Рабочая программа по учебному предмету ...mou-chaxovo.narod.ru/DswMedia/algebra10-11klbazovyiy.pdfПояснительная записка Рабочая

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Шаховская средняя общеобразовательная школа»

Согласовано Согласовано Утверждено

на заседании ММО Заместитель директора по УВР Директор МБОУ

учителей математики МБОУ «Шаховская СОШ» «Шаховская СОШ»

Руководитель ММО _________ С. Рязанова _____________ С. Маматова

_________/Н.Н. Кашникова «28» августа 2015 г. Приказ № _63 от «28» августа 2015 г.

Протокол № _4_ от 25 июня 2015 г.

Рабочая программа

по учебному предмету ««Алгебра и начала

математического анализа»

для обучения на уровне среднего общего образования

(базовый уровень)

учителя математики

Старковой -Чисник Инны Александровны

2015 год

Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса алгебры и начал математического анализа

для 10 - 11 классов составлена в соответствии с федеральным компонентом

Государственного стандарта среднего (полного) общего образования 2004 года на

основе Примерной программы среднего (полного) общего образования на базовом

уровне по математике и авторской программы курса алгебры и начал

математического анализа авторов A.H. Колмогорова, А.М. Абрамова, Ю.П.

Дудницына, Б.М. Ивлева и С.И. Шварцбурда (2009 г.).

При составлении рабочей программы учтены рекомендации инстуктивно-

методического письма «О преподавании математики в 2015-2016 учебном году в ОУ

Белгородской области».

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры и начал

математического анализа по учебнику A.H. Колмогорова, А.М. Абрамова, Ю.П.

Дудницына, Б.М. Ивлева и С.И. Шварцбурда «Алгебра и начала математического

анализа 10 -11 классы» на базовом уровне (издательство «Просвещение» 2012 г.).

Программа рассчитана на 204 часа (по 3 часа/нед. 34 учебные недели).

По 7 часов отведено на проведение текущих контрольных работ и 1 час – на

итоговую контрольную работу.

В 10 классе за счет уменьшения на 1 час изучение темы «Тригонометрические

функции числового аргумента» увеличены на 1 час изучение следующих тем:

«Основные тригонометрические формулы», «Основные свойства функций»,

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств», «Применение

непрерывности и производной».

В 11 классе в рабочей программе на повторение количество часов уменьшено

на 2 часа и за счет этого увеличены часы на изучение следующих тем:

«Производная» (+1 ч) и «Метод промежутков для уравнений и неравенств» (+1 ч).

Каждой контрольной работе предшествует урок подготовки к ней, а после

проведения – урок анализа контрольной работы для работы над ошибками и

выполнения другого варианта контрольной работы (в виде домашней

самостоятельной работы).

Используются такие формы проведения уроков как урок изучения нового

материала, урок обобщения и систематизации знаний, урок комплексного

применения знаний, урок закрепления или повторения пройденного материала, урок-

лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-игра, урок-зачет, диспут, дискуссия и

др.

Цели и задачи.

Изучение математики в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение

следующих целей:

формирование представлений об идеях и методах математики; о математике

как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и

процессов;

овладение устным и письменным математическим языком, матема-тическими

знаниями умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-

научных дисциплин, для продолжения образования и освоения избранной

специальности на современном уровне;

развитие логического мышления, алгоритмической культуры, простра-

нственного воображения и развитие математической интуиции;

воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с

историей развития математики, эволюцией математических идей, пони-мание

значимости математики для общественного прогресса;

систематизацию известных и новых сведений о действительных числах;

формирование умения решать рациональные, показательные,

логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства;

освоение таких понятий как тригонометрические функции числового

аргумента, синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла;

производной;

изучение свойств тригонометрических функций и их графиков;

усвоение формул сложения тригонометрических функций;

выработка умений выполнять тождественные преобразования

тригонометрических выражений, решать тригонометрические уравнения и

неравенства; находить производные элементарных и сложных функций;

уметь применять понятие производной к исследованию функции и

построения графика заданной функции.

Общая характеристика учебного предмета

При изучении курса алгебры на базовом уровне продолжаются и получают

развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и

неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей,

статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа».

В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задач:

систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых

выражений и формул; совершенствование практических навыков и

вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического

аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению

математических и нематематических задач;

расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса

изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания

и изучения реальных зависимостей;

развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в

окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений

путем обогащения математического языка, развития логического мышления;

знакомство с основными идеями и методами математического анализа.

Описание места учебного предмета в учебном плане

На изучение алгебры в 10-11 классах на базовом уровне отводится 204 ч в год; из

расчета по 3 ч в неделю (2,5ч + 0,5ч из школьного компонента) на 34 учебные недели.

Описание ценностных ориентиров содержания учебного предмета

В ходе освоения содержания курса учащиеся овладевают разнообразными

способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

построения и исследования математических моделей для описания и решения

прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

выполнение и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и

инструкций на математическом материале; выполнение расчетов практического

характера; использование математических формул и самостоятельного

составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

самостоятельной работы с источниками информации, обобщение и

систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов,

различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и

эмоционально убедительных суждений;

самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в

результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других

участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

Требования к уровню подготовки учащихся:

В результате изучения математики в 10 классе на базовом уровне ученик

должен

знать/понимать:

основные понятия: синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, арксинуса,

арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числового аргумента; тригоно-

метрической функций; производной;

основные правила нахождения производных;

связь между тангенсом угла между касательной к функции в данной точке и

осью абсцисс и производной функции в этой точке;

основные свойства функций: четность/нечетность, периодичность,

возрастание/убывание, экстремумы;

формулы косинуса, синуса, тангенса суммы (и разности); суммы и разности

косинусов, синусов, тангенсов; двойных и половинных углов;

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и

практике;

значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для

построения моделей реальных процессов и ситуаций;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их при-

менимость в различных областях человеческой деятельности;

различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естест-

венных, социально-экономических и гуманитарных науках на практике.

уметь:

решать тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и

неравенств;

решать неравенства, используя метод интервалов;

вычислять значения тригонометрических функций любого угла;

строить графики изученных функций, выполнять преобразование графиков;

находить промежутки возрастания и убывания функции, критические

точки, минимумы и максимумы функций;

определять четность, нечетность функции, периодичность;

находить производные элементарных и сложных функций;

описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

составлять уравнение касательной функции в заданной точке;

решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни для:

o практических расчетов по формулам, используя при необходимости

справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

o описания и исследования с помощью функций реальных зависимос-тей,

представления их графически;

o решения прикладных задач (в т.ч. на нахождение max и min значения с

применением аппарата матанализа);

построения и исследования простейших математических моделей

В результате изучения математики на базовом уровне ученик 11 класса

должен

знать/понимать:


практике; широту и в то же время ограниченность применения математи-

ческих методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и

обществе;

значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для

формирования и развития математической науки; историю развития понятия

числа, создания математического анализа, возникновения и развития

геометрии;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их

применимость во всех областях человеческой деятельности;

вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

основные понятия: первообразной, интеграла, показательной и логарифмичес-

кой функций;

понятия корня степени п и арифметического корня, свойства корня п-й

степени и; степени с рациональным показателем, логарифма и логарифмичес-

кой функции, синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла,

предела функции и непрерывности, обратной функции, производной,

первообразной, интеграла и их свойств; равносильности уравнений, неравенств,

уравнений-следствий;

элементов теории вероятностей: перестановки, размещения, сочетания, свой-

ства вероятностей события;


практике; широту и ограниченность применения математических методов к

анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа

для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их

применимость в различных областях человеческой деятельности;

различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естес-

твенных, социально-экономических и гуманитарных науках на практике;

уметь:

выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы,

применение вычислительных устройств; находить значения корня

натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма,

используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться

оценкой и прикидкой при практических расчетах;

проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных

выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометричес-

кие функции;

вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необхо-

димые подстановки и преобразования;

использовать приобретенные знания и умения в практической

деятельности и повседневной жизни для:

1. практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие

степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции,

используя при необходимости справочные материалы и простейшие

вычислительные устройства;

2. построения и исследования простейших математических моделей;

3. анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм,

графиков;

4. анализа информации статистического характера;

вычислять производные тригонометрических функций, простых и сложных

функций;

находить производную, первообразную, интеграл;

вычислять площадь криволинейной трапеции, корень п-й степени;

решать рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические,

дифференциальные, тригонометрические уравнения, неравенства и их

системы;

определять значение функции по значению аргумента при различных

способах задания функции;

вычислять значение аргумента при известном значении функции;

строить графики изученных функций, выполнять преобразование графиков;

описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;

решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя свойства

функций и их графические представления;

исследовать функции и строить их графики с помощью производной;

решать задачи на теорию вероятностей;

решать уравнения, неравенства и системы с применением графических

представлений, свойств функций, производной;

преобразовывать выражения, содержащие корни степени п, логарифмы,

выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений с

использованием выведенных формул и применять понятия вероятности

события, частоты и условной вероятности при решении несложных задач

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и

повседневной жизни для:

o практических расчетов по формулам, используя при необходимости

справочные материалы и простейшие вычислительные устройства;

o описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей,

представления их графически;

o решения прикладных задач (в т.ч. на нахождение max и min значения с

применением аппарата матанализа);

o построения и исследования простейших математических моделей.

Содержание учебного предмета 10 класс

Глава I. Тригонометрические функции.

§ 12. Тригонометрические функции любого угла Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Свойства синуса, косинуса,

тангенса и котангенса. Радианная мера угла.

§ 13. Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.

Формулы приведения

§ 14. Формулы сложения и их следствия

Формулы сложения. Формулы двойного угла. Формулы суммы и разности

тригонометрических функций.

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Тригонометрические функции и их графики

§ 2. Основные свойства функций

Функции и их графики. Четные и нечетные функции. Периодичность

тригонометрических функций. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Исследование функций. Свойства тригонометрических функций. Гармонические

колебания.

§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Решение простейших

тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических

неравенств. Примеры решения простейших тригонометрических уравнений и систем

уравнений.

Глава II. Производная и ее применение

§ 4. Производная

Приращение функции. Понятие о производной. Понятие о непрерывности функции и

предельном переходе. Правила вычисления производной. Производная сложной

функции. Производные тригонометрических функций.

