情報生命科学特別講義 III

（ 12 ） タンパク質立体構造の比較と予測

阿久津　達也

京都大学　化学研究所バイオインフォマティクスセンター

講義予定 第１回 : 　文字列マッチング 第２回：　文字列データ構造 第３回：　たたみ込みとハッシュに基づくマッチング 第４回：　近似文字列マッチング 第５回：　配列アラインメント 第６回：　配列解析 第７回：　進化系統樹推定 第８回：　木構造の比較：順序木 第９回：　木構造の比較：無順序木 第１０回：　文法圧縮 第１１回：　 RNA 二次構造予測 第１２回：　タンパク質立体構造の予測と比較 第１３回：　固定パラメータアルゴリズムと部分 k 木 第１４回：　グラフの比較と列挙 第１５回：　まとめ

立体構造アラインメント

タンパク質立体構造比較の必要性 立体構造と機能の間には密接な関係 配列が似ていなくても構造類似の蛋白質が多数存

在 構造分類データベース

SCOP （人間が分類） FSSP （ DALI プログラムにより分類） CATH （ SSAP プログラムなどにより分類）

立体構造アラインメント 立体構造の類似性判

定のために有用 どのように回転、平

行移動すれば、最適な残基間の対応づけ（アラインメント）が得られるかを計算

配列アラインメントの場合と異なり、決定版というようなアルゴリズムが無い

構造アライメント例

ヘモグロビン

ミオグロビン

RMSD(Root Mean Square Deviation)

点（ e.g., Cα 原子）の対応関係がわかっている場合に最適な重ね合わせとなる回転・平行移動を計算

行列計算により O(n) 時間で計算可能

p1p2

p3

p4

q1

q2

q3q4

T

n

iii

T

rms

Tn

QPd

1

2|)(|1

min

),(

qp

構造アラインメントプログラム : stralign 広くは利用されていないが、理論（計算幾何学）的

考察に基づいてアルゴリズムが設計されている 東大 HGC よりダウンロード可能 [Akutsu 1996]

問題の定義入力： ３次元点列 : P=( p1,…, pm ), Q=(q1,…, qn),

および、 実数 δ 　 　 　 （ m ≦ n とする）出力： 以下を満たし、かつ、長さ（アラインさ

れる点のペアの個数）が最大となる P,Q 間のアライメント M （および、付随する平行・回転移動 T ）

|)(|max),(

jiM

Tji

qpqp

stralign の基本アルゴリズム M0← {}

for all triplets PP=(pi1,pi2,pi3) from P do

for all triplets QQ=(qj1,qj2,qj3) from Q do

Compute rigid motion TPP,QQ from PP to QQ

Compute alignment M　　between TPP,QQ(P) and Q

if |M| > |M0| then M0 ← M

Output M0

回転・平行移動 TPP,QQ の計算法

PP=(p1,p2,p3) 、 QQ=(q1,q2

,q3)

に対する TPP,QQ の計算法 p1 が q1 に重なるように

PP を並行移動 p1p2 と q1q2 が同一直線上

にあるように、 PP を回転移動

PP と QQ が同一平面上にあるように、 PP を p1p2 を軸として回転移動

TPP,QQ

p1

p2

p3

q1 q2

q3

T(P) と Q に対するアライメント M の計算

p1

p2

p3

q1

q2

q3

q4

cδ

q1

q2

q3

q4

p1

p2

p3

otherwise0

|)(|if1

]1,1[

]1,[

],1[

max],[

cTw

wjiS

jiS

jiS

jiS

jiij

ij

qp

基本アルゴリズムの性能解析(1) 補題：　 PP=(p1,p2,p3), QQ=(q1,q2,q3) とし、 T を

|T(pi) - qi| δ (≦ i=1,2,3) を満たす変換とすると、 任意の p reg(p1,p2,p3) について以下が成立

　　　 |T(p) - q| δ≦ ならば |T　PP,QQ(p) - q| 8δ≦

}),(),(|,||||{),,( 21321121321 pppppxpppxxppp distdistreg

p1 p2

p3≦δ

≦8δ

qp

T(p)

TPP,QQ(p)

T

TPP,QQ

基本アルゴリズムの性能解析(2)

定理：　 δ に対する最適アラインメントを MOPT とすると、基本アルゴリズムは O(n8) 時間で、以下を満たすアラインメント M （と変換 T ）を出力する

||||and8|)(|max OPT),(

MMT jiMji

qpqp

証明概略MOPT に現れる P,Q の部分集合を、それぞれ、 P’,Q’ と

する。すると、 P’ が reg の中に全部含まれるような PPP’ が存在。

MOPT において、 PP に対応する QQ も存在し、補題の仮定を満たす。よって、 T(P’) は Q’ と 8δ 以内でマッチするため、アルゴリズムは |M| |≧MOPT| を満たすアラ

