системы счисления.

1.2. Представление чисел в позиционных системах счисления

55

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием, мень-шим десяти, используются цифры от 0 до 9. При основании, большем десяти, к перечисленным цифрам добавляются буквы. Приведем пример для самых распространенных систем счисления (табл. 1).

Таблица 1. Распространенные системы счисления

Основание Название системы счисления Цифры для обозначения

2 Двоичная 0, 1 3 Троичная 0, 1, 2 5 Пятеричная 0, 1, 2, 3, 4 8 Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7

16 Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

В системе счисления с основанием q ( q -ичная система счисления) едини-цами разрядов служат последовательные степени числа q , иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для за-писи чисел в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0,1, …, q –1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Таким образом, в позиционной системе счисления любое вещественное число можно представить в следующем виде:

)......( 22

11

00

22

11

mm

nn

nnq qaqaqaqaqaqaA

(1)

или

1n

miiiq qaA , (1а)

где qA – само число; q – основание системы счисления; ia – цифры данной

системы счисления; n – число разрядов целой части числа; m – число разря-дов дробной части числа.

Приведенная выше формула называется развернутой формулой записи. Исходя из данной формулы можно получить формулу для записи произ-

вольного целого числа:

)...( 002

21

1 qaqaqaAn

nn

nqЦ

, (2) а также формулу для записи произвольного дробного числа:

56

mmqДР qaqaqaA ...2211 . (3)

1.3. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления и обратно

Перевод целых чисел

Алгоритм перевода. Пусть qЦA – десятичное целое число. Тогда в разло-жении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами. Данное число представляется в виде

00

11

11 ... qaqaqaA

nnqЦ

. (4)

1. Число qЦA разделим на q . Неполное частное равно: 121 ... aqa nn ,

а остаток равен 0a . 2. Полученное неполное частное опять разделим на q , остаток от деления

будет равен 1a . 3. Продолжим данный процесс деления, пока на n -м шаге не получим на-

бор цифр: 1210 ,...,,, naaaa , которые входят в q -ичное представление числа qЦA и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа

на q . 4. Запишем десятичное целое число в новой системе счисления, начиная

запись с последнего частного: 0121 ... aaaaA nnqЦ . (5)

Пример. Переведите число 12310 в двоичную, восьмеричную и шестна-

дцатеричную системы счисления (12310→А2; 12310→А8; 12310→А16).

- 123 2 122 - 61 2

1 60 - 30 2 1 30 - 15 2 0 14 - 7 2 1 6 - 3 2 1 2 1 1

Результат: 12310=11110112. Проверка: 1·26+1·25+1·24+1·23+0·22+1·21+1·20=12310.

-123 8

57

120 -15 8 3 8 1

7

Результат: 12310=1738. Проверка: 1·82+7·81+3·80=12310.

-123 16 112 -7 11

Результат: 12310=7B16. Проверка: 7·161+11·160=12310.

Перевод дробных чисел

Алгоритм перевода. Пусть qДРA – правильная десятичная дробь. Тогда в

разложении отсутствуют коэффициенты с положительными индексами. Дан-ное число представим в виде

...21 21

qaqaAqДР . (6)

1. Для нахождения коэффициентов ,..., 21 aa , входящих в запись числа в

q -ичной системе счисления, умножим правую и левую части выражения (6) на q . В результате в правой части получим ...23

121

qaqaa . Целая

часть равна 1a , является старшим коэффициентом в разложении числа qДРA по степеням q .

2. Оставшуюся дробную часть умножим на q : ...132

qaa , где цифра

2a представляет собой второй коэффициент после запятой в двоичном пред-ставлении исходного числа.

3. Продолжаем перемножение дробной части на q до тех пор, пока в пра-вой части не получим нуль или не будет достигнута необходимая точность вычислений.

Пример 1. Переведите десятичную дробь 0,5625 в двоичную систему

счисления.

58

0, 5625 2

1 1250 2

0 2500 2

0 5000 2

1 0000

Результат: 0,562510=0,10012.

Пример 2. Переведите десятичную дробь 0,65625 в восьмеричную и ше-стнадцатеричную системы счисления.

0, 65625 8

5 25000 8

2 00000

Результат: 0,6562510=0,528.

0, 65625 16

10 (А)

50000 16

8 00000

Результат: 0,6562510=0,А816.

Пример 3. Переведите десятичную дробь 0,7 в восьмеричную систему счисления.

