В. А. Власьева Теория вероятности Конспект практических занятий Выполнил студент 712 группы Димент А. В. СПбГУКиТ 2009

2

Элементарные исходы – которые не пересекаются меж-ду собой. Все остальные исходы формируются из эле-ментарных.

► Монета подбрасывается дважды.

А = {монета выпадает одной стороной}

B = {1 – орёл, 1 - решка}

С = {хотя бы 1 раз орёл}

Найти вероятности этих событий.

Чтобы найти вероятность, найдём количество благопри-ятных и всего исходов.

Элементарные события (Е): {о, р}, {о, р}, {р, р}, {р, о}. Они не пересекаются (не происходят одновременно), и кроме них ничего произойти не может.

Р(А)=2/4=1/2

Р(В)=2/4=1/2

Р(С)=3/4 ( ) = 1

► В коробке лежат шары: 10 белых + 8 чёрных + 2 жёл-тых. Вытаскиваем шар. События:

А = { белый или чёрный }

В = { ни белый, ни чёрный }

С = { либо не белый, либо не чёрный }

Всего исходов n = 20. А: благоприятных исходов 18. р(А)=18/20=0,9.

3

В: р(В)=2/20=0,1

С: р(С)=1.

► В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных эта-жах?

Р(А)=m/n

n=8^4= — для каждого по 8 вариантов. m=8⋅7⋅6⋅5=1680= p(A)=0,41

► Солдат пишет письма трём девушкам. Адреса писал на удачу.

А = { по адресу не попадёт ни одно письмо }

В = { попадёт ровно 1 письмо по адресу }

С = { попадёт два письма по адресу }

Всего исходов n=3!=6 — всевозможные перестановки девушек.

Для А: все цифры из 123 на чужих местах. m= B: = = 3

C: m=

► В электричке 10 вагонов. Там случайно получились преступник и комиссар Рекс. Событие А: {они оказались в одном вагоне}. В: {в соседних вагонах}.

4

Для каждого из них по 10 вариантов, следовательно, n=10*10=100.

p(A)=10/100=0,1

p(B)=18/100=0,18.

Парк. Там озеро. Начинается дождь. Какова вероят-ность, что первая капля попадёт в озеро? =

S1 — площадь озеро, S — общая площадь. — геометрич. опр-е вероятности.

► Двое договорились встретиться между 12 и 13. Реши-ли, что каждый ждёт каждого 20 минут, а потом уходит. какова вероятность, что они встретятся?

0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1

Условие встречи: | − | ≤ . Модуль, так как неизвестно, кто приходит.

x

1

1

S1

y

5

−13 ≤ − ≤ 13

− 13 ≤ ≤ + 13 = 1 ед = 1 − 2 ⋅ 12 23 = 59

= = 59

ДЗ:

► Точку бросают в круг + ≤ 1. A: {расстояние от точки до центра круга превышает 1/2}. В: точка ока-жется вне квадрата, вписанного в круг. Найти вероят-ность. =

1. = вн = = 1 − = 0.75. 2. кв = = . = √ = − кв = 1 − 4 ⋅ 1 1 = 1 − 4

► Какая сумма очков – 9 или 10 – наблюдается чаще при подбрасывании а) двух игральных костей; б) трёх игральных костей.

6

Теорема сложения и умножения. Определим, какие событие зависимые и независимые, и какие совместные и несовместные.

Теорема. Рассмотрим два события А и В. Вероятность Р (А + В) = Р (А) + P (B) – P (AB).

( + - или, ⋅ - одновременно) Для несовместных событий Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Р (АВ) = Р (А | B) ⋅ P (B) = Р (В | А) ⋅ P (А)

Для независимых событий: Р (А|B) = Р (А), Р (В|A) = Р (B).

► Буквы: СТАТИСТИКА.

Вероятность получения слово ТИСКИ?

Р (ТИСКИ) = Р (Т) ⋅ P (И|T) ⋅ P (C|ТИ) ⋅ Р (К|ТИС) ⋅ Р (И|ТИСК) = 3/10⋅2/9⋅2/8⋅1/7⋅1/6.

А можно так: = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

► В семье двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Мы собрались в гости и выбираем подарок. Какова вероятность, что второй тоже мальчик? (М |М ) = (М ⋅М ) (М ) М = {другой мальчик}

7

М = {мальчик} Варианты: ММ, МД. (ММ) = 1 4⁄ , (М) = 3 4⁄ , (М|М) =1 3⁄ .

► Есть трёхзначные числа. Из всех наугад выбирается одно. Какова вероятность, что выбранное число будет делиться хотя бы на 4 или 6?

А = {выбранное число делится на 4}

В = {на 6}

P (А + В) = P (A) + P (B) – P (AB)

P (A) = 900/4/900 = 225/900

P (В) = 150/900

Р (AB) = 75/900

P (A+B) = (225+150-75)/900 = 1/3

► Аналогично, но В = {делится на 10}

Р (В) = 900/10/900

Р (АВ)

► Из стандартного набора домино (28 костей) берется на удачу одна. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на этой кости чётное число.

