אינפי חלק א'

Tami@math.huji.ac.ilאיתמר צביק:מרצה:Yossish@math.huji.ac.il יוסי שמאי:מתרגל:

SirSmithRichard@gmail.comאדם לב ארי:כותב:

אתרי סיכומים נוספים:shy.schloss.comשי:

huji.southmath.orgיובל:www.notes-heaven.comדינה:

תוכן עניינים3...................................................................................................................ציר המספרים

3.................................................................................................אקסיומות של מספרים ממשיים

3...........................................................................................................................הגדרה )שדה(

3.......................................................................................משפט )יחידות ואחידות הפתרון(

3...................................................................................................................מבנה של סדר

3............................................................................................קטעים חסומים בישר הממשי3.............................................................................................................הגדרה )חסם מלמעלה(

3...............................................................................................................הגדרה )חסם מלמטה(

3..............................................................................................................הגדרה )קבוצה חסומה(

3............................................................................................טענה )אם יש מקסימום, הוא יחיד(

3........................................................................................................................................טענה

3.....................................................................................................הגדרה )קבוצה אינדוקטיבית(

3............................................................................................................עקרון האינדוקציה3..............................................................................................הגדרה )סימונים מתורת הקבוצות(

3...................................................................................................................פסוקים לוגיים

3..................................................................................................................סכימה וכפילה

3........................................................................................................................אינדוקציה

3...............................................................................................................תכונות הטבעיים3......................................................................................................................................משפט

הגגאשיעורתרגולשיעורשיעור

22/10/200624/10/200624/10/200426/10/200629/10/200631/10/200631/10/20065/11/20067/11/20067/12/2006

3.......................................................................................................משפט )עיקרון הסדר הטוב(

3............................................................................................(משפט )אקסיומת השלמות של

3....................................................................................................................הגדרה )סופרימום(

3....................................................................................................................הגדרה )אינפימום(

3.......................................................................................................למה )יחידות החסם העליון(

3........................................................................................משפט )עקרון החסם העליון )תחתון((

3......................................................................................................................................משפט

3..................................................................................................(R ב־Qמשפט )צפיפות של

3......................................................................................משפט )אקסיומת השלמות )נוסח שני((

3..................................................................................................קיום השורשים בממשיים

3.....................................................................................................נוסחת הבינום של ניוטון3.....................................................................................................משפט )אי שוויון הממוצעים(

3...................................................................................מספרים רציונאליים ואי רציונאליים

3...............................................................................................................................שדות3.....................................................................................................הגדרה )מספרים רציונאליים(

3............................................................................................................הגדרה )חזקות ממשיות(

3.......................................................................................................................ערך מוחלט3........................................................................................................משפט )אי שוויון המשולש(

3......................................................................................................................................משפט

3........................................................................................................................................טענה

3.......................................................................................................משפט )אקסיומת השלמות(

3...............................................................................................................משפט )החסם העליון(

3..................................................................................................................משפט )ארכימדיות(

3..................................................................................................................הצגה עשרונית

ציר המספריםהגדרה

Real Numbersמשתמשים במספרים הממשיים למדידות פיסיקליות של זמן, מרחק וכו'.

מגדירים ציר, בשלב ראשון חלק. זאת תהיה הראשית שלנו. Oבוחרים נקודה שרירותית ומסמנים אותה ב־.U( אשר נסמן אותה ב־Unitבוחרים נקודה נוספת, זאת נקודת היחידה )

בהתאם למרחקx מראשית היא לפי P. מרחקה של Pבוחרים נקודה שלישית, אשר נסמנה ב־

xשל היחידה מהראשית. כלומר: (P ).

xככה שעבור הראשית: (O xועבור היחידה: 0=( (U )=1." היא נקודה במרחק כפול של נקודת היחידה מהראשית.2לדוגמה, הנקודה "

של מספרים ממשייםאקסיומות את קבוצת המספרים הממשיים.נסמן ב־

:אלגברינציג את המבנה ה מוגדרות שתי פעולות: חיבור וכפל.ב־

נגדיר:בהינתן שני מספרים ממשיים:

אקסיומות החיבור∀ a ,b , c∈R :

A1 :(a+b )+c=a+(b+c )אסוציאטיביות((A2 :a+b=b+a)קומוטטיביות(A3 קיום האפס( אשר מקיים: : קיים(A4 קיים :לכל −b הנגדי של , אשר נקרא לו" b " :אשר מקיים b+ (−b )קיום נגדי(0=(

הערהA מכיוון שזה Addition.

