流体抵抗・揚力 (Drag and Lift)

運動量交換momentum coupling運動量交換momentum coupling

• 流体抵抗 Drag force

– レイノルズ数 Reynolds number

– 希薄効果 rarefaction effect

– 流れ場の非一様性 Non-uniformity

– 乱れ turbulence

– 粒子間距離 interparticle spacing

– 表面からの吹出し blowing at surface

• 重力 Gravitational force

Faxen force : 流れ場の非一様性の影響 (effect of a nonuniform flow)Faxen force : 流れ場の非一様性の影響 (effect of a nonuniform flow)

( )vuDF cDrrr

−= πμ3

ストークス抵抗 (Stokes drag)

一様流中に球がある場合

( ) uDvuDF ccDrrrr

23

83 ∇+−= πμπμ Happel & Brenner (1973)

Faxen force : 非一様性の影響

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

lD

FF

Stokes

Faxen

）（速度分布の曲率半径

関連する特性長さ搬送流体の速度分布に

: l

非定常抵抗 (Unsteady drag forces) : low Re非定常抵抗 (Unsteady drag forces) : low Re

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇−−= u

dtdDvuVF d

VMr&s&r 2

2c

402 : mass) (virtual 仮想質量

ρ項

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

= ∫t

Basset tvutd

ttvuDF

0

02

23 : forceBasset

rr&r&r

πρμ）バセット項（

非一様性の影響（曲率の影響）Maxey & Riley, 1983

初期速度(initial velocity)の影響(Reeks & McKee, 1984)

圧力勾配 (Pressure gradient)圧力勾配 (Pressure gradient)

p

∫ −=cs

p dSnpF rr

∫ ∇−=cv

p pdVFr

dp pVF −∇=r

粒子の体積 :dV

dcp gVF ρ=

const.=∇p

発散定理divergence theorem

zc egp rρ−=∇ 静水圧 (hydrostatic pressure)

浮力 (buoyancy force)

Basset-Boussinesq-Oseen 方程式 (BBO 方程式) : low RerBasset-Boussinesq-Oseen 方程式 (BBO 方程式) : low Rer

単一球の運動方程式 （流れ場の曲率を無視）

( )

( )

( )( )

重量

バセット項

仮想質量項

外力

定常抵抗

------------------------------

-- 23

---------------------- 2

--------------------

----------------------- 3

0

02

gmtvutd

ttvuD

vuVpV

vuDdtvdm

t

c

dc

d

r

rr&r&r

&r&r

rrr

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

+

−+

∇+∇−+

−=

∫μπρ

ρτ

πμ

dDm ρπ 3

6= 3

6DVd

π=

BBO 方程式BBO 方程式

( ) ( )

( ) 129

211 1

211

0

021

gtvutd

ttvu

upvudtvd

t

Vd

c

d

c

dVd

c

rrr&r&r

&rrrr

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∇+∇−+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∫τρρ

π

ρρτ

ρτρρ

μρτ18

2DdV =

応答時間 :

gDt

uDp ccr

r

ρρτ −=∇+∇−

( ) ( ) 1 129

23 1

211

0

021

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ∫

d

ct

Vd

c

d

c

Vd

c gtvutd

ttvuuvu

dtvd

ρρ

τρρ

πρρ

τρρ r

rr&r&r&rrr

r

1<<d

c

ρρ

( ) gvudtvd

V

rrrr

+−= 1τ

( )

( ) 1 129

2

1 12

1

0

021

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∫d

ct

Vd

cB

d

cVM

Vd

cVM

gtvutd

ttvuC

uCvudtvdC

ρρ

τρρ

π

ρρ

τρρ

rrr&r&r

&rrrr

BBO 方程式 : large ReBBO 方程式 : large Re

( )vuVF dVM

&s&rr

−=2

: cρ仮想質量項

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

= ∫t

Basset tvutd

ttvuDF

0

02

23 :

rr&r&rrπρμバセット項

( )vuVCF dVMVM

&s&rr

−=2

: cρ仮想質量項

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+′

′−−

= ∫t

BBasset tvutd

ttvuDCF

0

02

23 :

rr&r&rrπρμバセット項

( )vuDF cDrrr

−= πμ3 ( )vuDfF cDrrr

−×= πμ3

流体球 (fluid sphere)流体球 (fluid sphere)

σ

σ

+

+×=

1321

0DD FF

inner

outer

μμσ =

外部流体の粘度viscosity of outer fluid

内部流体の粘度viscosity of inner fluid

剛体球rigid sphere:

∞→innerμ 0→σ 0DD FF →

液中の気泡gas bubble in a liquid : innerouter μμ >> ∞→σ 03

2DD FF →

注： 液体が余り清浄でない場合 0DD FF →

Rybczynski (1911), Hadamard (1911)

ストークス抵抗 (Stokes drag)

diameter) (particle path) free(mean

粒径

平均自由行程==

DKn

λ

希薄効果 (rarefied flow effects)希薄効果 (rarefied flow effects)

ccρμλ ≈

DcK

cn ρ

μ≈∴

c

cDν

1=

cU

UDc

⋅=

ν

1ReM

=

10 : flow)molecular (free 1025.0 : flow) nal(transitio

25.010 : flow) (slip

10 : )(continuum 3-

3

>

<<

<<

< −

n

n

n

n

KKK

K

自由分子流

遷移流

滑り流れ

連続体

λρμ cc≈

粘度 音速

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+++−×= 2

0 1223490.050000.001619.11 k

KKkFF DD

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

×=

nn

DD

KK

FF74.1exp84.049.21

10

希薄効果希薄効果

Millikan (1923) , 経験式 (empirical)

nKk2π

=s

g

kk

K =気体の熱伝導度 (thermal conductivity of gas)

