ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՆԴՊՐՈՑՈՒՄ

О_Iск_IС

1ЬI s #

5 1 15 ° 3

* 3 1 _з с е з -

° ч 3 3 с? 3 £Ь- с i - 13

■=■ S . 5

QооCVI

о1^

Q

յ Ժ՜

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ է. Ի . Ա յ վ ա զ յ ա նԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ «ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶԻ ՏԱՐՐԵՐ» ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՈԱՐԿԱՅԻ ՆՈՐ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՄԱՍԻՆ (Մաս 1. 10-րդ դասարան)................................................................3

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ Ս. Ի ս կ ա ն դ ա ր յ ա նՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԱՎԱՆԴՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻԿԱՏԱՐԵԼԱԳՈՐԾՄԱՆ ՈՐՈՇ ՀՆԱՐՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ.......................11

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆԱ. Մկրտչյան, Ն. Մա րտիրոսյան, Ա. ԿիրակոսյանՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ...................17

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ Գ. Վ. Ա ղ ե կ յ ա նԲԱԶՄԱՆԻՍՏԵՐԻ ԻՆՏԵՐԱԿՏԻՎ ՀԱՏՈՒՅԹՆԵՐԻ ԿԱՈՈՒՑՈՒՄԸ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉՈՎ.................................................... 23

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ Ա. Մ ե լ ի ք - Փ ա ր ս ա դ ա ն յ ա նՊՏՂՈՄԵՈՍԻ ԵՐՐՈՐԴ ԹԵՈՐԵՄԻ ՇՈՒՐՋ................................... 32

Ա. Ս. Մ ի ք ա յ ե լ յ ա նՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՅԻ (2-ՐԴ)ՏԱՐԱԾՔԱՅԻՆ ՓՈՒԼԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ (2010).................................45

ԻՆՔՆԱԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԿ. Մ. Մ ո ս ե ս յ ւ ս ն , Գ. Ա. Հ ա մ բ ա ր ձ ո ւ մ յ ա նԿԱԽՎԱԾ ԳԱԳԱԹՆԵՐԻ ԹԻՎԸ ԾԱՈԵՐՈՒՄ................................ 57

Գ. Ն ե ր ս ի ս յ ա նԽՆԴԻՐՆԵՐ............ 64

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Հւսմլետ Միքայելյան գլխ ա վոր խ մբա գիր

Սարիբեկ Հակոբյան գլխ ա վոր խ մբա գրի տ եղա կա լ, պ ա տ ա սխ ա նա տ ու քա րտ ուղա ր

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր

Աբրահամյան Արաս Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հայկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան Գառնիկ

Ն կ ար ի չՎ. Հ. Միքայելյան

Հ ա մ ա կ ա ր գ չ ա յ ի նձ և ա վ ո ր ո ւ մ ը

ԳոԻար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւ մ »գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն սւ մ ս ա գ ի ր № 1, 2 0 1 0 թ .

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական՛ N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու՝ գ լխ ա վ որ խ մբա գիր Հ ա մ լե տ Մ ի ք ա յե լյա ն

Հանձնված է տպագրության 05.03.201 Օթ: Տպաքանակը' 2010, ծավալը 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը’ 70x100 1/1Տ;

Գինը' 700 դրամ:Ուսումնական հաստատություններին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: atuedu.am Internet: lutp://\\\v\\ .anieda.am

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն

ԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ «ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ ԾՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԱՆԱԼԻԶԻ ՏԱՐՐԵՐ»

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՐԿԱՅԻ ՆՈՐ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՄԱՄԻՆ (Մաս 1. 10-րդ դասարան)

է. Ի. Այվազյան, մանկ. գիտ. թեկնածու, դոցենտ ԿԱԻ

Ավագ դպրոցի «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր»

(այսուհետ՜ ՀՄԱՏ) ուսումնական առարկայի պետական չափորոշչի բացատրւս֊

գրում նշվում է, որ այդ փաստաթղթի առաջին մասը ՀՄԱՏ առարկայի հայե­

ցակարգն է, որում բւսցահայւովում են առարկայի կրթական նշանակությունը,

նպատակները, ուսուցման հիմնական սկզբունքները և բովանդակային գծերը:

Ընդ որում, առարկայի կրթական նշանակությունը պարզաբանվում է

«Հանրահաշիվ» և «Մաթեմատիկական անալիզ» առարկաների գիտական, տեխ­

նիկական և հասարակական կյանքի բոլոր ոլորտների առաջընթացի համար

ունեցած կարևորագույն դերով, այն է' որպես փոփոխականների, դրանց հետ

գործողությունների կատարման, դրանց միջև գոյություն ունեցող զանազան

առնչությունների (ֆունկցիաների) և հարաբերությունների վերաբերյալ մաթե­

մատիկայի բնագավառ: Այդ դերն իր արտացոլումն է ունեցել ինչպես անցյալի

բազմաթիվ, այնպես էլ ներկա կրթական համակարգերում, ինչն իր հերթին պայ­

մանավորված է հետևյալ հիմնական գործոններով.

ա) հանրահաշիվը և մաթեմատիկական անալիզը' լինելով մաթեմատի­

կայի կորևորագույն բնագավառներ, անփոխարինելի դեր են խաղում մարդու

աշխարհայացքի ձևավորման գործում:

բ) Դրանք միաժամանակ պարունակում են հսկայական կրթական ներուժ,

հետևողականություն և նպատակասլացություն, որը նպաստում է անձի հոգևոր

աշխարհի ձևավորմանը, սովորողի իմացական ոլորտի (մտածողության), կամա­

յին ու անհատական որակների ձևավորմանն ու զարգացմանը: Միևնույն ժամա­

նակ, հանրահաշվական մտքերի հստակությունը և մաթեմատիկական անալիզի

3

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

ուսուցման արդյունքում ձևավորվող վերլուծական կարողությունները, առաջա­

դրված հարցերին տրվող պատասխանների միանշանակությունը նպաստում են

սովորողների մոտ համաձայնության գալու անչափ կարևոր կուլտուրայի և

ստեղծագործական ունակությունների ձևավորմանը:

գ) ՀՄԱՏ առարկայի կրթական դերը պայմանավորված է նաև դրա գործ-

նական-կիրառական ընդգծված նշանակությամբ:

դ) Հանրահաշվական մտքերը և մաթեմատիկական անալիզի ոլորտում

գործածվող դատողություններն ունեն հստակ, կուռ տրամաբանական կառուց­

վածք: Դրանց շարադրման ընթացքը կատարվում է ձևական տրամաբանության

օրենքներով ու օրինաչափություններով: Այդ պատճառով ՀՄԱՏ առարկայի ու­

սուցման միջոցով հնարավոր է ձևավորել և զարգացնել սովորողների տրամա­

բանական և ալգորիթմական մտածողությունը:

ե) ՀՄԱՏ առարկայի դասավանդումը մեծապես կարող է նպաստել սովո­

րողների լեզվամտածողության զարգացմանը:

զ) ՀՄԱՏ առարկայի դասավանդումը հնարավորություն է ստեղծում նաև

սովորողներին հաղորդակից դարձնելու ազգային և համամարդկային արժեքնե­

րին [1; 5]:

Առարկայի բովանդակությունը շարադրվում է ինչպես գծայնորեն, այնպես

էլ պարուրաձև' ըստ հետևյալ բովանդակային գծերի, իրական թվեր, եռան­կյունաչափության տարրեր, թվային ֆունկցիա, բանաձևեր (հավասարություն, անհավասարություն, հավասարում, անհավասարում, համակարգեր և համա­խմբեր), միացությունների տեսության, վիճակագրության, հավանականություն­ների տեսության տարրեր, տրամաբանության տարրեր. Ընդ որում, չափորոշչում

վերջին երկու գիծը միատեղված է մեկ գծի մեջ, որը տեղին չէ, քանի որ ՀՄԱՏ

առարկայի ինչպես բնագիտամաթեմատիկական, այնպես էլ ընդհանուր ու

տարբերակված հոսքերի 11-րդ դասարանի ծրագրերում և դասագրքերում տրա­

մաբանությանը նաև (բացահատորեն) հատկացված է առանձին բաժին (գլուխ).

Այժմ կանգ առնենք նշված բովանդակային գծերի վրա, հենքում ունենալով

ավագ դպրոցի ՀՄԱՏ առարկայի հոսքային դասագրքերի գիտամեթոդական

առանձնահատկությունները:

10-րդ դասարանի ՀՄԱՏ դասագրքերում կոնկրետացվել են, հիմնականում,

իրական թվեր, եռանկյունաչափության տարրեր և թվային ֆունկցիա բովանդա­

կային գծերը, որոնց շարադրանքը, սակայն, «համեմված» է նաև բանաձևերի ու

տրամաբանության գծերի տարրերով:

1. Իրական թվերի բովանդակային գիծը համակարգում է սովորողների

նախորդ դասարաններում ուսումնասիրած գիտելիքները ռացիոնալ և իռացիո­

նալ թվերի վերաբերյալ, ամբողջացնում է պատկերացումները թվային բազմու­

թյունների, թվային ուղղի մասին, ձևավորում է իրական թվերով թվաբանական

հաշվարկներ կատարելու հմտություններ և տասնորդական մոտարկումներ

4

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

գտնելու և կիրառելու կարողություններ: Այս բովանդակային գիծը նախատեսում

է նաև խորացված ուսուցման հոսքերում կոմպլեքս թվերի վերաբերյալ պարզա­

գույն նյութի ուսուցում, կոմպլեքս թվեր, գործողություններ դրանց հետ, կոմպ­

լեքս հարթություն, կոմպլեքս թվի երկրաչափական մեկնաբանությունը և եռան­

կյունաչափական տեսքը, մոդուլը, արգումենտը, Մուավրի բանաձևը, ո-րդ աստի­

ճանի արմատ կոմպլեքս թվից:

Այս բովանդակային գծի հիմնական նորությունը «Իրական թվեր» պարա­

գրաֆն է, որում, ինչպես նախորդ դասընթացում, իրական թիվը նույնացվում է

տասնորդական կոտորակի հետ, իսկ վերջինս էլ փոխմիարժեք համապատաս­

խանության մեջ է տրվում թվային ուղղի կետի հետ.

«Թվային ուղղի կամայական կետի համապատասխանում է մի իրական

թիվ և, հակառակը, կամայական իրական а թվի թվային ուղղի վրա համա­

պատասխանում է մի կետ: Այն գտնվում է սկզբնակետից |а| հեռավորությամբ'

սկզբնակետից աջ, եթե a-Կ դրական է և ձախ, եթե a-Կ բացասական է»:

Ընդ որում, թվային ուղղի А կետին համապառասխանող а իրական թիվը

երբեմն անվանում են А կետի կոոոռԻնատ. իսկ թվային ուղիղը' կոոոռԻնատաւԻն

ուոԻո:Այս կերպ իրական թիվը նույնացնելով թվային (կոորդինատային) ուղղի

վրա նրան համապատասխանող կետի հետ, կստանանք, որ а իրական թվի

մոդուլը' |а|-0 թվային կամ կոորդինատային ուղղի վրա а ֊ի հեռավորությունն է

0-ից: Արդյունքում հնարավորություն է ստեղծվում երկու' а և ծ թվերի տարբերու­

թյան մոդուլին տալ երկրաչափական մեկնաբանություն, այն է' որպես а և Ъ կե-

տեոԻ հեռւսվոոոաւուն:

Այս պնդումը դասագրքում ապացուցվում է լրիվ ինդուկցիայի մեթոդով:

Իրական թվերի նման մեկնաբանությունը թույլ է տալիս էապես հեշտացնել

մոդուլ պարունակող որոշ հավասարումների և անհավասարումների լուծումը:

Օրինակ 1. Լուծել | х - 5 | = 3 հավասարումը:

Մենք պետք է գտնենք թվային ուղղի այն կետերը, որոնց հեռավորությունը 5-ից 3

միավոր է: Այսինքն' х =5 - 3 = 2 կամ х =5 + 3 = 8:

Օրինակ 2. Լուծել | 3 x - 7 | = 5 հավասարումը (N 32 բ):

Կանգունորեն պետք է գտնել 7 կետից 5 միավորով ձախ գտնվող կետի և 5

միավորով աջ գտնվող կետի կոորդինատները.

2Зх = 7 - 5 = 2=>х = — և З x = 7 + 5 = 12=>x = 4:

3

Օրինակ 3. Լուծել 12х + 7 | < 3 անհավասարումը:

5

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Նկատենք նախ, որ \2х + 7\ < 3 <=> |2х - (-7)1 < 3, ուստի պետք է գտնենք

թվային ուղղի այն կետերը, որոնց հեռավորությունը -7-ից փոքր է 3 միավորից

(նկ.1):

3 միավոր 3 միավոր

ք---------- A ---------- V A 'ւ-----------о------1-------1-------•-------1-------1-------о-------^

A - 7 В x

նկ. 1

Ակնհայտ է, որ А և В կետերը գտնվում են -7-ից ուղիղ 3 միավոր

հեռավորության վրա; Ուստի А կետի կոորդինատը կլինի - 7 - 3 =-10 իսկ 5-ինը'

—7 + 3——4: Հետևաբար (-10;-4) հատվածի կետերը գտնվում են -7-ից ավելի

փոքր հեռավորության վրա, քան 3 միավորը: Այսինքն' 2хе (-10 ;-4 ) <=>

-1 0 <х <-4 <=> -5 < х <-2 <=> хе (-5;-2):

Օրինակ 4. (N 33 գ) Լուծել' |х +9 | < |х +1 | անհավասարումը:

ՈՒնենք' |х +9 | < |х +1 | <=> |x - (-9) | < |x- (-1) |: Հետևաբար պետք է գտնենք

թվային ուղղի այն կետերը, որոնք - 9 կետին ավելի մոտ են, քան -1-ին (նկ. 2):

: ֊ И

Հ~ -- • ֊-9

Н------ Ւ

֊ ( ֊ 4՜\— —•— I------ Ւ

-5 -1

նկ. 2

XX

Ակնհայտ է, որ թվային ուղղի [-9; -1] հատվածի միջնակետը' (-5)-ը, (-9)-ից և

(-1)-ից գտնվում է հավասար հեռավորության վրա: ՈՒստի -5 կետից ձախ

գտնվող х կետերը -9 ֊ին ավելի մոտիկ են, քան -5-ից աջ գտնվող կետերը:

Այսինքն'

IX + 9 1 < |X +1 | < =>X < - 5 օ r e (— °°;-5]

Օրինակ 5. (N 35 բ) Հիմնավորեք, որ |x - 4 |+ |х -И | = 7 հավասարումը

լուծում չունի (նկ. 2):

| X — 4 | + | X 44 | = 7 •<=>■ | X — 4 | + | X —(—4) | = 7 ^ A C + CB=7\ (1)

6

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Սակայն A C + С В >ճ5=8:Հնարավոր է երեք դեպք:

1) X < -4: Այդ դեպքում' |х - 4 | + |х - (^ ) I > 8, ուստի (1) անհավասա-

րումը լուծում չունի:

2) ֊4 < X £ 4: Այս դեպքում' |х - 4 | + |х - (^ ) I = 8 > 7, ուստի (1)

անհավասարումը լուծում չունի:

3) Կանգունորեն, եթե х>4, ապա դարձյալ |х - 4 | + |х - (^ ) I > 8 և (1)-ը

լուծում չունի:

Այսպիսով, ցանկացած x-ի համար (1) անհավասարումը լուծում չունի:

2. Ավագ դպրոցի 10-րդ դասարանի բնագիտամաթեմատիկական հոսքի ՀՄԱՏ դասագրքի հաջորդ նորույթը կապված է N 328 առաջադրանքի հետ: Նման տիպի հավասարումներ, որոնք կոչվում են ֆունկցիոնալ հավասարումներ, միջնակարգ դպրոցի ՀՄԱՏ դասագրքերում երբևե չի դիտարկվել:

Օրինակ 6. Գտնել խ ) ֆունկցիան, եթե հայտնիէ, որ ցանկացածх թվի

համար.

Լուծում. (1) հավասարման մեջ x-ի փոխարեն տեդադրելով — , կստա-

Նախ (1) հավասարման մեջ x-ը, nրտեղx^ 3, փոխարինենք (1^)-ով:

ՈՒստի 1 - X Փ- 3, X Փ- -2: Կստանանք'

(1)

1

X

նանք'

Մնում է լուծել հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Օրինակ 7. / ( l - x ) —3 / (1)

(2)

7

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

4 — 2хUjOruhbinLx-Q փոխարինելով---------- ով, կստանանք'

2 + X

(3)

Մնում է լուծել (2) և (3) հավասարումներից կազմված համակարգը և

պարզել, որ^ )= -0,5, х ф -2:

3. Հաջորդ նորույթը կապված է գլուխ 3-ի «Կոտորակագծային ֆունկցիա» պարագրաֆի հետ: Ինչպես նշվում է բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի «Ուսուցչի ձեռնարկում» ([4;32]), նախկինում նման վերնագրով դասանյութ ՀՄԱՏ դասագրքերում չկար: Սակայն առաջադրանքների տեսքով դասագրքերում միշտ էլ ընդգրկվել են վարժություններ, որոնցում մասնակցում էր կոտորակագծային ֆունկցիան: §5-ում նախ տրվում է կոտորակագծային ֆունկցիայի սահմանումը.