イメントを出力。 注： （かなり大きくなるが）定数倍の時間をかければ、 8δ　 は δ　 に近づけることが可能

実用版 stralign 基本アルゴリズムは O(n8) 時間かかるので非実用的 ランダムサンプリング や sparse DP などを用いると O(n5)

時間くらいに近づけることができるが、それでも非実用的 そこで、理論的な性能保証はあきらめ、実用的なアルゴリズ

ムを開発

PP,QQ として 長さ 10～ 20 残基程度の連続した fragment を利用し、 TPP,QQ は rmsd の計算法により求める 全部で O(n2) ペアしか調べないので、 O(n2)×DP の計算量 = O(n4) 時

間 。実際には rmsd が大きいペアには DP を行わないため、より高速。

解の精度を高めるため、「アライメント ⇒ rmsd fitting 　」を数回繰り返す

多くの場合、数秒程度でアライメント可能

他の構造アラインメント・アルゴリズム 数多くの構造アライメント手法が提案 例

DALI （距離行列のアラインメント） SSAP( 二重 DP) [Taylor & Orengo 1989]

CE (Combinatorial Expansion) [Shindyalov & Bourne 1998]

VAST (Vector Alignment Search Tool) [Gibrat et al. 1998]

DP+Iterative Improvement [Gernstein & Levitt 1998]

StrMul ( 二重ＤＰを基にした多重構造アラインメント） [Daiyasu & Toh 2000]

DALI (Alignment of Distance Matrices) Distance Matrix のアラインメント [Holm & Sander 1993]

Distance Matrix （同一タンパク P 内の）残基間の距離を行列形式で表現したもの

P と Q の distance matrix （ただし、アラインメントされる残基のみから構成される行列）ができるだけ類似するようなアラインメントを計算

Simulated Annealing に類似した方法を用いて、アラインメントを計算

0 3 5 8 60 1 5 4

5 1 0 2 78 5 2 0 36 4 7 3 0

3GLADV

0 5 8 1 60 2 5 7

8 2 0 2 21 5 2 0 36 7 2 3 0

5GAERV

G L A V-

G - A VR

D

E0 5 8 65 0 2 78 2 0 26 7 2 0

GAEV

G A E V

0 5 8 65 0 2 78 2 0 36 7 3 0

GADV

G A D V

アラインメント

Contact Map Overlap (CMO) 問題 （１）

立体構造をグラフで表現 {vi,vj}E ⇔ 残基 vi と vj 間の距離が θ 以内

以下の制約のもとでアラインされる残基ペアを最大化 アライメントにおいて (vi,uk) と (vj,ul) が対応するなら、　

{vi,vj}E 　⇔ {uk,ul}E’

K L V A

A V L A

LV

U C I

P G

K H G

Contact Map Overlap (CMO) 問題 （２） CMO 問題に関する結果

NP困難 [Goldman et al. 1999] しかし、実際多くのタンパク質立体構造について最適解が計算可能

[Caprara et al. 2004] 整数計画法の利用 分枝限定法の利用 グラフの最大クリーク問題に還元可能（下図参照）

深く関連する問題 RNA 二次構造比較 [G-H. Lin et al. 2002] ペアエネルギー関数のもとでのスレッディング [Akutsu & Miyano 1999]

vi vj

uk ul

vi uk

vj ul

vi vj

uk ul

vi uk

vj ul

構造のマルチプルアライメントの困難性 いくつかのアルゴリズム ( CE-MC, StrMul, … ) が提案されている

が、ヒューリスティクスに基づいており、解の性能保証は無い 配列のマルチプルアラインメントと同様に本質的な困難さ (NP困難 ) があると予想される

実際、以下の問題として解釈すると、 NP困難

最大共通部分点集合問題 (LCP) [Akutsu & Halldorson 2000]

入力：　 d 次元空間上の点集合 S1, S2, …, SN

出力： 以下を満たし、最大の要素数を持つ d 次元空間上の点集合 C各集合 Si に対し、等長変換 Ti が存在し、 T1(S1) T2(S2) …TN(SN) = C

