Embed Size (px)
Citation preview
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodljivost« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2013/2014 (zadnja inačica 21. srpnja 2016.)
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Pregled predavanja
Uvod
Svojstva supravodiča
Supravodljivi materijali
BCS teorija
Ginzburg-Landauova teorija
Visokotemperaturni supravodiči
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Heike Kamerlingh Onnes
Heike Kamerlingh Onnes
Nobelova nagrada 1913. za dobivanjetekućeg helija te za istraživanja tvari naniskim temperaturama.
Otkriće supravodljivosti 1911.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodljivost
Supravodljivost je otkrio H.K. Onnes 1911.Našao je da otpor žive, na temperaturama ispod TC = 4.2 K, naglopada na nemjerljivo malu vrijednost.
Radi se o makroskopskom kvantnom stanju. Pojava je pronađena i u mnogim drugim materijalima, tipično
metalima.Međutim dobri metali nisu dobri supravodiči (mali TC).
Jedno od osnovnih svojstava supravodljivosti je da oni postajuidealni vodiči na temperaturama ispod temperature prijelaza:
ρ(T < TC) = 0
Eksperimentalna provjera idealne vodljivosti [J. File i R.G. Mills,Phys.Rev.Lett. 10 (1963) 93]: vrijeme gušenja struje u supravodljivojzavojnici je > 105 godina.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Svojstva supravodiča
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Osnovna svojstva
Idealna vodljivost Idealni dijamagnetizam (Meissner-Ochsenfel 1933.) Energijski procijep u (jednočestičnom) elektronskom spektru. Neka ograničenja:
• Supravodljivost za T < TC.• Postoji kritična struja IC iznad koje je otpor konačan.• Postoji kritično magnetsko polje iznad kojeg nema dijamagnetizma.
Razlikujemo dvije vrste supravodiča: supravodiči 1. vrste:
za H < HC idealni dijamagnetza H > HC nema supravodljivosti
supravodiči 2. vrste:
za H < HC1idealni dijamagnet
za HC1< H < HC2
miješano stanjeza H > HC2
nema supravodljivosti
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Meissner efekt
Supravodiči su idealni dijamagneti.
Za magnetska polja manja od kritičnog:
B = µ0(H + M) ≡ 0 ⇒ H = −M
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Meissner efekt
Za supravodiče 1. vrste:
HHC
−M HC
TTC
HC(T) ≈ HC(0)
[1−
(TTC
)2]
Za supravodiče 2. vrste:
HHC1
HC2
−M
miješano stanjeidealni
dijamagnet
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Miješano stanje U supravodiču 2. vrste se pojavljuju virovi kroz koje prolazi tok
magnetskog polja. U jezgrama virova (centralni dio) nema supravodljivosti. Tok magnetskog polja kroz virove je kvantiziran.
Kvan toka magnetskog polja:
Φ0 =h2e = 2.076 10−15 Tm2 (Tm2 = Wb).
Virovi čine pravilnu heksagonsku rešetku (ali postoje defekti!). Gustoća virova se povećava s porastom magnetskog polja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Miješano stanje
Abrikosovljeva rešetka u MgB2. Posuđeno iz radaL.Ya. Vinnikov et al., Phys.Rev. B 67 (2003) 092512.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodljivi procijep
Fotoemisijski spektar Nb na tem-peraturama T=5.3 K (supravod-ljivo stanje) i T=12.0 K (nor-malno stanje). Temperatura pri-jelaza je TC = 9.26 K.Posuđeno iz radaT. Yokoya et al., Jour. of Elect. Spect.and Rel. Phenom., 124 (2002) 99.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodljivi procijep
U supravodičima se otvaraenergijski procijep na Fermi-jevoj razini u jednoelektron-skom spektru.
Energijski procijep je ovisan o temperaturi - jednak je nuli zaT = TC i maksimalan je na T = 0.
