МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ВИТУСА БЕРИНГА»

А. П. Горюшкин

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

ДЛЯ БАКАЛАВРОВ

Петропавловск-Камчатский 2013

2

УДК 511

ББК 22.1

Г71

Издание осуществлено при финансовой поддержке

Министерства образования и науки РФ

в рамках программы стратегического развития

ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет

имени Витуса Беринга» на 2012–2016 гг.

Р е ц е н з е н т ы :

И. А. Ильин,

кандидат физико-математических наук,

профессор кафедры математики и физики КамГУ им. В. Беринга;

А. А. Чермошенцева,

кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики КамчатГТУ

Н а у ч н ы й р е д а к т о р :

Б. М. Шевцов,

доктор физико-математических наук, профессор

Горюшкин А. П.

Г71 Алгебра и геометрия для бакалавров / А. П. Горюшкин; КамГУ им. Витуса Берин-

га. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2013. 293 с.

ISBN 978-5-9002-6120-4

В учебном пособии кратко излагаются основные разделы курса математики для

студентов, обучающихся по программам «Прикладная математика» и «Информаци-

онная безопасность».

В пособии рассматриваются важнейшие алгебраические и геометрические струк-

туры. Значительное место уделено решению типовых задач.

Может быть полезно для студентов, обучающихся по другим инженерным, гума-

нитарным и физико-математическим специальностям.

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом ФГБОУ ВПО «Камчат-

ский государственный университет имени Витуса Беринга» в качестве учебного по-

собия для студентов, обучающихся по программ высшего профессионального обра-

зования по направлениям «010400.62 Прикладная математика» и «090900.62 Инфор-

мационная безопасность».

УДК 511

ББК 22.1

© А. П. Горюшкин, 2013

ISBN 978-5-9002-6120-4 © КамГУ им. Витуса Беринга, 2013

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................................................... 4

I. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ............................................................................... 6

§ 1. Алгебраические операции ........................................................................................................... 6

§ 2. Алгебра множеств ......................................................................................................................... 8

§ 3. Группы и кольца ......................................................................................................................... 15

§ 4. Кольцо многочленов от одной переменной ............................................................................ 22

§ 5. Многочлены от нескольких переменных ............................................................................... 35

§ 6. Поле комплексных чисел ........................................................................................................... 51

§ 7. Контрольные задания по теме «Алгебра» .............................................................................. 60

II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ....................................................................................................................... 94

§ 1. Векторные пространства, матрицы и определители ........................................................... 94

§ 2. Системы линейных уравнений ............................................................................................... 111

§ 3. Системы линейных неравенств.............................................................................................. 123

§ 4. Решетка подпространств ......................................................................................................... 126

§ 5. Линейные операторы ............................................................................................................... 128

§ 6. Евклидовы пространства ........................................................................................................ 131

§ 7. Контрольные задания по теме «Линейная алгебра» .......................................................... 137

III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ................................................................................................. 178

§ 1. Кривые второго порядка ......................................................................................................... 178

§ 2. Поверхности второго порядка ............................................................................................... 187

§ 3. Типы уравнений прямой ......................................................................................................... 198

§ 4. Взаимное расположение прямых и плоскостей ................................................................... 206

§ 5. Контрольные задания по теме «Аналитическая геометрия» ........................................... 217

IV. ВОПРОСЫ И ТЕСТЫ ............................................................................................................................. 249

§ 1. Программа курса «Алгебра и геометрия» ............................................................................ 249

§ 2. Вопросы для самоконтроля ..................................................................................................... 252

§ 3. Примеры тестовых заданий Федерального Интернет-экзамена ..................................... 258

Глоссарий ................................................................................................................................................ 280

Библиографический список ................................................................................................................ 293

4

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей формой изучения математических дисциплин является самостоятельная работа

над учебным материалом, включающая решение задач и выполнение контрольных работ.

В пособии обсуждаются важнейшие понятия дисциплины «Алгебра и геометрия» учебного

плана подготовки бакалавров специальности «Прикладная математика», «Информационная без-

опасность» и «Прикладная информатика». В пособие включен краткий теоретический материал,

образцы решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения по всем разделам обра-

зовательной программы. В пособии содержится весь необходимый справочный материал и обсуж-

дены наиболее важные (и трудные для самостоятельного изучения) темы.

Пособие, ориентированное на специальность «Прикладная математика», может являться ос-

новной учебной литературой при изучении первых разделов вузовского курса математики и для

студентов, обучающихся по другим инженерно-информационным, физико-математическим и гу-

манитарным специальностям.

В пособие включен краткий теоретический и справочный материал, обсуждены наиболее

важные и трудные для самостоятельного изучения темы, представлены образцы решения типовых

задач и предложены задачи для самостоятельного решения по основным разделам рабочей про-

граммы курса.

