МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР «МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ»

УКРАЇНСЬКИЙ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ЛІЦЕЙКИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

О. Д. ПриходькоО. А. Печериця

К. В. Лукаш

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ.ЦІЛІ І РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Навчально-методичний посібник

Київ2017

Редакц ійна колег ія :О. В. Лісовий, О. А. Печериця, К. В. Лукаш,

О. Д. Приходько, Т. В. Пещеріна, Є. Д. Омельченко

Рекомендовано науково-методичною радоюНаціонального центру «Мала академія наук України»

(протокол № 4 від 29.11.2016)

Приходько О. Д.Лінійні рівняння. Цілі і раціональні вирази : навч.-метод. посіб. /О. Д. Приходько, О. А. Печериця, К. В. Лукаш; за ред. О. В. Лісового. —К., 2017. — 36 с.

Збірник підготовлений відповідно до навчальної програми Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи.

Видання містить:• контрольні завдання;• методичні рекомендації та розв’язання різних типів задач із математики;• приклади авторських задач дослідницького характеру.

Збірник адресований учасникам Всеукраїнської наукової фізико-математичної школи, а також іншим учням для підготовки до контрольних робіт із математики у Всеукраїнському конкурсі-захисті науково-дослідницьких робіт учнів – членів Малої академії наук України.

© Міністерство освіти і науки України, 2017 © Національний центр «Мала академія наук України», 2017© Український фізико-математичний ліцейКиївського національного університетуімені Тараса Шевченка, 2017

3

Шановні учні!

Мала академія наук України (МАН України), яка на сучасному етапі забезпечує процеси розвитку інтелектуальних здібностей учнів і сприяє формуванню освіченої творчої особистості, компетентної в соціально-цивілізаційному аспекті, створила освітній проект «Наукові школи МАН». Завдяки залученню до навчально-виховного процесу обдарованої молоді, а також досвідчених висококваліфікованих педагогів – викладачів вищих навчальних закладів та провідних ліцеїв, у наукових школах створено особливе освітнє середовище, в якому цінуються інтелектуальний потенціал, ерудованість, прагнення до самовдосконалення, взаємодопомога, співпраця. На заняттях учні 8–11-х класів загальноосвітніх навчальних закладів України – слухачі наукових шкіл –ознайомлюються з проблематикою науки, поглиблюють базові знання, опановують принципи, методи дослідницької діяльності, набувають навичок самостійної наукової роботи. Система організації навчання у школах поєднує колективні та індивідуальні заняття і припускає розв’язання наукової проблеми, яка передбачає, з одного боку, використання різноманітних методів, засобів навчання, а з іншого –інтегрування знань, умінь із різних галузей науки, техніки, технологій.

Навчально-виховний процес наукових шкіл містить такі складові: основи дослідницької роботи, профільний навчальний курс – теоретичний огляд та практикуми, індивідуальна дослідницька діяльність – здійснюється з використанням елементів дистанційного навчання і зазвичай передбачає три очні сесії – настановну (осінню), експериментальну (зимову) і підсумкову (весняну). Всі навчальні програми наукових шкіл ґрунтуються на проблемному та дослідницькому підходах і розділені на уроки з можливістю вільного перегляду незалежно від вибраного напряму.

Під час сесійних зборів проводяться лекційні та практичні заняття, навчально-тематичні екскурсії, особливе значення надається лабораторним і практичним роботам, у процесі яких учні набувають навичок роботи із сучасним цифровим навчальним і науковим обладнанням, оволодівають методикою виконання експерименту та закріплюють теоретичні знання.

У міжсесійний період виконуються проміжні контрольні роботи, слухачі беруть участь у вебінарах, форумах, отримують індивідуальні онлайн-консультації викладачів наукових шкіл щодо вибору теми науково-дослідницької роботи й інших питань, що виникають на різних етапах наукового пошуку.

Для підтримки процесу навчання і забезпечення його ефективності важливим є розроблення електронних навчальних комплексів та створення навчально-методичних посібників. Викладачі наукових шкіл розробляють й оновлюють теоретичні матеріали, збірники контрольних завдань, деталізують плани практичних та семінарських занять. Зокрема, колективом педагогів Українського фізико-математичного ліцею Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які забезпечують методичний супровід навчально-виховного процесу наукових шкіл фізико-математичного профілю, розроблено навчальні посібники і методичні вказівки, необхідні для якісного забезпечення навчального процесу цього напряму.

Пещеріна Тетяна Вікторівна,заступник директора НЦ «Мала академія наук України»

4

Як працювати з посібником

В основній частині цього посібника ми пригадаємо поняття лінійного рівняння та системи лінійних рівнянь, їх види та способи розв’язування, поняття степеня з натуральним показником, одночлена і многочлена. Розширимо свої знання про дроби, розглянувши поняття цілих та дробових виразів, а також правила роботи з ними. Важливо ретельно опрацьовувати та вчити кожен розділ. Не переходьте до наступного розділу, якщо щось залишається незрозумілим чи невивченим, інакше такі питання будуть накопичуватися, і з часом ви остаточно загубитесь у матеріалі.

Ми не розглядатимемо великої кількості простих розрахункових задач – вони наявні у будь-якому підручнику з алгебри за 7-й та 8-й класи, тому ви можете попрацювати з ними самостійно. Після основної частини, яка містить теорію та приклади, вам пропонуються «Завдання для самостійного розв’язання» – цев основному нескладні обчислювальні задачі тренувального характеру. Вони не перевіряються нами, але відіграють для вас украй важливу роль в опрацюванні теми.

У розділі «Контрольна робота» вам запропоновано вправи, розв’язання яких (як і робота з наступним посібником та аналогічними темами у старших класах) вимагає досконалого володіння термінологією та вміння швидко і без перешкод застосовувати наведені формули. Для цього треба розв’язати велику кількість простих розрахункових задач (як у розділі «Завдання для самостійного розв’язання»та відповідній темі вашого підручника з алгебри). Лише після цього можна досягти потрібного автоматизму та уникнути значної кількості технічних та механічнихпомилок під час оформлення розрахунків.

Якщо і після цього у вас виникають проблеми із розв’язанням вправ розділу «Контрольна робота», радимо вам повернутись до прикладів основної частини. У посібнику вам пропонується самостійно розв’язати задачі, аналогічні наведеним прикладам. Саме на них звертайте увагу і тоді, коли записуєте розв’язання задачі (правильне оформлення розв’язань відіграє важливу роль).

Бажаємо успіхів!

5

Лінійне рівняння з однією змінною

Означення. Рівність, що містить змінні (невідомі), називається рівнянням.Означення. Рівність, що містить одну змінну (невідому) величину, називають

рівнянням з однією змінною.Означення. Значення змінної, для якого рівняння перетворюється у правильну

числову рівність, називається коренем рівняння.Означення. Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести,

що коренів немає.Основні властивості рівнянь

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на те саме відмінне від нуля число.

Означення. Рівняння виду 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, у якому 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 – деякі відомі числа, а x –змінна, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Кількість коренів лінійного рівняння виду 𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒃𝒃 з однією змінною

Рівняння Розв’язання Приклади

𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≠ 0 рівняння має один корінь𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 ∶ 𝑎𝑎

6𝑎𝑎 = 2

𝑎𝑎 =13

0𝑎𝑎 = 0 рівняння має безліч розв’язків

0𝑎𝑎 = 0𝑎𝑎 – будь-яке

0𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, 𝑏𝑏 ≠ 0 рівняння не має розв’язків 0𝑎𝑎 = 5розв’язків немає

ПРИКЛАД 1. Розв’язати рівняння:23�13𝑎𝑎 − 1

2� = 4𝑎𝑎 + 2

12

.

Розв’язання. Розкриваємо дужки:29𝑎𝑎 −

13

= 4𝑎𝑎 + 2 12.

Переносимо невідомі в ліву частину, а відомі – в праву: 29 𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎 = 13 + 2 1

2.

Множимо ліву і праву частину рівняння на 18: 4𝑎𝑎 − 72𝑎𝑎 = 6 + 45.

Зводимо подібні доданки: −68𝑎𝑎 = 51.

Знаходимо 𝑎𝑎: 𝑎𝑎 = −34

.

Відповідь: 𝑎𝑎 = −34

.

6

ПРИКЛАД 2. Уранці вкладник зняв із рахунку в банку 27

усіх грошей, а після обіду – 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 175 грн. Який був початковий вклад?

Розв’язання. Нехай 𝑎𝑎 грн – початковий вклад. Зранку вкладник зняв 27 𝑎𝑎 грн,

а після обіду – �𝑎𝑎 − 27 𝑎𝑎� ∙ 0,3 грн. Складемо рівняння:

𝑎𝑎 −27𝑎𝑎 − �𝑎𝑎 − 2

7 𝑎𝑎� ∙ 0,3 = 175;

𝑎𝑎 −27𝑎𝑎 −

310

𝑎𝑎 +335

𝑎𝑎 = 175;

70𝑎𝑎 − 20𝑎𝑎 − 21𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎 = 175 ∙ 70;

35𝑎𝑎 = 175 ∙ 70;

𝑎𝑎 = 350.

Отже, початковий вклад становив 350 грн.Відповідь: 350 грн.

ПРИКЛАД 3. Для кожного значення параметра 𝑎𝑎 розв’яжіть рівняння:

(𝑎𝑎 + 9)𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 9.

Розв’язання. Якщо 𝑎𝑎 = −9, то рівняння набуває вигляду: 0 ∙ 𝑎𝑎 = 0. У цьому випадку коренем рівняння буде будь-яке дійсне число. Якщо 𝑎𝑎 ≠ −9, то корінь рівняння 𝑎𝑎 = 1.

Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = −9, то 𝑎𝑎 – будь-яке; якщо 𝑎𝑎 ≠ −9, то 𝑎𝑎 = 1.

ПРИКЛАД 4. Для кожного значення параметра 𝑎𝑎 розв’яжіть рівняння:

𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 5𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 15.

Розв’язання. Спершу виконаємо деякі перетворення, щоб привести це рівняння до зручного для аналізу вигляду:

𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 5𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎𝑎𝑎 − 15;𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎 − 15;

(𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎)𝑎𝑎 = 5(𝑎𝑎 − 3);𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 = 5(𝑎𝑎 − 3).

Якщо перед змінною 𝑎𝑎 стоїть коефіцієнт 0, то рівняння може мати безліч коренів або не мати їх взагалі, тому спершу розглядаємо ті значення параметра, які дають 0 перед змінною 𝑎𝑎. Таким чином 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3) = 0, тобто 𝑎𝑎 = 0 або 𝑎𝑎 = 3.

Якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння набуває вигляду 0 ∙ 𝑎𝑎 = −15. У цьому випадку рівняння коренів не має.

Якщо 𝑎𝑎 = 3, то рівняння набуває вигляду 0 ∙ 𝑎𝑎 = 0. У цьому випадку рівняння має безліч коренів.

7

Якщо 𝑎𝑎 ≠ 0 і 𝑎𝑎 ≠ 3, то коефіцієнт 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3) ≠ 0, тоді рівняння 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 =

= 5(𝑎𝑎 − 3) має один корінь: 𝑎𝑎 =5(𝑎𝑎−3)𝑎𝑎(𝑎𝑎−3) =

5𝑎𝑎

.

Відповідь: якщо 𝑎𝑎 = 0, то рівняння не має коренів; якщо 𝑎𝑎 = 3, то рівняння має безліч коренів; якщо 𝑎𝑎 ≠ 0 і 𝑎𝑎 ≠ 3, то рівняння має один корінь 𝑎𝑎 = 5

𝑎𝑎.

Лінійне рівняння з однією змінною з модулем

Означення. Модулем числа 𝑎𝑎 називають відстань від точки, яка зображає число 𝑎𝑎 на координатній прямій, до початку відліку.

Позначення. |𝑎𝑎| – модуль числа 𝑎𝑎.

