경 제 수 학 MATHEMATICAL ECONOMICS

경 제 수 학 경 제 수 학MATHEMATICAL ECONOMICSMATHEMATICAL ECONOMICS

경 제 수 학 경 제 수 학MATHEMATICAL ECONOMICSMATHEMATICAL ECONOMICS

이 기 성이 기 성이 기 성이 기 성

제제 11 장장

수리경제학의 수리경제학의 성격성격

제제 11 장장

수리경제학의 수리경제학의 성격성격

수리경제학의 성격수리경제학의 성격 수리경제학의 성격수리경제학의 성격

수리경제학 (mathematical economics) 수리경제학 (mathematical economics)

경제분석의 한 접근방법으로서 수학기호를 사용하여 문제를 서술하고 , 그 해결을 위한 추론과정에서 수학의 정리를 이용 수리경제학에서는 수학의 모든 분야를 이용하는 것이 아니라 경제학 분석에 응용 가능한 수학적 지식을 이용함 .

전통적으로 수리경제학에서 다루는 수학 기법으로는 기하학 이외에 행렬대수 , 미분 및 적분법 , 미분 및 차분방정식 등임 .

경제분석의 한 접근방법으로서 수학기호를 사용하여 문제를 서술하고 , 그 해결을 위한 추론과정에서 수학의 정리를 이용 수리경제학에서는 수학의 모든 분야를 이용하는 것이 아니라 경제학 분석에 응용 가능한 수학적 지식을 이용함 .

전통적으로 수리경제학에서 다루는 수학 기법으로는 기하학 이외에 행렬대수 , 미분 및 적분법 , 미분 및 차분방정식 등임 .

수 학

경제이론( 경제모형 )

경제현실

경제현실 설명 , 적용 , 응용

경제학각 과목의 영역

( 미시 , 거시 등 )

수리경제학의 영역

수리경제학의 영역수리경제학의 영역 수리경제학의 영역수리경제학의 영역

수리경제학과 비수리경제학수리경제학과 비수리경제학 수리경제학과 비수리경제학수리경제학과 비수리경제학

Mathematical economics & Literary economics Mathematical economics & Literary economics

모든 이론의 분석 목적은 ‘항상 주어진 일단의 가정이나 공준들로부터 추론과정을 통해 결론이나 정리를 도출 하는 것’임 .

수리경제학 (mathematical economics) :

가정과 결론을 수학기호 , 수식으로 표현하며 , 추론과정 에서 수학정리를 이용 비수리경제학 (literary economics) :

가정과 결론을 단어 , 문장으로 표현하며 , 추론과정에서 비수학적 논리를 이용

모든 이론의 분석 목적은 ‘항상 주어진 일단의 가정이나 공준들로부터 추론과정을 통해 결론이나 정리를 도출 하는 것’임 .

수리경제학 (mathematical economics) :

가정과 결론을 수학기호 , 수식으로 표현하며 , 추론과정 에서 수학정리를 이용 비수리경제학 (literary economics) :

가정과 결론을 단어 , 문장으로 표현하며 , 추론과정에서 비수학적 논리를 이용

기하학과 수리경제학기하학과 수리경제학 기하학과 수리경제학기하학과 수리경제학

기하학적 분석과 수리적 분석 기하학적 분석과 수리적 분석

기하학적 분석의 장점 :

시각적인 장점 기하학적 분석의 한계 :

차원의 제한 ( 예 : 3 차원 이상의 그래프 유도 불가능 )

수리적 분석의 장점 :

- 수학기호 ( 언어 ) 의 간결성과 정확성 - 풍부한 수학적 정리의 사용 - 명시적 가정의 서술 - 변수가 n 개인 일반적인 경우에의 적용 가능

기하학적 분석의 장점 :

시각적인 장점 기하학적 분석의 한계 :

차원의 제한 ( 예 : 3 차원 이상의 그래프 유도 불가능 )

수리적 분석의 장점 :

- 수학기호 ( 언어 ) 의 간결성과 정확성 - 풍부한 수학적 정리의 사용 - 명시적 가정의 서술 - 변수가 n 개인 일반적인 경우에의 적용 가능

수리경제학과 계량경제학수리경제학과 계량경제학 수리경제학과 계량경제학수리경제학과 계량경제학

Mathematical economics & Econometrics Mathematical economics & Econometrics

계량경제학 (econometrics) :

경제자료의 측정을 다루는 분야로 추정과 가설검정의 통계적 방법을 이용하여 경험적으로 관측된 것을 연구하는 분야 수리경제학 (mathematical economics) :

통계적 문제에는 관심을 두지 않고 경제분석의 순수이론적 측면에 수학을 적용함 .

계량경제학 (econometrics) :

경제자료의 측정을 다루는 분야로 추정과 가설검정의 통계적 방법을 이용하여 경험적으로 관측된 것을 연구하는 분야 수리경제학 (mathematical economics) :

통계적 문제에는 관심을 두지 않고 경제분석의 순수이론적 측면에 수학을 적용함 .

수리경제학과 계량경제학수리경제학과 계량경제학 수리경제학과 계량경제학수리경제학과 계량경제학

Mathematical economics & Econometrics Mathematical economics & Econometrics

그러나 경험적 연구와 이론적 분석은 상호보완적이며 서로 보강해 주는 역할을 함 .

→ 즉 , 이론이 신뢰성을 가지고 적용되려면 ,

이에 앞서 경험적 자료에 의한 검정과정을 거쳐야 함 .

또한 통계적 작업이 의미 있고 유용한 연구방향을 결정하려면 그 지침으로서 경제이론이 필요함 .

예 : Keynes 의 소비함수의 이론적 연구→소비성향의 통계적 추정→ Friedman 의 소비함수 이론의 정치화

그러나 경험적 연구와 이론적 분석은 상호보완적이며 서로 보강해 주는 역할을 함 .

→ 즉 , 이론이 신뢰성을 가지고 적용되려면 ,

이에 앞서 경험적 자료에 의한 검정과정을 거쳐야 함 .

또한 통계적 작업이 의미 있고 유용한 연구방향을 결정하려면 그 지침으로서 경제이론이 필요함 .

예 : Keynes 의 소비함수의 이론적 연구→소비성향의 통계적 추정→ Friedman 의 소비함수 이론의 정치화

제제 22 장장

경제모형경제모형

제제 22 장장

경제모형경제모형

경제모형경제모형 경제모형경제모형

경제모형 (economic model) 경제모형 (economic model)

현실 경제는 엄청난 복잡성 때문에 모든 상호관계를 이해하는 것은 불가능함 .

경제이론은 현실 세계에 대한 하나의 추상에 불과함 .

(= 이론적 모형 )

즉 , 경제모형은 의도적으로 단순화시킨 분석의 틀로서 실제 경제의 골격을 개략적으로 나타내는 것임 .

경제모형은 단지 이론적 틀이므로 , 그것이 반드시 수리적 모형이어야 할 내재적 이유는 없음 .

현실 경제는 엄청난 복잡성 때문에 모든 상호관계를 이해하는 것은 불가능함 .

경제이론은 현실 세계에 대한 하나의 추상에 불과함 .

(= 이론적 모형 )

즉 , 경제모형은 의도적으로 단순화시킨 분석의 틀로서 실제 경제의 골격을 개략적으로 나타내는 것임 .