_|_ էք« Կոտորակագծային է կոչվում у = --------- ֆունկցիան, որտեղ a-ն, Ъ-ն c-ն և d-ն

cx + d

իրական թվեր են» [2; 110]:

a bՔանի, որ с=0 դեպքում կստանանք գծային ֆունկցիա' у = — хл— (եթե

d d

d^ 0), իսկ ad=bc դեպքում ֆունկցիան հաստատուն է իր որոշման'

X փ տիրույթում (իրոք' ad=bc=s> — = — = k =>a=kc, Ъ=Ы\ Ուստիс с d

ax + b , լ d , , , «■ ax + b cy = ----------= k , եթե х ф ----- ), ուստի համարենք, որ у = --------- ֆունկցիայում

cx + d с cx + d

сф 0 L a d Ф be:

Այնուհետև ենթադրվում է, որ նախորդ դասընթացից սովորողներին ծանոթ

է y = — ֆունկցիայի հատկություններն ու գրաֆիկը, իսկ վերջինս կոտորա-X

կագծային ֆունկցիայի մասնավոր դեպքն է, երբ а=0, d=0 և c=b\

ax + bԱյսքանից հետո մնում է y = --------- ընդհանուր դեպքը որոշ նույնական

cx + d

ձևափոխությունների միջոցով բերել у = ссл— տեսքի, որտեղ a , j3 ,y e R ևх+ у

Բ ՓՕ և, օգտվելով у = — ֆունկցիայի գրաֆիկից ու գրաֆիկների հետX

կատարվող ձևափոխություններից, ստանալ կոտորակագծային ֆունկցիայի գրաֆիկը' հիմնավորելով, որ այն հիպերբոլ է:

8

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օրինակ 8. Կոտորակագծային ֆունկցիան ներկայացնել у = а + - _ լ _х + у

= 1,5+-

տեսքով (N 347 գ).

Зх — 4 1 ,5 (2х֊б )+ 5у = -------------------------- = — ----------------------------—

2х ֊ 6 2 х ֊ 6 ' 2 х ֊ 6

Վերջին' 3x^ = 1.5(2х-6) +5 ձևափոխությունը նպատակահարմար է ստա­

նալ ( З х ^ -ը անկյունաձև (2x-6)-ի վրա բաժանելով.

Зх—4 2x-6

CD1XCM 1,5

Օրինակ 9. Ձևափոխելով у = — հիպերբոլը, կառուցել у =X + 3

X ֊ 1Ֆունկ­

ցիայի գրաֆիկը (N 349):

Նախ'X + 3

X ֊ 1

(x —1)+ 4

X ֊ 11 + -

X - 1ուստի у = 1 + -

X - 1ֆունկցիայի

գրաֆիկը կառուցելու համար անհրաժեշտ է հերթականությամբ կատարել հետևյալ քայլերը.

• у = — ֆունկցիայի գրաֆիկը 1 միավորով տեղաշարժել դեպի աջ' О ХX

առանցքով,

ստացված у =X ֊ 1

ֆունկցիայի գրաֆիկը ձգել O Y առանցքով' 4

անգամ,

4У ֆունկցիայի գրաֆիկը 1 միավորով զուգահեռ տեղաշարժել

X ֊ 1

O Y առանցքով' վերև,

ստացված յ = 1+ 4X ֊ 1

ֆունկցիայի գրաֆիկի О Х առանցքից ներքև

եղած մասը համաչափ արտապատկերել О Х առանցքի նկատմամբ:

4. ՀՄԱՏ առարկայի ծրագրի ֆիզմաթ ենթահոսքի 10-րդ դասարանի «Իրա­կան թվեր» թեմայի տրամաբանական շարունակությունը «Կոմպլեքս թվեր» գլուխն է: Տևական ընդմիջումից հետո այս թեման կրկին ներդրվել է դպրոցական մաթեմատիկայի ՀՄԱՏ առարկայի ֆիզմաթ ենթահոսքի ծրագրի միջուկ: Այն ամբողջովին նորույթ է և ընթերցողին խորհուրդ ենք տալիս օգտվելով համապա­տասխան ՈՒՁ-ի ([5]) § 5-ից, մանրակրկիտ ուսումնասիրել դասագրքի գլուխ 5-ի

5

X

4 4

1

9

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

1-3 պարագրաֆների հետաքըրքիր ու ոչ դժվարամարս դասանյութը և կատարել

համապատասխան առաջադրանքները:

Այս գլխի հիմնական դժվարությունը կեղծ միավորի' i = 4 - Т -ի ներմու­

ծումն է: Կատարելով համառոտ պատմական ակնարկ թվի զարգացման պատ­մությունից, ուսուցիչը բերում է համապատասխան օրինակներ, որ ամեն անգամ երբ մենք չեինք կարողանում որևէ թվային բազմությունում լուծել որևէ հավասա­

րում, օրինակ, ռացիոնալ թվերի Q բազմությունում' x 2 =2 հավասարումը, ապա

փորձում էինք այդ բազմությունն ընդլայնել նոր տիպի տարրերով' թվերով այնպես, որ նշված տիպի հավասարումներն այդ կերպ ընդլայնված բազմությու­

նում (մեր օրինակում' Л-ում) դառնան լուծելի:

Օգտագործված գրականություն

1. «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր, Երկրաչափու­թյուն»: Հանրակրթական ավագ դպրոցի չափորոշիչներ և ծրագրեր, ՀՀ ԿԳՆ, ԿՇԿ, -Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009.

2. Գ. Գ. Գևորգյան, Ա.Ա. Աահակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր», բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի համար, -Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009.

3. Գ. Գ. Գևորգյան, Ա.Ա. Աահակյան, «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր», ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար, -Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009.

4. է. Ի. Այվազյան,«Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր», ՈՒսուցչի ձեռնարկ (բնագիտամաթեմատիկական հոսքերի համար), -Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009.

5. է. Ի. Այվազյան,«Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր», ՈՒսուցչի ձեռնարկ ( ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար), -Ե., «Տիգրան Մեծ», 2009.

6. է. Ի. Այվազյան,«Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր - 10», Լուծումների ուղեցույց,(բնագիտամաթեմատիկական, հումանիտար և ընդ­հանուր հոսքերի համար), -Ե., « է դի թ Պրինտ», 2009.

10

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Մ ե թ ո դ ա կ ա ն

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՄԱՎԱՆԴՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԻ

ԿԱՏԱՐԵԼԱԳՈՐԾՄԱՆ ՈՐՈՇ ՀՆ Ա Ր Ն Ե Ր ԻՄԱԱԻՆ

Սվետլանա Իսկանդարյան Խ.Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և տարրական ուսուցման

մեթոդիկայի ամբիոնի դոցենտ, մանկ. գիտ. թեկնածու

Ներկայումս տարրական դպրոցում մաթեմատիկական կրթությունն ուղղորդված է աշակերտների մեջ ձևավորելու ինքնուրույնություն, մտածողու­թյան կուլտուրա, հասկացությունների տիրապետման կարողություններ և այլն: Հիմնական հասկացություններին տիրապետելու համար պետք է երեխաներին օգնել, որ նրանք կոնկրետ առարկայական-գործնական մտածողությունից աս­տիճանաբար անցնեն վերացական-հասկացողականի:

Գաղտնիք չէ, որ այսօր տարրական դպրոցում մաթեմատիկայի ուսուցումը հիմնականում կատարվում է «հասկանալ - յուրացնել - հիշել» բանաձևով: Փաստորեն աշակերտներին սովորեցնում են ոչ թե մաթեմատիկական օրինաչա­փություններն, այլ որոշ հնարներ, գծագրերի և սխեմաների կիրառում, ւխյրժո- ղական բնույթի բազմաթիվ օրինակների, խնդիրների լուծում:

Այսօր կրտսեր դպրացականներին մաթեմատիկա ուսուցանելու հիմնական նպատակը պետք է լինի, «հասկանալ - տիրապետել (նաև ինքնուրույն) գիտե­լիքների և գործնականում դրանք կիրառել»: Այդ դեպքում աշակերտներն ուսում­նառության ընթացքում հնարավորություն են ունենում ինքնուրույն մտածել, հիշել, ընդհանրացնել ունեցած գիտելիքները, դրանք համակարգել ու կարո­ղանալ կիրառել: Ինչպես նշում են հոգեբանները յուրաքանչյուր երեխայի մեջ ներկա է ստեղծագործական հնարավորություն, ներքին ուժ, որն ուղեղի բնական ֆունկցիա է:

Կրտսեր դպրոցականների մաթեմատիկական մտածողության զարգացման գործում մեծ դեր են խաղում որոշակի բարդություն ունեցող այնպիսի առաջա­դրանքները, որոնք աշակերտներից պահանջում են ոչ ստանդարտ մոտեցում:

11

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Տարրական դպրոցում մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում քննարկվող հարցերի տեսական մակարդակի բարձրացումը բարենպաստ պայմաններ է ստեղծում աշակերտների զարգացման համար: Սակայն միայն տեսական մա­կարդակի բարձրացումը չի կարող տալ ցանկալի արդյունք, եթե ուսուցիչն ինքը չցուցաբերի ստեղծագործական մոտեցում:

Մաթեմատիկայի ուսուցմանը ներկայացվող պահանջների համապատաս­

խան գործնական բնույթի հարցերի յուրացումը պետք է կատարվի տեսական

գիտելիքների հիման վրա, ինչը պետք է ստիպի, որ աշակերտները գիտակցա­

բար վերաբերվեն տեսական հարցերին: Սակայն կրտսեր դպրոցականները դեռ

այդ չեն գիտակցում: ՈՒսուցիչը պետք է լուրջ ուշադրություն դարձնի տեսական

հարցերի այնպիսի մեկնաբանմանը, որպեսզի աշակերտների մեջ հետաքրքրու­

թյուն առաջացնի ուսուցվող նյութի նկատմամբ:

Եթե պետք է մեկնաբանվի թիվը 10-ով, 100-ով, 1000-ով բազմապատկելու

դեպքերը, ապա ուսուցիչը կարող է կատարել այսպիսի աշխատանք: Նախ պետք

է քննարկել մասնավոր դեպքեր. 3 - 1 0 = 30, 5 - 1 0 = 50, 12 -10 = 120 և այլն:

Այնուհետև պահանջել, որ աշակերտները համեմատեն ստացված պատասխան­

ներն առաջին արտադրիչների հետ և նկատեն օրինաչափությունը: Պարզվում է,

որ թիվը 10-ով բազմապատկելու դեպքում ճիշտ պատասխան ենք ստանում, եթե

այդ թվի աջից կցագրում ենք մեկ զրո: Պարզ է, որ տվյալ դեպքում կիրառվում է

ո£ ԼՐԻՎ ինդուկցիայի մեթոդը: Կարևորն այն է, որ ուսուցիչն աշակերտների համար ստեղծում է ինքնուրույն եզրակացություններ կատարելու պայմաններ:

Ուսուցիչը շարունակում է աշխատանքը, մեկնաբանելով, որ թիվը 10-ով

բազմապատկելիս փաստորեն տրված թվի կարգային միավորներն են մեծանում

10 անգամ: Այսպես.

3764 • 10 = (3000 + 700 + 60 + 4) • 10 = (3 • 1000+ 7 ■ 100+ 6 • 10+4) • 10 =

= 3 • 1000 • 10 + 7 • 100 • 10+6 • 10 • 10 + 4 • 10 = 37640

Դասվարի համար պետք է պարզ լինի տասնորդական համակարգում բնա­

կան թվերի գրառման հետևյալ տեսքը. 3764 = 3 • 10ա+ 7 • 10Ա+ 6 - 10 + 4:

Եթե 3764 • 10, ապա կստացվի.

3764 -10 = 3- 10Ш -10 + 7 -102-10 + 6 - 1 0 - 1 0 + 4 - 1 0 =

= 3 • 104+ 7 ■ 103+ 6 • 102+ 4 • 10 = 37640:

Նման մեթոդական մոտեցում կարելի է ցուցաբերել նաև թիվը 100-ով,

1000-ով բազմապատկելու դեպքերը մեկնաբանելիս: Քննարկելով օրինակներ և

օգտվելով ոչ լրիվ ինդուկցիայի մեթոդից' պետք է կատարել եզրակացություն

թիվը 100-ով, 1000-ով բազմապատկելու դեպքերի համար:

Կրտսեր դպրոցականների մաթեմատիկական մտածողության զարգացման

հնարներից են. գիտելիքների հաղորդման հաջորդայնությունը, բարձր մակար­

12

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

դակով ընդհանրացումներ կատարելը: Առաջին դասարանի դասագրքում (տես

[3]) կա հետևյալ բովանդակությամբ առաջադրանք.

«Գումարները դասավորիր (կարդա) փոքրից մեծ. 2 + 12, 14 + 3, 4 + 15,

4 + 3, 5 + 5, 16+4»:

Առաջադրանքը կատարելու համար աշակերտները պետք է ունենան հա­մապատասխան տեսական գիտելիքներ, միանիշ թվին միանիշ թիվ և երկնիշ թվին միանիշ թիվ գումարելու դեպքերի մասին:

Ցանկացած դասի ընթացքում ուսուցիչը պայմաններ պետք է ստեղծի, որպեսզի երեխաները ցուցաբերեն ակտիվ ստեղծագործական աշխատանքի ձգտում և մասնակցություն: Այդպիսի աշխատանք կարելի է կազմակերպել մաս­նավորապես թիվը 10-ի բաժանելու դեպքերի ուսուցման ժամանակ: Այսպես, 87 թիվը 10-ի' բաժանելու համար պետք է բաժանելիում առանձնացնել այն ամե­նամեծ թիվը, որը կբաժանվի 10-ի առանց մնացորդի: Այդ թիվը 80-ն է, որը բաժանվելով 10-ի քանորդում կստանանք 8 (87=80+7), մնացորդում 7: Այդպիսի մեկնաբանությունից հետո աշակերտներն հանգունորեն կարող են կատարել եռանիշ, քառանի, հնգանիշ թվերի բաժանումը 10-ի:

Լուծելով նման տիպի օրինակներ' պետք է հասնել նրան, որ երեխաները կատարեն եզրակացություն. «Ցանկացած թիվ 10-ի բաժանելիս ստացված քա­նորդը ցույց է տալիս թե ընդամենը քանի տասնյակ կա այդ թվում, իսկ բաժա­նելիի միավորների կարգում գտնվող թվանշանին համապատասխանող թիվը մնացորդն է»: Այսպես.

4567 10 կամ. 4567 : 10 = 456 տասն, և 7 մնացորդ:56 456 տասն.

617 մնացորդ

Աշակերտների ստեղծագործական և մաթեմատիկական մտածողության զարգացմանը մեծ չափով նպաստում են ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծումը: Բերենք օրինակներ.

1. Տրված թվում. 52412 թվանշանների տեղափոխում չկատարելով դրան-ցից մի քանիսի արանքներում դնել թվաբանական գործողությունների նշաններ այնպես, որ ստացված արտահայտության արժեքը հավասարվի

100-ի (52+4-12=52+48=100):

2. 12345 թվի թվանշաններից մի քանիսի արանքներում գրել թվաբանական գործողությունների նշաններ այնպես, որ ստացված արտահայտության

արժեքը հավասարվի 22-ի (1 • 23+4-5=22):3. Քանի՞ եղանակով իրար կողք կարող են նստել 3 աշակերտ:

Դասվարը պարտավոր է իմանալ, որ խոսքը գնում է երեք տարրանոց բազմությունը կարգավորելու մասին: Կատարելով բոլոր հնարավոր տե-

ղափախությունները, կստանանք' Р3= 3! =1-2-3=6: Ուրեմն' նրանք ունեն

13

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

իրար կողք նստելու 6 հնարավորություն: Աշակերտները կարող են դրա­նում համոզվել, կատարելով գործնական աշխատանք:

4. Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է կազմել 2, 5, 7 թվանշաններով, որոնցում թվանշանները չեն կրկնվում:

Դասվարն, ունենալով տեսական գիտելիքներ, անմիջապես կողմնորոշվում

է, որ ընդամենը պետք է կազմեն 6 թիվ (A3U=3-2=6): Աշակերտները

գործնականորեն կազմում են այդ թվերը. 25, 27, 52, 57, 72, 75:

5. Արմենը խնամում է ճագարներ և հավեր, որոնք միասին ունեն 15 գլուխ և

40 ոտք: Քանի՞ հավ ևքանի՞ ճագար է խնամում Արմենը:

Նման տիպի խնդիրները սովորաբար երեխաները դժվարությամբ են

լուծում, ըստ որում, դասվարները պահանջում են, որ նրանք փորձարկման

եղանակով տան խնդրի հարցի պատասխանը: Դասվարն, օգնելով աշա­

կերտներին, նրանց գիտակցությանը պետք է հասցնի խնդրի լուծման

հիմնական եղանակը: Ընդունելով, որ բոլոր կենդանիները հավեր են, կու­

նենանք (15 • 2 =30) 30 ոտք: Եթե 40-ից հանենք 30-ը, կստանանք ճագար­

ների չհաշված զույգ ոտքերի քանակը. 40 - 30 =10 (ոտք): Եթե 10-ը բաժա­

նենք 2-ի, կստանանք ճագարների քանակը. 1 0 : 2 = 5 (ճագար):

Պատասխան 5 ճագար, 10 հավ:

Ոչ ստանդարտ խնդիրների լուծման ժամանակ հաճախ օգտվում են այս­

պես կոչված «ենթադրությունների մեթոդ»-ից:

Խնդիր. «Հարությունը, Դավիթը և Աուրենը միասին որսացել են 15 ձուկ: Հարու­

թյունը որսացել է այնքան ձուկ, որը հավասարապես կարելի էր բաժա­

նել 3 տղաների միջև: Դավիթը Հարությունից 1 ձուկ ավելի էր որսացել,

իսկ Աուրենը բոլորից քիչ: Քանի՞ ձուկ էր որսացել տղաներից յուրա­

քանչյուրը:

Լուծում. Ենթադրենք Հարությունը որսացել է 9 ձուկ, որը կարելի է հավասա­

րապես բաժանել 3 տղաներին: Այդ դեպքում կստացվի, որ Դավիթը

որսացել է (9+1) 10 ձուկ: ՈՒրեմն, Հարությունը և Դավիթը որսացել են

(10 + 9) 19 ձուկ, ինչը չի կարող լինել(19 >15): ՈՒրեմն, Հարությունը

որսացել է 6 կամ 3 ձուկ: Ենթադրենք նա որսացել է 6 ձուկ: Այդ

դեպքում Դավիթը որսացել է 7 ձուկ (6+1): Միասին նրանք որսացել են

13 ձուկ (6+7): Նշանակում է Աուրենը որսացել է 2 ձուկ (15-13):

Պատասխան' Դավիթը 7 ձուկ, Հարությունը 6 ձուկ, Աուրենը 2 ձուկ:

Հետազոտությունները ցույց են տալիս, որ կրտսեր դպրոցականների մա­

թեմատիկական մտածողությանը խթանում է նաև շարժման վերաբերյալ խնդիր­

ների լուծումը: Սովորաբար, տարրական դասարաններում հիմնականում քննարկ­

վում են հանդիպակաց և հակադիր ուղղություններով շարժման վերաբերյալ

խնդիրները: Եթե աշակերտներին առաջարկվի լուծել այնպիսի խնդիր, որում

14

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

շարժման ուղղությունը չի նշված, նրանք ստիպված կլինեն քննարկել տարբեր

դեպքեր:

Խնդիր. Ա և Բ գյուղերից, որոնց հեռավորությունը 70կմ է, միաժամանակ շարժ­

վեցին հետիոտն ու հեծանվորդը: Հետիոտնի արագությունը 5 կմ/ժ է,

իսկ հեծանվորդինը 15 կմ/ժ: Որքա՞ն կլինի նրանց միջև հեռավորու­

թյունը շարժվելուց 3 ժամ հետո:

1. Հետիոտն ու հեծանվորդը շարժվում են իրար ընդառաջ.

