Û Ñ Õ Ú Ú Í Ñ ã Í ß é - kvant.mccme.rukvant.mccme.ru/pdf/2019/2019-11.pdf · В земной коре скорость звука зависит от плотности

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

2 Звук в космосе. Возможно ли это? И.Есипов9 Статистика языка. А.Пиперски

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

17 Задачи М2582–М2585, Ф2589–Ф259218 Решения задач М2570–М2573, Ф2577–Ф2580

К О Н К У Р С И М Е Н И А . П . С А В И Н А

25 Задачи 9–12

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

25 Задачи

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

27 Зачем плющить зерна, или О плотностипотоков. А.Стасенко

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

29 Что такое фазовый портрет. В.Соловьев,С.Дворянинов

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Физика+техника (приборы)

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

35 Что не так с угадыванием шляп? К.Кохась37 Принесите еще шляп! К.Кохась

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е М А Т Е Р И А Л Ы

41 Новосибирский государственный университет52 Инженерная олимпиада школьников

53 Ответы, указания, решенияВниманию наших читателей (8, 16)

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье И.Есипова

II Коллекция головоломок

III Шахматная страничка

IV Прогулки с физикой

УЧРЕДИТЕЛИ

Российская академия наук

Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Физический институт

им. П.Н.Лебедева РАН

Ю№1120

19

НОЯБРЬ

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

А.А.Гайфуллин

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов,М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук,

А.А.Варламов, С.Д.Варламов,А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,

Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко,В.Н.Дубровский, А.А.Заславский,

А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников(заместитель главного редактора),

С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.В.Произволов,

В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский,Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский,А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,

В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова,А.В.Устинов, А.И.Черноуцан

(заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,А.А.Боровой, В.В.Козлов,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин,С.П.Новиков, А.Л.Семенов,С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург,

В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин,Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,

А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Звук в космосе.Возможно ли это?

И.ЕСИПОВ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191101

КАК ИЗВЕСТНО, ОСОБЕННОСТЬЮ ЗВУ-ковых волн, отличающих их от элект-

ромагнитных или гравитационных, явля-ется то, что они могут распространятьсятолько в упругой сплошной среде. В кос-мосе царит пустота. Типичная плотностьвещества в межзвездном пространстве по-рядка 6 710 –10 атомов (в основном водоро-да) на один кубический метр при темпера-туре Т = 2,7 К (это около 270 C ).Среднеквадратичная скорость движениятаких атомов, согласно соответствующимзаконам молекулярной физики, определя-ется выражением ср 3v RT , где

8,3 Дж моль градR – газовая посто-янная, – молярная масса. Для атомар-ного водорода 310 кг моль. Такимобразом, для атомов водорода в межзвез-дном пространстве среднеквадратичная ско-рость будет около 250 м с .При таких условиях атом водорода стал-

кивается с другим атомом примерно одинраз в несколько миллиардов секунд, т.е.частота столкновений 10 13 10 c∼ , про-бегая расстояние от столкновения до стол-кновения 9

ср 10 кмv ∼ (длина сво-бодного пробега) – миллиард километров.Предполагая, что длина звуковой волныдолжна быть заведомо больше длины сво-бодного пробега в веществе, а частотазвука меньше частоты столкновений ато-мов, получаем, что такой звук будет иметьчастоту колебаний меньше миллиарднойдоли секунды (меньше 910 Гц ).Такой звук нельзя воспринимать челове-

ческим слухом, для которого характеренчастотный диапазон 20–20000 Гц. ОднакоВселенная огромна в пространстве (около

46 миллиардов световых лет или43 1022 км) и достаточно стара во времени(приблизительно 14 миллиардов лет), такчто у звука есть возможность возникнуть вразных местах Вселенной на различныхэтапах ее развития. Кроме того, звук так-же является весьма полезным инструмен-том для изучения Вселенной.Давайте попробуем совершить путеше-

ствие через пространство и время, потомучто чем дальше мы сможем заглянуть вглубину Вселенной, тем на более древнемэтапе ее истории мы окажемся. Начнемнаше путешествие из Солнечной системыот планеты Земля.

Звук на Земле

Как вы знаете, звук обеспечивает одиниз самых распространенных способов об-щения между животными и людьми. Од-нако более важно, что звук также являетсяотличным инструментом для дистанцион-ного зондирования окружающей среды,атмосферы, океана и структуры нашейпланеты (см., например, статью «Физиказвука» в «Кванте» №12 за 2018 г.).Сначала кратко рассмотрим, как мы изу-

чаем звук на Земле. Земная гравитациясоздала слоистую структуру атмосферы,океана и земной коры. Поэтому на Землеимеются условия для существования зву-ковых каналов, по которым звук можетпробегать огромные расстояния без суще-ственного затухания. Скорость звука воз-растает с температурой, зависит от скоро-сти ветра в атмосфере или течения в оке-ане. В земной коре скорость звука зависитот плотности и структуры вещества, чтопозволяет сейсмологам находить подзем-ные месторождения полезных ископаемых.Пробегая в океане большие расстояния,

З В У К В К О С М О С Е . В О З М О Ж Н О Л И Э Т О ? 3

звук оказывается чувствительным к ма-лым изменениям средней температурыокеана, что может быть критерием гло-бального потепления (рис.1). Несколькопересекающихся акустических путей ис-пользуется для акустической томографии,которая обеспечивает 4D изображенияокеанических процессов (3D пространствоплюс время).У нас имеется большое разнообразие

акустических методов и инструментов дляисследования структуры земной коры,океана и атмосферы здесь на Земле. Ивозникает естественный вопрос – можемли мы взять их в космос для исследованийна других планетах? Ответить на этотвопрос не так просто. Исследование кос-моса имеет ряд существенных ограниче-ний, которые необходимо выполнять, и невсе известные нам методы, которые ис-пользуются на Земле, удовлетворяют этимограничениям.Во-первых, и, пожалуй, самое строгое

ограничение, это вес полезной нагрузки.Доставка оборудования в космос – весьмадорогостоящая процедура, а многие акус-тические методы (особенно те, которыесвязаны с низкочастотными источникамизвука) требуют тяжелого оборудования.Во-вторых, есть ограничения по энерго-потреблению оборудования. В космосенужно полагаться на тяжелые батареи илисолнечные панели, чтобы обеспечить элек-

трическое питание взятых вкосмический полет приборов.В-третьих, существует конку-ренция в исследованиях раз-ными методами. Электромаг-нитные и гравитационные вол-ны не требуют упругой средыдля распространения, и, та-ким образом, их можно ис-пользовать для дистанцион-ного зондирования, в отличиеот акустических методов, ко-торые требуют установки из-мерительных приборов напланете. Поэтому акустичес-кие методы могут быть полез-ными там, где у них нет кон-куренции. Это, прежде всего,

исследование электропроводящих сред:плазма, океаны, внутренняя структурапланет, куда не проникают электромаг-нитные волны. И наконец, нужно учиты-вать тот факт, что акустические методы необязательно имеют такую же эффектив-ность на других планетах, о которой мызнаем на Земле. Эффективность акусти-ческих методов зависит от состояния сре-ды, в которой они используются, а давле-ние, температура, плотность и химическийсостав других миров, как правило, сильноотличаются от того, к чему мы привыклиздесь на Земле.В этой связи важно понять, как уже

используются акустические методы в кос-мосе и какие имеются результаты, полу-ченные с их помощью.

Исследование Луны

Начало инструментального исследова-ния Луны можно отнести к 1959 году,когда впервые рукотворный инструментдостиг поверхности естественного спутни-ка Земли. Это была советская станция«Луна-2». В 1969 году американский кос-мический корабль «Аполлон-11» доставилна Луну первую в истории экспедицию.Эта и последующие экспедиции (послед-ним был полет корабля «Аполлон-17» в1972 г.) позволили выполнить ряд наблю-дений на Луне и доставили образцы лунно-го грунта на Землю. В это же время СССР

Рис. 1. Схема акустической термометрии в Тихом океане (АТОС– акустическая термометрия океанского климата). Измеряетсявремя распространения звука на протяженных трассах междуГавайями, Алеутскими островами и Калифорнией. Это времязависит от температуры среды

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 14

запустил ряд автоматических лунных стан-ций («Луна-16» в 1970 г. и последняя«Луна-24» в 1976 г.), которые также вы-полнили исследования на Луне и достави-ли на Землю лунный грунт (рис.2).

Автоматические станции «Луна» достав-ляли на Землю керны лунного реголита,полученные в результате бурения на глу-бину более 2-х метров. Чтобы обеспечитьтакое бурение и получить неразрушенныекерны, дополнительно использовалось уль-тразвуковое возмущение бура. Такая уль-тразвуковая технология лунного буренияпозволила получить качественные образ-цы кернов, показавшие структуру лунногореголита. Анализ результатов этих поле-тов впервые дал убедительное доказатель-ство наличия на Луне воды. Значительнопозже, в 1990-х годах, американцы смоглиполучить аналогичные результаты. В струк-туре лунного грунта была обнаруженавода!В ходе исследований по программе

«Аполлон» измерялись различные физи-ческие поля на поверхности Луны, нодостаточно детальную картину внутрен-ней структуры Луны удалось получитьименно акустическим методом. Акустичес-кие сигналы могли возбуждаться при стар-те возвращающейся ракеты либо естествен-

ными возмущениями поверхности Луны(включая падение метеоритов). Сигналы,возбужденные на поверхности, распрост-раняются в глубь Луны, там они рассеи-ваются и отражаются на внутренней струк-туре. С помощью линейки сейсмическихприемников, установленной на лунной по-верхности, рассеянные внутренней струк-турой акустические сигналы регистриро-вались и затем передавались по радиока-налу связи на Землю.Стоит заметить, что хотя сейсмические и

другие эксперименты на Луне были пре-кращены в 1977 году, полученные данныеот лунных сейсмических датчиков былизаново обработаны в 2010 году с примене-нием современных вычислительныхсредств. Интересно, что эта обработка по-казала новый вид лунного ядра: твердоеядро, окруженное жидким внешним яд-ром, в свою очередь, окруженным слоемчастично расплавленной магмы (рис.3).

Полученный опыт сейсмических иссле-дований на Луне успешно применятся приисследовании астероидов. Автоматическаястация устанавливает на поверхности асте-роида сейсмоприемники, которые регист-рируют искусственные или естественныевозмущения и их отражения от внутреннейструктуры.

Рис. 2. Лунная станция «Луна-16» совершаетпосадку

Рис. 3. Внутренняя структура Луны


Звук на Солнце

Солнце – это достаточно плотная иони-зированная газовая структура. Мы не мо-жем сомневаться в существовании звукана Солнце. Конечно, интенсивные вихригорячего газа в его верхних слоях и турбу-лентность создают страшный рев в широ-кой полосе частот. Однако на Земле мыэтот рев не слышим, поскольку междуЗемлей и Солнцем имеется 150 миллионовкилометров вакуума, который не пропус-кает звук.В верхних слоях солнечной атмосферы

температура газа ниже, чем в более глубо-ких слоях. По опыту исследования рас-пространения звука в стратифицирован-ной среде можно ожидать, что звук будетконцентрироваться в области с минималь-ной скоростью своего распространения,т.е. в слое с минимальной температурой.Звук, рождаясь в результате турбулент-ных движений в конвективных зонах, рас-пространяется таким образом, чтобы ос-таться в верхних слоях солнечной атмос-феры (рис.4). На глубине скорость звукаи температура резко увеличиваются, и этозаставляет звук возвращается обратно вконвективную зону. Солнце имеет сфери-ческую форму, поэтому звук, распростра-няясь по циклическим траекториям вдольповерхности Солнца (р-моды на рисун-ке 4, что соответствует волнам давления),

будет усиливаться, если число таких цик-лов будет целым. В таком случае мыможем считать Солнце резонатором, в ко-тором усиливаются определенные колеба-ния – сферические моды.Заметим, что на Солнце не может быть

сдвиговых волн, эффективных в сейсми-ческих задачах на Земле или на другихпланетах. Солнце – это плотный газ (илижидкость), в такой среде отсутствует мо-дуль сдвига и поэтому солнечная среда неможет обеспечить распространение сдви-говой волны. На большой глубине, в ради-ационной зоне и ядре, существенны силыгравитации, а не упругости. Поэтому тамбудут распространяться не упругие волныдавления, а внутренние волны, совершаю-щие движение под действием сил плавуче-сти (g-моды на рисунке 4). Так что этоскорее гидродинамическая, а не акусти-ческая задача. Эти волны (g-моды) зату-хают в области конвективных потоков и недоходят до поверхности, и поверхностьСолнца не отражает информацию о ядре.Однако в последнее время появились

данные о возможности наблюдения этихслабых волн на Земле. Ядро Солнца вра-щается с периодом один оборот в семьдней, что намного быстрее, чем вращениерадиационной и конвективной зон. Волныg-моды модулируют магнитное поле, со-здаваемое вращающимся ядром Солнца, и

эти модуляционные составля-ющие с периодом в 7 днейбыли зарегистрированы зем-ными магнетометрами.Таким образом, получается,

что мы можем слышать звукСолнца на Земле.

Создание нашей Вселеннойс помощью звука: Большой

взрыв

Принято считать, что нашаВселенная была создана в ре-зультате уникального косми-ческого явления, которое на-звали «Большой взрыв». От-крытие в 1964 году реликтово-го электромагнитного излуче-ния является свидетельством

Рис. 4. Слоистая структура Солнца и лучи, по которым распро-страняется звук. Звук, распространяющийся по целочисленнымциклам, усиливается и создает сферические моды колебанийдавления на поверхности (p-моды) и внутренние волны в полетяготения (g-моды)

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 16

этого события и последующего расшире-ния Вселенной.С момента создания нашей Вселенной

и начинается история акустических волн.Сразу после Большого взрыва Вселеннаяпредставляла собой горячую кварк-глю-онную плазму, которая остывала по мерерасширения пространства. Из нее появи-лись все частицы, составляющие види-мую материю. Когда температура снизи-лась достаточно для объединения прото-нов и электронов в атомы, материя пере-шла в нейтральное состояние (рекомби-нировала), а излучение отделилось от нее.Оно наблюдается сегодня в виде электро-магнитного фонового излучения – релик-тового излучения. Это – отправные пунк-ты начальных этапов развития нашейВселенной согласно теории Большоговзрыва.Особенностью этой теории является то,

что она объясняет флуктуации плотнос-ти, возникшие согласно принципу нео-пределенности квантовой механики. В из-начально горячей расширяющейся плаз-ме, содержащей темную материю, барио-ны, электроны, фотоны и нейтрино, воз-никли области избыточной плотности ве-щества и области разряжения, что можетбыть источником звуковых волн. Возни-кающие в таком случае силытяготения и силы давленияпротивостоят друг другу и со-здают упругие колебания сре-ды, очень похожие на то, какзвук возникает в воздухе в ре-зультате действия быстрых пе-репадов давления. На началь-ном этапе рождения Вселен-ной скорости распространенияэтих акустических волн быливполне релятивистскими и со-ставляли чуть больше полови-ны скорость света!Примерно через 380000 лет

после начала истории нашейВселенной расширяющаясяплазма достаточно остыла(ниже 3000 К) для того, что-бы электроны и протоны смог-ли объединиться в устойчивые

нейтральные атомы (прежде всего водо-рода). Это создало условия для свобод-ного излучения фотонов. Электромагнит-ное излучение больше не поглощалосьионизованной плазмой, и фотоны полу-чили возможность путешествовать на лю-бые расстояния, потому что нейтральныеатомы не могут заметно поглощать элект-ромагнитную энергию. Когда это произош-ло? Флуктуации в пространстве областейповышенной плотности среды и понижен-ной плотности (т.е. акустические волны)как бы застыли в фазе, соответствующейакту последнего излучения, и среда поте-ряла упругость. В результате возниклипространственные достаточно стабильныефлуктуации плотности вещества во Все-ленной, которые находят свое отражениев пространственных флуктуациях релик-тового электромагнитного излучения.На рисунке 5 показана карта флуктуа-

ций реликтового излучения, приходяще-го со всей небесной сферы, и эта картаотражает акустические колебания в мо-лодой Вселенной! Но что интересногоможно узнать, глядя на эту карту? Ин-тенсивность флуктуаций реликтового из-лучения составляет величину от 410 до

510 от среднего значения. Следователь-но, относительная величина флуктуаций

Рис. 5. Карта фонового реликтового электромагнитного излу-чения Вселенной, составленная за 9-летний период спутнико-вых наблюдений. Из результатов был убран спектр излученияабсолютно черного тела для средней температуры межзвезд-ного пространства 2,725 K, чтобы показать флуктуации. Жел-тый и красный цвета показывают более высокую температуру,синий – более низкую. Интенсивность флуктуаций реликтово-

го излучения составляет величину от 10–4 до 10–5 от среднего

значения


давления в среде была того жепорядка, что соответствует до-вольно интенсивным акустичес-ким колебаниям. Так, звуковойшум с такими флуктуациямидавления в 10 раз громче, чемуровень шума в метро. Инымисловами, в молодой Вселеннойсуществовали звуковые волнывесьма существенной амплиту-ды. Возмущения плотности сре-ды указывают на зародыши бу-дущей структуры Вселенной.Галактики и скопления галак-тик, которые в миллион разплотнее, чем средняя плотностьВселенной, образовались из об-ластей молодой Вселенной с из-быточной плотностью, в то время какобширные космические пустоты возник-ли из менее плотных ее частей.Картина распределения плотности, при-

веденная на рисунке 5, дает нам возмож-ность составить представление о простран-ственном спектре этих флуктуаций. Нарисунке 6 показан спектр флуктуаций ре-ликтового излучения в зависимости отуглового размера его источника. Преждевсего мы видим, что существует харак-терный угловой размер в пространствен-ном распределении плотности, соответ-ствующий главному максимуму в спект-ре. Размер пространственных флуктуа-ций плотности в ранней Вселенной малоотличается от 1 в нашем спектре, чтосвидетельствует о достаточной простран-ственной однородности флуктуаций. Да-лее, наличие дополнительных максиму-мов показывает возможность анализа тон-кой структуры ранней Вселенной. Спе-циалисты считают, что отношение следу-ющего пика к первому (или нечетных кчетным пикам в общем случае) определя-ет барионную плотность среды, тогда кактретий пик информирует о плотности тем-ной материи.Электромагнитные волны реликтового

излучения принесли нам информацию обакустических колебаниях, которые быливо Вселенной миллиарды лет назад. Дру-гое астрономическое применение звука –

его использование для расширения воз-можности восприятия различного родаданных, особенно тех, для которых у наснет опыта обработки. Новая информацияиногда лучше воспринимается ушами, чемглазами. Например, наши глаза могут раз-личать изображения, мелькающие с час-тотой не больше 10 Гц, в то время какнаши уши могут воспринимать измене-ния в процессе с частотой до 20 кГц.Кроме того, наши уши могут быть чув-ствительны к нюансам, которые не оченьхорошо видны на диаграммах временны’ хрядов или на спектрах. Поэтому доволь-но часто разного рода электрические сиг-налы переводят в звук, чтобы их можнобыло проанализировать с помощью на-шего звукового восприятия.В качестве примера можно привести аку-

стическое представление сигнала с лазер-ного интерферометра гравитационно-вол-новой обсерватории (LIGO) при регист-рации гравитационных волн во время на-блюдения слияния черных дыр. Оказа-лось, что гравитационные волны, возни-кающие в этом наблюдении, возмущалилазерное излучение в акустическом диа-пазоне частот. Чтобы получить представ-ление о характере гравитационного воз-мущения, перевели сигнал с интерферо-метра на громкоговоритель. И этот при-ем позволил выявить в шуме 0,2-секунд-ное частотно-модулированное чириканье.

Рис. 6. Пространственный спектр флуктуаций реликтовогоэлектромагнитного излучения Вселенной

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 18

Это чириканье соответствовало возраста-ющей скорости закручивания черных дырв процессе слияния. Получив такое пред-варительное представление о характерезарегистрированного сигнала, можно ужепереходить и к стандартным процедурамобработки, которые, конечно надежнее иобъективнее, чем ухо.Другим примером может быть «озвучи-

вание» электромагнитных портретов Сол-нца и планет Солнечной системы. Флук-туации электромагнитного излучения откосмического объекта транслируются че-рез громкоговоритель. (С результатомможно познакомиться на сайте НАСАhttp://acousticstoday.org/space.) Оказы-вается у каждой планеты есть свой соб-ственный ни на что не похожий акусти-ческий образ.

Заключение

Итак, как мы сможем ответить на воп-рос, заданный в заголовке статьи? Возмо-жен ли звук в космосе? Конечно, нет. Звуксуществует и распространяется только вупругой среде. Звук – это упругие колеба-ния среды, т.е. колебания ее плотности,давления, температуры. Межзвездное про-странство – это чрезвычайно разреженнаясреда. Атомы межзвездного газа пробега-ют от столкновения до столкновения мил-лиарды километров. Звук в таких услови-ях практически невозможен. Но Вселен-ная родилась со звуком. Звуковые колеба-ния в ранней Вселенной определили вомногом ее современную структуру. Толч-ком к образованию галактик стали акусти-ческие колебания плазмы ранней Вселен-ной. Поэтому без звука не было бы и нашейВселенной!Звук участвует в изучении космоса. Ис-

следования структуры планет и астерои-дов, обнаружение воды на Луне – все этобыло сделано с помощью звука. Звук по-могает исследовать структуру Солнца. Узвука нет конкуренции в исследованииэлектропроводящих сред: плазма, океаны,внутренняя структура планет, куда непроникают электромагнитные волны. Та-ким образом, без звука наши представле-ния о космосе, его строении и строении

космических тел были бы не полными.Звук – это инструмент для исследованиякосмоса.Отметим, что при написании этой ста-

тьи были использованы материалы статьи«Акустика и астрономия» (J.F.Lynch.Acoustics and Astronomy), опубликован-ной в журнале «Акустика сегодня»(Acoustics Today, 2017, v.13, n.4). Тем,кого заинтересовала тема этой статьи, со-ветуем посмотреть первоисточник. Онимеется в свободном доступе. Там же мож-но найти ссылки на дополнительные сай-ты с демонстрациями других акустичес-ких эффектов в космосе. Так, на сайтеДж.Г.Кремера из Вашингтонского уни-верситета (http://acousticstoday.org/cramer) можно познакомиться с акусти-ческой моделью звука Большого взрыва,вернее – звука после Большого взрыва.

Статистика языкаА.ПИПЕРСКИ

РАЗВИТИЕ КОМПЬЮТЕРОВ ПРИВЕЛО Ксозданию больших собраний оцифро-

ванных текстов на разных языках – такназываемых лингвистических корпусов.Эти корпуса можно обрабатывать метода-ми математической статистики. Математи-ческие модели, порой неожиданно про-стые, но эффективные, позволяют компь-ютерным лингвистам предложить челове-честву и конкретному пользователю реше-ние задач, связанных с автоматическойобработкой естественного языка: распоз-навание речи, определение языка текста имашинный перевод, классификация тек-стов по темам, извлечение знаний из тек-ста, выделение ключевых слов, анализтональности текста (т.е. выяснение, содер-жится ли в нем положительная или отри-цательная оценка), обнаружение спама,создание чат-ботов и т.д.Рассмотрим две задачи – автоматическое

определение языка текста и исправлениеопечаток, хорошие решения которых ос-нованы на анализе частотности отдельныхбукв и слов, а также их сочетаний вреальных текстах. Удивительно, но такойподход позволяет решать эти задачи, необладая знаниями ни о грамматическихправилах языков, ни о смыслах анализи-руемых текстов.Определение языка текста. Предполо-

жим, что компьютер получил задание оп-ределить, на каком языке написан такойтекст:

При все че математиката е строга наука,тя има и естетическа страна.

Эта болгарская фраза означает «При том,что математика – строгая наука, она имеет

и эстетическую сторону». Компьютер невладеет языками, но у него есть списокязыков, к одному из которых надо отнестиэтот текст. Будем считать, что круг канди-датов не слишком широк: английский,белорусский, болгарский, немецкий, рус-ский, украинский, французский языки.Самая простая идея, которая приходит в

голову, – определять язык по алфавиту. Внашем случае это кириллица, поэтому сра-зу можно отбросить английский, немецкийи французский языки. Но этот метод нерешит задачу полностью, например, онплохо справляется с русским и болгарскимязыками: болгарский алфавит – часть рус-ского (в болгарском нет букв Ё, Ы, Э), такчто любой болгарский текст можно при-нять за русский. Соотношение русского иукраинского алфавитов сложнее, ни одинне является частью другого: в украинскомнет буквы Ъ, зато есть буквы для обозна-чения гласных звуков ª, ², ≢ и согласного¥. Но все буквы данной фразы в немприсутствуют. В белорусском нет И (вме-сто нее используется буква ²), поэтому онне подходит. Итак, алфавитный подход сзадачей не справляется: осталось три язы-ка-кандидата.Наличие лингвистических корпусов по-

зволяет анализировать языки, находитьхарактеристики, которые их различают. Вчастности, «паспортом» языка может слу-жить набор частот, с которыми в среднемвстречаются буквы в этом языке.На частотность букв обратили внимание

еще в докомпьютерную эпоху. Например,в телеграфной азбуке Морзе, возникшей впервой половине XIX века, наиболее частоиспользуемым буквам ставили в соответ-ствие более короткие сочетания точек итире. Так, самые частые в английскомязыке буквы E и T кодируются односим-вольно – точкой и тире соответственно.Эти буквы можно встретить и в начале

Из книги «Математическая составляющая»(М.: Математические этюды, 2019).