Первая глава «Основные алгебраические структуры», содержит элементы общей алгебры и

посвящена особенностям применения важнейших математических структур.

Глава «Линейная алгебра», представляет, образно выражаясь, «конкретную» алгебру, свя-

занную с изучением и применением векторных пространств и линейных отображений. В третьей

главе рассматриваются основные понятия аналитической геометрии.

В последнее время основной формой проверки учебной деятельности вуза является Феде-

ральный Интернет-экзамен в сфере профессионального образования.

При его проведении экзаменуемый студент в течение определенного времени, находясь у

персонального компьютера, через Интернет получает тестовые задания по всем разделам курса.

Для успешного прохождения федерального Интернет-экзамена необходимо верно ответить

не менее чем на 50% заданий аттестационных педагогических измерительных материалов

(АПИМ) для каждой дидактической единицы (ДЕ).

В качестве примера приведем типичную тематическую структуру АПИМ из Федерального

экзамена.

№ ДЕ

Наименование дидактической единицы ГОС

№ з

адан

ия

Тема задания

1 Линейная алгебра

1 Разложение определителя по элементам какой-либо строки

(столбца)

2 Операции над матрицами: умножение матриц (одна из мат-

риц – вектор-столбец)

3 Ранг матрицы

4 Системы линейных уравнений: правило Крамера

2 Аналитическая геометрия

5 Кривые второго порядка

6 Типы уравнений прямой

7 Условие перпендикулярности двух прямых

8 Положение плоскости относительно координатных осей

Отметим, что в различные годы структура АПИМ по математике для одной и той же специ-

альности немного менялась.

Например, среди дидактических единиц под названием «Абстрактная алгебра» появлялся

некий симбиоз общей и линейной алгебры. Расширялась и тематика в разделе «Аналитическая

геометрия».

5

№ ДЕ

Наименование дидактической единицы

ГОС

№ з

адан

ия

Тема задания

1 Абстрактная алгебра

1 Основные алгебраические структуры

2 Свойства алгебраических операций

3 Линейные отображения

4 Алгебра многочленов: корни многочленов

2 Аналитическая

геометрия

5 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости

6 Кривые второго порядка

7 Полярная система координат

8 Прямая на плоскости: угловой коэффициент

9 Условие перпендикулярности двух прямых

10 Условие принадлежности точки заданной плоскости

Иногда эти две дидактические единицы в Интернет-тестировании были объединены в одну.

№ ДЕ

Наименование дидактической едини-

цы ГОС

№ з

адан

ия

Тема задания

1 Алгебра и геометрия

1 Вычисление определителей

2 Умножение матриц

3 Системы линейных уравнений

4 Прямая на плоскости

5 Кривые второго порядка

6 Основные задачи аналитической геометрии в пространстве

7 Линейные операции над векторами

8 Скалярное произведение векторов

Своеобразно понимали иногда разработчики тестов Федерального экзамена и раскрытие тем

заданий. Все это своеобразие отражено в последней главе в параграфе «Примеры тестовых зада-

ний Федерального Интернет-экзамена», где для самоконтроля читателя приведены все тесты, со-

ответствующие этим дидактическим единицам.

В тексте пособия в соответствующих разделах содержатся подробные разборы всех типичных

Федеральных тестов последних лет по всем перечисленным дидактическим единицам.

Конечно, чтобы успешно выдержать Интернет-экзамен необходимым условием является

знание терминологии. В конце работы помещен глоссарий всех терминов курса.

6

I. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

В этой главе рассматриваются основные свойства двуместных алгебраических операций, а

затем важнейшие алгебраические структуры: группы, кольца и поля.

В современной науке и технике особую роль играют конечные поля, а из числовых полей

важнейшим является поле комплексных чисел.

§ 1. Алгебраические операции

Алгебраические системы и алгебры. Объектами изучения математики являются алгебраи-

ческие системы – множества с операциями и отношениями.

Множество с операциями называют алгеброй.

Алгебры классифицируются по числу и свойствам операций. Непустое подмножество алгеб-

ры, само являющееся алгеброй того же типа и класса, что и исходная, называется подалгеброй.

Чаще всего в математике встречаются двуместные операции. Символ двуместной операции,

как правило, ставится между элементами, к которым эта операция применяется; например, a+b, a-

b, ab и т.п.

Алгебру на множестве A с операциями f1, f2, …, fn обозначают символом <A; f1, f2, …, fn >.

Например,

N = <N; +, > – алгебра натуральных чисел, а

Z = <Z; +, , > – алгебра целых чисел.

Уточним определение алгебраической операции.

Алгебраической операцией на множестве M называют отображение f декартовой n-ой декар-

товой степени Mn множества M в себя, ,: MMf n если .nf MD

В случае, когда nf MD , говорят, что f – частичная операция.

Число n называется местностью (или арностью операции) Наиболее распространены дву-

местные (бинарные) и одноместные (унарные) операции.