§ 5. Применение непрерывности и производной

Применение непрерывности. Касательная к графику функции. Приближенные

вычисления. Производная в физике и технике.

§ 5. Применение производной к исследованию функции

Признак возрастания (убывания) функции. Критические точки функции, максимумы

и минимумы. Примеры применения производной к исследованию функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Повторение 11 класс

Первообразная

Определение первообразной. Основное свойство первообразной. Три правила

нахождения первообразной.

Интеграл

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Применение интеграла.

Показательная и логарифмическая функции

Корень п-й степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с

рациональным показателем.

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств.

Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Решение логарифмических

уравнений и неравенств. Понятие об обратной функции.

Производная показательной функции. Число е. Производная логарифмической

функции. Степенная функция. Понятие о дифференциальных уравнениях.

Элементы теории вероятностей

Перестановки. Размещения. Сочетания. Понятие вероятности события.

Повторение курса алгебры и начал математического анализа за 10-

11 классы

Календарно-тематическое планирование, 10 класс

(всего за год 102 часа)

№

п/п

Дата

провед.

урока

Дата

фактич

провед.

урока

Содержание учебного материала.

Тема урока.

Коли-

чество

часов

по

теме

Повто-

рение,

подго-

товка к

ЕГЭ

I полугодие 3 урока в неделю

Глава I. Тригонометрические функции

48 час

56

§ 12. Тригонометрические функции любого угла 6

1. п.1. Определение синуса, косинуса, тангенса

и котангенса. 2

2. ---

3. Свойства синуса, косинуса, тангенса и

котангенса.

2

4. ---

5. Радианная мера угла. 2

6. ---

§ 13. Основные тригонометрические формулы 10

7. Соотношения между тригонометрическими

функциями одного и того же угла.

2

8. ---

9. Применение основных тригонометрических

формул к преобразованию выражений.

4

10. ---

11. ---

12. ---

13. Формулы приведения 2

14. ---

1

15. Контрольная работа № 1 «Тригонометри-

ческие функции и основные формулы»

16. Анализ контрольной работы № 1. 1

§ 14. Формулы сложения и их следствия 7

17. Формулы сложения. 2

18. ---

19. Формулы двойного угла. 2

20. ---

21. Формулы суммы и разности тригонометри- 3

ческих функций.

22. ---

23. ---

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента 5

24. п.2. Тригонометрические функции и их

графики.

3

25. ---

26. ---

27. Контрольная работа № 2 «Тригонометри-

ческие функции и их графики. Формулы

сложения»

1


§ 2. Основные свойства функций. 14

29. п.3. Функции и их графики. 2

30. ---

31. п.4. Четные и нечетные функции. Периодич-

ность тригонометрических функций.

2

32. ---

33. п.5. Возрастание и убывание функций.

Экстремумы.

2

34. ---

35. п.6. Исследование функций 4

36. ---

37. ---

38. ---

39. п.7. Свойства тригонометрических функций.

Гармонические колебания.

2

40. ---

41. Контрольная работа № 3 «Основные

свойства функций»

1


§ 3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств 14

43. п.8. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арк-

котангенс.

2

44. ---

45. п.9. Решение простейших тригонометричес-

ких уравнений.

3

46. ---

47. ---

48.

п.10. Решение простейших тригонометричес-

ких неравенств.

2=1+1

I I полугодие 3 урока в неделю

57

час

49. п.10. Решение простейших тригонометричес-

ких неравенств (продолжение)

1

50. п.11. Примеры решения тригонометрических

уравнений и систем уравнений.

5

51. ---

52. ---

53. ---

54. /Подготовка к контрольной работе. ---

55. Контрольная работа № 4 «Решение три-

гонометрических уравнений и неравенств»

1


Глава I I. Производная и её применение.

§ 4. Производная 14

57. п.12. Приращение функции 1

58. п.13. Понятие о производной . 1

59. п.14. Понятие о непрерывности функции и

предельном переходе.

2

60. ---

61. п.15. Правила вычисления производных. 4

62. ---

63. ---

64. ---

65. п.16. Производная сложной функции. 1

66. п.17. Производные тригонометрических

функций.

3

67. ---

68. ---

69. Контрольная работа № 5 «Производная» 1


§ 5. Применения непрерывности и производной. 10

71. п.18. Применения непрерывности. 3

72. ---

73. ---

74. п.19. Касательная к графику функции. 3

75. ---

76. ---

77. п.20. Приближенные вычисления. 1

78. п.21. Производная в физике и технике. 2

79. ---

80. Самостоятельная работа 1

§ 6. Применения производной к исследованию функций 16

81. п.22. Признак возрастания (убывания) функ-

ции.

4

82. ---

83. ---

84. ---

85. п.23. Критические точки функции, максиму-

мы и минимумы.

3

86. ---

87. ---

88. п.24. Примеры применения производной к

исследованию функций.

3

89. ---

90. ---

91. п.25. Наибольшее и наименьшее значение

функции.

4

92. ---

93. ---

94. ---

95. Контрольная работа № 6 «Применение

непрерывности и производной к исследова-

нию функций».

1


97. ПОВТОРЕНИЕ 6

98. 1

99. 1

100. 1

101. Итоговая контрольная работа. 1

102. Анализ итоговой контрольной работы.

Обобщение материала, изученного за

учебный год.

1

Календарно-тематическое планирование, 11 класс

№

п/п

Дата

провед

урока

Фактич.

дата

провед.

урока

Содержание учебного материала.

Тема урока.

Количе-

ство

часов по

теме

Подгот

овка к

ЕГЭ

I полугодие

ПОВТОРЕНИЕ

49 час

4

1. Повторение. Тригонометрические функции,

их свойства, графики.

1

2. Повторение. Производная. Правила вычисле-

ния производных.

1

3. Повторение. Применение производной к ис-

следованию функций.

1

4. Входной контроль 1

Глава I I I. Первообразная и интеграл.

§ 7. Первообразная.

23

10

5. п.26. Определение первообразной. 2 4.3.1

6. --- 4.3.1

7. п.27Основное свойство первообразной. 2 4.3.2

8. --- 4.3.2

9. п.28. Три правила нахождения первообраз-

ной.

3 4.3.2

10. --- 4.3.2

11. --- 4.3.2

12. Подготовка к контрольной работе. 1

13. Контрольная работа № 1 по теме: «Перво-

образная».

1


15.

§ 8. Интеграл

п.29. Площадь криволинейной трапеции

13

4

16. --- 4.3.1

17. ---

18. ---

19. п.30. Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 3 4.3.2

20. --- 4.3.2

21. --- 4.3.2

22. п.31. Применение интеграла. 3 4.3.2

23. --- 4.3.2

24. --- 4.3.2


26. Контрольная работа № 2 по теме: «Инте-

грал. Вычисление интегралов».

1


Глава I V. Показательная и логарифмическая функции.

§ 9. Обобщение понятия степени.

63

14

28. п.32. Корень п-й степени и его свойства. 4 1.4.3

29. --- 1.4.3

30. --- 1.4.3

31. --- 1.4.3

32. п.33. Иррациональные уравнения 3 2.1.3

33. --- 2.1.3

34. --- 2.1.3

35. п.34. Степень с рациональным показателем. 5 1.4.2

36. --- 1.4.2

37. --- 1.4.2

38. --- 1.4.2

39. --- 1.4.2


41. Контрольная работа № 3 по теме: «Сте-

пень с рациональным показателем».

1


§ 10. Показательная и логарифмическая функции.

20

43. п.35. Показательная функция. 2 3.3.6

44. --- 3.3.6

45. п.36. Решение показательных уравнений и

неравенств

4 2.1.5

46. --- 2.1.5

47. --- 2.2.3

48. --- 2.2.3

49. п.37. Логарифмы и их свойства. 3 1.3.1

50. --- 1.3.2

51. --- 1.3.2

I I полугодие 56 час I I I четверть

3 урока в неделю, 31 урок за четверть

52. п.38. Логарифмическая функция. 3 3.3.7

53. --- 3.3.7

54. --- 3.3.7

55. п.39. Решение логарифмических уравнений

и неравенств.

4 2.1.6

56. --- 2.1.6

57. --- 2.2.4

58. --- 2.2.4

59. п.40. Понятие об обратной функции. 1 3.1.4


61. Контрольная работа № 4 по теме: «Реше-

ние показательных и логарифмических

уравнений и неравенств».

1


§ 11. Производная показательной и логарифмической

функций.

16

63. п.41. Производная показательной функции.

Число е.

4 4.1.5

64. --- 4.1.5

65. --- 4.1.5

66. --- 4.1.5

67. п.42. Производная логарифмической функ-

ции.

3 4.1.5

68. --- 4.1.5

69. --- 4.1.5

70. п.43. Степенная функция. 3 3.3.4

71. --- 3.3.4

72. --- 3.3.4

73. п.44. Понятие о дифференциальных урав-

нениях.

3 4.1.6

74. --- 4.1.6

75. --- 4.1.6

76. Подготовка к контрольной работе 1

77. Контрольная работа № 5 по теме: «Про-

изводная показательной, логарифмической

и степенной функций»

1


Элементы теории вероятностей

13

79. Перестановки. 2

80. ---

81. Размещения. 2

82. ---

83. Сочетания. 2

84. ---

85. Понятие вероятности события. 1

86. Свойства вероятностей события 2

87. ---

88. Относительная частота события 1

89. Условная вероятность. Независимые

события.

2

90. ---

91. Контрольная работа № 6 по теме «Элементы

теории вероятностей»

1

ПОВТОРЕНИЕ курса алгебры и начал математического

анализа за 10-11 классы. Подготовка к ЕГЭ

11

92. Анализ контрольной работы № 6. Степени и

их свойства.

1 1.4.2

93. Корни и их свойства 1 1.4.3

94. Логарифмы. Логарифмические уравнения и

неравенства

1 2.1.6

95. Показательные уравнения и неравенства 1 2.1.5

96. Тригонометрические функции и формулы 1 1.2.4

97. Тригонометрические уравнения и неравен-

ства

1 2.1.4

98. Производная. Вычисление производных 1 4.1

99. Первообразная. Интегралы. 1 4.3

100. Уравнения. Неравенства. Их системы. 1 2.1, 2.2

101. Итоговая контрольная работа 1

102. Обобщающий урок 1

Формы и средства контроля

Формами аттестации учащихся являются:

1. самостоятельные работы;

2. текущие и итоговые контрольные работы;

3. тесты;

4. индивидуальные домашние задания;

5. рефераты, доклады.