К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 110

верхнего ряда стандартной английскойраскладки клавиатуры, унаследованной отпишущих машинок, – QWERTY. А в не-мецкой раскладке привычный глазу рядзаменен на QWERTZ – буква Y в немец-ком языке встречается существенно реже,чем Z, и сослана на периферию. Еще одинпример: в криптографии простые шифрына основе замены букв утратили значениепосле того, как были изучены частотныехарактеристики языков. Естественно, вXIX веке подсчеты частотности выполня-лись вручную. Теперь же, с появлениемлингвистических корпусов, частоты буквили слов можно посчитать на компьютере,причем эти данные будут более точными,объективными.Если условиться, что русский алфавит

состоит из 33 букв и пробела, то окажет-ся, что самый частый символ – это про-бел (14,46%), дальше следуют гласные О(9,42%), Е (7,33%), И (6,72%), А (6,52%)и согласные Н (5,83%), Т (5,56%) (см.рисунок). А реже всего встречаются бук-вы Ф (0,27%), Ъ (0,03%) и Ё (0,01%).Конечно, в каждом конкретном тексте ча-стоты могут отличаться от приведенных,но эти отклонения будут несущественны-ми. А вот в болгарском языке частотыбукв будут другими. Первыми после про-бела идут те же четыре гласные, что и в

русском, но в обратном порядке: А, И,Е, О. Буква Ъ в русском языке – ред-кость, а в болгарском употребляется вразы чаще: она обозначает особый глас-ный звук типа краткого «а» и встречает-ся даже в самом слове български. После-дней по частотности буквой является Ь.Все это показывает, что частотность буквдействительно является индивидуальнойхарактеристикой языка.В компьютерном анализе (например, при

определении языка) текст – это последо-вательность букв. В простейшей моделипринимается, что каждая буква в этойпоследовательности появляется независи-мо от предыдущих, т.е. текст рассматри-вается как цепь независимых случайныхсобытий: «прочитав» несколько букв, чи-татель не знает, что ждет его дальше.Вследствие независимости вероятностьвстретить данную последовательность буквв выбранном языке равна произведениювероятностей (частот) появления букв вэтом языке.Зная частотности букв для каждого из

трех языков-претендентов, можно найтивероятность появления всей фразы (см.таблицу).Получается, что вероятность случайного

появления этой фразы в болгарском языкев 300 раз больше, чем в русском, и в

300000 раз больше, чем в украинском.Если о происхождении фразы нет априор-ной информации, то языки-кандидаты счи-таются равноправными. Это позволяетсравнивать вероятности появления фразыв разных языках, представив их болеепривычно, в процентах:

болгарский – 99,65%, русский –0,3497%, украинский – 0,0003%.

Следовательно, выбрав вариант с макси-мальной вероятностью, в данном примереполучим правильный ответ: фраза написа-на по-болгарски. Любопытно, что такойпростой алгоритм неплохо сработал дажена тексте небольшой длины. Но так бываетне всегда. Например, для названия книгиМатематическая составляющая получа-ется неожиданный результат:

болгарский – 51,55%, русский –40,75%, украинский – 7,7%.

Симпатия этого алгоритма к болгарско-му языку объяснима и носит общий ха-рактер: в нем меньше букв, чем в русскомили украинском языках, а значит, частот-ность отдельной буквы будет в среднемчуть больше. Поэтому большинство тек-стов алгоритм сочтет болгарскими.Точность определения языка текста мож-

но повысить, если рассматривать не часто-ты букв по отдельности, а частоты комби-наций символов некоторой длины. Дело втом, что, в отличие от примененной вышепростейшей модели, буквы в реальномтексте не независимы: на самом деле каж-дая буква зависит от предшествующих, покрайней мере – от предыдущей. Так, поправилам русского языка после Ъ могутидти только буквы Е, Ё, Ю или Я. Вболгарском после Ъ можно встретить ибукву Л, причем это в 10 раз вероятнее,чем встреча с Е, Ю и Я, вместе взятыми. Ав украинском И почти не используетсяпосле пробела – значит, наша первая фра-за со словами има и едва ли может бытьукраинской.Эту идею академик Андрей Андреевич

Марков (1856–1922) воплотил в матема-тической модели, которая в его честь полу-чила название «цепь Маркова». Он изу-чил распределение гласных и согласных в

последовательности из 20000 букв в рома-не «Евгений Онегин» (первая глава иначало второй). Основной вывод гласил:«Мы видим, что вероятность букве бытьгласной значительно изменяется, в зависи-мости от того, предшествует ей гласнаяили согласная». Подсчеты А.А.Марковапоказали, что общая доля гласных – 43,2%,но вероятность встретить гласную послегласной уменьшается до 12,8%, а послесогласной – возрастает до 66,3%.Получается, что в реальном тексте имеем

дело не с вероятностями независимых слу-чайных событий, а с условными вероятно-стями последовательно происходящих со-бытий. В марковской модели будущее за-висит от настоящего, а вот прошлое можноне анализировать: его влияние заложено внастоящем. Житейский пример: предска-зывая погоду на завтра, можно ориентиро-ваться на сегодняшнюю. Зимняя гроза –редкое явление, так что если сегодня гро-за, то завтрашний день может оказаться исолнечным, и дождливым, но вряд ливыпадет снег. С другой стороны, еслисегодня идет снег, то увидеть завтра грозу– маловероятно.Марковские цепи как математический

инструмент можно использовать для ана-лиза распределения не только гласных исогласных в данном языке, но и для всехпар букв алфавита. Зависимость буквы отпредшествующей заметить несложно. На-пример, в русском языке среди пар, начи-нающихся с буквы З, наиболее вероятнысочетания ЗА (29,67%), ЗН (10,18%), З|

(пробел после З; 8,36%), а после буквы Ате же символы А, Н, | дают совсем другиерезультаты: АА (0,03%), АН (9,56%), А |

(20,36%).Для решения задачи определения языка

текста можно сравнивать частотные ха-рактеристики пар из одинаковых симво-лов в разных языках. Например, тройкилидеров среди пар, начинающихся с буквыЗ: в русских текстах – ЗА, ЗН, З| ; вукраинских – ЗА, З| , ЗН; в болгарских– ЗА, ЗИ, ЗВ.Зная частоты всевозможных пар, можно

в каждом из языков-кандидатов найтивероятность в марковской модели словосо-

С Т А Т И С Т И К А Я З Ы К А 11

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 112

четания Математическая составляющая,которое рассматривается как последова-тельность пар: | М (буква М являетсяначалом слова), МА, АТ, ТЕ, ЕМ и т.д.Вероятность всего словосочетания нахо-дится как произведение вероятностей этихпар. Результаты (округленные) дают от-вет на вопрос, где могла появиться такая

книга: болгарский – 0,06%, русский –99,94%, украинский – 0,00003%.А для фразы, с которой начался разго-

вор (При все че математиката…), сте-пень уверенности у марковской моделипочти абсолютная: вероятность, что этафраза написана по-болгарски, равна99,99991%!

Частотность букв действительно является отличительной и притом наглядной характеристикойязыка. Здесь приведены гистограммы для трех славянских языков.

Частотность последовательностей из двух(а лучше даже трех) букв – очень точнаяхарактеристика языка. Приведенный ме-тод – основа всех применяемых определи-телей языка, самый известный – модуль вGoogle Translate. Получается, что для ре-шения этой лингвистической задачи нетребуется знание языков, работает чистаястатистика.Исправление опечаток. Текстовые ре-

дакторы и смартфоны решают эту задачуметодами, сходными с использовавшими-ся в задаче определения языка. Толькотеперь сравниваются частоты не букв, аслов и их последовательностей в выбран-ном языке.Предположим, что пользователь ввел

фразу:

Его руква немного болит,

а задача компьютера – найти и исправитьв ней опечатки. Человеку сразу понятно,что опечатка допущена в слове руква, адолжно быть написано слово рука. Попро-буем научить этому и компьютер, исполь-зуя гигантский лингвистический корпусрусскоязычных текстов общей длиной 16миллиардов слов.На первом этапе отыщем подозритель-

ные слова: такие слова, которые либоотсутствуют в корпусе, либо встречаютсятам очень редко, скажем, для определен-ности – не более 100 раз (причиной воз-никновения в корпусе таких слов могутбыть опечатки). А слова, которые встреча-ются более 100 раз, составляют словарь.Вот сведения о частотах наших четырех

слов в корпусе: его – 46643493, руква – 50,немного – 3475296, болит – 203993. Попринятой договоренности алгоритм реша-ет, что в слове руква допущена опечатка.На втором этапе определим набор слов,

одно из которых, возможно, хотел ввестипользователь. Очевидно, что эти словадолжны быть похожими, близкими в ка-ком-то смысле к слову руква: вряд личеловек хотел напечатать локоть, а полу-чилась руква.Для измерения близости слов в лингви-

стике обычно используется расстояниеДамерау–Левенштейна (названное в честь

американского лингвиста и российскогоматематика). Это расстояние равно мини-мальному числу «шагов», необходимыхдля превращения одного слова в другое.Такими шагами являются типовые, стан-дартные ошибки при наборе текста: заменаодной буквы на другую, добавление илиудаление буквы, перестановка соседнихбукв.Например, расстояние между словами

собака и кошка равно 3: замена с на к(получится кобака); замена б на ш (коша-ка); удаление первой а (кошка). Есть идругой путь длины 3: собака соака-

сошка кошка. Но осуществить пре-вращение меньше чем за 3 шага не удастся.Такое расстояние между словами обла-

дает всеми привычными свойствами рас-стояния между точками на плоскости: нео-трицательность, симметричность (рассто-яние от собака до кошка равно расстояниюот кошка до собака), справедливо нера-венство треугольника. Теперь можно фор-мализовать ощущение, что слово руквалегко получается из слова рука, но не изслова локоть: расстояние Дамерау–Ле-венштейна от рука до руква равно 1, а отлокоть до руква – 5.Опечаток в одном слове обычно немного,

чаще всего одна. Найдем в словаре всеслова, которые отстоят от подозрительно-го слова руква на расстояние 1. Слов-кандидатов не так много: рука (удалениев), рукав (перестановка а и в), буква(замена р на б) и рукава (добавление а).На этом можно остановиться и предло-жить пользователю список кандидатов –пусть выбирает сам. Именно так работает,например, проверка орфографии вMicrosoft Word.Но компьютер может пойти дальше и

попробовать исправить опечатку, т.е. выб-рать самого вероятного кандидата и пред-ложить его пользователю (так поступаетGoogle Docs), а может и сам подставитьего в предложение (так обычно работаютмодули в смартфонах, «помогающие» на-бирать текст). Этот выбор единственногокандидата – следующий этап алгоритма,который можно реализовывать по-раз-ному.


К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 114

Простейшее, но неплохо работающеерешение – выбрать самое частотное слово.Частоты слов-кандидатов в корпусе тако-вы: рука – 350883, рукава – 126817, буква– 107262, рукав – 66094. Как видно, впримере Его руква немного болит такойавтоматический выбор совпадает с челове-ческим.А вот во фразах

Здесь написана неправильная рукваи

У меня руква порвался

простейшее решение – заменить руква нарука – будет ошибочным. Чтобы алгоритмработал более «разумно», надо каким-тообразом учитывать слова в контексте фра-зы. И здесь на помощь снова приходятмарковские цепи.Воспользуемся идеей, которая применя-

лась в анализе по буквам, и попробуемпредсказать следующее слово по после-днему из виденных. Например, слово не-правильная встречается в корпусе 50267раз; пары неправильная рукава и непра-вильная рукав в корпусе отсутствуют, не-правильная рука встречается 4 раза, не-правильная буква – 53 раза. На примерефразы Здесь написана неправильная рук-ва видно, что метод выбора самой частот-ной пары соседних слов более эффектив-ный, чем простейший алгоритм.Дальнейшее улучшение алгоритма со-

стоит в том, что учитываются и слово,идущее перед подозрительным словом, ислово, идущее после него. Определяютсячастоты обеих пар, найденные вероятностиперемножаются. На примере фразы У ме-ня руква порвался даже без статистическихданных видно, что после сравнения произ-ведений вероятностей пар выбор наиболь-шего выглядит достоверным решением:

меня рука рука порвался ;меня рукава рукава порвался ;меня буква буква порвался ;меня рукав рукав порвался .

Получается хорошо работающее исправле-ние опечаток.Разумеется, и этот алгоритм можно и

нужно совершенствовать. Во-первых, ве-

роятности одношаговых опечаток отлича-ются: например, перестановка соседнихбукв в слове значительно вероятнее, чемзамена буквы на удаленную от нее наклавиатуре (скажем, заменить б на р нетак-то просто). Во-вторых, можно встре-титься с правильным, имеющим смыслсловосочетанием, которое отсутствует вкорпусе, и тогда произведение вероятнос-тей будет равно нулю (пример: словосоче-тание работающее исправление, котороемы использовали в конце предыдущегоабзаца, в корпусе пока отсутствует). В-третьих, рассмотренный вариант марковс-кой цепи связывает слово только с бли-жайшими соседями, хотя в языке встреча-ются зависимости и на далеких расстояни-ях. Например, во фразе Руква у рубашки,которую Вася купил в аэропорту, оказа-лись слишком короткими, выбирая назамену рукав или рукава, придется опи-раться не на соседние, а на далекие словаоказались и короткими. В-четвертых, сде-лав опечатки, можно получить фразу сословами из словаря, но ошибочную: на-пример, У меня лукав порвался. Алгоритмтакую фразу ни в чем не заподозрит.Впрочем, усложнение алгоритма позво-ляет справиться с подобными затрудне-ниями.

Компьютерная лингвистика. Лингвис-тические корпуса – фундамент компью-терной лингвистики, неисчерпаемый ис-точник сведений о языке. Их анализируюти профессионалы – лингвисты и компью-терные специалисты, и начинающие ис-следователи. Даже школьник может само-стоятельно написать программу для поис-ка и проверки закономерностей в языко-вых массивах.Самый известный ресурс для русского

языка – это Национальный корпусрусского языка (НКРЯ, http://www.ruscorpora.ru), в основной части ко-торого содержится 283 миллиона слов, авсего – около 600 миллионов слов. Кор-пус Araneum Russicum Maximum (http://unesco.uniba.sk), объемом 16 миллиар-дов слов, мы использовали для определе-ния частоты слов при исправлении опе-чаток. Он состоит из текстов, собранных

из интернета, а это очень важный способсоздания современных лингвистическихресурсов: ведь в сети лежит множестводоступных текстов. К сожалению, эти кор-пуса нельзя сохранить на своем компью-тере, и возможности пользователя огра-ничены веб-интерфейсом. На помощь при-ходят другие источники: так, определе-ние языка проводилось на основе свобод-но распространяемых корпусов из проек-та Universal Dependencies (http://universaldependencies.org), где в единомформате представлены данные 70 язы-ков.Понятно, что частота отдельных слов и

их сочетаний существенно зависит от набо-ра текстов, включенных в корпус. У кор-пуса художественных текстов и корпусатекстов новостных – разный «словарныйзапас». Универсального, правильного кор-пуса для языка не существует, но надонаучиться даже из отдельных, так илииначе «окрашенных» корпусов извлекатьобщие свойства, черты, особенности дан-ного языка. Это желание вызывает в памя-ти восклицание основателя палеонтологииЖоржа Кювье: «Дайте мне одну кость, ия восстановлю животное!» По сути – это тезадачи, из которых и родилась математи-ческая статистика: как получить представ-ление о ненаблюдаемом целом по некото-рой выборке. И для их решения былисозданы методы, более продвинутые, чемпростой подсчет частот.Один из приемов – усреднение, согласо-

вание значений частот по разным фраг-

ментам корпуса, чтобы уменьшить влия-ние отдельных текстов. Например, частот-ность слова якорь в текстах НКРЯ, рас-пределенных по десятилетиям, с 1970 годадо наших дней, выглядит странно: 1970-е– встречается 160 раз на миллион; 1980-е– 6,8; 1990-е – 8,4; 2000-е – 6,6; 2010-е –6,7. Причина аномалии – включенная вНКРЯ «Книга о якорях», изданная в 1973году. В ней одной слово якорь встречается1769 раз, а в остальном корпусе – только2896. Полученная простым подсчетом ча-стотность слова якорь по всему массиву –21,9 на миллион – явно завышенная. Ноесли упорядочить значения частот по деся-тилетиям и взять число из середины спис-ка (медиану), то получится более реаль-ный результат: 6,8 на миллион. Можноучитывать и дисперсию, т.е. оцениватьразбросанность значений: как часто и насколько они отклоняются от среднего зна-чения. Такой метод применял еще А.А.Мар-ков, работая с текстом «Евгения Онеги-на»: он проверял устойчивость, независи-мость своих результатов от способов под-счета. Более сложные методы используют-ся для предсказания «настоящих», истин-ных частот сочетаний слов: надо уметьотличать те, что в корпусе не встретились,но в принципе вполне возможны, от тех,что не встретились, потому что практичес-ки невозможны.В заключение отметим, что автоматичес-

кая обработка языка начала активно раз-виваться в 1950-е годы. В частности, пер-вое время машинный перевод основывалсяна созданных вручную правилах, предпи-сывавших, как именно переводить то илииное словосочетание при определенныхусловиях. Постепенно выяснилось, чтосочинение правил требует огромных зат-рат человеческого труда, а работают онивсе равно плохо.Поэтому в конце 1980-х годов на первый

план в автоматической обработке есте-ственного языка вышел статистическийподход: посмотрим, как похожие задачирешались до нас человеком, и найдемрешение, комбинируя его из готовых час-тей. Это стало возможным после появле-ния лингвистических корпусов. Методы,

Частотность важна в реальной деятельно-сти, например в прикладной лингвистике икриптологии (в ней две ветви: криптографияи криптоанализ), встречается и в беллетрис-тике.

Рассказ Эдгара По «Золотой жук» (1843) –одно из первых популярных (и художествен-ных!) изложений как реального способа шиф-рования методом подстановки, замены буквкакими-то знаками, так и метода его рас-шифровки – частотного анализа. А в 1903году Артур Конан Дойл в серии историй оШерлоке Холмсе опубликовал рассказ «Пля-шущие человечки», математически весьмасхожий с «Золотым жуком».


К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 116

«Математические этюды» выпус-тили второе, расширенное и допол-ненное издание книги «Математи-ческая составляющая». Редакторы-составители книги Н.Н.Андреев,С.П.Коновалов, Н.М.Панюнин; худож-ник-оформитель Р.А.Кокшаров.В сюжетах, собранных в книге, рас-

сказывается как о математической«составляющей» крупнейших дости-жений цивилизации, так и о матема-тической «начинке» привычных, каж-додневных вещей. Все авторы – из-вестные ученые. Увлекательный, по-пулярно-описательный стиль изло-жения делает материалы книги дос-тупными для широкого круга читате-лей. Сборник богато иллюстрирован.

Первое издание стало лауреатомпремии «Просветитель» (2015), от-мечено Золотой медалью РАН за выдающиеся достижения в области пропаганды научных знаний (2017).Во втором издании представлены новые авторы и новые сюжеты. Объем книги вырос более чем вдвое.

По сути – это новая книга, выполненная в зарекомендовавшем себя стиле. Основные части книгидополнены разделами «Книжная полка», «Дополнения, комментарии, литература», «Указатель». На«Книжной полке» представлены проверенные временем книги, дающие возможность читателю получитьболее глубокое и всестороннее представление о мире математики. В разделе «Дополнения, комментарии,литература» развиваются и обсуждаются темы, рассмотренные в основных частях книги. Раздел «Указа-тель» предметно классифицирует сюжеты книги; в нем отражены и области математики, и используемыетермины.Книга издается по решению Ученого совета Математического института имени В.А.Стеклова Российской

академии наук.

рассмотренные нами на примерах, преждевсего частотность букв, слов и сочетаний,стали основой решения задач компьютер-ной лингвистики, перечисленных в началестатьи. Интересно, но временами создает-ся впечатление, что алгоритмы и програм-мы, основанные на статистическом подхо-де, в какой-то мере освоили язык.Например, эффективность применения

марковских цепей неявно связана с грам-матикой и структурой языка. В примере сословосочетанием Математическая со-ставляющая при выборе одного из трехязыков помогла, в частности, высокая ча-стотность сочетания ая в русском языке.Дело в том, что в русском языке в женскомроде встречается окончание -ая, причемчасто, а в болгарском и украинском в такойформе было бы просто -а.В XXI веке математика предложила но-

вые подходы к автоматической обработкеязыка. Бурное развитие искусственныхнейронных сетей, обучаемых на огромныхмассивах входных данных, дало возмож-ность решать самые разные задачи компь-ютерной лингвистики. А принципы рабо-ты нейронных сетей еще больше прибли-жают компьютер к тому, что можно на-звать пониманием естественных языков.На данном этапе компьютерная лингвис-тика все больше превращается в одну изразновидностей машинного обучения. Ноесли мы хотим разобраться с тем, что жепроисходит при обработке текстов искус-ственными нейронными сетями, нуженименно лингвистический взгляд. Лингвис-тика как наука необходима и для болееполного использования возможностей ужесуществующих инструментов, и для пост-роения новых математических моделей.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые внем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамкишкольной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировкизадачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуютсявпервые.

Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон-ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу:119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашимрешением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задача М2582 предлагалась на XLI Турнире городов, задачи М2584, М2585 предлагались наXIV Южном математическом турнире.

Задачи Ф2589–Ф2592 предлагались на муниципальном этапе Московской физической олим-пиады этого года.

Задачипо математике и физике

Задачи М2582–М2585, Ф2589–Ф2592

M2582. Любое число x, написанное надоске, разрешается заменить либо на чис-

ло 3 1x + , либо на число 2

xÈ ˘Í ˙Î ˚

. Докажите,

что если вначале написано 1, то такимиоперациями можно получить любое нату-ральное число.

В.Новиков

M2583. На стороне DE и диагонали BEправильного пятиугольника ABCDE «вов-не» построены квадраты DEFG и BEHI(рис.1).

а) Докажите, что точки A, I и G лежат наодной прямой.б) Докажите, что на этой же прямой лежитцентр O квадрата BDJK, построенного надиагонали BD «вовнутрь».

М.Панов

M2584. Имеется 2019 коробок. Изначаль-но коробки пустые. За одну операциюможно в некоторые 100 коробок добавитьровно по 100 камней и еще в несколько(возможно, ни в одну) других коробок –по одному камню. За какое наименьшеечисло ходов можно добиться того, чтобыво всех коробках стало поровну камней?

П.Кожевников

M2585*. Даны n действительных чисел.Известно, что сумма их k-х степеней равна0 при всех нечетных натуральных k, непревосходящих n. Докажите, что сумма ихk-х степеней равна 0 при всех нечетныхнатуральных k.

М.Дидин

Рис. 1

Ф2589. Две машины А и В одновременноначинают заезд по единому гоночномутреку в точке касания кругов, как показа-но на рисунке 2. Обе машины движутся потраектории, которая представляет собой«восьмерку»: на верх-ней части восьмерки онидвижутся против часо-вой стрелки, а на ниж-ней – по часовой стрел-ке. Длина окружностиверхней части восьмер-ки 600 м, а нижней –2000 м. Машина А дви-жется с постоянной ско- Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 118

ростью 10 м с , а машина В – с постояннойскоростью 8 м с .1) Найдите время, спустя которое про-изойдет первая встреча. Ответ выразите всекундах и округлите до целого числа.2) Какое расстояние проедет машина А кэтому моменту? Ответ выразите в кило-метрах и округлите до целого числа.

А.Бычков

Ф2590. Две жидкости А и В смешалимежду собой так, что объем получившего-ся раствора оказался равным 1 л, а массо-вая доля жидкости В в смеси при этомбыла равна 34%. Суммарный объем ра-створа составил 94% от суммарного объемажидкостей А и В до смешивания. Плот-

ность жидкости А равна 31000 кг м , плот-

ность жидкости В равна 3800 кг м .

1) Найдите отношение масс B Am m . Ответокруглите до тысячных долей.2) Найдите массу жидкости В. Ответ вы-разите в граммах и округлите до целогочисла.3) Найдите среднюю плотность смеси.Ответ выразите в 3

кг м и округлите доцелого числа.

А.Бычков

Ф2591. На горизонтальной полке лежитстопка из семи одинаковых книг (рис.3).

Третья сверху и вторая снизу немноговыдвинуты из стопки, остальные книгиприжаты корешками к вертикальной стен-ке. Наименьшая горизонтальная сила, не-обходимая для того, чтобы придвинуть кстенке третью сверху книгу, равна f == 25 Н. Какую наименьшую силу F нуж-но приложить для того, чтобы придвинутьк стенке вторую снизу книгу? Ответ выра-

зите в ньютонах и округлите до целогочисла.

