1

ทฤษฎบีทที�ควรทราบ ทฤษฎีเกี�ยวกับการแปลงทางเรขาคณติ

การแปลงทางเรขาคณิตเชน่ การเลื�อนทางขนาน การสะท้อน และการหมนุ จะไมส่ง่ผลตอ่รูปเรขาคณิต

เดิม กลา่วคือภาพที�ได้จากการเลื�อนทางขนาน การสะท้อน และการหมนุ จะเท่ากนัทกุประการกบัภาพต้นแบบ

ทฤษฎเีกี�ยวกับเส้นขนาน 1 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตดักนัแล้ว มมุตรงข้ามจะมีขนาดเท่ากนั

2 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ�งตดักบัเส้นตรงคูข่นานแล้ว

2.1 มมุแย้งที�เกิดขึ �นจะมีขนาดเท่ากนั

2.2 มมุภายในที�อยู่บนด้านเดียวกนัของเส้นตดั รวมเป็น 180 องศา

2.3 มมุภายนอกและมมุภายในบนข้างเดียวกนัของเส้นตดัที�ไมใ่ช ่

มมุประชิด มีขนาดเท่ากนั

ทฤษฎบีทเกี�ยวกับรูปสามเหลี�ยม สมบัติพื �นฐานของรูปสามเหลี�ยม

1. มมุภายในรูปสามเหลี�ยมดๆ รวมกนัได้ 180 องศา

2. รูปสามเหลี�ยมที�มีมมุเท่ากนัสองมมุ ก็ตอ่เมื�อ มีด้านที�อยู่ตรงข้ามมมุสองมมุนั �นยาวเท่ากนั

3. ถ้าตอ่ด้านใดด้านหนึ�งของรูปสามเหลี�ยมให้ยาวออกไป มมุภายนอกเท่ากบัผลบวกของมมุภายใน

ที�ไมใ่ช่มมุประชิด

4. มมุภายนอกรูปเหลี�ยมใดๆจะมีผลบวก เท่ากบั 360o เสมอ

5. เส้นมธัยฐานทั �งสามเส้นของรูปสามเหลี�ยมใดๆ จะตดักนัที�จดุๆเดียว จดุตดันี �จะแบ่งเส้นมธัยมฐาน

ออกเป็นอตัราสว่น 2 : 1 นบัจากจดุยอด

6. เส้นแบ่งครึ�งและตั �งฉากกบัด้านทั �งสามของรูปสามเหลี�ยมจะตดักนัที�จดุๆเดียว

และจดุนี �เป็นจดุศนูย์กลางของวงกลมที�ล้อมรอบ(แนบนอก)รูปสามเหลี�ยม

7. เส้นแบ่งครึ�งมมุภายในทั �งสามมุมมุของรูปสามเหลี�ยม จะตดักนัที�จดุๆเดียว

และจดุตดันี �เป็นจดุศนูย์กลางของวงกลมที�แนบในรูปสามเหลี�ยม

รูปประกอบทฤษฎีบท

2

สมบัตรูิปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว รูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว คือ รูปสามเหลี�ยมที�มีด้านยาวเท่ากนัสองด้าน หรือมีมมุเท่ากนัสองมมุ

ข้อสรุปเกี�ยวกบัรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�วดงันี �

1. เส้นแบ่งครึ�งมมุยอดของรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว จะแบ่งรูปสามเหลี�ยม

หน้าจั�วออกเป็นรูปสามเหลี�ยมสองรูปที�เท่ากนัทกุประการ

2. เส้นแบ่งครึ�งมมุยอดของรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว

จะแบ่งครึ�งและตั �งฉากกบัฐานของรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว

สมบัติรูปสามเหลี�ยมด้านเท่า

รูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว คือ รูปสามเหลี�ยมที�มีด้านยาวเท่ากนัทกุด้านด้าน หรือมีมมุเท่ากนัทกุมมุ

มมุละ 60 องศา และมีสมบตัิเหมือนกบัสามเหลี�ยมหน้าจั�วด้วย

ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี�ยม รูปสามเหลี�ยมสองรูปใดๆเท่ากนัทกุประการ ก็ตอ่เมื�อ สามเหลี�ยมสองรูปนั �น

1. มีด้านยาวเท่ากนัสองคูแ่ละมมุระหวา่งด้านคูที่�ยาวเท่ากนัมีขนาดเท่ากนั (ด.ม.ด.)

2. มีมมุขนาดเท่ากนัสองคู ่ และด้านซึ�งเป็นแขนร่วมของมมุทั �งสองนั �น มีความยาวเท่ากนั (ม.ด.ม.)

3. สามเหลี�ยมสองรูปนั �น มีด้านที�ความยาวเท่ากนั 3 คู ่ (ด.ด.ด.)

