Integrali po putovima

« Napredna kvantna mehanika »

Ivo Batistić

Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu

predavanja 2011

Pregled predavanja

Greenova funkcija

Integrali po putovima

Schrödingerova jednadžba

Primjeri

Račun smetnje

Dodatak: Varijacijski račun

Greenova funkcija

Ako je poznata valna funkcija u nekom trenutku t = t, čemu jejednaka funkcija u trenutku t = t ′ (> t)?

ϕ(~r , t) =

∫

d~r ′ G (~r ,~r ′, t − t ′) ϕ(~r ′, t ′)

gdje je:

G (~r ,~r ′, t − t ′) =∑

n

ϕn(~r) e− ı

~en(t−t′) ϕn(~r

′)⋆

Greenova funkcija.

Greenova funkcija

Npr. Greenova funkcija za slobodnu česticu u 1d:

G (x1, x2, t1 − t2) =√

m

2π~ı(t1 − t2)exp(ı

~

m (x1 − x2)22 (t1 − t2)

)

Greenova funkcija se može promatrati kao amplituda (čiji jekvadrat vjerojatnost) da čestica koja se u trenutku t nalazi utočki x u trenutku t ′ bude u točki x ′.

Valna funkcija čestica koja se nalazi u točki x1:

< x |ϕ(t = t1) > = δ(x − x1) (razvoj valne funkcije po=

∑

n

ϕn(x1)⋆ ϕn(x) vlastitim valnim funkcijama)

U trenutku t = t2, valna funkcija bit će jednaka:

< x |ϕ(t = t2) > =∑

n

ϕn(x1)⋆ ϕn(x) e

− ı~en(t2−t1)

što je izraz za Greenovu funkciju.

Kako Greenova funkcija izgleda

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8prostorna ovisnost

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0Greenova funkcija

realimag

Slika: Greenova funkcija, realni i imaginarni dio, za različite vrijednostiudaljenosti među prostornim točkama (xk − xp).

Kako Greenova funkcija izgleda

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20vremenska ovisnost

−10

−5

0

5

10Greenova funkcija

realimag

Slika: Greenova funkcija, realni i imaginarni dio, za različite vrijednostivremenskog intervala (tk − tp).

Greenova funkcija za slobodnu česticu u 1d

Za Greenove funkcije vrijedi:

G (x1, x3, t1 − t3) =∫

dx2 G (x1, x2, t1 − t2)G (x2, x3, t2 − t3)

Izvod:√

m2

(2π~ı)2(t1 − t2)(t2 − t3)

+∞∫

−∞

dx2 exp(ı

~

m (x1 − x2)22 (t1 − t2)

+ı

~

m (x2 − x3)22 (t2 − t3)

)

=

√

m2

(2π~ı)2(t1 − t2)(t2 − t3)

√

−2π~ım

11

t1−t2+ 1

t2−t3

exp

ım

2~1

11

t1−t2

+ 11t2−t3

(x1 − x3)2

gdje smo se poslužili:

+∞∫

−∞

dx2 e−a (x1−x2)

2

e−b (x2−x3)2

=

√π

a + bexp[

− a ba + b

(x1 − x2)2]

koji vrijedi i kada je a i b imaginarni.

Neki integrali

+∞∫

−∞

dx e−a x2+b x =

√π

ae

−b2

4a

+∞∫

−∞

dx e−a (x1−x)2

e−b (x−x2)2

=

√π

a + bexp[

− a ba + b

(x1 − x2)2]

+∞∫

0

dx cos (ax2) =12

√π

2 a

+∞∫

0

dx sin (ax2) =12

√π

2 a

Interpretacija

t1 t2 t3

x1 x2 x3

Slika: Amplituda vjerojatnosti da čestica dođe u točku x3 iz točke x1 jezbroj amplituda vjerojatnosti svih mogućih procesa u kojima čestica iztočke x1 dolazi u točku x2, a iz točke x2 u točku x3.