U klasičnim (BCS) supravodičima postoji veza između kritičnetemperature i procijepa na T = 0: ∆(0) ≈ 1.76 kBTC.
Procijep ne mora biti isti svuda na Fermijevoj razini. U visokotemperaturnim supravodičima procijep ima d-valnu
simetriju: mijenja predznak s promjenom smjera valnog broja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Toplinski kapacitet
Otvaranje energijskog procijepa u elektronskom spektru odražava sena temperaturno ponašanje toplinskog kapaciteta:
Na temperaturi prijelaza postoji entropijski skok zbog promjenestanja sustava.
U klasičnim (BCS) supravodičima na niskim temperaturamatoplinski kapacitet ima eksponencijalno ponašanje:
CV ∼ e−2∆
kBT
TTC
∆∆(0)
TTC
CV
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Izotopni efektU klasičnim supravodičima temperatura prijelaza ovisi o masi izotopa odkojeg je građena rešetka:
Atomska težina 199,7 200,7 202,0 203,4TC (K) 4,161 4,150 4,143 4,126
Izotopni efekt kod žive.
Približno vrijedi:
TC ∼ 1√M
= M−α gdje je α ≈ 0,5
Izotopni efekt je bio važan za razumijevanje pojave supravodljivosti uklasičnim BCS supravodičima.
Izotopni koeficijent kod ostalih klasičnih supravodičaElement Cd Hg Mo Pb Re Sn Tl Zn Ru Nb3Sn Zn
α 0,5 0,5 0,3 0,5 0,4 0,5 0,6 0,44 0,0 0,08 0,0
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodljivi materijali
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodiči
Materijal TC (K)1911 Hg 4,21930 Nb 9,21953 V3Si 17,51973 Nb3Ge 23
Ba1−xKxBiO3 25-34(BaPb1−xBixO3, …)
1986 La2−xBaxCuO4+δ 38La2−xSrxCuO4+δ 40
1987 YBa2Cu3O7−δ 901993 Tl2Ba2Ca3Cu3Oy 1251993 HgBa2Ca2Cu3Ox 133
Materijal TC (K)1980 (TMTSF)2PF6 ∼ 12
(BEDF-TTF)2ReO4
UGe2 ∼ 1URhGe2 ∼ 1
BrCs2C60 33Cs3C60 40
2003 MgB2 392006 LaOFeP 3.2
LaO1−xFxFeAs 28.5SmFeAsO1−δ 55
Sr0.5Sm0.5FeAsF 56
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodiči
La2−xBaCuO4+δ YBa2Cu3O7−δ
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodiči
MgB2 organski supravodič (TMTSF)2PF6
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Supravodiči
Familija supravodiča baziranih na željezu.
Slojasti supravodič baziran na ravninama željezai arsena (La[O1−xFx]FeAs, x = 0.05 − 0.12) stemperaturom prijelaza TC= 26 K.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
BCS teorija
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Nobelova nagrada 1972.
John Bardeen Leon Neil Cooper John Robert Schrieffer
Nagrađeni su Nobelovom nagradom 1972. za razvoj teorije supravodljivosti.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
BCS teorija
Fononska pobuđenja stvaraju privlačno, vremenski retardirano,međudjelovanje elektrona.
Privlačno međudjelovanje dovodi do stvaranja elektronskih parova. Radi se o elektronskim parovima unutar tanke ljuske oko Fermijeve
razine, širine fononskih frekvencija. Elektronski parovi se kondenziraju u makroskopsko kvantno stanje
opisano supravodljivom BCS valnom funkcijom. Energija vezanja para odgovara energiji procijepa u
jednoelektronskom spektru pobuđenja. Supravodljivu struju ne čine pobuđeni elektroni nego elektronski
parovi.
