ובשח ילמיסטיניפניא - GOOL · 2013-08-18 · 0 ל וסנכ יה ואדיו ו טרסב אלמ ו רתפל © ומולס איג – רתפו בתכ ובשח ילמיסטיניפניא

0

www.GooL.co.il �כנסו לבסרטו� וידאו הילפתרו� מלא

© גיא סלומו –כתב ופתר

חשבו�

אינפיניטסימלי

גיא סלומו

1



סטודנטי� יקרי�

ספר תרגילי� זה הינו פרי שנות ניסיו רבות של המחבר בהוראת

באוניברסיטה, חשבו דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב

.במכללת שנקר ועוד, הפתוחה

ו את הרצו להאיר אתשאלות תלמידי� וטעויות נפוצות וחוזרות הוליד

.הדר� הנכונה לעומדי� בפני קורס חשוב זה

והוא מתאי�) 1א "חדו( 1בחשבו דיפרנציאלי ואינטגרלי הספר עוסק

.אוניברסיטאות או מכללות –לתלמידי� במוסדות להשכלה גבוהה

בהתא� לתוכניות, הספר מסודר לפי נושאי� ומכיל את כל חומר הלימוד

ל בקורס זה חשיבות יוצאת#רגִת ניסיו מלמד כי לה. הלימוד השונות

.ולכ ספר זה בולט בהיקפו ובמגוו התרגילי� המופיעי� בו, דופ

www.GooL.co.il לכל התרגילי� בספר פתרונות מלאי� באתר

שאת�כ� ,המלווי� בהסבר קולי פלאשבסרטוני י�מוגש הפתרונות

ממש כפי, שיטתית ופשוטה, את התהליכי� בצורה מובנית י�רוא

הפתרו המלא של השאלה מכוו ומוביל לדר� .שנעשה בשיעור פרטי

.חשיבה נכונה בפתרו בעיות דומות מסוג זה

html1www.GooL.co.il/hedva. :דוגמאותל

דר� לכ� הסטודנטי� ויוביל אתכ�$ישמש מורהשספר זה , תקוותי היא

.להצלחה

גיא סלומו

2



תוכ

3 ............................................................................................פונקציה ממשית $ 1פרק

5 ...........................................................................................גבול של פונקציה $ 2פרק

9 ..........................................................משפט ער� הביניי�, רציפות של פונקציה $ 3פרק

12 .................................................................הגדרת הנגזרת, של פונקציה גזירות $ 4פרק

15 ................................................................................חישוב נגזרת של פונקציה $ 5פרק

18 ..............................................................................................בעיות משיקי� $ 6פרק

20 ...................................................................................................כלל לופיטל $ 7 פרק

23 .............................................................................................חקירת פונקציה $ 8פרק

28 ...............................)...והוכחת אי שוויוני� "שאלות מסביב("חקירת פונקציה $ 9פרק

30 ........................................................מינימו� ומקסימו� מוחלטי� לפונקציה $ 10פרק

31 ............................................................................בעיות מקסימו� ומינימו� $ 11פרק

42 ..........).....משפט ניוטו� רפסו�, משפט רול, משפט ער� הביניי�(פתרו� משוואות $ 12פרק

43 ................................................................................................'משפט לגרנג $ 14פרק

45 ........................................................................................................סדרות $ 15פרק

50 .................................................................................................דפי נוסחאות $נספח

3



1פרק –תרגילי�

פונקציה ממשית

:של הפונקציות הבאות תחו� ההגדרהמצא את )1(

( )

( ) ( )

2

3 2

2 2

2

2 3

3 2 2

21

4 1 1(3 (2 4 1 (1

1 4

14 (6 (5 (4

2

1(9 1 (8 2 (7

1 | |

1(12 log (11 ln 2 (10

log

cot 4 (15 tan 10 (14 log ( 4) (13

arccos( 1) (18 arcsin( 4) (1

x

x x

xy y y x x x

x x

xy x y y

x x x x

y y x x y x xx

y e y x y x xx

y x y x y x

y x y x

+ +

+= = = − − +

+ −

= − = =− − −

= = + − = + −−

= = + = + −

= = = +

= + = − 7 arctan( 4) (16y x= +

24 :הבאות נתונות הפונקציות )2(. ( ) , ( ) , ( ) 4h x g x x f x x

x= = = −

:הבאות הפונקציות המורכבותאת חשב

( ( )) (6 ( ( )) (5 ( ( )) (4 ( ( )) (3 ( ( (5))) (2 ( (1)) (1h h x f f x h f x f g x h g f f g

)3( � הפונקציה מצא את ובתחו� הגדרתה ע"חחהוכח שהפונקציה הנתונה היא בתרגילי� הבאי

.של הפונקציה תמונההבנוס+ מצא את .הל ההפוכה

2 3 2 1 1( ) 4 ( 0) (4 ( ) (3 ( ) (2 ( ) (1

2 3

x x xf x x x f x f x f x

x x

− + −= − ≥ = = =

−

ואיזה אי זוגיותמצא איזה מבי� הפונקציות הבאות ה� )4(

:זוגיות4 10 3

2 2 2

1(4 1 (3 (2 4 (1

sin cos (8 ln (7 2 (6 sin (5x

y y y x x y xx

y x x y x x y y x x

= = = + =

= ⋅ = + = = +

:של כל אחת מהפונקציות הבאות המחזורמצא את )5(

2sin (4 tan (3 5 3sin(4 1) (2 2sin (13

xy x y y x y x= = = + + =

.גר/ הפונקציהושרטט את *כפונקציה מפוצלתרשו� כל אחת מהפונקציות הבאות )6(

2| |(4 2 | 1| (3 3 | 1| (2 | 2 | (1

xy y x x y x y x

x= = + − = + = −

."לפי מקרי�"או פונקציה "תפר"או פונקציית " מוטלאת"פונקציה ,"מפוצלת"יש הקוראי� לפונקציה *

4



1פרק – פתרונות

)1(

x 2(2xכל ) 1 ≠ ,x 4 (0,1כל ) 3 ± 1x ≠ − 5 (2, 1x ≠ −

6(4x ≥ 7(1x 2xאו ≤ ≤ x 9 (1כל ) 8 − 1x− < < 10(1x 2xאו < < −

11(0 1x< x 13 (0כל ) 12 ≠ 1x< ≠ 14 (20 10x kπ π≠ + 15 (4x kπ≠ ⋅

x 17 (3כל ) 16 5x< < 18(2 0x− < <

)2(

24(6 8 (5 (4 4 (3 4 (2 3 (1

4x x x

x− − −

−

)3(

1 (1( ) 3 1f x x− = y 2 (1כל , + 1( )

1f x

x

− =−

,1y ≠ 3 (1 2 2( )

3

xf x

x

− −=

− , 3y ≠

4 (1( ) 4f x x− = +, 4y ≥ −

)4(

.6,7 –כלליות 1,4 –אי זוגיות 2,3,5,8 –זוגיות

)5(

2(4 3 (3 (2 2 (1ππ π π

)6(

2

2

3 3 1 2 2(2 (1

3 3 1 2 2

1 0 2 2 1(4 (3

1 0 2 2 1

x x x xy y

x x x x

x x x xy y

x x x x

+ ≥ − − ≥ = =

− − < − − <

> + − ≥ = =

− < − + <

5




גבול של פונקציה

)1( � ):הצבה(חשב את הגבולות הבאי

2

100 10 41

1lim 20 (4 lim 3 (3 lim (2 lim 1 (1

2x x xx

xx x x

x+→ → →→

++ + +

+

)2( � ):פירוק לגורמי�/צמצו�(חשב את הגבולות הבאי

7 2 2

2 21 1 5 3

2 50 6lim (4 lim (3 lim (2 lim (1

1 1 2 3 35 9

n

x x x x

x x x x x x x

x x x x x→ → →− →

− − − − −− − + − −

)3( � ):כפל בצמוד(חשב את הגבולות הבאי

2

21 3 3 1

3

1 1 4

2 2 3 6 3 1lim (4 lim (3 lim (2 lim (1

1 2 6 11 2

1 2 3 1 2 1 5lim (7 lim (6 lim (5

1 41 2 1

x x x x

x x x

x x x x x

x x xx

x x x x

x xx

→ → → →

→ → →

+ + − − + − −− − −+ −

− − + + − +− −− −

)4( �sin הטריגונומטרי גבולב היעזר(חשב את הגבולות הבאי

0lim 1x

xx→

=:(

0 0 0

3 20 0 0

2 3 40 0 0

cos sin(3 ) sin(3 )lim (3 lim (2 lim (1

sin 2 sin(4 ) 4

1 sin cos tan sin 1 coslim (6 lim (5 lim (4

1 cos 3sin sin 3 1 cos(1 cos )lim (9 lim (8 lim (7

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

→ → →

→ → →

→ → →

+ − − −

− − − −

)5( � ):פונקציה השואפת לאינסו/(חשב את הגבולות הבאי

( )

2 2 2 2

22 2 2 0

1

2

0 0 2 0

1 1 100 0 0

1 ( 1) 4lim (4 lim (3 lim (2 lim (1

( 2)( 5) (2 ) 2

1 lnlim (8 lim (ln ) 2 ln 3 (7 lim ln(2 ) (6 lim (5

2

1 1 1lim ln cot (12 lim (11 lim (10 lim (9

1 2 1 2 1 2

x x x x

x

x x x x

xx x xx x x

x x x x

x x x x x

xe x x x

x

x x

−

+ −

→ → → →

+ +→ → → →

+→→ → →

− − − +− − − −

+ − − −

⋅

+ + +

6



)6( � ):לאינסו/ /שוא x(חשב את הגבולות הבאי

( )2

ln

2

2 4 2 4 2

5 3

6 2 2

3 2

1

4 2

4 2lim (3 lim arctan (2 lim (1

1000

5 6 2 6 2 6lim (6 lim (5 lim (4

2 10 2 3 10 3 10

9 5 1 1lim (9 lim (8 lim (7

2 1

16 4lim

2

xx x

x x x

x x x

x x x

x x

xx

xx e e

x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x

−

→∞ →−∞ →∞

→∞ →∞ →−∞

→−∞ →−∞ →∞

+

+→∞

++

+

− + + + + +− + + +

− + +− +

++

3 4 2 6

3 3 4

1 1 1

0.5 3 0.5 3 4 2 3

3

3

4 22 6

43 10

2 3 3 2 6 27(12 lim (11 lim (10

2 4 1 5 1 3 10 4

4 9 3 4 9 3 16 4lim (15 lim (14 lim (13

81 3 81 3 2 2

3 5 1lim (18 lim ln

2

x x x

x x x x x x

x x x x x xx x x

x x

x x

x x

x x x x x

x x x x x

x xe

x x

+ →∞ →∞

+ + +

+ + + +→−∞ →∞ →−∞

→∞ →∞

+ +

+

+ − − + + +

+ − − + +

⋅ + ⋅ + ++ + +

− −−

( )

