宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

1

ケプラー軌道方程式のまとめ 引用文献： James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852. 中心物体の重力定数(gravitational constant) µ について： 重力定数は GM=µ と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 M や万有引力定数 G 単独

の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数 G の計測値は基礎物理定数

の中で最も精度が低い。 中心物体 µ µ 軌道速度 周期 脱出速度

23 s/m s/m 5.1 km/s min km/s

太陽（表面） 1.327 124 38 e+20 11,520,088,436 436.822 167.0 617.760 （1 AU） 29.716 529,642 42.024

水星 2.203 4 e+13 4,694,000 3.005 85.0 4.250 金星 3.249 e+14 18,020,000 7.327 86.5 10.362 地球 3.986 004 41 e+14 19,964,980.4 7.905 84.5 11.180 月 4.902 798 98 e+12 2,214,226.5 1.680 108.3 2.376 火星 4.283 200 00 e+13 6,544,616.1 3.551 100.2 5.022 木星 1.266 9 e+17 355,935,000 42.097 177.8 59.534 土星 3.793 4 e+16 194,767,000 25.088 251.6 35.480 天王星 5.795 1 e+15 76,125,600 15.058 177.8 21.295 海王星 6.835 4 e+15 82,676,500 16.614 156.1 23.496 冥王星 8.7 e+11 9.33 e+5 0.852 146.9 1.205 [小惑星] セレス 7.83 e+10 2.80 e+5 0.414 115.4 0.586 パラス 1.46 e+10 1.21 e+5 0.236 115.9 0.334 ベスタ 1.59 e+10 1.26 e+5 0.252 104.0 0.357 イトカワ （注意：

141041004986.314e41004986.3 ×=+ ）

共通記号： ν ：真近点離角 true anomaly 近点から軌道物体までの角度。θ とも書く。 M：平均近点離角（平均近点角）mean anomaly )( TtnM −=

t：観測時刻 the time of observation T：近点通過時刻 the time of perifocal passage pt とも書く。

n：平均（角）運動 mean (angular) motion

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

2

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

3

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

4

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

5

１． 円軌道 circular orbits

円軌道の物理量であることを強調するために頭に C.を付ける

C.定義パラメータ： a = 長半径（長半径）semimajor axis = r = 半径 radius C.幾何方程式： 222 ayx =+ C.焦点からの距離, r： r = a C.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

r

Va

µµε −=−=22

2

C.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）： ah µ== h

C.角運動量ベクトル, h（c とも書く）： Vrh ×= ( rrc &×= とも書く) C.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ×=×= ˆˆˆ C.軌道傾斜角 inclination, i： ( )hhi zarccos= C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN=

C.飛行経路角 flight path angle, fpaφ ： 0=fpaφ

C.近点距離 perifocal distance, q： q = a C.半直弦 semi-parameter, p： p = a C.長半径（長半径）semimajor axis, a： a = r C.離心率 eccentricity, e： e = 0

C.平均運動 mean motion, n： Pa

n πµ 23 ==

C.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： ntMM += 0 C.真近点離角 true anomaly, ν ： M=ν C.真近点離角レート, ν&： n=ν&

C.軌道周期 orbital period, P： µππ 32/2 anP ==

）（太陽；

）（火星；

）（月；

）（地球；

]km[],[10178228996.1]km[[min],10211429059.5

]km[[min],10413569495.1]km[[min],10010669658.1

10

4

3

42/3

adaysPaP

aPaPaP

−

−

−

−

×=

×=

×=

×=

C.軌道速度 orbital velocity, V： anaV == µ C.レンジ・レンジレート range・range rate, rr &： 0=rr & C.面積速度 areal velocity, A& ： naaA 25.05.0 == µ&

C.脱出速度 escape velocity, EV ： VaVE 22 == µ

C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, 'Eδ ： ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=in

in

EE cos

sinarctan'

ωδ

（火星）

（月）

（地球）

ート中心物体の慣性回転レ

sdeg/249061004.0sdeg/450521000.0sdeg/074178004.0

=

=

=

=Eω

C.オイラー回転レート Euler rotation rate, Eω ： innin EEEE cos2sin/sin 22' ωωδω ++==

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

6

C.角半径 angular radius, ρ ： )/arcsin( aRE=ρ （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km3397km2.1738

km140.6378

=

=

=

=ER

C.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22arccos ERaD −== ρ

C.最大地球中心角 maximum Earth central angle, maxλ ： )/cos(arcdeg90max aRE=−= ρλ

C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( maxλ−= AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7]km[10363898.1