タンパク質立体構造予測

タンパク質立体構造予測

アミノ酸配列から、タンパク質の立体構造（３次元構造）をコンピュータにより推定

実験よりは、はるかに精度が悪い

だいたいの形がわかれば良いのであれば、４～５割近くの予測率

T　 V　A　C　 L　G　F　 S　L　V　 V　G　 G　 R　 D　

アミノ酸配列　

コンピュータ　

タンパク質立体構造　

　立体構造予測法の分類 物理的原理に基づく方法 (ab initio 法 )

エネルギー最小化、分子動力学法 ホモロジーモデリング

配列アラインメントにより主鎖のだいたいの配置を決定した後、主鎖や側鎖の配置の最適化を分子動力学法などで実行

２次構造予測 各アミノ酸が α 、 β 、それ以外のいずれかにあるかを予測 ランダムに予測すれば 33.3…% の予測率であるが、高性能の手法を用

いれば 80% 近い予測率 格子モデル スレッディング

予測したい配列と既知構造の間のアラインメントを計算 フラグメント・アセンブリー法

数残基から十数残基からなる複数のフラグメント候補をデータベース検索により選択した後、分子動力学法などを用いてそれらをつなげ合わせる

格子モデル

折れ畳み経路のシミュレーションによる定性的理解　→フォールディングファンネル

エネルギー最小の構造の計算法→ NP困難

親水性アミノ酸

疎水性アミノ酸

スコア＝－９

スコア＝－５

配列

格子モデル タンパク質構造予測のための、最も単純な数理モデル 平面、もしくは、空間の格子点の中で折り曲げる 隣にくる赤点（疎水性アミノ酸）の個数を最大にする　　　　　　　　　　　　（ただし、もともと隣にある点は対象外）

親水性アミノ酸

疎水性アミノ酸

スコア＝９

配列

スコア最大＝最適解 スコア＝５

格子モデルの最適解の計算 最適解（最大値を持つ答）の計算はとても難しい

スーパーコンピュータを使っても 1000 アミノ酸の問題は（たぶん）解けない

最大値が計算できないなら、近似解（最適解に近い値を持つ答）は計算できないだろうか？

⇒最適解はわからなくても、最適解の 4 分の 1程度

　　以上の値の答なら、いつでも速く計算可最適解がわからないのに、何でそんなことができるのだろうか？

格子モデル（ HP モデル）の近似に関する理論的結果 ２次元で 1/4 近似、３次元で 3/8 近似　　　　　　　　　　　 　 (Hart & Istrail,

1995) ３次元で NP-Hard (Berger,Leighton,1998)

２次元で NP-Hard (Crescenzi et al.,1998)

２次元で 1/3 近似 (Newman, 2002)

最大値の見積もり性質（１）• 奇数番目の点は、偶数番目

の点としか隣り合わない• 偶数番目の点は、奇数番目

の点としか隣り合わない

以降ではわかりやすくするため、偶数番目の赤点は青点に書き換える

性質（２）• （はしの２点以外は）１

個の点は２個の点としか隣り合わない

X : 赤点の個数Y : 青点の個数

X ≦Y とする(逆の時も同様）

最大値 ≦ 2X+2

近似解の計算 （１） もとの配列を中間くらいで切る

前半に青点の半分以上、後半に赤点の半分以上が来るように切る　　（そうできない場合には、赤と青を入れ替えれば大丈夫）

前半分を青点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる 後半分を赤点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる

近似解の計算 （２） もとの配列を中間くらいで切る 前半分を青点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる 後半分を赤点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる 折り曲げたものを向かい合わせにする

• 下側の赤点には、必ず青点が結合• 最適解（の値）は 2X+2 以下だった• 近似解は赤点の半分以上　⇒　 X/2 　以上• よって、

近似解の解析 もとの配列を中間くらいで切る

前半に青い点の半分以上、後半に赤い点の半分以上が来るように切る 前半分を青点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる 後半分を赤点が 1 個おきに並ぶように折り曲げる 折り曲げたものを向かい合わせにする

4

1

4422

2/

X

X

X

X

最適解近似解

まとめ タンパク質立体構造アラインメント

タンパク質構造比較に利用、決定版（定式化）は無い 比較的単純なアルゴリズムにより定数近似が可能

タンパク質立体構造予測 様々な定式化、方法が存在 HP モデルは NP困難であるが、定数近似が可能

補足 構造アラインメントに関して、今回と似た定式化のもとで O(n32)

時間で厳密解が計算可能　 [Ambuhl et al.: Proc. ESA 2000]

RMSD を用いた部分構造検索は平均的に高速に実行可能 [Shibuya: J. Comp. Biol. 2007]

HP モデルの 2 次元の場合の近似は 1/3 まで改善 [Newman: Proc. SODA 2002]