( ) ( ) ( )

( )

2

2 2

4 22

55

2 2 2

2 2 4 2 2

4 2(17 lim (16

1 1000

1 2 6lim 5 (21 lim (20 lim sin (19

2 3 10

lim 1 (24 lim 1 (23 lim (22

lim (26 ( 1 ) (25lim

x

x x x

x x x

xx

x

x x

ax x xx x x

bx x x

x x x x x x x kx x

x ax x bx x x x

→∞

→∞ →∞ →−∞

→−∞ →∞ →∞

→∞ →∞

+ + +

+ + ++ − + +

+ + + + + − + −

+ − + + + −

)7( �) של אוילר בגבול העזר(חשב את הגבולות הבאי ) ( )1

1

0lim 1 lim 1

xx

xx x

x e→∞ →

+ = + =:(

( )2

2

11

20

10 42 2

2 2

2 1 1lim (3 lim 1 (2 lim 1 (1

2

2 3 1lim 1 sin (6 lim (5 lim 1 (4

2 3

1 4 1 1lim 1 tan (9 lim (8 lim

2 2 4

x x x

x x x

x x

x

x x x

x xx

x x x

x

x x x

xx

x x

x x x x

x x x x x

→∞ →∞ →∞

−

→ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ + +

+ + − −

+ + + + + + + + +

2

(7

7



)8( � ):'בכלל הסנדוי1י שימוש "ע(חשב את הגבולות הבאי

( )

[ ]

[ ]

22 2

20 0

0

3 sin cos(2 1) sinlim (3 lim (2 lim (1

4 cos

1 3 sin 2lim cos ln (6 lim sin (5 lim (4

cos3

1 3 arctan(2 3)lim (9 lim 2 3 4 (8 lim (7

4 arctan( ln )

1lim (10

x x x

x x x

x x x x

x x x

x

x x x x

x x x x

x x xx x x

x x x

x xx

x x x x

xx

→∞ →∞ →∞

→ → →∞

→∞ →∞ →∞

→

+ ++

+ + ⋅ ⋅ +

+ −+ +

+ −

limחשב את הגבול )9( ( )x a

f x→

):גבול של פונקציה מפוצלת(של הפונקציות הבאות

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

1

2 sin 41 01

1 ( ) (2 0 ( ) (11

1 4 01

| | | |( ) (4 0 ( ) (3

| |( ) (5

x

x x xx xx xa f x a f x

xx e x

x

x xa f x a f x

x x

xa f x

x

+ − > > −= = = = − < + < −

= ∞ = = =

= −∞ =

!מאוד חשובה הערה

בעזרת . )8פרק ראה ( לחישוב גבולות כלל לופיטלהמש� את א לומדי� ב"במרבית קורסי החדו .4 $ ו 3, 2את הגבולות המופיעי� בשאלות ללא מאמ1כלל זה נית לחשב

8




1112

10 58.5 6

3 31 1 1 13 4 6 8 12 2

3 31 1 1 1 18 2 2 2 2 4 4

2

1

3

40 (4 2 (3 (2 21 (1

1 (4 6 (3 (2 (1

(7 (6 (5 (4 (3 4 (2 (1

1 (9 4 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 (1

0 (9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 (1

(12 (11 1 (10

3 (9 1 (8 1 (7 5 (6 0 (5 (4 4 (3 (2 0 (1

(18 ln

n

e

π

φ φ φ φφ

−

−

∞ ∞ −∞ −∞

−∞

− − − −∞ −

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1 319 2 5

2

1

30 12 3 1 2 2

3 (17 2 (16 (15 4 (14 0 (13 0.25 (12 (11 1.5 (10

(26 1/ 2 (25 1/ 2 (24 1/ 2 (23 / 2 (22 2.5 (21 (**) (20 0 (19

(9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 1 (2 (1

1 (9 4 (8 0.75 (7 0 (6 0 (5 3 (4 0.75 (3 0 (2 0 (1

0 (10

1 (5 1 (4 (3 (2 4 (1

a b k

e e e e e e e e

φ φ

−−

−

− −

−

−

(7)

(8)

(9)

:יש להפריד לשלושה מקרי� 20תרגיל 6בשאלה (**)

5lim 0

lim 0, 0

lim 0, 0

(I

(II

(III

ab

b

a b

a b

= ⇐ ≠

= ∞ ⇐ > =

= −∞ ⇐ < =

9




ומשפט ער� הביניי� רציפות

רציפות

:שלה� *"נקודת התפר"ב בדוק את רציפות הפונקציות הבאות )1(

) � ).שרטט את גר+ הפונקציה 4 �ו 3בסעיפי

11

2

2

sin0 sin 4

0( ) 2 0 (2 ( ) (1

4 01 0

1 1 2( ) (4 ( ) (3

5 21

1 sin 01

0 12 1 2( ) (6 ( ) (5

2 1 21 2

3 22 2

xx

xx x

x xxf x x f x

e xe x

x x x xf x f x

x xx x

x xxx

x xx xf x f x

x xx

x xx x

> > = = =

+ < + <

≥ + ≤ = =

− ><

<≤

≤ < − < <= = − ≤ <=

− ≥− >

. נקודת התפר היא הנקודה בה נוסחת הפונקציה משתנה *

0xהיא 1נקודת התפר בתרגיל , למשל =.

: xלכל שהפונקציות הבאות תהינה רציפותעל מנת k הקבוע מה צרי� להיות הער� של )2(

22

2

2

2 3221

( ) (2 ( ) (1125 6

1

5 32 0 2( ) (4 ( ) (32

02

x

x xxkx xx

f x f xxxkx

k x

xx k x xf x f x x

x xk x

+ − ≤ + −≠= =−

>− =

+ −− ≤ ≠= = −> =

).8פרק (תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל 4על סעי/ : הערה

10



שהפונקציות הבאות תהינה רציפות על מנת b �ו a י�הקבוע מה צרי� להיות הער� של )3(

: בתחו� הגדרת�

23

2

1

1

1

1

12

11

2

01

sin( ) 1 1 1 (2 ( ) 0 (1

21 cos4 1

( 1)

1 11

( 1) ln( 1) 0 11

( ) 1 2 (4 ( )2 2

0( 1) 2 2 4

x

x

x

xx

ax b xa x x x

xf x bx x x f x x

xx a a a x xx

a x

x xx

x x b xe

f x ax b x f x

a xx x

π

π

−

−

−

+ ≤+ < −

= + − − ≤ ≤ = < <

− + − ≥ > −

>< − + + ≤ ≤ + = + ≤ ≤ = − < − > +

(3

).8פרק (תוכל לענות רק אחרי שתלמד את כלל לופיטל 4 $ ו 3על סעיפי� : הערה

.רשו� עבור כל נקודת אי רציפות מאיזה סוג היא) 1(ל אחת מהפונקציות בשאלה עבור כ )4(

)5( � :הוכח או הפר

1 .� .רציפה לא א פונקציהושתי פונקציות לא רציפות ה סכו

.רציפה לא שתי פונקציות לא רציפות הוא פונקציההפרש . 2

.רציפה לא תי פונקציות לא רציפות היא פונקציהמכפלת ש. 3

.רציפה לא פונקציות לא רציפות היא פונקציה מנת� של שתי. 4

fהא� . לא רציפה�gרציפה ו �f ידוע ש )6( g+ רציפה ?� .הוכח את טענת

11



)של קושי( משפט ער� הביניי�

.גרפיתקושי והסבר אותו צטט את משפט ער� הביניי� של )7(

:הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות פתרו� אחד) 8(

2 30.25sin 7 (3 ln (2 4 1 0 (1x x x x x x− = = − + − =

3הוכח שלמשוואה )9( 2 0x bx cx d+ + + .יש לפחות פתרו� אחד =

:הוכח שלמשוואות הבאות יש לפחות שני פתרונות )10(

3 14 5 0 (2 5 0 (1x

x x e xx

+ − = − =

(0): המקיימת xרציפה לכל פונקציה f תהי) 11( 1, (1) 2f f= = .

)הוכח שלמשוואה ) sin 4f x x x+ .יש לפחות פתרו� אחד =

2שאורכו אינו עולה על יחידה אחת בו למשוואה מצא קטע )12( 110x

x= .יש פתרו� −

2 נגדיר )13( 1( )

1f x x

x= +

−.

,(0)חשב . א (2)f f.

2הא� נית� להסיק לפי משפט ער� הביניי� שלמשוואה . ב 10

1x

x+ =

− .(0,2)יש פתרו� בקטע


0,1x: 'רציפה בנק) 5. רציפה) 4. רציפה) 3. לא רציפה) 2. לא רציפה) 1 )1( לא רציפה, =

2xבנקודה 1x' רציפה בנק) 6. = 2x' לא רציפה בנק. = = .)2( 1 (1k = .2 (4k =.

3 (2

3k = .4 (1k = − .)3( 1 (

10,

2a b= = .2 (1, 2a b= ,2או = 1a b= =.

3 (1 12 ,a e b e− −= − = .4 (/ 3 , / 3a e b e= = מסוג ) 5 .סליקה) 2. סליקה) 1 )4(. −

] )12( . סליקה) 6 .ראשו� (0). א )13(. 0.1,1[ 1 , (2) 5f f= − .לא. ב. =

12



4פרק –� תרגילי

הגדרת הנגזרת, גזירות של פונקציה

. שלה) תפר(תאר שתי דרכי� שונות לבדיקת גזירות של פונקציה מפוצלת בנקודת הפיצול . א )1(

הסבר מתי, בנוס+. שלהל� כדי להדגי� שתי שיטות אלה .3.ב השתמש בבפונקציה מסעי+

� .יארתלהשתמש בכל אחת מהשיטות שת עלי

בנוס+ רשו� נוסחה עבור . בכל דר� שתבחר בדוק גזירות הפונקציות הבאות בתחו� הגדרת�. ב

.אחת מהפונקציות כלהנגזרת של

2 2

3 3

2

2 3

2

2

5 2 4 2( ) (2 ( ) (1

14 2 14 2

ln(1 2 ) 0.5 0 8 2( ) (4 ( ) (3

2 0 12 2

( ) 3 | | 1 (6 ( ) 2 4 | 1| (5

1 1sin 0 sin 0

( ) (8 ( ) (

0 0 0 0

x x x x x xf x f x

x x x x

x x x x xf x f x

x x x x x

f x x x x f x x

x x x xf x f xx x

x x

− ≥ − ≥ = =

− < − <

+ − < < + ≥ = =

+ ≥ + <

= + + = + −

> > = = ≤ ≤

7

)2(

נתונה הפונקציה

3 1 1

( ) 11

x x

f xa x

x

+ ≥ −

= + < −

.