А = {дубль}

В = {четное кол-во очков}

Р (A|B) = 7/16 = 0.43

8

► Вероятность попадания в цель равна 0.3, а вероят-ность уничтожения цели при попадании 0.05. Вероят-ность уничтожения?

1/6

► Колода карт 36. Из колоды наудачу выбирают три. Какова вероятность того, что среди них не будет ни од-ной шестёрки.

4/36=1/9

3/35

2/34=1/17

Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ∗ 4960 = 49607140 = 0.69

► Посчитать, что в этих трех картах не попадётся ни одной пики.

Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ⋅ 2925 = 29257140 = 0.41

► Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка 0.7, второго 0.8. Найти вероятность того, что мишень будет пораже-на.

А: попал первый, В: попал второй. Подключаем теорему о сложении вероятностей.

9

( + ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.94

А можно иначе. Пусть мишень не поражена: С. p1=0.7, q1=1-0.7=0.3. q2=0.2. Вероятность события С p(c)=0.3*0.2=0.06 — вероятность обратного события. ( ̅) = 1 − ( ) = 0.94

ДЗ

► Среди ста лотерейных билетов 10 выигрышных. Най-ти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

►Только один из девяти ключей подходят к данному замку. Какова вероятность того, что придётся опробо-вать пять ключей для открывания замка?

Полная вероятность? Есть событие А и группа событий , … , которые попарно независимые. — гипотезы.

( ) = 1

Вероятность события А складывается из

( ) = ( ) ( | )

► Магазин. 45% телевизоров изготовлены на первом за-воде, 15% на втором, остальные 40 на третьем. Вероят-ность того, что телевизоры не поломаются с первого за-вода 0.96, второго – 0.84, третьего – 0.9. Выбираем нау-дачу телевизор. Какова вероятность того, что он не по-ломается?

10

За событие А примем событие {телевизор не поломается}.

Определимся с гипотезами.

H1={телевизор изготовлен на первом заводе}

H2={на втором}

H3={на третьем}

Определим вероятности гипотез и условные вероятно-сти. ( ) = 0.45 ( ) = 0.15 ( ) = 0.4 ( | ) = 0.96 ( | ) = 0.84 ( | ) = 0.9

( ) = ( ) ( | ) = 0.45 ⋅ 0.96 + 0.15 ⋅ 0.84 + 0.4 ⋅ 0.9= 0.918

► Для улучшения качества связи используют два ра-диоприёмника. Вероятность приёма сигнала каждым приёмником 0,8. События независимые. Определить ве-роятность приёма сигнала, если вероятность безотказ-ной работы во время сеанса каждого приёмника 0.9.

Определим событие А и гипотезы.

А={сигнал принят}

H1=оба приёмника примут сигнал.

H2=принят первым.

11

H3=принят вторым.

H4=оба не работают.

Мы разобрали все случаи. Определим вероятности гипо-тез. ( ) = 0.9 ⋅ 0.9 = 0.81 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.1 ⋅ 0.1 = 0.01

Определим условные вероятности. Сигнал принят при условии, что оба работают, то есть принимает либо пер-вый, либо второй, либо оба: ( | ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.8 + 0.8− 0.64 = 0.96 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0 ( ) = 0.81 ⋅ 0.96 + 2 ⋅ 0.09 ⋅ 0.8 = 0.92

► Три стрелка произвели по одному выстрелу по наме-ченной цели. Вероятность попадания первым стрелком 0.6, вторым 0.7, третьим 0.8. При одном попадании в мишень вероятность поражения её 0.2. При двух – 0.6. При трёх 1. Найти вероятность поражения цели.

Событие А = {цель поражена}

Гипотезы:

H1 = {три попадания}

12

H2 = {1 попадание}

H3 = {двое попали}

H3 = {никто не попал} ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.336 ( ) = 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 = 0.188 ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.452 ( ) = 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 = 0.024 ( | ) = 1 ( | ) = 0.2 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0 ( ) = 0.336 ⋅ 1 + 0.188 ⋅ 0.2 + 0.452 ⋅ 0.6 = 0.6448

► Легковых в 4 раза больше, чем грузовых. К месту, где расположена бензоколонка, подъезжает машина. Веро-ятность того, что они заедут на заправку, для легковых 0.15, для грузовых 0.05. Подъезжает машина. Чему ве-роятность того, что она подъедет к заправке?

Событие А: машина заедет на заправку.

Гипотезы:

По дороге едет: H1=легковая, H2=грузовая. ( ) = 0.8 ( ) = 0.2

Определяем условные вероятности. ( | ) = 0.15

13

( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.15 ( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ⋅ 0.15 + 0.2 ⋅ 0.05 = 0.13

► На сборку поступают детали с трёх автоматов. Пер-вый автомат выдаёт 0.2% брака, второй 0.1%, третий не даёт брака. На сборку поступило 2000 деталей с первого атомата, 3000 со второго, 5000 с третьего. Вероятность того, что деталь, выбранная наугад, будет бракован-ной?