]km[1087041556.2][deg62480.626,20)2/(360

]steradians[311185283.62

27

27

28

22

×=

×=

×=

≈=

≈=

π

πAK

C.アクセス面レート area access rate, AAR： P

KAAR Amaxsin

2λ

=

C.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： deg180/maxmax λPT =

C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, maxθ& ：

)(

deg360max

ERaPa

−=θ&

C. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2Ω J∆ ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[]daycalender[deg/cos10483.3]km[]daycalender[deg/cos10220.3

]km[]daycalender[deg/cos1074064.2

coscos)/(5.1Ω

2/731

2/711

2/714

2/72

222

aiaaia

aia

iaKiaRnnJ JEJ

−

−

−

−

×−=

×−=

×−=

≡−=∆

C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[)101.505arccos(]km[)10061.3arccos(

]km[)107773.4arccos(

360arccos

2/741

2/712

2/715

2

2/7

aaaa

aa

SPKai

Jss

−

−

−

×−=

×−=

×−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day] C.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]/38.774,1[min]/343,39

[min]/07.436,1/

PPPP

PPPDayev/dR

=

=

=

=

Day =中心物体の恒星日 sidereal day C.ノード間隔 node spacing, N∆ ：

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

7

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]675243.0[min]3150009.0

[min]684250.0)/deg(360

PPPP

PPDayPN

=

=

=

=∆

C.最大日食時間 maximum eclipse, ET ： ( ) deg180/)/arcsin(deg180/ aRPPT EE == ρ C.明暗界線のための太陽角条件, 'β ： ρξβρξ +−°<<−+° 90'90

ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T： GSTLT −+= α

ここで、α：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time

２． 楕円軌道 elliptical orbits

楕円軌道の物理量であることを強調するために頭に E.を付ける

E.定義パラメータ： a = 長半径（半長径）semimajor axis b = 短半径（半短径）semiminor axis

E.幾何方程式： 12

2

2

2

=+by

ax

E.焦点からの距離, r： ννν cos1)1(

cos1)cos1(

cos1)1(

eer

epEea

eeqr a

+−

=+

=−=+

+=

E.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

022

2

<−=−=ar

V µµε

E.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）： ppaafpa VrVrrrVph ====== νφµ &2cosh

E.角運動量ベクトル, h（c とも書く）： Vrh ×= ( rrc &×= とも書く) E.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ×=×= ˆˆˆ E.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

rrhVe −

×=

µ

E.軌道傾斜角 inclination, i： ( )hhi zarccos= E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN=

E.飛行経路角 flight path angle, fpaφ ：

)/arccos()sin,(cos2arctan rVpfpafpafpa µφφφ ==

Ee

eEe

Eefpafpa 22

2

22 cos11cos,

cos1sinsin

−−

=−

= φφ

E.近点距離 perifocal distance, prq = ：

p

aa

aap V

Vr

rb

eer

epearq ==

+−

=+

=−==2

11

1)1(

E.半直弦 semi-parameter, p：

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

8

µν

222 )1()cos1()1( h

abeqereap ==+=+=−=

E.遠点距離 radius of apoaxis, ar ：

ca

beeq

rbraear

ppa −

=−+

==−=+=22

112)1(

E.長半径（長半径）semimajor axis, a：

3/1

22 21112⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

−=

+=

−=

+=

nep

er

errr

a appa µεµ

E.短半径（短半径）semiminor axis, b：

hprrapeab pa µ===−= 21

E.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

ac

ar

ar

rrrr

abahe pa

pa

pa =−=−=+

−=

−=+== 1121

22

2

2

µεe

E.平均運動 mean motion, n： Pa

n πµ 23 ==

E.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： EeEntMM sin0 −=+= E.離心近点離角 eccentric anomaly, E：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

