Известия Челябинского научного центра, вып. 1 (22), 2004

ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ И КУЛЬТУРОЛОГИЯ

УДК 514 + 7.038 + 76.01

ФРАКТАЛЫ В АБСТРАКТНОМ ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ

В.А. Шлыкe–mail: vshlyk@bspu.unibel.by

Белорусский государственный педагогический университет, г. Минск, Беларусь

Статья поступила 17 февраля 2004 г.

и в тишинекаплеобразной мыслимнепомыслимое

В.В. Кандинский

Майкл Барнсли, придумавший метод фрактального сжатия изображений, начал свою книгу«Фракталы повсюду» [1] такими словами: «Фрактальная геометрия заставит Вас на все смот-реть другими глазами. Дальше читать опасно. Вы рискуете потерять свое детское видение об-лаков, лесов, галактик, листьев, перьев, цветов, скал, гор, бегущих ручьев, ковров, кирпичей имногого другого. Ваше восприятие этих вещей никогда больше не будет прежним». Мне кажет-ся, к этому перечню можно добавить и произведения искусства. Во всяком случае, я после зна-комства с красотами фрактальных множеств Жюлиа и Мандельброта, посещая музеи, оченьчасто обнаруживал в живописных полотнах фрактальные мотивы. Возможно, я их невольно ис-кал, но почти всегда находил. Однако, когда в Национальном музее современного искусствав Центре Помпиду в Париже я увидел одну из картин чешского художника Франтишека Купки(1871—1957), я буквально остолбенел — до того она напомнила мне знакомый фрагмент мно-жества Жюлиа. Конечно, я ее сфотографировал — благо, это не запрещалось. Понравившийсяфрагмент хранился в моем компьютере, и сейчас я с удовольствием привожу на рис. 1 оба про-изведения − искусства и науки (или природы?). Не правда ли, по своему духу они поразительнопохожи? Их спирали закручиваются одинаково. Они делят все поле на несколько частей, кото-рые состоят из последовательно сменяющих друг друга цветных слоев или хаотически набро-санных друг на друга обломков.

а б

Рис. 1.а — Ф. Купка «Lignes animées», 1921—1923; б — Фрактал, множество Жюлиа, фрагмент

В.А. Шлык232

Эта встреча, или столкновение, послужила началом для более внимательного изучениясходства живописных образов абстрактного искусства и фракталов. Вскоре оно перестало вы-глядеть случайным. Оказалось, что ассоциации с фракталами вызывает не только эта картина,но и многие другие произведения — как Купки, так и других художников–абстракционистов. Ре-зультаты своих изысканий я и постарался изложить в этой статье. Однако вначале, извинив-шись перед читателем, мне придется сказать несколько слов о том, что такое фракталы, и обабстрактной живописи. Надеюсь, математики и художники меня простят.

1. Фракталы, природа и геометрияФракталами называют нерегулярные геометрические структуры и фигуры. С точки зрения

традиционной, евклидовой геометрии, они бесформенные — их форма характеризуется слова-ми «изломанная», «изрезанная», «раздробленная», «скомканная». Все эти качества принятовоспринимать как отрицательные. Мы привыкли к тому, что все хорошее должно быть плавным,гладким, прямым или округлым. Точнее говоря, нас к этому приучили. Начиная со школы, на-шими любимыми фигурами были треугольник и окружность, в институте далеко от них мы тожене ушли.

Однако в природе далеко не все так гладко, как хотели бы мы и геометрия Евклида. «Обла-ка — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не окружности, и кора дерева не глад-кая, и молния не распространяется по прямой» — так начал свою книгу «Фрактальная геомет-рия природы» [2] сейчас всемирно известный математик Бенуа Мандельброт, фото на рис. 2.По сути, здесь не сказано ничего нового, всего лишь констатирован факт, на который раньшестарательно закрывали глаза. Мы старались не замечать царящую в природе неправильность,потому что единственной имевшейся в нашем распоряжении математической теорией дляработы с формами была евклидова геометрия, которая, к нашему (и Евклида) сожалению,с неправильными формами обращаться не умеет. Сложную форму она старается заменить бо-лее простой: гору — конусом, облако — окружностью. В надежде, что потом эти простые фигу-ры удастся подправить и приблизиться к тому, что есть на самом деле. Для этого, с точки зре-ния евклидовой геометрии, их придется немного испортить, но тут уж ничего не поделаешь —придется.

Рис. 2. Бенуа Мандельброт — создатель фрактальной геометрии

Фракталы «были созданы» Мандельбротом для того, чтобы попытаться обойтись без про-межуточных прямых, окружностей и конусов. Вспомните свои уроки рисования. Когда Вы рисо-вали облако, вам советовали начать с окружности или овала, а потом их подправлять, добав-ляя выступы и углубления. А Вы внутренне противились такому искусственному методу. Дошколы вы просто брали карандаш и, как могли, проводили линию, очерчивающую контур обла-ка. Конечно, Вы старались придать ей такую форму, каким вы это облако видели. Ваша рукабыла нетвердой, карандаш то и дело заезжал не туда, но в принципе вы рисовали так, какво все века рисовали все художники. Как они рисуют и сейчас — без линеек и циркулей, не под-нимая перед собой карандаш, чтобы сравнить высоту предметов. Потому что они художники,а не фотографы или чертежники. Теперь с помощью фракталов математики пытаются вернутьсяк тому первобытному способу изображения и изучения геометрических форм природы, каким

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 233

люди пользовались до изобретения циркуля и линейки. Но если раньше без линейки это моглисделать только художники, то сейчас кое–что начало получаться и у ученых.

