โปรแกรมสําเร็จรูปด านคณิตศาสตรhome.npru.ac.th/teerawat/pdf/math2.pdfการเพิ่มเครื่องมือใน

โปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร (Programming Package for Mathematics)

รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร กศ.บ. (เกยรตนยม), วท.ม. คณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม

คานา

คณตศาสตรเปนวชาทเปนนามธรรม ทาความเขาใจยาก ผเรยนไมเหนภาพ ไมเหนประโยชนและการนาไปใช ปจจบนมโปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตรมากมายทชวยในการเรยนการสอนคณตศาสตร ตาราเลมนไดรวบรวม เรยบเรยง จากบทความ เอกสารการบรรยาย เอกสารการอบรม ทเกยวของกบการใชโปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร เพยงพอทจะใชเปนเครองมอชวยในการเรยนการสอนคณตศาสตร และเปนแนวทางในการศกษาโปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตรโปรแกรมอน ๆ อกในอนาคต

ตาราเลมนเรยบเรยง สาหรบนกศกษา ค.บ. คณตศาสตร ใชประกอบการเรยนรายวชา โปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร

รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร 9 สงหาคม 2551

สารบญ หนา

คานา สารบญ ตอนท 1 การใช SnagIt 1 การจบภาพนง 1 การจบภาพเคลอนไหว 4 ตอนท 2 การพมพเอกสารทางคณตศาสตร 7 การเรยกใช ตวแกสมการ 8 การเรยกใช สญลกษณ 12 ตอนท 3 การใช Excel ในทางคณตศาสตร 15 การตกเกรดโดยใชคาสง Lookup ใน Excel 15 การสรางแถบเลอนใน Excel 20 การเขยนกราฟของฟงกชนทางคณตศาสตร… 23 การแกปญหา Linear Programming โดยใช Solver ใน Excel 26 ตอนท 4 การใช The Geometer’s Skectchpad 31 การใช Geometer’s Skectchpad 31 การสรางสเหลยมจตรสโดยใชการแปลง 59 การเพมเครองมอใน GSP 61 การสรางแถบเลอนคาใน GSP และการนาไปใช 64 การพสจนทฤษฎบทปทากอรสโดยการแบงสวน (Dissection) 67 การนา GSP ไปใชบน Web 71 การเขยน Java Sketchpad 74 การสรางระบบพกดสามแกน 103 ตอนท 5 การใชโปรแกรม Maple 127 การตดตง Maple 8 128 การเขาสโปรแกรม Maple 129 การเปดแฟมขอมลและการบนทกแฟมขอมล 131 การพมพขอมลลงใน Worksheet 134 การพมพขอความทางคณตศาสตรทตองการประมวลผล 138 การใชคาสงแสดงกราฟ 165 การสรางภาพเคลอนไหว 171

สารบญ (ตอ) หนา

การใช Maple ในเมตรกซ 175 การใช Maple ในการหาคาสถตเบองตน 188 การอนทเกรตโดยการแทนคา 192 การอนทเกรตโดยแยกสวน 203 การอนทเกรตฟงกชนตรโกณมต 213 การใชโปรแกรม GRIN 225

โปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร

การใช SnagIt

SnagIt เปนโปรแกรมประยกตใช จบภาพ ขอความ และเสยง ทผลตโดยบรษท TechSmith ซงม menu ในการเลอกใชงาน ดงน

1. Image Capture การจบภาพนง 2. Text Capture การจบขอความ 3. Video Capture การจบภาพเคลอนไหว 4. Web Capture การจบเวพ

ในทนจะขอกลาวเฉพาะ การจบภาพนง และการจบภาพเคลอนไหว ใน SnagIt 6 เทานน การจบภาพนง (Image Capture)

การจบภาพนง ใหคลกเลอก menu ท Image Capture กอนการจบภาพนงเราควรกาหนดสวนประกอบของการจบภาพ ดงน Input Output Filters Options Tools

การกาหนด Input Input เปนการกาหนดบรเวณการจบภาพ ซงสามารถกาหนดไดดงน

1. Screen จบภาพทงจอภาพ 2. Window จบภาพเฉพาะ Window ทกาหนด

2 การใช SnagIt


3. Active Window จบภาพเฉพาะ Window ทกาลงใชงานอย 4. Region จบภาพเฉพาะบรเวณทกาหนด 5. Fix Region จบภาพเฉพาะบรเวณทกาหนดโดยทขนาดของบรเวณ

คงท 6. Object จบภาพเฉพาะวตถทกาหนด 7. Menu จบภาพเฉพาะ menu 8. Shapes จบภาพโดยกาหนดกรอบเปนรปทรงตาง ๆ ไดแก Free

Hand (รปทรงอสระตามทลาก) Ellipse (รปวงร) Rounded Rectangle (รปสเหลยมมน) Triangle (รปสามเหลยม) Polygon (รปหลายเหลยม)

9. Advanced จบภาพชนสง Capture Scroll, Clipboard, Graphic File, Full-screen Dos, DirectX, Wallpaper, TWAIN

10. Include Cursor เลอกให Cursor ปรากฏในภาพหรอไมปรากฏ 11. Properties คณสมบต General, Fix Region, Menu, Scrolling,

TWAIN การกาหนด Output Output เปนการกาหนดใหผลลพธแสดงออกและ/หรอจดเกบทใด ซงสามารถกาหนดได

ดงน 1. Printer กาหนดใหผลลพธออกเครองพมพ 2. Clipboard กาหนดใหผลลพธออกท Clipboard 3. Send Mail กาหนดใหผลลพธพรอมทจะสง Mail 4. Catalog กาหนดใหผลลพธออกท Catalog 5. Web กาหนดใหผลลพธออกท Web 6. Studio กาหนดใหผลลพธออกท Studio 7. Preview Window กาหนดใหผลลพธออกทหนาตาง

Preview 8. Multiple Outputs กาหนดใหผลลพธออกหลากหลาย 9. Properties… กาหนดใหคณสมบตของการนาผลลพธออก

ควรเลอก Clipboard และ Preview Window ดงรป

การใช SnagIt 3


การกาหนด Filters Filters เปนการปรบแตงรปภาพผลลพธตามความตองการ/วตถประสงคของการใชงาน

ซงสามารถกาหนดไดดงน 1. Color Conversion การแปลงสและความละเอยดของส None,

Monochome, Halftone, Grayscale, Custom Color Resulation 2. Color Substitution การแทนคาส None, Invert Colors, Custom

Color Substitution 3. Color Effects การปรบความคมชดของส Brightness, Contrast,

Hue, Saturation, Gamma 4. Image Resolution… การปรบความละเอยดของภาพ 5. Image Scaling การปรบขนาดภาพ 6. Annotation… การกาหนดใหมขอความประกาศในภาพ 7. Border… การกาหนดลกษณะกรอบของภาพ 8. Watermark… การกาหนดใหมรปสญลกษณในภาพ 9. Trim…การกาหนดขอบทงสดาน

การจบภาพ หลงจากกาหนด Input, Output และ Filters แลว ใหยอกรอบ menu ไวขางลางเพอรอ

การจบภาพ ขณะนเราสามารถใชคอมพวเตอรไดตามปกต ถาตองการจกภาพใดใหกดคย ดงน <CTRL><SHIFT> จะไดภาพทจบอยใน Preview Window ซงสามารถเลอกเฉพาะบรเวณทเราตองการ บนทก หรอ คดลอกภาพทตองการไปใชงานได

4 การใช SnagIt


การจบภาพเคลอนไหว (Video Capture)

การจบภาพเคลอนไหว ใหคลกเลอก menu ท Video Capture กอนการจบภาพเคลอนไหวเราควรกาหนดสวนประกอบของการจบภาพ ดงน Input Output Filters Options Tools

การกาหนด Input Input เปนการกาหนดบรเวณการจบภาพ ซงสามารถกาหนดไดดงน

1. Screen จบภาพทงจอภาพ 2. Window จบภาพเฉพาะ Window ทกาหนด 3. Active Window จบภาพเฉพาะ Window ทกาลงใชงานอย 4. Region จบภาพเฉพาะบรเวณทกาหนด 5. Fix Region จบภาพเฉพาะบรเวณทกาหนดโดยทขนาดของบรเวณ

คงท 6. Include Cursor เลอกให Cursor ปรากฏในภาพหรอไมปรากฏ 7. Record Audio กาหนดใหบนทกเสยง/หรอไมบนทกเสยง 8. Properties… คณสมบต เปนการกาหนดขนาดของ Fix Region

การกาหนด Output Output เปนการกาหนดใหผลลพธแสดงออกและ/หรอจดเกบทใด ซงสามารถกาหนดได

ดงน 1. File กาหนดใหผลลพธออกเครองพมพ 2. Send Mail กาหนดใหผลลพธพรอมทจะสง Mail 3. Catalog กาหนดใหผลลพธออกท Catalog 4. Web กาหนดใหผลลพธออกท Web 5. Preview Window กาหนดใหผลลพธออกทหนาตาง

Preview 6. Multiple Outputs กาหนดใหผลลพธออกหลากหลาย 7. Properties… กาหนดใหคณสมบตของการนาผลลพธออก

ควรเลอก File และ Preview Window ดงรป

การใช SnagIt 5


การจบภาพเคลอนไหว หลงจากกาหนด Input และ Output แลว ใหยอกรอบ menu ไวขางลางเพอรอการจบ

ภาพเคลอนไหว ขณะนเราสามารถใชคอมพวเตอรไดตามปกต ถาตองการจกภาพเคลอนไหวตงแตตอนใดใหกดคย ดงน <CTRL><SHIFT> จากนนโปรแกรมจะใหเลอกหรอกาหนดบรเวณทตองการจะบนทก เมอเลอกบรเวณเรยบรอยแลวจะมกรอบใหเลอกการเรมตนบนทก เมอคลกทปม <Start> จะเรมบนทกทนท

เมอตองการหยดการบนทกใหกดคย ดงน <CTRL><SHIFT> แลวเลอก <Stop> จะไดภาพทจบอยใน Preview Window ซงสามารถดภาพกอนทจะบนทกเปน File ตอไป

การบนทก ใหเลอกท File และ Finish Output


การพมพเอกสารทางคณตศาสตร

โปรแกรม Microsoft Equation เปนโปรแกรมทตดทาพรอมกบโปรแกรม Microsoft Word ซงมความสามารถชวยในการพมพสญลกษณและขอความทางคณตศาสตรไดเปนอยางดมวธการใชดงตอไปน การตดตงไอคอน ตวแกสมการ และสญลกษณ การตดตงไอคอนโปรแกรม Microsoft Equation ขนมาใชงาน มขนตอนดงน

1. ไปท เครองมอ เลอก กาหนดเอง จะมกรอบหนาตางปรากฏขน

2. เลอก คาสง ในประเภทของคาสง ใหเลอก แทรก

3. ในกรอบคาสงดานขวา คนหา ตวแกสมการ 4. ลากไอคอน ตวแกสมการ ไปไวบรเวณไอคอนแถวดานบนของ Microsoft Word

8 การพมพเอกสารทางคณตศาสตร


5. ในกรอบคาสงดานขวา คนหา สญลกษณ 6. ลากไอคอน สญลกษณ ไปไวบรเวณไอคอนแถวดานบนของ Microsoft Word 7. ปดหนาตาง กาหนดเอง

จะไดไอคอน ตวแกสมการ และ ไอคอน สญลกษณ ตามตองการ

การเรยกใช ตวแกสมการ เมอตองการพมพขอความทางคณตศาสตรลงในเอกสาร ณ ตาแหนงใดให เคอรเซอรไปอยทตาแหนงนน แลว คลกท ไอคอน ตวแกสมการ จะปรากฏรปแบบการพมพขอความทางคณตศาสตรใหคลกเลอกใชไดตามลาดบ การพมพเศษสวน

1. คลกทไอคอน ตวแกสมการ 2. เมอปรากฏรปแบบการพมพ

ใหคลกทรปแบบเศษสวน 3. คลกเลอกรปแบบเศษสวนทตองการ 4. ใหพมพตวเลขลงในชองเศษ ชองสวนตามตองการ 5. คลกบรเวณเอกสารนอกกรอบเลขเศษสวน จะไดเศษสวนตามตองการ

2512

การพมพเอกสารทางคณตศาสตร 9


การพมพตวหอย 1. คลกทไอคอน ตวแกสมการ 2. เมอปรากฏรปแบบการพมพ

ใหพมพ อกษร เชน x 3. คลกเลอกรปแบบตวหอย

จะมชองสาหรบใสตวหอย 4. ใสตวเลขตวหอยในชอง

5. คลกบรเวณเอกสารนอกกรอบ จะไดการรวมตามตองการ

2x การพมพการรวม

1. คลกทไอคอน ตวแกสมการ 2. เมอปรากฏรปแบบการพมพ ใหคลกทรปแบบการรวม 3. คลกเลอกรปแบบการรวมทตองการ 4. ใหพมพตวเลข ตวอกษร ลงในชองตามตองการ

5. คลกบรเวณเอกสารนอกกรอบ จะไดการรวมตามตองการ

∑=

10

1iix

การพมพเมตรกซ

1. คลกทไอคอน ตวแกสมการ 2. เมอปรากฏรปแบบการพมพ ใหคลกทรปแบบการพมพวงเลบ



3. คลกเลอกรปแบบการรวมทตองการ

การปรบแตง รปแบบ สไตล และขนาด ของตวแกสมการ ขณะทคลกเลอก ตวแกสมการ เมนของ Microsoft Word จะเปลยนเปนเมนของตวแกสมการ ซงม รายการ Format Style และ Size ทใชในการปรบแตง รปแบบ สไตล และ ขนาด การปรบระยะหาง เราสามารถปรบระยะหาง โดยเลอก Spacing… จาก Format จะไดหนาตางสาหรบปรบคา ดงน



การปรบแตงสไตล เราสามารถปรบแตงสไตลโดยเลอก Define… จาก Style จะปรากฏหนาตาง ดงน

การปรบเปลยนขนาด เราสามารถปรบเปลยนขนาด โดยเลอก Define… จาก Size



จะปรากฏหนาตาง ดงน การเรยกใช สญลกษณ เมอตองการพมพสญลกษณทางคณตศาสตรลงในเอกสาร ณ ตาแหนงใดให เคอรเซอรไปอยทตาแหนงนน แลว คลกท ไอคอน แทรกสญลกษณ จะปรากฏรปตารางสญลกษณทางคณตศาสตรใหเราสามารถคลกเลอกใชได (ทแบบอกษรใหเลอก Symbol) หลงจากคลกเลอกแลว ถาจะใหสญลกษณนนปรากฏในเอกสาร ใหคลกเลอกท <แทรก> เมอเลกใชหนาตางนแลวใหคลกท <ยกเลก>



ตวอยางการพมพ สญลกษณ เชน A ⊂ B

1 ≠ 2 A ∩ B ⇒ A ∪ C

แบบฝกหด จงพมพสญลกษณ ตอไปน

1. ∑=

10

1

22i

ix

2. ∫ −+15

1

2 )533( dxxx

3. 98

753 2

−+−

xxx

4. xx

1lim0→

5. 4321

6. )( CBA ∩∪ 7. Ax∉

8. 85

535)(2

+−+

=x

xxxf

9. Χ5

1

2=i

ix

10. BAf ⎯→⎯−11:

การตดเกรดโดยใชคาสง Lookup ใน Excel


15


การตดเกรดเปนภาระหนงของอาชพครทตองทาทกสนภาคเรยน มการใชโปรแกรมสาเรจรปชวยในการตดเกรด หรอเขยนโปรแกรมโดยเฉพาะเพอชวยในการตดเกรด Microsoft Excel เปนโปรแกรมสาเรจรปโปรแกรมหนงทสามารถชวยเหลอในการตดเกรดไดเปนอยางด และสวนใหญมกจะใชคาสง IF THEN ELSE ในการตดเกรด ความจรงใน Excel ยงมคาสง Lookup ทงายตอการใชและมประสทธภาพมากทสามารถชวยเหลอการตดเกรดของเพอนอาจารยได ผมขอแนะนาวธการใชคาสง Lookup ทชวยเหลอการตดเกรดโดยใชภาพประกอบดงน หลงจากทอาจารยไดคะแนนรวมพรอมจะตดเกรดเรยบรอยแลวใหอาจารยพมพเกณฑทใชในการตดเกรดใวในสวนใหนของแผนขอมลกได ดงน

สมมตวาอาจารยมเกณฑในการตดเกรดวา 80 - 100 A

70 - 79 B+ 60 - 69 B 50 - 59 C+ 40 - 49 C 30 - 39 D+ 20 - 29 D 0 - 19 E

ใหพมพเกณฑการตดเกรดของอาจารยลงในแผนขอมลเปน 2 สดมภ โดยสดมภแรกเปนคะแนนตาสดของแตละเกณฑ และ สดมภทสองเปนเกรด โดยพมพเรยงลาดบจากเกรดตาสดไปถงสงสดดงภาพ

0 E

20 D

30 D+

40 C

50 C+

60 B

70 B+

80 A

16 การตดเกรดโดยใชคาสง Lookup ใน Excel


หลงจากการสรางตารางเกณฑการตดเกรดเรยบรอยแลว เราจะตองพมพสตรการตดเกรด ลงในเซลลผลลพธของเกรด โดยวธการพมพสตรตามขนตอนดงน

1. วางเคอรเซอรไวในตาแหนงเซลลผลลพธของเกรดเซลลแรก

2

1 2. ใชเมาสคลกทไอคอนวางฟงกชน 3. เลอกประเภทฟงกชน ท Lookup & Reference และ เลอกชอฟงกชน(ดานซาย) ท

LOOKUP แลวตอบ ตกลง



17

4. ในการเลอกอารกวเมนตใหเลอกคาสงลาง ทวา Lookup_value,array โคยใชดบเบอรคลกทคาสงนน

5. จากนนใหใสคา Lookup_value กบคา Array คา Lookup_value คอคะแนนรวมท

อาจารยตองการตดเกรด ใหทานอาจารยพมพตาแหนงของเซลลคะแนนลงไป เชน E3หรอ ใชเมาสคลกทเซลลคะแนนกได สาหรบคา Array คอตารางเกณฑการตดเกรดททานอาจารยเตรยมไวในตอนตน ใหทานอาจารยพมพตาแหนงของบรเวณตารางเกณฑลงไป เชน บรเวณ H3:I10 ใหพมพวา $H$3:$I$10 หรอกดเมาสคางเลอกบรเวณนนกไดจากนนใหกดฟงกชน F4 (การพมพ $ หรอกดฟงกชน F4 เพอตองการใหบรเวณนอยคงทไมเลอนตามกรณทเราจะคดลอกสตรนไปใชกบเซลลอน) แลวตอบตกลง ทานจะเหนผลลพธของเกรดตามทตองการ

2 รปขางลางตอไปนแสดงการใชเมาสคลกเพอนาเซลล หรอบรเวณทตองการนามาใสคาแทนการพมพ และเพอความสะดวกในการมองเหนบรเวณตาง ๆ ในแผนงานอาจจะใชเมาสคลกไอคอน เพอขยายหรอยอคาสง Lookup ได

18 การตดเกรดโดยใชคาสง Lookup ใน Excel


6. ใหคดลอกสตรจากเซลลผลลพธของเกรดเซลลแรกทสรางไวไปยงเซลลผลลพธของ

เกรดเซลลอน ๆ [โดยการเลอนเมาสไปทบรเวณดานลางซายของเซลลผลลพธแรกนน



19

โดยสงเกตรปของเคอรเซอร ใหเคอรเซอรเปลยนเปนเครองหมายบวกทเลกกวาปกต จงกดเมาสแลวลากไปครอบคลมทกเซลลทตองการวางสตรการตดเกรดแลวปลอยเมาส]

เมอพจารณาเกรดทออกมาแลว ทานสามารถเปลยนแปลงเกณฑทอยในตารางดานขวามอ

ได เกรดกจะเปลยนแปลงตามดวย หากมขอสงสยประการใดสอบถามผเขยนไดตลอดเวลา หวงวาคาสง Lookup ใน Excel คงจะอานวยความสะดวกในการตดเกรดของเพอนอาจารยไดนะครบ

20 การสรางแถบเลอนและสรางกราฟใน Excel


การสรางแถบเลอนใน Excel เครองมอสรางแถบเลอน อยใน เมน เครองมอ -> กาหนดเอง ในเครองมอกาหนดเอง ใหเลอก แถบเครองมอ และใหเลอก ฟอรม

การสรางแถบเลอนและสรางกราฟใน Excel 21


จากนนเครองมอ ฟอรมจะปรากฏขน ใหปด เครองมอกาหนดเองได ในฟอรม ใหเลอกเครองมอ แถบเลอน โดยการคลก แลวใชเมาสไปลากเปนบรเวณสเหลยมในตาแหนงทตองการใหแถบเลอนอยจะไดแถบเลอนตามตองการ การกาหนดใหแถบเลอนควบคมคาในเซลล ทาไดโดยคลกขวาทแถบเลอนแลว เลอก จดรปแบบตวควบคม



ระบคา เซลลทตองการใหแถบเลอนควบคมคา ลงในชอง เชอมโยงเซลล นอกจากนเรายงสามารถกาหนดคานอยทสด คามากทสด การเปลยนคาครงละ ไดอกดวย กรณทตองการให แถบเลอนมคาเปนลบ จะตองใชการแปลงคาทางคณตศาสตรชวย เชน ให t เปนคาจากแถบเลอนมคา ตงแต 0 ถง 100 ถาเรามความจาเปนตองใชคา -10 ถง 10 ทาไดโดย กาหนดคามากทสดของแถบเลอนเปน 20 (เพราะจาก -10 ถง 10 หางกน 20 ) กาหนดคา a เปนคาทตองการและให a = -10 + t เปนตน



การเขยนกราฟของฟงกชนทางคณตศาสตรโดยใชแถบเลอนชวยในการเปลยนแปลงคาตวคงท ถาตองการเขยนกราฟของฟงกชน y = ax + b และตองการสรางแถบเลอน 2 ตวเพอเปลยนแปลงคา a และ b สามารถทาไดดงน ใหพมพขอมล ตาม เซลลตาง ๆ ให x มคาตงแต -10 ถง 10 ให a มคาเปน 10 และ b มคาเปน 5 และสรางแถบเลอนมา 2 ตว ดงรป จากนนใหพมพคา y = ax + b แตเนองจากคา a อยทเซลล D2 คา b อยทเซลล E2 และคา x อยทเซลล A2 โดยพมพสตรในเซลล B2 ดงน =D2*A2+E2 แตเนองจากเราจะคดลอกสตรนลงไปในทก ๆ คาของ y ทตรงกบคา x โดยทคา x เนองจากคา a และ b อยในตาแหนงเดมตลอดกอนจะคดลอกสตรจากเซลล B2 ไป จะตองใสเครองหมาย $ ขางหนา เซลลทไมตองการใหเปลยนแปลง ดงนนสตรในเซลล B2 ตองเปลยนเปน =$D$2*A2+$E$2 กอนการคดลอก ซงในทางปฏบต การพมพสตรลงในเซลล B2 ควรดาเนนการดงน

1. นาเมาสไปคลกทเซลล B2 2. พมพ = 3. นาเมาสไปคลกทเซลล D2 และกด <F4> 4. พมพ * 5. นาเมาสไปคลกทเซลล A2



6. พมพ + 7. นาเมาสไปคลกทเซลล E2 และกด <F4> 8. กด <Enter>

จะไดคา y ในเซลล B2 ตามตองการ จากนนใหคดลอกสตรคา y ลงมาตลอด การกาหนดใหแถบเลอนควบคมคา a และ b สามารถดาเนนการไดดงน สมมตวาตองการกาหนดใหคา a มคาตงแต -100 ถง 100 และตองการใหคา b มคาตงแต -20 ถง 20 ใหดาเนนการดงน

1. คลกขวาทแถบเลอนทตองการใหควบคมคา a 2. กาหนดใหเชอมโยงเซลลทวาง ๆ เชนในททนจะกาหนดเซลล D9 3. กาหนดคามากทสดเปน 200 (เพราะจาก -100 ถง 100 หางกน 200) 4. คลกทปม <ตกลง> 5. คลกทเซลล D2 พมพสตรตอไปน =-100+D9

จากนนแถบเลอนดงกลาวกสามารถควบคมคา a ใหอยตงแต -100 ถง 100 ไดแลว การกาหนดแถบเลอนทเหลอใหควบคมคา b กสามารถทาไดในทานองเดยวกนเพยงแตในขนท 2 ใหเลอกเซลลทวาง ๆ และไมใชเซลล D9 ในขนท 3 กาหนดคา 40 การสรางกราฟของฟงกชน ใหดาเนนการดงน

1. เลอกบรเวณของมล x และ y 2. คลกทไอคอนสรางกราฟ 3. เลอกชนดของกราฟเปน XY (กระจาย) 4. เลอกกราฟเสน 5. เลอกเสรจสน



จะไดกราฟดงรป ทดลองปรบเปลยนคา a และ b แลวสงเกตการเปลยนแปลงของกราฟ

26 การแกปญหา linear Programming โดยใช Excel


การแกปญหา Linear Programming โดยใช Solver ใน Excel

ใน Excel มคาสง Solver ทใชในการแกปญหา Linear Programming ซงมวธการใชดงน กอนใชงานควรสารวจ Excel กอนวามคาสง Solver อยหรอไม โดยคลกดท เครองมอ หากไมมคาสงน จะตองทาการตดตงโปรแกรม add-in ของ Solver [โดยการเลอก add-ins…. จาก เครองมอ แลว เลอก Solver Add-in และตอบ ตกลง ] ตวอยาง จงหาคาสงสดของ P = 3x + 2y เมอ 4x + 3y <= 12, x >= 0, x <= 2 และ y >= 0 วธทา

การแกปญหา linear Programming โดยใช Excel 27


เพอความสะดวกในการกรอกขอมลใน คาสง Solver ขอแนะนาใหกรอกขอมลตามภาพดานบน โดยมวธการกรอกขอมล ดงน การกรอกคา x , y

ใน cell B12 ใหพมพ x = ใน cell C12 ใหพมพ คาเรมตนของ x ในทนใหคาเรมตนเปน 1 ใน cell B13 ใหพมพ y = ใน cell C13 ใหพมพ คาเรมตนของ y ในทนใหคาเรมตนเปน 2

การกรอกคา P ใน cell B15 ใหพมพ P = ใน cell C15 ใหพมพ =3*C12+2*C13

การกรอกคา เงอนไขท 1 ใน cell B18 ใหพมพ =4*C12+3*C13 ใน cell C18 ใหพมพ <= ใน cell D18 ใหพมพ 12

การกรอกคา เงอนไขท 2 ใน cell B19 ใหพมพ =C12 ใน cell C19 ใหพมพ >= ใน cell D19 ใหพมพ 0

การกรอกคา เงอนไขท 3 ใน cell B20 ใหพมพ =C12 ใน cell C20 ใหพมพ <= ใน cell D20 ใหพมพ 2

การกรอกคา เงอนไขท 4 ใน cell B21 ใหพมพ =C13 ใน cell C21 ใหพมพ >= ใน cell D21 ใหพมพ 0

หลงจากกรอกขอมลเรยบรอบแลวใหนาเคอรเซอร ไปคลกท cell C15 ซงเปนสตรของ P แลวคลกเลอก เครองมอ > Solver.... จะปรากฏหนาตางเพอกรอกขอมล ดงตอไปน



ใน ชอง Set Target Cell: ใหคลกเลอกท cell C15 [หรอ พมพ $C$15] : เพราะเปน cell ท บรรจสตรของ P

Equal to: ใหเลอก Max : เพราะโจทยตองการหาคาสงสด By Changing Cells: ใหคลกเลอกทบรเวณ C12:C13 [หรอ พมพ $C$12:$C$13] : เปน

คาของ x, y ทเราตองการหาคาตอบ Subject to the Constrains: ใหคลกท Add จะมหนาตางเพอกรอกเงอนไขตาง ๆ ทละเงอนไข ดงน

การกรอกเงอนไขท 1 ใน ชอง Cell Reference: ใหคลกเลอกท cell B18 ใน ชองเครองหมาย ใหเลอก <= ใน ชอง Constraint: ใหคลกเลอกท cell D18 จากนนใหคลกท Add เพอกรอกเงอนไขท 2

การกรอกเงอนไขท 2 ใน ชอง Cell Reference: ใหคลกเลอกท cell B19

การแกปญหา linear Programming โดยใช Excel 29


ใน ชองเครองหมาย ใหเลอก >= ใน ชอง Constraint: ใหคลกเลอกท cell D19 จากนนใหคลกท Add เพอกรอกเงอนไขท 3

การกรอกเงอนไขท 3

ใน ชอง Cell Reference: ใหคลกเลอกท cell B20 ใน ชองเครองหมาย ใหเลอก <= ใน ชอง Constraint: ใหคลกเลอกท cell D20 จากนนใหคลกท Add เพอกรอกเงอนไขท 4

การกรอกเงอนไขท 4

ใน ชอง Cell Reference: ใหคลกเลอกท cell B21 ใน ชองเครองหมาย ใหเลอก >= ใน ชอง Constraint: ใหคลกเลอกท cell D21 จากนนใหคลกท Ok

เมอกรอกเงอนไขเรยบรอยแลวใหคลดเลอกท Solve จะไดคาตอบคา x, y และคา P ตามตองการ หากตองการ Sheet คาตอบ ใหเลอก Answer > Ok



แบบฝกหด 1. จงหาคาสงสดของ Z = 3x - 2y เมอ 5x + 5y ≥ 25, y ≤ 3, 3x + 9y ≤ 36, x ≥ 0, y ≥ 0 2. จงหาคาตาสดของ Z = 0.5x + 0.3y เมอ x + 2y ≥ 10, x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 3. จงหาคาสงสดของ Z = x1 + x2 – x3 + 5x4 เมอ 2x1 + 3x2 + x3 – x4 ≤ 8, 3x1 + x2 – 4x3 + 5x4 ≤ 9 4. จงหาคาสงสดของ Z = x1 + 2x2 + x3 + x4 เมอ 2x1 + x2 + 3x3 – x4 ≤ 8, 2x1 + 3x2 + 4x4 ≤ 12, 3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 18


การใช Geometer’s Sketchpad (GSP)

The Geometer’s Sketchpad เปนโปรแกรมประยกตใชในทางคณตศาสตรโปรแกรมหนงทมประสทธภาพสง ใชงาย เหมาะทสดสาหรบการเรยนการสอน การวจย ดานเรขาคณต ตรโกณมต เวกเตอร เรขาคณตวเคราะห ฟสกส การเขยนแบบ เปนตน โดยมแนวการพฒนาโปรแกรมมาจากความคดทวา “อปกรณพนฐานเพยงสองอยางคอ ไมบรรทดกบวงเวยน เพยงพอทจะสรางรปทรงทางเรขาคณตไดทกรป”

GSP มความสามารถใน การสรางรปภาพ การคานวณตาง ๆ ตามนยามทางคณตศาสตร สามารถสรางภาพเคลอนไหว สามารถซอนและแสดงรปภาพ ขอความ ตาง ๆ ได รปภาพทสรางโดยโปรแกรมนสามารถคดลอกไปวางในโปรแกรมอน ๆ เพอการนาเสนอ สามารถนารปภาพทสรางจากโปรแกรมอนมาวางใน GSP ได นอกจากนยงสามารถสรางเปนสอการเรยนการสอนทนาขน Web ได ปจจบน GSP พฒนามาถง version 4 ซงสะดวกในการใชยงขน

