は じ め に

例解 シ リー ズの2冊 目をお届 けす る．

この 本で は微 分積 分の論理 的 な部 分 を主題 と した ．数列 の収束 、関数 の連 続性 、積

分 な どの 厳密 な定 義 を与 え るこ とが 中心 にな って い る． これ らの厳 密 な定 義 は高校

で はほ とん どふれ られ て はい ない． た とえば 、〓〓=0と い う事実 やf（x）=x2

が 連続で あ るこ となどは 、高校 では 自明 の こと として い る．しか し、大 学で 数学 を学

ん で い くには 、これ らの 定義 を厳 密 に与 えねば 、その 後 の議論 を発展 させ て い くこ

とがで きな い． と ころが この 厳密 な定 義 とい うのが 、論 理的 な思 考 を必 要 とす るた

め 、しば しば 、大学 で数 学 を学ん で い く過程 で 、 大 きな障害 となって い る．

この 障害 を除 くため に 、この テキ ス トで は 、 これ らの定義 につ いて 、た くさん の

例 題 を与 え 、そ の解 法 をて いね い に説 明す る こ とで 、そ の意 味 を じっ くり考え る こ

とが 出来 る ように配慮 した． 定義 は 最初 は記 号の羅列 で あ る としか 見 えな いか もし

れ ない． しか し 、例 題など を通 してその 意味 を じっ くり考 えれば 、それ ほど難 しい定

義で はな い とわか るはず であ る． さらに 、意味 を考 えて 、そ のあ とに付 いてい る問題

を解 い てみれ ば 、その 理解 を深め るこ とが 出 来 るはずで あ る．

このテ キ ス トで は 、 まず 定義が あ る ．定義 は これか ら使 う数学 用語 や記 写など を

説 明す る もの であ る． よ く読 んで それ らの用 語 や記号 をしっか り理 解 し よう．次 に 、

例題 の解 法は じっ くり読 んで 、なぜ 、こ うい う解 き方 をす るのか を 、よ く考 えてほ し

い 。そ うすれ ば 、そ れに続 く問題 はど の よ うに解 けば よいのか は 、おのず とわ か るは

ず であ る。例題 の 解法 の意 味 を よ くよ く考 え る こ とが 、この テキ ス トを使 い こなす

た めの キ ーポ イン トで あ る こ とを 強調 してお きたい 。

な お 、例 題 の解 法 は 、しつ こい くらいに文 章 をつ け てあ る。 これ は 、数 学 の解 答

とい うものは 、式 を な らべ れば よい 、 とい う広 く流布 して い る誤 解 を解 きた いた め

で もあ る。式 をな らべ るだけで は な く、式 と式 の間 のつ なが りを ちゃん と説明 して 、

は じめ て意 味の わか る解 答 にな るのだ 、 とい うこ と も強 調 してお きた い。

と もか くも、この テキ ス トが 、皆 さんの 考え る数学へ の導入 となる ことを切に 願っ

てい る。

目 次

第1章 実数 の連続性3

1.110進 小 数展 開3

1.2上 限 と下限14

第2章 数 列23

2.1数 列の収束の定義 と性 質23

2.2数 列が 収束するための1つ の条件30

2.3コ ーシーの判定条件37

第3章 連 続 関 数45

3.1関 数の収 束45

3.2連 続 関 数57

3.3中 間値 の定理 と逆関数64

第4章 微 分 と積分75

4.1微 分の定義75

4.2平 均値の定理91

4.3積 分94

第5章 級 数107

5.1級 数の定義 と性質107

5.2関 数列 と関数項級数128

5.3べ き 級 数140

5.4指 数関数 と対数関数149

第6章 フー リェ級数155

6.1フ ー リェ級 数の定義155

6.2フ ー リェ級 数の収束161

6.3フ ー リェ展 開167

6.4フ ー リェ展 開の例178

問題 の解答187

1章187

2章188

3章188

4章189