Во второй половине прошлого века Бенуа Мандельброт обнаружил, что в природе практи-чески повсеместно присутствует одно общее свойство, на которое до него почти не обращаливнимания, — самоподобие. Оно заключается в том, что целое состоит из частей, которыеявляются его собственными точными или приблизительными уменьшенными копиями. Самопо-добие характерно как для природных объектов (гор, деревьев, облаков), так и для большинствапроисходящих в природе процессов (размножение саранчи — со всеми взрывами и проваламив их численности, течение жидкости — вместе с возникающими при этом завихрениями), вклю-чая даже те процессы, которые связаны с деятельностью человека или ею вызваны (как, на-пример, колебание рыночной стоимости ценных бумаг). В первом приближении это свойствои стало главным, характеристическим для фракталов. Конечно, чтобы говорить о фракталах наязыке математики, не ограничиваясь неясными выражениями типа «часть приблизительно по-добна целому», были введены некоторые чисто математические характеристики, главнымииз которых являются специальные виды размерности. Поэтому на математическом языке фрак-талы определяются не так туманно, но здесь мы этого касаться не будем. Главным для насявляется то, что фракталы самоподобны, то есть их увеличенные фрагменты по внешнему виду(по форме!) почти не отличаются от целого. Это новое свойство составляет своеобразную сим-метрию фракталов. Привычные виды симметрии разрешают отражать части относительно пря-мой или точки. Новая симметрия — самоподобие — разрешает изменять масштаб частей:с точки зрения формы, ничего существенного при этом не меняется.

За двадцать лет, прошедшие со времени выхода книги Мандельброта, фракталы сталипредметом изучения специальной области математики, фрактальной геометрии. Однако по-скольку оказалось, что фракталы встречаются практически всюду, от физики и биологии до со-циологии и музыки, новая наука стала не только частью математики, но приобрела общенаучноезначение. Она представила более адекватные средства для описания многих природных объек-тов и процессов. В результате произошли серьезные изменения во всем научном мировоззрении:от регулярных форм интересы ученых сместились к нерегулярным и беспорядочным.

2. Наука и искусство на рубеже XX векаВ действительности этот сдвиг есть всего лишь проявление более общей тенденции, кото-

рая наметилась еще в начале 20–го века. В то время окончательно утвердилась атомно–моле-кулярная теория строения вещества, были заложены основы статистической физики, появилисьновые геометрические теории, была построена теория относительности. Позже обнаружилось,что принцип неопределенности в корне отвергает возможность делать точные предсказанияв микромире. И только в шестидесятые годы наука подошла к изучению хаотического поведе-ния, отказавшись от уверенности в долгосрочной предсказуемости поведения не слишком про-стых нелинейных систем любого масштаба.

Таким образом, в 20–ом веке в науке происходила смена общей научной парадигмы. До техпор в науке и общественном сознании властвовал принцип детерминированности Лапласа (ко-торого придерживался и Ньютон). Согласно ему, полного знания о состоянии системы, а такжео причинах и условиях протекания в ней всех событий достаточно для того, чтобы предсказатьвсе, что произойдет с этой системой в будущем. На смену детерминизму пришло пониманиетого, что в поведении любой нетривиальной системы существенную роль играют слабые воз-действия и случайность и что причины непредсказуемого и даже хаотического поведения есте-ственных процессов коренятся в их собственной природе, а не в наших ошибках и слабостях.

Так в науку вошли нерегулярные формы и хаос.Однако с самого начала 20–го века аналогичные изменения происходили и в большинстве

других сфер творчества человека. В небольшой брошюре «Современная культура и компьюте-ры» [3] выдающийся математик и популяризатор Исаак Яглом проследил исторические парал-лели между теми процессами, которые в одно и то же время происходили в математике, искус-стве и производстве. Он показал, что приход 20–го века ознаменовался сменой привычныхкомпозиционных и выразительных форм практически во всех видах искусства. «Не гармониясфер, а драма миров — духовный космос XX столетия», — задолго до И. Яглома писал одиниз основателей абстрактного искусства Василий Кандинский, цит. по [4]. Отказ от старых,

В.А. Шлык234

столетиями не менявшихся форм можно обнаружить в поэзии (Г. Аполлинер, А. Белый, П. Элю-ар) и прозе (А. Жид, Г. Джеймс, Дж. Джойс, К. Гамсун), поиск новых гармоний и ритмов — в му-зыке (А. Скрябин, И. Стравинский, К. Дебюсси, А. Шёнберг, джаз). Но все это лишь отдельныепроявления всеобщей драмы. Художники и архитекторы, композиторы и поэты искали новыевизуальные, словесные и музыкальные средства для выражения в искусстве своих чувств.

Позднее на авансцену вышли такие совершенно новые и существенно дискретные видыискусства, как фотография и кино, за которыми последовали развитие электронной музыки,компьютерной графики и различные сочетания этих направлений. Интересное объяснение дис-кретизации искусства дал в 1914 году французский художник Фернан Леже: «Когда едешь в ав-томобиле или скором поезде, окружающий ландшафт разбивается на фрагменты… Под воз-действием скорости открывающийся из окна вагона или автомобиля пейзаж приобретаетнепривычный вид. Современный человек посредством своих органов чувств воспринимаетв сто раз больше впечатлений, чем художник восемнадцатого века… Результатом всего этогоявляется сжатие современной картины, ее разнообразие, разрушение ее форм. Совершенноочевидно, что эволюция способов передвижения и их скорости в значительной мере изменяютспособ нашего видения», цит. по [5].