Зауваження. З означення випливає, що |𝑎𝑎| = � 𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 ≥ 0,−𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 < 0.

Наприклад, |5| = 5; |−7| = −(−7) = 7; |𝜋𝜋 − 4| = −(𝜋𝜋 − 4) = −𝜋𝜋 + 4, оскільки (𝜋𝜋 − 4) < 0;|𝑎𝑎2 + 1| = 𝑎𝑎2 + 1;

|3𝑎𝑎 − 2| = � 3𝑎𝑎 − 2, якщо 3𝑎𝑎 − 2 ≥ 0,−(3𝑎𝑎 − 2), якщо 3𝑎𝑎 − 2 < 0; = �

3𝑎𝑎 − 2, якщо 𝑎𝑎 ≥ 23 ,

−3𝑎𝑎 + 2, якщо 𝑎𝑎 < 23 .

Деякі властивості модуля

1. |𝑎𝑎| ≥ 0 для будь-якого значення 𝑎𝑎.2. |𝑎𝑎| = |−𝑎𝑎| для будь-якого значення 𝑎𝑎.3. Якщо |𝑎𝑎| = |𝑏𝑏|, то 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 або 𝑎𝑎 = −𝑏𝑏.

Кількість коренів лінійного рівняння з модулем виду |𝒂𝒂| = 𝒂𝒂

Рівняння Розв’язання Приклади

|𝑎𝑎| = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 > 0 𝑎𝑎 = ±𝑎𝑎два розв’язки

|𝑎𝑎| = 2𝑎𝑎 = ±2

|𝑎𝑎| = 0 𝑎𝑎 = 0один розв’язок

|𝑎𝑎| = 0𝑎𝑎 = 0

|𝑎𝑎| = 𝑎𝑎, 𝑎𝑎 < 0 рівняння не має розв’язків |𝑎𝑎| = −2немає розв’язків

ПРИКЛАД 1. Розв’язати рівняння: |3 + |1 − 2𝑎𝑎|| = 5.Розв’язання. |3 + |1 − 2𝑎𝑎|| = 5;

3 + |1 − 2𝑎𝑎| = 5;|1 − 2𝑎𝑎| = 2.

1 − 2𝑎𝑎 = 2𝑎𝑎 = − 1

2.або 1 − 2𝑎𝑎 = −2;

𝑎𝑎 = 1 12.

або 3 + |1 − 2𝑎𝑎| = −5;|1 − 2𝑎𝑎| = −8 < 0.

Рівняння коренів не має.

Відповідь: 𝑎𝑎 = − 12 або 𝑎𝑎 = 1 1

2.

8

ПРИКЛАД 2. Розв’язати рівняння: |5𝑎𝑎 − 4| = |3 − 2𝑎𝑎|.Розв’язання. Використовуючи властивість 3, можемо записати, що:

5𝑎𝑎 − 4 = 3 − 2𝑎𝑎;5𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 = 3 + 4;

7𝑎𝑎 = 7;𝑎𝑎 = 1.

або 5𝑎𝑎 − 4 = −3 + 2𝑎𝑎;5𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 = −3 + 4;

3𝑎𝑎 = 1;

𝑎𝑎 =13

.

Відповідь: 𝑎𝑎 = 1 або 𝑎𝑎 =13

.

ПРИКЛАД 3. Розв’язати рівняння: |3 − 𝑎𝑎| = 2𝑎𝑎 + 7.Розв’язання. Використовуючи властивість 2, можемо записати це рівняння

таким чином: |𝑎𝑎 − 3| = 2𝑎𝑎 + 7.

Оскільки |𝑎𝑎 − 3| = � 𝑎𝑎 − 3, якщо 𝑎𝑎 ≥ 3,−𝑎𝑎 + 3, якщо 𝑎𝑎 < 3, тоді розглянемо наступні два

випадки.1) Якщо 𝑎𝑎 ≥ 3, то |𝑎𝑎 − 3| = 𝑎𝑎 − 3, тоді маємо рівняння:

𝑎𝑎 − 3 = 2𝑎𝑎 + 7;𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 = 7 + 3;

𝑎𝑎 = −10.Але 𝑎𝑎 = −10 не задовольняє умові задачі.

2) Якщо 𝑎𝑎 < 3, то |𝑎𝑎 − 3| = −𝑎𝑎 + 3, тоді маємо рівняння:−𝑎𝑎 + 3 = 2𝑎𝑎 + 7;−𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 = 7 − 3;

−3𝑎𝑎 = 4;

𝑎𝑎 = −1 13

.

Відповідь: 𝑎𝑎 = −1 13

.

Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Означення. Рівняння виду 𝜶𝜶𝒂𝒂+ 𝜷𝜷𝜷𝜷 = 𝜸𝜸, де 𝜶𝜶, 𝜷𝜷 і 𝜸𝜸 – деякі відомі числа, а 𝒂𝒂 та 𝜷𝜷 – змінні, називається лінійними рівнянням з двома змінними.

Графік рівняння 𝜶𝜶𝒂𝒂 + 𝜷𝜷𝜷𝜷 = 𝜸𝜸 за різних умов

Умова Рівняння Графік

𝛼𝛼 ≠ 0,𝛽𝛽 ≠ 0 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑘𝑘 ≠ 0лінійна залежність похила пряма

𝛼𝛼 = 0,𝛽𝛽 ≠ 0 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 горизонтальна пряма𝛼𝛼 ≠ 0,𝛽𝛽 = 0 𝑎𝑎 = 𝑘𝑘 вертикальна пряма

𝛼𝛼 = 0,𝛽𝛽 = 0, 𝛾𝛾 ≠ 0 0 = 𝛾𝛾 графік відсутній𝛼𝛼 = 0,𝛽𝛽 = 0, 𝛾𝛾 = 0 0 = 0 уся площина

9

Означення. Функцію вигляду 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑘𝑘 ≠ 0, називають лінійною залежністю.

Зауваження. Графіком лінійної залежності є пряма.

Рис. 1

Для побудови прямої достатньо задати дві точки.Якщо коефіцієнт 𝑏𝑏 = 0, то у записі лінійної залежності матимемо 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑎𝑎.Означення. Функцію вигляду 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑎𝑎, 𝑘𝑘 ≠ 0 називають прямою

пропорційністю.Зауваження. Графіком прямої пропорційності є пряма, що проходить через

початок координат.Зауваження. Тотожна рівність певної змінної деякому числу (𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 та 𝑎𝑎 = 𝑘𝑘)

також зображується за допомогою прямої.

Рис. 2

ПРИКЛАД 1. Побудувати графік рівняння:

1) (𝑎𝑎 − 4𝑦𝑦)2|𝑦𝑦 + 2| = 0;2) (𝑎𝑎 − 4)2 + |𝑦𝑦 + 2𝑎𝑎| = 0.

10

Розв’язання. 1) Оскільки добуток двох виразів дорівнює нулю, коли хоча б один із них дорівнює нулю, то (𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦)2 = 0 або |𝑦𝑦 + 2| = 0. Звідси маємо,

що 𝑦𝑦 =14𝑥𝑥 або 𝑦𝑦 = −2, тому графіком цього рівняння є пара прямих 𝑦𝑦 =

14𝑥𝑥 та

𝑦𝑦 = −2 (рис. 3).

Рис. 3 Рис. 4

2) Оскільки (𝑥𝑥 − 4)2 ≥ 0 і |𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥| ≥ 0 для будь-яких значень 𝑥𝑥 та 𝑦𝑦,то (𝑥𝑥 − 4)2 + |𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥| ≥ 0. Але за умовою ця сума дорівнює нулю. А це можливо лише у випадку, коли одночасно обидва доданки дорівнюватимуть нулю, тобто:

�(𝑥𝑥 − 4)2 = 0,|𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥| = 0;

� 𝑥𝑥 = 4,𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥;

� 𝑥𝑥 = 4,𝑦𝑦 = −8.

Отже, графіком цього рівняння є точка з координатами (4;−8) (рис. 4).

ПРИКЛАД 2. Побудувати графік функції: 𝑦𝑦 = �−2𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≤ −1,

2, якщо − 1 < 𝑥𝑥 ≤ 1,3𝑥𝑥 − 2, якщо 𝑥𝑥 > 2.

Розв’язання. Цей графік складається з трьох частин, кожна з яких обмежена умовами на змінну 𝑥𝑥:

1) у частині координатної площини, яка відповідає значенням 𝑥𝑥 ≤ −1,будуємо частину прямої 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥.

2) у частині координатної площини, яка відповідає значенням −1 < 𝑥𝑥 ≤ 1,будуємо частину горизонтальної прямої 𝑦𝑦 = 2.

11

3) у частині координатної площини, яка відповідає значенням 𝑥𝑥 > 2,будуємо частину прямої 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 2.

Отже, графіком функції буде ламана, яка складається з трьох частин (рис. 5).

ПРИКЛАД 3. Побудувати графік функції: 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙 − |𝒙𝒙 + 𝟏𝟏|.Розв’язання. Спершу розкриємо модуль. Для цього використаємо означення

модуля:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − |𝑥𝑥 + 1| = �𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 + 1), якщо 𝑥𝑥 ≥ −1,𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1), якщо 𝑥𝑥 < −1, = � −1, якщо 𝑥𝑥 ≥ −1,

2𝑥𝑥 + 1, якщо 𝑥𝑥 < −1.Отже, графіком цієї функції буде ламана, яка складається з двох частин

(рис. 6).

Рис. 5 Рис. 6

Системи лінійних рівнянь із двома змінними

Означення. Якщо дві однакові невідомі пов’язані не одним, а двома лінійними рівняннями, то вони складають систему лінійних рівнянь із двома невідомими(змінними).

Означення. Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називається така пара значень змінних, які перетворюють кожне рівняння на правильну рівність.

Означення. Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними розв’язуються одним із трьох способів:

1) графічно,2) способом підстановки,3) способом додавання.

Зауваження. Система двох лінійних рівнянь із двома змінними може мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати розв’язків взагалі.

12

Кількість розв’язків системи лінійних рівнянь

�𝒂𝒂𝟏𝟏𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝟏𝟏𝜷𝜷 = 𝒄𝒄𝟏𝟏𝒂𝒂𝟐𝟐𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝟐𝟐𝜷𝜷 = 𝒄𝒄𝟐𝟐

Розв’язок Умова Графік

Система має 1 розв’язок

𝑎𝑎1𝑎𝑎2

≠𝑏𝑏1𝑏𝑏2

прямі перетинаються

Система не має розв’язків

𝑎𝑎1𝑎𝑎2

=𝑏𝑏1𝑏𝑏2≠𝑐𝑐1𝑐𝑐2

прямі паралельні

Система має безлічрозв’язків

𝑎𝑎1𝑎𝑎2

=𝑏𝑏1𝑏𝑏2

=𝑐𝑐1𝑐𝑐2

прямі співпадають

ПРИКЛАД 1. Розв’язати систему рівнянь: �𝑎𝑎 − 3𝑦𝑦 = 1,

|2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦| = 2.Розв’язання. Оскільки рівняння |2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦| = 2 виконується, коли 2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 = 2

або 2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 = −2, то ця система розпадається на дві системи:

�𝑎𝑎 − 3𝑦𝑦 = 1;2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 = 2;𝑎𝑎 = 3𝑦𝑦 + 1;

2(3𝑦𝑦 + 1) − 𝑦𝑦 = 2;6𝑦𝑦 + 2 − 𝑦𝑦 = 2;

5𝑦𝑦 = 0;𝑦𝑦 = 0;

𝑎𝑎 = 3𝑦𝑦 + 1 = 0 + 1 = 1.(1; 0) – розв’язок.

або � 𝑎𝑎 − 3𝑦𝑦 = 1;2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 = −2;𝑎𝑎 = 3𝑦𝑦 + 1;

2(3𝑦𝑦 + 1) − 𝑦𝑦 = −2;6𝑦𝑦 + 2 − 𝑦𝑦 = −2;

5𝑦𝑦 = −4;

𝑦𝑦 = −45

;

𝑎𝑎 = 3𝑦𝑦 + 1 = −125

+1 = −75

.

