И.С. Загузов, К.А. Поляков

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ

ЧАСТЬ II

Самара 2002

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического моделирования в механике

И.С. Загузов, К.А. Поляков

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ

ЧАСТЬ II

Учебное пособие

Рекомендовано научно-методическим советом по прикладной математике УМО университетов

в качестве учебного пособия

Издательство "Самарский университет"

2002 БКК 22.253 УДК 532.517 3 148

Загузов И.С., Поляков К.А. Математические модели в аэрогид-

ромеханике. Часть 2: Учебное пособие. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2002. 96 С.

ISBN 5-86465-86-9

В учебном пособии к спецкурсам "Математическое моделирование

в аэрогидромеханике" и "Математические модели в механике" даны принципы математического моделирования аэрогидромеханических процессов и математические постановки основных задач о движении идеальных жидкостей и газов. Приведены математические модели ос-новных процессов, имеющих место в аэродинамике и газовой динами-ке, а также математические модели разрывных течений.

Пособие предназначено для студентов механико - математических факультетов университетов (специальность «прикладная математика») и может быть полезным для научных работников в области аэрогидро-механики.

БКК 22.253 УДК 532.517

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Е. В. Шахматов,

д-р физ.-мат. наук, проф. В. И. Астафьев

ISBN 5-86465-86-9

© Загузов И.С., Поляков К.А., 2002 © Издательство "Самарский университет", 2002

3

ВВЕДЕНИЕ

Жидкости и газы с точки зрения механики различаются только степе-нью сжимаемости. В условиях, когда это свойство не проявляется или не является определяющим, решения уравнений движения сплошной среды оказываются одинаковыми как для жидкостей, так и для газов, Этим объ-ясняется существование дисциплины, называемой аэрогидромеханикой, или механикой жидкостей и газов. Если при изложении этой дисциплины преобладают вопросы движения жидкостей, то ее обычно называют просто гидромеханикой.

В аэрогидромеханике широко используются математические методы, бла-годаря чему получаемые в ней результаты обладают строгостью и точностью. Однако сложность механической структуры движений реальных жидкостей и га-зов не позволяет получить такие результаты для большинства случаев, важных для практики, поэтому широко используют приближенные уравнения и прибли-женные методы их решений. Такие решения требуют обязательной проверки, а иногда и корректировки согласно экспериментальным данным. Кроме того, экс-перимент в аэрогидромеханике служит для получения определяющих соотноше-ний и условий однозначности, без чего нельзя построить достоверные расчетные модели.

Аэрогидромеханика находит применение в большинстве отраслей техники и для многих из них является теоретической базой. К числу по-следних относятся авиация, ракетостроение, энерго-, машиностроение, атомная энергетика, теплотехника, водный транспорт и др. Для каждой из этих отраслей характерен свой круг задач и соответствующих методов их решения. Однако все они основываются на общих законах сохранения, а также на некоторых общих методах моделирования аэрогидромеханиче-ских явлений.

Одной из главных целей математического моделирования является получение основных параметров, характеристик или свойств исследуемого процесса. За последние годы существенно повысился практический инте-рес к разработке математических моделей в новых отраслях науки и тех-ники. Проникновение математических средств моделирования в важные сферы человеческой деятельности означает возможность пользоваться но-выми, весьма плодотворными средствами исследования. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических знаний недоста-точно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо еще по-лучить навыки в переводе исходной формулировки физической задачи на математический язык. Собственно, в этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

Математическая модель представляет собой упрощение реальной си-туации. Это упрощение наступает тогда, когда несущественные параметры и связи отбрасываются и исходная сложная задача сводится к идеализиро-

4

ванной, поддающейся математическому решению и анализу. Именно при таком подходе в прикладной математике возникли блоки без трения, иде-альные (невязкие) жидкости и др. Этих понятий нет в реальной действи-тельности. Они являются абстракциями, идеализацией процесса, предпри-нятой автором математической модели. И, однако, во многих случаях они дают хорошее приближение к реальной ситуации, реальному процессу.

Поэтому, несмотря на то, что все без исключения реальные жидкости обладают вязкостью, является целесообразным начать изучение аэрогид-ромеханики в предположении, что скольжение частиц жидкости друг по другу не встречает со стороны последней никакого сопротивления. Такая жидкость, лишенная вязкости, называется идеальной или совершенной. Многие выводы, полученные для идеальной жидкости, оказываются при-менимыми к решению всех чисто практических задач, в которых вязко-стью жидкости можно пренебречь.

Из определения идеальной жидкости следует, что развивающиеся в ней внутренние силы не могут иметь касательных составляющих, препятствующих скольжению частиц; следовательно, эти силы в идеальной жидкости всегда на-правлены по нормалям к поверхностям, проведенным внутри жидкости, и долж-ны рассматриваться как давления.

Различие между идеальной и вязкой жидкостью проявляется только при движении. Уравнения же равновесия и для идеальной, и для вязкой жидкости имеют одну и ту же форму. Это следует из того, что при равновесии жидкости нет скольжения частиц друг по другу, а раз нет скольжения, то не будет и сопро-тивления скольжению. Другими словами, вязкость жидкости проявляется только при ее движении. При равновесии же внутренние силы и в вязкой жидкости представляют собой давления, нормальные к поверхности частиц и направлен-ные внутрь последних.

В идеальных жидкостях и газах отсутствует не только вязкость, но и перенос тепла и вещества. В отличие от идеальных жидкостей, в реальных жидкостях происходят процессы теплопереноса и диффузии покоящихся и движущихся жидкостей. Законы переноса тепла и массы имеют вид, ана-логичный закону трения Ньютона.

Жидкости и газы отличаются друг от друга внутренней структурой. В жид-костях межмолекулярные расстояния весьма малы, а, следовательно, силы сцеп-ления между ними достигают больших значений. В газовых средах силы взаимо-действия относительно малы, так как расстояния между молекулами велики. По этой причине формы движения частиц в жидкостях и газах оказываются сущест-венно различными. Вследствие различия в молекулярном строении жидкости и газы обладают разными физическими свойствами. Жидкости, как правило, мож-но считать слабо сжимаемыми средами или, в пределе, несжимаемыми. В про-цессе движения частицы жидкости практически не меняют объема; плотность жидкостей при умеренных перепадах давления можно принимать постоянной.

5

Характерной особенностью жидкостей следует считать также их ка-пиллярные свойства. В результате проявления этих свойств на границах раздела жидкостей и газов образуются поверхности свободного уровня, мениски, капли.

Газы, в отличие от жидкостей, характеризуются проявлением сжи-маемости: их плотность является переменной величиной. Вместе с тем при малых скоростях движения, т. е. при малых перепадах давления и в отсут-ствие теплообмена, сжимаемость газов проявляется слабо. Подчеркнем, что при больших перепадах давления сжимаемость обнаруживается и в жидкостях, однако она по сравнению с газами несоизмеримо мала. Часто газы называют сжимаемыми жидкостями.

В связи с интенсивным развитием скоростной авиации и космической техники возникли проблемы создания математических моделей движения газов при высоких температурах (течения в камерах сгорания авиационных и ракетных двигателей и обтекание корпусов ракет и т.д.) и больших сверхзвуковых скоростях (в соплах двигателей).

Заметим, что все задачи о движении тел в газовой (воздушной) среде или о движении газа в различных каналах составляют раздел аэрогидроме-ханики, который называют аэродинамикой.

Когда скорость движения газа становится сравнимой со скоростью звука или превышает ее, на передний план выдвигаются эффекты, связан-ные со сжимаемостью газа. Такого рода движения на практике имеют ме-сто у реальных газов. Поэтому об аэродинамике больших скоростей гово-рят обычно как о газодинамике.

Прежде всего, следует заметить, что в газодинамике почти всегда приходится иметь дело с очень большими значениями чисел Рейнольдса (Re = υL/ν, где υ – скорость газа, L – характерный размер, ν – кинематиче-ская вязкость). Действительно, кинематическая вязкость реального газа, как известно из кинетической теории газов, – порядка величины произве-дения длины свободного пробега молекул на их среднюю скорость теп-лового движения, которая совпадает по порядку величины со скоростью звука a, так что ν ~ a . Если же и характеристическая скорость газодина-мической задачи – порядка величины скорости звука, то число Рейнольдса

L~L~Reaa , т.е. оно определяется заведомо очень большим отношением

характеристических размеров L к длине свободного пробега (здесь не рассматривается движение тел в очень разреженных газах, когда длина пробега молекул сравнима с размерами тела – это специальный вопрос ки-нетической теории газов). Как всегда, при очень больших значениях Re вязкость оказывается несущественной для движения газа практически во всем пространстве, и в дальнейшем реальный (вязкий) газ будет рассмат-риваться как идеальный.

6

I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОДИНАМИКЕ

Эти модели охватывают разнообразные задачи плоских безвихревых движений идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотрим теоремы Кель-вина и Лагранжа об условиях существования таких безвихревых течений.

Согласно кинематической теореме Кельвина об изменении во времени циркуляции вектора скорости, индивидуальная производная во времени от циркуляции вектора скорости по замкнутому жидкому (т.е. состоящему во все время движения из одних и тех же частиц жидкости) контуру равна циркуляции вектора ускорения по тому же контуру, т.е.

∫∫ ⋅υ

=⋅υCC

rddtdrd

dtd . (1.1)

Возьмем уравнение движения Эйлера: p grad1Fdtd

ρ−=

υ , которое, в

случае потенциальности объемных сил и баротропности движения, можно записать в виде:

)ПP(graddtd

+−=υ , (1.2)

поскольку П gradF −= (когда объемные силы имеют потенциал П), а гра-диент функции давления Р при баротропном процессе

p grad1P gradρ

−= .

Подставляя уравнение (1.2) в (1.1), получим:

∫∫∫ +−=⋅+−=⋅υCCC

),РП(drd)PП(gradrddtd

т.к. drdrd

drdgrad =⋅=⋅ .

При однозначности функций Р и П контурный интеграл по замкнуто-му контуру от полного дифференциала равен нулю, и тогда:

0rddtd

=⋅υ∫ .

Следовательно, constrd =⋅υ=Γ ∫ (1.3) Уравнение (1.3) и является выражением теоремы Кельвина.

При баротропном движении идеальной жидкости под действием поля объ-емных сил с однозначным потенциалом циркуляция вектора скорости по замкнутому жидкому контуру не меняется.

Если учесть, что согласно теореме Стокса циркуляция вектора скоро-сти по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, то можно на основании теоремы Кель-

7

вина заключить, что при принятых допущениях о баротропности движения и наличии однозначного потенциала объемных сил сохраняется также и интенсивность вихревых трубок:

∫ =υS

n constds) rot( .

Предположим, что в начальный момент времени во всех точках об-ласти, заполненной жидкостью, отсутствуют завихренности, т.е. элемен-тарные жидкие объемы движутся без вращения, совершая лишь поступа-тельное и деформационное движения. Тогда постоянная, стоящая в правой части последнего уравнения, будет равна нулю, и в любой другой момент времени сохранится равенство:

∫ =υS

n 0ds) rot( .

Следовательно, 0) rot( n =υ или 0rot =υ Отсюда следует теорема Лагранжа.

Если во всех точках баротропно движущейся под действием объем-ных сил с однозначным потенциалом идеальной жидкости вектор вихря скорости в начальный момент времени был равен нулю, то движение ос-танется безвихревым и в любой последующий момент времени.

По аналогии из теоремы Лагранжа следует также, что если вначале движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем. В действительности, при движении реальной жидкости приходится наблю-дать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Главной причиной такого нарушения справедливости теорем Кельвина и Лагранжа служит наличие в реальной жидкости внутреннего трения (вязкости), осо-бенно существенного в тонком пограничном слое на поверхности обтекае-мого тела и в аэродинамическом следе за телом. Кроме того, возможно об-разование поверхностей разрыва сплошности жидкости, неустойчивых и сворачивающихся в дискретные вихри. Таковы, например, наблюдаемые в следе за обтекаемым телом вихревые дорожки Кармана.

Однако для идеальной жидкости теоремы Кельвина и Лагранжа явля-ются справедливыми, и тогда рассмотрим для нее понятие потенциала ско-ростей. Если движение жидкости безвихревое, то из условия равенства ну-лю вектора вихря скорости υrot следует существование функции ϕ, зави-сящей от координат и времени, связанной со скоростью υ равенством:

ϕ=υ grad , или в проекциях на оси прямоугольных декартовых координат:

xx ∂ϕ∂

=υ ; yy ∂ϕ∂

=υ ; zz ∂ϕ∂

=υ .

Функция ϕ называется потенциалом поля скоростей или потенциалом ско-ростей. Ранее мы шли от противного и говорили: если существует потен-циал скорости ϕ, связанный с вектором скорости соотношением ϕ=υ grad (т.е. течение потенциально), то вектор вихря скорости υrot равен нулю

8

(т.е. течение безвихревое). Это вытекает из следующих соотношений, за-писанных с помощью оператора Гамильтона ∇.

ϕ∇=ϕ=υ grad , υ×∇=υrot , тогда )(rot ϕ∇×∇=υ = 0)( =ϕ∇×∇ ,

т.к. векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Уравне-ние поверхности уровня потенциала скоростей: const)t,z,y,x( =ϕ , в случае стационарного поля const)z,y,x( =ϕ .

1.1. Математическая модель плоского движения

идеальной несжимаемой жидкости

Под плоским движением понимается такое движение, когда во всех плоскостях, перпендикулярных поверхности обтекания, движение частиц остается одинаковым. В этом случае достаточно рассмотреть задачу обте-кания контура в одной плоскости, все прочие поверхности обтекания пред-ставляют собой непрерывную систему параллельных плоскостей, в кото-рых течение является одинаковым. Поэтому можно, например, вместо про-странственного обтекания крыла бесконечного размаха рассмотреть плос-кое обтекание крылового контура.

Здесь возникает необходимость применения теории функций ком-плексного переменного к задаче плоского безвихревого обтекания тел не-сжимаемой идеальной жидкостью.

Жуковский показал, что задача обтекания кругового цилиндра набе-гающим идеальным потоком решается аналитически до конца. Тогда это решения можно распространить на произвольный контур, если плоскость круга отображается на плоскость этого контура, т.е. использовать метод конформных отображений. Кинематическая задача охватывается уравне-нием неразрывности для плоского движения несжимаемой жидкости

0)y,x(div =υ или

0yx

yx =∂υ∂

+∂υ∂ . (1.4)

Это уравнение можно решить, если ввести новую функцию тока ψ, такую, что

yx ∂ψ∂

=υ , xy ∂ψ∂

−=υ . (1.5)

Задача свелась к нахождению функции ψ. Запишем для этого дифференци-альное уравнение линий тока, которое в случае плоского движения имеет вид:

yx

yxυ∂

=υ∂ или 0dydx xy =υ−υ . (1.6)

9

Подставляя в уравнение (1.6) выражение для υx и υy через ψ, получим

0dyy

dxx

=∂ψ∂

+∂ψ∂ , т.е полный дифференциал dψ(x,y)=0. Тогда

ψ(x,y)=const, следовательно, функция ψ сохраняет постоянное значение вдоль линий тока. В силу этого функция ψ получила название функции то-ка. Если взять известные соотношения для проекций вектора скорости че-рез потенциал скорости ϕ:

xx ∂ϕ∂

=υ , yy ∂ϕ∂

=υ , (1.7)

то, подставляя их в уравнение неразрывности (1.4), придем к уравнению Лапласа

0yx 2

2

2

2

=∂

ϕ∂+

∂ϕ∂ .

Если наложено условие потенциальности плоского течения, то имеет место

уравнение 0yx

xy =∂υ∂

−∂υ∂

, (1.8)

полученное из уравнения 0kyx

)y,x(rot xy =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

−∂υ∂

=υ , которое является

выражением того, что рассматриваемое поле безвихревое. Подставляя в уравнение (1.8) выражение для υx и υy через ψ, получим

опять уравнение Лапласа 0yx 2

2

2

2

=∂

ψ∂+

∂ψ∂ .

Таким образом, в случае потенциального поля скоростей как функции тока, так и потенциалы скоростей определяются одинаковыми уравнения-ми типа Лапласа.

Если сопоставить соотношения (1.5) и (1.7), то получим

yx ∂ψ∂

=∂ϕ∂ ;

yx ∂ϕ∂

−=∂ψ∂ . (1.9)

Эти соотношения для идеальной несжимаемой жидкости выражают условия Коши – Римана. С точки зрения теории функций комплексного переменного эти условия говорят о следующем: существует характери-стическая функция W(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y) (для которой действительная часть ϕ, а мнимая ψ), являющаяся аналитической функцией комплексного аргу-мента z, где z=x+iy. Если продифференцировать по х характеристическую

функцию W(z), то получим: υ=υ−υ=∂ϕ∂

−∂ϕ∂

=∂ψ∂

+∂ϕ∂

=∂∂

yx iy

ixx

ixx

W .

Полученное выражение носит название сопряженной скорости и обо-значается υ , а скорость yx iυ+υ=υ является комплексной скоро- стью. Необходимо отметить, что

10

dzdW

)iy(W

xW

=∂∂

=∂∂

=υ . (1.10)

Это вытекает из свойств функции W(z) как функции не просто двух переменных (координат х,у), а функции одной комплексной переменной z=x+iy. Действительно, если величина W есть функция только положения точки М с координатой z, то производная от нее в этой точке в свою оче-редь должна быть функцией только положения точки, т.е. координаты z, и не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными сло-

вами, производная dz

dW и производные по направлениям действительной и

мнимой осей должны быть равны между собой. Действительно,

υ=υ−υ=∂ψ∂

+∂ϕ∂

−=∂∂

−=∂∂

yx iyy

iyWi

)iy(W

и, следовательно, получим dz

dWxW

)iy(W

=υ=∂∂

=∂∂ .

Таким образом, производная от характеристической функции W есть со-пряженная скорость υ , а сама функция W(z)=ϕ+iψ называется комплекс-ным потенциалом или характеристической функцией течения. Поэтому возникает очень интересное предложение: рассматривать не действитель-ное течение и действительные силы, а их зеркальные отображения.

Математический аппарат теории функций комплексного переменного приводит к новому качеству, при помощи которого решение задачи об оп-ределении поля скоростей и подъемной силы (сопротивления) рассматри-вается в зеркальном отображении. Из курса теории функций комплексного переменного известно, что функция комплексного переменного W(z) одно-значно отображает точки плоскости комплексного переменного z=x+iy на плоскость комплексного переменного W=ϕ+iψ. При этом происходит ото-бражение фигур: замкнутых кривых и ограниченных ими частей плоскости z в соответствующие им фигуры или части плоскости W. Такое отображе-ние называют конформным.

1.2 Комплексные потенциалы и характеризуемые ими виды движений

Рассмотрим комплексный потенциал W(z)=ϕ(x,y)+ιψ(x,y). Отделяя дейст-вительную и мнимую части W(z), получим потенциал скоростей ϕ и функ-цию тока ψ некоторого плоского безвихревого движения:

ϕ(x,y)=Re W(z); ψ(x,y)=Im W(z). Приравнивая функцию ϕ(x,y) различным постоянным ϕ(x,y)=С, получим семейство изопотенциальных линий, аналогично совокупность равенств ψ(x,y)=С’ представляет собой семейство линий тока. Изопотенциальные

11

линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортого-нальны. Для доказательства этого утверждения надо показать, что взаимно перпендикулярны векторы – градиенты этих функций. Действительно,

,0xyyx

yyxxj

yi

xj

yi

xgradgrad

≡∂ϕ∂

∂ϕ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

−∂ϕ∂

=

∂ψ∂

∂ϕ∂

+∂ψ∂

∂ϕ∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

+∂ψ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ψ⋅ϕ

что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока (так как скалярное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы перпендикулярны друг другу).

Зная комплексный потенциал W(z), можно определить вектор скоро-сти υ или его проекции υx и υy. Комплексная скорость yx iυ+υ=υ , величина этой скорости (или модуль

комплексного числа) равна 2y

2x υ+υ=υ . Сопряженная скорость

yx iυ−υ=υ , величина этой скорости υ=υ+υ=υ 2y

2x .

Если θ - угол между вектором и осью 0х, то θυ=θ+θυ=υ+υ=υ i

yx e)sini(cosi . Здесь использована формула Эйлера )sini(cosie θ+θ=θ :

θ−υ=θ−θυ=υ−υ=υ iyx e)sini(cosi ,

θ−υ=υ i2e . Отсюда видно, что сопряженная скорость υ является зеркальным отобра-жением υ относительно оси 0υx. Плоскость Х0Y называется физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости υ образует плоскость го-дографа скорости или плоскость годографа. В этой плоскости располага-ются годографы скорости, то есть геометрические места концов векторов скоростей частиц жидкости, проведенных из начала координат.

Производная от комплексного потенциала:

yxi ie

dzdw

υ−υ=υ=υ= θ− .

Тогда проекции скорости: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=υ

dzdwRex ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=υ

dzdwImy .

Контурный интеграл от сопряженной скорости υ по замкнутому кон-туру С в плоскости течения равен:

( )∫∫∫∫ ψ+ϕ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=υ

CCCCidddwdz

dzdwdz .

Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, получим:

12

( )

( )∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

=υ+υ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

+∂ψ∂

=ψ=υ

=υ+υ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ=υ

C C yxCC

C C yxCC

.Qdxdydyy

dxx

ddzIm

;Гdydxdyy

dxx

ddzRe

Отсюда видно, что действительная часть контурного интеграла определяет циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, а мнимая – секундный объемный расход жидкости Q через замкнутый контур.