เมอเรมตนโปรแกรม Geometer’s Sketchpad จอภาพจะปรากฏ ดงรป ซงมสวนประกอบตาง ๆ ดงน

1. Menu Bar : รวบรวมคาสงทเปนขอความ ซงมอย 9 กลม คอ แฟม, แกไข, แสดงผล, สราง, การแปลง, การวด, กราฟ, หนาตาง และ วธใช

2. Title Bar : แสดงชอแฟมขอมลทกระทาอย 3. : รวบรวมเครองมอ ซงมอย 6 เครองมอ/กลม คอ เครองมอลกศร, เครองมอลงจด,

เครองมอวงเวยน, เครองมอเขยนเสนในแนวตรง, เครองมอสรางขอความ และ เครองมอกาหนดเอง

4. Sketch : บรเวณการสรางชนงาน

Menu Bar Title Bar

Toolbox Sketch

ในแตละกลมยอยของ Menu Bar ทมอย 9 กลม ยงมคาสงตาง ๆ อก ดงน

32 การใช Geometer’s Skectchpad


1.1 แฟม ประกอบดวยคาสงเกยวกบแฟมขอมล คอ

แฟมใหม คาสงสราง Sketch ใหม , เปด คาสงเปดแฟม GSP ทมอยแลว, บนทก คาสงบนทก Sketch ทสราง , บนทกเปน HTML… คาสงบนทก Sketch ทสราง เปน แฟมชออน หรอรปแบบอน, ปด คาสงปด Sketch ทใชงานอย, ทางเลอกเอกสาร... คาสงการเพมหนาและเครองมอ ใน sketch, ตงคาหนากระดาษ... คาสงตงคาหนากระดาษเกยวกบการพมพ, ตวอยางกอนพมพ... คาสงดภาพทเกดจากการสงพมพ, พมพ... คาสง พมพ Sketch ทเปดอย จบการทางาน คาสงออกจากโปรแกรม GSP 1.2 แกไข ประกอบดวยคาสงเกยวกบการแกไข คอ ทายอนกลบทงหมด คาสงยกเลกการสรางลาสด , เลกทายอนกลบทงหมด คาสงยอมรบการสรางท ขอยกเลกไปลาสด, ตด คาสงตดสวนทเลอก(หรอ สงทเลอกอย) ,

คดลอก คาสงทาสาเนาสวนทเลอก(หรอ สงทเลอกอย), วางรป คาสงวางสวนททาสาเนาไว , ลบลาง คาสงลบขอมลใน Sketch ทงหมด, ปมแสดงการทางาน คาสงสรางปมคาสงปฏบต ,

เลอกทงหมด คาสงเลอกทงหมด, เลอกตวแม คาสงเลอกตวแม, เลอกตวลก คาสงเลอกตวลก, แยก/รวม คาสงแยกสวนและรวมสวน, แกไขขอกาหนด คาสงแกไขนยาม, สมบต… คาสงเกยวกบสมบตตาง ๆ, คาพงใจขนสง… คาสงเกยวกบการตดตงเรอง หนวย, ส, ขอความ

การใช Geometer’s Skectchpad 33


13. แสดงผล ประกอบดวยคาสงการแสดงภาพ คอ เสน คาสงปรบแตงขนาดของเสน , ส คาสงปรบเปลยนสของวตถ, ขอความ คาสงปรบเปลยนตวอกษร ,

ซอน... คาสงซอนวตถ, แสดงสงทซอนไวทงหมด คาสงแสดงวตถทซอน

ทงหมด , แสดงปาย คาสงแสดงขอความกากบ, กาหนดชอ... คาสงกาหนดชอวตถ, สรางรอย... คาสงสรางรอย, ลบรอย คาสงลบรอยทางเดน ,

เคลอนไหว... คาสงเคลอนไหววตถทเลอก, เพมอตราเรว คาสงเพมความเรวของการเคลอนไหว, ลดอตราเรว คาสงลดความเรวของการเคลอนไหว, หยดการเคลอนไหว คาสงหยดการทางานทก Sketches, แสดงแถบรปแบบอกษร คาสงแสดงรปแบบอกษร, แสดงคาสงควบคมการเคลอนไหว คาสงแสดงปมควบคมการเคลอนไหว, ซอนกลองเครองมอ คาสงซอนกลองเครองมอ 1.4 สราง ประกอบดวยคาสงการสรางวตถตาง ๆ คอ

จดบนออบเจกต คาสงสรางจดบนวตถ , จดกงกลาง คาสงสรางจดกงกลางของสวนของเสนตรง, จดตด คาสงจดตดกนของสองวตถ ,

สวนของเสนตรง คาสงสรางสวนของเสนตรง, รงส คาสงสรางรงส ,

เสนตรง คาสงสรางเสนตรง, เสนขนาน คาสงสรางเสนขนาน ,

เสนตงฉาก คาสงสรางเสนตงฉาก, เสนแบบครงมม คาสงสรางเสนแบงครงมม , วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและจดอน คาสงสรางวงกลม

เมอทราบจดศนยกลาง และจดบนเสนรอบวง,



วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม คาสงสรางวงกลม เมอทราบจดศนยกลางและ รศม ,

สวนโคงบนวงกลม คาสงสรางสวนโคงของวงกลม, สวนโคงผานจดสามจด คาสงสรางสวนโคงของวงกลม เมอทราบจด 3 จดบนสวนโคง , บรเวณภายใน คาสงสรางบรเวณภายในวตถ, โลคส คาสงสรางรอยทางเดนของจด

1.5 การแปลง ประกอบดวยคาสงเกยวกบการเปลยนแปลงวตถ คอ ระบจดศนยกลาง คาสงสรางจดศนยกลางของการเปลยนแปลง , ระบเสนสะทอน คาสงสรางเสนศนยกลางของการเปลยนแปลง , ระบมม คาสงสรางมมศนยกลางของการเปลยนแปลง , ระบอตราสวน คาสงสรางอตราสวนของการเปลยนแปลง , ระบเวคเตอร คาสงสรางทศทางของการเปลยนแปลง , ระบระยะทาง คาสงสรางระยะทางของการเปลยนแปลง , เลอนขนาน … คาสงการยายวตถ , หมน … คาสงการหมนวตถ , ยอ/ขยาย … คาสงการเปลยนขนาดของวตถ, สะทอน … คาสงการสรางภาพสะทองของวตถ ,

ทาซา … คาสงการเปลยนแปลงวตถตามขอตกลงทกาหนด 1.6 การวด ประกอบดวยคาสงเกยวกบการวดและการคานวณหาคาตาง ๆ คอ

ความยาว คาสงหาความยาว , ระยะทาง คาสงหาระยะทาง , เสนรอบรป คาสงหาความยาวของเสนรอบวตถ , เสนรอบวง คาสงหาความยาวของเสนรอบวงของวงกลม , มม คาสงหาขนาดของมม , พนท คาสงหาพนทบรเวณภายในวตถ , มมของสวนโคง คาสงหาขนานของมมทรองรบสวนโคง, ความยาวของสวนโคง คาสงหาความยาวของสวนโคง, รศม คาสงหาความยาวรศมวงกลม, อตราสวน คาสงหาอตราสวน ,



คานวณ... คาสงการใชเครองคดเลข , พกด คาสงหาพกดของจด , พกดทหนง (x) คาสงหาคาพกดท 1 ของจด (x) , พกดทสอง (y) คาสงหาคาพกดท 2 ของจด (y) , ระยะระหวางพกด คาสงหาระยะทางระหวางจดสองจด ตามระบบพกด , ความชด คาสงหาความชน ,

สมการ คาสงหาสมการ 1.7 กราฟ ประกอบดวยคาสงเกยวกบการสรางกราฟ คอ

กาหนดระบบพกด คาสงกาหนดระบบพกด , ระบระบบพกด คาสงกาหนดจดกาเนดของระบบ , รปแบบกรด คาสงกาหนดรปแบบของตารางกรด Polar ,

Square , Rectangular , แสดง/ซอนระบบพกด คาสงแสดงหรอซอนตารางกรด , สแนพจด คาสงกาหนดใหลงจดตรงจดตดของตารางกรด , ลงจด... คาสงลงจดในระบบพกด , พารามเตอรใหม... คาสงสรางพารามเตอรใหม , ฟงกชนใหม... คาสงสรางฟงกชนใหม , เขยนกราฟของฟงกชนใหม... คาสงลงจดกราฟของฟงกชน, อนพนธ คาสงหาอนพนธของฟงกชน , สรางตาราง คาสงสรางตาราง , เพมขอมลในตาราง คาสงเพมคาในตาราง , ลบขอมลในตาราง คาสงลบคาในตาราง ,

1.8 หนาตาง ประกอบดวยคาสงเกยวกบหนาตาง คอ

แบบลดหลน คาสงยอหนาตาง , แบบตอเรยง คาสงขยายหนาตาง , 1 แฟมยงไมมชอ1 คาสงชอหนาตางทเปดใชอย,



1.9 วธใช ประกอบดวยคาสงการใหคาแนะนาชวยเหลอ คอ สารบญ คาสงแสดงหนาแรกของการใหการชวยเหลอ , มอะไรใหม คาสงแสดงความสงท แตกตางของ เวอรชน 4

จากเวอรชน 3 , สวนประกอบ คาสงแสดงองคประกอบตาง ๆ , เมน คาสงแสดงการใช เมน , กลองเครองมอ คาสงแสดงการใช กลองเครองมอ , แผงแปนพมพ คาสงแสดงการใช shortcuts , หวขอชนสง คาสงแนะนาการใชเทคนคสง ๆ , เกยวกบ Sketchpad คาสงแสดงคณลกษณะของ Sketchpad น

การสรางรปภาพเบองตน การสรางจด

เลอกคาสง เครองมอลงจด ใน Toolbox แลวคลกจดทตองการใน Sketch กจดกไดจนกวาจะยกเลกคาสงการสรางจด การยกเลกคาสงการสรางจดใหคลกท เครองมอลกศร การสรางสวนของเสนตรง

การสรางสวนของเสนตรง ปฏบตได 3 วธ คอ 1. เลอกคาสง เครองมอเขยนเสนในแนวตรง ใน Toolbox ทเปนสวนของเสนตรงแลว

คลกจดทอยในเสนตรงสองจดใน Sketch 2. สรางจดปลายของสวนของเสนตรง 2 จด, เลอกใหจดทงสอง active, แลวใชคาสง สราง

ใน Menu bar โดยเลอก สวนของเสนตรง 3. สรางจด 2 จด และเลอกให active เชนเดยวกบขอ 2. แลว Ctrl + L



การสรางรงส การสรางรงสปฏบตทานองเดยวกบการสรางสวนของเสนตรง ได 2 วธ คอ

1. เลอกคาสง เครองมอเขยนเสนในแนวตรง ใน Toolbox ทเปนสวนของเสนตรงคลกคางไวจะปรากฏเครองมอ สรางรงส และสรางเสนตรง ขน ใหคลกเครองมอสรางรงส แลวคลกจดทอยใน Sketch 2 จด โดยทจดแรกจะเปนจดกาเนดของรงส และจดทสองเปนจดทอยบนรงส

2. สรางจด 2 จด โดยจดแรกเปนจดกาเนดของรงส และ จดทสองเปนจดทอยบนรงส, เลอกใหจดทงสอง active, แลวใชคาสง สราง ใน Menu bar โดยเลอก รงส

การสรางเสนตรง

การสรางเสนตรงปฏบตเชนเดยวกบการสรางสวนของเสนตรง ได 2 วธ คอ 1. เลอกคาสง เครองมอเขยนเสนในแนวตรง ใน Toolbox ทเปนสวนของเสนตรงคลกคางไวจะ

ปรากฏเครองมอ สรางรงส และสรางเสนตรง ขน ใหคลกเครองมอสราง เสนตรง แลวคลกจดทอยในเสนตรงสองจดใน Sketch

2. สรางจดทอยบนเสนตรง 2 จด, เลอกใหจดทงสอง active, แลวใชคาสง สราง ใน Menu bar โดยเลอก เสนตรง

การสรางวงกลม

การสรางวงกลมสรางได 3 วธ คอ 1. เลอกคาสง เครองมอวงเวยน ใน Toolbox แลวคลกเมาสใน Skecth สองจด จดแรก

เปนจดศนยกลางของวงกลม และจดทสองเปนจดทอยบนเสนรอบวงของวงกลม 2. สรางวงกลมจากจด 2 จด โดยเลอกจดสองจดนนให active แลวใชคาสง สราง ใน Menu

bar โดยเลอก วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและจดอน (จดแรกทเลอกจะเปนจดศนยกลาง สวนจดทสองจะเปนจดทอยบนเสนรอบวง)

3. สรางวงกลมจากจดศนยกลาง และรศม โดยจะตองมหรอสรางจด และสวนของเสนตรงขนมากอน, เลอกใหจด และสวนของเสนตรงให active แลวใชคาสง สราง ใน Menu bar โดยเลอก วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม



การกาหนดชอของวตถและการพมพขอความ การกาหนดชอของวตถ ใหเลอกคาสง Text Tool ใน เครองมอสรางขอความ

เคอเซอรจะเปลยนเปนรปมอนามอไปคลกทวตถจะไดชอของวตถนนตามตองการ หากตองการเปลยนชอของวตถเปนชออนใหคลกสองครงในตาแหนงนนแลวแกไขชอใหม

สาหรบการพมพขอความอน ๆ ใหเลอกคาสง เครองมอสรางขอความ ใน Toolbox เชนเดยวกน เลอนเคอเซอรรปมอไปยงตาแหนงทตองการพมพขอความ คลกสองครงแลวพมพขอความตามตองการ หมายเหต ถาตองการเปลยนรปแบบ ขนาด สของตวอกษร และอกขระพเศษตาง ๆ ใหเลอกเปลยนแปลงไดในชองขอบดานลางของหนาตาง [รปแบบอกษรภาษาไทย จะลงทายดวย UPC] การสรางรปหลายเหลยม

การสรางรปหลายเหลยมเราอาจจะสรางจากการลากเสนเชอมจดตาง ๆ เปนรปหลายเหลยม ดงน เชน ถาตองการสรางรปหกเหลยม ใชสรางจดขน 6 จด และเลอกจดทง 6 จด นน ตามลาดบทจะลากสวนของเสนตรง แลวเลอก สราง > เลอก สวนของเสนตรง



การสรางบรเวณภายในของรปหลายเหลยม

ใหเลอกจดมมทกจดของรปหลายเหลยมนนตามลาดบ เชนเดยวกบตอนสรางรปหลายเหลยม และเลอก สราง > เลอก บรเวณภายในหกเหลยม (หรอ Ctrl+P) หมายเหต คาวา หกเหลยม ในคาสงสรางบรเวณภายในจะเปลยนไปตามรปเหลยม เชน รปนนเปน สามเหลยม คาสงจะเปลยนเปน บรเวณภายในสามเหลยม



การสรางรปสามเหลยม

ในการสรางรปสามเหลยมใด ๆ เราสามารถสรางไดเชนเดยวกบการสรางรปหลายเหลยมตามทกลาวมาแลว เพยงแตใช 3 จด แตถาตองการสรางรปสามเหลยมดานเทา สามเหลยมหนาจว หรอสามเหลยมทมดาน หรอมมตามทกาหนดให เราสามารถสรางไดดงน

การสรางรปสามเหลยมดานเทา 1. สรางสวนของเสนตรงทเปนดานของสามเหลยมขนมา 1 ดาน ตงชอวา AB 2. ให A เปนจดศนยกลางรศม AB เขยนสวนโคงของวงกลม [เลอกจด A เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม] 3. ให B เปนจดศนยกลางรศม AB เขยนสวนโคงของวงกลม ตดสวนโคงแรกท จด C



[เลอกจด B เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม จากนนใหเลอก วงกลมทสรางขน กบ วงกลมเกา แลวเลอก สราง > จดตด ไดจดตด เปนจด C]

4. ลากสวนของเสนตรง AC และ BC [โดย เลอกจด A เลอกจด C และเลอก สราง > สวนของเสนตรง จะไดสวนของ

เสนตรง AC สาหรบสวนของเสนตรง BC สรางทานองเดยวกน] 5. ซอนวตถทไมตองการใหมองเหน

[หามลบสงตาง ๆ ทเกดขนขณะสราง ใหใชการซอนวตถ ซงทาไดดงน ใหคลกเลอกวตถทตองการซอน เลอก แสดงผล > ซอน... หรอ Ctrl+H] จงสรางสามเหลยมหนาจว และสรางบรเวณภายในรปสามเหลยมน จงสรางสวนของเสนตรงใหเทากบสวนของเสนตรงทกาหนดให จงสรางสามเหลยมทมมมเทากบมมทกาหนดให (สรางสามเหลยมคลาย)



การสรางสามเหลยมมมฉาก 1. สรางสวนของเสนตรง AD 2. สรางจด C อยนอกสวนของเสนตรง AD

3. สรางเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง AD ทผานจด C ตดสวนของเสนตรง AD ทจด B

[โดยเลอกจด C เลอกสวนของเสนตรง AD และเลอก สราง > เสนตงฉาก]

4. ลากสวนของเสนตรง AC AB และ BC จะไดสามเหลยมมมฉาก ABC ทม B เปนมมฉากตามตองการ

[โดยเลอกจด A B C และเลอก สราง > สวนของเสนตรง และซอนสวนทไมตองการ] จงสรางสามเหลยมหนาจวทมมมยอดเปนมมฉาก และสรางบรเวณภายในของสามเหลยม

จงสรางสามเหลยมใหเทากบสามเหลยมทกาหนดให การสรางรปสเหลยม

ในการสรางรปสเหลยมใด ๆ เราสามารถสรางไดเชนเดยวกบการสรางรปหลายเหลยมตามทกลาวมาแลว เพยงแตใช 4 จด แตถาตองการสรางรปสเหลยมทมลกษณะเฉพาะ เชน สเหลยมจตรส สเหลยมผนผา สเหลยมดานขนาน สเหลยมขนมเปยกปน สเหลยมวาว สเหลยมคางหม หรอสเหลยมทมขอกาหนดตามทกาหนดให เราสามารถสรางไดดงน

การสรางสเหลยมจตรส 1. สรางสวนของเสนตรงทเปนดานของสเหลยมจตรสขนมา 1 ดาน ตงชอวา AB 2. ให A เปนจดศนยกลางรศม AB เขยนสวนโคงของวงกลม [เลอกจด A เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม]



3. ทจด A ลากเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง AB [เลอกจด A เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > เสนตงฉาก] 4. ให D เปนจดตดของสวนโคงของวงกลมตามขอ 2. กบเสนตงฉากตามขอ 3. [เลอกวงกลมทสรางตามขอ 2. เลอกเสนตงฉากทสรางตามขอ 3. และเลอก สราง > จดตด กาหนดใหจดตดชอ D] 5. ให B เปนจดศนยกลางรศม AB เขยนสวนโคงของวงกลม 6. ทจด B ลากเสนตงฉากกบสวนของเสนตรง AB 7. ให C เปนจดตดของสวนโคงของวงกลมตามขอ 5. กบเสนตงฉากตามขอ 6. 8. ลากสวนของเสนตรงเชอมจด A B C และ D จะไดสเหลยมจตรสตามตองการ [เลอกจด A B C D และเลอก สราง > สวนของเสนตรง ซอนวตถทไมตองการ]

จงสรางสเหลยมผนผา และสรางบรเวณภายในของสเหลยมน จงสรางสเหลยมจตรสทมดานยาวเทากบเสนของเสนตรงทกาหนดให จงสรางสเหลยมจตรสทมความยาวของดานเทากบ 3 ซ.ม.

การสรางสเหลยมดานขนาน

1. ลากสวนของเสนตรง AB ซงเปนดานของสเหลยมดานขนาน 2. ให C เปนจดทอยนอกเสนตรง AB



3. ลากเสนขนานกบ AB และผานจด C [เลอกจด C เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > เสนขนาน] 4. ให C เปนจดศนยกลางรศม AB เขยนสวนโคงของวงกลมตดเสนขนานทจด D [เลอกจด C เลอกสวนของเสนตรง AB และเลอก สราง > วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม เลอกวงกลม เลอกเสนขนาน และเลอก สราง > จดตด กาหนดจดตดชอ D] 5. ลากเสนเชอมจด A B C D จะไดสเหลยมดานขนาน ABCD ตามตองการ

จงสรางสเหลยมขนมเปยกปน และสรางบรเวณภายในของสเหลยมน จงสรางสเหลยมวาว และสรางบรเวณภายในของสเหลยมน จงสรางสเหลยมคางหม และสรางบรเวณภายในของสเหลยมน

การสรางมม สรางมมจากจด 3 จด ทกาหนดใหโดยใหจดใดจดหนงเปนจดยอดมม

สรางรงสจากจดยอดมมกบจดอน 2 รงส จะไดมมตามตองการ [ เลอกจดยอดมม เลอกจดอนอกจดหนง และเลอก สราง > รงส จะไดรงสทหนง สาหรบรงสทสอง ใหเลอกจดยอดมม เลอกจดอนทเหลอ และเลอก สราง > รงส]

การแบงครงมม

1. เลอกมมทตองการแบงครงมม [โดยเลอกจดทง 3 ของมมตามลาดบ ใหจดยอดมมอยตาแหนงทสอง]

2. เลอก สราง > เสนแบงครงมม



การสรางสวนโคงของวงกลม การสรางสวนโคงของวงกลมจากจด 3 จด

1. สรางจดอสระ 3 จด 2. เลอกจดทงสามตามลาดบทวนเขมนาฬกา และเลอก สราง > สวนโคงผานจดสามจด

การสรางสวนโคงของวงกลมจากจด 2 จดบนเสนรอบวงของวงกลม 1. สรางวงกลม 2. สรางจดบนเสนรอบวงของวงกลมขนมา 2 จด 3. ใหจดทงสองทสรางขนตามขอ 2 ซงเปนจดปลายของสวนโคง สรางสวนโคงโดย

เลอกจดปลายสวนโคงทงสองตามลาดบทวนเขมนาฬกา เลอกเสนรอบวงของวงกลม และเลอก สราง > สวนโคงบนวงกลม



การสรางบรเวณภายในสวนโคงของวงกลม การสรางบรเวณภายในสวนโคงของวงกลมม 2 ลกษณะคอ เซกเตอรของสวนโคง และ

เซกเมนตของสวนโคง ซงสามารถสรางไดดงน คอ เลอก สวนโคง ทตองการสรางบรเวณภายใน เลอก สราง > สวนโคงบนวงกลม และเลอก เซกเตอรของสวนโคง หรอ เซกเมนตของสวนโคง แลวแตกรณ

เซกเตอร เซกเมนต



การวด การวดความยาวระหวางจด 2 จด โดยเลอก จดทงสองจด และเลอก การวด > ระยะทาง การวดความยาวสวนของเสนตรงโดยเลอกสวนของเสนตรง และเลอก การวด > ความยาว การวดพนท โดยเลอกบรเวณพนทนน ๆ และเลอก การวด > พนท

จงวดพนทของวงกลม จงหาความยาวของเสนรอบวงของวงกลม จงหาพนทของรปสามเหลยม

จงหาความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม

การสรางภาพเคลอนไหว กอนทจะกาหนดใหวตถใดเคลอนไหว ควรทจะทดลองลากวตถทตองการเคลอนไหวกอนวาสามารถเคลอนไหวไดหรอไม และเพอใหการเคลอนไหวนนมทศทางหรอขอบเขตการเคลอนไหว ควรสรางวตถทตองการใหเคลอนไหวอยบนวตถทเปนขอบเขต เชน ตองการสรางจดใหเคลอนทบนเสนรอบวงของวงกลม ควรสรางเสนรอบวงกอนแลวจงสรางจดบนเสนรอบวงนน จากนนเลอกจด และเลอก แสดงผล > เคลอนไหว... ถาตองการสรางปมเพอคลก เรม/หยดการเคลอนไหว สามารถทาไดโดย หลงจากเลอกวตถทตองการเคลอนไหวแลว เลอก แกไข > ปมแสดงการทางาน > เคลอนไหว...



การซอน/แสดงวตถ ใหเลอกวตถทตองการซอน/หรอแสดง จากนน ใหเลอก แกไข > ปมแสดงการทางาน > ซอน/แสดง จะไดปมเปนสวทซทจะ ซอนหรอแสดง วตถนน

การเคลอนท ในการเคลอนทวตถจากจดหนงไปยงอกจดหนงเราจะตองทาวตถนนเปน image ของวตถกอน และให image นนผกตดอยกบจดทจะเคลอนท [กาหนดจดอสระทอยนอกวตถขนมา 1 จด เลอกจดในวตถทตองการผกตดกบจดอสระจดน และเลอกจดอสระ เลอกการแปลง > ระบเวคเตอร จากนนเลอกวตถทงหมด > เลอกการแปลง > เลอนขนาน > เลอนขนาน จะได image ทผกตดกบจดอสระตามตองการ



ตอไปใหเลอกจดทผกตดกบ image และ จดปลายทางทตองการให image นนเคลอนทไป เลอก แกไข > ปมแสดงการทางาน > การเคลอนท และตอบ Ok (จะเลอก สมบตของปมตามตองการกอนการตอบ Ok กได) จะไดปมการเคลอนท ซงเปนสวทซทจะ กดใหวตถเคลอนท หรอ กดใหวตถหยดเคลอนท ถาตองการแกไข/เปลยนแปลงลกษณะการเคลอนท ใหคลกขวาทปมการเคลอนท และเลอกแกไขท สมบต

การนาเสนอ การนาเสนอเปนการรวมการทางานของปมหลาย ๆ ปม ใหอยในปมเดยวเพอสะดวกในการนาเสนอ ซงทาไดดงน เลอกปมตาง ๆ ทตองการนาเสนอตามลาดบ จากนน ใหเลอก แกไข > ปมแสดงการทางาน > การนาเสนอ...

การเปลยนแปลงวตถ การเปลยนแปลงวตถจากวตถตนแบบไปสวตถปลายทาง กระทาไดใน 5 ลกษณะ คอ

1. การยายวตถ เปนการยายตาแหนงของวตถไปยงตาแหนงทตองการ

1.1 การยายวตถโดยใชการกาหนดทศทาง

กอนทาการยายวตถจะตองกาหนดทศทางของการยายกอน โดยเลอกจด 2 จด ตามลาดบทศทางการยาย และเลอก การแปลง > ระบเวกเตอร



จากนนใหเลอกวตถทตองการยาย และเลอก การแปลง > เลอนขนาน > [Enter]

[ กอนทจะกด Enter จะสงเกตเหนวาในกรอบการเลอนขนานจะอยในสถานะเลอก เลอนขนาน เปน ตามทระบ และ เตรยมใหเลอก เลอนขนาน อยแลว]

1.2 การยายวตถโดยใชการกาหนดจดศนยกลาง กอนทาการยายวตถจะตองกาหนดจดศนยกลางของการยายกอน โดยเลอกจด 1

จด และเลอก การแปลง > ระบจดศนยกลาง (หรอคลกทจดนน 2 ครง) จากนนใหเลอกวตถทตองการยาย และเลอก การแปลง > เลอนขนาน จะมกรอบใหเลอกวาจะยายวตถในลกษณะใด ระหวาง เชงขว กบ สเหลยมมมฉาก (โดยปกตจะอยในสภาวะ เชงขว)

ถาเลอก เชงขว จะตองระบ ระยะทางคงท กบ มมคงท ถาเลอก สเหลยมมมฉาก จะตองระบ ระยะทางคงท ตามแนวนอน กบ

ระยะทางคงท ตามแนวตง จากนนใหเลอกเลอนขนาน



2. การหมนวตถ เปนการหมนวตถทวนเขมนาฬกา

กอนทาการหมนวตถจะตองกาหนดจดศนยกลางของการหมนกอน โดยเลอกจด 1 จด และเลอก การแปลง > ระบจดศนยกลาง (หรอคลกทจดนน 2 ครง) จากนนใหเลอกวตถทตองการหมน และเลอก การแปลง > การหมน จะมกรอบใหระบมมของการหมน



3. การเปลยนขนาดของวตถ เปนการลดหรอขยายขนาดของวตถ

กอนทาการเปลยนขนาดของวตถจะตองกาหนดจดศนยกลางของการเปลยนขนาดกอน โดยเลอกจด 1 จด และเลอก การแปลง > ระบจดศนยกลาง จากนนใหเลอกวตถทตองการเปลยนแปลงขนาด และเลอก การแปลง > ยอ/ขยาย... จากนนจะมกรอบใหระบอตราสวนของการเปลยนแปลงขนาด

4. การสะทอนของวตถ เปนการสรางเงาของวตถโดยมสวนของเสนตรงเปนแกนสะทอน

กอนทาการสะทอนวตถจะตองกาหนดแกนสะทอนกอน โดยเลอกสวนของเสนตรงเปนแกนสะทอน และเลอก การแปลง > ระบเสนสะทอน (หรอคลกทสวนของเสนตรง 2 ครง) จากนนใหเลอกวตถทตองการสะทอน และเลอก การแปลง > สะทอน



5. การเปลยนแปลงวตถตามเงอนไขทกาหนด เปนการเปลยนแปลงวตถตามเงอนไข และจานวนครงทเปลยนแปลง กอนทจะทาซา

ตองสรางจดปลายทางซง ขนอยกบจดทเลอกเพอกาหนดภาพแรกของการทาซา การสรางจดปลายทางสามารถทาไดดงน เชน ตองการสรางสวนของเสนตรงตอกบไปเรอย ๆ โดยเอยงทามมกนตามทกาหนดให เราตองสรางจดอสระขนมาสองจดเพอเปนจดปลายทงสองของสวนของเสนตรงทตองการทาซา เสนสวนของเสนตรงเชอมจดอสระทงสอง จากนนเลอกจดปลายจดหนงเปนจดศนยกลาง [เลอกจดปลาย เลอกการแปลง > ระบจดศนยกลาง]

เลอกมมทกาหนดให โดยคลกเลอกจด 3 สามจดของมมทกาหนดใหตามลาดบ โดยใหมกยอดมมอยลาดบท 2 เลอกการแปลง > ระบมม ตอไปใหเลอกจดปลายของสวนของเสนตรงทไมใชจดศนยกลาง เลอกการแปลง > หมน จะไดจดปลายทางการทาซาตามตองการ



เมอไดจดปลายทางของการทาซาแลว จงเรมทาซาได ดงน ใหเลอกจดอสระทงสองจดทสรางเปนสวนของเสนตรงทตองการทาซาตามลาดบจากจดทไมใชจดศนยกลาง ไปจดศนยกลาง เลอกการแปลง > ทาซา จะปรากฏกรอบการทาซาขน ใหคลกเลอกจดเรมตนของการทาซา [จากรปตวอยางจดเรมตนคอจดทลกศรช] และจดปลายทางของการทาซา [จากรป คอ จดทไมไดอยในสวนของเสนตรง] จะไดภาพการทาซา 3 ครงตามตองการ หากตองการทาซามากกวาหรอนอยกวา 3 ครง ใหคลกเปลยนแปลงไดท แสดงผล หรอใหเลอกรปททาซาแลว คลกเครองหมาย + หรอ - ตามตองการ



การสรางกราฟ

ในการสรางกราฟของฟงกชน ใหเลอก กราฟ > เขยนกราฟของฟงกชนใหม แลวพมพคาของฟงกชนทางคณตศาสตรลงในกรอบ [เชน f(x) = 2x2 + 3x - 5 ใหพมพเฉพาะสวน 2*x^2 + 3*x - 5 ลงไปในกรอบ]

นอกจากการเลอก กราฟ > เขยนกราฟของฟงกชนใหม เราอาจจะเลอกสรางฟงกชนกอน

การสรางกราฟไดโดยเลอก กราฟ > ฟงกชนใหม เมอไดฟงกชนแลว ถาตองการสรางกราฟใหเลอกฟงกชนแลวเลอก กราฟ > เขยนกราฟของฟงกชน

ในการสรางฟงกชน มการอานวยความสะดวกในการบนทกคาของฟงกชน กลาวคอ ถาตองการใสคาเฉพาะ เชน คา π สามารถเลอกไดจาก คาตาง ๆ หรอถาตองการใชคาฟงกชนพเศษ เชน ตรโกณมต สามารถเลอกไดจาก ฟงกชน และนอกจากนยงสามารถสรางคาพารามเตอรประกอบฟงกชนไดอกโดยเลอก กราฟ > พารามเตอรใหม เมอสรางพารามเตอรไวแลวเวลาใชพารามเตอรใหเลอกคลกทคาพารามเตอรนน ๆ



การหาจดตดระหวางกราฟ เนองจากกราฟใน GSP มการสรางไดใน 2 ลกษณะ คอ สรางจากเครองมอของ GSP

และสรางจากการเขยนกราฟของฟงกชน ดงนน การหาจดตดระหวางกราฟจากทมาทเหมอนกนและแตกตางกน สามารถทาไดดงตอไปน

1. การหาจดตดระหวางกราฟทสรางจากเครองมอของ GSP (ไดแก วงกลม เสนตรง สวนของเสนตรง รงส )ใหเลอกกราฟทงสองนน แลวเลอกสราง > จดตด

2. การหาจดตดระหวางกราฟทสรางจากการเขยนกราฟของฟงกชน คลกเลอกเครองมอกาหนดเอง > function Utilities > Find Intersection

จากนน ใหคลก เลอกทตวสมการของฟงกชน ทงสอง [โดยคลกเลอกทละสมการ]

แลวคลกเลอกจดตามแนวแกน x สองจด โดยคลกเลอกจดทหนงใหอยกอนจดตด แลว

เคลอนเมาสผานจดตด และคลกจดทสอง ในระหวางเคลอนเมาสผานจดตด พกดของจดตดปรากฏขน

คลกจดทหนงบรเวณน แลวเคลอนท เมาสไปทางขวา



3. การหาจดตดระหวางกราฟทสรางจากเครองมอของ GSP กบกราฟทสรางจากการเขยนกราฟของฟงกชน ใหสรางสวนของเสนตรงบนกราฟทสรางจากการเขยนกราฟของฟงกชนใหใกลหรอผานจดตด แลวหาจดตดระหวางกราฟทสรางจากเครองมอ GSP กบ

สวนของเสนตรงทสรางขนแทนกราฟจากฟงกชน ตามวธการหาจดตดในขอ 1.