�− 75

;− 45� – розв’язок.

Відповідь: (1; 0) або �− 75

;− 45�.

13

ПРИКЛАД 2. Розв’язати рівняння: 9𝑥𝑥2 − 30𝑥𝑥𝑥𝑥 + 25𝑥𝑥2 + |2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1| = 0.

Розв’язання. (3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥)2 + |2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1| = 0.

Оскільки (3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥)2 ≥ 0 і |2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1| ≥ 0 для будь-яких значень 𝑥𝑥 та 𝑥𝑥,то їх сума буде дорівнювати нулю, коли вони одночасно дорівнюють нулю, тобто рівняння (3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥)2 + |2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1| = 0 можна переписати у вигляді системи:

� (3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥)2 = 0,|2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1| = 0;

� 3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 = 0,2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1 = 0;

� 𝑥𝑥 =5𝑥𝑥3 ,

2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1 = 0;

2 ∙5𝑦𝑦3−3𝑥𝑥 + 1 = 0;

10𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 + 3 = 0;

𝑥𝑥 = −3;

𝑥𝑥 =5 ∙ (−3)

3= −5.

Отже, (−5;−3) – розв’язок цього рівняння.

Відповідь: (−5;−3).

ПРИКЛАД 3. Визначити, за яких значень параметра 𝑎𝑎 система рівнянь �3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 3,𝑎𝑎𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 = 3

не має розв’язків.Розв’язання. Ця система рівнянь не матиме розв’язків тоді, коли її коефіцієнти

будуть задовольняти такі умови: 3𝑎𝑎

=𝑎𝑎3≠33

. Звідси маємо систему:

�

3𝑎𝑎 =

𝑎𝑎3 ,

𝑎𝑎3 ≠

33 ;

�𝑎𝑎2 = 9,𝑎𝑎3 ≠ 1;

�𝑎𝑎 = 3,𝑎𝑎 ≠ 3.

Ця система не має коренів.або �𝑎𝑎 = −3,

𝑎𝑎 ≠ 3;𝑎𝑎 = −3.

Відповідь: 𝑎𝑎 = −3.

14

Степінь з натуральним показником

Означення. Степенем числа 𝑎𝑎 з натуральним показником 𝑛𝑛 (𝑛𝑛 > 1)називається добуток 𝑛𝑛 множників, кожний з яких дорівнює 𝑎𝑎:

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 ∙ … ∙ 𝑎𝑎��������� , 𝑛𝑛 > 1,𝑛𝑛 разів

де 𝑎𝑎 – основа степеня, 𝑛𝑛 – показник степеня.

Властивості степеня з натуральним показником

Пишеться Читається

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∙ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛+𝑚𝑚Під час множення степенів з однаковими основами показники додаються, а основу залишають тією самою

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∶ 𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚Під час ділення степенів з однаковими основами показники віднімаються, а основу залишають тією самою

(𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑚𝑚 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛Під час піднесення степеня до степеня показники перемножуються, а основу залишають тією самою

(𝑎𝑎𝑏𝑏)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑛𝑛Під час піднесення добутку до степеня кожний множник підносять до степеня і отриманірезультати перемножують

�𝑎𝑎𝑏𝑏�

𝑛𝑛=

𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛

Під час піднесення частки до степеня дільник і ділене підносять до степеня й отримані результати ділять

Зауваження. Необхідно уважно слідкувати за знаком «–», коли підносимо до степеня, оскільки:

2𝑛𝑛 – парний степінь,𝑛𝑛 – натуральне (−𝑎𝑎)2𝑛𝑛 = 𝑎𝑎2𝑛𝑛 (−3)4 = 34 = 81;

(−1)106 = 1106 = 1

2𝑛𝑛 + 1 – непарнийстепінь, 𝑛𝑛 – натуральне (−𝑎𝑎)2𝑛𝑛+1 = −𝑎𝑎2𝑛𝑛+1 (−2)5 = −25 = −32;

(−1)107 = −1107 = −1

ПРИКЛАД 1. Обчисліть значення виразу:219 ∙ 273 + 15 ∙ 49 ∙ 94

69 ∙ 210 + 1210 .

Розв’язання.

219 ∙ 273 + 15 ∙ 49 ∙ 94

69 ∙ 210 + 1210 =219∙ 39 + 3 ∙ 5 ∙ 218∙38

39 ∙ 29 ∙ 210 + 310∙ 220 =218 ∙ 39(2 + 5)

219 ∙ 39(1 + 3 ∙ 2) =12

.

Відповідь: 12

.

15

ПРИКЛАД 2. Порівняти числа: 599 і 2234.Розв’язання. Оскільки 53 = 125, а 27 = 128, то 53 < 27. Тоді (53)33 < (27)33,

тобто 599 < 2231. Але 2231 < 2234, таким чином 599 < 2234.

Відповідь: 599 < 2234.

ПРИКЛАД 3. Обчисліть �−2 25�

21� 5

12�20

+ (−(−1)2𝑛𝑛)2𝑛𝑛+1 −316 ∙ 210

545,

де 𝑛𝑛 – натуральне число.

Розв’язання.�−2 25�

21� 5

12�20

+ (−(−1)2𝑛𝑛)2𝑛𝑛+1 −316 ∙ 210

545 =

= �− 125 �

21� 5

12�20

+ (−1)2𝑛𝑛+1 −316 ∙ 210

(2 ∙ 33)5 = −1221

521∙520

1220+(−1)−

316∙ 210

25 ∙ 315=

= − 125 − 1 − 3 ∙ 25 = −2

25−1 − 96 = −99

25

.

Відповідь: −9925

.

Цілі вирази

Означення. Цілими раціональними виразами називаються числові вирази, а також вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня, а також ділення на відмінне від нуля число.

Наприклад, 𝑎𝑎 − 𝑦𝑦; 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏5 ; 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑦𝑦𝑛𝑛; 𝑧𝑧 ∶ 10; (3𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎4𝑦𝑦)4 – цілі вирази. Вирази

4𝑥𝑥𝑦𝑦4

; 𝑦𝑦 𝑦𝑦 + 1 не є цілими.

До цілих раціональних виразів відносяться одночлени та многочлени.Означення. Одночленом називають добуток чисел, змінних і їх натуральних

степенів.Наприклад, 6𝑎𝑎; 5𝑎𝑎𝑏𝑏2; 𝑎𝑎,−3𝑎𝑎𝑦𝑦𝑧𝑧.Означення. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх

буквених множників, що входять в одночлен.Зауваження. Якщо одночлен не містить змінних, то його степінь дорівнює

нулю.Наприклад, степінь одночлена 5𝑎𝑎3𝑦𝑦𝑧𝑧2 дорівнює 3 + 1 + 2 = 6, а степінь

одночлена 25 дорівнює 0.Означення. Одночленом стандартного вигляду називають одночлен,

записаний у такому вигляді: першим множником записаний числовий множник, після нього записані степені різних змінних. При цьому числовий множник може бути лише один і кожна змінна входить до одночлена стандартного вигляду лише один раз.

Наприклад, одночлени загального вигляду: 6; 𝑏𝑏𝑐𝑐 ∙ 2𝑏𝑏; 5𝑎𝑎 ∙ 4𝑏𝑏. Ті ж одночлени стандартного вигляду: 6; 2𝑏𝑏2𝑐𝑐; 20𝑎𝑎𝑏𝑏.

16

Означення. Числовий множник одночлена стандартного вигляду називається коефіцієнтом одночлена.

Означення. Многочленом називають алгебраїчний вираз, який становить суму або різницю одночленів.

Наприклад, 4𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 3, 7𝑏𝑏𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎𝑎𝑎.Означення. Члени многочлена, які відрізняються тільки коефіцієнтами,

є подібними.Означення. Зведення подібних членів – це спрощення многочлена шляхом

заміни суми подібних членів одним членом.Наприклад, у многочлені 4𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 7𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 4𝑎𝑎𝑏𝑏2 подібні перший і третій,

а також другий і четвертий члени, тоді після зведення подібних доданків отримаємо многочлен −3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 7𝑎𝑎𝑏𝑏2.

Означення. Многочлен, який складається із стандартних одночленів, упорядкованих за спадними степенями, серед яких немає подібних, називається многочленом стандартного вигляду.

Дії над одночленами та многочленами

1. МноженняЩоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти

і перемножити степені з однаковими основами.Наприклад, (11𝑎𝑎2𝑎𝑎2) ∙ (−2𝑎𝑎𝑏𝑏2𝑎𝑎2) = 11 ∙ (−2) ∙ 𝑎𝑎2+1 ∙ 𝑏𝑏2 ∙ 𝑎𝑎2+2 = −22𝑎𝑎3𝑏𝑏2𝑎𝑎4.

2. Піднесення до степеняЩоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього

степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підноситься одночлен.

Наприклад, (−3𝑎𝑎𝑏𝑏2𝑎𝑎3)2 = (−3)2 ∙ 𝑎𝑎2 ∙ (𝑏𝑏2)2 ∙ (𝑐𝑐3)2 = 9𝑎𝑎2𝑏𝑏4𝑐𝑐6.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: −(−2𝑐𝑐2𝑑𝑑5)7 ∙ �− 12 𝑐𝑐

4𝑑𝑑5�4.

Розв’язання. −(−2𝑐𝑐2𝑑𝑑5)7 ∙ �− 12 𝑐𝑐

4𝑑𝑑5�4

= 27𝑐𝑐2∙7𝑑𝑑5∙7 ∙ 124 𝑐𝑐

4∙4𝑑𝑑5∙4 =

= 27 ∙ 124 ∙ (𝑐𝑐14 ∙ 𝑐𝑐16) ∙ (𝑑𝑑35 ∙ 𝑑𝑑20) = 27−4𝑐𝑐14+16𝑑𝑑35+20 = 8𝑐𝑐30𝑑𝑑55.

Відповідь: 8𝑐𝑐30𝑑𝑑55.

3. Ділення одночлена на одночленЩоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на

коефіцієнт дільника, до знайденої частини дописати множниками кожну букву діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї букви у діленому і дільнику.

Наприклад, (8𝑎𝑎6𝑎𝑎3𝑧𝑧10) ∶ (4𝑎𝑎2𝑎𝑎𝑧𝑧6) =84∙ (𝑎𝑎6:𝑎𝑎2) ∙ (𝑎𝑎3:𝑎𝑎) ∙ (𝑧𝑧10: 𝑧𝑧6) = 2𝑎𝑎4𝑎𝑎2𝑧𝑧4.

17

4. Додавання та віднімання многочленівПід час додавання і віднімання многочленів користуються правилом розкриття

дужок. Наприклад,

1. (2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5) + (5𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 3) = 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 + 5𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 3 == 7𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2;

2. (2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5) − (5𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 3) = 2𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 − 5𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 3 == −3𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 8.

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз:(𝑥𝑥3 + 4𝑦𝑦3) − �𝑦𝑦3 − 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + �3𝑥𝑥3 − (3𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥3)��.

Розв’язання.(𝑥𝑥3 + 4𝑦𝑦3) − �𝑦𝑦3 − 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + �3𝑥𝑥3 − (3𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥3)�� = 𝑥𝑥3 + 4𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦 −

− �3𝑥𝑥3 − (3𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥3)� = 𝑥𝑥3 + 3𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥3 + (3𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥3) =

= −2𝑥𝑥3 + 3𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦3 + 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥3 = −10𝑥𝑥3 + 6𝑦𝑦3 + 11𝑥𝑥𝑦𝑦.

Відповідь: −10𝑥𝑥3 + 6𝑦𝑦3 + 11𝑥𝑥𝑦𝑦.

5. Множення одночлена на многочлен

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожен член многочлена помножити на одночлен і одержані одночлени додати.