경제모형은 단지 이론적 틀이므로 , 그것이 반드시 수리적 모형이어야 할 내재적 이유는 없음 .

수리적수리적 모형모형 (mathematical model)(mathematical model) 수리적수리적 모형모형 (mathematical model)(mathematical model)

수리모형의 구성요소 : 변수 , 상수 , 파라미터 수리모형의 구성요소 : 변수 , 상수 , 파라미터

경제모형이 수리적 모형이라면 , 그 모형은 일반적으로 그 구조를 나타내는 일단의 방정식들 (equations) 로 구성됨 .

변수 (variable) :

그 크기가 변할 수 있는 값으로 , 여러 가지 값을 취할 수 있는 것 ( 또는 기호 ), 즉 랜덤 (random) 하게 달라지는 것 ( 예 : 가격 , 이윤 , 판매수입 , 비용 , ( 국민 ) 소득 , 소비 , 투자 ,

수입 , 수출 등 경제학에서 고려되는 거의 모든 것 )

경제모형이 수리적 모형이라면 , 그 모형은 일반적으로 그 구조를 나타내는 일단의 방정식들 (equations) 로 구성됨 .

변수 (variable) :

그 크기가 변할 수 있는 값으로 , 여러 가지 값을 취할 수 있는 것 ( 또는 기호 ), 즉 랜덤 (random) 하게 달라지는 것 ( 예 : 가격 , 이윤 , 판매수입 , 비용 , ( 국민 ) 소득 , 소비 , 투자 ,

수입 , 수출 등 경제학에서 고려되는 거의 모든 것 )



변수 (variable)

- 내생변수 (endogenous variable) :

모형으로부터 해의 값이 구해지는 변수 외생변수로부터 영향을 받아 모형 내부에서 결정 되어지는 변수 (= 방정식의 미지수 (unknowns))

- 외생변수 (exogenous variable) :

모형의 외부 힘에 의해 결정되는 변수 → 어떤 모형에서의 내생변수인 것은 다른 모형에서는 외생변수가 될 수 있음 .

변수 (variable)

- 내생변수 (endogenous variable) :

모형으로부터 해의 값이 구해지는 변수 외생변수로부터 영향을 받아 모형 내부에서 결정 되어지는 변수 (= 방정식의 미지수 (unknowns))

- 외생변수 (exogenous variable) :

모형의 외부 힘에 의해 결정되는 변수 → 어떤 모형에서의 내생변수인 것은 다른 모형에서는 외생변수가 될 수 있음 .



경제학에서의 내생변수와 외생변수의 예 - 단순한 수요이론에서 때때로 가격 ( 외생변수 ) 이 주어지면 , 이에 의하여 균형량 ( 내생변수 ) 이 결정됨 .

- 국제 유가의 인상 ( 외생변수 ) 으로 국내 물가 ( 내생변수 )

가 상승하고 , 이에 의하여 무역수지 ( 내생변수 ) 가 악화됨 .

- 여름철의 이상 저온 ( 외생변수 ) 으로 인하여 아이스크림 소비 ( 내생변수 ) 가 저조함 .

경제학에서의 내생변수와 외생변수의 예 - 단순한 수요이론에서 때때로 가격 ( 외생변수 ) 이 주어지면 , 이에 의하여 균형량 ( 내생변수 ) 이 결정됨 .

- 국제 유가의 인상 ( 외생변수 ) 으로 국내 물가 ( 내생변수 )

가 상승하고 , 이에 의하여 무역수지 ( 내생변수 ) 가 악화됨 .

- 여름철의 이상 저온 ( 외생변수 ) 으로 인하여 아이스크림 소비 ( 내생변수 ) 가 저조함 .



상수 (constant)

그 크기가 변하지 않는 양으로 , 변수의 정반대임 .

계수 (coefficient)

상수가 변수와 결합될 때 , 이를 그 변수의 계수라 함 .

상수는 수가 아니라 기호일 수도 있음 ( 예 : 7P, aP).

상수 (constant)

그 크기가 변하지 않는 양으로 , 변수의 정반대임 .

계수 (coefficient)

상수가 변수와 결합될 때 , 이를 그 변수의 계수라 함 .

상수는 수가 아니라 기호일 수도 있음 ( 예 : 7P, aP).



파라미터적 상수 (parametric constant)=parameter :

- 변수가 되는 상수 (= 모형의 특성을 나타내는 상수 )

- 예를 들어 aP 에서 기호 a 는 어떤 특정한 수치로 지정되지 않았으므로 실제로는 여러 가지 어떤 값도 취할 수 있는 변수인 상수임 .

- 파라미터는 외생변수와 유사하므로 , 즉 외부로부터 주어진 것으로 간주하기 때문에 편의상 파라미터라고 함 .

- 외생변수는 내생변수와 구분하기 위하여 하첨자를

붙임 ( 예 : P 는 가격 , P0 는 외생적으로 결정된 가격 ).

파라미터적 상수 (parametric constant)=parameter :

- 변수가 되는 상수 (= 모형의 특성을 나타내는 상수 )

- 예를 들어 aP 에서 기호 a 는 어떤 특정한 수치로 지정되지 않았으므로 실제로는 여러 가지 어떤 값도 취할 수 있는 변수인 상수임 .

- 파라미터는 외생변수와 유사하므로 , 즉 외부로부터 주어진 것으로 간주하기 때문에 편의상 파라미터라고 함 .

- 외생변수는 내생변수와 구분하기 위하여 하첨자를

붙임 ( 예 : P 는 가격 , P0 는 외생적으로 결정된 가격 ).


수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식 수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식

방정식의 유형 : 정의식 , 행태식 , ( 균형 ) 조건식 정의식 (definitional equation= 항등식 ) :

똑같은 의미를 갖는 두 개의 다른 표현 사이의 항등관계를 나타내는 방정식 π( 총이윤 )R( 총수입 )-C( 총비용 )

행태식 (behavioral equation) :

한 변수가 다른 변수들의 변화에 어떤 식으로 반응 ( 대응 )

하는가를 규정하는 방정식 C=75+10Q, C=110+Q2

방정식의 유형 : 정의식 , 행태식 , ( 균형 ) 조건식 정의식 (definitional equation= 항등식 ) :

똑같은 의미를 갖는 두 개의 다른 표현 사이의 항등관계를 나타내는 방정식 π( 총이윤 )R( 총수입 )-C( 총비용 )

행태식 (behavioral equation) :

한 변수가 다른 변수들의 변화에 어떤 식으로 반응 ( 대응 )

하는가를 규정하는 방정식 C=75+10Q, C=110+Q2


수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식 수리모형의 구성요소 : 등식과 항등식

( 균형 ) 조건식 (equilibrium conditional equation) : - 균형개념을 포함하는 모형의 경우 해당 - 균형의 달성을 위해 필요한 조건을 나타내는 방정식 Qd=Qs ( 수요량 = 공급량 : 시장모형의 균형 ) S=I ( 의도된 저축 = 의도된 투자 : 단순한 국민소득모형의 균형 ) MC=MR ( 한계비용 = 한계수입 : 최적화조건 )

( 균형 ) 조건식 (equilibrium conditional equation) : - 균형개념을 포함하는 모형의 경우 해당 - 균형의 달성을 위해 필요한 조건을 나타내는 방정식 Qd=Qs ( 수요량 = 공급량 : 시장모형의 균형 ) S=I ( 의도된 저축 = 의도된 투자 : 단순한 국민소득모형의 균형 ) MC=MR ( 한계비용 = 한계수입 : 최적화조건 )