Рассмотрим несколько простых примеров комплексных потенциалов, которые широко используются на практике: а) линейная функция W(z)=az, где а – в общем случае комплексная посто-янная. Составляя сопряженную скорость

( ) ;esinicosiconstadz

dW iyx

α−∞∞∞∞∞ υ=α−αυ=υ−υ=υ====υ

видим, что комплексная константа представляет одинаковую по величине и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одинаковой будет и комплексная скорость

( ) ;esinicosi iyx

α∞∞∞∞∞ υ=α+αυ=υ+υ=υ=υ

Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал од-нородного потока со скоростью ∞υ , наклоненного к действительной оси физической плоскости под углом α (рис. 1).

( ) ( )zsinicoszezizW iyx α−αυ=υ=υ−υ=υ= ∞

α−∞∞∞∞ .

Отделяя действительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей ϕ и функцию тока ψ:

( )( )( ) ( )[ ]α+α−+α+αυ=

=+α−αυ=

∞

∞

cosysinxisinycosx

iyxsinicosW

Так как w = ϕ + i ψ, то ( )( ) yxcosysinx

yxsinycosx

xy

yx

∞∞∞

∞∞∞

υ+υ−=α+α−υ=ψ

υ+υ=α+αυ=ϕ

Здесь использованы соотношения z=x+iy; αυ=υαυ=υ ∞∞∞∞ sin,cos yx . В частных случаях равенства α=0 и α=π/2, получим: →υ=ψυ=ϕ ∞∞ y,x при α=0; →υ−=ψυ=ϕ ∞∞ x,y при α=π/2. Это будут потенциалы скорости и функции тока однородных потоков, на-правленных соответственно вдоль осей X и Y;

Рис.1

13

б) логарифмическая функция W=A⋅lnz, где А – действительная величина. Воспользовавшись полярными координатами (r,θ), полагая z=reiθ и учиты-вая, что ln eiθ=iθ, получим

W=ϕ+iψ=A ln(r)+iθ, откуда ϕ=А ln(r), ψ=Aθ. Линиями тока служат лучи θ=const, выходящие из начала координат, изо-потенциальными линиями – ортогональные к ним окружности r=const (рис.2).

а б

Рис. 2 Картина линий тока на рис. 2 соответствует плоскому течению жидкости из точечного источника (а) или к стоку (б), находящимся в начале коорди-нат.

Чтобы найти гидродинамическое значение коэффициента А, введем в рассмотрение мощность (интенсивность) источника или стока Q, опреде-лив эту величину как секундный объемный расход жидкости сквозь замк-нутый контур, охватывающий источник или сток (в данном случае – нача-ло координат), положительный для источника и отрицательный для стока.

Так как Q= θ=ψψ∫ Aa,dC

, то ,A2AdQ2

0π=θ= ∫

π

откуда π

=2QA .

Тогда характеристическая функция для расположенного в начале ко-ординат источника или стоке с секундным объемным расходом Q будет:

θπ

=ψπ

=ϕπ

=2Qиrln

2Qa,zln

2Q)z(W .

Далее z2

Qdz

zlnd2Q

dzdW

π=

π==υ , 22

r θυ+υ=υ , где θ∂ϕ∂

=υ∂ϕ∂

=υ θ r1,

rr .

В нашем случае r2

Qтогда,0,

r2Q

rrln

2Q

rr π=υ=υ=υ

π=

∂∂

π=υ θ ;

в) логарифмическая функция W=A lnz, где А – чисто мнимая величина, равная Вi, где В – действительная константа. Тогда потенциалу W=Вilnz

14

будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и во втором случае, но только линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами.

Картина линии тока соответствует цир-куляционному движению жидкости во-круг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат (рис. 3). Покажем это: поскольку в полярных ко-ординатах z=r⋅eiθ, то W = ϕ + iψ = Вi⋅lnz = Вi⋅(ln r+ iQ) = = -Bθ+ iB⋅ln r.

Отсюда ϕ=-Bθ; ψ=Bln r,

так как B2Bdd2

0C

π−=θ−=ϕ=Γ ∫∫π

, тогда π

Γ−=

2B .

Следовательно, комплексный потенциал циркуляционного потока с данной циркуляцией Г будет равен:

zlni2

zlni2

zlnBiWπΓ

=⋅π

Γ−=⋅= .

При этом знак циркуляции Г определяется как положительный в предпо-ложении, что направление интегрирования по контуру выбирается в такую сторону, чтобы при этом площадь, ограниченная контуром, оставалась слева.

Далее θπ

Γ=θ−=ϕ

2B , rln

2rlnB

πΓ

−==ψ ,

iz2dzzlnd

i2dzdW

πΓ

=πΓ

==υ ; 22r θυ+υ=υ ; 0

rr =∂ϕ∂

=υ ; r2r

1πΓ

=θ∂ϕ∂

=υθ ,

тогда r2π

Γ=υ=υ θ .

Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распре-деление абсолютной величины скорости будет:

в случае источника r2

Qπ

=υ , в случае стока r2π

Γ=υ , то есть величина

скорости обратно пропорциональна расстоянию от источника (стока) или вихря. В начале координат скорость бесконечно велика – начало координат является особой точкой поля скоростей.

1.3. Математическая модель бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью

Для определения комплексного потенциала при бесциркуляционном обте-кании кругового цилиндра радиусом a нужно решить уравнение нераз-рывности

Рис. 3

15

0yx

yx =∂

υ∂+

∂υ∂ или υdiv =0

при следующих граничных условиях: а) при r=a υr=0, т.к. проекция вектора скорости υr перпендикулярна по-

верхности цилиндра (рис. 4); б) при r ∞ υr=υ∞ cosθ.

Решать уравнение неразрывности будем в полярных координатах (r, θ). Его можно получить, вводя так называемые коэффи-циенты Ламэ:

2

i

2

i

2

ii g

zgy

gxH ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ,

где gi – криволинейные координаты. Величины Hi (параметры Ламэ)

имеют смысл коэффициентов пропорциональности в равенстве, выражаю-щем связь между элементарным приращением dSi длины отрезка и прира-щением соответствующей криволинейной координаты: dSi=Hidgi. Здесь dS1, dS2, dS2 – длины ребер элементарной ячейки; g1, g2, g3, – оси криволи-нейных координат. Тогда dS1=H1dg1, dS2=H2dg2, dS3=H3dg3.

2

1

2

1

2

11 g

zgy

gxH ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ,

2

2

2

2

2

22 g

zgy

gxH ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ,

2

3

2

3

2

33 g

zgy

gxH ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= .

Из векторного анализа известно:

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡υ

∂∂

+υ∂

∂+υ

∂∂

=υ 213g3

312g2

321g1321

HHg

HHg

HHgHHH

1div .

В полярной системе координат криволинейными координатами являются g1=r, g2=θ, связанные с декартовыми координатами следующими соотно-шениями:

x = r cos(θ), y = r sin(θ). Найдем коэффициенты для нашего случая плоского обтекания:

1)sin()cos(ry

rxH 22

22

r =θ+θ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= ,

Рис. 4

16

r))cos(r())sin(r(yxH 2222

=θ+θ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

=θ .

В криволинейных полярных координатах для плоского случая

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ υ

θ∂∂

+υ∂∂

=υ θθθ

rrr

HHrHH

1div .

Подставляя значения Hr=1 и Hθ=r, получим ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ υ

θ∂∂

+υ∂∂

=υ θrrrr

1div .

Тогда уравнение неразрывности будет иметь вид:

( ) ( ) 0r1r

rr1

r =υθ∂∂

+υ∂∂

θ или ( ) 0r1

rrrr =υ

θ∂∂

+υ

+∂υ∂

θ . (1.11)

Это и есть уравнение неразрывности в полярных координатах для плоского течения. В работах Жуковского вводится функция потенциала скорости, опреде-

ляемая соотношениями: rr ∂ϕ∂

=υ ; θ∂ϕ∂

=υθ r1 , т.к. в полярных координатах

приращениями координатных линий являются r∂ и θ∂r . Тогда подставляя в уравнение (1.11) выражения для υr и υθ, получим:

0r1

rr1

r 2

2

22

2

=θ∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂

ϕ∂ . (1.12)

Это дифференциальное уравнение является уравнением Лапласа, записан-ным для плоской задачи в полярной системе координат. Его можно решать методом Пуассона, согласно которому )()r(R),r( θϑ=θϕ . Найдем произ-водные из (1.12), учитывая, что R зависит только от r, а ϑ зависит только от θ:

ϑ=∂ϕ∂ 'Rr

; ϑ=∂

ϕ∂ "Rr2

2

; "R2

2

ϑ=θ∂ϕ∂ .

Подставляя эти значения в уравнение Лапласа (1.12), получим:

0"Rr1'R

r1"R

2=ϑ+ϑ+ϑ или, умножив на r2: 0R")"Rr'rR( 2 =ϑ++ϑ .

Очевидно, что оно может быть записано в виде 2

2

nR

)"Rr'rR("−=

+−=

ϑϑ . (1.13)

Такая запись справедлива, поскольку левая часть зависит только от ϑ, а правая - только от R. Введем коэффициент – n2, который изменяется в пределах (1 ≤ n ≤ ∞ ). Тогда уравнение (1.13) распадается на два:

⎭⎬⎫

=−+

=ϑ+ϑ

0Rn'rR"Rr0n''

22

2

(1.14)

17

Первое уравнение системы (1.14) – это однородное линейное уравнение второго порядка, его решение имеет вид:

ϑ = С1 cos(nθ) + С2 sin(nθ). (1.15) Второе уравнение системы (1.14) является уравнением Эйлера. Решение этого уравнения ищется в виде: R=rm, тогда R’=m rm-1, R”=m(m-1)rm-2. Вно-ся полученные значения во второе уравнение системы (1.14), получим сле-дующее: m(m-1) rm +m rm – n2rm = 0 ⇒ (m2 – n2)rm = 0 ⇒ (m2 – n2) = 0 и тогда m = ±n. Следовательно, решение второго уравнения системы (1.14) следует искать в следующем виде:

R = C3 rn + C4 r-n. (1.16) Тогда частный интеграл уравнения Лапласа (1.12) можно записать в сле-дующем обобщенном виде:

[ ] [ ] nn r)nsin(D)ncos(Cr)nsin(B)ncos(A)()r(R),r( −θ+θ+θ+θ=θϑ=θϕ . Общий интеграл исходного уравнения Лапласа для плоской задачи будет равен сумме частных решений:

[ ] [ ]∑∞

=

−θ+θ+θ+θ=θϕ1n

nnn

nnn r)nsin(D)ncos(Cr)nsin(B)ncos(A),r( .(1.17)

Отыщем коэффициенты An, Bn, Cn, Dn, воспользовавшись граничными ус-ловиями. Найдем

[ ] [ ]∑∑∞

=

−−∞

=

− θ+θ−θ+θ=∂ϕ∂

1n

1nnn

1n

1nnn r)nsin(D)ncos(Cnr)nsin(B)ncos(An

r.

Возьмем второе граничное условие: при r →∞ )cos(r r θυ=υ=

∂ϕ∂

∞ .

В этом случае при n=1, υ∞cos(θ) = A1 cos(θ) и, следовательно, A1 = υ∞. Дру-гие коэффициенты A2 = A3 =… An =0; B1 = B2 =… Bn = 0 при всех осталь-ных n>1. Тогда производную можно записать в следующем виде:

[ ]∑∞

=

−−∞ θ+θ−θυ=

∂ϕ∂

1n

1nnn r)nsin(D)ncos(C)cos(

r.

Возьмем другое граничное условие: при r=a 0r r =υ=

∂ϕ∂ . В этом случае

при n=1: 0 = υ∞ cosθ - C1 a-2 cosθ, откуда С1= υ∞a2, C2 = C3 =…=Cn=0 и D1 = D2 = …= Dn = 0 при всех n > 1. Подставим все найденные значения коэффициентов An, Bn, Cn и Dn в об-щий интеграл уравнения Лапласа (1.17) и получим искомый потенциал скоростей:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ=θυ+θυ=θϕ ∞∞∞ r

arcoscosr

acosr),r(22

. (1.18)

18

Для нахождения характеристической функции W(z) надо найти ортого-нальную к функции ϕ функцию тока ψ. Воспользуемся условиями Коши –Римана, которые в полярной системе координат запишутся так:

θ∂ψ∂

=∂ϕ∂

rr;

rr ∂ψ∂

−=θ∂ϕ∂ .

Найдем производные r∂ψ∂ и

θ∂ψ∂ .

θ∂ϕ∂

−=∂ψ∂

rr;

rr

∂ϕ∂

=θ∂ψ∂ .

Тогда с учетом (1.18) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ−=

θ∂ϕ∂

∞∞ 2

22

ra1sinr

rarsin и, следо-

вательно:

а) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ=

θ∂ϕ∂

−=∂ψ∂

∞ 2

2

ra1sin

rr;

б) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −θυ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −θυ=∂ϕ∂

=θ∂ψ∂

∞∞ rarcos

ra1cosr

rr

2

2

2

, т.к. с учетом (1.18):

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −θυ=∂ϕ∂

∞ 2

2

ra1cos

r.

Интеграл от функции θθ∂ψ∂

+∂ψ∂

=ψ ddrr

d (как полного дифференциала) яв-

ляется криволинейным интегралом 2 рода. Берется он следующим обра-

зом: сначала интегрируем r∂ψ∂ по r : )(C

rarsin

2

θ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θυ=ψ ∞ , затем по-

лученное выражение дифференцируем по θ:

)('Cr

arcos2

θ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θυ=

θ∂ψ∂

∞ .

Результат сравниваем с производной θ∂ψ∂ , записанной ранее: получаем

0)('C =θ ,тогда С(θ)=const, и, следовательно, constr

arsin2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θυ=ψ ∞ .

Итак, опуская константу, что не меняет физической картины течения, по-лучаем

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θυ=ψ ∞ r

arsin2

. (1.19)

Характеристическая функция W(z) будет равна:

19

W(z) = ϕ(r,θ) + i ψ(r,θ) = υ∞ [r(cos θ + i sin θ) + r

a 2

(cos θ - i sin θ)],

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+υ= ∞ z

az)z(W2

. (1.20)

Здесь r(cos θ + i sin θ)= z r ie =θ ; z1

r1

r1)sini (cos

r1

ii

ee ==θ−θ

θθ− = .

Поставленная здесь задача решена до конца. Рассмотрим кинематические характеристики обтекания. Найдем ско-

рость потока на поверхности обтекаемого тела:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ−=

θ∂ϕ∂

=υ ∞θ 2

2

ra1sin

r1 , т.к. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θυ−==

θ∂ϕ∂

∞ 2

2

ra1sinr ,

при r=a: θυ−=υ ∞θ sin2 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −θυ=∂ϕ∂

=υ ∞ 2

2

r ra1cos

r при r=a: υr=0,

22r θυ+υ=υ ; при r=a υ = 2υ∞ sin θ или θ=

υυ

∞

sin2 . (1.21)

Коэффициент давления )(2/1

ppC 2p∞

∞

ρυ−

= можно найти с помощью уравнения

Бернулли: 2

p2

p22∞

∞ρυ

+=ρυ

+ , из которого 22

pp22 ρυ

−ρυ

=− ∞∞ . Тогда 2

2p 1)(2/1

ppC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυ

−=ρυ

−=

∞∞

∞ ,

или, учитывая полученный выше результат (1.21), на поверхности обте-каемого цилиндра получим

θ−= 2p sin41C . (1.22)

Выясним физическое содержание полученных соотношений. В точках А и В (рис. 5) значение скорости υ будет равно нулю, т.к. в этих точках θ=0,

0sin =θ и 0sin2 =θυ=υ ∞ , тогда Ср=1. Эти точки в аэродинамике называ-ют критическими: точка А – передняя критическая точка или лобовая точ-ка, точка В – задняя критическая точка или кормовая точка.

В точках С и D (θ=±900): 2=υυ

∞

,

Ср=-3. Эти точки также являются харак-терными точками при обтекании конту-ра. Они называются миделевыми точка-ми, в них будет удвоенная скорость υ∞, т.е. υ=2υ∞.

Рис. 5

20

На контуре САD в передней точке разветвления (точка А) коэффици-ент давления имеет максимальное значение, затем при движении к точкам С и D происходит разгон жидкости от нуля до 2υ∞. Это конфузорная часть контура. На участке СВD происходит падение скорости и рост давления – это диффузорная часть контура. Необходимо обратить внимание на сим-метричную картину обтекания кругового цилиндра как относительно оси ОХ, так и оси OY.

Вычислим главную аэродинамическую реакцию (равнодействующую сил давлений жидкости на цилиндр) и главный аэродинамический момент при помощи интегральных соотношений, предложенных Чаплыгиным и независимо от него Блазиусом.

При введении характеристической функции W рассматривается зер-кальное отображение, следовательно, и при вычислении реакции и момен-та с использованием W рассматривают зеркальную задачу. Главный вектор сил гидродинамических давлений R жидкости на цилиндр равен в общем случае ∫−=

CdnPR . Кроме того, yx iRRR += . Его зеркальное отображение

∫∫ =−−=−−=−=CC

yxyx d)]y,ncos(i)x,n[cos(pd)ipnpn(iRRR

;dpid)]sini[cospid)]cosi[sinpC

i

CCe∫∫∫ θ−−=θ−θ−=θ+θ−=

∫−=C

zpdiR . (1.23)

Здесь θ – угол между осью Х и касательной к поверхности цилиндра в точке М (см. рис. 6); nx=cos(n^x); ny=cos(n^y); (n^x)=θ-900; (n^y)=1800-θ; dz=dx+idy=d (cos(θ)+i⋅sin(θ)) = eiθd ;

zd =dx-idy= d (cos(θ)–i⋅sin(θ)) =e-iθd ; zd = e-2iθdz.

Обратимся к интегралу Бернулли: const2

p2

=ρυ

+ , откуда

2constp

2ρυ−= . Здесь υ – величина скорости, которая в теории комплекс-

ного переменного обозначается как модуль комплексного числа: 2y

2x υ+υ=υ=υ . Подставим p и υ в формулу (1.23) и получим:

∫∫ ⋅−υρ

=CC

2 zdconstizd2iR .

Рис. 6

21

Здесь 0zdconstiC

≡⋅− ∫ , поскольку zd является полным дифференциа-

лом, а интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Тогда получим:

∫∫∫ υρ

=υρ

=υρ

= θ−

C

2

C

2

C

2 dz2idz

2izd

2iR i2e ,

так как θ−⋅υ=υ ie .

Поскольку dz

dW=υ , то ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ρ

=C

2

dzdz

dW2iR . (1.24)

Это первое интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса. Следовательно, если известна характеристическая функция W, то можно найти главный аэродинамический вектор R , возникающий при обтекании контура.

Главный момент L сил гидродинамических давлений жидкости на ци-линдр определяется относительно оси, расположенной перпендикулярно плоскости течения и проходящей через начало координат.

∫∫ =−−=−=CC

xy pd))x,ncos(y)y,ncos(x(pd)ynxn(L

∫∫ +=θ−θ−−=CC

)ydyxdx(pd))sin(y)cos(x(p ,

так как dx = cos(θ); dy = sin(θ).

Поскольку zzd = (x+iy)(dx-idy) = (xdx+ydy)+ i(ydx-xdy), то отсюда (xdx+ydy)=Re( zzd ) и тогда ∫=

CzpzdReL .

Из уравнения Бернулли: 2

constp2υρ

−= . Следовательно,

∫ υρ

−=C

2 zzdRe2

L , поскольку второй интеграл от полного дифференциала

zd равен нулю.

Так как dzzd i2e θ−= ; θ−υ=υ ie , то ∫ =υρ

−= θ−

C

2 zdzRe2

L i2e

∫ υρ

−=C

2 zdzRe2

и окончательно

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ

−=C

2

zdzdz

dWRe2

L . (1.25)

Это второе интегральное выражение Чаплыгина-Блазиуса. Следовательно, зная W(z), можно найти и динамический момент L

сил давления потока на профиль С – в нашем случае на круговой цилиндр.

22

Итак, поскольку характеристическая функция для кругового профиля имеет вид:

zaz)z(W

2∞

∞υ

+υ= , то, чтобы судить о динамике процесса, надо най-

ти: 2

2

za

dz)z(dW ∞

∞υ

−υ= ;

4

24

2

222

2

za

za2

dz)z(dW ∞∞

∞υ

+υ

−υ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

и подставить последнее выражение в (1.24) и (1.25). Вспомним интегральную теорему Коши, в соответствии с которой

комплексный контурный интеграл 0dz)z(fC

=∫ , если f(z) - аналитическая

функция в некоторой области D, где С – замкнутый контур, принадлежа-щий этой области. Эти условия для нашей задачи выполняются и тогда

0R = и L=0. Иными словами: при обтекании идеальным потоком кругового ци-

линдра главный аэродинамический вектор и главный момент сил давления жидкости на цилиндр равны нулю. Это означает, что при обтекании иде-альным потоком кругового цилиндра – сам цилиндр не оказывает никако-го влияния на поток.

Этот принцип называется парадоксом Даламбера: при обтекании иде-альным потоком тела реакция между ним и потоком отсутствует. Парадокс Даламбера опровергается при рассмотрении реального вязкого течения с образованием вихрей в пограничном слое вокруг тела, да еще с отрывом слоев вблизи миделевых точек.

Н.Е. Жуковский показал, что если идеальный поток обтекает круговой цилиндр, имеющий вращение, то возникает подъемная сила.

1.4. Математическая модель циркуляционного обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью

Посмотрим, как подошел к этой проблеме Жуковский. Мы видели,

что при анализе решения задачи бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра у нас появилось такое выражение: ϕ(r,θ)=R(r)⋅ϑ(θ) и

22

nR

'rR"Rr"−=

+−=

ϑϑ (при 1 ≤ n ≤ ∞). Теперь необходимо рассмотреть ре-

шение, когда 0≤n≤∞. В этом случае будут две системы уравнений:

23

а) при n=0: 0"=

ϑϑ и 0'rR"Rr2 =+ . (1.26)

Это означает наличие вихря в начале координат с циркуляцией Г; б) уравнения, охватывающие случаи 1 ≤ n ≤ ∞, которые были уже рас-

смотрены при бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра. Поскольку задача линейная, то комплексные потенциалы процессов а)

и б) складываются. Итак, решаем систему уравнений а):

ϑ’(θ)=C1; 21 CdC)( +θ=θϑ ∫ ; 21 CC)( +θ=θϑ .