Для организации текущих проверочных и самостоятельных работ в 10 классе

используются: «Поурочные планы» в 10 классе по учебнику Колмогорова А.Н.,

Абрамова А.М., Дудницына Ю.П. и др., - Москва, «Просвещение», 2011 г.

7 часов отведено на проведение текущих контрольных работ и 1 час – на итого-

вую контрольную работу.

Для проведения контрольных работ в 10 классе используются задания из

Программы ОУ «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы» к

учебнику Колмогорова А.Н., Абрамова А.М., Дудницына Ю.П. и др. «Алгебра и

начала математического анализа 10-11 классы» на базовом уровне. Авторы:

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др., Составитель: Бурмистрова

Т.А., - Москва, «Просвещение», 2011;

Контрольная работа № 1 по темам «Тригонометрические функции любого угла.

Основные тригонометрические формулы», страница 36 (Программа ОУ/ Т.А.

Бурмистрова. – Москва, «Просвещение», 2011.)

Контрольная работа № 2 по теме «Тригонометрические функции числового

аргумента», страница 36 (Программа ОУ/ Т.А. Бурмистрова. – Москва,

«Просвещение», 2011.)

Контрольная работа № 3 по теме «Основные свойства функций», страницы 36 –37

(Программа ОУ/ Т.А. Бурмистрова. – Москва, «Просвещение», 2011.)

Контрольная работа № 4 по теме «Решение тригонометрических уравнений и

неравенств», страница37(Программа ОУ/ Т.А. Бурмистрова. – Москва,

«Просвещение», 2011.)

Контрольная работа № 5 по теме «Производная», страница 37. (Программа ОУ/

Т.А. Бурмистрова. – Москва, «Просвещение», 2011.)

Контрольная работа № 6 по теме «Применение производной и непрерывности к

исследованию функций», страницы 37 – 38. 36 (Программа ОУ/ Т.А. Бурмистрова. –

Москва, «Просвещение», 2011.)

Итоговая контрольная работа , страница 151. ( «Поурочные планы» в 10 классе

по учебнику Колмогорова А.Н., Абрамова А.М., Дудницына Ю.П. и др., - Москва,

«Просвещение», 2011 г.).

Задания для проверочных, самостоятельных работ для 11 класса берутся из

«Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике и

алгебре и началам анализа за курс средней школы», Автор: Дорофеев Г.В. и др.,

- Москва, «Дрофа», 2008;

Для выявления подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ проводится ежемесячный

мониторинг подготовки 11-тиклассников к ЕГЭ (за счет внеурочной деятельности).

5 часов отведено на проведение текущих контрольных работ и 2 часа – на итого-

вую контрольную работу.

Задания для проведения контрольных работ взяты из:

1. Программы ОУ «Алгебра и начала анализа 10-11 классы». Автор: Колмогоров

А.Н. и др., составитель: Бурмистрова Т.А., - Москва, «Просвещение», 2009;

2. Поурочного планирования «Алгебра 11 класс» по учебнику Колмогорова А.Н. и

др. Авторы: Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина, - Волгоград, «Учитель», 2010;

4. «Дидактических материалов для 11 класса по алгебра и началам анализа.» Авто-

ров: Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд, - Москва, «Просвещение», 2005 г

Контрольная работа № 1 по теме «Первообразная», страницы 27 – 28.

Контрольная работа № 2 по теме «Интеграл. Вычисление интегралов», стр. 94.

Контрольная работа № 3 по теме «Степень с рациональным показателем»,

страницы 146 – 147

Контрольная работа № 4 по теме «Решение показательных и логарифмических

уравнений, неравенств и их систем», страницы 211 – 212.

Контрольная работа № 5 по теме «Производная показательной и логарифмичес-

кой функции»», страницы 253 – 254.

Итоговая контрольная работа страницы 305 – 306.

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 10 КЛАСС

Входной контроль.

Вариант 1.

№ 1. Найдите область определения функции: у = х .

√2х2 – 13х – 24

№ 2. Решить систему уравнений: { 2х – у = 13,

х2 – у

2 = 23

№ 3. Построить график функции: у = х2 + 4х + 7

№ 4. Является ли число – 76 членом арифметической прогрессии 4; – 2; … ?

№ 5. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м2 обнесён изгородью, длина

которой 184 м. Найдите длину и ширину участка.

Вариант 2.

№ 1. Найдите область определения функции: у = √ – 2х2 – 9х + 18

№ 2. Решить систему уравнений: { х2 + у = 2,

х2 + у

2 = 4

№ 3. Построить график функции: у = х2 – 6х + 7

№ 4. Является ли число 26 членом арифметической прогрессии – 2; 1; … ?

№ 5. Прямоугольный участок земли площадью 4800 м2 обнесён изгородью, длина

которой 280 м. Найдите длину и ширину участка.

Контрольная работа № 1. Вариант 1.

№ 1. Найти значение выражения:

а) 2cos600 – 3tg45

0 + sin270

0; б) 4sin210

0 – ctg135

0.

№ 2. Сравнить с нулем значение выражения: cos α , если 900 < α < 180

0.

ctg α

№ 3. Найти значение sin α и ctg α, зная, что соs α = 8/17 и 3π/2 < α < 2π.

№ 4. Упростить выражение:

sin α ( sin α – 1 )

1 – cos α tg α

№ 5. Расположить в порядке возрастания числа: sin 3π; соs 0,2 ; соs 4,2.

Вариант 2.


а) 4cos1800 + 5ctg45

0 – sin150

0; б) 6cos240

0 + tg135

0.

№ 2. Сравнить с нулем значение выражения: sin α , если 2700 < α < 360

0.

tg α

№ 3. Найти значение соs α и tg α, зная, что sin α = 12/13 и π/2 < α < π.


( 1 – sin α cos α ) : соs2 α

ctg α

№ 5. Расположить в порядке убывания числа:

sin 0,3 ; соs 4π; sin 5,4.

Контрольная работа № 2.

Вариант 1. № 1. Найдите значение:

а) sin 2α, соs 2α и tg 2α, если sin α = – 5/13, π < α < 3π/2;

б) соs 6α ∙ cos α + sin 6α ∙ sin α, если α = 3π/5


а) 2 sin2 α , б) sin 2004

0 соs1974

0 – sin 1974

0 соs 2004

0.

tg 2α ∙ tgα

№ 3. Постройте график функции у = соs х. Какая из точек М (π/2; 1) и К ( – π/2; 0)

принадлежит этому графику?

№ 4. Дана функция у = 1 – 2sin x. Найдите: а) область определения и область

значений этой функции; б) все значения х, при которых у = – 1.

Вариант 2.

№ 1. Найдите значение:

а) sin 2α, соs 2α и tg 2α, если соs α = – 8/17, π/2 < α < π;

б) соs 5α ∙ sin α + sin 5α ∙ cos α, если α = 5π/12


а) 2 соs2 α ∙ tgα , б) соs 2005

0 соs1960

0 + sin 1960

0 sin 2005

0.

tg 2α

№ 3. Постройте график функции у = sin х. Какая из точек R (π/2; 0) и D (– π/2; – 1)


№ 4. Дана функция у = 1 – 3cos x. Найдите: а) область определения и область

значений этой функции; б) все значения х, при которых у = – 2.

Контрольная работа № 3.

Вариант 1. № 1.

Изобразите схематически график функции и перечислите ее основные свойства:

а) у = (х – 2)4 ; б) у = 0,5sin x + 2

№ 2.

Докажите, что функция у = 2х3 – tg x является нечетной.

№ 3.

Расположите числа в порядке убывания: соs( – 1,1), cos 0,2, cos 2,9, cos 4,2

Вариант 2.

№ 1.


а) у = (х + 1)3 ; б) у = 2sin x – 1

№ 2.

Докажите, что функция у = 2х4 + 3cos x является четной.

№ 3.

Расположите числа в порядке возрастания:

sin( – 1,8), sin 2,5 , sin 5,2, sin 0,3


№ 1. Решить уравнение:

а) 2соs x – 1 = 0; б) соs2x + sin x – 3 = 0; в) 2sin

2x – sin 2x = cos 2x

№ 2. Решить неравенство:

а) sin x ≤ – √3 ; б) соs x > 1/2

2


3 sin2 x + sin x cos x = 2cos

2 x

Вариант 2.


а) 2sin x – √3 = 0; б) 2sin2x + 5 cos x + 1 = 0; в) 6cos

2x = 1 – 2sin 2x


а) cos x ≥ √2 ; б) sin x < –1/2

2


7 sin2 x = 8sin x cos x – cos

2 x


№ 1.Найти производную функции:

а) ƒ(х) = 1/2х4 – х

3 + 5х; б) ƒ(х) = 4х – 1/х

3.

№ 2. Вычислите:

а) ƒ′( – π/2), если ƒ(х) = х cos x; б) ƒ

′( – 1), если ƒ(х) =(3х + 4)

5.

№ 3.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) = 0, если ƒ(х) =соs2x + √3x.

№ 4.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) ≤ 0, если ƒ(х) = 6x – x

3.

Вариант 2.


а) ƒ(х) = 3х5 – 12х

2 + 6х + 2; б) ƒ(х) = 2х + 1 .

x – 3


а) ƒ′( π/2), если ƒ(х) = х sin x; б) ƒ

′( – 2), если ƒ(х) =(2х + 5)

6.

№ 3.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) = 0, если ƒ(х) = sin2x – √3x.

№ 4.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) ≥ 0, если ƒ(х) = x

3 –12x.



х – 5 х ≥ 0

2 + х

№ 2.

К графику функции ƒ(х) = x5 –6x

3 проведена касательная через его точку с

абсциссой х0 = 1. Запишите уравнение этой касательной. Вычислите тангенс угла

наклона этой касательной к оси абсцисс.

№ 3.

Прямолинейное движение точки описывается законом х(t) = t4 – 2t. Найдите ее

скорость и ускорение в момент времени t = 3. (Время измеряется в секундах,

перемещение – в метрах.)