אקסיומות הכפלM 1: (a⋅b )⋅c=a⋅(b⋅c )M 2 :a⋅b=b⋅aM ∋1≠0: קיים: 3 R:1 כך ש∀ a∈ R :a=1⋅a=a⋅1

M 2 קיים:a≠0: עבור 4∀ a∈ R :1= 1

a⋅a=a⋅1

a

קיום היחידה1 קיום הופכי כפלי2

הערהM מכיוון שזה Multiplication.

האקסיומה המשלבתD :a⋅(b+c )=a⋅b+a⋅c

הערהDמכיוון שזה דיסטריבוטיביות

הגדרה )שדה(.שדהקבוצה כלשהי )לאו דווקא ממשיים( המקיימת את האקסיומות הללו נקראת

משפט )יחידות ואחידות הפתרון(ax+b=c למשוואה: אחד ויחיד קיים פתרון a≠0 ו

הערהa ,b , c.נתונים -

x.משתנה -

הוכחה

)יחידות(

מקיימים: נניח ש־

ax+b=ca x '+b=c

x=xנראה ש־ '

אם:

אזי:

הערותu=w אז u=v∧v=w אם $1

$2 a+b=b+c אם ורק אם a=c

$3 a⋅b=c⋅b אם ורק אם a=c (b≠0 )

המשך - )קיום(

נגדיר:x :=1

a [c+ (−b ) ]

ונקבל: ax+b=cנציב במשוואה:

אי אפשר להתווכח.ועל

סימוןc−b :=c+(−b )

a≠0 :( ba :=1a⋅b)

מסקנות:ax+b=cנציב במשוואה

1)

a=1 x+b=bc=b 0+b=b)יחידות האפס(

2)

a=1 x+b=0c=0 (−b )+b=0 )הנגדי של הנגדי של ⇐ )יחידות הנגדי b הוא b.

.1יחידות של (3ax=1. כלומר: aנניח כי קיים איבר יחידה נוסף על ציר המספרים, נסמן אותו ב־ x...

יחידות ההופכי הכפלי.(4

נניח ש:

1a=d

d וקיים ' ax+b=c אשר גם הוא ההופכי הכפלי. כלומר עבור:

x=dמתקיים: (c−b x=d וגם: ( ' (c−b ולכן מתקיים השוויון.(

5)0⋅b=0

b=M3

1⋅b=A3

(0+1 ) ¿b=D

0⋅b+1⋅b=M3

0⋅b+b⇓

b=0⋅b+bxb+b=b0+b=b

b=0⋅0 :המשפט הקודםלכן לפי

6)a=0∨b=0⇔a⋅b=0

(⇐ )

אזי: a≠0נניח ש:

1a∈ R (M 4 )

b=M3

1⋅b=M4

( 1a⋅a)¿b=

M1 1a¿ (a⋅b )=1

a⋅0=

5

0

(⇒ )

=0 אזי: b=0 אם: 5a⋅0=a⋅b

7)(−1 )⋅b=−b":x+b=0"נבדוק במשוואה:

0=5

0⋅b=b⋅[1+(−1 ) ]=D

(−1 )⋅b+1⋅b=M3

(−1 )⋅b+b

ומכאן המסקנה: (−1 )⋅b=−b

)חוק הסימונים((8(−a )⋅b=−(ab )=a⋅(−b )

(−a ) (−b )=a⋅b⇓

(−a ) (−b )=( (−1 )⋅a ) ( (−1 )⋅b )= ( (−1 )⋅(−1 ) )⋅a⋅b=a⋅b

מבנה של סדר: מתקיים לכל: ב O1:טריכוטומיה(: מתקיים אחת ורק אחת מהבאים(

O2 :אם :a<b∧b<c :אזי a<c)טרנסטיביות(

C A :אם :a<b :אזי a+c<b+c

CM :אזי: : אם a⋅c<b⋅c

הגדרה. נשייכו לקבוצה x>0 יקרא חיובי אם ורק אם מספר ממשי:

תרגיל−a<0⇔0<a

⇓0<−a⇔a<0

מסקנה

הערהלמינוס יש שתי אפשרויות:

)ההפך לחיבור )חיסורציון מספר שלילי

זה רק עניין פורמאלי / תרבותי.

משפט1) 2)

3)

הוכחה

M )1≠0לפי ההנחה, (1 (. לכן, לפי הטריכוטומיה, מתקיימת אחת מ:30<1 1<0

>0. אם כך, נקבל ש: 0>1נניח בדרך השלילה ש: (−1 ( .CM )לפי (

בסתירה להנחה. .1>0לכן:

2)

3)

למה

הוכחהa<b⇒a+c<b+cc<d⇒b+c<b+d

⇒a+c<b+c<b+d⇒a+c<b+d

תרגיל

הגדרה

הגדרה

משפט

הוכחה אזי אם: a<0∨a>0 אזי: a≠0אם:

a2>0 אזי: a>0אם: (לפי הסעיף השלישי של המשפט הקודם )

ולכן: אזי: a<0אם:

נראה את השקילות:

(⇐ ) אזי:אם:

(⇒ ) אזי:אם:

, :Ra b a b a b a b

קטעים חסומים בישר הממשי

הגדרה )חסם מלמעלה(. לכל: x≤L עם התכונה: תקרא חסומה מלמעלה אם קיים:

L הוא חסם מלמעלה של .