0, 7 8

5 6 8

4 8 8

6 4 8

3 2 …….

59

Данный процесс может продолжаться бесконечно. Такой бесконечный процесс завершается на некотором шаге, когда считается, что получена тре-буемая точность представления числа.

Пример 4. Переведите десятичную дробь 0,10110 в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохраните четыре знака.

0, 101

2 0 202

2 0 404

2 0 808

2 1 616 …….

Результат: 0,1012=0,00012.

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуще-ствляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся согласно приведенным выше алгоритмам. В итоговой записи в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой или точкой.

Пример. Переведите число 12,2510 в двоичную систему счисления. Переведем целую часть:

- 12 2 12 - 6 2

0 6 - 3 2 0 2 1 1

Переведем дробную часть: 0, 25

2 0 50

2 1 00

60

Результат: 12,2510=1100,012.

1.4. Арифметические операции в позиционных

системах счисления

Рассмотрим арифметические операции на примере двоичной системы счисления. Рассмотрим таблицы сложения, вычитания и умножения.

Сложение в двоичной системе счисления

+ 0 1 0 0 1 1 1 10

Примеры. Выполните операцию сложения над двоичными числами:

10010

+ 11001

1111111 +

1010101

111101 +

10011 101011 11010100 1010000

Вычитание в двоичной системе счисления

- 0 1 0 0 1 1 1 1 0

Примеры. Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 111111

– 10001

1100001 –

1000101

1101101 –

10001 101110 11100 1011100

Умножение в двоичной системе счисления 0 1 0 0 0 1 0 1

1 означает заем из старшего разряда.

61

Примеры. Выполните операцию умножения над двоичными числами: 1001

101

1011

1001 1001

0000 1001

1011 0000 0000

101101 1011 1100011

Деление в двоичной системе счисления

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму опе-рации деления в десятичной системе счисления.

Примеры. Выполните операцию деления над двоичными числами:

11001 101 10101111 11001 – 101 – 111 101 11001 101 100101 – – 101 11001 0 11001

– 11001 0

Практические задания

1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

а) 75; 137; 2897; 433; б) 17; 219; 7654; 8536. 2. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьме-

ричную систему счисления: а) 35; 737; 2853; 4123; б) 58; 759; 165; 3289.

62

3. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестна-дцатеричную систему счисления: а) 87; 234; 1987; 5124; б) 367; 79; 2222; 9876.

4. Переведите числа из одной системы счисления в другую: а) 10111011002=А10; 1110010112=А10; 1010001102=А10; б) 1212203=А10; 123557=А10; 15748=А10; в) 21457=А10; 130104=А10; г) 1510=А3; 5610=А5; 76510=А12.

5. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками): 0,17; 0,56; 0,93.

6. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и

шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 0,23; 0,79; 0,93.

7. Выполните операцию сложения над двоичными числами:

а) 10001110012 + 111100012; 1110001112 + 11000112; б) 111011012 + 11110112; 10001110012 + 111100012.

8. Выполните операцию вычитания над двоичными числами:

а) 1001100112 – 11101112; 1000111012 – 11011102; б) 11100110112 – 1110010112; 11100001112 – 11000112.

9. Выполните операцию умножения над двоичными числами:

а) 10112 · 110012; 1101012 · 1110012; б) 10111012 · 11012; 11000112 · 10112.

10. Выполните операцию деления над двоичными числами:

а) 10100000111002 : 10112; 110011101012 : 111012; б) 1000000101002 : 10112; 10010000101002 : 11012.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-

щей проверкой: 3910=A2; 4110=A3; 5610=A8; 87510=A16; 20123=A10; 25627=A10.

63

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 173,27910; 10123,37810; 14567,032110.

3. Выполните операцию сложения над двоичными числами: 111010002 + 101011012; 10010112+11112.

4. Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 110110012 – 11001002; 1110012 – 101012.

5. Выполните операцию умножения над двоичными числами: 101102 · 11012; 11102 · 10012.

6. Выполните операцию деления над двоичными числами: 1100100002 : 101002; 11002 : 1102.

Вариант 2




3. Выполните операцию сложения над двоичными числами: 11100002 + 11100112; 1000011102 + 101112.




Вариант 3

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-щей проверкой:

64

7710=A2; 7210=A3; 8310=A8; 235710=A16; 1647=A10; 16249=A10. 2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и

шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 3678,37310; 9973,067210; 7632,172110.