การรวมจดกบบรเวณภายในของรปเหลยม บางครงเราตองการใหมจดเคลอนทโดยรอบของรปหลายเหลยมทเราสรางขน เราสามารถ

ทาไดดงน สรางจดอสระนอกรปหลายเหลยมขนมาหนงจด เลอกจดนน และเลอกบรเวณภายในรปเหลยม จากนนเลอกท แกไข > รวมจด กบ รปหลายเหลยม จดอสระนนจะวงเขาหาขอบของรปหลายเหลยมทนทและจะสามารถเคลอนทไปรอบ ๆ รปหลายเหลยมตามตองการ

การรวมขอความกบจด ในบางครงเราตองการใหขอความเคลอนทได แตเนองจากการเคลอนทตาง ๆ ใน GSP

เปนการเคลอนทของจด ดงนนเราจะตองนาขอความไปผก(รวม)ไวกบจด ซงสามารถทาไดดงน เลอกจดและขอความ ไปทแกไข พรอมกบกด Shift คางไว จะมคาสงรวมขอความกบ

จด ปรากฏขน ใหคลกทคาสงนน จะม image ของขอความจะเคลอนทไปรวมกบจดตามตองการ

[หามลบซอนขอความเดม ถาไมตองการใหเหนขอความเดมใหใชวธการซอนขอความ]



การวางรปผกตดกบจด ในกรณทเรานารปมาวางใน Sketch และตองการใหรปดงกลาวสามารถเคลอนทหรอ

เปลยนแปลงขนาดได เราจะตองใหรปดงกลาวนนผกตดอยกบจด ซงสามารถทาไดดงน กอนจะนารปมาวางใน Sketch ควรสรางจดอสระขนมา 1 หรอ 2 จด ใหเลอกจด

อสระ ดงกลาวกอนทจะวางรปลงใน Sketch (ในกรณทไมตองการยอ/ขยายขนาดของรปให

เลอกจดอสระเพยงจดเดยว) รปจะผกตดกบจดทเลอกนนตามตองการ



การสรางสเหลยมจตรสโดยใชการแปลง การสรางสเหลยมจตรสนอกจากจะใชวงเวยนแลวยงสรางมาประยกตใชการแปลงไดอกดงตอไปน

1. สรางจดมมสองจดแรกของสเหลยมจตรส [โดยสรางจดขนมาหนงจด เลอกจดดงกลาว แลวเลอก การแปลง > เลอนขนาน... จะปรากฏกรอบตามรป ใหเลอก เชงขว ใหระบความยาวในกรอบ โดยระยะทางคงท เชน 3 ซ.ม. และใหระบ ท มมคงท เปน 0 จากนนใหเลอก เลอนขนาน]

2. ใชจดมมจดหนงเปนจดศนยกลางของการหมน แลวหมนจดมมทเหลอไป 90 องศา จะไดจดมมทสาม



[เลอกจดมมจดแรกเปนจดศนยกลางการหมน โคยเลอกจดมม และเลอก การแปลง > ระบจดศนยกลาง (หรอ ดบเบลคลกจดนน) จากนนใหเลอก การแปลง > หมน... จะมกรอบใหระบ มมคงท เปน 90 องศา แลวเลอก หมน] 3. ยายจดมมทสามทเกดขนตามขอ 2. ไปตามแนวทศทางของสองจดแรก จะไดจดมทส

ของสเหลยม [สรางทศทางการยายจากจดแรก ไปจดทสอง โดย คลกเลอกจดแรก เลอกจดทสอง และเลอก การแปลง > ระบเวกเตอร จากนนใหเลอกจดทสาม และเลอก การแปลง > เลอนขนาน.... > เลอนขนาน] 4. จากสวนของเสนตรงเชอมจดทงส จะไดสเหลยมจตรสตามตองการ

[เลอกจดทงสตามลาดบ เลอก สราง > สวนของเสนตรง]

การใช Geometer’s Skectchpad


61

การเพมเครองมอใน GSP เครองมอการสรางรปตางตาง ๆ ใน GSP มเพยง สรางจด สรางเสน และสรางวงกลมเทานน เราสามารถสรางเครองมอสรางรปเพมเตมได เชน ตองการสรางเครองมอสรางสเหลยมจตรส เราจะตองสรางสเหลยมจตรสขนมากอนดงน

5. สรางจดอสระสองจดเปนจดมมสองจดแรกของสเหลยมจตรส [เลอกเครองมอลงจด สรางจดสองจด] 2. สรางจดทสามโดยใชจดทหนงเปนจดศนยกลางของการหมนและหมนจดทสองไป 90 องศา [เลอกจดทหนงเปนจดศนยกลางการหมนโดยดบเบลคลกทจดทหนง แลวเลอก การแปลง > หมน... และใหระบ มมคงทเปน 90 องศา เลอก หมน]

3. สรางจดทสโดยยายจดมมทสามทเกดขนตามขอ 2. ไปตามแนวทศทางของสองจดแรก จะไดจดมทสของสเหลยม

[สรางทศทางการยายจากจดแรก ไปจดทสอง โดย คลกเลอกจดแรก เลอกจดทสอง และเลอก การแปลง > ระบเวกเตอร จากนนใหเลอกจดทสาม และเลอก การแปลง > เลอนขนาน... > เลอนขนาน]



4. จากสวนของเสนตรงเชอมจดทงส จะไดสเหลยมจตรสตามตองการ

[เลอกจดทงสตามลาดบ เลอก สราง > สวนของเสนตรง]

5. สรางเครองมอการสรางสเหลยมจตรส จะตองเลอกรปสเหลยมจตรสตามลบดบการ

สราง ดงน เลอกจดท หนง เลอกจดทสอง เลอกจดทสาม เลอกจดทส และเลอกสวนของเสนตรงแตละเสนทเปนดานของสเหลยมใหครบสเสน จากนนใหคลกท เครองมอกาหนดเอง เลอก สรางเครองมอใหม แลวระบชอ เครองมอ



63

6. การนาเครองมอทสรางไวมาใช ใหคลกท เครองมอกาหนดเอง และเลอกเครองมอทมชอตามทตงชอไว จากนนไปคลกลงใน Sketch จะไดรปตามตองการ

จงสรางเครองมอสรางรปสามเหลยม จงสรางเครองมอสรางรปสเหลยมรปวาว จงสรางเครองมอสรางรปสเหลยมจตรสโดยสามารถเปลยนแปลงความยาวของดานได



การสรางแถบเลอนคาใน GSP และการนาไปใช เราสามารถสรางแถบเลอนแสดงการเปลยนแปลงของคาพารามเตอร ใน GSP ไดดงน 1. สรางจดสองจดทมระยะหางกน 1 หนวย [โดย สรางจดขนมา 1 จด เลอกจดทสรางขนมาน เลอก การแปลง > เลอนขนาน... จะขนกรอบใหเลอก เวกเตอรของการเลอนขนาน เปน เชงขว, โดยระยะทางคงท เปน 1 ซ.ม., ท มมคงท เปน 0 และเลอก เลอนขนาน]

2. สรางเสนตรงผานจด 2 จดน [เลอกจดทงสอง เลอก สราง > เสนตรง]

3. สรางจดท 3 บนเสนตรง [เลอกเสนตรง เลอก สราง > จดบน เสนตรง]

4. สรางคาพารามเตอร [เลอก จด 1, จด 2 และจด 3 ตามลาดบ เลอก การวด > อตราสวน จะไดคาพารามเตอร ใหคลกขวาทคาพารามเตอรทไดแกไข สมบต > ปาย เปน a แลวคลก Ok ]



65

5. สรางสวนของเสนตรงเชอมระหวางจดท 1 และจดท 3 6. ซอนจดท 2 และเสนตรง 7. ลากจดท 3 แลวสงเกตคาพารามเตอร a ทเปลยนแปลง

ใหสรางแถบเลอนแสดงคาพารามเตอร b หมายเหต ในทางปฏบตเราจะสรางแถบเลอนเพยงครงเดยว สวนแถบเลอนอน ๆ จะใชการคดลอกแถบเลอนเดม โดยการ เลอกแถบเลอนและคาพารามเตอรตนฉบบ และเลอก แกไข > คดลอก แลวเลอก แกไข > วางรป จากนนแกไขชอพารามเตอร โดยการ คลกขวาทคาพารามเตอรทตองการแกไขชอ ท ปาย เชนเดยวกบขอ 4 เราสามารถนาคาพารามเตอร a และ b ไปใชสรางฟงกชนใหมพรอมกบสรางกราฟ

ของฟงกชนไดดงน 8. เลอก กราฟ > เขยนกราฟของฟงกชนใหม... 9. พมพคาของฟงกชนในเครองคดเลข

[สมมตวาจะสรางฟงกชน f(x) = ax2 + b ใหดาเนนการดงน



9.1 คลกทคาพารามเตอร a 9.2 พมพ *x^2 +

9.3 คลกทคาพารามเตอร b 9.4 คลก Ok ]



พสจนทฤษฎบทปทากอรสโดยการแบงสวน (Dissection) 1. สรางสามเหลยมมมฉาก ABC กาหนดชอดาน a, b และ c 2. สรางสเหลยมจตรสบนดาน a, b และ c 3. สรางจดศนยกลางของสเหลยมจตรสบนดาน b 4. สรางเสนตรงผานจดศนยกลางและขนานกบดาน c 5. สรางเสนตรงผานจดศนยกลางและตงฉากกบดาน c 6. สรางจดตดของเสนขนานและเสนตงฉากกบดานของสเหลยมจตรสบนดาน b

ac

b

B

C A

ac

b

B

C A

ac

b

B

C A


โปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบต

7. สรางบรเวณภายในของรปสเหลยมแตละรปทถกแบง พรอมกาหนดสทแตกตางกน 8. ซอนเสนตรงทงสองเสน 9. สรางบรเวณภายในของสเหลยมจตรสบนดาน a 10. ยายบรเวณภายใน (พรอมจดหลก) ของรปสเหลยมทง 5 รป ออกมาภายนอกรป [โดย กาหนดจดอยภายนอกรป จานวน 5 จด ยายบรเวณภายในของสเหลยมบนดาน a พรอมกบจดบนซาย ไปยงจดภายนอกทใกลทสด ยายบรเวณภายในของสเหลยมทถกแบงแตละชนพรอมจดศนยกลาง ไปยงจดภายนอกทใกลทสด] 11. สรางการเคลอนท (Movement) บรเวณภายในทยายออกมานอกรปไปไวในตาแหนงเดมทยาย

ออกมา

ac

b

B

C A

ac

b

B

C A



12. สรางการเคลอนท (Movement) บรเวณภายในทยายออกมานอกรปไปไวในตาแหนงทควรอยในรปสเหลยมจตรสบนดาน c

13. ซอนบรเวณภายในของรปในตาแหนงเดมทกรป 14. เลอกเฉพาะปมทสรางตามขอ 11. ทงหมด เพอสรางเปนปม นาเสนอ (Presentation) กาหนด

ชอวา Reset 15. เลอกเฉพาะปมทสรางตามขอ 12. ทงหมด เพอสรางเปนปม นาเสนอ (Presentation) กาหนด

ชอวา Movement 16. ซอนปมทงหมดทสรางตามขอ 11. และ 12.

ac

b

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

Move Point

B

C A

ac

b

Reset

Actions

B

C A


โปรแกรมสาเรจรปดานคณตศาสตร รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบต

Dynamic Condit Euclid Coolidge

a

b

cG

K'

J

M

L

B

C A

H

K

F

P

N

M

L

K J

H

G

F

E

DB A

C

F

E

B A

C

K

ac

b

M

LK

A' G

F

E

D

J H

B

C A



การนา GSP ไปใชบน Web

หลงจากการสราง Sketch แลวถาเราบนทกขอมล โดยเลอก แฟม > บนทกเปน จะมกรอบบนทกเปนปรากฏขนมา หลงจากระบชอแฟมขอมล ท File name แลวใหเปลยนสวนขยายท Save as type จาก

Sketchpad Document(*.gsp) เปน เวบเพจ HTML/JavaSketchpad(*.htm) โปรแกรมจะบนทกแฟมขอมลทมนามสกลเปน htm ทสามารถนาไปขน Web ไดทนท แตจะตอง down load Java plug-in มาตดตง และ Copy โฟรเดอร (Folder) JSP ไปอยในตาแหนงทแฟมขอมลนอยดวย

การเขยน JavaSketchpad

JavaSketchpad (JSP) ใชเพอการเรยนรคณตศาสตร ทสามารถปรบเปลยนคาตวแปรในสมการ หรอรปทรงทางเรขาคณต เพยงใชเมาสคลกลากไปมา สามารถเลนและแสดงผลบน web browser ได

วธการพฒนา ทาได 2 วธ ดงน

1. แปลง files ทสรางขนในโปรแกรม The Geometer's Sketchpad (GSP) โดย save as เปน .htm แลวนาไปแสดงผลบน web browser ไดทนท แตอาจจะมบางคาสงท GSP ไมสามารถแปลงเปน JSP (file.htm) ไดอยางอตโนมต จาเปนตองเขยนคาสงเพมเขาไปเอง

2. เขยนคาสงลงบน file.html ไดเลย โดยตองใช javasketchpad applet: jsp4.jar ซง download ไดท http://www.dynamicgeometry.com/JavaSketchpad/About_JavaSketchpad.htmldownload_center.html

การเรยกใช jsp applet ใน file.html ใหเรยก applet ภายในสวน <body> </body> ดงน

<html> <body> <APPLET CODE="GSP.class" ARCHIVE="jsp4.jar" CODEBASE="jsp" WIDTH=300 HEIGHT=90 ALIGN=LEFT> <PARAM NAME=... VALUE=...> . (สวนน คอ การกาหนดรปแบบการแสดงผล . เชน ขนาด ตาแหนง ส แบบอกษรโดยรวมของ applet)



. <PARAM NAME=Construction VALUE=" . (สวนน คอ การสรางรปทรงวตถ สมการ . การคานวณและขอกาหนดตางๆ ภายใน applet) . "> </APPLET>

</body> </html>

โครงสรางไฟล html

ไฟล html ประกอบดวย 2 สวน คอ สวนหว (head section) กบ สวนเนอหา (body section) ทงสองสวนจะอยภายใน Tag <HTML> … </HTML>

1. สวนหว (head section) เปนสวนทใชอธบายขอมลเฉพาะของหนาเวบ เชน ชอเรอง ผจดทา คยเวรด (keyword) สาหรบการคนหา โดยม tag สาคญ ดงน

<HEAD>

<TITLE> ขอความอธบายชอเรองของเวบ </TITLE>

<META HTTP-EQUIV=”Content-Type” CONTENT=”text/html;charset=TIS-620”>

<META NAME=”Author” CONTENT=”ชอผพฒนาเวบ”>

<META NAME=”KeyWords” CONTENT=”ขอความ 1, ขอความ 2,...”>

</HEAD>

ขอความทใชเปน TITLE ไมควรพมพเกน 64 ตวอกษร ไมตองใสลกษณะพเศษ เชน ตวหนา เอยง หรอ ส และควรใชเฉพาะภาษาองกฤษทมความหมายครอบคลมถงเนอหาของเอกสารเวบ หรอมลกษณะเปนคาสาคญในการคนหา (Keyword)

การแสดงผลจาก Tag TITLE บนบราวเซอรจะปรากฏขอความทกาหบ Tag TITLE ในสวนบนสดของกรอบหนาตาง (ใน Title Bar ของ Window นนเอง)

Tag META จะไมปรากฏผลบนบราวเซอร แตจะเปนสวนสาคญ ในการทาคลงบญชเวบ สาหรบผใหบรการสบคนเวบ (Search Engine) และคาอน ๆ ของการแปลความหมาย

การพมพชดคาสง HTML สามารถพมพไดทงตวพมพเลก ตวพมพใหญ หรอผสม การยอหนา เวนบรรทด หรอชองวาง สามารถทาได โปรแกรมบราวเซอรจะไมสนใจเกยวกบระยะเวนบรรทด ยอหนา หรอชองวาง



2. สวนเนอหา (body section) เปนสวนเนอหาหลกของเวบ ซงการแสดงผลจะตองใช Tag จานวนมาก ขนอยกบลกษณะของขอมล เชน ขอความ รปภาพ เสยง วดโอ หรอ ไฟลตาง ๆ

การปอนคาสงสวนน สามารถปอนตดกน หรอ 1 บรรทดตอ 1 คา กได แตมกจะยดรปแบบทอาน คอทาการยอหนาในชดคาสงทเกยวของกน ทงนใหปอนคาสงทงหมดภายใน Tag <BODY> … </BODY> โดยแบงเปนกลมคาสงไดดงน

- กลมคาสงเกยวกบการจดการพารากราฟ

- กลมคาสงจดแตง/ควบคมรปแบบตวอกษร

- กลมคาสงการทาเอกสารแบบรายการ (List)

- กลมคาสงเกยวกบการทาลงค

- กลมคาสงจดการรปภาพ

- กลมคาสงจดการตาราง (Table)

- กลมคาสงควบคมเฟรม

- กลมคาสงอน ๆ

สรปรปแบบคาสงเรมตนการสรางเวบมดงน

<HTML>

<HEAD>

<TITLE> ขอความอธบายชอเรองของเวบ </TITLE>

<META HTTP-EQUIV=”Content-Type” CONTENT=”text/html;charset=TIS-620”>

<META NAME=”Author” CONTENT=”ชอผพฒนาเวบ”>

<META NAME=”KeyWords” CONTENT=”ขอความ 1, ขอความ 2,...”>

</HEAD>

<BODY>

…………………………………

</BODY>

</HTML>



การกาหนดสพนหลงของตวอกษร จะทาการเขยนในสวนของคาสง <BODY> โดยมรปแบบการกาหนดสพนหลง 2 แบบ ดงน

1. ระบชอของส เชน red green yellow blue เปนตน มรปแบบดงน <BODY BGCOLOR=”ชอของส”> เชน <BODY BGCOLOR=”yellow”>

2. ระบสแบบตวเลขฐาน 16 เชน #FF66FF มรปแบบดงน <BODY BGCOLOR=”#RGB”> เชน <BODY BGCOLOR=”#FF66FF”>

การกาหนดสของตวอกษร จะทาการเขยนในสวนของคาสง <BODY> โดยมรปแบบการกาหนดสตวอกษร 2 แบบ เชนเดยวกบสพนหลง ดงน

<BODY TEXT=”#RGB หรอ ชอของส”> เชน ถาตองการกาหนดสพนเปนส เหลอง และสตวอกษรเปนสนาเงน สามารถกานหดได

ดงน <BODY BGCOLOR=”yellow” TEXT=”blue”> หรอ <BODY BGCOLOR=”yellow” TEXT=”#FF0066”>

การกาหนดขนาดตวอกษร จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง <Hn> โดย n เปนตวเลขขนาด ม 6 ระดบ ตงแต 1 ถง 6 เชน <H3> …….. </H3> ใชกาหนดขนาดของหวเรอง 14 pixel และตวหนา หรอเขยนตวอกษรอยใน Tag ของคาสง …….. คาขนาดตวอกษร จะอยระหวาง 1 ถง 7 คาปกตคอ 3 หรออาจะกาหนดโดยมเครองหมาย + - หนาตวเลขกได แตจะตองอยระหวาง -2 ถง +4

การกาหนดตวอกษรใหมความหนา จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง ดงน ….. 



การกาหนดตวอกษรใหมการเอน จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง ดงน ….. การกาหนดรปแบบตวอกษร จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง ดงน ….. Font name คอชอของรปแบบตวอกษร เชน AngsanaUPC, MS Sans Serif การกาหนดตวอกษรกระพรบ จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง <BLINK> ดงน <BLINK> ….. </BLINK>

การกาหนดตวอกษรเคลอนท จะตองเขยนตวอกษรอยในสวน Tag ของคาสง <MARQUEE > ดงน <Marquee> ….. </Marquee> การขนบรรทดใหม การขนยอหนาใหม การกาหนดตาแหนงการแสดงผล … การกาหนดตวอกษรยกระดบ … การกาหนดตวอกษรพวงทาย(ตวหอย) … การนาเสนอรปภาพ <img src=”ชอรปภาพทมนามสกลเปน .gif หรอ .jpg”> <img src=”ชอรปภาพ” alt=”ขอความอธบาย” align=”top/middle/bottom/left/right” width=”คาตวเลข” height=”คาตวเลข” hspace=”คาตวเลข” vspace=”คาตวเลข” border=”คาตวเลข”> การนาเสนอรปภาพมาเปนพนหลง <body background =”ชอรปภาพทมนามสกลเปน .gif หรอ .jpg”>



การนาเสนอไฟลวดโอ <img dynsrc=”ชอรปภาพทมนามสกลเปน .avi” loop=”จานวนรอบในการแสดงผล”>

การนาเสนอไฟลเสยง <bgsound src=”ชอรปภาพทมนามสกลเปน .wav” loop=”ตวเลขในการวนรอบ”>

ขอกาหนดและวธการเขยนคาสงใน javasketchpad ดวยตวเอง (ไมจาเปนตองม Geometer's Sketchpad)

1. ขอกาหนดในสวน <APPLET...>

2. การกาหนดรปแบบการแสดงผลโดยรวมของ applet (java parameters) 2.1) Offscreen parameter 2.2) Frame parameter 2.3) Background color parameters 2.4) Font parameters 2.5) Measurement Unit parameters

3. การสรางรปทรง การคานวณภายใน applet (construction grammars) - Comments - ObjectName - ObjectArguments 1.) numericConstants 2.) objectReferences 3.) strings - OptionalFormats 1.) Named Color formats 2.) Full Color formats 3.) Line Weight formats 4.) Visibility formats 5.) Text Suffix formats 6.) Auto-start formats 7.) Label formats 8.) Traced formats



9.) Layer formats 10.) Image formats 11.) Text Style formats 3.1) คาสงในการสรางจดแบบตางๆ 3.2) คาสงในการสรางเสนตรงแบบตางๆ 3.3) คาสงในการระบายสภายในวตถ 3.4) คาสงในการสรางวงกลม 3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต 3.6) คาสงในการใสรปภาพ 3.7) คาสงในการวดและคานวณ 3.8) คาสงในการสรางปมบงคบแบบตางๆ 3.9) คาสงในการกาหนดระบบแกน 3.10) คาสงในการกาหนดตาแหนงของวตถใหเลอนตามกน 3.11) คาสงในการเขยนขอความหรอคาอธบาย

4. การเกดขอผดพลาด 5. ตวอยาง JSP ทแสดงอยบน web browser

1. ขอกาหนดในสวน <APPLET...> ใหกาหนด ตามน คอ 1.1) CODE="GSP.class" ARCHIVE="jsp4.jar" CODEBASE="jsp"

ขอพงระวง

• สามารถกาหนดตามแบบดานบนไดเลย ถา file.htm ถกเกบไวทตาแหนงเดยวกบ folder jsp แตถาเกบ file.htm ไวทอน

• ใหกาหนด ตาแหนงทอยของ jsp ใหถกตอง เชน ถา folder jsp อยท C:\My Documents กตองชตาแหนงไปท CODEBASE="C:\My Documents\jsp เปนตน

• สวน jsp4.jar, GSP.class & files.class อยภายใน folder jsp อยแลว ไมตองกาหนดเพมเตมและหามเปลยนแปลง เพราะจะทาใหใชงาน applet ไมได

1.2) WIDTH=... HEIGHT=... กาหนดขนาดของ applet เปน pixels 1.3) ALIGN=... กาหนดตาแหนงของ applet เชน LEFT, RIGHT หรอ CENTER



1.4) HSPACE=... VSPACE=... กาหนดระยะหางของตวอกษรใน html ทลอมรอบ applet เชน

HSPACE=5 VSPACE=10 ตวอกษรจะหางจาก applet ขางซายและขวา ขางละ 5 pixels และ หางจากดานบนและลาง ดานละ 10 pixels หากไมกาหนด จะมคา = 0 ทกดาน

ตวอยาง jsp applet ตามทกาหนด ดงน <APPLET CODE="GSP.class" ARCHIVE="jsp4.jar" CODEBASE="jsp" WIDTH=150 HEIGHT=200 ALIGN=LEFT HSPACE=5 VSPACE=0> <PARAM NAME=Construction VALUE=""> ถา applet ไมปรากฏขน แสดงวา web browser ของทานไมสามารถใชงานไดกบ java applet </APPLET>

ขอสงเกต ขอความ "ถา applet ไมปรากฏขน แสดงวา web browser ของทานไมสามารถใชงานไดกบ java applet" จะปรากฏกตอเมอ applet ของทานไมทางาน และทานสามารถพมพคาสงมาตรฐานของ html ลงในสวนนได ซงจะแสดงผลกตอเมอ applet ไมทางาน

2. การกาหนดรปแบบการแสดงผลโดยรวมของ applet (java parameters)

โดยทวไป จะมรปแบบ ดงน <PARAM NAME=VariableName VALUE=variableValue> ซง JSP สามารถกาหนด VariableName และ variableValue ไดดงตอไปน

2.1) Offscreen parameter

<PARAM NAME=Offscreen VALUE=1> VALUE มคาเปน 0 หรอ 1, คา 1 เปนการกาหนดการใช offscreen หรอ 'double-buffered' graphics เพอชวยใหภาพเคลอนไหวไดเรยบเนยน แตจะทาใหลดความเรวลง หากวา browser ของทานเปน double-buffer อยแลว กไมควรกาหนดคาเปน 1 ถาไมกาหนดเลย คาจะเทากบ 1



2.2) Frame parameter

<PARAM NAME=Frame VALUE=1> VALUE มคาเปน 0 หรอ 1, คา 0 คอไมมกรอบ, คา 1 มกรอบรอบ applet ขนาด 1 pixel ซงจะอยในสวน width และ height ของ applet ไมไดเพมขนจากขนาด applet ทกาหนดไวเดม หากไมกาหนดเลย คาจะเทากบ 1

2.3) Background color parameters

<PARAM NAME=BackRed VALUE=0> <PARAM NAME=BackGreen VALUE=200> <PARAM NAME=BackBlue VALUE=255>

เปนการกาหนดสพนของ applet โดยคาทกาหนดได ตงแต 0-255, เชน สดา จะเปน 0 ทง 3 คา, สวนสขาว กคอกาหนด 255 ทกคา ถาไมกาหนดเลย พนจะเปนสเทา คอเทากบ 200 ทกคา

2.4) Font parameters

ถาตองการให applet แสดงผลเปนภาษาไทย จาเปนตองใช Java Runtime Environment (JRE): Java 2 v.1.4.1_03 เมอ download เสรจแลวจงทาการตดตง และจาเปนตอง restart เครองใหม เพอให browser ใช JRE ได

• การกาหนดอกษร สาหรบคาอธบาย หรอ ปายชอ

<PARAM NAME="LabelFont" VALUE=AngsanaUPC> <PARAM NAME="LabelSize" VALUE="20"> <PARAM NAME="LabelBold" VALUE="1"> <PARAM NAME="LabelItalic" VALUE="0">

สาหรบแบบอกษร (LabelFont), value อาจเปน TimesRoman หรอ Courier หรออนๆ กได ขนาดอกษร (LabelSize) มคาระหวาง 6 - 100 points ความเขมของอกษร(LabelBold) คา 1 คอ เขม, 0 คอ ธรรมดา



อกษรเอยง (LabelItalic) มคาเปน 1, และไมเอยง คาเปน 0 ถาไมกาหนดเลย จะเปน อกษรแบบ Helvetica ตวเขม ขนาด 12 points

• การกาหนดอกษร สาหรบปมปฏบตการ (Action Button)

<PARAM NAME="ActionFont" VALUE=IrisUPC> <PARAM NAME="ActionSize" VALUE="24"> <PARAM NAME="ActionBold" VALUE="1"> <PARAM NAME="ActionItalic" VALUE="0">

ขอกาหนดตางๆ จะเปนแบบเดยวกบทใชใน อกษรปายชอ ทกลาวแลวขางตน ถาไมกาหนดเลย จะเปน TimesRoman ตวธรรมดา ขนาด 14 points

• อกษร แสดงในสวนการวด และการคานวณ (Measurement Font)

<PARAM NAME="MeasureFont" VALUE=Tahoma> <PARAM NAME="MeasureSize" VALUE="18"> <PARAM NAME="MeasureBold" VALUE="0"> <PARAM NAME="MeasureItalic" VALUE="1">

ขอกาหนดตางๆ จะเปนแบบเดยวกบทใชใน อกษรปายชอ ทกลาวแลวขางตน ถาไมกาหนดเลย จะเปน Helvetica ตวธรรมดา ขนาด 10 points

2.5) Measurement Unit parameters

<PARAM NAME=MeasureInDegrees VALUE=1>

<PARAM NAME=DirectedAngles VALUE=0>

คา MeasureInDegrees เปน 0 สาหรบการวดมมทเปน radians, และเปน 1 สาหรบการวดทเปนองศา degrees ถาไมกาหนด คาจะเปน radians คอ 0

คา DirectedAngles เปน 0 แสดงวา การวดคาอยระหวาง 0...pi radians หรอ 0...180 degrees, ถาเปน 1 การวดจะอยภายใน -pi...pi radians หรอ -180...180 องศา ถาไมกาหนด คาจะเปน 1 คอ (-pi...pi), หรอ (-180...180)



3. การสรางรปทรง การคานวณภายใน applet (construction grammars)

ในสวนน กจดเปน parameter หนงใน applet โดยกาหนดไว ดงน

<PARAM NAME=Construction VALUE=" ................... ">

ในสวน VALUE คอ การกาหนดรปทรง และการคานวณตางๆ ทจะปรากฏภายใน applet โดยมรปแบบ ดงน

VALUE= " {Comment} objectName(objectArguments)[optionalFormats]; {Comment} objectName(objectArguments); ..... "

Comments

ใสเพอบอกลาดบของคาสง เชน {1} แสดงวาเปนคาสงท 1 เพอใชในการอางองตอไป ขอความใดๆ ถาอยใน { } แสดงวาเปน comment