Символом f(x1, x2, ..., xn) обозначают образ элемента (x1, x2, ..., xn) из Mn. Для конкретных эле-

ментов (a1, a2, ..., an) из M элемент f(a1, a2, ..., an) принадлежит множеству M. При алгебраической

операции каждый элемент из Mn должен иметь образ, иначе говоря, отображение f является всюду

определенным.

Одноместная операция f – это просто отображение множества M в себя.

Двуместная операция – это отображение декартова квадрата MM в множество M. Двумест-

ная операция отображает каждую пару элементов (a, b) в элемент f(a, b).

Таблица Кэли. Пусть на множестве M задана операция. Обозначим эту операцию символом

, т. е. каждому элементу (a, b) из декартова произведения MM соответствует элемент a b из M.

Представив элементы M в виде вертикальных и горизонтальных полос, получим наглядное пред-

ставление декартова произведения MM в виде квадрата, расчерченного на эти полосы. Элемент

(a, b) изображается пересечением a-горизонтали и b-вертикали. Операция f отображает квадратик

(a, b) в a b.

7

Это наглядное изображение можно сделать удобным и для использования, если поместить

элемент a b в квадратик (a, b). Полученную таблицу действия операции f называют по имени ав-

тора1 таблицей Кэли.

Таблица умножения, изображаемая на обложках школьных тетрадей и ошибочно называемая

«таблица Пифагора», представляет собой начальный фрагмент бесконечной таблицы Кэли для

операции умножения на множестве натуральных чисел.

Можно говорить и о нульместной операции, т. е. об «отображении» пустого множества

= M0 в M. Слово отображение взято в кавычки, потому, что это ненастоящее отображение – во

множестве M0 нет элементов, поэтому нет их и в M

0M. Нульместная операция – это просто выде-

ленное в M подмножество, в частности один элемент из M.

Свойства операций. Пусть A=<A; > -- алгебра с одной двуместной операцией, обозначен-

ной знаком .

Это значит, что любой паре элементов a, b из множества A соответствует в точности один

элемент ab из того же множества A.

Операция ассоциативна, если для любых элементов a, b, c из A выполняется равенство

(a b) с = a (b с).

Например, сложение и умножение чисел – ассоциативные операции, а возведение в степень

и вычитание – не ассоциативные.

Операция коммутативна, если для любых элементов a, b из A

a b = b a.

Например, сложение и умножение целых чисел – коммутативные операции, а возведение в

степень и вычитание – не коммутативные.

Элемент e из A называется нейтральным (или единицей) для операции , если для любого

элемента a из A

a e = e a = a.

Например, числовая единица является нейтральным элементом для умножения, а числовой

нуль – нейтральный элемент для сложения чисел.

Может случиться, что элемент действует нейтрально лишь с одной стороны. Элемент e из A

называется правым нейтральным (правой единицей) для операции , если для любого элемен-

та a из A

a e = a,

и соответственно левым нейтральным (левой единицей), если

e a = a.

1 Артур Кэли (1821-1895) – английский математик, с 1963 г. профессор Кембриджского университета.

8

Например, числовая единица является правым нейтральным элементом для операции «воз-

ведение в степень» и не является левым нейтральным для той же операции.

Аналогично, число нуль – правый (но не левый) нейтральный элемент для операции «вычи-

тание».

Элемент o из A называют поглощающим (или нулем, или аннулятором) для операции , ес-

ли для любого элемента a из A

a o = o a = o.

Например, числовой нуль – это поглощающий элемент для умножения чисел.

Как и в случае с единицей, с нулем может случиться то же самое: он поглощает любой эле-

мент лишь при умножении с одной стороны. Элемент o из A называется правым поглощающим

(правым нулем) для операции , если для любого элемента a из A

a o = o,

и соответственно левым поглощающим (левым нулем), если

o a = o.

Например, числовая единица является левым поглощающим элементом (левым нулем) для

операции «возведение в степень» и не является правым нулем для той же операции.

Рассмотрим далее важнейшие алгебры и алгебраические структуры математики.

Одной из основных алгебраических структур в математике является алгебра множеств.

§ 2. Алгебра множеств

Комбинаторные конфигурации. Каждая конструкция из элементов конечного множества

называется комбинаторной конфигурацией.

Примерами комбинаторных конфигураций школьного курса математики являются разме-

щения, сочетания, перестановки.

В основе всех формул для подсчета числа комбинаторных конфигураций лежат всего два

правила: правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если множества A, B – конечные и имеют число элементов A и B со-

ответственно, а пересечение A B = , то

A B = A+B.

Это равенство называют комбинаторным правилом суммы. Правило суммы является опре-

делением сложения конечных мощностей.

Правило суммы распространяется на любое конечное число попарно непересекающихся

множеств,

n

i

n

i AA11

.

