Подготовлено к.э.н., доц. Польшакова Н.В. · 2012-09-09 · Подготовлено к.э.н., доц. Польшакова Н.В. Математические

Подготовлено к.э.н., доц. Польшакова Н.В.

ЛЕКЦИЯ 8.

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЭКОНОМИСТА

1. Моделирование как метод научного познания 2. Экономико-математические методы и модели. Их классификация 3. Требования к математическим моделям 4. Принципы построения экономико-математических моделей 5. Этапы экономико-математического моделирования 6. Метод построения операционных математических моделей 7. Выбор критерия эффективности 8. Анализ целей 9. Информационное обеспечение математической модели

управления. 10. Модели множественной регрессии 11. Методы имитационного моделирования

1. Моделирование как метод научного познания

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой

деятельности и имеет немало смысловых знчений. Соответственно этому, существует значительное число различных определений данного понятия. Мы в рамках нашей дисциплины будем рассматривать лишь те модели, которые являются инструментом получения новых знаний. Под моделью понимается такой материальный или мысленно

представляемый объект, который в процессе исследования заменяет собой объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые сведения об объекте-оригинале.

Моделирование, в таком случае, представляет собой процесс построения, изучения и применения моделей. Главная особенность моделирования состоит в том, что это метод опосредованного познания при помощи объектов-заменителей. Модель выступает как инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом с целью изучения последнего, т.е. объект рассматривается как бы через "призму" его модельного представления. Процесс моделирования, таким образом, включает в себя три элемента: субъект исследования (исследователь), объект исследования, модель. Ситуацию иллюстрирует рисунок 8.1.


Рис. 8.1 - Роль модели в процессе исследования

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует слишком высоких затрат времени и средств.Сущность процесса моделирования иллюстрирует схема, представленная на рисунке 8.2

Рис. 8.2 - Сущность процесса моделирования

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект (B) - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых первоначальных знаний об объекте-оригинале. Модель отображает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Важнейшим является вопрос о необходимой и достаточной степени сходства оригинала и модели. Этот вопрос требует детального анализа и решения в зависимости от конкретной ситуации. Очевидно, что модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала. На втором этапе процесса моделирования модель выступает уже как

самостоятельный объект изучения. Конечным результатом этого этапа является совокупность знаний о модели. Однако знания о модели - это еще не есть знания о самом объекте-оригинале.

модель

исследуемый объект исследователь

Объект

исследования (А)

Модель (В)

Знания об

объекте Знания о

модели

I. Построение

модели

II. Изучение

модели

III. Интерпретация

(перенос знаний)

IV. Применение знаний


На третьем этапе происходит интерпретация полученных знаний, т.е. перенос знаний с модели на оригинал. Происходит формирование множества знаний об объекте А. Четвертый этап - практическая проверка полученных знаний, их

использование для выработки суждений об объекте, для его преобразования или управления им. Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что

моделирование – не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство должно учитываться не только на этапе построения модели, но и на завершеющей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания. Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым

четырехшаговым циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить на последующих циклах. Таким образом, в методологии моделирования заложены большие возможности саморазвития.

2. Экономико-математические методы и модели. Их классификация

Очевидно, что все существующие модели могут быть условно разделены на два класса - модели материальные, т.е. объективно существующие (которые можно "потрогать руками"), и модели абстрактные, существующие в сознании человека. Одним из подклассов абстрактных моделей являются модели математические. Предметом нашего изучения в рамках курса будут математические модели,

применяемые для анализа различных явления и процессов, имеющих экономическую природу. Применение математических методов существенно расширяет

возможности экономического анализа, позволяет сформулировать новые постановки экономических задач, повышает качество принимаемых управленческих решений. Математические модели экономики, отражая с помощью математических

соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования сложных экономических проблем. В современной научно-технической деятельности математические модели

являются важнейшей формой моделирования, а в экономических исследованиях и практике планирования и управления – доминирующей формой.


Математические модели экономических процессов и явлений называют экономико-математическими моделями (ЭММ). На базе использования ЭММ реализуются прикладные программы,

предназначенные для решения задач экономического анализа, планирования и управления. Математические модели являются важнейшим компонентом (наряду с

базами данных, техническими средствами, человеко-машинным интерфейсом) так называемых систем поддержки решений.

Система поддержки решений (CПР) - это человеко-машинная система, позволяющая использовать данные, знания, объективные и субъективные модели для анализа и решения слабоструктурированных и неструктурированных проблем. Классифицировать экономико-математические модели можно по

различным основаниям. 1. По целевому назначению модели можно делить на: • теоретико-аналитические, применяемые для исследования наиболее

общих свойств и закономерностей развития экономических процессов; • прикладные, используемые для решения конкретных задач. 2. По уровням исследуемых экономических процессов: • производственно-технологические; • социально-экономические. 3. По характеру отражения причинно-следственных связей: • детерминированные; • недетерминированные (вероятностные, стохастические), учитывающие

фактор неопределённости. 4. По способу отражения фактора времени: • статические. Здесь все зависимости относятся к одному моменту или

периоду времени); • динамические, характеризующие изменения процессов во времени. 5. По форме математических зависимостей: • линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего

получили большое распространение; • нелинейные. 6. По степени детализации (степени огрубления структуры): • агрегированные ("макромодели"); • детализированные ("микромодели"). Для понимания структуры нашего курса важное значение имеет схема,

представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по используемому математическому аппарату), а в левой части - важнейшие направления применения методов. Следует помнить также, что каждый из методов может быть применен для

решения различных по специфике задач. И наоборот, одна и та же задача может решаться различными методами.


