11

Раздел Раздел IIIIII33. Хидравлика на канализационните мрежи. Хидравлика на канализационните мрежи

Тема Тема 1177

Математическо моделиране на потоците в Математическо моделиране на потоците в канализационната мрежаканализационната мрежа

• Уравнения на Уравнения на De Saint VenantDe Saint Venant

• Особености на прехода от и към напорен режимОсобености на прехода от и към напорен режим((Концепция на пиезометричния процеп на Концепция на пиезометричния процеп на Preisman)Preisman)

22

3.1. 3.1. Уравнения на Уравнения на De Saint VenantDe Saint Venant• Безнапорните нестационарни неравномерни движения на водата в Безнапорните нестационарни неравномерни движения на водата в

призматични легла могат да бъдат описани формално чрез система от две призматични легла могат да бъдат описани формално чрез система от две уравнения, отразяващи два фундаментални физични закона – за уравнения, отразяващи два фундаментални физични закона – за съхранение на масата (за непрекъснатостта на потока) и за изменение на съхранение на масата (за непрекъснатостта на потока) и за изменение на количеството на движението под действието на силите, които му влияят количеството на движението под действието на силите, които му влияят (втори закон на (втори закон на Newton)Newton)

• Математическото описание (моделът) на такива потоци е предложено от Математическото описание (моделът) на такива потоци е предложено от De De Saint Venant Saint Venant през 1871 г.през 1871 г.

Уравнение на непрекъснатостта на потокаУравнение на непрекъснатостта на потока

33

Уравнение на непрекъснатостта на потокаУравнение на непрекъснатостта на потока• Относно масата на водата с плътност Относно масата на водата с плътност ρρ в произволно избран обем в произволно избран обем

на потока с дължина на потока с дължина ∆∆xx, изминаван за време , изминаван за време ∆∆tt,, може да се запише: може да се запише:

(1)(1)

• Тъй като Тъй като ∆∆xx е много малка величина, то може да се приеме е много малка величина, то може да се приеме ∆∆xx22 = 0 = 0 • ТогаваТогава

(2)(2)• Относно масовия баланс за участъка с дължина Относно масовия баланс за участъка с дължина ∆∆xx може да се може да се

запише:запише:(3)(3)

• ИлиИли

(4)(4)

2..21...

2

).(x

xFxFx

xxFFF

m

xFm ..

xqdtdm

..

xqxFdtd

....

44

Уравнение на непрекъснатостта на потокаУравнение на непрекъснатостта на потока

• Относно диференциалОтносно диференциалa a на произведението в лявата част на на произведението в лявата част на уравнение (3) може да се запише:уравнение (3) може да се запише:

(5)(5)

• От друга страна е валиден изразът:От друга страна е валиден изразът:(6)(6)

• OOтносно тносно d∆x/dtd∆x/dt при при ∆∆tt→→00 може да се запише по дефиниция:може да се запише по дефиниция:

(7)(7)

• ИлиИли(8)(8)

Fdtxdx

dtdFxF

dtd ...

tvx .

xxv

t

tvtxxvv

dtxd

.

...lim

xxv

dtxd

.

55

Уравнение на непрекъснатостта на потокаУравнение на непрекъснатостта на потока• Относно пълния диференциал на функцията Относно пълния диференциал на функцията F = f(x,t)F = f(x,t) може да се може да се

запише:запише: (9)(9)

ИлиИли (10)(10)

• При заместването на изразите (8) и (10) в уравнение (5) се При заместването на изразите (8) и (10) в уравнение (5) се получава:получава:

(11)(11)

Или предвид израза (3), зависимостта (11) приема вида:Или предвид израза (3), зависимостта (11) приема вида:

(12)(12)

ИлиИли (13)(13)

dttFdx

xFdF ..

tFv

xF

tF

dtdx

xF

dtdF

..

Fxxvx

tFv

xFxF

dtd ....).(

xqFxxvx

tFv

xF

.....

qFxvv

xF

tF

..