Индукцией по n устанавливается, что для любых конечных множеств A1, A2, ... , An:

Это равенство называют принципом включения и исключения.

9

Правило произведения. Декартово произведение AB состоит из AB элементов,

A B = AB

Это равенство называют комбинаторным правилом произведения. Правило произведения

является определением умножения конечных мощностей.

Правило распространяется на декартово произведение любого конечного числа конечных

множеств,

A1 A2 ... Am = AA2 ... Am.

Каждое подмножество множества M однозначно задается своей характеристической функ-

цией.

Используя правило произведения можно вычислить число всевозможных характеристиче-

ских функций, определенных на множестве M. Число это в точности равно числу подмножеств

множества M.

Если M – конечное множество, то булеан P(M) множества M состоит из 2M

элементов.

Теперь можно найти число соответствий между элементами конечных множеств A и B.

Если множество A состоит из m, а множество B – из n элементов, то существует 2nm

соответ-

ствий между элементами множеств A и B.

Если множества A и B совпадают, то речь идет о бинарных отношениях.

Число бинарных отношений на множестве A, состоящем из m элементов, равно .22m

Среди соответствий между A и B важную роль играют отображения множества A в мно-

жество B.

Отображения, биекции и инъекции. Если множество A состоит из m, а множество B – из n

элементов, то существует nm отображений множества A в множество B.

Число всевозможных отображений множества из m элементов на множество из n элементов

называют размещениями с повторениями из n элементов по m элементов. Число это принято обо-

значать1 символом .

~m

nA Таким образом, .~ mm

n nA

Среди отображений особое место занимают взаимно однозначные отображения (инъекции).

Если множество A состоит из m, а множество B – из n элементов (m n), то существует

n (n 1) (n 2) ... (n m + 1)

инъекций множества A в множество B.

Взаимно однозначное отображение множества из n элементов в m-элементное множество

называют размещением без повторений из n элементов по m элементов. Число всех таких разме-

щений обозначают символом .mnA Таким образом,

.если,1...21

,если,0

nmmnnnn

nmAm

n

Если n натуральное, то число, равное произведению всех натуральных чисел, не превышаю-

щих n, принято обозначать символом n! и называть факториалом2 (n ! читается: «эн факториал»).

С таким обозначением

.

!

!

mn

nAm

n

1 Буква A – первая буква латинского слова Arrangement – размещение, расположение. 2 От латинского слова factor – множитель. Термин применяется с 1800 года, а символ n! рекомендован Советом Лон-

донского математического общества в 1916 году.

10

Мощности множеств A и B могут совпадать. Тогда инъекция превращается в биекцию. Если

множество A состоит из m, а множество B – из n элементов, то существует n! биекций множества A

в множество B, если m = n, и ни одной биекции, если .nm

Пусть число элементов в множествах A и B одинаково, и одно из них является начальным

отрезком натурального ряда. Например,

B = {1, 2, 3, ..., n}

В таком случае биекция A на B означает присваивание элементам из A порядковых номе-

ров. Расположив элементы из A по возрастанию номеров, мы получим перестановку множества A.

Число всевозможных перестановок n-элементного множества обозначают1 символом Pn.

Число перестановок Pn множества из n элементов равно n!.

Каждая перестановка множества задает линейное упорядочение этого множества. Это значит,

что число различных линейных упорядочений n-элементного множества равно n!.

Взаимно однозначное отображение множества на себя принято называть подстановкой.

Число различных подстановок n-элементного множества равно числу его перестановок и равно n!.

Пусть множество A состоит из n элементов, и m n. Подмножество из A называют сочета-

нием, а число всех m-элементных подмножеств множества из n элементов обозначают2 символом

m

nC или ;

m

n читается «число сочетаний из n по m»

Для некоторых значений m о значении 1m

nC нетрудно догадаться. Например, в каждом

множестве содержится всего лишь одно пустое множество, одно множество, совпадающее со всем

A, и n одноэлементных подмножеств:

11 nC , 1n

nC , .1 nCn

Чтобы найти значение mnC в общем случае, достаточно заметить связь между числами Pm,

mnC и

:m

nA

.m

n

m

nm ACP

Эта связь позволяет вычислить число m-элементных подмножеств множества из n элемен-

тов.

.

!

1...1

m

mnnnCm

n

Формула для числа сочетаний играет основную роль при подсчете коэффициентов разложе-

ния степени двучлена.

Бином Ньютона. Опираясь на определение подмножества, непосредственным вычислением

устанавливаются следующие свойства числа сочетаний. Для любых натуральных n, m (mn) вы-

полняются равенства:

а) ;

mn

n

m

n

б) ;1

1

m

n

m

n

m

n

1 Буква P – первая буква латинского слова Permutation – перестановка. 2 Буква C – первая буква латинского слова Сombination – сочетание.