Interpretacija

t1 t2 t3

x1 x2 x3

Slika: Naravno ako na putu stoji prepreka zastor koji ne dopušta svemoguće položaje, uračunati treba samo one dopuštene.

Pokus s difrakcijom ravnog vala

a

L

x

Amplituda vjerojatnosti na zastoru je dana sa

Ad (x) ∼∫ +a

−adx1

( m

2πı~τ

)

exp[

i

~

m

2τ

((x − x1)2 + L2

)]

ϕ~k(~r)

(samo se integrira preko otvora na pregradi)

Difrakcijska slika

−10 −5 0 5 10vertikalni polozaj na zaslonu

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45Difrakcijska slika

Slika: Apsolutna vrijednost amplitude vjerojatnosti na zastoru izajednostruke pukotine na koju pada ravni val.

Pokus s interferencijom

b

L

x

Amplituda vjerojatnosti na zastoru je dana sa

Ai (x) ∼(∫ −b+a

−b−a+

∫ b+a

b−a

)

dx1

( m

2πı~τ

)

exp[

i

~

m

2τ

((x − x1)2 + L2

)]

ϕ~k(~r)

(samo se integrira preko otvora na pregradi)

Difrakcija s interferencijom

−10 −5 0 5 10vertikalni polozaj na zaslonu

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Interferencijska slika

Slika: Apsolutna vrijednost amplitude vjerojatnosti na zastoru izadvostruke pukotine na koju pada ravni val. (Udaljenost rupica/dijametarrupica = 6.)

Greenova funkcija

Vremenski interval između početnog (tp) i konačnog trenutka (tk)možemo razdijeliti na N malih vremenskih intervala veličine:

∆t =(tk − tp)

N

te napisati:

G (xp , xk , tp − tk) =∫

dx1 dx2 . . . dxN−1 G (xp , x1,∆t)G (x1, x2,∆t) . .

. . .G (xN−2, xN−1,∆t)G (xN−1, xk ,∆t)

Greenova funkcija

Promatramo li samo slučaj slobodne čestice, eksponencijalni dijeloviGreenove funkcije se mogu objediniti u jedan izraz:

exp(ım

2~

[(xp − x1)2

∆t+

(x1 − x2)2∆t

+(x2 − x3)2

∆t+ . . .

])

= exp( ım

2~

[∆t · v2p1 +∆t · v212 +∆t · v223 + . . .

])

= exp

ım

2~

tk∫

tp

dt v2

Tako da je:

G (xp , xk , tp − tk) =(

m

2π~ı∆t)

)N2∫ N−1∏

i=1

dxi exp

ı

~

tk∫

tp

dtmẋ2

2

Greenova funkcija

G (xp , xk , tp − tk) =∫

Dx exp[ ı

~S(xp , xk , tk − tp)

]

gdje smo uveli oznaku:

(m

2π~ı∆t)

)N2∫ N−1∏

i=1

dxi →∫

Dx

za višestruke integrale, te gdje je:

S(xp , xk , tk − tp) =tk∫

tp

dtmẋ2

2

oznaka za funkciju djelovanja. Pod integralom je Lagrangian zaslobodnu česticu.

Greenova funkcija

Višestruki integrali: ∫Dx

brinu se da svaka moguća putanja daje doprinos ukupnoj amplitudivjerojatnost da čestica koja je u trenutku t = tp bila u točkiprostora xp se nalazi u trenutku t = tk u točki prostora xk .

xp

tp t1 t2 t3 tN−1tk

xk

Integrali po putovima

◮ Greenova funkcija sadrži doprinose svih mogućih putanja.

◮ Sumacija po putovima zapisana je u formi višestrukog integralau koji smo uveli posebnu oznaku.

◮ Takovi integrali nazivaju se integrali po putovima.

◮ Pod višestrukim integralom se nalazi funkcional putanječestice.