Хотя научные работы и произведения искусства далеко не одно и то же, между ними име-ется много общих черт, и их сходство не ограничивается тем, что в обоих случаях не послед-нюю роль играет эстетический критерий. Их общность намного глубже: очень похоже, что наукаи искусство развиваются параллельными путями, и корни этого параллелизма лежат в суще-стве тех процессов, которые происходят в мозге человека. В абстрактном творчестве это ста-новится особенно заметно. О параллелизме в развитии науки и искусства двадцатого столетияхорошо сказал физик и философ Дэвид Бом [6]: «Представляется очень интересным то, чторазвитие… по направлению к тому, что можно было бы назвать «чистой структурой», котороенаблюдается в математике и естественных науках, сопровождается параллельным развитиемв искусстве. Ясно видно, что, начиная с Моне и Сезанна, и далее к кубистам и Мондриану, рас-тет осознание того, что искусство вовсе не нуждается в том, чтобы представлять или символи-зировать что–либо вообще; оно, скорее, может предполагать создание чего–то нового — каквыразился Сезанн, «гармонии, параллельной гармонии природы».

3. Абстрактное искусство и Василий КандинскийВасилий Кандинский считал, что произведение искусства рождается в ответ на внутренний

импульс художника. Он называл это «принципом внутренней необходимости». Объективно нетникаких причин для того, чтобы этот импульс мог найти свое воплощение именно в объектахматериального мира. Согласно Кандинскому, напротив, никакое предметное представлениене в силах передать внутреннее побуждение художника. Это могут сделать только импровизи-рованные абстрактные образы и формы плюс свободное использование вибрирующего цвета.В 1913 году Кандинский так сформулировал суть предложенной им теории искусства: «Произ-ведение искусства состоит из двух элементов, внутреннего и внешнего. Внутренний — это эмо-ция в душе художника; эмоция обладает способностью вызывать подобную эмоцию у зрителя.<…> Последовательность состоит в следующем: эмоция (художника) → ощущение → произве-дение искусства → ощущение → эмоция (зрителя). Обе эмоции будут сходными и эквивалент-ными в той мере, в какой успешным окажется произведение. <…> Внутренний элемент, то естьэмоция, обязательно должен присутствовать; в противном случае произведение искусства ока-жется хламом. Внутренний элемент определяет форму произведения искусства», цит. по [7].

По мнению Кандинского, средств формы и цвета вполне достаточно, чтобы передать внут-ренний мир художника, его переживания и эмоции. Их только нужно соединить в адекватнуюкомпозицию. Согласно Кандинскому [7], «в живописи для выражения чувств, которые должныбыть освобождены от всего личного и неточного, используется универсальный язык, такой жеточный, как математика». «Современное искусство может родиться только там, где знаки ста-новятся символами» [8]. Возможно, в этой параллели между математикой и искусством кроютсякорни того, что абстрактные картины похожи на фракталы.

Кандинский считал, что «абстрактное искусство — тяжелейшее из искусств. Здесь необхо-димо прекрасно рисовать, обладать обостренным чувством композиции и цвета и, самое глав-ное, — быть настоящим поэтом», цит. по [4]. Василий Кандинский и был поэтом — не только

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 235

кисти, но и слова. Позвольте предложить вашему вниманию отрывок из его стихотворения «Ли-неарная медитация» [4].

я люблю бездумно чертить цветные линии:красная, зеленая, оранжевая, черная…они прихотливо бегут по бумаге,возбуждая причудливые образы,ассоциации, переживания, воспоминанияо каких–то ИНЫХ временах,ИНЫХ пространствах, ИНОМ бытии…что–то начинает смутношевелиться в сознании,радость и возбуждение охватывают сердце,кружится голова,и душа вроде бы отделяется от телаи устремляется куда–тов неописуемо прекрасные и сладостные дали…она поет и ликует там, наслаждаясь свободой,купаясь в океанах почти божественного света,переполняясь чем–то очень значимым,глубоким, сущностным…но вот останавливается бег линий,и душа спокойно забывает обо всем,опять удобно устраиваясьв мягком и теплом креслемоего расслабленного тела…

Если Вам приходилось просиживать вечерами за компьютером в путешествиях по фракта-лам, то Вы, наверное, согласитесь, что это стихотворение имеет непосредственное отношениек нашей теме. Не испытываем ли мы сходные чувства, углубляясь в бесконечность фракталь-ных картин на комплексной плоскости и читая эти поэтические строки? Что касается меня, тоопределенно − да, с единственной разницей: всякий раз я ощущаю легкое сожаление, возвра-щаясь из интригующего мира фракталов в уютное кресло неуклюжей Евклидовой геометрии.

Трудно сказать, почему рожденные во внутреннем мире художника абстрактные формы на-поминают образы из абсолютно другого мира — математического мира фракталов; почему тре-пет линий Кандинского «приводит в вибрацию человеческую душу» [9] так же, как дикая, интри-гующая красота фрактальных картин, порожденных динамическими системами на комплекснойплоскости.

4. Фракталы, Франтишек Купка, Пит Мондриан и другиеПриведенная на рис. 1, а картина Франтишека Купки — не единственная, которая вызывает

подозрение в том, что он был знаком с фракталами. Его «Диски Ньютона» (рис. 3, а), одно изпервых произведений абстрактной живописи вообще, производят такое же впечатление. Болеетого, тема пересекающихся кругов и колец, которые вроде бы хаотически разбросаны по плос-кости, отчетливо видна и в других его работах, например, в картине «Вокруг точки», рис. 3, б.Она присутствует и в творчестве других художников, в особенности Робера Делоне и его женыСони Делоне. Их работы тоже напоминают фракталы. К примеру, картина Робера Делоне, по-казанная на рис. 3, в, вызывает в памяти образ Вселенной Фурнье [2, 10], которая по существуявляется фрактальной. Не обошел вниманием тему кругов и Кандинский — на рис. 3, г приве-дена его картина «Несколько кругов».