Вариант 4

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-щей проверкой: 8910=A2; 7610=A3; 9310=A8; 257910=A16; 10245=A10; 55437=A10.

2. Переведите смешанные десятичные числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дроб-ной части нового числа (X10→А2; X10→А8; X10→А16): 923,789110; 11231,47310; 993,567910.





Вариант 5

65

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-щей проверкой: 3710=A2; 4310=A3; 12210=A8; 278910=A16; 2315=A10; 11769=A10; 101237=A10.






Вариант 6







66

Вариант 7

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-щей проверкой: 6510=A2; 3110=A3; 14110=A8; 375610=A16; 40D15=A10; 32429=A10.






Вариант 8








67

Вариант 9




4. Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 1111102 – 110012; 11010102 – 1 011002.



Вариант 10







68


Вариант 11







Вариант 12

1. Переведите числа из одной системы счисления в другую с последую-щей проверкой: 6310=A2; 2010=A3; 47610=A8; 357510=A16; 200115=A10; 1C4213=A10.





69


Вариант 13







Вариант 14




4. Выполните операцию вычитания над двоичными числами: 11110002 – 10001002; 100010012 – 10101102. 5. Выполните операцию умножения над двоичными числами:

1001112 · 111002; 1000012 · 101012.

70


Вариант 15







71

Раздел 2. ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ

2.1. Основные сведения

Информация – сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределенности, неполноты знаний.

За единицу измерения количества информации принимается 1 бит. 1 байт = 23 бит = 8 бит.

Более крупными единицами измерения информации являются: 1Кбайт (килобайт) = 210 байт = 1024 байт. 1Мбайт (мегабайт) = 210 Кбайт = 1024 Кбайт. 1Гбайт (гигабайт) = 210 Мбайт = 1024 Мбайт. 1Тбайт (терабайт) = 210 Гбайт = 1024 Гбайт. 1Пбайт (петабайт) = 210 Тбайт = 1024 Тбайт.

Пример 1. Получено сообщение, объём которого равен 45 битам. Опреде-лите, чему равен объём сообщения в Кбайтах.

Решение:

Кбайт0055,0Кбайт102

625,5байт625,5байт845бит45 .

Пример 2. Сколько файлов размером по 120 Кбайт каждый можно раз-местить на диске ёмкостью 210 Мбайт?

Решение: 210 Мбайт = 210 · 210 Кбайт.

1792120

215040120

2210 10

(файла).

Известно несколько подходов к измерению информации: 1) алфавитный; 2) содержательный; 3) вероятностный.

2.2. Алфавитный подход к измерению информации

Использование алфавитного подхода при измерении информации позво-

ляет определить количество информации, заключенной в тексте. Символы, используемые при записи текста, называются алфавитом. Полное число сим-волов используемого алфавита называется мощностью алфавита. Обозначим мощность алфавита буквой N.

Учитывая, что каждый символ алфавита может появиться в очередной по-зиции текста в любой момент и несет i бит информации, мощность алфавита можно посчитать по формуле N = 2i.

72

Приведенная формула является показательным уравнением относительно неизвестной i. Решение такого уравнения имеет вид i = log2N – логарифм от N по основанию 2.

Следовательно, в 2-символьном алфавите каждый символ несет 1 бит ин-формации (log22 = 1), в 4-символьном – 2 бита информации (log24 = 2), в 8-символьном – 3 бита (log28 = 3) и т.д.

Если весь текст состоит из K символов, то для расчета содержащейся в нем информации используется формула I = K · i.

Пример 1. Сообщение записано 32-символьным алфавитом и содержит 30 символов. Какой объём информации оно несёт?

Решение:. i = log2N = log232 = 5 (бит) информации содержит каждый сим-вол данного алфавита. Так как в тексте содержится K = 30 символов, то I = K · i = 30 · 5 = 150 (бит) информации содержит все сообщение.

Пример 2. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 250 стра-ниц; на каждой странице 40 строк, в каждой строке 50 символов. Каков объем информации в книге в килобайтах?

Решение: Мощность компьютерного алфавита равна 256. Один символ несет 1 байт информации. Таким образом, страница содержит 40 · 50 = 2000 байт информации. Объем информации во всей книге равен: 2000 · 250 = 500000 байт. 500000 / 1024 = 488,28125 Кбайт.

Пример 3. Сообщение, занимающее 4 страницы, содержит 1/2 Кбайта ин-формации. Каждая страница состоит из 256 символов. Какова мощность ал-фавита, с помощью которого записано сообщение?