◮ Taj funkcional je brzo-oscilirajuća funkcija potanje: glavnidoprinos integralu dolazi od putanje minimalnog djelovanja:

Smin =m

2(xk − xp)2

tk − tp

Integrali po putovima za česticu u vanjskom polju

Integrali po putovima postoje i za čestice koje se gibaju u vanjskompolju. Sve što je potrebno koristiti odgovarajuću funkciju djelovanja:

S(xp , xk , tk − tp) =tk∫

tp

dt

[mẋ2

2− V (x)

]

pri čemu putanja čestice počinje i završava redom u xp i xk .

Veza s Schrödingerovom jednadžbom

Znamo da se valna funkcija u trenutku t +∆t može prikazati pomoćuvalne funkcije u prethodnom vremenskom trenutku t pomoću GF:

ϕ(x , t +∆t) =

(m

2π~ı∆t)

) 12

+∞∫

−∞

dy

exp[ı

~

(m (x − y)2

2∆t−∆t V (x + y

2)

)]

ϕ(y , t)

Na lijevoj strani razvijamo valnu funkciju po ∆t:

ϕ(x , t +∆t) ≈ ϕ(x , t) + ∆t ∂ϕ(x , t)∂t

+ . . .

dok na desnoj strani razvijamo valnu funkciju po razlici (x − y):

ϕ(y , t) ≈ ϕ(x , t) + (y − x) ∂ϕ(x , t)∂x

+(y − x)2

2∂2ϕ(x , t)

∂x2

Veza s Schrödingerovom jednadžbom

ϕ(x , t) + ∆t∂ϕ(x , t)

∂t=

(m

2π~ı∆t)

) 12

+∞∫

−∞

dy exp[ım

2~(x − y)2

∆t

]

(

1 − ı∆t~

V (x + y

2)

){

ϕ(x , t) + (y − x) ∂ϕ(x , t)∂x

+(y − x)2

2∂2ϕ(x , t)

∂x2

}

=

(m

2π~ı∆t)

) 12

(

1 − ı∆t~

V (x)

)

ϕ(x , t) ·+∞∫

−∞

dy exp[ım

2~(x − y)2

∆t

]

+

∂2ϕ(x , t)

∂x2·+∞∫

−∞

dy(y − x)2

2exp[ım

2~(x − y)2

∆t

]

odakle slijedi SCH.DJ:

∆t∂ϕ(x , t)

∂t= − ı

~∆t

[

− ~2

2m∂2ϕ(x , t)

∂x2+ V (x)ϕ(x , t)

]

Primjeri: Harmonički oscilator

G (x1, x2, t2 − t1) =√

mω

2πı~ sinωT

· exp{( ım ω

2~ sinωT

) [(x21 + x

22 ) cosωT − 2 x1x2

]}

gdje jeT = t2 − t1

Napomena: Djelovanje za harmonički oscilator je:

S(x1, x2, t2−t1) =mω

2 sinω(t2 − t1)[(x21 + x

22 ) cosω(t2 − t1)− 2 x1x2

]

Primjeri: Harmonički oscilator

Za rastegnuti HO čiji je Lagrangian:

L =m

2ẋ2 − m ω

2

2x2 + f (t) x

Greenova funkcija je:

GHOras (x1, x2, t2 − t1) = GHO(x1, x2, t2 − t1) · exp[ ı

~δS]

gdje je:

δS =( m ω

2 sinωT

)

2 x2m ω

t2∫

t1

dt f (t) sinω(t − t1) +2 x1m ω

t2∫

t1

dt f (t) sinω(t2 − t)

− 2m2ω2

t2∫

t1

t∫

t1

dt ds f (t) f (s) sinω(t2 − t) sinω(s − t1)

Primjeri: Polaron

Elektron koji se nalazi u elastičnom mediju kojeg polarizira imaLagrangian:

L =m

2~̇r2 +

∑

~k

12(u̇2~k − u

2~k) +

(

2√

2παV

)1/2∑

~k

1k

u~k eı~k·~r

Ako se provede integracija po fononskim stupnjevima slobode dolazise do djelovanja koji sadrži samo elektronske stupnjeve slobode:

S =m

2

∫

dt ~̇r2 +√

2πα∫

d3k

(2π)2dt ds eı

~k·~r(t)e−ı~k ·~r(s)e−ı|t−s|

=m

2

∫

dt ~̇r2 +αı√8

∫

dt dse−ı|t−s|

|~r(t)−~r(s)|

Zadnji član predstavlja efektivno međudjelovanje elektrona sasamim sobom u nekom drugom trenutku. Kažemo dameđudjelovanje prenose fononska titranja.