Наприклад, 3𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎) = 3𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 ∙ 3𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3𝑎𝑎3 − 9𝑎𝑎2 ++3𝑎𝑎2𝑎𝑎.

6. Множення многочлена на многочленЩоб помножити многочлен на многочлен, треба кожен член одного

многочлена помножити на кожен член другого многочлена і одержані члени додати.Наприклад, (3𝑥𝑥 − 2)(2𝑥𝑥 − 3) = 3𝑥𝑥 ∙ 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 ∙ 3 − 2 ∙ 2𝑥𝑥 + 2 ∙ 3 = 6𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 −

−4𝑥𝑥 + 6 = 6𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 + 6.

7. Ділення многочлена на одночленЩоб розділити многочлен на одночлен, треба кожен член многочлена

розділити на цей одночлен і одержані результати додати.Наприклад, (7𝑥𝑥6 − 2𝑥𝑥5 + 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥) ∶ 2𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥6 ∶ 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥5 ∶ 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 ∶ 2𝑥𝑥 +

+6𝑥𝑥 ∶ 2𝑥𝑥 = 3,5𝑥𝑥5 − 𝑥𝑥4 + 1,5𝑥𝑥 + 3.

Означення. Числовим значенням алгебраїчного виразу при даних значенняхбукв, що входять до нього, називають число, яке отримуємо в результаті підстановки замість букв відповідних їм числових значень та виконання зазначених дій.

Зауваження. Зазвичай, щоб знайти значення певного виразу, спершу його потрібно спростити, а потім підставити замість змінних потрібні значення.

18

ПРИКЛАД 3. Обчисліть значення виразу (2 − 3𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2)(27𝑎𝑎3 − 2) − 3𝑎𝑎2 ×

× (2 − 3𝑎𝑎)(3𝑎𝑎2 + 11𝑎𝑎) + 6𝑎𝑎(2𝑎𝑎2 − 1), якщо 𝑎𝑎 =14

.Розв’язання. Спочатку спростимо цей вираз.

(2 − 3𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2)(27𝑎𝑎3 − 2) − 3𝑎𝑎2(2− 3𝑎𝑎)(3𝑎𝑎2 + 11𝑎𝑎) + 6𝑎𝑎(2𝑎𝑎2 − 1) =

= 54𝑎𝑎3 − 81𝑎𝑎4 − 27𝑎𝑎5 − 4 + 6𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎2(6𝑎𝑎2 + 22𝑎𝑎 − 9𝑎𝑎3 − 33𝑎𝑎2) + 12𝑎𝑎3 −

−6𝑎𝑎 = −27𝑎𝑎5 − 81𝑎𝑎4 + 54𝑎𝑎3 + 2𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 4 − 3𝑎𝑎2(−9𝑎𝑎3 − 27𝑎𝑎2 + 22𝑎𝑎) + 12𝑎𝑎3 −

−6𝑎𝑎 = −27𝑎𝑎5 − 81𝑎𝑎4 + 54𝑎𝑎3 + 2𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 4 + 27𝑎𝑎5 + 81𝑎𝑎4 − 66𝑎𝑎3 + 12𝑎𝑎3 − 6𝑎𝑎 == 2𝑎𝑎2 − 4.

За умовою 𝑎𝑎 =14

, тоді значення цього виразу становить 2 ∙ �14�

2− 4 =

= 2 ∙116

− 4 =18

− 4 = −378

.

Відповідь: −378

.

Формули скороченого множення

Формули скороченого множення – це часті випадки множення многочленів, що використовуються для розкладу многочленів на множники, для спрощення виразів, для зведення многочленів до стандартного вигляду. Всі формули скороченого множення доводяться безпосередньо розкриттям дужок і зведенням подібних доданків.

1) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 – квадрат суми;2) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 – квадрат різниці;3) 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) – різниця квадратів;4) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 – куб суми;5) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2𝑏𝑏 + 3𝑎𝑎𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏3 – куб різниці;6) 𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) – сума кубів;7) 𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2) – різниця кубів;8) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐;9) (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐.

ПРИКЛАД 1. Розкласти на множники: 𝑎𝑎4 + 2𝑎𝑎2 − 3.Розв’язання. Спершу виділимо повний квадрат, далі отриманий результат

розкладемо на множники, використовуючи формулу різниці квадратів:

𝑎𝑎4 + 2𝑎𝑎2 − 3 = (𝑎𝑎4 + 2𝑎𝑎2 + 1) − 1 − 3 = (𝑎𝑎2 + 1)2 − 4 = (𝑎𝑎2 + 1)2 − 22 =

= (𝑎𝑎2 + 1 − 2)(𝑎𝑎2 + 1 + 3) = (𝑎𝑎2 − 1)(𝑎𝑎2 + 3) = (𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 + 3).Відповідь: (𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 + 3).

19

ПРИКЛАД 2. Розкласти на множники: 2𝑎𝑎6 − 𝑦𝑦3 + 3𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 3𝑎𝑎4𝑦𝑦.Розв’язання.

2𝑎𝑎6 − 𝑦𝑦3 + 3𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 3𝑎𝑎4𝑦𝑦 = 𝑎𝑎6 + 𝑎𝑎6 − 𝑦𝑦3 + 3𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 3𝑎𝑎4𝑦𝑦 =

= 𝑎𝑎6 + (𝑎𝑎6 − 3𝑎𝑎4𝑦𝑦 + 3𝑎𝑎2𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦3) = 𝑎𝑎6 + (𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)3 = (𝑎𝑎2)3 + (𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)3 =

= (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)((𝑎𝑎2)2 − 𝑎𝑎2(𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦) + (𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)2) = (2𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎4 ++ 𝑎𝑎2𝑦𝑦 + 𝑎𝑎4 − 2𝑎𝑎2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2) = (2𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2).

Відповідь: (2𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2).

ПРИКЛАД 3. Знайти значення виразу:

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264.Розв’язання.

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= 1 ∙ (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= (2 − 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= (22 − 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= (24 − 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= (28 − 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 =

= (216 − 1)(216 + 1)(232 + 1) − 264 == (232 − 1)(232 + 1) − 264 = 264 − 1 − 264 = −1.

Відповідь:−1.

ПРИКЛАД 4. Знайти значення виразу (2007 ∙ 2027 + 100)(1997 ∙ 2037 + 400)

20173 .

Розв’язання.(2007 ∙ 2027 + 100)(1997 ∙ 2037 + 400)

20173 =

= ��2017 − 10� ∙ �2017 + 10� + 100���2017 − 20� ∙ �2017 + 20� + 400�

20173 =

=�20172 − 102 + 100��20172 − 202 + 400�

20173 =20172 ∙ 20172

20173 =20174

20173 = 2017.

Відповідь: 2017.

ПРИКЛАД 5. Відомо, що 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 12 і 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑎𝑎𝑐𝑐 = −15. Знайдіть значення виразу 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2.

Розв’язання. За формулою (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐,то 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 − 2�𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐� == 122 − 2 ∙ (−15) = 144 + 30 = 174.

Відповідь: 174.

20

Розкладання на множники виразів виду 𝒂𝒂𝒏𝒏 − 𝒃𝒃𝒏𝒏 та 𝒂𝒂𝒏𝒏 + 𝒃𝒃𝒏𝒏

Теорема. Для будь-якого натурального 𝑛𝑛 справедлива формула:

𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2+. . . +𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1). (∗)

Доведення. Щоб довести цю формулу необхідно перемножити многочлени, що знаходяться в правій частині рівності:

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2+. . . +𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1) = 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏 ++𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2+ . . . +𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−1−𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏3− . . .−𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−1 − 𝑏𝑏𝑛𝑛 == 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑏𝑛𝑛 + (𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑏𝑏) + (𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏2)+ . . . +(𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−1) =

= 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑏𝑛𝑛.∎

Теорема. Для будь-якого натурального та непарного 𝑛𝑛 справедлива формула:

𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2−. . .−𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1).

Доведення. Для доведення цієї формули використаємо формулу (∗), замінивши в ній 𝑏𝑏 на –𝑏𝑏. Тоді отримаємо: 𝑎𝑎𝑛𝑛 − (−𝑏𝑏)𝑛𝑛 = �𝑎𝑎 − (−𝑏𝑏)�(𝑎𝑎𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−2(−𝑏𝑏) ++ 𝑎𝑎𝑛𝑛−3(−𝑏𝑏)2+. . . +𝑎𝑎(−𝑏𝑏)𝑛𝑛−2 + (−𝑏𝑏)𝑛𝑛−1).

За умовою 𝑛𝑛 – непарне натуральне число, тому можемо зробити такі спрощення: 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎𝑛𝑛−1 − 𝑎𝑎𝑛𝑛−2𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−3𝑏𝑏2−. . .−𝑎𝑎𝑏𝑏𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1).∎

ПРИКЛАД 1. Розкласти на множники: 1) 𝑎𝑎15𝑏𝑏10 − 32; 2) 𝑎𝑎7 + 𝑏𝑏14𝑐𝑐21.Розв’язання.1) 𝑎𝑎15𝑏𝑏10 − 32 = (𝑎𝑎3𝑏𝑏2)5 − 25 = (𝑎𝑎3𝑏𝑏2 − 2)((𝑎𝑎3𝑏𝑏2)4 + (𝑎𝑎3𝑏𝑏2)3 ∙ 2+ (𝑎𝑎3𝑏𝑏2)2 ×

× 22 + 𝑎𝑎3𝑏𝑏2 ∙ 23 + 24) = (𝑎𝑎3𝑏𝑏2 − 2)(𝑎𝑎12𝑏𝑏8 + 2𝑎𝑎9𝑏𝑏6 + 4𝑎𝑎6𝑏𝑏4 + 8𝑎𝑎3𝑏𝑏2 + 16);2) 𝑎𝑎7 + 𝑏𝑏14𝑐𝑐21 = 𝑎𝑎7 + (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)7 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑐𝑐3)(𝑎𝑎6 − 𝑎𝑎5 ∙ 𝑏𝑏2𝑐𝑐3 + 𝑎𝑎4 ∙ (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)2 −

−𝑎𝑎3 ∙ (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)3 + 𝑎𝑎2 ∙ (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)4 − 𝑎𝑎 ∙ (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)5 + (𝑏𝑏2𝑐𝑐3)6) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑐𝑐3)(𝑎𝑎6 − 𝑎𝑎5𝑏𝑏2𝑐𝑐3 ++𝑎𝑎4𝑏𝑏4𝑐𝑐6 − 𝑎𝑎3𝑏𝑏6𝑐𝑐9 + 𝑎𝑎2𝑏𝑏8𝑐𝑐12 − 𝑎𝑎𝑏𝑏10𝑐𝑐15 + 𝑏𝑏12𝑐𝑐18).

Відповідь: 1) (𝑎𝑎3𝑏𝑏2 − 2)(𝑎𝑎12𝑏𝑏8 + 2𝑎𝑎9𝑏𝑏6 + 4𝑎𝑎6𝑏𝑏4 + 8𝑎𝑎3𝑏𝑏2 + 16);2) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2𝑐𝑐3)(𝑎𝑎6 − 𝑎𝑎5𝑏𝑏2𝑐𝑐3 + 𝑎𝑎4𝑏𝑏4𝑐𝑐6 − 𝑎𝑎3𝑏𝑏6𝑐𝑐9 + 𝑎𝑎2𝑏𝑏8𝑐𝑐12 −− 𝑎𝑎𝑏𝑏10𝑐𝑐15 + 𝑏𝑏12𝑐𝑐16).

ПРИКЛАД 2. Розв’язати рівняння: (1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2)(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎6) = (1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4)2.

Розв’язання. Зазначимо, що якщо помножити кожну з дужок на вираз (1 − 𝑎𝑎)і використати формулу (∗), то задане рівняння набуде значно простішого вигляду.Оскільки рівняння на нуль множити не можна, то вираз (1− 𝑎𝑎) ≠ 0, тобто 𝑎𝑎 ≠ 1.

