Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

1

Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok

bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız

değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya

diferansiyel denklem denir.

diff

Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler

Diferansiyel denklemler,

uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup,

bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır.

Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve

gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin

parçalanması problemleri vb. gösterilebilir.

Amacımız diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin

çözümünü göstermektir.

DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

Bağımsız değişken;

Değişkenlerin değişim oranlarını değişkenlerin kendilerinin ve çeşitli parametrelerin fonksiyonları cinsinden ifade eden bir yapıya sahiptirler.

Bir çok fiziksel olay, en iyi, değişim oranları şeklinde matematiksel olarak formüle edilebildiğinden, bu tür denklemlere mühendisliğin her alanında sıklıkla rastlanır ve bu nedenle diferansiyel denklemler mühendislikte önemli bir yere sahiptirler.3

4

•Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir.

dt

diLv 21 q =

dt

TdC 2

t

T = dt

wdJ 2

F = dt

vdM 2

•Bir sistemin nasıl değiştiğini (dinamik karakteristiğini) bilirsek, hangi zaman veya hangi konumda nasıl tepki vereceğini tahmin ederek, tasarımlarımızı buna göre yapabiliriz.

• Gösterim biçimi:dy/dx=f(x)

• Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir.

• Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. Mertebeden, II. mertebeden, . . . türevler kastediliyorlar

• Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir.

Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir.

7

• Bir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucunda

y

4 -

-

-

-

-

+ + +

3 x

▪Sistemi genel olarak karakterize

eden y=f(x) fonksiyonu

.

xi xi+1 xi+n x

y

y

Eğim=

+ +

1i i

Adım büyüklüğü h

x x

x

1i iy y h

.

-

-

0

+ + +

3 x

(b)

dy/dx

8 -

-

-

-

-8 -

y= dxdx

dy

• Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir.

• Dolayısıyla bu denklemlerin sayısal ve analitik çözümünün bulunması çok önemlidir.

• Örneğin, mekanikte harmonik salınıcı problemi veya kuantummekaniğinde bir boyutlu schrödinger denklemi veyaelektromagnetik teoride bir boyutlı Laplace denklemi …gibi.

8

Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir.

Eğer birden fazla bağımsız değişken söz konusu ise, bu tür diferansiyel denklemlere de kısmi türevli diferansiyel denklemler (KDD) denir.

9

10

Bilgisayar olmaksızın ADD’ler genellikle analitik integrasyon

teknikleriyle çözülür.

Şu anda, pratik öneme sahip olan bir çok ADD’in kesin çözümü

yoktur. Sayısal yöntemler, bu gibi durumlar için güvenilebilecek tek

alternatiftir. Sayısal yöntemler, genelde bilgisayar gerektirdiği için

öncesi çağda, mühendislerin araştırmaları büyük oranda sınırlanmıştı.

9.1. Mühendislik Uygulamaları

• Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin konumundaki değişimleri açıklayan deneysel gözlemlere dayanır.

11

Yasalar, fiziksel sistemin durumunu doğrudan açıklamak yerine, genellikle, konuma ve zamana bağlı değişimlerini ifade ederler.

12

▪Tablo’da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir.

Bu değişimler, sürekli durumda (lim t ) türevlerle ifade edilirse, diferansiyel

denklemler ortaya çıkar. Daha sonra bu diferansiyel denklemler integre edilirse, enerji, kütle

ve hız değişimleri açısından bir sistemi konuma ve zamana göre tanımlayan matematiksel

işlevler elde edilir.

14

5.820122'23

xxxdx

dyy

y’ = 2x + 5 ve y(1)=-3 ise y(x) denkleminin genel çözümünü ve başlangıç

değer problemi çözümünü bulunuz

18

19

21

22

Ayrılabilir Dif Denk

23

24

25

26

Genel Çözümü

27

28

y’ = y denkleminin genel çözümü nedir

𝑦′ + 2𝑦𝑥2 = 0diferansiyel denklemi genel çözümü nedir?

y(0)=5 ise c integral sabiti kaçtır?

x’ - 2xt + 5 = 0 çözümü nedir?• X(t) denklemi ve

• değişken t olmaktadır.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

4−2𝑥

3𝑦2−5ise y=?

biçiminde yazılabilen denklemlere değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel

denklemler denir.

y’ = k ( y - 30) denkleminin genel çözümü nedir?

36