דוגמה.0 חסומה מלמעלה על ידי

הגדרה )חסם מלמטה(S⊂R :תקרא חסומה מלמטה אם קיים L∈R :עם התכונה x≥L :לכל x∈S.

L הוא חסם מלמטה של .

הגדרה )קבוצה חסומה(. לכל: T≤x≤L עם התכונה: תקרא חסומה אם קיימים:

הגדרה. חסם מלמעלה של M ו- אם ורק אם יקרא מקסימום של קבוצה

הגדרה. חסם מלמטה של m ו- אם ורק אם יקרא מינימום של קבוצה

טענה )אם יש מקסימום, הוא יחיד(

הוכחה . נניח בלי או , אזי או : נניח שקיימים שני מקסימומים לקבוצה

וגם , אזי הגבלת הכלליות ש: חסם מלמעלה של הקבוצה בסתירה (.יהיה גדול מכל איבר אחר בקבוצה )והרי הנחנו ש־להגדרת החסם שדורשת ש־

הגדרהaיהיו: ,b∈R ,a≤b:

[a ,b ] :={x∈ R :a≤x≤b }(a ,b ) := {x∈R :a<x<b }(a ,b ] := {x∈R :a<x≤b }[ a ,b) :={x∈R : a≤x<b }

טענהx2+1=0 פתרון למשוואה:אין ב־

הוכחהאזי:אזי אם:אם:אזי:אזי אם:אם:

הגדרה(:Nככה נגדיר באופן אינדוקטיבי את קבוצת הטבעיים )

2:=1+13 :=2+1⋮

)קבוצה אינדוקטיבית(הגדרה אם ורק אם היא מקיימת:אינדוקטיביתתקרא

I).II) אזי אם.

הגדרה

S.אינדוקטיבית

הערהחיתוך של קבוצות אינדוקטיביות הינו קבוצה אינדוקטיבית.

הינה אינדוקטיבית.Nלכן

הערה. אינדוקטיבית אזי: אם:

( אם ורק אם שייך לכל קבוצה אינדוקטיבית. הינו מספר טבעי )

עקרון האינדוקציהטענה

אינדוקטיבית, אזי תהי

הוכחה. אזיוגם

טענה

P(x נתונה טענה n∈Nלכל , נניח שמתקיים:(

I)P(1 נכונה.(

II) :אםP(n P(n+1 נכונה, אזי אם: ( P(n נכונה, אזי ( .n∈N נכונה לכל (

הגדרה

מתקיים:

{ 1∈Sn+1∈S⇐n∈S

( I( IIS=N⇐ינדוקטיביתא S⇐

טענה

הוכחה: n:n=1באינדוקציה על

)נכון לפי הגדרה.(

P(nנניח נכונות של P(n+1 ומזה נסיק נכונות של ( ):xm+ (n+1 )=x (m+n )+1=xm+n⋅x=(xm⋅xn)⋅x=xm⋅(xn⋅x )=xm⋅xn+1

הגדרה )סימונים מתורת הקבוצות(

Aקבוצות – אות לועזית גדולה - ,B ,C

סימון איברים בקבוצה -

A={1,2,3 }B= {2,3,4 }

∋1שייכות - A

הגדרהA1יהי , A2.קבוצות

⊃A1נאמר כי: A2 :A1מוכלת ב־ A2 :אם x∈ A1⇒ x∈ A2

דוגמה{1,2 }⊆AB⊄ A

, :R N m n m nx m n x x x

דוגמהC={x : x∈ A∧x∈B }=A∩B={2,3 }= {x∈ A : x∈B }

" - כך ש...:"" - וגם.¿"" - או.¿"

A∪B={xאיחוד: : x∈ A∨x∈B }

Aהפרש: ¿={x∈ A : x∉B }= {1 }

{}=0הקבוצה הריקה: ".∃קיים: "

הערה⊇A⊆B∧Bאם A אזי A=B.