5章190

6章192

索 引194

第1章 実数の連続性

1.110進 小 数 展 開

数列の収束，および連続関数を定義 したい．しか し，そのためには，ま

ず実数 とは何か を明確 にしなければ ならない ．そのために， 自然数，整

数 ，有理数について復習 しておこ う．

（1）自然数 ：自然数 とは，個数 を表す数1，2，3，4，… である．自然数全体

の集合を記号Nで 表す．

（2）整数 ：整数 とは，自然数 とゼ ロ0と 負の整数-1，-2，-3， … をあわ

せ た数であ る．整数全体 の集合 を記 号Zで 表す．

（3）有理数 ：有理数 とは，分数で表 される数である．つ ま り，2つ の整数

m，n（ ただ しn＞0） に より〓 と表 され る数が有理数である．有 理

数全体の集合 を記号Qで 表す．

これ らはわ りとわか りやすい定義であ る． しか し，実数を定義 しよ う

とする と，この よ うに簡単な定義 はない ．そ こで，実 数は存在す ると仮

定 して，その性 質をしらべ ていこ う．実数全体 の集合 をRと 表す．

まず ，実数 と整数 との関係で大切 な公理を1つ あげ よう．

公理1.1（ アルキ メデ スの公理 ）

すべ ての実数に対 し，それ よ り大 きな整数が存在する．

一見，あた りまえの よ うだが ，これは証明で きない性 質で ある．

（実数xに 対 し，その整数部分 をnと すれ ば，n〓x＜n+1だ か ら

n+1がxよ り大 きな整数だか ら証明で きる， と思 うが，次の例題で示

す ように，整数部分 を定義するためには ，アルキ メデ スの公理が必要 な

のである．）

例題1.1実 数xに 対 し，n〓x＜n+1を 満たす整数nが ただ1つ 存

在 する．このnをxの 整数部分 といい，[x]と 表す．

証 明 ：xを 正の実数 とす る （負 の実数の と きも同様 に証明で きるので ，

皆 さん，考 えてみて くだ さい）．アルキ メデスの公理 よ り，x＜Nを み

たす整数Nが ある．そ こで，0以 上N未 満の有 限個の整数の うちで，x

以下の ものの うち，最大の ものをnと すれば よい．

次 に実数 と有理数の関係 を1つ あげ よう．

例題1.2任 意の2つ の実数a＜bに 対 し，その間に有理数が存在す る．

証明 ： アルキ メデ スの公理 よ り，〓 ＜nを みたす整数nが 存在す

る.m=[nb]と す る と ，〓 が 求 め る 有 理 数 で あ る ．

（m〓nb＜m+1だ か ら〓 〓b＜〓 で あ る ． も し〓 〓aで あ る

と す る と ，b＜〓+〓 よ りb-a＜〓 と な り，〓 ＜nに 矛 盾 す る ．

し た が っ て ，a＜〓 〓bで あ る ． ）

つ ま り，数直線のどんなにせ まい間に も有理数が存 在す る．この こと

を，QはRで 稠密であ るとい う．

以上の議論 をふ まえて，実数が10進 小数展開で きる ことを示す．

定義1.1実 数xを10進 小数展開する とは，

a0∈Z，anは0以 上9以 下の整数 （n=1，2，3， ……）

によってxを

x=a0・a1a2a3…an…=a0+〓+〓+〓+…+〓+…

の 形 に 表 す こ と で あ る ．

まず ， 有 理 数 を10進 小 数 展 開 し て み よ う．

例 題1.3次 の 分 数 を 小 数 に 表 せ ．

（1） （2） （3）

解 ： それぞれ わ り算 をする と

である．（2）と （3）は丸印のあいだが繰 り返されるので循環小数となる．

し た が っ て （1）〓=0.625（2）〓=0.272727…=0.27

（3）〓=0.1243243243…=0.1243と な る.循 環 小 数 は ， 循 環 す

る 部 分 を1つ だ け 書 き ， そ の 上に 線 を 引 い て 表 す ．

問 題1.1次 の 分 数 を 小 数 に 表 せ ．

（1） （2） （3） （4） （5）