5 կմ/ժ֊>

15 կմ/ժ

Ա ՚Բ

70 կմ

1) 5 + 15 = 20(կմ) (1ժւսմում իրար են մոտենում 20 կմ)

2) 20 • 3 = 60(կմ) (3 ժամում իրար են մոտենում 60 կմ)3) 70 - 60 = 10(կմ) (3 ժամ հետո նրանց միջև հեռավորությունը)

2. Հետիոտն ու հեծանվորդը շարժվում են միևնույն (Բ - Ա) ուղղությամբ.

5 կմ/ժ 15 կմ/ժ

Ա70 կմ

1) 5 • 3 = 15(կմ) (3 Ժամում հետիոտնի անցած ճանապարհը)

2) 15 • 3 = 45(կմ) (3 ժամում հեծանվորդի անցած ճանապարհը)3) 70 - 4 5 = 25(կմ) (մնում է հեծանվորդին, որ հասնի Ա գյուղ)4) 25 + 15 = 40(կմ) (կլինի նրանց միջև հեռավորությունը 3 ժամ հետո)

3. Հետիոտն ու հեծանվորդը շարժվում են միևնույն (Ա - Բ) ուղղությամբ.

5 կմ/ժ 15 կմ/ժ

Ա70 կմ

1) 5 - 3 = 1 5(կմ)

2) 15 - 3 = 45(կմ)

3) 70 — 15 = 55(կմ)4) 55 + 45= 100(կմ)

4. Հետիոտն ու հեծանվորդը շարժվում են հակադիր ուղղություններով.

Բ

►►

Բ

15

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

5 կմ/ժ 15 կմ/ժ

70 կմ

1) 5 • 3 = 15(կմ) (հետիոտնի անցած ճանապարհը 3 ժամում)

2) 15 • 3 = 45(կմ) (հեծանվորդի անցած ճանապարհը 3 ժամում)3) 15 + 45 = 60(կմ) (իրարից հեռացել են հետիոտնն ու հեծանվորդը 3

ժամում)4) 60 + 70 = 130(կմ) (հեռավորության վրա կգտնվեն 3 ժամ հետո)

Այդպիսի առաջադրանքները հետաքրքրություն են առաջացնում աշա­կերտների մեջ ոչ միայն խնդիրների, այլ նաև մաթեմատիկայի նկատմամբ ընդ­հանրապես, ինչը նպաստում է նրանց մաթեմատիկական մտածողության զար­գացմանը, որն էլ իր հերթին խթանում է մաթեմատիկական կրթության կազմա­կերպման մեթոդների կատարելագործմանը:

Գ Ր Ա Կ Ա Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

1. Իսկանդարյան Ա.Ա. Իսկանդարյան Ա.Ա. Թվաբանական գործողությունների ուսուցումը կրտսեր դպրոցում: ՈՒսումնամեթ. ձեռն.: - Եր., «Զանգակ-97», 2009:

2. Իսկանդարյան Ա.Ա., Իսկանդարյան Ա.Ա. Տարրական դասարաններում տեքստային խնդիրների ուսուցումը (ուսումնամեթոդական ձեռնարկ), Եր., «Զանգակ-97», 2008:

3. Մկրտչյան Ա., Աբրահամյան Ա., Իսկանդարյան Ա. «Մաթեմատիկա - 1», դասագիրք; Եր., «Զանգակ -97», 2009:

4. И сканларян С .С . О п ти м и зац и я м е то л о в обучения м а т е м а т и к е в

специальной (вспомогательной ) школе. М онограф ия. Ер., Зангак-

97, 2006г.

5. Б елош истая А .В . М е то л и к а обучения м а т е м а т и к е в начальной

школе. -М .; В А А Л О С , 2005.

16

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն

ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆՄԱՍԻՆ

Արաքսյա Մկրտչյան, Նելլի ՄարտիրոսյանՀՊՍՀ

Անահիտ ԿիրակոսյանԹիվ 16 հանր. դպրոց

Հակադարձ ֆունկցիայի հասկացությունը հանրակրթական ավագ դպրոցի հանրահաշվի և մաթեմատիկական անալիզի տարրերի դասընթացի դժվար ըմբռնելի հասկացություններից է: Բավական է նշել, որ առարկայական չաւիո- րոշչում նրան հատկացած է համեստ դեր: Ինչպես տարբերակված, այնպես էլ ընդհանուր և խորացված ուսուցման հոսքերում չափորոշչային նվազագույն մա­կարդակով հակադարձ ֆունկցիայի հասկացության իմացություն չի պահանջ­վում: Տարբերակված հոսքերի միջին և առավելագույն մակարդակներում նույն­պես չի նախատեսվում այդ հասկասության իմացություն: Ընդհանուր և խորաց­ված ուսուցման հոսքերի միջին մակարդակում սովորողը պետք է ընդամենը գաղափար ունենա ֆունկցիայի հակադարձի մասին: Ընդհանուր հոսքերի առա­վելագույն մակարդակում սովորողը պետք է իմանա ֆունկցիայի հակադարձի սահմանումը և հիմնական հատկությունները, իսկ խորացված ուսուցման հոս- քերում' նաև կարողանա ոչ բարդ դեպքերում պարզել ֆունկցիայի հակադարձե­լիությունը և գտնել դրա հակադարձը (տես [1]): Նշենք նաև, որ ֆունկցիայի հակադարձի հասկացությունը կարևոր դեր է խաղում եռանկյունաչափական հա­վասարումների լուծման մեջ, քանի որ պարզագույն եռանկյունաչափական հա­վասարումների լուծումներն արդեն հանգում են եռանկյունաչափական ֆունկ­ցիաների հակադարձները գտնելու խնդրին:

Ավագ դպրոցի շրջանակներում դիտարկվում են միայն թվային ֆունկցիա­

ները կամ այն ֆունկցիաները, որոնց թե՜ որոշման և թե' արժեքների տիրույթները

իրական թվեր են: Ընդ որում, А թվային բազմությունից В թվային բազմության

մեջ տրված ֆունկցիա ասելով հասկացվում է այն առնչությունը, որը А ֊ի

յուրաքանչյուր տարրի առնչում է В ֊ի մեկ տարրի հետ (տես [2]): Սովորաբար

17

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

մաթեմատիկայում երկու բազմությունների միջև տրված ֆունկցիա ասելով հաս­կացվում է դրանց միջև տրված այնպիսի առնչությունը, որը առաջին բազմության յուրաքանչյուր տարրի առնչում է երկրորդ բազմության մեկից ոչ ավելի տարրի հետ (տես. օրինակ, [3]): Այսինքն' առաջին բազմության ոչ բոլոր տարրերը կարող են առնչվել երկրորդի տարրերի հետ: Իսկ այն դեպքում, երբ յուրաքան­չյուր տարր պարտադիր կարգով առնչվում է երկրորդի ինչ-որ տարրի հետ, ֆունկցիան անվանվում է արտապատկերում: Այսպիսով, ֆունկցիայի հասկացու­թյունը ավելի լայն է, քան արտապատկերման հասկացությունը: Հանրահաշվի և մաթ անալիզի տարրերի գործող դասընթացում այդ երկու հասկացությունների նույնացումը կատարված է որոշակի մեթոդական խնդիրներ լուծելու համար: Սակայն առաջադրված խնդիրները կարելի է լուծել նաև առանց այդ հասկա­ցությունները նույնացնելու: Սույն աշխատանքում բեված է նման մի մոտեցում:

Իրական թվերի բազմության վրա տրված առնչությունը կոչվում է ֆունկցիա, եթե այն կամյական իրական թվի առնչում է մեկից ոչ ավելի իրական թվի հետ: Այսպիսով, ֆունկցիան պարտավոր չէ յուրաքանչյուր իրական թվի

առնչել ինչ-որ իրական թիվ: Օրինակ, у = 1/х բանաձևով տրված առնչությունը

իրական թվերի բազմության վրա տրված ֆունկցիա է. այն յուրաքանչյուր х

իրական թվի առնչում է միակ' 1/х իրական թվի հետ, եթե u ^ x իրական թիվը 0-

ից տարբեր է: Հետագայում «իրական թվերի բազմության վրա տրված ֆունկ­ցիա» արտահայտության փոխարեն մենք կօգտագործենք «ֆունկցիա» եզրը:

Եթե/ֆունկցիան x իրական թիվը առնչում է յ թվի հետ, ապա կգրենք у =J[x), y -ը

կանվանենք x-ի պատկեր, իսկ x-ը' у -ի նախապատկեր: Այն թվերի բազմությունը,

որոնք ունեն պատկերներ, կանվանենք / ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և

կնշանակենք D(fi ֊ով, իսկ այն թվերը, որոնք ունեն նախապատկերներ,

կանվանենք / ֊ի արժեքների տիրույթ և կնշանակենք E ( f ֊ով: Օրինակ, y = 1/х

բանաձևով տրված ֆունկցիայի որոշման տիրույթը 0 ֊ից տարբեր իրական թվերի բազմությունն է: Նույն բազմությանն է հավասար նաև այդ ֆունկցիայի

արժեքների տիրույթը: у = sinx բանաձևով տրված առնչությունը, որը յուրաքան­

չյուր X իրական թվի առնչում է նրա սինուսը' sinx ֊ը, ֆունկցիա է: Նրա որոշման

տիրույթը իրական թվերի R բազմությունն է, իսկ արժեքների բազմությունը'

[-1, 1] միջակայքը: Հետագայում մեզ անհրաժեշտ կլինի դիտարկել նաև նույն'

j = sinx բանաձևով, բայց այլ որոշման տիրույթներով տրված ֆունկցիաներ:

Դրանցից կարևորագույնի որոշման տիրույթն է \ - к ! 2, ж!2\. Նման դեպքերում

մենք հատուկ կնշենք դիարկվող ֆունկցիայի որոշման տիրույթը: Եթեֆունկցիայի որոշման տիրույթը չի համընկնում իրական թվերի բազմության հետ, ապա ասում են նաև, որ որոշման տիրույթից դուրս ընկած կետերում ֆունկցիան

որոշված չէ: Օրինակ, у = sinx բանաձևով և [ - f / 2 , я!2\ որոշման տիրույթով

տրված ֆունկցիան որոշված չէ նշված միջակայքից դուրս ընկած ցանկացած

18

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

կետում, օրինակ' 2 ֊ում, իսկ у =1/х բանաձևով տրված ֆունկցիան որոշված չէ 0

կետում:Ֆունկցիայի հակադարձի հասկացության հետ սերտորեն կապված են

տարադրումները:/ ֆունկցիան կոչվում է տարագրում, փոխմիարժեք կամ ինյեկ-

ցիա, եթե տարբեր թվեր ունեն տարբեր պատկերներ, այսինքն' կամայական а և

b թվերի համար а Փ b —> J{a) ф fljb) (դժվար չէ նկատել, որ այս հետևությունը

համարժեք Հք[ժ) =fib) —> a = b հետևությանը):

Բերենք տարադրումների օրինակներ և ժխտօրինակներ: Հաստատունից տարբեր կամայական գծային ֆունկցիա տարադրում է, իսկ կամայական քառակուսային եռանդամով որոշվող ֆունկցիա տարադրում չէ: Տարադրում է

у = 1/х ֆունկցիան: у = sinx ֆունկցիան տարադում չէ, իսկ у = sinx բանաձևով և

[— 71 /2, ж 12] որոշման տիրույթով տրված ֆունկցիան արդեն տարադրում է:

Ֆունկցիայի հակադարձի հասկացությունը կապված է ֆունկցիաների

բազմապատկման (կոմպոզիցիայի) կամ համադրութի հասկացության հետ: fW g

ֆունկցիաների արտադրյալը, կոմպոզիցիան կամ համադրույթը այն ֆունկցիան

է, որը X կետում ընդունում է J{g(x)) արժեքը: Հետևապես, նրա որոշման տիրույթը

կազմված է այն x թվերից, որոնց համար իմաստ ունեն g(x) և J[g(x)) արտա­

հայտությունները, այսինքն' համադրույթի որոշման տիրույթը բաղկացած է g ֊ի

որոշան տիրույթի այն կետերից, որոնց պատկերները պատկանում են / ֊ի

որոշման տիրույթին: / և g ֆունկցիաների համադրույթը նշանակենք fo g ֊ով:

Ասվածից հետևում է, որ.

ա. (fog)(x) =Ag(x)),

բ. D{fog) = {xe D(g)\g(x)e Z)(/)}:

Բերված սահմանումը կարելի է ակնառու դարձնել հետևյալ գծագրի միջո­ցով:

Բերենք ֆունկցիաների համադրույթի մի քանի օրինակ:

1) Դիցուք A ֊ն իրական թվերի ինչ-որ բազմություն է: Նշանակենք e A ֊ով

A որոշման տիրույթով և £л (х) = х հավասարությամբ որոշվող ֆունկցիան, այն

19

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

անվանվում է նա ևճ բազմության նույնական ֆունկցիա:Ընդունենք նաև £r = £

նշանակումը: Նրա արժեքների տիրույթը նույնպես A ֊ն է: Այժմ, եթե / ֊ը D

որոշման տիրույթով և E արժեքների տիրույթով կամայական ֆունկցիա է, ապա

f o e A ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կլինի ճ ո ճ ) բազմությունը և այդ բազմու­

թյան կամայական X կետի համար (£A o f i( x ) = £A (f[x)) =J[x)\ Մասնավորապես,

եթե A = D, ապա eA о / = / Իսկ / о еА ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կլինի

А П Е բազմությունը և այդ բազմության կամայական х կետի համար

(fo £ A )(x) = J[eA (x)) =J[x)\ Մասնավորապես, եթե A =E, ապա £л о / = /

2) Դիտ արկենք^) = Igx և g(x) = 10 x ֆունկցիաները: Առաջինի որոշման

տիրույթը իրական թվերի R բազմությունն է, արժեքների տիրույթը' դրական

թվերի R + բազմությունը իսկ երկրորդինը' ընդհակառակը, որոշման տիրույթը

R + բազմությունն է, արժեքների տիրույթը' R բազմությունը: Համադրույթի սահ­

մանումից անմիջականորեն հետևում է, ո ր / օ £ = £ , g o f = £ R+ ■

Բերված օրինակները ցույց են տալիս, որ ֆունկցիաների համադրույթի

գործողությունը տեղափոխական չէ. միշտ չէ, որ երկու' / և g ֆունկցիաների

համադրույթը տեղափոխական t(fog = gofi\

Իսկ ահա զուգորդական հատկությունը միշտ տեղի ունի:

Պնդում 1. Կամայական ք g, հ ֆունկցիաների համար / о (g о հ)

=(ք о g) oh:

Ապացուցում. Նախ ցույց տանք, որ/ о {g о հ) և (քօ g) oh ֆունկցիաները

ունեն նույն որոշման տիրույթները: Իսկապես,

X e D ( f о (g о հ)) < >x e D{g о h), (g о h)(x) e D ( f < > x e Z)(h),

h(x) e D{g), g(h(x)) e D ( f \

x e D{(f o g ) o h ) ) < >x e Z)(h), h(x) e D ( f о g) о x e £>(h), h(x) e D{g),

g(h(x)) e £>(/):

Ուրեմն' D ( f о (go h)) = D ((f о g) о h)):

Մյուս կողմից, նշված երկու համադրույթների ֆունկցիաների որոշման

տիրույթին պատկանող կամայական x թվի համար ունենք'

( f o ( g o h))(x) =J{(g о h)(x)) =y(g(h(x))), ( ( f o g ) o h)(x) = ( f о g)(h(x)) =

=Ag(h(x))): Հետևապես' ( f о (g о h))(x) = ( if о g) oh)(x) և, ուրեմն, / о (g о հ) =

= {fog) oh:

Այժմ անցնենք ֆունկցիայի հակադարձի սահմանմանը:/ֆունկցիան կոչ­

վում է հակադարձելի, եթե գոյություն ունի այնպիսի g ֆունկցիա, որ.

20

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

f ° g = £D(g), g ° ք = £D(f) : (1)

Նշված պայմաններին բավարարող g ֆունկցիան կոչվում է /ֆունկցիայի

հակադարձ: Քանի որ (1) պայմաններում/-ը և g ֊ն համաչափ դեր ունեն, ապա

այդտեդից հետևում է, որ եթե g ֆունկցիան/ ֊ի հակադարձն է, ապա/ ֊ն էլ կլինի

g -ի հակադարձ, և / g ֆունկցիաները կոչվում են նաև փոխհակադարձ ֆունկ­

ցիաներ:Նկատենք, որ (1) ֊ում տրված պայմանները իրարից անկախ են. դրանցից

մեկից մյուսը չի բխում: Իսկապես, հետևյալ պարզ օրինակը ցույց է տալիս, որ

դա այդպես չէ: Դիցուք / ֊ը (0, 2] բազմությունում որոշված ֆունկցիա է, ընդ

որում'/*;) = X, երբ х е (0, 1] և/ x ) = x - 1, երբ x e (1, 2]: Ենթադրենք նաև, որ g ֊ն

(0, 1] բազմությունում որոշված ֆունկցիա է, ընդ որում'/ х ) = х , х е (0, 1]: Այդ

դեպքում fog ֊ն (0, 1] բազմությունից (0, 1] բազմության մեջ տրված ֆունկցիա է

և ('fog)(x) = X, xg (0, 1]: Իսկ go f ֊ն (0, 2] բազմությունից (0, 2] բազմության մեջ

տրված ֆունկցիա է և, մասնավորապես, (g o f (2) =1: (Այստեղ ֆունկցիայի

սահմանումը համապատասխանում է [2] ֊ում տրված սահմանմանը):Բերենք հակադարձելի ֆունկցիաների և դրանց հակադարձների մի քանի

օրինակ:

1) у = 1/х ֆունկցիան հակադարձելի է: Նրա հակադարձը հենց ինքն է:

2) у = logx ֆունկցիան հակադարձելի է: Նրա հակադարձը у = 10х ֆունկ­

ցիան է:

3) у = sinx ֆունկցիան հակադարձ չունի (տես 3 պնդումը):

4) у = sinx բանաձևով և [— 71 /2, ж 12] որոշման տիրույթով տրված ֆունկ­

ցիան հակադարձելի է: Նրա հակադարձը у = arcsinx ֆունկցիան է:

Պնդում 2. Եթե fW g ֆունկցիաները փոխհակադարձ են, ապա

D (f= E (g ) ,E ( f= D (g y .