Решение: Все сообщение состоит из 4 · 256 = 1024 символов. Один сим-

вол несет 4221022

13210242

13211024

бит81022/11024Кбайт2/1

бит. Тогда

мощность алфавита, с помощью которого записано сообщение, равна 24 = 16 символов.


1. Сколько килобайт содержит сообщение из 64-символьного алфавита?

2. Для записи текста, каждая страница которого состоит из 20 строк по 60

символов, использовался 128-символьный алфавит. Какой объем ин-формации содержат 3 страницы текста?

73

3. Сообщение, записанное с помощью 32-символьного алфавита, занимает 4 страницы по 24 строки каждая. Все сообщение содержит 42 байта ин-формации. Сколько символов в строке?

4. Два сообщения содержат одинаковое количество символов. Во втором

сообщении количество информации в 2 раза больше, чем в первом. Сколько символов содержит первый алфавит, с помощью которого за-писано сообщение, если известно, что размер второго алфавита равен 32?

5. Пользователь компьютера, хорошо владеющий навыками ввода инфор-

мации с клавиатуры, может вводить в минуту 100 знаков. Какое коли-чество информации в байтах может ввести пользователь в компьютер за 5 минут, если мощность алфавита равна 256?

2.3. Содержательный подход к измерению информации

Данный подход дает количественную оценку информации: нужная, важ-

ная, интересная, вредная и т.д. Все люди имеющуюся информацию могут оценить по-разному. Сообщение, уменьшающее неопределённость знаний человека в два раза, несет 1 бит информации.

Если в некотором сообщении сказано, что произошло одно из N равнове-роятных событий, т.е. ни одно событие не имеет преимуществ перед другим, тогда количество информации, заключённое в этом сообщении, i бит и число N связаны формулой Хартли: i = log2N.

Для задач с применением данной формулы используется табл. 2.

Таблица 2. Количество информации и числа равновероятных событий N i N i N i N i 1 0,00000 17 4,08746 33 5,04439 49 5,61471 2 1,00000 18 4,16993 34 5,08746 50 5,64386 3 1,58496 19 4,24793 35 5,12928 51 5,67243 4 2,00000 20 4,32193 36 5,16993 52 5,70044 5 2,32193 21 4,39232 37 5,20945 53 5,72792 6 2,58496 22 4,45943 38 5,24793 54 5,75489 7 2,80735 23 4,52356 39 5,28540 55 5,78136 8 3,00000 24 4,58496 40 5,32193 56 5,80735 9 3,16993 25 4,64386 41 5,35755 57 5,83289 10 3,32193 26 4,70044 42 5,39232 58 5,85798 11 3,45943 27 4,75489 43 5,42626 59 5,88264 12 3,58496 28 4,80735 44 5,45943 60 5,90689 13 3,70044 29 4,85798 45 5,49185 61 5,93074 14 3,80735 30 4,90689 46 5,52356 62 5,95420 15 3,90689 31 4,95420 47 5,55459 63 5,97728

74

16 4,00000 32 5,00000 48 5,58496 64 6,00000 Пример 1. В корзине 16 мячей разного цвета. Сколько информации несет

сообщение о том, что из корзины достали мяч синего цвета? Решение: Вытаскивание любого из 8 мячей равновероятно, следователь-

но, количество информации, заключенной в сообщении о вытаскивании од-ного такого мяча, находится по формуле i = log216 = 4.

Пример 2. При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до M было по-лучено 5 бит информации. Чему равно М?

Решение: Число М находится из формулы 5 = log2М, отсюда М = 25 = 32.

Пример 3. Сколько информации содержится в сообщении о том, что из колоды карт достали случайным образом даму пик (колода 36 карт)?

Решение: i = log 2 36 = 5,16993 бит.


1. В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На каждом стеллаже 10 полок. Библиотекарь сообщил Андрею, что нужная ему книга нахо-дится на втором стеллаже на третьей полке сверху. Какое количество информации библиотекарь передал Андрею?

2. В коробке лежат 7 цветных карандашей. Какое количество информации

содержит сообщение, что из коробки достали красный карандаш?

3. Сколько бит информации несет угадывание числа из заданного диапа-зона, в котором находится 128 чисел?

4. Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что нуж-

ный файл находится на одной из четырех дискет?

5. После прочтения статьи неопределенность знаний уменьшается в 8 раз. Какое количество информации содержит текст?