№ 4.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ƒ(х) = x3 – 3x

2 + 4 на

промежутке [0; 4].

№ 5.

Представьте число 42 в виде суммы трёх положительных слагаемых таким

образом, чтобы их произведение было наибольшим, а 2 слагаемых были

пропорциональны числам 2 и 3.

Вариант 2.


х + 3 х ≤ 0

х – 2

№ 2.

К графику функции ƒ(х) = x3 – 3x

2 + 2х – 1 проведена касательная через его

точку с абсциссой х0 = 2. Запишите уравнение этой касательной. Вычислите

тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

№ 3.

Прямолинейное движение точки описывается законом х(t) = 13 – 5t3 + 17t

2.

Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2. (Время измеряется в

секундах, перемещение – в метрах.)

№ 4.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ƒ(х) =2 x3 + 6x

2 – 1 на

промежутке [– 3; 0].

№ 5.


образом, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей, а 2 слагаемых

были пропорциональны числам 2 и 3.

Итоговая контрольная работа.

Вариант 1.

№ 1. Упростите выражение:

sin α + tg(π + α) и найдите его значение при α = π/3

1 + sin(π/2 + α)


3 соs2 x – sin

2 x + 4 sin x = 0

№ 3.

Найдите наибольшее целое число, при котором функция у = (х – 4)(х + 5)

принимает отрицательное значение. х2 – 4х + 4

№ 4. Исследуйте функцию и постройте ее график:

f (x) = x3 – 3x2

№ 5. Найдите область определения данной функции:

у = sin х – 0,5

Вариант 2.

№ 1. Упростите выражение:

1 + sin 2α sin (π – α) и найдите его значение при α = π/4

2 соs (3π/2 – α)


8 sin2 x – 2 cos x – 5 = 0

№ 3.

Найдите наименьшее целое число, при котором функция у = 2х2 – 7х + 5

принимает положительное значение. (2 – х)(х – 5)


f (x) = x4 – 4x2


у = cos х – 0,5

Решение контрольной работы № 1. Вариант 1.

№ 1. Найти значение выражений:

а) 2cos600 – 3tg45

0 + sin270

0 = 2∙ 1/2 – 3 ∙1 – 1 = – 3;

б) 4sin2100 – ctg135

0 = 4 ∙ ( – 1/2) – ( – 1) = – 2 + 1 = – 1.

Ответ: а) – 3; б) – 1.

№ 2. Сравнить с нулем значение выражения: cos α , если 900 < α < 180

0.

ctg α

cos α = cos α : cos α/sin α = cos α ∙ sin α = sin α > 0 → cos α / ctg α > 0 .

ctg α cos α

Ответ: : cos α > 0.

ctg α

№ 3. Найти значение sin α и ctg α, зная, что соs α = 8/17 и 3π/2 < α < 2π.

sin α = √1 – cos2α, sin α = – √1 – (8/17)

2 = – √ 1 – 64/289 = –15/17

ctg α = соs α : sin α = 8/17 : (–15/17) = –8/15

Ответ: – 15/17; – 8/15.


sin α ( sin α – 1 ) = sin α ( sin α – cos α ) = sin α sin2 α – cos α + cos

2 α =

1 – cos α tg α 1 – cos α sin α (1 – cos α) sin α

= sin α 1 – cos α = 1.

(1 – cos α) sin α

Ответ: 1.

№ 5. Расположить в порядке возрастания числа: sin 3π; соs 0,2 ; соs 4,2.

sin 3π = 0; соs 0,2 > 0 ; соs 4,2 < 0.

↑ соs 4,2, sin 3π, соs 0,2.

Ответ: соs 4,2, sin 3π, соs 0,2.

Вариант 2.


а) 4cos1800 + 5ctg45

0 – sin150

0 = 4 ∙(– 1) + 5 ∙1 – 0,5 = 0,5;

б) 6cos2400 + tg135

0 = 6 ∙( – 1/2) – 1 = – 4.

Ответ: а) 0,5; б) – 4.

№ 2. Сравнить с нулем значение выражения: sin α , если 2700 < α < 360

0.

tg α

sin α = sin α : sin α/ cos α = cos α ∙ sin α = соs α > 0 → sin α / tg α > 0 .

tg α sin α

Ответ: : sin α > 0.

tg α

№ 3. Найти значение соs α и tg α, зная, что sin α = 12/13 и π/2 < α < π.

cos α = √1 – sin 2α, cos α = – √1 – (12/13)

2 = – √1 – 144/169 = – 5/13

tg α = sin α : соs α = 12/13 : (–5/13) = –12/5 = – 2,4

Ответ: – 5/13; – 2,4.


( 1 – sin α cos α ) : соs2 α = (1 – sin α cos α sin α ) : соs

2 α = (1 – sin

2 α) : соs

2 α =

ctg α соs α

= соs2 α : соs

2 α = 1

Ответ: 1.

№ 5. Расположить в порядке убывания числа: sin 0,3 ; соs 4π; sin 5,4.

sin 0,3 > 0; соs 4π = 1; sin 5,4 < 0,

↓ соs 4π ; sin 0,3 ; sin 5,4.

Ответ: соs 4π ; sin 0,3 ; sin 5,4.

Решение контрольной работы № 2.

Вариант 1.

№ 1.

Найдите значение:

а) если sin α = – 5/13, π < α < 3π/2; то cos α = √1 – sin 2α,

cos α = – √1 – (5/13)2 = – √1 – 25/169 = – 12/13

sin 2α = 2 sin α ∙ cos α = 2 ∙ (– 5/13) ∙ (– 12/13) = 120/169,

соs 2α = соs 2α – sin

2 α = (– 12/13)

2 – (– 5/13)

2 = 144/169 – 25/169 = 119/169,

tg 2α = sin 2α : соs 2α = 120/169 : 119/169 = 120/119 = 1 1/119.

б) если α = 3π/5, то соs 6α ∙ cos α + sin 6α ∙ sin α = соs (6α – α) = соs 5α = соs 5(3π/5) =

= соs 3π = – 1.

Ответ: а) 120/169; 119/169, 1 1/119; б) – 1.

№ 2.

Упростить выражение:

а) 2 sin2 α = 2 sin

2 α = (1– tg

2α) 2 sin

2 α = (1– tg

2α) sin

2 α = (1– tg

2α) sin

2 α =

tg 2α ∙ tgα tg α ∙ 2tgα tg α ∙ 2tgα tg2α sin

2 α

1– tg2α соs

2α

= (1– tg2α) ∙ соs

2α = соs

2α – sin

2α = соs 2α.

б) sin 20040 соs1974

0 – sin 1974

0 соs 2004

0 = sin (2004

0 – 1974

0) = sin 30

0 = 0,5

Ответ: а) соs 2α ; б) 0,5.

№ 3.

Постройте график функции у = соs х. Какая из точек М (π/2; 1) и К ( – π/2; 0)


Ответ: К ( – π/2; 0)

№ 4.

Дана функция у = 1 – 2sin x. Найдите:

а) область определения и область значений этой функции;

б) все значения х, при которых у = – 1.

Ответ: а) D(x) = R, E(y) = [– 1; 3]; б) x = π/2 + 2πn, n Є Z.

Вариант 2.

№ 1.

Найдите значение:

а) если соs α = – 8/17, π/2 < α < π, то sin α = √1 – cos 2α,

sin α = √1 – (–8/17)2 = √1 – 64/289 = 15/17

sin 2α = 2 sin α ∙ cos α = 2 ∙ 15/17 ∙ (– 8/17) = 240/289,

соs 2α = соs 2α – sin

2 α = (– 8/17)

2 – (15/17)

2 = 64/289 – 225/289 = –161/289,

tg 2α = sin 2α : соs 2α = 240/289 : (–161/289) = – 240/161 = – 1 79/161.

б) если α = 5π/12, то соs 5α ∙ sin α + sin 5α ∙ cos α = sin (α +5α) = sin 6α = sin6(5π/12)=

= sin 5π/2 = sin π/2 = 1.

Ответ: а) 240/289; – 161/289, – 1 79/289; б) 1.

№ 2.

Упростить выражение:

а) 2 соs2 α ∙ tgα = 2 соs

2 α ∙ tgα = соs

2 α (1– tg

2α) = соs

2α – sin

2α = соs 2α.

tg 2α 2tgα

1– tg2α

б) соs 20050 соs1960

0 + sin 1960

0 sin 2005

0 = соs( 2005

0 – 1960

0) = соs 45

0 = √2/2

Ответ: а) соs 2α ; б) √2/2.

№ 3.

Постройте график функции у = sin х. Какая из точек R (π/2; 0) и D (– π/2; – 1)


Ответ: D (– π/2; – 1).

№ 4.

Дана функция у = 1 – 3cos x. Найдите:

а) область определения и область значений этой функции;

б) все значения х, при которых у = – 2.

Ответ: а) D(x) = R, E(y) = [– 2; 4]; б) x = 2πn, n Є Z.


Вариант 1.

№ 1.


а) Свойства у = (х – 2)4 :

1. D(x) = R, E(y) = [0; +∞]

2. y( – x) ≠ – y(x), y( – x) ≠ y(x) , значит функция не четная и не нечетная, не

периодическая.

3. у↑ на [0; +∞] , y↓ на [–∞; 0].

4. y > 0 на (–∞; 0), (0; +∞),

5. у = 0 при х = 2,

6. у′ = 4(х – 2)3, D(у′) = D(y) =R, значит критических точек, при которых у′ не

существует, нет

7. min y = 0, max y – нет.

б) Свойства у = 0,5sin x + 2:

1. D(x) = R, E(y) = [1,5; 2,5]

2. y( – x) ≠ – y(x), y( – x) ≠ y(x) , значит функция не четная и не нечетная,

периодическая, T = 2π.

3. у↑ на [ – π/2 + 2πк; π/2 + 2πк] , y↓ на [π/2 +2πк ; 3π/2 +2πк], к Є Z.

4. y > 0 на (– ∞; +∞),

5. пересечений с Ох нет; график пересекает Оу в (0; 2)

6. min y = 1,5, при х = – π/2 + 2πк, к Є Z

max y = 2,5, при х = π/2 + 2πк, к Є Z.

№ 2.

Докажите, что функция у = 2х3 – tg x является нечетной.

