Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
�
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita II., 3.ro�ník bakalá�ského studia, p�ednášky Janas 2010, 2011
�������������
� � ��� ������� ����� ������� ������������������ ��������� � ��� ��!�������� ����� ���� "�#������������� $������ �!���#� � ��%� &�#� � ��%!�������� ����� !��'(� (���)��� ��!�������� ����� !���)�#� � ��%!������� �#��� ����� ������$ ��������* ���� � �������
+
�������� $ ���������!�, ��
&�������������#���-(���� ���.��������� ����#�����
/����������������� $ ����������0��������� ������������� $ �#�������#��12�����!��������� �����������
���)��� �������3
� ���
� ���)�
� �#�� $ �����������4
"�#���0� ��� ����� ���#�� � -����� $���������.!�����0����� �!������ ��������������������4�
5
�������� $ ���������!�, ��������� �0� �����01� ��������������) 0������$ ����������
�'���� ���������� ����#� $ �����$ ���� ��#������� 0���������!�������(����������$ ���� $ ���������� ������������� �0��� ��#!�0�����������4�6�(������������ �������������� ���������#���
7������� �����������������������������#���3
� �#��12�����������0����#� ����� �� ������� ������(����������#����������� ������������� $ �#���� �#�����#� �88�9!��� �#�������������#��' ����&������::� � ����������������������!��04�(���� �� �������������#�����������(���)�� ����������� $ �#�1�!�(����������#� $�������� ����:������� ������������#������������ $ �#�1�!��#� ������� �����������$�� ���������� $ �#�1�
;
�������� $ ���������!�, ��<�����4�0����(�(�������$ ���� ��#� �� �#�� ��������������
=�� �#��#���#� �����������$����������� ���!�����$ 0���������������������� $ �#�1�� ��� �� �#� ������� ����4�>���� �� ���������$ �� �1�!��04��9?@!����� 0������#�������������� $ �#�1�4
A����$ �� �� ����������� $ �#�1���'���� ����#� $ ��#�� ��� �����$ ��#���� �����!�����$ 0������������ ��������#��� ��������4�B�#��(����'����
���� $ �������� ����!��������� ��������� ������� �0��� ��#���!���!������� 0�������������$ ������������
C
�������� $ ���������!�, ��A���1�� �������� �����0� ������� !�� ��� ������������!�� ��!������$ ��:������!������ ���4������� 0�����������������������$������������4A�(������������,#�����������0����,#��!�������������� (���)���������#�0� ���(�� ���� ��#��'������ ���������� �����-�!�� ������������� �����.!���) ���� $ ��������!��� ���������� ��������� ���0� � �(����!�(�������#���,#���A�������������� ����� ��� ����������������� ��0��������������4�7��0�� �(����(��#������3� ��1��!�����$ 0��0�����11�� �������$ :������������!������ 0�� �#���,��� (��#�������,����������������������������#�� ��������������� $������ ������� ��� ��������������� ��������!��������')������#���#� -�� ��� ���������������������� $������ �.����� ��������$ �������������
D
������� ����� ������� �����������������
E������� �������������������� (������������ � �#����������� ��$ ��� ���(� �$ ������� ��#�������
����� ��)�$����������� ����#������ (�������)��������#������� F ���������
G���#� �����������$�� ���$������ (����(����)�������������������������!�����#�������������� ��� ����!�� ���0����������� ,��#�αααα4�
��#������������ $ �� ������0��,��#�ϕϕϕϕ!����������( �#�$ �������� $ �� �4
H
������� ����� ������� ����������������� � ��� ���� 0�����#� ������ ����!�
�#� � ��#�������� �����0������ -��#�������� �����
��������.�����4�G(��0�0��������#�� (����3�� αsin/rry =7#��12�����������0���
I���)�� ��������0���#�1$!��'���� ������������ ��� �� ����������� ��!���'���� ������������ -�'�#������������.