11

в) .1

...2

2

1

1

0

m

mn

m

mnmnn

Сложив все числа m

nC , где m принимает все значения от нуля до n, мы получим общее число

всех подмножеств множества из n элементов:

0

nC 1

nC 2

nC ... 1n

nC .2nn

nC

Число 2 = 1 + 1, и это равенство означает, что

011 n

nC 1

nC 2

nC ... 1n

nC .n

nC

Этот факт является частным случаем более общей формулы: для любых действительных чи-

сел a, b и любого натурального n:

.... 11222110 nn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

nbCabCbaCbaCaCba

Двучлен a + b называется биномом, а формулу для вычисления разложения степени бинома в

сумму называют биномом Ньютона1.

Используя знак суммирования , можно записать бином Ньютона короче.

.0

inin

i

nba

i

nba

Тождество

m

n

m

n

m

n 1

1,

или в другой символике

,1

1 m

n

m

n

m

n CCC

означает, что, отправляясь от коэффициентов разложения (a+b)0 = 1 с помощью сложения можно

последовательно получить все биноминальные коэффициенты.

1 Эта формула была известна задолго до Исаака Ньютона, но Ньютон в 1665 г. указал возможность ее обобщения для

отрицательного или дробного n: в этом случае разложение степени бинома превращается в бесконечный (биноминаль-

ный) ряд.

12

Ситуацию можно представить наглядно.

Рассмотрим треугольную числовую таблицу, у которой первый и последний элемент каж-

дой строки единица, а каждый другой элемент строки получается суммированием двух чисел,

стоящих над ним.

В честь автора эта таблица называется треугольником Паскаля1.

Значения коэффициентов бинома Ньютона n-й степени являются элементами (n+1)-й строки

треугольника Паскаля.

Сюръекции и числа Стирлинга второго рода. Число сюръекций множества M на A связа-

но с числом разбиений множества M на непересекающиеся подмножества.

Число всех разбиений n-элементного множества на k смежных классов обозначают симво-

лом S(n, k) и называют числом Стирлинга второго рода. Полагают S(0, 0) = 1. Непосредственно из

определения следует, что если n>0, то S(n, 0) = 0, S(n, 1) = 1, S(n, n) = 1. Кроме того, если k > n,

то S(n, k) = 0. Для каждого n > 0 выполняются равенства

S(n, 2) = ,12 1 n S(n, n) = 1, S(n, n-1) =

2

n.

Если n>0 и k>0, то S(n, k) = kS(n-1, k)+S(n-1, k-1).

S(n, k) =

)1(

1

1,1

1kn

m

kmnSm

n = .1,

11

1

n

ki

kiSi

n

Число сюръекций множества из n элементов на k-элементное множество равно k!S(n, k).

Если множество M состоит из n, а множество A – из k элементов (n k), то существует

nk

i

iik

i

k

1

0

1

сюръекций множества M на A.

Обозначим символом E(n) число эквивалентностей на множестве из n элементов, причем по-

ложим E(0) = 1.

Так как каждая эквивалентность однозначно задает разбиение множества на классы, E(n)

равно числу всех разбиений n-элементного множества.

Непосредственно видно, что E(1)=1 и E(2)=2. Используя число Стирлинга второго рода,

можно получить явные выражения для E(n):

n

k

knSnE0

,,

E(n) = .11

0

n

i

iEi

n

1 Блез Паскаль (1623–1662) – французский философ, писатель, математик и физик. Числовой треугольник появился в

его работе «Трактат об арифметическом треугольнике» (написанной в 1654 г. и опубликованной уже после смерти авто-

ра в 1665 г.). Там же впервые явно сформулирован и применен метод математической индукции.

13

Используя равенство

ba

a

b

a, и обозначив mn символом i, получаем:

E(n) = .11

0

n

i

iEi

n

Рекуррентное соотношение для числа Стирлинга второго рода и предыдущие равенства до-

ставляют алгоритм для последовательного вычисления S(n, k).

Например, в приведенной таблице последовательно получены значения S(n, k) для n, k из

множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

В этой таблице нетривиальной частью является лишь треугольник из ненулевых элементов.

Этот треугольник (по аналогии с треугольником Паскаля) называют иногда треугольником Стир-

линга. Каждый элемент xnk из n-ой строки k-го столбца треугольника Стирлинга, кроме крайних,

равных единице, получается как сумма элемента xn – 1, k, расположенного в точности над искомым и

умноженного на k, и элемента, находящегося слева от xn – 1, k,

xnk = kxn – 1, k + xn – 1, k – 1.

S(n, k) – элемент n-ой строки и k-го столбца

Выделение одноэлементного подмножества X и рассмотрение отдельно, разбиений содер-

жащих X, а затем разбиений, не содержащих X, позволило получить рекуррентные формулы, в ко-

торых вычисление S(n, k) сводится к вычислению S(n – , k) и S(n – 1, k – 1).