В.А. Шлык236

а б в г

Рис. 3а — Ф. Купка «Диски Ньютона», 1912; б — Ф. Купка «Вокруг точки», 1920—1925; в — Р. Делоне «Диски», 191244;

г — В. Кандинский «Несколько кругов», 1926

И все же полотна Купки представляются особенно близкими к фракталам. Его живопись —не просто результат абстрагирования от природы. Так же как и Кандинский, используя абст-рактные, не связанные ни с какими предметами формы, Купка изображает «новую реальность».«Незачем рисовать деревья, если люди видят более красивые по пути на выставку», — писалон, цит. по [11]. Как и Кандинский, Купка утверждал, что цвет и форма составляют язык худож-ника, обладающий своей собственной эмоциональной силой. И хотя он не согласился с Гийо-мом Аполлинером, когда тот в 1912 году отнес его творчество к орфизму — новому тогда на-правлению в живописи, названному так по имени Орфея, поэта и музыканта в древнегреческоймифологии, — по сути Купка солидаризировался с основной идеей этого течения: «Цвет воз-действует на чувства подобно музыке». В работах «Аморфа. Фуга для двух цветов» и «Эскиздля Аморфа, Хроматический жар» (рис. 4, а, б), выполненных в простой цветовой палитре, Куп-ка раскрывает параллели между своими абстрактными формами и ритмическими узорами фуги.Сейчас мы обнаруживаем в них новые параллели — с формами, которые возникают при визуа-лизации метода Ньютона для вычисления корней уравнений. Это демонстрирует рис. 4, в.

а б в

Рис. 4

а — Ф. «Аморфа. Фуга для двух цветов», 1911—1912; б — Ф. Купка «Эскиз для Аморфа, Хроматический жар»,1910—1911; в — Фрактал. Визуализация метода Ньютона

Работа «Водоворот» (рис. 5, а) вызывает в памяти образы странных аттракторов, принадлежа-щих к семейству фракталов, появившихся намного позднее в нелинейной динамике. Один изних, знаменитый аттрактор Лоренца, показан на рис. 5, б.

а б

Рис. 5а — Ф. Купка «Водоворот»; б — Фрактал. Аттрактор Лоренца

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 237

Думаю, Вы найдете фрактальные реминисценции и в таких полотнах Купки, как «Философ-ская архитектура», «Plans en fuite», «Язык вертикалей»на рис. 6.

а б в

Рис. 6

а — Ф. Купка «Философская архитектура», 1913; б — Ф. Купка «Plans en fuite»;в — Ф. Купка «Язык вертикалей»

Дальнейший анализ произведений абстрактной живописи приводит к новым и новым при-мерам проявления в них фрактальных структур. Загадочность обнаруженного сходства еще бо-лее усиливается. Оказывается, дело не ограничивается ни Купкой, ни одним только периодомначала века. Мы находим живописные произведения с выраженным самоподобием форму Кандинского и обоих Делоне, Матисса и Мондриана, а также у некоторых художников, пред-ставляющих более поздние направления абстрактного искусства. Фрактальность формы обна-руживается и у сюрреалистов. Работа Сальвадора Дали на рис. 7, а говорит сама за себя,а контуры изображения человека на рис. 7, б во многих местах удивительным образом напоми-нают очертания множества Жюлиа. Рене Магритт, изображая деревья в картине «Потерянныйжокей» (рис. 7, в), свел их к очищенной от дополнительных деталей фрактальной структуре.

а б в

Рис. 7а — С. Дали. «Лицо войны», фрагмент, 1940; б — С. Дали, 1948;

в — Р. Магритт «Потерянный жокей», фрагмент, 1948

Но приведем еще несколько примеров работ, действительно, абстрактных и поэтому длянас более интересных.

Голландец Пит Мондриан (1872—1944) тоже один из пионеров абстрактного искусства.В показанной на рис. 8, а работе «Дерево II», которая относится к периоду его увлечения ку-бизмом, живопись еще предметная, но геометрическая структура объекта подчеркиваетсяи самоподобие формы вполне просматривается. Постепенно цветы, деревья и другие объектыприроды перестали служить источником вдохновения Мондриана. В 1917 году вместе с Тео ванДусбургом он основал группу Де Стийл, исповедовавшую принципы геометрического абстрак-ционизма в живописи, архитектуре и дизайне. Наибольшую известность Мондриану принеслисовершенно новые для того времени работы: бескомпромиссно плоские, в которых прямоуголь-ник холста жирными черными вертикальными и горизонтальными линиями разбит на прямо-угольники меньшего размера, которые, в свою очередь, разбиты на меньшие прямоугольники,как на Рис. 8б. Конечно, диапазон изменения масштаба здесь невелик — как, впрочем, и в лю-бом законченном изображении, в отличие от абстрактных фракталов, — но самоподобие явноприсутствует и геометрия картины отчетливо фрактальная.