Рис. 8.3 - Важнейшие области применения основных классов ЭММ

На схеме экономико-математические методы представлены в виде некоторых укрупненных группировок. В двух словах опишем их.

1. Линейное программирование - линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод, распределительный метод, статический матричный метод решения материальных баллансов.

2. Дискретное программирование представленно двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

3. Математическая статистика используется для корреляционного, регресионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.


4. Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование представляется в виде многошагового вычислительного процесса с последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование.

5. Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

6. Теория массового обслуживания - большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания.

7. Теория управления запасами объединяет в себе методы решения задач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.

8. Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры являются случайными величинами.

9. Нелинейное программирование относится к наименее изученному, применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.

10. Теория графов - направление математики, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики.

3. Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляют требования универсальности, адекватности и экономичности. Степень универсальности математической модели характеризует полноту

отображения в модели свойств реального объекта. Поскольку модель отражает лишь некоторые свойства объекта, то важным является установление оптимальной степени универсальности, отвечающей основным задачам исследования. Так, например, при использовании математических моделей в

функциональном проектировании, они предназначены для отображения протекающих в объекте функциональных процессов (например, денежных потоков в действующем предприятии). При этом не требуется, чтобы модель описывала другие свойства объекта

(например, размеры окон в производственных зданиях предятия), что, впрочем, может потребоваться при решении каких-либо других задач управления (например, оптимизации условий труда работников).

Адекватность математической модели - это ее способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной. При этом часто говорят о точности модели, которая оценивается степенью совпадения


значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных помощью рассматриваемой математической модели.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти) на ее реализацию. Чем меньше эти затраты ресурсов, тем модель экономичнее. Следует отметить, что это свойство моделей в связи с бурным развитием информационных технологий в последнее время все в большей степени утрачивает свое значение, оставаясь важным разве что для моделей супер масштабных проектов.

4. Принципы построения экономико-математических моделей

1. Принцип достаточности исходной информации. В каждой модели должна использоваться только та информация, которая известна с точностью, требуемой для получения реультатов моделирования.

2. Принцип инвариантности (однозначности) информации требует, чтобы входная информация, используемая в модели, была независима от тех параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии исследования.

3. Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях.

4. Принцип эффективной реализуемости. Необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.

5. Этапы экономико-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования были рассмотрены нами выше (рисунок 8.2). В различных отраслях знаний они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования (рисунок 8.4).

Рис. 8.4 - Этапы экономико-математического моделирования


1. Постановка проблемы и её качественный анализ. Главное на этом этапе - чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ. Этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого

объекта, основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь же происходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формализации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали. Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем

лучше она работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. При этом нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

3. Математический анализ модели. Цель - выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом

поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда не удается выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Численное моделирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффекта от использования данной информации.

5. Численное решение. Это cоставление алгоритмов, разработка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.

6. Анализ результатов и их применение. На заключительной стадии проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.


Естественно, что после каждой из перечисленных стадий возможен возврат к одной из предыдущих в случае необходимости уточнения информации, пересмотра результатов выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе 2 формализовать задачу не удается, то необходимо вернуться к постановке проблемы (этап 1). Соответствующие связи на рисунке 8.4 не показаны, чтобы не загромождать схему. Наконец, выясним, как соотносятся между собой общая схема процесса

моделирования (рисунок 8.2) и этапы экономико-математического моделирования (рисунок 8.4). Первые пять стадий более дифференцированно характеризуют процесс

экономико-математического исследования, чем общая схема: стадии 1 и 2 соответствуют этапу I общей схемы, стадии 3, 4 и 5 - этапу II. Напротив, стадия 6 включает этапы III и IV общей схемы.

6. Метод построения операционных математических моделей

Основной особенностью операционной методологии является поиск оптимального решения на базе математической модели и использование для ее анализа математического аппарата. Предшествующий построению математической модели всесторонний количественный анализ той или иной задачи оптимизации - неотъемлемая часть методологии исследования операций. Этот анализ осуществляется в соответствии с принципами системного подхода и предполагает, как уже отмечалось, выявление всех существенных элементов задачи и их взаимосвязей. Степень соответствия хода операции поставленной цели характеризуется

достигаемым значением функционала W = F[x1(t),x2(t),...,xn(t)] -

критерия оценки (показателя эффективности). Процесс проектирования как операция имеет целью получение

оптимального объекта проектирования, имеющего наилучшие возможные свойства: минимальный вес, минимальную стоимость, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль, минимальный срок окупаемости, минимум капиталовложений и т.п. В такой постановке создание оптимального объекта (например, системы управления производством) формализуется в виде задачи математического программирования, в которой критерий оценки отражает основную цель операции, а система ограничений обеспечивает выполнение всех требований к объекту проектирования. При этом автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:

- разработка математической модели объекта проектирования, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту или системе (работоспособность, технологичность, допустимая стоимость и т п.);


- организация такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели. Схема метода построения операционных математических моделей

оптимальных объектов проектирования, позволяющих на основе формализованного представления процесса проектирования как операции синтезировать оптимальные по заданному критерию параметры объекта, представлена на рис.8.5. Качественная модель проектируемого объекта, представляющая собой