Ապացուցում. Դիցուք x e D(g): Այդ դեպքում (1) ֊ից ունենք (fog)(x) =

=flg(x)) = x: Հետևապես' x e E (f\ Այժմ ենթադրենք, որ x e E(fi\ Այդ դեպում ինչ-

որ у e D ( f թվի համար fly ) = x: Համաձայն արդեն ապացուցածի' У e E(g)\

Հետևապես' ինչ-որ z e D(g) թվի համար g(z) =y: Այստեղից, օգտվելով նաև (1)

֊ից, կստանանք' x = fly ) = flg (z)) = (fog)(z) = z: Այսինքն' x = z և, ուրեմն, x e D(g):

Այսպիսով' D(g) =E(f՛. Նույն կերպ ցույց կտանք, որ D(f) =E(g)\

Պնդում 3. Եթե ֆունկցիան հակադարձելի է, ապա նրա հակադարձը

միակն է:

21

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Ապացուցում. Դիցուք/ֆունկցիան հակադարձելի է և նրա հակադարձ­

ներն են g և g ’ ֆունկցիաները: Նախորդ պնդումից հետևում է, որ D(g) = D (g’)՛.

Համաձայն 2 պնդման' E(g) = E(g ’), D(g) = D (g ’)\ Ունենք'

( g ° f ) ° g ՝ = eD(f ) ° g ' = eE{g՝) ° g ' = g \

g 0 ( f ° g ' ) = g ° £D{g՝) = g ° £D{g) = g ՛■

Հետևապես' g = g ’.

Հակադարձելի ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ կարևոր դեր ունի դրանք բնութագրող հետևյալ հատկությունը:

Պնդում 4. Ֆունկցիան հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, եթե այն տարադրող է:

Ապացուցում. Ենթադրենք, թե/ֆունկցիան տարադրող է, և ցույց տանք,

որ այն հակադարձելի է: Դիցուք/ x ) = j j e D(fi\ Դիտարկենք իրական թվերի R

բազմությունից R ֊ի մեջ տրված այն g առնչությունը, որը у թիվը առնչում է х ֊ի

հետ: Քանի որ / ֆունկցիան տարադրող է, ապա յուրաքանչյուր նման У թիվ

կառնչվի միայն մեկ х թվի հետ և, հետևապես, g ֊ն կլինի որոշման E ( f տի­

րույթով ֆունկցիան, ընդ որում՝£(յ) = x: Ակնայտ է նաև, որ f W g ֆունկցիաները

բավարարում են հակադարձելիության սահմանման (1) պայմաններին, մասնա-

վորա պ ես'/-ը հակադարձելի է:

Հակառակը, դիցուք / ֊ը հակադարձելի է: Ցույց տանք, որ այն նաև

տարադրող ֆունկցիա է: Դիցուք g ֊ ն / - ի հակադարձ ֆունկցիան է, x, x ’ e D(fi և

fix ) = f i x ’)\ Համաձայն 2 պնդման' fix), f ix ’) e D(g)\ Ունենք' g{fix)) = gifix')) և,

ուրեմն, x = x ’ : Իսկ սա նշանակում է, որ/ ֆունկցիան տարադրող է:

Գրականություն

1. Միջնակարգ կրթության «Մաթեմատիկա» ուսումնական բնագավառի առար­

կայական չափորոշիչներ և ծրագրեր: Մաթեմատիկան դպրոցում, N 3-4, 2008:2. Գ. Գևորգյան, Ա. Մահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր, 10, էդիթ Պրինտ, 2009:3. Р. Столл, Множества. Логика. Аксиоматические теории, М. 1968.

22

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ն ո ր տ ե խ ն ո լ ո գ ի ա ն ե ր

ԲԱ ԶՄ ԱՆԻՍՏԵՐԻ ԻՆՏԵՐԱԿ ՏԻՎ ՀԱՏՈՒՅԹՆԵՐԻ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄԸ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉՈՎ

Գ.Վ.Աղեկյան

Ռուս-Հւսյկական (Սլավոնական) համալսարան

Դպրոցական երկրաչափության դասընթացում բազմանիստի հատույթ կա­ռուցելը կարևոր և դժվար յուրացվող թեմաներից մեկն է:

Հատույթ կառուցելը պահանջում է երկրաչափության ավելի խոր իմացու­թյուն, մարմնի պատկերով այն տարածության մեջ ընկալելու ունակություն: Բացի դա, պահանջվող հատկությամբ հատույթի կառուցումը այս կամ այն չափով նաև ապացուցման խնդիր է: Կարելի է նշել այս թեմայի ևս մեկ առանձնա­հատկություն: Դա այն է, որ չնայած հատույթների կառուցումներն ունեն որոշակի օրինաչափություններ, միևնույնն է, այդ օրինաչափությունների կիրառությունը տարբեր իրավիճակներում տարբեր ձևով է դրսևորվում: Իսկ նմանատիպ իրա­

վիճակներով առաջադրանքներ կւս՜մ չկան, կս/մ շատ քիչ են: Ավելին, օրինակ,

բավական է փոխվի տրված երեք կետերից որևէ մեկի դիրքը և այդ կետերով անցնող հատույթի կառուցումը կվերածվի նախորդից շատ տարբեր մի խնդրի:

Բազմանիստերի ապակյա կամ մագնիսական ձողերի օգնությամբ կառուց­ված մոդելների օգտագործումը ինչ-որ չափով հեշտացնում է թեմայի մատու­ցումը և աշակերտների կողմից դրա ընկալումը: Բայց թեմայի մատուցման հիմ­նական միջոցներն այսօր, ինչպես և հիսուն կամ հարյուր տարի առաջ, ցավոք, կավիճն ու գրատախտակն են: Կարծես ոչիչ չի փոխվել, չկան ոչ համակար­գիչներ, ոչ համակւսրգչային լսարաններ և ոչ էլ այդ գործի համար պիտանի ծրա­գրեր: Իրոք ցավալի է, քանի որ իրականում դրանք կան:

Այո, կան բազմաթիվ ծրագրեր ու փաթեթներ, որոնք կարող են օգնել ինչպես թեմայի դասավանդման, այնպես էլ դրա յուրացման գործին: Բայց այս հոդվա­ծում կխոսենք դրանցից միայն մեկի' The Geometr’s Sketchpad փաթեթի մասին, որը լինելով հարթաչափական փաթեթ, այնուամենայնիվ, բազմանիստերի հա­տույթների կւսռուցման համար կարող է համարվել լավագույնը:

Բանն այն է, որ եռաչափ փաթեթների օգնությամբ հատույթների կառուցումն այլ բնույթ ունի: Այդպիսի փաթեթով միայն մեկ հրամանով կարելի է կառուցել,

23

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

օրինակ, տրված երեք կետերով անցնող հարթությունը: Պարզ է, որ այդպիսի փաթեթի օգտագործումը ուսումնական նպատակներով այնքան էլ հարմար չէ: Հարմար չէ, քանի որ այն, ինչ կարելի է անել եռաչափ փաթեթով, հետագայում հնարավոր չի լինի անել թղթի վրա: Իսկ The Geometr’s Sketchpad փաթեթի օգնությամբ բազմանիստի հատույթի կառուցումը թղթի վրա այդ հատույթի կա­ռուցման քայլերն են, բայց ավելի որակով, ավելի ճշգրիտ:

Եթե առավելությունը միայն այսքանը լիներ, երևի թե այդ մասին չարժեր գրել: Բայց, բարեբախտաբար, նշվածներից բացի կան մի շարք այլ առավելու­թյուններ:

Նախ հատույթները կարելի է կառուցել քայլ առ քայլ, և յուրաքանչյուր քայլի համար էկրանին կարող է լինել բացատրություն կամ ուսուցիչը կարող է դրանք մեկնաբանել: Մեկ կոճակի սեղմումով կարելի է վերադառնալ սկզբնական վիճակին և նորից քայլ առ քայլ ներկայացնել հատույթի կառուցումը:

Վերջապես երկու ամենակարևոր առավելության մասին:Առաջին այն է, որ պատկերը կարելի է պտտել բազմանիստի հիմքին ուղղա­

հայաց ուղղի շուրջը' քանի աստիճանով կամենանք: Եվ դա ոչ թե ընդհատ-ընդ- հատ, այլ որպես անընդհատ պտույտ: Կարելի է նաև պատկերը թեքել: Այդպիսով, պատկերը կարելի է դիտել բոլոր կողմերից, որն էլ հենց եռաչափ պատկերի կամ իրական մարմնի հետ աշխատելու տպավորություն է ստեղծում:

Երկրորդն էլ այն է, որ սկզբնական տվյալները կարելի է սահուն փոխել, և այդ փոփոխություններին համապատասխան կփոխվի կառուցված հատույթը, այ­սինքն միջավայրն ինտերակտիվ է' սկզբնական տվյալների փոփոխությունը անմիջապես փոխում է վերջնական արդյունքը: Նշեմ, որ կարելի է նաև փոխել սկզբնական տվյալները, հետո արդեն նոր տվյալների համար քայլ առ քայլ կառուցել հատույթը:

Այս ամենը փորձեմ ներկայացնել մեկ օրինակի նկարների միջոցով: Ասում եմ փորձեմ, քանի որ նկարներն ընդամենը առանձին դրվագներ են ներկայացնում, իսկ ամբողջական պատկերացում կազմելու համար պետք է այդ ամենը դիտել համակարգչի էկրանին:

Խնդիր. Կառուցեք ուղղանկյունանիստի այն հատույթը, որն անցնում է դրա կողերին պատկանող երեք կետով:

Նկար 1-ում ներկայացրած է սկզբնական վիճակը: Հիշենք, որ M, K, Լ կետերը կարող ենք տեղաշարժել տվյալ կողի երկայնքով:

Ինչպես արդեն ասվել է, հատույթի կառուցումը կատարվում է քայլ առ քայլ: Տվյալ դեպքում հատույթը կառուցվում է 6 քայլով: Նկար 1-ում տեսնում ենք այդ քայլերի կոճակները:

Հերթով սեղմելով «Քայլ 1» - «Քայլ 6» կոճակները' կունենանք 2 - 7 նկարներում պատկերված վիճակները:

8 - 9 նկարներում պատկերված վիճակները ստացվում են նկար 7-ի վիճա­կից' տարբեր պտույտներով: Նկար 9-ում հատույթի բազմանկյան փոխարեն տեսնում ենք հատված, որն էլ նշանակում է, որ հատույթը ճիշտ է կառուցված:

24

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Եթե կառուցված բազմանկյունը չլիներ հարթ պատկեր, ապա այս դրիքում ի հայտ կգար դրա հարթ չլինելը:

Թեքելով նկար 9-ի վիճակից' կարելի է ստանալ նկար 10-ի վիճակը:Նկար 11-ում պատկերված վիճակը ստացվել է նկար 7-ի վիճակից' М կետի

դիրքը փոխելով:Նկար 12-ում պատկերված վիճակն էլ ստացվել է նկար 11-ի վիճակից' К և Լ

կետերի դիրքերը փոխելով:Այսպիսով, 11-12 նկարները ներկայացնում են միջավայրի ինտերակտի-

վությանը:Պետք է նկատի ունենալ, որ այսպիսի էլեկտրունային նյութեր պատրաստելու

համար անհրաժեշտ է տվյալ փաթեթի բավականաչափ լավ իմացություն: Բացի այդ, այն բավական աշխատատար է: Բայց այդ ամենով հանդերձ, կարծում եմ, որ խելամիտ չէ այսպիսի հնարավորության չօգտագործումը: Հատկապես, որ առաջարկվում է ոչ թե ինքնուրույն պատրաստել այդպիսի նյութեր, այլ օգտա­գործել արդեն պատրաստ նյութերը:

Ուղդա նկյունա նիստ ի հատույթի կա ռուցումը նրա կողերին պ ա տ կա նող ե րե ք կետ երով

Կւսռո ւցեք ո ււլղւսն կ յ ո ւն ւսՕ ի ս սփ հ աստ ւյ թը հ ար թո ւթյ ամ բ, որն անցնում [ տրված К և Լ կետերով:

Պ ատ կեր ի կ առավա ր ո ւմը

մա սշտա բ քեըԵչՈՊա՚ոհլ]

6ա յլ1|

Տ ա յլ2 |

д мՔայլ 4 1

Քւսյլ 51Քւսյլ в |

|3ոււ տ ա լ վերջնական կառուցումը] | Վերա դարձ սկզբին]

Նկ. 1

25

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կառուցեք ոււլղւսնկյունանիստի հատույթը հարթությւսճբ, որն ւսնցնում է տրվւսծ М, К և Լ կետերով:

Պ ատկ եր ի կ առավար ո llIq

մասշտաբ թեքել|Պտւոհլ|

g JL 1 I

gmjL3|Քայլ 41

Տայլ5|

Քայլ 61

| 9 ո ւ յ տ ա լ վԵրշՈաԼ|ւււս կ ա ռ ո ւց ո ւմ ը ]

Նկ. 2

|Վհ|ււսդւսրձ սկցբ|ւն|

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ուղղա նկյուն ա նի ստ ի հա տ ո ւյթ ը հա րթ ո ւթ յա մ բ,

որն ա նցնում է տ ր վ ա ծ M , К և Լ կ ե տ ե ր ո վ :

Պ ատկեր ի կ առավար ումը

մասշտաբ թեքել| Պ տ տ ել|

1ИГП И 1 РщиД рш]Д1»йд |Н 6I

И9 и ւյ տ ա լ վհր^ւ՜ւսւ[|ւսքւ 1|ւււաււցււս1լյ | |՚1հ|ոսդւս|ւձ ււկւ:լբ|ւ1՜ւ|

Նկ. 3

26

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Պատկերի կառավարումի

մասշտաբ բեջ ել| |Պւււտհլ|

Д 11Տւսւլ2|Щ ЩՏւսյլ 4|

Քայլ 5 1

£սսյլ6|

19 ո ւյ տւսլ վերջնական կառուցումը] | Վերա դարձ ււ կ գբ ի G |

Նկ. 4

Ուղղանկյունսւնիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ւսռո ւ ց ե ք ուղղւււն կյ ո ւն ան ի ս տ ի հ ւստո ւյ թը հ ա ր թո լթյ ա ս բ, որն ա նցնում է տ ր վ ա ծ M , K L . L կ ե տ ե ր ո վ :

Պ ատկ եր ի կ առավար ո ււ!ը

մասշտաբ թեքել1 Պտտել|

|3ու յ տալ վերջնական կառուցոււ1|յ| | Վե ր ա դա րձ ս կ ցբ ի ն |

Նկ. 5

Ուղղանկյունս! նիստ ի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ո ււլւլւսն կյ ուն ան ի и տի հ ւստո ւյ թը հ ա ր թո ւթյւսճբ, որն ա ն ցն ում է տ րվւսծ Wl, К և Լ կ ե տ ե ր ո վ :

27

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ուղղ ա ն կյուն ա ն ի ստ ի հա տ ո ւյթ ը հա րթ ո ւթ յա մ բ,

որն ա նցնում է տ ր վ ա ծ M , K U L կ ե տ ե ր ո վ :

Պ ււււոկ ե|փ կ առավարոււ1ը

մասշ տաբ թեքել[Պտտեյ]

Նկ. 6

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւց ե ք ու ղղւսնկյ ու նա նի ստ ի հ ա տ ո ւյթ ը հւսրթությւսմբ,

որն ա ն ցն ում է տ ր վ ա ծ Wl? К և Լ կ ե տ ե ր ո վ :

Պ ատկ հր ի կառավար ո ւմը

մասշ տաբ թեք Ել1 Պււււււհլ|

|9ույ տալ վերջնական կառուցումը |

Նկ. 7

| Վերա դարձ ււկցր|ւն|

28

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ուդդանկյունսւնիստի հատույթի կառուցումը նրա կոդերին պատկանող երեք կետերով

Կւսււուցեք ուղղւսնկյուՕ ւսն ի ս տի հւստույթը հար թությասր, որն անցնում է տրված М, К և Լ կետերով:

Պատկերի կսաավարпււ1ը

մասշտաբ թեքել[Պ տ տ ե լ]

Ящд 11gfUJL g|

да з|Քայլ 4 1

Քայլ 5 1

Քսյյլ6|

| 3 ո ւ յ ս ս ս լ վ եր ջ՚Օւս կ ա 0 կ ա ռ ո ւց ո ւմ ը | | Վ ե ր ա դա րս ս կզ բի ս ]

Նկ. 8

Ուդդանկյունսւնիստի հատույթի կառուցումը նրա կոդերին պատկանոդ երեք կետերով

Կառուցեք ուղղանկյուն անի ստի հատույթը հարթությամբ որն անցնում է տրված W I.KLL կետերով:

Պատկելփ կւսռավարումը

մասշտաբ թեքել| Պ տ տ ել|

PffiiLSl

ПЕшц 6|

|Ցույ inւи| i|h|i?liiiil|iiili կաոուցոււՅը! |Վհրադարճ ււկզբխ՜ւ|

նկ. 9

29

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ուղղ ա ն կյուն ա նի ստ ի հա տ ո ւյթ ը հւսրթությւսմբ.