BCS valna funkcija ne može se dobiti računom smetnje iz valne funkcijenormalnog stanja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
BCS teorijaHamiltonijan sparivanja (dio pravog Hamiltonijana):
H =∑k,σ
ekc†k,σ ck,σ +∑k,q
Vk,qc†k↑c†−k↓c−q↓cq↑
BCS valna funkcija:
|ψ >=∏
k
(sin θk + cos θkc†k↑c†
−k↓
)|0 >
|ψ > nije stanje konstantnog broja čestica.Srednji broj čestica zadan je pomoću kemijskog potencijala µ.Procijep u jednoelektronskom spektru (energija vezanja para):
∆k = −1
2
∑q
Vk,q sin 2θq
zadovoljava samosuglasnu jednadžbu:
∆k = −1
2
∑q
Vk,q∆q√
∆2q + (eq − µ)2
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Samosuglasna jednadžba
Centralna veličina u BCS teoriji je ∆k.
∆k ima fizikalno značenje energijskog procijepa u jednoelektronskomspektru.
Ako je ∆k = 0 nema sparivanja i dobiva se normalno stanje
∆k ovisi o valnim brojevima.
Kod rješavanja samosuglasne jednadžbe često se rabi aproksimacijau kojoj se zanemaruje ovisnost o smjeru valnog brojeva, a zadržavase energijska ovisnost.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Cooperovi paroviMaksimalno pojednostavljeni model sparivanja: promatraju se kvantnastanja elektronskog para ukupnog valnog broja: Q = k1 + k2 = 0.
Neka sva moguća stanja elektronskog para imaju istu energiju e0. Neka raspršenje jednog elektronskog para u drugo ne zavisi od valnog
broju: Vk,q = -|V| = konst. Neka je ukupni broj mogućih stanja elektronskog para jednak M
Hamiltonijan (M × M matrica)kv. stanja elektronskih parova:
H =
e0 −|V| −|V| . . . −|V|
−|V| e0 −|V| . . . −|V|...
−|V| −|V| . . . −|V| e0
Moguća stanja el. parova
•↑•↓•↑
•↓
•↑
•↓
•↑
•↓
•↑
•↓Vlastite vrijednosti hamiltonijana su:
e =
e0 − M|V| jedno vezano stanjee0 + |V| (M − 1)− degeneriranih slobodnih stanja
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Cooperovi parovi
Postoji vezano stanje. Energija vezanja je to veća što je broj mogućih stanja (M) veći. Fazni prostor parova:
• Parovi s ukupnim momentom jednakim nuli,Q=0, imaju za fazni prostor cijelu Fermijevupovršinu.
• Parovima s konačnim ukupnim momentom fazniprostor je reduciran na uski prsten na Fermijevojpovršini.
•
Stoga parovi s ukupnim momentom jednakim nuli imaju puno većuenergiju vezanja nego parovi s konačnim ukupnim momentom.
Parovi s konačnim ukupnim momentom mogu se zanemariti uHamiltonijanu pa se dobiva reducirani Hamiltonijan sparivanja.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Što ako parovi nemaju istu energiju ?Treba riješiti slijedeći problem vlastita stanja:
(H − E)v =
e1 − E −|V| −|V| . . . −|V|−|V| e2 − E −|V| . . . −|V|
...−|V| −|V| . . . −|V| eM − E
v1v2...