словесное описание требований, обеспечивающих процесс функционирования конструкции на всех этапах ее существования, формируется на основании технического задания. Каждое из требований, записанное в виде математических выражений (для

аналитических моделей), графов или матриц (для топологических моделей) или семантических правил (для семантических моделей), устанавливает основные взаимосвязи оптимизируемых параметров:

• геометрические, позволяющие по полученным значениям искомых оптимизируемых параметров х1, х2, х3, ... , хn, а также по совокупности параметров а1, а2, а3 ..... аm, заданных в качестве исходной информации, воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима проектировщику при решении данной конкретной задачи;

• энергетические, устанавливающие зависимость энергосиловых характеристик объекта от оптимизируемых параметров;

• механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и деталей конструкции в процессе ее функционирования, внешние усилия, инерционные силы, силы трения, масса конструкции и т.п.);

• прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом и отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, долговечности;

• конструкторско-технологические, описывающие специальные конструкторские требования, а также технологические ограничения;

• экономические, включающие в себя ограничения ресурсов проектной задачи, требования к сбыту, торговле, организационной системе.


Рис.8.5. Схема методаВ случае невозможности

математических зависимостейэкспериментальные исследованияИз указанных зависимостей

проектирования формируетсяФ=f(x1, x2, x3, …, xn

Остальные связи параметровявляются ограничениямиматематическую модельбыть подвергнута испытаниям

Польшакова Н.В.

Схема метода построения математических моделейневозможности формализовать какое-либо из требований

математических зависимостей необходимы дополнительныеэкспериментальные исследования.

указанных зависимостей в соответствии с основнойпроектирования формируется целевая функция

n; a1, a2, a3, …, am) Остальные связи параметров, записанные в виде равенств

ограничениями, составляющими вместе с целевойматематическую модель объекта, которая на этом этапе

подвергнута испытаниям на компьютере и, в случае

математических моделей из требований в виде

дополнительные теоретические и

соответствии с основной целью

виде равенств и неравенств, вместе с целевой функцией этом этапе создания должна

в случае необходимости,


скорректирована на уровне качественной модели или математического описания. Построенная таким образом математическая модель воспроизводит образ

проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования, и может быть занесена в банк математических моделей системы автоматизированного проектирования. Если полученная таким образом математическая модель состоит из

линейной целевой функции, и входящие в систему ограничения равенства и (или) неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования, и в этом случае могут быть использованы характерные для такого класса задач методы решения (графический, симплекс-метод).

Ситуационная задача Пусть завод строительных материалов выпускает три вида продукции:

декоративную метлахскую плитку, глазурованную облицовочную плитку и простую метлахскую плитку. Для производства этой продукции необходимы такие ресурсы, как труд рабочих, сырье и управленческий труд (труд ИТР). Прибыль на одну тысячу штук каждого вида продукции составляет: на 1 тыс.шт. декоративной метлахской плитки - 100 тысяч рублей, на 1 тыс.шт. глазурованной облицовочной плитки - 60 тысяч рублей, и на 1 тыс.шт. простой метлахской плитки - 40 тысяч рублей. Даются затраты труда и сырья на производство 1 тыс.шт продукции. Производственные мощности, структура предприятия, численность работающих таковы, что в течение рабочего дня можно использовать 100 часов труда рабочих, 60 тонн сырья и 300 часов управленческого труда. При указанных условиях требуется определить оптимальную

производственную программу предприятия.

7. Выбор критерия эффективности

В одной из сказок говорится о юноше, который мог загадать любые три желания. Загадав два из них, он ухитрился попасть в такую беду, что вынужден был загадать последнее желание, чтобы вернуться к своему первоначальному состоянию. Услышав один из многочисленных вариантов этой сказки, смышленые дети говорят, что они смогли бы лучше распорядиться даже одним единственным желанием - для этого надо сразу же загадать исполнение всех последующих желаний. Целеустремленным системам (а человек является именно такой системой)

по своей природе свойственно иметь желания и при этом иметь возможность их удовлетворять. Мы уже говорили о том, что при подготовке к решению любой задачи

принятия решения как операции должна быть, прежде всего, четко сформулирована цель операции. Очевидно, что при решении проблем важно


знать, каковы наши цели. Если решение данной проблемы зависит не только от нас, но еще от какого-то лица (или группы лиц), то важно знать, каковы его цели. Кроме того, необходимо выяснить, как взаимосвязаны преследуемые нами цели с целями, к которым стремятся другие заинтересованные лица.

8. Анализ целей

Рассмотрим, прежде всего, наши собственные цели. Проблемы бывают двух видов: одни из них связаны с разрушением, устранением или ограничением того, что существует, но нежелательно; другие - с достижением или приобретением того, что желательно, но не существует. Решение проблем первого типа означает избавление от источника неудовлетворенности существующим положением дел (например, от болезни, отвлекающего шума) - это негативные (отрицательные) цели. Решение проблем второго типа означает получение доступа к источнику удовлетворения (например, это может быть общение с другом, приобретение нужной книги и т.п.) – это позитивные (положительные) цели. Позитивные и негативные цели (или утверждение и отрицание) - понятия

относительные. Например, желание избавиться от шума можно рассматривать как желание добиться тишины; желание избавиться от болезни можно рассматривать как желание стать здоровым. Однако к подобному отождествлению следует подходить осторожно. Если, например, кто-то просто не хочет слушать музыку, звучащую по радио, то «избавление» от нее представляет собой негативную цель, но если этот кто-то хочет слушать другую музыку, то это уже позитивная цель. Следует отметить важное обстоятельство, что позитивная цель