|Ց ույ տ ա լ վ ե ր ջ ն ա կ ա ն կա ռուցում ը| |Վ հ րւս դա ր ս սկցբ|մք|

Նկ. 10

Պատկեր ի Կ առավարա սր

մասշտաբ թեքել[Պ տ տ ե յ

Քայլ1

Քայլ 2

ՔայլՅ

9այլ4

Քայլ 5

Քսյյլ 6

19 ո ւյ տալ վերջնական կառուցումը] | Վերա դարձ ււկցբին|

Նկ. 11

Ուղղանկյունանիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ուղղւսնկյունա նի ս տի հւստ ույթը հ ա րթ ո ւթ յա մ բ, որն ա նցնում է տ ր վ ա ծ Ml, K L L կ ե տ ե ր ո վ :

30

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Պատկեր|ւ կառավարումր

մասշ տաբ թեը Ել[Պ տ տ ել]

Քայլ 1

Քւսյլ 2

ՔսսյլՅ

Քայլ 4

Քայլ 5

Քայլ 6

1 3 ո ւ յ տ ւս լ վե ր gp щ 1| ш fl կ ա ռ ո ւ ց ու մ ը | | Վհրւս դ ա ր ձ ս կղբին]

Նկ. 12

Ուղղանկյունսւնիստի հատույթի կառուցումը նրա կողերին պատկանող երեք կետերով

Կ ա ռ ո ւ ց ե ք ուղղ ա ն կյուն անի ստ ի հ ա տ ո ւյթ ը հ ա րթ ո ւթ յա մ բ,

ո [1 ն ւսՕցնում է տ րվւսծ Ы1, К և Լ կ ե տ ե ր ո վ :

31

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Ա ր տ ա դ ա ս ա ր ա ն ա կ ա ն

ՊՏՂՈՄԵՈՍԻ Ե Ր Ր Ո Ր Դ ԹԵՈՐԵՄԻ ՇՈՒՐՋԱշոտ Մելիք-Փարսադանյան

ՀՀ ԿԳ նախարարության Կապանի վարժարան

Ներածություն

Ներկայացվող աշխատանքով փորձ է արվել լրացնել հեղինակի «Պտղո­մեոսի և Բրահմագուպտայի թեորեմներն ու նրանց ընդհանրացումները» (Մաթե­մատիկան դպրոցում, թիվ 2-3 (65-66), 2009), ինչպես նաև Ն.Մ. Աեդրակյան, Ժ.Հ. Յաղջյւսն «Պտղոմեոսի թեորեմի շուրջը» (Մաթեմատիկան և ֆիզիկան դպրո­ցում, թիվ 6, 1988) հոդվածների դիտարկումները:

Այն նվիրված է Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմին, որի ուսուցումը կնպաստի օժտված երեխաների մաթեմատիկական ունակությունների զարգացմանը: Հոդ­վածի նյութը արտադասարանական խմբակում այդ թեմայի դասավանդման մեր փորձն է, որը, մեր կարծիքով, հետաքրքիր կլինի նաև ընթերցողներին:

Աշխատանքի առաջին մասում բերվում են Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմի տասներկու ապացույցներ և երկրորդ մասում բերվում է այդ թեորեմի երկու ընդհանրացում:

§ 1. Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմը

Նախ ապացուցենք հետևյալ թեորեմը:

Թեորեմ 1.1. Դիցուք ABCD֊ն շրջա­

նագծին ներգծած քառանկյուն է, որտեղ

DA = а, АВ = b, ВС = с, CD = d, A C = I [ i B D = m (նկ.1): Այդ դեպքում'

В

DՆկ.1

С

32

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ր (ас + bd)(ab +cd)

ad + bc

2 (ac + bd)(ad + bc)

ab + cd

(1)

(2)

Ապացույց: Նշանակենք շրջանագծի շառավիղը R ֊ով (նկ.1): Ունենք'

vABC

bc£ _ 1

4 R " 4

VA D C

ad I _ 1

4 R " 4

Խ _ \

ad

4b2c2-(b 2+c2- £ 2)

b2c

^ 4a 2d 2 - ( a 2 + d 2 - f 2)

! 4b2c 2 - ( b 2 + c 2 - e 2)2

a d 1 4 a 2d 2 - ( a 2+ d 2 - f )

4a 2d 2b2c 2 - b2c 2 ( a 2 + d 2 - £ 2f = 4a 2d 2b2c 2 - a 2d 2 {b2 + c2 - 12 f

be a2+d2 - r ■ ad b2+c2- f I. (3)

Ընդհանրությունը չի խախտվի, եթե ենթադրենք, որ

ZABC< 90° b2+c2> f => b2+c2- f > 0

b2+c2- f ■■b2+c2- f : (4)

Այդ դեպքում'

ZAD C > 90° a2+d2< f a2+d2- t < 0

a2 +d2 - t r - a - d 2 : (5)

Հաշվի առնելով (4)-ը և (5)-ը' (3)-ից կստանանք.

b c ( f - a 2- d 2) = ad(b2 +c2 - f ) =>

I 2 (a d + be) = a d ( b 2 + c 2) + b c [ a 2 + d 2) =:

=> I 2 (a d + bc) = ad b2 + ad c2 + b ca2 + bed2

=> £2 (a d + bc) = ab (a c + bd ) + c d (ac + bd )

33

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

. . . . w . , (ac + bd)(ab + cd)=> £ (ad + bc) = (ac + bd)(ab + cd) => £ = ֊-------- d b--------

Նույն կերպ կարելի է ստանալ նաև (2) բանաձևը:

34

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Թեորեմ 1.2. (Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմը): Շրջանագծին ներգծած քա­ռանկյան անկյունագծերի հարաբերությունը հավասար է նրանցից յուրաքան­չյուրի ծայրակետերից ելնող կողմերի արտադրյալների գումարի հարաբերու­թյանը (նկ.1).

£ ab + c d— = ---: (6)m a d + bc

Ապացույց: Եղանակ 1. Օգտվելով թեորեմ 1.1-ի (1) և (2) բանաձևերից' կստանանք.

£ _ ab + cd

m a d + bc

Եղանակ 2. Օգտվելով Պտղոմեոսի առաջին թեորեմից և թեորեմ 1.1-ի (1) բաաձևից' կստանանք.

. {a c+ bd ){ ab + cd )£ = - ----------- Հ ----------- >- £ ab + cd

a d + bc => — - — :— — : n m a d + beim = ac + bd

Եղանակ 3. (նկ.1):

v i v _ v i v bc£ i a d l _ abm i cdmA B C A C D ~ ABD B C D = > ~ ՜ = ՜ ^ ՜ + ՜ = >

£ ab + cd£ (a d + b c ) = m [ab + cd՜)

m a d + bc

Եղանակ 4. (նկ.1):

s JCD= — = ^ 4 a - e - ( a ‘ + e - d ՝ - f

cdm 1 Г շ շ / ~ շ շ \2

bcd = t ^ = i V 4c + д а ~ d )4 R 4

a 2l 2 4 a 2 2 - ( a 2 +^2 -Ճ?2)

c m 4c 2m 2 - { c 2 + m 2 - d 2^

4a с ւ nr - с nr {a + ' - d } = 4a с ' nr - a ' ( r +/// - d ) >

=> cm {a2 + £2 - d 2 j = a£ {c2 + m 2 - d 2 =>

a 2cm + c£2m - c d 2m = a c 2£ + a£m 2 - a d 2£ =>

=> { £ m -a c ) { £ c -a m ) = d 2 {cm — a£): (7)

35

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Օգտվենք Պտղոմեոսի առաջին թեորեմից: Տեղադրենք (7)-ի մեջ

lm — ac = bd, կստանանք.

b d ( lc - a m ) = d 2 ( c m - a l ) => I {ad + bc) = m (ab + cd ) => — : a + c<m a d + bc

Եղանակ 5. (նկ.2):

S a b c d = S a c d + S ab c = ^ d S IR ( y + S ) + Խ Տ1Ո ( (X + /3 )

— [a d + be) sin ( a + /3), (8)

SABCD = Sabd + S BCd = -^ a b sm (f i + S ) + c d s m ( a + y ) =

1[ab + c d ) s m ( a + y ) : (9)

(8)-ից և(9)-ից բխում է, որ — (ad + b c ) s m (a + (3) = — (ab + c d ) s m (a + у)

В ab + c d _ s in ( a + f i )(10)

С

a d + bc s in (o r+ ^ )

Օգտվենք սինուսների թեորեմից, կստա­նանք.

ГI = 2Rsm(a+ В)1 ; \ ( 1 1 )I m = 2 i? s in (o r+ y)

(10)-ից և (11)-ից բխում է, որ

I ab + cd

m a d + bc

Եղանակ 6. ACD և BCD եռանկյունների համար կիրառենք կոսինուս­

ների թեորեմը (նկ.2), կստանանք.

J d 2 = a 2 + 12 - 2a l cos թ J c m d 2 = с т а 2 + c m l2 - 2a c lm cos թ

[ճ?2 = c 2 + m 2 - 2cm cos /5 \ a i d 2 = a l c 2 + a im 2 - 2a c lm cos /5

=> cm d2 - a i d 2 = с т а 2 + c m l2 - a le 2 - a im 2 =>

=> d 2 (c m - a l ) = Im ( c l - am ) - a c ( c l - am ) =>

(Im - a c ) ( lc - am ) = d 2 ( c m - a l ) :

Շարունակությունը նույնն է, ինչպես եղանակ 4-ում:

36

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Եղանակ 7. (նկ.2):

V -I- V = V -I- V° ABD ~ BCD A BC ~ ACD

<֊, —bmsm а ,S a b d 2 _________________= b m

S a c d - d e s i n a d £2

SB —cm sin Բ cmalՀՀ 1

ACD — al sin В 2

s ֊ bcsm (a+/3) իA BC _ _ ճ ____________________________ ՍՆ

ACD -^ad sm(y+S) a<

с , с _ с յ. e^ A B D ~ BC D A BC ~ ACD

bmABD ACDd£

_cmBCD „ ACDa£

V ֊ b° Հ1^ A B C 1 ACD

be

a d

bm cm _

I t a c d + ~m a c d ~

bm cm _ be m ab + c d _ a d + bc

d£ a£ a d £ a d a d

£ ab + cd

m a d + bc

Եղանակ 8. Տեղագրենք (6)-ի աջ մասում a = 2Rsina, b = 2Rsiny,

c = 2RsmS, d = 2Rsmj3 (նկ.2), ինչպես նաև հաշվի առնելով, որ

£ = 2Rsm (a + /3) = 2Rsm{y+S) և m = 2 i?s in (o r+ у) = 2i? sin (/? + £ ),

կստանանք.

ab + cd _ 4R 2 (sin or sin y+ sin 8 sinթ) _

ad + bc 4 R 2 (sin у sin S + sin a sin թ)

— (cos(or - y) - cos(a + y) + cos(e> ֊ /?) + cos(e> + /?))

— (cos(y - S) - cos(y + S) + cos(a - 0 ) - cos(a + /?))

c o s ( a ֊ 7 ' ) - c o s ( a + f ) + cos(< J-y5)-cos(l800 - [ a + y)}

cos ( y - S ) - cos (y+ S) + cos ( a - j5) - cos ( l 80° - (y+ S )}

37

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

( \ , (տ ռ\ о { a + S ) - { p + y ) (a + p ) - { y + S )cos Լ0( — yj + cos уо — թ ) 2-շօտձ------- -----------ձօօտձ-------

cos(y -S ) + c o s (a - f i) ՜ շ C0A a+ r ) - ( P +S)C0A P +r ) - ( a+S)

180° ֊ 2 ( в +r) 180° — 2(y+S)cos----------------- - cos----------------- -

2 2

sin(/?+ y)s in [y+S) sin(7 +^)

cos180° - 2 Լ Բ + Ց) 180° -2 ( « + J ) sin(^ + )s in (a+ J) sin(/9 + £)

-cos

_ 211ճռ^+ S) I

2 R sm [f i + S) m

Եղանակ 9. Նշանակենք А О = x և В О = у, որտեղից С О = l - x և

D O = m — y (նկ.Յ): Քանի որ A A O B -A C O D U .A A O D ~ A B O C կստանանք.

У- Вm - y d

x a

У с

: — x

b

m - y d

x a

У с

У _ьl - x d

xс

m ----xaс

y = - x a

с— x a___

b_

d

l - x d

С

x cd = a b l - a b x [ ah f = x (ah + c d j

x a d = a b m -b c x j abm = x (a d + be j

I _ a b + cd

m a d + be

Եղանակ 10. Շարունակենք A D -ն և В С ֊ն մինչևՔ1 կետում հատվելը

(նկ.4): Նշանակենք D E = x և С Е = у : Քանի որ A A C E - A B D E և

A C D E - A A B E կստանանք.

X

b

38

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

В

Е

ւ = ւт х x + a _ b

У d

у + с

У - т£— х + с т _____

х

х + а

Ъ_

d

\ £dx + mcd = mbx

mdx + mad = £bx

x = -

i— x m

mcd m b-Id

mad

b_

1

£x + mc _ b mx d

mx + т а _ b ix d

mcd madm b -Id Ib -m d

x = -Ib -m d

£bc - m cd = abm - la d => l a d + £bc = m ab + m cd

I _ab + cd m ad + bc

£[ad + bc) = m{ab + cd)

Եղանակ 11. Դիցուք ABCD քառանկյունը ներգծելի է, և DA = a,

AB = b, BC = c, CD = d (նկ.5): Կտրենք այդ քառանկյունից ABC եռանկյու­

նը և շրջելով AC կողմը' այն նորից տեղադրենք շրջանի մեջ ճ AEC = AABC (նկ.6): Կստանանք շրջանագծին ներգծած AECD քառանկյունը' կողմերի

a, с, b և d հաջորդականությամբ: Նույն քառանկյունից երկրորդ անգամ

X

39

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

в в в

Նկ.5 Նկ.6 ՆԿ-7

կտրենք ABD եռանկյունը և շրջելով BD կողմը այն տեղադրենք շրջանի մեջ

A BFD = AABD (նկ.7): Այս դեպքում կստանանք FBCD քառանկյունը կողմե­

րի արդեն а, с, d և Ъ հաջորդականությամբ: Նկատենք որ (նկ.6) և (նկ.7)

ACDE = ACD F , ըստ b և d կողմերի և նրանցով կազմված անկյան

ZD C E = Z F D C , քանի որ DAE = 360° ֊(CD + CE) = 360° ֊(CD + FD) =

= FAC\ Այստեղից էլ կստանանք y = x :A EC D (նկ.6) և FBCD (նկ.7) քա­

ռանկյունների համար գրենք Պտղոմեոսի ուղիղ թեորեմը և կստանանք.

£x = ab + cd, 7 I ab + cd

< my = ad + bc => — = ---------- :m ad + bc

y = x

Եղանակ 12. Դիտարկենք В կենտրոնով և г շառավղով շրջանագծի նկատմամբ ինվերսիան (նկ.8): Հայտնի է, որ ինվերսիայի կենտրոնով անցնող

շրջանագծի պատկերը ուղիղ է: Դիցուք այդ ինվերսիայի դեպքում A, D և С

կետերի պատկերները ABCD քառանկյան արտագծած շրջանագծի պատկեր

հանդիսացող Կուղղի վրա գտնվող համապատասխանաբար E, F և G

կետերն են: Գրենք Ատյուարտի թեորեմը BEG եռանկյան համար, որում B F — ը չկան է, կստանանք.

EG ■ (B F 2 + EF -FG ) = B E 2-FG + BG 2 ■ E F : (12)

Մյուս կողմից ինվերսիայի հատկությունից բխում է, որ

BE-b = BG -c = BF-m = r 2,

40

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

В

Նկ.8

կամ

BE = — Ь

г 2 г 2BG = — և B F = — , (13)

ինչպես նաև

BE B F

с

BG B F

m

ևBE BG

m b т с с b

Վերջինից բխում է, որ A B A D - A B E F , A B D C - A B F G և A B A C - A B E G : Որտե­

ղից էլBE B F E F BG B F FG BE BG EG_____________ _________ F G BE _m b a ’ m с d с

(13)-ից և (14)-ից հեշտությամբ կարելի է ստանալ, որ

r 2d

b £

E Fr 2a

FGr 2£

և EG = — : bebm cm

Տեղադրենք (13)-ը և (15)-ը (12)-ի մեջ, կստանանք.

Г 2£

be

Г Г4 r l a г d

т bm cm b

г r 2a

cm с 2 bmV ' " у

Պարզեցնելով ստացված հավասարությունը կստանանք.

£ ab + cd

m a d + bc

(14)

(15)

2

r r d

41

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

§2. Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմի որոշ ընդհանրացումներ

Թեորեմ 2.1. Դիցուք ABCD -ն ուռուցիկ քառանկյուն է, որտեղ DA = a,

AB = b, ВС = с, CD = d ,B D = m, ZABD = a , ZCBD = Д Z^ CZ) = y,

ZADB = S, ZACB = r] և ZCAD = 6 (նկ.9): Այդ դեպքում

I sin Ց ■ (ab ■ sin a ■ sin в +cd ■ sin j3 ■ sin y)l u.

m

2 ° . — =

sin# - [ad- sin y-smd+bc- sin or- sin/;) ’

£ sin ( y+ в) ■ (ab ■ sin a ■ sin в + cd ■ sin թ ■ sin y)

m sin y -sin в ■ [ad ■ sin ( y+ #) + be ■ sin ( a + /?))