ObjectName

บอกถงชอคาสงทใชในการวาดรป หรอคานวณ เชน Point, Slope, Calculate เปนตน รายละเอยดของคาสงทงหมด แสดงอยในหวขอ คาสงการสรางวตถ

ObjectArguments

ขอกาหนดตางๆ ในสวนนใชเพอกาหนดเงอนไขทจาเปนสาหรบการสรางรป หรอใชคานวณในสวนทเปนคาสง (ObjectName) ขางตน โดยปกตแลว แตละขอกาหนดนจะถกแบงดวยจลภาค คอ , ซงขอกาหนดตางๆ แบงออกเปน 3 ประเภท ดงน

1. numericConstants คอ ตวเลขตางๆ อาจจะมเครองหมายลบ หรอเปนเลขทศนยม 1 ตาแหนง กได เชน Point(10.5,32); เปนตน

2. objectReference คอ การอางถงลาดบคาสงตางๆ ทใชวาดรป และคานวณ แตอางองไดเฉพาะคาสงกอนหนาเทานน คาสงทอยหลงจะอางถงไมได เชน Segment(3,1); อาง



ถงคาสงท 3 และ 1 ซงตองอยกอนหนาคาสง Segment อาจเปนคาสงการสรางจด Point เพอใชในการลากสวนของเสนตรง

3. strings หมายถง ตวอกขระใดๆ ทอยภายในเครองหมาย ' ' เชน 'ความชน = ' เปนตน เราสามารถทจะพมพคาสงวา ' ทดลองเลอนเสน ' 'AB' ' ' แลวเราจะไดขอความออกมาเปน ทดลองเลอนเสน 'AB' ขอระวง สญลกษณ " หมายถงการจบคาสงหลกของการสรางรปและการคานวณ เปนการสนสด คาสง Construction

OptionalFormats

ใชเพอกาหนดรปแบบและสของวตถ การแสดงผลของ ObjectName ซงคาทใชกาหนดจะอยภายในเครองหมาย [..., ..., ...] โดยมจลภาคคนระหวางคาเหลานน ตอไปคอการกาหนดรปแบบตางๆ มดวยกน 11 ประเภท แต ไมใชทกประเภททสามารถจะใชไดกบทก ObjectName

1. Named Color formats เราสามารถกาหนดสดวยชอใหกบวตถอะไรกได เชน point (35, 50) [green];

คอการสรางจดทตาแหนง (35, 50) สเขยว และถาไมกาหนด JavaSketchpad กจะมคาทกาหนดไวใหแลวโดยอตโนมต

red color(255, 0, 0) green color(0, 255, 0)

blue color(0, 0, 255) black color(0, 0, 0)

magenta color(255, 0, 255) white color(255, 255, 255)

cyan color(0, 255, 255) yellow color(255, 255, 0)

2. Full-Color formats เราสามารถจะกาหนดสใดๆกได ใหกบวตถอยางใดอยางหนง โดยกาหนดอยภายในเครองหมาย [color(แดง, เขยว, นาเงน)]; จะเปนการผสมระหวางสทง 3 โดยมคาตงแต 0-255 เหมอนกบการกาหนด Named Color formats ตวอยาง เชน Line(18,17)[color(128, 0, 128)]; คอคาสงการลากเสนสมวง จากคาสงท 18 ไปยง 17



3. Line Weight formats คอการกาหนดความหนาของเสนใดๆ เชน ray, line, segment, circle โดยพมพ thick ยกตวอยาง Segment(2,1)[color(0,137,25),thick]; คอสวนของเสนตรงทลากจากคาสงท 2 ทสรางจด ไปยงคาสงท 1 กาหนดสให และใหเสนเปนเสนหนา ถาไมกาหนดจะเปนเสนบาง และ JavaSketchpad ไมสามารถสรางเสนประได

4. Visibility formats สามารถกาหนดไมใหแสดงผลสวนหนงสวนใดกไดภายใน applet โดยพมพ hidden เชน Circle(7,8)[..., ..., hidden]; เปนตน ถาไมกาหนด วตถใดๆ จะแสดงผลเสมอ

5. Text Suffix formats การเขยนขอความตอทายน ใชไดเฉพาะกบคาสงดานการวดเทานน หากนาไปใชกบคาสงอนๆทไมเกยวกบเรองการวด, applet จะเกดขอผดพลาดขน และจะไมแสดงผลเลย, ตวอยางการเขยนขอความตอทาย เชน Slope(19,500,300,'ความชน = ')[suffix(' หนวย') , blue]; ผลทแสดง คอ ความชน = 0.75 หนวย

6. Auto-start formats คาสงนใชเฉพาะกบคาสงการสรางปมเทานน หากนาไปใชกบคาสงอน จะเกดการผดพลาดขน คาสงนใหสงโดยพมพคาวา auto หมายถง เมอเปด applet ขนมา ปมสงการนนจะทางานทนท โดยไมตองรอใหผใชงานตองลงมอกดเอง เหมาะกบการทาภาพเคลอนไหว เชน AnimateButton(84,2,'Animate')(9,6)(5)(0)(1)[black, hidden, auto]; และโดยปกตแลวคาสง auto นควรใชเพยงครงเดยว และไมควรใชกบคาสง ShowButton และ HideButton เพราะผใชไมสามารถเหนเหตการณทเกดขนไดท

7. Label formats ใชไดกบคาสงการสรางจดเทานน เชน Point(50, 100) [label('Center'), white]; จะไดจดสขาวทตาแหนง (50, 100) โดยมคาวา Center กากบอยดวย

8. Traced formats บงบอกถงการทงรอยไวหลงจากวตถนนเคลอนทไป โดยพมพคาสงวา traced เชน Intersect(12,11)[label('P'), traced, color(200,200,200)]; ถาไมกาหนด จะไมมการทงรองรอยไว

9. Layer formats สามารถกาหนดใหวตถหนงอยดานบนของวตถอนทซอนทบกนได โดยกาหนดคาจานวนเตมใน layer(...) คาตงแต 1..1000, layer ทมคามากจะอยบนคาทนอยกวา โดยไมจาเปนตองเรยงลาดบ เชน



Polygon(1,2,3)[layer(10), white]; Polygon(4,5,6)[layer(20), blue]; Circle interior(7)[layer(5)]; จะปรากฏ รปเหลยมสนาเงนอยบนสด สขาวอยชนทสอง และวงกลมทบถกทบอยดานลางสด ถาไมกาหนด รปทสรางกอนจะอยบน รปทสรางหลง และโดยปกต ใน JSP จะเรยงลาดบวตถ เชน จดจะอยบนรปทรงอนๆ เสมอ สาหรบในกรณน ถาไมกาหนด รปเหลยมสขาวจะอยบนสด ตามดวยสนาเงน และวงกลมทบ

10. Image formats คอการใชรปภาพ (.gif หรอ .jpg) แสดงแทนขอความในปมปฏบตการตางๆ โดยทรปภาพนนตองเกบอยตาแหนงเดยวกบ CODEBASE เชน ShowButton(10,10,'unused')(1, 2, 3)[image('map.gif')]; ปมจะไมแสดงขอความ unused แตจะแสดงรป map.gif แทน

11. Text Style formats เราสามารถกาหนดรปแบบอกษรเฉพาะใดๆ ไดใหกบขอความหนงๆ ในสวนทเปนหวขอ คาอธบาย หรอ การวดได โดยมลกษณะ ดงน

• bold

• italic

• plain

• size(number)

• font(string)

• justifyLeft

• justifyRight

• justifyCenter

ตวอยาง เชน FixedText(10, 10, 'Pythagorean Theorem')[bold, size(24), font('Courier')];)]; คาวา Pythagorean Theorem จะถกแสดงทตาแหนง (10,10) เปนอกษรตวเขม ขนาด 24 จด อกษรแบบ Courier

ขอกาหนดขางตนทงหมดน จะประกอบกนเปนคาสงในการสรางรป และการคานวณ ดงจะแสดงในหวขอถดไปน



คาสงทงหมดทใชไดกบ JSP รนท 4 น แสดงโดยแบงตามประเภทของคาสง โดยมเพยงรายละเอยดของ objectName และ (objectArguments) เทานน สวน [optionalFormats] จะใสหรอไมกได

3.1) คาสงในการสรางจดแบบตางๆ

3.1.1) Point (num1, num2);

การสรางจด ทตาแหนง (num1, num2) คอ (x, y) เทยบกบระบบแกนของหนาตาง applet ซงมหนวยเปน pixel จดทสรางขนนสามารถลากใหเลอนไปมาไดภายใน applet

3.1.2) FixedPoint (num1, num2);

การสรางจดบนระนาบ (x, y) ของ applet เชนเดยวกบขางตน แตจดทสรางน ไมสามารถเลอนไปมาได จะถกยดตด ณ ตาแหนงทกาหนดตาแหนงเดยวเทานน

หมายเหต ใน Geometer's Sketchpad นนไมสามารถกาหนด FixedPoint ได จดทกจดทสรางใน Sketchpad สามารถเลอนได แตเพอความสะดวก ใน JSP สามารถกาหนดให จดบางจดเลอนได ในขณะทบางจดอยกบท

3.1.3) Midpoint (objRef)

สรางจดกงกลางขนบนสวนของเสนตรงตางๆ (segment) ทแทนดวย objRef

3.1.4) Point on object (ojRef, number);

สรางจดทมขอบเขตภายในวตถ objRef ซงอาจจะเปน segment, ray, line, circle, polygon. โดยท number เปนตวกาหนดตาแหนงของจดทสมพนธกบขอบเขตของวตถนนๆ เชน

Point on object (1, 0.50);

ถาวตถ 1 แทนวงกลม จดจะถกสรางท 0.5 radian ของวงกลม ซงเทากบ 28.6 องศา

แตถาวตถ 1 แทนเสนตรง จดจะถกสรางทกงกลางของเสนตรงเสนนน



จดตางๆ ทถกสรางขนน สามารถเลอนไปมาไดเฉพาะภายในวตถนนๆ เทานน

3.1.5) Intersect (objRef1, objRef2);

กาหนดจดตดซงมเพยง 1 จดเทานน ระหวางวตถ 2 วตถ คอ objRef1 และ objRef2 โดยทวตถทง 2 จะตองอางถง segments, rays, หรอ lines เทานน

3.1.6) Intersect1 (objRef1, objRef2);

กาหนดจดตด 1 จด โดยทวตถ 2 objRef2 แทนวงกลม สวนวตถ 1 objRef1 แทน segment, ray หรอ line

3.1.7) Intersect2 (objRef1, objRef2);

กาหนดจดตดทเหลอจาก Intersect1 คอ วตถวงกลม objRef2 กบวตถอนๆ

3.1.8) PlotXY (objRef1, objRef2, objRef3);

สรางจดบนแกนของวตถท 2 objRef2 โดยระยะตามแกนนอน คอ คาทวดจากวตถท 3 objRef3 สวนคาตามแกนตง คอ คาจากการวดวตถท 1 objRef1 หมายถง จดทสรางอยบนวตถท 2 ทตาแหนง (objRef3, objRef1)

3.1.9) UnitPoint (objRef1, num);

กาหนดจด ทตงตนอย ณ ระยะ num ทางขวาของวตถ objRef1 โดยทวตถนสามารถเลอนไปมาไดเฉพาะดานขวาของวตถเทานน

การกาหนด UnitPoint น สะดวกสาหรบการกาหนดจดทางดานขวาของจดเรมตนแกน (origin) เชน ถา objRef1 แทนแกนของระบบ และให UnitPoint น สรางจดขน จดจะเรมปรากฏทตาแหนง (1, 0) เสมอ หากไมมการลากไปยงตาแหนงอน

3.1.10) DriverPoint (num1, num2);

คอ จดทสรางขน ณ ตาแหนง (num1, num2) คอ (x, y) ของระนาบแกนทเปน pixel ใน applet ซงสามารถลากเลอนไปตาแหนงใดๆ กได แต จะไมเหมอนคาสง Point ตรงท DriverPoint สามารถรบคาสงภายนอกได เชน กาหนดตาแหนง, ถามชอ, โดยผานทาง



inter-applet communication สาหรบวตถประสงคของ inter-applet communication ในการถามชอของ DriverPoint กคอ ปายชอนนเอง ซงปายชอน สามารถกาหนดผานคาสง label ได

3.1.11) จดแบบอน ๆ ใหดในหวขอ 3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต เพอสรางจดจากการปรบรปของจดอนๆ

3.2) คาสงในการสรางเสนตรงแบบตางๆ

3.2.1) Segment (objRef1, objRef2);

กาหนดสวนของเสนตรงทเชอมตอระหวาง จด 2 จด คอ objRef1 และ objRef2

3.2.2) Ray (objRef1, objRef2);

กาหนดเสนรศมระหวางจด 2 จดบนวตถ โดยท objRef2 แทนจดเรมของเสนรศม สวน objRef1 แทนจดทศทางทเสนรศมจะชไป

3.2.3) Line (objRef1, objRef2);

สรางเสนตรงทผานระหวางจด 2 จด ใดๆ บนวตถ

3.2.4) Perpendicular (objRef1, objRef2);

กาหนดเสนตงฉากจาก objRef1 คอ segment, ray, หรอ line ไปยง จด คอ objRef2

3.2.5) Parallel (objRef1, objRef2);

สรางเสนขนานจาก objRef1 คอ segment, ray, หรอ line ไปยง จด คอ objRef2

3.2.6) AxisX (objRef);

กาหนดแกนแนวนอน ซงสมพนธกบระบบแกนของ objRef

3.2.7) AxisY (objRef);

กาหนดแกนแนวตง ซงสมพนธกบระบบแกนของ objRef



3.2.8) เสนแบบอนๆ ใหด 3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต ในการสรางเสนตรงขณะปรบเลอน เปลยนเสนตรงเสนอนๆ

3.3) คาสงในการระบายสภายในวตถ

การซอนทบกนของวตถ ใน JSP ไมไดกาหนดไวอยางแนนอน แตถาตองการใหวาดวตถใดอยบนวตถใด สามารถกาหนดไดเอง ดวยคาสง optional layer format ใน OptionalFormats

3.3.1) Polygon (objRef1, objRef2 ... objRefN);

การสรางรปหลายเหลยมใหมการระบายสภายใน โดยจดยอดของรปเหลยมนน ถกกาหนดดวย objRefs ตางๆ ซงอยางนอยจะตองม 3 objRefs แตจะมมากกวากได

3.3.2) Circle interior (objRef);

กาหนดใหมสระบายภายในวงกลมของ objRef

3.3.3) แบบอนๆ ใหด 3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต ในการสรางภายในขณะปรบเปลยน เลอนรปภายในอนๆ

3.4) คาสงในการสรางวงกลม

3.4.1) Circle (objRef1, objRef2);

กาหนดวงกลมใหมศนยกลางอยทจดของ objRef1 และเสนรอบวงผานจดของ objRef2

3.4.2) Circle by radius (objRef1, objRef2);

กาหนดวงกลมใหมศนยกลางอยทจดของ objRef1 และใหรศมเทากบความยาวของสวนของเสนตรง (segment) ของ objRef2

3.4.3) แบบอนๆ ใหด 3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต ในการสรางวงกลมขณะปรบเปลยน เลอนวงกลมรปอน



3.5) คาสงในการปรบเปลยนรปเรขาคณต

มเพยงบางคาสงเทานนท JSP สามารถทาการเปลยนแปลงรปทรงเรขาคณตได เชน การสรางจด เสนตรงแบบตางๆ วงกลม และ การระบายสภายใน

สวนคาสงทเกยวกบ การสรางปม การวด รปภาพ หรอกาหนดใหวตถเลอนตามกนนน ไมสามารถใชคาสงใหเปลยนแปลงเปนแบบอนได

3.5.1) Reflection (objRef1, objRef2);

กาหนดใหวตถ objRef1 สะทอนไปอกดานของเสน segment, ray หรอ line ของวตถ objRef2

3.5.2) Dilation (objRef1, objRef2, num);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 ยอหรอขยายออก โดยใหสมพนธกบศนยกลางของ objRef2, คา num กาหนดการยอหรอขยาย โดยถา num < 1.0 รปจะยอลง แตถา > 1.0 รปจะขยายขน

3.5.3) Dilation/SegmentRatio (objRef1, objRef2, objRef3, objRef4);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 ยอหรอขยายออก โดยสมพนธกบจดศนยกลางของ objRef2 โดยทอตราการเปลยนแปลงเปนอตราสวนของความยาวสวนของเสนตรง (segment) ของ objRef3 ตอสวนของเสนตรง objRef4

3.5.4) Dilation/3PtRatio (objRef1, objRef2, objRef3, objRef4, objRef5);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 ยอหรอขยายออก สมพนธกบจดศนยกลางของ objRef2 โดยทอตราการยอขยายถกกาหนดโดย ระยะหางระหวางจดทง 3 ของ objRef3, objRef4, objRef5 สมมตวาจดทงสามคอ A, B, C อตราการเปลยนแปลงจะเทากบ |AB|/|AC|

3.5.5) Dilation/MarkedRatio (objRef1, objRef2, objRef3);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 ยอหรอขยายออก สมพนธกบจดศนยกลางของ objRef2 โดยอตราการเปลยนถกกาหนดโดยคาสงการวดในคาสงของ objRef3



3.5.6) Rotation (objRef1, objRef2, num);

กาหนดรป objRef1 หมนรอบจดศนยกลางของ objRef2 ดวยมมเรเดยนทกาหนดดวยคา num

หมายเหต คา num ตองเปนคา เรเดยน ถงแมวา ตวแปรใน applet จะแสดงคาการวดมมเปนองศากตาม

3.5.7) Rotation/MarkedAngle (objRef1, objRef2, objRef3, objRef4, objRef5);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 หมนโดยรอบจดศนยกลางของ objRef2 ดวยมมทถกกาหนดโดยจดทง 3 ของ objRef3, objRef4, objRef5

3.5.8) Rotation/MeasuredAngle (objRef1, objRef2, objRef3);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 หมนโดยรอบจดศนยกลางของ objRef2 ดวยมมทถกกาหนดโดยคาการวด หรอการคานวณใน objRef3

3.5.9) Translation (objRef1, num1, num2);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปดวยคา (delta-X, delta-Y) ซงถกกาหนดดวย (num1, num2)

3.5.10) VectorTranslation (objRef1, objRef2, objRef3);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปตามเวกเตอรซงกาหนดดวย จด 2 จด จาก objRef2 -> objRef3 โดยท objRef2, เปนจดเรม และ objRef3 เปนจดปลาย

3.5.11) Translation/FixedAngle/MarkedDistance (objRef1, objRef2, num);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปตามระยะทางทแสดงคาการวดใน objRef2 และในทศทางทเปนเรเดยนดวยคา num

3.5.12) PolarTranslation (objRef1, num1, num2);



กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปดวยคา (delta-X, delta-Y) ซงถกกาหนดดวย (num1, num2) คาสง PolarTranslation เหมอนกบ Translation (ใน Sketchpad จะเปลยน PolarTranslation ทกตวใหเปนคาคงทของระยะและมมในระบบแกนฉาก (Cartesian) กอนทจะแปลงใหเปนไฟล JSP

3.5.13) Translation/MarkedAngle/FixedDistance (objRef1, objRef2, num1);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปดวยระยะทาง num1 ในทศทางการวดมมของ objRef2

3.5.14) Translation/MarkedAngle/MarkedDistance (objRef1, objRef2, objRef3);

กาหนดใหรปใดๆ ของ objRef1 เลอนไปดวยการวดระยะทาง objRef3 ในทศทางการวดมมของ objRef2

3.6) คาสงในการใสรปภาพ

3.6.1) Image (num1, num2, string);

กาหนดใหรปภาพวางอยทตาแหนง (x, y) คอคา (num1, num2) สวน string แทนตาแหนงทอยของไฟลรปภาพนน โดยอาจจะจาเปนตองอยตาแหนงเดยวกบ Codebase ของ JSP โดยทวไปแลว web servers หลายตว อาจจะไมอนญาตใหเขาไปเปดรปทอยภายนอกแฟมของ JSP แตมวธจดการรปภาพ โดยสรางแฟมยอยภายในแฟมของ JSP เพอเกบรปโดยเฉพาะ เชน เกบรป xyz.gif ทแฟม images ภายใตแฟม JSP เปนตน

ตวอยาง Image(0, 0, 'images/xyz.gif'); จะเหนรปโดยทมมบนซายของรปอยมมบนซายของ applet

3.6.2) ImageOnPoint (objRef1, string);

กาหนดใหรปภาพกรอบสเหลยมอยบนระนาบ โดยทมมบนซายของรปอย ณ ตาแหนง จด ของ objRef1 สวน string แทนทอยของไฟลรปภาพ เหมอนคาสงขางตน ขนาดของภาพจะเปนไปตามขนาดจรงของรปภาพเอง



3.6.3) ImageBetweenPoints (objRef1, objRef2, string);

กาหนดใหรปภาพกรอบสเหลยมอยบนระนาบ โดยทตาแหนง และขนาด ถกกาหนดดวย ขนาดทเลกทสดของชองสเหลยม ทเกดจากจดของ objRef1 และ objRef2 สวน string แทนทอยของไฟลรปภาพ

3.7) คาสงในการวดและคานวณ

คาสงในการวดทกคาสงน ประกอบดวย objRefs จานวนหนง ตามดวยคาตวเลข 2 คา และสดทายเปนขอความทใชในการแสดงผล มโครงสราง ดงน

objName ({objRefs}, numX, numY, string);

ตวอยาง เชน

Length(5, 10, 50, ' Length = ');

เปนการวดขนาดสวนของเสนตรงในคาสงลาดบท 5 และขอความทปรากฏจะแสดงอย ณ ตาแหนง (10, 50) ของ applet จะได

Length = 13.2

หมายเหต สามารถสรางคาสงเชอมตอจากภายนอกได โดยผานทาง inter-applet communication ซงสามารถเรยกถามชอคาสงทใชในการวดได

3.7.1) Length (obj1, numX, numY, string);

คาสงทใชวดสวนของเสนตรง obj1

3.7.2) Angle (obj1, obj2, obj3, numX, numY, string);

การวดมม โดยใชจด 3 จด คอ obj1, obj2, obj3 โดยท obj2 เปนจดยอด สวนคาการวดทจะแสดง ขนอยกบการตงคาตวแปรของ DirectedAngles ใน applet

3.7.3) Perimeter (obj1, numX, numY, string);

การวดเสนรอบของรปเหลยม obj1



3.7.4) Circumference (obj1, numX, numY, string);

การวดเสนรอบวงของรปวงกลม obj1

3.7.5) Radius (obj1, numX, numY, string);

การวดเสนรศมของรปวงกลม obj1

3.7.6) Area (obj1, numX, numY, string);

การวดพนทของ รปวงกลม หรอ รปเหลยม obj1

หมายเหต หนวยของคาการวดพนทน เปน หนวย ยกกาลง 2

3.7.7) Slope (obj1, numX, numY, string);

วดความชนของเสนตรงวตถ obj1

3.7.8) Distance (obj1, obj2, numX, numY, string);

วดระยะหางระหวาง obj1 และ obj2 โดยท obj2 จะตองเปนจด และ obj1 อาจจะเปนจด หรอเสนตรง กได และคาการวดน จะเปนคาทสนทสดระหวาง obj1 และ obj2

3.7.9) Ratio/Segments (obj1, obj2, numX, numY, string);

วดอตราสวนของความยาวเสนตรง obj1 ตอความยาวเสน obj2 นนคอ อตราสวนของ |obj1|/|obj2|

3.7.10) Ratio/Points (obj1, obj2, obj3, numX, numY, string);

วดอตราสวนทเปนระยะหางระหวางจด 3 จด obj1, obj2, obj3 ถาสมมตใหเปนจด A, B, C ตามลาดบ กจะได อตราสวนของ |AC|/|AB|

3.7.11) Coordinates (obj1, obj2, numX, numY, string);

วดคาคลาดบตาแหนงของจด obj1 ซงอยบนระบบแกนของ obj1 เอง วาจะตงอยบนตาแหนงใดในระบบแกนของ obj2



3.7.12) Calculate (numX, numY, prefixStr, exprStr) (objRef1, ..., objRefN);

การคานวณคาตามสมการทกาหนดให, (numX, numY) แทนตาแหนงการวางขอความ หรอ รปสมการ, prefixStr ยอจาก prefix string แทนขอความเรมตนของทกๆ วตถการคานวณ, exprStr คอ รปสมการทใชในการคานวณ, objRef1 ถง objRefN แทน วตถ หรอคาสงของคาทจะใชแทนในสมการทจะทาการคานวณ

รปสมการทเขยนใน exprStr จะอานจากซายไปขวา และ คาทจะคานวณ จะเขยนกอนเครองหมายการคานวณ โดยไมจาเปนตองม ( ) ครอม ตวอยาง เชน ' ( 1 + 2 ) / 3 ' ใน exprStr จะเปน ' 1 2 + 3 / '

ขอกาหนด และเครองหมายทใชได exprStr มดงน

• คาตวเลข เปนเลขจานวนจรงใด ๆ และสามารถมเครองหมาย - สาหรบเลขจานวนลบได และใหมจดทศนยมได 1 ตาแหนง สามารเขยนตวเลขแยกจากกน โดยใชชองวางเปนตวขน

• เครองหมาย + - * / แทนการ บวก ลบ คณ หาร ตามลาดบ • เครองหมาย ^ แทนการยกกาลง • เครองหมาย ! แทน unary negation หมายถง การคณดวยคา -1 • เครองหมาย @xxxx แทน ฟงกชนทถกกาหนดใน xxxx เชน แทน @sin_ (คอ sine), @cos_

(cose), @tan_ (tangent), @abs_ (absolute value), @sqrt (square root), @ln__ (natural log), @rond (rounding), @trnc (truncation toward zero), @sgn_ (signnum), @asin (arcsine), @acos (arccosine), @atan (arctangent), @log_ (base-10 logarithm).

• อกษร A - Z แทน objRef1 ถง objRef26 เชน A แทนคาสงใน objRef1, B แทนคาสงใน objRef2, ... , Z แทนคาสงใน objRef26 แตในการอางถงน จาเปนตองม objRef นนๆ มอยดวย มเชนนน จะเกดขอผดพลาดขนได ทาให applet ไมทางาน

• #xy คา x แทน อกษร A - Z ซงคอ objRef1 ถง objRef26 แต objRefs ทกตวนน ตองเปน คาทางเวคเตอร หรอ เปนคาทมทงคา x และ y เชนคลาดบตาแหนงในแกน xy เปนตน, สวน y แทนเลข 1 - 9 แตในทน y ใชไดเฉพาะเลข 1 และ 2 เทานน โดย 1 แทนคาในแกน x และ 2 แทนคาในแกน y


Calculate(10, 10, 'Sum is ', 'A B + C +') (5, 6, 7);



คานวณ การบวกคาของคาสงการวดท 5, 6 และ 7 และขอความ Sum is คาผลบวก จะถกแสดงท ตาแหนง (10, 10) ในระนาบแกนของ applet

Calculate(20, 20, 'Distance is ', '#A1#B1-2^#A2#B2-2^+@sqrt') (8, 9);

คานวณระยะหางระหวางจด 2 จดของ 8 และ 9 เปนระยะหางทเปนเสนตรง กคอ sqrt(dX^2 + dY^2) นนเอง

หมายเหต สามารถใชชองวาง เพอทาการแบงแยกตวเลขออกจากกนใน exprStr ได เชน 1+3 เขยนเปน '1 3 +' ถาไมทาการแบงชองแลวเขยนเปน '... 13+' จะหมายถง เลข 13 บวกกบจานวนอนๆ ทอยขางหนา

ขอระวง หาม objRef เวนวางไว ถงแมวาจะทาการคานวณคาตวเลขคงทใดๆ โดยไมตองอางถง objRef กตาม แตขอจากดน จะถกขจดไปในการ update JSP รนถดไป

3.7.13) Parameter (initialValue, numX, numY, prefixStr);

วดคาทถกกาหนดจากขบวนการภายนอก เมอทาการสง Parameter กจะทาใหมคาเรมตน InitialValue เกดขน คาเรมตนทเกดขนน จะยงคงเปนคาเดม จนกระทง มการสงใหเปลยนไป จากคาสงภายนอก โดยผานทาง inter-applet communication ซงคาสง Parameter ทาหนาทเหมอน คาสงการวดอสระ หรอ ทาหนาทเหมอนคาคงทกได ซงคาเหลานจะไมทราบ จนกวาจะทาผานการทางาน และผานการวด หรอการคานวณใดๆ กอน, เมอขบวนการคาสงจากภายนอกทาการเปลยนคาของ Parameter แลว เราจะไดคาการวด หรอ วตถใดๆ กจะเปลยนไปดวย

3.8) คาสงในการสรางปมบงคบแบบตางๆ

คาสงในการสรางปมการแสดงตางๆ น ประกอบดวย numX, numY แทนตาแหนงทวางของปม ณ มมบนซายของปมนนๆ และ string แทนขอความทจะแสดงอยภายในปมนน

ปมการแสดงเหลาน อาจจะมวงเลบ ( ) มากกวา 2 วงเลบกได โดยมกลมตวแปรภายในเปนกลมๆ ไป ตวอยาง เชน

ShowButton(5, 10, 'Show Triangle') (1, 2, 3);



สรางปมทมชอวา Show Triangle โดยมมบนซายของปมวางอยทตาแหนง (5, 10) ในระนาบ applet ถาผใชทาการกดปมน กจะทาใหวตถท 1, 2, 3 ปรากฏขน ถาวตถทง 3 ถกปดบงอย

ปมนอาจจะใชรปภาพ .gif หรอ .jpg แทนขอความกได คอ ปมจะเปนรป แทนทจะเปนตวอกษร

คาสงจากขบวนการภายนอก สามารถทาผาน inter-applet communication ได เชน การถามชอของปม แตควรตองตงชอใหปมไมเหมอนกน เพอทจะใชอางองไดอยางถกตอง ไมสบสน

3.8.1) ShowButton (numX, numY, string)(obj1, obj2 ... objN);

ใชแสดงวตถ obj1, obj2 ถง objN เมอทาการกดปมน แตถาวตถเหลานนถกแสดงอยแลว กจะไมมผลใดๆ, จาเปนตองมวตถ obj อยางนอย 1 ตว, มตวอยางแสดงอยขางตน

3.8.2) HideButton (numX, numY, string)(obj1, obj2 ... objN);

เมอทาการกดปมน วตถ obj1, obj2 ถง objN จะถกปดบงซอนไว หากวตถนนปรากฏอย แตถาวตถเหลานนไมไดถกแสดงอยแลว กจะไมมผลใดๆ เมอกดปม และจาเปนตองมวตถ obj อยางนอย 1 ตว

3.8.3) MoveButton (numX, numY, numZ, string)(obj1a, obj1b, obj2a, obj2b ... objNa,

objNb);

เมอทาการกดปมน วตถ objXb จะเลอนไปยงตาแหนงทกาหนดโดย objXa และจาเปนตองมอยางนอย 1 คของ obj คอ obja และ objb, ชอของปม แทนใน string โดยวางอยทตาแหนง (numX, numY) สวนคา numZ แทนความเรวทนอยทสดในการเคลอนทของวตถ มหนวยเปน pixels ตอ frame ตวอยาง เชน

MoveButton(10, 0, 2.5, 'Move')(1, 8, 1, 5);

สรางปม ชอ Move มมบนซายของปมวางอยทตาแหนง (10, 0) เมอกดปม วตถท 8 จะเลอนไปทจดของวตถท 1 และขณะเดยวกนนนวตถท 5 กจะเลอนไปทตาแหนงเดยวกบวตถท 8 ดวย คอตาแหนงของวตถท 1 ถาอตราการเคลอนทของวตถทงสองตางกน วตถทเคลอนทชากวา จะเลอนไปดวยอตราเรวเทากบ 2.5 pixels/frame.