И.Воробьев

Ф2592. На поверхности воды, температу-ра которой 0 C , плавает ледяной шарик,внутри которого находится вмерзшая влед медная монета. Масса льда вместе смонетой m = 30 г. Этот композитныйшарик перемещают в теплоизолирован-ный сосуд с водой, объем которой V == 200 мл, а температура 5 C . Теплоемко-стью стенок сосуда можно пренебречь.После установления теплового равновесияшарик оказался целиком под водой и «ви-сит» в воде, не опускаясь на дно. Плот-

ность воды 3

1 1,0 г cм , плотность льда3

2 0,9 г cм , плотность меди 3

39,0 г cм , удельная теплоемкость воды

1 4200 Дж кг Сc , удельная теплоем-

кость меди 3 390 Дж кг Сc , удель-ная теплота плавления льда 330 кДж кг . Теплообменом с окружаю-

щей средой можно пренебречь. Чему рав-на масса монеты, когда она не покрытальдом? Ответ выразите в граммах и округ-лите до десятых долей.

А.Бычков

Рис. 3

Решения задач М2570–М2573,

Ф2577–Ф2580

M2570. Паша расставил числа от 1 до100 в клетках квадрата 10 10 , каждоепо одному разу. После этого Дима рас-смотрел всевозможные квадраты площа-ди, большей 1, со сторонами, идущими полиниям сетки, и в каждом покрасил взеленый цвет наибольшее число (при этомодно число могло быть покрашено не-сколько раз). Могло ли оказаться, чтовсе двузначные числа покрашены в зеле-ный цвет?

Ответ: нет, не могло.Рассмотрим клетку с зеленым числом n исоответствующий ему квадрат, в которомэто зеленое число наибольшее. Заметим,что можно расположить квадрат 2 2 внут-ри этого квадрата, содержащий эту клет-ку. В расположенном квадрате 2 2 числоn тоже наибольшее. Тем самым, каждое

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 19

зеленое число является наибольшим в ка-ком-то квадрате 2 2 . Но квадратов 2 2всего 81 (левый нижний угол квадрата2 2 однозначно определяет положение, иэтот угол в свою очередь не может примы-кать к верхней или правой стороне квадра-та 10 10 ), а двузначных чисел – 90,поэтому всем двузначным числам квадра-тов 2 2 не хватит, значит, все они немогут быть зелеными.Задача решена.Заметим также, что доказанная в решенииоценка точна: несложно привести примеррасстановки чисел, для которого количе-ство зеленых чисел будет равно 81.

В.Брагин

M2571. Дана трапеция ABCD с основани-ями AD и BC. Пусть E и F – точки насторонах AB и CD соответственно(рис.1). Описанная окружность треу-гольника AEF вторично пересекает отре-

зок AD в точке 1A , а описанная окруж-ность треугольника CEF пересекаетотрезок BC в точке 1C . Докажите, чтопрямые 1 1AC , BD и EF пересекаются водной точке.

Обозначим через T вторую точку пересече-ния описанной окружности треугольника

1C BE с прямой EF (рис.2). Тогда имеемравенства углов 1TC B TEA =

1FEA FA D. Таким образом,

1 1TC FAP (поскольку 1 1C B A AP ). Анало-гично,

1 1 1TBC TEC FEC

= 180° – 1 1FCC FDA ,

поэтому TB FDP . Получается, что соот-ветствующие стороны треугольников 1C BT

и 1A DF параллельны, и эти треугольникигомотетичны (с отрицательным коэффи-циентом). Центр гомотетии, переводящейодин из этих треугольников в другой,лежит на прямых BD, 1 1AC и TF, котораясовпадает с прямой EF. Таким образом,нужное утверждение установлено.Имеются и другие решения этой задачи, втом числе с использованием теоремы Де-зарга, теоремы Чевы и т.д.

И.Богданов, А.Кузнецов

M2572. Пусть k – фиксированное нату-ральное число. Докажите, что все членыпоследовательности биномиальных коэф-фициентов 1

1 2 4 22 4 8 2, , , , , ,n

nC C C C… … начиная

с некоторого члена, дают один и тот жеостаток при делении на 2k .

Докажем, что при n k все числа 12

2nn

na C

имеют равные остатки при делении на 2k .Запишем число na в виде

12 1 2 2 2

1 2 2

n n n

n na

…

…

= 12 1 2 2 2 3 2 1

21 2 3 2 1

n n n n

n… .

Для каждого 1,2, ,i n… выделим произ-ведение iP дробей, знаменатели которыхделятся на 2n i , но не делятся на 12n i .Так как каждая такая дробь имеет вид2 2

2

n n i

n i

m

m, где m – нечетное, 1 2im ,

то2 2 2

2

n n i i

n i

m m

mmи

2 1 2 3 2 5 2 2 1

1 3 5 2 1

i i i i i

i iP … .

Мы видим, что это iP не зависит от n.Для каждого нечетного числа x подберем

целое x такое, что 1 mod2kxx (т.е.

Рис. 1

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 120

x – обратный вычет для вычета x помодулю 2k ). Положим

2 1 1 2 3 3i iiQ

2 5 5 2 2 1 2 1i i i i

… .

Тогда, домножая равенство 1 22n na PP P…на выражения вида tt , мы не меняемостаток при делении на 2k . Поэтому

1 22 mod2kn na QQ Q… . Но при i k

каждое выражение вида 2i t t равно

2 0 1 1 mod2i kt tt . Поэтому при

i k имеем 1 mod2kiQ . Таким обра-

зом, na вне зависимости от n k таково,

что 1 2 12 mod2kn ka Q Q Q… , что завер-

шает решение.Подобными методами можно ответить наряд схожих вопросов. Скажем, можноизучить остатки членов последовательнос-

ти 2

3

n

nC при делении на заданную степеньтройки.

А.Зиманов, В.Расторгуев

M2573*. Два муравья ползут по ребрамвыпуклого многогранника. Маршрут каж-дого муравья заканчивается в той жевершине, что и начинается, при этоммуравей не проходит ни одну точку дваж-ды, пока не возвратится в начальнуюточку маршрута. На каждой грани Fданного многогранника записывают ко-личество ребер грани F, принадлежащихмаршруту первого муравья, и количе-ство ребер грани F, принадлежащих мар-шруту второго муравья. Существуютли многогранник и пара определенныхвыше маршрутов такие, что ровно наодной грани два записанных числаразличаются?

Ответ: нет, не существуют.Пусть E – некоторая грань данного много-гранника H. Покажем, что если на каждойграни многогранника H, отличной от E,записаны два равных числа, то и на граниE – тоже.Обозначим через 1R и 2R множестваребер, принадлежащих маршруту первогои второго муравья соответственно.

Пусть D – множество ребер, принадле-жащих ровно одному из множеств 1R и

2R . Покрасим все ребра из множестваD: те ребра, которые принадлежат 1R ,покрасим красным, а те, которые при-надлежат 2R , – синим. Легко видеть,что из каждой вершины v многогранникаH выходит четное количество покрашен-ных ребер (т.е. ребер из множества D),обозначим это количество d v . На гра-нице каждой грани многогранника H, от-личной от грани E, поровну красных исиних отрезков. Нам требуется доказать,что и на грани E поровну красных исиних отрезков.Далее на поверхности H нарисуем вспомо-гательный граф G следующим образом.Вершинами графа G объявим серединыпокрашенных ребер, таким образом, вграфе G вершины оказываются покрашен-ными в красный или синий цвет. Далееопределим ребра в графе G так: для каж-дой грани F, отличной от E, разобьем всевершины графа G, лежащие в грани F, напары и соединим отрезком вершины вкаждой паре таким образом, чтобы в каж-дой паре были вершины разных цветов иотрезки не пересекались друг с другом.(Нетрудно видеть, что такое разбиениевсегда возможно.)Таким образом, в графе G все вершины,лежащие на грани E, имеют степень 1(т.е. из каждой такой вершины выходитровно один отрезок), а все остальные вер-шины графа G имеют степень 2. Это оз-начает, что G – это объединение несколь-ких компонент связности, каждая из ко-торых представляет собой либо простойпуть, либо цикл. Достаточно доказать,что в каждой компоненте, являющейсяпутем, четное количество вершин. Дей-ствительно, поскольку красные и синиевершины чередуются в каждом пути, кон-цевые вершины каждого пути покраше-ны в разные цвета; тем самым, компо-ненты графа G, являющиеся путями, оп-ределяют взаимно однозначное соответ-ствие между красными и синими верши-нами степени 1 графа G. Отсюда следуетравенство количеств красных и синих от-резков в грани E.


Пусть в графе G некоторая компонентапредставляет собой путь P. Соединив кон-цы пути P дополнительным отрезком, мыполучим на поверхности L замкнутую (не-самопересекающуюся) ломаную Q. ТогдаQ разбивает поверхность H на две облас-ти, одну из которых назовем L.Возьмем сумму S чисел d v по всемвершинам v области L. Так как каждоеd v четно, сумма S четна. С другойстороны, каждое покрашенное ребро мно-гогранника, соединяющее две вершины изобласти L, считается дважды в сумме S.Отсюда следует, что четно также количе-ство покрашенных ребер, имеющих ровноодин конец, лежащий в области L, т.е.покрашенных ребер, пересекающих лома-ную Q.Однако количество покрашенных ребер,которые пересекают Q, равно количествувершин в замкнутой ломаной Q, котороетакже является количеством вершин в путиP. Тем самым доказано, что в пути Pчетное количество вершин, что завершаетрешение задачи.Приведем еще одно решение, которое при-думал Палмер Мебэйн (Palmer Mebane).Сохраним обозначения E, 1R и 2R изпервого решения.Маршрут 1R делит поверхность много-гранника H на две области. Обозначим туиз областей, которая содержит грань E,через 1O , а другую область – через 1I .Аналогично определим области 2I , 2O , накоторые делит поверхность многогранни-ка H маршрут 2R .Пусть F – любая грань H, отличная от E.Каждое из (равных) чисел, записанных награни F, мы будем называть муравьинымчислом грани F. На грани E написаны двамуравьиных числа, и мы хотим доказатьравенство этих двух чисел.Обозначим через IIS сумму всех муравь-иных чисел с граней множества 1 2I I∩ .

Аналогично обозначим через IOS , OISсуммы всех муравьиных чисел с гранеймножеств 2 1O I∩ и 1 2O I∩ соответствен-

но. Наконец, пусть 1OOS и 2

OOS – суммы,соответственно, первых и вторых муравь-иных чисел для всех граней из множества

1 2O O∩ . Достаточно показать, что

1 2OO OOS S , тогда мы получим, что два

муравьиных числа грани E равны.Имеем

1II IO OI OOS S S S , (1)

поскольку в обеих частях равенства стоитколичество ребер в 1R .Аналогично,

2II OI IO OOS S S S . (2)

Далее, пусть X – это общее количестворебер 1 2e R R∩ многогранника H таких,что e – общее ребро грани из 1 2I I∩ играни из 1 2O O∩ . Также пусть Y – этообщее количество ребер 1 2e R R∩ мно-гогранника H таких, что e – общее реброграни из 1 2I O∩ и грани из 1 2O I∩ .Тогда

II IOS X S Y , (3)

поскольку в обеих частях равенства запи-сано количество ребер из 2R , которыележат внутри области 1I .Аналогично,

II OIS X S Y , (4)

поскольку в обеих частях равенства за-писано количество ребер из 1R , которыележат внутри области 2I .Из (3) и (4) следует, что

IO OIS S .

Отсюда, с учетом (1) и (2), получаемтребуемое равенство

1 2OO OOS S .

Замечание. Вопрос задачи был изначаль-но поставлен профессором ДональдомКнутом в октябре 2018 года (в личнойпереписке с автором). Для более глубоко-го ознакомления с сюжетами по тематикеданной задачи читатель может обратитьсяк упражнениям 410–420 части 7.2.2.1 кни-ги Д.Кнута «Искусство прогрммирования»(см. https://cs.stanford.edu/~knuth/fasc5c.ps.gz).

Н.Белухов

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 122

Ф2577.1 Плоская сетка с большим коли-чеством ячеек в виде одинаковых ромбовсделана из жестких легких прямых длин-ных проволочек, скрепленных в узлах сет-ки шарнирами. Ребро каждой ячейки-ром-ба имеет длину а. Один узел-шарнир скоординатами 0,0 удерживают непод-вижным, а шарнир с координатами ,n mначинают перемещать с постоянной ско-ростью вдоль параллельных проволочек(n и m – это целочисленные не равныенулю значения с единицей расстояния a).В некий момент времени все ячейки сеткистановятся квадратами. В этот мо-мент скорость шарнира с координатами

,n m имеет проекции на взаимно перпен-дикулярные проволочки v и u. С какойскоростью и с каким ускорением движет-ся в этот момент шарнир с координата-ми ,k l ?

Согласно условию задачи проволочки ос-таются прямыми. Поэтому проволочка,проходящая через узел 0,0 и узел ,0n ,вращается вокруг оси, проходящей черезузел 0,0 , с угловой скоростью u na . Апроволочка, проходящая через узел 0,0и узел 0,m , вращается вокруг оси, про-ходящей через узел 0,0 , с угловой скоро-стью v ma соответственно. Чем дальшеот оси вращения находится узел на прово-лочке, проходящей через узлы 0,0 и

,0n , тем больше его скорость в попереч-ном к этой проволочке направлении. То жесамое утверждение относится и к прово-лочке, проходящей через узлы 0,0 и0,m . Скорость узла ,k l равна поэтому

;vl m uk n .

Проекции ускорений узлов 0,l и ,0k

на оси y и x в указанный момент времениравны, соответственно,

2v ma la и

2u na ka .

Если выполняется соотношение k l n m ,

то, очевидно, ускорение такого узла ,k lравно нулю. Поэтому проекции ускоренияузла ,k l на оси x и y в этот момент

времени будут такими:2

1x

u n k nl mka

a2

2ul mn k n

a;

22

y

va k mn l m

a,

или2

x

u l ka

na m n;

2

y

v k la

ma n m.

Ф2578. Пористый материал имеет внут-ри себя множество пор – каналов-отвер-стий. Все эти каналы параллельны другдругу. Диаметр пор много меньше длинысвободного пробега молекул. Таким мате-риалом заполнены трубки тройника сим-метричной формы с непроницаемыми стен-ками. В центре тройника имеется сво-бодное от пористого материала неболь-шое пространство, в которое выходиткаждый канал одним из своих концов.Попадание молекулы в канал с какой-либо стороны означает, что у молекулыимеется определенная вероятность

0,5 вылететь из этого канала черезто же отверстие, в которое она влетела,и вероятность 1 вылететь из дру-гого отверстия этого канала. Эти веро-ятности не зависят от температуры.Тройник соединяет три одинаковых сосу-да с разреженным гелием. Сначала гелийво всех трех сосудах имел одинаковуютемпературу 0T и одинаковое начальноедавление 0p . Затем в одном из сосудовтемпературу оставили прежней, во вто-ром подняли в два раза, а в третьемподняли в три раза. Температура внутритройника не изменилась. Какие давленияустановятся в этих сосудах и в свобод-ном пространстве внутри тройника че-рез большое время? Считайте, что сум-марный объем всех каналов и свободногопространства внутри тройника мал всравнении с объемом любого из сосудов.

Давление в сосуде с разреженным газомопределяется концентрацией молекул итемпературой: р = nkT (здесь k – постоян-ная Больцама). Следовательно, концент-рации молекул в сосудах равны

1 Автор решений задач Ф2577–Ф2580 –С.Варламов.


i i in p kT . Согласно условию задачи всередине тройника имеется свободное отпористого материала пространство, а всилу симметрии тройника из этого свобод-ного пространства атомы гелия попадают вканалы, соединяющие тройник с сосуда-ми, с одинаковой частотой. Частоты попа-дания атомов в каналы тройника из сосу-дов пропорциональны средним скоростямдвижения молекул в соответствующих со-судах 0,5

cpi iv T∼ и концентрации молекулв этих сосудах in .Суммарное количество молекул остаетсяпостоянным, поэтому выполняется соот-ношение

1 2 3 03n n n n .

Поскольку рассматривается установивше-еся состояние, то количество молекул,попадающих в каналы из любого сосуда,равно количеству молекул, которые изэтих же каналов влетают в соответствую-щие сосуды. Иными словами, выполняет-ся еще несколько соотношений, в которых

индекс i может принимать значения 1, 2, 3:0,5 0,5 0,5

4 01i ii in T B n T B n T B ,

или 0,50

4 0,5i

i

Tn n

T.

Здесь В – константа, одинаковая для всехсосудов и свободного пространства внутритройника, а 4n – концентрация молекул втом самом небольшом свободном простран-стве внутри тройника. В результате ком-бинации всех соотношений получаем

0,5 0,50 43 1 2 3n n

и, соответственно,

0 01 4 0,5 0,5

3

1 2 3

n kTp p

= 0 00,5 0,5

30,72

1 2 3p p ,

0,50 0

2 0,5 0,5

3 2

1 2 3

n kTp

= 0,5

0 00,5 0,5

3 21,02

1 2 3p p ,

0,50 0

3 0,5 0,5

3 3

1 2 3

n kTp

= 1,5

0 00,5 0,5

31,25

1 2 3p p .

Ф2579. В электрической цепи, схема ко-торой изображена на рисунке, резисторы

имеют одинаковые сопротивления R, аконденсаторы – одинаковые емкости C.Батареи имеют ЭДС 3E слева вверху иE справа внизу. В начальный моментконденсаторы разряжены. В какой после-довательности и с какой временнуй за-держкой нужно замкнуть ключи 1K и

2K , чтобы в электрической цепи выдели-лось как можно меньше тепла?

Пусть первым будет замкнут ключ 2K , а вмомент, когда на нижнем конденсаторебудет напряжение U, замыкают ключ 1K .На первом этапе выделится количествотеплоты, равное

2

12

CUQ .

На втором этапе выделится такое количе-ство теплоты 2Q , что выполняется соотно-шение

2

3 2 22

CUC C U CE E E E E

= 2

2 225 2,5

2

CUC C U C QE E E .

Общее количество теплоты на двух этапахравно

2 21 2 2,5Q Q CU C C UE E .

Максимальное количество теплоты будетпри 0U или при U E . И оно равно

2max 2,5Q CE . Минимальное количество

теплоты выделится, если 2U E . Этоминимальное количество равно

2 2min

182,25

8Q C CE E .

Пусть теперь первым будет включен ключ

1K . Выберем такой момент времени послезамыкания этого ключа, что на каждом

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 124

конденсаторе будет напряжение U. К это-му моменту выделится количество тепло-ты, равное

23Q U C .

Теперь замыкается ключ 2K , и через боль-шое время будет выполнено соотношение

3 2 U CE E

22U C U C U CE E E E

= 2 2 245 3 2,5C UC U C C QE E E .

Общее количество теплоты, выделившее-ся при такой последовательности и с такимвременем задержки, равно

2 23 4 2,5 3 2Q Q C UC U CE E .

Максимальное значение 2max 2,5Q CE

будет достигнуто либо при 0U , либопри максимально возможном значении

1,5U E . Минимальное значение суммар-ного количества теплоты достигается при

3 4U E , и оно равно

2min

11

8Q CE .

Видно, что это значение minQ меньше, чемв первом случае. А временнбя задержка такова, что справедливо равенство

2 33 1

2

RCeE E , откуда ln 2

2

RC.

Ф2580. Неподвижная пластина из золо-та малой толщины ( 1d мкм), имею-щая температуру T = 200 К, подверга-ется облучению потоком нейтронов.Каждый нейтрон имеет кинетическуюэнергию 0E = 0,8 кэВ. Иногда из плас-тины выбиваются атомы золота. Оце-ните максимальную скорость, которуюможет иметь выбитый нейтроном изпластины атом золота. Известны тер-модинамические параметры золота: мо-лярная масса 197 г моль ; плотность(при н.у.) 319,3 19,32 г см ; темпе-ратура плавления плT = 1337,33 К; мо-лярная теплота плавления

пл 12,68L кДж моль ; температура ки-пения кипT = 3129 К; молярная теплотаиспарения исп 340L кДж моль ; темпе-ратура Дебая 170 К. При температу-рах выше температуры Дебая молярная

теплоемкость золота равна примерно3 25C R Дж моль К . Кристалли-

ческая решетка золота – кубическая гра-нецентрированная типа Cu.

Сначала вычислим максимальную кинети-ческую энергию, которую от нейтронаможет получить ядро атома золота послелобового удара. Если ядро до столкнове-ния покоилось, то после столкновения онополучит скорость, равную удвоенной ско-рости центра масс системы из движущего-ся нейтрона и покоившегося ядра золота.Соответственно, ядру атома золота доста-нется некая доля кинетической энергии

0E , которую до удара имел нейтрон. Этадоля равна

2 22 197 197 1 10 . Такимобразом, максимальная кинетическая энер-гия, которую может получить в результатеудара ядро атома золота, равна

191 8 эВ 12,8 10 ДжE .

Каждый атом в составе конденсированно-го вещества (в том числе и золота) взаимо-действует со своими соседями так, что они(взаимно) обеспечивают друг другу пре-бывание в потенциальной яме определен-ной глубины. В гранецентрированной ку-бической решетке у каждого атома внутриобъема вещества есть Z = 12 ближайшихсоседей. Если считать, что каждый атомвзаимодействует только с ближайшимисоседями и глубина одной (для пары ато-мов) потенциальной ямы равна 0U , то дляперевода одного моля вещества из конден-сированного состояния при температуре0 К в газообразное состояние требуетсяэнергия, равная 0 A 0 2L N ZU . Из при-веденных в условии задачи термодинами-ческих характеристик золота можно вы-числить величину 0L . Зная эту величину,можно оценить энергию, которая требует-ся, чтобы один атом с поверхности золотойпленки оторвался от своих ближайшихсоседей. Вероятность того, что на поверх-ности золотой пластины имеется один атом,не находящийся в плоскости поверхности,а выступающий наружу из пластины, неравна нулю. Для такого атома число бли-жайших соседей равно 1 3Z . Если такойатом получит от нейтрона после ударакинетическую энергию 1E , то он, вырвав-


шись из потенциальных ям, которые емуобеспечивали три ближайших соседа, со-хранит кинетическую энергию 1 1 0E ZU .Температура Дебая (170 К) для золотазначительно меньше, чем температура плав-ления (1337,33 К), поэтому не будет боль-шой ошибкой считать, что от 0 К до тем-пературы плавления и далее вплоть дотемпературы кипения молярная теплоем-кость золота постоянна и равна 3R

25 Дж моль К . Тогда

кип пл исп кип

3

2CT L L RT

A 00

2

N ZUL ,

откуда

1 01 0

A

2Z LZU

N Z

1 кип пл исп кип

A

2 3 3 2Z RT L L RT

N Z196,5 10 Дж .

Теперь найдем оценку для максимальнойкинетической энергии выбитого нейтро-ном атома золота:

19 1912,8 6,5 10 Дж 6,3 10 Дж ,

а также оценку для максимальной скорос-ти выбитых атомов золота:

max 2 км сv .

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первуюочередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов.Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу:[email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город,школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес.

Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в такомслучае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любоготура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результатыпубликуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest

Желаем успеха!

КОНКУРС ИМЕНИ А .П .САВИНА

9. Петя и Вася тренируются на кольце-вом велотреке: одновременно стартовалииз одной и той же точки и едут с постоян-ными скоростями. Петя едет быстрее Васи.Когда Петя прошел 16 кругов, он встретилв точке старта Васю. А когда Вася прошел16 кругов, он встретил в точке стартаПетю. Верно ли, что Вася после каждогокруга встречал в точке старта Петю?

Б.Френкин

10. У Саши есть два клетчатых квадрата7 7 . Ему нужно разрезать их по линиямсетки на части так, чтобы частей получи-лось не более пяти и их можно былоуложить в один слой в коробку 10 10 .Есть ли способ выполнить это задание?

А.Грибалко

11. Даны отрезок AB и окружность.Постройте на окружности точки C и D так,чтобы четырехугольник ABCD был рав-нобокой трапецией с основанием AD.

Е.Бакаев

12. По кругу выписаны 2019 натураль-ных чисел. За одну операцию можно либоудвоить одно из этих чисел, либо приба-вить к нему одного из его соседей. Всегдали можно за несколько операций сделатьвсе числа равными?

Н.Чернятьев


Задача 1 предлагалась на XLII Турнире имениМ.В.Ломоносова; задачи 2–4 – на XXV Турни-ре математических боев имени А.П.Савина.

Задачи

Иллю

страции Д

.Гриш

уковой

1. На клетчатой бумаге отмечены 6точек (см. рисунок). Проведите три

прямые так, чтобы одновременно вы-полнялись три условия:i каждая отмеченная точка лежит хотябы на одной из этих прямых;i на каждой прямой лежат хотя бы двеотмеченные точки;i все три проведенные прямые пере-секаются в одной точке (не обязатель-но отмеченной).