4. สามเหลี�ยมสองรูปนั �น มีมมุขนาดเท่ากนัสองคู ่ และมีด้านยาวเท่ากนัหนึ�งคู ่(ม.ม.ด.)

5. สามเหลี�ยมมมุฉาก 2 รูป มีด้านตรงข้ามมมุฉากยาวเท่ากนั และมีด้านหนึ�งยาวเท่ากนั (ฉ.ด.ด.)

ความคล้ายของรูปสามเหลี�ยม รูปสามเหลี�ยมสองรูปคล้ายกนัก็ตอ่เมื�อ รูปสามเหลี�ยมมีมมุที�เท่ากนัเป็นคูท่ั �งสามคู ่มีสมบตัิดงันี �

1. อตัราสว่นของความยาวของด้านคูที่�อยู่ตรงข้ามมมุที�ขนาดเท่ากนั(ด้านสมนยั)จะเท่ากนั

2. ถ้าอตัราสว่นความยาวด้านที�สมนยักนัของรูปสามเหลี�ยมสองรูปที�คล้ายกนั เท่ากบั k

แล้วอตัราสว่นของความสงูของรูปสามเหลี�ยมทั �งสองรูปนั �น เท่ากบั k

และอตัราสว่นของพื �นที�รูปสามเหลี�ยมทั �งสองรูปนั �น เท่ากบั 2k

3. ถ้าอตัราสว่นความยาวด้านที�สมนยักนัของรูปเรขาคณิตสองรูปที�คล้ายกนั เท่ากบั k

แล้วอตัราสว่นของพื �นที�รูปเรขาคณิตทั �งสองรูปนั �น เทา่กบั 2k

4. เส้นเชื�อมตอ่จดุกึ�งกลาง 2 ด้านของสามเหลี�ยมใดๆ ย่อมขนานกบัด้านที�สาม

และยาวเป็นครึ�งหนึ�งของด้านที�สามด้วย

3

ทฤษฎบีทอื�นๆที�เกี�ยวกับสามเหลี�ยม 1. พื �นที�ของสามเหลี�ยมที�อยู่บนฐานเดียวกนักบัสี�เหลี�ยมด้านขนานและมีสว่นสงูเท่ากนั

ย่อมมีพื �นที�เป็นครึ�งหนึ�งของสี�เหลี�ยมด้านขนาน

2. ในรูปสามเหลี�ยมหนึ�งใดๆ จะได้ความสมัพนัธ์ระหวา่งอตัราสว่นของพื �นที�และอตัราสว่นของ

ความยาวฐาน ดงัรูป

3. ทฤษฎีบทปีทาโกรัส : 2 2 2a b c

4. จากรูป 2 2 2 2a b 2d 2m

ทฤษฎบีทเกี�ยวกับรูปสี�เหลี�ยม 1 ผลบวกขนาดของมมุภายในของรูปสี�เหลี�ยมใดๆ จะเท่ากบั 360 องศา

2. รูปสี�เหลี�ยมด้านขนานด้านตรงข้ามของรูปสี�เหลี�ยมด้านขนานยาวเท่ากนั

และมมุภายในที�อยูต่รงมีขนาดเท่ากนั

3. ถ้ารูปสี�เหลี�ยมรูปหนึ�งมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากนัสองคู ่หรือ มีมมุตรงข้ามที�มีขนาดเท่ากนัสองคู ่

แล้ว รูปสี�เหลี�ยมนี �จะเป็นรูปสี�เหลี�ยมด้านขนาน

4. เส้นทแยงมมุของรูปสี�เหลี�ยมด้านขนานตดัแบ่งครึ�งซึ�งกนัและกนั

5. เส้นทแยงมมุของรูปสี�เหลี�ยมมมุฉากยาวเท่ากนั

6. เส้นทแยงมมุของรูปสี�เหลี�ยมจตัรุัสและรูปสี�เหลี�ยมขนมเปียกปนูตดักนัเป็นมมุฉาก

ทฤษฎีบทเกี�ยวกับรูปหลายเหลี�ยม

1. ผลบวกมมุภายในรูป n เหลี�ยมหาจากสตูร (n – 2)180 องศา

2. ขนาดของมมุภายในรูป n เหลี�ยมด้านเท่ามมุเท่า เทา่กบั (n 2) 180

n

องศา

3. ผลบวกของมมุภายนอกรูป n เหลี�ยม เท่ากบั 360 องศา

4. จํานวนเส้นทแยงมมุของรูป n เหลี�ยม n(n 3)