Далее r'R''R −= . Обозначим R’=p, тогда

rp'p −= , или

rp

drdp

−= . Разде-

ляя переменные, запишем: r

drp

dp−= . Интегрируя, получим:

3lnCr-ln pln += , потенциируем : r

Cp 3= или r

CdrdR 3= .

Разделим переменные : 3Cr

drdR = .

Интегрируя, получим : 43 CCrlnR +⋅= . Таким образом, 43 CCrln)r(R +⋅= . Так как ϕ(r,θ)=R(r)⋅ϑ(θ), то ϕ(r,θ)=( 21 CC +θ )( 43 CCrln +⋅ ). Для нахождения констант используем граничное условие на поверх-

ности обтекаемого профиля: при r=a =∂ϕ∂

=υrr 0.

Найдем 0Cr1)CC(

r 321r =+θ=υ=∂ϕ∂ .

Поскольку 21 CC +θ =ϑ(θ)≠0, 0r1

≠ , то отсюда С3=0 и, следовательно,

можно записать ϕ(r,θ)=( 21 CC +θ )С4. Отбрасывая константу С2⋅С4, что не меняет физического смысла зада-

чи, получим ϕ=Aθ.

Тогда A=θ∂ϕ∂ , а

rA

r1

=θ∂ϕ∂

=υθ , откуда θ∂=θ∂υ=ϕ∂ θ Ar .

Для определения произвольной постоянной интегрирования А найдем

циркуляцию Г, равную A2Ard2

0CCπ=θ∂=θ∂υ=ϕ=Γ ∫∫∫

π

θ .

Отсюда π

Γ=

2A , следовательно, θ

πΓ

=ϕ2

; π

Γ=

θ∂ϕ∂

2. (1.27)

Определим теперь функцию ψ(r,θ), используя условия Коши-Римана для полярных координат:

24

πΓ

−=θ∂ϕ∂

−=∂ψ∂

221

rr; (1.28)

0r

r =∂ϕ∂

=θ∂ψ∂ , так как 0

rr =∂ϕ∂

=υ при обтекании контура профиля.

Интегрируя уравнение (1.28) и опуская константу, имеем

rln2πΓ

−=ψ . (1.29)

Тогда характеристическая функция с учетом выражений (1.27), (1.29):

)rlni(2

i)z(W ⋅−θπ

Γ=ψ+ϕ= .

Умножим и разделим это выражение на i: )ir(lni2

)z(W θ+πΓ

= . В по-

лярных координатах θ= iez , тогда θ+= ir ln zln и

zlni2

)z(WπΓ

= . (1.30)

Таким образом, при учете нулевого решения для характеристической функции W, то есть при циркуляционном обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью, имеем (складывая потенциалы):

zlni2z

az)z(W2

πΓ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+υ= ∞ . (1.31)

Как показывает формула (1.31), для кругового цилиндра циркуляционное обтекание получают наложением вихря с циркуляцией Г на бесциркуля-ционое обтекание. Рассмотрим кинематическую картину обтекания. Составим произ-

водную: υ=πΓ

+υ

−υ= ∞∞ z

1i2z

adz

dW2

2

. (1.32)

Положим величину производной, равной нулю. Это означает, что имеют место критические точки А’ и B’, в которых 0=υ . Умножив все члены (1.32) на z2/υ∞, получим квадратное уравнение:

0az2

iz 22 =−πυΓ

−∞

.

Здесь также освободились от мнимости в знаменателе во втором слагае-мом. Решение этого уравнения имеет вид.

04

a4

iz2

22,1 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πυΓ

−±πυΓ

=∞∞

.

Это решение указывает на три возможных типа обтекания кругового ци-линдра радиуса а в зависимости от величины циркуляции. Направление потока, как правило, совпадет с положительным направлением оси Ох.

25

1. Когда циркуляция мала: |Г| < 4πаυ∞, то есть a<πυ4 Γ

∞

. В этом случае

корни уравнения комплексные:

∞∞ πυΓ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πυΓ

−±=4

i4

az2

22,1 ,

имеют общую ординату ∞πυ

Γ4

и отличаются лишь знаками абсцисс по

модулю, меньших а. Модуль каждого из корней равен а, то есть они расположены на окружно-сти радиуса а. Картина обтекания и положение критических точек показаны на рис. 7. Крити-ческими точками будут не А и В (как при бес-циркуляционном обтекании), а А’ и B’. При уменьшении Г до нуля критические точки бу-дут перемещаться: А’ A, B’ B, стремясь занять положение на пересечении окружности с осью ОХ, как это и должно быть при Г=0 (для

справки – циркуляция положительная при направлении вращения против часовой стрелки).

2. Промежуточный случай, когда: |Г| = 4πаυ∞, то есть a=πυ4 Γ

∞

. В этом

случае корни z1 и z2 равны между собой. Модуль их равен а, критиче-ские точки совпадают (рис. 8) и находятся на мнимой оси в точке z1 = z2 =аi.

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 7

26

3. Когда циркуляция велика: Г| > 4πаυ∞, то есть a>πυ4 Γ

∞

. В этом случае

в выражении для z под знаком радикала будет стоять отрицательная ве-личина и можно записать:

ia44

z 22

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πυΓ

±πυΓ

=∞∞

.

Оба корня квадратного уравнения мнимые, причем модуль одного

больше радиуса цилиндра, другого - меньше. В самом деле, корень z1 име-ет модуль (при Г>0):

a4

a44

22

1z >πυΓ

>−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πυΓ

+πυΓ

=∞∞∞

.

Второй корень имеет модуль:

( ) 22

22

2

2a44

aa44z

−πυΓ+πυΓ

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πυΓ

−πυΓ

=∞

∞∞∞

.

Это выражение получают, умножив и разделив формулу для |Z2| на член, стоящий в знаменателе выражения. Заменим в знаменателе послед-него выражения

∞πυΓ

4 на меньшую величину а, тем самым как бы уве-

личивается |Z2| и тогда получим: ,aaa 2

2z == то есть на самом деле .az2 <

Таким образом, первый корень дает критическую точку А’, лежащую вне круга на положительной стороне мнимой оси (рис. 9), второй корень – критическую точку В, лежащую на той же оси, но внутри круга.

Как видно, при циркуляционном обтекании кругового цилиндра со-храняется симметрия только относительно оси ОУ и нарушается относи-тельно оси ОХ. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси ОУ. Заметим, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляцион-ного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилинд-ра складываются (направлены в одну сторону), а под цилиндром - вычита-ются (т.к. направлены в разные стороны). При этом под цилиндром скоро-сти получаются большие, а давления, согласно уравнению Бернулли, меньшие. Над цилиндром, наоборот, скорости меньшие, а давления боль-шие. Это приводит к тому, что в указанном на рис. 9 обтекании главный вектор сил давления R жидкости на цилиндр будет направлен по оси ОУ в отрицательную сторону (вниз).

27

При циркуляционном течении по часовой стрелке (Г<0) картина обте-кания при том же расположении осей координат изменяется на переверну-тую вокруг оси ОХ на 1800, и главный вектор сил давления окажется на-правленным по оси ОУ в положительную сторону, то есть вверх (т.к. тогда скорости сложатся над цилиндром и давления над ним станут меньшими по сравнению с давлениями под цилиндром). Можно дать простое правило определения направления главного вектора сил давления жидкости на по-верхность цилиндра: поместив начало вектора скорости ∞υ в центр цилин-дра 0, повернуть его на 900 в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения – это и даст направление главного вектора R.

Теперь необходимо вычислить величину R: 2

2

22

z1

i2za

dzdW

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛πΓ

+υ

−υ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞

∞ .

Подставим это выражение в первое интегральное выражение Чаплы-гина-Блазиуса:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ρ

=C

2

dzdz

dW2iR .

Опуская промежуточные выкладки, получаем формулу Жуковского: ГiR ∞ρυ= . (1.33)

1.5. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла

Поскольку yx iRRR −= , а 0R x = (из условия симметрии картины

обтекания кругового цилиндра относительно оси ОУ), то yiRR −= . Анало-гично, т.к. yx iRRR += , то при yx iRR0R =→= . Из этих формул очевидно, что

ГiR ∞ρυ−= . (1.34) Таким образом, векторы R и R по модулю одинаковы, но противополож-ны по направлению. Для нашего случая обтекания цилиндра потоком с по-ложительной циркуляцией вектор R равен по модулю ГR ∞ρυ= и направ-лен вниз по оси ОУ, что совпадает с физическим объяснением направления главного вектора сил давления R, приведенного на рис. 9. Необходимо от-метить, что главный момент сил давления L=0. Полученное выражение (1.34) определяет общую теорему Жуковско-го о подъемной силе крыла в безвихревом плоскопараллельном потоке идеальной несжимаемой жидкости. В этой формуле говорится о том, что при циркуляционном обтека-нии возникает поперечная сила, равная произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию.

28

Для нашего случая теорема Жуковского формулируется следующим образом:

При безотрывном обтекании кругового цилиндра поступательным потоком при наличии циркуляции возникает подъемная сила, равная про-изведению плотности жидкости на скорость и циркуляцию, направление которой определяется поворотом вектора скорости потока ∞υ в т. 0 на прямой угол в сторону, противоположную направлению циркуляции.

Необходимо отметить, что подъемная сила возникает только при на-личии вращения цилиндра (то есть при наличии циркуляции), когда крити-ческие точки А и В стягиваются к одной половине окружности, образуя несимметричный профиль, а обтекание любого несимметричного профиля приводит к возникновению подъемной силы. При вращении цилиндра, на-пример по часовой стрелке, точки А и В переходят в А’ и В’, верхняя дуж-ка становится больше нижней, и в силу неразрывности (сплошности) сре-ды скорость обтекания верхней дужки будет больше, чем нижней, а давле-ние меньше, и образуется вектор R, идущий из центра 0 в сторону, проти-воположную направлению циркуляции, то есть вверх.

В своей теореме Н.Е. Жуковский впервые установил вихревую приро-ду сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой зависимости между этой силой и циркуляцией вектора скорости по контуру, охватывающему обтекаемое крыло.

Физическая природа возникновения циркуляции связана с наличием в жидкости трения (вязкости). Частицы реальной жидкости, проходящие в непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий по-граничный слой. В этой области движение жидкости будет вихревым, при-чем интенсивность вихрей может достигать больших значений, т.к. ско-рость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости ∞υ на внешней границе пограничного слоя. Так, например, на крыле самолета максимальная тол-щина пограничного слоя не превосходит нескольких сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла и на внешней границе пограничного слоя достигает сотен метров в секунду. При таких значи-тельных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность вихрей в пограничном слое, а тем самым и циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло, может достигать больших значений.

Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, есте-ственно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на тело безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеально-го бехвихревого потока, определить величину воздействия потока на по-мещенное в него тело, Жуковский предполагает, что происходит движение с особенностью – вихрем, имеющим интенсивность, равную сумме интен-сивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое

29

на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь Н.Е. Жуковский назвал присоединенным. Интенсивность присоединенного вихра, или, что то же самое, циркуляцию вектора скорости по контуру, ох-ватывающему крыловой профиль, можно вычислить при помощи теории движения реальной жидкости в пограничном слое.

Существенным является тот факт, что единственной силой, дейст-вующей на профиль в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости, является перпендикулярная к направлению набе-гающего потока или в обращенном движении поперечная к направлению движения профиля сила, которая может быть названа подъёмной или под-держивающей силой, т.к. именно эта сила обеспечивает подъём самолета в воздух и поддерживает его крыло при горизонтальном полете.

Введем коэффициент подъёмной силы как отношение величины подъ-ёмной силы |R| к скоростному напору набегающего потока 2

21

∞υρ и

длине хорды b . Обычно ось ОХ направляют по скорости ∞v ; тогда подъ-ёмная сила будет направлена по оси OY и может быть обозначена через Ry. Вот почему коэффициент подъёмной силы принято обозначать через Cy, а коэффициент сопротивления – через Cx. При этом обозначении будем иметь:

b21

R2yC

∞υρ= .

1.6. Математическая модель обтекания крылового профиля по методу конформных отображений

Полученное выше общее решение задачи об обтекании поступатель-

ным потоком кругового цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произвольного контура, если только известно конформное отображение внешности этого контура на внешность круга. Рассмотрим приложение метода конформных отображений к реше-нию прямой задачи обтекания крыловых профилей. Под крыловым профи-лем (рис. 10) понимают плавный, вытянутый в направлении набегающего на него потока, замкнутый и самопересекающийся геометрический контур с закругленной передней кромкой и заостренной задней кромкой. Отрезок прямой, соединяющей некоторую точку передней кромки с вершиной угла на задней кромке, называют хордой крылового профиля, а длину хорды – длиной профиля, максимальную толщину профиля в направлении, перпен-дикулярном к хорде, называют толщиной профиля, а отношение толщины

30

к длине – относительной толщиной крылового профиля. Угол, образован-ный вектором скорости набегающего потока вдалеке от профиля (вектором скорости «на бесконечности») и направлением хорды, носит наименование угла атаки.

Подъемную силу крыла с достаточной степенью точности можно рас-сматривать как силу, происходящую от давлений, проложенных к поверх-ности крыла (составляющая подъёмной силы от касательных напряжений пренебрежительно мала). Как показывают опыты, типичная картина рас-пределения давления имеет вид, представленный на рис. 10, а.

а

б в

Рис. 10 Видно, что на нижней дужке крылового профиля местное давление p2

больше атмосферного давления ∞p ( )0pp2 >− ∞ , на верхней дужке местное давление p1 меньше атмосферного ( )0pp1 <− ∞ , то есть наблюдается раз-режение. Можно отметить также, что абсолютные величины подсасывания на верхней дужке крылового профиля значительно больше величины дав-лений на нижней дужке, следовательно, подъёмная сила профиля образу-ется главным образом за счет разрежения на верхней его дужке. О кинема-тической картине обтекания профиля можно судить по эпюре распределе-

ния давления. Применим уравнение Бернулли const2

p2

=ρυ

+ к двум

струйкам; одной, идущей из бесконечности и обтекающей нижнюю дужку крылового профиля (рис. 10,б), и другой, идущей тоже из бесконечности и обтекающей верхнюю дужку. Тогда получим, что на нижней дужке, где давление р2 будет больше давления на бесконечности ∞p (атмосферного), скорость υ2 меньше скорости потока на бесконечности ∞υ ; а на верхней дужке, где ∞< pp1 , скорость υ1 будет больше ∞υ . Аналогичные заключе-

31

ния можно сделать и по поводу других струек, близких к рассмотренным. Таким образом, наличие крыла в поступательном потоке изменяет его поле скоростей, уменьшая скорости под крылом и увеличивая над ним. Чтобы выяснить, какой именно поток создается в жидкости вследствие наличия крыла, вычтем (геометрически) из поля скоростей потока, обтекающего крыло, поле скоростей поступательного потока ∞υ . В результате вычита-ния получим поток, скорости которого в области под крылом направлены в сторону, противоположную ∞υ (т.к. ∞υ<υ2 ), а в области над крылом – в ту же сторону, что ∞υ (т.к. ∞υ>υ1 ). Так как влияние крыла – местное, то есть убывает по мере удаления от крыла и равно нулю на бесконечности, то линии тока этого потока не уходят в бесконечность. Такой поток с замкнутыми линиями тока вокруг крылового профиля (рис.10,в) называет-ся циркуляционным потоком. В действительности этот поток (в силу вяз-кости) происходит от вращения частиц в непосредственной близости к крылу (в пограничном слое), и его можно рассматривать как результи-рующий поток множества плоских вихрей, расположенных по поверхности крыла. Очевидно, что работа вектора скорости по замкнутому контуру С определится как контурный интеграл:

dydxdrrd C

yC

xC

rC

∫∫∫∫ υ+υ=υ=⋅υ=Γ ,

где rd - элемент контура С, rυ - проекция скорости на направление эле-мента rd . Определенная таким образом величина Г и есть циркуляция век-тора скорости по замкнутому контуру. Таким образом, поток у крыла можно представить себе как результат суммирования двух потоков: поступательного со скоростью ∞υ и цирку-ляционного потока со скоростью ∞υ−υ . На практике при вычислении циркуляции нет надобности всякий раз вычитать из потока υ , обтекающего крыло, поступательный поток ∞υ (как это было сделано для разъяснения появления циркуляции вокруг крылово-го профиля), потому что поступательный поток сам по себе не изменяет величины циркуляции вектора скорости, для него Г=0 по любому контуру. Поэтому берут в потоке, обтекающем крыло, произвольный замкнутый контур С, охватывающей профиль и вычисляют циркуляцию вектора ско-рости по этому контуру:

drrdC

rC

∫∫ υ=⋅υ=Γ .

Величина циркуляции будет такая же, как и при вычитании поступа-

35

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ В этом разделе рассмотрим вначале основы математического модели-

рования одномерных движений идеального газа. С этой целью выведем изоэнтропийные соотношения для идеального газа, которые применим при создании математической модели течения газа по соплу Лаваля. Затем рас-смотрим математическое моделирование плоских безвихревых движений идеального сжимаемого газа, на основе которого разработаем математиче-ские модели дозвукового и сверхзвукового обтеканий тонких профилей потоком идеального сжимаемого газа.

Если вдоль линии тока или траектории движения (при стационарных процессах) энтропия S сохраняет свою величину, то такое движение назы-вается изоэнтропийным. Адиабатический обратимый процесс, у которого

0dq = или 0TdqdS == , является изоэнтропийным процессом. Введем по-

нятие скорости звука a при изоэнтропийном движении идеального сжи-маемого газа. Из вывода волнового уравнения в курсе математической фи-

зики местная скорость звука ρ= ddpa . Используем уравнение адиабати-

ческого процесса (адиабата Пуассона)

constpk =ρ

, (2.1)

где k – показатель адиабаты. Найдем constp kρ= ; constdkdp 1k ⋅ρρ= − , от-

куда constkddp 1k−ρ=ρ

. Взяв константу из (2.1) k

[pconstρ

= и подставив в по-

следнее уравнение, получим ρ

=ρ

pkddp . Если использовать уравнение Кла-

пейрона RTp=

ρ (R – универсальная газовая постоянная), то kRT

ddp

=ρ

. С

учетом этих соотношений

kRTkpa =ρ

= . (2.2)

Впервые эта формула была получена Лапласом и носит название ла-

пласовой скорости звука ρ

=Λ

kpa , в отличие от ньютоновой скорости

звука ρ

=Η

pa , выведенной Ньютоном из условия изотермического рас-

пространения звука. В самом деле, при изотермическом процессе при

36

Т=const из уравнения Клапейрона следует: constp=

ρ, тогда constddp ⋅ρ= ,

откуда ρ

==ρ

pconstddp и, следовательно,

ρ=

ρ=Η

pddpa .

Спор при жизни этих великих ученых так и не был разрешён, и лишь в дальнейшем проведенные точные эксперименты по измерению скорости распространения звука в различных телах подтвердили правильность фор-мулы Лапласа, а, следовательно, и его утверждения, что процесс распро-

странения звука в средах является адиабатическим, и для него ρ

=kpa .

2.1. Изоэнтропийные соотношения для идеального газа

Интеграл Бернулли уравнения энергии для единицы массы газа:

const2

h2

=υ

+Π+ , (2.3)

где h – энтальпия (или полное теплосодержание), П – потенциал массовых сил.

При пренебрежении массовыми силами (П=0) получим:

const2

h2

=υ

+ . Записав выражение для нулевых условий, получим

2h

2h

20

0

2 υ+=

υ+ .

Здесь индекс «0» соответствует скорости потока 0υ =0, т.е. скорости заторможенного потока.

Тогда const2

hh2

0 =υ

+= . (2.4)

В этом случае уравнение (2.4) определяет энтальпию адиабатически затор-моженного потока. Далее все параметры без индекса будем называть ста-тическими параметрами, а параметры с индексом «0» - параметрами тор-можения или заторможенными параметрами. Поскольку TCh p= , 0p0 TCh = , где pC - теплоёмкость при постоян-ном давлении, которую будем считать постоянной при движении газа, то с учётом (2.4):

2TCTC

2

p0pυ

+= .

Из этого соотношения можно найти температуру адиабатически за-торможенного потока или температуру торможения:

37

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+=

TC21TT

p

2

0 . (2.5)

Преобразуем выражение TCp следующим образом: RTRC

TCh pp == .

Используя далее соотношение Майера RCC vp =− и выражение для от-

ношения теплоёмкостей kCC

v

p = ( vC – теплоёмкость при постоянном объё-

ме), получим:

1kaRT

1kkRT

1C/CC/C

RTCC

CRT

RC 2

vp

vp

vp

pp

−=

−=

−=

−= .

Таким образом:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−==

−==

1kaTCh

;1k

aTCh

20

0p0

2

p

(2.6)

Подставляя выражение для СрТ в уравнение (2.5), получим:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ−+= 2

2

0 a21k1TT

Используя формулу для числа Маха a

M υ= , получим

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 2

0 M2

1k1TT . (2.7)

Подставив выражения (2.6) в уравнение (2.4), приходим к уравнению энер-гии для адиабатического процесса движения идеального сжимаемого газа при отсутствии массовых сил:

const21k

a1k

a 2220 =

υ+

−=

−. (2.8)

Из уравнения (2.7) получим первое изоэнтропийное соотношение:

20 M2

1k1TT −

+= . (2.9)

Российский ученый С.А. Чаплыгин использовал в своих вычислени-ях скоростной коэффициент λ , названный коэффициентом Чаплыгина:

*aυ

=λ , где *a – критическая скорость потока, равная скорости звука, то

есть υ== aa* . В этом случае число Маха M=1, и местная скорость звука

38

становится равной критической. Такой режим течения газа, когда его ско-рость достигает скорости звука, называется критическим. Определим в уравнении энергии (2.8) константу из условия критиче-ского режима движения газа, подставив в (2.8) вместо а и υ *a→ . Тогда получим:

2*

2*2*22

a)1k(2

1k1k

a2

a1k

a2 −

+=

−+=

−+

υ .