В.А. Шлык238

Мондриан был очарован взаимоотношением горизонталей и вертикалей в окружающем ми-ре. Голландия — плоская морская страна, на горизонтальной поверхности земли и безбрежнойглади моря там поднимаются ввысь вертикали деревьев, мельниц, корабельных мачт и высот-ных зданий (Роттердам, где учился Мондриан, считается самым американским городом Евро-пы). Мондриан утверждал, что «сбалансированное отношение может существовать рядомс диссонансами» и именно эти отношения, а не объекты, интересовали его в первую очередь.Он пытался найти и передать универсальный порядок, чистоту и красоту, лежащие за миромвидимостей. В своих работах он часто использовал лишь три первичных цвета (красный, жел-тый, синий) и первичные не цветные тона (белый, серый, черный). Столь ограниченными сред-ствами ему удавалось передать и гармонию цвета и формы, и напряжение, и динамику.

Одно время Мондриану был близок английский художник Бен Николсон (1894—1982). Егострогие абстрактно–геометрические работы оказали огромное влияние на развитие английскогоискусства и способствовали продвижению в Британию континентального модернизма, в частно-сти, конструктивизма. Показанная на Рис. 8в. картина Николсона по своей тематике, безуслов-но, близка полотнам Мондриана.

В [12] отмечается, что «конструктивизм как родовое понятие многочисленных направлений,которое исходит из последовательно беспредметных, геометрических форм, берет началов 1913—1920 гг. в Москве с супрематизма Казимира Малевича, Александра Родченко и Влади-мира Татлина, и серии архитектурных рисунков Лазаря (Эль) Лисицкого, под названием «Про-уны». Впоследствии развитие направлений, отличных от социалистического реализма, в Совет-ском Союзе, мягко говоря, не поощрялось. Тем не менее, в искусстве, как и в науке, всегданаходились яркие личности, развивающие собственные представления об истине и о прекрас-ном, даже если они расходились с общепринятым мнением. Не могли не появиться художники–абстракционисты и в СССР. Одним из немногих, кто работал в духе геометрического абстрак-ционизма в России, был Михаил Чернышев. После предыдущих примеров, видимо, ужене столь удивительно, что в его произведениях тоже обнаруживаются фрактальные мотивы,как, например, в картине, показанной на рис. 8, г.

а б в г

Рис. 8

а — П. Мондриан. Дерево II, 1912; б — П. Мондриан. Композиция с черным, красным, серым, желтыми синим 1920; в — Б. Николсон; г — Михаил Чернышев «Удвоение I», 1976

Теперь приведем две «хаотические», но, с фрактальной точки зрения, вполне упорядочен-ные картины датского художника Асгера Йорна (1914—1973) — рис. 9, а, б. На его стиль боль-шое влияние оказали экспрессионисты: бельгиец Джеймс Енсор и швейцарец Пауль Клее. Дляживописи Йорна характерны искривленные формы и насыщенные цвета. В сороковые годы онвходил в состав немецкой школы Баухауз, а позже организовал свою группу.

На следующих двух рисунках представлены работы двух французских мастеров румынско-го и венгерского происхождения, работавших в основном во Франции. В медном барельефеЭтьена Хайду (род. 1907) на рис. 9, в мы видим разлапистую геометрическую структуру, щу-пальца которой простираются повсюду, где только найдется свободное место. Кажется, чтоскоро она займет все поле барельефа, не пропустив ни одной точки. Если выпуклые участкисузить до минимума, то вся структура, в конце концов, превратится в крайне разветвленную ли-нию, подходящую к каждой точке прямоугольного поля. Это и есть фрактал — линия, так же какфракталы Пеано и Гильберта, целиком покрывающая участок плоскости. Для сравнения загля-ните вперед на рис. 11 — там использована похожая идея.

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 239

Картину «Гиксэх» (рис. 9, г) основателя живописного стиля оп–арт Виктора Вазарели (ДёзёВашархейма, 1906—1962) можно назвать квадратной вселенной. К ней нужно присматриваться.За вибрирующими зубчатыми горизонтальными линиями обнаруживается множество квадратовразного размера. Одни, масштаб которых соответствует взгляду, видны сразу и отчетливо, дру-гие проступают постепенно. Примерно так же, вглядываясь в ночное небо, замечаешь всебольше звезд, ярких и бледных.

а б в г

Рис. 9а — А. Йорн; б — А. Йорн. «Сакснас», 1946; в —Э. Хайду. «Дающий дыхание», 1959;

г — В. Вазарели. «Гиксэх», 1955—1962

5. Фракталы и графический дизайн. Антон Штанковски ∗

Фракталы присутствуют не только в традиционных видах живописи — ведь кубизм, абст-ракционизм и экспрессионизм, сколь бы новыми ни были, это всего лишь направления в живо-писи, — но и в тех сферах изобразительного творчества, которые в двадцатом веке только поя-вились. Я говорю сейчас об искусстве дизайна: рекламе, плакате, оформлении интерьера,дизайне производства, фотографии, художественной полиграфии. Своим появлением и ста-новлением эти виды искусства в значительной мере обязаны деятельности уже упоминавшихсягруппы Де Стийл, школы Баухауз, а также Фолькванг–школы, которые с конца десятых годовпрокладывали пути развития дизайна. Они синтезировали воедино разнообразные конструк-тивные тенденции и подчеркивали единство всех искусств в целом в век науки и технологии.«<Мы> занимались тем, что исследовали общую с формальными и техническими сферами тер-риторию и устанавливали их границы», — утверждал лидер Баухауза Вальтер Гропиус [13].