2

เส้น

จากรูปฐานแบ่งเป็นอตัราสว่น a : b

ทําให้พื �นที� : พื �นที� = a : b

a b

a

b

c

a bd

|m

|m

4

ทฤษฎบีทเกี�ยวกับวงกลม

1 ในวงกลมวงหนึ�งมมุที�จดุศนูย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาด

ของมมุในสว่นโค้งของวงกลมซึ�งรองรับด้วยสว่นโค้งเดียวกนั

2 ในวงกลมวงหนึ�งมมุในสว่นโค้งของวงกลมที�รองรับด้วนสว่นโค้ง

เดียวกนัหรือมีความยาวเท่ากนั มีขนาดของมมุเท่ากนั

3 ในวงกลมวงหนึ�งมมุในครึ�งวงกลมมีขนาด 90 องศาหรือหนึ�งมมุฉาก

ดงันั �น วงกลมที�มีรูปสามเหลี�ยมมมุฉากแนบใน

มีจศุนูย์กลางอยู่ที�จดุกึ�งกลางด้านตรงข้ามมุฉาก

4. ในวงกลมวงหนึ�งหรือวงกลมที�เท่ากนัสว่นโค้งที�อยู่ตรงข้ามกบัมมุที�ม ี

ขนาดเท่ากนัไมว่า่จะเป็นมมุที�จดุศนูย์กลางหรือมมุที�เส้นรอบวงก็ตาม

จะยาวเท่ากนั

5. ในวงกลมเดียวกนัหรือวงกลมที�เท่ากนั

คอร์ดที�ยาวเท่ากนัจะตดัสว่นโค้งได้ยาวเท่ากนั

6. สว่นของเส้นตรงที�ลากจากจดุศนูย์กลางของวงกลมวงหนึ�งไปยงัจดุ

กึ�งกลางของคอร์ดใดๆที�ไมใ่ชเ่ส้นผา่นศนูย์กลางของวงกลมวงนั �น

จะตั �งฉากกบัคอร์ด

7. สว่นของเส้นตรงที�แบ่งครึ�งและตั �งฉากกบัคอร์ด

จะผา่นจดุศนูย์กลางของวงกลมนั �น

8. วงกลมทั �งหลายที�ผา่นจดุสองจดุคงที� จะมีทางเดินของจดุศนูย์กลาง

เป็นเส้นตรงที�แบ่งครึ�งและตั �งฉากกบัสว่นของเส้นตรงที�ตอ่จดุทั �งสอง

นั �น(คอร์ดร่วม)

9. ในวงกลมวงหนึ�ง คอร์ดจะยาวเท่ากนั ก็ตอ่เมื�อ

อยู่ห่างจากจดุศนูย์กลางเท่ากนั

5

10. เส้นสมัผสัของวงกลมใดๆ จะตั �งฉากกบัรัศมีของวงกลมที�จดุสมัผสั

11. ถ้าลากเส้นตรงจากจดุภายนอกวงกลมมาสมัผสัวงกลม จะได้

(1) สามารถลากได้เพียงสองเส้น

(2) เส้นสมัผสัสองเส้นนั �นยาวเท่ากนั

(3) เส้นสมัผสัสองเส้นนั �นรองรับมมุที�จดุศนูย์กลางขนาดเท่ากนั

12. วงกลมสองวงสมัผสักนัภายนอกหรือภายใน จดุสมัผสัและ

จดุศนูย์กลางของวงกลมทั �งสองจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกนั

13. ขนาดของมมุตรงข้ามของรูปสี�เหลี�ยมใดๆ ที�แนบในวงกลมรวมกนั

จะเท่ากบัสองมมุฉาก

และมมุภายนอกจะเท่ากบัมมุภายในที�อยู่ตรงข้ามกบัมมุประชิด

14. มมุที�เกิดระหวา่งเส้นสมัผสักบัปลายคอร์ดที�จดุสมัผสัจะมีขนาดเท่ากบั

มมุในสว่นโค้งของวงกลมที�อยู่ตรงข้ามกบัคอร์ดนั �น

15. กําหนด AB เป็นเส้นสมัผสัวงกลม จากจดุ A ลากเส้นตรงตดัวงกลม

ที�จดุ D และ C จะได้วา่ 2AB AC AD

16. กําหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที�ตดักนัภายในวงกลมที�จดุ X