Разделим обе части равенства на 2υ :

221

)1k(21k

M1

1k1

21

λ−+

=−

+ .

Умножим обе части равенства на )1k()1k(2

+− . Тогда

22 M1

1k2

1k1k1

++

+−

=λ

.

Получим связь между скоростным коэффициентом λ и числом Маха М, легко разрешимую относительно λ и М. Решим, например, это уравнение относительно λ :

( ) 2

2

2 M1k2M)1k(1

++−

=λ

; ( ) 2

22

M1k2M)1k(

−++

=λ или

2

2

2

2

2

M2

1k1

M2

1k

M2

1k1

M2

1k

−+

⋅+

=−

+

+

=λ .

Тогда скоростной коэффициент Чаплыгина

2M

21k1

M2

1k−

+⋅

+=λ . (2.10)

Обратное соотношение, т.е. выражение для числа Маха

2

1k1k1

1k2M

λ+−

−

λ⋅

+= . (2.11)

Если М=0, то и λ=0; если же ∞→M , то 1k1k

max −+

=λ→λ .

Из соотношений для М и λ можно получить и другую связь между ними. Разделим обе части выражения (2.10) на λ , (2.11) – на М. Тогда получим:

39

2M2

1k1

M

21k1

−+

λ⋅+

=

и 2

1k1k1

M1k

21λ

+−

−

λ

⋅+

= .

Поскольку эти выражения равны между собой, то очевидно, что

2

2

1k1k1

1M2

1k1λ

+−

−=

−+ ,

и окончательно получаем связь между М и λ в виде:

2

2

1k1k1

1M2

1k1λ

+−

−=

−+ . (2.12)

Для получения второго изоэнтропийного соотношения используем уравне-ние энергии (2.8) в виде:

1ka

21ka 2

022

−=

υ+

−. (2.13)

Умножив обе части этого равенства на 2a1k − , получим:

21

20 M2

1k1aa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= . (2.14)

Здесь 0a – скорость звука заторможенного потока (при 00 =υ ); а – местная скорость звука. Формула (2.14) и является вторым изоэнтропийным соотношением. Далее, учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение

адиабатического процесса в виде constp

Tk

1k =− , получим:

1kk

20 M2

1k1pp −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= . (2.15)

Это третье изоэнтропийное соотношение. Учитывая первое изоэнтропийное соотношение (2.7) и уравнение адиаба-

тического процесса в виде constT1k =

ρ − , получим:

40

1k1

20 M2

1k1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

ρρ . (2.16)

Это четвёртое изоэнтропийное соотношение.

Сравнивая (2.14) и (2.15), получим: k

00

pp

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ρρ

= , т.е. адиабату Пуассона.

Наконец, 2

12

000M

21k1M

aaM

aaa

a

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⋅=

⋅⋅υ

=υ . (2.17)

Все полученные уравнения являются первой формой изоэнтропийных со-отношений. Они выражают параметрическую связь между Т, Р, ρ , υ при помощи параметра М.

Эта же первая форма изэнтропийных соотношений может быть полу-чена в виде уравнений параметрической связи между Т, Р, ρ и υ при по-мощи параметра λ , если учесть уравнение (2.12) в виде:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−2

12

1k1k1M

21k1 .

Тогда получим следующие соотношения:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−= 2

0 1k1k1

TT ;

2

12

0 1k1k1

aa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−= ;

1k

k

2

0 1k1k1

pp −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−= ;

1k

1

2

0 1k1k1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−=ρρ ;

1k

2aa

aa 0

*

*0 +

⋅λ=⋅υ

=υ .

Последнее соотношение использует выражение для 0

*

aa , которое получа-

ется из уравнения энергии (2.13) для критического режима, когда

*aa =υ= . В этом случае получим: 1k

a2

a1k

a 20

2*2*

−=+

− или

1kaa

)1k(21k 2

02*

−=

−+ . Тогда 2

02* aa

21k

=+ и

1k2

aa

20

2*

+= .

41

Окончательно 1k

2aa

0

*

+= . (2.18)

Здесь и далее параметры с индексом * – это критические параметры. Далее, вводя вместо местных значений параметров критические, по-

лучим следующие соотношения:

Так как 2

00 aa

TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= - из первого и второго изоэнтропических соотношений,

то

1k2

TT

0

*

+= . (2.19)

Так как 0

1kk

0 PP

TT

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − – из первого и третьего изоэнтропических соотноше-

ний, то 1k

k

0

*

1k2

PP −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= . (2.20)

Так как 0

1k1

0TT

ρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − – из первого и четвёртого изоэнтропических соотно-

шений, то 1k

1

0

*

1k2 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ρρ . (2.21)

Из (2.18) видно, что 1aa

0

*

< , т.к. k>1 и, следовательно, 0* aa < , т.е. критиче-

ская скорость меньше скорости звука в неподвижной среде. Составив изоэнтропические соотношения для каких-нибудь двух то-

чек одного и того же потока с числами 1M и 2M или 1λ и 2λ , или для то-чек двух потоков, но с одинаковыми параметрами заторможенного газа, и разделив соответствующие соотношения почленно друг на друга, получим следующие уравнения:

21

22

21

21

21

22

2

1

1k1k1

1k1k1

M2

1k1

M2

1k1

aa

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ+−

−

λ+−

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+

= ; (2.22)

2

2

21

21

22

2

1

1k1k1

1k1k1

M2

1k1

M2

1k1

TT

λ+−

−

λ+−

−=

−+

−+

= ; (2.23)

42

1kk

22

21

1kk

21

22

2

1

1k1k1

1k1k1

M2

1k1

M2

1k1

pp

−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ+−

−

λ+−

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+

= ; (2.24)

1k1

22

21

1k1

21

22

2

1

1k1k1

1k1k1

M2

1k1

M2

1k1−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ+−

−

λ+−

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+

=ρρ ; (2.25)

21

21

22

2

1

2

*0

*0

1

2

1

211

211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+=

υ⋅

υ=

υυ

Mk

Mk

MMa

a . (2.26)

Выражения (2.22) - (2.26) являются изоэнтропийными соотношениями во второй форме.

2.2. Математическая модель движения газа по соплу Лаваля

Для решения задачи используется следующая система уравнений: а) интеграл Бернулли уравнения движения, который при отсутствии

массовых сил запишется как const2

dp 2P

P0

=υ

+ρ∫

;

б) уравнение расхода газа через сопло, которое для стационарного режима запишется в виде constA =ρυ , где А – площадь поперечного сече-ния сопла;

в) уравнение адиабатического процесса constpk =ρ

.

Преобразуем исходную систему уравнений. Продифференцируем первое

уравнение: 0ddp=υυ+

ρ;

ρ−=

ρρ

⋅ρ

−=ρ

−=υυdpad

ddpdpd 2 ;

υυ

−=ρ

da

dp

2

. (2.27)

Прологарифмируем и продифференцируем второе уравнение:

0A

dAdd=+

υυ

+ρρ . (2.28)

43

Подставим уравнение (2.27) в (2.28): A

dAda

d2 −=υυ

−υυ ;

AdAd

a1 2

2

−=υυ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ− ; ( )

AdAd1M2 =

υυ

− . И окончательно:

AdA

1M1d2 −

=υυ . (2.29)

Это уравнение носит имя Гюгонио. Рассмотрим три случая движений, вытекающие из уравнения Гюгонио:

1. Дозвуковая область движения, М<1; знак υd противоположен знаку dA . В этом случае для увеличения скорости движения газа требуется уменьшение площади поперечного сечения сопла А. Это конфузор-ное или суживающееся сопло.

2. Сверхзвуковая область движения, М>1; знак υd одинаков со знаком dA . В этом случае для увеличения скорости движения газа требуется увеличение А. Это диффузорное или расширяющееся сопло.

3. М=1, 0dA = . В этом случае соответствующее сечение сопла будет критическим (минимальным).

С учетом вышесказанного сопло Лаваля выполняется из двух сопел: сужи-вающегося, вплоть до критического сечения, а затем переходящего в рас-ширяющееся. В таком сопле газ может разгоняться до высоких сверхзву-ковых скоростей. Необходимо отметить, что полученные результаты спра-ведливы только для стационарного движения. Для нестационарного тече-ния газа можно даже в цилиндрическом канале получить сверхзвуковую скорость, – например, при выстреле из ружья или пушки с цилиндриче-ским стволом можно разогнать газ до чисел М, равных десяти. В условиях же стационарного течения разогнать газ до сверхзвуковых скоростей мож-но только в сопле Лаваля, состоящим из конфузорной и диффузорной час-тей (рис. 12).

Конфузорная часть

Диффузорная часть

Рис. 12

Теперь получим параметрическую систему уравнений для определе-

ния характеристик течения идеального газа и профиля сопла Лаваля на ос-нове изоэнтропийных соотношений.

44

Уравнение неразрывности constA =ρυ запишем в виде: *** AA υρ=ρυ , где «*» относится к критическим параметрам в минималь-

ном сечении сопла. Тогда: aa

MM

aaaa

AA ***

*

*****

* ⋅⋅ρρ

=ρυυρ

=ρυυρ

= .

Так как М*=1, то

aa

M1

AA **

* ⋅ρρ⋅= . (2.30)

Найдем ρρ*

с учётом изоэнтропийных соотношений (2.16) и (2.21) сле-

дующим образом:

1k1

2

0

*0

*

M2

1k11k

2 −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ρρ⋅

ρρ

=ρρ . (2.31)

Найдем aa*

с учётом изоэнтропийных соотношений (2.14) и (2.18):

21

2

21

2*

2

0

*0

*

M2

1k11k

2

M2

1k1

M2

1k1

aa

aa

aa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

−+

=⋅= . (2.32)

Тогда, внося ρρ*

и aa*

в формулу (2.30), получим:

)1k(21k

2* M

21k1

1k2

M1

AA −

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= . (2.33)

Итак, имеем следующее уравнение для нахождения площади попе-речного сечения сопла Лаваля:

)1k(2

1k

2* M2

1k11k

2MAA −

+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+= . (2.34)

Аналогично предыдущим получим следующие изоэнтропийные соотноше-ния:

для pp*

с учётом (2.15) и (2.20):

1kk

20

0

**

M2

1k11k

2pp

pp

pp −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⋅= ; (2.35)

для TT*

с учётом (2.9) и (2.19):

45

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⋅= 20

0

**

M2

1k11k

2TT

TT

TT ; (2.36)

для υ

*a с учётом (2.17) и (2.18):

21

20

0

**

M2

1k11k

2M1a

aaa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

υ⋅=

υ. (2.37)

Эта система, состоящая из уравнений (2.31), (2.32), (2.34)-(2.37), на-зывается параметрической системой уравнений для определения профиля сопла Лаваля и параметров газа в любом сечении сопла. В качестве рас-чётного параметра принимается число М. Зачастую вместо этих уравнений используют выражения с коэффи-циентом λ . Для этого в полученную систему уравнений вносят соотноше-ния (2.11) и (2.12), связывающие числа М и λ , и получают:

1

1k1

21k1

* 1k1k1

1k2

AA

−

−−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= ;

1k1

21k1

* 1k1k1

21k −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ρρ ;

1kk

21k

k

* 1k1k1

21k

pp −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

+−

−+

= 2* 1k

1k12

1kTT .

Для профилирования сопла Лаваля используют метод −θ расчёта. Из урав-

нения неразрывности: *** AA υρ=ρυ имеем **

*

aAA

ρρυ

= . Обозначим

( ) ( )λθ=θ= MAA*

. Задаваясь последовательно значениями М или λ , нахо-

дят ряд отношений θ=AA*

и строят график ( )Mθ=θ или ( )λθ=θ . Далее

по приведенным выражениям для *p

p ; *ρρ ; *T

T находят значения парамет-

ров газа при его движении по соплу. Для удобства расчётов имеются спе-циально разработанные газодинамические таблицы. Рассмотрим диаграммы процессов движения газа по соплу Лаваля. Отметим на диаграмме «давление – удельный объём» (р – V) (рис.13) про-цессы, протекающие внутри сопла Лаваля. Верхняя часть диаграммы пред-

46

ставляет процесс движения газа по конфузорной части сопла Лаваля до его критического сечения. Нижняя часть диаграммы характеризует движение газа в закритической (диффузорной) части сопла. Здесь индексы 1,2 харак-теризуют вход и выход из сопла Лаваля, * - критическое сечение.

Рис. 13

Можно выделить три характерных режима работы сопла Лаваля:

1. Давление газа на выходе из сопла равно атмосферному, т.е. Η= PP2 . Такой режим работы называют расчётным.

2. Η> PP2 . Это недорасширенный режим работы сопла, в котором недо-использованы энергетические возможности потока.

3. Η< PP2 . Это режим перерасширения, при котором происходит отрыв потока внутри сопла, в результате чего выходная часть сопла Лаваля не работает, ракета несет на себе лишний груз. Скорость истечения газа из суживающегося (конфузорного) сопла

можно определить следующим образом:

а) 00

**

* aaaa

a⋅λ=⋅λ=υ→λ=

υ Из изоэнтропических соотношений

1k2

aa

0

*

+= ; адиабатическая скорость звука в неподвижной среде

0

00

pkaρ

= . Тогда 00

0 RT1k

k2p1k

k2+

λ=ρ+

λ=υ ;

б) если взять интеграл Бернулли уравнения движения для адиабатиче-ского процесса при отсутствии массовых сил (потенциал П=0):

2const

2P

20

2 υ==

υ+ ; где функция давления

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ−=

−k

1k

00

0

pp1p

1kkP .

Тогда ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ−+υ=υ

−k

1k

00

020

2

pp1p

1kk2 .

47

Определим теперь значения основных параметров газа при движении по соплу Лаваля. Для этого рассмотрим истечение газа при отсутствии энергетического обмена. В этом случае нетрудно убедиться в том, что ско-рость истечения газа никогда не может быть выше некоторой максималь-ной величины maxυ . На самом деле, из интеграла Бернулли уравнения

энергии при отсутствии массовых сил (П=0): 0p

2

0 Tc2

hh =υ

+= следует,

что максимальная скорость получается в случае, когда h=0, т.е. когда пол-ное теплосодержание газа (полная энтальпия 0h ) целиком преобразуется в

кинетическую энергию. Тогда 0

2max h2

=υ , откуда 0p0max Tc2h2 ==υ .

Для воздуха при условии постоянства теплоёмкости ср имеем 0max T8,44≈υ , где 0T – температура адиабатически заторможенного газа.

Действительно, для воздуха:

Kсм10004,1

Kkсмk10004,1

KkkDж004,1c 2

23

2

23

p ⋅⋅=

⋅Γ⋅⋅Γ

⋅=⋅Γ

= .

Тогда 003

max T8,44T10004,12 ≈⋅⋅=υ . Видно, что увеличение мак-симального значения скорости истечения газа из сопла Лаваля может быть достигнуто только путем повышения температуры торможения 0T (полно-го теплосодержания 0h ), то есть за счет энергетических возможностей компонентов ракетного топлива.

Найдем связь между предельной скоростью истечения газа maxυ и скоростью звука в неподвижном газе 0a : 0pmax Tc2=υ ,

00vp

p0

p0p RT

1kkRT

ccc

RTRc

Tc−

=−

== , тогда: 0max RT1k

k2−

=υ .

Так как 00 kRTa = , то 1k

k2a0max −=υ .

Для воздуха (при k=1,4): 0max a23,2≈υ , т.е. максимальная скорость ис-течения не может превосходить скорость звука в неподвижном воздухе бо-лее, чем в 2,23 раза.

Скорость звука в потоке kRTa = . Так как статическая температура Т всегда меньше температуры заторможенного потока 0T , то 0aa < (т.е. скорость звука в потоке всегда меньше скорости звука в заторможенном газе).

Для воздуха (при k=1,4): T1,20a ≈ ; 00 T1,20a ≈ , причём, если ско-рость звука в потоке является переменной величиной, зависящей от стати-

48

ческой температуры газа, то скорость звука заторможенного потока для конкретного газа является величиной постоянной (т.к. для него constT0 = ).

Из первого изоэнтропийного соотношения 20 M2

1k1TT −

+= видно, что

максимальное значение числа М ∞ при Т 0. Критическая скорость звука ** kRTa = . Скорость звука в затормо-

женном газе 00 kRTa = . Тогда 1k

2TT

aa

0

*

0

*

+== и, следовательно,

00* RT

1kk2

1k2aa

+=

+= . Так как для воздуха 00 T1,20a ≈ , то получаем

0* T3,18a ≈ , т.е. 0

* a91,0a ≈ . Следовательно, критическая скорость звука всегда меньше скорости звука заторможенного потока.

Итак, при течении газа по соплу Лаваля его параметры меняются сле-дующим образом:

1. При движении по соплу статическая температура Т потока посто-янно падает, скорость потока υ растёт до maxυ , скорость звука в потоке а постоянно падает.

2. В критическом сечении сопла Лаваля местная скорость звука в по-токе **aa υ==υ= . В этом же сечении число Маха, которое посто-янно растет по длине сопла, становится равным критическому

1MM * == . 3. Температура заторможенного потока 0T ; скорость звука в непод-

вижном газе 0a ; критическая температура *T ; критическая ско-рость потока *υ и критическая скорость звука *a – величины по-стоянные (причём 0

* aa < , T* < T0). 4. Предельные значения параметров при истечении газа из со-

пла: Т 0; а 0; ∞→M ; 1k

2a0max −=υ .

2.3. Распространение малых возмущений в потоке сжимаемого газа

Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости

от того, является ли оно дозвуковым или сверхзвуковым. Одним из наибо-лее существенных принципиальных отличий сверхзвукового потока явля-ется возможность существования в нем так называемых ударных волн (свойства которых рассмотрим ниже). Другая характерная особенность сверхзвукового течения связана со свойствами распространения в газе ма-лых возмущений.

49

Если в каком-нибудь месте стационарно движущийся газ подвергается слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется по газу со скоростью (относительно самого газа), равной скорости звука. Ско-рость же распространения возмущения относительно неподвижной сис-темы координат складывается из двух частей: во-первых, возмущение сно-сится потоком газа со скоростью υ ; во-вторых, распространяется от-носительно газа со скоростью звука a в некотором направлении n .

Рассмотрим для простоты однородный плоскопараллельный поток га-за с постоянной скоростью υ . Пусть в некоторой (неподвижной в про-странстве) точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость ( υ+а n ) распространения исходящего из точки О возмущения (относитель-но неподвижной системы координат) имеет различное значение в зависи-мости от направления единичного вектора n . Все возможные ее значения мы получим, отложив из точки О вектор υ , а из его конца, как из центра, построим сферу радиуса а.

Векторы, проведенные из точки О в точки этой сферы, и определяют возможные величины и направления скорости распространения возму-щения.

υ<a υ>a

а б

Рис. 14 Рассмотрим случай, когда υ<a . Тогда векторы υ+а n могут иметь любое направление в пространстве (см. рис. 14,а). Другими словами, в дозвуко-вом потоке возмущение, исходящее из некоторой точки, распространяется в конце концов по всему газу. Напротив, в сверхзвуковом потоке, когда υ>a, направления векторов υ+а n , как видно из рис. 14,б, могут лежать только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося построенной из конца вектора υ (как из центра) сферы. Для угла раствора 2α этого конуса имеем (см. рис. 14,б):

sin(α)=a/υ. Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее из некоторой точ-

ки возмущение распространяется только вниз по течению внутри конуса с углом раствора тем меньшим, чем меньше отношение a/υ. На всей области потока вне этого конуса возмущение в точке О не отразится вовсе.

50

Угол α=arcsin(a/υ) называется углом возмущений, а поверхность, ог-раничивающая область, куда достигает исходящее из данной точки воз-мущение, называется поверхностью возмущений или характеристической поверхностью.

В общем случае произвольного стационарного течения поверхность возмущений может и не быть конической во всем объеме потока. Однако по-прежнему можно утверждать, что эта поверхность пересекает в каждой своей точке линию тока под углом, равным углу возмущений. Значение же угла возмущений меняется от точки к точке соответственно изменению скоростей υ и a . Отметим, что при движении газа с большими скоростями скорость звука различна в разных местах, меняясь вместе с параметрами потока (давлением, плотностью и т.д.), функцией которых она является. Поэтому о скорости звука как функции координат точки говорят как о ме-стной скорости звука.

Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему характер, совершенно отличный от характера дозвукового движения. Если дозвуко-вой поток газа встречает на своем пути какое-либо препятствие, например, обтекает какое-либо тело, то наличие этого препятствия изменяет движе-ние во всем пространстве как вверх, так и вниз по течению; влияние обте-каемого тела исчезает лишь асимптотически при удалении от тела. Сверх-звуковой же поток натекает на препятствие как бы слепо, неожиданно; влияние обтекаемого тела сказывается лишь на определенную область вниз по течению, а по всей остальной области пространства газ движется так, как если бы никакого тела вообще не было.

В случае плоского стационарного течения газа вместо характеристи-ческих поверхностей говорят о характеристических линиях или просто о характеристиках в плоскости движения. Через всякую точку 0 этой плос-кости проходят две характеристики АА’ и ВВ’ (рис. 15), пересекающие проходящую через эту точку линию тока под углами, равными углу воз-мущения.