Ван Дусбург создал понятие «формы–эсприт» — чисто умозрительной конструкции, кото-рую можно облечь в геометрическую форму и которая, благодаря своей точности и универ-сальности, способна выразить основные элементы и закономерности жизни и мира. Если гео-метрические формы к тому же составляются не в соответствии с эмоциями, а располагаютсялогически рационально, почти по математическим формулам, то достигается чистое «одухо-творение» искусства, считал он. Такое искусство «есть чистое выражение меры, гармонии и за-кона. Оно упорядочивает системы и с помощью художественных средств дает жизнь этим по-рядкам» [14]. Таким образом, мы возвращаемся к тому, о чем говорили вначале — отходе оттрадиционного разделения между наукой, чистым искусством и дизайном и ремеслами.

Одним из выдающихся мастеров графического дизайна является немецкий художник АнтонШтанковски (1906—1998). Его занимают проблемы, в которые «чистое» искусство никогдав полной мере не вникало: как художественными средствами передать идеи и суть процессов,в том числе абстрактных и невидимых; как, используя простой изобразительный язык, сделатьэти вещи понятными, донести их в виде художественно–графических образов до потребителейи клиентов? Штанковского называют визуалистом, понимая под визуализированием попыткисделать зримыми понятия, идеи, ход событий, преобразовать невидимые механизмы и функциив образы, перевести «реальные или мысленные упорядоченные поля» [15] в схематические илисмоделированные представления систем, изобрести знаки для невещественных понятий.В своем творчестве Штанковски применяет способы изображения и передачи информации, ис-пользуемые в современных естественнонаучных исследованиях и технологиях: таблицы, диа-граммы, модели. Но одной лишь визуальной передачи мысли и информации недостаточно — ∗ В данной части существенно использован материал из [12].

В.А. Шлык240

чтобы вызвать у зрителя и клиента чувства, а не только усилия мысли, она должна основывать-ся на визуальной эстетике и художественной фантазии. «Найти, упростить, конкретизироватьи очеловечить — это движущие факторы моей работы. При этом последнее — воплотить, пер-сонифицировать — является самым трудным. Большей частью это осуществляется с помощьюэстетического процесса, который связан с порядком. Нельзя персонифицировать, создавая ха-ос», — писал Штанковски [16].

Штанковски визуализирует такие естественные состояния и процессы, как течение време-ни, рост, размножение, соединение друг с другом, кристаллизация, внедрение друг в друга,диффузия, а также те абстрактные, трудно понимаемые процессы, которые образуют сего-дняшнюю жизнь века высоких технологий, как, например, обработка данных, спутниковая связь.В его работах упорядоченные состояния и системы, закономерности, на которых основаны ес-тественная жизнь и созданная человеком окружающая среда, становятся наглядными благода-ря комбинированию простейших геометрических форм — квадрата, треугольника, так называе-мого скошенного элемента — и расположению их на плоскости в закономерной эстетическойсвязи друг с другом. Его комбинации возбуждают фантазию, заставляют смотреть, продумы-вать, узнавать и формулировать, рассказывать истории. От зрителя требуется совместная ду-ховная работа, активное рецептивное поведение [12]. «Конструктивные изображения представ-ляют собой приглашение к визуальному размышлению, медитации, открытию; они также служатподтверждением, аллегорией и сконцентрированной гармонией на благо чувств и разума» [16].

Примеры фрактальных структур можно обнаружить во многих работах Штанковского.Его «Лучистая звезда» (рис. 10, а) напоминает множество Кантора (рис. 10, б), а «Поколения»(рис. 10, в) — ковер Серпинского (рис. 10, г).

а б в г

Рис. 10а — «Лучистая звезда», 1953; б — Фрактал. Множество Кантора;

в — А. Штанковски. Поколения, 1937; г — Фрактал. Ковер Серпинского

Работа «Сетка растительная» (рис. 11, а), действительно, передает не что иное, как абст-рактную структуру растений. Те математики, которые связаны с компьютером, узнают в ней ху-дожественное изображение своего любимого двоичного дерева. У Мандельброта [2] мы нахо-дим рассуждения по поводу другой сетки Штанковского «Многосторонние связи», (рис. 11, б).

а б в

Рис. 11а — А. Штанковски. «Сетка растительная», 1961; б — А. Штанковски. «Сетка. Многосторонние связи», 1961;в — Фрактал–цветок

Вполне возможно, что математик Бенуа Мандельброт не знал ничего о графике АнтонаШтанковского, когда писал свою книгу, хотя нельзя исключить даже возможность того, что они

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 241

были знакомы лично, — Штанковски выполнял некоторые заказы для фирмы IBM чуть раньше,чем Мандельброт начал в ней работать. Мандельброт замечает, что, изменяя угол α (рис. 11, в)в методе, который приводит ко второй сетке, можно получить веник, цветок или, как у Штанков-ского, просто математическое дерево, заполняющее плоскость.

Для прикладного математика и программиста дерево — классическая структура, во фрак-тальной геометрии это хрестоматийный пример самоподобия. Штанковского дерево интересу-ет, прежде всего, как структура роста, сопровождающегося постоянным ветвлением. Историювозникновения серии изображений на рис. 12 он объясняет следующим образом [17]: «Сериякартин «Обрезка лозы» представляет собой попытку показать виноградник с его различнымиразветвлениями. Я купил виноградник, и меня интересовало, как растет лоза, как выглядят еечасти, как она становится все более разветвленной благодаря обрезке».

Рис. 12. А. Штанковски. «Подрезка лозы», 1967

Не правда ли, любопытно было бы узнать, чему равна фрактальная размерность, напри-мер, десятого изображения, если бы Штанковски продолжил этот ряд?