2.4. Вероятностный подход к измерению информации

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. На ровную поверхность мы бросаем монету. При этом она окажется в одном из двух положений: «орел» или «решка». Каждое из этих событий произойдет с равной вероятностью.

Решение: Обозначим рр – вероятность выпадения «решки», ро – вероят-ность выпадения «орла», тогда рр = ро = 1/2 = 0,5.

75

Пример 2. В коробке лежат 12 карандашей разного цвета. С равной веро-ятностью из коробки могут достать карандаш любого цвета.

Решение: р = 1/12. Количество информации i и число равновероятных событий N связаны

между собой формулой Хартли: i = log2N.

Пример 3. В вазе лежат 16 конфет разного вида. Сколько информации не-сет сообщение о том, что из вазы взяли конфету «Ромашка»?

Решение: То, что из вазы возьмут любую из 16 конфет, равновероятно, следовательно, количество информации об одной такой конфете находится по формуле i = log216 = 4 бита.

Зависимость вероятности события и общего числа этих событий опреде-ляется по формуле N = 1/p.

Отсюда формула Хартли примет вид i = log2(1/p). Данная формула при-меняется и для тех случаев, когда вероятности результатов опыта неодинако-вы.

Пример 4. В коробке лежат 6 желтых, 10 красных, 8 синих и 6 зеленых кубиков. Сколько информации несет сообщение о том, что достали си-ний кубик, желтый кубик, красный кубик, зеленый кубик?

Решение: Обозначим рж – вероятность попадания при вытаскивании жел-того кубика; рк – вероятность попадания при вытаскивании красного кубика; рс – вероятность попадания при вытаскивании синего кубика; рз – вероят-ность попадания при вытаскивании зеленого кубика. Тогда

рж = 6/30 = 1/5; i = log25 = 2,32193; pк = 10/30 = 1/3; i = log23 = 1,58496; pс = 8/30 = 4/15; i = log23,75 = 1,90689; pз = 6/30 = 1/5; i = log25 = 2,32193.

Вероятностный метод используется и для алфавитного подхода. В этом

случае используется формула Шеннона

N

i ipipI 1 2

log .

Пример 5. Какое количество информации будет получено при бросании несимметричной четырехгранной пирамиды, если вероятности отдельных со-бытий будут равны р1 =1/4; р2 = 3/8; р3 = 1/8; р4 =1/4.

Решение: Количество информации, полученное при реализации одного из четырех возможных событий, равно

I = – (1/4 · log21/4 + 3/8 · log23/8 + 1/8 · log21/8 + 1/4 · log21/4) = = – (–1/2 +3/8 · 1,58 – 9/8 – 3/8 – 1/2) = 1,9075.

76


1. В коробке 32 цветных мелка. Сколько оранжевых мелков в коробке, ес-ли сообщение о том, что достали оранжевый мелок, несет 2 бита ин-формации?

2. В классе 24 ученика. Какое количество информации несет сообщение о

том, что Сергей получил тройку за диктант, если всего в классе 8 троек? 3. Сколько информации несет сообщение о том, что достали зеленый мяч,

если в корзине лежат 10 синих мячей и 22 зеленых?

4. В непрозрачном мешочке хранятся 25 белых, 30 красных, 35 синих и 10 зеленых фишек. Какое количество информации содержит зрительное сообщение о цвете вынутой фишки?

5. Вероятность первого события составляет 0,6, а второго и третьего – 0,2.

Какое количество информации мы получим после реализации одного из них?

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Определите объем текста в килобайтах, если его объем равен 64 бита? 2. Какой объем информации в байтах несет сообщение, записанное 64-

символьным алфавитом, если оно содержит 400 символов? 3. На вопрос пассажира автобуса: «Вы будете выходить на следующей ос-

тановке?» получен ответ: «Да». Сколько информации несет в себе от-вет?

4. В автомобильных гонках «Ралли Париж – Дакар» участвуют 10 команд, из них 3 команды «Вольво». Сколько информации несет сообщение, что в заезде победила команда «Вольво»?

5. В пруду водится 144 карпа, 36 щук и 120 карасей. Какое количество информации несет сообщение о пойманной рыбе?

Вариант 2

1. Объем информации в книге равен 450560 байт. Определите, чему равен объем книги в килобайтах.

77

2. Письмо, набранное на компьютере, содержит 1000 символов. Опреде-лите объем информации в килобайтах, полученный при прочтении письма.

3. Группа спортсменов пришла в бассейн, в котором 8 дорожек для плава-ния. Сколько информации получила группа, если тренер сообщил, что они поплывут по второй дорожке?