Док –во:

у(– x) = 2(– x)3 – tg (– x) = – 2x

3 + tg x = – у(х) – нечетная. Ч. т. д.

№ 3.

Расположите числа в порядке убывания: соs( – 1,1), cos 0,2, cos 2,9, cos 4,2

соs( – 1,1) = соs1,1 ≈ соs 12,70, cos 0,2 ≈ соs 11,4

0, cos 2,9 ≈ соs 165

0 , cos 4,2 ≈

≈ соs 2390

соs 1650 = соs (180

0 – 15

0 ) = – соs15

0; соs 239

0 = соs (180

0 + 59

0) = – соs59

0

11,40, 12,7

0, – 59

0, – 15

0.

Ответ: cos 0,2, соs( – 1,1), cos 4,2, cos 2,9.

Вариант 2.

№ 1.


а) Свойства у = (х + 1)3:

1. D(x) = R, E(y) = R

2 . y( – x) ≠ – y(x), y( – x) ≠ y(x) , значит функция не четная и не нечетная,

не периодическая.

3. у↑ на (– ∞; +∞).

4. y < 0 на (– ∞; – 1), y > 0 на (– 1; + ∞),

5. у = 0 при х = – 1, пересечений с Оy нет;

6. у′ = 3(х + 1)2, D(у′) = D(y) =R, значит критических точек, при которых у′ не

существует, нет.

7. min y – нет, max y – нет.

б) Свойства у = 2sin x – 1:

1. D(x) = R, E(y) = [– 3; 1],

2. y( – x) ≠ – y(x), y( – x) ≠ y(x) , значит функция не четная и не нечетная,

периодическая, T = 2π.

3. у↑ на [ – π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] , y↓ на [π/2 +2πn ; 3π/2 +2πn], n Є Z.

4. у = 0 при х = π/6 + 2πn и х= 5π/6 + 2πn, n Є Z ; график пересекает Оу в (0; – 1).

5. y < 0 на (– 7π/6 + 2πn; π/6 + 2πn), n Є Z

y > 0 на (π/6 + 2πn; 5π/6 + 2πn), n Є Z.

6. min y = – 3, при х = – π/2 + 2πn, n Є Z

max y = 1, при х = π/2 + 2πn, n Є Z.

№ 2.

Докажите, что функция у = 2х4 + 3cos x является четной.

Док-во:

у(– x) = 2(– x)4 + 3cos (– x) = 2x

4 + 3 cos x = у(х) – четная. Ч. т. д.

№ 3.

Расположите числа в порядке возрастания: sin( – 1,8); sin 2,5; sin 5,2; sin 0,3:

sin( – 1,8) ≈ sin( – 1020) = – sin 102 ; sin 2,5 ≈ sin 142

0; sin 5,2 ≈ sin 296 = – sin 64;

sin 0,3 ≈ sin 17,10

↑ – sin 102; – sin 64; sin 17,10; sin 142

0, → sin( – 1,8), sin 5,2, sin 0,3, sin 2,5.

Ответ: sin( – 1,8), sin 5,2, sin 0,3, sin 2,5.


Вариант 1.

№ 1 . Решить уравнение:

а) 2соs x – 1 = 0; б) соs2x + sin x – 3 = 0; в) 2sin

2x – sin 2x = cos 2x

2соs x = 1 1 – sin2x + sin

x – 3 = 0 2sin

2x – 2sin x cos x = cos

2x – sin

2x

соs x = 1/2 – sin2x + sin

x – 2 = 0 3sin

2x – 2sin x cos x – cos

2x = 0 |: cos

2x

х = ± arcos 1/2 + 2πn sin2x – sin

x + 2 = 0 3tg

2 x – 2tg x – 1 = 0

х = ± π/3 + 2πn, nЄZ sin x = t, sin

2 x = t

2 tg x = y, tg

2 x = y

2

t2 – t + 2 = 0 3y

2 – 2y – 1 = 0

D = 1 – 8 = – 7<0, корней нет D = 4 + 12 = 16> 0, 2 корня

у1 = 2 + 4 = 1, у2 = 2 – 4 = – 1/3

6 6

tg x = 1 и tg x = – 1/3

х = π/4 + πn х = arctg(– 1/3) + πn, nЄZ

Ответ: а) ± π/3 + 2πn, nЄZ; б) Ø ; в) π/4 + πn и arctg(– 1/3) + πn, n ЄZ.


а) sin x ≤ – √3 ; б) соs x > 1/2

2 x1 = – arccos 1/2 + 2πn, x2 = arccos 1/2 + 2πn, nЄZ

х1 = π + arcsin√3/2 + 2πn, nЄZ x1 = – π/3 + 2πn, x2 = π/3 + 2πn, n Є Z

x2 = 2 π – arcsin√3/2 + 2πn, nЄZ (– π/3 + 2πn; π/3 + 2πn), n Є Z

х1 = 4π/3 + 2πn, х2 = 5π/3 + 2πn, n Є Z

[4π/3 + 2πn; 5π/3 + 2πn], n Є Z

Ответ: а) [4π/3 + 2πn; 5π/3 + 2πn], n Є Z, б) (– π/3 + 2πn; π/3 + 2πn), n Є Z. № 3. Решить уравнение:

3 sin2 x + sin x cos x = 2cos

2 x |: cos

2x

3 tg2 x + tg x – 2 = 0

tg x = t, tg2 x = t

2

3t2 + t – 2 = 0

D = 1 + 8 = 9 > 0, 2 корня

t1 = – 1 + 3 = 1/3, t1 = – 1 – 3 = –2/3

6 6

tg x =1/3 и tg x = –2/3

х1 = arctg 1/3 + πk , x2 = arctg (–2/3) + πk , kЄ Z

Ответ: arctg 1/3 + πk ; arctg (–2/3) + πk , kЄ Z.

Вариант 2.


а) 2sin x – √3 = 0; б) 2sin2x + 5 cos x + 1 = 0; в) 6cos

2x = 1 – 2sin 2x

2sin x = √3 2 – 2cos2 x + 5 cos x + 1 = 0 6cos

2x – cos

2x – sin

2x +4sin x cos x= 0

sin x = √3/2 – 2cos2 x + 5 cos x + 3 = 0 5cos

2x – sin

2x + 4sin x cos x= 0 |: cos

2x

x = (–1)k arcsin√3/2 +πk, kЄZ 2cos

2 x – 5 cos x – 3 = 0 5 – tg

2x + 4tgx = 0

x = (–1)k π/3 +πk, k Є Z; cos x = t tg

2x – 4tgx – 5 = 0

2t2 – 5t – 3 = 0 tg x = y

D = 25 + 24 = 49> 0, 2 корня y2 – 4y – 5 = 0

t1 = 5 + 7 = 3, t2 = 5 – 7 = – 0,5 D = 16 + 20 = 36>0, 2 корня

4 4 у1 = 4+ 6 = 5, у2 = 4 – 6 = – 1

cos x = 3 – корней нет; cos x = – 0,5 2 2

х = ± arcos(– 0,5) + 2πк tg x = 5 и tg x = – 1

х = ± 5π/6 + 2πк, kЄZ х1 =arctg 5+ πk, kЄ Z; х2 =π/4 + πk, kЄ Z

Ответ: а) (–1)k π/3 +πk, k Є Z; б) ± 5π/6 + 2πк, kЄZ; в) π/4 + πk, arctg 5+ πk, kЄZ


а) cos x ≥ √2 ; б) sin x < –1/2

2 х1 = π + arcsin1/2 + 2πn, x2 = 2 π – arcsin1/2 + 2πn, nЄZ

х1 = – π/4 + 2πn, x2 = π/4 + 2πn, nЄZ; х1 = 7π/6 + 2πn, x2 = 11π/6 + 2πn, n ЄZ

[– π/4 + 2πn ; π/4 + 2πn] , nЄZ; (7π/6 + 2πn ; 11π/6 + 2πn), n ЄZ

Ответ: а) [– π/4 + 2πn ; π/4 + 2πn] , nЄZ; б) (7π/6 + 2πn ; 11π/6 + 2πn), n ЄZ.


7 sin2 x = 8sin x cos x – cos

2 x

7 sin2 x – 8sin x cos x + cos

2 x = 0 |: cos

2x

7tg2 x – 8tgx + 1 = 0

tg x = t, tg2x = t

2

7t2 – 8t + 1 = 0

D = 64 – 28 = 36 > 0, 2 корня

t1 = 8 + 6 = 1, t2 = 8 – 6 = 1/7

14 14

tg x = 1, tg x = 1/7

x = π/4 + πn, x = arctg 1/7 + πn, nЄZ

Ответ: π/4 + πn, arctg 1/7 + πn, nЄZ.


№ 1. Найти производную функции:

а) ƒ(х) = 1/2х4 – х

3 + 5х; б) ƒ(х) = 4х – 1/х

3.

ƒ′(х) = 2х3 –3 х

2 + 5 ƒ′(х) = 4 +3/ х

4


а) ƒ′( – π/2), если ƒ(х) = х cos x; б) ƒ

′( – 1), если ƒ(х) =(3х + 4)

5.

ƒ′(х) = cos x – х sin x ƒ′(х) =15(3х + 4)4

ƒ′( – π/2) = 0 + π/2 ∙ 1= π/2 ƒ

′( – 1) = 15 ( – 1∙3 +4)

4 = 15∙ 1

4 = 15

Ответ: а) π/2; б)15.

№ 3.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) = 0, если ƒ(х) =соs2x + √3x.

ƒ′( х) = 2 sin2 x +√3 = 0

sin2 x = – √3/2

2х = ( – 1)k arcsin (– √3/2) + πk, kЄZ

2х = ( – 1)k+1

arcsin √3/2 + πk, kЄZ

2х = ( – 1)k+1

π/3 + πk, kЄZ

х = ( – 1)k+1

π/6 + πk, kЄZ

2

Ответ: ( – 1)k+1

π + πk, kЄZ

6 2

№ 4.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) ≤ 0, если ƒ(х) = 6x – x

3.

ƒ′(х) = 6 – 3x2 ≤ 0 | : 3

2 – х2 ≤ 0

х2 – 2 ≥ 0

(х – √2) (х + √2) ≥ 0

(– ∞; – √2] U [√2; + ∞).

Ответ: (– ∞; – √2] U [√2; + ∞).