предполагает достижение и негативной цели, однако обратное утверждение неверно. В большинстве случаев избавление от того, что нежелательно, не равносильно достижению того, что желательно. Так, например, избавление от зубной боли приемом лекарства или удалением зуба не может обеспечить полного здоровья организма человека. В то же время на пути достижения позитивной цели - обеспечения полного здоровья - автоматически достигается избавление от зубной боли. Это обстоятельство представляется важным при разрешении руководителем всевозможных конфликтов в организации, как правило, связанных с недовольством существующим положением и желанием от него избавиться (нежелательный руководитель, конфликтный коллега и т.п.). Усилия, направленные на достижение негативной цели, - это путь борьбы, развития конфликта, в конечном счете - разрушения. Вместе с тем, можно переформулировать проблему в терминах позитивных целей, таких, например, как расширение дела, которым занимается организация. Это приведет к необходимости привлечения новых специалистов, повышения профессионализма сотрудников, что автоматически устранит конфликт, так как в более широкомасштабном деле на первый план выдвинутся истинные профессионалы, а необоснованные


амбиции исчезнут сами по себе. Следует отметить, что такая новая формулировка проблемы не всегда просто может быть найдена и всегда требует перехода на более высокий уровень системы, в рамках которой только и может произойти автоматическое достижение негативной цели. То есть автоматическое решение проблемы, сформулированной как негативной, может быть осуществлено только в системе более высокого ранга по отношению к той, где эта негативная цель поставлена. Результат решения проблемы всегда можно рассматривать как средство

для достижения более отдаленного результата (новой цели). Например, покупка автомобиля - это приобретение в личное пользование одного из средств передвижения, которое при этом выступает в качестве цели. Собственный автомобиль, в свою очередь, можно рассматривать как средство для поездок на работу, которые теперь становятся целью. Каждую промежуточную цель можно рассматривать как средство для достижения последующих целей. Ранее мы подчеркивали, что лицо, принимающее решение, интересует

эффективность имеющихся средств для достижения поставленных целей. Таким образом, эффективность средства является мерой его внешней ценности или мерой его полезности. Внешняя ценность любого объекта (в том числе и информационного) определяется тем, для чего он может быть использован. Например, внешняя ценность денег определяется их покупательной способностью, для большинства из нас деньги практически не имеют иной ценности. Однако для нумизмата ценность монет связана не с их покупательной способностью, а той ценностью, которую эти монеты представляют сами по себе (в конечном чете - на рынке нумизматики). А для Скупого Рыцаря, например, деньги сами по себе являлись источником наслаждения. Если бы средства и используемые совместно с ними орудия для

достижения цели (деньги, книги, автомобили, язык, математика и т.п.) имели только внешнюю ценность, то в случае одинаковой эффективности этих средств по отношению к одним и тем же целям их выбор был бы безразличен. Так, например, рубашки, одинаковые во всех отношениях, за исключением цвета, имеют равную эффективность как предмет одежды. И все же для нас будут предпочтительными только некоторые из них, так как какие-то цвета нам нравятся больше, а какие-то меньше. Следовательно, можно сказать, что желание приобрести рубашку определенной расцветки представляет собой самоцель. Ценность, которую мы приписываем определенному цвету, является внутренне обусловленной, т.е внутренней ценностью, и не определяется полезностью. Внутренняя ценность связана непосредственно с получаемым

удовлетворением, а внешняя - с ожидаемыми результатами. Внутренняя ценность средств редко может быть выражена в явном виде,

так как, помимо всего прочего, в любой ситуации может существовать целая


система ценностей. Кроме того, внутренняя ценность - понятие весьма субъективное, И довольно часто ее трудно или даже невозможно обосновать. Очевидно, что то, к чему мы стремимся (наши цели), влияет на выбор

средств. Менее очевиден тот факт, что имеющиеся средства влияют на наш выбор целей. Наше представление о возможных исходах влияет на то, к каким исходам мы стремимся. Тем самым наша способность решать проблемы ограничивается нашими же представлениями о том, какие цели недостижимы. По этой же причине может быть ограниченным даже наше представление о характере проблемы. Как уже отмечалось, многие наши формулировки проблем направлены на

избавление от того, что нежелательно. Усилия, направленные на избавление от того, что нежелательно (негативные цели), представляет собой ретроспективное, ориентированное на анализ прошлого, решение проблем. Усилия, направленные на достижение того, чего нет, но что необходимо (позитивные цели), представляют собой перспективное, устремленное в будущее, решение проблем. При таком решении проблем мы устанавливаем рубежи, которых должны достичь, и стараемся это сделать. Хотя и при таком подходе можно упустить важные последствия наших решений, однако вероятность этого мала. Чем скорее же мы хотим избавиться от источника неудовлетворенности, тем меньше вероятность того, что мы будем учитывать важные последствия. Когда мы сосредотачиваем внимание на недостатках существующего

положения дел (негативные цели), то неизбежно рассматриваем эти недостатки независимо друг от друга. При таком подходе оказывается, что многие из них трудно устранить. Поскольку при стремлении к идеалу (позитивные цели) обнаруживается взаимосвязь между различными будущими событиями, это заставляет нас рассматривать одновременно множества взаимосвязанных опасностей и благоприятных возможностей как единое целое, как систему проблем. Целостная система всегда обладает свойствами, которые отсутствуют у ее

частей. Например, человек может читать, писать, бегать и т.п., но ни одна часть его тела или совокупность таких частей не могут делать это самостоятельно. Таким образом, система решений взаимосвязанных проблем всегда обладает свойствами, которые отсутствуют у ее частей, а ее части, объединенные в систему, приобретают свойства, которыми они не обладали.