Д.Шноль, М.Раскин

2. На берегу реки Лимпопо растутпальма и баобаб. Надувной крокодилплывет от пальмы до баобаба 25 ми-нут. Живой крокодил за это времяможет проплыть от баобаба до паль-мы. Сколько времени потребуется

живому крокодилу, чтобы доплыть отпальмы до баобаба?

А.Хачатурян

3. Во двор жилого дома вышли шестьпенсионеров, и каждый сыграл в шаш-ки ровно с двумя другими. На следу-ющий день вышли пять пенсионеров,

и опять каждый сыграл в шашки ров-но с двумя другими. Оказалось, чтоникакие двое не играли дважды и чтонет трех пенсионеров, которые сыгра-ли каждый с каждым. Какое наимень-шее число пенсионеров может быть вэтом дворе?

C.Волчёнков

4. В треугольниках АВС и А1В1С1равны острые углы А и А1, равнывысоты, проведенные из вершин В иВ1, и равны медианы, проведенные извершин С и С1. Известно, что треуголь-ники не равны. Может ли хотя быодин из них быть остроугольным?

А.Блинков


Зачем плющитьзерна, или

О плотностипотоков

А.СТАСЕНКО

«Геркулес монастырский»... в результатеплющения зерна овса становятся мягче, акаша из них получается более плотной исытной.

Надпись на коробке

АЗАЧЕМ ИХ ПЛЮЩИТЬ? – ПОДУМАЛСпособный Ученик и тут же вспомнил о

потоках массы, концентрации вещества, энер-гии, импульса… Раз уж речь идет о потокечего-либо, то этот поток должен измерятьсяв единицах этого самого на единицу време-ни, и если это плотность потока, то ондолжен протекать через единицу площади.Значит, плотности потоков должны иметьтакие размерности, например:

кв э2 2

1 Дж, ,

с м с мq q

и 2

кг м 1.

с с мq

Заметим, что концентрация частиц вещества– безразмерная величина, она стоит в выра-жении для квq в числителе в виде единицы.

Пусть первоначально зерно было шариком

радиусом R и объемом 34

3V R ; при плю-

щении его превратили в диск (сохраняя

объем) радиусом b и толщиной 2

Vh

b; а

кто-то ухитрился раскатать его в цилиндр

(макаронину) длиной l и радиусом V

rl

(рис.1).

Но что же приводит к возникновениюупомянутых потоков? Конечно, простран-ственная неоднородность так называемых

потенциалов. Например, хорошо известно,что тепло течет из области повышеннойтемпературы в область пониженной. Причемочевидно, что тут должна играть роль непросто разность температур T, но и про-странственная крутизна, т.е. отношение этойразности к расстоянию, на котором она реа-

лизуется: T

r. Это отношение называют

градиентом температуры. Здесь r измеряет-ся вдоль вектора потока. Точно так же плот-ность потока массы вызывается градиентомконцентрации вещества, плотность потокаимпульса – поперечным градиентом скорос-ти потока жидкости или газа вдоль твердойповерхности. А также есть (тут СпособномуУченику пришла в голову еще одна мысль)плотность потока электрического тока – гра-диент электрического потенциала. Так чтоможно написать, например,

T

Tq

x∼

и аналогичные выражения плотностей пото-ка для других физических величин. А коэф-фициенты, при помощи которых это отноше-ние пропорциональности заменяется равен-ством, называются коэффициентами диф-фузии, теплопроводности, вязкости, элект-ропроводности… Их общее название – коэф-фициенты переноса, и можно надеяться, выпонимаете, почему.

Рис. 1. Модели формы зерна: а) сферического;б) расплющенного в диск; в) раскатанного вцилиндр (макаронину). Цветные стрелки – этовекторы плотности потоков любой физическойприроды: концентрации вещества, теплоты,количества электрического тока (в случае от-рицательно заряженных тел)...

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 128

Но тогда уж и величины, градиенты кото-рых вызывают соответствующие потоки,можно назвать потенциалами – и концентра-цию диффундирующего вещества, и темпе-ратуру, и продольную (вдоль обтекаемоготела) скорость течения газа или жидкости, и,конечно, электрический потенциал, и… Азначит, теплопроводность можно назватьдиффузией тепла; трение в пограничномслое у тела, обтекаемого жидкостью илигазом, – поперечной диффузией продольно-го импульса; электропроводность – диффу-зией электрического заряда …И тут внутренний голос подсказал нашему

герою, что метр метру рознь. Особенно вслучае потока импульса иq , когда тормозя-щая сила трения, действующая на газ илижидкость, направлена вдоль обтекаемой стен-ки, а продольная скорость v y изменяетсяв поперечном направлении (рис.2). Тут мож-

но заметить, что напряжение трения (сила,приходящаяся на единицу площади) имеет

размерность 2

кг м 1

м мсx

x z

.

После этих размышлений уже можно по-лучить размерности соответствующих коэф-фициентов переноса, разделив плотностьпотока некой физической величины на гра-диент соответствующего потенциала, под-держивающий этот поток. В результате по-лучим

2

Дж 1

К мм сT

P

(Дж

м с КT )

– для коэффициента теплопроводности;

2

2

1 11 1с м

мм м

D

PP

(2м

сD )

– для коэффициента диффузии или «мас-сопроводности»;

кг м

с м мx

x z (

кг

м с)

– для коэффициента вязкости или «импуль-сопроводности»;

э 2

Кл

с м В мP

( э1

Ом м)

– для коэффициента электропроводности.Здесь в каждой строке в скобках выписаны

также и обычно приводимые размерности,но мы-то с вами теперь уже знаем, что метрметру рознь. В частности, в выражении дляD учтено, что концентрация вещества имеетразмерность «единица на кубический метр».Уже из рисунка 1 видно, что теплу или

диффундирующему веществу тем легче доб-раться до середины расплющенного зерна,чем меньше расстояние от поверхности дискаили цилиндра-макаронины. На основаниисказанного выше можно даже предложитьоценку характерных масштабов процесса.Видно, например, что размерность коэффи-циента диффузии D самая простая – онасодержит только размерности площади ивремени. Значит, разделив на этот коэффи-циент площадь поверхности тела, пропорци-ональную квадрату характерного размера a(a = R, h или r), получим характерное время,за которое произойдет существенное измене-ние концентрации диффундирующего веще-ства:

2

D

a

D∼ .

Аналогичные выражения можно получить идля других физических величин. Так, вслучае теплопроводности

2

TT

a∼ .

Из этого соотношения понятно, почему ма-лых детей кутают в теплые одежды: если иххарактерный размер, например, втрое мень-ше, чем у взрослого, их характерное времяостывания будет меньше в 9 раз. И понятно,наконец, зачем деформировать зерна: тол-щину диска h и радиус макаронины r можносделать гораздо меньше R (см. рис.1,б,в).

Рис. 2. Схема пограничного слоя газа илижидкости у плоской стенки. Показано форми-рование поперечного градиента продольнойскорости v y ; cq – плотность потока тор-мозящей силы, действующей на площадку,стороны которой измеряются в «разных мет-рах»

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 29

Конечно, здесь не рассмотрены так назы-ваемые конвективные потоки – например,перенос тепла вместе с массой. Значит, речьидет о варке каши на спутнике или в падаю-щем лифте, что, правда, не очень удобно.Итак, в течение характерного времени и

цельные зерна, и расплющенные или раска-танные в цилиндр прогреются до температу-ры кипения воды. Но что же происходитдальше? Ведь кипение продолжается, следо-вательно, что-то продолжает течь внутрьзерна. А там происходят сложные физико-химические процессы. Прежде всего, увлаж-нение, т.е. диффузия молекул воды, разру-шение прежней бимолекулярной структуры,нежелательной для потребителя. Но раз что-то разрушается, значит, с точки зрения ис-ходного зерна, растет «мера беспорядка» –так называемая энтропия. Физик при этомскажет, что имеет место поток энтропии. Тутвспоминается, что в научно-фантастических

романах энтропия часто называется «чер-ной», чтобы подчеркнуть ее разрушитель-ный нрав. А в одной из пародий на такиероманы при описании ситуации в космичес-ком корабле сказано нечто такое:Напряженно гудели слухофоны и смот-

роскопы. Сквозь заклепки сочились кванты.Черная энтропия росла. «Ба, – вдруг вос-кликнул штурман, – да ведь мы на краюобыкновенной гиперплоскости!»Но вернемся к нашей каше. В кипящей

воде в зерне подготавливаются новые веще-ства; можно сказать, что в результате пере-стройки они забрасываются на новый (болеевысокий) потенциальный уровень, «падая»с которого, выделят в нужное время необхо-димую организму энергию.Итак, всюду потоки массы, энергии, им-

пульса, энтропии. А плющенное зерно про-должает вариться …Приятного аппетита!

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

Что такоефазовыйпортрет

В.СОЛОВЬЕВ, С.ДВОРЯНИНОВ

Бросаем мяч вверх

Рассмотрим простой эксперимент, кото-рый каждый из нас проводил в детстве многораз. Пусть тело, например мяч, масса кото-рого равна m, брошено с поверхности земливертикально вверх с начальной скоростью

0v . Пусть высота h, на которой находитсятело в каждый момент времени t, определя-ется функцией ( )h h t= . Тогда первая про-

изводная этой функции ( ) ( )h t v t=¢ – это

скорость, вторая производная ( ) ( )h t v t= =¢¢ ¢

( )a t= – это ускорение. Согласно второму

закону Ньютона,

( )F

a tm

= ,

где F – действующая на тело сила. Есливысота подъема невелика и можно пренеб-речь сопротивлением воздуха, то единствен-ная сила, действующая на тело, это силатяжести, равная mg. Тогда уравнение движе-ния тела принимает вид

( )h t g= -¢¢ .

Знак «минус» в правой части уравненияотражает тот факт, что сила направлена всторону уменьшения величины h. Интегри-руя это уравнение, получаем общий закондвижения тела:

( )2

0 02

gth t v t h= - + + .

(Результат интегрирования легко проверить

дифференцированием: 2

0( )2

gth t v t

Ê= - + +¢¢ Á

Ë

( )0 0h gt v g¢¢ˆ ¢+ = - + = -˜

¯.)

В нашем уравнении 0v – начальная ско-рость тела, т.е. скорость при t = 0; 0h –DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20191104

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 130

начальная высота, у нас 0 0h = . Следова-тельно, получаем

( )2

02

gth t v t= - + .

Ясно, что область определения квадратич-

ной функции ( )h t – отрезок 020

vt

g£ £ , на

котором эта функция неотрицательна. Гра-

фик этой функции на плоскости с координа-тами ( );t h показан на рисунке 1.

Наблюдаем за энергией

Будем теперь следить не только за высотойh, но и за скоростью движения нашего тела,т.е. за величиной ( ) ( )h t v t gt= = - +¢

0v+ . Рассмотрим систему уравнений2

0

0

,2

.

gth v t

v gt v

ÏÔ = - +ÌÔ = - +Ó

При каждом допустимом значении величиныt, которую теперь можно считать парамет-ром, мы имеем точку на плоскости с коорди-натами ( );h v . Можно сказать, что эта систе-ма параметрическим образом задает кривуюлинию. Легко получить и явное задание этойкривой. Из второго уравнения системы на-

ходим 0v vt

g

-= и подставляем в первое

уравнение. В итоге получаем2 20

2

v vh

g

-= .

Это уравнение на от-резке 0 0v v v- £ £задает дугу парабо-лы (рис.2). Стрелкана параболе указыва-ет направление воз-растания параметра t,т.е. ход времени.После умножения

обеих частей нашегоуравнения на mg за-

пишем его в виде2 2

0

2 2

mv mvmgh + = .

Полученное равенство выражает закон со-хранения энергии: первое слагаемое в левойчасти – это потенциальная энергия, второе –кинетическая энергия брошенного вверх тела.Их сумма – полная энергия – неизменна, вкаждый момент времени она равна началь-ной кинетической энергии тела.При движении нашего тела вверх действу-

ющая на него сила тяжести постоянна. Рабо-та этой силы «съедает» любую начальнуюэнергию тела, и поэтому при любой началь-ной скорости тело в определенный моментвремени остановится и затем начнет падатьобратно на землю.

Рисуем фазовый портрет

Ясно, что при разных значениях началь-ной скорости будут получаться дуги разныхпарабол (рис.3). Каждая дуга называется

фазовой траекторией рассматриваемой намимеханической системы (т.е. брошенного вверхтела). Совокупность всех фазовых траекто-рий называется фазовым портретом дина-мической системы на фазовой плоскости.Заметим, что точка ( )0;0 также являетсяфазовой траекторией, она описывает состоя-ние неподвижно находящегося на поверхно-сти земли тела.

В верхней полуплоскости скорость поло-жительна, фазовая точка движется вдольфазовой траектории вправо, в сторону увели-чения координаты h. В нижней полуплоско-сти – наоборот, фазовая точка движетсявлево, в сторону уменьшения фазовой коор-динаты h. (Это хорошо согласуется с извест-ным признаком монотонности функции: еслипроизводная положительна, то функция воз-растает.)

Рис. 1

Рис. 3

Рис. 2

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 31

Итак, первый урок по технике рисованияфазовых портретов динамических системсостоялся. Поздравляем наших читателей,которые могут испытывать чувство гордостиот знакомства с важным научным понятием,ибо о фазовых портретах и фазовых траек-ториях студенты университета узнают обыч-но только на втором курсе.

Учитываем гравитационноевзаимодействие с Землей

и летим в космос

Вспомним теперь, что в действительностина тело массой m, находящееся на расстоя-нии R от центра Земли, масса которой М, состороны Земли действует сила притяжения,

равная 2

mMG

R. Тогда ускорение этого тела

равно

a = 2

MG

R- .

Знак «минус» опять говорит о том, что силанаправлена в сторону уменьшения R. Пустьпо-прежнему тело с некоторой начальнойскоростью брошено с поверхности Земливверх вдоль ее радиуса, т.е. в начальныймомент времени при t = 0 расстояние R равнорадиусу Земли: ( ) З0R R= .А каким может быть движение этого тела?

Обязательно ли оно вернется на Землю?Если нет, то как будет меняться его скоростьс течением времени?Ответы на эти вопросы мы дадим чуть

позже. А пока обратим внимание на то, чтопо мере удаления от Земли сила притяженияубывает, ее работа теперь не пропорциональ-на длине пути и поэтому, возможно, эта силане сможет «забрать» всю энергию брошенно-го вверх тела.Рассмотрим дифференциальное уравнение,

описывающее изменение величины ( )R R t=в зависимости от времени:

2

MR G

R= -¢¢ .

Это равенство выражает второй закон Нью-тона. Мы помним, что для построения фазо-вого портрета важна зависимость между ко-ординатой и скоростью, в данном случае –зависимость между величинами ( )R t и ( )R t¢ .Эта зависимость такова:

2

2

R MG c

R

¢= + ,

где с – произвольная постоянная. (Это соот-ношение получается интегрированием пре-дыдущего равенства.) Положим t = 0 иполучим

20

З2

v MG c

R= + , откуда

20

З2

v Mс G

R= - .

Теперь закон движения тела можно записатьв виде

( )( )( )

2 20

З2 2

R t M v MG G

R t R

¢- = - .

Для понимания физического смысла пос-леднего равенства обе его части умножим наm – массу брошенного тела, на котороедействует сила тяготения:

( )( )( )

2 20

З2 2

m R t mM mv mMG G

R t R

¢- = - .

Это уравнение выражает закон сохраненияэнергии. Первое слагаемое в левой части –это переменная кинетическая энергия, онасвязана со скоростью, второе слагаемое –переменная потенциальная энергия, праваячасть – это полная энергия тела при t = 0.Поясним, почему потенциальная энергия

оказывается отрицательной. Потенциальнаяэнергия считается всегда относительно како-го-либо уровня. Так, кирпич, лежащий набалконе второго этажа, относительно этогобалкона обладает нулевой потенциальнойэнергией, а относительно уровня тротуара –ненулевой. Мы вольны в выборе уровняотсчета. В нашем случае выбор таков, чтопри бесконечном удалении тела от Земли(т.е. при неограниченном увеличении R) егопотенциальная энергия становится равнойнулю. При произвольном значении R R= *

потенциальная энергия отрицательна и рав-

на mM

GR

- * . При перемещении тела из этой

точки в бесконечность его потенциальнаяэнергия, очевидно, увеличивается.

Рисуем фазовые траектории

Допустим, что с = 0, т.е. 0 2З

2M

v G vR

= = .

Эта скорость называется второй космичес-кой скоростью. Соответствующая фазоваятраектория показана на рисунке 4 краснымцветом. Начав движение со скоростью 2v ,тело бесконечно долго удаляется от Земли.

(Продолжение на с. 34)

Какие только ПРИБОРЫ нас ни окружа-ют! Они измеряют, сигнализируют, инфор-мируют, а самое главное – практически мгно-венно связывают нас друг с другом. Мир сталнемыслим без этих порой незаметных помощ-ников, но стоит им выйти из строя, как мысразу ощущаем непривычный дискомфорт.Отдадим должное поколениям изобретате-

лей и инженеров, ученых и техников, кропот-ливый труд которых привел цивилизацию кнынешнему уровню. Судя по всему, темпинновационного марафона снижаться не со-бирается, а вам предстоит стать его непремен-ными участниками.Что нужно, чтобы не отстать в этом забеге?

Ответ так же прост, как нелегок в исполнении,– учиться! Надеемся, наша физико-техничес-кая серия, пусть немного, но помогла вам вэтом трудном деле. А сегодня, как и раньше,навигатором в «океане» приборов нам послу-жит курс физики и старые знакомые издомашнего обихода и школьной лаборатории.

Вопросы и задачи

1. Как определить массу груза на неравноп-лечих весах?

2. Вес тела на Марсе примерно в 2,6 раза

меньше, чем на Земле. Какими весами буду-щий космонавт сможет обнаружить это умень-шение веса?

3. У вас имеется фиксированная горизон-тальная ось и однородный стержень с отвер-стием в середине. Что необходимо сделать,чтобы устроить из этого рычажные весы?

4. Как изменится период колебаний часов сжелезным шариком на конце маятника, еслипод ним поместить электромагнит?

5. Античные источники описывают маятни-ковые часы, сделанные в виде тонкой трубки,заканчивающейся резервуаром со ртутью. Вчем смысл такого устройства?

6. Теплопроводность металла значительнобольше теплопроводности стекла. Отчего жетогда калориметры делают из металла, а неиз стекла?

7. Почему в медицинских термометрах ис-пользуют ртуть, а не спирт или эфир?

8. Температура кипения ртути 357 °C. Какже объяснить применение ртутных термомет-ров для измерения температур до 600 °C?

9. Трубку ртутного барометра подвесили кдинамометру. Как будут изменяться уровеньртути в трубке и показания динамометра приизменении атмосферного давления?

…как раз при устройстве автоматов для раз-личных их деталей приходится применять всеотделы механики.

Герон Александрийский

…не щадя ни труда, ни издержек, я дошел дотого, что построил себе прибор, до такой степе-ни превосходный, что с его помощью предметыказались почти в тысячу раз больше и болеечем в тридцать раз ближе, чем при наблюдениипростым глазом.

Галилео Галилей

…ход часов стал чрезвычайно правильным инадежным, как показали испытания на суше ина море. Великая польза этих часов для астро-номии и мореплавания может считаться уста-новленной.

Христиан Гюйгенс

Что бы ни попадало в мои руки – машинкадля взбалтывания яиц или электромотор, япрежде всего думаю о том, как это усовершен-ствовать.

Томас Эдисон

…могу выразить надежду, что мой прибор…может быть применен к передаче сигналов нарасстояния при помощи быстрых электричес-ких колебаний…

Александр Попов

…миллиарды долларов уходят на строитель-ство гигантских умных машин. Они ускоряютчастицы до таких высоких энергий, что мыбессильны предположить, что может случитьсяпри их столкновении.

Стивен Хокинг

физика+техника?А так ли хорошо знакомы вам

10. Почему плавкий предохранитель выхо-дит из строя раньше, чем какой-либо другойучасток электрической цепи?

11. Какое минимальное число резисторовсопротивлением по 20 Ом каждый следуетвзять и как их соединить, чтобы получитьсопротивление цепи 12 Ом?

12. Как составить схему их трех одинако-вых ламп и двух выключателей, чтобы вклю-чались и горели полным накалом одна (призамыкании одного выключателя), две (призамыкании второго) или все три лампы (призамыкании обоих выключателей)?

13. Как построить сильный электромагнит,если конструктору поставлено условие, что-бы ток в нем был сравнительно малым?

14. Можно ли микроскоп использоватьвместо телескопа?

15. Почему в оптических приборах, пред-назначенных для работы в широком диапазо-не длин волн, стараются использовать отра-жающие поверхности, а не преломляющие?

Микроопыт

Сможете ли вы измерить объем ванны,пользуясь часами? Не понадобятся ли вамеще какие-то приборы?

Любопытно, что…

…история применения свойства ориента-ции магнитной иглы уходит в глубь веков,находя свидетельства в китайских и арабскихисточниках. Первое же упоминание о ее ис-пользовании в качестве морского компасадатируется 1180-м годом.…секстант – прибор для измерения широ-

ты точки наблюдения в открытом море дажепри сильном волнении – основан на законеотражения в двух зеркалах. Идею его устрой-ства высказал еще Ньютон, а первые прибо-ры были сконструированы в 30-х годах XVIIIвека.…развитие мореплавания настоятельно тре-

бовало для нахождения долгот определенияточного времени. 16 июня 1657 года Гене-ральные штаты Нидерландов (высший зако-нодательный орган Нидерландов) закрепля-ют за Христианом Гюйгенсом приоритет изоб-ретения часов, в которых для равномерностихода ученый использовал маятник.…во второй половине XIX века архитекту-

ра потребовала много большого по размерам

и дешевого оконного стекла. Фирмы по егопроизводству спонсировали создание необхо-димых для этого приборов по измерениювысоких температур, работающих дистанци-онно. С их помощью оказались открытыновые физические законы, позже приведшиек развитию квантовых представлений.…многие новации, предназначавшиеся сна-

чала для военных нужд, «переселились» вгражданские отрасли – как электронно-вы-числительная техника, именуемая ныне ком-пьютерами, или система глобального позици-онирования. А вот такие бытовые новинки,как, например, антипригарный тефлон, на-чинали «работать» в Манхэттенском атом-ном проекте.…GPS-навигация, спутниковые телевиде-

ние и связь вобрали в себя современнейшиефизические идеи и технологии. Так, на нихиспользуются атомные часы и резервуары сжидким гелием, а поправки на замедлениевремени производятся в согласии с предска-заниями теории относительности.…зеркало строящегося Гигантского Магел-

ланова телескопа, вращающаяся часть кото-рого весит больше 1500 тонн, образует отра-жающую поверхность площадью 368 м2, чтопозволит ему вести наблюдения неба с чув-ствительностью, на порядок превосходящуювозможности космического телескопа«Хаббл».…сфера применения роботов давно вышла

за пределы производства и обслуживания –ныне они еще и развлекают нас и участвуютв спортивных соревнованиях. Например, наринг «Лиги боевых роботов» выходит 340-килограммовый Scorpio, вооруженный ост-рыми лезвиями и защищенный легкой угле-пластиковой броней.

Что читать в «Кванте» о приборах

(публикации последних лет)

1. «Простой мини-робот» – 2013, №1, с.37;2. «Электрические цепи с измерительными при-

борами» – 2014, №4, с.39;3. «Про волчок и гироскоп» – 2015, №1, с.28;4. «Чудо стеклянной линзы» – 2017, №6, с.25;5. «Астрономия вернулась в школу» – 2017,

№12, с.2;6. «ИТЭР» – земная звезда» – 2018, №8, с.2;

№10, с.2.7. «Лазерная локация» – 2018, №9, с.34.

Материал подготовил А.Леонович

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 134

При этом его скорость убывает, стремясь кнулю. Допуская вольность речи, говорят,что тело остановится в бесконечности. Вто-

рая космическая скорость – это минималь-ная скорость, позволяющая телу преодолетьвлияние гравитационного поля Земли.

Ясно, что эта скорость своя для каждойпланеты, ибо зависит от ее массы и радиуса.Пусть теперь с > 0, т.е. начальная скорость

больше второй космической. Тогда для лю-бого положительного значения R существу-ют два значения скорости R¢ . Соответству-ющие точки ( );R R¢ лежат на двух ветвяхфазовой траектории, которые на рисунке 4показаны синим цветом – цветом бездонногонеба. Нижняя ветвь описывает падение телаиз бесконечности. Каждая ветвь имеет своюгоризонтальную асимптоту. Опять говоряобразно, скажем, что всякое тело, стартовав-шее со скоростью 0 2v v> , уйдет в бесконеч-ность и будет там двигаться с некоторойскоростью.Если же c < 0 (и 0 2v v< ), то значения R

находятся в некотором конечном промежут-ке. Это означает, что запущенное с Землитело сможет удалиться от нее лишь на конеч-ное расстояние, на мгновение остановится изатем вернется на Землю. Вырваться изгравитационного поля Земли со столь малойскоростью невозможно. Соответствующиефазовые траектории показаны на рисунке 4зеленым цветом – цветом зеленой травы.Траектории следует рассматривать в полу-плоскости ЗR R≥ .