Вариант 2.


а) ƒ(х) = 3х5 – 12х

2 + 6х + 2; б) ƒ(х) = 2х + 1 .

ƒ′(х) = 15х4 –24 х + 6 x – 3

ƒ′(х) = 2(х –3) – (2х + 1)∙ 1 = – 7 .

(х – 3)2 (х – 3)

2


а) ƒ′( π/2), если ƒ(х) = х sin x; б) ƒ

′( – 2), если ƒ(х) =(2х + 5)

6.

ƒ′(х) = sin x + х cos x ƒ′(х) =12(2х + 5)5

ƒ′( π/2) = sin π/2 + π/2 cosπ/2 = 1 + 0 = 1; ƒ

′( – 2) = 12 ( – 2∙2 + 5)

5 = 12∙ 1

5 = 12

Ответ: а) 1; б) 12.

№ 3.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) = 0, если ƒ(х) = sin2x – √2x.

ƒ′( х) = 2 соs2 x –√2 = 0

соs2 x = √2/2

2х = ± arccos √2/2 + 2πn, n Є Z

2x = ± π/4 + 2πn, n Є Z

x = ± π/8 + πn, n Є Z

Ответ: ± π/8 + πn, n Є Z.

№ 4.

Найдите все значения х, при которых ƒ′( х) ≥ 0, если ƒ(х) = x

3 –12x.

ƒ′(х) = 3x2 – 12 ≥ 0 | : 3

х2 – 4 ≥ 0

(х – 2) (х + 2) ≥ 0

(– ∞; – 2] U [2; + ∞).

Ответ: (– ∞; – 2] U [2; + ∞).



х – 5 х ≥ 0

2 + х

2х + х2 – 5х ≥ 0

2 + х

х2 – 3х ≥ 0 ____–___ _ __+____.___–___.____+_____

2 + х – 2 0 3

х(х – 3) ≥ 0

х + 2 Ответ: (2; 0] U [3; + ∞].

№ 2.


3 проведена касательная через его точку с

абсциссой х0 = 1. Запишите уравнение этой касательной. Вычислите тангенс угла

наклона этой касательной к оси абсцисс.

Решение:

ƒ′(х) = 5x4 – 18x

2 = tg α у = ƒ(х0) + ƒ′(х0)(х – х0)

tg α = ƒ′(1) = 5 – 18 = – 13 у = – 5 – 13(х – 1)

ƒ′(х0) = ƒ′(1) = – 13 у = – 5 – 13х + 13 = 8 – 13х

ƒ(х0) = ƒ(1) = 15 – 6∙1

3 = 1 – 6 = – 5 у = 8 – 13х

Ответ: у = 8 – 13х; – 13.

№ 3.

Прямолинейное движение точки описывается законом х(t) = t4 – 2t. Найдите ее

скорость и ускорение в момент времени t = 3. (Время измеряется в секундах,

перемещение – в метрах.)

Решение:

v(t) = х′(t) = 4t3 – 2,

v(3) = 4∙33 – 2= 106 (м/с).

а(t) =v′(t) = 12t2

а(3) = 12 ∙32 = 108 (м/с

2).

Ответ: 106 м/с, 108 м/с2.

№ 4.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ƒ(х) = x3 – 3x

2 + 4 на


Решение:

ƒ′(х) = 3x2 – 6x = 3х (х – 2) = 0

х = 0 и х = 2

ƒ(0) = 03 – 3∙0

2 + 4= 4, ƒ(2) = 2

3 – 3∙2

2 + 4= 8 – 12 + 4= 0, ƒ(4) = 4

3 – 3∙4

2 + 4= 20

min ƒ(х) = 0 при х = 2 на [0; 4], max ƒ(х) = 20 при х = 4 на [0; 4].

Ответ: 2; 20.

№ 5.


образом, чтобы их произведение было наибольшим, а 2 слагаемых были

пропорциональны числам 2 и 3.

Решение:

Пусть коэффициент пропорциональности равен к, тогда 1-е число 2к, а 2-е – 3к.

3- число равно 42 – 2к – 3к = 42 – 5к. ( к < 8,4).

Произведение этих чисел обозначим за ƒ(х), тогда ƒ(х) =2к ∙ 3к ∙(42 – 5к) = 6к2 ×

×(42 – 5к) = 252к2 – 30к

3

ƒ′(х) = 504к – 90к2 = 0

k = 5,6

2k = 11,2; 3к = 16,8; 42 – к = 14

Ответ: 42 = 11,2 + 16,8 + 14.

Вариант 2.


х + 3 х ≤ 0

х – 2

х2 –2 х

2 + 3х ≤ 0

х – 2

х2 + х ≤ 0 –____.___+___.___– _ __+___

х – 2 – 1 0 2

х(х + 1) ≤ 0

х – 2 Ответ: (– ∞ ; –1] U [0; 2).

№ 2.


2 + 2х – 1 проведена касательная через его

точку с абсциссой х0 = 2. Запишите уравнение этой касательной. Вычислите

тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Решение:

ƒ′(х) = 3x2 – 6x + 2 = tg α у = ƒ(х0) + ƒ′(х0)(х – х0)

tg α = ƒ′(2) = 3∙22 – 6∙2 + 2 = 2 у = – 1 + 2(х – 2)

ƒ′(х0) = ƒ′(2) = 2 у = – 1 + 2х – 4 = 2х – 5

ƒ(х0) = ƒ(2) = 23 – 3∙2

2 + 2∙2 – 1 = – 1 у = 2х – 5

Ответ: у = 2х – 5; 2.

№ 3.

Прямолинейное движение точки описывается законом х(t) = 13 – 5t3 + 17t

2.

Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2. (Время измеряется в

секундах, перемещение – в метрах.)

Решение:

v(t) = х′(t) = – 15t2 + 34 t,

v(2) = – 15∙22 + 34∙2 = 68 – 60 = 8 (м/с).

а(t) =v′(t) = – 30t + 34

а(2) = – 30 ∙2 + 34 = 34 – 60 = – 26 (м/с2).

Ответ: 8 м/с, – 26 м/с2.

№ 4.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции ƒ(х) =2 x3 + 6x

2 – 1 на

промежутке [– 4; 0].

Решение:

ƒ′(х) = 6x2 + 12x = 6х (х + 2) = 0

х = 0 и х = – 2

ƒ(0) = 2∙03 + 6∙0

2 – 1= – 1, ƒ(– 2) = 2∙(–2)

3 + 6∙(–2)

2 – 1= – 16 + 24 – 1= 7,

ƒ(– 4) = 2∙(–4)3 + 6∙(– 4)

2 – 1= – 128 + 96 – 1 = – 33.

min ƒ(х) = – 33 при х = – 4 на [– 4; 0], max ƒ(х) = 7 при х = – 2 на [– 4; 0].

Ответ: – 33; 7.

№ 5.


образом, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей, а 2 слагаемых

были пропорциональны числам 2 и 3.

Решение:

Пусть коэффициент пропорциональности равен к, тогда 1-е число 2к, а 2-е – 3к.

3- число равно 76 – 2к – 3к = 78 – 5к. ( к < 15,2).

Сумму квадратов этих чисел обозначим за ƒ(х), тогда ƒ(х) =4к2 + 9к

2 +(76 – 5к)

2 =

= 13к2 +5776 – 760к +25к

2 = 38к

2 – 760к + 5776 = 38(к

2 – 20к +152) = 38((к – 10)

2 +52)

Функция ƒ(х) = 38((к – 10)2 +52) на промежутке (0; 15,2) достигает своего

наименьшего значения при к = 10.

k = 10

2k = 20; 3к = 30; 76 – 50 = 26

Ответ: 76 = 20 + 30 + 26.

Решение итоговой контрольной работы.

Вариант 1.

№ 1. Упростить выражение и найти его значение при α = π/3:

sin α + tg(π + α) = sin α + tg α = sin α + sin α/соs α = sin α соs α + sin α = sin α(1 + соs α)

1 + sin(π/2 + α) 1 + соs α 1 + соs α (1 + соs α) соs α (1 +соs α)соs α

= sin α = tgα = tg π/3 = √3.

соs α

Ответ: √3.


3 соs2 x – sin

2 x + 4 sin x = 0

3 – 3 sin2 x – sin

2 x + 4 sin x = 0 sin x =1,5 – корней нет; sin x = – 0,5

3 – 4 sin2 x + 4 sin x = 0 х = (– 1)

k arcsin( – 0,5) + πk

4sin2 x – 4 sin x – 3 = 0 х = (– 1)

k+1 arcsin 0,5 + πk, kЄZ

sin x = у, sin2 x = у

2 х = (– 1)

k+1 π/6 + πk, kЄZ

4у2 – 4у – 3 = 0

D = 16 + 48 = 64 > 0, 2 корня

у1 = 4 + 8 = 1,5; у2 = 4 – 8 = – 0,5

8 8

Ответ: (– 1)k+1

π/6 + πk, kЄZ.

№ 3. Найдите наибольшее целое число, при котором функция у = (х – 4)(х + 5)

принимает отрицательное значение. х2 – 4х + 4

(х – 4)(х + 5) = (х – 4)(х + 5) < 0

х2 – 6х + 9 (х – 3)

2 +____ __–____ ___– _ __+___

– 5 3 4

( – 5; 3) U (3; 4) – наибольшим целым числом из этих промежутков является 2.

Ответ: 2.


f (x) = x3 – 3x2

1) D(f) = R; E(f) = R. 2) f (x) = 0, x3

– 3x2 = 0

x2 (х – 3) = 0

х2 = 0 или х – 3 = 0

х = 0 х = 3 – точки пересечения графика с осью Ох

3) f (0) = 0,

4) f (x ) = (x3 – 3x2) = 3х 2

– 6х 5) f (2) = 23 - 32

2 = 8 – 12 = – 4

6) 3(х – 0) (х – 2)

f (x ) = 0

3х 2 – 6х = 0

3х (х – 2) = 0 ___+______._____–____._____+____

х = 0 или х – 2 = 0 0 2 х = 2 max min № 5. Найдите область определения данной функции: у = sin х – 0,5

Решение:

sin х – 0,5 0

sin х 0,5

П + 2Пп х 5П + 2Пп

6 6

Ответ: П + 2Пп ; 5П + 2Пп , n Є Z.