А=деталь бракована.

Деталь с H1=1 авт

H2=2 авт

H3=3 авт

P(H1)=0.2, P(H2)=0.3, P(H3)=0.5. ( | ) = 0.002 ( | ) = 0.001 ( | ) = 0 ( ) = 0.002 ⋅ 0.2 + 0.001 ⋅ 0.3 = 0.0007

► Есть больница. Туда поступают больные с заболева-ниями А, В, С. 50% с А, 30% с В, 20% с С. Вероятности полного излечения от этих болезней равны соответст-венно 0.95, 0.9 и 0.85. Мы встречаем одного из пациен-тов. Какова вероятность, что он излечён полностью?

14

А=излечён полностью.

У него А: H1.

У него В: H2.

У него С: H3. ( ) = 0.5 ( ) = 0.3 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.95 ( | ) = 0.9 ( | ) = 0.85 ( ) = 0.915

Теперь мы можем пересчитать вероятности гипотез. Для этого используется формула Байеса. ( | ) = ( ) ( | ) ( ) = 0.295 ( | ) = 0.519

► Посчитать вероятность того, что заправленная маши-на была грузовик. ( | ) = 0.2 ⋅ 0.050.13 = 0.077

ДЗ

►Система обнаружения самолёта из-за наличия помех может давать ложные показания с вероятностью 0.05. А при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с ве-роятностью 0.9. Вероятность появления противника в зоне 0.25. Определить вероятность ложной тревоги.

15

A={локатор обнаружил противника}

H1={есть}, H2={нет}

P(H2|A)={ложная тревога}

P(H1)=0.25, P(H2)=

►Предположим, что 5% мужчин и 0.25% женщин явля-ются дальтониками. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинако-вое количество, найти вероятность того, что этот чело-век а) мужчина; б) женщина.

А=нашли дальтоника.

H1=мужчина

P(H1|A)={мужчина при условии, что дальтоник} – найти

P(A|H1)=0.05

P(A|H2)=0.0025

P(H1)=P(H2)=0.5 ( | ) = 0.5 ⋅ 0.050.5 ⋅ 0.05 + 0.5 ⋅ 0.0025 = 0.95

► Известно, что в среднем 95% продукции удовлетворя-ет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодную продукцию с вероятностью 0.96, если она стандартна, и 0.06 — если нестандартна. Найти вероят-ность того, что взятое наугад изделие пройдёт упрощен-ный контроль.

H1 = по госту

H2 = не по госту

А = пройдёт

16

P(H1)=0.95

P(H2)=0.05

P(A|H1)=0.96

P(A|H2)=0.05

P(A)=0.95⋅0.96+0.05⋅0.06=0.915

► В студенческой группе 70% юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. В аудитории ос-тавили сотовый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?

Н1=юноши, Н2=девушки.

А=кто-то оставил телефон.

P(H1)=0.7, P(H2)=0.3.

P(A|H1)=0.2

P(A|H2)=0.4

Р(Н1|A)-? Р(Н | ) = ( ) ( | ) ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.54

Схема испытаний Бернулли Проводится n испытаний. В результате каждого может появиться событие А, а может не появиться. Вероят-ность появления события в ходе каждого испытания всегда одинаково: ( ) = . Вероятность непоявления события А ( ̅) = 1 − = . Вероятность (m раз в n испы-таниях): ( ) = .

17

— наивероятнейшее число появления события А − ≤ ≤ +

► Игральную кость кидают 10 раз. Найти вероятность того, что 6 выпадет а) два раза; б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз.

Вероятность выпадения шестёрки p=1/6. q=5/6.

(2) = 16 56 = 0.29

Не более 8 посчитаем через более и вычтем из единицы. ( ≤ 8) = (0) + (1) + ⋯+ (8) = 1− ( > 8)= 1 − (9)− (10) (9) = ⋅ 16 56 = 10!9! 1! 16 56 = 8.26 ⋅ 10

(10) = ⋅ 16 = 16 ( ≤ 8) = 0.99

3) Посчитаем выпадения ни разу и вычтем, получим хо-тя бы один раз.

(0) = С 16 56 ( > 0) = 1 − 56 = 0.84

► Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.

18

n=240

p=0.7

q=0.3

m0-? ( − = 167.7) ≤ ≤ ( + = 168.3) = 168

► Брошено два кубика. 1) Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. 2) Что сумма равна 8, а разность 4. 3) Что сумма равна 8, если известно, что разность равна 4. 4) Того, что сумма 5, а произведение 4.

Посчитаем, сколько всего комбинаций: n=6*6=36.

1)Сумма 7:

6 и 1, 5 и 2, 4 и 3, 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. ( ) = . 2) Сумма 8, разность 4. Всего: 6 и 2 или 2 и 6. p(a2)=2/36=1/18.

3) Разность 4: 1.5, 2.6, 5.1, 6.2. р(а3)=2/4=1/2.

4) 4.1 и 1.4. р=2/36.

► В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся 3 женщины.