Все траектории трех цветов и составляютфазовый портрет. Название красной траек-тории – сепаратриса. Она отделяет траекто-рии одного типа от траекторий другого типа.

Взяв любую точку ( );R R¢ в правой полу-плоскости и рассмотрев проходящую черезнее траекторию, можно легко увидеть эво-люцию нашей динамической системы.Заметим, что каждую траекторию легко

построить элементарными методами, считая,что уравнение движения задает при каждомзначении параметра c функцию R, завися-щую от аргумента R¢. Дело сводится к «де-лению единицы на квадратичную функцию».О фазовой скорости и фазовом портрете

можно прочитать в «Кванте» в статьях В.Ар-нольда «Эволюционные процессы и обыкно-венные дифференциальные уравнения»(«Квант», 1986, №2) и А.Веселова «О мате-матике гармонических колебаний» («Квант»,1986, №5).

В заключение – фазовый портретматематического маятника

Рассмотрим жесткий невесомый стержень,на конце которого укреплена точечная массаm. Пусть такой маятник совершает колеба-ния в вертикальной плоскости, ( )x t – уголотклонения стержня от вертикали, ( )x t¢ –скорость точки. Фазовый портрет такогомаятника представлен на рисунке 5. На

фазовой плоскости ( );x x¢ точку ( )0;0 окру-жают замкнутые траектории, они соответ-ствуют малым колебаниям маятника. Черезточки ( )00;x¢ для больших значений началь-ной скорости проходят траектории, соответ-ствующие вращательному движению маят-ника, при этом маятник совершает круговыеколебания против или по часовой стрелке.Каждая точка ( );0k также является фазо-вой траекторией, соответствующей положе-нию равновесия маятника. Нижнее положе-ние устойчиво, верхнее – неустойчиво. Тра-ектории красного цвета – это сепаратрисы,они отделяют вращательные траектории отколебательных. Отметим, что движение посепаратрисе (которая имеет конечную дли-ну!) длится бесконечно долго...

(Продолжение следует)

Рис. 4

Рис. 5

(Начало на с. 29)


Что не такс угадыванием

шляп?

К.КОХАСЬ

–ПРИВЕТ, ДРУЗЬЯ, Я РАД ЧТО ВЫ СНО-ва у экранов телевизоров! Впрочем,

отсюда мне вас совершенно не видно. С вамиГоргулий, научный обозреватель «Самогопервого канала». Очередная программа «Чтоне так?», посвященная ломке стереотипов иниспровержению стандартов научного миро-воззрения, готова порадовать зрителей неза-бываемым феерическим выпуском.

По традиции мы выбираем тему програм-мы среди вопросов, присланных телезрите-лями. «Что не так с угадыванием шляп?» –спрашивает нас телезритель Пинок Тухх.Отвечает на вопрос наш замечательный экс-перт по вопросам неадекватности – дятелСпятел! Прошу вас, маэстро.

– Добрый вечер, уважаемые телезрители.Прежде всего, для правильной расстановкиакцентов, мне хотелось бы уточнить, что яявляюсь экспертом по вопросам адекватно-сти. Если наш ведущий будет продолжатьпутаницу, то в следующем выпуске нампридется обсудить вопрос «Что не так снашим ведущим?» Ясно?

– Извините, извините, дорогой маэстро. Янадеюсь загладить свою вину, смотрите: вэтой коробке лежат несколько черных ибелых шляп, они могут существенно повы-сить адекватность нашего разбирательства.

– Тогда приступим к конкурсу «Угадыва-ние». Я попрошу оператора показать круп-ным планом насекомое Musca domestica.

– Это же обычная домашняя муха!– Совершенно верно. Итак, уважаемые

телезрители, пока вы любовались мухой,ассистенты надели на меня и на Горгулия пошляпе. Вам прекрасно видны цвета обеихшляп, а вот я хорошо вижу шляпу Горгулия,

но, увы, не могу понять, какого цвета шляпана мне.

– Я тоже не знаю цвета своей шляпы, –подхватил Горгулий, – но при этом прекрас-но вижу шляпу дятла Спятла. И что же мыбудем угадывать?

– По правилам конкурса мы должны, неразговаривая и не подавая друг другу ника-ких сигналов, попытаться угадать цвет своейшляпы. У каждого из нас есть пультик скнопками «черная» и «белая», мы должнынезаметно нажать на одну из кнопок!

– Но маэстро, вряд ли нам обоим удастсяугадать цвет своей шляпы. Ведь о цветесвоей шляпы у нас нет никакой информации!

– Правильно. Но если хоть один из насугадает, это будет считаться нашей победойв конкурсе!

– Что-то тут не так. Каждый из нас вообщеничего не знает о цвете своей шляпы. Как жемы сможем хоть что-нибудь угадать?

– Вы забываете, что один из нас являет-ся выдающимся экспертом по вопросам адек-ватности! Конечно, мы сможем преодолетьэтот конкурс! И дело тут вовсе не в томбольшом зеркале, которое не видно теле-зрителям, но прекрасно видно нам. Мысможем выиграть этот конкурс... с помо-щью интеллекта!В самом деле, дорогие телезрители, согла-

ситесь, что имеется всего лишь две возмож-ности – либо наши шляпы одинакового цве-та, либо разного. Сейчас мы будем нажиматьна кнопки, причем я буду нажимать накнопку, исходя из предположения, что нашишляпы одинакового цвета, а мой коллегабудет исходить из того, что цвета разные!Мы не знаем, какая из этих гипотез осуще-ствилась на самом деле, но одна из гипотезточно осуществилась, и тот, кто придержи-вался этой гипотезы, угадает цвет!

– Маэстро, это потрясающе. Но что мыбудем делать, если наш телезритель ПинокТухх попросит провести конкурс, в которомшляпы будут не двух, а, скажем, восьмицветов?

– Мы позовем еще 6 друзей и проведеманалогичный конкурс! На каждого из вось-ми участников помощники наденут шляпуодного из 8 цветов, каждый будет видетьшляпы у остальных, но не свою собствен-ную. И точно так же нужно, чтобы хотя быодин участник угадал цвет своей шляпы!

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 136

– Пультики приготовить с восемью кноп-ками?– Да. А чтобы не путаться с цветами,

лучше просто поместить на каждой шляпечисло от 0 до 7 и говорить не об угадываниицвета, а об угадывании числа на шляпе.– Неужели мы справимся?– Элементарно. Мы разобьем все возмож-

ные расклады шляп на 8 взаимоисключаю-щих случаев: сумма чисел на всех шляпахлибо делится на 8, либо дает остаток 1, либоостаток 2 и так далее. Последняя, восьмая,возможность – сумма дает остаток 7. Каж-дый из нас выберет по одной гипотезе и будетее придерживаться. Например, если мнедосталась гипотеза «сумма дает остаток 2»,то я складываю все числа, которые вижу уостальных, и называю число, которое нужнодобавить к этой сумме, чтобы получилсяостаток 2.– Кажется, мы действительно выиграем

этот конкурс. Если я правильно догадался,по вашему алгоритму всегда угадывает ров-но один участник. Таким образом, каждыйучастник «берет на себя» 1 8 от числа всехвозможных раскладов шляп и угадываеттолько на них. А если мы увеличим числоцветов шляп, не изменив число участников,например будем давать участникам шляпыдевяти цветов, баланс нарушится, они смо-гут победить лишь в 8 9 всех случаев. Но всеже я думаю, что мы просто обязаны удовлет-ворить любопытство нашего телезрителя,Пинока нашего Тухха, и объяснить, нельзяли хоть немного увеличить число шляп,оставив количество участников конкурсапрежним?– Да вы просто маньяк с этим вашим

Пиноком Туххом. Можно! Но при условии,что одним участникам вы будете даватьшляпы существенно большего количествацветов, а другим – шляпы меньшего числацветов.– Отличная сделка! Согласен. Это будет

впечатляющее зрелище. Сейчас же закажудля этого подходящий комплект шляп, и мыпродемонстрируем это зрителям. Давайтепозовем автора нашего вопроса Пинока Тух-ха в студию и наибольшее число шляп дадимему! Сколько это будет? Сто? Двести?– Хе-хе, боюсь, ответ может вам показать-

ся неприемлемым. Во всяком случае, онбольше.

– Сколько же? Тысяча? Миллион? Мил-лиард?– Видите ли, дорогой Горгулий, ваши

приемы работы, несомненно, производятвпечатление. Но подозреваю, что ПинокуТухху ваш энтузиазм... не придется по душе.Все дело в том, что вы наивно полагаете, чтосумеете прочесть число, являющееся ответомна ваш вопрос. Но так ли это? Первыйучастник нашего конкурса будет получатьшляпы всего двух цветов. Пожалуй, это будуя. Второму участнику – не возражаю, еслиэто будете вы – будут давать шляпы трехцветов.– Не нагнетайте, маэстро, я вполне готов

нести ответственность за свои слова и займупочетное предпоследнее место.– Хорошо. Третий участник должен оси-

лить шляпы 7 цветов, четвертый – шляпы 43цветов...– Ой.– Пятый – шляпы 1807 цветов, шестой –

шляпы 3 263 443 цветов...– Ой, ой, ой...– Седьмому участнику, то есть вам, мой

самоуверенный друг, придется иметь дело сошляпами 10 650 056 950 807 цветов...– Десять триллионов с хвостиком...– Это сущая мелочь по сравнению с тем,

что мы приготовили восьмому участнику –Пиноку вашему, незабвенному Тухху, коли-чество его цветов равно 27-значному числу,вот оно:

113 423 713 055 421 844 361 000 442.

– Мама...– И обратите внимание, как виртуозно у

нас все подобрано: при любом раскладешляп будет угадывать ровно один участник,при этом первый участник будет угадыватьровно на половине всех раскладов, второй –на одной трети, третий – на одной седьмой итак далее. Стоит ли говорить, что суммаобратных величин указанных чисел в точно-сти равна 1! Есть только один подвох...– Еще один? Какой же?– Алгоритм, с помощью которого мы мо-

жем выиграть. Он... не совсем очевиден.– Аааааа! Уважаемые телезрители, мы

опять испытываем проблемы с адекватнымзавершением нашей программы. Безобид-нейшая игра с двумя шляпами довела нас доумопомрачительного количества цветов! Мы

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 37

не можем ничего сделать с этим числом, мыдаже затрудняемся прочесть его вслух. Ка-жется, вопрос нашего телезрителя опятьостается без ответа! Постойте, я сказал «на-шего телезрителя»? Маэстро, признавай-тесь, это опять ваши происки? Вы опять,скрываясь под псевдонимом, прислали воп-

рос, чтобы нарушить спокойное течение на-шей передачи?– Нет-нет, я не имею никакого отношения

к случившемуся сегодня. Хотя, вы знаете...Недавно я рассказал Бусеньке о том, каклегко и приятно вводить вас в ступор спомощью безобидного на вид вопроса...


Принесите ещешляп!

К.КОХАСЬ

РАССМОТРИМ СЛЕДУЮЩУЮ ИЗВЕСТ-ную задачу о мудрецах.

Происходит следующий конкурс. По кру-гу стоят n мудрецов. Судья надевает каж-дому мудрецу шляпу одного из n цветов.Каждый мудрец видит шляпы, надетые надругих мудрецов, но не видит своей соб-ственной. По сигналу мудрецы (одновре-менно) должны высказать гипотезу о цве-те своей шляпы. Если хотя бы один мудрецугадал цвет своей шляпы, считается, чтомудрецы выиграли конкурс. Перед проведе-нием конкурса мудрецы имели возможностьпосовещаться, а во время конкурса никакаяпередача информации не разрешена. Моглили они на этом совещании придумать стра-тегию, позволяющую им выиграть в любомслучае?Под стратегией понимается набор инст-

рукций (свой для каждого мудреца), кото-рыми должны руководствоваться мудрецыпри выдвижении своих гипотез. Каждаятакая инструкция – это набор правил вида«если вижу на таких-то мудрецах такие-тоцвета шляп, то выдвигаю такую-то гипоте-зу». В частности, стратегия должна бытьдетерминированной, т. е. не содержать дей-ствий, совершаемых с некоторой вероятнос-тью. Это значит, что при повторении конкур-са с тем же самым набором шляп мудрецыдадут те же самые ответы.Решение этой задачи весьма красиво. Муд-

рецы нумеруют себя числами от 0 до n – 1

и обозначют цвета также числами от 0 доn – 1. Каждый мудрец видит все шляпы,кроме своей. Значит, он знает сумму всехчисел, кроме одного (своего). Тогда пустьk-й мудрец называет свой цвет, исходя изпредположения, что сумма всех чисел даетпри делении на n остаток k.Например, пусть n = 8 и третий мудрец

увидел, что сумма чисел у остальных мудре-цов равна 20. Тогда он должен назвать число7, потому что только в случае, когда у негошляпа 7-го цвета, сумма всех чисел (она вэтом случае равна 27) дает остаток 3 приделении на 8.Заметим, что описанная стратегия весьма

«экономна» в том смысле, что для каждогорасклада шляп лишь один мудрец угадыва-ет цвет шляпы. Номер этого мудреца совпа-дает с остатком суммы всех цветов приделении на n.

Взглянем на эту экономность с другойточки зрения. Пусть судья заранее составитсписок из всех возможных способов выдатьмудрецам шляпы разных цветов. Каждыйтакой способ будем называть раскладом шляп.Работа немаленькая, ведь количество всехраскладов равно nn (потому что каждому изn мудрецов можно дать шляпу любого из nцветов). После этого пусть судья подслуша-ет, о чем договорились мудрецы на совеща-нии, и возле каждого расклада шляп в своемсписке запишет, какие мудрецы угадываютцвет шляпы для этого расклада.Лемма 1. Для каждого k пометка «угады-

вает k-й мудрец» будет стоять в точностивозле 1nn раскладов. Иными словами, каж-дый мудрец выигрывает в точности на 1 n

от общего числа раскладов.Доказательство. Допустим, что судья пе-

ребирает все варианты расклада шляп следу-ющим образом: сначала он фиксирует цветавсех шляп, кроме шляпы k-го мудреца, апосле этого размышляет, какую из n шляпвыдать k-му мудрецу. Так как цвета всех

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 138

шляп, которые увидит k-й мудрец, уже зада-ны, ответ, который даст k-й мудрец в этойситуации, уже определен. Поэтому k-й муд-рец угадает цвет лишь в одном из n вариан-тов, о которых размышляет судья. Такимобразом, каждый мудрец выигрывает в точ-ности на 1 n от общего числа раскладов.Получается, что в нашем конкурсе мудре-

цы как бы поделили между собой все воз-можные расклады шляп и каждый мудрец«отвечает» за угадывание на раскладах из«своей доли». Тут, однако, стоит уточнить:в момент угадывания ни один из мудрецов незнает, принадлежит ли текущий раскладшляп его доле или нет.Зададимся вопросом: нельзя ли увеличить

количество шляп в таком конкурсе? Ктовыиграет, если, скажем, одному из n мудре-цов – Косте – надевают шляпу одного изn + 1 цветов, а остальным мудрецам – шляпыn цветов? Напомним, что слова «мудрецывыигрывают» означает «выигрывают на всехвозможных раскладах шляп». Если же су-дья может подобрать расклад шляп, длякоторого ни один из мудрецов не угадаетцвет, мудрецы проигрывают.Нетрудно сообразить, что при таком «бес-

хитростном» увеличении числа цветов муд-рецы не смогут выиграть конкурс. Действи-тельно, рассуждая, как в лемме 1, мы уста-

новим, что Костя угадывает лишь на 1

1n-й

доле всех раскладов, а остальные мудрецы

угадывают не больше чем для 1n

n от числа

всех раскладов. Тем самым, суммарное коли-чество раскладов, для которых мудрецывыигрывают, строго меньше числа всех рас-кладов. Хорошо. Тогда изменим вопрос.

Существует ли конкурс, где участвуютn мудрецов, которым выдают шляпы разно-го количества цветов – кому-то больше n,кому-то меньше, причем мудрецы в этомконкурсе всегда выигрывают?Сразу отметим, что есть совершенно оче-

видный способ произвольно увеличиватьчисло шляп. Например, в конкурсе с тремямудрецами дадим двум из них шляпы двухцветов1 , а третьему – шляпы 100 500 цветов.

Мудрецы выиграют! В этом нет ничего уди-вительного: на самом деле, угадывать цветбудут лишь первые два мудреца, причем онибудут это делать, не глядя на третьего. Онипросто будут поступать так, словно участву-ют в конкурсе для двух мудрецов с шляпамидвух цветов! Поэтому внесем в наш вопросдополнительное требование «отсутствия лен-тяев», запрещающее этот случай: потребуем,чтобы при удалении из компании любогомудреца оставшиеся мудрецы не могли бывыиграть.Даже с этим ограничением ответ на вопрос

утвердительный.Лемма 2. В конкурсе для трех мудрецов,

которым дают шляпы 2, 4 и 4 цветов,мудрецы выигрывают.

Доказательство. Введем обозначения длямудрецов и цветов шляп: пусть мудрец Aполучает шляпы цвета 0 или 1, а мудрецы Bи C получают шляпы цветов 00, 01, 10 или11 (можно думать, что это просто обозначе-ния цветов, а желающие могут считать, чтоэто номера цветов, записанные в двоичнойсистеме счисления). Цифры в обозначенияхцветов у мудрецов B и C будем называтьбитами. Пусть мудрецы пользуются следу-ющей стратегией. Мудрец A говорит «0»,если младшие биты (т.е. биты в правомразряде) цветов B и C одинаковы, а впротивном случае он говорит «1». Страте-гия двух других мудрецов такая: они смот-рят, какая шляпа надета на A, сразу пони-мают, при каком соотношении их младшихбитов («равны» или «не равны») мудрец Aугадает свой цвет, и начинают придержи-ваться противоположной гипотезы. Далеемудрец B смотрит на старший бит мудрецаC и говорит свой ответ, исходя из гипотезы,что у него такой же старший бит. А мудрецC смотрит на старший бит мудреца B иговорит ответ, исходя из гипотезы, что унего противоположный старший бит. Лем-ма доказана.Например, пусть мудрецы получают шля-

пы A: 0, B: 01, C: 10. Мудрец A смотрит намладшие биты – у мудреца B это 1, у мудрецаC – 0. Так как биты не совпадают, мудрец Aговорит «1». Мудрецы B и C видят у A цвет0 и принимают предположение, что их млад-шие биты различны. Далее, мудрец B видит,что у мудреца C старший бит равен 1, ипредполагает, что у него старший бит тоже

1 Совершенно вырожденный случай – датькому-то из мудрецов одну шляпу – мы даже неупоминаем.

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 39

равен 1 (а младший бит не такой, как у C).В результате B говорит «11». Мудрец Cвидит, что у мудреца B старший бит равен 0,и предполагает, что у него старший битдругой, т.е. 1 (а младший бит не такой, каку B). В результате C говорит «10».Из рассуждений леммы 2 видно, что каж-

дый раз угадывает ровно один мудрец. Этоподтверждается соотношением

1 1 11

2 4 4.

Задача. Обобщите лемму 2 на случай n == 8, когда мудрецы получают шляпы 2, 4, 8,16, 32, 64, 128, 128 цветов.Итак, по сравнению с исходным конкур-

сом количество шляп может быть сильноувеличено. Для доказательного разговора овозможном числе шляп нам потребуется те-орема Холла о паросочетаниях (лемма освадьбах) 2. Напомним ее формулировку:

Пусть имеется n юношей и несколькодевушек, некоторые юноши знакомы с неко-торыми девушками. Известно, что длялюбого m n любая группа из m юношейзнакома в сумме не менее чем с m девушка-ми. Тогда можно каждому юноше поста-вить в пару одну знакомую девушку (раз-ным юношам будут сопоставлены разныедевушки).

Вернемся к мудрецам. Следующая теоре-ма 3 полностью решает вопрос о том, сколь-ко шляп можно дать мудрецам, чтобы онисмогли выиграть.Теорема. Пусть n мудрецов получают

шляпы 1 2, , , na a a… цветов. Тогда мудрецывыигрывают в том и только том случае,если

1 2

1 1 11

na a a… . (*)

Доказательство. Как и в лемме 1, k-й

мудрец угадывает на 1

ka-й доле всех раскла-

дов шляп. Поэтому если сумма меньше 1, тонайдется расклад, на котором никто не уга-дает.

Докажем теперь, что если выполнено нера-венство (*), то мудрецы выигрывают. За-фиксируем k и разобьем множество всехраскладов шляп на подмножества по kaэлементов аналогично тому, как это проис-ходило в лемме 1. В одно множество раскла-дов поместим расклады, отличающиеся толь-ко шляпой, выдаваемой k-му мудрецу. Болееформально: пусть 1 1 1, , , , ,k k nc c c c c… …

– это способ выдать шляпы всем мудрецам,кроме k-го (здесь ic – это цвет шляпы,которую дадут i-му мудрецу). Этому спосо-бу c поставим в соответствие множество

k

cA

1 1 1, , , , , , : 0 1k k n kc c x c c x a… … ,

которое состоит из ka раскладов шляп.Имея в виду применение теоремы Холла о

паросочетаниях, назовем множества k

cA «де-вушками», а сами расклады шляп – «юноша-ми». Будем говорить, что юноша и девушказнакомы, если расклад шляп является эле-ментом множества k

cA . При этом для каждогоk каждый юноша 1 1 1, , , , , ,k k k nc c c c c… …

знаком ровно с одной девушкой k

cA . Каждаядевушка i

cA знакома ровно с ia юношами.Докажем, что существует паросочетание,

сопоставляющее каждому юноше девушку.Для этого достаточно проверить условиетеоремыХолла. Рассмотрим произвольныйнабор из m юношей. Так как при каждом iдевушка i

cA знакома ровно с ia юношами, тоm юношей для каждого k знакомы в сумме не

менее чем с km a девушками вида k

cA .Суммируя по k, получаем, что общее число

знакомых девушек не меньше 1 2

m m

a a…

n

mm

a… . Условие теоремы Холла выпол-

нено.Итак, существует паросочетание, которое

каждому раскладу шляп ставит в соответ-ствие множество вида k

cA . Отметим, что при

выполнении равенства 1 2

1 1 11

na a a…

это паросочетание фактически отмечает одинэлемент в каждом множестве k

cA . Если же

выполняется неравенство 1 2

1 1 1

na a a…

1 , то «останутся одинокие девушки», т.е.

в некоторых множествах k

cA может не ока-заться ни одного отмеченного элемента.

2 См. например, статью А.Эвнина «Задачи офокусниках и теоремы Холла и Шпернера»(«Квант» №2 за 2019 г.).

3 К.П.Кохась, А.С.Латышев. Игра Hats с про-извольным распределением цветов. – Запискинаучных семинаров ПОМИ, 2019. (Статья нахо-дится в печати.)

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 140

Построенное паросочетание позволяет за-дать стратегию мудрецов. Пусть j-й мудрецдействует по правилу: увидев шляпы дру-гих мудрецов, т.е. набор цветов

1 1 1, , , , ,j j kc c c c c… … , он однозначновосстанавливает множество j

cA . Текущийрасклад шляп является одним из элементовэтого множества. Стратегия состоит в том,что j-й мудрец должен назвать тот цвет,который в множестве j

cA отмечен нашимпаросочетанием (а если отмеченного эле-мента нет, называет цвет произвольно).Поскольку каждый расклад шляп отобра-

жается нашим паросочетанием как отмечен-ный элемент одного из множеств j

cA , дляэтого расклада шляп j-й мудрец угадаетцвет. Теорема доказана.Итак, мы можем варьировать количества

шляп у мудрецов, лишь бы выполнялосьсоотношение (*). Какое же наибольшее чис-ло шляп можно дать мудрецу в нашем кон-курсе? Например, для 8n задача послелеммы 2 утверждает, что можно довестиколичество шляп у одного мудреца до 128. Абольше можно? Это чисто арифметическийвопрос. Благодаря теореме, его можно сфор-мулировать так:

Для каждого n среди всевозможных набо-ров натуральных чисел 1 2 na a a… ,удовлетворяющих условию

1 2

1 1 11

na a a… ,

требуется найти набор, в котором число

na наибольшее.Мы рассматриваем здесь лишь вариант

равенства, потому что, как оказывается, от-вет не изменится, если рассматривать набо-ры, где вместо равенства выполняется нера-венство (*) и опять добавлено требование«отсутствия лентяев», состоящее в выполне-

нии неравенства 1 2 1

1 1 11

na a a… . (Это

неравенство означает, что даже без n-го

мудреца, который угадывает на наименьшем

числе раскладов, остальные проиграют.)Чтобы найти кандидата на роль ответа,

воспользуемся трюком: если для наборе с«очень большим» числом na заменить дробь

1

na на сумму двух дробей

1 1

1 1n n na a a,

или, что то же самое, заменить число na на

два числа 1na и 1n na a , то мы получимнабор n + 1 чисел, в котором наибольшеечисло – 1n na a – «совсем огромное».Действуя таким образом, мы из единственно-го при 2n набора (2, 2) последовательнополучим наборы: (2,3,6), (2, 3, 7, 42),(2, 3, 7, 43, 1806) и т.д. Последователь-ность чисел 2, 3, 7, 43, 1807, … называетсяпоследовательностью Сильвестра, обозна-чим ее через ns . Она удовлетворяет неслож-ному рекуррентному соотношению

21 1 1 1n n n n ns s s s s .