הגדרה

- ממשיים - מרוכבים

דוגמהA={n∈N :∃k∈ N ,n=2k }B= {−1 ,−2 ,⋯}= {−n :n∈N }

פסוקים לוגיים

I) קייםx :ממשי כך ש x2=−2∃ x∈R : x2=−2

II) לא קייםx :ממשי כך ש x2=−2

(∃ x∈R : x2=−2 )¬¿∨(∀ x∈ R : x2≠−2) ¿III).קיים מספר טבעי מינימאלי

∃n∈N :∀m∈N ,n≤mIV) לכל מספר טבעיn אם n זוגי אזי n2

.4 מתחלק ב־∀ n∈N , (∃k∈N :n=2k )⇒ (∃l :n2=4 l )

סכימה וכפילההגדרה

לציון פעולת הסכימה המקוצרת. כאשר מתחתנשתמש בסימן סיגמה באות גדולה - לסיגמה נציין את משתנה הסכימה וערך ההתחלה, מעל הסיגמה את ערך הסיום ולצד הסיגמה

את תנאי הסכימה.

לציון פעולת המכפלה המקוצרת. בדומה לפעולת הסכימה.נשתמש בסימן פאי גדול -

דוגמה

∑i=2

3

i=2+3

∑i=1

3

i2=1+4+9=14

1⋅2⋅3⋅4⋅5=∏i=1

5

i

2⋅4⋅6=∏i=1

3

2 i

0=∏i=−5

5

i−1

3=∏i=3

3

i

∏n=1

3

∑i=1

n

i=1⋅3⋅6=18

∑n=1

3

∑i=1

n

i2=1+5+14=20

∑i=1

n

(ai+bi )=∑i=1

n

ai+∑i=1

n

bi

5

1

54321i

i

אינדוקציה

טענה

הוכחה.nנוכיח את הטענה באינדוקציה על

:n=1שלב א', בדיקת נכונות הטענה עבור

1+q=? 1−q2

1−qלפי נוסחאות הכפל המקוצר:

(1+q ) (1−q )=1−q2

שלב ב': שלב האינדוקציה.:n+1 ומוכיחים את הטענה עבור nמניחים כי הטענה נכונה עבור

כלומר, צריך להוכיח:1+q+⋯+qn+qn+1=1−qn+2

1−q

הוכחה: )באינדוקציה(

1+q+⋯+qn+qn+1=1 1−qn+1

1−q+qn+1=

1−qn+1+qn+1 (1−q )1−q

=1−qn+2

1−q

)באינדוקציה(לכן הטענה נכונה עבור כל

– הנחת האינדוקציה.1הערה:

טענה

∑i=1

n

i=n2

(n+1 )

הוכחה )באינדוקציה(

n=1:1=1

2⋅2

:n+1 ונוכיח נכונות עבורnנניח כי הטענה נכונה עבור

צריך להוכיח:∑i=1

n+1

i= (n+2 ) (n+1 )2

הוכחה

3∑i=1

n+1

i=∑i=1

n

i+ (n+1 )=1 n (n+1 )

2+(n+1 )=n (n+1 )+2 (n+1 )

2=

(n+2 ) (n+1 )2

הנחת האינדוקציה.3

תכונות הטבעייםהערה

xm+n=xm⋅xn

משפט1.N+N⊂N

2.N⋅N⊂N

3.∀ n∈ N :1≤n

4.∀ n∈ N ,1<n :n−1∈ N

5.∀m,n∈N ,m<n: n−m∈N

6.

הוכחה::nנוכיח באינדוקציה על .1

n∈N+1=1+1=2 אינדוקטיבית ולכן:n=1 ,Nעבור

n+1:(n+1 ונוכיח עבור nנניח שזה מתקיים עבור )+n=(n+n )+1∈N

:nנוכיח באינדוקציה על .2 אינדוקטיבית ולכן:n=1 ,Nעבור

:n+1 ונוכיח עבור nנניח שזה מתקיים עבור

:nנוכיח באינדוקציה על .3n=1: 1≤1

P(nנניח ש־ :n+1 ונבדוק עבור n≥1 נכונה: (

יש להוכיח כי:.4S= {1 }∪{m+1|m∈N }S⊂N

אינדוקטיבית.S על ידי כך שנראה ש־S=Nנראה ש־1∈S

.S והוא שייך ל־n+1=1+1אזי n=1, אם n∈Sיהי

n+1=(m+1 ואז:m+1=n עם m∈Nאחרת, קיים )+1n−1=m∈N ולכן:m+1=n עם אזי קיים n>1מכאן הטענה, אם