Учет целей других лиц. Решение большинства проблем, особенно затрагивающих группы, организации или общество в целом, оказывает влияние как на лицо, принимающее решение, так и на других лиц, которые, как правило, реагируют на любое предполагаемое или осуществляемое решение. Их реакция определяется тем, в какой степени решение проблемы повлияет на достижение их собственных целей. Те, кто имеет власть над другими, обычно считают, что они понимают

других и знают, каковы их цели. Однако такое мнение часто оказывается ошибочным, и нередко руководители приписывают окружающим цели,


которых у тех в действительности нет. Именно различия в целях между заинтересованными сторонами и лицом, принимающим решение, могут порождать конфликт, и при формировании критерия эффективности операции необходимо учитывать различия в целях различных участников (сторон) проблемы.

9. Информационное обеспечение математической модели управления.

В качестве исходной информации для решения задачи управления по оптимизации объемов выпуска продукции требуется, прежде всего, матрица расходов ресурсов по каждому виду продукции, то есть коэффициенты аij системы ограничений (3) (здесь j - номер ресурса, i - номер соответствующего вида выпускаемой продукции). При решении задачи для получения матрицы расходов ресурсов

необходимо тщательно проанализировать наличные ресурсы предприятия и определить их расходы на единицу объема выпуска каждого вида продукции. В качестве вспомогательного материала для анализа ресурсов может быть использована приведенная ниже таблица общего представления ресурсов:

Вид ресурса Составляющие Единицы расхода Примечание Люди Управление

Производство Маркетинг

человеко-часы

Материалы(сырье)

Металл Зерно Доска Мука Древесина и т.п.

тонны, кубометры, кв.м и т.п.

В зависимости от структуры материала

Оборудование Станки Машины Компьютеры и т.п.

часы, киловатты В зависимости от вида оборудования

Услуги сторонних организаций

Заключение договоров Оформление документов Закупки сырья и т.п.

рубли, тыс.руб., доллары США и т.п.

Энергоносители Электроснабжение Теплоснабжение Газоснабжение

КВ.т.час, ккал, кубометры и т.п.

В зависимости от вида энергоносителя

Земля Общая площадь, занимаемая предприятием

кв.м

Здания и сооружения

Производственные площади Площади вспомогательных комплексов (котельная, склады и т.п)

кв.м


Природные ресурсы

Вода Лес Полезные ископаемые Геотермальные источники Ветер и т.п.

кубометры, тонны, ккал, квт и т.п.

В зависимости от вида ресурсов

После анализа наличных ресурсов предприятия и расчета удельных

расходов ресурсов по каждому виду продукции составляется соответствующая матрица коэффициентов, в общем виде представленная в виде приведенной ниже таблицы.

Ресурсы Удельны

й расход по 1-му виду продукции

Удельный расход по 2-му виду продукции

Удельный расход по 3-му виду продукции

…

Удельный расход по n-му виду продукции

Ресурс 1 а11 а12 а13 … а1n Ресурс 2 а21 а22 а23 … а2n

… … … … … … Ресурс m

am1 am2 аm3 … аmn

Кроме того, для информационного обеспечения указанной математической

модели требуется привести данные по предельным значениям ресурсов, которыми располагает предприятие за определенный (выбранный) промежуток времени. Эти значения используются как граничные в системе ограничений математической модели. Если на основе маркетинговых исследований имеется прогноз требований

рынка на период, для которого решается задача оптимизации, то эти данные используются для дополнения системы ограничений, как это было показано выше. Точно так же в качестве входной информации необходимы данные для каждого в вида продукции по требуемым величинам объемов поставок в соответствии с заключенными договорами на соответствующий период. Эти данные используются для записи ограничений снизу на объемы выпуска. Здесь же могут быть учтены данные по потребностям в соответствующей продукции для внутренних нужд предприятия (для продукции, производимой из собственного сырья). Решение такой задачи позволяет руководителю определить оптимальные

объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в этих условиях нецелесообразно, а, возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры. Приведенная модель позволяет выбрать наиболее подходящую альтернативу заменяемым компонентам номенклатуры.


10. Модель множественной линейной регрессии

Суть регрессионного анализа: построение математической модели и определение ее статистической надежности. Вид множественной линейной модели регрессионного анализа: Y = b0 + b1xi1 + ... + bjxij + ... + bkxik + ei где ei - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию s. Назначение множественной регрессии: анализ связи между несколькими независимыми переменными и зависимой переменной. Экономический смысл параметров множественной регрессии Коэффициент множественной регрессии bj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом. Матричная запись множественной линейной модели регрессионного анализа: Y = Xb + e где Y - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn); X - матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых значений аргументов; b - вектор - столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели; e - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков). На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза.