อาจจะมขอผดพลาดเกดขนได ถาหาก objXb ใดๆ ไมใช จดอสระ หรอ จดบนวตถ



3.8.4) AnimateButton (numX, numY, string)(obj1a, obj1b, obj2a, obj2b ... objNa,

objNb)(num1, num2 ... numN)(flag1Num1, flag1Num2 ... flag1NumN)(flag2Num1,

flag2Num2 ... flag2NumN);

เมอทาการกดปมน จะทาใหวตถ objXa เคลอนไหวไปตามเสนทางของ objXb และจาเปนตองมวตถ obj อยางนอย 1 ค , กลมของตวแปร num และ flagNum จะตองมจานวนครงหนงของจานวน obj ทงหมด ในทกกรณ

สาหรบการเคลอนตวตามเสนทางของ objXb นน จะเปนทางโคง วงกลม หรอเปนทางตรงกได

คา num แทนอตราเรวในหนวย pixels/frame ในการเคลอนทของวตถแตละตว โดย num1 แทนอตราเรวของ obj1a เคลอนทไปยง obj1b , num2 แทนอตราเรวของ obj2a เคลอนไปยง obj2b เปนตน

flag1Num เปนตวกาหนดให วตถนนเคลอนทซาๆ หรอ ใหหยดเคลอนท เมอเดนทางครบตามเสนทางแลว โดยมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน คา 0 หมายถง วตถนนจะเคลอนไหวตลอดเวลา สวน 1 คอ วตถจะเคลอนไหวเพยง 1 รอบเทานน แลวจะหยดเคลอนท เชน ถาตองการให obj3a เคลอนทไปตามเสนทาง obj3b ซาๆตลอดเวลา คา flag1Num3 จะมคาเปน 0

flag2Num เปนตวบงถงลกษณะของการเคลอนท ซงขนกบเสนทาง มคาเปน 0 หรอ 1 เชน ถาเคลอนทเปนวงกลม 0 จะหมายถง เคลอนททวนเขมนาฬกา สวน 1 คอ ตามเขมนาฬกา แตถา การเคลอนทเปนแบบทางตรง 0 กาหนดใหเคลอนทไปและกลบ สวน 1 ใหเคลอนทไปทางเดยว สาหรบการเคลอนทในทางตรงน ไมสามารถกาหนดใหมการเคลอนทแบบผสมกนทง 2 แบบได


AnimateButton(10, 0, 'Animate') (4, 3) (2.5) (1) (0);

สรางปม ใหอยทตาแหนง (10, 0) มชอวา Animate ซงเมอกดปมนแลว จะทาใหวตถ 4 เคลอนทไปตามเสนทางของวตถ 3 ดวยความเรว 2.5 pixels/frame และจะหยดเมอเคลอนทไปครบตามเสนทาง 1 ครง

คาสงน จะเกดขอผดพลาดขน ถาหากวา วตถทเคลอนทไมใช จดอสระ หรอ จดบนวตถ



3.8.5) SimultaneousButton (numX, numY, string)(objRef1, objRef2 ... objRefN);

การสรางปมซงเมอกดแลว จะทาใหคาสงตางๆ ในการบงคบวตถขางตนทางานพรอมๆ กน ปม SimultaneousButton น เปนการรวมปมหลายๆ ปมเขาดวยกน (ซงอาจถกซอนไว) ใหกลายเปนปมเดยว (ทแสดงใหเหน) สามารถกดใชงานได

3.9) คาสงในการกาหนดระบบแกน

ระบบแกนใน JSP ตงตนจะถกกาหนดไวใหเปนแกนตงฉากกน แบบ thin format คอ เปนแกน โดยใชจดแสดงระยะหางตอหนวย ในระยะทเทากนทงในแกน x และ y ถากาหนดใหเปน thick format จะกลายเปนลายเสนตดกน ไมใชลายจด และ ใน JSP รนนยงไมสามารถกาหนดแกนใหเปนแบบ polar ได

3.9.1) Origin&Unit(obj1, obj2);

กาหนดระบบแกน โดยให จดศนยกลาง (0, 0) อยทจดของ obj1 และคาความยาวหนงหนวยจะเทากบระยะหางระหวางจด obj1 ถงจด obj2

3.9.2) UnitCircle (obj1);

กาหนดใหจดศนยกลางของแกน อยบนจดศนยกลางของวงกลม obj1 และคาความยาวหนงหนวยจะเทากบความยาวรศมของ obj1

3.10) คาสงในการกาหนดตาแหนงของวตถใหเลอนตามกน

3.10.1) Locus (obj1, obj2, obj3, num);

กาหนดใหวตถ obj1 เปนเหมอนจดของ obj2 โดยใหเคลอนไปตามเสนทางทกาหนดโดย obj3 คา num แสดงคาความถกตองในการเลอนตามกน ถาคามาก กจะถกตองสง แตวาจะกนเวลานานกวา ใชหนวยความจามากขน ในการแสดงผล

ใน JSP รนน มขอจากดทวา วตถ obj1 จะตองเปน จด สวนของเสนตรงหรอเสนตรงเทานน สวน obj3 จะตองเปนวงกลม เสนตรงตางๆ หรอ รปเหลยมใดๆ ถาหาก obj3 เปน รปเหลยมใดๆ แลว เสนรอบรปจะเปนเสนทางของ obj2



ขอผดพลาดทอาจเกดขน มาจาก obj2 ไมใชจดทสามารถเคลอนทไดอยางอสระ หรอจดบนวตถทเคลอนทอยางอสระได

3.11) คาสงในการเขยนขอความหรอคาอธบาย

3.11.1) FixedText (numX, numY, string);

สรางกลองขอความ ทเขยนอยใน string ใหปรากฏ ณ ตาแหนง (numX, numY) ของ applet

3.11.2) PeggedText (objRef1, objRef2);

สรางกลองขอความแบบเดยวกบทอยใน objRef2 ซงจะตองเปนคาสงเกยวกบการวด หรอ กลองขอความอนๆ โดยจะปรากฏ ณ ตาแหนงเดยวกบทกาหนดใน objRef1

3.11.3) ConcatText (numX, numY)(objRef1, objRef2 ... objRefN);

สรางกลองขอความทปรากฏ ณ ตาแหนง (numX, numY) ของ applet โดยนาขอความของ objRef1, objRef2 ถง objRefN มาเรยงตอกน objRef ทกตวนนจะตองเปนคาสงการวด หรอ กลองขอความอนๆ

4. การเกดขอผดพลาด การเกดขอผดพลาด อาจเกดขนไดจาก การพมพคาสงผด หรอการกาหนดคาทไมเปนจรงเชน

Perpendicular (1, 3);

จะถกตองกตอเมอ วตถท 3 คอ จด สวนวตถท 1 แทนเสนตรง แตจะผดพลาดเมอ วตถ 1 คอ วงกลม ขอผดพลาดเหลานจะทาให applet ไมทางาน คอจะไมแสดงผลอะไรเลย และถาใช browser เพอเปดด applet ใน web page แลว applet ไมมการแสดงผล ทานสามารถใช Java Console, Java Message Log, หรอ Java Error window ทอยภายใน web browser เพอชวยในการหาขอผดพลาดตางๆ ทอาจเกดขนได



ตวอยางใบงาน

ใบงานท1 รปสเหลยมจตรสทเทากนทกประการ 2 รป เกยกน โดยทจดยอดจดหนงของรปสเหลยม

จตรสรปท 2 อยทจดตดของเสนทแยงมมของรปท 1 ดงรป

1. ถาหมนรปสเหลยมจตรสท 2 ไปรอบ ๆ จดหมน พนททแรเงาจะมขนาดเปลยนแปลงอยางไรพนททแรเงามขนาดมากทสดเทาไร

2. ถาเปลยนขนาดของรปสเหลยมจตรสทงสอง คาตอบในขอท 1 จะเปลยนไปหรอไมอยางไร



4

3

2

1

-1

-2

-2 2 4 6 8

A B

C

ใบงานท 2 การสะทอนโดยใชแกน x เปนแกนสะทอน 1. จงสรางสามเหลยม ABC และเลอกแกน x เปนแกนสะทอน (mirror line), หารปสะทอนของสามเหลยม ABC

2. บนทกพกดของจดยอดของ ΔABC และ ΔA’B’C’ ในตาราง

โดยเลอน ΔABC ไปยงตาแหนงอน ๆ และบนทกพกดของจดยอดของ ΔABC และ ΔA’B’C’ ในตาราง

พกดของวตถเรมตน พกดของภาพสะทอน ตาแหนง จดยอด X y จดสะทอน x’ y’

A A’

B B’

1

C C’

A A’

B B’

2

C C’

A A’

B B’

3

C C’



3. จากการสงเกตผลทไดในตาราง, จงเขยนพกดของจดสะทอนของจดทวไป (x,y) เมอใชแกน x เปนแกนสะทอน คาตอบ…………………………….

4. จงเตมความสมพนธ ของพกดจดสะทอนของจด (x,y) เมอใชแกน x เปนแกนสะทอน ให

สมบรณ : x’ = ………… x + …………… y y’ = ………… x + …………… y 5. ความสมพนธขางบนสามารถเขยนในรปของเมตรกซไดดงน จงเตมสมาชกของเมตรกซให

สมบรณ : x’ x = y’ y จงสรางใบงานท 3 การสะทอนโดยใชแกน y เปนแกนสะทอน จงสรางใบงานท 4 การสะทอนโดยใช y = x เปนแกนสะทอน จงสรางใบงานท 5 การสะทอนโดยใช y = - x เปนแกนสะทอน















































การใชโปรแกรม Maple 127


การใชโปรแกรม Maple Maple เปนโปรแกรมคอมพวเตอรประยกตทางคณตศาสตรทเรยกวา Symbolic Computation System หรอ Computer Algebra System ทางานบน Windows ผลตโดยบรษท Waterloo Maple ประเทศแคนาดา มความสามารถในการคานวณขอมลทอยในรปสญลกษณ หรอขอความทางคณตศาสตร ในรปของ worksheet และ spreadsheets แสดงผลลพธในรปจานวน คาประมาณ ขอความทางคณตศาสตรทมสญลกษณและตวแปร รปกราฟ 2 มต และ 3 มต ภาพการเคลอนไหวของกราฟทเกดจากการเปลยนแปลงตวแปรตาง ๆ นอกจากนยงสามารถสรางโปรแกรมการประมวลผลขอมล และสรางฟงกชนตาง ๆ ไดตามตองการ มฟงกชนทางคณตศาสตรเพยงพอตอการใชงาน มเทคนคตาง ๆ ของ worksheet ทาเอกสารเพอการสอน หรอการนาเสนอ ทสามารถซอนและแสดงรายละเอยดของคาสาคญทตองการเนน และหวขอ Hyperlinks ทสามารถโยงและเคลอนไปยงขอมลอนทสมพนธกน สามารถเปลยนแปลงเอกสารในรปแบบตาง ๆ เชน LaTeX HTML ขอตกลงเกยวกบคาศพท เพอใหการเรยนรการใช Maple เปนไปดวยความสะดวกจะขอใชคาศพทบางคาเปนภาษาองกฤษโดยไมแปล และใชภาษาไทยบางคาตามความหมายทตกลงตอไปน

• Pointer เปนตวชตาแหนงบนวนโดว ซงเคลอนทตามการเคลอนท ของเมาส

• Cursor เปนตวกระพรบทแสดงตาแหนงรอรบขอมลบนจอภาพ

• คลก เปนการกดปมซายของเมาส แลวปลอยทนท

• คลกขวา เปนการกดปมขวาของเมาส แลวปลอยทนท

• ดบเบลคลก เปนการกดปมซายของเมาสตดตอกน 2 ครงอยางรวดเรว

• ออปเจก (object) หมายถง สงตาง ๆ ทอยใน worksheet ซงอาจจะเปนรปภาพ ขอความ หรอสญลกษณทางคณตศาสตร

• คลกคาง เปนการกดปมซายของเมาส ณ ตาแหนงทตองการคางไว พรอมกบเคลอนเมาส ไปยงตาแหนงใหมแลวปลอย

• Ctrl+(ตวอกษร) เปนการใชคาสงลด (shortcut) เชน Ctrl+A เปนการกดปม Ctrl และปมอกษร A พรอมกน แลวปลอย

128 การใชโปรแกรม Maple


• Shift+คลก เปนการกดปม Shift พรอมกบกดปมซายของเมาส ณ ตาแหนงทตองการ เมอตองการเลอกออปเจกมากกวา หนงออปเจก

การตดตง Maple 8 โดยปกตแผนตดตง Maple 8 จะ AutoRun คอ จะเขาสโปรแกรมการตดตงเลย หากโปรแกรม AutoRun ไมทางาน โปรแกรมตดตงจะอยท

Windows/Windows/WindowsSetup.exe หลงจากทโปรแกรมตตงเรมทางาน ใหเลอกแบบของการตดตง เชน Single Installation ใส Serial number เลอกรปแบบของแบบของโปรไฟล เชน เลอก Single-user Profile



การเขาสโปรแกรม Maple เราสามารถเขาสโปรแกรม Maple ไดโดยคลกท Programs เลอก Maple 8 และ

เลอก Maple 8 ดงรปท 1.1 และไดจอภาพดงรปท 1.2

รปท 1.1

Menu Bar Tool Bar Prompt Worksheet Status Bar

รปท 1.2



ซงมสวนประกอบดงตอไปน 1. Menu Bar บรเวณรายการคาสงทเปนตวหนงสอ ซงมรายการตาง ๆ ตอไปน File Edit View Insert Format Spreadsheet Option Windows Help

2. Tool Bar บรเวณรายการคาสงทเปนรปภาพ 3. Worksheet บรเวณใชงาน พมพขอความ พมพคาสง และแสดงผลลพธ 4. Status Bar บรเวณแสดงสถานภาพตาง ๆ 5. Prompt เครองหมาย แสดงตาแหนงรอรบขอความ หรอ คาสง

Worksheet เปนบรเวณทรวมทกสงทกอยาง ในการโตตอบอยางทนททนใด ในการ แกปญหาและการพมพเอกสาร worksheet ไมเพยงแตบรรจเอกสาร ขอความ และขอมลทเปน กระบวนการ เทานน ยงเปนบรเวณทใสคาสงทางคณตศาสตร และแสดงผลลพธเปนขอความ หรอรปภาพทคานวณไดอยางอตโนมต เพอความสะดวกในการใช worksheet ควรขยาย worksheet โดยการคลกเมาสทไอคอน ใน Tool Bar ทมมบนดานซายของ worksheet มเครองหมายพรอม prompt ( > ) และ cursor เพอรอรบสงตอไปน คอ

- คาสงของ Maple - ขอความทเปนตวหนงสอตามปกต - ขอความทางคณตศาสตร - spreadsheets ตารางคาทางคณตศาสตรหรอสตรสญลกษณทางคณตศาสตรท

สามารถประมวลผลไดโดย Maple - ขอความรปแบบ hyperlinks ทตอบสนองโดยการกระโดดขามไปยงบรเวณอน

ใน worksheet ใด ๆ หรอหนาตางชวยเหลอ เมอคลกเมาส - ขอความหรอยอหนา ทมการซอนหรอแสดงตามทตองการ - ออปเจกตาง ๆ ทนามาบรรจไวใน worksheet เชน รปภาพ ตาราง

การออกจากโปรแกรม Maple การออกจาก Maple เพอทางานอนใหเลอก Exit ของ File ใน Menu Bar หรอ คลกทเครองหมายกากบาท ทมมบนดานขวาของหนาตาง Maple



หรอ

รปท 1.3 การเปดแฟมขอมลและการบนทกขอมล การเปดแฟมขอมล ให เลอก Open ของ File ใน Menu Bar ดงรปท 1.4

รปท 1.4 แลวเลอก Drives ทแฟมขอมลอย เชน เลอก Drive A: จะมชอแฟมขอมลปรากฏในชองซายมอ ใหเลอกชอแฟมขอมลทตองการเปด แลว กด Ok ดงรปท 1.5



รปท 1.5 การบนทก (Save) แฟมขอมล การบนทกขอมล ให เลอก Save หรอ Save As ของ File ใน Menu Bar ตามรปท 1.6

รปท 1.6



(Save ใชในกรณทบนทกแฟมขอมลในชอเดม สวน Save As ใชในกรณทตองการบนทกแฟมขอมลเปนชออน หรอเปลยนทเกบเปน Drive อน) ระบชอแฟมขอมลทตองการบนทกลงในชอง File Name โดยไมตองระบนามสกล หรอสวนขยายชอ Maple จะกาหนดนามสกลเปน .mws (หมายถง maple worksheet) ใหโดยอตโนมต ถาตองการใหเปนแฟมขอมลแบบอน ๆ สามารถเลอกนามสกล ไดท Save file as type แลว กด Ok (หากตองการเปลยนแปลงทเกบแฟมขอมลใหเลอก Drive ในชอง Drives กอนทจะกด Ok) การปดแฟมขอมล ทกาลงใชอย ให เลอก Close ของ File ใน Menu Bar หรอ คลกทเครองหมายกากบาท ทมมบนดานขวาของ worksheet ใหผอานปฏบตตามคาสงตอไปน 1. เขาสโปรแกรม Maple เปดแฟมขอมล Worksheet11.mws จาก Drive A:

2. บนทกแฟมขอมลน ใหมชอใหมเปน 1a และตามดวยรหสประจาตวนกศกษาของทาน เชน ทานมรหสประจาตวเปน 123456 ใหบนทกแฟมขอมลเปนชอ 1a123456 ใน Drive A:

3. ปดแฟมขอมล และออกจากโปรแกรม Maple การพมพขอมลลงใน Worksheet ขอมลทพมพลงใน worksheet แบงเปน 3 ประเภท คอ

1. ขอความปกต ไดแกขอความปกตในเอกสารทว ๆ ไป 2. ขอความทางคณตศาสตร ทไมประมวลผล ไดแกสญลกษณทางคณตศาสตร

ประโยคทางคณตศาสตรทมรปแบบยงยากในการพมพ โดยไมประสงคจะใหMaple คานวณผลลพธ

3. ขอความทางคณตศาสตร ทตองประมวลผล หมายถงสงทตองการให Maple ทาการคานวณใหไดผลลพธ รวมทงกราฟ

จะทราบไดอยางไรวา ขณะทเราพมพขอมลลงใน worksheet นน เรากาลงพมพขอมล

ประเภทใด เราทราบประเภทของขอมลไดจากการดลกษณะของ prompt กลาวคอ

ถาเปนขอความปกต จะไมมเครองหมาย prompt ปรากฏ



ถาเปนขอความทางคณตศาสตร prompt จะเปนรป ? สเขยวอยในพนสดา ถาเปนขอความทางคณตศาสตรทตองประมวลผล prompt จะเปนรป >

การเลอกประเภทของขอมล เราสามารถเลอกคลกไดจาก Tools Bar ดงตอไปน ขอความทางคณตศาสตร ทตองประมวลผล

ขอความปกต ขอความทางคณตศาสตร (คลกหลงจากทอยในประเภทขอความปกตแลว) โดยปกตเมอเรมเปด worksheet จะมเครองหมาย prompt เปน > ซงพรอมทจะรอ

รบขอมลประเภท ขอความทางคณตศาสตร ทตองประมวลผล เราสามารถพมพขอมลทเปนการคานวณ เรมตงแต การบวก ลบ คณ หาร เชน เดยวกบเครองคดเลข ไปจนถง ฟงกชนการคานวณทยงยากซงจะไดกลาวตอไป และแสดงผลลพธออกมาทนทเปนรปขอความหรอกราฟใน worksheet เดยวกน โดยมวธการพมพคาสงดวยกน 2 รปแบบ คอ

1. รปแบบ Maple (Maple notation) 2. รปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน (Standard Math) กอนกลาวถงการพมพคาสงตามรปแบบตาง ๆ ขอกลาวถง คาสงทเปนการกระทาทาง

คณตศาสตรเบองตนทเปนสวนประกอบจาเปนของคาสงตาง ๆ ดงน + แทน บวก - แทน ลบ

* แทน คณ / แทน หาร

** หรอ ^ แทน ยกกาลง sqrt(X) หรอ root[2](X) หรอ root(X,2) แทน รากทสองของ X

1. รปแบบ Maple (Maple notation) เปนรปแบบทพมพคาสงตอไปเรอย ๆ ในบรรทดเดยวตามรปแบบของ Maple

เชน ตองการให Maple หาผลลพธของ 1+2 ใหพมพ 1+2 ตามดวย ; และ <enter>



และกด <enter> > 1+2; สวนนคอผลลพธท Maple แสดง 3 ใหผอาน พมพคาสงตามตวอยาง และสงเกตผลลพธ > 1+5/3;

38

> 2*(1+5/3);

3

16

> (x+2)/(3*x-5)^2;

2)5x3(2x

−

+

> 2.75484/2; 1.377420000 > sqrt(4); 2 > root[3](8); 2 เครองหมายปดทายคาสงกอน <enter> มสองชนด คอ ; และ : ถาปดทาย คาสงดวยเครองหมาย ; หมายความให Maple แสดงผลลพธทางจอภาพ แตถาเปลยนเครองหมายเปน : ปดทายคาสงจะมความหมายวา ไมแสดงผลลพธทางจอภาพ ถงจะแสดงผลลพธทางจอภาพหรอไมกตาม Maple จะเกบสามผลลพธสดทายไวในหนวยความจา ซงสามารถเรยกใชสามผลลพธสดทายได โดยใชสญลกษณตอไปน % แทนผลลพธสดทาย %% แทนผลลพธรองสดทาย %%% แทนผลลพธกอนรองสดทาย ตวอยาง เชน > 5-3: > 6+7:



> 6*2: > %, %%, %%%;

12 13 2 > 15-10; 5 > %+20; 25 คาสงบรรทดเดยวควรพมพคาสงทงหมดรวมทงเครองหมายปดทายอยในบรรทดเดยวกน หากไมครบถวน Maple จะแจงขอผดพลาดใหทราบ เราสามารถพมพสวนทขาดไปในบรรทดถดไปได เชน >5 >+ >3 >; 8 หรออาจพมพหลาย ๆ คาสงในบรรทดเดยวกนกได แตตองคนดวยเครองหมายปดทาย : หรอ ; แยกแตละคาสง เชน > 2+3, 4+3; 5 7 ใหผอานเปดแฟมขอมล Worksheet11.mws หรอ 1aและตามดวยรหสประจาตวของทาน จาก Drive A: และใช Maple ทาแบบฝกหดตอไปน



แบบฝกหดท 1.1 จงหาผลลพธตอไปน

1. 3 14 2−

2. 23 1

4 2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

3. 3 14 2−

4.

22 13 2

2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

5. 25 1

6 2⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2. รปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน (Standard Math)

กอนการพมพคาสงตามรปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน ใหคลกท x ใน ToolBar เพอเปลยน cursor ใหอยในรป ? สเขยวพนสดา แลวพมพคาสงตามรปแบบ Maple โดยไมตองมเครองหมายปดคาสง แลวกด <Enter> 2 ครง

เชนตองการพมพคาสง 3 14 2− ตามรปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน ใหคลกท x ใน

ToolBar และพมพ 3/4-1/2 และกด <Enter> 2 ครง จะไดผลดงน

> 3 14 2−

ซงถาพมพโดยใชรปแบบ Maple จะไดผลดงน > 3/4-1/2; ในการพมพคาสงตามรปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน นอกจากตองพมพคาสงตามรปแบบ Maple หลงจากทคลก ใน ToolBar เพอเปลยน cursor ใหอยในรป ? แลว ยงสามารถใช Palettes ซงอยใน View Menu ชวยการพมพไดดงน ใน View Menu ม Palettes อย 3 ชนด คอ Symbol Palette,

14

14



Expression Palette, Matrix Palette ดงรปท 1.7 คลกท Expression Palette จะไดหนาตางของ Expression ดงรปท 1.8

รปท 1.7

∑=

d

cb

a

รปท 1.8 กอนจะใช palette ใหเลอกท ใน Tool Bar เพอให cursor เปนรป ? สเขยวบนพนสดา แลวคลกท Expression Palette ตามตองการ สมมตตองการหาผลรวมของ



2n เมอ n ตงแต 1 ถง 5 ใหคลกท ∑=

d

cb

a จะมเครองหมาย ? อยตามตาแหนง a, b, c,

d เพอรอรบขอมล ขณะท cursor อย ณ ตาแหนง a ใหพมพ 2n (หรอ 2*n ) และกด <Tab> จากนน cursor จะอย ณ ตาแหนง b ใหพมพ n และกด <Tab> cursor จะอย ณ ตาแหนง c ใหพมพ 1 และกด <Tab> เมอ cursor อย ณ ตาแหนง d ใหพมพ 5 และกด <Tab> กด <enter> จะไดผลลพธ ตามรปท 1.9

รปท 1.9

ซงคาสงดงกลาวมความหมายเดยวกนกบ คาสงตามรปแบบ Maple คอ > sum(2*n,n=1..5); 30 หรอ ถาตองการเหนสญลกษณการรวม ใหใชคาสงทขนตนดวยตวใหญ และหาผลลพธโดยใชคาสง value ดงน > Sum(2*n,n=1..5);

∑=

5

1n

n2

> value(%); 30



, , , , , , ,Α α Β β Γ γ ∞ π

กอนจะใช palette ทกครงใหเลอกท ใน Tool Bar เพอให cursor เปนรป ? สเขยวบนพนสดา แลวคลกท Expression Palette ตามตองการ ถาไมเลอก x ใน Tool Bar รปแบบของเครองหมาย ? จะเปน %? และคาสงจะอยในรปแบบ Maple การพมพขอมลลงแทนเครองหมาย %? ปฏบตเหมอนเดมคอ พมพขอมลและตามดวย <Tab> แบบฝกหดท 1.2 จงหาผลลพธตอไปน โดยใชคาสงรปแบบ Maple (Maple notation) และใชคาสงรปแบบคณตศาสตรมาตรฐาน (Standard Math)

1. (3+5)2 2. จงหารากทสองของ 25 3. จงหารากทสองของ 343 4. จงหาผลรวมของ n เมอ n = 1 ถง 10 5. จงหาผลรวมของ n2 เมอ n = 1 ถง 5

นอกจากจะใช ขอความทางคณตศาสตรจาก Expression Palette แลว เรายงสามารถเรยกใช สญลกษณตาง ๆ จาก Symbol Palette และเรยกใชรปแบบตาง ๆ ของ Matrix จาก Matrix Palette โดยการเลอกคลก Symbol Palette และ Matrix Palette จาก View Menu ใหหนาตางของ Palette เหลานนปรากฏ เชนเดยวกบ Expression Palette และหากตองการปดหนาตาง Palette เหลาน ใหคลกทเครองหมาย - มมบนซายของแตละหนาตาง การพมพสญลกษณตาง ๆ ในคาสงนอกจากจะเลอกคลกจาก Palette แลว ยงสามารถพมพชอเตมของสญลกษณนน ๆ ในคาสง เชน Alpha, alpha, Beta, beta, Gamma, gamma, infinity, Pi ผลทไดรบจะเปน สาหรบการพมพ Matrix ในคาสงบรรทดเดยวโดยไมใช palette สามารถสงไดดงน > matrix([[1, 2], [3, 4]]); หรอ คาสง Array > array(1..2,1..2,[[1,2],[3,4]]); ซงจะกลาวรายละเอยดตอไป ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 2

3 4



แบบฝกหดท 1.3 จงใชคาสง Maple พมพขอความตอไปน 1. β 2. 2rπ

3. 0 12 5

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

การพมพขอความลงใน worksheet Worksheet นอกจากจะใชพมพคาสงให Maple คานวณและแสดงผลลพธแลว ยงสามารถพมพขอความปกต ซงอาจจะเปนคาอธบาย หรอสญลกษณตาง ๆ ไดอก การเปลยนรปแบบให cursor รอรบขอความปกตใหเลอกคลก T จาก Tools Bar เครองหมาย prompt > จะหายไป จากนนเราสามารถพมพขอความไดตามตองการ สามารถเปลยนรปแบบ ขนาด และ สของตวอกษร ได จาก Character ใน Format Menu ซงรปแบบตวอกษรสามารถเลอกจาก Font Name ถาตองการภาษาไทย ตองเลอก Font Name ทมชอลงทายดวย UPC ขนาดของตวอกษร ระบท Size สของตวอกษรเลอกไดท Color ดงรปท 1.10

รปท 1.10



การพมพขอความทเปนขอความทางคณตศาสตรในเอกสาร นอกจากเลอกคลกจาก Palette ตาง ๆ ทกลาวมาแลว เราสามารถพมพจากคาสงบรรทดเดยวไดโดยเลอกคลก

Σ จาก Tool Bar เพอเปลยนประเภทขอมลเปนขอความทางคณตศาสตร ทไมประมวลผลจะมเครองหมาย ? สเขยวบนพนสดา เพอให cusor รอรบคาสงตามรปแบบ Maple [เชน

sum(n,n=1..5) ] แลวกด <Enter> จะไดรบขอความทางคณตศาสตร [เชน ∑=

5

1n

n ] ตาม

ตองการ จากนนใหเลอกคลก จาก Tool Bar เพอกลบไปส การพมพขอความตามปกต กอนการพมพเอกสาร ขอทบทวนและแนะนาแปนพมพพเศษทจาเปนในการพมพเอกสาร ดงน < Backspace> เปนแปนพมพทใชสาหรบลบตวอกษรทอยขางหนา cursor

เชน ถามขอความวา abcdef⏐ และม cursor เปนเสนตงอยถดจาก f ถากด <Backspace> จะลบ f และ cursor จะอยแทนท f

< Shift> ถาตองการพมพอกษรแถวบนของแปนพมพ หรอ ภาษา องกฤษตวใหญ ใหกด <Shift> คางไวและพมพแปนพมพท ตองการ < Insert> เปนสวตชเปลยนระหวางการพมพแทรกหรอพมพทบ ปกต จะอยในสภาวะพมพแทรก < Delete> เปนแปนพมพทใชสาหรบลบตวอกษรทอยถดจาก cursor

เชน ถามขอความวา abc⏐def และม cursor เปนเสนตงอยขางหนาตว d ถากด <Delete> จะลบ d

< Enter> เมอตองขนบรรทดใหม ในกรณพมพขอความปกต หรอบอกใหคอมพวเตอรรวาพมพคาสงจบแลวและให ประมวลผลได ในกรณทตองประมวลผล แบบฝกหดท 1.4 จงพมพคาสงใหหาผลรวมของ 1 ถง 10 ลงใน worksheet ซงสามารถสงไดดงน 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10; หรอ สงวา sum(n,n=1..10);



การคดลอกขอความ สมมตตองการคดลอกขอความบรรทดสดทายทวา sum(n,n=1..10); ใหมอกหนงขอความ สามารถทาไดตามขนตอนตอไปน (ใหทาตาม)

1. กาหนดขอบเขตทตองการคดลอก : ใชเมาสเลอน cursor ไปอยหนาขอความ (ตาม ตวอยางจะอยหนา s ) และคลกคางเลอนเมาสไปทางขวามอจะมแถบสดาตามขอความทตองการคดลอก แลวปลอย หรอใชแปนพมพลกศรเลอน cursor ไปอยหนาขอความ แลว กด <Shift> คางไว

จากนน กดแปนพมพลกศรทางขวา <→> ไปเรอย ๆ จะมแถบสดาตามขอความทตองการคดลอก และใหปลอยการกดแปนพมพทง <Shift> และ ลกศร เมอแถบสดาครอบคลมขอความทตองการคดลอก

2. คดลอก (Copy) : คลกท Edit ใน Menu Bar และ เลอก Copy หรอใชแปนพมพ <Ctrl>+C

3. วาง (Paste) : เลอก cursor ไปยงตาแหนงทจะนาขอความทตองการคดลอกไปวาง และ คลกท Edit ใน Menu Bar และ เลอก Paste หรอใชแปนพมพ <Ctrl>+V หมายเหต จะวางกครงกได ใหทาเฉพาะขนตอนท 3 ตามจานวนครงทวาง เชน ตองการวาง 3 ครง ให กด <Ctrl>+V 3 ครง โดยทาขนตอนท 1 และ 2 เพยงครงเดยว