실수체계실수체계 실수체계실수체계

수의 체계 수의 체계

모든 정수의 집합 (set of all integers)

- 양 (+) 의 정수 (positive integers) : 1, 2, 3, ∙∙∙

- 영 (zero) : 0

- 음 (-) 의 정수 (negative integers) : -1, -2, -3, ∙∙∙

모든 분수의 집합 (set of all fractions)

- 정수와 정수 사이의 수 - 양 (+) 의 분수 (positive fractions) : 2/3, 5/4, 7/3, ∙∙∙

- 음 (-) 의 분수 (negative fractions) : -1/2, -2/5, -5/3, ∙∙∙

모든 정수의 집합 (set of all integers)

- 양 (+) 의 정수 (positive integers) : 1, 2, 3, ∙∙∙

- 영 (zero) : 0

- 음 (-) 의 정수 (negative integers) : -1, -2, -3, ∙∙∙

모든 분수의 집합 (set of all fractions)

- 정수와 정수 사이의 수 - 양 (+) 의 분수 (positive fractions) : 2/3, 5/4, 7/3, ∙∙∙

- 음 (-) 의 분수 (negative fractions) : -1/2, -2/5, -5/3, ∙∙∙



모든 유리수의 집합 (set of all rational numbers)

- 모든 분수의 공통적인 성질은 두 정수의 비로 표현됨 .

- 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 - 여기서 rational 은 ‘합리적’ 의미가 아니라 ‘비율’을 의미 - 따라서 모든 정수의 집합과 모든 분수의 집합의 합은 모든 유리수의 집합임 .

- 유리수의 또 다른 특성은 유한소수 (terminating decimal :

즉 1/4=0.25) 로 표현되거나 , 소수점 이하의 숫자들이 무한히 반복되는 순환소수 (repeating decimal) 로 표현됨 .

모든 유리수의 집합 (set of all rational numbers)

- 모든 분수의 공통적인 성질은 두 정수의 비로 표현됨 .

- 유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수 - 여기서 rational 은 ‘합리적’ 의미가 아니라 ‘비율’을 의미 - 따라서 모든 정수의 집합과 모든 분수의 집합의 합은 모든 유리수의 집합임 .

- 유리수의 또 다른 특성은 유한소수 (terminating decimal :

즉 1/4=0.25) 로 표현되거나 , 소수점 이하의 숫자들이 무한히 반복되는 순환소수 (repeating decimal) 로 표현됨 .



무리수 (irrational number)

- 두 정수의 비로 표현될 수 없는 수 =1.4142∙∙∙, π=3.1415∙∙∙

- 무리수의 공통적인 특성은 비순환무한소수라는 점 - 각 무리수는 수직선상 두 유리수 사이에 위치

무리수 (irrational number)

- 두 정수의 비로 표현될 수 없는 수 =1.4142∙∙∙, π=3.1415∙∙∙

- 무리수의 공통적인 특성은 비순환무한소수라는 점 - 각 무리수는 수직선상 두 유리수 사이에 위치



모든 실수의 집합 (set of all real numbers : R)

- 수직선상에서 분수가 정수 사이의 틈을 채워 주고 ,

무리수는 유리수 사이의 틈을 채워 줌 .

- 이러한 채워 넣기의 결과는 수의 연속체 (continuum)

가 됨 . 이 수들을 모두 실수 (real number) 라고 함 .

- 수직선을 연장하여 그 집합 R 을 하나의 직선으로 나타낼 때 , 그 직선을 실직선 (real line) 이라 함 .

모든 실수의 집합 (set of all real numbers : R)

- 수직선상에서 분수가 정수 사이의 틈을 채워 주고 ,

무리수는 유리수 사이의 틈을 채워 줌 .

- 이러한 채워 넣기의 결과는 수의 연속체 (continuum)

가 됨 . 이 수들을 모두 실수 (real number) 라고 함 .

- 수직선을 연장하여 그 집합 R 을 하나의 직선으로 나타낼 때 , 그 직선을 실직선 (real line) 이라 함 .

집합집합 (set)(set) 의의 개념개념 집합집합 (set)(set) 의의 개념개념

집합과 원소의 개념 집합과 원소의 개념

집합 (set) :

- 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임 - 단순히 성격이 명확한 대상들의 모임 ( 예 : 모든 재화들의 가격들 )

- 이 대상들은 수일 수도 , 사람일 수도 , 또는 다른 어떤 것일 수도 있음 .

원소 (element) :

집합을 구성하는 대상 하나하나 ( 예 : 각 재화의 가격 )

집합 (set) :

- 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임 - 단순히 성격이 명확한 대상들의 모임 ( 예 : 모든 재화들의 가격들 )

- 이 대상들은 수일 수도 , 사람일 수도 , 또는 다른 어떤 것일 수도 있음 .

원소 (element) :

집합을 구성하는 대상 하나하나 ( 예 : 각 재화의 가격 )


집합의 구성요소 집합의 구성요소

일반적으로 집합은 알파벳 대문자를 사용하고 ,

원소는 알파벳 소문자를 사용함 .

집합의 구성요소는 기호 ‘’ ( 원소 : element 의 e를 의미 하는 그리스 문자 ε의 변형 ) : “~ 은 ~ 의 원소이다 .”

2S, 3S, 8I, 9I

8S

xR : “x 는 하나의 실수이다 .”

집합과 원소 사이의 관계 :

원소집합

일반적으로 집합은 알파벳 대문자를 사용하고 ,

원소는 알파벳 소문자를 사용함 .

집합의 구성요소는 기호 ‘’ ( 원소 : element 의 e를 의미 하는 그리스 문자 ε의 변형 ) : “~ 은 ~ 의 원소이다 .”

2S, 3S, 8I, 9I

8S

xR : “x 는 하나의 실수이다 .”

집합과 원소 사이의 관계 :

원소집합


집합의 표기법 집합의 표기법

집합의 표기방법에는 열거방법 (enumeration method),

서술방법 (description method), 벤 다이어그램이 있음 .

열거방법 (= 원소나열법 ) : 원소들을 열거 S={2, 3, 4}

서술방법 (= 조건제시법 ) : 원소의 특징을 서술 I={x│x 는 양의 정수 }

J={x│2<x<5}

집합 S 는 유한 개수의 원소를 가진 유한집합 (finite set)

집합 I, J 는 무한 개수의 원소를 가진 무한집합 (infinite set)

집합의 표기방법에는 열거방법 (enumeration method),

서술방법 (description method), 벤 다이어그램이 있음 .

열거방법 (= 원소나열법 ) : 원소들을 열거 S={2, 3, 4}

서술방법 (= 조건제시법 ) : 원소의 특징을 서술 I={x│x 는 양의 정수 }

J={x│2<x<5}

집합 S 는 유한 개수의 원소를 가진 유한집합 (finite set)

집합 I, J 는 무한 개수의 원소를 가진 무한집합 (infinite set)


집합의 표기법 집합의 표기법

벤 다이어그램 (Venn diagram) :

원 , 사각형 등을 이용하여 집합을 나타낸 그림S

2 3 4

벤 다이어그램 (Venn diagram) :

원 , 사각형 등을 이용하여 집합을 나타낸 그림S

2 3 4


집합표기법의 정리 집합표기법의 정리

열거방법의 경우 원소의 나열순서는 바꾸어도 됨 .