Задачи регрессионного анализа

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии b0, b1,..., bk. Задачи регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных Xi и Y:

• получить наилучшие оценки неизвестных параметров b0, b1,..., bk; • проверить статистические гипотезы о параметрах модели; • проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со

статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений). Построение моделей множественной регрессии состоит из следующих этапов:

1. выбор формы связи (уравнения регрессии); 2. определение параметров выбранного уравнения; 3. анализ качества уравнения и поверка адекватности уравнения

эмпирическим данным, совершенствование уравнения. Множественная регрессия:

• Множественная регрессия с одной переменной


• Множественная регрессия с двумя переменными • Множественная регрессия с тремя переменными

Пример решения нахождения модели множественной регрессии

Множественная регрессия с двумя переменными Модель множественной регрессии вида Y = b0 + b1X1 + b2X2; 1. Найти неизвестные b0, b1,b2 можно, решим систему трех линейных

уравнений с тремя неизвестными b0, b1,b2:

Для решения системы можете воспользоваться решение системы методом Крамера.

2. Или использовав формулы

Для этого строим таблицу вида:

Y x1 x2 (y-yср)2

(x1-x1ср)

2 (x2-x2ср)

2 (y-yср)(x1-x1ср)

(y-yср)(x2-x2ср)

(x1-x1ср)(x2-x2ср)

Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом:

Здесь z'jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z-1 = (XTX)-1.


При этом:

где m - количество объясняющих переменных модели.

В частности, для уравнения множественной регрессии Y = b0 + b1X1 + b2X2 с двумя объясняющими переменными используются следующие формулы:

Или

или


, , .

Здесь r12 - выборочный коэффициент корреляции между объясняющими переменными X1 и X2; Sbj - стандартная ошибка коэффициента регрессии; S - стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка). По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценок bj коэффициентов βj (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов. Доверительный интервал, накрывающий с надежностью (1-α) неизвестное значение параметра βj, определяется как

Под регрессией понимается функциональная зависимость между

объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.

Матричный способ решения

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза. В данном случае n = 5; k = 2; Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу

наименьших квадратов, вектор получается из выражения: s = (XTX)-1XTY Матрица X

1 18 4 1 23 21 1 6 4 1 2 9 1 0 45

Матрица Y 3 6 8 14 21

Матрица XT


1 1 1 1 1 18 23 6 2 0 4 21 4 9 45

Умножаемматрицы, (XTX)

Умножаем матрицы, (XTY)

Находим определитель det(XTX)T = 2245132

Находим обратную матрицу (XTX)-1

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен s = (XTX)-1XT Y =

Уравнение множественной регрессии

Y = 11.1168-0.4642X 1 + 0.2309X 2

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления: Абсолютная ошибка аппроксимации

e = Y - X*s


-0.68

0.71

-1.25

1.73

-0.51

se

2 = (Y - X*s)T(Y - X*s) Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σ*(X TX)-1

Дисперсии параметров множественной модели определяются соотношением S 2i = Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

>


Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X сильная Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора хi при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции - последовательно берутся пары yx1,yx2,... , x1x2, x1x3.. и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

R 2= 0.99 2 = 0.97 т.е. в 97.1675 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими

словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

Значимость коэффициента множественной корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл Tтабл (n-m-1;a) = (2;0.05) = 2.92 Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0

коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

r(0.9487;1.0227)

Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии 1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2

подтверждается Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(bi - t i S i; bi + t i S i) b 0: (7.5656;14.668) b 1: (-0.6615;-0.267) b 2: (0.1153;0.3465)

1) F-статистика. Критерий Фишера

Fkp = 19.2

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно Полностью произвести подобный расчет можно автоматически, используя

популярный сервис Множественная регрессия (с оформлением в Word)


Множественная регрессия в Excel

Чтобы найти параметры множественной регресии средствами Excel, используется функция ЛИНЕЙН(Y;X;0;1),

где Y - массив для значений Y

где X - массив для значений X (указывается как единый массив для всех значений Хi) Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения

множественной регрессии Как и в случае множественной регрессии, статистическая значимость

коэффициентов множественной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t-статистики:

имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней

свободы v = n- m-1. При требуемом уровне значимости наблюдаемое

значение t-статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.

В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента множественной регрессии подтверждается. Это означает, что фактор Xj линейно связан с зависимой переменной Y. Если же установлен факт незначимости коэффициента bj, то рекомендуется исключить из уравнения переменную Xj. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.

Проверка общего качества уравнения множественной регрессии

Для этой цели, как и в случае множественной регрессии, используется коэффициент детерминации R2:

Справедливо соотношение 0<=R2<=1. Чем ближе этот коэффициент к

единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение Y. Для множественной регрессии коэффициент детерминации является

неубывающей функцией числа объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R2, так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной.


Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы, т.е. вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:

Соотношение может быть представлено в следующем виде:

для m>1. С ростом значения m скорректированный коэффициент

детерминации растет медленнее, чем обычный. Очевидно, что только при R2 = 1. может принимать отрицательные значения. Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Рекомендуется после проверки общего качества уравнения регрессии провести анализ его статистической значимости. Для этого используется F-

статистика:

Показатели F и R2 равны или не равен нулю одновременно. Если F=0, то R2=0, следовательно, величина Y линейно не зависит от X1,X2,…,Xm.. Расчетное значение F сравнивается с критическим Fкр. Fкр, исходя из требуемого уровня значимости α и чисел степеней свободы v1 = m и v2 = n - m - 1, определяется на основе распределения Фишера. Если F>Fкр, то R2 статистически значим.