==

prara

br

aera

eeEEE

arccossinarcsinarccos

2tan

11arctan2)sin,arctan(cos

ν

ν

ν

ννν

cos11sinsin,

cos1coscos

2

eeE

eeE

+−

=++

=

M から E の逐次解法： 0E を初期推定値、例えば ME =0 E の i 番目の推定値 iE

i

iiii Ee

EeEMEE

cos1sin

1 −+−

+=+

E.真近点離角 true anomaly, ν ：

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

==

EeeE

erp

Eee

cos1cosarccos1/arccos

2tan

11arctan2)sin,arctan(cos ννν

eEeE

EeeE

−−

=−

−=

cos1sinsin,

cos1coscos

2

νν

M に関する展開：

( )4332 3sin1213sin

412sin

45sin2 eOMeMeMeMeM ++−++≈ν

E.真近点離角レート, ν&：

22

2

222 1 er

nar

rVr

rVr

p aapp −====µ

ν&

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

9

E.軌道周期 orbital period, P： µππ 32/2 anP ==

）（太陽；

）（火星；

）（月；

）（地球；

]km[],[10178228996.1]km[[min],10211429059.5

]km[[min],10413569495.1]km[[min],10010669658.1

10

4

3

42/3

adaysPaP

aPaPaP

−

−

−

−

×=

×=

×=

×=

E.軌道速度 orbital velocity, V：

fparp

ee

rrarV

φµ

νµεµµµ

coscos11222 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−=

a

p

p

a

rr

VV

=

( ) ( )

( )a

pp

a

aa

p

aa

p

aa

p

ppap

a

pp

rr

Var

rarr

er

V

rr

Var

rrrrr

er

V

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+=+=

21

22

1

µµµ

µµµ

E.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： νφ &rVV fpaaz == cos

E.動径速度 radial velocity, rV ： ννννφ

cos1sinsinsin

eer

qeVVV azfpar +

===&

E.レンジ・レンジレート range・range rate, rr &： Eaerr sinµ=&

E.面積速度 areal velocity, A& ： νµ && 22 5.0)1(5.0 reaA =−=

E.脱出速度 escape velocity, EV ： rVE µ2=

E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, 'Eδ ： ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=i

i

EE cos

sinarctan'

νωνδ

&

&

（火星）

（月）

（地球）

ート中心物体の慣性回転レ

sdeg/249061004.0sdeg/450521000.0sdeg/074178004.0

=

=

=

=Eω

E.オイラー回転レート Euler rotation rate, Eω ： ii EEEE cos2sin/sin 22' ωννωδνω &&& ++==

E.角半径 angular radius, ρ ： )/arcsin( aRE=ρ （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km3397km2.1738

km140.6378

=

=

=

=ER

E.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22cos ERarD −== ρ

E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon, maxD ：

22minmax cos Eaa RrrD −== ρ

E.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD ：

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

10

22maxmin cos Epp RrrD −== ρ

E.最大地球中心角 maximum Earth central angle, maxλ ： )/cos(arcdeg90max rRE=−= ρλ

E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( maxλ−= AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7]km[10363898.1

]km[1087041556.2][deg62480.626,20)2/(360

]steradians[311185283.62

27

27

28

22

×=

×=

×=

≈=

≈=

π

πAK

E.アクセス面レート area access rate, AAR： maxsin λπν&AKAAR =

E.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： νλ &/2 maxmax =T

E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, maxθ& ：

ERr

r−

=νθ&&

max

E. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2Ω J∆ ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[]daycalender[deg/cos)1(10483.3]km[]daycalender[deg/cos)1(10220.3

]km[]daycalender[deg/cos)1(1074064.2

cos)1(cos)1()/(5.1Ω

222/731

222/711

222/714

222/72

22222

aieaaiea

aiea

ieaKieaRnJ JEJ

−−

−−

−−

−−−

−×−=

−×−=

−×−=

−≡−−=∆

E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi ：

）（火星、

）（月、

）（地球、

]km[))1(101.505arccos(]km[))1(10061.3arccos(

]km[))1(107773.4arccos(

)1(360arccos

222/741

222/712

222/715

222

2/7

aeaaea

aea

SPeKai

Jss

−×−=

−×−=

−×−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

−

−

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day] E. 2J 項による近点回転レート periapsis rotation rate due to 2J , 2Jω∆ ：

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= −−− ieaKieaRnJ JEJ

2222/72

222222 sin

252)1(sin

252)1()/(5.1ω∆

E.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d： 対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]/38.774,1[min]/343,39