การลบขอความ ถาเปนการลบขอความเลก ๆ นอย ๆ อาจจะใช <Backspace>หรอ <Delete> ตามทกลาวมาแลว แตถาเปนการลบขอความมาก ๆ เราตองกาหนดขอบเขตบรเวณทตองการลบกอน เชนเดยวกบการกาหนดขอบเขตทตองการคดลอกตามขนตอนท 1 ของการคดลอก เมอมแถบสดาตามบรเวณทตองการลบแลวใหกด <Delete> ขอความเหลานนจะถกลบตามตองการ ถาเกดการผดพลาดหรอตองการเรยกขอความทลบไปแลวคนให คลกท Tool Bar Undo ตามรปท 1.11

รปท 1.11 การแกไขขอความ สมมตวาตองการแกไข s ตวเลกเปน S ตวใหญ ในขอความ sum(n,n=1..10);



ทาไดโดยเลอน cursor ไปดานหลงตว s แลวใช <Backspace> ลบตว s ทงไป แลวพมพ S แทน แบบฝกหดท 1.5

1. จงพมพขอความ “ ∞ is infinity ” 2. คดลอกขอความทพมพตามขอ 1. มาอก 1 บรรทด

3. แกไขขอความท 2 เปน “ ∞ is symbol ” การขอความชวยเหลอจาก Help Maple ไดเตรยมคาอธบายพรอมตวอยางไวมากมายใน Help ซงมวธเรยกใช Help 2 วธ คอ

1. เลอกรายการตาง ๆ จาก Help ของ Menu Bar ซงมรายการทนาสนใจ เชน Introduction หรอ What’s New หรอ Using Help จะมลกษณะคลายกน คอ เปนการเขาส Help ตามรายการนน ๆ จากนนเราสามารถเลอก menu ตาง ๆ ตอไปอกตามทเราสนใจ Topic Search หรอ Full Text Search จะมลกษณะคลายกน คอ เปนการคนหวเรอง ขอความ คา หรอ คาสง ทเราสนใจรายละเอยดหรอคาอธบาย Balloon Help ถาเลอกรายการน (มเครองหมายถกอยขางหนา) จะม คาอธบายเปนขอความทก menu ทเมาสเลอน cursor ไปบรเวณ menu นน

2. พมพ ? ท worksheet ซงอาจจะพมพ ? แลวกด <Enter> หรอ พมพ ? แลวตามดวยหวเรอง หรอ ขอความ หรอ คา หรอ คาสง ทตองการ คาอธบายกได

ใน Help จะมคาอธบาย รปแบบของคาสง พรอมตวอยาง เราสามารถคดลอก ตวอยางมาทดลองการทางาน (Run) ใน worksheet ได โดยวธการคดลอกและการนามาวางใน worksheet ตามทกลาวมาแลว การออกจากหนาตาง Help ใหคลกท มมบนขวาของหนาตางน



แบบฝกหดท 1.6 จงปฏบตตามคาสงตอไปน 1. ใหเขาส Help ดวยการสง ? sum เลอน cursor ดคาอธบายไปจนถงตวอยางแรก แลวคดลอกตวอยางแรกมาทดลอง Run ใน worksheet (การ Run คอการ เลอน cursor ใหอย บรรทดทมคาสง แลว กด <Enter>) 2. ใหเขาส Help ดวยการสง ? diff แลวคดลอกตวอยางแรกมาทดลอง Run ใน worksheet 3. ใหเขาส Help ดวยการสง ? int แลวคดลอกตวอยางแรกมาทดลอง Run ใน worksheet 4. จงเลอน cursor ขนไปทตวอยางในขอ 1. คดลอกมาวางไวในขอ 4. แลวแกไขให s ตวเลกเปน S ตวใหญ แลว Run คาสงใหมใน worksheet แลวสงเกตผลทไดรบ ใชตอบคาถามในขอ 7. 5. จงเลอน cursor ขนไปทตวอยางในขอ 2. คดลอกมาวางไวในขอ 5. แลวแกไขให d ตวเลกเปน D ตวใหญ แลว Run คาสงใหมใน worksheet แลวสงเกตผลทไดรบ ใชตอบคาถามในขอ 7. 6. จงเลอน cursor ขนไปทตวอยางในขอ 3. คดลอกมาวางไวในขอ 6. แลวแกไขให i ตวเลกเปน I ตวใหญ แลว Run คาสงใหมใน worksheet แลวสงเกตผลทไดรบ ใชตอบคาถามในขอ 7. 7. จงสรปผลแตกตางของการสงดวยคาสงทขนตนดวยอกษรตวใหญกบคาสงทขนตนดวยอกษรตวเลก



แบบทดสอบ 1.1 การใชโปรแกรม Maple ชอ……………………………………. เลขท……….. คาสง เลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1 2 3 4 5 6 7 จากรปภาพขางบน ใชตอบคาถามขอ 1. ถงขอ 6. 1. เมอตองการออกจากโปรแกรม Maple จะตองคลกทรปภาพหมายเลขใด

ก. 1 ข. 4 ค. 5 ง. 7 2. เมอตองการขยาย Worksheet จะตองคลกทรปภาพหมายเลขใด

ก. 1 ข. 4 ค. 5 ง. 7 3. หมายเลขใดอยในบรเวณ Worksheet

ก. 1 ข. 3 ค. 5 ง. 6 4. หมายเลขใดทเปน Tools Bar

ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 5. หมายเลขใดใช ปดแฟมขอมลทกาลงใชอย

ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7 6. หมายเลขใดทชไปทเครองหมาย Prompt

ก. 2 ข. 3 ค. 6 ง. 7

7. Prompt ลกษณะใด ทแสดงวากาลงรอรบขอมลประเภทขอความทตองประมวลผล

ก. [> ข. [ ค. Σ ง. T



8. เครองหมายใดทใชปดทายขอความ/คาสง ทไมตองการใหแสดงผลลพธทางจอภาพ

ก. . ข. ; ค. : ง. %

9. คาสง ? sum หมายถงขอใด ก. พมพคาวา sum ข. ขอคาอธบายการใช sum ค. พมพผลรวม ง. สงคานวณ

10. %% หมายถงขอใด ก. หารอยละ ข. ยกกาลง ค. ผลลพธกอนสดทาย ง. ผลลพธสดทาย

11. ** หมายถงขอใด ก. หารอยละ ข. ยกกาลง ค. ผลลพธกอนสดทาย ง. ผลลพธสดทาย

12. คาสง Sum(x,x=1..5); กบคาสง sum(x,x=1..5); ตางกนหรอไม อยางไร ก. Sum ใหผลลพธการรวม ข. Sum ใหสญลกษณการรวม ค. ไมแตกตางกน ง. sum เปนคาสงทผด

13. คาสง Save กบคาสง Save As ตางกนหรอไม อยางไร ก. Save As ใชบนทกขอมลเมอตองการเปลยนชอแฟมขอมลใหม

ข. Save ใชบนทกขอมลเมอตองการเปลยนชอแฟมขอมลใหม ค. Save ใชบนทกขอมล สวน Save As ใชบนทกโปรแกรม

ง. ไมแตกตางกน 14. ขอใดเปนคาสง คดลอก (Copy)

ก. <Ctrl>+C ข. <Ctrl>+P ค. <Ctrl>+V ง. <Ctrl>+X

15. ขอใดเปนคาสง วาง (Paste) ก. <Ctrl>+C ข. <Ctrl>+P ค. <Ctrl>+V ง. <Ctrl>+X





การพมพขอความทางคณตศาสตร ทตองประมวลผล กอนพมพขอความทางคณตศาสตร ทตองประมวลผล ตองตรวจสอบเครองหมาย prompt ใหอยในรป > กอน หากไมใชใหเลอกคลก จาก Tool Bar และหลงจากการพมพคาสงแลวอยาลมปดดวย เครองหมาย ; หรอ : กอน <Enter> คาสง จงเปดแฟมขอมล Worksheet12.mws จาก Drive A: ทาแบบฝกหดตอไปน แลวบนทกโดยเปลยนชอแฟมขอมลเปน 1b ตามดวยรหสประจาตวนกศกษา ลงใน Drive A: แบบฝกหดท 1.7 จงเตมผลลพธของคาสงตอไปน 1. > 25/5+5; คาตอบ ……………………. 2. > 5-25/5; คาตอบ ……………………. 3. > (5-25)/5; คาตอบ ……………………. 4. > 5**2; คาตอบ ……………………. 5. > 3^2; คาตอบ ……………………. โดยปกต Maple จะแสดงผลลพธของการหารในรปของเศษสวน > 1/3;

31

หากตองการใหอยในรปทศนยม ตองใชคาสง evalf ดงน > evalf(%); .3333333333 โดยปกต Maple จะแสดงผลลพธ 10 เลขโดด หากตองการใหแสดงผลลพธใหมจานวนเลขโดดตามตองการสามารถระบได ดงน > evalf(1/3,20); .33333333333333333333 หรอถาตองการใหทกผลลพธตอไปนแสดง 30 เลขโดด สามารถสงไดโดยใชคาสง Digits (ตว D ตองเปนตวพมพใหญ) ดงน > Digits:=30: > evalf(1/3);



.333333333333333333333333333333 ในการคานวณถาขอมลอยในรปทศนยมผลลพธจะอยในรปทศนยมดวย เชน > 3/2*5;

2

15

> 1.5*5; 7.5 Maple ไดกาหนดคาคงตว ทใชเปนประจาไวเรยบรอยแลว เชน คา i (คอ 1− ) ,

π เปนตน และสามารถเรยกใชคาเหลาน โดยใช I และ Pi (ขนตนดวยอกษรตวใหญ) > I^2; -1 > (1+I)/(3-2*I);

135

131

+ I

> Pi;

π > evalf(%); 3.141592654 >sin(Pi); 0 Maple รจกทจะทางานกบตวแปรในทางคณตศาสตร โดยไมตองกาหนดวาเปนตวแปร > (1+x)^2;

2)x1( + Maple จะทาผลลพธใหเปนอยางงายโดยอตโนมต เชน > (1+x)+(3-2*x); 4 – x

Maple มคาสงมากมายทจะทางานกบ ขอความทางคณตศาสตรทมสญลกษณ เชน คาสง กระจายขอความ expand

> expand((1+x)^2); 1 + 2x + x2



คาสง แยกตวประกอบ factor > factor(%); (1 + x)2 หาแฟกทอเรยล (factorial) ของจานวนเตม ใชคาสง ดงน เชน หาคา 10! > 10!; 3628800 ถาตองการทราบความยาวของตวเลขโดดทอยในผลลพธ ใชคาสงดงน > length(%); 7 หาตวประกอบของจานวนเตม ใชคาสง ifactor ดงน เชน หาตวประกอบของ 60 > ifactor(60); (2)2 (3) (5) การตรวจวาจานวนใดเปนจานวนเฉพาะหรอไม ใชคาสง isprime ดงน > isprime(5); true > isprime(15); false พจารณาการขนตนอกษรตวใหญและอกษรตวเลกในคาสงมผลแตกตางกน คอ ขนตนดวยอกษรตวเลกจะใหผลสาเรจ เชน > sum(n^2,n);

n61n

21n

31 23 +−

ขนตนดวยอกษรตวใหญจะใหผลในรปสตร และถาตองการผลสาเรจตองใชคาสง value เชน > Sum(n^2,n); ∑

n

2n

> value(%);

n61n

21n

31 23 +−



เนองจาก Maple จะเกบสามผลลพธสดทายไวโดยอตโนมต แตบางครงเราตองการ ผลลพธมากกวานน และเพอมใหเกดความผดพลาดในการใชผลลพธ เราควรเกบผลลพธไวกบตวแปร ซงสามารถกระทาไดดงน เชน ตองการเกบผลลพธ 3+5 ไวกบตวแปร a ใชคาสง ดงน > a:= 3+5; a:=8

หรอ เกบผลลพธภายหลงจาก Maple ประมวลผล 3+5 ไปแลวกได เชน > b:=%/2; b:=4 และสามารถนา ตวแปร a และ b ไปใชได เชน > (a+b)/2; 6 การกาหนดชอใหกบขอความ เราสามารถกาหนดชอใหกบขอความ ซงอาจจะเปน คาคงตว ตวแปร สมการ ฟงกชน เซต โดยใชรปแบบ ชอ := ขอความ เชน กาหนดให คา 25 เกบในชอ test > test := 25; test := 25

กาหนดให x*y เกบในชอ mama > mama := x*y; mama := x*y

กาหนดให สมการ x = y + 3 เกบในชอ equa > equa := x = y + 3; equa := x = y + 3

กาหนดให ฟงกชน f(x) = 2x2 – 3x + 4 เกบในชอ f > f := x -> 2*x^2 –3*x+ 4; f := x -> 2x2 – 3x + 4



การตงชอขอความ ใหใชตวอกษร เครองหมายขดเสนใต ตวเลข หามขนตนดวย ตวเลข และหามตงชอตรงกบคาสงวนทกาหนดไวแลว เชน หาม ตงชอวา Pi เพราะ Pi

เกบคา π ไว อกษรตวเลกตวใหญในชอถอวาตางกน เชน A กบ a ถอวาเปนคนละชอ เมอกาหนด ชอหรอตวแปร ใหกบขอความตาง ๆ แลว ชอหรอตวแปรเหลานนจะถกเกบไวในหนวยความจาตลอดเวลาจนกวาจะออกขาก Maple หรอใชคาสง restart (ขนตนดวย r ตวเลก) เพอลบ ชอหรอตวแปร ทกตวออกจากหนวยความจา ดงนนเพอไมใหเกดความสบสนเกยวกบ คาของตวแปร ทยงคางอยในหนวยความจา ควรใชคาสง restart: กอนเรมทางานใหมทกครง แบบฝกหด 1.8 จงพจารณาการกาหนดชอตอไปนวา กาหนดได หรอ ไม หากกาหนดไมได

ใหบอกเหตผลดวย

> Pi:=2; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> pi:=2; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> set:=2; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> 3a:=3; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> a3:=5; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> _a:=3; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> A:=2; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> a:=3; กาหนด ได ไมได เพราะ………………………………..

> infinity:=4; กาหนด ได ไมได เพราะ……………………………….

> Infinity:=5; กาหนด ได ไมได เพราะ………………………….…… แบบของออปเจก (Object) ใน Maple Maple แบงออปเจกออกเปน 6 แบบ คอ expression sequences, lists, sets, arrays, tables และ strings ซงแตละแบบมรายละเอยด ดงน

1. Expression Sequences Expression Sequences (ลาดบขอความ) เปนกลมของขอความทถอลาดบตาแหนงการอยหนาหลงเปนสาคญ แบงกนระหวางสมาชกดวยเครองหมาย , เชน > 5, 6, 2, 3, 4;



5, 6, 2, 3, 4 > a, x, y, z, b; a, x, y, z, b ถงแมจะมสมาชกในขอความทเหมอนกนแตอยคนละตาแหนงกถอวาเปนสมาชกคนละตว ไมสามารถนาจานวนหรอตวแปรมาบวก ลบ คณ หาร กบ กลมขอความนได นอกจากใชลาดบขอความเหลาน เปนดชนของตวแปร โดยใชเครองหมาย “ . ” เปนตวเชอม เชน > S:= 1, 2, 5, 1; S:= 1, 2, 5, 1 > a.S; a1, a2, a5, a1 ในการเขยนสมาชกของลาดบขอความน ใชชอของลาดบขอความตามดวยตาแหนงของสมาชกในวงเลบ [ ] ดงตอไปน > S[3]; 5 > S[3] + S[4]; 6 เราอาจกาหนดชอของสมาชกแตละตวในลาดบขอความได เชน > f, g, h := 3, 7, 2; > g; 7

2. Lists Lists เปนกลมของขอความทมลกษณะคลายกบ expression sequences มากแตมขอกาหนดและคณสมบตแตกตางกนบางเลกนอย เชน การเขยน lists จะเขยนสมาชกแตละตวคนดวยเครองหมาย , เหมอนกบ expression sequences แตตองเขยนสมาชกทงหมดอยในวงเลบ [ ] และมคณสมบตเพมเตมจาก expression sequences คอ สามารถนาจานวนหรอตวแปรมา คณ หรอ หาร lists ได ซงหมายถงการคณ การหาร สมาชกใน lists แตละตวนนเอง ไมสามารถใช lists ในลกษณะเปนดชนของตวแปรแบบ expression sequences ได



> data := [1, 5, 4, 3, 2, 1]; data := [1, 5, 4, 3, 2, 1] > data[2]; 5 > data*5; [5, 25, 20, 15, 10, 5] > animal :=[cat, dog, rat, cow]; animal :=[cat, dog, rat, cow] > animal/5;

[51 cat,

51 dog,

51 rat,

51 cow]

ตาแหนงและการแทนคาของสมาชกใน lists มความสาคญเชนเดยวกบ expression sequences กลาวคอ lists ตอไปน มความแตกตางกน [a, b, c], [a, c, b], [a, b, c, a, a] ใชคาสง nops ในการหาจานวนสมาชกใน lists เชน > nops(data); 6 > nops(animal); 4 ใชคาสง op ในการเปลยน lists เปน expression sequences เชน > op(animal); cat, dog, rat, cow แบบฝกหด 1.9 กาหนดให cap := 1, 3, 5, 4, 2; cup:= [a, b, c, d, e]; จงเตมผลลพธตอไปน

1. cap[3] คาตอบ …………………... 2. cup[3] คาตอบ …………………… 3. cap[2]+3 คาตอบ …….……………… 4. cup[4]+4 คาตอบ …..……………….. 5. cup[cap[3]] คาตอบ …..………………..



3. Sets Sets ใน Maple สรางขนมาเพอสอดรบกบเซตในทางคณตศาสตร รปแบบการกาหนดเซต คลายกบ lists ตางกนตรงชนดของวงเลบ ในเซตใชวงเลบ { } แทน [ ] สาหรบคณสมบตของเซตตางจาก lists มาก เชน ในเซตไมถอลาดบของสมาชกเปนสาคญ สมาชกทซากนจะถอวาเปนสมาชกตวเดยวกน กลาวคอ เซตตอไปนถอวาเปนเซตเดยวกน {a, b, c}, {a, c, b}, {a, b, c, a, a} > {a, b, c}, {a, c, b}, {a, b, c, a, a}; {a, b, c}, {a, b, c}, {a, b, c} ขอควรจา ใน Maple จานวนเตม 2 กบทศนยมคาประมาณ 2.0 ถอวาแตกตางกน พจารณาจากเซตตอไปน ถอวามสมาชก 3 ตว > {1, 2, 2.0}; {1, 2, 2.0} ใชคาสง nops หาจานวนสมาชกใน set > nops(%); 3 ใชคาสง op ในการเปลยน sets เปน expression sequences > op({1, 2, 3, a, b}); 1, 2, 3, a, b พจารณาการใชคาสง map กบ sets ดงน > number := {0, Pi/3, Pi/2, Pi};

number := {0, π, 31 π,

21 π}

> map(g,number);

{g(0), g(π), g(31 π), g(

21 π)}

> map(sin,number);

{0, 1, 321 }



การกระทากนของเซต คาสงทใชในการกระทากนของเซตทสาคญม 3 คาสง คอ intersect, union และ minus ซงใชดงน > A :={1, 2, 3, 4}; A :={1, 2, 3, 4} > B :={3, 4, 5, 6}; B :={3, 4, 5, 6}

หา A ∩ B ไดดงน > A intersect B; {3, 4}

หา A ∪ B ไดดงน > A union B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} หา A - B ไดดงน > A minus B; {1, 2} ตอไปนเปนคาสงทเกยวกบการกระทาซงใชไดทง lists และ sets คาสง member ใชตรวจสอบสมาชก ดงน > abc := [Dang, Tong, Saree]; abc := [Dang, Tong, Saree] > member(Tong,abc); true > A := {1, 2, 3, 4, 5}; A := {1, 2, 3, 4, 5} > member(7,A); false แสดงวา 7 ไมเปนสมาชกของ A หรอ 7 ∉ A > { }; คอ เซตวาง > [ ]; คอ lists วาง



แบบฝกหด 1.10 จงใช Maple กาหนดเซต A, B, C โดยให A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} , C = {1, 3, 4} และหาคาผลลพธตอไปน

1. A ∩ B

2. A ∪ C

3. (A ∪ B) - C

4. A - (C ∩ B)

4. Arrays Arrays เปนสวนขยายของ lists กบโครงสรางขอมล ซงอาจกลาวไดวา Arrays เปน lists ของ lists ทสมาชกแตละตวของ Arrays มความสมพนธกบตาแหนงซงม ดชนทเปนจานวนเตมบวก ตวอยาง เชน กาหนดให aaa เปน array ทมดชนเปน 1, 2, 3 กาหนดดงน > aaa := array(1..3); aaa := array(1..3,[ ]) การกาหนดคาใหกบสมาชกของ Array กระทาไดดงน > aaa[1]:=12; aaa[2]:=25; aaa[3]:=5; aaa1:=12 aaa2:=25 aaa3:=5 > print(aaa); [12, 25, 5] ตวอยางขางตนเปน Array ทมเพยง 1 มต เราสามารถกาหนดให Array ม

มากกวา 1 มตได ดงน เชน ตองการให bbb เปน 3 × 3 Array กาหนด ดงน > bbb := array(1..3,1..3); bbb := array(1..3,1..3,[ ]) การกาหนดคาใหกบสมาชกของ Array กระทาไดดงน > bbb[1,1]:=1; bbb[1,2]:=1; bbb[1,3]:=1; bbb1,1:=1 bbb1,2:=1



bbb1,3:=1 > bbb[2,1]:=2: bbb[2,2]:=4: bbb[2,3]:=8: > bbb[3,1]:=3: bbb[3,2]:=9: bbb[3,3]:=27: > print(bbb);

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2793842111

> bbb[2,3]; 8 การนยามและกาหนดคาใน Array อาจกาหนดอยในคาสงรปแบบ Maple ดงน > ccc := array(1..3,1..3,[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]);

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

987654321

:ccc

5. Tables

Tables คลาย Array ตางกบ Array ตรงทวา ดชนของ Array ตองเปนจานวนเตม สวนดชนของ Tables เปนอะไรกได ดงตวอยางตอไปน > ttt :=table([mass=12, radius=250, error=0.5]); ttt:=table([ radius=250 mass=12 error=.5 ]) > ttt[mass]; 12

6. Strings Strings เปนออปเจกทเปนขอความ ซงประกอบดวยอกขระ/สญลกษณอะไรกไดแตจะตองอยในเครองหมายคาพด เชน > st := “This is my string.”; st := “This is my string.”



เราสามารถแสดงบางสวนของ String ไดโดยใชชอของ String ตามดวยตาแหนงทเรมแสดง คนดวยจดสองจด .. ตามดวยตาแหนงตวสดทายทแสดงอยในวงเลบ [ ] การนบตาแหนงถานบจากซายไปขวาจะมทศเปนบวก แตถานบจากขวาไปซายจะมทศเปนลบเชน ตองการแสดงคาวา my string ซงเปนบางสวนของ st เนองจาก m เปนตาแหนงท 9 นบจากซายสด และ g เปนตาแหนงท 14 นบจากซายสด หรอตาแหนงท 2 นบจากขวาสด (นบ . ดวย) ดงนนคาสงเปน st[9..14]; หรอ st[9..-2]; > st[9..14]; st[9..-2]; “my str” “my string” > st[6..-9]; “is my” แบบฝกหดท 1.11 กาหนดให abc คอ ”123456789” จงเตมผลจากคาสงตอไปน > abc:=”123456789”: >abc[3..7]; คาตอบ ……………………….. >abc[3..9]; คาตอบ ……………………….. >abc[3..-2]; คาตอบ ……………………….. >abc[-7..7]; คาตอบ ……………………….. >abc[-7..-3]; คาตอบ ……………………….. ถาตองการใหไดขอความวา “567” ใชคาสง คอ …………………….. ถาตองการใหไดขอความวา “234” ใชคาสง คอ …………………….. นอกจากนเราสามารถใชคาสง cat หรอ . ชวยในการเชอมตอ string ไดดงน > ttt:=cat(“I can’t belive ”,st); ttt:=“I can’t belive This is my string.” > ttt:=“I can’t belive ”.st; ttt:=“I can’t belive This is my string.”



การแกสมการ ใชคาสง solve ในการแกสมการ ดงน > solve({x^2=4},{x}); {x = 2}, {x=-2} > solve({x^3-13*x+12=0},{x}); {x = 1}, {x = 3}, {x=-4} > solve({a*x^2+b*x+c=0},{x});

{x = a

ac4bb21 2 −+− }, {x=

aac4bb

21 2 −−− }

การแกระบบสมการ หรอการหาจดตดของสมการ หาไดโดยใชคาสง solve ดงน เขยนระบบสมการในรปของเซต และเพอความสะดวกในการเรยกใชสมการเราอาจตงชอระบบเปน eqns ดงน > eqns := {x+2*y=3, y+1/x=1};

eqns := {x+2y=3, y+x1 =1}

แกระบบสมการ และตงชอผลลพธเปน soln ดงน > soln := solve(eqns,{x,y});

soln := {x = -1, y = 2}, {x = 2, y = 21 }

ผลการแกสมการจะอยในรปแบบของ list ซงสามารถเรยกใชสมาชกแตละตวของ list ไดดงน > soln[1]; {x = -1, y = 2} > soln[2];

{x = 2, y = 21 }

> soln[1,1]; x = -1



การตรวจสอบคาตอบ เราสามารถใชคาสง subs หรอ eval ในการตรวจสอบคาตอบ ดงน คาสง subs ใชในการแทนคา เชน ตองการแทนคา x = x+y ใน z2 + 3 ใชคาสงดงน > subs({z=x+y}, z^2 + 3); (x + y)2 + 3 สามารถนามาใชในการตรวจสอบคาตอบของสมการ เชน ตองการตรวจสอบวา 2 เปนคาตอบของ x + 2 = 4 หรอไม ทาไดดงน > subs(x=2,x+2=4); 4 = 4 จะเหนวาทงสองขางของสมการเทากน 2 จงเปนคาตอบของสมการ x + 2 = 4 > subs(soln[1],eqns); ซงหมายถง > subs({x=-1,y=2},{x+2*y=3,y+1/x=1}); {1 = 1, 3 = 3} นนแสดงวา soln[1] หรอ {x=-1,y=2} เปนคาตอบของระบบสมการ eqns หรอ{x+2*y=3,y+1/x=1} นอกจากใชคาสง subs ในการตรวจสอบตาตอบของสมการแลว ยงสามารถใชคาสง eval ชวยตรวจสอบคาตอบของสมการได โดยมรปแบบของคาสง ดงน > eval(eqns,soln[1]); {1 = 1, 3 = 3} > eval(x^2=4,x=3); 9 = 4 จะเหนวาทงสองขางของสมการไมเทากน นนคอ 3 ไมใชคาตอบของสมการ x2 = 4 ขอสงเกต คาสง eval ตองเขยนสมการอยหนาคาตอบ สวนคาสง subs เขยนตาตอบอยหนา สมการ



แบบฝกหดท 1.12 จงใช Maple หาคาตอบของสมการ และ ระบบสมการตอไปน 1. x2 + 3x – 4 = 0 2. x2 + 8x = 65 3. x2 + 8x + 15 = 0 4. {x + y = 2 , x – y = 5} 5. {x + 2y = 3 , y – x = 2} 6. {x + y = 3, y – x = 2}

จงใช Maple ตรวจสอบวา คาตอบตอไปน เปนคาตอบของ สมการ หรอ ระบบสมการ ทกาหนดให หรอไม 7. x = 1 , x2 + 3x = 4 8. x = 5 , x2 + 3x = 4 9. x = 3 , 2x – 5 = 1

10. {x = 31 , y =

35 }, {x + y = 3 , y – 2x = 2}

11. {x = 27 , y =

23 }, {x + y = 5 , x – y = 2}

12. {x = 1, y = 3}, {x + y = 3, y – x = 2}



แบบทดสอบ 1.2 การใชคาสงการคานวณเบองตน ชอ……………………………………. เลขท……….. คาสง เลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. คาสง 5^2+2; ไดผลลพธตรงกบขอใด

ก. 12 ข. 27 ค. 625 ง. เปนคาสงทไมถกตอง 2. คาสง 5/2*5; ไดผลลพธตรงกบขอใด

ก. 12.5 ข. .5

ค. 252

ง. ไมมคาตอบทถกตอง

3. คาสง 2.5*5; ไดผลลพธตรงกบขอใด ก. 12.5 ข. .5

ค. 252

ง. ไมมคาตอบทถกตอง

4. ถาคาสงของบรรทดกอนหนาเปน 1+2; 3+5; 5+6; ผลลพธของคาสง %%%; จะเปนขอใด

ก. 3 ข. 8 ค. 11 ง. 3 8 11 5. หลงจากทาคาสง %%%; ตามขอ 4. แลว ถาพมพคาสง %%; อก ผลลพธจะเปนขอใด

ก. 3 ข. 8 ค. 11 ง. 3 8 11 6. ขอใดเปนการกาหนดชอทถกตอง

ก. Pi:=4: ข. pi:=5: ค. Pi=6: ง. pi=7: 7. ขอใดใชกาหนดเปนชอของตวแปรไมได

ก. 4var ข. var5 ค. _var ง. Alpha 8. ใชคาสงในขอใด กาหนดฟงกชน f(x)= 2x2 + 7x - 5

ก. f(x)=2*x^2+7*x-5; ข. f(x):=2*x^2+7*x-5; ค. f:=x->2*x^2+7*x-5; ง. f:=(x)=2*x^2+7*x-5;

9. ถาให dad := 1, 3, 2, 4; และ mom := [B, O, Y, S]; ขอใดเปนผลลพธของคาสง mom[dad[2]];

ก. B ข. O ค. Y ง. S



10. ถาให A := {1, 3, 2, 4}; และ B := {1, 2, 1, 4}; หา A ∪ B ใชคาสงใด ก. A union B; ข. union(A,b); ค. A minus B; ง. minus(A,B);

11. จากสงทกาหนดใหตามขอ 10. คาสง member(3,B); ไดผลลพธเปนขอใด ก. true ข. false ค. Ok ง. Nok

12. ให maple := “Computer Algebra System”; คาสง maple[2..-2]; ใหผลลพธเปนขอใด

ก. {} ข. [] ค. “Algebra” ง. “omputer Algebra Syste”

13. ขอใดเปนคาสงทใชแกสมการ ก. eval(x, x+4=2); ข. evalf(x+4=2, x); ค. solve(x+4=2, x); ง. subs(x=-2, x+4=2);

14. ขอใดเปนคาสงทใชตรวจสอบคาตอบการแกสมการ ข. eval(x, x+4=2); ข. evalf(x+4=2, x); ค. solve(x+4=2, x); ง. subs(x=-2, x+4=2);

15. ขอใดเปนคาสงทใชแกระบบสมการ ก. eval({x,y},{x+y=2,x-y=1}); ข. evalf({x+y=2,x-y=1},{x,y}); ค. solve({x+y=2,x-y=1},{x,y}); ง. subs({y=1/2,x=3/2},{x+y=2,x-y=1});



การใชคาสงแสดงกราฟ

การแสดงกราฟ 2 มต ใชคาสง plot ในการสรางกราฟ 2 มต สงจาเปนทตองระบในคาสง plot คอ

ฟงกชน y = f(x) และ โดเมน เชน

ตองกราฟสรางกราฟ 2 มต ของ f(x) = sin(x) บนโดเมนจาก -π ถง π ใชคาสงดงน > plot(sin(x), x=-Pi..Pi);

รปท 1.12 ตองกราฟสรางกราฟ 2 มต ของ f(x) = 7sin(x)+sin(7x) บนโดเมนจาก 0 ถง 10

ใชคาสง ดงน (เพอความสะดวกเราอาจะนยาม ฟงกชน f(x) กอน)

> f:=x->7*sin(x)+sin(7*x); f:=x->7sin(x)+sin(7x) >plot(f(x),x=0..10);