vM
= 0
Uvedimo oznaku:A =
∑i=1...M
vi
Za svako stanje elektronskog para:
(ei − E + |V|) vi = |V|A ⇒ vi =|V|A
ei − E + |V|
Uvrštavanjem u definiciju za A slijedi samosuglasna jednadžba:
A =∑
ivi =
∑i
|V|Aei − E + |V| ili
∑i=1...M
1
E − ei − |V| = − 1
|V|
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Grafičko rješavanje samosuglasne jednadžbe
E− 1
|V|
e1 e2 eM
E0
energijavezanja
Crvena linija predstavlja funkciju:
f(E) =∑
i=1...M
1
E − ei − |V|
Presjecište te funkcije i konstantne funkcije − 1|V| daje energiju vezanja
Cooperovog para E0.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Približno analitičko rješenje
Neka je Ω širina područja energija elektronskih parova (= eM − e1) i nekaje njihova gustoća stanja približno konstanta:
g =broj kvantnih stanja
širina energijskog područja =MΩ
Tada je:
f(E0) =∑
i=1...M
1
E0 − ei − V ≈ gΩ+e1∫e1
deE0 − e − |V|
≈ −g ln∣∣∣∣Ω+ e1 − E0
e1 − E0
∣∣∣∣ ≈ −g ln∣∣∣∣ Ω
e1 − E0
∣∣∣∣Energija vezanja:
E0 = e1 − Ω e− 1
g|V|︸ ︷︷ ︸energija vezanja
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Rezultati BCS teorije
Energijski procijep (polovica):
∆(T = 0) ≈ 2ℏωD e−
1
gF|V|
ℏωD širina energijskog pojasa oko Fermijeve razine unutar kojegpostoji privlačenje između parova.
Ako privlačenje dolazi od fononskih pobuđenja, tada je ωD redaveličine Debyeove frekvencije.
gF je gustoća stanja na Fermijevoj razini koja predstavlja brojmogućih stanja elektronskih parova.
|V| je povezano s elektron-fononskim vezanjem te u klasičnimsupravodičima je gF|V| ∼ 0.1-0.3. Stoga je ∆(T = 0) ≪ ℏωD.
Proračunavanje fizikalnih veličina iz BCS valne funkcije je prilično složeno!
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Ginzburg-Landauova teorija
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Ginzburg-Landauove jednadžbe
Iz formalizma teorije mnoštva čestica i uz određene aproksimacije mogućeizvesti Ginzburg-Landauov funkcional slobodne energije za pojavusupravodljivosti:
F =
∫dV
[−|a| |Ψ|2 + b
2|Ψ|4 + 1
2m⋆
∣∣∣(ıℏ∇+ e⋆ A)Ψ∣∣∣2]
L.P. Gor’kov, Zh.Eksp. i Teor. Fiz., 36 (1959) 1918.
U funkcionalu slobodne energije Ψ predstavlja makro-skopsku valnu funkciju uparenih elektrona, (tj. parame-tar uređenja). Veličine a, b, m⋆ = 2m i e⋆ = 2e mogu sepovezati s mikroskopskim parametrima Hamiltonijana.
Fizikalne veličine je jednostavnije proračunavati iz GL funkcionala,umjesto BCS valne funkcije.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Gustoća struje
Ginzburg-Landauov funkcional treba kombinirati s gustoćom struje:
J = − ıℏe⋆2m⋆
(Ψ⋆∇Ψ−Ψ∇Ψ⋆
)− e⋆2
m⋆A |Ψ|2
Ako parametar uređenja ne ovisi o prostoru, tada je:
J = −e⋆2|Ψ0|2
m⋆A
što predstavlja Londonovu jednadžbu koja povezuje struju i vektorskipotencijal A. (F. London i H. London, Proc.R.Soc.Lond. A149 (1935) 71.)
Kombinirajući Londonovu jednadžbu s Maxwellovim jednadžbama dobivase:
∇2B =1
λ2LB gdje je λL =
√m⋆
µ0|Ψ0|2e⋆2
koja opisuje trnjenje magnetskog polja u supravodiču.Magnetsko polje eksponencijalno trne u supravodiču s dubinomprodiranja λL.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Prostorne varijacije parametra uređenjaU GL-funkcionalu pojavljuju se dvije prostorne skale. Jedna, λL, opisujetrnjenje magnetskog polja u supravodiču.
Druga prostorna skala, ξ, opisuje prostorne varijacija parametra uređenja,ujedno i prosječnu udaljenost elektrona u elektronskom paru:
ξ =
√ℏ2
2m⋆ a ∼ ℏvF∆
× 2
π
Veličina κ = λL/ξ zove se Landau-Ginzburg parametar.
u supravodiču 1. vrste: ξ > λL√2
u supravodiču 2. vrste: ξ < λL√2
Granična vrijednost je κ = 1/√2.