Рис. 15

51

2.4. Математическая модель плоского безвихревого течения идеального сжимаемого газа

Будем рассматривать плоское течение идеального сжимаемого газа

как с дозвуковой, так и сверхзвуковой скоростями. Рассматриваемая стационарная задача близка к теории обтекания

крыла (где массовыми силами можно пренебречь). Запишем основные уравнения движения идеального газа:

1) xp

yxx

yx

x ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

υ+∂υ∂

υρ ;

yp

yxy

yy

x ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

υ+∂υ∂

υρ .

Это проекции векторного уравнения движения на оси координат в случае отсутствия массовых сил для плоского стационарного течения;

2) необходимо к уравнениям движения добавить уравнение неразрыв-ности для плоского стационарного движения идеальной сжимаемой жид-

кости: 0y

)(x

)( yx =∂

ρυ∂+

∂ρυ∂ ;

3) введем также уравнение энергии, нелинейное за счет левой части, и уравнение состояния, или вместо них можно записать уравнение процесса:

)p(ρ=ρ для баротропного равновесия газа. Теперь плоская задача будет полностью сформулирована, если еще

добавить:

4) условие отсутствия вихря (rot υ )z=0 или 0yx

xy =∂υ∂

−∂

υ∂;

5) условие набегающего потока на границе (интеграл Бернулли урав-нения энергии)

1ka

21ka

2

2222

−+

υ=

−+

υ ∞∞ .

Итак, система, включающая в себя: уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение процесса и дополнительно условие отсутствия вихря и условие на границе – и есть система уравнений, необходимая для решения газодинамической задачи плоского безвихревого течения, которая действительна в случае тонких профилей. Будем упрощать исходную сис-тему дифференциальных уравнений.

При условии баротропного движения газа x

ax

pxp 2

∂ρ∂

=∂ρ∂

ρ∂∂

=∂∂ и

ya

yp 2

∂ρ∂

=∂∂ .

Тогда первые два уравнения движения (уравнения Эйлера) принимают следующий вид:

52

xyxax

yx

x2 ∂ρ∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

υ+∂υ∂

υρ ; (2.38)

yyxay

yy

x2 ∂ρ∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

υ∂υ+

∂

υ∂υ

ρ . (2.39)

Уравнение неразрывности после дифференцирования запишем в виде

0yxyx yx

yx =∂ρ∂

υ+∂ρ∂

υ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

υ∂+

∂υ∂

ρ . (2.40)

Если объединить уравнение неразрывности с уравнениями движения, под-ставив x∂ρ∂ и y∂ρ∂ из (2.38) и (2.39) в (2.40), то после преобразований получим следующее уравнение:

0y

)a(xyx

)a( y2y

2yxyx

x2x

2 =∂υ∂

υ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂υ∂

+∂υ∂

υυ−∂υ∂

υ− . (2.41)

Это основное уравнение газовой динамики, справедливое как для безвих-ревого, так и для вихревого движений. Отметим, что уравнение является типично нелинейным (даже при наличии ряда допущений).

В математическую модель входят также следующие уравнения: а) условия отсутствия вихря

0yx

xy =∂υ∂

−∂

υ∂; (2.42)

б) уравнение энергии

1ka

21ka

2

2222

−+

υ=

−+

υ ∞∞ , (2.43)

справедливое при безвихревом стационарном адиабатическом течении идеального газа во всей области (плоскости) движения.

Итак, задачу плоской газовой динамики можно свести к нелинейному уравнению относительно всех входящих в него величин: υx, υy, a. Интег-рирование основного уравнения газовой динамики при обычных условиях непроницаемости твердых стенок обтекаемых тел и заданных значениях скорости на бесконечности представляет значительные трудности, связан-ные с нелинейностью уравнения (2.41).

Рассмотрим простейший случай плоского обтекания тонких, слабо искривленных тел, расположенных в однородном газовом потоке под ма-лым углом атаки. В этом случае возмущения, создаваемые телом в одно-родном потоке, будут малыми, и уравнение может быть подвергнуто ли-неаризации.

53

2.5. Линейные преобразования Прандля для определения

малых возмущений параметров газа

Для дальнейшего упрощения задачи используем прием линеаризации, который состоит в следующем. Выберем направление однородного потока, совпадающее с направлением оси Ох, и обозначим через υ∞ , p∞, ρ∞, a∞ - скорость, давление, плотность, скорость распространения звука в однород-ном потоке. Возмущения, вносимые в этот поток тонким телом, обозначим через υ’, p’, ρ’, a’, так что будем иметь:

υx=υ∞+υ’x; υy=υ’y; p= p∞+ p’; ρ=ρ∞+ρ’; a= a∞+ a’. Величины, отмеченные штрихом, являются малыми по сравнению с

величинами без штрихов. Подчеркнем, что это допущение действительно лишь для обтекания тонкого профиля. Подставим эти соотношения в урав-нение газовой динамики (2.41) и опустим такие произведения, как yx '' υ⋅υ ,

x'' x

x ∂υ∂

⋅υ , положив их равными нулю как величины второго порядка мало-

сти. Тогда после преобразований получим:

0y'

ax')a( y2x2

x2 =

∂

υ∂+

∂υ∂

υ− , (2.44)

или

0y'

x')M1( yx2 =

∂

υ∂+

∂υ∂

− ∞ . (2.45)

Последнее выражение является линеаризованным уравнением газовой ди-намики.

Использование этого приема несколько ухудшает точность (по срав-нению с численными методами решения), но задача решается намного проще и физичнее.

Если имеет место потенциальное (безвихревое) течение, то

0yx

xy =∂υ∂

−∂

υ∂.

Это условие позволит ввести в рассмотрение потенциал скоростей ϕ(x,y) и записать:

xx ∂ϕ∂

=υ ; yy ∂ϕ∂

=υ .

Применим к ϕ(x,y) этот же прием линеаризации: 'ϕ+ϕ=ϕ ∞ , где ϕ - потенциал скоростей возмущенного потока, ϕ∞ - потенциал скоро-стей невозмущенного потока, ϕ’ – потенциал скоростей малых возмуще-ний.

54

Тогда x'

xx ∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=υ ∞ ; y'

yy ∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=υ ∞ , но 0y

=∂ϕ∂ ∞ , так как рассматриваем

тонкий профиль. Поскольку υx=υ∞+υ’x, а υy=υ’y , то можно записать, что

x∂ϕ∂

=υ ∞∞ ,

x''x ∂

ϕ∂=υ ,

y'

y ∂ϕ∂

=υ .

Тогда после интегрирования первого соотношения потенциал скоростей невозмущенного движения constx +υ=ϕ ∞∞ , и тогда потенциал возму-щенного движения const'x' +ϕ+υ=ϕ+ϕ=ϕ ∞∞ .

Выражения x''x ∂

ϕ∂=υ ;

y''y ∂

ϕ∂=υ внесем в (2.45) и получим линеаризованное

уравнение для определения потенциала скоростей малых возмущений ϕ’: а) для дозвуковых потоков сжимаемого газа

0y

'x

')M1( 2

2

2

22 =

∂ϕ∂

+∂ϕ∂

− ∞ ; (2.46)

б) для сверхзвуковых потоков сжимаемого газа

0y

'x

')1M( 2

2

2

22 =

∂ϕ∂

−∂ϕ∂

−∞ . (2.47)

Уравнение (2.46) – эллиптического, уравнение (2.47) – гиперболического типа.

Интересно отметить, что для несжимаемого газа а=∞, 0a

M =υ

= , и выше-

приведенные уравнения приобретают вид классического уравнения Лапла-са. Таким образом, наличие числа Маха в уравнениях (2.46) и (2.47) свиде-тельствует о сжимаемости газа.

Полученные выше преобразования называются линейными преобра-зованиями Прандтля.

При рассмотрении дозвукового обтекания профиля возмущения, вы-зываемые этим обтеканием, распространяются на всю область течения (уравнение эллиптического типа), так как они распространяются со звуко-вой скоростью. При сверхзвуковом обтекании профиля или для уравнений гиперболического типа возмущения, вносимые телом в поток, распростра-няются только за телом по конусу возмущений (то есть только в следе за тонким профилем). Рассмотрение уравнений гиперболического типа при-водит к интересному результату, а именно наличию вектора аэродинами-ческих сил, следовательно, несмотря на то, что рассматривается обтекание идеальным газом без циркуляции, парадокс Даламбера теряет свой смысл.

Введем в рассмотрение функцию тока ψ(x,y). Ее существование выте-кает из уравнения неразрывности:

0y

)(x

)( yx =∂

ρυ∂+

∂ρυ∂ ,

55

согласно которому можно положить yx ∂ψ∂

ρ=ρυ ∞ ; xy ∂ψ∂

ρ−=ρυ ∞ .

Для проверки этой гипотезы подставим эти соотношения в предыдущее уравнение и получим:

0xyyxxyyx

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ψ∂

ρ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ψ∂

ρ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

ρ−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

ρ∂∂

∞∞∞∞ ,

то есть уравнение удовлетворяется. Таким образом, связь между потенциалом скоростей ϕ и функцией тока ψ возмущенного движения сжимаемого газа имеет вид:

yxx ∂ψ∂

ρρ

=∂ϕ∂

=υ ∞ ; xyy ∂ψ∂

ρρ

−=∂ϕ∂

=υ ∞ ,

где ρ∞ - плотность невозмущенного однородного потока. Если записать для функции тока возмущенного движения соотношение ψ=ψ∞ + ψ’, то из условия существования функции тока:

yx ∂ψ∂

ρ=ρυ ∞ ; xy ∂ψ∂

ρ−=ρυ ∞ ,

с учетом линеаризации имеем:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

+∂ψ∂

ρ−=υρ+ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

+∂ψ∂

ρ=υ+υρ+ρ

∞∞∞

∞∞∞∞

x'

x')'(

y'

y)')('(

y

x

(2.48)

Перемножив почленно и убрав в левой части уравнений (2.48) члены вто-рого прядка малости, получим:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

−∂ψ∂

ρ−=

∂∂

+∂ψ∂

ρ=++υρ

∞∞

∞∞

∞∞

∞∞∞∞∞

xψ'ρυ'ρ

yψ'ρ'υρυρ'

y

x

x

y (2.49)

Здесь обычным шрифтом обозначены конечные величины, а выделенным шрифтом обозначены величины первого порядка малости. Тогда, сравни-вая конечные величины, приходим к следующему дифференциальному

уравнению: y∂ψ∂

ρ=υρ ∞∞∞∞ , откуда

y∂ψ∂

=υ ∞∞ . Интегрируя, получаем:

consty +υ=ψ ∞ , и тогда функция тока возмущенного движения: C'y' +ψ+υ=ψ+ψ=ψ ∞∞ .

При сравнении величин первого порядка малости уравнений (2.49) полу-чаем следующую систему равенств:

56

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

−=

∂∂

=+ ∞∞∞

xψ'υ'

yψ'ρ'υρρ'υ

y

x

(2.50)

Обратимся к интегралу Бернулли в виде: 2

P2

22∞υ=+

υ ; 2)p(

dp2

2p

p

2

0

∞υ=ρ

+υ

∫ .

Здесь 2y

2xx

2y

2x

2 )'( υ+υ+υ=υ+υ=υ . Для адиабатического течения:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

−ρ−

−=ρ

=−

∞∞

∞∫1k

p

p

1p1k

k)p(

dp)p(P0

и тогда с учетом линеаризации можно

записать: 22

'1p

1kk

2)'( 22

y1k2

x ∞−

∞∞

∞∞ υ=

υ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

ρ−+

υ+υ . Раскроем скобки в

левой части и отбросим малые второго порядка - 2x'υ и 2

y'υ . Кроме того,

учитывая, что, так как 'ρ+ρ=ρ ∞ , то 1k1k

'1−

∞

−

∞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ , и окончательно

получаем

01'11k

a'1k2

x =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

+−

+υυ−

∞

∞∞ .

Здесь 2akp∞

∞

∞ =ρ

.

Так как при разложении в биномиальный ряд

...')1k(1'11k

+ρρ

−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

+∞

−

∞

,

то последнее выражение будет иметь вид:

0'a' 2x =

ρρ

+υυ∞

∞∞ , откуда выражение для малых возмущений плотности

2x

a''

∞

∞∞ υυρ−=ρ (2.51)

С другой стороны, 'a)(ddpp-pp' 2 ρ=ρ−ρ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ

== ∞∞∞

∞ (разложили в ряд Тей-

лора и ограничились первым членом). Тогда, с учетом выражения (2.51), имеем для малых возмущений давления:

x''p υυρ−= ∞∞ . (2.52)

57

Если выражение (2.51) подставить в первое уравнение системы (2.50), то

получим y

''a

'x2

x

∂ψ∂

ρ=υρ+υυρ

−∞∞

∞

∞∞ , или, разделив на ρ∞ имеем

y' )M1(' 2

x ∂ψ∂

=−υ ∞ , где 22

2

Ma ∞

∞

∞ =υ . Тогда получим окончательное выражение

для малых возмущений компоненты скорости

y

' M11' 2x ∂

ψ∂−

=υ∞

(2.53)

Для вычисления компоненты скорости y'υ используем второе уравнение системы (2.50)

xψ'υ'y ∂∂

−= . (2.54)

Условие отсутствия вихря для плоского случая: 0yx

xy =∂υ∂

−∂

υ∂ преобразу-

ется для возмущенного движения в уравнение 0y

'x

' xy =∂υ∂

−∂

υ∂. Покажем

это. Для возмущенного движения были получены компоненты скорости υx=υ∞+υ’x; υy=υ’y. Подставим эти выражения в условие отсутствия вихря и

получим: 0yy

'x

' xy =∂υ∂

−∂υ∂

−∂

υ∂∞ , но 0

y=

∂υ∂ ∞ , так как однородный поток

направлен вдоль оси Ох и его изменения вдоль оси Oу нет. Следовательно,

условие отсутствия вихря для возмущенного движения: 0y'

x' xy =

∂υ∂

−∂

υ∂.

Подставляя в него выражения для υ’x (2.53) и υ’y (2.54), приходим к сле-дующим соотношениям:

а) при М∞ < 1: 0y

' x

' )M1( 2

2

2

22 =

∂ψ∂

+∂ψ∂

− ∞ , (2.55)

б) при М∞ > 1: 0y

' x

' )1M( 2

2

2

22 =

∂ψ∂

−∂ψ∂

−∞ . (2.56)

Следовательно, для определения функции тока малых возмущений ψ’ име-ем два линеаризованных соотношения (при М∞ < 1 и М∞ > 1). Аналогично для потенциала скоростей малых возмущений ϕ’ имеем уравнения (2.46), (2.47). Связь между потенциалом скорости ϕ’ и функцией тока малых воз-мущений ψ’ имеет вид:

y'

M11

x'' 2x ∂

ψ∂−

=∂ϕ∂

=υ∞

; xψ'

y'υ'y ∂

∂−=

∂ϕ∂

= .

58

Итак, видим, что уравнения, определяющие возмущения как для по-тенциала скоростей, так и для функции тока, имеют одинаковые выраже-ния. Следовательно, для решения задачи обтекания тонкого профиля сжи-маемым газом достаточно рассмотреть проблему интегрирования уравне-ний либо для потенциала скоростей возмущений, либо для функции тока возмущений.

При дозвуковом обтекании тонкого профиля целесообразно рассмот-реть задачу отыскания функции тока ψ, так как нулевая линия тока являет-ся при безотрывном обтекании самим контуром профиля, то есть имеется готовое граничное условие равенства нулю функции тока на поверхности профиля.

Ограничим задачу для дозвукового обтекания тонкого профиля рас-смотрением дифференциального уравнения для функции тока малых воз-мущений (2.55).

Для вычисления давления потока на поверхности тела найдем выра-жение для коэффициента давления Ср из соотношения:

x'pp'p υυρ−=−= ∞∞∞ .

Обе части этого уравнения разделим на 2

21

∞∞υρ , тогда получим:

∞∞∞

∞

υυ

−=υρ

−= x

2p

'2

21

ppC . (2.57)

Существование коэффициента Ср свидетельствует о наличии вектора сил гидродинамических давлений жидкости на обтекаемое тело. 2.6. Математическая модель дозвукового обтекания тонкого профиля

потоком идеального сжимаемого газа

В основу решения положим полученное уравнение для функции тока возмущений ψ’ (2.55). Для решения задачи нужно добавить граничные ус-ловия. Запишем уравнение верхней дужки контура рассматриваемого профиля через y=h1(x). Уравнение нижней дужки контура запишем в виде y=h2(x). Используем условие, что функция тока при обтекании равна ψ=ψ∞+ψ’. Это соотношение обладает следующим свойством: если рас-сматривать точки на самом контуре, то для них ψ есть нулевая функция тока, следовательно, на контуре ψ=0 и тогда на поверхности профиля:

∞ψ=ψ -' . С другой стороны, ψ∞=υ∞y+C. Тогда из этих двух соотношений следуют граничные условия: а) )x(h' 1∞υ−=ψ при )x(hy 1= – для верхней дужки профиля; б) )x(h' 2∞υ−=ψ при )x(hy 2= – для нижней дужки профиля.

59

Эти условия справедливы для a ≤ x ≤ b, где а – координата передней точки профиля А на оси Ох, b – координата задней точки В на оси Ох; в) граничное условие на бесконечности: ψ’ 0, если x,y ∞, которое сво-дится к убыванию возмущений до нуля при удалении их от профиля (справедливо только для М∞ <1). Если мы найдем для тонкого профиля значения tg углов между касательными к верхней и нижней дужкам и осью Ох, то увидим, что для такого профиля эти величины будут малыми, сле-довательно, нашу задачу можно свести к обтеканию тонкого прямолиней-ного отрезка. Тогда получим следующие граничные условия:

bxa y,x при 0' )в

0y при )x(h' )б0y при )x(h' )а

2

1

≤≤⎪⎭

⎪⎬

⎫

∞→→ψ−=υ−=ψ+=υ−=ψ

∞

∞

Чтобы подчеркнуть, что разбирается задача об обтекании тонкого про-филя сжимаемым потоком, запишем уравнение (2.55) в следующем виде:

0y

' 1x

' 2

2

22

2

=∂ψ∂

ω+

∂ψ∂ , (2.58)

где 22 M1 ∞−=ω . Тогда для этого уравнения граничные условия запишутся следующим образом:

bxa y,x при 0' )в

0y при )x(h' )б0y при )x(h' )а

сж

2сж

1сж

≤≤⎪⎭

⎪⎬

⎫

∞→→ψ−=υ−=ψ+=υ−=ψ

∞

∞

(2.59)

Перейдем к новым координатам ξ и η, введя аффинные преобразования (деформацию координат): ξ=x; 2M1yy ∞−=ω=η . Тогда уравнение (2.58) и граничные условия (2.59 )запишутся в виде:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∞→ηξ→ψ−=ηξυ−=ψ+=ηξυ−=ψ

=η∂ψ∂

+ξ∂ψ∂

∞

∞

, при 0' )в0 при )(h' )б0 при )(h' )а

0' '

сж

2сж

1сж

2сж

2

2сж

2

(2.60)

Здесь η∂ψ∂

ω=∂η∂

η∂ψ∂

=∂ψ∂ '

y'

y' и с учетом правила Лейбница

22

22

2

2

2

2 ' y

' y

' ω

η∂ψ∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂η∂

η∂ψ∂

=∂ψ∂ .

Рассмотрим теперь задачу обтекания тонкого профиля несжимаемым по-током, для которого ω=1, так как для несжимаемой жидкости а=∞

60

(ρ

=ddpa 2 , при ρ=const dρ=0 a=∞) и, следовательно, М∞=0. В этом слу-

чае исходное уравнение (2.58) и граничные условия (2.59) принимают вид:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∞→→ψ−=υ−=ψ+=υ−=ψ

=∂ψ∂

+∂ψ∂

∞

∞

y, xпри 0' )в0y при )x(h' )б0y при )x(h' )а

0y'

x'

несж

2несж

1несж

2несж

2

2несж

2

(2.61)

Тогда, сопоставляя системы (2.60) и (2.61), приходим к очевидным соот-ношениям:

)y,x(' ),(' несжсж ψ≡ηξψ ; x' ' несжсж

∂ψ∂

≡ξ∂

ψ∂ ; y' ' несжсж

∂ψ∂

≡η∂

ψ∂ .

Следовательно, с учетом (2.53) можем записать:

y'

M11'

M11

y'

M11

y'

M11' несж

2сж

2сж

2сж

2сж x ∂ψ∂

−=

η∂ψ∂

ω−

=∂η∂

η∂ψ∂

−=

∂ψ∂

−=υ

∞∞∞∞

Так как y'

y'

M11' несжнесж

2несжx ∂ψ∂

=∂ψ∂

−=υ

∞

(М∞ несж=0), то

2несжx

сжx M1''

∞−υ

=υ . (2.62)

Если обратиться к уравнению (2.57), тогда получим: ∞υ

υ−= сж x

сж p

'2C . Сле-

довательно, коэффициент давления:

2несжpнесжx

2сжpM1

C'

M12C

∞∞∞ −=

υυ

−−= . (2.63)

Это выражение называется уравнением Прандтля – Глауэрта. Как видно из уравнения (2.63), сжимаемость среды увеличивает коэффи-циент давления для дозвуковых течений.

Эти уравнения были экспериментально проверены, и установлено, что если угол атаки не превышает 4о, то теория и опыт дают близкие результа-ты, и только в области трансзвуковых течений (близких к скорости звука) имеется расхождение результатов.

Следовательно, полученное решение дозвукового обтекания тонкого профиля при скоростях до М∞=0,7 удовлетворительно совпадает с опыт-ными данными.

61

Соотношение 2

несжp

сжp M1

CC

∞−= выражает следующее правило Прандт-

ля – Глауэрта: Распределение коэффициента давления в плоском безвихревом линеа-

ризованном дозвуковом потоке сжимаемого газа при данном значении М∞<1 может быть получено из соответствующего распределения в потоке несжимаемой жидкости, если все ординаты этого распределения увеличат-ся в 2M1/1 ∞− .