Заметим сначала, что если H – m-элементное подмножество n-элементного множества M, то

число разбиений множества M на k классов, содержащих H как класс, равно S(n – m, k – 1).

Кроме того, если M= n, a M, то число m-элементных подмножеств, содержащих элемент

a, равно

1

1

m

n.

Пусть теперь число m принимает последовательно значения 1, 2, ..., k-1. Для каждого m чис-

ло разбиений, благодаря предыдущим утверждениям, известно; следовательно,

14

S(n, k) = .1,1

1)1(

1

kn

m

kmnSm

n

Используя связь между числами

b

aи

ba

a, и снова обозначив разность n – m симво-

лом i, получаем

S(n, k) = .1,11

1

n

ki

kiSi

n

Полученная формула рекуррентна: с ее помощью вычисление S(n, k) сводится к вычислению

S(k – 1, k – 1), S(к, k – 1), S(k + 1, k – 1), ..., S(n – 1, k – 1).

Кстати, числом s(n, k) Стирлинга первого рода называют коэффициент при степени xk в

многочлене

x (x – 1) (x – 2) ... [(x – (n – 1)],

Другими словами,

x (x – 1) (x – 2) ... (x – n + 1)=

n

k

kxkns0

.),( .

Полиномиальная формула. Пусть X ={x1, x2, ..., xn} и Y ={a1, a2, ..., ak} – два конечных

множества, причем n = m1 + m2 + ... + mk. Рассмотрим все такие сюръективные отображения f мно-

жества A на множество B, что полный прообраз элемента ai состоит из .mi элементов, f

(ai)= mi,

i = 1, 2, ..., k. Число всех таких отображений обозначают символом P(m1, m2, ..., mk).

Отображение описанного вида можно единственным образом представить в виде n-ки

(z1, z2, ..., zn), где ziM, причем символ ai входит mi раз. Такую n-ку принято называть перестанов-

кой с повторениями состава m1, m2, . . . , mk из символов a1, a2, ..., ak.

Число P(m1, m2, ..., mk) различных перестановок с повторениями из n элементов, в которых

элементы a1, a2, ..., ak повторяются соответственно m1, m2, ..., mk раз, равно

!...!!

!...

21

21

k

k

mmm

mmm

.

Используя понятие перестановки с повторениями, можно записать формулу, обобщающую

бином Ньютона, а именно: для любых действительных ai (i=1, 2, ..., n) и любого натурального n

выполняется равенство (называемое полиномиальной формулой)

.......,,,... 21

21

2121

...

21k

k

m

k

mm

k

nmmm

n

k aaammmPaaa

Производящие функции. Если ряд

......2

210 n

n xaxaxaa

сходится в некоторой области, и равен функции f(x), то эту функцию называют производящей

для последовательности ...,,...,,, 210 naaaa . Например, nx1 является производящей функци-

ей для чисел

i

n, i=0, 1, 2, …, n,

15

,10

inn

i

nx

i

nx

а функция 21 xx

x

в окрестности нуля производит числа Фибоначчи:

21 xx

x

= x + x

2 + 2 x

3 + 3 x

4+ 5 x

5+ 8 x

6+ 13 x

7+…

Числами Фибоначчи1 называют множество

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., a, b, a + b, ...},

в котором каждый элемент, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих.

§ 3. Группы и кольца

Определение группы. Пусть A =<A; > – алгебра с одной двуместной операцией, обозна-

ченной символом и с нейтральным элементом e.

Элемент a из A называют обратимым, если существует такой элемент x в A, что

ax = xa=e

Элемент x в таком случае обычно называют обратным для элемента a и обозначают симво-

лом a–1

. Таким образом,

a а–1

= а–1 а = e.

Алгебра G = <G; > с одной операцией называется группой, если: операция ассоциатив-

на; операция обладает нейтральным элементом; каждый элемент из G обратим.

Группа – основное понятие современной математики. Теория функций, топология, кристал-

лография, квантовая механика и другие области естествознания в настоящее время немыслимы

без применения понятия группы.

Кроме многочисленных применений результатов, сама теоретико-групповая методология

является образцом построения теории для других разделов математики.

Элементы теории групп являются обязательным элементом современного математического

образования инженера.

Единицу группы часто обозначают символом 1 (похожим на числовую единицу, но не обяза-

тельно ей являющейся).

Подгруппы. Подалгебра группы называется подгруппой.

Другими словами, непустое подмножество группы, само являющееся группой относительно

той же операции, является подгруппой.

Если H подгруппа группы G, пишут: H < G.

Число элементов в группе G называют порядком группы G, порядок обозначают символом

G . Таким образом, H – это порядок подгруппы H.

В любой неединичной группе G содержится, по крайней мере, две подгруппы: сама G и еди-

ничная подгруппа E = {1}. Эти две подгруппы называют тривиальными (или несобственными).