Всего = ! ! ! = 120. Благоприятная комбинация: ⋅ = ! ! ! ⋅ ! ! ! = ⋅ ⋅ = 60.

19

p(A)=60/120=1/2.

► Набираем 7-значный телефон и забыли три послед-ние цифры. Знаем, что они различны. Найти вероят-ность того, что мы попали, куда надо.

Всего: = ! ! = 720. Благоприятных исходов: 1. Р=1/720=0.001389.

► В библиотеке на полке в случайном порядке расстав-лено 15 учебников. 5 из них в переплёте. Берем наудачу 3 учебника. Найти вероятность, что хотя бы один в пе-реплёте.

Тут лучше рассмотреть обратное событие (ни одного не будет в переплёте) и вычесть его вероятность из едини-цы.

А={хотя бы один в переплёте}. ̅ ={ни одного в переплёте} ( ) + ( ̅) = 1

Так лучше, т.к. одну вероятность найти проще, чем три.

Всего исходов: = = ! ! ! = 455.

Благоприятные. Из 5 в переплёте выбираем 0 – ни одно-го, из остальных 10 выбираем три. = ⋅ = 10!3! 7! = 120

p=m/n=0.26.

p(а)=1-0.26=0.74.

20

► Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попа-дания в мишень при одном выстреле для первого стрел-ка 0.7, для второго 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.

Найдём вероятность первого, вероятность второго и сложим.

Варианты: попал первый, не попал второй; попал вто-рой, не попал первый.

А=попал один стрелок. А1=первый, А2=второй.

р(а1)=0.7*0.2=0.14.

р(а2)=0.8*0.3=0.24.

р(а)=р(а1)+р(а2)=0.38.

► Вероятности того, что нужная сборщику деталь на-ходится в 1,2,3,4 ящике равны соответственно 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. 1) Найти вероятность того, что деталь содер-жится не более, чем в 3 ящиках. 2) Не менее, чем в 2х ящиках.

1) Не более, чем в трёх. Ни в одном: 0.4∙0.3∙0.2∙0.1. В первом: … это долго. Рассмотрим противоположное со-бытие лучше. Пусть находится в четырёх. ( ̅) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0.3024. ( ) = 0.6976

2) Не менее, чем в двух, то есть в 2х, 3х и 4х, и сложим.

В двух: ( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.8 ∙ 0.3 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.9 ∙0.3 ∙ 0.2 + 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.4 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙0.3 = 0.2144

21

( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙ 0.3= 0.3332

P( )+P(A2)+P(A3)=0.9572

{Но и тут лучше рассмотреть противоположное, то есть в одном и ни в одном: (0) = 0,0024. (1) = 0.6 ∙ 0.3 ∙ 0.2 ∙0.1 + 0.7 ∙ 0.4 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + ⋯, p(m≥2)=1-p(0)-p(1)=}

► Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент ответит на три предложенных ему во-проса. 2025 ∙ 1924 ∙ 1823 = 0,4956

Или иначе: = = 2300. = ⋅ = = = 0.4956

► Устройство содержит 2 независимо работающих эле-мента. Вероятности отказа этих элементов соответст-венно равны 0.05 и 0.08. Найти вероятность отказа уст-ройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

А1=отказал один, А2=отказал второй, A3=отказало оба.

Не забываем про другой!

Оба откажут: ( ) = 0.05 ∗ 0.08 = 0.004

Первый откажет, второй не откажет: ( ) = 0.05 ∗ 0.92 = 0.046

22

Второй откажет, первый не откажет: ( ) = 0.95 ∗ 0.08 = 0.076 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 0.126

Или можно было так: найдём вероятность того, что не отказал ни один, и вычтем из единицы. ( ̅) = 0.92 ∗ 0,95 ( ) = 1− ( ̅) ► Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разру-шен, если на него сбросили 4 бомбы, и вероятности по-падания их соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7.

Рассмотрим противоположное: ни одна не попадёт. ( ̅) = 0.7 ∗ 0.6 ∗ 0.4 ∗ 0.3 = 0.0504 ( ) = 1− 0.0504 = 0.9496

► Задача на полную вероятность. Есть пять винтовок. Три из них снабжены оптическим прицелом. Вероят-ность того, что убьём из винтовки с прицелом 0.95. А без — 0.7. Найти вероятность того, что мишень будет пора-жена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу выбранной винтовки.

А={цель поражена}.

H1={стреляли из винтовки с оптическим}

H2={без}

P(H1)=3/5, P(H2)=2/5.

P(A|H1)=0.95, P(A|H2)=0.7.

P(A)=3/5*0.95+2/5*0.7-0.85.

23

► Задача на схему Бернулли. Играют 2 равносильных шахматистов. Ничьей нет. Что вероятнее: выиграть 2 из 4 партий или 3 из 6.

(2) = 12 12 = 38

(6) = 12 12 = 516

То есть вероятнее выиграть, если играть меньше.

Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона В схеме Бернулли событие А появлялось с вероятностью р или не появлялось с вероятностью q. ( ) =

Если → ∞, → 0, то можно применять формулу Пуассо-на. Вводится новая константа = — интенсивность потока. Тогда

( ) = !