(16)

(17)

Ապացույց:

В

—bm sin a___ _ 2______e 1ACD —Id s in y

2

1 о ■—cl sinn_____ 2______ _S ւ • c-ABD — am sin о

—cm sin В ____^ 2 _______4 1ACD — al sin в

С

+sBCD

sbm sin a

■SAABD „ , • A C Did sin у

Sc l sin ij

■SAA B C ■ c- ABDam sin ծ v _ cm sin j3 v

B C D ~ 7 ^ Т Г ՛ ^ A C Dat sin Ե

II1

42

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

V -I- VU A C D ^ ABC

■ V -I- V' ABD ^ BCD

s bm s in a■SAABD AC D

d i sin у

v _ c l s m i j bm sin a vA B C ~ i 7 , « ■ ^ A C D

am s in ծ d t sin у

v _ cm ճ ո թ vB C D ~ ՜7~- 7 Г " ^ AC D

a t sin в

c t s in 1) bm s in aV +° A C D ~ f .

am sin о d t s in у

bm sin a

■SAC D

d t sin у- S A

cm s in В 0+ --------- - - S ,

a l s in в

„ с s in 77 b sin a bm sin a cm s in В1 + --------------------- = ------------- + ----------— =>

a sin Ց d sin у d t sin у a t sin в

ad ism ysm 8sm 6+ bet sin asm 7j sin в =abm sin asm 8sm6+cdm sin [3sm ysin S

> i sin 6{ a d s in sin S + b c s in a s m i] )= m sin Ց (ab sin crsin 6 + c d sin f i sin y)

t s in 8 ■ {ab • sin a ■ sin в + c d ■ sin j3 ■ sin y)

m sin в -{ad- s in y -s in 8 + c d ■ s in a ■ sin 7 7)

2°. Նշանակենք A B D C = (p\ Հաշվի առնելով, որ £ + = 180° —{y+ O ),

կստանանք.

S’, e _ e , e°ABC ABD ~ BCD

—bm sin a bm sin a

s acd ^ d ls in y d H m Y2

1 • /?—cm sm p • nշ _ cm sin p

1 r ■ citsinO— a l sin в2

1S ,sc 2 b cM a + f t b cSm (a+ /3 )

s acd }֊adsm{S+(p) adsm ( Г + в )

43

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

V 4- V = V 4- VU A C D ^ U A B C ABD ^ BCD

v bm sin a d£ sin у

SAC D

at sin 6 be sin (a+ թ)

ad sin ( y+ в )S A

_ cm sin ВV _|_____________________ _ . \

A C D ~ a • /~i AC Da d s in ( y+ в ) л и d l sin у л и a£ sin в

be s in (a + Բ ) bm sin a cm s in В=> 1н---------- -------— = --------------1-----------— =>

a d s in ( y+ в ) d£ sin у a£ sin в

=> l a d s in ^ s in # s in (^ + # ) + c s in ^ s in # s in (o r+ /?) =

= m a b s m c c s m 6 s m (y + 6 ) + m cd sin у3 s in ^ s in (^ + # ) =>

£ sin sin e(achm(y+e)+bc sin (a+0 )) = msin (y+ в) (ab sin crsin 6+cdsm /?sin y)

£ sin (у+в)- (ab ■ s in a ■ s in в + c d ■ sin j3 ■ sin y)

m sin y -sin в (ad ■ ып(у+в) + Ьс-$,т(а+j3))

Թեորեմ 2.1-ի 1 և 2 բանաձևերից յուրաքանչյուրից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունը.

Հետևանք 2.1. (Պտղոմեոսի երրորդ թեորեմը): Շրջանագծին ներգծած քա­ռանկյան անկյունագծերի հարաբերությունը հավասար է նրանցից յուրաքանչյուրի ծայրակետերից ելնող կողմերի արտադրյալների գումարի հարաբերությանը (նկ.1).

£ _ab + cd m ad + bc

Ապացույց: Ստանանք թեորեմ 2.1-ի 1°-ի օգնությամբ:

Դիցուք քառանկյունը ներգծելի է (նկ.9): Այդ դեպքում (16) բանաձևի մեջ

հաշվի առնելով y = a , 5 = 1) W 6 =/3, կստանանք.

£ sin Ց֊ (ah-sm a- sin 6*+tt/՛ sin [5֊ sin y) sin //՛ (ah-smoc- sin fi+cd- sin [5֊ sin a)

m sin 6*՛ (ad• sin sin S+bc-sin a ՛ sin //) sin /?՛ (ad• si n or- si n //+Ac • si n or- si n //)

44

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

s in 7 / -s in c r s in / ? - ( a £ + c<i) ab + cd

s in / ? - s in c r s in / ; -{ad + bc) a d + bc

Ստանանք թեորեմ 2.1-ի 2° ֊ի օգնությամբ:Դիցուք քառանկյունը ներգծելի է (նկ.9): Այդ դեպքում (17) բանաձևի մեջ

հաշվի առնելով y = a և 0 = թ , կստանանք.

£ sin (у+ в) ■ [ab ■ sin a ■ sin в + c d ■ sin j3 ■ sin y)

m s in y-sm d - (a d sm{y+6) + b c s m { a + /?))

= s in ( a + f t ) (ab ■ s in or • s in /? + о / • s in /? - s in or) s in ( « + /?)• s in or - s in /?- (ab + cd) ab + cd

s in a - s in թ- ( a d s i n ( a + թ ) +bc- s in ( a + թ)) s in or • s in /? • s in ( « + /?)• (ad + b c ) ad + bc

Գ Ր Ա Կ Ա Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.

2. Ж. Адамар. Элементарная геометрия. 4 .1 . М . Учпедгиз, 1957.

3. Д. И. Перепелкин. К урс элементарной геометрии. Ч. 1. М .

Госпедиздат, 1948.

4. Г. С. М . Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М .

Наука, 1978.

5. Д. А . Мавашов. Внекласная работа по математике. Ташкент.

Укинтувчи, 1989.

45

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՅԻ (2-ՐԴ) ՏԱՐԱԾՔԱՅԻՆ ՓՈՒԼԻ Խ Ն Դ Ի Ր Ն Ե Ր Ը (2010)

Ա.Ս.ՄիքայելյանԵրևանի թիվ 6 միջնակարգ դպրոց

2010 թ-ի փետրվարի 4-ին, Երևան քաղաքի 12 վարչատարածքային շրջան­ներում տեղի ունեցավ մաթեմատիկայի օլիմպիադայի տարածքային (2-րդ) փուլը: Ստորև ներկայացնում ենք առաջարկված խնդիրները և նրանց լուծումները:

ԽՆԴԻՐՆԵՐ

8-րդ դասարան

Խնոհո N 1 Անցնելով ճանապարհի կեսը' նավը իր արագությունը մեծացրեց 25%- ով, և դրա շնորհիվ տեղ հասավ ժամանակից կես ժամ շուտ: Քանի՞ ժամ ծախսեց նավը ողջ ճանապարհի վրա:

Խնռհո N 2 Նկարում ցույց տված պատկերի բոլոր անկյունները ուղիղ են: Ու­նենք միակողմանի քանոն առանց չափումների (տես նկարը), և սրածայր մատիտ: Ինչպե՞ս այդ գործիքների օգնությամբ տանել մեկ գիծ այնպես, որ պատկերից անջատվի նրա կեսին հւսվասար մակերես: (Պատասխանը հիմնա­վորել): Մեկ լուծում նշելու դեպ- 3քում տրվում է 1 միավոր:

Երկու լուծում նշելու դեպքում' 2 միավոր:Երկուսից ավելի լուծում նշելու դեպքում տրվում է լրացուցիչ միւսվոր:

Խնռհո N 3 Տրված են երեք արկղեր, որոնց մեջ կան համապատասխանաբար 2- ական գնդակներ: Մեկի մեջ 2-ը սպիտակ գույնի են, մյուսի մեջ 2-ն էլ սև գույնի են, իսկ երրորդի մեջ մեկը սպիտակ, մյուսը սև գույնի գնդակներ են: Արկղերի վրա այդ մասին կան համապատասխան գրու­թյուններ, սակայն հայտնի է, որ բոլոր այդ գրությունները չեն համա­պատասխանում իրականությանը: Ինչպե՞ս կարելի է մեկ գնդակ հանելով պարզել, թե որ արկղում ինչ գնդակներ են պարունակում:

45

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Խ նռհոN4 Գտնել х և у թվերի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում հավասա­

րումը դառնում է նույնություն.

(2х — Յ)2 + (Зу)2 + (2х + Зу)2 =3

Ց-րդ դասարան

Խնռհո N1 а ֊ի ինչպիսի՞ արժեքների դեպքում է հետևյալ քառակուսի եռան­

դամը դառնում լրիվ քառակուսի.

(4а - 3)х2 - 3(а + 1)х + 3(а +1) :

Խնռհո N 2 Վաճառականը հանդիպեց անապատով անցնող երկու ճամփորդների և նրանցից ջուր խնդրեց: ճամփորդներից մեկի մոտ կար 1,5 լիտր, իսկ մյուսի մոտ' 1 լիտր ջուր, և նրանք հավասարապես բաժանեցին ջուրը երեքի միջև: Երախտապարտ վաճառականը ճամփորդներին տվեց 36 դոլար: Ինչքա՞ն կտայիք այդ գումարից ճամփորդներից յուրաքանչյուրին, եթե բաժանեք արդարաբար:

Խնռհո N 3 Գոյություն ունի՞ այնպիսի բազմանկյուն, որի անկյունագծերի քանակը լինի լրիվ խորանարդ: Հնարավո՞ր է այդ բազմանկյան կողմերի թիվը գերազանցի 100-ը:

Խնռհո N4 Վերականգնել բաժանման գործողությունը._ ԱԱԲԲ ԳԴԵ

ԴԵԲ Դէ _ ԶԲԲ

ԸԵԲ ԵԲ

Նույն տառերին համապատասխանում են նույն թվանշանները, իսկտարբեր տառերին' տարբեր:

10-րդ դասարան

7Г 4 57Г 4Խ նռհոN1 Հայտնի է, որ cos(or----- ) = — և — < а < —л : Գտնել s in « ֊ն:

3 5 6 3

Խնռհո N 2 A B C D ուղղանկյուն սեղանի A D փոքր հիմքը 3 է, իսկ հիմքերին ոչ

ուղղահայաց C D սրունքը' 6: E կետը C D հատվածի միջնակետն

է, իսկ C B E անկյունը հավասար է 15° ֊ի: Գ տ եքճՏՇ/) սեղանի

մակերեսը:

46

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Խնոհո N 3 Գտնել այն բոլոր Р պարզ թվերը, եթե հայտնի են, որ պարզ թվեր են

նաև ? 2 - 2 , 2 Р 2 — 1, З Р 2 + 4 թվերից յուրաքանչյուրը:

Խ նոհոN4 Լուծել հավասարումների համակարգը.

2 х2 + У = 1

< 2 y 2 + z = 1:

2 z 2 + x = 1

11-րդ դասարան

Խնոհո N1 ՏոՎած են երեք ֆունկցիաներ. g j(x) = x - l ; g 2(x) =| x | +x և f ( x ) -

ը, որի որոշման տիրույթը' D ( f ) = (-1;0] միջակայքն է: ճ)(^)-ը,

D (F 2) ֊ը համապատասխանաբար' а д = л а д ) .

F 2(x) = f ( g 2(x)) ֆունկցիաների որոշման տիրույթներն են: Գտնել

D ( f ) ո D (F X) և D ( f ) ս D (F 2) բազմությունները:

Խնոհո N 2 Հայտնի է, որ 5ո-\ և « ֊ 1 0 ամբողջ թվերից յուրաքանչյուրը

բաժանվում է միևնույն P -պարզ թվի վրա: Ապացուցել, որ

2010« + 4-ը (ne N ) նույնպես կբաժանվի P -ի վրա:

Խ նոհոN 3 Լուծել հավասարումը.

(x3 - ւ ) ւ / 2 - ւ 2 =0,25 :

Խնոհո N4 A կետից ելնում են A B , A C , A D և A E չորս ճառագայթներն

այնպես, որ Z B A C = 60°, Z B A D = Z D A C = 45° , իսկ A E ճառա­

գայթն ուղղահայաց է A B D հարթությանը: Գտեք C A E անկյունը:

ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ

N 8 -1 : Պատ.' 4.5 (Ժամ): Տես Հ.Ա.Միքայելյան «Հանրահաշիվ-9» N 186,էջ 49:

Անցած ճանապարհի կեսը նշանակենք ւՏ՚-ով, իսկ սկզբնական արագությունը' v -ով: Այդ դեպքում' ըստ պայմանի, մյուս կեսում արագությունը

կլինի Vj = v + 0.25v = 1.25v : Քանի որ ճանապարհի առաջին կեսում 0.5 (ժամ)

տ տավելի է ծախսվել, քան երկրորդ կեսում, ա պ ա ---------= 0.5< =>

V Vj

Տ Տ ntr Տ 4Տ Տ ntr Տ е „<=>------------- = 0.5< =>-----------= 0.5< => <=>— = 0.5 <=> — = 5 • 0.5 = 2.5 (Ժամ):

v 1.25v v 5v 5v v

47

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

տ տՀետևաբար' — = -----0.52.5 - 0.5 = 2 (ժամ): Ամբողջ ճանապարհի ծախսած

Vj V

ժամանակը կլինի 2.5 + 2 = 4.5 (ժամ):

N 8 -2: Պատասխանո՜ (տես գծագիրը):Առաջին լուծում: Քանոնով տանում ենք

C D ուղիղը մինչև A F ֊ի հետ M կետում հատվե­

լը: Պատկերը տրոհվում է երկու հավասար ուղղան­

կյունների A B C M և M D E F 3x6 չափերի: Նրան­

ցից յուրաքանչյուրը կունենա 18 (քառ. միավոր) մակերես:

Երկրորդ լուծում: Քանոնը տեղաղրենք

այնպես, որ անցնի С և Е կետերով: Տանենք С Е

ուղիղը մինչև A F ֊ի հետ N կետում հատվելը:

Առաջացած N F E ուղղանկյուն եռանկյունը կունե­

նա մակերես, հավասար պատկերի մակերեսի կե­սին: Իրոք'

A C E D = 45° => A F E N = 45° => F N = F E = 6 (միավոր): Մյուս կողմից'

AN M C = A C D E , հետևաբար SFNE = Տյ^ը^ =18 (քառ. միավոր):

Երրորդ լուծում: Քանոնը տեղաղրել այնպես, որ անցնի A և D կետե­

րով: Այդ դեպքում քանոնը կհատի պատկերի B C կողմը ինչ-որ К կետում: Մա­

տիտով նշենք К կետը: (Մենք ելնում ենք այն բանից, որ ինքը միակողմանի քանոնը արդեն իսկ փոխարինում է այն գծին, որը պետք է տանել' տեղադրված

ժամանակ: Այդ պատճառով К կետը գտնելու համար գիծը չենք տանում, այլ

նշում ենք քանոնի և В С կողի հատման կետը, ինչը բնական է):ճ-ն կլինի В С

կողմի միջնակետը AA B K = AD C K ՛. Այնուհետև քանոնը տեղադրենք այնպես, որ

անցնի F և К կետերով: Տանենք F K ուղիղը: A B K F ֊ի մակերեսը հավասար

կլինի K C D E F պատկերի մակերեսին: Իրոք' = S №KiK և S ANKB =Տկ շ ա \

Վերջին լուծումը հետաքրքիր է նրանով, որ միակողմանի քանոնը և սրածայր մատիտը ունեն թաքնված հնարավորություն, այն է պատկերի հետ հատվելիս նշել հատման կետը:

N 8 -3: Տես Հ.Ա.Միքւսյելյւսն «Հանրահւսշիվ-9» N 950, էջ 278:

2 (Ապ) 2 (Սև) 1 (սպ) և 1 (սև)

(I) о • (II) о о (III) • • ------------►Հանել 1 գնդակ

48

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Յուրաքանչյուր արկղում տեղադրված են 2-ական գնդակ: Արկղերի վրայի գրված գրությունները չեն համապատասխանում արկղերում եղած գնդակների գույներին:

ճիշտ քայլը հետևյալն է: Այն արկղը, որի վրա գրված է 1 (սպ) և 1 (սև) գրությունը, հանել 1 գնդակ: Նա կարող է լինել սև կամ սպիտակ (նկարի դեպքում այն սև է), դրանով իմանում ենք, որ 2 (սև) գնդակները այդ արկղում են: Հիշենք, որ եթե 1 (սպ.) և 1 (սև)-ի վրա գրված լինի 2 (սպ.), ապա 2 սպիտակի վրա գրված կլինի 2 (սև): Իսկ եթե 1 (սև) 1 (սպ.)-ի վրա գրված լինի 2 (սև), ապա 2 սպիտակի վրա գրված կլինի 1 (սպ.) և 1 (սև): Այդ դեպքում 2 (սև)-ի վրա գրված կլինի 2 (սպ.): Քանի որ մեր մոտ 1 (սպ.) և 1 (սև) գրված արկղի միջինը 2 (սև) է, ապա 2 (սև) գրված արկղի միջինը 2 սպիտակ է, իսկ 2 (սպ)-ի գրվածի միջինը 1 (սև) և 1 (սպ.):

N 8-4: Պատ. X = 1; v =-------- ' 3

Ունենք'

(2x — Յ)2 + (Зу)2 + (2х + Зу)2 = 3 <=>

4 х2 - 12х + 9 + 9у 2 + 4 х2 + 12ху + 9у 2 - 3 = 0 о

8х2 + 18у2 ֊ 12х + 12ху + 6 = 0 <=> 4 х2 + 9 у 2 - 6 х + 6ху + 3 = 0 <=>

(Зх2 - 6х + 3) + х 2 + 9 յ2 -б х у = 0 <=> 3 (х -1 )2 + ( x - 3 j ) 2 = 0 <=>

(х -1 ) = 0; x - 3 j = 0 <=> х = 1; У = ~\) '-

9-րդ դասարան

N 9 - 1 : Տես Հ.Ա.Միքայելյւսն «Հանրահաշիվ-9» N 70 ա) էջ 28: Պատ.

15а = — :

13

Քառակուսի եռանդամի լրիվ քառակուսի լինելու անհրաժեշտ պայմանը տարբերիչի զրո լինելն է.