4. В авиакомпании есть 15 самолетов. Сколько информации несет сооб-щение о том, что вы полетите на самолете ТУ-154, если их в авиаком-пании 5?

5. Вероятность первого события равна 0,4; второго – 0,1; третьего – 0,2; четвертого – 0,3. Какое количество информации мы получим после реа-лизации одного из них?

Вариант 3

1. Какую часть диска емкостью 210 Мбайт занимают 2 файла, объем ин-

формации которых равен 60 байт и 150 Кбайт соответственно? 2. Объем сообщения, написанного 32-символьным алфавитом, составляет

8 байт. Определите, сколько символов содержит сообщение. 3. Каково было количество возможных событий, если после реализации

одного из них было получено 4 бита информации? 4. В таксопарке 16 автомобилей «Волга» и 8 автомобилей «Лада». Сколь-

ко информации несет сообщение, что вы поедете на автомобиле «Ла-да»?

5. В аэропорту готовятся к вылету 5 самолетов ИЛ-86, 3 – А-310, 7 – ТУ-134 и 2 – «Боинг-737». Сколько информации несет сообщение о взлете самолета?

Вариант 4

1. Информация записана на диск емкостью 700 Мбайт и занимает 1/8 его

часть. Каков объем информации в байтах? 2. Учебное пособие, набранное с помощью компьютера, содержит 75

страниц по 45 строк, в каждой строке по 70 символов. Определите объ-ем информации учебного пособия.

3. Какой объем информации содержит текст, если неопределенность зна-ний после его прочтения уменьшилась в 16 раз?

4. В пруду водится 100 рыб различных пород, из них 20 карпов. Рыбак поймал карпа. Сколько информации несет данное сообщение?

5. На автостоянке стоят 45 автомобилей «Лада», 32 автомобиля «Нива», 14 автомобилей «Тойота» и 9 автомобилей «Волга». Какое количество информации несет сообщение о выезде автомобиля со стоянки?

78

Вариант 5

1. Определите объем информации сообщения в байтах, если его объем в мегабайтах равен 0,007.

2. Текст объемом 8,3 Кбайт содержит 8400 символов. Какова мощность алфавита?

3. Из колоды карт (56 карт) достали случайным образом одну. Сколько информации при этом было получено?

4. В уборке урожая принимают участие 16 комбайнов, из них 4 – «Дон». Сколько информации несет сообщение о том, что комбайн «Дон» убрал больше всего урожая?

5. Поезд состоит из 2 вагонов класса «СВ», 4 – «купе», 7 – «плацкарт» и 3 общих вагонов. Сколько информации несет сообщение о классе вагона?

Вариант 6

1. Сколько килобайтов составляет сообщение, содержащее 20880 бит? 2. Сколько символов в сообщении, записанном 8-символьным алфавитом,

если оно несет 150 байт информации? 3. Чему равно К, если при угадывании числа из диапазона от 1 до К было

получено 9 бит информации? 4. В автогонках «Формула-1» принимают участие 2 команды «Феррари»,

3 команды «Тойота», 4 команды «Рено» и 4 команды «Ягуар». Сколько информации несет зрительное сообщение о выходе каждой команды на старт?

5. На конечной остановке транспорта стоит 7 автобусов, следующих по маршруту «22», 6 автобусов – «110» маршрута, 3 автобуса – «75» мар-шрута и 4 автобуса – «1» маршрута. Сколько информации несет сооб-щение о выезде автобуса на маршрут?

Вариант 7

1. Объем сообщения равен 0,1 Кбайт. Чему равен объем данного сообще-ния в битах?

2. Текст, набранный на компьютере, состоит из 7 страниц. Каждая стра-ница текста содержит 40 строк. Сколько символов в строке, если весь текст содержит 20 Кбайт информации?

3. В коробке лежат 32 цветных воздушных шара. Сколько информации несет сообщение о том, что из коробки достали зеленый шар?

4. В авиакомпании «Сибирь» к вылету готовится 6 самолетов «Боинг-747», 8 самолетов ИЛ-86 и 2 самолета ТУ-154. Чему равен объем сооб-щения «Следующий рейс выполняется на ИЛ-86»?

79

5. В автосалоне на данный момент находится 6 автомобилей «Вольво», 5 автомобилей «Опель», 10 автомобилей «Нива» и 9 автомобилей «Лада». Сколько информации несет сообщение о марке автомобиля?