Например. Вероятность сбоя в работе телефонной стан-ции при каждом выводе 0,007. За время t поступило 1000 вызовов. Определить вероятность девяти сбоев. = ⋅ = 7 = 9 (9) = 7 9! = 0,1014

24

► Завод-изготовитель отправил на базу 12 000 добро-качественных изделий. Число изделий, повреждённых при транспортировке, составляет 0,05%. Найти вероят-ность того, что 1) на базу поступит не более трёх повре-ждённых изделий; 2) хотя бы два повреждённых.

Если n⋅p большая, будем применять функцию Гаусса ( ). ( ) = ( )

= − −

(− ) = ( ) — локальная теорема Муавра — Лапласа.

Часто нам нужно определить вероятность появления со-бытия в промежутке: не более чем m1 раз и не менее чем m2. Для этого используется интегральная теорема Муав-ра — Лапласа. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = −

= −

Φ(− ) = −Φ( ) Эти функции: ( ) = 1√2 Ф( ) = ( )

25

► Вероятность того, что изделие окажется бракован-ным, равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных. = −1,45 ( ) = 0,1394 (40) = 0.0202

► Контрольную работу по теории вероятности в сред-нем выполняет 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:

1) 150 студентов

2) не менее 100 студентов

3) не более 150 студентов = 0,7 = 200

1) = 1.54 ( ) = 0.1213 = 0.0187

2)

при x>4 Ф=1/2..

► Вероятность рождения девочки 0.485.

Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей а) девочек будет 300; б) девочек будет больше чем мальчи-ков.

26

а) = 0.02487

б) = 0.2437

► Из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность, что из 400 семей 340 имеют цвет-ные телевизоры? = 0.055863

ДЗ:

► Какова вероятность того, что из 2450 ламп, осве-щающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.

p=0.64, m1=1500, m2=1600, n=2450. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) = − = 1500 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = −2.8621

= − = 1600 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = 1.3469

(1500 < < 1600) = Ф(1.3469)−Ф(−2.8621)= Ф(1.3469) +Ф(2.8621) = 0.9124

► Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.005. Какова вероятность попадания в цель не менее 3х раз, если число выстрелов равно 800.

p=0.005, n=800.

27

m≥3: m=3…800. m1=3, m2=800. = − = 3 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1− 0.005) = −0.5013

= − = 800 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1 − 0.005) = 398.9987

(3 > > 800) = 0.7763

► Сколько чисел больше 100 без повторений можно со-ставить из цифр 0, 1, 3, 5, 6.

Трёхзначные: = 60

Из них пятая часть начинается с нуля, отбросим их: = 60− 12 = 48

Четырёхзначные: = 5!1! = 120 = 120− 24 = 96

Пятизначные: = 120 = 120− 24 = 96

Всего = ∑ = 240.

► Вероятность наступления события А 0,1. Проводятся испытания. Какое минимальное число испытаний доста-точно провести для того, чтобы с вероятностью больше, чем 0.95, событие А наступило хотя бы один раз?

28

Используем схему Бернулли. (хотя бы 1 раз) = 0,95 (хотя бы 1 раз) = 1 − (0) ≥ 0,95 (0) = = ≥ 0,95 1 − (0,9) ≥ 0,95 0,9 ≤ 0,05 ≤ ln 0,05 = 28

► Планируется ракетный залп из четырех ракет. Веро-ятность попадания каждой ракеты 0.4. Вероятность то-го, что цель будет поражена при попадании одной раке-ты 0.3, при попадании двух ракет 0.4, трёх – 0.5, четы-рёх – 0.6. Найти вероятность того, что цель будет пора-жена.

Определим гипотезы. = {1 ракета попала} = {2} = {3} = {4} = {ни одной} ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,1336 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,0256 ( ) = 0.1296

29

( | ) = 0.3 ( | ) = 0,4 ( | ) = 0.5 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0

► На шахматной доске случайным образом поставлены чёрная и белая ладьи. Найти вероятность того, что они не могут бить друг друга. То есть они не должны стоять на одной горизонтальной или вертикальной линии. = = 1 – на любую клетку.

= 6464 ⋅ 4963 = 79

► В первой урне 12 белых и 8 чёрных шаров. Во второй 10 белых и 20 черных. Наугад выбирается одна из этих урн и из неё вытаскивается шар. Он оказался чёрным. Затем он возвращается в эту же урну, и из нее же из-влекается еще один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? = {ч} = {б} : 12 б+ 8 ч : 10 б+ 20 ч

События независимые. Мы должны найти вероятность того, что первый был черным, а второй белым: ( | ) = ( ) ( ) .