{2, 3, 4} = {2, 4, 3}

열거방법에서 같은 원소는 중복하여 쓰지 않음 .

{2, 3, 4, 4} (X), {2, 3, 4} (O)

서술방법에서 기호 { } 가 이미 모임을 의미하므로 {x│x 는 양의 정수의 모임 } 과 같이 쓰지 않음 .

{x│x 는 양의 정수 } (O)

열거방법의 경우 원소의 나열순서는 바꾸어도 됨 .

{2, 3, 4} = {2, 4, 3}

열거방법에서 같은 원소는 중복하여 쓰지 않음 .

{2, 3, 4, 4} (X), {2, 3, 4} (O)

서술방법에서 기호 { } 가 이미 모임을 의미하므로 {x│x 는 양의 정수의 모임 } 과 같이 쓰지 않음 .

{x│x 는 양의 정수 } (O)


집합 사이의 관계 집합 사이의 관계

두 집합 A, B 사이에 다음과 같을 때 집합 A 와 B 는 같음 .

A={2, 7, a, f}, B={2, a, 7, f} 일 때 ,

또는 AB 인 동시에 AB 인 경우 부분집합 (subset) :

- 집합 A 의 모든 원소가 집합 B 의 원소이면 , 집합 A 는 집합 B 의 부분집합이라 함 .

A={3, 7}, B={1, 3, 5, 7, 9}

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합이라면 ,

xA 일 때 반드시 xB 임 .

두 집합 A, B 사이에 다음과 같을 때 집합 A 와 B 는 같음 .

A={2, 7, a, f}, B={2, a, 7, f} 일 때 ,

또는 AB 인 동시에 AB 인 경우 부분집합 (subset) :

- 집합 A 의 모든 원소가 집합 B 의 원소이면 , 집합 A 는 집합 B 의 부분집합이라 함 .

A={3, 7}, B={1, 3, 5, 7, 9}

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합이라면 ,

xA 일 때 반드시 xB 임 .



부분집합 (subset) 의 표현 :

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합일 때 AB 또는 BA 로 나타냄 .

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합이 아닐 때 AB 로 나타냄 .

- 두 집합 A, B 의 원소가 모두 같을 때 , 즉 AB 이고 AB 일 때 집합 A 와 집합 B 는 서로 같음 (A=B).

- 두 집합이 서로 같지 않을 때 AB 로 나타냄 .

집합과 집합 사이의 포함관계 : “~ 은 ~ 에 ( 을 ) 포함된다 .”

집합집합 , 여기서 ‘’ 는 contain( 포함하다 ) 의 c 를 의미

부분집합 (subset) 의 표현 :

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합일 때 AB 또는 BA 로 나타냄 .

- 집합 A 가 집합 B 의 부분집합이 아닐 때 AB 로 나타냄 .

- 두 집합 A, B 의 원소가 모두 같을 때 , 즉 AB 이고 AB 일 때 집합 A 와 집합 B 는 서로 같음 (A=B).

- 두 집합이 서로 같지 않을 때 AB 로 나타냄 .

집합과 집합 사이의 포함관계 : “~ 은 ~ 에 ( 을 ) 포함된다 .”

집합집합 , 여기서 ‘’ 는 contain( 포함하다 ) 의 c 를 의미



진부분집합 (proper subset= 순수부분집합 ) :

어떤 집합의 부분집합 중에서 자기자신을 제외한 부분집합 , 즉 두 집합 A, B 에 대하여 AB 이고 AB 일 때 A 를 B 의 진부분집합이라 함 .

공집합 (null set, empty set) :

- 원소가 없는 집합으로 또는 { } 로 나타냄 .

- 공집합은 유일함 (= 유한집합 ).

{x│x 는 2 보다 크고 4 보다 작은 짝수 }=

- 공집합은 모든 집합의 부분집합 ( 가장 작은 부분집합 )

진부분집합 (proper subset= 순수부분집합 ) :

어떤 집합의 부분집합 중에서 자기자신을 제외한 부분집합 , 즉 두 집합 A, B 에 대하여 AB 이고 AB 일 때 A 를 B 의 진부분집합이라 함 .

공집합 (null set, empty set) :

- 원소가 없는 집합으로 또는 { } 로 나타냄 .

- 공집합은 유일함 (= 유한집합 ).

{x│x 는 2 보다 크고 4 보다 작은 짝수 }=

- 공집합은 모든 집합의 부분집합 ( 가장 작은 부분집합 )



부분집합 (subset) 의 개수 :

- ( 유한 ) 집합 A 의 원소 개수는 기호로 n(A) 로 나타냄 .

- 공집합의 원소 개수는 n()=0

- 원소의 개수가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는 2n 임 .

A={a, b}; 원소 개수가 2 개이므로 부분집합의 개수는 22=4 개 : , {a}, {b}, {a, b}

- 위에서 적색으로 표기한 집합은 집합 A 의 진부분집합 (AB 이고 AB) 임 .

부분집합 (subset) 의 개수 :

- ( 유한 ) 집합 A 의 원소 개수는 기호로 n(A) 로 나타냄 .

- 공집합의 원소 개수는 n()=0

- 원소의 개수가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는 2n 임 .

A={a, b}; 원소 개수가 2 개이므로 부분집합의 개수는 22=4 개 : , {a}, {b}, {a, b}

- 위에서 적색으로 표기한 집합은 집합 A 의 진부분집합 (AB 이고 AB) 임 .



분리집합 (disjoint set) :

- 두 집합이 공통된 원소를 전혀 갖지 않는 집합 - 예 : 모든 양 (+) 의 정수 집합과 모든 음 (-) 의 정수 집합 - 만약 두 집합의 원소 일부만 공통되는 경우 두 집합은 같지도 않고 분리되어 있는 것도 아님 . 또한 둘 중 어느 집합도 다른 것의 부분집합이 아님 :

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6, 8}

분리집합 (disjoint set) :

- 두 집합이 공통된 원소를 전혀 갖지 않는 집합 - 예 : 모든 양 (+) 의 정수 집합과 모든 음 (-) 의 정수 집합 - 만약 두 집합의 원소 일부만 공통되는 경우 두 집합은 같지도 않고 분리되어 있는 것도 아님 . 또한 둘 중 어느 집합도 다른 것의 부분집합이 아님 :

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={2, 4, 6, 8}


집합의 연산 집합의 연산

합집합 (Union) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 에 속하거나 B 에 속하는 , 즉 A 또는 B 모두에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 - AUB={x│xA 또는 (or) xB}

A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8} 이면 , AUB={2, 3, 4, 5, 7, 8}

모든 정수와 모든 분수의 합집합은 모든 유리수의 집합 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합은 모든 실수 집합

합집합 (Union) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 에 속하거나 B 에 속하는 , 즉 A 또는 B 모두에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 - AUB={x│xA 또는 (or) xB}

A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8} 이면 , AUB={2, 3, 4, 5, 7, 8}

모든 정수와 모든 분수의 합집합은 모든 유리수의 집합 유리수 집합과 무리수 집합의 합집합은 모든 실수 집합



교집합 (i∩tersection= 공통부분 ; common part) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 에도 속하고 B 에도 속하는 , 즉 A 그리고 ( 및 ) B 에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 - A∩B={x│xA 그리고 (and) xB}

A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8} 이면 , A∩B={3}

A={-3, 6, 10}, B={9, 2, 7, 4} 이면 , A∩B=

A∩B= 일 때 , A 와 B 는 서로 소 (素 ; disjoint) 라 함 .