:nנוכיח באינדוקציה על .5n=1: ∀m∈N :m<1⇒1−m∈N

P(nנניח ש־ P(n+1 נכונה ונסיק ש־( נכונה.(m∈Nיהי :m<n+1

1≤m אם m=1: (n+1 )−m=(n+1 )−1=n∈N⇐1<n+1

⇐ m>1אחרת 4

m<n+1l+1<n+1l<n

. ולכן לא יכול להתקיים ש: ולכן נניח ש־.6

)עיקרון הסדר הטוב(משפט יש איבר מינימאלי.Nלכל תת קבוצה לא ריקה של

הוכחהתהי (3 )לפי אם

אחרת תהי:∋1נשים לב ש־ I

אינדוקטיבית. מזה נובע ש־I אין איבר מינימאלי, אזי נראה שאם, בדרך השלילה, ל־ איננה ריקה. בסתירה לכך ש־ וגם אבל

∋nיהי Iנראה ש־ .n+1∈ I אחרת..6 בסתירה ל־n<l<m<n+1 עם אין איבר מינימאלי, קיים אילו ל־

(אקסיומת השלמות שלמשפט )יהיו:

או במילים אחרות:

אזי:

"אנטי דוגמה"

מקיים את אקסיומת השלמות:אינו

הגדרה )סופרימום( חסומה מלמעלה.תהי

אם ורק אם: יקרא חסם עליון )או סופרימום( של 1.x≤s לכל ( s חסם מלמעלה של .) הוא החסם מלמעלה הקטןs≤u( s אזי לכל x≤u אשר מקיים אם .2

ביותר(.

.אזי

הגדרה )אינפימום( חסומה מלמטה.תהי

אם ורק אם: יקרא חסם תחתון )או אינפימום( של (. חסם מלמטה של ) לכל .1 הוא החסם מלמעלה הגדול ), אזי לכל אשר מקיים אם .2

ביותר(.

.אזי

דוגמה

X={1n :n∈N }1=supX0=inf X

למה )יחידות החסם העליון( יש חסם עליון, אזי הוא יחיד.Xאם לקבוצה

הוכחהuיהיו ,u' חסמים עליונים של X.∀אזי x∈X : x≤u'uאם

'u≤u משיקולי סימטריה u'≤u חסם עליון, אזי 'u=u ולכן

.

עקרון החסם העליון )תחתון((משפט ) יש חסם עליון )תחתון(.X חסומה מלמעלה )מלמטה(, אזי ל־תיהי

הוכחה.X קבוצת החסמים מלמעלה )מלמטה( של תהי

נשים לב שמתקיים:

לפי אקסיומת השלמות קיים:

עם התכונה:

וכן,

s=supXלכן:

תרגילעקרון החסם העליון גורר את אקסיומת השלמות.

משפט.הטבעיים אינם חסומים בממשיים או ארכימדיות של הטבעיים בממשיים

הוכחה.s−1. נתבונן ב־s, נסמנו ב־Nלפי תכונת החסם העליון, נניח בשלילה שקיים חסם ל־

.s−1<n≤s כך ש־n∈Nקיים בסתירה להנחה ש־s<n+1 כך ש־n+1∈Nעל פי העובדה שהטבעיים אינדוקטיביים, קיים

s חסם עליון של N.

מסקנה

כך ש־n∈N קיים לכל 0< 1

n<ε

הוכחה

מתקיים: כך שלכל נניח בשלילה כי קיים

לכן:קיבלנו שקיים מספר ממשי הגדול מכל הטבעיים בסתירה לארכימדיות.

מסקנה

y<n⋅x כך ש:n∈N קיים y∈R לכל יהי

הוכחהyx<n∈N

(R ב־Qמשפט )צפיפות של

הוכחה.x>0בלי הגבלת הכלליות, נניח ש־

>x<0 או x=0אם y נפעל. המסקנה אזי לפי >xאם y≤0 נמצא q∈Q :0 שמקיים≤− y<q<−x

צריך להוכיח:n⋅x<m<n⋅yאפשר לכתוב את אי השוויון ככה:

>0מכיוון ש־ y−x כך ש:, לפי המסקנה, קיים

:תהי: . - לפי ארכימדיות. לכן יש לה מינימום אשר נקרא לו

, מתקבל:, כלומר: אזי: אם:

כלומר:

כנדרש.ולכן:

)אקסיומת השלמות )נוסח שני((משפט חסומה מלמעלה.תהיי

התנאים הבאים שקולים:1.s=supXמתקיים: .2

I)∀ x∈X : x≤s

II)∀ t<s ,∃x∈X : t< x≤sמתקיים:.3

I)∀ x∈X : x≤s

II)∀ ε>0 ,∃x∈X : s−ε<x≤s

הוכחה

(2⇐1 )s חסם עליון ולכן I.מתקיים

∀ כך ש:t<sנניח בדרך השלילה שקיים x∈X : x≤t

וזו סתירה. כך ש־X היה החסם מלמעלה של tאזי

(1⇐2 )Iמבטיח ש־ s חסם מלמעלה של X

X חסם מלמעלה של uנניח ש־.s≤uצריך להוכיח ש־

∋x קיים II אזי לפי u<s, אילו בדרך השלילה X עם u<xבסתירה להנחה ש־ uחסם .Xמלמעלה של