66

Уравнение на непрекъснатостта на потокаУравнение на непрекъснатостта на потока

• Относно втория и третия член в лявата част на уравнение (13) може Относно втория и третия член в лявата част на уравнение (13) може да се запише:да се запише:

(14)(14)

• Предвид на израза (14), уравнение (13) добива окончателно вида, Предвид на израза (14), уравнение (13) добива окончателно вида, известен като известен като уравнение на непрекъснатосттауравнение на непрекъснатостта : :

(15)(15)• При отсъствие на страничен приток При отсъствие на страничен приток qq и при правоъгълен профил на и при правоъгълен профил на

потока с ширина потока с ширина BB и воден стоеж и воден стоеж hh, уравнение (15) приема вида:, уравнение (15) приема вида:(16)(16)

• При стационарно движение При стационарно движение dFdF//dtdt = 0 = 0 и уравнение (16) приемаа вида:и уравнение (16) приемаа вида:

(17)(17)

dxdQvF

dxdF

xvv

xF

).(..

qtF

xQ

thB

tF

xQ

.

..;0 constvFQxQ

ii

77

Уравнение за изменение на количеството на движениеУравнение за изменение на количеството на движение

• Съгласно втория закон на Съгласно втория закон на NewtonNewton, изменението на количеството на , изменението на количеството на движението е равно на сумата от силите движението е равно на сумата от силите PPii, които предизвикват това , които предизвикват това изменение:изменение:(18)(18)

• Относно пълния диференциал на скоростта Относно пълния диференциал на скоростта vv може може дада се запише:се запише:

(19)(19)• От друга страна е валиден изразът От друга страна е валиден изразът dx/dt = vdx/dt = v..

• Тогава лявата част на уравнение (18) може да бъде представено във Тогава лявата част на уравнение (18) може да бъде представено във вида:вида:

(20)(20)

• За дефиниране на дясната част на уравнение (18) трябва да бъдат За дефиниране на дясната част на уравнение (18) трябва да бъдат разгледани силите разгледани силите PPii

iPdtdvmvm

dtd .).(

. .v vdv dx dtx t

tvv

xvm

dtdt

tv

dtdx

xvm

dtdvm ....

88

Уравнение за изменение на количеството на движениеУравнение за изменение на количеството на движение• Силите на хидростатичния натискСилите на хидростатичния натиск FFpp, на триене , на триене FFff ии на теглото на теглото GGii, ,

които действат по оста които действат по оста xx съответно на границите и в обема на съответно на границите и в обема на произволно избранпроизволно избранooто елементарно водно тяло от потока с дължина то елементарно водно тяло от потока с дължина ∆x∆x,, измината за време измината за време ∆t∆t,, могат да бъдат представени графично, както могат да бъдат представени графично, както следва: следва:

99

Уравнение за изменение на количеството на движениеУравнение за изменение на количеството на движение

• Относно компонентата Относно компонентата GGii на теглото на теглото GG може да се запише: може да се запише:

GGii = m.g.i = m.g.i (21)(21)

• Относно силата на триене Относно силата на триене FFff може да се запише: може да се запише:

FFff = m.g.I = m.g.I (22)(22)

• Относно резултантната на силите на хидростатичния натиск се Относно резултантната на силите на хидростатичния натиск се получава:получава: (23)(23)

• За призматично легло с правоъгълен профил (ширина За призматично легло с правоъгълен профил (ширина BB, воден стоеж , воден стоеж hh и площ на живото сечение и площ на живото сечение SS), последният израз може да бъде ), последният израз може да бъде представен по дефиниция, както следва:представен по дефиниция, както следва:

(24)(24)

xxF

xxF

FF pppp

..

xhgm

xhxgS

xhB

hBh

xhxgS

xxShx

xhSxhS

xx

xFp

......).(..

...21

...21...

21).

2..(.

1010

Уравнение за изменение на количеството на движениеУравнение за изменение на количеството на движение• Предвид изразите (20), (21), (22) и (24), уравнение (18) приема вида:Предвид изразите (20), (21), (22) и (24), уравнение (18) приема вида:

(25)(25)

ИлиИли окончателно:окончателно:

(26)(26)

• Последното уравнение е известно като Последното уравнение е известно като “пълно динамично “пълно динамично уравнение на уравнение на De Saint Venant”De Saint Venant”

• Уравнението на Уравнението на De Saint VenantDe Saint Venant се прилага и в следните опростени се прилага и в следните опростени модификации в някои от симулационните програмни продукти:модификации в някои от симулационните програмни продукти:– Без първия член – безинерционна вълнảБез първия член – безинерционна вълнả– Без първите два члена - стационарна вълнả (стационарно Без първите два члена - стационарна вълнả (стационарно

неравномерно движение)неравномерно движение)– Без първите три члена - кинематична вълнả (равномерно движение)Без първите три члена - кинематична вълнả (равномерно движение)

xhIigm

tvv

xvm ....