교집합 (i∩tersection= 공통부분 ; common part) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 에도 속하고 B 에도 속하는 , 즉 A 그리고 ( 및 ) B 에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 - A∩B={x│xA 그리고 (and) xB}

A={3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 8} 이면 , A∩B={3}

A={-3, 6, 10}, B={9, 2, 7, 4} 이면 , A∩B=

A∩B= 일 때 , A 와 B 는 서로 소 (素 ; disjoint) 라 함 .



합집합과 교집합의 성질 ( 과제 ) :

- A∩A=A, 그리고 AUA=A

- A∩=, 그리고 AU=A

- AB 일 때 , A∩B=A, 그리고 AUB=B

- (A∩B)A, A(AUB), (A∩B)(AUB)

합집합과 교집합의 성질 ( 과제 ) :

- A∩A=A, 그리고 AUA=A

- A∩=, 그리고 AU=A

- AB 일 때 , A∩B=A, 그리고 AUB=B

- (A∩B)A, A(AUB), (A∩B)(AUB)



전체집합 (universal set : U)

주어진 집합에 대하여 그의 부분집합을 생각할 때 ,

처음 주어진 집합을 전체집합 (U) 이라 함 .

보집합 (= 여집합 )(complement : Ac, A′, Ã)

- 전체집합 (U) 의 부분집합 A 에 대하여 U 의 원소중 A 에 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합 :

Ac={x│xU 그리고 (and) xA}

U={5, 6, 7, 8, 9}, A={5, 6} 이면 , Ac={7, 8, 9}

- 전체집합 (U) 의 보집합 (Uc) 은 공집합 () 임 .

전체집합 (universal set : U)

주어진 집합에 대하여 그의 부분집합을 생각할 때 ,

처음 주어진 집합을 전체집합 (U) 이라 함 .

보집합 (= 여집합 )(complement : Ac, A′, Ã)

- 전체집합 (U) 의 부분집합 A 에 대하여 U 의 원소중 A 에 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합 :

Ac={x│xU 그리고 (and) xA}

U={5, 6, 7, 8, 9}, A={5, 6} 이면 , Ac={7, 8, 9}

- 전체집합 (U) 의 보집합 (Uc) 은 공집합 () 임 .



보집합 (= 여집합 ) 의 성질 ( 과제 ) :

- A∩Ac=, 그리고 AUAc=U

- (Ac)c=A

- c=U, 그리고 Uc=

- (A∩B)c=AcUBc

- (AUB)c=Ac∩Bc

보집합 (= 여집합 ) 의 성질 ( 과제 ) :

- A∩Ac=, 그리고 AUAc=U

- (Ac)c=A

- c=U, 그리고 Uc=

- (A∩B)c=AcUBc

- (AUB)c=Ac∩Bc



차집합 (difference) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 의 원소 중에서 B 에 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합 (A-B 또는 A\B 로 표기 )

- A-B={x│xA 그리고 xB}

- B-A={x│xB 그리고 xA}

- A-BB-A

A={a, c, d, f}, B={c, d, e} 이면 , A-B={a, f}

A={a, c, d, f}, B={c, d, e} 이면 , B-A={e}

차집합 (difference) :

- 두 집합 A, B 에 대하여 A 의 원소 중에서 B 에 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합 (A-B 또는 A\B 로 표기 )

- A-B={x│xA 그리고 xB}

- B-A={x│xB 그리고 xA}

- A-BB-A

A={a, c, d, f}, B={c, d, e} 이면 , A-B={a, f}

A={a, c, d, f}, B={c, d, e} 이면 , B-A={e}



차집합의 성질 ( 과제 ) :

- A-BB-A

- A-B=A∩Bc=(AUB)-B=A-(A∩B)

- U-A=Ac

- A-B= 이면 AB

차집합의 성질 ( 과제 ) :

- A-BB-A

- A-B=A∩Bc=(AUB)-B=A-(A∩B)

- U-A=Ac

- A-B= 이면 AB


집합연산의 법칙 집합연산의 법칙

교환법칙 (commutative law) :

AUB=BUA, 그리고 A∩B=B∩A

결합법칙 (associative law) :

AU(BUC)=(AUB)UC, 그리고 A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

분배법칙 (distributive law) :

A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

교환법칙 (commutative law) :

AUB=BUA, 그리고 A∩B=B∩A

결합법칙 (associative law) :

AU(BUC)=(AUB)UC, 그리고 A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

분배법칙 (distributive law) :

A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)


집합연산의 법칙 집합연산의 법칙

예 (교재 p.14) :

A={4, 5}, B={3,6,7}, C={2, 3} 일 때 , 분배법칙의 확인 - A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

좌변 : A∩(BUC)={4, 5}∩{2, 3, 6, 7}=

우변 : (A∩B)U(A∩C)=U=

- AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

좌변 : AU(B∩C)={4, 5}U{3}={3, 4, 5}

우변 : (AUB)∩(AUC)={3, 4, 5, 6, 7}∩{2, 3, 4, 5}

={3, 4, 5}

예 (교재 p.14) :

A={4, 5}, B={3,6,7}, C={2, 3} 일 때 , 분배법칙의 확인 - A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

좌변 : A∩(BUC)={4, 5}∩{2, 3, 6, 7}=

우변 : (A∩B)U(A∩C)=U=

- AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

좌변 : AU(B∩C)={4, 5}U{3}={3, 4, 5}

우변 : (AUB)∩(AUC)={3, 4, 5, 6, 7}∩{2, 3, 4, 5}

={3, 4, 5}

관계관계 (relation)(relation) 와와 함수함수 (function)(function) 관계관계 (relation)(relation) 와와 함수함수 (function)(function)

순서쌍 (ordered pair) 순서쌍 (ordered pair)

집합 (set) 의 경우 :

- 집합 {a, b} 에서 원소 a, b 의 순서는 의미가 없음 .

{a, b}={b, a}

- 이 경우 원소 a 와 b 는 비순서쌍 (unordered pair) 임 .

순서쌍 (ordered pair) 의 경우 :

- a 와 b 의 순서가 의미를 가질 때는 (a, b) 와 (b, a) 는 a=b 가 아닌 한 (a, b)(b, a) 이라는 성질을 가짐 .

- 이 경우 (a, b) 와 (b, a) 는 서로 상이한 순서쌍이 존재 - 순서쌍인 경우 중괄호 ({ }) 로 대신 소괄호 (( )) 로 표기

집합 (set) 의 경우 :

- 집합 {a, b} 에서 원소 a, b 의 순서는 의미가 없음 .

{a, b}={b, a}

- 이 경우 원소 a 와 b 는 비순서쌍 (unordered pair) 임 .

순서쌍 (ordered pair) 의 경우 :

- a 와 b 의 순서가 의미를 가질 때는 (a, b) 와 (b, a) 는 a=b 가 아닌 한 (a, b)(b, a) 이라는 성질을 가짐 .