รปท 1.13 จากตวอยางขางบน จะเหนวารปแบบคาสง plot ทกลาวมาแลวใชสรางกราฟ 2 มตไดเฉพาะสมการทสามารถเขยนอยในรปของฟงกชน f(x) เทานน ถาตองการสรางกราฟวงกลม จากสมการ x2 + y2 = 1 คงทาไมได จะตองใช สมการในรปทมพารามเตอร t ตอไปนแทน x=cos(t), y=sin(t) และสามารถสรางกราฟวงกลมดวยคาสง plot ดงน > plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);

รปท 1.14 นอกจากนเราสามารถสรางกราฟของหลาย ๆ ฟงกชนใหอยในรปกราฟเดยวกนได โดยเขยน คาของฟงกชนเหลานนไวในเซต { } ดงน > plot({sin(x),cos(x)},x=-Pi..Pi);



รปท 1.15 หรออาจเขยนคาของฟงกชนเหลานนไวใน list [ ] ดงน > plot([x, x^2, x^3, x^4], x=-10..10, y=-10..10);

รปท 1.16 การสรางกราฟของฟงกชนทไมตอเนอง พจารณาฟงกชน f ตอไปน

⎪⎩

⎪⎨

⎧<≤<−

=otherwise 3

2 x 1 if 11 xif 1

)x(f

ซงเปนฟงกชนไมตอเนอง สามารถนยามฟงกชนโดยคาสง piecewise และสรางกราฟโดย คาสง plot ไดดงน > f:=x-> piecewise(x<1, -1, x<2, 1, 3); f:=->piecewise(x<1, -1, x<2, 1, 3)



> plot(f(x), x=0..3);

รปท 1.17 โดยปกต Maple จะแสดงกราฟตอเนอง ถาตองการแสดงใหเหนสวนทไมตอเนองจะตองระบเงอนไข discont=true ในคาสง ดงน > plot(f(x), x=0..3, discont=true);

รปท 1.18 แบบฝกหดท 1.13 จงสรางกราฟของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = 5x - 3 2. g(x) = 3x2 + 2x – 5 3. h(x) = cos(2x)



4. k(x) = 3 if x 02 if 0 < x 11 if x > 1

≤⎧⎪ ≤⎨⎪⎩

5. จงเขยนกราฟของฟงกชน f และ g จากขอ 1., 2. ใหอยในรปเดยวกน การสรางกราฟ 3 มต

ใชคาสง plot3d ในการสรางกราฟ 3 มต ฟงกชนทใชสรางกราฟอยในรป z=f(x,y) สงจาเปนทตองระบในคาสง plot3d คอ ฟงกชน z = f(x,y) และ โดเมนทเปนบรเวณบนระนาบ xy เชน ถาตองการสรางกราฟ 3 มต ของ f(x,y) = sin(xy) บนโดเมนในระนาบ xy ทกาหนดโดย x จาก -2 ถง 2 และ y จาก -2 ถง 2 ใชคาสงดงน > plot3d(sin(x*y),x=-2..2,y=-2..2);

รปท 1.19

เราสามารถดกราฟ 3 มตในมมมองตาง ๆ ได โดยใชเมาสคลกทรปกราฟจะมกรอบสเหลยมปรากฏ ใหกดเมาสคางไวในบรเวณกรอบสเหลยม แลวลากเมาสเพอเปลยนตาแหนง จะไดรปกราฟ 3 มต ในมมมองตาง ๆ ตามทตองการ ถาตองกราฟสรางกราฟ 3 มต ของ f(x,y) = sin(x)cos(y) บนโดเมนในระนาบ xy

ทกาหนดโดย x จาก 0 ถง 2π และ y จาก 0 ถง 2π ใชคาสงดงน > f:=(x,y)-> sin(x)*cos(y); f:=(x,y)->sin(x)cos(y) > plot3d(f(x,y), x=0..2*Pi, y=0..2*Pi);



รปท 1.20 บางสมการไมสามารถใชสรางกราฟ 3 มตไดโดยตรง จะตองใชสมการในรปพารามเตอรเขาชวย ซงมรปแบบของคาสงดงน plot3d([x-expr, y-expr, z-expr], parameter1=range, parameter1=range); เชน > plot3d([sin(s), cos(s)*sin(t), sin(t)], s=-Pi..Pi, t=-Pi..Pi);

รปท 1.21 แบบฝกหดท 1.14 จงสรางกราฟ 3 มต จากฟงกชนทกาหนดให ตอไปน บนโดเมนใน

ระนาบ xy ทกาหนดโดย x จาก 0 ถง 2π และ y จาก 0 ถง 2π 1. f(x,y) = sin(x)+cos(y) 2. f(x,y) = x2 -3xy + y2 3. f(x,y) = 2 sin(3x) cos(y)



การสรางภาพเคลอนไหว (Animation) การสรางภาพเคลอนไหวใชคาสง animate ซงเปนคาสงทอยใน plots package การเรยกใช plots package ใชคาสงวา with(plots): ภาพเคลอนไหวใน 2 มต มคาสงและรปแบบดงน animate(y-expr, x=range, time=range); ถาตองการแสดงภาพเคลอนไหวของ y=sin(x) บนโดเมน x จาก -10 ถง 10 โดยทตองการเปลยนแปลงคา x จาก 1 เทา ถง 2 เทา สามารถคาสงไดดงน > with(plots): > animate(sin(x*t), x=-10..10, t=1..2); แสดงการเคลอนไหว

รปท 1.22 หลงจากไดกราฟ ใหคลกทกราฟจะไดกรอบสเหลยมและ รปเครองมอแสดงการเคลอนไหว ดงรปท 1.22 ใหทดลองเลอกคลกเครองมอแสดงการเคลอนไหว จะเหนการเคลอนไหวของภาพตามตองการ โดยปกตการแสดงภาพเคลอนไหวใน 2 มต จะแสดงทงสน 16 ภาพ (frames) ถาเราตองการใหมจานวนภาพมากกวา หรอนอยกวานกสามารถกาหนดได ดงน



> animate(sin(x*t), x=-10..10, t=1..2, frames=50); ภาพเคลอนไหวใน 3 มต มคาสงและรปแบบดงน animate3d(z-expr, x-range, y=range, time=range);

ถาตองการแสดงภาพเคลอนไหวของ y=cos(x)sin(x) บนโดเมน x จาก -π

ถง π และ y จาก -π ถง π โดยทตองการเปลยนแปลงคา x และ y จาก 1 เทา ถง 2 เทา สามารถคาสงไดดงน > animate3d(cos(t*x)*sin(t*y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..2);

รปท 1.23 คลกทกราฟจะไดกรอบสเหลยม และเครองมอแสดงการเคลอนไหว ขณะทภาพเคลอนไหวเรายงสามารถพลกมองภาพในทศทางตาง ๆ ได โดยการกดเมาสคางในบรเวณสเหลยมแลวลากเมาส แบบฝกหดท 1.15 จงสรางภาพเคลอนไหวตอไปน

1. กราฟของ cos(xt) เมอ x อยระหวาง –10 ถง 10 และ t อยระหวาง 1 ถง 2 2. กราฟของ f(x) = ax + 10 เมอ x และ a อยระหวาง -10 ถง 10 3. กราฟของ f(x) = x + a เมอ x และ a อยระหวาง -10 ถง 10 4. กราฟของ f(x) = ax2 + 3x –5 เมอ x อยระหวาง –10 ถง 10 และ a อย

ระหวาง 1 ถง 10 5. กราฟของ f(x) = 5x2 + a เมอ x และ a อยระหวาง -10 ถง 10 6. กราฟของ f(x) = ax2 + b เมอ x , a และ b อยระหวาง –10 ถง 10



แบบทดสอบ 1.3 การใชคาสงแสดงกราฟ ชอ……………………………………. เลขท……….. คาสง เลอกคาตอบทถกตองทสดเพยงคาตอบเดยว 1. ใชคาสงในขอใด กาหนดฟงกชน f(x,y)= x+y

ก. f(x,y) = x+y; ข. f(x,y) := x+y; ค. f:=(x,y)-> x+y; ง. f:=(x,y) = x+y;

2. ใชคาสงในขอใด กาหนดฟงกชน f(x)= -2 เมอ x < 1 และ f(x) =2 เมอ x ≥ 1 ก. f:=x->piecewise(x<1,-2,x>1,2,x=1,2); ข. f:=x->piecewise( x>1,2,x=1,2,-2); ค. f:=x->piecewise( x<1,-2,2); ง. ถกทกขอ

3. ตองการแสดงกราฟของ f(x)=cos(x) บนโดเมน x จาก -π ถง π ใชคาสงใด ก. plot(f(x), x=-Pi..Pi); ข. plot(f(x)=cos(x), x=-Pi..Pi); ค. plot(cos(x), x=-Pi..Pi); ง. plot3d(cos(x), x=-Pi..Pi);

4. ถากาหนดให f(x)=2x+7 และ g(x)=3x2-5 ขอใดเปนคาสงแสดงกราฟของ f และ g ใหอยในรปเดยวกน

ก. plot([2*x+7,3*x^2-5], x=-Pi..Pi); ข. plot({2*x+7,3*x^2-5}, x=-Pi..Pi); ค. plot((2*x+7,3*x^2-5), x=-Pi..Pi); ง. ถกทงขอ ก. และ ขอ ข.

5. คาสงใดเปนคาสงสรางกราฟ 3 มต ก. plot(2*x+7*y, x=-10..10, y=-10..10); ข. plot3d(2*x+7, x=-10..10, y=-10..10); ค. plot3d(2*x+7*y, x=-10..10); ง. plot3d(2*x+7*y, x= y =-10..10);



6. คาสงสรางภาพเคลอนไหวอยใน package ซงกอนจะใชคาสงนตองเปด package นน ดวยคาสงในขอใด

ก. with(plots): ข. with(animate): ค. with(package): ง. with(plot3d):

7. คาสงใดเปนคาสงสรางภาพเคลอนไหว 2 มต ก. animate(2*x+7*y, x=-10..10, y=-10..10); ข. animate(2*x+7, x=-10..10); ค. animate(2*x+7*y, x=-10..10); ง. ไมมคาตอบทถก

8. คาสงใดเปนคาสงสรางภาพเคลอนไหว 3 มต ก. animate3d(t*x^2+7*y, x=-10..10, y=-10..10,t=1..10); ข. animate3d(2*x^2+7*y, x=-10..10,y=-10..10); ค. animate3d(t*x^2+7*y, t=1..10); ง. ไมมคาตอบทถก



การใช Maple ในเมตรกซ

การเขยนเมตรกซ ใน Maple เขยนเมตรกซได 3 วธ ดงน วธทหนง โดยคลกท View Menu แลวเลอก Palette จากนนคลกท Matrix Palette ใสคา

ตามมตทเลอก หากตองการปดหนาตางของ Palette ใหคลกทเครองหมาย - ดานบนซายของกรอบ วธนมขอเสยคอสามารถเขยนเมตรกซไดไมเกนขนาด 4 × 4

วธทสอง โดยใชคาสง array มรปแบบ ดงน array(1..m,1..n,[]); เมอ m, n คอจานวนแถว และ หลก ตามลาดบ

เชน

วธทสาม โดยใชคาสง matrix มรปแบบ ดงน matrix([]);

หรอ matrix(m,n,[]); เมอ m, n คอจานวนแถว และ หลก ตามลาดบ เชน



คาสง จงสรางเมตรกซขนาด 6 × 6 ตอไปน โดยคาสง array หรอ matrix

เมตรกซทรานสโพส คาสงทใชในการหาทรานสโพสเมตรกซ คอ transpose(); หมายเหต กอนใชคาสงนตองเปด Package linalg (linear algebra package based on array data structures) โดยเปด Package ดวยคาสง with(linalg):

เชน

การบวกเมตรกซ คาสงทใชในบวกเมตรกซ คอ matadd(,); เชน เมตรกซ A บวก เมตรกซ B ใชคาสงวา matadd(A,B);



การลบเมตรกซ คาสงทใชในบวกเมตรกซ คอ matadd(,-); เชน เมตรกซ A ลบ เมตรกซ B ใชคาสงวา matadd(A,-B);

เมตรกซศนย คาสงทใชสรางเมตรกซศนยขนาด m × n คอ matrix(m,n,0); เมอ m, n คอจานวนแถว และ หลก ตามลาดบ เชน คาสงทใชสรางเมตรกซศนยขนาด 2 × 2 คอ matrix(2,2,0);

การคณเมตรกซดวยสเกลาร คาสงการคณเมตรกซดวยสเกลาร คอ evalm(c*A); เมอ c, A คอ คาคงท และ เมตรกซ ตามลาดบ เชน คณเมตรกซ A ดวย 2 ใชคาสงวา evalm(2*A);

การคณเมตรกซดวยเมตรกซ คาสงการคณเมตรกซดวยเมตรกซ คอ multiply(A*B); เมอ A, B คอ เมตรกซ ท จานวนหลกของ A เทากบจานวนแถวของ B

เชน A × B ใชคาสงวา multiply(A*B);



ดเทอรมแนนต คาสงการหาดเทอรมแนนต คอ det(A); เมอ A คอ เมตรกซจตรส

อนเวอรสเมตรกซ คาสงการหาอนเวอรสเมตรกซ คอ inverse(A); เมอ A คอ เมตรกซจตรส



แบบฝกหด

1. กาหนดให ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=8457

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

51256

B และ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

0192

C

1.1 จงหาคา A+B-C และดเทอรมแนนต 1.2 จงหาคา 3B-2C และดเทอรมแนนต

1.3 จงหาคา A×Bt×C และดเทอรมแนนต

1.4 จงหาคา det(3B)-det(2C) และ det(A) × det(Bt) × det(C)

2. จงสรางเมตรกซศนยขนาด 3×7 3. จงหาอนเวอรสของเมตรกซตอไปน

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

110101321

A , ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0111110110104321

B

การดาเนนการตามแถว คาสงในการดาเนนการตามแถวม 3 คาสง คอ addrow() , mulrow() และ swaprow() มรปแบบและรายละเอยดในการใชคาสงดงน addrow รปแบบ addrow(A,r1,r2,v); เมอ A เปนเมตรกซ r1 และ r2 เปนตาแหนงแถวในเมตรกซ v เปนคาคงท ความหมาย คอ นา v ไปคณกบ r1 แลวนาผลคณทไดไปบวกกบ r2 ผลลพธสดทาย

จะถกแทนทไวใน r2 (v×r1 + r2 → r2) mulrow รปแบบ mulrow(A,r1,v); เมอ A เปนเมตรกซ r1 เปนตาแหนงแถวในเมตรกซ v เปนคาคงท

ความหมาย คอ นา v ไปคณกบ r1 แลวนาผลคณทไดแทนไปใน r1 (v×r1 → r1)



swaprow รปแบบ swaprow(A,r1,r2); เมอ A เปนเมตรกซ r1 และ r2 เปนตาแหนงแถวในเมตรกซ ความหมาย คอ สลบแถวระหวาง r1 กบ r2 ตวอยาง การดาเนนการตามแถวเพอหาอนเวอรสเมตรกซของเมตรกซ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0111110110104321

B

วธทา









การแกระบบสมการเชงเสนโดยเมตรกซ ตวอยาง จงหาแกระบบสมการตอไปน 3x – y + z = 1 4x + y + 2z = 2 X + 11y – 2z = -1 วธทาท 1 โดยใชการดาเนนการตามแถว





ซงไดคาตอบของระบบสมการ คอ 1 2 32, ,13 39 39

x y z= = =

วธทาท 2 โดยการใชอนเวอรสเมตรกซ




x y z= = =

วธทาท 3 โดยการใชคาสง linsolve จากการกาหนดคา B และ C ตามวธทาท 2


x y z= = =

แบบฝกหด 1. จงแกระบบสมการ x + y + z = 10 , 3x + z = 13 และ 2x + y – z = 9 ดวยวธทาท 1, 2 และ 3 2. จงแกระบบสมการ x + 2y - z = 5 , x + y + z = 3 และ x + y –2 z = 7 ดวยวธทาท 1, 2 และ 3



การใช Maple ในการหาคาสถตเบองตน

ขอมลทจะคานวณคาสถตจะตองอยใน list นนคอ จะตองเขยนอยในเครองหมาย [ ] และเนองจากคาสงในการหาคาสถตอยใน package stats จงตองเรมตนดวยคาสง with(stats):

คาเฉลย (mean)

คาสงทใชในการหาคาเฉลย คอ describe[mean]( ) เชน

คามธยฐาน (median)

คาสงทใชในการหาคามธยฐาน คอ describe[median]( ) เชน

คาฐานนยม (mode)

คาสงทใชในการหาคาฐานนยม คอ describe[mode]( ) เชน

เปอรเซนไทล (percentile)

คาสงทใชในการหาคาเปอรเซนไทล คอ describe[percentile[p]]( )



เมอ p เปนตาแหนงของเปอรเซนไทล เชน

ความแปรปรวน (variamce)

คาสงทใชในการหาคาความแปรปรวน คอ describe[variance]( ) เชน

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)

คาสงทใชในการหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐาน คอ describe[standarddeviation]( ) เชน

การวาดโคงปกต (normal curve)

ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมปกต คอ 2)(

21

21)( σ

μ

πσ

−−

=x

exf

โคงปกตทมคาเฉลยเทากบ 0 และความแปรปรวนเทากบ 1 คอ

2

2

21)(

x

exf−

=π

คาสงทใช คอ



โคงปกตทมคาเฉลยเทากบ 2 และความแปรปรวนเทากบ 5 คอ

2)

52(

21

251)(

−−

=x

exfπ

คาสงทใช คอ



แบบฝกหด 1. จากขอมลตอไปน 25 35 32 20 26 12 33 18 30 20 14 30 26 28 30 จงหา 1.1 คาเฉลย 1.2 คามธยฐาน 1.3 คาฐานนยม 1.4 เปอรเซนไทลทตาแหนง 25, 50 และ 85 1.5 ความแปรปรวน 1.6 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2. จงสรางโคงปกตทมคาเฉลยเทากบ -5 และความแปรปรวนเทากบ 1





การอนทเกรตโดยการแทนคา (Integration by Substitution) พจารณาอนทกรลตอไปน

dx 7x5∫ + หรอ dx x4cos∫

จะเหนวาไมสามารถใชสตรการอนทเกรตเบองตนหาอนทเกรตได การอนทเกรตโดยการแทนคาเปนเทคนคทสาคญทเปลยนตวแปรของการอนทเกรต แลวทาใหสามารถอนทเกรตโดยใชสตรการหาอนทเกรตเบองตนได

จาก

dx ))x(h(dxd∫ = h(x) + C

ถา F เปนปฏยานพนธ (antiderivative หรอ indefinite integral) ของฟงกชน f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดในโดเมนของ F สาหรบ x ทกตวในบางชวง ถา h เปน

ฟงกชนประกอบ F ° g แลว h(x) = F(g(x)) ดงนน

dx )))x(g(F(dxd∫ = F(g(x)) + C (1)

โดยใชกฎลกโซ (The Chain Rule) และจาก F′ = f จงได

dxd (F(g(x))) = F′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x)

แทนคาใน (1) จงได dx )x(g))x(g(f∫ ′ = F(g(x)) + C (2)

โดยการใชสญกรณเชงอนพนธ ( differential notation )

ถา u = g(x) แลว du = g′(x) dx แทนคา u และ du จงได

du )u(f∫ = F(u) + C

กฎการแทนคา ถา F เปนปฏยานพนธหนงของ f แลว

dx )x(g))x(g(f∫ ′ = F(g(x)) + C

ถา u = g(x) และ du = g′(x) dx แลว du )u(f∫ = F(u) + C

กอนถงตวอยางการอนทเกรตโดยการแทนคา ขอสรปสตรมาตรฐานทใชในการอนทเกรตดงน



1. k du∫ = ku + C 2. u dur∫ = ur+1 + C , r 1

ln|u| + C , r = -1

r+1-≠⎧

⎨⎪

⎩⎪

3. ∫ du eu = eu + C 4. ∫ duau = aln a

u + C

5. ∫ dusin u = -cos u + C 6. ∫ du u cos = sin u + C

7. ∫ duu sec2 = tan u + C 8. ∫ duu csc2 = -cot u + C

9. ∫ du u tan u sec = sec u + C 10. ∫ du u cot u csc = -csc u + C

11. ∫ du tan = -ln|cos u| + C 12. ∫ du u cot = ln|sin u| + C

13. ∫ 22 u-adu = sin-1( )u

a + C 14. ∫ 22 u+adu = 1

a tan-1( )ua + C

15. ∫ 22 a -uudu = 1

a sec-1( )|u|a + C = 1

a cos-1( )a|u| + C

ตวอยาง 1 จงหา dx 7x5∫ +

วธทา นกถงรปมาตรฐาน u dur∫

ให u = 5x + 7 ได dxdu = 5 และได du = 5 dx จงได

dx 7x5∫ + = dx5)51( 7x5∫ +

= 51 dx5 7x5∫ +

แทนคาและใชกฎกาลงสาหรบการอนทเกรต ( สตร 2 ) ได

dx 7x5∫ + = 51 du u∫

= 51 du u 2

1∫

= 51

23

u 23

+ C

= 152 2

3u + C

= 152 2

3)7x5( + + C

ในตวอยาง 1 ใชคาสงใน Maple หาอนทกรลโดยใชเทคนคการแทนคา



โดยเรมตนดวย restart และ with(student) ใหนกศกษาทาตามคาสงตอไปน > restart; > with(student): กาหนดให p1 เปน dx 7x5∫ + > p1 := Int(sqrt(5*x + 7),x); แทนคา u = 5x + 7 ดวยคาสง changevar ซงอยใน package student > p2 := changevar(u=5*x + 7, p1,u); คาคงตว 5

1 นาออกนอกอนทกรลไดโดยใชคาสง simplify

> p3 := simplify(p2); หาอนทกรลดวยคาสง value > p4 := value(p3); แทนคาตวแปร u กลบเปน x เหมอนเดมดงน > p5 := subs(u=5*x + 7,p4); เนองจาก Maple ไมไดบวกคาคงตว C จงตองเพมเขาไป ดงน > p1 = p5 + C;

:= p1 d⌠⌡⎮⎮ + 5 x 7 x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

15

u u

:= p315

d⌠⌡⎮⎮ u u

:= p42

15u

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

32

:= p52

15( ) + 5 x 7

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

32

= d⌠⌡⎮⎮ + 5 x 7 x +

215

( ) + 5 x 7

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

32

C



ตวอยาง 2 จงหา dx x4cos∫ วธทา นกถงรปมาตรฐาน ∫ du u cos

ให u = 4x ได dxdu = 4 และได du = 4 dx จงได

dx x4cos∫ = 41 ∫ dx4x)4 (cos

= 41 ∫ du u cos

= 41 sin u + C

= 41 sin 4x + C

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา ตามคาสงตอไปน > p1 := Int(cos(4*x),x); เปลยนตวแปรโดยให u = 4*x; ดงน > p2 := changevar(u=4*x, p1,u); > p3 := simplify(p2); จะเหนวาสามารถอนทเกรตไดโดยงาย > p4 := value(p3); แทนคาตวแปร u กลบเปน x เหมอนเดมดงน > p5 := subs(u=4*x,p4); > p1 = p5 + C; วธทแสดงในตวอยางทงสองขางตนนสรปขนตอนการอนทเกรตโดยการแทนคา ไดดงน

การอนทเกรตโดยการแทนคา 1. เลอก u = g(x)

2. หาอนพนธ dxdu = g′(x)

3. แทนคา u = g(x) และ du = g′(x) dx ในขนนตวแปรในอนทกรลตองเปน u ทงหมด ไมม x อยเลย ถายงม x อยใหเปลยนตวเลอกทแทน u ในขน 1 ใหม 4. หาอนทกรล 5. แทนคา u ดวย g(x) คาตอบอยในรปของ x



ตวอยาง 3 จงหา dxx)1x2( 273∫ +

วธทา นกถงรปมาตรฐาน u dur∫

ให u = 2x3 + 1 ได dxdu = 6x2 และได du = 6x2dx จงได

dxx)1x2( 273∫ + = 61 dxx6)1x2( 273∫ +

= 61 duu7∫

= 61 ( 8

u8) + C

= 481 (2x3 + 1)8 + C

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา ตามคาสงตอไปน > p1 := Int((2*x^3 + 1)^7*x^2,x); เปลยนตวแปรโดยให u = 2x3 + 7 ดงน > p2 := changevar(u=2*x^3 + 1, p1,u); > p3 := simplify(p2); > p4 := value(p3); แทนคาตวแปร u กลบเปน x เหมอนเดมดงน > p5 := subs(u=2*x^3 + 1,p4); > p1 = p5 + C;

ตวอยาง 4 จงหา dx xcos xsin2∫

วธทา ให u = sin x ได dxdu = cos x และได du = cos x dx จงได

dx xcos xsin2∫ = duu2∫

= 3u3

+ C

= 3xsin3 + C

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา ตามคาสงตอไปน > p1 := Int((sin(x))^2*cos(x),x); เปลยนตวแปรโดยให u = sin(x) ดงน > p2 := changevar(u=sin(x), p1,u);



> p3 := value(p2); > p4 := subs(u=sin(x), p3); > p1 = p4 + C; ตวอยาง 5 จงหา ∫ 1 + 3x

x2 dx

วธทา นกถงรปมาตรฐาน ∫ u1 du ให u = 3x2 + 1 , du = 6x dx จงได

∫ 1 + 3xx2 dx = 6

1 ∫ 1 + 3x12 6x dx

= 61 ∫ u

1 du

= 61 ln | u | + C

= 61 ln | 3x2 + 1 | + C

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา ตามคาสงตอไปน > p1 := Int(x/(3*x^2 + 1),x); > p2 := changevar(u=3*x^2 + 1, p1,u); > p3 := simplify(p2); > p4 := value(p3); > p5 := subs(u=3*x^2 + 1,p4); > p1 = p5 + C;

การแทนคาอาจไมจาเปนตองเขยน u กไดดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 6 จงหา ∫ 11 +xx 43 dx วธทา คดในใจวาให u = x4 + 11 ได du = 4x3dx

∫ 11 +xx 43 dx = 14 ∫ 11 +x 4 (4x3dx)

= 14 1/24 11) +(x∫ d(x4+ 11)

= 61 (x4+ 11)3/2 + C

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา



ตวอยาง 7 จงหา ∫ 21/x

x6e dx

วธทา นกถงรปมาตรฐาน e duu∫ ให u = x1 ได du =

2x1− dx จงได

∫ 21/x

x6e dx = - 6 ∫ )

x-1(e 2

1/x dx

= - 6 ∫ du eu = - 6eu + C = - 6e1/x + C ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยการแทนคา แบบฝกหด 1 จงหาอนทกรลตอไปน

1. ∫ dx2) -(x 5 2. ∫ 2 -3x dz 3. ∫ 2x - 1x

4. ∫ + dxx) x (1 3

5. ∫ + dx)2x (1x 332 6. ∫ dx 3) -cos(4x

7. ∫ + dx )x sin(1x 2 8. ∫ dxxxe 9. ∫ + θθ

θθ d sec 1 tan sec

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลโดยใชเทคนคการแทนคา ตามตวอยางตอไปนเปรยบเทยบผลลพธทไดจาก Maple กบตวอยาง และหาเหตผลอธบายในกรณทผลลพธทไดแตกตางจากตวอยาง

ตวอยาง 8 จงหา ∫ 2xx

9e +4 e dx

วธทา นกถงรปมาตรฐาน ∫ 22 u+adu du

ให u = 3ex ได du = 3exdx จงได

∫ 2xx

9e +4 e dx = 1

3 ∫ 2x9e +4 1 (3ex)dx

= 13 ∫ 2 u+4

1 du

= 13

12⋅ tan-1( )u

2 + C

= 16 tan-1( )3e

2x

+ C



ตวอยาง 9 จงหา ∫ )(xcosx

22 dx

วธทา นกถงรปมาตรฐาน sec u du2∫ ให u = x2 ได du = 2x dx จงได

∫ )(xcosx

22 dx = 12 ∫ )(xcos

122 2xdx

= 12 ∫ duu sec2

= 12 tan u + C

= 12 tan(x2) + C

ตวอยาง 10 จงหา ∫ 29x - 53 dx

วธทา นกถงรปมาตรฐาน ∫ 22 u-adu du

ให u = 3x ได du = 3dx จงได

∫ 29x - 53 dx = ∫ 2 u- 5

1 du

= sin-1 ( )u5 + C

= sin-1 )53x( + C

การจดรปอนทแกรนดใหม ทาใหอนทเกรตไดงายขน ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 11 จงหา ∫ 25 +6x - x

72 dx

วธทา เขยนตวสวนของอนทแกรนดและทาเปนกาลงสองสมบรณ ∫ 25 +6x - x

72 dx = ∫ 16 + 9 +6x - x

72 dx

= 7 ∫ 22 4 + 3) -(x 1 d(x - 3)

= 74 tan-1( 4

3 -x ) + C

ตวอยาง 12 จงหา ∫ 1 +x x -x2

dx

วธทา โดยการหารยาวได 1 +x x -x2

= x - 2 + 1 +x 2 ดงนน



∫ 1 +x x -x2

dx = ∫ 2) -(x dx + 2 ∫ 1 +x 1 dx

= ∫ 2) -(x + 2 ∫ 1 +x 1 d(x + 1)

= x22

- 2x + 2 ln|x + 1| + C

ตวอยาง 13 จงหา ∫ x sec dx วธทา ∫ x sec dx = x tan +x sec

x tan +x secx sec∫ dx

= ∫ x tan +x secxx tan sec +x sec2

dx

= ∫ x tan +x sec1 d(sec x + tan x)

= ln | sec x + tan x | + C สาหรบอนทกรลจากดเขต (definite integral) ในการแทนคาตองแทนคาลมตของการอนทเกรตดวย ดงน

ถา u = g(x) และ du = g′(x) dx แลว

∫ ′ba dx)x(g))x(g(f = ∫

)b(g)a(g du)u(f

ตวอยาง 14 จงหา ∫ +32

2 dx)x 2x(1

วธทา ให u = 1 + x2 ได du = 2x dx และให x = 2 ได u = 5 และ x = 3 ได u = 10

∫ +32

2 dx)x 2x(1 = ∫105 duu

= [ ]10

52u2

1

= 2100 – 2

25 = 275

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลจากดเขตสาหรบตวอยาง 5.1.14 ตามคาสงตอไปน > f := (x) -> 2*x*(1 + x^2); > p1 := Int(f(x), x=2..3);

:= f → x 2 x ( ) + 1 x2

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮2

3

2 x ( ) + 1 x2 x



> g := (x)->(1+x^2);

> p2 := changevar(u=g(x), p1, u); > p3 := value(p2);

ตวอยาง 15 จงหา ∫52

2 4 -tt dt

วธทา ให u = t2- 4 ได du = 2t dt ให t = 2 ได u = 0 และ t = 5 ได u = 21

∫52

2 4 -tt dt = 12 ∫

52

1/22 4) -(t 2t dt

= 12 ∫

210

1/2u du

= [ ]21

03/2u3

1

= 13 (21)3/2 ≈ 32.08

ใหนกศกษาใช Maple หาอนทกรลจากดเขต สาหรบตวอยาง 5.1.15 ตามคาสง ตอไปน > f := (t) -> t*sqrt(t^2-4); > p1 := Int(f(t), t=2..5); > g:=(t)->(t^2-4); > p2 := changevar(u=g(t), p1, u); > p3 := value(p2); > evalf(p3,4);