30

= {первая урна} = {вторая} ( ) = ( ) = 12

( | ) = 820 = 25

( | ) = 23

( ) = 12 ⋅ 25 + 23 = 0,533

( | ) = 25 ⋅ 1220 = 625

( | ) = 23 ⋅ 13 = 29

( ) = 12 625 + 29

► Садоводческий кооператив застраховал на год свои дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внёс по 150 рублей. Вероятность пожара в одном доме в течение года 0.005, а страховая сумма в случае пожара 12 000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компа-ния понесет убыток?

n=600, p=0.005 = 3

(≥ 800) = 1 − ( )

(0) = 0.0498

31

(1) = 0.1494 (2) = 0.2240 (3) = 0.2240 (4) = 0.1681 (5) = 0.1008 (6) = 0.0504 (7) = 0.0216

— из таблицы распределения Пуассона. = 0.9881 ( ) = 1− 0,9881 = 0.0119

► Книга издана тиражом 10 000 экз. Вероятность того, что она будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее пяти бракованных книг.

Пользуемся формулой Пуассона. λ = n ⋅ p = 2 (0) = 0,1353 (1) = 0,2707 (2) = 0,2707 (3) = 0,1805 (4) = 0,0902 = = 0,9474

32

► Вероятность изготовления доброкачественного изде-лия 0,9.Берут наудачу 300 изделий. Найти вероятность того, что среди них 95% доброкачественных.

Здесь применяем формулу Гаусса. = 0.95 ∗ 300 = 285

Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближён-ные границы того, что выпадение единицы с вероятно-стью 0.997.

p=1/6, q=5/6. n=180, P=0,997. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = − = 5 − 6

= − = 5 − 6

Возьмём например m=40 и будем работать с табличкой.

Случайные величины Случайной величиной называют величину, которая при-нимает то или иное значение в результате опыта, неиз-вестное заранее.

Например, мы подбрасываем монету. Случайная вели-чина — число выпадений решки.

Обозначаются большими буквами X, Y, Z. Их значения: x, y, z.

33

Дискретная случайная величина — если она принимает либо конечное число значений, либо бесконечное, но их можно пронумеровать.

Все случайные величины задаются своим законом рас-пределения. Для дискретной случайной величины это табличка из двух строк: значения случайной величины и вероятности, которые принимают эти значения.

х х1 х2 … хn … р

Функция распределения определяется следующим обра-зом: ( ) = ( < ) То есть это вероятность, с которой случайная величина X принимает значение меньшее, чем x.

- Функция распределения — неубывающая, то есть для любых > ( ) ≥ ( ). - Значения функции распределения лежат между 0 и 1.

- На -∞ функция распределения принимает 0, а на +∞ принимает значение 1.

- Функция непрерывна слева.

- Вероятность того, что значение x будет лежать в про-межутке от а до b есть ( )− ( ). ( ≤ < ) = ( )− ( ) ► В урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из нее последова-тельно вытаскивают шары до появления белого шара. Найти закон распределения дискретной случайной ве-личины Х, где Х — число извлечённых шаров.

34

Случайная величина х может принимать значения от 1 до 4.

х 1 2 3 4 р 4/7 2/7 4/35 1/35

= 47

= 37 ⋅ 46 = 27

= 37 ⋅ 26 ⋅ 45 = 435

= 37 ⋅ 26 ⋅ 15 ⋅ 44 = 135

= 1

► В урне 4 белых и 3 черных шара. Из неё наудачу из-влекают три шарика. Найти закон распределения числа извлечённых белых шаров. Найти вероятность события, что извлечено не менее двух белых шаров.

х 0 1 2 3 р 1/35 12/35 18/35 4/35

Всего исходов . = = 1 = 1 =

35

= ⋅ = 135

= ⋅ = 3 ⋅ 435 = 1235

= ⋅ = 1835

= ⋅ = 435

= 3535

Извлечено не менее двух — это либо два, либо три. ( ) = + = 2235

► Кубик подбрасывается пять раз. Найти закон рас-пределения дискретной случайной величины Х, где Х — число выпадений шестёрки.

х 0 1 2 3 4 5 р 3125/65 3125/65 1250/65 250/65 25/65 1/65

События независимые. Вероятность выпадения шестер-ки 1/6, невыпадения — 5/6. Используем схему Бернул-ли. ( ) =

(0) = 16 56 = 31256

(1) = 31256

36

(2) = 12506

(3) = 2506

(4) = 256

(5) = 16 Такой закон, где вероятности считаются по формуле Бернулли, называется биномиальным законом рас-пределения случайной величины .

► Метро. Бросаем жетон – не срабатывает. Вероятность того, что турникет сработает при бросании жетона 0,98. Построить закон распределения случайной величины, где случайная величина — число бросаний жетона. От одного до пяти.

х 1 2 3 4 5 р 0,98 0,0196

= 0,98 = 0,02 = 0,98 = 0,02 ⋅ 0,98 = 0,0196 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 + (0,02) Закончились! В последнем заканчиваем с довеском.

37

= ⋅ — для бесконечного числа раз.

Эта последовательность составляет геометрическую про-грессию, поэтому закон называется геометрическим.

Если вероятности считаются с помощью формулы Пуас-сона, то закон называется пуассоновским (например, про телефонные вызовы на станции).

Для этих законов уже посчитаны мат. ожидание и дис-персия.