- 이 경우 (a, b) 와 (b, a) 는 서로 상이한 순서쌍이 존재 - 순서쌍인 경우 중괄호 ({ }) 로 대신 소괄호 (( )) 로 표기



순서집합 (ordered set)

- 순서쌍 (ordered pair) : 원소가 2 개인 순서집합 - 3중 순서쌍 (ordered triple) : 원소가 3 개인 순서집합 - 4중 순서쌍 (ordered quadruple) : 원소가 4 개인 순서집합 - 5중 순서쌍 (ordered quintuple) : 원소가 5 개인 순서집합 - n중 순서쌍 (ordered n tuple) : 원소가 n 개인 순서집합 순서집합

순서집합 (ordered set)

- 순서쌍 (ordered pair) : 원소가 2 개인 순서집합 - 3중 순서쌍 (ordered triple) : 원소가 3 개인 순서집합 - 4중 순서쌍 (ordered quadruple) : 원소가 4 개인 순서집합 - 5중 순서쌍 (ordered quintuple) : 원소가 5 개인 순서집합 - n중 순서쌍 (ordered n tuple) : 원소가 n 개인 순서집합 순서집합



수학에서의 순서쌍 :

- 순서쌍의 대표적인 예는 평면 또는 공간상의 좌표 (coordinates) 임 .

- 예로 , 순서쌍 (x, y) 는 평면상의 임의의 점 P 의 좌표임 .

- 여기서 x 는 점 P 의 x-좌표 , y 는 점 P 의 y-좌표임 .

수학에서의 순서쌍 :

- 순서쌍의 대표적인 예는 평면 또는 공간상의 좌표 (coordinates) 임 .

- 예로 , 순서쌍 (x, y) 는 평면상의 임의의 점 P 의 좌표임 .

- 여기서 x 는 점 P 의 x-좌표 , y 는 점 P 의 y-좌표임 .



데카르트 곱 =카티시안 적 (積 ) 또는 직접 곱 (Cartesian product

or direct product) 의 정의 :

- 공집합이 아닌 두 집합 A 와 B 가 주어졌을 때 ,

집합 A 에 속하는 하나의 원소 a 와 집합 B 에 속하는 하나의 원소 b 로 이루어진 모든 순서쌍 (a, b) 의 집합을 A 와 B 의 데카르트 곱 (Cartesian product) 이라 함 .

- 이를 집합기호로는 AB={(a, b)│aA, bB} 라고 표기 - 여기서 a 는 첫번째 좌표 (first coordinate) 그리고 b 를 두번째 좌표 (second coordinate) 라 함 .


or direct product) 의 정의 :

- 공집합이 아닌 두 집합 A 와 B 가 주어졌을 때 ,

집합 A 에 속하는 하나의 원소 a 와 집합 B 에 속하는 하나의 원소 b 로 이루어진 모든 순서쌍 (a, b) 의 집합을 A 와 B 의 데카르트 곱 (Cartesian product) 이라 함 .

- 이를 집합기호로는 AB={(a, b)│aA, bB} 라고 표기 - 여기서 a 는 첫번째 좌표 (first coordinate) 그리고 b 를 두번째 좌표 (second coordinate) 라 함 .




or direct product) :

- 이 용어는 프랑스 수학자 데카르트 (Descartes; 1596~

1650) 가 처음 사용한데서 유래 - 집합 x={1, 2}, y={3, 4} 로부터 4 개의 순서쌍이 만들어짐 .

- 이를 데카르트 곱 (xy) 으로 표현하면 다음과 같음 :

xy={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

- yx={(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

- xy yx


or direct product) :

- 이 용어는 프랑스 수학자 데카르트 (Descartes; 1596~

1650) 가 처음 사용한데서 유래 - 집합 x={1, 2}, y={3, 4} 로부터 4 개의 순서쌍이 만들어짐 .

- 이를 데카르트 곱 (xy) 으로 표현하면 다음과 같음 :

xy={(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

- yx={(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

- xy yx



데카르트 곱 (Cartesian product) :

- x, y 가 모든 실수를 포함한다면 데카르트 곱은 다음과 같음 .

xy={(a, b)│aR and bR}

- 즉 , 실수값을 원소로 하는 모든 순서쌍의 집합임 .

- 각 순서쌍은 직교좌표평면상의 유일한 점에 대응함 .

역으로 직교좌표평면상의 각 점도 집합 xy 에 속하는 유일한 순서쌍에 대응함 . 즉 , 순서쌍의 집합과 좌표 평면상의 점들 집합 사이에 1:1 대응관계가 존재함 .


- x, y 가 모든 실수를 포함한다면 데카르트 곱은 다음과 같음 .

xy={(a, b)│aR and bR}

- 즉 , 실수값을 원소로 하는 모든 순서쌍의 집합임 .

- 각 순서쌍은 직교좌표평면상의 유일한 점에 대응함 .

역으로 직교좌표평면상의 각 점도 집합 xy 에 속하는 유일한 순서쌍에 대응함 . 즉 , 순서쌍의 집합과 좌표 평면상의 점들 집합 사이에 1:1 대응관계가 존재함 .




- xy={(a, b)│aR and bR}=RR=R2 :

2 차원 평면의 모든 점들 집합에 대응 - xyz={(a, b, c)│aR, bR, cR}=RRR=R3 :

3 차원 공간의 모든 점들 집합에 대응


- xy={(a, b)│aR and bR}=RR=R2 :

2 차원 평면의 모든 점들 집합에 대응 - xyz={(a, b, c)│aR, bR, cR}=RRR=R3 :

3 차원 공간의 모든 점들 집합에 대응


관계와 함수 관계와 함수

관계 (relation) :

모든 순서쌍들은 y 값을 x 값과 관련시키는 것이므로 순서쌍의 어떤 집합 ( 즉 , 데카르트 곱의 어떤 부분집합 ) 은 y 와 x 사이에 하나의 관계를 구성함 .

- 예 : 집합 {(x, y)│y=2x} 는 (1, 2), (0, 0), (-1, -2),∙∙∙ 인 순서쌍들의 집합임 . 이는 일종의 관계를 이루며 ,

graph 상으로는 직선 y=2x 상에놓인 점들의 집합

관계 (relation) :

모든 순서쌍들은 y 값을 x 값과 관련시키는 것이므로 순서쌍의 어떤 집합 ( 즉 , 데카르트 곱의 어떤 부분집합 ) 은 y 와 x 사이에 하나의 관계를 구성함 .

- 예 : 집합 {(x, y)│y=2x} 는 (1, 2), (0, 0), (-1, -2),∙∙∙ 인 순서쌍들의 집합임 . 이는 일종의 관계를 이루며 ,

graph 상으로는 직선 y=2x 상에놓인 점들의 집합



관계 (relation) :

- 예 : 집합 {(x, y)│yx} 는 (1, 0), (1, 1), (1, -4),∙∙∙ 을 포함하는 순서쌍들로 이 역시 일종의 관계를 구성함 .

이 집합은 부등식 yx 를 만족하는 graph 상으로는 음영 부분의 모든 점들의 집합에 대응함 .

- 여기서 주목할 것은 x 값이 주어졌을 때 어떤 관계로 부터 항상 유일한 y 값을 결정할 수 있는 것은 아님 .

- 그러나 각 경우는 설정된 관계를만족시킴 .

관계 (relation) :

- 예 : 집합 {(x, y)│yx} 는 (1, 0), (1, 1), (1, -4),∙∙∙ 을 포함하는 순서쌍들로 이 역시 일종의 관계를 구성함 .