（6） 〓，〓，〓，〓，〓，〓 （〓を求めれば，残りはそれからわかるはず）

一般 に， 有 理 数〓 を 小 数 展 開 す る と き ， わ り算 の 各段 階 で の 余 りは ，

0，1，2，… ，n-1の い ず れ か で あ り， 余 りが0と な っ た と き ， そ こ で わ

り算 は 終 了し ， 有 限 小 数 と な る ． 余 りが0と な ら な い 場 合 ， わ り算 は 無

図1

限に繰 り返 され るが ，余 りは1，2，… ，n-1の 有限個 しか ないので ，い

つか はそれ以前に 出た余 りと同 じ余 りが現れ る．そ うすれば，その後の

わ り算は繰 り返 しになるので，循環小数 とな る．

逆に，有 限小数 と循環小数は有理数 になることが いえるのだが， これ

を示すために，まず，無 限等比級数の和の公式 を導 こ う．

例 題1.4次 の （1），（2）を 証 明 せ よ ．

（1）

（2）

証 明 ： （1）

と お く． 両 辺 にrを 掛 け る と ，

と な る ． こ の2式 の 差 を と る と ，

となるので ，r≠1の と きはS=〓 とな る． また，r=1の

ときは明らか にS=（n+1） αである．

（2）|r|＜1の と き ， （1）よ りa+ar+an2+…+arn=〓

で あ っ た ． こ の 式 でn→ ∞ と す れ ば ， 〓arn+1=0だ か ら ，

（〓arn+1=0の 証 明 は 第2章 で ）

となる．（|r|〓1の ときは この級数は収束 しない）

例 題1.5次 の 小 数 を 既 約 分 数 に 表 せ ．

（1）0.28（2）0.36（=0.363636… ）

（3）0.4136（=0.41363636… ）

解 ： （1）

（2）

で あ る ． （初 項〓 ， 公 比〓 の 等 比 級 数 の 和 の 公 式 を 用 い た ）

（2）の 別 解x=0.363636… と お く． 両 辺 に100を 掛 け る と

100x=36.363636…=36+xだ か ら99x=36で あ り，

x=〓=〓 と な る ．

（3） （2）を 用 い れ ば ，

と な る ．

問題1.2次 の小数 を既約分 数に表せ．

（1）0.04（2）0.3（3）0.162（4）0.245

次 に， 一般の実数xの 小数展 開を求めてみ よう． まず，

とす る と ，

で あ る ． 次 に ，

とす る と ，

a1=0以 上9以 下 の 整 数 ，x2∈[0，1） ，x1=〓+〓

で あ り， し た が っ て

が 得 ら れ る ． 同 様 に し て ，

とす る と ，

a2=0以 上9以 下の整数，x3∈[0，1） ，x2-〓+〓

で あ り， し た が っ て

が 得 ら れ る ． これ を繰 り返 せ ば ， す べ て のn=1，2， … に 対 し て ，

が 得 ら れ る ． こ れ か ら ，

とな り， 〓〓=0だ か らxは

と小 数 展 開 さ れ る ．

逆 に ， 整 数a0と0以 上9以 下 の 整 数an（n=1，2， … ）を 勝 手 に 与

え た と き， 小 数 展 開

は1つ の実数 を定め るだろ うか ．これ を示すには，実数の連続性の公 理

が必要 になる．

公理1.2（ 実数の連続性の公理） 閉区間の列I1，I2， … ，In，… が ，

（1）

（2）

（|I|=区 間Iの 幅 ）をみたす とす る．この とき，すべ てのInに 含 まれ る

実数がただ1つ 存在す る．

これは実数全体 の集合Rが 持つべ き性質の1つ で あるが ，これ を証

明す ることはで きない． よって公 理 とい う形で実数の持 つべ き性 質 とし

て認めて話 を進め ようとい うわけである．

ここにあげた公理 は，区間縮小法の原理 と呼ばれてい る．実数の連続性

の公理は，この公理以外に も，同値 な公理が い くつかある．

この公理を前提にすれば，小数展開

は1つ の 実 数 を 定 め る こ と が ， 次 の よ う に 証 明 で き る ．