6 6

Вариант 2.

№ 1. Упростить выражение и найти его значение при α = π/4 :

1 + sin 2α соs( – α) = 1 + 2sin α соsα соs α = 1 – соs2 α = sin

2 α = sin

2 π/4 = (√2/2)

2 = 1/2

2 соs (3π/2 – α) – 2 sinα


8 sin2 x – 2 cos x – 5 = 0

8 sin2 x – 2 cos x – 5 sin

2 x – 5 cos

2 x = 0

3 sin2 x – 5 cos

2 x – 2 cos x = 0

3 – 3 cos2 x – 5 cos

2 x – 2 cos x = 0 cos x = 3/4 и cos x = – 0,5

– 8 cos2 x – 2 cos x + 3 = 0 х = ± arccos 3/4 + 2πk x = ± 2π/3 + 2πk, kЄZ

8 cos2 x + 2 cos x – 3 = 0

cos x = t, cos2 x = t

2

8t2 + 2t – 3 = 0

D = 4 + 96 = 100 > 0, 2 корня

t1 = 2 + 10 = 3/4, t2 = 2 – 10 = – 0,5

16 16

Ответ: ± arccos 3/4 + 2πk , k Є Z; ± 2π/3 + 2πk, k Є Z.

№ 3. Найдите наименьшее целое число, при котором функция у = 2х2 – 7х + 5

принимает положительное значение. (2 – х)(х – 5)

у = 2х2 – 7х + 5 > 0 2х

2 – 7х + 5 = 0

(2 – х)(х – 5) D = 49 – 40 = 9 > 0, 2 корня

2(х – 2,5)(х – 1) > 0 х1 = 7 + 3 = 2,5, х2 = 7 – 3 = 1

– (х – 2)(х – 5) 4 4

___–___ ___+_____ __–___ ___+___ __–_____

1 2 2,5 5

(1; 2) U (2,5; 5) – наименьшим целым числом из этих промежутков является 3.

Ответ: 3.


f (x) = x4 – 4x2

1. D(x) = R, E (ƒ) =

2. f (–x) = (–x) 4 – 4(– x) 2 = x

4 – 4x

2 = f (x) – четная функция, график симметричен

относительно оси ординат.

3. f (x) = 0 при

x4 – 4x

2 = 0

х2(х

2 – 4) = 0

х2(х – 2)(х +2) = 0

х = 0, х = 2, х = – 2 – точки пересечения графика с осью абсцисс.

3. f (0) = 0

4. f ′(x) = 4x3 – 8x = 4х (х

2 – 2) = 0 при х = 0, х = ±√2 – критические точки.

5. f (x) ↑ на [–√2; 0] U [√2; + ∞ ), f (x) ↓ на (– ∞; – √2] U [0; √2).

6. f (–√2 ) = f (√2 ) = – 4 – минимум, f (0) = 0 – максимум


у = cos х – 0,5

Решение:

cos х – 0,5 0

cos х 0,5

– П + 2Пп х П + 2Пп

3 3

Ответ: – П + 2Пп ; П + 2Пп , n Є Z.

3 3

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 11 КЛАСС

ВХОДНОЙ КОНТРОЛЬ

Вариант 1.

№ 1. Найти корни:

а) sin x = 0,5; б) соs x > √3/2; в) x2 – 4 < 0

x – 7

№ 2. Найти значения соs α, tg α и ctg α, если sin α =15/17 и π/2 < α < π

№ 3. Найдите производную функции:

а) (х) = 0,5х6 – х

3 + 12; б) (х) = 2х + 1 ; в) (х) = cos x – sin x + √x

х – 3

№ 4.

Прямолинейное движение точки описывается законом x(t) = t4 – 2t

2 + 19. Найдите

ее скорость и ускорение в момент времени t = 3.

№ 5.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции (х) = х3 – 3х

2 + 3х на


Вариант 2.


а) соs x = 1/2; б) sin x < – √3/2; в) x – 1 > 0

x2 – 25

№ 2. Найти значения sin α, tg α и ctg α, если соs α =3/5 и 3π/2 < α <2π

№ 3. Найдите производную функции:

а) (х) = 1,5х4 – х

5 + 23; б) (х) = 3х – 4 ; в) (х) = sin x + cos x – √x

х + 5

№ 4. Прямолинейное движение точки описывается законом x(t) = 43 + t

5 – 3t

2. Найдите

ее скорость и ускорение в момент времени t = 2.

№ 5.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции (х) = 2х3 + 6х

2 + 15х на

промежутке [ – 3; 0 ].

Контрольная работа № 1 по теме «Первообразная».

Вариант 1.

№ 1.

Доказать, что функция F является первообразной для функции на множестве

R:

а) F(х) = х4 – 3, (х) = 4х

3; б) F(х) = 5х – соs х, (х) = 5 + sin х.

№ 2.

Для функции (х) найдите общий вид ее первообразных F(х):

а) (х) = х2 – 4х – 12; б) (х) = sin х – 2соs х; в) (х) = 6/х

2

№ 3.

Дана функция (х) = 4sin х. Найдите ее первообразную F(х), график которой

проходит через точку А(π/2; 0).

№ 4.

Точка движется по прямой по закону v (t) = 2t – 3. Найдите координату точки

через 5 с после начала движения, если через 2 с ее координата была равна 3.

Вариант 2.

№ 1.

Доказать, что функция F является первообразной для функции на множестве

R:

а) F(х) = х5 – 13, (х) = 5х

4; б) F(х) = 7х + sin х, (х) = 7 + соs х.

№ 2.

Для функции (х) найдите общий вид ее первообразных F(х):

а) (х) = х3 – 6х

2 + 8х – 5; б) (х) = 5соs х – 3sin х; в) (х) = 5/ соs

2х

№ 3.

Дана функция (х) = 8соs х. Найдите ее первообразную F(х), график которой

проходит через точку К(π; 0).

№ 4.

Точка движется по прямой по закону v (t) = 6t2 – 1. Найдите координату точки

через 2 с после начала движения, если через 1 с ее координата была равна 3.

Контрольная работа № 2 по теме «Интеграл. Вычисление интегралов».

Вариант 1.

№ 1. Вычислить интеграл:

2 π/6 3π

а) ∫(х2

– 6х + 9)dx; б) ∫sin 3х dx; в) ∫соs 0,5х dx. – 1 0 5π/3

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 4 – х2, у = 0; б) у = 4 – х

2, у = 3.

№ 3.

Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х +1, у = 0, х = 1, х =3.

Вариант 2.

№ 1. Вычислить интеграл:

3 π/4 π

а) ∫(4х – х

2 )dx; б) ∫ соs 2х dx; в) ∫ sin х/3 dx

1 π/12 0

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = 9 – х2, у = 0; б) у = 9 – х

2, у = 5.

№ 3.

Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс кри-

волинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х – 3, у = 0, х = 2, х = 4.

Контрольная работа № 3 по теме «Степень с рациональным показателем».

Вариант 1.

№ 1. Вычислить: а)

4√312

2 + 2∙312∙313 + 313

2; б)

3√1987

3 – 3∙1987

2 ∙987 + 3∙1987∙987

2 – 987

3;

в) 31/2

∙ 93/4

22/3

∙ 42/3

№ 2. Упростить выражение: а) (

4√р –

4√с) (

4√р +

4√с) (√р + √с); б)( 2 + 2 ) ∙ х

– 1/2 – у – 1/2

х1/4

– у1/4

х1/4

+ у1/4

6х – 1/4

у – 1/2


√2х2 + 7 = х + 2

№ 4. Упростить выражение: 3√8+√37 ∙

3√8 – √37

№ 5*. Решить систему уравнений: { √5– х +3√ 2+у = 6,

2√5 – х + 5√2+у = 11

Вариант 2.

№ 1. Вычислить: а)

4√2001

2 – 2∙ 2001∙ 401 + 401

2; б)

3√1799

3 + 3∙1799

2 ∙203 + 3∙1799 ∙203

2 + 203

3;

в) 21/2

∙ 45/4

92/3

∙ 32/3

№ 2. Упростить выражение: а) (√х + √у)(

4√х –

4√у) (

4√х +

4√у); б)( 3 + 3 ) ∙ у

– 1/2 – х – 1/2

х1/4

– у1/4

х1/4

+ у1/4

4х – 1/4

у – 1/2

№ 3. Решить уравнение: √3 – 2х = х + 6

№ 4. Упростить выражение: 5√7+√17 ∙

5√7 – √17

№ 5. Решить систему уравнений: { √5 + х +3√ 2–у = 6,

5√2–у – 2√5+ х = –1

Контрольная работа № 4 по теме «Решение показательных и

логарифмических уравнений и неравенств».

Вариант 1.

№ 1. Сравнить: а) 2,7π

и 2,73 ; б) log 0,2 0,6 и log 0,2 1,6.

№ 2. Решить уравнение: а) 22 – 3х

= 32; б) log 5 (7 + 3х) = 2; в) 74х – 10

= 1/49.


а) 317 – 5х

≥ 81; б) 0,2 2х + 3

> 0,00032; в) lg (7 + 3х) < 2; г) log 1/2 (3 + 4х) ≤ – 3

№ 4. Решить графически уравнение: 2х = 3 – х

Вариант 2.

№ 1. Сравнить: а) 0,8√3

и 0,8 – 1,5

; б) log π 9,6 и log π 6,9.

№ 2. Решить уравнение: а) 32х – 13

= 27; б) log 6 (9 + 5х) = 2; в) 52х – 8

= 1/25


а) 57 + 3х

< 625; б) 0,4 2х – 3

≤ 0,064; в) lоg4 (4 + 3х) > 2; г) log 1/3 (2 + 5х) ≥ – 3

№ 4. Решить графически уравнение: 2х = 6 – х

Контрольная работа № 5 по теме «Производная показательной,

логарифмической и степенной функций».

Вариант 1.

№ 1. Найти производную функций:

а) (х) = 10х + 2х; б) (х) = ln x + 3; в) (х) = 2е

х; г) (х) = lоg5 х.

№ 2.

Доказать, что функция у = соs (4х – 1) является решением дифференциального

уравнения у = – 16у.

№ 3.

Составить уравнение касательной, проведённой к графику функции (х) = 2ех в

точке с абсциссой х0 = 0.

№ 4.