[min]/07.436,1/

PPPP

PPPDayev/dR

=

=

=

=

Day =中心物体の恒星日 sidereal day Ｅ.ノード間隔 node spacing, N∆ ：

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

11

）（火星、

）（月、

）（地球、

[min]675243.0[min]3150009.0

[min]684250.0)/deg(360

PPPP

PPDayPN

=

=

=

=∆

Ｅ.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET ： )/arcsin()/2(/2 rRT EE ννρ && =≈ E.明暗界線のための太陽角条件, 'β ： ρξβρξ +−°<<−+° 90'90

ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T： GSTLT −+= α

ここで、α：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time

３． 放物線軌道 parabolic orbits

放物線軌道の物理量であることを強調するために頭に P.を付ける

P.定義パラメータ： p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter q= 近点距離 perifocal distance P.幾何方程式： qyx 42 =

P.焦点からの距離, r： 2cos1

)1(cos1

2Dqe

eqpr +=+

+=

+=

νν

P.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）： 0=ε P.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）： ppfpa VrrrVph ===== νφµ &2cosh

P.角運動量ベクトル, h（c とも書く）： Vrh ×= ( rrc &×= とも書く) P.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ×=×= ˆˆˆ P.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

rrhVe −

×=

µ

P.軌道傾斜角 inclination, i： ( )hhai zcos= P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN=

P.飛行経路角 flight path angle, fpaφ ： )/arccos(2/ rVpfpa µνφ ==

P.近点距離 perifocal distance, prq = ： 2prq p ==

P.半直弦 semi-parameter, p： µ

ν2

)cos1(2 hrqp =+==

P.長半径（長半径）semimajor axis, a： ∞=a P.短半径（短半径）semiminor axis, b： ∞=b P.離心率 eccentricity, e： e = 1

P.平均運動 mean motion, n： ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +==

2tan

31

2tan12 3

3

ννµtp

n

t は近点通過後の経過時刻

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

12

P.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： 6/30 DqDntMM +=+=

P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D： 2

tan2 νqD =

P.真近点離角 true anomaly, ν ： )sin,arctan(cos ννν =

qrDpE

rrp

2sin,cos =

−=ν

P.真近点離角レート, ν&： 22 rrV

rp pp==

µν&

P.軌道周期 orbital period, P： ∞=P

P.軌道速度 orbital velocity, V： fpa

E rp

rVV

φµµ

cos2

===

P.近点速度 velocity at periapsis, pV ： p

p rV µ2

=

P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity, EV ： rVE µ2=

P.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： νφ &rVV fpaaz == cos

P.動径速度 radial velocity, rV ： ννννφ

cos1sinsinsin

eer

qVVV azfpar +

===&

P.レンジ・レンジレート range・range rate, rr &： Drr µ=&

P.面積速度 areal velocity, A& ： νµ && 25.02/ rqA == 以下は双曲線軌道と同じ。

４． 双曲線軌道 hyperbolic orbits

双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭に H.を付ける

H.定義パラメータ： a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0) b = 半共役軸 semi-conjugate axis

H.幾何方程式： 12

2

2

2

=−by

ax

H.焦点からの距離, r：

ννν cos1sin

tan11cos

)cosh1(cos1

)1( 2

epHea

HeaFea

eeqr

+=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

++

=

H.比エネルギーspecific energy, ε （単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

022

2

>−=−=ar

V µµε

H.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）： ppfpa VrrrVph ===== νφµ &2cosh

H.角運動量ベクトル, h（c とも書く）： Vrh ×= ( rrc &×= とも書く) H.ノード（交線）ベクトル node vector, N： hhzhzN ×=×= ˆˆˆ H.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

rrhVe −

×=

µ

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

13

H.軌道傾斜角 inclination, i： ( )hhi zarccos= H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω： ),(2arctanΩ xy NN=