0).(..

Iig

xhgv

xv

tv

1111

3.1. 3.1. Уравнения на Уравнения на De Saint VenantDe Saint Venant

• Двете уравнения на Двете уравнения на De Saint Venant De Saint Venant бяха изведени по-горе при бяха изведени по-горе при приемането на правоъгълно живо сечение на потока. приемането на правоъгълно живо сечение на потока.

• За канализацията обаче са характерни по-сложни тръбни За канализацията обаче са характерни по-сложни тръбни профили, чиито геометрични параметри се изразяват чрез профили, чиито геометрични параметри се изразяват чрез трансцендентни уравнения.трансцендентни уравнения.

• За кръгло сечение са характерни следните геометрични и За кръгло сечение са характерни следните геометрични и хидравлични зависимости:хидравлични зависимости:

sin180

..2

2rS

2cos1. rh

2sin.2 rB

sin1.

2rR

1212

3.1. 3.1. Уравнения на Уравнения на De SaintDe Saint VenantVenant

• За сложните (неправоъгълни) канализационни профили при За сложните (неправоъгълни) канализационни профили при извеждането на уравненията на извеждането на уравненията на De Saint Venant De Saint Venant с отчитане на с отчитане на съответните геометрични и хидравлични характеристики се съответните геометрични и хидравлични характеристики се получават следните изрази:получават следните изрази:

къдетокъдетоΦΦ11((h)h) и и ΦΦ22(h)(h) са комплицирани трансцендентни алгебрични функции са комплицирани трансцендентни алгебрични функции

0).()(... 2

Iigh

xhgv

xv

tv

)(. 1 hth

xQ

1313

3.2. 3.2. Особености на прехода от и към напорен режимОсобености на прехода от и към напорен режим• Уравненията на Уравненията на De Saint Venant De Saint Venant са валидни само за безнапорни са валидни само за безнапорни

потоци, а в канализационните участъци е възможно при потоци, а в канализационните участъци е възможно при определени условия да възникват и напорни движения които, определени условия да възникват и напорни движения които, както е известно, се описват формално с други (по-прости) както е известно, се описват формално с други (по-прости) зависимостизависимости

• При моделирането на динамичните потоци в канализационните При моделирането на динамичните потоци в канализационните мрежи е важно да се дефинират точно местата и моментите на мрежи е важно да се дефинират точно местата и моментите на преход от и към напорен режим, за да бъдат прилагани преход от и към напорен режим, за да бъдат прилагани своевременно и адекватно съответните зависимостисвоевременно и адекватно съответните зависимости

• Ясно е, че определянето на тези пунктове и моменти е Ясно е, че определянето на тези пунктове и моменти е практически невъзможно, затова в съвременните модели и практически невъзможно, затова в съвременните модели и програмни продукти се прилага една опростяваща виртуална програмни продукти се прилага една опростяваща виртуална конструкция на правите тръбни участъци, известна като конструкция на правите тръбни участъци, известна като “концепция на пиезометричния процеп на “концепция на пиезометричния процеп на Preisman” Preisman”

• Както се вижда от илюстрацията на следващия слайд, Както се вижда от илюстрацията на следващия слайд, пиезометричният процеп на пиезометричният процеп на PreismanPreisman решава радикално решава радикално проблема с преминаването от и към напорен режим в правите проблема с преминаването от и към напорен режим в правите канализационни участъци, като въвежда профил с безнапорно канализационни участъци, като въвежда профил с безнапорно движение, при което дори при хидравлично претоварване на движение, при което дори при хидравлично претоварване на канализационния участък навсякъде и във всеки момент са канализационния участък навсякъде и във всеки момент са валидни уравненията на валидни уравненията на De Saint VenantDe Saint Venant

1414

3.2. 3.2. Особености на прехода от и към напорен режимОсобености на прехода от и към напорен режим

• Широчината на пиезометричния процеп Широчината на пиезометричния процеп bb може да бъде определена може да бъде определена с израза:с израза:

където където сс - скоростта на звука във водна среда - скоростта на звука във водна среда• Обикновено се приема Обикновено се приема bb = = 0,10,1DD с което при моделирането с което при моделирането

неизбежно се внася известна (но приемливо малка) грешканеизбежно се внася известна (но приемливо малка) грешка

bFgc .