Щоб випадково не втратити корінь, перед тим як помножити початкове рівняння на (1 − 𝑎𝑎), перевіримо, чи не є 1 коренем цього рівняння. Якщо 𝑎𝑎 = 1, то ліва частина рівняння набуває значення 3 ∙ 7 = 21, а права ‒ 52 = 25. Оскільки 21 ≠ 25, то 𝑎𝑎 = 1 не задовольняє рівняння, тобто не є коренем цього рівняння.

21

Тепер ми можемо помножити ліву і праву частини на (1 − 𝑎𝑎)2 ≠ 0:

(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2)(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎6)(1− 𝑎𝑎)2 == (1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4)2(1 − 𝑎𝑎)2;

�(1 − 𝑎𝑎)(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2)��(1− 𝑎𝑎)(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎6)� =

= �(1 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4)(1− 𝑎𝑎)�2;(1 − 𝑎𝑎3)(1 − 𝑎𝑎7) = (1 − 𝑎𝑎5)2;

1 − 𝑎𝑎3 − 𝑎𝑎7 + 𝑎𝑎10 = 1 − 2𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎10;𝑎𝑎7 − 2𝑎𝑎5 + 𝑎𝑎3 = 0;

𝑎𝑎3(𝑎𝑎4 − 2𝑎𝑎2 + 1) = 0;𝑎𝑎3(𝑎𝑎 − 1)2(𝑎𝑎 + 1)2 = 0;

𝑎𝑎3 = 0;𝑎𝑎 = 0.

або (𝑎𝑎 − 1)2 = 0;𝑎𝑎 − 1 = 0;𝑎𝑎 = 1.

Не задовольняє умову

або (𝑎𝑎 + 1)2 = 0;𝑎𝑎 + 1 = 0;𝑎𝑎 = −1.

Відповідь: −1; 0.

ПРИКЛАД 3. Доведіть, що число 10 … 01, яке містить 2016 нулів, складене.

Розв’язання. 10…0�12016 = 10…0�

2017 + 1 = 102017 + 1 = (10 + 1)(102016 − 102015 ++ 102014−. . .−10 + 1) = 11(102016 − 102015 + 102014−. . .−10 + 1) ⋮ 11.

Отже, число 10…0�12016 ділиться на 11, тобто 10…0�1

2016 – складене.

Розкладання многочлена на множники

Розкласти многочлен на множники означає перетворити многочлен на добуток двох чи декількох многочленів.

Є такі способи розкладання многочлена на множники:1) використання формул скороченого множення;2) винесення спільного множника за дужки;3) спосіб групування;4) комбінації різних прийомів.

Винесення спільного множника за дужки

Щоб винести спільний множник за дужки, треба:1) знайти спільний множник;2) поділити на нього кожний член многочлена, і отриманий вираз взяти в дужки;3) записати добуток спільного множника на отриману суму.

22

Зауваження. Якщо під час винесення за дужки спільний множник виноситься зі знаком «−», то знаки доданків у дужках змінюються на протилежні.

ПРИКЛАД 1. Розкласти на множники: 1) 20𝑚𝑚5𝑛𝑛2 − 30𝑚𝑚𝑛𝑛3 + 15𝑚𝑚3𝑛𝑛4;2) (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)2 + (𝑦𝑦 − 𝑎𝑎)(3𝑎𝑎 − 5𝑦𝑦); 3)−2𝑎𝑎11𝑏𝑏3 + 6𝑎𝑎8𝑏𝑏5 − 6𝑎𝑎5𝑏𝑏7 + 2𝑎𝑎2𝑏𝑏9.

Розв’язання.1) 20𝑚𝑚5𝑛𝑛2 − 30𝑚𝑚𝑛𝑛3 + 15𝑚𝑚3𝑛𝑛4 = 5𝑚𝑚𝑛𝑛2(4𝑚𝑚4 − 6𝑛𝑛 + 3𝑚𝑚2𝑛𝑛2);2) (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)2 + (𝑦𝑦 − 𝑎𝑎)(3𝑎𝑎 − 5𝑦𝑦) = (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)2 − (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(3𝑎𝑎 − 5𝑦𝑦) = (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) ×

× �(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) − (3𝑎𝑎 − 5𝑦𝑦)� = (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 − 3𝑎𝑎 + 5𝑦𝑦) = (𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(−2𝑎𝑎 + 4𝑦𝑦) == 2(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(2𝑦𝑦 − 𝑎𝑎);

3) −2𝑎𝑎11𝑏𝑏3 + 6𝑎𝑎8𝑏𝑏5 − 6𝑎𝑎5𝑏𝑏7 + 2𝑎𝑎2𝑏𝑏9 = −2𝑎𝑎2𝑏𝑏3(𝑎𝑎9 − 3𝑎𝑎6𝑏𝑏2 + 3𝑎𝑎3𝑏𝑏4 − 𝑏𝑏6) == −2𝑎𝑎2𝑏𝑏3(𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏2)3.

Відповідь: 1) 5𝑚𝑚𝑛𝑛2(4𝑚𝑚4 − 6𝑛𝑛 + 3𝑚𝑚2𝑛𝑛2); 2) 2(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(2𝑦𝑦 − 𝑎𝑎);3) −2𝑎𝑎2𝑏𝑏3(𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏2)3.

ПРИКЛАД 2. Довести, що 203 − 44 ділиться націло на 121.Розв’язання. 203 − 44 = (5 ∙ 4)3 − 44 = 53 ∙ 43 − 44 = 43(53 − 4) = 43 ∙ 121.Отже, значення цього виразу ділиться націло на 121.

Спосіб групування

Спосіб групування застосовують у разі, коли многочлени не мають спільного множника для всіх членів многочлена.

Розкласти на множники способом групування можна в три етапи:1) об’єднати доданки многочлена в групи (зазвичай, по два, рідше ‒ по тритощо), які містять загальний множник;2) винести спільний множник за дужки;3) отримані добутки мають загальний множник у вигляді многочлена, який знову винести за дужки.

Зауваження. Об’єднання членів многочлена в групи можна здійснити в різнийспосіб.

Зауваження. Не завжди групування виявляється вдалим для подальшого розкладання на множники. У цьому випадку слід спробувати об’єднати в групи інші члени многочлена.

ПРИКЛАД 3. Розкласти на множники тричлен 𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎 + 6.Розв’язання. Подамо другий член −5𝑎𝑎 у вигляді −3𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎. Тоді:

𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎 + 6 = 𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 6 = (𝑎𝑎2 − 3𝑎𝑎)− (2𝑎𝑎 − 6) = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3) − 2(𝑎𝑎 − 3) == (𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 − 2).

Відповідь: (𝑎𝑎 − 3)(𝑎𝑎 − 2).

ПРИКЛАД 4. Розв’язати рівняння: 𝑎𝑎4 − 7𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 20 = 0.Розв’язання. Віднімемо і додамо 𝑎𝑎2, а число 20 розіб’ємо на два доданки

16 і 4:

23

(𝑎𝑎4 − 8𝑎𝑎2 + 16) + (𝑎𝑎2 − 4𝑎𝑎 + 4) = 0;(𝑎𝑎2 − 4)2 + (𝑎𝑎 − 2)2 = 0;

(𝑎𝑎 − 2)2(𝑎𝑎 + 2)2 + (𝑎𝑎 − 2)2 = 0;(𝑎𝑎 − 2)2((𝑎𝑎 + 2)2 + 1) = 0;

(𝑎𝑎 − 2)2 = 0;𝑎𝑎 − 2 = 0;𝑎𝑎 = 2.

або (𝑎𝑎 + 2)2 + 1 = 0;(𝑎𝑎 + 2)2 = −1 < 0.Це рівняння не має

коренів.Відповідь: 2.

ПРИКЛАД 5. Розкласти на множники, використовуючи різні способи:

1) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)2 + (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)2 − (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)2;2) 𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎 − 2;3)𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) + 𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦).

Розв’язання. 1) (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)2 + (𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)2 − (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)2 == ((𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)2) + ((𝑎𝑎 + 𝑐𝑐)2 − (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)2) = �(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + (𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)��(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) −−(𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)�+ �(𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) + (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)��(𝑎𝑎 + 𝑐𝑐) − (𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)� = (𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑑𝑑)(𝑎𝑎 − 𝑑𝑑) ++(𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)(𝑎𝑎 − 𝑑𝑑) = (𝑎𝑎 − 𝑑𝑑)�(𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑑𝑑) + (𝑎𝑎 + 2𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)� = (𝑎𝑎 − 𝑑𝑑)(2𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 ++2𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑) = 2(𝑎𝑎 − 𝑑𝑑)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑).

2) Додамо та віднімемо 𝑎𝑎2, одночлен 3𝑎𝑎 розіб’ємо на два одночлени 𝑎𝑎 та 2𝑎𝑎,а потім отримані доданки згрупуємо.

𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎 − 2 = 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 − 2 = (𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎2) − (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎) − (2𝑎𝑎 + 2) == 𝑎𝑎2(𝑎𝑎 + 1) − 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1) − 2(𝑎𝑎 + 1) = (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − 2) = (𝑎𝑎 + 1) ×× (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 − 2) = (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 − 2) = (𝑎𝑎 + 1)�𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1) − 2(𝑎𝑎 + 1)� == (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 2) = (𝑎𝑎 + 1)2(𝑎𝑎 − 2).

3) 𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) + 𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) = 𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) + 𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧 ++𝑧𝑧 − 𝑦𝑦) = 𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) + 𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)+𝑧𝑧3(𝑧𝑧 − 𝑦𝑦) = 𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)+𝑧𝑧3(𝑧𝑧 − 𝑦𝑦) ++𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧) = [𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)+𝑧𝑧3(𝑧𝑧 − 𝑦𝑦)] + [𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) + 𝑧𝑧3(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)] == [𝑎𝑎3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)−𝑧𝑧3(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)] + [𝑦𝑦3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) − 𝑧𝑧3(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎)] = (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎3−𝑧𝑧3) + (𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) ×× (𝑦𝑦3 − 𝑧𝑧3) = (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2) + (𝑧𝑧 − 𝑎𝑎)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2) == (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2) − (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2) = (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) ×× �(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2)− (𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2)� = (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑧𝑧2 − 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦𝑧𝑧 − 𝑧𝑧2) =

= (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 − 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦𝑧𝑧) = (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎2 − 𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 − 𝑦𝑦𝑧𝑧) = (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧) ×× (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)�(𝑎𝑎 + 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) + 𝑧𝑧(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)� = (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧).

Відповідь: 1) 2(𝑎𝑎 − 𝑑𝑑)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑); 2) (𝑎𝑎 + 1)2(𝑎𝑎 − 2);3) (𝑎𝑎 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧).

Дробово-раціональні вирази

Означення. Вирази зі змінними, які можуть містити операції додавання,віднімання, множення, піднесення змінних до натурального степеня, а також ділення на вирази зі змінними, називаються дробово-раціональними виразами.

24

Зауваження. Дробові вирази відрізняються від цілих тим, що містять ділення на вираз зі змінними.

Наприклад, 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦

– дробово-раціональний вираз.

Означення. Областю визначення виразу з однією змінною називається сукупність значень змінної, за яких цей вираз має сенс.

Зауваження. Областю визначення цілого раціонального виразу є будь-яке значення змінної, оскільки цілий раціональний вираз завжди має числове значення за будь-якого значення змінної.

Зауваження. Областю визначення раціонального дробу є всі значення змінної, за яких знаменник дробу НЕ дорівнює 0.

ПРИКЛАД 1. Знайдіть область визначення виразів:

1) 𝑥𝑥 − 310

; 2)1

𝑥𝑥 + 3−

𝑥𝑥 − 110 − 5𝑥𝑥

; 3)2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥3 − 25𝑥𝑥

.

Розв’язання. 1) Оскільки знаменник цього дробу не містить змінної, тому цей вираз визначений за будь-якого значення змінної.