Рис. 13, а дает нам еще одно дерево. Оно очень похоже на дерево Пифагора [18] (рис. 13, б),состоящее из квадратов и треугольников. Помните, это любимые геометрические фигурыШтанковского? Не случайно поэтому буква H у него квадратная. А вот стрелочки, получающие-ся за счет вырезов в H, делают видимым сам процесс роста и задают его направление. Крометого, сам факт использования буквы создает аллюзию со структурой ДНК, кодирующей гряду-щий рост.

а б в г

Рис. 13а — А. Штанковски. Фрагмент постера «Landesgartenschau Schwabisch Hall», 1982; б — Фрактал. Дерево Пифагора;

в — А. Штанковски. «Маленькое красиво», 1956; г — А. Штанковски. «Формы–близнецы, линейные», 1958

Изображение на рис. 13, в тоже визуализирует процесс. Или его идею − разбиение квадра-та на подобные ему более мелкие квадраты. Полученная упорядоченная структура содержитслучайный элемент, маленький красный квадратик, который нарушает регулярность. В немне только намек на бесконечность разбиения, он придает изображению более эстетичную фор-му — красота возникает тогда, когда порядок сочетается с определенной долей хаоса. И вовсене беда то, что такое разбиение квадрата к фракталу, строго говоря, не приводит — в этой ра-боте Штанковски сумел передать саму идею самоподобия.

Если некоторые из предыдущих примеров вполне фигуративны, то изображение на рис. 13, габсолютно абстрактно, а подобие форм подчеркнуто в самом названии.

В заключение разговора о Штанковски сравним его работу «Рост» с фрагментом множестваЖюлиа на рис. 14. Родство форм поразительно, впечатление такое, словно художник созна-тельно пытался смоделировать закон, порождающий фрактальную спираль.

В.А. Шлык242

а б

Рис. 14а — А. Штанковски. «Рост», 1939; б — Фрактал. Множество Жюлиа, фрагмент

6. Что же между ними общего?На цветных вкладках в [2], образующих как бы книгу в книге, Бенуа Мандельброт привел

три примера присутствия фракталов в искусстве. Первый пример — фронтиспис одного из биб-лейского нравоучений XIII века с подписью

ICI CRIE DEX CIEL ET TERRESOLEIL ET LUNE ET TOZ ELEMENZ,

что означаетЗДЕСЬ СОТВОРЯЕТ БОГ НЕБО И ЗЕМЛЮ

СОЛНЦЕ И ЛУНУ И ВСЕ СТИХИИ.В этом примере наряду с окружностями и волнами присутствует еще один тип геометриче-

ских форм, удачно названный в русском переводе загогулинами (в оригинале wiggles), — этакиепостоянно извивающиеся, виляющие из стороны в сторону кривые, которые, в сущности, и естьфракталы. Последнее слово подписи elemenz можно перевести еще и как элементы, подчер-кивая тем самым, что загогулины–фракталы являются одним из основных типов форм в мире.Второй пример — рисунок Леонардо да Винчи (1452—1519) «Всемирный потоп». На нем вод-ные потоки изображены в виде наложения вихрей различных размеров — их самоподобие со-вершенно очевидно. Третий — известная гравюра «Большая волна» японского художника Кацу-сики Хокусая (1760—1849), которая также изобилует вихрями и водоворотами. Как видим,компетентность в искусстве сыграла далеко не последнюю роль в создании Мандельбротомсвоего гениального труда «Фрактальная геометрия природы» и выработке им самой идеи фрак-тала. Разнообразные примеры фракталов в искусстве и архитектуре представлены в электрон-ном курсе «Введение во фрактальную геометрию», созданного Бенуа Мандельбротом и Майк-лом Фреймом в Йельском университете [19]. Но мы сейчас говорим о фракталах в аб-страктном искусстве, а это несколько другое. Приведенные многочисленные примеры неиз-бежно приводят к вопросу: почему мы обнаруживаем фрактальные формы в произведенияхабстрактного искусства, или, по крайней мере, почему эти произведения вызывают ассо-циации с фракталами?

Вернемся к Франтишеку Купке. Купка всегда проявлял склонность к научному и метафизи-ческому. Всю свою жизнь он искал другую, трансцендентную реальность, альтернативноеизмерение пространства. Руководством в его подходе к искусству выступала теософия — син-тез философии, религии и науки. Базой для его творчества служили древние мифы, теорияцвета, современные научные достижения. И все же трудно назвать рациональные причины,вследствие которых в его работах проявляются фрактальные мотивы. Современники Купки немогли видеть ни один из тех фракталов, сходство с которыми замечаем мы. Если проанализи-ровать даты, то мы обнаружим, что картина «Lignes animées» (рис. 1, а) была написана имв 1921—1923 годах, то есть почти на пять лет позже, чем французский математик Гастон Жю-лиа получил первые результаты о том, как устроены образы комплексных динамических систем

Фракталы в абстрактном искусстве и дизайне 243

(рис. 1, б). Однако Жюлиа мог видеть их только мысленно: к тому времени компьютер ещене был создан. Странные аттракторы были открыты только в 60–е годы. Один только сэр ИсаакНьютон разрабатывал свой метод на 200 лет раньше, чем работал Купка, но… у него тожене было компьютера.

Другие упомянутые нами художники — Кандинский, Делоне, Мондриан и все остальные —фракталов тоже никогда не видели. То же самое, скорее всего, можно сказать и о Штанковском,во всяком случае, большинство приведенных здесь работ были созданы им до появления поня-тия фрактала. Почему же мы находим фракталы в их работах?