Последовательность Сильвестра дает от-вет на наш арифметический вопрос:

Утверждение. Набор чисел 1 2 1, , , ,ns s s…

1ns и есть тот набор, который содер-жит максимально возможное число na

1ns . Кроме того, на этом наборе дости-гают максимального (по всем наборам)значения сумма 1 2 na a a… и произве-дение 1 2 na a a… .Хотя действия, с помощью которых пост-

роен наш набор, кажутся весьма разумными,доказать это утверждение не так-то просто.Мы не будем его доказывать: в «Кванте» наэту тему уже была публикация – см. статьюО.Ижболдина, Л.Курляндчика «Разбиениеединицы» («Квант» № 7 за 1987 г.).

Возвращаясь к шляпам и применяя рекур-рентное соотношение для последовательнос-ти Сильвестра, мы с некоторыми усилиямиможем найти, что 5 1807s , 6 3263443s ,

7 10650056950807s . Наконец, при n = 8наибольшее число шляп, для которого муд-рецы выигрывают, равно

8 1 113423713055421844361000442s .

Число n = 8 и слова «большие числа»вызывают ассоциацию с задачей о числезерен на шахматной доске. Помните, какуюнаграду попросил себе изобретатель шах-мат: «на первую клетку положи 1 зерно, навторую 2 зерна, на третью 4 зерна»? Общеечисло зерен на шахматной доске оказалосьравно

642 1 18446744073709551615 .

Но по сравнению с числом шляп это такиемелочи...

Новосибирский государственныйуниверситет

Ф И З И К А

Письменный экзамен

1. Человек может бежать, ускоряясь изамедляясь с максимальным по абсолютнойвеличине ускорением a. Какое минимальноевремя ему понадобится, чтобы стартуя снулевой начальной скоростью добежать достенки, находящейся от него на расстоянииL, развернуться и добежать до начальнойточки? У стены его скорость должна бытьнулевой (чтобы не удариться).

2. На дне очень глубокого озера глубинойH находится открытая бутылка, которая загорлышко привязана веревкой к камню, ле-жащему на дне. В бутылке остался воздух, иона плавает, натягивая веревку с силой F.Температура T. Универсальная газовая по-стоянная R. Найдите количество молей воз-духа в бутылке. Объемом и массой стенокбутылки пренебречь.

3. Треугольный клин с углом у основа-ния лежит на гладком столе и упирается ввертикальную стенку, как показано на ри-сунке 1. Если на клин положить шайбу и

ударом придать ей некоторую скорость вверхвдоль клина, то сила давления клина навертикальную стенку будет равна 1F . А еслипридать шайбе некоторую скорость внизвдоль клина, то сила давления клина навертикальную стенку будет равна 2F . Най-дите коэффициент трения шайбы о клин.

4. На RC-цепочку, состоящую из после-довательно соединенных резистора и кон-денсатора, подают импульсы напряжения самплитудой 0U малой длительности каж-дые T секунд (рис.2). (За время импульса ив промежутках между ними заряд на конден-саторе меняется слабо: T RC≪ .) В началь-

ный момент конденсатор не заряжен. Восколько раз средняя мощность тепловыделе-ния в цепи в начале процесса подачи импуль-сов больше средней мощности тепловыделе-ния через большое время?

5. Оцените, какую силу нужно прило-жить, чтобы удержать окно, на которое дуетветер средней силы. Предполагается, что выхорошо представляете явление, можете самизадать необходимые для решения задачивеличины, выбрать их численные значения иполучить численный результат.

Внимание! Задача считается решенной,если помимо правильного ответа приведенынеобходимые объяснения.

Открытая межвузовская олимпиада«Будущее Сибири»

ПЕРВЫЙ (ОТБОРОЧНЫЙ) ЭТАП

Интернет-тур

8 класс

1. Боря и Света решили заняться спортив-ной ходьбой. Они стартуют из одной точкидорожки стадиона в одном направлении идвигаются с одинаковым темпом, т.е. совер-шают одинаковое количество шагов в едини-цу времени. Длина шага Бори Бl = 70 см,а Светы Сl = 50 см. К моменту, когда онивновь оказались в одной точке, Света про-шла путь s = 1000 м. Чему равна длина Lдорожки стадиона?

2. Боря положил кусочек льда при0 CT на чашечные весы. Затем он стал

капать на него из капельницы горячей водойи записывать результаты измерения темпе-

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е М А Т Е Р И А Л Ы

Рис. 1

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 142

ратуры и массы содержимого в чашке весовот времени. Экспериментальные точки Борянанес на графики и соединил их плавнымилиниями (рис.3). Найдите температуру воды

в капельнице, зная, что удельная теплоем-кость воды 4200 Дж кг Кc , удельнаятеплота плавления льда 336000 Дж кг .Чаша весов теплоизолирована.3. В первом теплоизолированном сосуде

находятся в равновесии вода и кусочек льдаобщей массой 500 г. Воду из этого сосудаперелили во второй такой же сосуд, оставивкусочек льда в первом. Затем в оба сосуданалили одинаковое количество горячей водыодинаковой температуры. После наступле-ния равновесия температура воды в обоихсосудах оказалась одинаковой и равной10 С . Сосуды поставили на чаши весов,первый – на левую, второй – на правую.Груз какой массы и на какую чашу весовнужно положить, чтобы весы пришли вравновесие? Удельная теплоемкость воды

4200 Дж кг Кc , удельная теплота плав-ления льда 336000 Дж кг .4. Прямоугольный брусок, основание ко-

торого – квадрат со стороной a, подвешен кдинамометру так, что ниж-няя его часть погружена вводу плотностью , нали-тую в прямоугольный ак-вариум, основание кото-рого – квадрат со сторо-ной b (рис.4). Динамо-метр показывает значениесилы 1F . Динамометр опу-стили немного вниз так,что его показания умень-

шились до значения 2F . На какую высоту приэтом опустился брусок?

9 класс

1. См. задачу 1 письменного экзамена.2. В первом теплоизолированном сосуде

находятся в равновесии вода и кусочек льда

общей массой 2 кг. Воду из этого сосудаперелили во второй такой же сосуд, оставивкусочек льда в первом. Затем в оба сосуданалили по 720 г горячей воды неизвестнойтемпературы. После наступления равнове-сия температура воды в обоих сосудах ока-залась одинаковой и равной 20 C . Найди-те температуру горячей воды. Удельнаятеплоемкость воды 4200 Дж кг Кc ,удельная теплота плавления льда

336000 Дж кг .3. Внутри запаянной банки находится твер-

дый предмет. Боря решил измерить его мас-су. Для этого он измерил общую массу mбанки с предметом. Затем он на ровнойгладкой поверхности разогнал банку до ско-рости v и привел ее в столкновение с гори-зонтальным динамометром, показания ко-торого как функция времени приведены нарисунке 5. Боря не помнит единицы из-мерения силы и времени на графике. По-

могите ему найти массу пm предмета, ис-ходя из имеющихся данных. Трением пре-небречь.4. В двух спаянных непроводящих труб-

ках с площадью сечения S и 4S находитсяпроводящая жидкость с удельным сопротив-лением , зажатая между двумя проводя-щими невесомыми поршнями (рис.6). Под-

вешенная за место спая трубка, в равновесиизанимает горизонтальное положение. Рас-стояние между поршнями L. Чему будетравно сопротивление R, измеренное междуними? Массой самих трубок пренебречь.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Э К З А М Е Н А Ц И О Н Н Ы Е М А Т Е Р И А Л Ы 43

10 класс

1. В двух спаянных непроводящих труб-ках с площадью сечения S и 4S находитсяпроводящая жидкость объемом V с удель-ным сопротивлением , зажатая между дву-мя проводящими невесомыми поршнями (см.рис.6). Подвешенная за место спая трубка вравновесии занимает горизонтальное поло-жение. Чему будет равно сопротивление,измеренное между поршнями? Массой са-мих трубок пренебречь.2. Автомобиль движется в безветренную

погоду по горизонтальному шоссе. При дви-жении с той же скоростью, но при наличиипостоянного попутного ветра мощность силытяги автомобиля уменьшилась в 16 9 раз.Во сколько раз возросла бы мощность силытяги автомобиля, если бы тот же ветер былвстречным? Считайте, что сила сопротивле-ния воздуха пропорциональна квадрату ско-рости.3. См. задачу 3 письменного экзамена.4. Автомобиль, имеющий все ведущие

колеса (4WD), поднимается по горному шоссе(«серпантину»), постоянный угол наклонакоторого . Автомобиль подъезжает к пово-роту такому, что прямоугольная проекцияэтого поворота на горизонтальную плос-кость представляет собой дугу радиусом R.Какую максимальную скорость может иметьавтомобиль на таком повороте, чтобы несвалиться в пропасть? Коэффициент тренияколес о шоссе , ускорение свободногопадения g. Влиянием воздуха пренебречь.

11 класс

1. См. задачу 2 письменного экзамена.2. Боря и Света вдалеке друг от друга

собирают буквы «Б» и «С» соответственноиз одинаковых непроводящих палочек, на-ходящихся изначально на большом расстоя-нии друг от друга. Палочки заряжены оди-наково и равномерно (чтобы палочки неразлетались, ребята закрепляют их непрово-дящими булавками). На сколько большуюработу совершил Боря по сравнению соСветой, если известно, что для сближениядвух палочек так, чтобы они расположилисьпо противоположным сторонам квадрата,нужно совершить работу A

P, а чтобы они

расположились по смежным сторонам квад-рата – работу A ?3. См. задачу 4 письменного экзамена.

4. В космосе обра-зовалась однороднаясферическая оболочкарадиусом R и массойM малой толщины.Небольшой кусок обо-лочки, имеющий фор-му диска радиусом a(диск можно считатьпрактически плоским), откололся, летит кцентру и в настоящий момент находится нарасстоянии 2R от центра (рис.7). Какаясила действует на небольшое тело массой m,находящееся в центре оболочки? Гравитаци-онная постоянная равна G.

Вариант 1

8 класс

1. Школа находится между двумя авто-бусными остановками 1A и 2A (рис.8).

Школьник заметил, что на какой бы останов-ке он ни выходил, он всегда приходит вшколу в одно и то же время. Найдите, восколько раз расстояние от первой остановкидо школы больше расстояния от второйостановки до школы. Считайте, что скоростиавтобуса и школьника постоянны и равны

40 км чv и 5 км чu соответственно, аавтобус ходит строго по расписанию. Време-нем остановки можно пренебречь.2. Школьник обратил внимание, что

подъем на эскалаторе в метро, если стоять нанем неподвижно, занимает 1t = 90 с. Еслипройти вперед n = 10 ступеней, то подъемзаймет 2t = 70 c. Сколько ступеней N ус-пел пройти вперед школьник за время подъе-ма эскалатора, если время подъема состави-ло 3t = 30 с?3. Деревянный брусок плотностью в

виде кубика со стороной a плавает в водеплотностью 0 , как показано на рисунке 9.Через некоторое время брусок разбух так,что каждая его сторона увеличилась в k раз,

Рис. 7

Рис. 8

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 144

а глубина, на которую он погружен в воду,увеличилась на h . Найдите, какой объемводы впитал брусок.4. Сплошной прямоугольный брусок раз-

мерами 10 5 3a b c см лежит на днепрямоугольного сосуда с водой на самойбольшой по площади грани (рис.10). Приэтом высота уровня воды в сосуде составляет

1h = 4 см. Если брусок поставить на сред-нюю по площади грань, то высота уровняводы в сосуде станет равной 2h = 3 см.Найдите высоту уровня воды в сосуде 3h ,если брусок поставить на самую маленькуюгрань.

9 класс

1. См. аналогичную задачу 1 для 8 класса.2. В вертикальной закрытой снизу трубке

расположены на одинаковом расстоянии другот друга 6 одинаковых металлических шаровдиаметром D (рис.11). Центр нижнего шара

находится на высоте 2D над дномтрубки, следующего – на высоте4D и т.д. На месте шары удержи-ваются тонкими палочками, встав-ленными в стенки трубки. Палоч-ку под верхним шаром резко уби-рают, он падает и ударяется овторой, при этом ломается втораяпалочка. Далее при ударах следу-ющие палочки также ломаются иперестают удерживать шары. Най-дите, через какое время послевыдергивания палочки нижнийшар ударится о дно трубки. Уско-рение свободного падения равноg. Соударения шаров упругие.Потерями энергии при разруше-

нии палочек, влия-нием воздуха, тре-нием между шара-ми и стенками пре-небречь.3. Прямоуголь-

ник ABCD сделаниз однородной проволоки (рис.12). Еслиизмерить сопротивление между точками A иB, то оно окажется в k раз больше, чемсопротивление, измеренное между точкамиB и C. Определите, во сколько раз отличают-ся длины сторон прямоугольника.4. Два сферических поплавка массой m и

радиусом R связаны легкой веревкой длинойL и плавают, наполови-ну погруженные в жид-кость (рис.13). К сере-дине веревки цепляютгруз, и вся система то-нет. Какое натяжениеимеет веревка в зато-нувшей системе, когдагруз покоится на дне?Ускорение свободногопадения равно g.

10 класс

1. См. аналогичную задачу 2 для 8 класса.2. Три бруска одинаковой массы М поло-

жили друг на друга. Бруски попарно соеди-нили нерастяжимыми нитями, которые пере-кинуты через блоки, как показано на рисун-ке 14. Определите минимальную силу, кото-рую надо приложить к верхнему бруску для

того, чтобы сдвинуть его с места. Нити непровисают, коэффициент трения между по-верхностью любого бруска и касающейся егоповерхностью равен . Ускорение свобод-ного падения равно g.3. К одной точке прикреплены два маятни-

ка, представляющие собой маленькие шари-

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14


ки массой 1m и 2m ,закрепленные на лег-ких нерастяжимыхнитях одинаковой дли-ны (рис.15). Маятни-ки одинаково отклоня-ют в перпендикуляр-ных плоскостях так,что каждый шарик под-нимается на высоту H,

и одновременно отпускают. Двигаясь вниз,шарики сталкиваются и слипаются. На ка-кую максимальную высоту h поднимутсяслипшиеся шарики в процессе последующе-го движения? Влиянием воздуха пренеб-речь.4. В высокий металлический цилиндричес-

кий сосуд соосно вставлен металлическийцилиндрический стержень, диаметр которо-го немного меньше внутреннего диаметра

внешнего цилиндра (рис.16).Пространство между цилиндроми стенкой частично заполнилипроводящей жидкостью так, чтозазор оказался заполненным навысоту, много большую, чем диа-метр стержня. Измерили сопро-тивление между стержнем и стен-кой. Оно оказалось равным 1R .В зазор долили жидкость так,что высота столба жидкости уд-воилась. При этом сопротивле-

ние оказалось равным 2R . Каким будетсопротивление между стержнем и цилинд-ром, если опять долить жидкость так, чтобывысота столба жидкости удвоилась относи-тельно предыдущего шага?

11 класс

1. Прямоугольный параллелепипед сде-лан из проводящего материала и имеет объемV. Школьник измерял сопротивление междупротивоположными гранями этого паралле-лепипеда и получил три разных значения

1R , 2R и 3R . Найдите, чему равно удельноесопротивление материала, из которого изго-товлен параллелепипед.2. Открытая стеклянная маленькая баноч-

ка с некоторым количеством воздуха внутриориентирована вверх дном и находится вравновесии в бассейне на некоторой глубинев воде плотностью (рис.17). В этом местедавление воды 0p . Температура воды в

бассейне 0T . Воду в бас-сейне нагрели, при этомбаночка медленно пе-реместилась (без изме-нения ее ориентации)на величину H вниз иснова оказалась в рав-новесии. На какую ве-личину T повысилитемпературу воды вбассейне? Ускорение свободного паденияравно g. Температурной зависимостью плот-ности воды пренебречь.3. См. аналогичную задачу 2 для 10 клас-

са.4. На горизонтальной поверхности вплот-

ную к стене стоит тележка массой M (рис.18).В центре тележки закреплен вертикальныйстержень, к которому одним концом привя-зана нерастяжимаянить. К другому кон-цу нити привязан ма-ленький грузик мас-сой m. Грузик откло-нили вправо в сторонустены на угол 90 иотпустили. На какоймаксимальный угол отклонится нить вле-во в процессе движе-ния системы? Считайте, что в процессе дви-жения тележка не наклоняется. Трением ивлиянием воздуха можно пренебречь.

Вариант 2

8 класс

1. Боря и Света бегают по стадиону спостоянными скоростями, Боря в 4/3 разабыстрее Светы. Стартуя одновременно изцентра стадиона, они бегут 7 секунд подпрямым углом друг к другу, а затем, повер-нувшись, бегут навстречу друг другу. Черезкакое время после поворота они встретятся?2. В тонкостенную кастрюлю, плавающую

в жидкости плотностью

0 , налили другуюжидкость плотностью

и объемом V (рис.19). Уровень жидко-стей внутри и снаружикастрюли совпал. Най-дите массу кастрюли.

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 146

3. Школьнику захотелось узнать, из ка-кого материала сделан старинный игрушеч-ный солдатик, подаренный ему дедушкой.Для этого он решил измерить его плотность.На воду в прямоугольном прозрачном плас-тиковом контейнере он опустил игрушечнуюлодочку и маркером отметил уровень воды.Затем посадил солдатика в лодочку и за-метил, что уровень воды поднялся на 1h == 29 мм выше метки. После чего, не убираялодочки из контейнера, он бросил солдатикав воду. При этом солдатик оказался полно-стью погруженным в воду, а уровень водыстал на 2h = 4 мм выше метки. Найдитеплотность материала, из которого сделансолдатик. Плотность воды 3

0 1000 кг м= .4. К одному плечу разноплечих рычаж-

ных весов подвесили тело неизвестной плот-ностью , к другому плечу на расстоянии 1lподвесили грузик, и система оказалась вравновесии (рис.20). Затем тело полностью

погрузили в жидкость плотностью 0 , агрузик перевесили так, что теперь он оказал-ся на расстоянии 2l . При этом система сноваоказалась в равновесии. Найдите плотностьтела . Плечи весов считать невесомыми.

9 класс

1. Равнобедренный треугольник ABC, укоторого стороны AB и BC равны, сделан изоднородной проволоки. Если измерить со-противление между точками A и B, то оноокажется в k раз больше, чем сопротивление,измеренное между точками A и C. Найдите,во сколько раз отличаются длины сторонAB и AC.2. Пустотелый тонкостенный цилиндр

катится без проскальзывания по горизон-тальной плоскости со скоростью v (рис.21).Горизонтально летящая пуля попадает вмаленькое отверстие, проделанное в цилин-дре в точке A. Радиус цилиндра, проведен-ный через точку A, образует угол 30o свертикалью. При дальнейшем движении пуля

вылетает через то же отверстие, при этомцилиндр не успевает сделать полный оборот.Найдите скорость пули. Силы тяжести нет.3. Однородный цилиндр массой M поко-

ится в желобе, образованном двумя плоско-стями, наклоненными под углами и кгоризонту (рис.22). Найдите разность сил

реакции опор, действующих на цилиндр.Ускорение свободного падения равно g. Тре-ния нет.4. Конструкция (рис.23) состоит из трех

одинаковых рычагов, шарнирно закреплен-

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23


ных между собой таким образом, что ихможно поворачивать в горизонтальной плос-кости относительно общей оси крепления.Конструкция подвешена с помощью нити зашарнир. В равновесии угол между любымидвумя рычагами равен 120o. Если положитьна конец одного из рычагов игрушечныйкубик, то для уравновешивания конструк-ции необходимо повернуть два других рыча-га так, чтобы угол между ними стал равным

60=o. Определите, какой угол нужно

установить между двумя рычагами, чтобыконструкция оказалась в равновесии, еслиположить два таких же кубика на концыдвух рычагов.

10 класс

1. Окно расположено на высоте H отземли. На расстоянии L от окна по горизон-тали стоит сосна, у основания которой наземле сидит белка. Белка увидела, что изокна горизонтально бросают орех в сторонусосны со скоростью v, и побежала верти-кально вверх по сосне. С какой постояннойскоростью нужно бежать белке, чтобы пой-мать орех? Ускорение свободного паденияравно g, влиянием воздуха пренебречь.2. См. задачу 3 для 8 класса.3. Школьнику на 17-летие подарили 17

воздушных шаров, наполненных гелием. Онрешил узнать, сколько карандашей можноподнять в воздух с их помощью. Он сталпривязывать шары к концу карандаша неве-сомой нитью. Когда он привязал 3 шара,

карандаш все еще ле-жал на столе. Когда онпривязал 4 шара, ко-нец карандаша, к кото-рому были привязанынити, поднялся над сто-лом. При этом, каран-даш опирался на столпротивоположным кон-цом (рис.24). Какоемаксимальное количе-ство карандашей мож-но поднять в воздух,чтобы они не касались

стола, с помощью 17 воздушных шаров? Всешары и карандаши одинаковые.4. Два автомобиля имеют все ведущие

колеса и достаточную мощность двигателя,чтобы обеспечить максимальную силу тяги,

которую позволяет дорога. Минимальноевремя разгона со старта автомобиля массой

1M до скорости v равно 1t , а минимальноевремя разгона до той же скорости автомоби-ля массой 2M равно 2t . Автомобили соеди-нили «жесткой сцепкой» (рис.25), и этоттандем стартовал одновременно. За какое

время сцепленные автомобили достигнутскорости v? Сопротивлением воздуха пре-небречь.

11 класс

1. Три одинаковые непроводящие палоч-ки массой m каждая, равномерно и одинако-во заряженные, удерживаются совмещенны-ми и прижатыми друг к другу (рис.26).Одну из палочек отпускают, продолжая удер-

живать оставшиеся. Найдите ее скорость набольшом расстоянии, если известно, что длясовмещения двух палочек, изначально нахо-дящихся на большом расстоянии, необходи-мо совершить работу A.2. Закрытая снизу и открытая сверху тру-

ба стоит вертикально (рис.27). Ее заполни-ли идеальным газом и прикрыли невесомымгерметичным поршнем площади сечения Sтак, что поршень зафиксировался на высоте

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 148

H. Внизу трубы имеется «стравливающий»клапан, который выпускает газ, если давле-ние превышает некоторое неизвестное значе-ние. Если давление становится ниже этогозначения, то клапан закрывается. На пор-шень поставили груз массой M и отпустили.Сколько молей газа вышло из трубы, если врезультате поршень после того, как темпера-тура газа стала снова равной температуреатмосферы 0T , остановился на высоте 4H ?Трением между поршнем и стенкой трубыпренебречь. Ускорение свободного паденияg, универсальная газовая постоянная R, ат-мосферное давление 0p известны.3. Из тонкой бумажной ленты длиной L и

двух цилиндрических валиков радиусом Rсоорудили транспортер, как показано нарисунке 28. С высоты H падает маленький

камень в середину транспортера и пробиваетотверстие в бумажной ленте. Найдите, скакой минимальной постоянной скоростьюдвигалась лента транспортера, если извест-но, что камень при дальнейшем падении ещераз попал в это же отверстие. Ускорениесвободного падения равно g. Потерями энер-гии на разрыв камнем бумаги, а также вли-янием воздуха пренебречь.4. Автомобиль движется с постоянной ско-

ростью v по окружности радиусом R нанаклонной плоскости с углом у основания(рис.29). При каком минимальном коэффи-

циенте трения колес о плоскость это возмож-но? Ускорение свободного падения равно g.Влиянием воздуха пренебречь.

Рис. 28

Рис. 29

ВТОРОЙ (ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ) ЭТАП

8 класс

1. Старик добирался на моторной лодке насвою дачу, которая находилась на островениже по течению. Время t он шел на моторе,который затем заглох. Через время послеэтого его снесло течением к даче. Весь обрат-ный путь домой старик шел на моторе. Доместа, где у него заглох мотор по пути надачу, он шел время T. Сколько времени емуеще потребуется, чтобы добраться до дома?2. В термос с горячей водой по очереди

бросили два одинаковых кубика льда. Гра-фик зависимости температуры в термосе Tот времени t представлен на рисунке 30.

Определите температуру льда. Удельнаятеплоемкость льда л 2100 Дж кг градc ,удельная теплоемкость воды

в 4200 Дж кг градc , удельная теплотаплавления льда 336000 Дж кг. Термостеплоизолирован, теплоемкостью его сте-нок, а также теплообменом с окружающейсредой можно пренебречь.3. Линейка лежит одним концом на опо-

ре, другим – на весах (рис.31). Вторую

линейку, на концах которой лежат два гру-за, положили крест-накрест на первую так,что вся система находится в равновесии.