2) �𝑎𝑎 + 3 ≠ 0,

10 − 5𝑎𝑎 ≠ 0,

𝑎𝑎 ≠ 0; �𝑎𝑎 ≠ −3,5𝑎𝑎 ≠ 10,𝑎𝑎 ≠ 0;

�𝑎𝑎 ≠ −3,𝑎𝑎 ≠ 1

2 ,𝑎𝑎 ≠ 0.

Отже, областю визначення виразу є будь-яке значення змінної 𝑎𝑎, крім

−3; 0 та12

.

3) 𝑎𝑎3 − 25𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 5)(𝑎𝑎 − 5) ≠ 0; �𝑎𝑎 ≠ 0,𝑎𝑎 ≠ −5,𝑎𝑎 ≠ 5.

Отже, областю визначення виразу є будь-яке значення змінної 𝑎𝑎, крім −5; 0 та 5.

Відповідь: 1) 𝑎𝑎 – будь-яке; 2) 𝑎𝑎 – будь-яке, крім −3; 0 та 12

; 3) 𝑎𝑎 – будь-яке,крім −5; 0 та 5.

ПРИКЛАД 2. Знайдіть числове значення виразу 𝑎𝑎

2𝑏𝑏 + 5𝑎𝑎, якщо 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 = −2,5.

Розв’язання. Підставимо у знаменник дробу замість змінних 𝑎𝑎 та 𝑏𝑏 їх числові значення 2 ∙ (−2,5) + 5 ∙ 1 = 0. На 0 ділити не можна. Отже, за цих значень букввираз не має змісту.

Відповідь: за цих значень букв вираз не має змісту.

25

Основна властивість раціонального дробу

Означення. Вирази, відповідні значення яких однакові за будь-яких допустимих значень змінних, називають тотожно рівними.

Означення. Рівність, яка виконується за будь-яких допустимих значень змінних, називають тотожністю.

Наприклад, рівність 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 − 2

= 1 є тотожністю, оскільки вона виконується для всіх допустимих значень 𝑎𝑎, тобто за всіх значень 𝑎𝑎, крім 𝑎𝑎 = 2.

Основна властивість раціонального дробу

Якщо чисельник і знаменник раціонального дробу помножити на той самий многочлен, який тотожно не дорівнює нулю, то отримаємо дріб, тотожно рівний даному.

Зауваження. Останню властивість можна записати у вигляді:𝐴𝐴𝐵𝐵

=𝐴𝐴 ∙ 𝐶𝐶𝐵𝐵 ∙ 𝐶𝐶

,

де 𝐴𝐴,𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 – многочлени, причому многочлени 𝐵𝐵 і 𝐶𝐶 тотожно не дорівнюють нулю.Зауваження. Основна властивість раціонального дробу дає можливість

зводити дроби до спільного знаменника.Означення. Спільним знаменником двох чи декількох раціональних дробів

називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.Щоб звести дроби до спільного знаменника, потрібно:1) розкласти знаменник кожного дробу на множники, якщо це можливо;2) записати спільний знаменник, який є добутком усіх різних множників

дробів. Якщо є декілька однакових множників із різними показниками степеня, то береться множник із найбільшим показником;

3) визначити додаткові множники для кожного дробу, для чого спільний знаменник ділять на знаменник кожного дробу;

4) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник.

ПРИКЛАД 1. Звести до спільного знаменника дроби:

1) 134𝑎𝑎2𝑏𝑏

і3𝑐𝑐

10𝑎𝑎𝑏𝑏3; 2)

2𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2

і3𝑦𝑦

4𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2; 3)

𝑎𝑎 + 1𝑎𝑎3 − 1

і4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 1

.

Розв’язання. 1) Спільним знаменником для цих двох дробів буде одночлен 20𝑎𝑎2𝑏𝑏3, тоді маємо:

134𝑎𝑎2𝑏𝑏

=13 ∙ 5𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2𝑏𝑏 ∙ 5𝑏𝑏2=

65𝑏𝑏2

20𝑎𝑎2𝑏𝑏3;

3𝑐𝑐10𝑎𝑎𝑏𝑏3

=3𝑐𝑐 ∙ 2𝑎𝑎

10𝑎𝑎𝑏𝑏3 ∙ 2𝑎𝑎=

6𝑎𝑎𝑐𝑐20𝑎𝑎2𝑏𝑏3

.

2) У цьому випадку для знаходження спільного знаменника потрібно розкласти знаменник кожного дробу на множники. Тоді отримаємо такі знаменники:

26

𝑦𝑦(2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) та (2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(2𝑎𝑎 + 𝑦𝑦). Тому спільним знаменником для цих дробів буде вираз 𝑦𝑦(2𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(2𝑎𝑎 + 𝑦𝑦). Тепер зведемо дроби до спільного знаменника:

2𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦2

=2𝑥𝑥

𝑦𝑦(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) =2𝑥𝑥 ∙ (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)

𝑦𝑦(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ∙ (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) =4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦);

3𝑦𝑦4𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2

=3𝑦𝑦

(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) =3𝑦𝑦 ∙ 𝑦𝑦

(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ∙ 𝑦𝑦=

3𝑦𝑦2

𝑦𝑦(2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦).

3) Розклавши знаменник першого дробу на множники, побачимо, що спільним знаменником для цих двох дробів буде вираз (𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1), тоді перший дріб залишається без змін, а знаменник та чисельник другого дробу потрібно помножити на (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1):

𝑎𝑎 + 1𝑎𝑎3 − 1

=𝑎𝑎 + 1

(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1);

4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 1

=4𝑎𝑎 ∙ �𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1�

(𝑎𝑎 − 1) ∙ (𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1) =4𝑎𝑎3 + 4𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎

(𝑎𝑎 − 1)(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 1).

Основна властивість дробу дає можливість замінити раціональний дріб𝐴𝐴 ∙ 𝐶𝐶𝐵𝐵 ∙ 𝐶𝐶

на тотожно рівний йому раціональний дріб 𝐴𝐴𝐵𝐵

.Означення. Скоротити дріб означає поділити чисельник і знаменник дробу на

спільний множник.Зауваження. Щоб скоротити раціональний дріб, потрібно чисельник і

знаменник розкласти на множники. Якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити на ці множники.

ПРИКЛАД 1. Скоротити дроби:

1) 42𝑝𝑝2𝑞𝑞7

56𝑝𝑝10𝑞𝑞; 2)

𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥3 − 8

; 3) 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦2 − 𝑎𝑎2; 4)

𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥22 + ... + 𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1

.

Розв’язання. 1) 42𝑝𝑝2𝑞𝑞7

56𝑝𝑝10𝑞𝑞=14𝑝𝑝2𝑞𝑞 ∙ 3𝑞𝑞6

14𝑝𝑝2𝑞𝑞 ∙ 4𝑝𝑝8=3𝑞𝑞6

4𝑝𝑝8;

2) 𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥𝑥𝑥3– 8

=𝑥𝑥�𝑥𝑥2 – 4�𝑥𝑥3– 23

=𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)�𝑥𝑥 – 2�

�𝑥𝑥 – 2�(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) =�𝑥𝑥 – 2� ∙ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 2)

�𝑥𝑥 – 2� ∙ (𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) = 𝑎𝑎�𝑎𝑎 + 2�𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎 + 4;

3) 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦2− 𝑎𝑎2=𝑎𝑎(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥) − 𝑦𝑦(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)

(𝑦𝑦 − 𝑎𝑎)(𝑦𝑦 + 𝑎𝑎) =(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − 𝑎𝑎)(𝑦𝑦 + 𝑎𝑎) =

(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) ∙ (𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)(𝑦𝑦 − 𝑎𝑎) ∙ (𝑦𝑦 + 𝑎𝑎) =

=−(𝑦𝑦 − 𝑎𝑎) ∙ (𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)(𝑦𝑦 − 𝑎𝑎) ∙ (𝑦𝑦 + 𝑎𝑎) =

−(𝑏𝑏 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦 + 𝑎𝑎

=𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑎𝑎

;

4) 𝑥𝑥23 + 𝑥𝑥22 + … + 𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1=

(𝑥𝑥 − 1) ∙ �𝑥𝑥23+ 𝑥𝑥22 + … + 𝑥𝑥 + 1�(𝑥𝑥 − 1) ∙ (𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1) =

𝑥𝑥24 − 1𝑥𝑥6 − 1

=

=�𝑥𝑥12 − 1��𝑥𝑥12 + 1�

𝑥𝑥6 − 1=�𝑥𝑥6 − 1��𝑥𝑥6 + 1��𝑥𝑥12 + 1�

𝑥𝑥6 − 1= (𝑎𝑎6 + 1)(𝑎𝑎12 + 1).

27

Дії над раціональними дробами

Додавання та віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

Щоб додати (відняти) раціональні дроби з однаковими знаменниками, що тотожно не дорівнюють нулю, слід додати (відняти) їх чисельники і залишити той самий знаменник. Тобто,

𝐴𝐴𝐶𝐶

±𝐵𝐵𝐶𝐶

=𝐴𝐴 ± 𝐵𝐵𝐶𝐶

.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз:2𝑎𝑎 − 5𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

+3𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

.

Розв’язання.2𝑎𝑎 − 5𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

+3𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

=(2𝑎𝑎 − 5𝑏𝑏) + (3𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏=5𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

.

Відповідь:5𝑎𝑎 − 6𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

.

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз:10 − 2𝑎𝑎4𝑎𝑎2 − 1

+9 + 2𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎2

1 − 4𝑎𝑎2.

Розв’язання.10 − 2𝑎𝑎4𝑎𝑎2 − 1

+9 + 2𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎2

1 − 4𝑎𝑎2=10 − 2𝑎𝑎4𝑎𝑎2 − 1

−9 + 2𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎2

4𝑎𝑎2 − 1=10 − 2𝑎𝑎 − �9 + 2𝑎𝑎 − 4𝑎𝑎2�

4𝑎𝑎2 − 1=

=10 − 2𝑎𝑎 − 9 − 2𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎2

4𝑎𝑎2 − 1=1 − 4𝑎𝑎 + 4𝑎𝑎2

4𝑎𝑎2 − 1=

(2𝑎𝑎 − 1)2

(2𝑎𝑎 − 1)(2𝑎𝑎 + 1) =2𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎 + 1

.

Відповідь:2𝑎𝑎 − 12𝑎𝑎 + 1

.

Додавання та віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

Щоб додати (відняти) раціональні дроби з різними знаменниками, які тотожно не дорівнюють нулю, слід спочатку звести ці дроби до спільного знаменника, а потім виконати додавання (віднімання) отриманих раціональних дробів з однаковими знаменниками.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз:𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2

−3𝑥𝑥2 − 14𝑥𝑥 + 16

𝑥𝑥2− 4 + 2𝑎𝑎.

Розв’язання.𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2

−3𝑥𝑥2 − 14𝑥𝑥 + 16

𝑥𝑥2 − 4 + 2𝑎𝑎 =

𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥𝑥𝑥 + 2

−3𝑥𝑥2 − 14𝑥𝑥 + 16(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) +

2𝑥𝑥1

=

= (𝑎𝑎3

+ 3𝑎𝑎)�𝑎𝑎 − 2� − �3𝑎𝑎2 − 14𝑎𝑎 + 16� + 2𝑎𝑎�𝑎𝑎 + 2��𝑎𝑎 − 2��𝑎𝑎 + 2��𝑎𝑎 − 2� =

= 𝑎𝑎4 − 2𝑎𝑎3 + 3𝑎𝑎2 − 6𝑎𝑎 − 3𝑎𝑎2 + 14𝑎𝑎 − 16 + 2𝑎𝑎3 − 8𝑎𝑎�𝑎𝑎 + 2��𝑎𝑎 − 2� =

𝑥𝑥4− 16(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) =

�𝑥𝑥2− 4��𝑥𝑥2+ 4�(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) =

=�𝑎𝑎 + 2��𝑎𝑎 − 2��𝑎𝑎2+ 4�

�𝑎𝑎 + 2��𝑎𝑎 − 2� = 𝑎𝑎2 + 4.