H.飛行経路角 flight path angle, fpaφ ： )/arccos(2/ rVpfpa µνφ ==

H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H： µ/1

arccosarccosrhe

raeH

+=

+=

H.曲折角 turn angle, Ψ ：

fpapp VrVVba

qVe φηρµµ

µΨ

cosarctan2arctan2arcsin2

/11arcsin21arcsin2 2 ===

+==

∞∞

H.近点距離 perifocal distance, prq = ：

)1()1(1

)1( 22 −=+=+

=−==∞

eV

eVe

pearqp

pµµ

H.半直弦 semi-parameter, p：

µν

222 )1()cos1()1( h

abeqereap ==+=+=−=

H.長半径（長半径、半横断軸）semimajor axis, semi-transverse axis, a： a < 0

112 22

3/1

2 −=

−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

∞ ep

eq

Vna µµ

εµ

H.短半径（短半径、半共役軸）semiminor axis, semi-conjugate axis, b：

)2/tan(

12

Ψµ ar

VV

hpapeab pp ====−=∞

H.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

222

2

2

11121 ∞+=+=+=+

=+== Vr

ar

ap

abahe pa

µµεe

H.平均運動 mean motion, n： 3an µ

−=

H.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M： FFentMM −=+= sinh0 H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F：

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

==2

tan11harctan2)sinh,(coshharctan ν

eeFFF

ν

ννν

cos11sinsinh,

cos1coscosh

2

eeF

eeF

+−

=++

=

M から F の逐次解法： 0F を初期推定値 F の i 番目の推定値 iF

1cosh

sinh1 −

+−+=+

i

iiii Fe

FFeMFF

H.真近点離角 true anomaly, ν ：

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

==

2tan

11arctan2tan1arcsin2

2tanh

11arctan2)sin,arctan(cos

2 HeeHe

ra

Feeννν

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

14

FeeFv

FeeFv

cosh11sinhsin,

cosh1coshcos

2

−−−

=−

−=

H.真近点離角レート, ν&： 22 rrV

rp pp==

µν&

H.軌道周期 orbital period, P： ∞=P

H.軌道速度 orbital velocity, V： 22cos

2∞+==−= V

rrp

arV

fpa

µφµµµ

H.近点速度 velocity at periapsis, pV ： ( )er

Vr

Vpp

p +=+= ∞ 12 2 µµ

H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity, ∞V ：

)1(22 22 −==−=−=∞ erb

Vrr

Vr

VVp

pp

pp

µµµ

H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy, 3C ： 23 ∞=VC

H.アジマス速度 azimuthal velocity, azV ： νφ &rVV fpaaz == cos

H.動径速度 radial velocity, rV ： ννννφ

cos1sinsinsin

eer

qeVVV azfpar +

===&

H.レンジ・レンジレート range・range rate, rr &： Faerr sinhµ−=&

H.面積速度 areal velocity, A& ： νµ && 22 5.0)1(5.0 reaA =−=

H.脱出速度 escape velocity, EV ： rVE µ2=

H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, 'Eδ ： ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=i

i

EE cos

sinarctan'

νωνδ

&

&

（火星）

（月）

（地球）

ート中心物体の慣性回転レ

sdeg/249061004.0sdeg/450521000.0sdeg/074178004.0

=

=

=

=Eω

H.オイラー回転レート Euler rotation rate, Eω ： ii EEEE cos2sin/sin 22' ωννωδνω &&& ++==

H.角半径 angular radius, ρ ： )/arcsin( rRE=ρ （球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km3397km2.1738

km140.6378

=

=

=

=ER

H.最大角半径 maximum angular radius, maxρ ： )/arcsin(max pE rR=ρ

H.水平面までの距離 distance to the horizon, D： 22cos ERarD −== ρ

H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD ：

22maxmin cos Epp RrrD −== ρ

H.最大地球中心角 maximum Earth central angle, maxλ ：

)/cos(arcdeg90max rRE=−= ρλ

宇宙工学基礎（松永） ケプラー軌道方程式のまとめ

15

H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA： )cos1( maxλ−= AKIAA

（火星）

（月）

（地球）

]km[10550250.7]km[10363898.1

]km[1087041556.2][deg62480.626,20)2/(360

]steradians[311185283.62

27

27

28

22

×=

×=

×=

≈=

≈=

π

πAK

H.アクセス面レート area access rate, AAR： maxsinλπν&AKAAR =

H.最大可視時間 maximum time in view, maxT ： νλ &/2 maxmax =T

H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, maxθ& ：

ERr

r−

=νθ&&

max

H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET ： )/arcsin()/2(/2 rRT EE ννρ && =≈ H.明暗界線のための太陽角条件, 'β ： ρξβρξ +−°<<−+° 90'90

ξ は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T： GSTLT −+= α

ここで、α：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time