D = (-3(0 +1))2 ֊ 4(4a-3)-3(fl+l) = 0 « 3(a +1)(3 (a +1) ֊ 4(4a ֊ 3)) = О

1 15<=>օ=-1, а = — :

13

Ստուգումով համոզվում ենք, որ а = — 1 ֊ը չի բավարարում, քանի որ այդ

դեպքում ստանում ենք —l x 2 , որը (л/7х)2 արտահայտության հակադիրն է:

(Դիտողություն: Շատ լուծողներ, այդ թվում նաև ուսուցիչներ, նույնիսկ դասա­գիրքը' (տես էջ 290) շեշտը դնում են միայն 4а - 3 փ 0 լինելու վրա): Այս օրինւս-

49

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

կը մի տեսակ «լակմուս» է, մեկ անգամ ևս ապացուցելու, որ մաթեմատիկայում «մանրուքներ» չկան:

N 9 -2: Պատ. 28,8 (դոլար) և 7,2 (դոլար): Տես Հ.Ա.Միքայելյւսն «Հանրա­հաշիվն» N 93, էջ 31:

ճանապարհորդը վաճառականների հետ խմել են յուրաքանչյուրը'

(1 +1.5): 3 = — (լիտր) ջուր: Դրանից 1 - — = — լիտրը II վաճառականի ստաց-6 6 6

5 9 - 5 4վածն է, իսկ 1.5 — = -------= — լիտրը 1-ից ստացված ջուրն է: Քանի որ 1-ին

6 6 6

4 1վաճառականը ll-ի համեմատ ճանապարհորդին տվել է — : — = 4 (անգամ) շատ

6 6

ջուր, ապա 36 դոլարը արդար բաժանելիս պետք է առաջինը ստանա 4 անգամ ավելի գումար ll-ից: Ընդհանուր գումարը' 36 (դոլ.) = 4(մաս)+1(մաս)=5(մաս),

36ուստի 1(մաս) = — = 7.2(դոլ.), որը ստանում է ll-րդը, իսկ 4-7.2 = 28.8(դոլ.)

ստանում է առաջինը:

N 9 -3: Պատ. Այո': Օրինակ՝ /^128:Եթե բազմանկյան կողմերի թիվը նշանակենք />ով, ապա նրա բոլոր

ո(ո — 3)անկյունագծերի քանակը կլինի ------------ : Իրոք, բազմանկյան յուրաքանչյուր

2գագաթից կգնա ճիշտ (п — 1) գիծ, որից երկուսը' АгА2-\\ և АгАп-\\ (եթե դիտեք

А ՜Ը) Կլինեն կողմեր: Հետևաբար ամեն գագաթից դուրս է գալիս ճիշտ ( ո - 3)

հատ անկյունագիծ: Հետևաբար կունենանք ո(ո -3) հատ անկյունագիծ:

Սակայն այս հաշվարկում յուրաքանչյուր անկյունագիծ հաշված է ճիշտ 2

անգամ: (Օրինակ' ^յ-ից դուրս եկած A^Aj-ը նույնն

է, ինչ-որ А3 գագաթից դուրս եկած А3Аг- , հետևաբար բոլոր անկյունագծերի քանակը կլինի

ո ( ո — 3)ճիշտ ----- ------ հատ, ո > 3; я е TV : Խնդիրը

ո(ո — 3) 3բերվում է ------------ = m հավասարման բնական

2թվերի բազմությունում լուծելուն: Դժվար չէ տեսնել,

որ ո = 9-ը այդ հավասարմանը բավարարում է: Այդ

հավասարմանը բավարարում է նաև ո = 128-ը.

50

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

128(128-3)

2= 64 • 125 = (4 • 5)3 : Ուստի այդ բազմանկյան կողմերի թիվը կարող է

մեծ լինել 100-ից:

N 9-4: Պատ; 3300 J2 5

250

Բ

800

75050

26

Բ 0ո I- I­

—— պայմանից ստանում ենք բ=0: —У- = —У- պայմանից ստանում ենք' բ ե ե

ե=5: Ուստի եբ=50: դ • գ=դ պայմանից' ստանում ենք գ=1: Մյուս կողմից'

դ-1դ5 = դ50 Պայմանից ստանում ենք դ=2: Ուստի բաժանարարը' 125 է:

Մնացածը պարզ է:

10-րդ դասարան

. 3 -4 л / эN 10-1: Պատ. s in a r = — — — : Տես «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի

տարրեր -10» N 568 (բ), էջ' 171:Նշանակենք'

Я 0 5л- Ж , 71ճ ռ 4 Ж а Я ,а — = р ------ < ( а — ) = В < —ж — <=> а = р л — և

3 6 3 3 3 3 3

JC 4— < Р < Я (II քառորդ): Խնդիրը բերվում է հետևյալին: Ունենք' cos f i — և\2 5

/ N II քառորդին: Պահա05վ„ ւմ էգտ0կ Sm a = sm[/; + f ] - D:

N 10-2: Տես Աթանեսյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն-9» (2008թ. հրատարակություն - Հարթաչափություն) N 555, էջ' 127:

Պատ. 9 - 4 .5 -\/յ :

Տված է A B C D ուղղանկյուն սեղանը' Հ ճ = Z B = 90° , A D \ \ B C ,

A D = D E = E C = 3 , բայցի այդ A E B C = CC = 15°: Պահանջվում է գտնել

51

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

$ a b c d ՜ն; B E և A D ուղիղները

շարունակենք մինչև К կետում

հատվելը: Այդ դեպքում А В Е С ֊ն և

AD E K ֊ն կլինեն ոչ միայն նման

(Z B = Z K = а և Z D E K = Z B E C )

այլ նաև հավասար, քանի որ

D E = E C = 3:

Ուստի S ABCD= S M BK: Միա­

ժամանակ' E -Կ B K ներքնագիծի

միջնակետն է, ուստի A E = B E = E K : Խնդիրը բերվում է A B K ուղղանկյուն

եռանկյան մակերեսը հաշվելուն, որը կիսվում է A E միջնագծով: A A E K ֊ն

հավասարասրուն է, Z E A K = Z E K A = Z K B C = a 0 =15°: Մյուս կողմից'

A D = D E = 3-ից Z A E D = a ° : D M 1 A E և A M = M E : A A M D -իg

A M = 3 • cos a => A E = 2 A M = 6 cos a =>

Saaek = ~ ՛ A E ■ E K • s in (M £ X ) =-^-6cos«-6cos«-sin(1800 -2 a ) = 18cos2a s in la '-

Բացի այդ SMBK = 2 • SMEK = 2 • 18 • co s2 a • sin 2 a , ուստի՝

■ 18-11՜ 0052^) ■sin2ct' = 18 (l-cos30°) sin300 =18 (1 -— ) ֊ = 9-4.5л/з :2 2 2

N10-3: Պատ. p = 3; p = 7:

Նշանակենք' p = I k ± r , որտեղ r e {0,1,2} և ստուգենք' p 2 - 2 \

2 p 2 - 1 ; 3 p 2 + 4 թվերի պարզ լինելը: Եթե /> = 7,ա պ ւս /?-ն կլինի պարզ թիվ

միայն & = 1 դեպքում:

Ուստի'

P 2 - շ = 72 - 2 = 4 9 - 2 = 47, 2/?2 - 1 = 2 -4 9 - 1 = 97,

Յ^2 +4 = 3-49 + 4 = 151,

ստացված բոլոր թվերը եղան պարզ թվեր, ուստի p = 7 ֊ը բավարարում է խնդրի

պայմանին:

Ունենք' p = I k ± г (г = 1) , այդ դեպքում'

Зр2 + 4 = 3(7Лг + l) 2 +4 = 3(49£2 + 14Лг + 1) + 4 = 3(49Лг2 ± 14 ) + 7

բաժանվում է 7-ի \/к е N , ուստի р Ф I k ± 1: Դիցուք' р = 1к ± 2: Այդ դեպքում'

2р 2 - \ = 2{1к± 2)2 - 1 = 2{А9к2 ± 2Ш + 4 ) - 1 = 2{А9к2 ±28£) + 7

52

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

կբաժանվի 7-ի, ուստի պարզ թիվ չի կարող լինել, եթե к e N = {1,2,3,...}:

Մնում է ստուգել միայն к = 0 դեպքը, որտեղ բ = 2-ը իրոք պարզ թիվ է: Բայց

այդ դեպքում' պարզ չի լինում Ъ р2 + 4 = 3 - 4 + 4 = 16: Ուստի' р Փ I k ± 2 :

Դիցուք' p = I k ± 3 , (г = 3) : Այդ դեպքում պարզ թիվ չի լինում'

р 2 —2 = ( I k ± Յ)2 — 2, եթե k e N :

Իրոք' (7к ±Յ)2 - 2 = Ш 2 ± Ш + 9 - 2 = Ш 2 ± 42k + 7 թիվն

բաժանվում է 7-ի, եթե k e N ՛ . Պարզ թիվ կլինի միայն к = 0 դեպքում: Այդ

ժամանակ' p = 7 • 0 + 3 = 3 , որի համար իրոք'

p 2 ֊ 2 = 32 ֊ 2 = 7; 2p 2 - 1 = 2 -3 2 - 1 = 1 8 -1 = 17,

Ъ р2 + 4 = 3 • Յ2 + 4 = 27+ 4 = 31

թվերը լինում են պարզ թվեր: Պայմանին բավարարող այլ թվեր չկան:

N 10-4:

( 1C 2 Я 41C ^Պատ.' (x; y ; z ) = I c o s y ( 2 n + 1); - cos-^ -(2n +1); -c o s -^ -(2 n + 1)

f 2 ft 41C(x;y;z)= cos — (2и + 1); - c o s — (2я + 1); - c o s — (2я + 1)

n = 0;1;2;3;4:

Ունենք'

у = 1 - 2x2

z = l — 2 y 2 = 1 -2 ( 1 - 2 x2)2

x = 1 — 2 z2 = l - 2 ( l - 2 ( l - 2 x 2) 2) 2

Խնդիրը բերվում է

(1) JC = 1 -2 (1 -2 ( 1 - l x 2)2)2

հավասարման լուծմանը: Վերջինս 8-րդ աստիճանի հավասարում է, ուստի ամենաշատը կարող է ունենալ 8 արմատներ:

Փնտրենք այդ հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք ներկայացվում

են x = cos0J տեսքով, որտեղ ф е [0 ;я ] : Տեղադրելով կստանանք'

^ = 1 — 2 co s2 (թ = —(2 co s2 (թ — V) = — cos 2<p,

z = 1 — 2_y2 = —(2_y2 - l ) = - ( 2 c o s 2 2^3-1) = - c o s 4 ^ ,

l - 2 z 2 = - ( 2 z 2 -1 ) = - ( 2 co s2 4q>-X) = - c o s 8 (p:

53

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Հետևաբար'

cos ф = -cos8^о л _ 7ճ? 3 փ

< > co s 0 + co s 8 <z> = O < > 2 co s—— • co s——2 2

■ о <=>

1<р пcos —— = О

2

9 ф л cos — = О

2

4 = — {2п + 1)

4 = — (2п + 1) 9

н е Z :

Հեշտ է տեսնել, որ I դեպքում բավարարում են и ֊ի միայն и = 0;1;2;3

արժեքները, իսկ ll-րդ դեպքում միայն ո = 0;1;2;3;4 արժեքները, քանի որ и ֊ի

մյուս արժեքների դեպքում <р<£ [0,л՜]:

Ուստի ստանում ենք х թվի ճիշտ 8 իրարից զույգ առ զույգ տարբեր ար­

ժեքներ:

ո Ъ п 5 я i n л ,л' = cos— ; cos — ; cos — ; cos— = cos я՜ = -1 և

7 7 7 7

cos-7яК 37U 7Г 1 5 я

л' = cos — ; cos — = cos — = — ; cos — ;9 9 3 2 9 9

9 я .COS--- = COS 71 = -1

9

Այսպիսով' հավասարումը ունեցավ ճիշտ 8 լուծում, որոնք բոլորն էլ

իրարից զույգ առ զույգ տարբեր են: Քանի որ 8-րդ աստիճանի հավասարումը չի

կարող 8-ից ավելի արմատ ունենալ, ուստի և գտած թվերով էլ սպառվում են (1)

հավասարման բոլոր լուծումները, դրանով նաև գտնվում է տված համակարգի

իրարից զույգ առ զույգ տարբեր բոլոր 8 եռյակները:

11-րդ դասարան

N11-1: Պատ.' D { f ) ո D { F 1) = 0 ; D { f ) и D { F 2) = (—°o;0]:

Տես Գ.Գևորգյան, Ա.Աահակյան «Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր - 9», N191 (բ), էջ' :

Քանի որ F i(x ) = f ( g l (x)) = / ( x - l ) , ապա Fj ( x ) ֊ը գոյություն ունի,

եթե միայն g j(x) = x ֊ l e £>(/) = (-1,0]

о - 1 < х - 1 < 0 о - 1 + 1<(х-1) + 1<0 + 1=>0<х<1=> D (FX) = (0;1]: Ուստի

D ( f ) n D ( F 1) = ( - l;O ]n (O ;l]= 0 :

54

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

Մյուս կողմից' F 2(x) = f ( g 2(x)) = / ( | x | + x ) : F 2{x)-\\ գոյություն ունի,

Ուստի, եթե X > 0 , ապա | x |= x => g 2 (x) = x + x = 2 x > 0 => 2 x £ (—1;0]:

Այսինքն F(^g2( x ) ) ֊ը 3 (գոյություն չունի): Դիցուք' x<0<^=>|x| = ֊ x « g 2(x) =

=| x| +x = - x + x= Oe (—1;0] =>F 2{x) = / ( 0 ) , որը 3 գոյություն չունի: Հետևա­

բար V x e ( —°օ;0]-ի համար F 2 (x) = ք (0) <=> -о D (F 2 (x)) = (-°°;0]: Ուստի'

D (F 2) u D ( f ) = (—°o;0] u (֊1;0] = ( - ; 0 ] :

N11-2: Տես Հ.Ա.Միքայելյան «Հանրահաշիվ-9» N 767 ա) էջ 229:

Ըստ պայմանի (5 n - l ) : P և P -ն պարզ թիվ է, ուստի Р Ф 5: Մյուս

կողմից' (ո - \Ծ ) \Բ և Р փ 5 5 (и -10):.Р : Ունենք (5 ո -1 ) :Բ և

(5ո-50)\Բ ^ ( (5 п -Т ) - (5 п -Щ ) \Р < ^ 5 n -\ -5 n + 50 = 49\P => P = 1 Ունենք

նաև'

2010-/7 + 4 = 2005k + Ո + 4 = 2009- И + И -10 + 10+4 = 41- 49 -п + {п -10) + 14:

Քանի որ =41-49:7, (ո - 10)\(Բ = 7) և 14:7, ապա իրոք' այդ նույն

n e N թվերի համար (2010и + 4):7 :

х ; х > 0եթե միայն g 'j(x) =| X | + xe (—1;0]: Բայց | x |=

֊ x ; X < 0

N 11-3: Պատ.' X g <

—о------------------------------------- >-վշ -1 0 ւ V2 X

Ունենք'

x 2(x2 - l ) 2( 2 - x 2) = - o ( x 2 — l) 2(2x2 ֊ X 4 ֊ 1 + 1)= — : 16 16

(x 2 _ l ) ( l_ ( x 2 _ l) 2 ) = ± ^ ( x 2 _ l ) 4 _ (x2 _ 1)2 + ± = 0 16 16

55

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն

■ 1 = +

(х2 ֊1 )2 =

•у/ 2 + л/з

1պ 1 —

41± Я

2±л/з

\±վշ±Տ2 2 - , - - , - .<=> X = ------31---------- <=> X = ±1

2± ^ 2± у/з .

շ շ V 2Մնում է այս 8 թվերից ընտրել այն չորսը, որոնք պատկանում են Թ.Ա.Բ-

ին: Մյուս չորսը կլինեն (х3 - х ) у / 2 - х 2 = -0 .2 5 ֊ի լուծումները:

N 11-4: ՏԵս Աթանեսյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն-9» N էջ

Պատ.' 45° կամ 135°:

[АО) ճառագայթի վրա վերցնենք A D = 1 միավոր հատված: (A C D ) հարթու­

թյան մեջ տանենք C D _Լ A D , որտեղ С ֊ն (AC ) ճառագայթի հատման կետն է:

Քանի որ Z C A D = 45°, ապա A D C (Z D = 90°) ուղղանկյուն եռանկյունը կլինի

հավասարասրուն <^>CD = \ (միավոր), ուստի A C = Հ շ , նույնը կանենք (A D B )

հարթության մեջ, տանելով D B _Լ A D (Z D = 90°) և Z D A B = 45° ֊ից D B = 1,

իսկ А В = л12 (5 -ն D կետից ՃՕ-ին տարված ուղղահայացի և [АВ)

ճառագայթի հատման կետն է): Ըստ պայմանի

Z C A B = 60° С В = 4 2 => A C D B ֊ն

կլինի ուղղանկյուն եռանկյուն'

Z C D B = 90° (I2 +12 = (վ շ )2)\

Վերջինս նշանակում է, որ C D _Լ A D ,

C D _Լ B D => C D _Լ (AD B) հարթությա­

նը: Ըստ պայմանի

A E ± ( A D B ) ^ A E \ \ C D (նույն

հարթությանը տարված ուղղա­հայացները իրար զուգահեռ են):

Տանենք' C K _Լ A E => A D C K ֊ն կլինի

քառակուսի, քանի որ C K = D A = 1,

C D = A K = 1: Հետևաբար Z C A K = 45° :

Եթե A E ուղղահայաց է վեր => Z C A E = 45е

ներքև, ապա Z C A E = 180° ֊ 45° = 135° :

իսկ եթե Е կետը ուղղված է

22 2 4

շX

56

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Ի ն ք ն ա կ ր թ ո ւ թ յ ո ւն

ԿԱԽՎԱԾ ԳԱԳԱԹՆԵՐԻ ԹԻՎԸ ԾԱՌԵՐՈՒՄԿ. Մ. Մոսեսյւսն, Գ.Ա.Համբւսրձումյան

Դիտարկվում է մարդկանց զույգերի միջև «ծանոթ լինել» երկտեղ հարա­բերությունը: Այն սիմետրիկ հարաբերություն է' դիտարկվող մարդկանց խմբի

ցանկացած a,b զույգի հւսմար, եթե a -ն ծանոթ է ծ-ին, ապա ծ-ն ևս ծանոթ է a -ին:

Կասենք, որ a և ծ մարդկանց միջև նստած с մարդը ապահով է նստած, եթե

նա ծանոթ է և a-ին, և ծ-ին:

Մարդկանց it\, a2,..., aK հաջորդականության (к >2) ciՀ և ^ծայրանդամները

կոչվում են համարյա ծանոթներ, եթե նրանում ցանկացած հարևան անդամներ ծանոթ են միմյանց:

Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը'

Տրված է մեկից ավելի մարդկանց X բազմություն, որում ցանկացած ան­

ծանոթ զույգ համարյա ծանոթ է: Հայտնի է նաև, որ X բազմության երկուսից մեծ

թվով մարդ պարունակող ցանկացած անդամների հնարավոր չէ ապահով նստեցնել կլոր սեղանի շուրջը: Հայտնի են նաև այն մարդկանց թվերը, որոնք

այդ խմբում ունեն 3,4,5,6 և այլն թվով ծանոթներ: Գտնել X բազմության այն

մարդկանց թիվը, որոնք ունեն 1-ական ծանոթներ:Դիտողություն 1. Թվում է, թե խնդիրը կոռեկտ չէ ձևակերպված, այն չի

կարող ունենալ միարժեք լուծում, քանի որ հայտնի չեն ո՛չ X բազմության

տարրերի թիվը, ո՛չ էլ 2-ական ծանոթներ ունեցող մարդկանց թիվը: Մույն աշխատանքում ապացուցվող թեորեմից կերևա, որ նշված մտահոգությունները հիմնազուրկ, են և խնդրի լուծումը կախված չէ այդ տվյալներից:

Աշխատանքը շարադրելու համար տանք որոշ սահմանումներ և կատա­րենք մի քանի նշանակումներ1.