Проверка выполнимости предпосылок МНК множественной регрессии. Статистика Дарбина-Уотсона для множественной регрессии

Статистическая значимость коэффициентов множественной регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R2 не гарантируют высокое качество уравнения множественной регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения множественной регрессии является проверка выполнимости предпосылок МНК. Причины и последствия


невыполнимости этих предпосылок, методы корректировки регрессионных моделей будут рассмотрены в последующих главах. В данном параграфе рассмотрим популярную в регрессионном анализе статистику Дарбина-Уотсона.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой.

При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei, i=1,2,…n..

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц

для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m. Автоматический расчет Полностью произвести подобный расчет можно автоматически, используя

популярный сервис Множественная регрессия (с оформлением в Word) Частные коэффициенты корреляции при множественной регрессии Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние

на у фактора хi при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции, т.е. последовательно беруться пары yx1,yx2,... , x1x2, x1x3 и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Вычисления в MS Excel. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

1) Выполнить команду Сервис / Анализ данных / Корреляция. 2) Указать диапозон данных; Проверка общего качества уравнения множественной регрессии Для этой цели, как и в случае множественной регрессии, используется

коэффициент детерминации R2:

Справедливо соотношение 0 < =R2 < = 1. Чем ближе этот коэффициент к

единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение Y. Для множественной регрессии коэффициент детерминации является

неубывающей функцией числа объясняющих переменных. Добавление новой


объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R2, так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения

несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы, т.е. вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:

Соотношение может быть представлено в следующем виде:

для m>1. С ростом значения m скорректированный коэффициент

детерминации растет медленнее, чем обычный. Очевидно, что только при R2 = 1. может принимать отрицательные значения. Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей

переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Рекомендуется после проверки общего качества уравнения регрессии

провести анализ его статистической значимости. Для этого используется F-статистика:

Показатели F и R2 равны или не равен нулю одновременно. Если F=0, то

R2=0, следовательно, величина Y линейно не зависит от X1,X2,…,Xm. Расчетное значение F сравнивается с критическим Fкр. Fкр, исходя из требуемого уровня значимости α и чисел степеней свободы v1 = m и v2 = n - m - 1, определяется на основе распределения Фишера. Если F > Fкр, то R2 статистически значим.

11. Методы имитационного моделирования

Имитационное моделирование основано на воспроизведении с помощью ЭВМ развернутого во времени процесса функционирования системы с учетом взаимодействия с внешней средой. Основой всякой имитационной модели (ИМ) является:


• разработка модели исследуемой системы на основе частных имитационных моделей (модулей) подсистем, объединенных своими взаимодействиями в единое целое;

• выбор информативных (интегративных) характеристик объекта, способов их получения и анализа;

• построение модели воздействия внешней среды на систему в виде совокупности имитационных моделей внешних воздействующих факторов;

• выбор способа исследования имитационной модели в соответствии с методами планирования имитационных экспериментов (ИЭ). Условно имитационную модель можно представить в виде действующих,

программно (или аппаратно) реализованных блоков. На рис. 8.6. показана структура имитационной модели. Блок имитации

внешних воздействий (БИВВ) формирует реализации случайных или детерминированных процессов, имитирующих воздействия внешней среды на объект. Блок обработки результатов (БОР) предназначен для получения информативных характеристик исследуемого объекта. Необходимая для этого информация поступает из блока математической модели объекта (БМО). Блок управления (БУИМ) реализует способ исследования имитационной модели, основное его назначение – автоматизация процесса проведения ИЭ.

Рис. 8.6. Структура имитационной модели

Целью имитационного моделирования является конструирование ИМ объекта и проведение ИЭ над ней для изучения закона функционирования и поведения с учетом заданных ограничений и целевых функций в условиях иммитации и взаимодействия с внешней средой. К достоинствам метода имитационного моделирования могут быть

отнесены: o проведение ИЭ над ММ системы, для которой натурный эксперимент не осуществим по этическим соображениям или эксперимент связан с опасностью для жизни, или он дорог, или из-за того, что эксперимент нельзя провести с прошлым; o решение задач, аналитические методы для которых неприменимы, например, в случае непрерывно- дискретных факторов, случайных воздействий, нелинейных характеристик элементов системы и т.п.;


o возможность анализа общесистемных ситуаций и принятия решения с помощью ЭВМ, в том числе для таких сложных систем, выбор критерия сравнения стратегий поведения которых на уровне проектирования не осуществим; o сокращение сроков и поиск проектных решений, которые являются оптимальными по некоторым критериям оценка эффективности; o проведение анализа вариантов структуры больших систем, различных алгоритмов управления изучения влияния изменений параметров системы на ее характеристики и т.д.

Принципы и методы построения имитационных моделей

Процесс функционирования сложной системы можно рассматривать как смену ее состояний, описываемых ее фазовыми переменными

Z1(t), Z2(t), … Zn(t) в n – мерном пространстве. Задачей имитационного моделирования является получение траектории

движения рассматриваемой системы в n – мерном пространстве (Z1, Z2, … Zn), а также вычисление некоторых показателей, зависящих от выходных сигналов системы и характеризующих ее свойства. В данном случае “движение” системы понимается в общем смысле – как

любое изменение, происходящее в ней. Известны два принципа построения модели процесса функционирования

систем: Принцип ∆t. Рассмотрим этот принцип сначала для детерминированных

систем. Предположим, что начальное состояние системы соответствует значениям Z1(t0), Z2(t0), … Zn(t0). Принцип t предполагает преобразование модели системы к такому виду, чтобы значения Z1, Z2, … Zn в момент времени t1= t0 t можно было вычислить через начальные значения, а в момент t2= t1+ t χчерез значения на предшествующем шаге и так для каждого i-ого шага ( t=const, i=1 M). Для систем, где случайность является определяющим фактором, принцип

t заключается в следующем: 1. Определяется условное распределение вероятности на первом

шаге (t1= t0+ t) для случайного вектора,обозначим его (Z1, Z2, … Zn). Условие состоит в том, что начальное состояние системы соответствует точке траектории .