U klasičnim supravodičima:
ξ ∼ 100− 3000 Åλ ∼ 200− 2000 Å
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Nobelova nagrada 2003.
Alexei A. Abrikosov Vitaly L. Ginzburg Anthony J. Leggett
Nagrađeni su Nobelovom nagradom 2003. za pionirski doprinos teorijisupravodiča i suprafluida.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Josephsonov spoj
Skica Josephsonovog spoja.
Između dvaju supravodičarazdvojenih tankim izolator-skim slojem može doći tu-neliranje supravodljivih pa-rova i tako do interferencijevalnih funkcija, Ako izmeđusupravodiča postoji pad na-pona tuneliranje parova ko-nvertira se EM zračenje. Izmjerenja zračene frekvencijemože se odrediti pad na-pona.
Suvremeni precizni voltmetri baziraju se na Josephsonovom spoju.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Nobelova nagrada 1973.
Leo Esaki Ivar Giaever Brian David JosephsonL. Esaki i I. Giaever nagrađeni su Nobelovom nagradom za eksperimentalnaotkrića vezanih za tuneliranje u poluvodičima i supravodičima, do je B.D.Josephson nagrađen za teorijsko predviđanje svojstava supravodljive struje kojatunelira kroz izolatorsku barijeru i koja su vodila na otkriće Josephsonovogefekta.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Visokotemperaturni supravodiči
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Visokotemperaturni supravodičiVisokotemperaturne supravodiče otkrili su J.G. Bednorz i K.A. Müller1986. godine.
Osnovna svojstvavisokotemperaturnogsupravodiča dolaze od CuO2
ravnine. U CuO2 ravnini bakarni ioni
imaju u dx2−y2 orbitali jedannespareni elektron koji imamagnetski moment.
Bakarni ioni su povezani prekokisikovih iona koji u px ili pyorbitali imaju po dva elektrona.Ljuska je sasvim popunjena.
Nedopirani materijal je Mottovizolator i antiferomagnet.
Dopiranjem materijal postajesupravodič.
Skica Cu (•) i O (•) iona u CuO2-ravnini.S crvenom linijom je označen pozitivni dioelektronske valne funkcije, a s plavom ne-gativni dio el. valne funkcije.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Vrpčasta struktura u visokotemperaturnom supravodiču
CuO2 ravnima ima tri vrpce kojese dobivaju prekrivanjem bakarnedx2−y2 orbitale i kisikovih px,yorbitala.
Integrali prekrivanja su i pozitivni inegativni zavisno od predznakakrakova dx2−y2 orbitala i krakovapx,y orbitala.
Prikladni teorijski opis CuO2
ravnina je Hubbardov modelproširen na tri vrpce, poznat kaoEmeryev model odnosno p-dmodel.
Skica Cu (•) i O (•) iona u CuO2-ravnini.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Fazni dijagram
Fazni dijagram visokotemperaturnog supravodiča.CuO2-ravnina ima 5 elektrona po jediničnoj ćeliji u tri vrpce. Zbog neparnogbroja elektrona ravnina bi trebala imati metalnu vodljivost. Ravnina jemeđutim Mottov izolator jer postoji jako Hubbardovo odbijanje izmeđuelektrona različitog spina na bakarnom ionu. To odbijanje dovodi do pojaveantiferomagnetskog uređenja. Tek dodavanjem primjesa (dopiranjem) razbija seantiferomagnetsko uređenje, a ravnina postaje metalna odnosno supravodljivana niskim temperaturama.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
...
.
Nobelova nagrada 1987.
J. Georg Bednorz K. Alexander MüllerNagrađeni su Nobelovom nagradom 1987. za otkriće supravodljivosti ukeramičkim tvarima.