n=1，2， … に 対 し ，

と し ，In=[bn，cn]と す る と ， こ れ は 公 理 の （1），（2）を 満 た す ． し た

が っ て 公 理 よ り， す べ て のInに 含 ま れ る 実 数xが た だ1つ 存 在 す る ．

bn〓x〓cnだ か ら|bn-x|〓cn-bn=〓 よ り 〓|bn-x|=0

で あ り，

が いえた．

最後 に，実数 を小数展 開に表す とき，表 し方はただ1通 りだろ うか ？

そこで ，異 なる2つ の小数展開

が 同 じ実数xに 収 束す るとしよ う．簡単のために，

と し よ う．a2とb2は ど ち らか が 大 き い は ず だ か ら ，a2＜b2と す る ．

こ の と きa2+1〓b2だ か ら ，

が 成 り立つ． この式の最初 と最後がxで 等 しいか ら，途 中の 〓 はすべ

て=と なる． したが って

で なければな らない．つま り，異なる小数展 開が同じ実数 となるのは，そ

の一方の小数展開が有限小数で あ り，他方が有限小数の最後 の桁の数を1

だ け減 らし，その後に999… をつなげ た循環小数である場合，つ まり，

の様 な場合だけであ ることが わか った．つ ま り，有限小数で表 され る実

数 だけが2通 りの小数展開を持 ち，それ以外 の実数はただ1通 りの小数

展 開を持つ．

例題1.6次 の 各々は正 しいか ？正 しければ それ を証明 し，正 し くなけ

れば，反例 をあげ よ．

（1） 有理数 ±有理数は常に有理数である．

（2） 無理数 ±有理数は常に無理数であ る．

（3） 無理数 ±無理数は常に無理 数であ る．

解 ： （1）は正 しい．2つ の有理数を

と す る ． こ の と き ，

で ある．

（2）も正しい．これ は背理法で示 す．無理数 ±有理数=有 理数 とする

と，無理数=有 理数 〓有理数 とな り，（1）に矛 盾す る．

（3）は正 し くない．反例は 〓+（-〓 ）=0で あ る．

問題1.3次 の各 々は正 しいか ？正 しければ それ を証明 し，正 し くなけ

れば ，反例 をあげ よ．

（1） 有理数 ×有理数は常 に有理数であ る．

（2） 無理数 ×有理数は常 に無理数であ る．

（3） 無理数 ×無理数は常 に無理数であ る．

（4） 有理数 ÷有理数は常 に有理数であ る．

（5） 無理数 ÷有理数は常 に無理数であ る．

（6） 無理数 ÷無理数は常 に無理数であ る．

1.2上 限 と 下 限

定義1.2AをRの 空で ない部分集合 とする．

（1）Aが 上に有界であるとは，実数Mが 存在 して，∀x∈A，x〓M

が成 り立つことである．この とき，この性 質を満たすMを 集合Aの 上

界とい う．Aが 上 に有界の とき，Aの 上 界た ちの 中に最小の ものがある．

この最小の 上界を集合Aの 上限 といい ，supAと 表す．

（2）Aが 下に有界である とは，実 数Lが 存在 して ，∀x∈A，x〓L

が成 り立つこ とで ある．この とき，この性質 を満たすLを 集合Aの 下

界 とい う．Aが 下に有界の とき，Aの 下界た ちの 中に最大の ものがある．

この最大の下界を集合Aの 下限 といい，infAと 表す．

（3）Aが 上に も下 に も有界である とき，Aは 有界である， とい う．

例題1.7Aが 上 に有界の とき，Aの 上界たちの 中に最小の ものがあ る

ことを証明せ よ．

証明 ： まず，Aの 上界ではない実数a1と 上界で ある実 数b1を1つ

ずつ と り，I1=[a1，b1]と お く （Aが 上に有界 な空で ない集合だか ら，

a1，b1は 確かに とれ る．a1＜b1で あることに注意せ よ）．次に，a1とb1

の 中点c=〓 を とり，

と し ，I2=[a2，b2]と お く． こ の と き ，

a2はAの 上界ではな くb2はAの 上 界であ り，I2⊂I1，|I2|=〓