Račun smetnje

Vanjsko polje ponekad se može tretirati kao smetnja. Amplituduvjerojatnosti (Greenovu funkciju) razvijamo po smetnji:

G =

∫

Dx exp

ı

~

tk∫

tp

dt(m

2ẋ2 − V (x , t)

)

=

∫

Dx exp

ı

~

tk∫

tp

dtm

2ẋ2

1 −

ı

~

tk∫

tp

dt1 V (x1, t1)+

− 12~2

tk∫

tp

dt1 V (x1, t1)

tk∫

tp

dt2 V (x2, t2) . . .

Račun smetnje

Prvi član u razvoju je nesmetana Greenova funkcija, koju možemooznačiti:

G0(xa, xb , tb − ta)Drugi član može se preurediti u ovaj oblik:

δG (1) = − ı~

∫

Dx exp

ı

~

tk∫

tp

dtm

2ẋ2

tk∫

tp

dt1 V (x1, t1)

= − ı~

tk∫

tp

dt1dx1 G0(xa, x1, t1 − ta)V (x1, t1)G0(x1, xb , tb − t1)

Račun smetnje

Slično tome slijedeći član u razvoju može se preurediti u:

δG (2) = − 12~2

tk∫

tp

dt1dx1

tk∫

tp

dt2dx2 G0(xa, x1, t1 − ta)V (x1, t1)

G0(x1, x2, t2 − t1)V (x2, t2)G0(x2, xk , tk − t2)

Članovi imaju jasnu fizikalnu interpretaciju:◮ Prvi član je propagacija čestice bez raspršenja.

◮ Drugi član opisuje jednostruko raspršenje koje se je dogodilo utrenutku t = t1 i u točki prostora x1.

◮ Treći član dvostruko raspršenje.

◮ Daljnji članovi opisuju višestruka raspršenja na prostorno ivremensko lokaliziranoj smetnji.

Dodatak - Funkcionali

◮ Funkcionali se mogu promatrati kao funkcije čiji su argumentifunkcije: svakoj funkciji pridružuje se određeni broj.

◮ Kako je funkcija zadana s mnoštvom vrijednosti koju ona imau pojedinim točkama prostora (područje vrijednosti argumentafunkcije), onda je funkcional funkcija beskonačnog brojavarijabli.

Tako naprimjer funkcional:

E [ϕ] =

∫

dV12(~∇ϕ)2

proizvoljnoj funkciji (svom argumentu) pridružuje neki pozitivnibroj. Drugi primjer - djelovanje je funkcional trajektorije česticex(t):

S[x] =

∫

dt[m

2ẋ2 − V (x)

]

︸ ︷︷ ︸

=L(x ,ẋ,... )

Dodatak - Funkcionali

Često se traži ona funkcija koja minimizira vrijednost funkcionala.Kod običnih funkcija minimum/maksimum se dobiva iz uvjeta da jederivacija funkcije jednaka nuli. Kod funkcionala je također mogućedefinirati derivaciju:

DE [ϕ] = limτ→0

E [ϕ+ τ δϕ] − E [ϕ]τ

=

〈

δE [ϕ]

δϕ︸ ︷︷ ︸

varijacija

, δϕ

〉

(Gâteaux-ova derivacija)

Naprimjer:

DS[x] =

∫

dtδS[x]

δx· δx

gdje je varijacija funkcionala trajektorije čestice:

δS[x]

δx=

dL

dx− d

dt

dL

dẋ= −

[dV

dx+ mẍ

]