จะได้วา่ AX XB DX XC

17. กําหนดให้ AB และ CD เป็นคอร์ดที�ตดักนัภายนอกวงกลมที�จดุ X

จะได้วา่ AX XB DX XC

AB

C

D

X

A

B C

D

X

A

B

CD

A

B

C

DA

B

C

6

18. กําหนดให้ AD BC และ AE เป็นเส้นผา่นศนูย์กลาง

จะได้วา่ AB AC AE AD

19. กําหนด ABCD แนบในวงกลม จะได้วา่

AC BD AB CD BC AD

20. กําหนดวงกลมที�แนบในสี�เหลี�ยม ABCD

จะได้วา่ AB + CD = AD + BC

21. วงกลมที�แนบในรูปสามเหลี�ยม ABC และ r เป็นรัศมีวงกลม

จะได้วา่ r = 2 Area ABC

AB BC CA

22. วงกลมที�แนบนอกรูปสามเหลี�ยม ABC ซึ�งสมัผสัด้าน AC

และ r เป็นรัศมีวงกลม

จะได้วา่ r = 2 Area ABC

AB BC CA

23. วงกลมที�ล้อมรอบรูปสามเหลี�ยม ABC และ r เป็นรัศมีวงกลม

จะได้วา่ r = (AB)(BC)(AC)

4 Area ABC

24. วงกลมที�ล้อมรอบรูปสามเหลี�ยม ABC และ AX, BY, CZ เป็น

เส้นแบ่งครึ�งมมุ ˆ ˆ ˆA, B, C ตามลําดบั

จะได้วา่ ˆ ˆ ˆA B Cˆ ˆ ˆX 90 , Y 90 , Z 902 2 2

A

B CD

EA

B

C

DM

AB

C

D

A

B

C

O

AB

CO

A

B

CO

A

B C

X

YZ

7

พื �นที�รูปเรขาคณิต

1. พื �นที�รูปสามเหลี�ยม = 1

2 ฐาน สงู

= S(S a)(S b)(S c)

= 1

ab sin2

พื �นที�รูปสามเหลี�ยมด้านเท่า = 3

4 ด้าน2

พื �นที�รูปหกเหลี�ยมด้านเท่า = 3 3

2 ด้าน2

2. พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมจตัรุัส = ด้าน2 = 1

2(ผลคณูของเส้นทแยงมมุ)

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมผืนผ้า = กว้าง ยาว

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมด้านขนาน = ฐาน สงู

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมขนมเปียกปนู = ฐาน สงู = 1

2(ผลคณูของเส้นทแยงมมุ)

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมคางหม ู= 1

2 (ผลบวกด้านคูข่นาน) สงู

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยมรูปวา่ว = 1

2(ผลคณูของเส้นทแยงมมุ)

3. พื �นที�วงกลม = 2r และ เส้นรอบวงกลม = 2 r

อัตราส่วนตรีโกณมิต ิ จากรูปสามเหลี�ยมมมุฉาก ABC จะพบวา่

sin = a

c cos =

b

c tan =

a

b

cosec = c

a sec =

c

b cot =

b

a

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมติิที�มุมขนาดต่าง ๆ

sin = ___________

cos = ___________

tan = ___________

a b cS

2

A

B

C

a

b

c

0

6

4

2

3

0o

30o 45o

60o

90o

a

b

ch

8

ตัวอย่างแนวข้อสอบ สอวน

คาํชี �แจง : จงแสดงวิธีหาคําตอบ

1. กําหนดให้ PQR เป็นรูปสามเหลี�ยมด้านเท่า

โดยที� ˆSPR 40 และ ˆTQR 35

แล้วขนาดของมมุ ˆSXT เป็นกี�องศา

(สอวน: มอ. 2556)

P

Q RS

TX

9

2. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี�ยม

CE แบ่งครึ�ง ˆACB และ BE แบ่งครึ�ง ˆABD

ถ้า ˆBAC 78 แล้วขนาดของ ˆBEC เป็นกี�องศา

(สอวน: มอ. 2556)

A

CD B

E

10

3. จากรูปมมุ ˆBEC 40 มมุ ˆAFB 30

ขนาดของมมุ ˆBCD เป็นกี�องศา

(สอวน: มอ. 2556)

AD

CB

E

F

11

4. กําหนดวงกลมดงัรูป

ถ้า AB = 18 หน่วยและ ˆACB 45

แล้วเส้นรอบวงกลมนี �เป็นเท่าใด

(สอวน: มอ. 2556)

A

C

18 B

12

5. วงกลม O มีจดุ A เป็นจดุบนเส้นรอบวงกลม AD ผา่นจดุศนูย์กลางของวงกลมตดัวงกลมที�

จดุ C และ DB สมัผสัวงกลมที�จดุ B ถ้า ˆABD 115 แล้วขนาดของมมุ ˆADB เป็นเท่าใด

(สอวน: มอ. 2556)

13

6. กําหนดให้ PQRS เป็นที�ดินรูปสี�เหลี�ยม โดยมีด้าน PS ขนานกบั RQ

มมุ ˆPSR 90 , ˆPQR 30 ด้าน PQ ยาว 20 วา ด้าน RQ ยาว 40 วา

แล้วพื �นที�สี�เหลี�ยม PQRS มีคา่เท่าใด (สอวน: มอ. 2556)