Відповідь: 𝑎𝑎2 + 4.

28

Піднесення до степеня раціональних дробів

Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий — у знаменнику дробу. Тобто,

�𝐴𝐴𝐵𝐵�𝑛𝑛

=𝐴𝐴𝑛𝑛

𝐵𝐵𝑛𝑛.

Множення раціональних дробів

Добутком раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник дорівнює добутку їх знаменників. Тобто,

𝐴𝐴𝐵𝐵∙𝐶𝐶𝐷𝐷

=𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵𝐷𝐷

.

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз:42𝑝𝑝2𝑞𝑞3

55𝑚𝑚∙121𝑚𝑚2𝑞𝑞63𝑝𝑝7

.

Розв’язання.42𝑝𝑝2𝑞𝑞3

55𝑚𝑚∙121𝑚𝑚2𝑞𝑞63𝑝𝑝7

=42𝑝𝑝2𝑞𝑞3 ∙ 121𝑚𝑚2𝑞𝑞

55𝑚𝑚 ∙ 63𝑝𝑝7=2 ∙ 21 ∙ 112 ∙ 𝑚𝑚2𝑝𝑝2𝑞𝑞4

5 ∙ 11 ∙ 3 ∙ 21 ∙ 𝑚𝑚𝑝𝑝7=

= 2 ∙ 11 ∙ 𝑚𝑚𝑞𝑞4

5 ∙ 3 ∙ 𝑝𝑝5 =22𝑚𝑚𝑞𝑞4

15𝑝𝑝5.

Відповідь:22𝑚𝑚𝑞𝑞4

15𝑝𝑝5.

Ділення раціональних дробів

Щоб поділити один дріб на інший, потрібно перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Тобто,

𝐴𝐴𝐵𝐵

:𝐶𝐶𝐷𝐷

=𝐴𝐴𝐵𝐵∙𝐷𝐷𝐶𝐶

=𝐴𝐴𝐷𝐷𝐵𝐵𝐶𝐶

.

Зауваження. Нагадаємо, що дріб 𝑑𝑑𝑐𝑐

є оберненим до дробу𝑐𝑐𝑑𝑑

.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз:(𝑥𝑥 + 4)2

3𝑥𝑥 − 9:2𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥2− 9

.

Розв’язання.(𝑥𝑥 + 4)2

3𝑥𝑥 − 9:2𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥2− 9

=(𝑥𝑥 + 4)2

3(𝑥𝑥 − 3) :2(𝑥𝑥 + 4)

(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3) =(𝑥𝑥 + 4)2

3(𝑥𝑥 − 3) ∙(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3)

2(𝑥𝑥 + 4) =

=(𝑥𝑥 + 4)2 ∙ (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 3)

3(𝑥𝑥 − 3) ∙ 2(𝑥𝑥 + 4) =(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 3)

6.

Відповідь:(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 3)

6.

29

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз:

� 𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4

+𝑥𝑥2+ 8𝑥𝑥3− 8

−1

𝑥𝑥 − 2� ∙ � 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2− 4−

22 − 𝑥𝑥

�.Розв’язання.

1) 𝑥𝑥

𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4+𝑥𝑥2+ 8𝑥𝑥3− 8

−1

𝑥𝑥 − 2=

𝑥𝑥𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4

+𝑥𝑥2+ 8

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) −

−1

𝑥𝑥 − 2=𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) + �𝑥𝑥2+ 8� − �𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4�

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) =𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2+ 8 − 𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 − 4

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) =

= 𝑎𝑎2− 4𝑎𝑎 + 4�𝑎𝑎 − 2��𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎 + 4� =

(𝑥𝑥 − 2)2

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4) =𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4.

2) 𝑥𝑥2

𝑥𝑥2− 4−

22 − 𝑥𝑥

=𝑥𝑥2

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) +2

𝑥𝑥 − 2=

𝑥𝑥2+ 2(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) =

𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2);

3) 𝑥𝑥 − 2

𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4∙

𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥 + 4(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) =

1𝑥𝑥 + 2

.

Відповідь:1

𝑥𝑥 + 2.

ПРИКЛАД 3. Знайти суму:1

1+ 1

1+ 13+ 1

4+ 1…+ 1𝑛𝑛

+1

2+ 1

3+ 14+ 1

…+ 1𝑛𝑛

.

Розв’язання. Зробимо заміну 𝐴𝐴 =1

3+ 1

4+ 1…+1𝑛𝑛

. Тоді отримаємо:

1

1 + 11+ 1

3+ 14+ 1

…+ 1𝑛𝑛

+1

2 + 13+ 1

4+ 1…+ 1𝑛𝑛

=1

1 + 11 + 𝐴𝐴

+1

2 + 𝐴𝐴=

=1

1 + 𝐴𝐴 + 11 + 𝐴𝐴

+1

2 + 𝐴𝐴=1 + 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴

+1

2 + 𝐴𝐴=2 + 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴

= 1.

Відповідь: 1.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

1. У рівності 2(1,5𝑎𝑎 − 0,5) = 7𝑎𝑎 + ∗ замініть зірочку таким виразом, щоб утворилось рівняння, яке: 1) не має коренів; 2) має безліч коренів; 3) має один корінь.

2. Для всіх значень параметра 𝑎𝑎 розв’яжіть рівняння 𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 5𝑎𝑎 = 9𝑎𝑎 − 15.

30

3. Розв’яжіть рівняння:

а)8𝑥𝑥 − 53

−4𝑥𝑥 + 34

+2 − 9𝑥𝑥2

= −3;

б)𝑥𝑥 + 14

−2𝑎𝑎 =5 − 3𝑥𝑥2

− �𝑎𝑎 +𝑥𝑥 − 38�;

в) 13�𝑎𝑎 + 3

12 � − 5 �2 − 1

5 𝑎𝑎� − �𝑎𝑎 − �23 − 𝑎𝑎�� = − 7 1

6.

4. Підприємець поклав у банк 3000 грн, причому по одній частині вкладу йому нараховували 7% річних, а по другій – 8% річних. Через рік він одержав 222 грн прибутку. Знайдіть, яку суму було внесено на кожний вид вкладу.

5. Розв’яжіть рівняння:

а) �|3𝑎𝑎 − 4| − 5� = 12;

б) ���|𝑎𝑎 − 1| + 2� − 1� + 1� = 2.

6. Розв’яжіть системи рівнянь:

а) � 2(4𝑎𝑎 − 5) − 3(3 + 4𝑦𝑦) = 5,7(6𝑦𝑦 − 1) − (4 + 3𝑎𝑎) = 21𝑦𝑦 − 86;

б) �3𝑎𝑎 − 𝑦𝑦 = 1,

|𝑎𝑎 − 2𝑦𝑦| = 2;

в) � (3𝑦𝑦 − 4)2 − 2(1 − 3𝑎𝑎) = (2 + 3𝑦𝑦)(3𝑦𝑦 − 2) − 1,5(2𝑦𝑦 − 3𝑎𝑎),(2 − 𝑎𝑎)(4 + 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2)− 𝑎𝑎(𝑎𝑎2 − 2) = 12𝑦𝑦2 − (−4 − 4𝑦𝑦)(1 − 3𝑦𝑦).

7. За яких значень параметра 𝑎𝑎:

а) графік функції 𝑦𝑦 = (𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 − 9 проходить через точку 𝐴𝐴(2; 1);

б) графік функції 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 4 + 2𝑎𝑎 проходить через точку перетину прямої 𝑦𝑦 − 3𝑎𝑎 = 2із віссю абсцис;

в) графік функції 𝑦𝑦 = (2𝑎𝑎 + 1)𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 перетинає пряму 𝑦𝑦 = 3𝑎𝑎 − 4 на осі ординат;

г) графік функції 𝑦𝑦 = 2𝑎𝑎 − 5 + 3𝑎𝑎 проходить через точку перетину прямих 𝑦𝑦 − 2𝑎𝑎 = 3 і 𝑦𝑦 + 𝑎𝑎 − 6 = 0;

ґ) графік функції 𝑦𝑦 = (6− 5𝑎𝑎)𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 + 2 паралельний до осі абсцис;

д) графік функції 𝑦𝑦 = (4𝑎𝑎 + 1)𝑎𝑎 − 6 паралельний до прямої 𝑦𝑦 = −7𝑎𝑎𝑎𝑎 + 0,5;е) графіки функцій 𝑦𝑦 = (2 − 5𝑎𝑎)𝑎𝑎 − 6 − 𝑎𝑎і 𝑦𝑦 = (2𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 − 8 не перетинаються?

8. За яких значень 𝑎𝑎 система � 𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 1 − 𝑎𝑎,𝑏𝑏𝑎𝑎 + (3 − 2𝑏𝑏)𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 3 має єдиний розв’язок (1; 1)?

9. За якого значення 𝑎𝑎 система рівнянь �𝑎𝑎 + (1 − 𝑎𝑎)𝑦𝑦 = 2,

(𝑎𝑎 + 2)𝑎𝑎 + 2𝑦𝑦 = 4 − 𝑎𝑎2 має безліч

розв’язків?

31

10. Для всіх значень параметра 𝑎𝑎 розв’яжіть рівняння:

а) (𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 = 1;б) 𝑎𝑎3(𝑎𝑎 − 𝑎𝑎) = 9(𝑎𝑎𝑎𝑎 − 9);в) 𝑎𝑎2(𝑎𝑎 − 1) + 6𝑎𝑎 = (5𝑎𝑎 − 2)𝑎𝑎;г) 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5𝑎𝑎 − 1;ґ) 3𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2𝑎𝑎 − 3 + 𝑎𝑎;д) 𝑎𝑎2𝑎𝑎 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 − 3) + 3;е) (𝑎𝑎 − 7)(𝑎𝑎 − 3)𝑎𝑎 = (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 7);є) 𝑎𝑎2(𝑎𝑎 − 1) = 4𝑎𝑎 + 3𝑎𝑎 + 2.

11. Спростіть вираз:

а)310 ∙ �35�

3

(35)4 ∙ 3;

б) 2 ∙ 320− 5 ∙ 319

99;

в)25 ∙ �108 ∙ 67− 108 ∙ 66�

2163− 364;

г)�3 ∙ 230+ 7 ∙ 219� ∙ 52

(13 ∙ 84)2 ;

ґ)�315+ 313� ∙ 29

(314+ 312) ∙ 1024;

д)�−311�

2∙ (94)2 ∙ (−34)3

273 ∙ 813 ∙ (96)3 ;

е)219 ∙ 273 + 15 ∙ 49∙ 94

69 ∙ 210 + 1210;

є)12 ∙ 1812 − 615 ∙ 310

21 ∙ 911 ∙ 46 + 323 ∙ 84;

ж)39 ∙ 710

218− 1012

43 ∙ 511 ∙ 2;

з) 2112

95 ∙ 710 ∙ 3− 211 ∙ 510

108;

и)�42 ∙ 14�

3∙ (98 ∙ 2)4 ∙ 143

(72 ∙ 16)7 ∙ 22;

і) �−2 35�

17� 5

13�16

+ (−(−1)2𝑛𝑛)2𝑛𝑛+1 −1008

215514, де 𝑛𝑛 – натуральне число;

ї) (0,4)8 ∙ (−5)8 ∙ ��− 13�

7∙ 67� ∶ ��3 1

2�14∙ �− 2

7�13� : 323.

32

12. Доведіть тотожність виразів:

а) (𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎2 + 1)(𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎2 + 1) = 𝑎𝑎8 + 𝑎𝑎4 + 1;б) (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎2 + 5𝑎𝑎 + 6) = (𝑎𝑎2 + 3𝑎𝑎 + 2)(𝑎𝑎 + 3).