이 집합은 부등식 yx 를 만족하는 graph 상으로는 음영 부분의 모든 점들의 집합에 대응함 .

- 여기서 주목할 것은 x 값이 주어졌을 때 어떤 관계로 부터 항상 유일한 y 값을 결정할 수 있는 것은 아님 .

- 그러나 각 경우는 설정된 관계를만족시킴 .



함수 (function) :

- 특별한 경우로 각 x 값에 대해오직 하나의 y 값만이 대응하는 관계가 있는데 , 앞의 예 y=2x 의 관계가 그러한 경우임 .

- 함수란첫번째원소가중복되지 않는 순서쌍의 집합 - 즉 , 함수란각각의 x 값이 유일하게 하나의 y 값만을 결정하는 성질을 갖는 순서쌍들의 집합 - 이때 , y 는 x 의 함수 (function) 라 하며 , y=f(x) 로 표기함 .

함수 (function) :

- 특별한 경우로 각 x 값에 대해오직 하나의 y 값만이 대응하는 관계가 있는데 , 앞의 예 y=2x 의 관계가 그러한 경우임 .

- 함수란첫번째원소가중복되지 않는 순서쌍의 집합 - 즉 , 함수란각각의 x 값이 유일하게 하나의 y 값만을 결정하는 성질을 갖는 순서쌍들의 집합 - 이때 , y 는 x 의 함수 (function) 라 하며 , y=f(x) 로 표기함 .



함수 (function) :

- 함수의 정의가 각 x 에 대해 유일한 y 값을 규정하지만 ,

그 역은 요구되지 않음 .

- 즉 , 다수의 x 값에 대해동일한 y 값과 관계를맺는 것은 무방함 ( 교재 p.18 그림 2.6).

- 함수 (function) 는 관계 (relation) 이지만 , 관계는 함수가 아닐수도 있음 .

함수 (function) :

- 함수의 정의가 각 x 에 대해 유일한 y 값을 규정하지만 ,

그 역은 요구되지 않음 .

- 즉 , 다수의 x 값에 대해동일한 y 값과 관계를맺는 것은 무방함 ( 교재 p.18 그림 2.6).

- 함수 (function) 는 관계 (relation) 이지만 , 관계는 함수가 아닐수도 있음 .



함수 (function) :

- 관행적으로 y 를 x 에서 함수 f 의 값 (value) 이라 하며 ,

순서쌍 (x, y) 가 집합 f 에 속해 있음을 나타내는 표현방법으로 (x, y)f 를 사용하지 않고 , 그 대신 y=f(x) 로 나타냄 .

- 함수는 또한 사상 (mapping) 또는 변환 (transformation)

이라고도 함 .

f:xy : x 에서 y 로의 함수 또는 x 에서 y 로의 사상

함수 (function) :

- 관행적으로 y 를 x 에서 함수 f 의 값 (value) 이라 하며 ,

순서쌍 (x, y) 가 집합 f 에 속해 있음을 나타내는 표현방법으로 (x, y)f 를 사용하지 않고 , 그 대신 y=f(x) 로 나타냄 .

- 함수는 또한 사상 (mapping) 또는 변환 (transformation)

이라고도 함 .

f:xy : x 에서 y 로의 함수 또는 x 에서 y 로의 사상



함수 (function) :

- 함수 y=f(x) 에서 x 를 독립변수 (argument 또는 independent variable) 라고 하며 , y 를 함수의 값 (value)

이라 함 .

- 또한 위 함수에서 y 를 종속변수 (dependent variable)

라고 함 .

함수 (function) :

- 함수 y=f(x) 에서 x 를 독립변수 (argument 또는 independent variable) 라고 하며 , y 를 함수의 값 (value)

이라 함 .

- 또한 위 함수에서 y 를 종속변수 (dependent variable)

라고 함 .



함수 (function) :

- 정의역 (domain) :

x 가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 - 상 (image) :

x 값이 사상 (mapping) 되는 y 값 - 치역 (range) :

모든 상 (image) 들의 집합 y 변수가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 함수 기호 : f, g, h, F, G, H, , , ,

함수 (function) :

- 정의역 (domain) :

x 가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 - 상 (image) :

x 값이 사상 (mapping) 되는 y 값 - 치역 (range) :

모든 상 (image) 들의 집합 y 변수가 취할 수 있는 모든 값들의 집합 함수 기호 : f, g, h, F, G, H, , , ,



함수 (function) :

- 정의역 (domain) 은 독립변수 x 와 관련이 있고 ,

치역 (range) 은 y 값과 관련이 있음 .

- 경제모형에서 행태식은 보통 함수로 나타내는데 ,

대부분의 변수들은 음 (-) 이 아닌 실수들로 국한되므로 정의역도 그렇게 제한됨 ( 제 1 상한 ).

함수 (function) :

- 정의역 (domain) 은 독립변수 x 와 관련이 있고 ,

치역 (range) 은 y 값과 관련이 있음 .

- 경제모형에서 행태식은 보통 함수로 나타내는데 ,

대부분의 변수들은 음 (-) 이 아닌 실수들로 국한되므로 정의역도 그렇게 제한됨 ( 제 1 상한 ).



정의역 (domain) 과 치역 (range) :

비용함수 C=150+7Q, 하루 산출능력 100 단위

( 여기서 C 는 하루 총비용 , Q 는 하루 산출량 )

- 정의역 (Q) 은 0Q100 인 값들의 집합 정의역 ={Q│0Q100}

- 비용함수는 선형함수이므로 직선형태의 graph 임 .

- C 의 최소값은 150(Q=0 일 때 ), 최대값은 850(Q=100 일 때 )

치역 ={C│150C850}

정의역 (domain) 과 치역 (range) :

비용함수 C=150+7Q, 하루 산출능력 100 단위

( 여기서 C 는 하루 총비용 , Q 는 하루 산출량 )

- 정의역 (Q) 은 0Q100 인 값들의 집합 정의역 ={Q│0Q100}

- 비용함수는 선형함수이므로 직선형태의 graph 임 .

- C 의 최소값은 150(Q=0 일 때 ), 최대값은 850(Q=100 일 때 )

치역 ={C│150C850}

함수함수 (function)(function) 의의 유형유형 함수함수 (function)(function) 의의 유형유형

함수의 유형 함수의 유형

상수함수 (constant function) :

- 치역 (range) 이 단 하나의 원소로만 이루어지는 함수

y=f(x)=7, 투자함수 I=100억원 또는 I=I0

- 함수값이 x 값에 관계없이 일정

- 상수함수 (f(x)=a0) 의 graph 는 점 (0, a0) 를 지나 x 축에

평행한 직선 - 다항함수 (polynomial function) 의 퇴화형태

상수함수 (constant function) :

- 치역 (range) 이 단 하나의 원소로만 이루어지는 함수

y=f(x)=7, 투자함수 I=100억원 또는 I=I0

- 함수값이 x 값에 관계없이 일정

- 상수함수 (f(x)=a0) 의 graph 는 점 (0, a0) 를 지나 x 축에

평행한 직선 - 다항함수 (polynomial function) 의 퇴화형태



다항함수 (polynomial function) :

- 다항 (polynomial) 이란 “여러 개의 항”을 의미하며 ,

단일변수 x 에 관한 다항함수의 일반형은 다음과 같음 .

y=a0x0+a1x1+a2x2+ ∙∙∙ +anxn

=a0+a1x+a2x2+ ∙∙∙ +anxn

- 여기서 각 항은 계수뿐만 아니라 변수 x 의 음이 아닌 정수의 멱 (冪 : power) 을 포함하고 있음 .