1xהפונקציה רציפה בנקודה aעבור איזה ער� של הקבוע . א = − .

הא� הפונקציה הנתונה על פי הגדרת הנגזרתשקיבלת בסעי+ א בדוק a �עבור ער� ה. ב

1xגזירה בנקודה = −.

)3(

נתונה הפונקציה 3

2

1 0( )

( 1) 0

x xf x

x x

− ≥=

− + <.

? נקציה רציפה הא� הפו. א

1xהא� הפונקציה הנתונה גזירה בנקודה על פי הגדרת הנגזרתבדוק . ב =.

13



.יהיו הפונקציות הבאות גזירות בנקודת התפר b �ו a הקבועי� עבור איזה ערכי� של )4(

.נגזרת עבור ה רשו� נוסחה, עבור ערכי� אלה

)א

3ln 0( )

x x ef x

ax b x e

< ≤=

+ > )ב

0 1( )

1

xe xf x

ax b x

< ≤=

+ >

:את נגזרות הפונקציות הבאות על פי הגדרת הנגזרתחשב )5(

21( ) sin 4 (3 ( ) (2 ( ) 4 1 (1

1

( ) 10 (6 ( ) ln (5 ( ) (4x

f x x f x f x x xx

f x x f x x f x e

= = = + ++

= + = =

.אסור להשתמש בכלל לופיטל בתרגיל זה*

:עבור כל אחת מהפונקציות הבאות f(0)'חשב את )6(

( )

2

10 4

2 10

0

4 3

( ) ( 1)( 2)( 3) ( 44) (1

( ) 2 (| | 1) 1 (2

sin ( 4) (1 tan ) cos( sin )( ) (3

( 1) ( 10)

(0) 1, lim ( ) 4 : ( ) ( ) (4

( ) | sin(10 ) 1| (5

נתון x

f x x x x x x

f x x x x x

x x x x xf x

x x

z z x f x x z x

f x x x x

→

= − − − −

= + + +

− + +=

− −

= = = ⋅

= − + −

L

0xגזירה פעמיי� בנקודה ) 4סעי+ ) 1(בדוק הא� הפונקציה משאלה )7( = .

)8( � ):א� לא הבא דוגמה נגדית לטענה. הוכח אותה, א� הטענה נכונה (הוכח או הפר

fאז �0xאינה גזירה ב g � ו, 0x � גזירה ב hא� . א g h= .0x �אינה גזירה ב +

�אינה גזירה ב hא� . ב0x ,ו� g אינה גזירה ב �

0x אזf g h= �אינה גזירה ב +0x.

fאז �0x אינה גזירה ב g �ו, 0x �אינה גזירה ב hא� . ג g h= .0x �אינה גזירה ב ⋅

fאז �0xאינה גזירה ב g � ו, 0x � גזירה ב hא� . ד g h= .0x �אינה גזירה ב ⋅

14



4פרק –פתרונות

)1(

2 2

2

2 5 2 2 4 2'( ) (2 '( ) (1

3 2 3 2

22 8 20.5 0

'( ) (4 '( ) (31 23 2

2 2 0

8 0 4 1'( ) (6 '( ) (5

4 0 4 1

1 1 1 1 12 sin cos 0 sin cos

'( ) (8 '( )

0 0

x x x xf x f x

x x x x

x xxf x f xx

x xx x

x x xf x f x

x x x

x x xf x f xx x x x x

x

− > − > = =

< <

+ ≥− < <= =+

< + ≥

≥ > = =

< − <

− > − >= = ≤

0(7

0 0x

<

�בנקודות בה� הנגזרת לא . הפונקציה גזירה, בתחומי� בה� קיימת נוסחה לנגזרת! לתשומת לב

2xהפונקציה גזירה עבור 1בסעי+ , למשל. קיימת הפונקציה לא גזירה ≠ .

)2( 1( 1a . לא גזירה) 2 =

.לא גזירה) 2רציפה ) 1 )3(

3) א )4( / , 2a e b= = ,) ב. − 0a e b= =.

)5(

( ) 2

1'( ) 4cos 4 (3 '( ) (2 '( ) 2 4 (1

( 1)

1 1'( ) (6 '( ) (5 '( ) (4

2 10

x

f x x f x f x xx

f x f x f x exx

−= = = +

+

= = =+

)6 (( )1010 (5 4 (4 0.4 (3 2 (2 44! (1−

)7( � .לא גזירה פעמיי

15




גזירה של פונקציה

:)גזור פע� אחת 27�29בסעיפי� (את הפונקציות הבאות פעמיי�גזור )1(

2 2 2

2

3 3 3

2 2

2 2

1

2 5 6 2 4( ) (3 ( ) (2 ( ) (1

2 10 2( 1)

1( ) (6 ( ) (5 ( ) (4

1 ( 1) 4

ln ln( ) ln (9 ( ) (8 ( ) (7

1( ) ln 2 ln 3 (12 ( ) ln (11 ( ) ln (10

2

( ) ( 2) (15 (x

x x x x xf x f x f x

x xx

x x xf x f x f x

x x x

x xf x x x f x f x

xx

f x x x f x f x x xx

f x x e f x

− + + += = =

++

+ = = = − + −

= ⋅ = =

= + − = = ⋅−

= + ⋅

( )

2

1

2

2

3 2 3 2

4 3 3 2

2 2 3

2

2

1) (14 ( ) ln (13

ln

( ) 1 (18 ( ) (17 ( ) (16

( ) cos( ) (21 ( ) sin( ) (20 ( ) (1 ) (19

( ) ln(cos ) (24 ( ) tan( ) (23 ( ) sin (22

sin( ) 1 (27 ( ) arctan( ) (26 ( ) arcsin

x

x

e f x xx

f x x f x x f x x e

f x x f x x f x x x

f x x f x x f x x

xf x x f x x f x

−

= = +

= − = = ⋅

= = = −

= = =

= + = =

( ) ( )ln

(2 3) (25

( ) cos (29 ( ) sin (28x

x

xf x x f x x

+

= =

16




1( 2

2 3

2 8 4'( ) , ''( )

4

xf x f x

x x

−= =

2( 2

2 3

2 20 62 448'( ) , ''( )

(2 10) (2 10)

x xf x f x

x x

+ −= =

+ +

3(

3 4

4 4(1 2 )'( ) , ''( )

( 1) ( 1)

x xf x f x

x x

−= =

+ +

4( 2 2 2

2 2 2 3

( 12) 4 (2 24)'( ) , ''( )

( 4) ( 4)

x x x xf x f x

x x

− ⋅ += =

− −

5( 2

3 4

( 3) 6'( ) , ''( )

( 1) ( 1)

x x xf x f x

x x

+= =

+ +

6( 2

4 5

6( 1) ( 1)( 3)'( ) , ''( ) 12

( 1) ( 1)

x x xf x f x

x x

+ + +=− =

− −

7(

2 3

1 ln 2ln 3'( ) , ''( )

x xf x f x

x x

− −= =

8(

1.5 2.5

2 ln 3ln 8'( ) , ''( )

2 4

x xf x f x

x x

− −= =

9(

1'( ) ln 1, ''( )f x x f x

x= + =

10( '( ) (2 ln 1), ''( ) 2 ln 3f x x x f x x= + = +

11(

2

1 1'( ) , ''( )

2(2 ) (4 2 )f x f x

x x= =

− −

12(

2

2 2 ln'( ) (ln 1), ''( )

xf x x f x

x x

−= + =

13( 4 5 4

3 2 4

2 ln ) 1 2 (ln ) (ln ) (ln ) 3'( ) , ''( )

(ln ) (ln )

x x x xf x f x

x x x x

( − − − −= = −

14( 1 1

2 4

1 1 2'( ) , ''( )x x

xf x e f x e

x x

+ = ⋅ − =

15(

1 12

2 4

2 5 2'( ) , ''( )x x

x x xf x e f x e

x x

− − + = =

16 ( 2 22 22 2'( ) (1 4 ), ''( ) 4 (3 4 )x xf x e x f x xe x− −= − = − −

17(

3 3 4

2 2'( ) , ''( )

3 9f x f x

x x= = −

⋅ ⋅

18(

2

2 5/32 23

11

2 2 3'( ) , ''( )3 ( 1)3 ( 1)

xx

f x f xxx

− −= = ⋅

−−

19(

3 3 4

2 5 2 1 5'( ) , ''( )

93

x xf x f x

x x

− += = − ⋅

20(

17



3 2 4 3 3'( ) cos( ) 3 , ''( ) 9 sin( ) 6 cos( )f x x x f x x x x x= ⋅ = − + ⋅ 21(

4 3 6 4 2 4'( ) sin( ) 4 , ''( ) 16 cos( ) 12 sin( )f x x x f x x x x x= − ⋅ = − − ⋅

22( 2 2 3'( ) 3sin cos , ''( ) 6sin cos 3sinf x x x f x x x x= ⋅ = −

23( 2 2 2 2 2

2 2 4 2

2 2 cos ( ) 8 cos( )sin( )'( ) , ''( )

cos ( ) cos ( )

x x x x xf x f x

x x

⋅ −= =

24(

( )2

2 2

2 2

4'( ) tan( ) 2 , ''( ) 2 tan( )

cos ( )

xf x x x f x x

x

−= ⋅ − = −

25 (

( )3/22 2

1 2 3'( ) , ''( )

3 2 2 3 2

xf x f x

x x x x

+= =

− − − − − −

26(

( )4

24 4

2 2 6'( ) , ''( )

1 1

x xf x f x

x x

−= =

+ +

27(

sinsin'( ) cos ln( 1)1

xxf x x x xx

= ⋅ + + +

28(

( ) ( )'( ) sin ln(sin ) cotx

f x x x x x= + ⋅

29(

( )ln ln(cos )'( ) cos tan ln

x xf x x x x

x

= ⋅ − ⋅

18




)המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת(בעיות משיקי�

yהישר )1( x b= )משיק לגר+ הפונקציה + ) xf x e= . מצא אתb ואת נקודת ההשקה.

4yהישר )2( x b= משיק לגר+ הפונקציה +2

2( ) 3f x

x= .ואת נקודת ההשקה bמצא את . +

3yהישר )3( x= משיק לגר+ הפונקציה( )f x x x b= . ואת נקודת ההשקה bמצא את . +

הישר )4(1

2y ax= משיק לגר+ הפונקציה +

2( )g x

x c=

+0xבנקודה . c �ו aמצא את .=

)מצא את משוואת המשיק לגר+ הפונקציה )5( ) lnf x x= בנקודהx e=.