13. Значення змінних 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 такі, що 2𝑎𝑎2𝑏𝑏 = 7,𝑎𝑎3𝑐𝑐2 = 2. Знайдіть значення виразу

217𝑎𝑎8𝑏𝑏𝑐𝑐4.

14. Відомо, що 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 8 і 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 = 110. Знайдіть значення виразу 𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑏𝑏𝑐𝑐.

15. Подайте у вигляді многочлена вираз: 𝑎𝑎𝑏𝑏9����� + 7𝑎𝑎����.

16. Розкладіть на множники: а) 49𝑐𝑐2 − 14𝑐𝑐 + 1 − 21𝑎𝑎𝑐𝑐 + 3𝑎𝑎;б) 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦4;в) 𝑏𝑏3 − 2𝑏𝑏2 − 2𝑏𝑏 + 1;г) 2𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 1;ґ) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)3 + (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)3 + (𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)3;д) (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)3 + (𝑧𝑧2 − 𝑥𝑥2)3 − (𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2)3;е) 𝑥𝑥5 + 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1;є) 𝑥𝑥4 + 64;ж) 𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥2 − 4;з) 𝑎𝑎8 + 𝑎𝑎 + 1.

17. Розв’яжіть рівняння: 𝑥𝑥4 − 10𝑥𝑥3 + 250𝑥𝑥 − 625 = 0.

18. Доведіть, що 973 + 783 + 972 − 782 ділиться на 175.

19. Доведіть тотожність: (𝑎𝑎 + 1)4 = 𝑎𝑎4 + 4𝑎𝑎3 + 6𝑎𝑎2 + 4𝑎𝑎 + 1.20. Знайдіть значення виразу:а) 524 − (53 − 2)(53 + 2)(56 + 4)(512 + 16);

б)1

2 ∙ 5+

15 ∙ 8

+1

8 ∙ 11+

111 ∙ 14

+ . . . +1

101 ∙ 104;

в)�22 − 12��32 − 22��42 − 32� ∙ … ∙ �1002 − 992�

12 ∙ 22 ∙ 32 ∙ … ∙ 1002;

г) �1 −14� �1 −

19� �1 −

116� ∙ … ∙ �1 −

1144�.

21. Спростіть вирази:

а) �𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏

+𝑎𝑎 − 3𝑏𝑏𝑎𝑎 + 3𝑏𝑏

−𝑎𝑎2+ 9𝑏𝑏2

𝑎𝑎2− 9𝑏𝑏2� ∙ 5𝑎𝑎

2− 45𝑏𝑏2

𝑎𝑎2+ 9𝑏𝑏2;

б)1

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦�𝑥𝑥𝑦𝑦−𝑦𝑦𝑥𝑥� − 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦

𝑥𝑥𝑦𝑦+1𝑦𝑦

;

в) � 1𝑎𝑎 + 1

−3

𝑎𝑎3 + 1+

3𝑎𝑎2− 𝑎𝑎 + 1

� ∙ �𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 − 1𝑎𝑎 + 1

�;

33

г)2𝑎𝑎

2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏+16𝑎𝑎2𝑏𝑏 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏2

𝑏𝑏3 − 8𝑎𝑎3+

𝑏𝑏2 + 6𝑎𝑎𝑏𝑏4𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

;

ґ) � 13 + 9𝑥𝑥

−1 − 𝑥𝑥

27𝑥𝑥3+ 1:

1 − 3𝑥𝑥9𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥 + 1

� ∙ 9𝑥𝑥 + 33𝑥𝑥 − 1

;

д) � 𝑎𝑎2

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏−

𝑎𝑎3

𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2� : � 𝑎𝑎

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏−

𝑎𝑎2

𝑎𝑎2− 𝑏𝑏2�;

е)5𝑎𝑎 + 42𝑎𝑎 + 8

− �𝑎𝑎 − 8𝑎𝑎 + 4

�2∙ � 𝑎𝑎 + 10

64 − 16𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2−

𝑎𝑎 + 664 − 𝑎𝑎2

�;

є) � 2 + 𝑥𝑥(2 − 𝑥𝑥)2 +

4𝑥𝑥2− 4

+2 − 𝑥𝑥

(2 + 𝑥𝑥)2� :16𝑥𝑥2

16 − 𝑥𝑥4+

𝑥𝑥2

𝑥𝑥2− 4;

ж) � 3𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 4

+1

𝑥𝑥 + 2−4𝑥𝑥 − 28𝑥𝑥3+ 8

� ∙ 𝑥𝑥2− 44

;

з) � 32𝑥𝑥 − 𝑦𝑦

−2

2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦−

12𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦

� :𝑦𝑦2

4𝑥𝑥2− 𝑦𝑦2;

и)2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

+ � 3(𝑥𝑥 − 1)2

−3

𝑥𝑥2− 1� :

3𝑥𝑥2− 2𝑥𝑥 + 1

;

і) � 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥

+𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥2+ 3𝑥𝑥

� ∙ 9𝑥𝑥 − 𝑥𝑥3

𝑥𝑥2+ 9;

ї) �𝑎𝑎 − 𝑥𝑥3+ 82𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

� ∙ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2)2 +

22 − 𝑥𝑥

;

й) �𝑥𝑥3+ 1

𝑥𝑥2− 1+

3𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1

� ∙ �1 −2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1

�2;

к) (𝑥𝑥 + 3)2

𝑥𝑥: �𝑥𝑥

3− 27𝑥𝑥2− 3𝑥𝑥

− 𝑎𝑎� − 𝑥𝑥3

;

л) �𝑎𝑎3+ 𝑏𝑏3

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏− 𝑎𝑎𝑏𝑏� : �𝑎𝑎

2− 𝑏𝑏2

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏�

2

;

м) � 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

+ 𝑎𝑎� ∙ � 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

− 𝑏𝑏� :𝑎𝑎2𝑏𝑏2

𝑏𝑏2− 𝑎𝑎2;

н) � 3 − 𝑎𝑎𝑎𝑎2− 2𝑎𝑎 + 1

−2

1 − 𝑎𝑎� � 𝑎𝑎2− 3𝑎𝑎

𝑎𝑎3+ 3𝑎𝑎2+ 3𝑎𝑎 + 1+

1𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎 + 1

�;

о)1

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 − 𝑧𝑧) +1

(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑦𝑦 − 𝑥𝑥) +1

(𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)(𝑧𝑧 − 𝑦𝑦);

п)1𝑎𝑎 + 1𝑏𝑏 + 1𝑐𝑐1𝑎𝑎𝑏𝑏 + 1𝑏𝑏𝑐𝑐 + 1𝑎𝑎𝑐𝑐

;

р) 1𝑎𝑎 + 1

𝑏𝑏 + 𝑐𝑐1𝑎𝑎 − 1

𝑏𝑏 + 𝑐𝑐∙ �1 +

𝑏𝑏2+ 𝑐𝑐2− 𝑎𝑎2

2𝑏𝑏𝑐𝑐�.

34

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

№ 1. Що більше: а) 3200 чи 2300; б) 12613 чи 2418; в) 5111 чи 1170?Відповідь обґрунтуйте.

№ 2. Спростіть: 1)12 ∙ 1812− 615 ∙ 310

21 ∙ 911 ∙ 46+ 323 ∙ 84; 2)

�52 ∙ 15�3∙ (9 ∙ 5)4 ∙ 153

(32 ∙ 25)7 ∙ 51.

№ 3. Нехай 𝐴𝐴 =12�𝑎𝑎 +

1𝑥𝑥� 𝑎𝑎 +

12�𝑎𝑎 − 1

𝑥𝑥� 𝑏𝑏; 𝐵𝐵 =

12�𝑎𝑎 − 1

𝑥𝑥� 𝑎𝑎 +

12�𝑎𝑎 +

1𝑥𝑥� 𝑏𝑏.

Доведіть, що 𝐴𝐴2 − 𝐵𝐵2 = 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2.

№ 4. Знайдіть значення виразу: (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2)(𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏4)(𝑎𝑎8 + 𝑏𝑏8)(𝑎𝑎16 + 𝑏𝑏16),за 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 + 1.

№ 5. Розкладіть на множники:

1) 27𝑐𝑐3 − 𝑑𝑑3 + 9𝑐𝑐2 + 3𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝑑𝑑2;

2) 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 −1625 𝑎𝑎

2 + 1 − 19

16 𝑦𝑦2;

3) 𝑎𝑎4 + 2016𝑎𝑎2 + 2015𝑎𝑎 + 2016.

№ 6. Якого найменшого значення може набувати вираз (𝑎𝑎 − 1)2 + (𝑎𝑎 − 2)2 ++ (𝑎𝑎 − 3)2? За якого найменшого значення 𝑎𝑎 це досягається? Відповідь обґрунтуйте.

№ 7. Розв’яжіть рівняння: 2 �𝑎𝑎 − 2 13� + 5 �1 − 1

5 𝑎𝑎� − 2�𝑎𝑎 − �2𝑎𝑎 − 13�� = −1 1

12.

№ 8. Розв’яжіть рівняння: �3− �3 − |4 − 𝑎𝑎|�� = 1.

№ 9. За всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння:(𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 − 7)𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 − 1.

№ 10. Розв’яжіть систему рівнянь:

�(𝑎𝑎 + 𝑦𝑦)(𝑎𝑎 − 𝑦𝑦) − 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 10) = 𝑦𝑦(5− 𝑦𝑦) + 15,

(𝑎𝑎 + 1)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = (𝑎𝑎 + 4)2 + (𝑦𝑦 + 2)2 − 18.

№ 11. За якого значення 𝑎𝑎 система рівнянь �(𝑎𝑎 + 1)𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 = 3,2𝑎𝑎 − (𝑎𝑎 − 2)𝑦𝑦 = 6 не має

розв’язків?

№ 12. Виконайте зображення в площині 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑦𝑦 геометричної фігури, координати якої задовольняють рівняння: (𝑎𝑎2 − 4𝑦𝑦2) ∙ (𝑎𝑎2 − 2𝑎𝑎 + 1 + |𝑦𝑦 + 2|) = 0.

№ 13. Спростіть вирази:

а)9

𝑎𝑎4− 8𝑎𝑎2+ 16∶ � 2𝑎𝑎 − 1

𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎 + 4+

1𝑎𝑎 − 2

+9𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎3− 8

�2

+𝑎𝑎 + 1

(𝑎𝑎 − 2)2+ 8𝑎𝑎;

б) �𝑚𝑚2− 1

𝑛𝑛2�𝑚𝑚�𝑛𝑛 + 1𝑚𝑚�

𝑛𝑛−𝑚𝑚

�𝑛𝑛2− 1𝑚𝑚2�𝑛𝑛�𝑚𝑚 − 1𝑛𝑛�

𝑚𝑚−𝑛𝑛 .

35

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Довідник школяра. Математика для 5–8 класів / Укладач О. К. Смолякова. –Донецьк : ТОВ ВКФ «БАО», 2002. – 432 с.

2. Мерзляк А. Г. Алгебра: підручн. для 8 кл. з поглибл. вивченням математики / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. – Х. : Гімназія, 2013. –368 с. ‒ іл.

3. Мерзляк А. Г. Алгебра. Пропедевтика поглибленого вивчення : навч. посіб. для 7 кл. з поглибленим вивченням математики / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. – Х. : Гімназія, 2015. – 240 с. ‒ іл.

4. Мордюкович А. Г. и др. Алгебра 8 кл. В двух частях : задачник для общеобразоват. учереждений / А. Г. Мордюкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. – 5-е изд., испр. – М. : Мнемозина, 2003. ‒ Ч. 2 – 239 с. ‒ ил.

Формат 60х84/16. Друк цифровий.Папір офсетний 80 г/м2.

Навчально-методичний посібник

ПРИХОДЬКО ОЛЬГА ДМИТРІВНАПЕЧЕРИЦЯ ОЛЕКСІЙ АНАТОЛІЙОВИЧ

ЛУКАШ КАТЕРИНА ВАСИЛІВНА

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ.ЦІЛІ І РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