Рис. 30

Рис. 31


При этом расстояния от перекрестия догрузов оказались равными 1l и 2l , а отперекрестия до опоры и весов oL и вLсоответственно. Весы показывают вес P.Чему равны массы каждого из грузов? Ли-нейки узкие и невесомые, ускорение сво-бодного падения равно g.4. В аэропорту для перехода пассажиров

между терминалами работает многополос-ный траволатор – постоянно движущийсяленточный тротуар (рис.32). Скорость 1-й

ленты 1 1 м сv , 2-й ленты 2 2 м сv ит.д. Скорость самой скоростной 10-й ленты

10 10 м сv . Пассажир заходит на траво-латор (через его 1-ю ленту) и черезT = 30 c сходит с него (с его первой лен-ты). На каком максимальном расстоянииот первоначальной точки A он может приэтом оказаться, если ему разрешено дви-гаться только перпендикулярно движениюлент (в том числе и переходя с ленты наленту) со скоростью, не превышающей поабсолютной величине 1,5 м сu ? Ширинакаждой ленты траволатора L = 3 м.

9 класс

1. См. задачу 1 для 8 класса.2. У Пети имеется большое количество

маленьких пластиковых шариков, и он хо-чет найти плотность материала, из кото-рого они изготовлены. Для этого он поста-вил на весы пустой цилиндрический сосудобъемом V и измерил его вес, равный 1P .Затем он доверху насыпал в стакан шари-ки и начал медленно наливать в стаканнекоторую жидкость. В момент, когда ша-рики начали всплывать, вес оказался рав-ным 2P . Найдите плотность . Ускорениесвободного падения равно g.3. У школьника имеются три электри-

ческих прибора: батарейка, вольтметр и ам-перметр. Все приборы неидеальные, т.е.обладают конечным сопротивлением.Школьник соединил все приборы последо-вательно, при этом вольтметр показывал

1U = 10 В, а амперметр – 1I = 0,1 А. За-

тем школьник соединил все приборы па-раллельно. В этом случае вольтметр пока-зывал 2U = 1 В, а амперметр – 2I = 1 А.Определите ЭДС батарейки.4. Длинную однородную массивную це-

почку медленно перетягивают через непод-вижную наклонную горку с помощью лег-кой нерастяжимой нити, привязанной к кон-цу цепочки (рис.33). Нить перекинута че-

рез блок, и к ее концу привязан динамо-метр. График зависимости показаний дина-мометра от перемещения конца нити пока-зан на рисунке. Определите массу цепоч-ки. Ускорение свободного падения

210 м сg . Трения нет.5. Две старинные пушки нацелены так,

чтобы попасть друг в друга. Левая пушкавыстреливает ядро массой 1m = 10 кг, аправая стреляет ядром массой 2m = 2 кг.Пушки стреляют одновременно, ядра стал-киваются лоб в лоб и слипаются. На какомрасстоянии от левой пушки упадут слип-шиеся ядра, если расстояние между пушка-ми L = 600 м? Влиянием воздуха пренеб-речь.

10 класс

1. Горка представляет собой наклоннуюплоскость, внизу плавно сопряженную с

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 150

горизонтальной плоскостью (рис.34). Сан-ки, находящиеся на горке на высоте h,толкнули вниз, сообщив им некоторую на-чальную скорость вдоль горки. После этогосанки остановились на горизонтальной плос-кости, преодолев по горизонтали расстоя-ние L. На какое еще расстояние х проедутсанки, если им опять сообщить ту же на-чальную скорость? Коэффициент трениямежду санками и горкой (а также горизон-тальной плоскостью) равен . Участок зак-ругления горки короткий.2. Вертикальная трубка сечением S по-

гружена на глубину H в жидкость плотнос-тью (рис.35). В трубку вставлен легкий

поршень, подпертый недеформированнойпружиной жесткостью k. Жидкость под пор-шнем начинают нагревать при помощи спи-рали, расположенной у нижнего конца труб-ки. В результате плотность жидкости в труб-ке уменьшается до 0 . На какую высоту xподнимется поршень? Оба конца трубкиоткрытые. Трением пренебречь. Ускорениесвободного падения равно g.3. Электрическая цепь собрана из иде-

ального источника ЭДС, идеальных вольт-метра и амперметра и трех резисторов. Со-противления резисторов равны

1R = 6 кОм, 2R = 3 кОм и 3R = 2 кОмсоответственно. ЭДС источника E = 9 В,вольтметр показывает U = 6 В, а ампер-метр – I = 0,5 мА. Нарисуйте описаннуюэлектрическую цепь, обозначив на рисункевсе элементы.4. Длинная доска массой M покоится в

горизонтальном положении на валиках(рис.36). У самого края доски ее сверху ссилой F придавливают вращающимся с уг-ловой скоростью валиком радиусом R.

Сколько оборотов совершит верхний валикк моменту, когда скорость доски станет мак-симальной? Трением между доской и ниж-ними валиками пренебречь. Длина доскиL. Коэффициент трения между поверхнос-тями верхнего валика и доски равен .5. Система состоит из двух шариков оди-

накового объема и массой 1m и 2m и двухблоков – подвижного и неподвижного(рис.37). Шарик массой 1m прикреплен к

подвижному блоку, а массой 2m – к нити,перекинутой через два блока и закреплен-ной на дне. Система погружена в жидкостьи находится в равновесии. На сколько из-менится сила давления жидкости на днососуда, если перерезать нить? Массой бло-ков и нити, а также их объемом пренеб-речь. Трения нет. Ускорение свободногопадения равно g.

11 класс

1. В цилиндрическом сосуде под невесо-мым поршнем находится воздух (рис.38).

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38


На поршень налита вода плотностью слоем высотой 2h . В равновесии высотапоршня над дном сосуда равна 1h . Цилиндрзакрывают герметичной крышкой, распо-ложенной на высоте 3h над поверхностьюводы. Через некоторое время поршень про-худился, и вся вода оказалась внизу. Чемуравно давление воздуха в сосуде? Атмос-ферное давление равно 0p , ускорение сво-бодного падения равно g, трения нет. Тем-пература постоянна.2. Два одинаковых шарика массой m каж-

дый соединены непроводящей пружинкойжесткостью . В начальном положениишарики неподвижны, пружинка не растя-нута, а ее длина равна l. Шарики заряди-ли одинаковыми зарядами q, и они началиразлетаться в разные стороны. При какойминимальной величине q пружинка порвет-ся, если известно, что она выдерживаетмаксимальную силу F?3. На гладкой горизонтальной плоскости

неподвижно лежат два маленьких шарика.Они соединены невесомой нерастяжимойнитью, которая вначале была распрямлена(рис.39; вид сверху). Центр нити начина-

ют перемещать вдоль плоскости с некото-рой постоянной скоростью, направленнойперпендикулярно начальной ориентациинити. Шарики сталкиваются первый разпод углом к начальной ориентации нити,равным, очевидно, 90 . Под каким углом кначальной ориентации нити они столкнутсяво второй раз, если их массы равны 7m и5m, а столкновения абсолютно упругие?4. В двух противоположных квадрантах

плоскости xy (заштрихованы на рисунке

40) имеется однородное магнитное поле синдукцией B, направленное вдоль оси z.Частицу с зарядом e и массой m запустилитак, что она движется в плоскости xy позамкнутой траектории. Найдите период дви-жения частицы по этой траектории.5. Оцените, какое максимальное стати-

ческое напряжение относительно земли мо-жет быть на человеке, окруженном зазем-ленными предметами (деревьями, бетонны-ми стенами, батареями отопления и т.д.),если известно, что электрическая прочностьвоздуха на пробой 30 кВ смE . Предпо-лагается, что вы хорошо представляете яв-ление, можете сами задать недостающие вусловии задачи величины, выбрать их чис-ленные значения и получить численный ре-зультат.

6. Задача-демонстрация (демонстрирует-ся видеоролик). Луч лазерной указки на-правлен под углом к горизонтальной по-верхности стола (рис.41). Если на пути

лазерного луча разместить тонкий верти-кальный металлический стержень круглогосечения, на столе образуется светящаясяокружность с центром в месте нахождениястержня. Если заменить стержень круглогосечения на вертикальный стержень с не-правильной (не круглой) формой сечения,светящаяся линия на столе все равно имеетформу окружности. Объясните наблюдае-мое явление.

Публикацию подготовили В.Боровков,Е.Жданов, А.Киприянов, С.Лежнин,

М.Махмудиан, А.Ненашев, Е.Пальчиков,А.Погосов, Д.Похабов, Г.Федотович

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 152

Инженерная олимпиадашкольников

В течение нескольких лет ряд ведущих тех-нических университетов России – Нацио-нальный исследовательский ядерный универ-ситет МИФИ, Российский университет транс-порта (МИИТ), Санкт-Петербургский государ-ственный электротехнический университет«ЛЭТИ», Нижегородский государственный тех-нический университет имени Р.Е.Алексеева иСамарский национальный исследовательскийуниверситет имени академика С.П.Королева –проводят необычную олимпиаду, посвящен-ную физике в технике, физике вокруг нас,физике в жизни человека.

Эту олимпиаду организаторы назвали Инже-нерной олимпиадой школьников, чтобы под-черкнуть, что она больше, чем по физике. Взаданиях олимпиады встречались задачи, по-священные работе многих инженерных уст-ройств – прокатного стана, дифференциалаавтомобиля, механизма Липкина–Посселье,подвесного моста, жидкостного насоса, угол-кового отражателя и той физике, на основекоторой они работают. Нам кажется, что зада-ние Инженерной олимпиады школьников не-множко сокращает интервал между школьнойфизикой и физикой, помогающей жить чело-веку, и показывает, какой интересной можетбыть профессия инженера.

В 2018/19 учебном году отборочные турыИнженерной олимпиады школьников прошлиболее чем на 30 площадках в нашей стране, атакже в Армении, Казахстане, Киргизии, Узбе-кистане.

Инженерная олимпиада школьников входитв Перечень олимпиад школьников, поэтому еепобедители и призеры получают особые правапри поступлении в любые вузы РФ, а гражданеиностранных государств могут претендоватьна обучение в российских вузах за счет средствгосударственного бюджета РФ (в рамках квотРоссотрудничества РФ).

Ниже приводятся избранные задачи заклю-чительного тура Инженерной олимпиады 2018/19 учебного года. (Невошедшие сюда задачибыли опубликованы в «Задачнике «Кванта» в№5 за 2019 год.)

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГОТУРА ОЛИМПИАДЫ

1. Имеются две лампочки. Одна, мощнос-тью 1 110P Вт, рассчитана на работу вбытовой электрической сети напряжением

1 220U В. Вторая лампочка, от карманногофонарика, рассчитана на напряжение

2 3,5U В и силу тока 2 0,28I А. Лам-почки соединяют последовательно и под-ключают к бытовой электрической сети.Перегорит ли какая-нибудь из лампочек?Считать, что нити накала лампочек в любоймомент времени имеют сопротивление рабо-чего режима.2. Инженеры-взрывотехники, изучая взрыв

экспериментального субъядерного заряда,установили, что сразу после взрыва зарядпревращается в шарообразное однородноеоблако мельчайшей пыли радиусом R иплотностью 0 . Начальная скорость v каж-дой пылинки облака направлена от его цен-тра и пропорциональна расстоянию r донего: v = Hr, где H – известный коэффици-ент. Считая, что в дальнейшем скоростипылинок не меняются, определите плотностьпыли на расстоянии x от центра облака черезвремя t после взрыва.3. В распоряжении инженера имеются

пять электрических лампочек: три с номи-нальной мощностью 1 40P Вт и две сноминальной мощностью 2 60P Вт. Вселампочки рассчитаны на напряжение U == 110 В. Как следует подключить эти лам-почки к бытовой электрической сети напря-жением 1 220U В, чтобы все они горелинормальным накалом?4. В конце 19 века в связи с развитием

машиностроения велись интенсивные рабо-ты по преобразованию одного движения вдругое. Например, вращательного в движе-ние по прямой или в s-образное. Тогда мате-матики вспомнили о лемме, доказанной мно-го лет назад (в 13 веке) известным персидс-ким математиком Насиром ад-Дином Туси.Условие этой леммы сводится к следующе-му. Пусть по внутренней поверхности поло-

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 53

Рис. 1

Рис. 2

го цилиндра с внутренним радиусом R катит-ся без проскальзывания диск радиусом 2R .Вопрос: какой будет траектория движения

точки на поверхнос-ти диска, напримерточки А на рисун-ке 1? Получите от-вет и обоснуйте его.Найдите зависимостьвеличины скороститочки А от времени,если диск вращаетсявокруг своей оси сугловой скоростью

, а в начальный момент точка А касаласьповерхности цилиндра в самой правой ееточке.

5. Элемент Х обладает следующей вольт-амперной характеристикой (зависимостьютока через него от приложенного электричес-кого напряжения): 2I U , где – изве-

стное число. Из четырех одинаковых эле-ментов Х собрали цепь, схема которой при-ведена на рисунке 2. Найдите ее вольт-амперную характеристику.

Публикацию подготовил С.Муравьев

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я


ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №10)

1. 2 3 4 4

= 2 3 4 4 2 3 4 4

(можно выбрать любые два способа из трех).2. 8.У креста 12 углов, а у квадрата 4. Угол можетпропасть, только если его разрежут по вершине.Значит, нужно не менее 12 4 8 разрезов. Аколичество разрезов равно количеству частей.Пример на 8 частей привести нетрудно.3. Поместим один из пончиков во все три прибо-ра по очереди. Два из них дадут одинаковыеответы, а третий – противоположный. Этот при-бор не может быть тем, который выдает случай-ные ответы. Осталось поместить в него оставши-еся два пончика и по его ответам определить«качество» этого прибора, а тогда уже легкоувидеть, какой из пончиков искомый.4. 8 часов.Разобьем сутки на 22 промежутка между встре-чами часовой и минутной стрелок и рассмотримотдельно каждый промежуток. Так как стрелкидвижутся равномерно, угол между ними с посто-янной скоростью меняется сначала от 0 до 180 ,а потом от 180 до нуля. На отрезке от 0 до 60угол находится треть времени в каждом проме-жутке, а следовательно, и треть суток, т.е. 8часов.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. На одну чашу весов, например левую, надопоместить гирю массой, большей массы взвеши-ваемого груза, на другую – разновески и добить-ся наиболее точного равновесия весов. Затем направую чашу поместить взвешиваемый груз иснимать разновески, пока равновесие весов невосстановится. Масса снятых гирь будет равнамассе груза.2. Пружинными. Рычажные весы не позволяютобнаружить уменьшения силы тяжести и весатела.3. Прикрепить в середине стержня стрелку. Иначенаш «прибор» при равных моментах действую-щих на стержень сил будет находиться в состоя-нии безразличного равновесия.4. Уменьшится, так как действие магнита нашарик подобно увеличению силы тяжести.5. Период колебаний такого маятника не меняет-ся в зависимости от температуры, посколькутепловое расширение ртути приводит к подъемуцентра тяжести системы, что компенсирует теп-ловое удлинение стержня маятника.6. Помимо большой теплопроводности металлобладает малой удельной теплоемкостью, благо-даря чему температура внутри калориметра быс-тро выравнивается, а на нагревание его затрачи-вается мало тепла. Кроме того, тепловое излуче-ние металла значительно меньше, чем стекла,что уменьшает тепловые потери.

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 154

7. Бульшая теплопроводность и меньшая тепло-емкость ртути по сравнению с эфиром и спиртомсокращают время измерения температуры.8. У таких термометров пространство капилляранад ртутью заполняется азотом под большимдавлением, что приводит к значительному повы-шению температуры кипения ртути по сравне-нию с температурой кипения при нормальномдавлении.9. Динамометр показывает общий вес трубки иртути внутри трубки. При повышении атмосфер-ного давления как уровень ртути в трубке, так ипоказания динамометра будут расти, при умень-шении давления – убывать.10. Предохранитель делают из легкоплавкогопровода и во много раз более тонкого, чем всяостальная цепь. Из-за большой плотности тока ималой поверхности охлаждения этот провод быс-тро нагревается и плавится.11. Достаточно четырех резисторов (см. рис. 1).

12. См. рис. 2.

13. Сделать большое число витков из тонкойпроволоки.14. Можно, если поменять местами окуляр иобъектив.15. Коэффициент преломления зависит от дли-ны волны падающего света, а угол отражения независит.

Микроопыт

Необходимо пустить в ванну воду равномернойструей и отметить время заполнения водой сосу-да известного объема. Затем надо измерить вре-мя наполнения ванны. Отношение этих проме-жутков времени равно отношению объемов сосу-да и ванны.

Рис. 1

Рис. 2

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА


1. а) 18; б) 171.Добавим к Васиным числам еще два числа: 2- и53 в пункте а) и 2- и 54 в пункте б). Упорядо-чим все числа по возрастанию и рассмотримразности между соседними числами. Каждая изразностей не меньше 3 и сумма всех разностейравна разности между наибольшим и наимень-шим числом набора, т.е. 55 в пункте а) и 56 впункте б). Отсюда следует, что разностей небольше 18, и сначала у Васи было не больше 17чисел (очевидно, столько чисел у него бытьмогло). Итак, у Васи изначально было 17 чисели разностей теперь 18.Когда все разности равны по 3, их сумма равна18 3 54◊ = . В пункте а) одна из этих разностейувеличена на 1, в пункте б) – две разностиувеличены на 1 (возможно, увеличена одна дваж-ды). По набору разностей весь Васин наборвосстанавливается однозначно. Так что ответ –количество способов осуществить эти увеличе-ния. В пункте а) надо выбрать одну из 18 разно-стей для увеличения, так что способов 18. Впункте б) выбрать две разные разности есть

218

18 17153

2C

◊= = способа, а одинаковые –

118 18C = способов. Итого 153 18 171+ = способ.

Либо же, воспользовавшись методом шаров иперегородок, можно получить ответ сразу:

219

19 18171

2C

◊= = . (Про этот метод можно про-

читать, например, в книге Н.Я.Виленкина,

А.Н.Виленкина, П.А.Виленкина «Комбинатори-ка» (М.: ФИМА, МЦНМО, 2010).)2. 26.Расположим числа в виде квадрата 10 10¥ иотметим клетки на каждой четвертой диагонали,начиная с диагонали 10–01, как на рисунке 3,а.Тогда любой ход Квантика затронет ровно одноотмеченное число. Отмеченных чисел 26, поэто-му ходов тоже нужно хотя бы 26. Обойтись 26ходами можно, например, как на рисунке 3,б (вкаждом прямоугольнике – набор чисел, которыйможно назвать за один ход).3. Пусть K – вершина меньшего треугольника,которую нужно построить внутри данного треу-гольника ABC. Построим O – центр описаннойокружности ABC (рис.4). Далее можно действо-вать по-разному.Первое решение. Построим описанную окруж-ность треугольника AOC и окружность с цент-ром O, равную описанной окружности правиль-ного треугольника со стороной a (рис.5). От-метим на их пересечении точку K. Тогда


120AKC AOC– = – = ∞ . Построим правильныйтреугольник с центром O и вершиной K, онбудет искомым.Второе решение. Точку K можно получить так-же из следующих соображений: в треугольникеACK нам известны 120K– = ∞ , сторона AC = b,разность сторон AK – KC = a (если исходить изпредположения, что мы строим конструкцию,

Рис. 3

Рис. 4

переходящую в себя при повороте вокруг O на120∞ ). Задача построения треугольника по этимданным известна (см., например, №2495 на сай-те zadachi.mccme.ru).Третье решение. Построим окружность с цент-ром O, равную вписанной окружности правиль-ного треугольника со стороной a, проведем к нейкасательные из A, B, C (рис.6). Так как они

переходят одна в другую при повороте треуголь-ника вокруг O на 120∞, то в пересечении ониобразуют правильный треугольник.Четвертое решение. Построим где-то в сторонеправильный треугольник со стороной a и его

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 156

центр I (рис.7). Построим окружность с цент-ром I, равную описанной окружности треуголь-ника ABC. Отметим ее пересечения с продолже-ниями сторон. Так как конструкция переходит всебя при повороте вокруг I на 120∞ , то эти точкибудут вершинами правильного треугольника,причем равного ABC. Итак, мы построили то,что нужно, но не внутри треугольника ABC, авнутри треугольника, равного ABC. Теперь, от-кладывая уже известные углы и отрезки, можнопостроить то же самое внутри треугольника ABC.4. Да.Добавим к исходному выражению

2 3 2016x x x+ + + =…

= ( ) ( )2 2 3 4 5 10 20101 1x x x x x x x x+ + + + + + + +… .

Получим2 20191 x x x+ + + + =…

= ( ) ( )2 3 4 5 10 20151 1x x x x x x x+ + + + + + + +… .

Оба этих выражения делятся на натуральноечисло 2 3 41Y x x x x= + + + + , значит, и исход-ное выражение делится на Y. При этом 1Y > иисходное выражение, очевидно, больше Y. От-сюда следует, что оно составное.

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТ

Ф И З И К А

ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

1. Чтобы время в пути было минимальным, че-ловеку необходимо все время двигаться с макси-мальным ускорением. Так как у стенки скоростьдолжна быть равна нулю, то первую половинупути до стенки человек должен ускоряться, авторую половину пути замедляться с ускорениемa. На эти разгон и замедление он потратит одно

и то же время 1t , и 21

2 2

L ta= . От стенки обратно

человек может все время ускоряться с ускорени-

ем a, так как ограничений на скорость при дви-жении обратно нет. Тогда на обратный путь он

затратит время 2t , и 22

2

tL a= . Искомое время

равно

( )1 22 2 2L

t t ta

= + = + .

2. Количество молей воздуха в бутылке можнонайти из уравнения состояния идеального газа:

pV

RT= , где р и V – давление и объем воздуха в

бутылке соответственно. Поскольку озеро глубо-

кое, атмосферным давлением можно пренебречь

по сравнению с гидростатическим, равнымp gH= , где – плотность воды, g – ускоре-ние свободного падения. Так как бутылка нахо-дится в равновесии, то сила Архимеда уравнове-шивается силой натяжения нити: F gV= . Ре-шая систему записанных уравнений, найдем

FH

RT= .

3. На клин действуют сила давления Fur

и силатрения трF

ur

со стороны шайбы, а также силатяжести клина Mg

r

(где M – масса клина) исила реакции со стороны стенки 1N

uuur

в первом и

2Nuuur

во втором случаях. Условие равновесия клинаимеет вид

тр 1,2 0F F Mg N+ + + =ur ur uur

r

.

Сила давления шайбы направлена перпендику-лярно поверхности клина и по модулю равна

cosF mg= , где m – масса шайбы. Сила тренияравна трF N= , где – искомый коэффициенттрения шайбы о клин. Силы реакции стенкинаправлены горизонтально и равны по модулю

1 1N F= и 2 2N F= соответственно. Напишем ус-ловие равновесия клина в горизонтальных про-екциях. В случае, когда шайбе придают ско-рость вверх вдоль клина, 1 трsin cosN F F= + .Когда шайбе придают скорость вниз вдоль кли-на, 2 трsin cosN F F= - . Отсюда получим

1 2

1 2

tgF F

F F

-=

+.

4. Выделяемая в цепи мощность равна 2U R ,где U – напряжение на резисторе, R – сопротив-ление резистора. По условию задачи за время Tзаряд на конденсаторе меняется слабо, поэтомунапряжение на конденсаторе тоже можно счи-тать постоянным в пределах одного цикла дли-тельностью T. В начале процесса конденсаторне заряжен, а следовательно, напряжение нарезисторе равно входному напряжению: 0U U=

во время импульса напряжения и U = 0 в проме-жутке между импульсами. Таким образом, выде-ляемая мощность во время импульса напряже-

ния равна 20

1U

PR

= , а выделяемая мощность меж-

ду импульсами равна нулю: 2 0P = . Среднюю

мощность в начале процесса начP найдем, усред-няя 1P и 2P с учетом длительности импульса и длительности промежутка между импульсамиT - :

( )1 2нач

P T PP

T

+ -= .

В установившемся режиме (через большое времяпосле начала подачи импульсов) конденсаторзарядится до некоторого напряжения CU . При


ОТКРЫТАЯ МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА

«БУДУЩЕЕ СИБИРИ»

Первый (отборочный) этап

ИНТЕРНЕТ-ТУР

8 класс

1. Б

C

1 400 мl

L sl

Ê ˆ= - =Á ˜Ë ¯

. 2. в 80 CT Tc

= + = ∞ .

3. На левую чашу весов нужно положить груз

массой ( )0

400 г.2

m Mc T T

= =+ -

4. 1 22 2

1 1 F Fh

ga b

-Ê ˆ= -Á ˜Ë ¯

.

9 класс

2. ( )

( )в 1 66,3 C2

M cTT T

m cT

Ê ˆ+= + ª ∞Á ˜+Ë ¯

.

3. Сначала банка упруго сталкивается с динамо-метром, двигаясь к нему со скоростью v, и меня-ет скорость на противоположную. Изменениеимпульса банки определяется площадью под пер-вым пиком графика. При смене скорости банкипредмет начинает двигаться внутри банки и не-упруго сталкивается со стенкой банки, котораядвижется ему навстречу. После этого банка вме-сте с предметом двигаются в сторону динамомет-ра, но уже с другой скоростью. Изменение им-пульса системы при втором столкновении опре-деляется площадью под вторым пиком. В ре-зультате найдем

п

4

5m m= .

4. 3

4

LR

S= (достаточно записать равенство мо-

ментов сил тяжести левой и правой частей труб-

ки относительно точки подвеса).