Может быть, ответ помогут найти следующие соображения. Наука и искусство — всеголишь два из многих способов познания мира. Вполне естественно, что пути их развития пересе-каются и переплетаются. И вовсе не очевидно, и даже не бесспорно, что наука черпает новыеидеи только из своих собственных предыдущих достижений. Она вполне может позаимствоватьих в искусстве. Альберт Эйнштейн сказал: «Воображение важнее, чем знание. Знание ограни-чено. Воображение вскрывает тайны мира», цит. по [20]. К словам Эйнштейна близко по духувысказывание Кандинского: «Невозможно воплотить в материальную форму то, что в матери-альной форме еще не существует. Дух, который приведет нас в королевство будущего, можетявиться только через чувство».

Да, в начале XX века универсальный характер самоподобия еще не был обнаружен и поня-тие фрактала еще не сформировалось. Но сама идея уже витала в воздухе, необходимость вы-деления нового типа геометрических форм уже ощущалась. По–видимому, это чувствовалии ученые — вспомним, что именно этот период времени отмечен появлением фракталов–мон-стров в математике, — и художники. До осознания важности идеи и воплощения ее в понятияи теорию должно было пройти еще лет шестьдесят — художники воплотили ее в своих произ-ведениях намного раньше. Как тут не привести еще одно высказывание Кандинского: «Каждаядуховная эпоха выражает свое особенное содержание в той форме, которая в точности соот-ветствует этому содержанию. Таким образом, каждая эпоха обретает свой истинный облик,полный экспрессивной силы, и «вчера» преобразуется в «сегодня» в каждой духовной сфере.Но помимо этого, искусство обладает другой, исключительной способностью — ощущать «зав-тра» в «сегодня», которая составляет его созидательную и пророческую силу», цит. по [21].Разъяснение последнего тезиса мы находим в «Метафизике искусства» Артура Шопенгауэра:«картина сразу же ведет нас от индивидуального к чистой форме: и это отделение формы отматерии приводит форму намного ближе к Идее», цит. по [22].

И еще одно соображение. Согласно Мандельброту, фрактальные формы и законы присущиприроде внутренне, генетически. Следовательно, их сфера действия захватывает и процессхудожественного творчества, переход от смутных чувств и представлений — из внутреннегомира художника, по Кандинскому — к конечной картине или фуге. Почему же тогда удивительното, что фрактальные формы просвечивают через холсты некоторых абстрактных произведе-ний? Было бы намного более странно, если бы мы их там не увидели.

БлагодарностьАвтор признателен Фонду Антона Штанковского, Штутгарт, Германия, за любезно

предоставленное разрешение использовать работы художника и дополнительную информациюо них.

Список литературы1. Barnsley M. F. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. 531 p.2. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman, San Francisco, 1982. 468 p. (Русский пе-

ревод: Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. М.: Инст. компьют. исслед. 2002, 654с.).

3. Яглом И. М. Современная культура и компьютеры. М.: Знание, 1990. 46 с.4. Бычков В.В. Духовный космос Кандинского // Многогранный мир Кандинского. М.: Наука. 1999,

С. 185—206.5. Tate Modern: The Handbook. Eds. Blazwick I., Wilson S. London: Tate Publishing, 2000. 245 p.6. Bohm D. On the Relationships of Science and Art // Data: Directions in Art, Theory and Aesthetics. Ed.

A. Hill, London: Faber & Faber. 1968, P. 171—172.7. Read H. A Concise History of Modern Painting. New York: Praeger. 1959, 378 p.

В.А. Шлык244

8. Wassily Kandinsky. Ed. M. Bill. With contributions from J. Arp, Ch. Estienne, C. Giedon–Welcker,W. Grohmann, L. Grote, N. Kandinsky and A. Magnelli. Paris: Maeght. 1951, 144 p.

9. Кандинский В. В. О духовном в искусстве. Ленинград: Фонд «Ленинградская галерея». 1990, 67 с.10. Божогин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. М.: РХД, 2001. 128 с.11. Zone R. Frantisek Kupka. http://artscenecal.com/ArticlesFile/Archive/Articles1999/

Articles0499/FKupkaA.html.12. Anton Stankowski. Kunst und Design. Fotografie. Eine Ausstellung des Instituts für Auslandsbeziehungen.

Konzeption, Zusammenstellung und Text Iris Lenz. Stutgart: Institut für Auslandsbeziehungen. 1991, 111 p.13. Gropius W. Architektur. Wege zu einer optischen Kultur. Frankfurt/M., Hamburg. 1956, 138 p.14. Bill M. Konkrete Kunst. // Zeitprobleme in der Schweizer Malerei und Plastik. Exhibition Catalogue.

Kunsthaus Zurich. 1936, P. 9.15. Stankowski A. Leichter merkbar machen. Ein Beitrag zur visuellen Kommunikation. 1957. // Anton

Stankowski. Das Gesamtwerk. Ed. St. von Wiese. Stutgart. 1983, P. 420—421.16. Stankowski A. Bildpläne. Stutgart: Edition Cantz. 1979, 162 p.17. Stankowski A. Das Gesammtwerk. Ed. St. von Wiese. Stutgart: Gerd Hatje, 1983. 442 p.18. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. М.: Инст. компьют. исслед. 2002, 159 с.19. Frame M., Mandelbrot B., Neger N. Fractal Geometry: Yale University course. http://classes.yale.edu/fractals/aut02/aut02daily.html.20. Rosier B. What is Art? www.geocities.com/SoHo/Coffeehouse/6831/whatsart.html.21. Becks–Malorny U. Wassily Kandinsky 1866—1944: The journey to abstraction. Taschen. 1996, 200 p.22. Moszynska A. Abstract Art. London: Thames and Hudson. 1995, 240 p.