14

7. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมมมุฉาก และ A B C เป็นรูปสามเหลี�ยมที�เกิดจากการ

สะท้อนของรูปสามเหลี�ยม ABC ดงัรูป จงหาวา่ความยาวของสว่นของเส้นตรง BB เป็นกี�เท่า

ของสว่นของเส้นตรง AB ที�ทําให้พื �นที�แรเงาเป็นครึ�งหนึ�งของพื �นที�สามเหลี�ยม ABC

(สอวน: มอ. 2556)

A

C

BB A

C

15

8. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลี�ยมด้านเท่า สร้างวงกลมโดยให้ AB เป็นเส้นผา่นศนูย์กลาง

และวงกลมตดั AC และ BC ที�จดุ D และ E ตามลําดบั ถ้า AB ยาว 6 หน่วย

พื �นที�สี�เหลี�ยม ABED เป็นเท่าใด (สอวน: มอ. 2556)

16

9. สี�เหลี�ยมด้านขนาน ABCD มี E และ F เป็นจดุกึ�งกลาง CD และ AD ตามลําดบั

ลาก AE และ BF ตดักนัที�จดุ G จงหาอตัราสว่นของพื �นที� EFG ตอ่พื �นที� BCE

(สอวน: มอ. 2556)

17

10. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมใดๆ โดยที� BC = 3 หน่วย ให้ D เป็นจดุบนด้าน BC

และ BD = 2 หน่วย คา่ของ 2 2 2AB 2AC 3AD เป็นเท่าใด

(สอวน: มอ. 2556)

18

11. จากรูป ABCD เป็นรูปสี�เหลี�ยมจตัรุัส และ APQ เป็นรูปสามเหลี�ยมด้านเท่า

ถ้าพื �นที� ADQ 30 ตารางหน่วย จงหาพื �นที�ของ CPQ (สอวน: มอ. 2556)

(คาํถามเพิ�มเตมิ : จงหาพื �นที� ABCD และ พื �นที� APQ )

A

CB

Q

D

P

19

12. รูปสี�เหลี�ยมคางหมหูน้าจั�วมพืี �นที� 144 ตารางหน่วย ถ้าด้านคูข่นานด้านสั �นยาวเท่ากบัระยะห่าง

ของด้านคูข่นาน และด้านคูข่นานด้านยาวยาวเท่ากบัเส้นทแยงมมุ แล้วความสงูของรูปสี�เหลี�ยม

คางหมนีู �ยาวกี�หน่วย (สอวน: สก. 2556)

20

13. วงกลมรัศมี r หน่วย แนบในรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�ว ซึ�งมมีมุหนึ�งมมุเป็นฉาก

และรูปสามเหลี�ยมหน้าจั�วนี �แนบในวงกลมอีกวงที�มีรัศมี R หน่วย

จงหาคา่ของ r

R (สอวน: สก. 2556)

21

14. AB, CD, EF เป็นคอร์ดที�ขนานกนั และอยู่ด้านเดียวกนัของจดุศนูย์กลางของวงกลมวงหนึ�ง

ถ้าระยะระหวา่งคอร์ด AB กบั CD เท่ากบัระยะห่างงระหวา่งคอร์ด CD กบั EF

และความยาวของคอร์ดทั �งสาม เท่ากบั 20, 16 และ 8 หน่วย ตามลําดบั

แล้วความยาวของเส้นผา่นศนูย์กลางของวงกลมนี �เท่ากบักี�หน่วย (สอวน: สก. 2556)

22

15. P เป็นจดุภายนอกวงกลม O สว่นของเส้นตรง PA, PB สมัผสัวงกลมที�จดุ A, B

ตอ่ PB เลยไปพบสว่นตอ่ของเส้นผา่นศนูย์กลาง AC ที�จดุ D ถ้าความยาวของ CD และ BD

เท่ากบั 92

และ 15

2 หน่วยตามลําดบั แล้วพื �นที�ของรูปสามเหลี�ยม PAD เท่ากบักี�ตารางหน่วย

(สอวน: สก. 2556)

23

16. ในสามเหลี�ยม ABC มีมมุยอด A กาง 120 องศา OB และ OC เป็นเส้นแบ่งครึ�งมมุ B

และ C พบกนัที�จดุ O ดงันั �น มมุ BOC กางกี�องศา

24

17. ในสามเหลี�ยม ABC เส้นแบ่งครึ�งมมุ A พบฐานที�จดุ D, AE เป็นเส้นตั �งฉากพบฐานที� E