10 класс

1. 2

3

8

VR

S= . 2. В

25

16 раз.

4. ( )1 42 2 2cos sin

cos

gRv = - (на автомобиль

действуют сила тяжести, направленная верти-кально, сила реакции, направленная перпенди-кулярно плоскости движения, и сила трения,направленная вдоль этой плоскости).

11 класс

2. 2 3A A AP ^= + (разница работ равна работе,

совершенной Борей на добавление средней гори-зонтальной палочки).

4. 2

4

3

4

GmMaF

R= (можно представить, что в

этом напряжение на резисторе U равно разностимежду входным напряжением и напряжением наконденсаторе: 0 CU U U= - во время импульсанапряжения и CU U= - в промежутке междуимпульсами. Следовательно, в установившемсярежиме выделяемая мощность 1P¢ во время им-

пульса напряжения равна ( )20

1CU U

PR

-=¢ , а

выделяемая мощность 2P ¢ между импульсами

равна 2

2CU

PR

=¢ . Среднюю мощность в устано-

вившемся режиме устP найдем, усредняя 1P¢ и

2P¢ :( )1 2

уст

P T PP

T

+ -¢ ¢= .

Осталось найти CU . Для этого заметим, что вустановившемся режиме заряд ( )0 CU U R- ,протекающий через резистор за время импульса

, равен заряду ( ) CT U R- , протекающему вобратную сторону за время между импульсамиT - :

( )0 C CU U UT

R R

-= - .

Отсюда получаем

0C

UU

T= ,

( )220

1 2

TUP

R T

-=¢ ,

2 20

2 2

UP

R T=¢ ,

( )нач 1

уст 1 2

P P T

P P T P T= =

+ - -¢ ¢.

5. Обозначим скорость ветра через v. За времяt на окно площадью S попадут молекулы,

находившиеся в объеме Sv t перед окном. Чис-ло молей воздуха в этом объеме равно 0Sv t V ,где 0V – объем одного моля. Число же молекулравно A 0N N Sv t V= , где AN – число Аво-гадро. Среднюю скорость молекул воздуха впроекции на нормаль к окну до взаимодействияс окном можно считать равной v, а после взаимо-действия – нулевой. Значит, переданный окнуимпульс равен

2A

0

N mp Nmv Sv t

V= = ,

где m – средняя масса молекул воздуха. Величи-на AN m есть средняя молярная масса молекулвоздуха . Таким образом,

2

0

p Sv tV

= .

Изменение импульса в единицу времени равноискомой силе:

2

0

pF Sv

t V= = .

Подставив в эту формулу 329 10 кг моль-ª ◊ ,

3 30 22,4 10 м мольV -ª ◊ , 2

1 мS ª , 5 м сv ª ,получим 30 HF ª .

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 158

оболочке образовалась «дырка» отрицательной

массы m- , которая действует на тело массой m

с отталкивающей силой, равной 2дGmm R ).

ВАРИАНТ 1

8 класс

1. 1

2

9

7

l v u

l v u

-= =

+. 2. 1 3

1 2

30t t

N nt t

-= =

-.

3. ( )3 2 2в

0

1h

V a k ka

Ê ˆ= - +Á ˜Ë ¯

.

4. ( )

( ) ( )1

3 22 1 2

2 смa b h

h ha b h b h h

-= =

- - -.

9 класс

2. 13D

tg

= . 3. 21 1

ABk k k

BC= - + - + .

4. н2

2

4

L RF mg

L RL

+=

+.

10 класс

2. min 9F Mg= .

3. ( )

2 21 2

21 2

m mh H

m m

+=

+. 4. 1 2

31 23 2

RRR

R R=

-.

11 класс

1. 31 2 3R R R V= . 2. 0

0

gHT T

p= .

4. arccosm

M m=

+ (когда грузик прошел ниж-

нюю точку траектории, тележка пришла в дви-

жение, а когда нить отклонилась влево на макси-мальный угол, скорость тележки стала равнойскорости грузика).

ВАРИАНТ 2

8 класс

1. ( )2Б С

0Б С

15c

1

v vt t

v v

+= =

+.

2. ( )0m V= - .

3. 31

02

7250кг мh

h= = . 4. 0

2 11 l l=

-.

9 класс

1. 2 1AB

kAC

= - . 2. 3

1u vÊ ˆ

= +Á ˜Ë ¯.

3. ( )p

sin sin

sinF Mg

-=

+.

4. 1

2arccos 1462 3

= ª o .

10 класс

1. 22

H gLu v

L v

Ê ˆ= -Á ˜Ë ¯

. 3. Два карандаша.

4. 1 21 2

1 2 2 1

M Mt t t

M t M t

+=

+.

11 класс

1. 2A

vm

= . 2. ( )0

0

3

4

p S Mg H

RT

-= .

3. ( )2 2 2

L gv

H R H=

+ -.

4. 2

tgcos

v

Rg= + .

Второй (заключительный) этап

8 класс

1. 2T

t t+

= . 2. Tл 100 C= - ∞ .

3. ( )( )

в о1

1 2

1

1

P L Lm

g l l

+=

+,

( )( )

в о2

2 1

1

1

P L Lm

g l l

+=

+.

4. 1 2 7 82 128 мv v v v

l L Lu u

+ + += + =

…

(пасса-

жир сумеет пересечь 7 лент и дойти до середины

8-й).

9 класс

2. 2 1P P

Vg

-= .

3. ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 1 2 1

11,1 B1

I IU U U I U I U

U U I IE

+ + -= =

+ -.

4. m = 1 кг (первый участок графика соответ-

ствует подъему цепочки на вершину горки, вто-рой – тому, что часть цепочки перевалиласьчерез горку, третий – тому, что левый крайцепочки уже оказался на горке).

5. 1

1 2

500 мm

l Lm m

= =+

.

10 класс

1. h

x L= - . 2. ( )0

0

gHx

g k S

-=

+. 3. См. рис.8.

Рис. 8


4. 2

2

M RN

F= при 2

FR L

M£ (проскальзы-

вание прекращается в процессе взаимодействия

валика и доски); 2

2

LMN

F= – в противном

случае (проскальзывание не прекращается,

и доска достигает максимальной скорости вмомент выскальзывания из-под валика).5. ( )2 13F m m g= - .

11 класс

1. 1 20

1 3

gh hp p

h h= +

+.

2. ( )2

Fl l Fq

k

+= (здесь k – постоянная в

законе Кулона).

3. В системе отсчета, движущейся с постояннойскоростью v вместе с центром нити, шарики допервого столкновения движутся навстречу другдругу по окружности с одинаковыми скоростя-ми, равными v. Записав законы сохранения им-пульса и энергии, найдем скорости шариков пос-ле первого столкновения: 1 2 3v v= - , 2 4 3v v= .Обозначим через 1 и 2 углы, на которыеповернутся половинки нити между первым ивторым столкновениями (рис.9). При этом

1 2 1 2v v= и 1 2 360+ = ∞ . Отсюда нахо-дим, что второе столкновение произойдет подуглом 1 90 30- ∞ = ∞ к первоначальной ориента-ции нити.4. На участках, где нет магнитного поля, части-ца движется равномерно и прямолинейно, а там,где поле есть, она движется по окружности спостоянной скоростью.Если траектория частицы не выходит за пределыодного заштрихованного квадранта, то это ок-ружность радиусом ( )R mv eB= . Тогда периоддвижения равен ( )2T m eB= .Если же частица движется из одного заштрихо-ванного квадранта в другой и обратно, то ее

траектория состоит из двух дуг окружностейрадиусом R и двух соединяющих их прямоли-нейных участков (рис.10). При этом точки А, В,

С, D должны находиться на границах заштрихо-ванных квадрантов. Это можно осуществить, ког-да прямоугольник ABCD оказывается квадра-том, повернутым на 45∞ относительно коорди-натных осей (рис.11). В этом случае

( ) ( )2 2T m eB= + .

5. Пусть у нас есть проводящий шар радиусомR. Напряжение шара относительно земли равно

U kQ R= , где Q – заряд шара. Напряженностьэлектрического поля максимальна вблизи шараи равна 2E kQ R= . У тела человека наимень-ший радиус кривизны порядка 0,7 см (концыпальцев). Подставляя 0,7 смR ª и

max 30 кВ смE = , найдем max 20 кВU ª .6. В этой задаче нужно объяснить:1) почему отраженные лучи образуют на столезамкнутую линию, обходящую вокруг стержня;2) почему эта линия представляет собой окруж-ность (даже при неправильной форме сечениястержня), центром которой является нижний крайстержня.1) Рассмотрим ход лучей в проекции на плос-кость стола (рис.12; вид сверху). Лучи, попада-ющие на стержень в точках A, B, C, D, E, F,после отражения достигают поверхность стола вточках A¢ , B¢ , C¢ , D¢ , E¢ , F¢ соответствен-но. Лучи, падающие на левую (правую) полови-ну стержня, отражаются влево (вправо). Видно,что при движении падающего луча слева напра-

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 160

во (от A до F) отраженный луч плавно повора-чивается на 360∞ (в проекции сверху) от AA¢до FF¢. Поэтому точка падения луча на столописывает непрерывную, почти замкнутую кри-вую (небольшой разрыв между A¢ и F¢ – этотень от стержня). В условиях данного опыташирина лазерного луча больше ширины стерж-ня, т.е. все точки A, B, C, D, E, F освещеныодновременно. Поэтому вся кривая видна одно-временно как светящаяся практически замкну-тая линия.2) Лучи лазерной указки, падая на стержень полинии AO (рис.13), отражаются от разных точек

стержня, в результате чего возникает набор от-раженных лучей OB, OB¢ , OB¢¢ и т.д. Пока-жем, что все эти отраженные лучи распространя-ются под одним и тем же углом к вертикали ON.(Подчеркнем, что это утверждение отличается

от утверждения «уголпадения равен углу от-ражения», так какуглы между вертика-лью и направлениямилучей – это не то жесамое, что углы паде-ния и отражения.)Проще всего убедить-ся в этом из соображе-ний симметрии. Опе-рация зеркального от-

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

ИНЖЕНЕРНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

1. Понятно, что лампочка, рассчитанная на ра-боту в бытовой сети, перегореть не может, по-скольку приложенное к ней напряжение будетзаведомо меньше ее номинального напряжения.А вот лампочка от карманного фонарика можетперегореть, если сила электрического тока, про-текающего через нее, будет больше ее рабочеготока. Расчеты дают, что сила тока в цепи равна

0,486I = А, что больше силы рабочего токалампы карманного фонарика. Поэтому эта лам-почка перегорит.2. Покажем, что облако остается однородным втечение всего времени. Для этого рассмотримвсе пылинки, которые находятся на расстоянияхот 1r до 2r от центра облака. Масса этих пыли-нок равна

( )3 3 3 30 2 1 0 2 1

4 4 4

3 3 3m r r r r

Ê ˆ= - = ◊ -Á ˜Ë ¯

.

Через время t после взрыва только эти пылинкиокажутся на расстояниях от ( )1 1r v r t+ =

( )1 1r Ht= + до ( ) ( )2 2 2 1r v r t r Ht+ = + от центраоблака. Поэтому в сферическом слое с внутрен-ним радиусом ( )1 1r Ht+ и внешним ( )2 1r Ht+через время t после взрыва окажутся пылинки ссуммарной массой m. И, следовательно, плот-ность пылинок в указанном слое будет равна

( )t =

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

3 30 2 1

0

33 3

2 1

4

34 11 13

r r

Htr Ht r Ht

◊ -= =

++ - +.

ражения относительно плоскости , касатель-ной к стержню, переводит продолжение падаю-щего луча 1OB в отраженный луч OB (рис.14).Эта же операция оставляет вертикальную линиюON неизменной (так как эта линия принадлежитплоскости ). Поэтому угол 1BON переходитпри зеркальном отражении в угол BON, а зна-чит, 1BON BON– = – (при зеркальном отраже-нии расстояния и углы не изменяются). С дру-гой стороны, 1BON AOM– = – , так как это вер-тикальные углы. Следовательно, BON– =

AOM= – . Эти же рассуждения верны для дру-гих углов. Отсюда следует, что прямоугольныетреугольники BON, B ON¢ , B ON¢¢ и т.д. (см.

рис. 13) равны друг другу, а значит, BN =

,B N B N= = =¢ ¢¢ … т.е. точки светящейся ли-нии образуют окружность с центром в точке N –нижнем крае стержня.Заметим, что в приведенных рассуждениях ниг-де не использовалась форма стержня, поэтомуони одинаково верны и для круглых, и длянекруглых стержней.


Таким образом, плотность облака осколков взры-ва через время t после взрыва не зависит ни от

1r , ни от 2r , а значит, останется постоянной повсему облаку. Учитывая, что дальше расстояния

( )1R Ht+ от центра облака частиц вообще небудет, получаем окончательный ответ:

0

31

tHt

при 1x R Ht ,

0t при 1x R Ht .

3. Чтобы лампочки горели нормальным нака-лом, к каждой должно быть приложено ее номи-нальное напряжение U = 110 В. Поэтому нужносоединить наши лампы в два блока с одинаковы-ми сопротивлениями. Найдем сопротивления на-ших ламп:

2

1110

Ом40

R , 2

2110

Ом60

R .

Видно, что сопротивление лампы с номинальноймощностью 40 ватт составляет 2 3 от сопротив-ления лампы с номинальной мощностью 60 ватт.А это значит, что общее сопротивление трехпараллельно соединенных ламп мощностью40 ватт равно общему сопротивлению двух па-раллельно соединенных ламп мощностью60 ватт. Если соединить два таких блока после-довательно и подключить к ним напряжение

1 220U В (рис.15), то на каждой лампе будетее рабочее напряжение и все они будут горетьнормальным накалом.

4. Выберем систему координат х0у так, какпоказано на рисунке 16, и будем считать, что вначальный момент времени координаты точки Абыли такими: x = R, y = 0. Прежде чем найти

Рис. 15

Рис. 16

зависимость координат точки А от времени, сде-лаем небольшую подготовительную работу. По-кажем, что если центр диска вращается без про-скальзывания по внутренней поверхности ци-линдра удвоенного радиуса, то сам диск враща-ется вокруг своей оси с той же угловой скорос-тью, но в противоположном направлении. Чтокасается направлений вращения, то они очевид-ны. Например, из рисунка 17, на котором центр

диска С поворачивается по часовой стрелке вок-руг оси цилиндра, а точка А вращается противчасовой стрелки вокруг центра диска в системеотсчета x Cy . Величины угловых скоростей вра-щения диска вокруг своей оси и его центравокруг оси цилиндра можно связать так. Пустьцентр диска совершил четверть оборота вокругоси цилиндра (рис.18). Тогда и точка А совер-

шит ровно четверть оборота вокруг оси диска.Это связано с тем, что длина полуокружностидиска и длина четверти окружности внутреннейповерхности цилиндра (при двукратном отличиирадиусов) совпадают, и, следовательно, точка А,начав движение из положения, в котором онакасается поверхности полости цилиндра справа,через четверть оборота центра диска вокруг осицилиндра окажется в центре полости (на осицилиндра), т.е. также совершит четверть оборо-та вокруг центра диска. Поэтому зависимости отвремени координат центра диска С и точки А всистеме координат, начало которой связано с

Рис. 17

Рис. 18

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 162

Рис. 19

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПЕТРА ВЕЛИКОГО


М А Т Е М А Т И К А

Отборочный тур

1. 1 . 2. 7; 3. 2 . 4. 5, 6, 7, 10. 5. 1. 6. 4. 7. 4.8. 34. 9. 20. 10. 4.

Заключительный тур

1. 2.Запишем остатки от деления 2 3

3, 3 , 3 ,… на 26 –это 3, 9, 1, 3, далее остатки циклически повторя-ются. Если 3 1n k , то 3n дает при делениина 26 остаток 3, для 3 2n k получаем остаток9, а для 3n k – остаток 1. Поскольку 105делится на 3, то 1053 дает при делении на 26остаток 1. Степени числа 5 дают остатки 5, 25,21, 1, 5. Поскольку 100 делится на 4, то 1005 приделении на 26 дает остаток 1. Наконец, приделении данного числа на 26 получаем остаток1 1 2 .2. 10.Пусть первый работник может выполнить работуза Х часов, второй – за Y часов, третий – за Zчасов. Первый за 1 час выполняет 1 X частьработы, второй – 1 Y , третий – 1 Z . По усло-вию,

1 1 1 20X Y , 1 1 1 12Y Z ,

1 1 1 15X Z .

Сложение этих уравнений дает равенство

1 1 1 1 10X Y Z ,

которое означает, что три работника при одно-временной работе выполнят работу за 10 часов.3. 3.Заметим, что при всех допустимых х имеет месторавенство

2 1 1 2 1 1x x x x x .

Уравнение можно переписать в виде

2 1 1 2 1 1x x x x

= 2 1 2 2 1 1x x x .

Делением на 2 1 1 0x x получаем

2 1 1 2x x , 3x .

центром диска, можно записать так:

cos cos2 2

C

R Rx t t t ,

sin sin2 2

C

R Ry t t t ,

cos2

A

Rx t t ,

sin2

A

Ry t t .

Отсюда находим координаты точки А в непод-вижной системе координат:

cosA C Ax t x t x t R t ,

0A C Ay t y t y t .

Это означает, что точка А совершает движениевдоль горизонтальной прямой по гармоническо-му закону, а зависимость модуля ее скорости отвремени определяется соотношением

sinAv t R t .

5. Установим связь между током I через рас-сматриваемый участок цепи и приложенным кнему напряжением U. Для упрощения изложе-ния пронумеруем элементы так, как это показа-но на рисунке 19. Тогда

4I I , 1 2

4I

U .

Поскольку напряжение на элементе 1 в два раза

больше напряжения на каждом из элементов 2 и3, то сила тока, текущего через элемент 1 в 4раза больше силы тока, текущего через элемен-ты 2 и 3. А так как 1 2,3 4I I I , то

1

4

5I I , 2,3

1

5I I .

Отсюда находим напряжение на элементе 1 и нацепочке 2–3:

1 2 1 21

1 2 3

2

5

I IU U .

Следовательно, напряжение на всем рассматри-ваемом участке цепи равно

1 2 1 2 1 2

1 42 2 5

5 5

I I IU U U ,

а вольт-амперная характеристика может бытьзаписана уравнением

22

5

2 5I U .


4. 216.Поскольку числа а, 2, b образуют арифметичес-

кую прогрессию, то 22

a b, 2 6a b . Сум-

ма коэффициентов многочлена равна его значе-нию в точке 1x , искомая сумма есть

3 32 6 216a b .

5. 18 .

Положим 3 8 6f x x x . Поскольку

0 0f , а 1 0f , то уравнение имеет три

корня 1 2 3, ,x x x , причем 1 2; 0 , 0;1 ,x x

3 1;x . Выполнены равенства 31 18 6x x ,

32 28 6x x , 3

3 38 6x x . Складывая эти ра-

венства, получаем3 3 31 2 3 1 2 38 18 18x x x x x x ,

так как по теореме Виета 1 2 3 0x x x .6. 50%.Пусть изначально мы имели Х литров раствора,содержащего x литров кислоты. Условия задачиозначают, что

1 1,

10 4 15 5

x x

X X.

Из этих уравнений следует, что

10 153 2 3 4 2 5 2

X X X

x x x,

т.е. начальная концентрация равна 50%.7. 12.При размещении предметов в коробки всегдаможно поместить в каждую коробку строго боль-ше 4 кг. Поэтому для полной упаковки груза в50 кг вполне достаточно 13 коробок. Убедимся втом, что достаточно и 12 коробок. Сначала раз-местим в коробки предметы тяжелее 5 6 кг. Вкаждую коробку можно положить 5 таких пред-метов (масса каждого не превосходит 1 кг), такчто в каждой коробке мы разместим по крайнеймере 25 6 кг. Одна коробка может оказатьсянезаполненной. Оставшиеся коробки заполняемпредметами массой менее 5 6 кг. Заполнениекоробки можно продолжать до тех пор, покасвободное пространство позволят вместить боль-ше 5 6 кг, поэтому и эти коробки вместят покрайней мере по 25 6 кг. В 12 коробок удастсяположить 12 25 6 2 25 50 кг груза. Оста-лось показать, что наши предметы невозможноуложить в 11 коробок. Если представить себе,что все изделия одинаковы и в каждую коробкуможно положить не более 5 предметов (т.е. каж-дый предмет имеет массу больше 5 6 кг), то в11 коробок удастся положить не более 55 пред-метов. Разобьем 50 кг на 56 частей, каждая частьмассой 50 56 25 28 25 30 5 6 кг. Уложитьэти предметы в 11 коробок невозможно.

8. 3.Поскольку в описанной трапеции суммы длинпротивоположных сторон равны, трапеция, подоб-ная нашей, имеет основания длины 8 и 2, а боковыестороны равны 5. Такая трапеция имеет вписаннуюокружность радиуса 2. Выполнив преобразованиеподобия с коэффициентом 3 2, мы получаем иско-мую трапецию с основаниями 12 и 3.9. 16 2 .Положим a AB

uuurr

, b ADr uuuur

, 1c AAuuuur

r

, через обо-значим величину угла между сторонами. Тогда

1AC a b cruuuur

r r

, 1BD a b cruuuuur

r r

,2 2

1 1 1, 3 6 ,AC AC AC a a bruuuur uuuur uuuur

r r

23 1 2cosar

,2 2

1 1 1, 3 2 ,BD BD BD a a bruuuuur uuuuur uuuuur

r r

23 2cosa

r

.

Мы приходим к уравнению

3 1 2cos 15

3 2cos 7,

из которого находим 1

cos3

, 2 2

sin3

.

Полная поверхность параллелепипеда равна

2 2 26 2 16 2

3.

10. 0; 1 4 .Во-первых, уравнение имеет два решения 1x ,если 0a . Во вторых, два решения мы полу-

чим в случае касания гипербол 1

yx

и пря-

мой 1y ax . Это происходит при 1

4a .

Ф И З И К А


1. 1 1 2 4ср

2 41 3

1 4

1,7 м с2

v t s sv

s st t

v v

.

2. 2

20 tg 3,8 мcos

vR

g.

3. 11

2

cos sin130 H

cos sin

mF F

m.

4. min2 2

2570 H2

mgbF

h b.

5. 0

4 36 мm

H NL

.

6. 3 1 1150 км1

nh R

n.

7. 2 21 2 0,146 C8

v vt

c.

К В А Н T $ 2 0 1 9 / № 1 164

Журнал «Квант» зарегистрированв Комитете РФ по печати.

Рег. св-во ПИ №ФС77–54256

Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ №

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А,«Квант»

Тел.: +7 916 168-64-74Е-mail: [email protected], [email protected]

Отпечатанов соответствии с предоставленными

материаламив типографии ООО «ТДДС-СТОЛИЦА-8»

Телефон: +7 495 363-48-86,htpp: //capitalpress.ru

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов,А.Ю.Котова, С.Л.Кузнецов,

В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИВ.А.Аткарская, Д.Н.Гришукова,А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙРЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАМ.Н.Грицук, Е.А.Митченко

КВАНТ 12+

8. 11

188 мА2

UI

R.

9. 2 13

26,0 мТл2

B B .

10. 1 2

2 1

2 3 11,21 м

3

l lL

l l.


1. 20

23 31 см8

vy

g.

2. 8

16 гmv

mgT

.

3. 3cos

mgT mg .

4. Рита:

Рита1 2

2

Vc t t

Ритал л 20 0

2 2 2

N N Nmc t m mc t ,

Рита2t

1 л л0 184C 18 C

10,08

Vct Nm c t

Vc Nmc;

Маруся:

1-й кув.

11 2

4

Vc t t

1л л 20 0

2 2 2

N N Nmc t m mc t ,

1 л л12

02

2

Vct Nm c t

tV

c Nmc

16C 2,72 C

5,88,

2-й кув.

2 2 11 2 2 2

4 2

V Nc t t mc t t ,

11 2

22

41,092 C 29,35 C1,4

2

Vt Nmt

tV

Nm,

3-й кув.

Маруся Маруся2 12 22 2

4 4

V Vc t t с t t ,

1 2Маруся 2 22 16 C

2

t tt .

5.

131

ц 3

1н3 1

3

1

22 20,048

4 3 4 32

TTRT

A TR TQ T T

T

.

6. 0 2

80,85 Тл с

3

QB

C d N.

И Н Ф О Р М А Т И К А


1. АБГЖ. 2. 15. 3. 8. 4. БГДЕ. 5. Г. 6. 1024.


1. 5114. 2.101. 3. 94. 4. Неверно. 5. 512. 6. 327.7. 9; заменить M := (E – B) div 2 на M := (E ++ B) div 2; заменить Y[D] := A[K] на Y[B] :== A[K]. 8. 27; Г. 9. ЛЕНЬ. 10. У второго; БОР,ВОР или иное слово нечетной длины на АР, БОили ВО.

Documents

Û Ñ Õ Ú Ú Í Ñ ã Í ß é - kvant.mccme.rukvant.mccme.ru/pdf/2019/2019-11.pdf · В земной коре скорость звука зависит от плотности