Вычислим коэффициент давления подъемной силы Cyсж при дозвуко-вом обтекании сжимаемым газом тонкого профиля по формуле:

bR

C21

сж yсж y

∞∞υρ= ,

где b – хорда профиля, Ry – подъемная сила профиля, определяемая сле-дующим образом:

∫−=−= dnpiRRR yx , тогда ∫= dpnR yy [p=p∞+p’; но p∞ (давление в од-нородном потоке) тяги не создает, поэтому остается p’]. Тогда

∫∫∫ ∞∞υρ=== dxC21dx'pdn'pR сж p

2сжyсжсж y ,

так как из формулы для 221p

ppC∞∞

∞

υρ−

= имеем сж p2

21

сжсж Cpp'p ∞∞∞ υρ=−= .

Тогда ∫=υρ=

∞∞

xdCb

RC сж p2

21

сж yсж y , где

bxx = .

Аналогично ∫=υρ=

∞∞

xdCb

RC сжне p2

21

сжне yсжне y . Тогда для профиля с одним и

тем же контуром (то есть в частности с одной и той же хордой b) коэффи-циент подъемной силы в потоке сжимаемого газа определяется через ко-эффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости по формуле:

2несжy

сжyM1

CC

∞−= , (2.64)

так как 2

несжp

сжp

несжy

сжy

M11

CC

CC

∞−== (по правилу Прандтля - Глауэрта)

62

2.7. Математическая модель сверхзвукового обтекания тонкого профиля потоком идеального сжимаемого газа

В отличие от дозвукового течения, описываемого уравнением эллип-

тического типа, при сверхзвуковом течении газа (М∞>1) основным уравне-нием является уравнение гиперболического типа:

0y

' 1x

' 2

2

22

2

=∂ψ∂

ω−

∂ψ∂ , (2.65)

где 1M22 −=ω ∞ Решение гиперболического уравнения является частным случаем ре-

шения уравнений математической физики (отметим, что при М>5 решение гиперболического уравнения дает большую ошибку). Гиперболическое уравнение было получено Даламбером при рассмотрении бегущей волны в струне – так называемое уравнение бегущей волны. Далабмер решал это уравнение введением новых переменных:

yx ω−=ξ , yx ω−=η . Если применить этот прием для гиперболического уравнения (2.65), то оно примет более простой вид. Найдем все производные, входящие в это урав-нение:

x'

x'

x'

∂η∂

η∂ψ∂

+∂ξ∂

ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ ;

y'

y'

y'

∂η∂

η∂ψ∂

+∂ξ∂

ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ .

Для вычисления вторых производных используем знаменитое правило Лейбница в следующем виде:

2

2

222

2

2

2

2

x'

xx' 2

x'

x'

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂η∂

η∂ψ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂η∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ξ∂

η∂ξ∂ψ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ξ∂

ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ ,

2

2

222

2

2

2

2

y'

yy' 2

y'

y'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂η∂

η∂ψ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂η∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ξ∂

η∂ξ∂ψ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ξ∂

ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ .

Если сделать подстановку всех производных в исходное гиперболическое уравнение с учетом того, что

1x=

∂ξ∂ ; ω−=

∂ξ∂y

; 1x=

∂η∂ ; ω=

∂η∂y

,

то после преобразований получим:

1' 11' 21' x

' 2

22

2

2

2

2

⋅η∂ψ∂

+⋅⋅η∂ξ∂ψ∂

+⋅ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ ,

22

222

2

2

2

2

)(' ))((' 2)(' y

' ω

η∂ψ∂

+ωω−η∂ξ∂ψ∂

+ω−ξ∂ψ∂

=∂ψ∂ .

Подставим эти выражения в исходное гиперболическое уравнение (2.65) и приведем подобные члены

63

0' ' ' 4' ' 2

2

2

22

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

η∂ψ∂

−η∂ψ∂

+η∂ξ∂ψ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ξ∂ψ∂

−ξ∂ψ∂

или

0' 2

≡η∂ξ∂ψ∂ . (2.66)

Поскольку ξ и η являются независимыми переменными, то интеграл от этого выражения равен:

)(f)(f),(' 21 η+ξ=ηξψ , где f1 и f2 – произвольные функции своих аргументов. Другими словами, общее решение этого волнового уравнения может быть выражено формулой.

)yx(fy)-(xfy)(x,' 21 ω++ω=ψ . (2.67) Рассмотрим частное решение y)-(xfy)(x,' 1 ω=ψ . Оно имеет следующий смысл: в плоскости течения (х,у) существует семейство прямых линий

consty-x =ω , вдоль которых функция тока возмущений, а следовательно, и вообще возмущения параметров движения и состояния газа будут сохра-нять постоянные значения. Эти прямые представляют собой первое семей-ство (С1) характеристик волнового уравнения (характеристики I рода) и играют роль линий возмущения в рассматриваемом сверхзвуковом потоке. Их называют линиями или волнами Маха. Точно так же частному решению y)(xfy)(x,' 1 ω+=ψ соответствует второе семейство (С2) характеристик или линий возмущения constyx =ω+ , вдоль которых возмущения параметров движения и состояния газа тоже сохра-няют постоянные значения.

Рассмотрим угловые коэффициенты этих семейств кривых. В общем случае y=kx, где k - угловой коэффициент: k=tgα. Для нашей задачи

x1yω

±= , то есть ω

±=1k ;

1M11tg2 −

±=ω

±=α∞

.

Воспользуемся формулой для sinα через tgα: α+

α=α

2tg1tgsin . Пусть

1M1tg2 −

=α∞

, тогда

∞∞∞

∞

∞

∞

=−

−=

−+−

=α+

α=α

M1

1MM

1M

1M11

11M

1tg1

tgsin2

2

2

22.

Аналогично, если 1M

1tg2 −

−=α∞

, то ∞

−=αM1sin .

64

Очевидно, что углы α, образованные линиями возмущения с направлени-ем невозмущенного движения (осью Ох), равны:

∞

±=αM

1arcsin , т.к. ∞

±=αM

1sin

Линия возмущений (С1) I рода Линия возмущений (С2) II рода

Рис. 16

На рис. 16 показаны две линии возмущений от точечного источника возмущений S, находящегося на оси Ох на расстоянии от начала коорди-нат. От точечного источника в пространстве линии возмущения распола-гаются на конической поверхности с вершиной в точке S и углом полурас-твора α. Этот конус называют конусом возмущений или конусом Маха, угол α - углом Маха. По наклону линий возмущения можно судить о вели-чине числа Маха однородного потока (чем больше М∞, тем меньше угол α). Введение характеристик I и II рода используется для графического по-строения линий тока при безотрывном обтекании тонкого профиля сверх-звуковым потоком.

Рис. 17

Построим обтекание тонкого профиля сверхзвуковым потоком.

Обобщенное решение волнового уравнения гиперболического типа имеет вид y)f(xy)(x,' ω±=ψ , где характеристики 1Cy-x =ω и 2Cyx =ω+ , на-

65

зываемые волнами Маха, являются волнами небольшой интенсивности. Контур тонкого профиля, как и для дозвукового потока, будем задавать ординатами верхней h1(x) и нижней h2(x) поверхностей, т.е. y= h1,2(x).

Заполним область течения сверху и снизу от контура профиля (рис. 17) соответственно характеристиками первого (С1) и второго (С2) се-мейств. Граничное условие представим, как и прежде, в форме

)x(h-' 2,1∞υ=ψ при a ≤ x ≤ b. Свойства характеристик для первого семейства (частное решение

волнового уравнения y)-(xfy)(x,' 1 ω=ψ ) и для второго семейства (частное решение волнового уравнения y)(xfy)(x,' 2 ω+=ψ ) позволяют заключить, что общее решение волнового уравнения при вышеуказанном граничном условии может быть представлено в форме:

)yx(h-' 2,1 ωυ=ψ ∞ ∓ . (2.68) Здесь индексу «1» при h соответствует верхний знак в круглой скобке, ин-дексу «2» - нижний.

В отличие от дозвукового обтекания функция тока возмущений y)(x,' ψ при удалении на сколь угодно большое расстояние от контура

профиля не обращается в нуль, а сохраняет внутри верхней и нижней по-лос, ограниченных крайними характеристиками АА1, ВВ1 и АА2, ВВ2 при у ±∞, такое же распределение по х, как и на верхней и нижней поверхно-

стях профиля. Вне указанных полос поток остается невозмущенным. Как видно из общего решения волнового уравнения и из рис. 16, линии тока возмущенного движения ( const' y =ψ+υ=ψ ∞ ) представляют собой кри-вые, которые могут быть получены параллельным переносом верхнего и нижнего контуров профиля соответственно вдоль характеристик первого и второго рода. Здесь необходимо отметить, что асимптотические методы теории малых возмущений показывают, что на больших расстояниях от профиля влияние малых второго порядка становится существенным уже в первом приближении и искажает картину течения, изображенную на рис. 16. Характеристики искривляются и перестают быть параллельными меж-ду собой.

С учетом уравнений (2.53) и (2.54) для нашего случая имеем

y'

1M1' 2x ∂

ψ∂−

−=υ∞

; xψ'υ'y ∂∂

−= .

Из общего решения волнового уравнения гиперболического типа (2.68) найдем частные производные

)yx('hy

' 2,1 ωωυ±=

∂ψ∂

∞ ∓ и )yx('hx

' 2,1 ωωυ−=

∂ψ∂

∞ ∓ ,

где штрих над h означает производную по всему аргументу, стоящему в круглой скобке.

66

Тогда получим следующее распределение возмущений, составляющих скорости:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

ωυ=υ

ω−

ωυ=υ

∞

∞

∞

),yx('h'

);yx('h1M

'

2,1y

2,12x

∓

∓∓

или, поскольку 1M2 −=ω ∞ для сверхзвукового потока, то:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

ωυ=υ

ω−

υ=υ

∞

∞

∞

),yx('h'

);yx('h1M

'

2,1y

2,12x

∓

∓∓ (2.69)

Это распределение справедливо во всей области возмущенного движения. Из второго соотношения (2.69) можно найти угол отклонения θ1,2 каса-тельной к линии тока в возмущенной области от линии тока невозмущен-ного потока. По определению линии тока и в силу малости угла θ:

)yx('h'

''

tg 2,1y

x

y

x

y2,12,1 ω=

υυ

≈υ+υ

υ=

υυ

=θ≈θ∞∞

∓ .

Учитывая это равенство, можно записать предыдущие соотношения в виде:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

θυ=υ

θ−

υ=υ

∞

∞

∞

2,1y

2,12x

'

;1M

' ∓ (2.70)

Эти равенства выражают основное свойство линеаризованного сверх-звукового потока: продольная и поперечная составляющие скорости воз-мущения пропорциональны местному углу наклона линии тока возмущен-ного движения по отношению к направлению невозмущенного потока и имеют местный (локальный) характер.

Тем же свойством обладает давление, плотность и другие характерные для потока величины, что принципиально отличает сверхзвуковой поток от дозвукового, в котором значения параметров в данной точке зависят от их распределения во всем потоке в целом.

Используя одинаковую как для дозвукового, так и для сверхзвукового

линеаризованных потоков форму коэффициента давления ∞υυ

−= xp

'2C ,

найдем с учетом последних соотношений выражение для коэффициента давления в любой точке возмущенного сверхзвукового потока:

1M

)yx(2

1M

)yx('h2C

2

2,1

2

2,1p

−

ωθ±=

−

ω±=

∞∞

∓∓.

67

Поскольку нас интересует Ср на поверхности (контура) профиля, где при-ближенно можно положить у=±0, то :

1M

)x(2

1M

)x('h2)x(C

2

2,1

2

2,1p

−

θ±=

−±=

∞∞

. (2.71)

Имея коэффициент давления, можно найти коэффициент подъемной силы Су. Для сверхзвукового обтекания тонкого профиля формула Жуков-ского неприменима; Су в этом случае находится как интеграл по контуру профиля разности коэффициентов давлений верхней и нижней кромок:

( )∫∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

B

A

x

x1p2ppy dxCC

b1

bxdCC .

(Здесь b=АВ – хорда профиля, приближенно равная разности xB-xA абсцисс точек В и А).

Подставляя сюда значения Ср1 и Ср2, получим:

( ))xx()yy(2

1Mb2dx)x('h)x('h

1Mb2C

AB

AB2

x

x122y

B

F −−

−−=+

−−=

∞∞

∫ .

Здесь учтено, что dx

dy)x('h 2,1

2,1 = , а индексы 1,2 соответствуют верхней (1)

и нижней (2) поверхностям контура). Введем угол атаки профиля ε как острый угол между направлением хорды АВ и общим потоком:

для малых углов атаки )xx()yy(

tgBA

BA

−−

=ε≈ε , тогда ε−=−−

)xx()yy(

AB

AB ,

и формула для коэффициента подъемной силы примет окончательный вид:

1M

4C2y−

ε−=

∞

. (2.72)

Этот результат впервые был получен Аккеретом и получил название формулы Аккерета. Для таких профилей угол атаки α≈ε , где α- угол Маха. Как видно из этой формулы, в линеаризованной теории сверхзвуко-вого обтекания тонкого профиля коэффициент подъемной силы не зависит от формы профиля, а только от угла атаки и числа Маха набегающего по-тока.

68

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Задачи аэрогазодинамики разрывных течений в современной поста-новке близко связаны с новыми проблемами (аэродинамикой полета, кос-мической техникой). Это более общая задача, чем интегрирование диф-ференциальных уравнений (т.к. при разрывах имеем дело с особыми точ-ками). Дифференциальные уравнения неплохо решаются для дозвуковых течений сплошных сред, при околозвуковых и сверхзвуковых течениях среда претерпевает разрывы, и надо решать в этих случаях не дифферен-циальные, а интегральные уравнения при наличии разрыва. Такие ученые, как Стодола, Ренкин и Риман, решали эти задачи в конце XIX века, причем Риман по праву считается крупнейшим специалистом по разрывным тече-ниям.

Одна из особенностей сверхзвуковых течений заключается в том, что в ряде случаев основные параметры, характеризующие движение и состоя-ние газа (давление, плотность, температура и скорость), не являются не-прерывными функциями точек пространства, заполненного текущим га-зом. Опыты показывают, что при более или менее значительном торможе-нии сверхзвукового потока в последнем возникают поверхности, при про-хождении через которые величины параметров газа скачкообразно изме-няются. Места резкого скачкообразного увеличения давления, плотности и температуры и уменьшения скорости носят название скачков уплотнения.

Возникновение скачков уплотнения объясняется характером распро-странения возмущений в сверхзвуковом потоке.

Как было сказано ранее, в дозвуковом потоке возмущения распро-страняются во всех направлениях, в том числе и против направления ско-рости потока. Поэтому волна повышенного давления, возникающая, на-пример, перед телом, распространяясь вперед, деформирует набегающий поток, при этом линии тока искривляются уже перед телом. Поток как бы заранее приспосабливается к обтеканию тела. Вдоль нулевой линии тока происходит непрерывное уменьшение скорости от υ∞ до υ=0 в критиче-ской точке, а давление возрастает от р∞ до давления торможения р0. Отсю-да следует, что в дозвуковом потоке скачки уплотнения не могут возник-нуть.

В сверхзвуковом потоке возмущения против направления скорости не распространяются. Поэтому даже непосредственно перед обтекаемым те-лом поток не возмущен. При встрече с таким телом направление скорости потока внезапно изменяется. Это приводит к скачкообразному изменению величин скорости потока, давления, плотности и температуры.

При обтекании тупоносого тела появляется сильная волна повышен-ного давления, которая распространяется со скоростью, значительно пре-вышающей скорость звука. По мере распространения волны повышенного давления интенсивность ее падает. Уменьшается при этом и скорость рас-

69

пространения волны. Поэтому скачок уплотнения возникает перед телом на таком расстоянии, когда скорость распространения волны повышенного давления становится равной составляющей скорости набегающего потока, направленной против движения волны. Расстояние отсоединенного криво-линейного скачка уплотнения от тела зависит от формы тела и скорости невозмущенного потока υ∞.

Очевидно, что чем больше υ∞, тем ближе располагается скачок уплот-нения к телу.

Скачок уплотнения, строго говоря, представляет собой слой весьма малой толщины (порядка длины свободного пробега молекул). Поэтому в теории скачков уплотнения математически их можно заменять поверхно-стями разрыва.

3.1. Сильные разрывы в газе. Прямые и косые скачки уплотнения

В случае полета со сверхзвуковой скоростью (υ>a) перед телом воз-

никает волна сжатия или ударная волна (скачок уплотнения). Известно, что всякое повышение давления (плотности), возникшее в каком-либо мес-те газовой среды, распространяется в ней с большой скоростью во все сто-роны в виде волн давления. Слабые волны давления движутся со скоро-стью звука, их изучением занимаются в акустике. Сильные волны давле-ния распространяются со скоростями значительно бóльшими, чем скорость

звука. Основная особенность сильной вол-ны давления заключается в том, что фронт волны очень узок (толщина его порядка длины свободного пробега молекул), в свя-зи с чем параметры состояния газа (давле-ние, плотность, температура) изменяются скачком.

Качественно это можно объяснить сле-дующим образом. Пусть в некоторой об-ласти среды (рис. 18) произошло изменение давления, и вначале волна получила плав-

ную форму 1АВ2. На отдельных бесконечно узких участках волны вели-чина давления возрастает незначительно, поэтому распространение такой волны происходит со скоростью звука. В области высоких сжатий (точка А) наблюдаются, естественно, более высокие температуры, чем в области малых сжатий (точка В), в силу чего верхняя часть волны давления дви-жется быстрее, чем ее нижняя часть (так как скорость звука пропорцио-нальна температуре среды). Таким образом, если даже вначале волна сжа-тия была пологой, то со временем она делается все круче и круче. Процесс этот остановится, и волна приобретет устойчивую форму только в тот мо-мент, когда фронт волны сжатия станет совсем плоским (1’–2’). Следова-

Рис. 18

70

тельно, волны сжатия распространяются как скачки давления (разрывы), в связи с чем их и называют ударными волнами. После того как ударная волна образовалась, по обе стороны от ее фронта параметры состояния газа и его скорость будут иметь значения, различающиеся между собой на ко-нечные величины (рис. 19).

Уровень параметров

за скачком уплотнения

Возмущенная область

Невозмущенная область Уровень параметров до скачка уплотнения

Скачок уплотнения (с.у.) Рис. 19

Фронт ударной волны представляет собой поверхность (в нашем слу-

чае - плоскость) разрыва параметров состояния газа, перемещающуюся по газу и вызывающую скачкообразное изменение этих параметров, причем невозмущенный газ перед фронтом ударной волны имеет меньшее дав-ление, плотность и температуру, чем после прохождения фронта.

Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа (или точ-нее, очень резкого их изменения на участке длины, равной по порядку пу-ти свободного пробега молекулы) показывает, что здесь имеет место внут-ренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинетической энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию беспо-рядочного теплового движения молекул. Этим объясняется разогрев газа в возмущённой области после прохода фронта ударной волны по сравнению с невозмущенной областью перед фронтом ударной волны. Повышение средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает также возрас-тание давления и плотности газа при прохождении через него фронта ударной волны. Обратим движение, сообщив мысленно среде поступа-тельное движение влево со скоростью распространения фронта ударной волны. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее явление с точки зрения галилеевой системы координат, движущейся поступательно вместе с фронтом ударной волны. Тогда ударная волна окажется как бы останов-ленной, а газ приобретает стационарное движение.

Неподвижную ударную волну, плоскость которой перпендикулярна к направлению потока, называют прямым скачком уплотнения. Невозму-щенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к пря-мому скачку уплотнения со скоростью перемещения фронта ударной вол-ны.

71

Невозмущенная область

Возмущенная область

Рис. 20

Нарисуем новую картину возмущенной и невозмущенной области среды (рис. 20), где поток будет двигаться слева направо (так привычнее для рассмотрения и принято в механике сплошных сред). Условимся в дальнейшем обозначать индексом 1 параметры состояния среды и скорость потока перед скачком уплотнения, индексом 2 – после скачка уплотнения.

Скорость потока перед скачком уплотнения будет υ1, после скачка уп-лотнения – υ2, при этом очевидно υ1>υ2. Параметры состояния среды в возмущенной области будут иметь большие величины по сравнению с па-раметрами в невозмущенной области, т.е. p2>p1; T2>T1; ρ2>ρ1.

Рис. 21 Рис. 22

Характерной особенностью прямого скачка уплотнения является то,

что, пересекая его фронт, газовый поток не меняет своего направления, причем фронт прямого скачка располагается нормально к направлению по-тока. Помимо прямых скачков уплотнения существуют и так называемые косые скачки уплотнения. Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению потока (рис. 21), т.е. угол между вектором скорости потока и плоскостью скачка отличен от 90°. Таким образом, косым скачком уплот-нения называют неподвижную ударную волну, плоскость которой рас-положена под определенным углом (не равным 90°) к направлению потока. Косой скачок уплотнения получается в том случае, когда, пересекая фронт скачка, газовый поток изменяет свое направление. Например, при сверх-звуковом обтекании клиновидного тела (рис. 22), которое отклоняет поток от начального направления на угол ω, перед телом образуются плоские, косые скачки уплотнения, сходящиеся на его носике. Косой скачок уплот-нения образуется и при обтекании конуса. В этом случае поверхностью

72

разрыва будет конус с вершиной в носике обтекаемого конуса. Таким об-разом, если до встречи потока с фронтом косого скачка вектор скорости υ1

составлял с ним угол α, то после пересечения фронта поток отклоняется на угол ω, а угол между вектором скорости υ2 и фронтом косого скачка уп-лотнения становится равным β=α-ω.