Вариант 8

1. Определите объем книги в мегабайтах, если известно, что он равен 25395,2 байт.

2. Информационное сообщение содержит 24576 символов. Какова мощ-ность алфавита, с помощью которого записано сообщение, если его объем равен 15 Кбайт?

3. Ваши друзья живут на 7 этаже 8-этажного дома. Сколько информации несет полученное сообщение?

4. В ящике лежат 45 яблок и несколько апельсинов. Сообщение «Из ящи-ка достали апельсин» несет 2 бита информации. Сколько бит информа-ции несет сообщение «Из ящика достали яблоко»?

5. В уборке урожая принимают участие 5 автомобилей ЗИЛ, 4 автомобиля ГАЗ, 2 – КамАЗ и 1 – «Газель». Сколько информации несет сообщение о поломке автомобиля?

Вариант 9

1. Определите объем файла в байтах, записанного на диск емкостью 210 Мбайт, если известно, что он занимает 1/1000 часть диска.

2. Книга, набранная на компьютере, содержит 300 страниц по 50 строк каждая. В каждой строке набрано по 55 символов. Определите объем информации данной книги.

3. Какое количество информации несет сообщение «День рождения Анд-рея в июне»?

4. На автозаводе работает несколько бригад по сборке автомобилей. Пер-вая бригада за день собирает 2 автомобиля, вторая – 4, третья – 3, а чет-вертая – 1. Сколько информации в сообщении «Машина собрана первой бригадой»?

5. Сколько информации несет сообщение о вылете самолета, если к выле-ту готовы 2 самолета авиакомпании «Сибирь», 5 самолетов авиакомпа-нии «Омскавиа» и 3 самолета компании «Аэрофлот»?

Вариант 10

1. На дискету емкостью 1,44 Мбайт записан файл объемом 48 Кбайт. Ка-кую часть дискеты занимает данный файл?

80

2. Сообщение, записанное 32-символьным алфавитом, содержит 1500 символов. Какой объем информации в килобайтах несет данное сооб-щение?

3. Сколько информации несет в себе ответ «Нет» на вопрос: «Вы соблю-даете правила дорожного движения»?

4. В автопарке завода находится 20 автомобилей, из них 5 автомобилей ГАЗ. Сколько информации несет сообщение, что в рейс выходит авто-мобиль не ГАЗ?

5. На автостоянке находятся 5 белых, 10 зеленых, 15 синих, 8 красных и 2 черных автомобилей. Сколько информации несет сообщение о цвете автомобиля?

Вариант 11

1. Объем текста равен 0,05 Кбайт. Определите объем информации в тексте

в битах. 2. Определите объем информации письма в килобайтах, набранного на

компьютере, если известно, что оно содержит 2300 символов. 3. Стадион разбит на 16 секторов. Сколько информации несет сообщение

тренера спортсменам о том, что разминка будет проходить в секторе номер 4?

4. Сколько бит информации несет сообщение «Пойманная в пруду рыба – щука», если всего в пруду 256 карасей, 40 щук и 104 карпа?

5. В таксопарке 10 автомобилей «Волга», 7 автомобилей «Лада» и 8 авто-мобилей «Вольво». Сколько информации несет сообщение о марке ав-томобиля?

Вариант 12

1. Определите, чему равен объем информации в книге в мегабайтах, если

известно, что он равен 1572864 байт. 2. Определите, сколько символов содержит сообщение, написанное 128-

символьным алфавитом, если известно, что объем его информации ра-вен 0,1 Кбайт.

3. После реализации одного из событий было получено 8 бит информа-ции. Определите количество возможных событий.

4. В аэропорту к вылету готовятся самолеты следующих авиакомпаний: 4 самолета авиакомпании «Сибирь», 2 – авиакомпании «Внуковские авиалинии», 6 – авиакомпании «Омскавиа». Чему равен объем сообще-ния «Следующий рейс выполняет самолет авиакомпании «Сибирь»?

5. В цеху по изготовлению деталей для автомобилей работают 3 линии. Производительность каждой линии равна 100 деталей в день. Первая линия выпускает в день 3 бракованных детали, вторая – 2, третья – 4.

81

Сколько бит информации несет сообщение о том, что изготовленная деталь бракованная?

Вариант 13

1. На диск емкостью 210 Мбайт записаны два файла, объем информации

на которых равен 40 байт и 170 Кбайт соответственно. Какая часть дис-ка свободна?