A��'�#����������� �������� ���������� (���0� ���(������#� $ ���� ��#�� ���!� (���0� ���� $ ��#����
J
������� ����� ������� �����������������!���������� � ��
αϕ ddd ⋅⋅⋅= xrrA�#������#�����!����������'���� (���)�� ����� 0�3�
� ������ � �����#� ������������!��04� �����������������������0�3
( )
0ddcosdd
ddddd
d
:dosazenípo ,0
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅−+��
���
�+
=�
αϕαϕα
ϕϕα
xxxy
xx
x
x
rrprn
rnrr�
nn
F
K
������� ����� ������� �����������������!���������� � ��! ������� ��
( )
je 0dd
d protože
0cosdd
d
d
d
d
d
0ddcosdd
ddddddddd
0ddcosddddddd
d
≅⋅
=⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+��
���
�⋅+
r�
n
rrprnr�
nr
�
nrn
rrprn
rnrnrnrnrn
rrprnrnrr�
nn
x
xxxyxxx
xxxy
xxxxx
xxxyxx
x
αα
αϕαϕα
ϕϕϕϕϕ
αϕαϕαϕϕα
� ����
#(������ ��3
( ) 0cosd
d=⋅⋅+⋅⋅−⋅ xxxyx rrprnrn α
α
�L
������� ����� ������� �����������������!���������� � ��!������� ��
� ������ � �����#� �����������(!��04� ������������#������������ $ �#�1��0�3
0
:dále je sin protože
,0sin
:úprav�po
0dd
sindddd
:dosazenípo ,0
=++
=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅
=⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
=�
z
y
y
x
x
y
xzxyx
xz
xyx
z
pr
n
r
n
r
r
rrprnrn
rrp
rnrn
F
α
α
αϕ
αϕααϕ
��
������� ����� ������� �����������������!���������� � ��! ������� ��
������1�� ������ ������������������ �#� �0� (����������� � ����� � �� ���3
( )
0 )2
0cosd
d )1
=++
=⋅⋅+⋅⋅−⋅
z
y
y
x
x
xxxyx
pr
n
r
n
rrprnrn αα
�� � �� ����0����:������#�!������ #�����
"#������ � #(���� � �� ������������0����1������������ � ��
�+
������� ����� ������� �����������������!���������� � ��! ������� ��
=�F#�� ��#����� � ��#������#�M!������#���3
����#�
�������(�� �������$ �� ������������3
yz
x
yzy
x
xy
x
x
rpr
Qrpr
r
nn
r
Qn
Qnr
⋅−⋅⋅⋅
=⋅−⋅−=
⋅⋅⋅
−=
=+⋅⋅⋅⋅⋅
α
α
α
2sin�2
sin�2
0sin�2
�5
������� ����� ������� �����������������!������
A���� ��#������� �������������������������#���(����������1�����:������=��� �����,#��������������������(���������#������#�� �������� $� ��� �����#$�� (���0� �����������������!�����0������)$ (�0�1������������� �E������� $�� ��� ������������#���!�)�������������1�0����(������#� $ ��#� ������������0����������4���#����(��������#�($ ��������!���) 0������)� (�0������#$4�A����� $ ��#���������#����0� � ������������� ����
�;
"�#������������� $������ �!���#� � ��%
A(��� ������ ���������)������#�����/����������0�� ��(�� ��#��������������� $ �#����� �������� ���,�#���ββββ.G(��0��(������$) ��#����������� ���)����� �� (��������4��#��� ����)3
( )a
bsin�
f2
bfaabfa
22222
=⋅
+=�=+−
E���#� $ ��������0������#�����(���� �� ����$!��04
��?��!��#��� �$) �? �4���#������� ���)��0�3
αsina ⋅=r
�C
"�#������������� $������ �!���#� � ��%(���)�������#�1���'�����
A��#������(���)�� �'���������� ��� ���)��������#������� 0�3
��#��0�
cos2
1aq
cosaqsina2�
sina�q
sin�2
2
aq
sina2
sina�q
sin2�
sina cosqp
sina�q�q
2
2
2
22
2
2
22
2
z
222
��
���
�−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅−⋅⋅
=
⋅−=
⋅⋅
⋅⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅=⋅=
⋅⋅⋅=⋅⋅=
α
αα
α
α
απ
α
α
αα
α
y
yz
x
y
x
n
rpr
Qn
r
Qn
r
rQ
�D
"�#������������� $������ �!���#� ���% (���)��� #���� �����
( ) αα cosq platídále cos1a�2 2 ⋅=−⋅⋅⋅= zpqQ
( )( )
( )
��
���
�−
+⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
=⋅−⋅⋅⋅
=
+
⋅−=⋅
−
−−=⋅
−−=
=⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
αα
αα
α
α
αα
α
α
α
αα
α
α
coscos1
1aq
acosqsina�2
cos1a�2
sin�2
cos1
aqaq