固体の熱伝導度 (thermal conductivity of solid)

Sone & Aoki (1977) , 理論 (theoretical)

吹出しの影響 (blowing effects)吹出しの影響 (blowing effects)

燃焼する液滴または蒸発する液滴

Burning or evaporating droplet

BCC D

D +=

10

Eisenklam (1967)

L

p

hTc

BΔ

=

気体の定圧比熱specific heat of gas at constant pressure

液滴と周囲の雰囲気との温度差temperature difference between the droplet and the surroundings

蒸発潜熱：液体が液相から気相へ相変化する際に単位質量当たりに必要とされる熱量 latent heat of vaporization

nrw

urvrD

蒸気の速度 vapor velocity

BCC D

D +=

10

燃焼する液滴Burning droplets :

L

Op

hsHxTc

B 2+Δ

=

酸素濃度 (oxygen concentration)

heat of combustion

理論混合比(stochiometric rate for oxygen)

標準抵抗曲線（抵抗係数 vs Re数）においてRe数を修正Yuen and Chen (1976)

燃焼する液滴Burning droplets :

( )RefCD =

μρ ruD

=Re

( )Tg=μ

( )dcdf TTTT −+=31

燃焼する液滴または蒸発する液滴

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−++= c

nD

bC

Re1Re03.01Re1.0Re0545.01

Re24 2

1

Law (1982)

Annamalai & Ryan (1992)

Re4.0077.009.0 −+= eb Re04.077.04.0 −+= ec

νDw

n =Re

νvuD rr

−=Re

Re4.0077.006.0 −+= eb Nakamura et al. (2005)

nrw

urvrD

蒸気の速度 vapor velocity

揚力Lift

const.21

21 22 =+=+ ∞ Vpvp ρρ

VV

∞p∞p

ベルヌーイの定理

p : 小さい

p : 大きい

v : 大きい

v : 小さい

揚力 (lift forces)揚力 (lift forces)

粒子回転 (particle rotation)の原因

流体の速度勾配velocity gradient of fluid

粒子間衝突、粒子と壁の衝突

サフマン揚力 (1965)

GSaff vuDF Re61.1 rr−= μ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Ω=

dyduDD

G νν

22

Re

r

vuurrrr

−=

ySaffF揚力

DF抵抗

条件

1Re <<−

=c

r

vuDν

rr1Re <<G

Gr ReRe <<

( )c

ccSaff

vuDFω

ωμρ r

rrrr ×−= 261.1

rc urr×∇=ω

サフマン揚力Saffman lift force

マグナス力Magnus force

サフマン揚力の拡張 (Extension of Saffman lift force)サフマン揚力の拡張 (Extension of Saffman lift force)

条件

1Re <<−

=c

r

vuDν

rr1Re <<G

Gr ReRe <<

条件

1Re >−

=c

r

vuDν

rr1Re >G

Gr ReRe >

40Re Re0524.0

40Re 3314.010Reexp3314.01 2

121

>=

≤+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

rr

rr

Saff

L

FF

β

ββ

4.0005.0 ,2

<<−

= βω

βvu

D crr

r

Mei (1992)

McLaughlin (1991), Dandy & Dwyer (1990)

vuurrrr

−=

ySaffF揚力

DF抵抗

マグナス力 (Magnus force)マグナス力 (Magnus force)

サフマン揚力

vuurrrr

−=

ySaffF揚力

DF抵抗

マグナス力

粒子の回転 = 流体の回転 粒子の回転≠ 流体の回転

ucdrrr

×∇==21ωω ucd

rrr×∇=≠

21ωω

マグナス力Magnus forceマグナス力Magnus force

udrrrr

×∇−=21ωω

( )rrcMag uDF ωρπ rrr×= 3

8

vuurrrr

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

r

rrrcLRMag

uuACFωωρ r

rrrr

21

)( 4

2 投影面積DA π=

揚力係数の定義

Low Re: Rubinow & Keller (1961)

( )Ω= fCLR

r

d

u

D

r

rω2

velocity)l(equatoriaparameter)(Spin

=

=Ω=粒子流体相対速度

周速度スピンパラメータ

Ω= 2LRC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

Ω=

dyduDD

G νν

22

Re

r

140Re <−

=c

r

vuDν

rr

揚力係数 (lift coefficient)揚力係数 (lift coefficient)

Oesterle and Bui Dinh (1998) Experients in Fluids, Vol.2, pp.16-22

[ ]5.0,5.0min Ω=LRC

Tsuji et al.(1990)

Ω= 2LRC[ ]5.0,5.0min Ω=LRC

r

d

u

D

r

rω2=Ω

( )3.04.0 ReRe05684.0exp45.0ReRe45.0 rG

r

GLRC −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Ω= 2LRC 1Re <r

トルクTorque

粘性流体中で回転する球に働くトルク

粘性流体中で回転する球に働くトルク

rDT ωπμω3 : Re low −=

aD 2= udrr

×∇−=21ωω

Happel & Brenner (1973)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ωωω ωρ

ReRe21 : Rehigh 2125 CCaT rc

20Re10 << ω

50Re20 << ω

100Re50 << ω

ωRe 1C 2C

32.5

44.6

45.6

2.37

2.32

1.32

Takagi

32Re <ω

1000Re23 << ω

ωRe 1C 2C

0

9.12

π64

4.128

Dennis et al.(1980)