:= g → x + 1 x2

:= p2 d⌠⌡⎮

5

10u u

:= p3752



แบบฝกหด 2 จงหาอนทกรลตอไปน

1. ∫ dxx - 1

x4 2. ∫

π/40 2xsin + 1

x cos dx 3. ∫ dxe - 1

6e2x

x

4. ∫ dxe - 1

3e2x

2x 5. dt t31

0t 2

∫ 6. ∫ dxxsin x cos -x sin

7. ∫ dz3) - 4z +cot(z

2 + z2 8. ∫ dxx sec

e -x sec xsin 3 9. ∫ dy

9y - 16y

4

10. ∫ dxxsec + 1xx tan sec

2 11. ∫ dte -4

e6t

3t 12. ∫

π/20 2 dx

xcos + 16xsin

13. ∫ 5 +2x + x1

2 dx 14. ∫ 10 +18x +9xdx

2 15. ∫ 10 +18x +9x1 +x

2 dx



การอนทเกรตโดยแยกสวน (Integration by Parts)

เมออนทเกรตโดยการแทนคาทาไมได อาจใชการอนทเกรตโดยการแทนคาสองครง ทเรยกวา การอนทเกรตโดยแยกสวน ซงวธนมาจากการอนทเกรตอนพนธของผลคณของสองฟงกชน

ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธได โดยกฎผลคณของอนพนธ

dxd [f(x)(g(x)] = f(x)g′(x) + g(x)f′(x)

อนทเกรตทงสองขางได

dx )]x(g)x(f[dxd∫ = dx )x(g)x(f∫ ′ + dx )x(f)x(g∫ ′

หรอ f(x)g(x) + C = dx )x(g)x(f∫ ′ + dx )x(f)x(g∫ ′

หรอ dx )x(g)x(f∫ ′ = f(x)g(x) + dx )x(f)x(g∫ ′ + C

เนองจากอนทกรลดานขวาจะใหคาคงตวของการอนทเกรตอกจงไมจาเปนเกบคา C ในสมการ ดงนนจงได

dx )x(g)x(f∫ ′ = f(x)g(x) + dx )x(f)x(g∫ ′ (1)

ซงเปน สตรการอนทเกรตโดยแยกสวน ในทางปฏบตจะเขยนสตรนโดยกาหนดดงน

u = f(x) , du = f(x)dx

v = g(x) , dv = g′(x)dx

จงไดสตรการอนทเกรตโดยแยกสวนอกรปหนง ดงน

จาก dv = v′(x)dx และ du = u′(x)dx สมการขางบนจงนยมเขยนในรปตอไปน

∫ dvu = uv - ∫ duv (2)

ขนตอนทสาคญในการอนทเกรตโดยแยกสวนคอการเลอกนพจนจากอนทแกรนดแทน dv ซงนพจนทเลอกนตองรวมดฟเฟอเรลเชยน dx ดวย และจะทดลองเลอก dv ทกแบบทอนทเกรตไดงาย ๆ สวนอนทแกรนดทเหลอจะเปน u แลวหา du



d⌠

⌡⎮⎮x ex x

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮x ex x

− x ex d⌠

⌡⎮⎮ex x

− ex x2 d⌠

⌡⎮⎮( ) + ex x ex x x

− 12

ex x2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

12

ex x 2 x

:= p2 − x ex d⌠

⌡⎮⎮ex x

:= p3 − x ex ex

ใน Maple มคาสงอนทเกรตโดยแยกสวนคอ intparts ซงอยใน student package คาสง intparts ซงประกอบดวย arguments 2 ตว argument แรกเปนนพจนทจะหาอนทกรล (อนทแกรนด) argument ทสองเปนคอ u ทกาหนดขนซงตองหาอนพนธ สาหรบ dv นนไมตองกาหนดจะคอสวนทเหลอทงหมดในอนทแกรนดและ dx ตวอยาง 1 จงหา

วธทา u ทเปนไปไดคอ x , ex และ xex ซงจะไดวา dv เปน

exdx , xdx และ dx ตามลาดบ ใชคาสง intparts คา u ขางบนไดดงน > restart; with(student):

> p1 := Int(x*exp(x),x);

> intparts(p1,x);

> intparts(p1,exp(x));

> intparts(p1,x*exp(x));

จะเหนวา u = x และ dv = exdx ไดอนทกรลทไดงายทสด จงดาเนนการดงน

> p2 := intparts(p1,x);

ใชคาสง value หาคาอนทกรลท เหลอใน p2 ดงน > p3 := value(p2);

เนองจาก Maple ไมไดบวกคาคงตว C; จงตองเพมเขาไป ดงน



:= p1 d⌠

⌡⎮⎮⎮x2 e

( )−xx

:= p2 − − x2 e( )−x

d⌠

⌡⎮⎮⎮−2 x e

( )−xx

:= p3 − + x2 e( )−x

2 d⌠

⌡⎮⎮⎮x e

( )−xx

:= p4 − − − x2 e( )−x

2 x e( )−x

2 d⌠

⌡⎮⎮⎮−e

( )−xx

:= p5 − − + x2 e( )−x

2 x e( )−x

2 d⌠

⌡⎮⎮⎮e

( )−xx

= d⌠

⌡⎮⎮x ex x − + x ex ex C

:= p1 d⌠⌡⎮ ( )ln x x

> p1 = p3 + C;

ตวอยาง 2 จงหา ∫ dx ex -x2

วธทา ให dv = ex dx u = x2 > p1 := Int(x^2*exp(-x),x);

> p2 := intparts(p1,x^2);

> p3 := simplify(p2);

ใชการอนทเกรตโดยแยกสวนอกครงโดยใชคาสง intparts ซาอกครงดงน > p4 := intparts(p3,x);


> p6 := value(p5);

> p1 = p6 + C;

ตวอยาง 3 จงหา ∫ dxx ln วธทา ให dv = dx u = ln x ,

> p1 := Int(ln(x),x);

:= p6 − − − x2 e( )−x

2 x e( )−x

2 e( )−x

= d⌠

⌡⎮⎮⎮x2 e

( )−xx − − − + x2 e

( )−x2 x e

( )−x2 e

( )−xC



:= p2 − ( )ln x x d⌠⌡⎮1 x

:= p3 − ( )ln x x x

= d⌠⌡⎮ ( )ln x x − + ( )ln x x x C

:= p1 d⌠⌡⎮x ( )cos x x

:= p2 − x ( )sin x d⌠⌡⎮ ( )sin x x

:= p3 + x ( )sin x ( )cos x

= d⌠⌡⎮x ( )cos x x + + x ( )sin x ( )cos x C

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮x2 ( )sin x x

:= p2 − − x2 ( )cos x d⌠⌡⎮−2 x ( )cos x x

:= p3 − + x2 ( )cos x 2 d⌠⌡⎮x ( )cos x x

> p2 := intparts(p1,ln(x)); > p3 := value(p2); > p1 = p3 + C;

ตวอยาง 4 จงหา ∫ dxx cosx วธทา ให dv = cos x dx u = x

> p1 := Int(x*cos(x),x);

> p2 := intparts(p1,x);

> p3 := value(p2); > p1 = p3 + C;

ตวอยาง 5 จงหา ∫ dxx sin x2

วธทา ให dv = sin x dx u = x2 > p1 := Int(x^2*sin(x),x);

> p2 := intparts(p1,x^2);




:= p4 − + − x2 ( )cos x 2 x ( )sin x 2 d⌠⌡⎮ ( )sin x x

:= p5 − + + x2 ( )cos x 2 x ( )sin x 2 ( )cos x

= d⌠

⌡⎮⎮x2 ( )sin x x − + + + x2 ( )cos x 2 x ( )sin x 2 ( )cos x C

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ex ( )sin x x

:= p2 − − ex ( )cos x d⌠

⌡⎮⎮−ex ( )cos x x

:= p3 − + ex ( )cos x d⌠

⌡⎮⎮ex ( )cos x x

= d⌠

⌡⎮⎮ex ( )sin x x − + − ex ( )cos x ex ( )sin x d

⌠


:=p4 − + − ex ( )cos x ex ( )sin x d⌠


= d⌠

⌡⎮⎮ex ( )sin x x − +

12

ex ( )cos x12

ex ( )sin x

∫ dxx cosx คอ อนทกรลในตวอยาง 5.2.4 จงอนทเกรตโดยแยกสวนซาดงน > p4 := intparts(p3,x); > p5 := value(p4);

> p1 = p5 + C;

ตวอยาง 6 จงหา ∫ dxx sin ex วธทา โจทยขอนสามารถกาหนดให dv เปน exdx หรอ sin x dx กได ในทนให

dv = sin x dx u = ex > p1 := Int(exp(x)*sin(x),x);

> p2 := intparts(p1,exp(x));


> p4 := intparts(p3,exp(x));

> p1 = p4; > isolate(%,p1); > p1 = rhs(%) + C;

= d⌠

⌡⎮⎮ex ( )sin x x − + +

12

ex ( )cos x12

ex ( )sin x C



:= p1 d⌠⌡⎮ ( )arcsin x x

:= p2 − ( )arcsin x x d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮

x

− 1 x2x

:= p3 + ( )arcsin x x − 1 x2

= d⌠⌡⎮ ( )arcsin x x + + ( )arcsin x x − 1 x2 C

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x

:= p2 − ( )sec x ( )sin x

( )cos xd

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

( )sec x ( )tan x ( )sin x( )cos x

x

ขอสงเกต ตวอยาง 6 ในการอนทเกรตโดยการแยกสวน ครงท 2 กบ ∫ dxx cosex ถาใช > p4 := intparts(p3, cos(x)); จะไมไดคาตอบของอนทกรลทตองการ ใหนกศกษาทดลองด ตวอยาง 7 จงหา ∫ dxx arcsin วธทา ให dv = dx u = arcsin x

> p1 := Int(arcsin(x),x);

> p2 : = intparts(p1,arcsin(x));

> p3 := value(p2);

p1 = p3 + C;

แบบฝกหด 1 จงหา

1. ∫ π+ dxex 5x 2. ∫ dx 3) -3)cos(x -(x

3. ∫ + dx 1 x x 4. ∫ dx ex x2 5. ∫ dxx arctan 6. ∫ dx

xxln

2

ตวอยาง 8 จงหา ∫ θθ d sec3 วธทา ให dv = sec2θ dθ u = secθ > p1:=Int(sec(x)^3,x);

> p2:= intparts(p1,sec(x));



:= p4 − ( )sec x ( )tan x d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x ( ) − ( )sec x 2 1 x

:= p5 − + ( )sec x ( )tan x d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x d⌠

⌡⎮ ( )sec x x

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x +

12

( )sec x ( )tan x12

d⌠⌡⎮ ( )sec x x

+ + 12

( )sec x ( )tan x12

( )ln + ( )sec x ( )tan x C

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x + +

12

( )sec x ( )tan x12

( )ln + ( )sec x ( )tan x C

:= p3 − ( )sec x ( )tan x d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x ( )tan x 2 x

> p3:=algsubs(sin(x)/cos(x)=tan(x),p2);

> p4 := subs(tan(x)^2=(sec(x)^2-1),p3);

> p5:= expand(p4); > p1 = p5;

> isolate(%, p1); > value(rhs(%)); > p1 = % + C ;

สาหรบอนทกรลจากดเขต สตรการอนทเกรตโดยแยกสวนมดงน

∫b

a dvu = ba]uv[ – ∫

ba duv (3)

ซงหาคาดงตวอยางตอไปน

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x − + ( )sec x ( )tan x d

⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 3 x d⌠

⌡⎮ ( )sec x x



:= p1 d⌠⌡⎮

1

2( )ln x x

:= p2 − 2 ( )ln 2 d⌠⌡⎮

1

21 x

= d⌠⌡⎮

1

2( )ln x x − 2 ( )ln 2 1

ตวอยาง 9 จงหา ∫2

1 dxx ln

วธทา จากตวอยาง 5.2.3 ได ∫ dxx ln = x lnx - x + C จงได

∫2

1 dxx ln = 21]xln x [ – 2

1]x [

= (2 ln 2 – ln 1) – (2 – 1) = 2 ln 2 – 1

โจทยในตวอยาง 9 ใชคาสงใน Maple ไดดงน p1:=Int(ln(x),x=1..2);

> p2:= intparts(p1,ln(x));

> p1 = value(p2); สตรลดทอน (Reduction Formlas)

∫ dxx sin n = – n1 sinn-1x cos x + n

1 -n ∫ dxx sin 2-n (4)

∫ dxx cosn = n1 cosn-1x sin x + n

1 -n ∫ dxx cos 2-n (5)

เมอ n เปนจานวนเตมบวกและ n > 2 หาไดจากการอนทเกรตโดยแยกสวนดงน

สตรลดทอนของ ∫ dxx sin n

ให dv = sin x dx u = sinn-1x

v = – cos x du = (n – 1)sinn-2x cos x dx โดยการอนทเกรตโดยแยกสวน ได

∫ dxx sin n = – sinn-1x cos x + (n – 1) ∫ dxx cosx sin 22-n



แทนคา cos2x ดวย 1 – sin2x จะได

∫ dxx sin n = – sinn-1x cos x + (n – 1) ∫ dx x)sin - x(1sin 22-n

∫ dxx sin n = – sinn-1x cos x + (n – 1) ∫ dxx sin 2-n – (n – 1) ∫ dxx sin n

รวมอนทกรล sin x dxn∫ เขาดวยกนได

n ∫ dxx sin n = – sinn-1x cos x + (n – 1) ∫ dxx sin 2-n

∫ dxx sin n = – n1 sinn-1x cos x + n

1 -n ∫ dxx sin 2-n

ในทานองเดยวกนสตรลดทอนของ ∫ dxx cosn

ให dv = cos x dx u = cosn-1x

v = sin x du = – (n – 1)cosn-2x sin x dx โดยการอนทเกรตโดยแยกสวน ได

∫ dxx cosn = cosn-1x sin x + (n – 1) ∫ dxx sinx cos 22-n

แทนคา cos2x ดวย 1 – sin2x จะได

∫ dxx cosn = cosn-1x sin x + (n – 1) ∫ dxx cos 2-n – (n – 1) ∫ dxx cosn

รวมอนทกรล ∫ dxx cosn เขาดวยกนจะไดสตรลดทอน

∫ dxx cosn = n1 cosn-1x sin x + n

1 -n ∫ dxx cos 2-n

ตวอยาง 10 จงหาคาของ ∫ dxx cos3 วธทา จากสตรลดทอน (5) เมอ n = 3 ได

∫ dxx cos3 = 31 cos3-1x sin x + 3

1 - 3 ∫ dxx cos 2-3

= 31 cos2x sin x + 3

2 ∫ dxx cos


2 sin x + C

ตวอยาง 11 จงหาคาของ ∫ dxx cos4 วธทา จากสตรลดทอน (5) เมอ n = 4 ได

∫ dxx cos4 = 41 cos3x sin x + 4

3 ∫ dxx cos2



และจากสตรลดทอน (5) เมอ n = 2 ได

∫ dxx cos2 = 21 cos x sin x + 2

1 ∫ dx = 21 cos x sin x + 2

1 x + C1

ดงนน ∫ dxx cos4 = 41 cos3x sin x + 4

3 ( 21 cos x sin x + 2

1 x + C1 )


3 cos x sin x + 83 x + C เมอ C = 4

3 C1

ตวอยาง 12 จงใชสตรลดทอน (4) หาคาของ dxx sin2/0

8∫π

วธทา จากการสงเกตไดวา

dxx sin2/0

n∫π = [ ] 2/

0

1-nn

x cosx sin-π

+ n1 -n dxx sin2/

02-n∫

π

= 0 + n1 -n dxx sin2/

02-n∫

π

ดงนน dxx sin2/0

8∫π = 8

7 dxx sin2/0

6∫π

= 87 ⋅ 6

5 dxx sin2/0

4∫π

= 87 ⋅ 6

5 ⋅ 43 dxx sin2/

02∫

π

= 87 ⋅ 6

5 ⋅ 43 ⋅ 2

1 dx 12/0∫π

= 87 ⋅ 6

5 ⋅ 43 ⋅ 2

1 ⋅π

= 25635 π

แบบฝกหด 2

1. ∫ dxx ln x 2. ∫ dx 2x x

3. ∫10

2x-3 dxex 4. ∫ +10 2

3dx

1 xx



= d⌠⌡⎮ ( )sin x x − + ( )cos x C = d⌠

⌡⎮ ( )cos x x + ( )sin x C

= d⌠⌡⎮ ( )sec x ( )tan x x + ( )sec x C

การอนทเกรตฟงกชนตรโกณมต

ในหวขอนจะกลาวถงการหาอนทกรลทอยในรปตรโกณมตไดทพบเสมอ ๆ 5 แบบคอ

1. ∫ dxx sin n และ ∫ dxx cosn

2. ∫ dxx cosx sin nm

3. ∫ dxx tan n และ ∫ dxx cotn

4. ∫ dxx secx tan nm และ ∫ dxx cscx cot nm C 5. ∫ dx nx cosmx sin , ∫ dxsin nx mx sin , ∫ dx nx cosmx cos

สตรการอนทเกรตฟงกชนตรโกณมตเบองตนมดงน

แบบท 1 ∫ dxx sin n และ ∫ dxx cosn

ในหวขอการอนทเกรตโดยแยกสวน อนทกรล ∫ dxx sin n และ ∫ dxx cosn สามารถหาคาไดโดยใชสตรลดทอน ในทนจะกลาวถงอกวธหนงซงผลลพธทไดในบางครงอยในรปทงายกวาดงน กรณท n เปนจานวนค

ใหแยกตวประกอบ sin x หรอ cos x ออก แลวใชเอกลกษณ sin2x + cos2x = 1

= d⌠⌡⎮ ( )csc x ( )cot x x − + ( )csc x C

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sec x 2 x + ( )tan x C = d

⌠

⌡⎮⎮ ( )csc x 2 x − + ( )cot x C


โปรแกรมคอมพวเตอรทางคณตศาสตร รองศาสตราจารยธรวฒน นาคะบตร

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 5 x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

( ) − 1 ( )cos x 22

( )sin x x

:= p3 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

−( ) − 1 u22

u

:= p4 − + − d⌠⌡⎮1 u 2 d

⌠

⌡⎮⎮u2 u d

⌠

⌡⎮⎮u4 u

:= p5 − + − u23

u3 15

u5

ตวอยาง 1 จงหา ∫ dxx sin5 วธทา

> restart; with(student): > p1 := Int(sin(x)^5,x); จะเหนวาไมสามารถอนทเกรตโดยสตรการอนทเกรตเบองตนได

ใชคาสง powsubs แทนคา sin2(x) = 1 – cos2(x) ในอนทแกรนดดงน > p2 := powsubs((sin^2)(x) = 1 - (cos^2)(x),p1); ใชเทคนคการแทนคา ดงน > p3 := changevar(u = cos(x),p2,u);

> p4 := expand(p3);

> p5 := value(p4);

> p6 := subs(u = cos(x),p5);

> p1 = p6 + C;

:= p6 − + − ( )cos x23

( )cos x 3 15

( )cos x 5

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 5 x − + − + ( )cos x

23

( )cos x 3 15

( )cos x 5 C



:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 2 x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

− 12

12

( )cos 2 x x

:= p3 − 12

d⌠⌡⎮1 x

12

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

:= p4 − 12

d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

12

u12

d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

12

( )cos u u

:= p5 − 14

u14

( )sin u

กรณท n เปนจานวนค ในการอนทเกรตใหใชเอกลกษณตรโกณมตมมครง ตอไปน

sin2x = 21 (1 – cos 2x) และ cos2x = 2

1 (1 + cos 2x)

ตวอยาง 2 จงหา ∫ dxx sin2 วธทา

> p1 := Int(sin(x)^2,x);

จะเหนวาไมสามารถอนทเกรตโดยสตรการอนทเกรตเบองตนได

ใชคาสง powsubs แทนคา sin2x = 21 (1 – cos2 x) ในอนทแกรนดดงน

> p2 := powsubs((sin^2)(x) = (1 - cos(2*x))/2,p1);

> p3 := expand(p2,cos);

> p4 := changevar(u = 2*x, p3, u);

> p5 := value(p4);

> p6 := subs(u = 2*x,p5);

> p1 = p6 + C;

:= p6 − 12

x14

( )sin 2 x

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 2 x − +

12

x14

( )sin 2 x C



:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )cos x 4 x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

12

12

( )cos 2 x2

x

:= p4 + + 14

d⌠⌡⎮1 x

12

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

14

d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

+ 12

12

( )cos 4 x x

:= p5 + + 38

d⌠⌡⎮1 x

12

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

18

d⌠⌡⎮ ( )cos 4 x x

:= p6 + + 38

x14

( )sin 2 x1

32( )sin 4 x

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )cos x 4 x + + +

38

x14

( )sin 2 x132

( )sin 4 x C

ตวอยาง 3 จงหา ∫ dxx cos4 วธทา

> p1 := Int(cos(x)^4,x);

ใชคาสง powsubs แทนคา cos2x = 21 (1 + cos 2x) ในอนทแกรนดดงน

> p2 := powsubs(cos(x)^2 = (1 + cos(2*x))/2,p1);


> p4 := powsubs(cos(2*x)^2 = (1 + cos(4*x))/2,p3);


> p6 := value(p5);

> p1 = p6 + C;

แบบฝกหด

จงหา

1. ∫ dxx sin3

2. ∫ dxx cos3

3. ∫ dxx sin 4

:= p3 + + 14

d⌠⌡⎮1 x

12

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

14

d⌠

⌡⎮⎮ ( )cos 2 x 2 x



:= p1 d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮⎮

( )sin x 3

( )cos x 4x

:= p2 d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮⎮

−( )− + 1 ( )cos x 2 ( )sin x

( )cos x 4x

:= p3 d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮⎮

− + 1 u2

u4u

:= p4 − + d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮

1

u4u d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮

1

u2u

แบบท 2 ∫ dxx cosx sin nm

ถา m เปนจานวนค ใหเขยนอนทกรลดงน

∫ dxx cosx sin nm = ∫ dxx sin x cosx sin n1-m

แลวเปลยน sinm-1x ใหอยในรป cos x โดยใชเอกลกษณ sin2x = 1 – cos2x

แทนคา u = cos x , du = – sin x dx

ถา n เปนจานวนค ใหเขยนอนทกรลดงน

∫ dxx cosx sin nm = ∫ dxx cosx cosx sin 1-nm

แลวเปลยน cosn-1x ใหอยในรป sin x โดยใชเอกลกษณ cos2x = 1 – sin2x

แทนคา u = sin x , du = cos x dx

ตวอยาง 4 จงหา ∫ dxx cosx sin -43 วธทา

> p1 := Int(sin(x)^3*cos(x)^(-4),x); > p2 := powsubs(sin(x)^2 = (1 - cos(x)^2),p1);

> p3 := changevar(u = cos(x),p2,u);

> p4 := expand(p3);



:= p5 − 13

1

u31u

:= p6 − 13

1

( )cos x 31( )cos x

:= p7 − 13

( )sec x 3 ( )sec x

= d

⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮⎮⎮

( )sin x 3

( )cos x 4x − +

13

( )sec x 3 ( )sec x C

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 2 ( )cos x 4 x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

−18

( )− + 1 ( )cos 2 x ( ) + 1 ( )cos 2 x 2 x

:= p3 + − − 18

d⌠⌡⎮1 x

18

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

18

d⌠

⌡⎮⎮ ( )cos 2 x 2 x

18

d⌠

⌡⎮⎮ ( )cos 2 x 3 x

> p5 := value(p4);

> p6 := subs(u = cos(x),p5);

> p7 := subs(1/cos(x)=sec(x),1/cos(x)^3=sec(x)^3,p6);

> p1 = p7 + C;

ถาทง m และ n เปนจานวนค ใชเอกลกษณตรโกณมตมมครง สาหรบ sin x และ cos x ลดกาลงลงครงหนง

ตวอยาง 5 จงหา ∫ dxx cosx sin 42 วธทา

> p1 := Int(sin(x)^2*cos(x)^4,x);

ใชคาสง powsubs แทนคา cos2x = 21 (1 + cos 2x) และ sin2x = 2

1 (1 – cos 2x)

ในอนทแกรนดดงน > p2 := powsubs(sin(x)^2=(1-cos(2*x))/2,cos(x)^2=(1+cos(2*x))/2,p1);




:= p4 + − − 18

d⌠⌡⎮1 x

18

d⌠⌡⎮ ( )cos 2 x x

18

d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

+ 12

12

( )cos 4 x x18

d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

12

( ) + 1 ( )cos 4 x ( )cos 2 x x

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 3 x

:= p2 d⌠

⌡⎮⎮( ) − ( )sec x 2 1 ( )tan x x

:= p3 − d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x ( )sec x 2 x d⌠

⌡⎮ ( )tan x x

> p4 := powsubs(cos(2*x)^2=(1+cos(4*x))/2,p3);

> p5 := value(p4);

> p1 = p5 + C;

แบบฝกหด จงหา

4. ∫ dxx cosx sin 53

5. ∫ dxx cosx sin 44

แบบท 3 ∫ dxx tan n และ ∫ dxx cotn

กรณแทนเจนตแยกตวประกอบและใชเอกลกษณ tan2x = sec2x – 1 และสาหรบ

โคแทนเจนตแยกตวประกอบและใชเอกลกษณ cot2x = csc2x – 1

ตวอยาง 6 จงหา ∫ dxx tan 3 วธทา

> p1 := Int(tan(x)^3,x);

ใชคาสง powsubs แทนคา tan2x = sec2x – 1 ในอนทแกรนดดงน > p2 := powsubs(tan(x)^2 = sec(x)^2 - 1

> p3 := expand(p2);

:= p5 + − − 1

16x

164

( )sin 2 x1

64( )sin 4 x

1192

( )sin 6 x

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )sin x 2 ( )cos x 4 x + − − +

116

x164

( )sin 2 x164

( )sin 4 x1

192( )sin 6 x C



:= p4 + 12

( )sec x 2 ( )ln ( )cos x

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 3 x + +

12

( )sec x 2 ( )ln ( )cos x C

> p4 := value(p3);

> p1 = p4 + C;

ตวอยาง 7 จงหา ∫ dxx cot4

วธทา ∫ dxx cot4 = ∫ 1)dx -x x(csccot 22

= ∫ dxx cscx cot 22 – ∫ dxx cot2

= – ∫ x) d(cotx cot2 – ∫ 1)dx -x (csc2 = – 3

1 cot3x + cot x + x + C

ตวอยาง 8 จงหา ∫ dxx tan5

วธทา ∫ dxx tan5 = ∫ 1)dx -x x(sectan 23

= ∫ dxx secx tan 23 – ∫ dxx tan3

= ∫ x)d(tan x tan3 – ∫ x)d(tan x tan + ∫ dxx tan = 4

1 tan4x - 21 tan2x – ln| cos x | + C

แบบฝกหด จงหา

6. ∫ dxx cot3

แบบท 4 ∫ dxx secx tan nm และ ∫ dxx cscx cot nm

ใชวธในทานองเดยวกนดงน ถา m เปนจานวนค ใหเขยนอนทกรลดงน

∫ dxx secx tan nm = ∫ dxx xsecx tan secx tan 1-n1-m

และเปลยน tanm-1x ใหอยในรป sec x โดยใชเอกลกษณ tan2x = sec2x – 1

แทนคา u = sec x , du = sec x tan x dx



:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 6 ( )sec x 4 x

:= p2 d⌠

⌡⎮⎮u6 ( ) + 1 u2 u

:= p3 + 19

u9 17

u7

:= p4 + 19

( )tan x 9 17

( )tan x 7

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 6 ( )sec x 4 x + +

19

( )tan x 9 17

( )tan x 7 C

:= p1 d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 5 ( )sec x 7 x

ถา n เปนจานวนค ใหเขยนอนทกรลดงน

∫ dxx secx tan nm = ∫ dxx secx secx tan 22-nm

และเปลยน sec2x ใหอยในรป tan x โดยใชเอกลกษณ sec2x = 1 + tan2x

แทนคา u = tan x , du = sec2x dx

ถา m เปนจานวนค และ n เปนจานวนค ไมมวธมาตรฐานในการหาอนทกรล

อาจเปนไปไดทจะใชการอนทเกรตแยกสวน

ตวอยาง 8 (n เปนจานวนค) จงหา ∫ dxx secx tan 46 วธทา

> p1 := Int(tan(x)^6*sec(x)^4,x); > p2 := changevar(u = tan(x), p1, u);

> p3 := value(p2);

> p4 := subs(u = tan(x), p3);

> p1 = p4 + C;

ตวอยาง 9 (m เปนจานวนค) จงหา ∫ dxx secx tan 75 วธทา

> p1 := Int(tan(x)^5*sec(x)^7,x);



:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

( ) − ( )sec x 2 12

( )tan x ( )sec x 7 x

:= p3 d⌠

⌡⎮⎮ − + ( )tan x ( )sec x 11 2 ( )tan x ( )sec x 9 ( )tan x ( )sec x 7 x

:= p4 d⌠

⌡⎮⎮u6 ( ) − + u4 2 u2 1 u

:= p5 − + 1

11u11 2

9u9 1

7u7

:= p6 − + 1

11( )sec x 11 2

9( )sec x 9 1

7( )sec x 7

= d⌠

⌡⎮⎮ ( )tan x 5 ( )sec x 7 x − + +

111

( )sec x 11 29

( )sec x 9 17

( )sec x 7 C

ใชคาสง powsubs แทนคา tan2(x) = sec2(x) - 1; ในอนทแกรนดดงน > p2 := powsubs(tan(x)^2 = sec(x)^2 - 1

> p3 := map(expand,p2);

> p4 := changevar(u = sec(x), p3, u);

> p5 := value(p4);

> p6 := subs(u = sec(x), p5);

> p1 = p6 + C; แบบฝกหด จงหา

7. ∫ dxx cscx cot 43

8. ∫ dxx cscx cot 42

แบบท 5 ∫ dx nx cosmx sin , ∫ dxsin nx mx sin , ∫ dx nx cosmx cos

อนทกรลแบบนจะใชเอกลกษณตรโกณมตผลคณ sin mx cos nx = 2

1 [sin(m + n)x + sin(m – n)x] sin mx sin nx = – 2

1 [cos(m + n)x – cos(m – n)x] cos mx cos nx = 2

1 [cos(m + n)x + cos(m – n)x]



:= p1 d⌠⌡⎮ ( )sin 2 x ( )cos 3 x x

:= p2 d⌠

⌡

⎮⎮⎮⎮

− 12

( )sin 5 x12

( )sin x x

:= p3 − + 1

10( )cos 5 x

12

( )cos x

= d⌠⌡⎮ ( )sin 2 x ( )cos 3 x x − + +

110

( )cos 5 x12

( )cos x C

ตวอยาง 10 จงหา ∫ dx3x cos2x sin วธทา

> p1 := Int(sin(2*x)*cos(3*x),x);

> p2 := combine(p1, trig);

> p3 := value(p2);

> p1 = p3 + C; แบบฝกหด จงหา

9. ∫ dx cos(4x) sin(3x) 10. ∫ dx cos(2x) sin(5x)

การใชโปรแกรม GRIN 225


การใชโปรแกรม GRIN

GRIN เปนโปรแกรมทชวยในการสรางและประมวลผลกราฟตามทฤษฎกราฟ พฒนาโดย Asso.Prof. Vitali Petchenkine ชาวรสเซย GRIN ยอมาจาก GRAPH INTERFACE สามารถ down load โปรแกรมไดจาก http://www.geocities.com เปลยนชนดของกราฟระหวาง กราฟทมทศทางกบกราฟทไมมทศทาง สรางจดในกราฟ ลบกราฟ ลบเสน ลบจด สรางเสน เปลยนแปลงขนาดของกราฟ

226 การใชโปรแกรม GRIN


การกาหนดชอจด นาหนกของเสน สามารถทาไดโดยการคลกท Table และคลกเลอกท Network เพอกลบมาทกราฟ

การใชโปรแกรม GRIN 227


การคานวณหาคาตาง ๆ ของกราฟ ใหคลกท Property จาก Property เลอก NetWork เพอหาคาของ Shortest path, Saleman problem, Maximal Flow

ในการ Shortest path จะตองคลกเลอกจด 2 จด (Source, Sink) จากนนโปรแกรมจะรายงานผล การประมวลผลดงตอไปน จาก Property เลอก Graph เพอหาคาของ Metrics, Paths, Colorations