1 Леонардо Пизанский, Фибоначчи (1180–1240) – итальянский математик, впервые рассмотрел эту последователь-

ность (связанную с задачей о размножении кроликов) в 1228 году; n-ое число Фибоначчи равно 5

2

51

2

51nn

16

Наименьшую подгруппу группы G, содержащую непустое подмножество M, называют под-

группой, порожденной подмножеством M и обозначают символом гр(M).

Подгруппу, порожденную одним элементом, называют циклической подгруппой.

Любая группа является теоретико-множественным объединением своих циклических под-

групп.

Представление группы. Любая подгруппа группы G имеет порождающее множество. Име-

ет его и сама группа G. Если G = гр(M), то любой элемент из группы G является произведением

степеней элементов из M. Это значит, что и таблице Кэли, задающей операцию группы, на входах

можно расставить эти произведения – образно выражаясь, – слов в алфавите M M–1

.

Иначе говоря, любая группа G может быть описана своими порождающими элементами и

таблицей действия – таблицей Кэли.

Таблица действия, в свою очередь может быть полностью определена с помощью некоторых

соотношений между порождающими элементами. Соотношения можно представить в виде произ-

ведений порождающих и их обратных, равных единичному элементу.

Единичный элемент и символ равенства в записи обычно опускаются. Точнее говоря, что ес-

ли группа G порождается элементами a1, a2, …, an и имеет определяющие соотношения R1, R2, …,

Rm, то пишут:

G = < a1, a2, …, an ; R1, R2, … , Rm >.

Множество определяющих соотношений в представлении группы может быть и пустым. В

таком случае группа называется свободной.

Изоморфизм. Теорема Кэли. Множество всех взаимно однозначных отображений конечно-

го множества из n элементов на себя называют симметрической группой степени n и обозначают

символом Sn.

Любую подгруппу группы Sn принято называть группой подстановок.

Две алгебры называются изоморфными1, если они отличаются только названиями (и обозна-

чениями) своих элементов и операций. Точнее говоря, алгебры изоморфны, если существует вза-

имно однозначное отображение множества одной алгебры на множество другой, сохраняющее

операции. Отображение с такими свойствами называют изоморфизмом.

Две изоморфные алгебры обладают одинаковыми свойствами: любое утверждение, которое

выполняется в одной алгебре, автоматически выполняется и в алгебре, ей изоморфной.

ТЕОРЕМА (Кэли2). Каждая конечная группа изоморфна группе подстановок.

Подстановка, перемещающая в точности два символа, называется транспозицией. Каждую под-

становку можно представить в виде произведения транспозиций, и это значит, что группа Sn по-

рождается транспозициями.

Отображение, сохраняющее операции, но не обязательно взаимно однозначное, называется

гомоморфизмом3.

Циклические группы. Если подмножество M группы G состоит из одного элемента, M={a},

то подгруппу гр(a) называют циклической, порожденной элементом a (если гр(a) = G, то G называ-

ется циклической группой).

Циклическая подгруппа состоит из всех целочисленных степеней порождающего элемента,

гр(a) = {ak kZ}.

Если найдется такое натуральное число n, что n-ая степень элемента a равна единице, an

= 1,

то наименьшее n с таким свойством называют порядком элемента a (а если такого числа n не су-

ществует, то порядок элемента a считается бесконечным).

Если n – порядок элемента a, то равенство an = 1 является определяющим соотношением для

гр(a):

гр(b) = <a; an >.

1 От греческого – равный, – форма. 2 Возможность представления конечной группы в виде группы подстановок установлена А. Кэли в 1854 г. 3 От греческого – подобный, – форма.

17

Таким образом, порядок элемента a равен порядку циклическая подгруппы

гр(a) .

Для каждого натурального делителя m числа n в циклической группе <a; an > содержится в

точности одна подгруппа, состоящая из m элементов.

Решетка подгрупп. Рассмотрим теперь множество всех подгрупп данной группы G. Это

множество упорядочено отношением включения для множеств.

Пусть M – множество, упорядоченное отношением , и a, b – два элемента из M. Любой

элемент, который больше и a, и b, называют верхней гранью этих элементов. Наименьшая верхняя

грань называется точной верхней гранью.

Аналогично определяется точная нижняя грань как наибольший элемент из нижних граней.

Множество называется решеточно упорядоченным (или решеткой), если для каждой пары

его элементов a, b существует точная верхняя и точная нижняя грани.

Наглядно ситуацию можно представить с помощью графа отношения порядка. На этом гра-

фе точная верхняя грань элементов a, b располагается над этими элементами, и ближе к этим

элементам приблизиться сверху нельзя. Аналогично, предельно близко снизу к этим элементам

располагается точная нижняя грань.

Граф отношения решеточного порядка будет, вообще говоря, состоять из фрагментов, ука-

занных на рисунке.