► Найти и построить функцию распределения.

х -2 1 2 3 р 0,08 0,4 0,32 0,2

По определению F(x) = P(X < ) (−2) = ( < −2) = 0

( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ (−2) = 0, < −2 (1) = 0,08, −2 ≤ < 1 (2) = 0,48, 1 ≤ < 2 (3) = 0,8, 2 ≤ < 31, ≥ 3

► Функцию см. выше. Вероятность того, что случайная величина лежит в пределах от [1,3) и (-2,2).

Здесь надо использовать свойство функции распределе-ния: взять разность на этих концах. (3) = 0,8 (1) = 0,48 = (3)− (1) = 0,72 (−2 ≤ < 2) = 0,48

38

ДЗ.

► Дана функция распределения:

( ) = 0, ≤ 00,3, 0 < ≤ 11, > 1 Найти закон распределения и вероятности: ( = 1) и (1 < ≤ 8). ( < 3) = (3) = 0,2 ( < 6) = 0,35 = 0,2 + , ( < 8) = (8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + , (8) = ( < 8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + 0,45 + ,

x 1 3 6 8 p 0,2 0,15 0,45 0,2

► Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по од-ному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соот-ветственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить закон распре-деления случайной величины Х, где Х — число попада-ний в цель.

X: ( = ) = Y: = = = + = + = 1, ⃗ , = 1, ⃗ , = =

39

= − = − = = Особый случай для возведения величины в квадрат и умножения на число. Например, ( = ) = — вероятность не меняется. = = ► Дан закон распределения дискретной случайной ве-личины Х:

x -2 -1 1 2 3 p 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1

Найти закон распределения для случайных величин = 2 и = . Y:

y -4 -2 2 4 6 q 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1

Z:

1: 0,25+0,3=0,55

40

4: 0,2+0,15

9: 0,1

z 1 4 9 q 0,55 0,35 0,1

► Возьмём две случайные величины Х и Y.

x 1 2 3 p 0,3 0,5 0,2

y -2 -1 q 0,4 0,6

а) = +

б) =

а) Z:

1+(-2)=-1 0,3*0,4=0,12

2+(-2)=0 0,5*0,4=0,2

3+(-2)=1 0,2*0,4=0,08

1+(-1)=0 0,3*0,6=0,18

2+(-1)=1 0,5*0,6=0,3

3+(-1)=2 0,2*0,6=0,12

z -1 0 1 2 q 0,12 0,2+0,18=0,38 0,08+0,3=0,38 0,12 б) W:

1*(-2)=-2 0,3*0,4=0,12

2*(-2)=-4 0,5*0,4=0,2

41

3*(-2)=-6 0,2*0,4=0,08

1*(-1)=-1 0,3*0,6=0,18

2*(-1)=-2 0,5*0,6=0,3

3*(-1)=-3 0,2*0,6=0,12

w -6 -4 -3 -2 -1 q 0,08 0,2 0,12 0,3+0,12=0,42 0,18

► Подброшены два кубика. Построить ряд распределе-ния а) суммы очков; б) разности (из большего меньшего) очков.

Составим для каждого кубика.

X или Y:

x 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2: 1+1 1/36

3: 2+1, 1+2 2/36

4: 1+3, 3+1, 2+2 3/36

5: 1+4, 4+1, 3+2, 2+3 4/36

6: 1+5, 5+1, 3+3, 2+4, 4+2 5/36

7: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 6/36

8: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 5/36

9: 3+6, 6+3, 5+4 3/36

10: 5+5, 4+6, 6+4 3/36

11: 6+5, 5+6 2/36

12: 6+6 1/36

42

z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Для разности:

0: 6

1: (6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1)× 2→10 вар

2: (6-4, 5-3, 4-2, 3-1) × 2→8

3: (6-3, 5-2, 4-1) × 2→6

4: (6-2, 5-1) × 2→4

5: (6-1) × 2→2

0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

Числовые характеристики для дис-кретной случайной величины 1) Среднее значение случайной величины — матема-тическое ожидание.

М(X), MX, EX.

Для дискретной случайной величины вычисляется так: ( ) = Например,

0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

43

( ) = 1036 + 236 10 + 636 3 + 436 4 + 236 5 = 7036 ≈ 1,94

2) Дисперсия ( ), — рассеивание значения случай-ной величины вокруг среднего значения, то есть вокруг матожидания. ( ) = − ( ) ( ) = − ( ) ► Вероятность того, что студент найдёт в библиотеке нужную книгу, равна 0,4. Студент записан в четыре библиотеки. Найти закон распределения числа библио-тек, которые он может посетить. Найти матожидание и дисперсию.

= 0,6 ⋅ 0,4 = 0,24 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 0,144 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 + 0,6 = 0,216

— геометрическое распределение.

х 1 2 3 4 р 0,4 0,24 0,144 0,216

= = 2,176

= − ( ) = 1,37

Свойства:

- ( ) = .

44

- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) - Для независимых Х и Y. ( ) = ( ) ( ) - дисперсия неотрицательная.