2. Определите объем информации методического пособия, набранного на компьютере, если известно, что оно состоит из 45 страниц по 2800 сим-волов на каждой.

3. При угадывании числа из диапазона от 1 до Р было получено 6 бит ин-формации. Чему равно Р?

4. В уборке урожая принимали участие 7 комбайнов «Нива», 6 – «Ени-сей», 4 – «Дон», 4 – «Доминатор». Сколько информации несет сообще-ние о поломке комбайна «Нива»?

5. Какое количество информации мы получим после реализации одного из событий, если вероятность первого из них равна 0,5; второго – 0,1; третьего – 0,4?

Вариант 14

1. Определите, какой объем информации в байтах записан на диске емко-

стью 700 Мбайт, если 3/4 его части свободно. 2. Определите мощность алфавита, если известно, что текст объемом

0,2 Кбайт содержит 245 символов. 3. После прочтения сообщения неопределенность знаний уменьшилась в 4

раза. Чему равен объем информации в сообщении? 4. В автопарке хлебозавода находятся 6 автомобилей «Газель», 8 автомо-

билей ГАЗ, 5 автомобилей ЗИЛ, 1 автомобиль КамАЗ. Сколько инфор-мации несет сообщение о выходе в рейс автомобиля ЗИЛ?

5. На выставке дорожно-строительной техники демонстрировались три вида продукции. Вероятность реализации первого вида равна 1/3, вто-рого вида – 2/4, третьего вида – 1/6. Какое количество информации бы-ло получено при сообщении о реализации одного из видов продукции?

Вариант 15

1. Объем информации в сообщении равен 0,03 Мбайт. Определите его

объем в битах. 2. Сколько символов содержит сообщение, записанное 32-символьным

алфавитом, если оно несет 1,46 Кбайт?

82

3. Какое количество информации несет сообщение «Настя живет на чет-вертом этаже 16-этажного дома»?

4. На автостоянке находятся 140 автомобилей. Сколько информации несет сообщение о выезде со стоянки автомобиля «Нива», если всего их бы-ло 20?

5. Какое количество информации несет зрительное сообщение о цвете ав-томобиля, проезжающего через пост ГИБДД, если в среднем за день через пост проезжают 120 белых, 40 желтых, 60 зеленых и 80 черных автомобилей?

Раздел 3. ОСНОВЫ ЛОГИКИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

3.1. Алгебра высказываний.

Логические выражения и таблицы истинности

Конъюнкция (логическое умножение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логическо-го умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Обозначение: « &» или «». Примеры: BAFB&AF . Таблица истинности составного высказывания F , которое получено в ре-

зультате конъюнкции двух простых высказываний A и B , принимающих значения истина (1) или ложь (0), имеет вид

Дизъюнкция (логическое сложение)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложе-ния (дизъюнкция), истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно входя-щее в него простое высказывание.

А В F= A & B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

83

Обозначение: «+» или «». Примеры: BAFBAF . Таблица истинности составного высказывания F , которое получено в ре-

зультате конъюнкции двух простых высказываний A и B , принимающих значения истина (1) или ложь (0), имеет вид

Инверсия (логическое отрицание)

Присоединение частицы НЕ к высказыванию называется операцией логи-ческого отрицания или инверсией.

Обозначение отрицания логического высказывания А: А или А . Истинность высказывания F= А для логического высказывания А задается

следующей таблицей:

А F= А 0 1 1 0

Операция логического следования (импликация)

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух вы-сказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

Логическая операция импликация «если А, то В» обозначается ВА . Составное высказывание, образованное с помощью операции логического

следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первое высказывание) следует ложное высказывание.

Таблица истинности составного высказывания F= ВА имеет вид

А В F= A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Операция логического равенства (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, ко-гда…».

А В F= A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

84

Логическая операция эквивалентность « А тогда и только тогда, когда В» обозначается ВА .

Составное высказывание, образованное с помощью операции логиче-ского равенства (эквивалентность), ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.


А В F= A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Операция «исключающая или» или «сложение по mod 2»

Логическая операция «исключающая или» обозначается ВА . Составное высказывание, образованное с помощью операции «исклю-

чающее или» истинно тогда и только тогда, когда одно из высказываний ис-тинно.


А В A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Те

Documents

Л.А. Внукова, О.А. Дерябина, Н.Н. Егорова, Е.В ...bek.sibadi.org/fulltext/ED1944.pdfПредставление чисел в позиционных системах