Найти промежутки возрастания и убывания функции (х) = 2x ln x.

№ 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4/х, у = x и х = 4

Вариант 2.

№ 1. Найти производную функций:

а) (х) = 5х – 6; б) (х) = lg x; в) (х) = – 3е

х; г) (х) = 1 – ln х.

№ 2.

Доказать, что функция у = sin (2х + 5) является решением дифференциального

уравнения у = – 4у.

№ 3.

Составить уравнение касательной, проведённой к графику функции (х) = 2ln x в

точке с абсциссой х0 = e.

№ 4.

Найти промежутки возрастания и убывания функции (х) = x∙ ех.

№ 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4x, у = 1 и х = 2.

Контрольная работа № 6 по теме «Элементы теории вероятностей».

Вариант 1.

№ 1.

Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на 5

свободных местах?

№ 2.

Сколько 3хзначных чисел, в которых все цифры различны, можно составить из цифр

1, 2, 5, 7, 9 ?

№ 3. Сколькими способами можно выбрать 2 книги из 10 различных книг?

№ 4.

В ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, … , 25. Наугад берут 1 шар. Какова

вероятность того, что номер этого шара будет простым числом?

№ 5.

Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выбрать 3 мальчика и 2 девочки. Сколькими

способами это можно сделать?

№ 6. На 4 карточках написаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали.

Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд. Какова вероятность

того, что в результате получившееся число будет больше 7000?

Вариант 2.

№ 1. Сколько 6значных чисел без повторения цифр можно составить из цифр

1, 2, 3, 5, 7, 9?

№ 2. Сколькими способами можно выбрать 3 учащихся из 8?

№ 3.

Сколькими способами можно выбрать из 15 туристов дежурного и его помощника?

№ 4.

Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные – художественная

литература. Наугад берут 1 книгу. Какова вероятность того, что она не окажется

учебником?

№ 5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами это

можно сделать?

№ 6. На 5 карточках написаны буквы «о», «у», «к», «н», «с». Карточки перевернули и

перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд. Какова

вероятность того, что в результате получится слово «сукно» или «конус»?

Итоговая контрольная работа по алгебре.

ВАРИАНТ – 1.

№ 1. Решить неравенство: № 2. Решить уравнение:

х – 4х 2 > 0 log2(2x – 1) = 3

х – 1

№ 3. Найти соs x, если sin x = – 15/17, П x 3π .

2

№ 4. Найти первообразную функция f(x) = х – х2, график которой проходит через

точку ( 2; 10).

№ 5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки

изменяется по закону S = 3t + t2 (м), где t – время движения в секундах. Найти

скорость тела через 3 сек после начала движения.

№ 6. Решить уравнение: 2 sin2 x – sin x + 1 = 0.

№ 7. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х – 3х2

в точке

с абсциссой х0 = 2.

№ 8. Решить систему уравнений: { √х + 3у + 6 = 2,

√ 2х – у + 2 = 1

№ 9. Вычислить: 101/4

40

1/4 5

1/2

№ 10. Решите графически уравнение: 2х = х + 5 .

ВАРИАНТ – 2.

№ 1. Решить неравенство: № 2. Решить уравнение:

(х – 6) (х – 8) 0 9 81 1 – 2х

= 272 – x

2х – 7

№ 3. Найти соs x, если sin x = – 5/13, 3П x 2π .

2

№ 4. Найти первообразную функция f(x) = 5х + 7, график которой проходит

через точку ( – 2; 4).

№ 5. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки

А изменяется по закону S = 4 + t3 – 9t (м), где t – время движения в секундах.

Найти скорость тела через 4 сек после начала движения.

№ 6. Решить уравнение: 2 соs2 x – соs x – 1= 0.

№ 7. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х + 3х2

в точке

с абсциссой х0 = – 2.

№ 8. Решить систему уравнений: { √3х – 2у + 1 = 2,

√х + у – 3 = 1

№ 9. Вычислить: 61/3

18

1/3 4

1/6

№ 10. Решить графически уравнение: 3х = 11 – х .

РЕШЕНИЕ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ

Вариант 1.

№ 1. Найти корни: Решение:

а) sin x = 0,5; б) соs x > √3/2; в) x2 – 4 < 0

х = (-1)k arcsin 0,5 + πk x1,2 = arccos√3/2+ 2 πn, n Є Z x – 7

x = (-1)k π/6 + πk, k Є Z x Є (– π/6 + 2πn; π/6 + 2πn), (x – 2)(x + 2) < 0

где n Є Z _– _+_ _–_ _+_ x – 7

– 2 2 7 (–∞ ; – 2) U (2; +∞)

№ 2. Найти значения соs α, tg α и ctg α, если sin α =15/17 и π/2 < α < π

Решение: cos α = – √1 – (15/17)

2 = – 8/17 ; tg α = 15/17 : (– 8/17) = – 15/8; ctg α = – 8/15.

№ 3. Найти производную функции: Решение:

а) (х) = 0,5х6 – х

3 + 12; б) (х) = 2х + 1 ; в) (х) = cos x – sin x + √x. 1 .

(х) = 3х5 – 3х

2 х – 3 (х) = – sin x – cos x – 2√ х

(х) = – 7/(х – 3)2

№ 4. Прямолинейное движение точки описывается законом x(t) = t4 – 2t

2 + 19.

Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 3.

Решение:

v (t) = x(t) = 4t3 – 4t; v (3) = 4∙3

3 – 12 = 108 – 12 = 96 (м/с);

а(t) = v (t) = 12t2 – 4; а(3) = 12∙3

2 – 4 = 108 – 4 = 104 (м/с

2)

Ответ: 96 м/с; 104 м/с2.

№ 5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции (х) = х3 – 3х

2 + 3х на

промежутке [0; 4]. Решение:

(х) = (х3 – 3х

2 + 3х) = 3 х

2 – 6х + 3, (х) =0, 3 х

2 – 6х + 3 = 0, D = 0, x = 1

(0) = 0; (1) = 1; (4) = 64 – 48 + 12 = 28

max(х) =(0) = 0; min (х) =(4) = 28 [0;4] [0;4]

Вариант 2.


а) соs x = 1/2; б) sin x < – √3/2; в) x – 1 > 0

x = arccos1/2+ 2πn, n Є Z х1,2 = (-1)k arcsin (– √3/2)+ πk, k Є Z x

2 – 25

х = π/3 + 2πn, n Є Z x Є (4π/3 + 2πk; 5π/3 + 2πk), x – 1 > 0

где k Є Z _– _+_ _–_ _+_ (x – 5)(x+5)

– 5 1 5 (–5 ; 1) U (5; +∞)

№ 2. Найти значения sin α, tg α и ctg α, если соs α =3/5 и 3π/2 < α <2π

№ 3. Найти производную функции:

а) (х) = 1,5х4 – х

5 + 23; б) (х) = 3х – 4 ; в) (х) = sin x + cos x – √x

х + 5

№ 4. Прямолинейное движение точки описывается законом x(t) = 43 + t5 – 3t

2.

Найти ее скорость и ускорение в момент времени t = 2.

№ 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции (х) = 2х3 + 6х

2 + 15х

на промежутке [ – 3; 0 ].

Описание материально-технического обеспечения

образовательного процесса

№ п/п Наименование объектов и средств материально-технического обеспечения

Необходимое количество

Обеспечен-ность, %

1. Библиотечный фонд

1.1. Стандарт среднего (полного) общего

образования по математике (базовый уровень)

Д 100

1.2. Примерная программа среднего (полного)

общего образования на базовом уровне по

математике

Д 100

1.3. Авторская программа по алгебре для 10 – 11

кл.(А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П.

Дудницын и др.), М., «Просвещение», 2009

Д 100

1.4. Учебник по алгебре для 10 -11 кл.( с элект-

ронным приложением) (А.Н. Колмогоров,

А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.), М.,

«Просвещение», 2011

К 100

1.5. Дидактические материалы по алгебре и нача-

лам математического анализа, 10-11 кл. (Б.М.

Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд), М.,

«Просвещение», 2009

К 100

1.6. Тематические тесты. Алгебра и начала мате-

матического анализа. 10 кл. , 11 кл. (Ю.В.

Шепелева), М., «Просвещение», 2009

К 100

1.7. Практикум по решению задач по алгебре и на-

чалам математического анализа для 10-11кл.

Ф 100

1.8. Сборник контрольных работ по алгебре и на-

чалам математического анализа для 10-11кл.

П.И. Алтынов, - М. «Экзамен», 2009 г.

Ф 100

1.9. Справочные пособия П 100

1.10. Научная, научно-популярная, справочная

литература

П 100

1.11. Методические пособия для учителя:

Книга для учителя «Алгебра и начала матема-

тического анализа. 10 кл.», (Т.Л. Афанасьева,

Л.А. Тапилина), Волгоград, «Учитель», 2008

Д 100

2.

Печатные пособия

2.1. Таблицы по алгебре и началам

математического анализа для 10-11 кл.

Д 100

2.2. Портреты выдающихся деятелей математики

Д 100

3.

Информационно-коммуникативные

средства

3.1. Мультимедийные обучающие программы и

электронные учебные издания

Д 100

4.

Технические средства обучения

4.1. Мультимедийный компьютер Д

4.2. Сканер Д

4.3. Принтер лазерный Д

4.4. Копировальный аппарат Д

4.5. Мультимедиапроектор Д

4.6. Средства телекоммуникации Д

4.7. Диапроектор или графопроектор Д

4.8. Экран Д

5.

Учебно-практическое и учебно-лабораторное оборудование

5.1. Доска с магнитной поверхностью и набором

приспособлений для крепления таблий

Д 100

5.2. Доска магнитная с координатной сеткой Д 100

5.3. Линейка Д 100

5.4. Циркуль Д 100

5.5. Транспортир Д 100

5.6. Угольники Д 100

Обозначения:

Д – демонстрационный экземпляр (1 экз.)

К – полный комплект (исходя из реальной наполняемости класса)

Ф – комплект для фронтальной работы (1 экз. на 2 чел.)

П – комплект, необходимый для практической работы в группах, насчитывающих по

несколько учащихся.

Documents

Рабочая программа по учебному предмету ...mou-chaxovo.narod.ru/DswMedia/algebra10-11klbazovyiy.pdfПояснительная записка Рабочая