ปรากฏวา่มมุ B กาง 42 องศา มมุ C กาง 65 องศา ดงันั �นมมุ DAE เท่ากบักี�องศา

25

18. ใน ABC , XY // BC และพื �นที�ของ AXY เท่ากบั 8 ตารางหน่วย พื �นที�

BXY เท่ากบั 12 ตารางหน่วย จงหาพื �นที� YBC

B

A

C

X Y

26

19. จากรูปจงหาผลบวกของมมุ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

1

2

3

4

5

6

27

20. จากรูป PQR; PQ = PR และ PS = QS = QR ดงันั �นมมุ QPR กางกี�องศา

P

Q R

S

28

21. ใน ABC, A = 62o, B = 48o PQR เป็นสามเหลี�ยมใน ABC ที�ทําให้ oBAQ PBC RCA 20 ดงัรูป จงหามมุ P, Q, R ซึ�งเป็นมมุภายในรูป PQR

A

B C

P

Q

R

29

ตัวอย่างข้อสอบคดัเลือกการแข่งขันคณติศาสตร์โอลมิปิก

1. จากรูป ถ้า AD = DF = FB และ EG = 2AE = 2GC แล้ว พื �นที�ของรูปสี�เหลี�ยม BFGC

เป็นกี�เท่าของพื �นที�ของรูปสามเหลี�ยม ADE

C

A

B

D E

G F

30

2. จากรูป ถ้า AB = 2 หน่วย AD = BC = 3 หน่วย และ AC = 4 หน่วย แล้ว CD มีคา่เท่าไร

A B

C D

31

3. จากรูป AB = CD ; E, F และ G เป็นจดุกึ�งกลางด้าน AD, BC และ AC ตามลําดบั oBAC 88 , oDCA 42 จะได้ E F G มีขนาดกี�องศา

A

B C

D E

F

G

32

4. จากรูป AD แบ่งครึ�งมมุ ˆBAC ตอ่ BC ออกไปถึงจดุ E H เป็นจดุบน AB

ซึ�ง EH ตดักบั AD และ AC ที�จดุ G และ F ตามลําดบั ถ้า ˆAGH 90

และ ˆABC มีขนาดเลก็กวา่ ˆBCA 30 องศา แล้วขนาดของมมุ ˆBEF เท่ากบักี�องศา

A

BCD E

FG

H

33

5. จากรูป ABCD เป็นรูปสี�เหลี�ยมด้านขนาน E และ F เป็นจดุบน AB และ CD ตามลําดบั โดยที�

EF ขนานกบั BC และ EF ตดักบั AC ที�จดุ G ถ้าอตัราสว่นของพื �นที�รูปสามเหลี�ยม AEG ตอ่

พื �นที�รูปสี�เหลี�ยม ABCD เท่ากบั 1 ตอ่ 18 แล้วอตัราสว่นของพื �นที�รูปสี�เหลี�ยม AGFD ตอ่พื �นที�รูป

สี�เหลี�ยม BCGE เท่ากบัเท่าไร

AB

C DF

G

E

34

6. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี�ยมมมุฉาก ซึ�งมี ˆBAC เป็นมมุฉาก จากจดุ A ลาก AD ไปตั �งฉากกบั

BC ที�จดุ D และจากจดุ D ลาก DE ไปตั �งฉากกบั AC ที�จดุ E ถา BD และ DC ยาว 4 และ 9

หน่วย ตามลําดบั แล้ว 2 2(EC) (AE) เท่ากบัเท่าใด

A

B

C

D

E

35

7. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี�ยม มีด้าน AC ยาว 10 หนว่ย ˆACB มีขนาด 75 องศา D เป็นจดุ

กึ�งกลางของ AC และ E เป็นจดุบน BC ที�อยู่ห่างจากจดุ A น้อยที�สดุ ถ้ารูปสามเหลี�ยม ABC มี

พื �นที� 37.5 ตารางหน่วย แล้วอตัราสว่นของความยาวของ BE ตอ่ความยาวของ CE เท่ากบัเท่าใด

A

B

CD

E

36

8. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี�ยม DE ขนานกบั BC ลาก CD และ BE ตดักนัที�จดุ F ลาก

DG ขนานกบั AC พบ BF ที�จดุ G ถ้าพื �นที�สามเหลี�ยม ABC เท่ากบั 9 เท่าของพื �นที�สามเหลี�ยม

ADE แล้วพื �นที�ของสามเหลี�ยม ABC เท่ากบักี�เท่าของพื �นที�สามเหลี�ยม DGF

A

B C

D

FG

E

37

9. สามเหลี�ยม ABC เป็นสามเหลี�ยมด้านเท่า จดุ D และจดุ E อยู่บนด้าน AC และ AB ตามลําดบั