)3מצא את משוואת המשיק לגר+ הפונקציה )6( ) 1f x x= 0xבנקודה + = .

2 למעגלמצא את משוואת המשיק )7( 2 25x y+ ,3) בנקודה = 4) .

הפונקציות )8(1

yx

21 �ו =

2y x k= − .ואת נקודת ההשקה kמצא את . משיקות זו לזו +

)9( � .הנתונההנקודה מצא את נקודת ההשקה ואת משוואת המשיק לגר+ העקומה העובר דר

,2)2) א 3) 2 1y x x− = − )) ב + 3,1) y x− =

:מצא את משוואת המשיקי� המשותפי� לפונקציות הבאות )10(

2y x= 21 � ו

54

y x= − −.

)2מצא את הזווית בי� הפונקציות )11( )y f x x= �ו =1

( )y g xx

= =.

2 מעגלמצא את הזווית בי� ה )12( 2 8x y+ 2 הפרבולהו = 2y x=.

2הוכח שהאליפסה )13( 22 8x y+ 2וההיפרבולה = 2 2x y− . נחתכות בזוית ישרה =

19



6פרק – נותפתרו

1yומשוואת המשיק היא (0,1)נקודת ההשקה היא )1( x= +.

)נקודת ההשקה היא )2( 4ומשוואת המשיק היא −(1,5 9y x= +.

. b = 4 � ו (4,12)נקודת ההשקה היא )3(

נקודת ההשקה היא )4(1

(0, )2

ומשוואת המשיק היא 1 1

8 2y x= − +.

משוואת המשיק היא )5(1

y xe

=.

1yמשוואת המשיק היא )6( = .

שוואת המשיק היא מ )7(3 25

4 4y x= − +

)8 (1.5k . (1,1)נקודת ההשקה , =

6) א) 9( 15 , (4,9) , 2 1 , (0,1)y x y x= − = − +

: המשיק) ב 1 3

, (9,3)6 2

y x= + .

)10( 2 1 , 2 1y x y x= − = − −

)11( 71.57o

)12( 71.56o

20




כלל לופיטל

)1( � :חשב את הגבולות הבאי

2 2

2 21 5 3

2

3 4 3

3 2

0 1

2

3 20 0

2 50 6lim (3 lim (2 lim (1

1 2 3 35 9

7 4 2 1 5 3lim (6 lim (5 lim (4

42 1 1 2

31 1

1 2 1lim (9 lim (8 lim (7

1 1

2 2 2 1lim (12 lim (11 l

2

n

x x x

x x x

x

x x x

x x

x x

x x x x x

x x x x

x x x x

xx x

e x xx

x x

x

e x x e x

x x

→ →− →

→ → →

→ →∞ →

→ →

− − − −− + − −

+ − + − + −−− − + −

− −− − −

−

− − − − −0

2

22

20 1

2

2

20 0 0

30 0 0

im ( , 0) (10

1ln

1ln ( 1) ln 1lim (15 lim (14 lim (13

1 2 1

sin( ) sin( ) tanlim (18 lim (17 lim (16

sin( )

1 sin cos tan sin silim (21 lim (20 lim

x x

x

x x x

x x x

x x x

a ba b

x

x

xx x x x

x x x

x

ax ax x

bx bx x

x x x x x

x x

→

→ →∞ →

→ → →

→ → →

−>

+ −+ + − +

− +

+ − − −3

2 2

4 3 40 0 0

2 2

2 40 0

2

2 00

n(19

sin sin( ) sin (1 ) 1 cos(1 cos )lim (24 lim (23 lim (22

arctan( 3 ) ln(cos )lim tanh (27 lim (26 lim (25

arcsin( 4 )

1 2cosh 2 silim (30 (29 lim

2 3 1 cos 2lim

x

x x x

x x x

x xx

x

x

x x e x x x x

x x x

x x xx

x x x

x x

x x x

→ → →

→∞ → →

→∞ →→

− − + − −

+−

+ −+ + −

2

n(28

sinh

(ln ) 2ln 3 ln 1(33 lim (32 (31lim lim

x

xxx x

x

x

x x x x e

x e x→∞→∞ →∞

+ − + +

21



2

03 0

0

1

0

2

0

0

ln(sin )(36 (35 (34

ln(tan )

1(39 (38 lim ln (37

lim ( 9) ln( 3) (42 lim ln (41 lim(1 cos ) cot (40

1 1 5lim (45 lim 1 1

sin

1

tan ln

lim limlim

lim limx

xx x

x x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

xx

x x x x x x

xx x x

e

xe

x

x x x e+

+

+ +

→∞

→→ →

→ →∞

→ −

−

→

→∞ →

→∞⋅

− ⋅ − ⋅ −

− ⋅ + −

⋅

⋅

[ ]

2

2

10

1

21

10

2sin

220

3(44 lim ln (43

3

1 1lim 1 (48 lim ln(3 ) ln(sin 5 ) (47 lim (46

ln 1

lim ( ) ( 0) (51 lim (50 lim 1 (49

1lim (54 lim (53 lim (2

1

x

x xx

x x

x xx

x

x

x xx

xx

x

x x x x xx x

ax a x x x x

xx

x

+

+

→∞

→∞ →→

−

→ →−∞→

→∞ →→ +

+

+ ⋅ −

+ + − − − −

> + + +

+ −

24

22

2

11 1

2

0 0 0

cot tan tan

0 0 0

1

2 cot tan

0 0 0

4) (52

tanlim(cos ) (57 lim (56 lim(1 tan 3 ) (55

lim( 1) (60 lim (59 lim (sin ) (58

sinlim (63 lim (1 ) (62 lim ( sin ) (61

x

xx x

x x x

x x x

x x x

xx x

x x x

x

xx x

x

x x x

xx x x

x

+ +

+ +

−

→ → →

→ → →

→ → →

−

+

+

+ +

22



כל אחד מהגבולות הבאי� הוא מ� הסוג )2(∞ ∞

כלל , הסבר מדוע למרות כ� הראה זאת ו.

� .את הגבולחשב לבסו+, לופיטל אינו ישי

1 2

4 2 3

3 sin 16 4 1lim (3 lim (2 lim (1

4 cos 2 2

x x

x xx x x

x x x

x x x

+

+ +→∞ →∞ →∞

+ + ++ +


5 3 1 20 5(7 (6 (5 4 (4 1 (3 (2 (1

6 2 6 17 6

1 1 1 32 (14 (13 (12 (11 ln (10 1 (9 (8

2 6 2 2

1 1 1(21 (20 (19 (18 (17 1 (16 1 (15

2 2 6

3 1 1 1 11 (28 1 (27 (26 (25 (24 (23 (22

4 2 3 3 8

1 1 20 (35 (34 0 (33 (32 (31 (30 (29

2 2 3

0 (42 0 (41 0 (40 0 (39 0 (38 0 (37 1 (

a

b

n

a a

b b

−

− −

− − −

∞ ∞

(1)

2

1/2 1/3 3

1/6

36

1 3(49 ln (48 0.5 (47 0 (46 2.5 (45 6 (44 0 (43

2 5

11 (56 (55 1 (54 1 (53 1 (52 (51 (50

2

1 (63 (62 1 (61 1 (60 (59 (58 (57

(65 (64

e e

e e e e

e e

−

−

−

)2(

1 (1 2 (0.25 3 (0.75

23




חקירת פונקציה

נקודות , תחו� הגדרה ורציפות :חקור את הפונקציות הבאות חקירה מלאה לפי הפירוט הבא )1(�תחומי , נקודות קיצו�, **ומשופעותאופקיות ,אסימפטוטות אנכיות, זוגיות, *חיתו� ע� הצירי

.גר+ , קעירותו תחומי קמירות, ***נקודות פיתול, ירידהו עליה

4 3 2

2

3 3 2

2 2 2

32 2

2

3 2

2

2

1( ) (3 ( ) 2 (2 ( ) ( 9) (1

2( ) (6 ( ) (5 ( ) (4

( 1) 4 ( 1)

4 3 1 1( ) (9 ( ) (8 ( ) (7

4 ( 2)( 5) 1

ln ln( ) (12 ( ) (11 ( ) (10

1

( ) ln 2ln 3 (

xf x f x x x f x x x

x

x x xf x f x f x

x x x

x x x xf x f x f x

x x x x

x x x xf x f x f x

x xx

f x x x

−= = − = −

= = =+ − +

− + − + = = = − − − −

−= = =

−

= + −

( )

2

2 2

2

1 1

23 32 2

2

2

115 ( ) ln (14 ( ) ln (13

2

1( ) (18 ( ) ln (17 ( ) 4ln 4ln 3 (16

ln

( ) (21 ( ) ( 2) (20 ( ) (19

1( ) 1 (24 ( ) (1 ) (23 ( ) (22

1

| 3 |( ) 2arctan (27 ( ) (26

2

x

x xx

f x f x x xx

f x x e f x x f x x xx

f x x e f x x e f x e

f x x f x x x f xx

xf x x x f x f

x

−

= = ⋅−

= − = + = − −

= ⋅ = + ⋅ =

= − = − =+

−= − =

−

( ) ( )

3 2

2

0 2 0

( ) 1 (25

( ) 8cos 2cos2 3 (30 ( ) 2cos sin 2 (29 ( ) arcsin(sin ) (28

x x

x x

f x x x f x x x f x x

π π≤ ≤ ≤ ≤

= −

= + − = − =

:הערות

.השרטוטלאחר רק חיתו� את המצא 18בשאלה . xאי� צור� למצוא חיתו� ע� ציר 27בשאלה *

** � ).אי� וג�(אי� צור� למצוא אסימפטוטות 1,2,28,29,30בתרגילי

*** �� כ� למדתאי� צור� למצוא נקודות פיתול אלא א 9,17 בתרגילי� 8בתרגיל .ניוטו� רפסו� .משוואה ממעלה שלישית לפתור �אי� צור� למצוא נקודות פיתול אלא א� כ� למדת

24




)1(

1(

x

y

2(

x

y

3(

x

y

4(

x

y

5(

x

y

6(

x

y

7(

x

y

8(

x

y

25



9(

x

y

10(

x

y

11(

x

y

12(

x

y

13(

x

y

14(

x

y

15(

x

y

16(

x

y

26



17(

x

y

18(

x

y

19(

x

y

20(

x

y

21(

x

y

22(

x

y

23(

x

y

24(

x

y

27



25(

x

y

26(

x

y

27(

x

y

28(

x

y

29(

x

y

30(

x

y

28




"שאלות מסביב" –חקירת פונקציה

)1(

3נתונה הפונקציה ) א 2( )f x ax x= 1xהנקודה ידוע ש. + .aמצא את הקבוע . נקודת קיצו� =

3נתונה הפונקציה ) ב 2( )f x ax bx= ,1)הנקודה ידוע ש. + . נקודת קיצו� (2

�a,מצא את הקבועי b.