(3⇐2 )ε>0 אז יהי t<sאם :=s−t :ונקבל t=s−ε

(2⇐3 )t=s−ε<s נתון, אז ε>0אם

s−ε<x t<x≤s⇕

s<ε+x t<s∋x, ישנו εתמיד ולא משנה כמה קטן X שאם נוסיף לו ε.הוא יהיה גדול ממנו

הערהמתי ישנו רק איבר אחד בין הקבוצות?

.U מתלכד עם האינפימום של Lכאשר הסופרימום של הקבוצה

משפט יהיו: אזי: חסומה מלמעלה.חסומה מלמטה ו .12.

יתר על כן, התנאים הבאים שקולים:

I) אחד ויחיד עם התכונה:קייםII)

III) לכלε>0:קיימים

הוכחה. הוא חסם מלמעלה שלכל .1

. הוא חסם מלמעלה של כל סימון: .2

נניח בשלילה שקיים:.u<c עם וכן c<l עם לפי המשפט הקודם, קיים

u<c<lבסתירה להנחה ש־ .

( II⇐ I ), זו שלילה של אחד מהם, דיכוטומיה.(s≤i )בניגוד לכך ש־s<iנניח בדרך השלילה ש־

s<c<cיהי '<i:המקיימים l≤s<c<c '<i≤u (s הינו חסם מלמעלה לכל איברי )(i הינו חסם מלמטה לכל איברי )

.Iמכאן נובע שישנם איברים בין הקבוצות בסתירה ל־

( III⇐ II )

.(ε>0 אשר יש ביניהם ו )צריך להוכיח ש־

עם יהיו ε>0בהינתן s− ε

2<l

עם ו- u<i+ ε

2)חלוקה סימטרית(

=sלפי ההנחה, iמכאן ש־ u−l<ε.

( I⇐ III =s נוכל למצוא נציגים אזי ε>0 )אם על כל ( i)l≤c≤c עם לא מתקיים ולכן קיימים Iבדרך השלילה, נניח ש־ '≤u לכל

.ו-c−c>0אזי יתקיים: '≤u−l וזאת בסתירה להנחה III.

קיום השורשים בממשייםמשפט

=xn יחיד עם קיים ולכל לכל y.

הוכחה:יחידות:

:ידוע כי לכל 0<a<b⇔an<bn

עבור כלומר, ישנו רק מספר אחד גדול מאפס שהוא פיתרון של שורש נתון.

קיום:

>0בלי הגבלת הכלליות: y<1).מספיק טיעון עבור מקרה זה וממנו נסיק לגבי האחרים(

.x=1 אזי y=1כי הרי אם

>1אם y אזי 0< 1

y<1

עם התכונה: . אם xn=1

yאזי

( 1x )

n

=1n

xn= 1xn= 1

1y

= y

(x>0 )קיים כי .1לכן נתמודד עם הסוגריים עד ל־

=x נקבל n=1עבור y.)ליניארית(

>0 נקבל n>1עבור y<1>0n=0) יהי y )

(0< t<1⇒tn<t<1 )

(.זה)לפי סימון:

s= i

בסתירה ליחידות. )כל גדל(. נראה ש־y גדל גםx )ככל ש־s<c<iאחרת יהי

- לא מתאים.(. אחרת, אילו s ל־iאיבר בין

<c≥i⇐c∈U⇐cnואילו y.לא מתאים -

בתנאי הלמה הבסיסית(L ו - U)לכן יהי

טענה

ישנה חלוקה לקבוצות, וחייב להיות שם איבר אמצע.גם על ציר ה־

המקיימים: ו קיימים ε>0לכל

יהיו:

עם: ו לפי הלמה הבסיסית קיימים

1<u

לכן, עבור הלמה הבסיסית, עבור:

ישנו מספר אחד ויחיד המקיים:

זהות

הערה.9 שאלה 1 תרגיל

בכל אחד מהסעיפים הבאים:כתבו את שלילת הטענה בעברית ללא השימוש במילה "לא".-כתבו את הטענה ואת שלילתה באמצעות כמתים לוגיים.-הוכיחו או הפריכו את הטענה.-

n≤n2 שלם מתקיים nלכל א.:

n>n2 שלם כך ש־nקיים :

:n<M טבעי n טבעי כך שלכל Mקיים ב.