3.2. Математическая модель прямого скачка уплотнения

Решим задачу определения взаимосвязи потока до и после прямого

скачка уплотнения. Чтобы найти связь между υ1, ρ1, p1, T1 и υ2, ρ2, p2, вос-пользуемся условием стационарности потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии. Кроме того, будем считать, что газ является идеальным и массовые силы отсутствуют (т.е. пренебрегаем влиянием массовых сил, поскольку имеем дело с газами).

Тогда вышеперечисленные уравнения в интегральной форме запи-шутся следующим образом:

1) уравнение неразрывности:

0dV)(divV

=υρ∫ , так как 0dVtV

=∂ρ∂

∫ ; (3.1)

2) уравнение движения в форме Эйлера 0dSPdV)(div

Sn

V

2 =+ρυ ∫∫ ; (3.2)

3) уравнение энергии

0dSPdV2

udivS

nnV

2

=υ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡υ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+ρ ∫∫ . (3.3)

Все эти уравнения содержат под знаком интеграла дифференциальные соотношения, которые надо устранить. Применяя ко всем уравнениям тео-рему Остроградского-Гаусса, получим:

1) 0dSS

n =ρυ∫ , (3.4)

2) ( ) 0dSPS

nn =+ρυυ∫ , (3.5)

3) 0dSP2

uS

nnn

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡υ+υ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+ρ∫ . (3.6)

Рассмотрим одномерное течение газа и будем считать, что в сечениях 1 (до поверхности разрыва) и 2 (после поверхности разрыва) поля скоро-стей и других величин однородны. В этих условиях закон сохранения мас-сы при прохождении через скачок уплотнения (уравнение неразрывности) запишется в виде:

2211 υρ=υρ . (3.7)

73

Здесь для внутренней задачи (течения газа в цилиндрической трубе) принято S1=S2, а для внешней задачи S опускается.

Уравнение движения при приведенных выше условиях дает второе искомое равенство – сохранение полного импульса (p+ρυ2) при прохожде-нии через скачок уплотнения:

p1+ρ1υ12 = p2+ρ2υ2

2 (3.8) Уравнение энергии преобразуется следующим образом:

0dSP2

TcS

nnn

2

v =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡υ+υ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+ρ∫ (3.9)

(здесь заменили u=cvT).

Произведя замену ρ

−=−==phRTTcTcu pv , получим:

0dS2

hS

n

2

=υ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ υ+ρ∫ (3.10)

(здесь энтальпия h=CpT, а из уравнения Клапейрона RTp=

ρ).

Тогда при наших допущениях получим:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+υρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ+υρ

2h

2h

22

222

21

111 . (3.11)

Учитывая, что 2211 υρ=υρ , получим искомое третье уравнение:

2h

2h

22

2

21

1υ

+=υ

+ . (3.12)

Это равенство представляет собой закон сохранения полной энтальпии

2hh

2

0υ

+= газа при его прохождении прямо через скачок уплотнения.

С учетом уравнения Клапейрона:

1

1

1

1p1

p1p1

p1k

kpRC

RTRC

TChρ−

=ρ

===

(здесь 1k

k1C/C

C/CCC

CRC

vp

vp

vp

pp

−=

−=

−= , где vp CCR −= - соотношение

Майера, kC/C vp = ).

Аналогично 2

22

p1k

khρ−

= .

И тогда третье равенство можно записать в следующем виде:

2p

1kk

2p

1kk 2

2

2

221

1

1 υ+

ρ−=

υ+

ρ−. (3.13)

74

Таким образом, получили систему из трех уравнений: неразрывности течения (3.7), изменения количества движения одномерного потока (3,8) и уравнения энергии (3.13) - с тремя неизвестными величинами υ2, p2, ρ2.

Мы видим, что независимо от характера движения (разрывного или нет) количество уравнений одно и то же. Но есть положительный момент: эти соотношения в интегральном виде можно непосредственно использо-вать для анализа физики явления разрывного процесса. Например, уравне-ния (3.8) и (3.13) дают новое уравнение процесса для сплошной среды. Причем адиабата Пуассона p/ργ=const, пригодная для сплошной среды (при изоэнтропическом расширении, т.е. при постоянной энтропии), теряет смысл при разрывных процессах (сверхзвуковых процессах при наличии скачка уплотнения). Гюгонио первый обратил на это внимание и получил адиабату при разрыве сплошности среды (при возрастании энтропии), на-званную ударной адиабатой Гюгонио. Итак, получили исходные уравнения для разрывного течения:

неразрывности 2211 υρ=υρ ; импульсов p1+ρ1υ1

2 = p2+ρ2υ22 ;

энергии 2

h2

h2

22

21

1υ

+=υ

+ .

Эти уравнения положены в основу теории скачка уплотнения.

3.3. Ударная адиабата Гюгонио для разрывных течений

Обратим внимание на две особенности разрывных течений: 1) в условиях неразрывного течения существует изоэнтропическая

адиабата Пуассона p/ρk=const. Но она недействительна для разрывных те-чений. Ударная адиабата Гюгонио лежит выше изоэнтропической адиаба-ты Пуассона, что означает возрастание энтропии при появлении разрывно-го течения. За счет роста энтропии появляется волновое сопротивление. Парадокс Даламбера при этом теряет смысл, так как появляется волновое сопротивление, и картина сверхзвукового обтекания тела имеет другой вид по сравнению с дозвуковым;

2) при неразрывном течении уравнение энергии и уравнение состоя-ния приводят к уравнению процесса. Для разрывных течений этого не по-лучается.

Выведем уравнение ударной адиабаты из уравнения импульсов p2-p1=ρ1υ1

2 -ρ2υ22 = ρ1υ1(υ1-υ2), (3.14)

так как ρ1υ1 = ρ2υ2.

Умножим обе части уравнения (3.14) на 11

21

υρυ+υ и получим:

75

22

21

11

2121 )pp( υ−υ=

υρυ+υ

− .

Поскольку 2111

21 11ρ

+ρ

=υρυ+υ (т.к. υ2/υ1=ρ1/ρ2), то

22

21

2112

11)pp( υ−υ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

+ρ

− . (3.15)

Уравнение энергии перепишем в виде:

2p

1kk

2p

1kk 2

2

2

221

1

1 υ+

ρ⋅

−=

υ+

ρ⋅

−. (3.16)

Объединим два последних уравнения в одно. Преобразуем для этого урав-нение (3.16) к виду

22

21

1

1

2

2 pp1k

k2υ−υ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

−ρ

⋅−

.

Уравнение импульсов (3.15) оставим без изменений. Приравняем левые части обоих уравнений, т.е.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

−ρ

⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

+ρ

−1

1

2

2

2112

pp1k

k211)pp( (3.17)

Сгруппировав члены с р1 и р2, получим:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ−

−ρ

+ρ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ−

−ρ

+ρ 121

1221

21

1kk211p1

1kk211p

или

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ−

ρ−ρ−+ρ−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ−

ρ−ρ−+ρ−

21

2121

21

1122 )1k(

k2)1k()1k(p)1k(

k2)1k()1k(p ;

[ ] [ ]211122 )1k()1k(p)1k()1k(p ρ+−ρ−=ρ+−ρ− . (3.18) Умножив обе части равенства (3.18) на (-1/ρ1), получим:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

ρρ

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ

−−+ )1k()1k(p)1k()1k(p1

21

1

22 .

Тогда

1

2

1

2

1

2

)1k()1k(

)1k()1k(

pp

ρρ

−−+

−−ρρ

+= .

И окончательно

1

2

1

2

1

2

)1k()1k(

1)1k()1k(

pp

ρρ

−−+

−ρ−ρ+

= . (3.19)

76

Это и есть уравнение ударной адиабаты Гюгонио. Итак, интегралы уравнений разрывного одномерного течения после

преобразований дают отличное от изоэнтропической адиабаты Пуассона

k2

2k1

1 ppρ

=ρ

выражение. Как только переходят к разрывному течению, то по-

лучают ударную адиабату Гюгонио. Построим графики сравнения двух адиабат: изоэнтропической и удар-

ной. Ударная адиабата за исключением небольшой области лежит выше

адиабаты Пуассона. График для газа с k=1,4 выглядит следующим образом (рис. 23):

Рис. 23

В отличие от непрерывного движения сплошной среды с плавным из-

менением параметров вдоль направления распространения потока разрыв-ное движение характеризуется конечным скачком параметров газа в неко-тором сечении. Отсюда можно сделать заключение, что прохождение иде-ального газа сквозь скачок уплотнения не является изоэнтропическим про-цессом, а сопровождается необратимым переходом механической энергии в тепловую.

В физическом отношении это означает, что при прохождении через скачок уплотнения энтропия возрастает:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

−ρ−

=− k1

1k2

212

plnpln1k

RSS , (3.20)

где S1 – энтропия до скачка, S2- энтропия после скачка.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

ρ⋅

ρ−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ

−=−

из2

2

1

k1

k2

из2k2

k1

1

212 p

pp

pln

1kR

pp

ln1k

RSS .

В силу уравнения Пуассона ( p/ρk =const ) первые два члена составля-ют 1 и тогда

77

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−из2

212 p

pln1k

RSS . (3.21)

Так как p2>p2из (см. рис. 23), следовательно S2>S1 при разрыве сплош-ности. Отсюда следует, что в природе существует только прямой скачок уплотнения, а прямого скачка разрежения не существует, поскольку в этом случае энтропия будет убывать, а это невозможно в силу второго закона термодинамики (энтропия может либо оставаться постоянной, либо воз-растать - третьего не дано).

Таким образом, волновое сопротивление, появляющееся при сверх-звуковом обтекании, характеризуется возрастанием энтропии.

3.4. Уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения

Получим необходимое для вывода соотношение из интегралов основ-

ных уравнений для скачка уплотнения. Возьмем уравнение сохранения полного импульса (3.I4): p2-p1=ρ1υ1

2 -ρ2υ22 или

2111

1

22

2 ppυ−υ=

υρ−

υρ (из закона сохранения массы: ρ1υ1

=ρ2υ2).

Из интеграла Бернулли уравнения энергии следует, что перед скачком уплотнения имеет место следующее выражение:

2*a

)1k(21kp

1kk

1ka

h212

1

121

1υ

−−+

=ρ−

=−

= . (3.22)

Оно получается следующим образом. Уравнение энергии записывается в виде:

const2

h2

=υ

+ ,

где 1k

aaRC

akRC

kRkRTC

TCh2

2v2ppp −

===== ,

так как 1k

1CC

CRC

vp

vv

−=

−= .

Тогда уравнение энергии будет иметь вид:

const21k

a 22

=υ

+−

.

Константу найдем из условия a=a* при υ=a* для критического течения,

тогда 222

*a)1k(2

1k2*a

1k*aconst

−+

=+−

= .

Подставляя в уравнение энергии, получим 2

222

*a)1k(2

1k21k

a2

h−+

=υ

+−

=υ

+ .

78

Отсюда энтальпия потока перед скачком уплотнения равна

1

1212

21

1p

1kk

2*a

)1k(21k

1kah

ρ−=

υ−

−+

=−

= , т.к. 1

121

pkaρ

= .

За скачком уплотнения имеем:

2*a

)1k(21kp

1kk

1kah

222

1

122

2υ

−−+

=ρ−

=−

= . (3.23)

Выразив из уравнений (3.22) и (3.23) отношения p1/ρ1 и p2/ρ2 и подставив

их в уравнение количеств движения 2111

1

22

2 ppυ−υ=

υρ−

υρ, получим после

преобразований:

0*a1)(k2

1k

21

2

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυ

−υ−υ+ . (3.24)

Продемонстрируем этот вывод:

21

2

1

1

k21k*a

k21kp

υ−

−+

=ρ

; 22

2

2

2

k21k*a

k21kp

υ−

−+

=ρ

.

Подставив в уравнение количеств движения, получим:

21212

1

2222

2

2

k21k*a

k21k

k21k*a

k21k

υ−υ=υ−

+υ

+−υ

−−

υ+ .

Перенесем все члены в правую часть уравнения и сгруппируем:

0*a*ak2

1k)(k2

1k

2

2

1

2

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υ

+υ

++υ−υ

+ ,

тогда 0)(*ak2

1k)(k2

1k

21

212

21 =υυ

υ−υ++υ−υ

+ ,

и окончательно 0*a1)(k2

1k

21

2

21 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυ

−υ−υ+ .

Так как υ1>υ2, т.е. скорость перед скачком намного больше скорости

после скачка, то )(k2

1k21 υ−υ

+ >0 и приходим к следующему уравнению:

0*a121

2

=υυ

− или υ1υ2 = a*2. (3.25)

Это и есть уравнение Прандтля. Оно указывает на то, что если до скачка υ1>a*, то после скачка υ2<a* (меньше критической скорости).

При прямом скачке уплотнения обязателен переход от сверхзвукового течения к дозвуковому, что сопровождается максимальным ростом энтро-пии.

79

При косом скачке уплотнения сверхзвуковое обтекание может остать-ся тоже сверхзвуковым, но меньшей интенсивности.

Уравнение Прандтля при помощи скоростного коэффициента Чаплы-гина можно записать следующим образом:

λ1λ2=1, где *a1

1υ

=λ ; *a2

2υ

=λ , (3.26)

а так как 2M

21k1

M2

1k−

+

+=λ , то уравнение Прандтля можно получить

и в следующем виде:

22

2

21

1

M2

1k1

M2

1k

M2

1k1

M2

1k−

+

+⋅

−+

+ . (3.27)

Отсюда

21kkM

M2

1k1

M1

21kk

M1

21k

M21

21

21

21

2 −−

−+

=−

−

+−

= . (3.28)

На этом соотношении можно построить аналог сверхзвуковой трубы. Если скорость набегающего потока на тело M1→∞, то

378.0k21kM 2 =

−→ .

Следовательно, если создать аэрогазодинамическую трубу со скоро-стью M=0.4≈120 м/с, то смоделируем сверхзвуковую трубу для исследова-ния течения газа за прямым скачком уплотнения.

Теперь ответим на вопрос: какие параметры потока остаются посто-янными при прохождении через прямой скачок уплотнения?

Из уравнения энергии:

0,1

21

1p h2

TC =υ

+ , 0,2

22

2p h2

TC =υ

+ ,

где CpT1 – энтальпия набегающего потока; CpT2 - энтальпия после скачка уплотнения; h1,0 и h2,0 – полная энтальпия. Согласно закону сохранения энергии h1,0 = h2,0 = h0 или T1,0 = T2,0 = T0 (если Cp = const). Тогда а1,0=а2,0=а0;

**2

*1 TTT == , и, следовательно, **

2*1 aaa == .

Итак, при прохождении через прямой скачок уплотнения энтальпия и тем-пература адиабатически заторможенного потока сохраняют постоянную величину. Также сохраняют постоянную величину скорости звука, крити-ческие скорости до и после прямого скачка уплотнения. Кроме того, со-гласно формуле Клапейрона:

80

0,1

0,1

0,2

0,2 ppρ

=ρ

или **p

**p

1

1

2

2

ρ=

ρ.

3.5. Изменение характерных параметров газа при прямом скачке уплотнения

За относительное изменение параметров при прямом скачке уплотне-

ния принимается:

1

10

1 ppp

pp −=

∆ ; 1

10

1 ρρ−ρ

=ρρ∆ ;

1

10

1 TTT

TT −=

∆ .

Все эти величины легко находятся при использовании полученных инте-гралов для нашей задачи. 1. Действительно, из закона сохранения полного импульса:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υρυρ

−υρ

=υρ−υρ

=−

=∆

211

222

1

211

1

222

211

1

10

1

1ppp

ppp

p .

Из уравнения сохранения масс: 2211 υρ=υρ , тогда 1

2211

222

υυ

=υρυρ и, сле-

довательно, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυυ

−υρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυ

−υρ

=−

=∆

21

21

1

211

1

2

1

211

1

10

1

1kp

k1pp

ppp

p . (3.29)

Так как из формулы Прандтля υ1υ2=a*2, то ( )21

21

2

21

21 1*aλ

=υ

=υυυ .

Поскольку 21

1

1 akp=

ρ, то 2

121

21 Ma/ =υ , и тогда

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−=∆

21

21

1

11kMp

p . (3.30)

Применяя формулы перехода от λ1 к М1 и наоборот, т.е.

21

11

M2

1k1

M2

1k−

+

+=λ ,

21

11

1k1k1

1k2M

λ+−

+

λ+

= ,

получим искомые соотношения:

а) 21

21

1

1k1k1

11k

k2p

p

λ+−

−

−λ⋅

+=

∆ ;

б) 21

21

11

2

1k1k1

11k

k21p

p1pp

λ+−

−

−λ⋅

++=

∆+= ; (3.31)

81

в) )1M(1k

k2p

p 21

1

−+

=∆ ; г) )1M(

1kk21

pp 2

11

2 −+

+= .

2. 11

2

1

12

1

−ρρ

=ρρ−ρ

=ρρ∆

Применяя к этому уравнению уравнение неразрывности 2211 υρ=υρ ,

получим: 11*a

11 212

21

21

21

2

1

1

−λ=−υ

=−υυυ

=−υυ

=ρρ∆ .

Тогда 21

11

2 1 λ=ρρ∆

+=ρρ ; или

21

21

1

2

M2

1k1

M2

1k−

+⋅

+=

ρρ (3.32)

3. 1

12

1

12

1 hhh

TTT

TT −

=−

=∆ .

Из закона сохранения полной энтальпии 2

h2

h22

2

21

1υ

+=υ

+ получим:

2hh

22

21

12υ−υ

=− и h1=CpT1.

Тогда ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛υυ

−υ

=υ−υ

=∆

21

22

1p

21

1p

22

21

1

1TC2TC2T

T . (3.33)

Умножим и разделим член перед скобкой уравнения (3.33) на kR, а

член 21

22

υυ на υ1

2; 41

41

2

21

21

21

22 1*a

λ=

υ=

υυ

υυ .

Тогда

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−−

⋅υ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

−

ρ

υ=

∆41

214

1p

vp21

21

41

1

1p

21

1

11M2

1k11C

)CC(ka2

11p

kC2

kRTT , (3.34)

т.к. k

1kk11

C)CC(

p

vp −=−=

−.

Если взять 21

11

M2

1k1

M2

1k−

+

+=λ , то можно после преобразований на-

писать это выражение через М1:

)kM1)(1M(M)1k()1k(2

TT 2

1212

12

1

+−−

−=

∆ . (3.35)

82

Если взять выражение 21

11

1k1k1

1k2M

λ+−

+

λ+

= , то

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+−

−λ

−λ+−

=∆

21

21

41

1

)1k()1k(1

1)1k()1k(

TT . (3.36)

И наконец 11

2

TT1

TT ∆

+= , т.е. температура T2 за скачком уплотнения всегда

больше температуры Т1 до прямого скачка уплотнения (за счет необрати-мого превращения механической энергии в тепловую).

Тогда )kM1)(1M(M)1k()1k(21

TT 2

1212

12

1

2 +−−

−+= (3.37)

или

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+−

−λ

−λ+−

+=21

21

41

1

2

)1k()1k(1

1)1k()1k(1

TT . (3.38)

Как известно, при наличии необратимых потерь в адиабатической системе возрастает ее энтропия. Для определения этого возрастания вос-пользуемся следующей формулой:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρρ

−=− k

2

k1

1

212 p

pln1k

RSS . (3.39)

Применим это равенство к параметрам адиабатически и изоэнтропически заторможенного газа, что допустимо, т.к. изэнтропическое торможение не влияет на приращение энтропии. Тогда получим

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ρ

ρ

−=− k

0,2

k0,1

0,1

0,212 p

pln

1kRSS (3.40)

Но из формулы Клапейрона следует: ρ1,0/ρ2,0 = p1,0/p2,0 , (3.41)

тогда ælnpp

lnpp

ln1k

1R

SS

0,1

0,2

k1

0,1

0,212 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

−−

. (3.42)

Эта формула выражает асимптотический закон роста энтропии при прохо-ждении газа через скачки большой интенсивности. При сравнительно ма-лой интенсивности скачков уплотнения, т.е. при М, близком к 1, будет на-блюдаться слабое изменение энтропии, т.е. около-звуковые явления можно с достаточной степенью приближения рассматривать как изоэнтропиче-ские.

83

3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения

Элементарную теорию косого скачка уплотнения можно рассматри-

вать на примере течения газового потока внутри тупого угла. При течении внутри тупого угла сверхзвукового потока газа со скоростью υ1 создается косой скачок уплотнения, который образует с горизонтальной осью угол β (рис. 24). Надо отметить, что если при прямом скачке уплотнения согласно теореме Прандтля сверхзвуковое течение после скачка уплотнения непре-менно становится дозвуковым, то при прохождении потока через косой скачок уплотнения сверхзвуковая скорость может сохраниться и за скач-ком уплотнения.

Рис. 24

Разложим вектор скорости 1υ на две составляющие: нормальную υ1n

(перпендикулярную линии скачка уплотнения) и касательную υ1t (парал-лельную линии скачка уплотнения). При прохождении потока через косой скачок уплотнения вектор скорости 2υ потока имеет направление, парал-лельное ограничивающей поверхности. Разложим вектор скорости 2υ так-же на две составляющие: υ2n и υ2t (см. рис. 24).

При исследовании косого скачка уплотнения будем использовать сле-дующие интегральные соотношения:

1) уравнение неразрывности (закон сохранения массы), записанное для нормальных составляющих скоростей, полученных при косом скачке уплотнения:

n22n11 υρ=υρ ; (3.43) 2) закон сохранения полного импульса в проекции на линию разрыва

(импульса, связанного с касательной скоростью, которая направлена по косому скачку уплотнения):

t2n22t1n11 υυρ=υυρ . (3.44)

84

То же в проекции на нормаль к линии разрыва (или теорема об изменении импульсов для нормальных составляющих скоростей):

2n222

2n111 pp υρ+=υρ+ ; (3.45)

3) уравнение энергии (закон сохранения полной энтальпии):

22h

22h

2t2

2n2

2

2t1

2n1

1υ

+υ

+=υ

+υ

+ . (3.46)

Из уравнения (3.43) с учетом (3.44) следует, что tt2t1 υ=υ=υ . (3.47)

Это равенство указывает на то, что касательные составляющие скоро-стей до и после косого скачка уплотнения одинаковы. Иными словами, ко-сой скачок уплотнения не вызывает изменения характера течения каса-тельных скоростей до и после скачка уплотнения.