ทําให้ CD = AE ตอ่ BD และ CE ตดักนัที�จดุ X แล้วขนาดของมมุ BXC เท่ากบักี�องศา

A

BC

D

X E

38

10. จากรูป ABCD เป็นรูปสี�เหลี�ยมด้านขนานที�มพืี �นที�เท่ากบั 60 ตารางนิ �ว จดุ E อยู่บนด้าน AB

ลาก CE ตดั DB ที�จดุ F ทําให้ AE : EB = 1 : 2 และ EF : FC = 2 : 3

แล้วพื �นที�สามเหลี�ยม COF เท่ากบักี�ตารางหน่วย

A B

CD

F

E

O

39

11. จากรูป AD = BE = 20 เมตร และ DE = EC โดย DA , FE และ CB ตั �งฉากกบั AB

ถ้าสามเหลี�ยม DEC มีพื �นที� 1,352 ตารางหน่วย แล้ว EF ยาวกี�หน่วย

A B

C

D

F

E

40

12. ให้ ABCD เป็นสี�เหลี�ยมคางหม ูมีด้าน AB ขนานกบัด้าน DC มีมมุ ADC เป็นมมุฉาก

และเส้นทแยงมมุ AC และ BD ตดัตั �งฉากกนั ถ้า AB = 2 เซนติเมตร DC = 8 เซนติเมตร

แล้วความยาว BD เท่ากบักี�เซนตเิมตร

A B

CD

2

E

8

41

13. จากรูป AB และ AC เป็นคอร์ดที�ยาวเท่ากนัของวงกลม ที�มีจดุ O เป็นจดุศนูย์กลาง

และมีรัศมียาว 8 หน่วย ถ้า ˆBAC มีขนาด 45 องศา แล้วพื �นที�แรเงาเท่ากบักี�ตารางหน่วย

A

B C

O

42

14. จากรูป AB และ AC เป็นคอร์ดที�ยาวเท่ากนัของวงกลม ที�มีจดุ O เป็นจดุศนูย์กลาง

และมีรัศมียาว 2 หน่วย ถ้า ˆACB มีขนาด 75 องศา แล้วพื �นที�แรเงาเท่ากบักี�ตารางหน่วย

A

B C

O

43

15. สามเหลี�ยม ABC เป็นสามเหลี�ยมหน้าจั�ว มี AB = AC มีวงกลมแนบในสามเหลี�ยม ลาก DE

สมัผสัวงกลมและขนานกบั BC ถ้า DE ยาว 18 นิ �ว และ BC ยาว 50 นิ �ว แล้วรัศมีของวงกลม

แนบในสามเหลี�ยมยาวกี�นิ �ว

A

B C

D E

44

16. จากรูป AOC เป็นเส้นผา่นศนูย์กลางของวงกลม AB เป็นคอร์ด BD เป็นเส้นสมัผสัวงกลมที�จดุ B

พบ AC ที�ตอ่ออกไปที�จดุ D ลาก DE ตั �งฉากกบั AD พบ AB ที�ตอ่ออกไปที�จดุ E

ถ้า AB = CD = 8 เซนตเิมตร และ BC = 6 เซนตเิมตร แล้ว DE ยาวกี�เซนติเมตร

A B

C

D

E

O5

56

8

8

45

17. วงกลม 2 วงตดักนัที�จดุ M และ N จดุ A เป็นจดุบนวงกลมเลก็ ตอ่ AM และ AN ไปพบเส้นรอบ

วงกลมใหญ่ที�จดุ B และ C ตามลําดบั PAQ เป็นเส้นสมัผสัวงกลมเลก็ที�จดุ A ถ้า ˆMAP 75

และผลตา่งระหวา่งมมุ B และมมุ C เท่ากบั 25 แล้วขนาดของมมุ MAN เท่ากบักี�องศา

A

B

C

P

N

M

Q

46

18. AB และ AC สมัผสัวงกลม O ที�จดุ B และจดุ C ทําให้ ˆBAC 64 ที�จดุ D เป็นจดุบนสว่นโค้ง

ใหญ่ BC และ E เป็นจดุกึ�งกลางสว่นโค้งเลก็ BC แล้วมมุ OBE มีขนาดโตกวา่มมุ BDC กี�องศา

A

B

C

D O E

47

19. จากรูป EX แบ่งครึ�งมมุ AEB และ FX แบ่งครึ�งมมุ AFD ถ้ามมุ BAD เท่ากบั 40 องศา และมมุ

ADC เท่ากบั 120 องศา แล้วขนาดของมมุ EXF เท่ากบักี�องศา

A B

CD

F

E

X

48

20. สามเหลี�ยม ABC มีมมุ BAC เท่ากบั 2 เท่าของมมุ ABC วงกลม O แนบนอกสามเหลี�ยม ABC