- 다항 (polynomial) 이란 “여러 개의 항”을 의미하며 ,

단일변수 x 에 관한 다항함수의 일반형은 다음과 같음 .

y=a0x0+a1x1+a2x2+ ∙∙∙ +anxn

=a0+a1x+a2x2+ ∙∙∙ +anxn

- 여기서 각 항은 계수뿐만 아니라 변수 x 의 음이 아닌 정수의 멱 (冪 : power) 을 포함하고 있음 .




- 정수 n(x 의 최고 멱수 ) 의 값에 따라 다항함수를 몇 가지 분류할 수 있음 .

n=0 인 경우 : y=a0 [ 상수함수 ]

n=1 인 경우 : y=a0+a1x [ 선형함수 ]

n=2 인 경우 : y=a0+a1x+a2x2 [2 차함수 ]

n=3 인 경우 : y=a0+a1x+a2x2+a3x3 [3 차함수 ]

- x 의 멱을 나타내는 상첨자를 지수 (exponents) 라 함 .

- 최고의 멱수 , 즉 n 의 값은 다항함수의 차수 (degree) 임 .


- 정수 n(x 의 최고 멱수 ) 의 값에 따라 다항함수를 몇 가지 분류할 수 있음 .

n=0 인 경우 : y=a0 [ 상수함수 ]

n=1 인 경우 : y=a0+a1x [ 선형함수 ]

n=2 인 경우 : y=a0+a1x+a2x2 [2 차함수 ]

n=3 인 경우 : y=a0+a1x+a2x2+a3x3 [3 차함수 ]

- x 의 멱을 나타내는 상첨자를 지수 (exponents) 라 함 .

- 최고의 멱수 , 즉 n 의 값은 다항함수의 차수 (degree) 임 .



유리함수 (rational function) :

- 두 다항식의 비 ( 또는 몫 ) 으로 표현되는 함수 - 두 다항식 P(x), Q(x) 가 있을 때 다음과 같이 정의되는 함수 : f(x)=P(x)/Q(x)

- 경제학에서 흔히 사용되는 유리함수는 다음과 같음 .

y=a/x 또는 xy=a

- 두 변수의 곱이 항상 일정한 상수가 됨 .

- 위 함수는 직각쌍곡선 (rectangular hyperbola) 형태임 .

- x 축과 y 축은 이 함수의 접근선 (asymptotes) 을 이룸 .

유리함수 (rational function) :

- 두 다항식의 비 ( 또는 몫 ) 으로 표현되는 함수 - 두 다항식 P(x), Q(x) 가 있을 때 다음과 같이 정의되는 함수 : f(x)=P(x)/Q(x)

- 경제학에서 흔히 사용되는 유리함수는 다음과 같음 .

y=a/x 또는 xy=a

- 두 변수의 곱이 항상 일정한 상수가 됨 .

- 위 함수는 직각쌍곡선 (rectangular hyperbola) 형태임 .

- x 축과 y 축은 이 함수의 접근선 (asymptotes) 을 이룸 .



대수함수 (algebraic fn.) 와 비대수함수 (nonalgebraic fn.) :

- 대수함수는 y=f(x) 에서 f(x) 가 다항식 또는 다항식의 근 (root : 예컨대 , 제곱근 ) 으로 표현되는 함수 - 비대수함수 (=초월함수 ) 에는 지수함수 , 로그함수 ,

삼각함수 등을 포함 .

- 지수함수의 예 :

y=bx 와 같이 독립변수가 지수에 나타나는 함수 - 로그함수의 예 :

y=logbx

대수함수 (algebraic fn.) 와 비대수함수 (nonalgebraic fn.) :

- 대수함수는 y=f(x) 에서 f(x) 가 다항식 또는 다항식의 근 (root : 예컨대 , 제곱근 ) 으로 표현되는 함수 - 비대수함수 (=초월함수 ) 에는 지수함수 , 로그함수 ,

삼각함수 등을 포함 .

- 지수함수의 예 :

y=bx 와 같이 독립변수가 지수에 나타나는 함수 - 로그함수의 예 :

y=logbx


지수법칙 지수법칙

둘둘 이상의이상의 독립변수를 갖는 함수 독립변수를 갖는 함수 둘둘 이상의이상의 독립변수를 갖는 함수 독립변수를 갖는 함수

독립변수가둘이상인 함수 독립변수가둘이상인 함수

z=g(x, y) : z=ax+by, z=a0+a1x+a2x2+b1y+b2y2

- 위 함수의 경우 주어진 x 와 y 값의 쌍은 종속변수 z 의 값을 유일하게 결정함 .

- 이때 정의역은 수의 집합이 아니라 순서쌍 (x, y) 의 집합

- 즉 , 함수 g 는 2 차원 공간의 한 점 (x1, y1) 을 1 차원

직선상의 한 점 (z1) 으로옮겨주는 것임 .

- 따라서 세 변수간의 연관성은 3 차원 공간의 특정한

한 점인 3 중순서쌍 (x1, y1, z1) 으로 나타남 .

- 경제학에서 생산함수 Q=Q(L, K) 가 이러한 형태임 .

z=g(x, y) : z=ax+by, z=a0+a1x+a2x2+b1y+b2y2

- 위 함수의 경우 주어진 x 와 y 값의 쌍은 종속변수 z 의 값을 유일하게 결정함 .

- 이때 정의역은 수의 집합이 아니라 순서쌍 (x, y) 의 집합

- 즉 , 함수 g 는 2 차원 공간의 한 점 (x1, y1) 을 1 차원

직선상의 한 점 (z1) 으로옮겨주는 것임 .

- 따라서 세 변수간의 연관성은 3 차원 공간의 특정한

한 점인 3 중순서쌍 (x1, y1, z1) 으로 나타남 .

- 경제학에서 생산함수 Q=Q(L, K) 가 이러한 형태임 .

일반성의 정도 일반성의 정도 일반성의 정도 일반성의 정도

함수의 일반성과 경제학에서의 제약 함수의 일반성과 경제학에서의 제약

수학에서 함수의 높은 일반성 수준을 위하여 함수를 y=f(x) 또는 z=g(x, y) 와 같이 일반적인 형태로 나타낼 수 있음 .

그러나 경제학에서는 경제적으로 의미 있는 결과를 얻기 위해서 모형을 구성하는 일반함수에 대하여 예를 들어 , 수요함수가 음 (-) 의 기울기를 갖거나 소비함수가 1 보다 작은 양 (+) 의 기울기를 갖는 graph

라는 등 어떤 정성적 제한을 부과할 경우가 보통임 .

수학에서 함수의 높은 일반성 수준을 위하여 함수를 y=f(x) 또는 z=g(x, y) 와 같이 일반적인 형태로 나타낼 수 있음 .

그러나 경제학에서는 경제적으로 의미 있는 결과를 얻기 위해서 모형을 구성하는 일반함수에 대하여 예를 들어 , 수요함수가 음 (-) 의 기울기를 갖거나 소비함수가 1 보다 작은 양 (+) 의 기울기를 갖는 graph

라는 등 어떤 정성적 제한을 부과할 경우가 보통임 .

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경 제 수 학 MATHEMATICAL ECONOMICS