Тогда система уравнений (интегральных соотношений) будет иметь вид:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

υ+=

υ+

υρ+=υρ+

υρ=υρ

2h

2h )3

pp )2 )1

2n2

2

2n1

1

2n222

2n111

n22n11

Видно, что полученная система уравнений для косого скачка уплот-нения отличается от системы уравнений, характеризующих прямой скачок уплотнения. Система уравнений для косого скачка уплотнения получается из системы уравнений для прямого скачка уплотнения заменой векторов скоростей 1υ и 2υ на их нормальные составляющие υ1n и υ2n. Следова-тельно, все, что было сказано относительно прямого скачка уплотнения, сохраняет свой смысл и для косого скачка уплотнения, если во всех соот-ношениях, полученных для прямого скачка уплотнения, заменить векторы скоростей 1υ и 2υ на их нормальные составляющие.

Тогда уравнение Прандтля для косого скачка уплотнения будет вы-глядеть следующим образом:

2n2n1 *a=υυ , (3.48)

где 2t

22

1k1k*a*a υ

+−

−= . (3.49)

Это значение для 2*a получается из рассмотрения уравнения энергии в следующем виде:

2222

*a)1k(2

1k21k

a2

h−+

=υ

+−

=υ

+ .

Для нашего случая:

85

22t

2n

2

*a)1k(2

1k221k

a−+

=υ

+υ

+−

. (3.50)

Отсюда следует:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ υ

+−−

−+=

−+

υ 2222

11*

)1(21

12 tn

kka

kk

ka

. (3.51)

При наличии косого скачка уплотнения критическая скорость 2*a оказы-вается несколько меньшей, чем при прямом скачке уплотнения ( 2*a ).

Теорему Прандтля можно также записать в виде:

1n2n1 =λλ , (3.52)

где *an1

n1υ

=λ , *an2

n2υ

=λ . (3.53)

Относительное изменение характерных параметров при косом скачке уп-лотнения можно получить из аналогичных соотношений для прямого скач-ка уплотнения, если вместо векторов скоростей 1υ и 2υ в выражениях для М и λ поставить их нормальные компоненты:

1) Например )1M(1k

k21pp 2

n11

2 −+

+= , (3.54)

где 1

n1n1 a

Mυ

= . Из треугольника скоростей υ1n=υ1sinβ, тогда

β=βυ

= sinMasin

M 11

1n1 , и окончательно:

)1sinM(1k

k21pp 2

11

2 −β+

+= . (3.55)

Это же выражение через λ1 выглядит следующим образом:

2n1

2n1

1

2

1k1k1

11k

k21pp

λ+−

−

−λ⋅

++= . (3.56)

Из треугольника скоростей: υ1t=υ1cos β, тогда с учетом (3.49):

βυ+−

−= 221

22 cos1k1k*a*a

Из уравнения (3.53):

βλ+−

−

β−λ=

βλ+−

−

βλ=

βυ+−

−

βυ=λ

221

221

221

221

221

2

2212

n1

cos1k1k1

)cos1(

cos1k1k1

sin

cos1k1k*a

sin. (3.57)

Следовательно, с учетом формул (3.56) и (3.57) имеем:

86

βλ+−

−

βλ−λ⋅

+−

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ βλ

+−

−βλ−λ

++=

221

221

21

221

221

21

1

2

cos1k1k1

)cos(1k1k1

1]cos1k1k1/)cos[(

1kk21

pp =

βλ+−

+λ+−

−βλ+−

−

βλ+−

+−βλ−λ

++=

221

21

221

221

221

21

cos1k1k

1k1kcos

1k1k1

cos1k1k1cos

1kk21 .

Окончательно имеем:

21

221

21

1

2

1k1k1

cos1k

2)1(

1kk21

pp

λ+−

−

βλ+

−−λ

++= . (3.58)

2) Аналогично:

2n1

2n1

221

221

1

2

M2

1k1

M2

1k

sinM2

1k1

sinM2

1k

−+

+

=β

−+

β+

=ρρ (3.59)

или

βλ+−

−

β−λ=λ=

ρρ

221

2212

n11

2

cos1k1k1

)cos1( . (3.60)

3) =β−−ββ+

−+= )sinkM1)(1sinM(

sinM)1k()1k(21

TT 22

122

1221

21

2

)kM1)(1M(M)1k()1k(21 2

n12n12

n12 −−

+−

+= . (3.61)

И, наконец, останутся теми же самыми, что и для прямого скачка уп-лотнения, выражения: h1,0= h2,0=h0; T1,0= T2,0=T0; a1,0= a2,0=a0, T1*= T2*=T* и a1*= a2*=a*. Останется той же и ударная адиабата Гюгонио.

3.7 . Ударная поляра

Из треугольников скоростей перед и за косым скачком уплотнения (рис. 24) следует:

87

βυ=υ sin1n1 ; )sin(2n2 θ−βυ=υ , где θ - половинный угол клина, он же – угол отклонения потока за скач-ком; β - угол, образованный линией косого скачка уплотнения с направле-нием набегающего потока (вектора скорости 1υ )

υ1t = υ2t = υ1cosβ = υ2cos(β-θ) = υ1. Для проекций скоростей на оси прямоугольной декартовой системы коор-динат имеем:

υ1x = υ1, υ1y =0; υ2x = υ2cos(β-θ), υ2y = υ2sin(β-θ). Еще: υ1n = υ1x sin β; υ2n = υ2x sin β - υ2ycos β;

υ1t = υ2t = υt = υ1xcosβ = υ2xcos β +υ2ysin β =υ1cos β. Из последнего соотношения находим:

υ2ysin β =(υ1-υ2x)cos β ⇒

а) Ncos/

sin x21

y2

x21 υ−υ=

βυυ−υ

=β ;

б) N

cos y2υ=β .

С учетом предыдущих соотношений: 2y2

2x21 )(N υ+υ−υ= .

Эти соотношения позволяют найти выражение касательных и нормальных компонент векторов скоростей 1υ и 2υ через их декартовые проекции:

Ncos y21

t1t

υυ=υ→βυ=υ ;

)(N

sin x211

n11n1 υ−υυ

=υ→βυ=υ ;

2y221x2n2y2x2n2 )([

N1cossin υ−υ−υυ=υ→βυ−βυ=υ .

Используем формулу Прандтля для косого скачка уплотнения в виде: 2

n2n1 *a=υυ . Подставим туда выражения для υ1n и υ2n через декартовы проекции векто-ров скоростей и после преобразований получим:

x2121

2

2x21

2x212

y2

1k2*a

)*a()(

υυ−υ+

+

−υυυ−υ=υ . (3.62)

Деля обе части этого равенства на а*2 или на 21a , перепишем его в следую-

щих видах:

*a1k21

)1*a

()*a

(

*a x21

21

x21

2x21

2y2

υλ−λ

++

−υ

λυ

−λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ, (3.63)

88

1

x21

21

2

1

2

11

x21

2

1

x212

1

y2

aMM

1k2

a*a

a*a

aM

aM

a υ−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

υ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ υ. (3.64)

Эти соотношения представляют собой уравнения семейства кривых соот-ветственно в плоскостях (υ2x/a*; υ2y/a*) или (υ2x/a1; υ2y/a1) с параметрами λ1 и M1. Полученные семейства представляют собой геометрические места точек концов вектора скорости 2υ за косым скачком уплотнения, отнесен-ного в первом случае к a* и во втором - к a1, причем в качестве параметров семейств используется величина скорости 1υ до скачка, отнесенная к a* или a1. Кривые этих семейств представляют собой строфоиды (их еще на-зывают гипоциссоидами или декартовыми листами).

На рис. 25 в размерных коор-динатах (υ2x; υ2y) показана одна из таких строфоид. Она имеет асимптоту, опреде-ляемую следующим выраже-нием:

1

2

1x2*a

1k2

υ+υ

+=υ . (3.65)

Вертикальная составляющая скорости υ2 обращается в нуль (υ2y=0) в двух случаях: 1) в точке B, в которой

υ2x = υ2 = υ. При этом величина и направление скорости не меняются, т.е. скачок

уплотнения вырождается в слабую волну возмущения; 2) в точке A, в которой υ2x = υ2 = a*2/υ1 или υ1 υ2 = a*2 (уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения).

В этом случае скорость υ2 имеет минимальное значение при заданной сверхзвуковой скорости υ1, следовательно, скачок уплотнения имеет в точ-ке A наибольшую интенсивность.

Луч, проведенный из начала координат под углом θ, равным повороту потока (или углу полураствора клина), пересекает строфоиду в трех точках 1, 2, 3 и, таким образом, определяет три значения вектора скорости 2υ за косым скачком уплотнения. Какие же из этих трех точек имеют физиче-ский смысл?

Поскольку скорость в точке 3 больше скорости в точке B (см. рис. 25), т.е. скорость υ2 в этой точке больше υ1, что является невозможным, т.к. за

Рис. 25

89

косым скачком уплотнения происходит торможение потока (наличие ско-рости υ2>υ2 свидетельствует о существовании скачка разрежения, что в термодинамическом отношении не имеет места из-за уменьшения энтро-пии, а это невозможно). Поэтому точка 3 и вообще обе бесконечные ветви строфоиды, расположенные вправо от точки В и уходящие к асимптоте, являются нерабочими. Следовательно, рабочими точками, имеющими фи-зический смысл, могут быть только точки 1 и 2.

При определенных углах обтекания клина или сверхзвукового течения внутри тупого угла за косыми скачками уплотнения может наблюдаться и сверхзвуковое течение, следовательно, интенсивность косого скачка уп-лотнения всегда меньше прямого скачка уплотнения, поскольку после прямого скачка уплотнения скорость потока всегда дозвуковая.

Так как точка 3 противоречит второму закону термодинамики (не реа-лизуется), то ударную поляру часто изображают так (рис. 26):

Рис. 26

Такая диаграмма в координатах (υ2x/a*; υ2y/a*) позволяет весьма просто найти все основные величины:υt, υ1n, υ2n и угол β, характеризующий косой скачок уплотнения. Для этого из начала координат (см. рис. 27) под углом θ (угол полураствора клина, или угол отклонения потока за скачком уп-лотнения) проводят прямую линию до пересечения с полярой (например, точка E). Затем из точки B через точку E проводят прямую линию и к ней из начала координат восстанавливают перпендикуляр (линия OG). Тогда угол GOB=β, а отрезок JG представляет собой касательную составляющую υt скоростей 1υ и 2υ (т.к. υt = υ1cosβ или OG=OBcosβ), деленную на a*. Отрезок GE представляет собой нормальную составляющую υ2n скорости

2υ (υ2n = υ2sin(β-θ) или GE=OEsin(β-θ), деленную на a*. Отрезок BG пред-ставляет собой нормальную составляющую υ1n скорости 1υ (υ1n=υ1sinβ или BG=OBsinβ), деленную на a*. Аналогично можно найти параметры потока по этой диаграмме и для точки D, также характеризующей отношение υ2/a*, но для другого возможного направления косого скачка уплотнения

90

β’ (причем β’>β). Поскольку в точке D скорость 2υ меньше скорости 2υ в точке E (при одной и той же скорости 1υ ), то, следовательно, точке D со-ответствует косой скачок большей интенсивности, или по-другому, боль-шим углам соответствуют косые скачки уплотнения большей интенсивнос-ти.

Рис. 27

По условию набегающий поток является сверхзвуковым, следователь-

но, отрезок OB=υ1/a*>1. С другой стороны, из уравнения (3.62) легко за-ключить, что точка A пересечения строфоиды с осью υ2x/a* (т.е. при

υ2y=0) будет иметь абсциссу 1*aOA1

<υ

= (т.к. υ1>a*, поток сверхзвуко-

вой). Отсюда следует, что на оси υ2x/a* между точками A и B будет нахо-диться точка S, соответствующая критической скорости, т.е. отрезок OS=1 (причем в этой точке выполняется условие инверсии OA⋅OB=OS2). Окруж-ность радиуса OS=1 разграничивает области до- и сверхзвуковых течений (υ2/a*<1 и υ2/a*>1) . Другими словами, окружность радиуса OS=1 очерчи-вает на строфоиде области, где скорости υ2 за косым скачком уплотнения могут быть дозвуковыми (υ2/a*<1) и сверхзвуковыми (υ2/a*>1). Отметим также, что существует такое значение угла θ=θmax, при котором точки D и E сольются в одну, и ей будет отвечать лишь одно значение угла β и лишь одно расположение косого скачка уплотнения. Это будет предельный слу-чай так называемого присоединенного скачка уплотнения (рис. 28, а).

91

а б

Рис. 28 Если же θ>θmax, то образуется отсоединенный криволинейный скачок уп-лотнения (рис. 28, б), расчет которого является более сложной задачей, чем было изложено выше. Элементарная теория косого скачка уплотнения дей-ствительна лишь при обтекании клина или течения внутри тупого угла до таких углов θmax, при которых скачок уплотнения является присоединен-ным. Следовательно, нужно всегда сверять по ударной поляре заданный угол θ с углом θmax, так как все приведенные соотношения справедливы лишь для углов θ<θmax.

В инженерной практике избе-гают делать обводы тел, движущих-ся в потоке, с углами θ>θmax (этот случай бывает только для неудобо-обтекаемых тел (рис.29), но такие контуры стараются не делать). Оп-ределим связь между углами β и θ при заданном числе M1 набегающе-го потока. С этой целью воспользу-емся соотношением Прандтля для

косого скачка уплотнения: 2n2n1 *a=υυ . Учитывая, что υ1n=υ1sinβ,

)sin(2n2 θ−βυ=υ , получим: 22

121n2n1 *a)(tgcossin)sin()sin( =θ−β⋅ββυ=θ−βυ⋅βυ=υυ ,

поскольку )cos()cos( 12t βυ=θ−βυ=υ , откуда )cos(

cos2 θ−β

β=υ .

Тогда: 2221

221 *acos

1k1k*a)(tgcossin =βυ

+−

−=θ−β⋅ββυ . (3.66)

Из соотношения (3.66) получается зависимость между углами β, θ и скоро-стным коэффициентом λ1. Разделим обе части этого равенства на a*2:

βλ+−

−=θ−β⋅ββλ 221

21 cos

1k1k1)(tgcossin ,

11k1k)(tgtgcos22

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+θ−β⋅β⋅βλ

Рис.29

92

и тогда 21

2 /11k1k)(tgtgcos λ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+θ−β⋅β⋅β . (3.67)

Заменяя в уравнении (3.67) λ1 на число Маха М1 по формуле

21

21 M

11k

21k1k1

++

+−

=λ

,

получим:

β⋅

++

β⋅

++

ββ

+−

−=βθ−β

221

22

2

sinM1

1k2

sin1

1k1

sincos

1k1k

tg)(tg ,

β++

+−

=βθ−β

221 sinM

11k

21k1k

tg)(tg ,

β+β+

=β++β−

=βθ−β

+

−

2212

1k

2212

1k

221

221

sinM2sinM1

sinM)1k(2sinM)1k(

tg)(tg . (3.68)

Разрешая равенство (3.68) относительно tgθ, получим:

β+β−

+

−β=θ ctg

M1sin

21k

M1sin

tg

21

2

21

2

. (3.69)

Как было ранее отмечено, каждому заданному значению θ<θmax соот-ветствуют два значения β. Эта двузначность в определении угла наклона косого скачка уплотнения S по заданному значению θ соответствует сущ-ности явления прохождения газа через косой скачок уплотнения, от давле-ния за которым зависит режим течения. Как следует из формулы (3.55):

1k1ksinM

1kk2

pp 22

11

2

+−

−β+

= , (3.70)

большему значению угла β отвечает и большее значение отношения p2/p1 давлений за и перед скачком. А поскольку, как уже говорилось, это отно-шение давлений служит мерой интенсивности (мощности) скачка, то большему значению угла β будет соответствовать более интенсивный ска-чок уплотнения. Скачок уплотнения, соответствующий большему значе-нию β, называют сильным скачком уплотнения, а соответствующий мень-шему значению β – слабым скачком уплотнения. Фронт сильного скачка уплотнения служит поверхностью (в плоском движении – линией) сильно-го изменения кинематических, газо- и термодинамических характеристик потока газа, фронт слабого скачка – поверхностью (линией) слабого изме-нения этих величин.

93

Оба типа изменений наблюдаются, на-пример, в отсоединенных волнах (см. рис. 30) при θ>θmax (AC – отсоединенный скачок уплотнения). Выясним условия, при которых поток за косым скачком уп-лотнения будет до- или сверхзвуковым. Для этого воспользуемся формулой (3.28) зависимости числа Маха M2 за скачком от числа M1 до скачка для пря-мого скачка уплотнения и произведем

замену в этой формуле M1 на M1sinβ и M2 на M2sin(β-θ), справедливых для косого скачка уплотнения. Тогда получаем искомую формулу связи:

21k)(sinkM

sinM2

1k1)(sinM

222

221

222 −

−β

β−

+=θ−β . (3.71)

Пользуясь этим выражением и соотношением

β+β−

+−β

=θ ctgM/1sin

21k

M/1sintg21

2

21

2

, (3.72)

можно выразить число Маха за косым скачком уплотнения M2 через число M1 до скачка и угол β. При этом при одном и том же M1 двум различным значениям β, соответствующим сильному и слабому скачкам, будут отве-чать два отличных друг от друга значения M2, причем сильный скачок уп-лотнения, подобно прямому, переводит сверхзвуковой поток в дозвуковой, а слабый скачок почти всегда сохраняет поток сверхзвуковым.

Если θ>θmax, то, как указывалось, наличие прямолинейного присоеди-ненного к вершине угла (клина) 0 косого скачка уплотнения невозможно. Вверх по течению перед точкой 0 возникает криволинейная «головная» ударная волна или отсоединенный скачок уплотнения АС (рис. 30). В не-посредственной близости к точке А отсоединенный скачок АС ведет себя как прямой, а при удалении от точки А сначала как сильный косой скачок, а затем с уменьшением местного угла β постепенно ослабевает и перехо-дит в прямолинейный косой скачок. При этом за отсоединенным скачком уплотнения имеет место как до-, так и сверхзвуковое течение газа. За уча-стком АВ образуется дозвуковая зона течения, за участком ВС – сверхзву-ковая. Эти две зоны потока за скачком разделяются линией ВD, вдоль ко-торой скорость газа равна местной скорости звука.

Библиографический список

Рис. 30

94

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987. 840 с. 2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука,1984. 560 с. 3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехтео-

ретиздат, 1954. 795 с. 4. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука,

1981. 448с. 5. Прандтль Л. Гидромеханика. М.: Изд-во иностранной литературы,

1951. 370 с. 6. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Ч. I, II. М.: Наука, 1991.

600 с., 304 с. 7. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

370 с. 8. Загузов И.С. Аэрогидромеханика разрывных течений идеального газа:

Учебное пособие. Самара: Изд-во СамГУ, 1992. 76 с. 9. Механика сплошных сред в задачах. Т.1,2 / Под ред. М.Э. Эглит. М.:

Московский Лицей, 1996, 396 с., 394 с.

95

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ……….……………………………………………………… 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОДИНАМИКЕ ……...

1.1. Математическая модель плоского движения идеальной несжимаемой жидкости ...…………………….

1.2. Комплексные потенциалы и характеризуемые ими виды движений ……………………………………………...

1.3. Математическая модель бесциркуляционного обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью ..

1.4. Математическая модель циркуляционного обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью ..

1.5. Теорема Жуковского о подъёмной силе крыла ………… 1.6. Математическая модель обтекания крылового

профиля по методу конформных отображений …………

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ.. 2.1. Изоэнтропийные соотношения для идеального газа ….. 2.2. Математическая модель движения газа по соплу Лаваля 2.3. Распространение малых возмущений

в потоке сжимаемого газа …………………………………. 2.4. Математическая модель плоского безвихревого

движения идеального сжимаемого газа ……………….… 2.5. Линейные преобразования Прандтля

для определения малых возмущений параметров газа … 2.6. Математическая модель дозвукового обтекания

тонкого профиля потоком идеального сжимаемого газа 2.7. Математическая модель сверхзвукового обтекания тонкого

профиля потоком идеального сжимаемого газа

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ .. 3.1. Сильные разрывы в газе. Прямые и косые

скачки уплотнения ……………………………..…………… 3.2. Математическая модель прямого скачка уплотнения …. 3.3. Ударная адиабата Гюгонио для разрывных течений ….. 3.4. Уравнение Прандтля для прямого скачка уплотнения ... 3.5. Изменение характерных параметров газа

при прямом скачке уплотнения …………………………... 3.6. Математическая модель косого скачка уплотнения …… 3.7. Ударная поляра ……………………………………………...

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………..

3 6 8 10 15 23 27 30 35 36 42 48 51 53 58 62 68 69 72 74 77 80 83 87 94

96

Загузов Виктор Степанович, Поляков Константин Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ

ЧАСТЬ II

Учебное пособие

Редактор Т.И. Кузнецова Компьютерная верстка Т.В. Кондратьева

Лицензия ИД № 06178 от 01.11.2001. Подписано в печать 22.05.02. Формат 60�84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. ; уч.-изд. л. .Гарнитура Times.

Тираж 150 экз. Заказ № Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

УОП СамГУ, ПЛД № 67-43 от 19.02.98.