โดยสมัผสัด้าน BC และ AB, AC ที�ตอ่ออกไป ลาก AO ตดัด้าน BC ที�จดุ P กําหนดให้ AP

เท่ากบั 3 เซนตเิมตร และ AB เท่ากบั 5 เซนตเิมตร ความยาวของ AO เท่ากบัเท่าใด

A

B CP

O

49

21. สามเหลี�ยม ABC และสามเหลี�ยม DEF เป็นสามเหลี�ยมด้านเท่าที�แนบในวงกลม

โดย BC ขนานกบั EF ถ้าวงกลมมีเส้นผา่นศนูย์กลางยาว 6 หนว่ย แล้วพื �นที�แรเงาเท่ากบัเท่าใด

A

B C

D

EF

50

22. ให้ ABC เป็นสามเหลี�ยมหน้าจั�วมมุฉาก โดยมีมมุ ACB เป็นมมุฉาก และด้าน AC ยาวเท่ากบัด้าน

CB ลาก CO ตั �งฉากกบั AB ที�จดุ O สร้างวงกลมโดยใช้ C เป็นจดุศนูย์กลางรศัมี CA และสร้าง

วงกลมโดยใช้ O เป็นจดุศนูย์กลางรศัมี OC เกิดพื �นที�แรเงาดงัรูป ถ้า AB ยาว 2 2 หน่วย

แล้วสว่นแรเงามีพื �นที�กี�ตารางหน่วย

A

B

CO

51

23. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลี�ยมหน้าจั�ว โดยที� ˆBAC 120 มี AB = AC ลาก BD พบกบั AC

ที�จดุ D ถ้าเส้นตรง BD ผา่นจดุศนูย์กลางของวงกลมที�แนบในสามเหลี�ยม ABC แล้วอตัราสว่นของ

AD ตอ่ DC เท่ากบัเท่าใด

A

B C

D

52

24. จากรูป ให้สี�เหลี�ยมABCD เป็นสี�เหลี�ยมมมุฉาก มีจดุ E, G, F และ H เป็นจดุที�แบ่งครึ�งด้าน AB,

BC, AD และ FE ตามลําดบั จงหาอตัราสว่นระหวา่งพื �นที�แรเงากบัพื �นที�ไมแ่รเงา

A B

CD

H

F G

E

53

25. จากรูป กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี�เหลี�ยมผนืผ้า ให้ P เป็นจดุใดๆ บน AB

โดย PS BD, PR AC , AF BD และ PQ AF

แล้ว PR + PS เท่ากบัความยาวเท่ากบัสว่นของเส้นตรงใด (ตอบในรูปตวัแปร)

A B

CD

P

E

F

Q RS

T

54

26. กําหนดให้ AC , CD และ AE เป็นเส้นสมัผสัวงกลมของวงกลม O ที�จดุ B จดุ D และจดุ E

ตามลําดบั โดยมีวงกลมเลก็อีกสองวงสมัผสักนัภายนอก และสมัผสัภายในกบัวงกลม O

ถ้าวงกลมขนาดเลก็สดุรัศมี r จงหาคา่ของ 2

(AB)(BC)

r (สอวน: มน. 2556)

C

D

A

B

E O

r

55

27. กําหนดให้ ABC เป็นสามเหลี�ยม โดยมจีดุ O เป็นจดุศนูย์กลางของวงกลมที�ล้อมรอบจดุ A, B และ C

โดยที� CD เป็นเส้นแบ่งครึ�งมมุ ˆACB จากจดุ C ลากเส้นตั �งฉากกบั AB และไปตดักบัเส้นตรงที�ลาก

ผา่นจดุ OD ที�จดุ E ซึ�งอยู่บนเส้นรอบวงกลมที�ผา่นจดุ A, O และ B

แล้วขนาดของมมุ ˆACB เท่ากบักี�องศา

C

DA B

E

O

56

28. จากรูป จงหาขนาดของมมุ ˆHDG

A

B

CD

EF

G

H

57

29. กําหนดรูปสามเหลี�ยม ABC โดยที�มมุ B มีขนาด 80 องศา มีวงกลม O แนบในรูปสามเหลี�ยม ABC

โดย BC และ AC สมัผสัวงกลมที�จดุ D และ E ตามลําดบั ตอ่ BO ไปตดั DE จดุ P

จงหาขนาดของมมุ APB (สอวน : มข 2556)

P

E

D

O

A B

C

58

30. ให้ ABCD เป็นสี�เหลี�ยม มเีส้นทแยงมมุ AC และ BD ตดักนัที�จดุ E

ถ้า AB = BE = 5 , CD = CE = 7 และ BC = 11 จงหาความยาวของ AE

(สอวน : มช 2556)