3נקציה נתונה הפו) ג 2( )f x ax x= 1xהנקודה ידוע ש. + .aמצא את הקבוע . נקודת פיתול =

3נתונה הפונקציה ) ד 2( )f x ax bx= ,1)הנקודה ידוע ש. + . נקודת פיתול (2

�a,מצא את הקבועי b.

3נתונה הפונקציה ) ה 2( )f x ax x= 3xשיפוע המשיק לגר+ הפונקציה בנקודה + .33הוא =

.aמצא את

3נתונה הפונקציה ) ו 2( )f x ax bx= .12הוא (3,9)שיפוע המשיק לגר+ הפונקציה בנקודה . +

a,מצא את b.

נתונה הפונקציה )ז3 2

3( )

2 6

ax xf x

x x

+=

+ +4yידוע שהישר . .אסימפטוטה לגר+ הפונקציה =

.aמצא את

נתונה הפונקציה )ח2 4

( )ax bx

f xx

+ +0.5ידוע שהישר . = 1y x= אסימפטוטה לגר+ +

. bאתו aאת מצא. הפונקציה

נתונה הפונקציה )ט2

2

2 4( )

6

x xf x

x ax

+ +=

+ +1xידוע שהישר .אסימפטוטה לגר+ הפונקציה =

.aצא את מ

29



)3לפני� גר+ הפונקציה )2( ) 3f x x x= −

)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .א ) 5f x =.

)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .ב ) 2f x =.

)מהו מספר הפתרונות של המשוואה .ג ) 0.5f x =.

)למשוואה kעבור איזה ער� של .ד )f x k= יש בדיוק פתרו� אחד.

)למשוואה kעבור איזה ער� של .ה )f x k= יש בדיוק שני פתרונות.

)למשוואה kעבור איזה ער� של .ו )f x k= יש בדיוק שלושה פתרונות.

)עבורו למשוואה kהא� קיי� ער� של .ז )f x k= אי� פתרו�.

.ע"מצא את התחומי� בה� הפונקציה היא חח .ח

)3( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� לגבי התחו� הרשו� ליד

( ) ( )

( ) ( )

3 4 2

30 2sin (2 8 3 6 (1

0 ln( 1) (4 0 1 1 (32

x x x x x x x

xx x x x x

π< < < −∞ < < ∞ ≤ +

≥ + ≤ > + < +


)1(

2) א3

a = −

,6) ב 4b a= = −.

1) ג3

a = −

,3) ד 1b a= = −.

1a) ה =.

2) ו3

, 1a b= = −

8a) ז 0.5a) ח = 7a) ט = = −

)2( 1) א

2) ב

3 )ג

2k) ד 2kאו < < −.

2k) ה = ±.

2) ו 2k− < <

1x) ח לא) ז < 1או − 1x− < <

1xאו >

x

y

(1,-2)

(-1,2)

30




מקסימו� ומינימו� מוחלטי� של פונקציה

הבאות בתחומי� תמצא את נקודות המינימו� המוחלט והמקסימו� המוחלט של הפונקציו) 1( :)א� יש כאלה( הרשומי� ליד�

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 3 2

2/3712 2

22

3

( ) 4 5 (2 1 3 ( ) 3 3 (1

4 2 1( ) (4 1 20 ( ) (20 ) (3

( 2)( 3) 1

5 1 ( ) (6 5 1 ( ) 1 | 9 | (51

( ) 9 1 (7

f x x x x f x x x x

x xx f x x f x x x

x x x

xx f x x f x x

x

x f x x x

= − + + − ≤ ≤ = − +

− <≤ ≤ = − ≤ ≤ = −

− − ≥

− < < − = − ≤ ≤ = + −+

−∞ < < ∞ = − +

.הוכח את אי השוויוני� שמימי� לגבי התחו� הרשו� בסוגריי� משמאל )2(

1 (3

3

27xx e

e

− x (2 (1לכל ( ≥x

xe− ≤ )0x ≥ (3 (2 10 1xx e −≤ ≤ )1x ≤(


)1(

1 (( 1, 7)− .מקסימו� מוחלט (3,9), מינימו� מוחלט −

2 (( .מו� מוחלטמקסי (2,3), מינימו� מוחלט (5,0), מינימו� מוחלט −(1,0

,8), מינימו� מוחלט (20,0), מינימו� מוחלט (0,0)) 3 .מקסימו� מוחלט (48

4 ((2.5, ,1), מינימו� מוחלט −(0.25 .מקסימו� מוחלט (2

5 (( ), מינימו� מוחלט −(3,1 .מקסימו� מוחלט −(5,17

6 (( 2, 4)− .אי� מינימו� מוחלט. מקסימו� מוחלט −

7 ( � .אי� מקסימו� ואי� מינימו

:הערת סימו�

a x b≤ ≤ ⇔ [ ],a b ,a x b< < ⇔ ( ),a b ,a x b≤ < ⇔ [ , )a b

31




בעיות מקסימו� ומינימו�

* בכוכבית התרגילי� הקשי� יותרומנו ס, בפרק זה: הערה

בעיות בהנדסת המישור

)1(

אור� השוק) ABCD )AB||CDשוקיי� �בטרפז שווה

.מ"ס 6מ ואור� הבסיס הקט� הוא "ס 4הוא

DE הוא הגובה מקדקודD )ראהציור.(

כדי ששטח הטרפז DEמה צרי� להיות אור� הקטע

?יהיה מקסימלי

A

D C

BE

)2(

את אחת מצלעות x �נסמ� ב. �ABCD נתו� מלב

).ראה ציור(המלב� xמ בטא באמצעות "ס 60א� היק+ המלב� הוא ) א

.את שטח המלב� מצא מה צריכי� להיות pא� היק+ המלב� הוא ) ב

ב� כדי ששטחו יהיה מקסימליאורכי צלעות המל

).pהבע את אורכי הצלעות באמצעות(

x B

C

A

D

)3(

ADמ"ס5 �כ� ש ABCDנתו� מלב� = BC =,

ABמ"ס10 = CD = .� על צלעות המלב� מקצי

�AP:קטעי AQ CS CR x= = = ).ראה ציור( =

כדי ששטח xמה צרי� להיות ערכו של

?יהיה מקסימלי PQRSהמקבילית

B

C

A

D

Q

P

S

R

32



)4(

) ∆ABCבמשולש ישר זווית C 90 )°=� � סכו

בוני� ABעל היתר . מ"ס 8אורכי הניצבי� הוא , מה צריכי� להיות אורכי הניצבי�. ABDEבוע רי

.יהיה מינימלי AEDBCכדיששטח המחומש

A

C B

E

D

)5(

מ חוסמי� מלב�"ס 8בחצי עיגול שרדיוסו

ABCD , שהצלע � של המלב� מונחת ABכ

מונחי� על D �ו Cוהקדקודי� , על הקוטר

מה צרי� להיות אור�). ראה ציור(הקשת

?ששטח המלב� יהיה מקסימליכדי ABהצלע

)6(

) ∆ABCזווית �במשולש ישר B 90 )°=� ,� סכו

הוא תיכו� לניצב AD. מ"ס 30אורכי הניצבי� הוא

BC )ראה ציור.(

� על, חשב מה צריכי� להיות אורכי הניצבי

.יהיה מינימלי מנת שריבוע אור� התיכו�

A

B CD

)7(

� . ר"סמ 600שטח כל עמוד הוא , בחוברת פרסו

,מ"ס 8רוחב השוליי� בראש העמוד ובתחתיתו הוא

.מ"ס 3ורוחב השוליי� בצדדי� הוא

,מצא מה צרי� להיות האור� והרוחב של כל עמוד

שטחה(כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי

).המקווקו בציור

8

3

A B

CD

8

33



נמצאות על הצלעות E ,F ,Gהנקודות ABCDבריבוע )8(

AB ,BC ,DC ש, בהתאמה � BF =BE ,CG =CF �כ ).ראה ציור(

.מ"ס 6נתו� כי האור� של צלע הריבוע הוא

את xוהבע באמצעות , BEואת BFאת x �סמ� ב. א

השטח( FCG �ו EBFשולשי� הסכו� של שטחי המ

).המקווקו בציור

שעבורו סכו� שטחי המשולשי� הוא xמצא את . 1.ב

.מינימלי .חשב את הסכו� המינימלי של שטחי המשולשי�. 2.ב

A B

CD

F

G

E

היא נקודה E. מ"ס 10שאור� צלעו ABCDנתו� ריבוע )*9(

ש"הוא שו DECכ� שהמשולש , כלשהי מחו3 לריבוע

)EC =ED .( את הצלע � ABשוקי המשולש חותכי

מצא מה צרי� להיות). ראה ציור( N �ו Mבנקודות

כדי שהסכו� של שטחי המשולשי� AMאור� הקטע

EMN ,AMD ,BNC יהיה מינימלי.

M NA B

CD

E

,ש"במעגל זה חסו� טרפז שו. Rנתו� מעגל שרדיוסו )*10(

ראה(כ� שהבסיס הגדול של הטרפז הוא קוטר במעגל

הבע, מבי� כל הטרפזי� החסומי� באופ� זה). ציור

את אור� הבסיס הקט� בטרפז ששטחו Rבאמצעות

.מקסימלי

34



)11*(

.מ"ס 10ורדיוסו Oנתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו

DCכ� שרבע המעגל משיק לצלע , ABCD בוני� מלב�

נמצאי� על B � ו Aוהקודקודי� , בנקודת האמצע שלה

).ראה ציור(הרדיוסי� התוחמי� את הגזרה

� שנוצרי� ABCDמבי� כל האלכסוני� של המלבני

. מצא את אור� האלכסו� הקצר ביותר, באופ� זה

)12*(

ABCDE שולש הוא מחומש המורכב ממABE וממלב�

EBCD )ראה ציור .(

. AE =AB= מ "ס BC ,4= מ "ס 2: נתו�

.מצא את השטח של המחומש ששטחו מקסימלי

E

D C

B

A

)13*(

ABCמתבונני� בכל המשולשי� ישרי הזווית

.כמתואר בציור Rהחוסמי� חצי מעגל שרדיוסו

מה� זוויות המשולש שסכו� הניצבי� שלו הוא

?ימלימינ

B

A

C

חסומי� משולשי� כ� שהגודל של Rבמעגל שרדיוסו )*14(

אחת הזוויות בכל אחד מהמשולשי� הוא 2

5

π.