Դիցուք, հարթության վրա տրված են ինչ-որ կետեր (դրանց կանվանենք գագաթներ) և այդ կետերի որոշ զույգեր (հնարավոր է նաև բոլոր զույգերը, կամ ոչ մի զույգ) իրւսր են միացված ինքն իր հետ չհատվող գծերով (դրանց կան֊

1 Ստորև տրված են միայն տվյալ աշխատանքի հասար անհրաժեշտ սահմանումները: Դրանց ավելի ընդլայնված ցուցակի հետ կարելի է ծանոթանալ [1] աշխւստանքուս:

57

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

վանենք կողեր), ըստ որում կարևոր չէ այդ գծերի տեսքը և երկարությունը:

Ստացված պատկերը կանվանենք գրա ֆ' տրված X գագաթների և Ս կողերի

(գագաթներից կազմված զույգերի) բազմությամբ: Այն կնշանակենք G = (X ,U ) ֊ով:

Եթե ս= (x,y)eU , ապա կասենք, որ x և յ գագաթները հարևան են միմյանց,

ս կողը կից է X և у գագաթներին, և հակառակը' х և у գագաթները կից են ս

կողին (նկ.1):

ս

նկ.1.

Եթե ս= (x,y) t. Ս, կասենք, որ X և у գագաթները հարևան չեն միմյանց:

Տվյալ X գագաթին (хеХ) կից կողերի քանակը կոչվում է այդ գագաթի

աստիճան (կամ լոկալ աստիճան) և նշանակվում է d(x)-n\\;. Եթե d(x)= 0, ապա x-ը

կանվանենք մեկուսացված գագաթ, իսկ d(x)=1 դեպքում' կախված գագաթ:

n=n(G) - ով նշանակվում է G = (X ,U ) գրաֆի գագաթների քանակը,

m=m(G) ֊ով ' կողերի քանակը:

Դիցուք, տված է ո մարդկանցից (ո > 2) կազմված որևէ P խումբ: Այդ խմբի

ծանոթությունների G = (X ,Ս ) գրաֆը կսահմանենք հետևյալ ձևով. G գրաֆի

գագաթների X բազմության տարրերը համապատասխանեցվում են P խմբի

մարդկանց և կամայական x , y e X զույգի համար, երբ P մարդկանց խմբում x և

у ֊ին համապատասխան մարդիկ ծանոթ են միմյանց, G ֊ում տարվում է (х,у)

կող (բացի դրանցից, G ֊ում այլ կողեր չեն տարվում):

Գրաֆի մեջ գագաթների և կողերի х0, щ, x-i, ս2, ..., x„_! ս„, x„ փոխ-

հաջորդող հաջորդականությունը, որում կամայական հարևան տարրերի զույգեր

կից են և ոչ մի կող չի կրկնվում, կոչվում է x0 գագաթը xn գագաթին միացնող

շղթա (նկ.2). Շղթան կոչվում է պարզ, եթե նրանում ոչ մի գագաթ չի կրկնվում:

ս. t i ­ l l? Ա Л ս.

x r X, X- Х л X ո — 1 X,ս, = (x k - i , x k )

նկ. 2

Այն շղթան, որում x0=x„, կոչվում է ցիկլ:

Գրաֆի տվյալ գագաթների զույգը կոչվում է կապակցված, եթե գոյություն ունի նրանց միացնող պարզ շղթա:

Գրաֆը կոչվում է կապակցված, եթե նրանում գագաթների կամայական զույգ կապակցված է:

58

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

G'={V, E') գրաֆը կոչվում է G=(V, E) գրաֆի մաս, եթե V cV Y lE 'c E ՛-

G'=(V, E') մասը կոչվում է G=(V, E) գրաֆի ենթագրաֆ, եթե G՛ ունի G

գրաֆի բոլոր հնարավոր (թույլատրելի) կողերը:Գրաֆի մաքսիմալ (ըստ ընդգրկման) կապակցված ենթագրաֆը կոչվում է

այդ գրաֆի կապակցման բաղադրիչ:

G=(X,Ս) գրաֆը կոչվում է ծառ, եթե այն կապակցված է և չունի ցիկլեր:

Ընդունված է, համարել, որ մեկ մեկուսացված գագաթից բաղկացած գրաֆը ևս ծառ է:

Այն գրաֆը, որի բոլոր կապակցման բաղադրիչները ծառեր են, կոչվում է

անտառ:

|^|-ով նշանակվում է X բազմության տարրերի քանակը:

Հետագա նյութը շարադրելու համար անհրաժեշտ է ապացուցել մի քանի պնդումներ.

Պնդում 1. Գրաֆի բոլոր գագաթների աստիճանների գումարը հավասար է նրա կողերի թվի կրկնապատիկին:

Ապացույց. Դիցուք ունենք կամայական G = (X ,U ) գրաֆ, m{G) = m և

x „} :

Եթե կազմենք գրաֆի բոլոր գագաթների աստիճանների

d(x1)+ d(x2) +... + d(xn)

գումարը, ապա գրաֆի յուրաքանչյուր (x^xj) կող այդ գումարին կավե-

լացնի երկու միավոր, մեկը d(xj ) գումարելիում, քանի որ այդ կողը կից է xt

գագաթին, մյուսը d(x )-ում, քանի որ այն կից է նաև X j գագաթին: Ուրեմն,

գրաֆի բոլոր կողերը վերը բերված գումարը կավելացնեն 2m միավորով: Քանի որ գումարելիները միմիայն գրաֆի գագաթների աստիճաններն են, ուստի կա­րող ենք գրել'

d (x l ) + d (x2) + ... + d (xn) = 2m

Պնդում 2. ո գագաթ ունեցող ծառն ունի ո- 1 կող:

Ապացույց. Ենթադրենք T=(X,U)-h ո գագաթ ունեցող որևէ ծառ է: Եթե ո=1,

ապա T ծառն իրենից ներկայացնում է մեկուսացված գագաթ, կող չունի և

թեորեմի պայմանները բավարարվում են: Իրոք, ո -1=1-1=0:

Ենթադրենք, որ ո> 1: Հեռացնելով T ծառից որևէ կող' կստանանք երկու նոր

ծառեր, որոնց գագաթների միավորումը^բազմությունն է: Պարզ է, որ երեք ծառ

ստանալու համար պետք է սկզբնական T ծառից հեռացնել 2 կող, 4 ծառ ստա-

59

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

նալու համար պետք է Г -ից հեռացնել 3 կող և այլն: Ամենաշատ ծառեր, այսինքն

ո հատ մեկուսացված գագաթներ ստանալու համար պետք է Т ծառից հեռացնել

ո - 1 կողեր, այսինքն Г -ի բոլոր կողերի քանակը եղել է ո - 1:

ՊնդումՅ.ո գագաթ և к բաղադրիչներ ունեցող/) անտառն ունի m(Z)) = n-k

կող:

Ապացույց. Իրոք, ենթադրենք D անտառի բաղադրիչները Tl ,T 2,...,Tk

ծառերն են: Օգտվելով պնդում 2-ից կարող ենք գրել'

m\=щЛ,

m2=«2֊ 1 ,

т , ֊ я , ֊ 1 :

Գումարելով այս հավասարությունները' կստանանք պնդում 3-ի ապացույցը:

Թեորեմ, к հատ (£ > l) ոչ դատարկ բաղադրիչներ ունեցող D անտառի

համար տեղի ունի

t/լ = 2,к ՜Ւ (d շ + 2 d հ ՜Ւ 3 d + ••• + — 2)- d Ծ ), )

որտեղ d t ֊[x D անտառի I աստիճան ունեցող գագաթների թիվն է, իսկ

<7-ն' D -ի գագաթների մաքսիմալ աստիճանը:

Ապացույց. Ակնհայտ է, որ

ճ?ւ ՜Ւ d շ + й?з + ••• + d Ծ = ո Լթ ) = ո ՛. (2)

Ըստ պնդում 1-ի'

ճ?ւ + 2d շ + 3 ծ ՚ d Ծ = 2 ա (D ) = 2 ա ՛. (3)

Ըստ պնդում 3-ի'

m=ո-է. (4)

Օգտվելով (2)-(4) հավասարություններից' կարող ենք գրել'

ճ?լ ՜Ւ 2ճ?շ ՜Ւ 3 ՜Ւ • • • ՜Ւ Ծ ՚ d a = 2{dl ՜Ւ ճ?շ ՜Ւ • • • ՜Ւ d Ծ ) — 2к

60

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

կամճ?լ = 2 к + (d 2 + 2й? + Зй?2 + • • + (<7 2 ) ՚ Ժ Ծ ) !

Թեորեմն ապացուցված է:

Հետևանք 1. Ցանկացած ծառում կա գոնե 2 հատ կախված գագաթներ:

Իրոք, բավական է դիտարկել (1) հավասարությունը к =1 դեպքում: (1)

հավասարությունից բխում է նաև հետևյալ պնդումը.

Հետևանք 2- Եթե Т ծառն ունի ճիշտ 2 հատ կախված գագաթներ, ապա

այն չունի 2-ից մեծ աստիճան ունեցող գագաթներ, այսինքն T-Կ պարզ շղթա է:

Ակնհայտ է, որ շղթա հանդիսացող ծառն ունի ճիշտ երկու կախված գա­գաթներիս պնդումը միացնելով հետևանք 2-ին' կստանանք'

Հետևանք 3. Т ծառն ունի 2 կախված գագաթներ այն և միայն այն դեպ­

քում, երբ T-Կ պարզ շղթա է:

Դիտողություն2. Հետևանք 3-ը որպես առանձին թեորեմ ապացուցված է [2] աշխատանքում: Այդ ապացույցը ծավալուն է' զբաղեցնում է շուրջ 1,5 էջ:

Օգտվելով ապացուցված թեորեմից լուծենք աշխատանքի սկզբում ձևակերպված խնդիրը:

Խնդրի գրաֆայնացումը. Կազմենք դիտարկվող խնդրի պայմաններին

համապատասխանող ծանոթությունների G=(X,U) գրաֆը: Խնդրի առաջին պայ­

մանից բխում է, որ G -ն կապակցված է, իսկ երկրորդ պայմանից, որ G -ն չունի

ցիկլեր: Ուրեմն G=(X,U) գրաֆը ծառ է:

Խնդրի գրաֆային ձևակերպումը. Տրված է G={X,U) ծառ, որում

առանձին-առանձին հայտնի են 3,4,5,6 և այլն աստիճաններ ունեցող գագաթների քանակները (ինչպես նշել ենք վերևում' խմբի մարդկանց ընդհանուր թիվը և երկուական ծանոթներ ունեցող մարդկանց թիվը հայտնի չէ): Պահանջվում է գտնել խմբում մեկական ծանոթներ ունեցող մարդկանց թիվը:

Լուծում. Խնդրի լուծումը հետևում է վերն ապացուցված թեորեմից' k= 1

դեպքում:

Դիտողություն 3. Մեր կողմից դիտարկվող խնդրի ծանոթությունների գրա­ֆը բաղկացած էր մեկ բաղադրիչից' ծառ էր, այդ իսկ պատճառով խնդրի լուծ­

61

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

ման համար օգտվեցինք ապացուցված թեորեմից k= 1 դեպքում: Կարելի էր

խնդիրը ձևակերպել այնպես, որ նրան համապատասխանող ծանոթությունների

գրաֆը բաղկացած լիներ p հատ (p >1) ոչ դատարկ բաղադրիչներից' այսինքն

լիներ անտառ: Նման կերպ ձևակերպված խնդրի լուծումը նույնպես կհետևեր

վերն ապացուցված թեորեմից' к= р դեպքում:

Դիտողություն 4. (1) հավասարությունից հետևում է, որ 2 աստիճանունեցող գագաթնեի թիվը ոչ մի էական դեր չի խաղում այլ աստիճան ունեցող գագաթների թիվը որոշելիս: Այդտեղից միաժամանակ երևում է, որ ցանկացած

d t արժեք (2 < /< < t(G ) ) կարելի է գտնել իմանալով մնացած d } ֊երի

{ j Փ i , j Փ 2) արժեքները:

Ապացուցված թեորեմը դիտարկենք նկար 3-ում պատկերված ծառի օրինակի վրա.

Հեշտ է նկատել, որ պատկերված ծառում d2=4, ժշ=՜\, dA=A\ Օգտվելով (1)

հավասարությունից' գտնենք պատկերված ծառի կախված գագաթների Ժհ թիվը.

d-\ = 2 +а?з + 2^4 = 2 +1+8 =11:

նկ.Յ

Իրոք, պատկերված ծառի կախված գագաթների թիվը 11 է: Նկատենք, որ այս թիվը ստացանք առանց օգտվելու ծառի երկու աստիճան ունեցող

գագաթների d2=4 թվից:

Դիտողություն 5. Դիտարկվող խնդրի ձևակերպման մեջ կա \ճ\ > 2

սահմանափակումը: Քանի որ 2 < \ճ\ < 3 դեպքում d 3 = d 4 = ■ ■ ■ = d a = 0 ,

62

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

թվում է, թե այն կարող է խանգարել թեորեմում ապացուցված (1) հավասարու­թյան, ուրեմն նաև ամբողջ թեորեմի տեղի ունենալուն:

4 և 5 նկարներում պատկերված գրաֆներից երևում է, որ մեր մտահոգու­թյունները հիմնազուրկ են:

Ш ) Բ)

նկ.4

ա) բ) գ) դ)

նկ.5

Դիտարկենք այդ գրաֆներն առանձին-առանձին.

/7=2 դեպքում կան ընդամենը 2 գրաֆներ, որոնք պատկերված են նկար 4-ում:

Նկար 4 ա)-ում պատկերված գրաֆը կապակցված չէ, նրան համապա­

տասխան մարդկանց խումբը հ=Հ դեպքում չի բավարարում դիտարկվող խնդրի

պայմաններին: к=р դեպքում (р >1) ևս չի բավարարվում, քանի որ բաղադրիչ

ները դատարկ են (տես դիտողություն 3):

Նկար 4 բ)-ում պատկերված գրաֆի դեպքում с/. = 2 և (1) հավասա­

րությունը տեղի ունի:

w=3 դեպքում կան ընդամերը 4 գրաֆներ, որոնք պատկերված են նկար

5-ում:Նկարներ 5 ա) և 5 բ) ֊ում պատկերված գրաֆները կապակցված չեն և

դրանք բացառվում են նախորդ դեպքի նմանությամբ: Նկար 5 դ)-ում պատ­կերված գրաֆը ևս բացառվում է, քանի որ այն (անտառ չէ) պարունակում է ցիկլ:

Նկար 5 գ)-ում պատկերված գրաֆի դեպքում d. = 2 և (1) հավասարությունը

տեղի ունի:

Գ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն

1. Կ.Մ.Մոսեսյան, Հ.Հ.Պետրոսյան, Խնդիրների լուծումը գրաֆների միջոցով «Մաթեմատիկան դպրոցում», թիվ 1-2 (58-59), 2008թ.

63

2. В.Г.Карпов, В.А.Мощенский, Математическая логика и дискретная математика, Минск, 1977.

____________________ Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն _____________________

64

Ի Ն Ք Ն Ա Կ Ր Թ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն

Խ Ն Դ Ի Ր Ն Ե ՐԳառնիկ Ներսիսյան

1. Ուղղանկյան կողմերի հարաբերությունը к է, k e Աշակերտը

կտրատելով այն մասերի, ստացավ կտորներ, որոնցից մի քանիսը իրար միացրեց: Արդյունքում պարզվեց, որ նա ստացել է չորս, իրար հավասար սուրանկյուն եռանկյուններ: Ինչպե՞ս այդ հաջողվեց նրան (10-11):

2. ABC. Եռանկյան ВС , A C և ВA կողմերի վրա համապատասխանաբար նշված

են А и В I և С л կետերը այնպես, որ S ACiBi = SBCiJh = Sa m : Ապացուցել, որ

— ՜Հ ‘՜*лвс ■ (9-11)

К3. 0 < а , Բ , 7< ՜հ , tg a + tg/3 + tgy = 2 : Ապացուցել, որ

cos2 or + cos2 y9 + cos2 ^>2 : (10-11)

4. a-ն և ծ-ն տարազույգ բնական թվեր են: Ապացուցել, որ a 'h - ah 3 ֊ 1 թվի

բոլոր բնական բաժանարարների գումարը բազմապատիկ է 6-ին: (8-11)

5. Կանոնավոր 12-անկյունը կտրատել ոչ ավելի քան յոթ մասերի այնպես, որ դրանցից հնարավոր լինի կազնել երեք քառակուսի­ներից բաղկացած անկյունակ (տես նկարը): (9-11)

«Մ ա թ եմա տ իկա ն դ պ րո ց ո ւմ » ա մսա գրի խ մ բա գ րո ւթ յա ն 2009թ . հ ա շվ ե տ վ ո ւթ յո ւն ը

2009թ. ընթացքում թողարկվել է ամսագրի 6 համար' յուրաքանչյուր համարը 2010-ական տպաքանակով:

Ամսագրի բոլոր օրինակները անվճար հատկացվել են ուսումնական հաստատություններին:

64