Dodatak - Funkcionali

Izvod Gâteauxove derivacije za funkcional djelovanja:

DS[x] =

∫

dt limτ→0

L(x + τδx , ẋ + τδẋ)− L(x , ẋ)τ

=

∫

dt

[∂L

∂xδx +

∂L

∂ẋδẋ

]

=

∫

dt

[∂L

∂xδx +

∂

∂t

(∂L

∂ẋδx

)

− ∂∂t

∂L

∂ẋδx

]

=∂L

∂ẋδx

∣∣∣∣

tb

ta

+

∫

dt δx

[∂L

∂x− ∂

∂t

∂L

∂ẋ

]

Pretpostavka je da nepoznata funkcija x(t) zadovoljava početne uvjete:

x(ta) = xa i x(tb) = xb

te da to isto vrijedi i za cijelu klasu funkcija:

(x + τδx)(ta/b) = xa/b

što znači da je:δx(ta/b) = 0.

Dodatak - Funkcionali

Stoga prvi član kod izvoda Gâteauxove derivacije dobivenparcijalnom integracijom je jednak nuli. Dakle:

DS[x] =

∫

dt δx

[∂L

∂x− ∂

∂t

∂L

∂ẋ

]

Ako se traži ona trajektorija za koju je funkcional djelovanjaminimalan, onda Gâteauxova derivacija za tu trajektoriju treba bitijednaka nuli za proizvoljni δx(t). Dakle tražena trajektorija trebazadovoljavati uvjet:

∂L

∂x− ∂

∂t

∂L

∂ẋ= 0

Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer

Odredimo kompleksnu funkciju ϕ takvu da funkcional energije:

E [ϕ] =

∫

d~r

[~

2

2m

∣∣∣~∇ϕ

∣∣∣

2+ U(~r) |ϕ|2

]

ima minimalnu vrijednost te da bude zadovoljen uvjet:∫

d~r |ϕ|2 = 1

Za određivanje minimuma koji zadovoljava određeni uvjet koristi semetoda Lagrangeovih multiplikatora. U ovom slučaju to znači da setraži minimum ovog funkcionala:

E [ϕ]− λ ·[∫

d~r |ϕ|2 − 1]

Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer

Gâteauxova derivacija funkcionala energije:

DE [ϕ] =

∫

d~r

[~

2

2m~∇ϕ⋆ · ~∇δϕ+ ~

2

2m~∇ϕ · ~∇δϕ⋆

+U(~r)ϕ⋆ δϕ+ U(~r)ϕδϕ⋆]

=

∫

d~r δϕ⋆[

− ~2

2m~∇2ϕ+ U(~r)ϕ

]

+

∫

d~r ~∇[

δϕ⋆~

2

2m~∇ϕ]

+

∫

d~r δϕ

[

− ~2

2m~∇2ϕ⋆ + U(~r)ϕ⋆

]

+

∫

d~r ~∇[

δϕ~

2

2m~∇ϕ⋆

]

Integrali:

∫

d~r ~∇[

δϕ⋆~

2

2m~∇ϕ]

=

∫

rubd~S ·

[

δϕ⋆~

2

2m~∇ϕ]

= 0

jer sve funkcije zadovoljavaju iste rubne uvjete, pa su razlike međufunkcijama:

δϕ⋆|rub = 0 i δϕ|rub = 0na rubu jednake nuli.

Dodatak - Funkcionali - Drugi primjer

Iz uvjeta da je:

D

(

E [ϕ]− λ[∫

d~r |ϕ|2 − 1])

= 0

izlaze dvije jednadžbe:[

− ~2

2m~∇2 + U(~r)

]

ϕ− λϕ = 0

i[

− ~2

2m~∇2 + U(~r)

]

ϕ⋆ − λϕ⋆ = 0

Tražena kompleksna funkcija zadovoljava Schödingerovustacionarnu jednadžbu s vlastitom energijom λ.

Greenova funkcija Integrali po putovima Schrödingerova jednadžba Primjeri Racun smetnje Dodatak: Varijacijski racun