.מצא את הזוויות במשולש בעל ההיק+ המקסימלי

72

A B

D C

O

35



מרחבעיות בהנדסת הב

לאו דווקא( הבנוי שמתי קוביות" מגדל"גובהו של ) 15(

מה צרי� להיות אור� המקצוע ש. מ"ס 8 הוא) שוות

סכו� נפחי(הקובייה התחתונה כדי שנפח המגדל

?יהיה מינימלי ) הקוביות

שאור� , ובסיסה ריבוע, מ"ס yבוני� תיבה שגובהה )16(

כ� שההיק+ של כל אחת, )ראה ציור(מ "ס xצלעו

להיות מה צרי�. מ"ס 12 �מהדפנות הצדדיות שווה ל

?אור� צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי

שבסיסה ריבוע, פתוחה מלמעלהיש לבנות תיבה )17(

במקרה זה שטח הפני� מורכב( ר "סמ 75ושטח פניה

מכל התיבות). מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות

צלע הבסיס(מצא את ממדי התיבה , שאפשר לבנות

.ישנפחה מקסימל) וגובה

,של תיבה) מסגרת" (שלד"יש להכי� מחוט תיל )18(

מהו האור�. ק"סמ 1000שבסיסה ריבוע ונפחה

?המינימלי של החוט הנחו3 ליצירת התיבה

מ יש לבנות מנסרה משולשת"ס aמחוט שאורכו )19(

.שבסיסה הוא משולש שווה צלעות, ישרה

ות לצלעמצא איזה חלק מאור� החוט יש להקצ

:כדי שיתקיי� yואיזה חלק לגובה xהבסיס .שטח המעטפת של המנסרה יהיה מקסימלי. א .נפח המנסרה יהיה מקסימלי. ב

36



)20* (

,המשוכללות והישרות, מכל הפירמידות המרובעות

מצא את נפחה, aשאור� המקצוע הצדדי שלה� הוא

.של הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי

שבסיס� ריבוע ושטח, מכל הפירמידות הישרות )*21(

חשב את נפחה של, ר"סמ 200הפני� שלה� הוא

.הפירמידה בעלת הנפח המקסימלי

ראה(מ "ס 12אלכסו� החת� הצירי של גליל ישר הוא )22(

מצא מה צריכי� להיות גובה הגליל ורדיוס). ציור

.מליבסיסו כדי שנפחו יהיה מקסי

12

.ק"מ 64נתו� מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו )23(

הראה כי שטח הפח הוא. המיכל עשוי כולו מפח

מינימלי כאשר רדיוס הבסיס הוא 3

4

π .מטר

10מבי� כל החרוטי� שאור� הקו היוצר שלה� הוא )24( ?מהו נפח החרוט שנפחו מקסימלי, )ראה ציור(מ "ס

10

37



בעיות בפונקציות וגרפי�

הנמצאת על גר+ הפונקציה, Aמנקודה ) 25(

2 5y x x= − מורידי� אנכי� לצירי� כ� שנוצר ,+

).ראה ציור( ABOCמלב�

כדי שהיק+ Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . א

?המלב� יהיה מקסימלי

כדי שהיק+ Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . ב

?המלב� יהיה מינימלי

29yבפרבולה )26( x= כ�, ABCDמי� מלב� חוס −

).ראה ציור( x �מונחת על ציר ה ABשהצלע

כדי ששטח המלב� CDמה צרי� להיות אור� הצלע

?יהיה מקסימלי

29yחסו� בי� גר+ הפרבולה ABCDטרפז )27( x= −

).ראה ציור( x �לבי� ציר ה

ששטח כדי Aמה צריכי� להיות שיעורי הנקודה . א

?יהיה מקסימלי ABCDהטרפז

.ABCDחשב את השטח המקסימלי של טרפז . ב

x

yA

B

C

O

x

y

A B

CD

x

y

A

BC

D

38



2נתונה הפרבולה ) 28( 12y x= − �ישר המקביל לציר ה. +

x את הפרבולה בנקודות � ).ראה ציור( B �ו Aחות

.O, ע� ראשית הצירי� B �ו Aמחברי� את הנקודות

כדי ששטח ABהיות אור� הקטע מה צרי� ל. א

?יהיה מקסימלי AOBהמשולש

? AOBמהו השטח המקסימלי של המשולש . ב

xyלפני� גר+ של הפונקציה )29( e= וגר+ של הישר

2y e x= ⋅ חות� את y �ישר המקביל לציר ה. −

).ראה ציור( B � ו Aהגרפי� בנקודות

.יהיה מינימלי ABאור� הקטע xמצא לאילו ערכי . א

הוא ABשעבורו אור� הקטע xהא� יש ער� של . ב

?מקסימלי

:נתוני� הגרפי� של שתי פרבולות )30(

2 21 13 , 7

4 2y x x y x= − + = +.

חות� את שתי הפרבולות y �קו מקביל לציר ה

).ציורראה ( Q �ו Pבנקודות

מצא את, מבי� כל הקטעי� המתקבלי� באופ� זה

.PQהאור� המינימלי של הקטע

x

y

AB

0

x

y

A

B

x

y

P

Q

39



yנתו� גר+ הפונקציה ) 31( x= .על ציר ה � x נתונה

).ראה ציור( A(4.5,0)הנקודה

כ� שריבוע המרחק, Mמצא על גר+ הפונקציה נקודה

AM יהיה מינימלי.

)מצא על הישר )32( ) 3 4f x x= את הנקודה הקרובה −

. (0,1)ביותר לנקודה

:בציור שלפני� מתוארי� הגרפי� של הפונקציות )*33(

. ( ) 36 6 , ( ) 3g x x f x x= − =

, x �ות ובי� ציר המלב� חסו� בי� הגרפי� של הפונקצי

מצא את השטח הגדול ביותר. כמתואר בציור

.האפשרי למלב� שחסו� באופ� זה

2דר� איזו נקודה על הפרבולה )*34( 2y x x= − + � צרי

הנוצר על ידי, כדי ששטח הטרפז, להעביר משיק

�1x: המשיק והישרי = ,0x 0y �ו = השטח( =

?יהיה מינימלי) המקווקו שבציור

x

y

A(4.5,0)

M

x

y

x

y

40



2yנמצאת על גר+ הפונקציה Bנקודה ) *35( x= ברביע

,0)היא הנקודה A. הראשו� )a כאשר ידוע כי

0.5a ).ראה ציור( <

שעבורה, Bאת שיעורי הנקודה aבטא באמצעות . א

.הוא מינימלי ABהמרחק

המרחק המינימלי aמצא עבור איזה ער� של . ב

. 2הוא

2yנתונה הפרבולה )*36( x= ,ונתו� משיק לפרבולה

6שמשוואתו היא 9y x= )2בנקודה . − , )t t שעל

.הפרבולה מעבירי� משיק נוס+ לפרבולה

).ראה ציור( Mהמשיקי� נחתכי� בנקודה

. tהבע את משוואת המשיק הנוס+ באמצעות . א

המחבר את , שעבורו אור� הקטע tמצא את . ב

.יהיה מינימליע� קודקוד הפרבולה Mהנקודה

,2)במערכת צירי� נתונות הנקודות )*37( 2)A ו�

(2, 2)B היא O .Mראשית הצירי� היא בנקודה . −

מה צריכי� להיות. x>0בתחו� x �נקודה על ציר ה

MB +MA +OM: כדי שהסכו�, Mשיעורי הנקודה

?יהיה מינימלי

x

y

A

B

x

y

M

(t,t2)

x

y

O

A(2,2)

B(2,-2)

M

41




)1( 1.7cmAE 30). א )2(. = )x− .0.25 �כל צלע שווה ל. ב p .)3( 3.75cmx = .

)4( 4cmAC BC= = .)5 ( 2 32 cmAB = .)6( 6 , 24cm cmB BC= = .)7( � מ"ס 40: אור

2. א )8(. מ"ס 15: רוחב 6 18S x x= − 3x. 1.ב. + 5 )9(. ר"סמ 9. 2.ב. = / 2AM =.

11( 4( . R= בסיס קט� )10( 5cm) .12 (12 45 )13(. ר"סמ 3 , 45 , 90° ° ° .

)14 (3 3 2

, ,10 10 5

π π π 2.5: גובה. מ"ס 5: צלע הבסיס )17(. מ"ס 4 )16(. מ"ס 4 )15(.

. א )19( . מ"ס 120 )18(. מ"ס1 1

,12 6

x a y a= . ב. =1

9x y a= = .)20( 34 3

27a .

)21( 500

3 . ק"סמ 403.1 )24(. מ"ס 24: רדיוס. מ"ס 48: גובה )22(. ק "סמ

26( 2(. A(5,5)או A(0,0). ב. A(3,6). א )25( 3CD .32. ב. A(1,8). א )27(. =

4AB. א )28( ∆16AOBS. ב. = 1x. א )29(. = 4PQ )30(. אי�. ב. = =.

)31( (4, 2)M .)32( (1.5,0.5) .)33( 8 .)34( (0.5,0.75) .

).א) 35( (2 1) / 2, (2 1) / 2)B a a− 22y. א )36(. 4.25 .ב. − t x t= ⋅ 3. ב. − / 37t = − .

)37( (0.845,0)M.

42




)ניוטו רפסו , )ט רולמשפ(מונוטוניות , ער� הביניי�משפט (פתרו משוואות

:הוכח שלמשוואות הבאות יש בדיוק פתרו� אחד )1(

3 2 2 34 21 48 28 0 (4 0.25sin 7 (3 ln (2 4 1 0 (1x x x x x x x x x− + − + = − = = − + − =

3נתונה המשוואה )2( 2 0ax bx cx d+ + + 2ונתו� כי = 3b ac< .

.הוכח את תשובת�? מהו מספר הפתרונות של המשוואה

.ת מצא את מספר הפתרונות ופתור אותהעבור כל אחת מהמשוואות הבאו )3(

2 1sin 1 cos (4 ln( 5) 4 (3 arctan 0 (2 (1

xx x x x x x x x e x

−+ = − + − = − = =

)': המקיימת xלכל פונקציה גזירה f תהי) 4( ) 1 , (0) 1, (1) 2f x f f≤ = =.

)הוכח שלמשוואה ) sin 4f x x x+ . יש בדיוק פתרו� אחד =

:שלמשוואות הבאות יש בדיוק שני פתרונותהוכח )5(

4 3 3 11 4 8 (3 4 5 0 (2 5 0 (1x

x x x x e xx

+ = + − = − =

בכל אחת מהמשוואות הבאות מצא קשר בי� הפרמטרי� על מנת שלמשוואות יהיה בדיוק ) 6( ).הנח שכל הפרמטרי� שוני� מאפס(פתרו� אחד

3 2 2

2 4

0 (2 0 (1

( 4, ) 0 (4 cos( ) 1 (3n n n

ax bx cx d ax bx c

n odd ax bx cx d x a bx− −

+ + + = + + =

> + + − = + =

:)ניוטו רפסובשיטת 2,3סעיפי� (פתור את המשוואות הבאות ) 7(

3 2 4 3 3 24 21 48 28 0 (3 1 4 8 (2 7 33 21 61 0 (1x x x x x x x x− + − + = + = − + + =


1x) 1 )3( .פתרו� יחיד )2( = 2 (0x = 3 (4x = − 4 (0x = .