cos1
cos1aq
sin
cos1
sinsina�2
cos1a�2q
sin�2
2
2
2
22
2
y
yz
x
y
x
x
n
q
rpr
Qn
n
r
Qn
A#���� �����0����(#�)����� ����� ����������� $ �#�1�
��(����3��� ������#� $ ���3
( )
( )α
α
cos1a2�P
cos1a
ha2�
2 −⋅⋅=
−=
⋅⋅=
h
P
+�
=�$ �������������������!���)�#� � ��%
������)�#� �����% �#��� �9?@�#$ �� ����$ (���)��
�cot�cosq�sin
�cosq�sin�2
n
�sin2
q
�sin�2
�q
�sin�2n
�q
�cosqcos�qqp
xpa protože cosq
2
y
2
x
2
2
zzz
z
grr
rprpr
Q
r
r
r
r
Q
rQ
x
r
yzyz
x
zz
⋅⋅⋅−=⋅−=−=−⋅⋅⋅
=
⋅
⋅−=
⋅⋅⋅
⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
⋅⋅=
⋅=⋅==
�⋅=⋅⋅= α
++
=�$ �������������������!���)�#� � ��%
I���)�� #���� �����3
�cotq�sin/�cosq�sin�2
n
�2sin
q
�cos�sin�2
�q
�sin�2n
�cos
��S
:je vrchlíku plášt�plochaprotože
�cos
�q
�cosq
y
2
x
2
2
grrrprpr
Q
r
r
r
r
Q
rxr
rQ
p
yzyz
x
z
⋅⋅−=⋅⋅−=−=−⋅⋅⋅
=
⋅−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
⋅=⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
+5
=�$ �������������������!������� �#��
E���������� �#���0�3
a�sinr�2
n
a�2�sin�2n
90� a,rr ,
2
x
y
x
y
zyz
o
x
prpQ
Q
r
Q
r
−=−⋅⋅⋅
=
⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
===∞=
�������#��������#������0��� $ ��(��γ �� �3
xann
xpQ
yx
z
⋅⋅==
⋅−==
γ
γ
0
0
+;
����� ������$ �#�� $ ��������F ���� � ������
>��� � ���������������� �)�0���0�� ���� ��#� ��� �� ���$ ����������� $ �#�1��-����#� $ ������ $ ��#.!��#���$) �#�)�� ���������#����������������$ �������� $ ������ -���� $ ���������� �����!������ �0��� ��#.E������� ���������� �#�� ������������������0��#�)�� ���������#���#�����#$ �������� �������3� ���� $ ��#����� &������� ���������
� ����� �0��� ��#���
+C
����� ������$ �#�� $ ��������F ���� � ������!��(���� �#���
>(���� �#�)��� ���������#�0��(��0�$ (����4
>���!��!� ������(�0� ( �#����������
�������� $ �#����-��0� #���#� ���������.
>���� 0���� ���)� ���������������� �#��
>���� 0��������������)���
>��� 0����#�� ������)���
<����#� $ ���$ ��#�� ��� 0������ ���)$
���������!�� !����� ����� �0��� ��#���� 0����#�� �������
��������� ���������� -��.����� ��#������� -�.
I���)�� �� -�.��'���� ������������ -.
+D
����� ������$ �#�� $ ��������F ���� � ������!��� ������ � ��
<���#���������� ������#����������� � ��!�������� � �����#� ������������ ��� �������� ��������3
0ddadadadd
d0
0ddadddadadd
d 0
0ddadadadd
d0
=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅��
���
�+�=
=⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅��
���
�+�=
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅��
���
�+�=
�
�
�
xqmxx
mm M
xpxnqxx
qq F
xpnxx
nn F
xxx
xy
zyxx
xz
xxx
xx
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
;D
�������� $ ���������!�������>���$ ��1�� �������� ������������� 0��,#����� �#����#�)����B��������1� (�0�$���� �)��������������������� �'A�����������������(���)�� (���0� ��#� ����$ �� �� ����������� $ �#�1��
-5��#�)�.��� �����$ �� �� ����������� $ �#�1��-C��#�)��.��#�)����:�������0��������� 5�-���� ��!� !�R.S�#����0������(��������#� ��������:��������� �#���������)����#�������������#(��������C����������� � ���
-������ � ��������������#���������� $ �#����0������������#��.
B�:������ �������#(��(������������:��������������� $ �#����-����������.�����#1� ����������������� ��
S�#����0������� � �)��������:������������������ �)�����P���� � (���������)����D���:����������� ���� �(�0����������
���� ���J��#�)��� ���������#
;H
���)��� #���������Z5[ 7��#�!�\4!�]�����!��4!����)�������#���������664�<��#�����#�� � AE7�\��!�
�KK54