- ( ) = 0

- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) для независимых.

ДЗ.

► Автомобиль на пути к месту назначения встретит пять светофоров. Каждый светофор пропускает автомо-билиста с вероятностью 1/3. Найти закон распределе-ния числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, или до прибытия к месту назначения. = 13

х 1 2 3 4 5 р 1/3 2/3∙1/3 2/3∙2/3∙1/3 24/33∙1+(2/3)5

► Телефонная станция обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение трёх минут на станцию поступит вызов, равна 0,002. Найти закон распределе-ния случайной величины Х, равной числу вызовов, по-ступивших на станцию в течение трёх минут. Найти ве-роятность того, что за это время поступит более трёх вызовов.

45

Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна.

В отличие от дискретной, ( = ) = 0.

Плотность распределния ( ) = ( ). 1) ( ) ≥ 0 2) ( )

= 1

3) ( < < ) = ( ) = ( )− ( )

4) ( ) = ( )

Числовые характеристики

Матожидание: в отличие от дискретной ( = ∑ ) = ( )

Дисперсия (дискретн: = ∑ − ( ) ): = ( ) − ( )

► Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:

( ) = 0 ( − 3) 1 , < 33 ≤ ≤ 5 > 5

46

Найти:

1) С

2) ( ), графики ( ), ( ). 3) (3 ≥ ≥ 4)

1) Функция распределения непрерывна, посему пределы слева и справа равны. lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (5− 3) = 4

= 14

2) ( ) = 0, < 30,5( − 3), 3 ≤ ≤ 50, > 5 3) (3 ≤ ≤ 4) = (4)− (3) = − 0 =

►

( ) = 0 (cos + )1 < − − ≤ ≤ 0 > 0

f(x) F(x)

47

1) a, c

2) f(x)

3) (− 3⁄ ≤ ≤ 2⁄ ) 1) lim → ( ) = 0 lim → ( ) = (−1 + ) lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (0 + ) − = 0 + = 1 − 2 = 12 = 1 = 12 = 1 Получаем функцию распределения

( ) = 012 (cos + 1)1 < − − ≤ ≤ 0 > 0 ( ) = ( ) = 0−12 sin 0 < − − ≤ ≤ 0 > 0 − 3 ≤ ≤ 2 = 2 − − 3 = 1 − 34 = 14

► Задана плотность, надо найти функцию распределе-ния.

48

( ) = 0 ⋅ 0 < 00 ≤ ≤ 5,8 > 5,8 1) 2) ( ) 3) (3,3 < < 7,8) ( )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ ( )

= 0, < 0 ( )

= 0 + ⋅

= 0 = 2 | = , 0 ≤ ≤ 5,8 ( ) = 0 + ,

+ 0 , = 2 | , = , , > 5,8

→ = , , т.к. функция распределения на бесконечности

равна единице.

3) (3,3 < < 7,8) = (7,8)− (3,3) = 1 − ⋅ , = ⋯

Интегралы не просто кусками, а с учётом предыдущих!!

► Случайная величина задана своей плотностью ( ) = 0, ≤ 0 , > 0 Найдём m. ( ) = 1

49

= lim →

= 1−2 lim → | = −12 lim → ( − ) = −12 (0− 1) = 12 = 1 = 2 ( ) = 0, ≤ 02 , > 0 ( )= ⎩⎨⎧ 0, ≤ 0 0 + 2

= −1 | = − + 1, > 0⎭⎬⎫

Найдём матожидание.

= ( ) = 2

= 2 = = = = = −12

= 2 lim → −12 | + 12 = 2 lim → 12 −12 | = 12

Такое распределение (a⋅exp(-ax)) — Пуассоновское рас-пределение. MX=1/a. DX=1/a2.

Дисперсия: = ( ) − ( ) = 2

− 14= − ⋅ − ⋅ − 12 | − 14 = 12

50

► Дана плотность распределения

( ) = 14 , ∈ [0,4]0,

— равномерное распределение. В общем случае равно-мерное распределение задаётся так:

( ) = − ∈ [ , ] Найдём F(x), MX, DX.

( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 0, < 0 0

+ ( ) = 14

= 14 , [0,4] 0 + 14

+ 0 = 14 | = 1, > 4⎭⎪⎬

⎪⎫

= 0, < 014 , [0,4]1, > 4

В общем виде это ( ) = , < , [ , ] , >

Найдём матожидание.

51

= ( ) = 14

= 14 2 | = 2

На самом деле матожидание равномерного распределе-ние — это среднее арифметическое a и b.

ДЗ: дисперсия = ( ) − ( ) = 14

− 2 = 14 3 | − 4 = −2 23 И вынести всё это для равномерного и пуассоновского в табличка.

52

Оглавление Теорема сложения и умножения. ..................................... 6

Схема испытаний Бернулли ........................................... 16

Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона .......................................................... 23

Случайные величины ...................................................... 32

Числовые характеристики для дискретной случайной величины ........................................................................ 42

Непрерывная случайная величина ................................ 45