)6( 1 (2 4 0b ac− = 2 (24 12 0b ac− < 3 (1

1ab

או <1

1ab

< −

4 (2 2( 2) 4 ( 4) 0b n anc n− − − <

1xפתרו� מדויק ) 1 )7( = − . 2 ( �,0.5576פתרונות מקורבי 1.9672x x= =

0.8459xפתרו� מקורב ) 3 =

43



13פרק – תרגילי�

'משפט לגרנג

)1( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� בתחו� הרשו� ליד

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2 2

0 ln (1

0 (22 2

0 tan tan (32 cos cos

( ) ( ) (4

0 arctan arctan (51 1

0 1 arcsin arcsin (61 1

a b a b

b a b b aa b

b a a

b a b aa b b a

b a

b a b aa b b a

a b

a b a b e e e a b e

b a b aa b b a

b a

b a b aa b b a

a b

π

− − − −

− − < < < <

− −< < < − <

− − < < < < − <

< − < − < −

− −< < < − <

+ +

− −< < < < − <

− −

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

2

2 2 2

a rcsinh( ) a rcsinh( )0 (7

1 1

0 1 a rc tanh( ) rc tanh( ) (81 1

0 (9

2 ( ) 1 2 ( )1 ln (10

1 1 1

n n n n

b a b a b aa b

b ab a

b a b aa b b a b

a b

b a b aa b b b a a

n b n a

b b a b a b aa b

b a a

− − −< < < <

−+ +

− −< < < < − <

− −

− −< < ⋅ < − < ⋅

⋅ ⋅

− + −< < < < + + +

)2( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי� בתחו� הרשו� ליד

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2

*

0 arctan (2 0 tan (11 2 cos

0 a rcsinh( ) (4 0 1 arcsin (31 1

0 ln(1 ) (6 0 1 a rc tanh( ) (51 1

0 sin (8 0 1 1 (7

0 1 arctan ln(1 ) ( 10 03

x x

x xx x x x x x

x x

x xx x x x x x

x x

x xx x x x x x

x x

x x x x x e xe

x x x x

π

π

> < < < < < < +

> < < < < < <+ −

> < + < < < < <+ −

> ≤ > + < < +

< < > + < <

tan 4 (9x x<

44



)3( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי

2 1 2 1 2 1 2 1

*

cos cos (2 sin sin (1

| tan tan | 8 | sin sin | ( 4 arctan arctan (3

x x x x x x x x

y x x y y x y x

− ≤ − − ≤ −

− ≤ − − < −

)4( � :הוכח את אי השוויוני� הבאי

( )

1 1 3 11 2 1.5 (2 ln (1

3 2 22 2

3 1 3 4 1arcsin 0.6 (4 arctan (3

15 6 8 6 25 4 3 6 4

π π π π

+ < < < <

+ < < + + < < +

)תהי . א) 5( )f x פונקציה גזירה לכלx המקיימת| '( ) | 5f x ≤.

(1)ידוע כי 3, (4) 18f f= (2)הוכח כי . = 8f = .

)תהי . ב )f x פונקציה גזירה לכלx המקיימת| '( ) | 7f x ≤.

(1)ידוע כי 3, (4) 18f f= 4הוכח כי . = (2) 10f≤ ≤ .

',עוסקי� במשפט קושי שהוא הכללה של משפט לגרנג 4+ סעי 3ותרגיל 10סעי+ 2תרגיל *

.ולפיכ� רלוונטיי� רק א� למדת משפט זה

45




סדרות


( )4 2 2

ln

3 2

2 2 4 2

5

31 4 2 6

4 2 3 3

2 6 4 2lim (3 lim (2 lim (1

3 10 1000

1 5 6 2 6lim (6 lim (5 lim (4

2 10 2 3 10

16 4 2 3 3 2 6 27lim (9 lim (8 lim

2 2 4 1 5 1 3 10

nn

n n n

n n n

n n

n nn n n

n n ne

n n n n

n n n n n n

n n n n

n n n n n

n n n

−

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+

+ +→∞ →∞ →∞

+ + +

+ +

+ − + + +− + +

+ + − − + + +

+ + − − +

( )

( )

4 2

4

4

3 2 1

3 2 2 0.5 3

25

4 2 2 2 2

2 6

3 10

(74

3 5 1 4 2 4 9 3lim ln (12 lim (11 lim (10

2 1 1000 81 3

1lim 5 (15 lim (14 lim (13

2

lim( 1 ) (18 lim 1 (17 lim

n n

n nn n n

n n n

n n n

n n

n n

n n

n n n

n n n n

ann n n e

bn

n n n n n n n kn

+

+→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ ++

+

− − + ⋅ + − + + +

++ −

+

+ + − + + − + −( )

( )2

2 2

2

1

2

102 2

2

(16

1 1lim 1 (21 lim 1 (20 lim (19

2

2 3 1 2lim (24 lim 1 (23 lim (22

2 3

1 4 1lim 1 tan (27 lim (26 lim

2 2

n n

n n n

n n n

n n n

nn

n n n

n

n an n bnnn

n n

n nn

n n n n

n n n

→∞ →∞ →∞

−

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ + + − +

+ + − −

+ + + + + + +

24

2

2

2

1(25

4

3 sin cos(2 1) sinlim (30 lim (29 lim (28

4 cos

3 arctan(2 3) 3 sin 2lim 2 3 4 (33 lim (32 lim (31

4 arctan( ln ) cos3

n

n n n

n n n n

x n n

n n

n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

+ +

+ ++

+ − + ++ +

+ − +

!מאוד הערה חשובה

!כאל מספר טבעי xיש להתייחס אל . xהמשתנה , nיופיע במקו� המשתנה ,המלא ובפתר

ולכ לעיתי� אומר פונקציה )מהטבעיי� לממשיי�( שסדרה היא פונקציהיש לזכור , בנוס/

.במקו� סדרה

46




( )

2

14

2 2 2

3 2 2

(2 )! 2 !lim (3 lim (2 lim (1

!( !)

2 ! !lim 1 2 (6 lim (5 lim (4

2 4

1 2 ... 1 2 ... 4lim (9 lim (8 lim sin (7

1 4 1

1 ( 1)4 sin (12 lim (11 lim s

n

nnn n n

n nnnn

n n n

n n n

nn

n

n n

n n

nn n

n n

n n

n nn

nn n n n

n

n n

→∞ →∞ →∞

+

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞

+

+ + + + + + ⋅ + + + +

+ −

in (102

nπ

:הבאי�חשב את הגבולות )3(

3

2 2 2

1 3 5 (2 1) 1 1 1lim (2 lim ... (1

2 4 6 2 1 2 2 3 ( 1)

1 1 1 1 2 3 ...lim ... (4 lim (3

1 2

n n

n

n n

n

n n n

n

nn n n n

→∞ →∞

→∞ →∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −+ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+ + ++ + + + + +

� 1סעי+ : י�רמז* 1 1 1

( 1) 1n n n n= −

+ + הוכח כי - 2סעי+ .

1

2 1n

na

+<.

).רקורסיה(בתרגילי� הבאי� נתונה סדרה בעזרת נוסחת נסיגה )4(

.הוכח שהסדרה מתכנסת וחשב את גבולה

1 1 1 1 1 1

1 1, 2 (3 2 1, 2 (2 2 , 2 (1

2n n n n n n

n

a a a a a a a a aa

+ + +

= + = = − = = + =

.

נתונה הסדרה )5(1 1 1 22 3 , 1, 1n n na a a a a+ −= + = =.

: על ידי nbנגדיר סדרה חדשה . 1 .א 1

nn

n

ab

a +

limהוכח שהגבול . = nn

b→∞

.קיי� וחשב אותו

.שואפת לאינסו+ naבעזרת התוצאה של הסעי+ הקוד� הוכח שהסדרה . 2

.)כלומר נוסחה לא רקורסיבית( naמצא ביטוי סגור עבור הסדרה . 1. ב

. י הסגור שמצאתובעזרת הביט .1.א על סעי+שוב ענה . 2

.הוכח באינדוקציה שהביטוי הסגור שמצאת בסעי+ הקוד� הוא אכ� נכו�. 3

47



:על סמ� ההגדרה של גבול של סדרה הוכח כי )6(

. א 2 1 1

lim4 3 2n

n

n→∞

+=

+. ב

2

2

1lim 1

1n

n

n→∞

−=

+. ג

2

2

sin 1lim

2 3 2n

n n

n→∞

+=

+

. ד 2

2

( 1)lim 1

1

n

n

n

n→∞

+ −=

+. ה

2

2

4 2 1lim 2

2 3n

n n

n n→∞

− +=

+ +. ו

2

2

coslim 0

2n

n n

n→∞

⋅=

+

). ז )2lim 4 2n

n n n→∞

+ − = lim. ח 2 4

nn

→∞+ = 3. ט ∞ 2lim 5 6

nn n n

→∞− + + = ∞

lim. י log(2 5)n

n→∞

+ = ∞

2. אי 1lim n

ne

+

→∞= . בי ∞

1lim logn n→∞

= −∞

)7( � :הוכח או הפר

1 ( � .סדרה חסומה אז יש לה גבול naא

2 ( �אnb סדרה לא חסומה אזlim

nnb

→∞= limאו ∞

nnb

→∞= −∞.

3 ( �|א |limnn

c k→∞

limאז =nn

c k→∞

limאו =nn

c k→∞

= −.

4 ( � .סדרה עולה אז היא לא חסומה ndא

) � אי� גבול אז ג� ל nb �ו na �א� ל) 5 )n na b+ ל �) �וג )n n

a b⋅ אי� גבול.

) � אי� גבול אז ג� ל nb �ו na �א� ל) 6 )/n n

a b אי� גבול.

7 ( �)אז , מתבדרת nb �מתכנסת ו naא )n na b⋅ מתבדרת.

8 ( �)אז , מתבדרת nb �מתכנסת ו naא )n na b⋅ מתכנסת.

9 ( �2limאnn

a L→∞

limאז = nna L

→∞=.

10 ( �nא na b< לכלn אזlim limn nn n

a b→∞ →∞

<.

11 ( �limאnn

a→∞

= ∞ �limחסומה אז nbואn nn

a b→∞

= ∞.

12 ( �limאnn

a k→∞

= �1naוא 1kאז nלכל > <.

