Дипломная работа

на тему

«Оценка вклада излучения при исследовании теплофизических свойств веществ в стадии иррегулярного теплового режима»

Дипломник: Симахин Е.А., гр. 08-601.

Научный руководитель: д.т.н., проф. Спирин Г.Г.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Москва 2013

1

Проблемы радиационно-кондуктивного теплообмена

Наличие процессов поглощения и испускания фотонов вызывает появление

радиационного или фотонного переноса тепла, который существует наряду с молекулярным. В

общем случае результирующий тепловой поток в среде складывается из поток, вызванного

кондуктивной ( молекулярной) теплопроводность и лучистого потока:

Радиационный перенос тепла существенно усложняет процедуру нахождения

температурных полей, в частности, реализуемых в процессе измерения теплопроводности; с

другой стороны, пренебрежение им или некорректность его учета является источником

погрешности в определении молекулярной теплопроводности. По существу, в экспериментах

определяется некоторое эффективное значение теплопроводности, в большей или меньшей

степени отличное от истинной молекулярной теплопроводности, обусловленной внутренней

структурой вещества.

с rq q q

Соответственно, нестационарное уравнение теплопроводности, учитывающее

радиационный механизм переноса тепла приобретает вид:

c r

Tc T q

t

2

Цилиндрическая симметрия температурного поля

Запишем уравнение переноса тепла в виде: 2

2

1 рад

rqT T Ta

t r r r c

с граничным условием

0

0 02

рад

rl

r r

qqT

r r

Используя приближение оптически тонкого слоя ( оптическая толщина среды 𝐾𝑛 = 2ϰ 𝑎𝑡 ≪ 1),

для случая цилиндрической симметрии температурного поля можно получить:

2 3

0 016 ,рад рад

рад r rr

q qq n T T r t T

r r

0

2 3

0 04(1 ) ,рад s

rq n T T r t T

Подставляя данные выражения в исходную систему, получим:

2

02

1,

T T Ta B T r t T

t r r r

0

0

0 0

,2

l

r r

qT CT r t T

r r r

где 𝐵 =16ϰ𝑛2𝜎𝑇0

3

𝜌𝑐, 𝐶 =

4(1−𝜌𝑠)𝑛2𝜎𝑇03𝑟0

𝜋λ.

Данная система решается методом итераций.

3

Решение цилиндрической задачи методом итераций. Нулевое приближение.

Рассмотрим соответствующие уравнения в нулевом приближении (отсутствует

перенос тепла излучением) с учетом начально условия:

0 2 0 0

02

1, ,

T T Ta r r

t r r r

0

0

0

,2

l

r r

qT

r r

0

0( ,0)T r T

Решение данного уравнения хорошо известно и имеет следующий вид:

2

20

0 1 0 1

0 00

0 2 2 2 3

1 10

( , ) 1

au t

rl

r rY u J u J u Y u

r rq duT r t T e

J u Y u u

2

20

0

0 0 3 2 2 3

1 10

1

2( , )

au t

r

l

e

q duT r t T

J u Y u u

Подставим полученные решения в радиационные слагаемые исходной системы.

4

Решение цилиндрической задачи методом итераций. Первое приближение.

Преобразуем полученные уравнения по Лапласу:

1 2 1 1

0

02

1,

T T Ta B T r t T

t r r r

0

10

0

0 0

,2

l

r r

qT CT r t T

r r r

0'' ' 0

03/2

1 0

1,

K rTSD r r

r a a S K r

0 0'

03/2

0 1 0

, ,2

lK rq

A r rr S S K r

где 𝜃 = 𝐿 𝑇(𝑟, 𝑡) 𝑡→𝑆 , 𝐾𝑚 - модифицированная функция Бесселя второго рода, 𝛽 = 𝑆/𝑎,

𝐴 =𝐶𝑞𝑙 𝑎

2𝜋λ𝑟02, 𝐷 =

𝐵𝑞𝑙

2𝜋λ𝑟0 𝑎 .