2. Вычисляются значения координат точки траектории движения системы (t1= t0+ t), к ак значения координат случайного вектора, заданного распределением, найденным на предыдущем шаге.

3. Отыскиваются условное распределение вектора на втором шаге (t2= t1+ t), при условии получения соответствующих значений на первом шаге и т.д., пока ti= t0+ i t не примет значения (tМ= t0+ М t).


Принцип t является универсальным, применим для широкого класса систем. Его недостатком является неэкономичность с точки зрения затрат машинного времени.

Принцип особых состояний (принцип ). При рассмотрении некоторых видов систем можно выделить два вида состояний:

• обычное, в котором система находится большую часть времени, при этом Zi(t), (i=1 n) изменяются плавно.

• особое, характерное для системы в некоторые моменты времени, причем состояние системы изменяется в эти моменты скачком.

Принцип особых состояний отличается от принципа t тем, что шагпо времени в этом случае не постоянен, является величиной случайной и вычисляется в соответствии с информацией о предыдущем особом состоянии. Примерами систем, имеющих особые состояния, являются системы

массового обслуживания. Особые состояния появляются в моменты поступления заявок, в моменты освобождения каналов и т.д. Для таких систем применение принципа t является нерациональным, так

как при этом возможны пропуски особых состояний и необходимы методы их обнаружения. В практике использования имитационного моделирования описанные

выше принципы при необходимости комбинируют.

Основные методы имитационного моделирования.

Основными методами имитационного моделирования являются: аналитический метод, метод статического моделирования и комбинированный метод (аналитико-статистический) метод. Аналитический метод применяется для имитации процессов в основном

для малых и простых систем, где отсутствует фактор случайности. Например, когда процесс их функционирования описан дифференциальными или интегродифференциальными уравнениями. Метод назван условно, так как он объединяет возможности имитации процесса, модель которого получена в виде аналитически замкнутого решения, или решения полученного методами вычислительной математики. Метод статистического моделирования первоначально развивался как

метод статистических испытаний (Монте-Карло). Это – численный метод, состоящий в получении оценок вероятностных характеристик, совпадающих с решением аналитических задач (например, с решением уравнений и вычислением определенного интеграла). В последствии этот метод стал применяться для имитации процессов, происходящих в системах, внутри которых есть источник случайности или которые подвержены случайным воздействиям. Он получил название метода статистического моделирования. В параграфах 2-5 данного раздела излагается суть этого метода.


Комбинированный метод (аналитико-статистический) позволяет объединить достоинства аналитического и статистического методов моделирования. Он применяется в случае разработки модели, состоящей из различных модулей, представляющих набор как статистических так и аналитических моделей, которые взаимодействуют как единое целое. Причем в набор модулей могут входить не только модули соответствующие динамическим моделям, но и модули соответствующие статическим математическим моделям.

Вопросы для обсуждения и самоконтроля

1. Что такое модель и процесс моделироования. 2. Какова роль модели в процессе изучения объекта исследования . 3. Охарактеризуйте сущность процесса моделирования. 4. Что такое экономико-математическая модель. 5. Какие классы экономико-математических моделей вам известны. 6. Охарактеризуйте области применения основных классов экономико-математических моделей. 7. Перечислите основные принципы построения экономико-математической модели. 8. Охарактеризуйте этапы построения экономико-математической модели одного цикла. 9. Применение математических моделей в экономических исследованиях на предприятии. 10. Что такое регрессионный анализ его суть и назначение множественной регрессии. 11. Перечислите основные задачи регрессионного анализа. 12. Что такое имитационное моделирование и какова ее основа. 13. Опишите структуру имитационной модели. 14. Изложите основные принципы и методы построения имитационных моделей. 15. Опишите основные методы имитационного моделирования.

Дополнительная литература к лекции 8.

1. Белошапка В К Информационное моделирование в примерах и задачах. -Омск: Из-во ОГПИ, 2002.

2. Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

3. Горстко А. Б., Угольницкий Г. А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. - Ростов: Из-во РГУ, 1990.

4. М.Гулд X., Тобочнш Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1, 2.-М.: Мир, 1990.

5. Заварыкин В.М., Житомирский В. Г,. Лапчик М.П. Численные методы. - М.: Просвещение, 1990.


6. Зуховицкий СИ., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. - М.: Наука, 1967.

7. Математическое моделирование: Пер. с англ. / Под ред. Дж. Энд-рюса, Р. Мак-Лоуна. - М.: Мир, 1979.

8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука: Пер. с англ. - М.: Мир, 1978.

9. Электронные вычислительные машины. / Под ред. А.Я.Соловьева. В 8 книгах. Книга 8. Решение прикладных задач. - М.: Высшая школа, 1987.

Documents

Подготовлено к.э.н., доц. Польшакова Н.В. · 2012-09-09 · Подготовлено к.э.н., доц. Польшакова Н.В. Математические