13 ( �1limאnn

a→∞

)אז = ) 1limn

nna

→∞=.

48




סדרות

)1( 1 (0 .2 (4 .3 (∞ .4 (0 .5 (5� .6 (1 .7 (1.5 .8 (1 3

2 5

−−

.9 (0.25. 10 (4 .11 (2 .

12 (ln 3 .13 (1/3e .14 (( ) ( )5lim / 0na a b b= ⇐ ≠ , ( ) ( )lim 0, 0n

a a b= ∞ ⇐ > =,

( ) ( )lim 0, 0n

a a b= −∞ ⇐ < = .15 (2.5 .16 (2k .17 (0.5 .18 (0.5 . 19 (

2a b− .20 (0.5e.

21 (1 .23 (1e− .24 (3e .25 (12e− .26 (30e .27 (e. 28 (0 .29 (0 .30 (0.75 .31 (3

32 (3

4 .33 (4 .)2( 1( 0 .2 (0 .3( 4 .4 (

1

4e .5 (∞ .6 (1 .7 (4 .8 (0.5 .9 (

1

3.

.2הגבול ) 1 )4(. 1) 4. 1) 3. 0) 2. 1) 1 )3(. ∞) 12. אי� גבול) 11. גבולאי� ) 10

הגבול .) 1.א )5(. 1הגבול ) 3. 1הגבול ) 21

3.) 1.ב.

1 13 ( 1)

6 2

n n

na = ⋅ − ⋅ − .

49



גבולות –סחאות ונ

0

1 1 1 1 10 , 0

0 0

______________________________________________________________________

0 1

______________________________________________________________________

ln

0

x

yx

y e e e e

y x

x x x

+ −

−∞ ∞

= = = ∞ = −∞ =−∞ ∞

= = = = ∞

= − −−

→−∞ → →∞

ln(0 ) ln( )

______________________________________________________________________

arctan atan( ) atan(0) 0 atan( )2 2

_____________________________________________________________________

,x

y x

y a

π π

+ = −∞ ∞ = ∞

= −∞ = − = ∞ =

= 0

00 1

1 0 1

, 1 0

_____________________________________________________________________

sin sin 0 0

_____________________________________________________________________

cos

xa

a a a a

y a a a a

y x

y

−∞ ∞

−∞ ∞< <

> = = = ∞

= = ∞ = =

= − − − = − − −

= cos0 1

_____________________________________________________________________

sin0 1 0

_____________________________________________________________________

tan1

_________________________

x

xy

x

xy

x

− − − = − − −

=

= −− − − −−

1

33 3

(from right)

____________________________________________

11 1

(1 ) 1

_____________________________________________________________________

0 0

0 0

__________________

x

x

y e ex

y x e

y x

y x

+

= +

= + − − −

= − −− = ∞ = ∞

= −∞ = ∞ = ∞

0 0

___________________________________________________

Defined Limits:

, ( ) , , , ( ) , / ( )

Undefined Limits :

0, , , 0 , 1 , 0 ,

0

a a a

∞

∞⋅∞ = ∞ ∞ −∞ = −∞ ∞+∞ = ∞ ∞± = ∞ ∞⋅ ± = ±∞ ∞ ± = ±∞

∞∞−∞ ⋅∞ ∞

∞

50



נגזרות –נוסחאות

2

2

2

1. ' 0

12. ' '

3. ' '

4. ' ' ln

15. ln ' '

6. sin ' cos '

7. cos ' sin '

18. tan ' '

cos

19. cot ' '

sin

110. arcsin ' '

1

11. ar cos '

y a y

n ny f y n f f

f fy e y e f

f fy a y a f a

y f y ff

y f y f f

y f y f f

y f y f

f

y f y f

f

y f y f

f

y f y

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

= =−= = ⋅ ⋅

= = ⋅

= = ⋅ ⋅

= = ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

= = ⋅−

= =

( ) ( )

2

2

2

2

2

18. ( ) ' ( ) ( ( ) ln( ( )) '

1'

1

112. arctan ' '

1

113. ar cot ' '

1

14. sinh ' cosh '

15. cosh ' sinh '

116. tanh ' '

cosh

117. coth ' '

sinh

g x g xy f x y f x g x f x

f

f

y f y f

f

y f y f

f

y f y f f

y f y f f

y f y f

f

y f y f

f

→

→

→

→

→

→

→= = ⋅ ⋅

− ⋅−

= = ⋅+

= = − ⋅+

= = ⋅

= = ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

51



אינטגרלי� –נוסחאות

1 11 ( )1 ( ) 1

1 1

1 1 1ln | | ln | |

1

1ln ln

1cos sin cos( ) sin( )

sin

n nn n

x x ax b ax b

xax b

xax b

adx ax c

x ax bx dx c n ax b dx c n

n a n

dx x c dx ax b cx ax b a

e dx e c e dx e ca

k kk dx c k dx ck a k

xdx x c ax b dx ax b ca

xd

+ +

+ +

++

= +

+= + ≠ − + = + ≠ −

+ +

= + = + ++

= + = +

= + = +

= + + = + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2

1cos sin( ) cos( )

1tan ln | cos | tan( ) ln | cos( ) |

1cot ln | sin | cot( ) ln | sin( ) |

1 1 1tan tan( )

cos cos ( )

1cot

sin

x x c ax b dx ax b ca



dx x c dx ax b cx ax b a

dx x cx

= − + + = − + +

= − + + = − + +

= + + = + +

= + = + ++

= − +

− − − −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 2 2 2

2 2

1 1cot( )

sin ( )

1 1 1 1ln | tan | ln | cot |

cos cos sin sin

1 1 1 1arctan ln

2

1arcsin

dx ax b cax b a

dx x c dx x cx x x x

x x adx c dx c

x a a a x a a x a

xdx c

aa x

= − + ++

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

= + + = − +

− = + = + + − +

= + −

− − − − − − − − − −

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 2

2 2

2

3

2

1ln | |

' 1ln | | '

2

' cos ' sin( )

'sin ' cos( ) 2

2' ' '

3

f f

dx x x a cx a

fdx f c f f dx f c

f

e f dx e c f f dx f c

ff f dx f c dx f c

f

f f dx f c u v dx u v u vdx

= + ± +±

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − −

= + ⋅ = +

⋅ = + ⋅ = +

⋅ = − + = +

⋅ = + ⋅ = ⋅ − ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

52



טריגו –נוסחאות

2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

sin cos 1

sintan

cos

coscot

sin

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1

11 tan

cos

11 cot

sin

1sin (1 cos 2 )

2

1cos (1 cos 2 )

2

1sin cos sin( ) sin(

2a

α α

αα

αα

αα

α α α

α α α α α

αα

αα

α α

α α

α β β α

+ =

= =

=

= − = − = −

+ = + =

= − = +

= + +( )

( )

( )

)

1sin sin cos( ) cos( )

2

1cos cos cos( ) cos( )

2

2sin sin

( ) 2

2cos cos

2

tan tan

cot cot

sin 0

cos 02

a

a

x kx

x k

x kx

x k

x x k

x x k

x x k

x x k

β

α β β α β

α β β α β

α πα

π α π

α πα

α π

α α π

α α π

ππ

π

−

= − − +

= + + −

= += ⇒ = − +

= + = ⇒

= − + = ⇒ = +

= ⇒ = +

= ⇒ =

= ⇒ = +

53



אלגברה –נוסחאות

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 2 2 3 3 3 2 2

3 3 2 2 3 3

4 4 3 2 2 3 4

4 4 3 2 2 3 4

( ) 2 ( ) 2

( ) 2 ( )( )

( ) 3 3 ( )( )

( ) 3 3

( ) 4 6 4

( ) 4 6 4

a b a ab b a b a b ab

a b a ab b a b a b a b

a b a a b ab b a b a b a b ab

a b a a b ab b a b

a b a a b a b ab b

a b a a b a b ab b

+ = + + + = + −

− = − + − = − + + = + + + + = + + −

− = − + − − + = + + + + − = − + + +

( )

3 2 2

4 4 2 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

0

1

2

( )( )

( ) 2

( )( )

0, 0

ln ln ln

ln ln l

( )

1

1

,

ln

m n m n

mm n

n

nm mn

n n n

n n

n

n

n

m

n m n

x

a b a b ab

a b a b a b

a b a b a b

a ba a a

a b aba

aa a b

a a

ab a b

a a

b b

a

aa

a a a a

a b x b

+

−

−

= − + + + = + − − = − +

> > = + = = − = =

= = = = = = = ⇒ =

ln

ln

2

n

ln1 0 , ln 1

ln

ln ln ( 0)

ln

0| |

0

| | | | | |

| |

| |

| |

| |

n

n

x

b b a

k

a

b

e

e n

x n x x

e x

a e

x k x e

a if aa a

a if aa b

a d b c a b a bc d

a a

b ba b c

x a a x ae f d f d ed e f a b c

x a x a or x ah i g i g hg h i

= =

= = > =

=

= ⇒ =

≥ = = − < = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅

= < ⇔ − < < = − +

> ⇔ < − >

54



של פונקציות חשובותטורי מקלור $חאות נוס

מקלור טור תחו� התכנסות

1 2 3

0

2 1 3 5 7

0

2 2 4 6

0

1 2 3 4

0

1 ...! 1! 2! 3!

sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!

cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!

1 1ln(1 ) ( 1) ...1 2 3 4

arctan

nx

n

nn

n

nn

n

nn

n

x x x xxe

n

x x x xx x x

n

x x x xx x

n

x x x xxx x

n

x

∞

=

+∞

=

∞

=

+∞

=

−∞ < < ∞= = + + + +

= − = − + − + −∞ < < ∞+

= − = − + − + −∞ < < ∞

− < ≤+ = − = − + − ++

=

∑

∑

∑

∑

2 1 3 5 7

0

1 2 3

0

1

2 3

1 1( 1) ...2 1 3 5 7

11 ... 1 1

1

1 1 ( 0)( 1) ... ( 1)(1 ) 1

1 1 ( 1 0)!

1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 2)1 ...

0,1,2,3,...2! 3!

nn

n

n

n

m n

n

x x x xxx

n

x x x x xx

x mm m m nx x

x mn

x mm m m m mmx x x

m

+∞

=

∞

=

∞

=

− ≤ ≤− = − + − ++

= = + + + + − < <−

− ≤ ≤ >− ⋅ ⋅ − ++ = + − < ≤ − < <

− < < ≤ −− − −= + + + +

≠

∑

∑

∑

Documents

ובשח ילמיסטיניפניא - GOOL · 2013-08-18 · 0 ל וסנכ יה ואדיו ו טרסב אלמ ו רתפל © ומולס איג – רתפו בתכ ובשח ילמיסטיניפניא