Решение данного неоднородного уравнения Бесселя при 𝑟 = 𝑟0 имеет вид:

0

2 2

0 0 0 0 00

3/2 2 3/2 2

0 1 0 1 0 0 1 02

l

r r

q K r AK r KT Dd

S r SK r S K r r S K r

Используя обратное преобразование Лапласа, запишем окончательный результат для

температуры линейного источника:

2 3 2

1 0 00 0 03 02

2 4, ,( ) l l

k

q n T q rT t T F F F Fr

5

В полученном выражении для температуры линейного источника:

2

0 2

0

число Фурьеat

Fr

2

0

0 3

0

1

( )

F u

k

eF F du

u u

0

34

0 0

0 0

0

1,

2

( , , )16

( ) ( )

s R u v FF dudv

uv uF F

r v

2 20 02 2

0 2 2 2 2( , , ) 1

F u F ve v e u

R u v Fu v v u

2 2

1 1( )u J u Y u

6

Численный расчет полученного решения.

Численный расчет полученного выражения для температуры источника был

проведен в системе символьных вычислений “Wolfram Mathematica”, ниже приведен фрагмент

соответствующей программы расчета:

7

Численное решение исходного уравнения.

Численное решение исходной системы уравнений проводилось в системе “Maple”,

ниже приведен фрагмент соответствующей программы расчета:

8

Сравнение различных решений 9

Оценка влияния излучения

Перепишем выражение для температуры источника в следующем виде:

1

0 0( , ) ,c rT r t T T T

тогда для относительного вклада излучения имеем:

2 3 2 2

00

00

2, ,r

c

n TTF

TF F

r

Из графиков видно, что для слабо поглощающих сред ϰ~10 ÷ 100 м−1 , вклад

излучения не превышает 2,5%.

10

Трехмерное представление решения. 11

Плоская симметрия температурного поля

Сформулируем тепловую задачу, отвечающую следующим условиям: в

нерассеивающей серой среде с характеристиками, не зависящими от температуры, имеется

неограниченная плоскость с зеркальным отражением и нулевой толщиной. В начальный момент

времени 𝑡 = 0 в плоскости начинает действовать источник постоянной мощности 𝑞𝑠(в расчете

на единицу площади). До начала воздействия источника температура среды постоянна и равна

𝑇0:

2

2

rT T qc

x t x

2 2 r

s

Tq q

x

0( , )T t x T

0(0, )T x T

В случае плоской симметрии, выражение для правой части уравнения имеет

следующий вид:

3

0 0 2 0 0 1 1

2

0

1 0, ( ) 2 0, 08 ,sr

s sT T t T E x T t T T t T E x x E x x dxq

nx

При решении данной задачи будем использовать метод итераций.

12

Решение плоской задачи методом итераций.

За нулевое приближение возьмем известное решение этой задачи без учета излучения:

0

0

| |,

2

sq t xT x t T ierfc

at

Подставляя полученное решение в слагаемые исходного уравнения, учитывающие излучение,

запишем тепловую задачу для первого приближения:

1

12 2

r

s

Tq q

x

1

0( , )T t x T

1

0(0, )T x T

12 1 1

2

rT T q

cx t x

Аналогично случаю цилиндрической симметрии, путем преобразования Лапласа, получим

выражение для температуры в плоскости:

1

0

30,

2

Rc cT t T T t T t f Kn

где

sc

q tT t

2 3

016

3R

n T

3 2

0

( ) 12

s sf Kn E E ieat

rfc d

13

Оценка вклада излучения в случае плоской симметрии при

больших значения числа Кнудсена.

Относительная величина “возмущения”, вносимая радиацией в температуру плоскости,

равна

2 3

08( )r

c

n TTKn f Kn

T

График данной зависимости был построен посредством численного расчета. В частности, для пентана (ϰ = 3 м−1), при значении числа Кнудсена 𝐾𝑛 = 15, погрешность не превышает 2%.

14

Оценка вклада излучения в случае плоской симметрии при кратковременных измерениях.

Рассмотрим вклад, вносимый излучением в температуру источника в диапазоне времени 𝑡 = 10−3 ÷ 1 𝑐, при фиксированном значении ϰ = 3м−1 . Данный промежуток времени соответствует диапазону числа Кнудсена 𝐾𝑛 = 0 ÷ 0,02.

По графику видно, что при измерениях, длительностью менее одной секунды, погрешность не превышает 0,25%.

15

Заключение.

При кратковременных измерениях слабопоглощающих

сред ϰ~10 ÷ 100 м−1 , полученные теплофизические

характеристики являются чисто молекулярными.

При увеличении коэффициента поглощения ϰ, влияние

излучения может достигать 20% и более, и, при проведении

исследования, требуется привлечение данных по оптическим

характеристикам исследуемой среды.

16