: טבעי כך ש־n טבעי קיים Mלכל

נוסחת הבינום של ניוטוןהגדרה

עבור ביטוי בריבוע:עבור ביטוי באופן כללי:

דוגמה:נבחר

(1+x )n=∑k=0

n

(nk )1n−k xk=(n0 )1+(n1 )x+⋯+(nn) xn≥1+nx

משפט )אי שוויון הממוצעים(a1 מספרים חיוביים: nלכל ,⋯, an∈ P

n1a1+⋯+ 1

an

≤n√a1+⋯+an≤a1+⋯+an

n

⇓

( 1n∑i=1

n

( 1ai ))

−1

≤(∏i=1

n

ai)1n≤1

n∑i=1

n

ai

n=2 ,a1עבור , a2∈P:

21a1+ 1a2

¿א

√a1+a2¿ב a1+a2

2

הוכחה צריך להוכיח:א'

(a1−a2)=0קיים שוויון אם ורק אם 2

a1=a2 אם ורק אם

צריך להוכיח:ב'√a1+a2≤

a1+a2

2

נסמן b i=

1aiכלומר:

לפי א', הטענה נכונה.

מספרים רציונאליים ואי רציונאליים - רציונאליים.

- אי רציונאליים.

טענה - אי רציונאלי.2√

כך ש־במילים אחרות, לא קיימים

mn=√2

.n≠0 כאשר

הוכחהנניח בשלילה שכן קיימים.

.השבר מצומצםשבלי הגבלת הכלליות, ניתן להניח

m2לכן זוג ולכן גם זוגי.

m=2k כך ש־k∈Zלכן קיים

2n2=m2=4kלכן 2

n2=2k2ולכן

n2לכן .שהשבר מצומצם זוגי ומכאן הסתירה לכך n זוגי ולכן גם

שדות=Z2 איברים 2השדה בן {0F ,1F =Z3ובן שלושה איברים: { {0F ,1F , a }

.כאןראה .כאןגם

הערה – יום הזיכרון לרבין ז"ל. אני לא בטוח אם היה2.11.2006צריך להיות כאן השיעור של ה

שיעור באותו יום.

סימון

x≥0, אם , y xn= y

=xאזי נכתוב: y1n=n√ y

הגדרה

an⋅a−n=an+(−n מתקיים ו- עבור )=a0=1:וכן

an⋅am=an+m

(an)m=an⋅m

a0=1

הגדרה )מספרים רציונאליים(מספר רציונאלי – ממשי שאפשר להציג כמנה של שני שלמים כאשר המכנה שונה מאפס.

אפשר להציג את הרציונאליים בין היתר בשתי הדרכים הללו:11

12

13

⋯

21

22

23 ⋯

31

32

33 ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

⋯ 21

11

12

13

14

⋯

⋯ 42

22

24

26

28 ⋯

⋯ 63

22

36

39

312

⋯

⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

תרגילq>0 ו צריך להוכיח שאם , s

אזי עבור

rs= pq מתקבל a

rs=a

pq

)חזקות ממשיות(הגדרה

axברצוננו להגדיר

a>1נעסוק במקרה

y=axהגרף של נראה כך:

≥1−עבור y≤5.עבור השרטוט

למה

אזי: יהי

במילים אחרות:

הוכחה

נסמן:

0<a1n−1=h

h+1=a1n

לפי אי שוויון ברנולי:

1+n⋅h<(1+h )n

⇓

a1n−1=h< a−1

n

לפי ארכימדיות עם התכונה יהי ε>0בהינתן

a−1n

<ε נקבל:

a1n−1< a−1

n<ε

טענהs= i

באופן בלתי פורמאלי:לפי הלמה הבסיסית, מספיק להראות:

a עם: קיימים ε>0בהינתן t−ar<ε

a t−ar=ar ( atar−1)=ar (a t−r−1 )<aN (at−1−1 )<ε

בוחרים:ar<aN כך ש:

כלומר:

a t−ar<εaN

a1n−1<ε

aN

a t−r−1<a1n−1<ε

פורמאלי: )לפי ארכימדיות(יהי

נתבונן ב:ε>0בהינתן 0< ε

aN

עם:לפי הלמה יהי a

1n−1< ε

aN

עם:לפי הצפיפות של הרציונאליים בממשיים יהיו

ערך מוחלטהגדרה

lline rline :R→R+

|x|:={x 0≤xx x<0

x=0⇔|x|=0חיוביות: |x|=|−x|סימטריה:

הערה

משפט

הוכחה

(⇐ )

x|≤r|אם:|x|≤x≤|x|−לפי ההערה:

r≤−|x|≤x≤|x|≤r−אזי:r≤x≤r−לכן:ו

(⇒ ) r≤x≤r−נניח ש:

x≥0אם:

=|x| אזי: x≤r

x<0אם:

אזי אם:

אזי:

אי שוויון המשולש(משפט )

הוכחה−|x|≤x≤|x|−|y|≤ y≤|y|

(−|x|)+(−|y|)≤x+ y≤|x|+|y|⇓

|x+ y|≤|x|+|y|

משפט||y|−|x||≤|y−x|

הוכחהy= y+x+(−x )|y|≤|y−x|+|x||y|−|x|≤|y−x|x=x+(− y )+ y|x|≤|x− y|+|y||x|−|y|≤|x− y|

טענה

הוכחה

לפי אי שוויון המשולש:

נעלה בריבוע את שני האגפים:

נקבל:

גדרההתהי

∋a( אם לכל מלרע )מלעיל יקרא חסם A a≤s( s≤a)

הגדרה( אם: )או A יקרא חסם עליון של תהי חסם מלעיל..1.: A של s חסם מינימאלי, כלומר לכל חסם מלעיל .2

. A המקסימום של נקרא , אם

טענה חסם עליון אם ורק אם:

חסם מלעיל..1∋a קיים ε>0לכל .2 Aכך ש־ .

טענהs̄ חסם תחתון של A:אם ורק אם

1.s̄ חסם מלרע של A.∋a קיים לכל .2 Aכך ש־ s̄≤a< s̄+ε.

משפט )אקסיומת השלמות(A⊆B כך ש־יהיו

כלומר:

a≤c≤b כך ש־אז קיים

משפט )החסם העליון( חסומה מלעיל,תהי

.חסם עליון אשר מסומן ב־Aאזי קיים ל־

משפט )ארכימדיות(

ניסוח שקול:

כך ש־n∈N קיים ε>0לכל

1n<ε

דוגמה

טענהsup A=1

הוכחה

1n≤1

חסם מלעיל1 ולכן n∈N לכל יהיε>0 1 נראה כי−εלא חסם מלעיל

1−ε<1∈ A.ולכן ב' מתקיים

הערהa=sup מקסימאלי אזי אם A.

infמה הוא A?

טענהinf A=0

הוכחה

0< 1n לכל n∈N חסם מלרע.0 ולכן

חסם מלעיל.1 כך ש־n∈N קיים ε>0לכל

ε+0+ε< 1n.וזה לא נכון לפי ארכימדיות

דוגמה

1.supB=1inf B=min B=0

2.

∀ חסם מלעיל: 2√ q∈C :q≤√2 הוא החסם מלעיל הקטן ביותר.2√נראה כי

ε<q<√2−2√ כך ש: , נבחר ε>0יהי supC=√2לפי צפיפות הרציונאליים:

דוגמה

טענה?supD חסומה מלעיל? מה הוא Dהאם

2n−1n+3

= 2n+6−7n+3

=2− 7n+3

הוא חסם מלעיל.2אם כך,

טענה חסם מלעיל ועליון.2

הוכחה

חסם מלעיל( לכל(n∈N 2− 7

n+3≤2

לכלε>0 נראה שקיים n∈N :כך ש

2− 7n+3

≥2−ε

⇕7

n+3<ε

⇕n+3>7

ε גדול מספיק, כנדרש.nנבחר

דוגמהsup לא ריקות וחסומות מלעיל: לכל ( A+B )=sup A+supB.

הוכחהנסמן:

α=sup Aβ=supB

α+β=supנוכיח: ( A+B )

חסם מלעיל( נוכיח שלכל(x∈ A+B מתקיים x≤α+β∋xמהיות A+B אזי קיימים a∈ A ,b∈Bכך ש־ a+b=x

מהיות

α=sup Aβ=supB אזי

α≥aβ≥b ולכן x=a+b≤α+β

יהיε>0 נראה שקיים ,x∈ A+Bכך ש־ x>α+ β−ε

α=supמהיות A קייםa∈ Aכך ש־ a>α− ε

2

כך ש־b∈B קיים β=supBמהיות b> β− ε

2

לכן:a+b>α− ε

2+β− ε

2=α+β−ε

טענה

infמה הוא A?

n√n≥1לכל

הסבר

כך ש־n∈Nאילו היה קיים n√n<1

n<1nאז .n∈N,1≤n בסתירה לכך שלכל

הצגה עשרונית

a∈Rיהי

=a0מתקיים: ⌊a ⌋≤a< ⌊a ⌋+1

⌊a ⌋∈Z.יחיד עם התכונה הזו 0≤a−a0<10≤10 (a−a0 )<10a1≤10 (a−a0)<a1+10≤a1≤9a1

10≤(a−a0)<

a1+110

a1

10+a0≤a<

a1+110

+a0

a0 .a1≤a<a0 .a1+1

10

סוף חלק א'