Слова «вообще говоря» относится к тому, что в частных случаях элементы a, b могут ока-

заться сравнимыми, т. е. один элемент будет больше (или меньше) другого, и тогда ромб превра-

тится в отрезок.

Множество натуральных делителей натурального числа n решеточно упорядочено отноше-

нием делимости. Роль точной нижней грани в этой решетке играет наибольший общий делитель, а

точной верхней грани – наименьшее общее кратное.

Множество P(M) подмножеств любого множества M образует решетку с операциями пересе-

чения и объединения .

Пересечение A B подгрупп A, B группы G снова является подгруппой в G, причем пересе-

чение A B – это наибольшая подгруппа, содержащаяся в подгруппах A, B одновременно. Други-

ми словами, AB – это точная нижняя грань для подгрупп A, B. Подгруппа гр(AB) является

наименьшей, содержащей подгруппы A, B, т. е. гр(A B) является точной верхней гранью для

подгрупп A, B.

18

Таким образом, множество подгрупп данной группы G образует решетку.

В этой решетке есть наибольший элемент (группа G) и есть наименьший элемент – единич-

ная подгруппа E.

Так как в конечной циклической группе для каждого делителя k порядка группы найдется в

точности одна подгруппа порядка k, решетка подгрупп циклической группы порядка n

изоморфна решетке натуральных делителей числа n.

Смежные классы и теорема Лагранжа. Пусть H – подгруппа группы G, а x – произволь-

ный элемент из G. Множество

Hx = {hx hH}

называют правым смежным классом по подгруппе H с представителем x, а множество

xH = {xh hH}

называется левым классом. Одним из смежных классов (правым и одновременно – левым) по под-

группе H является сама группа H.

Число правых смежных классов совпадает с числом левых классов: число смежных классов

по подгруппе H принято называть индексом подгруппы H в группе G и обозначать симво-

лом G : H .

Различные правые (левые) смежные классы по подгруппе не имеют общих элементов, и

множество группы распадается на непересекающиеся смежные классы. Число элементов в каждом

классе равно порядку подгруппы. Поэтому имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Лагранж1). Если H – подгруппа конечной группы G , то

H G : H = G .

Если k=G : H , а x1, x2, …, xk – представители различных смежных классов, то представление

множества G в виде объединения смежных классов по подгруппе H принято записывать в виде:

G = H + Hx2 +… + Hxk.

Это представление группы называют правосторонним разложением по подгруппе H.

Нормальные делители. Если для каждого элемента x левый класс совпадает с правым,

Hx = xH,

то подгруппу H называют нормальной подгруппой (или нормальным делителем). Пишут в таком

случае: .GH

Пересечение нормальных делителей и подгруппа, порожденная нормальными делителями,

снова являются нормальным делителями, т. е. множество нормальных делителей образует подре-

шетку в решетке всех подгрупп группы G.

Если операция в группе коммутативна, т. е. для любых элементов x, y

xy = yx,

то группу называют абелевой.2

Например, все циклические группы – абелевы .

Из теоремы Лагранжа следует, что конечная группа простого порядка не содержит нетриви-

альных подгрупп, и поэтому является циклической (и, следовательно, абелевой).

В абелевой группе все подгруппы нормальны.

В любой неединичной группе есть. по крайней мере, два нормальных делителя – сама группа

и единичная подгруппа. Группа, не имеющая нетривиальных нормальных делителей, называется

простой.

1 Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик; связь между порядком группы, порядком подгруппы и

ее индексом установлена им в 1773 г. 2 Нильс Хенрик Абель (1802–1829) – норвежский математик, первым обнаруживший связь между решением алгебра-

ического уравнения в радикалах и строением группы подстановок корней этого уравнения.

19

Прямое произведение групп. Если в группе G содержатся две нормальные подгруппы A и B

такие, что G = {ab aA, bB} и AB = E, то группа G является прямым произведением своих

подгрупп (пишут: G = AB).

Прямое произведение абелевых групп снова является абелевой группой. Более того, каждая

конечная не простого порядка абелева группа раскладывается в прямое произве-

дением циклических подгрупп.

Если абелева группа G состоит из n элементов, то для каждого делителя m числа n в группе

G найдется подгруппа H порядка m (а если G – не циклическая, то такая H может быть не един-

ственной).

Определение кольца. Алгебра K = <K; +, > с двумя операциями (сложение и умножение)

называется кольцом, если K = <K; + > – абелева группа, а умножение дистрибутивно относитель-

но сложения, т. е. для любых элементов x, y, z из K

x(y + z) = xy + xz,

(y + z)x = yx + zx.

Группа – основная алгебра с одной операцией, а кольцо – важнейшая алгебра с двумя опера-

циями.

Элементы теории групп и элементы теории колец являются в настоящее время обязательны-

ми частями современного математического образования инженера.

Множества целых чисел, рациональных чисел, действительных или комплексных чисел от-

носительно обычных операций сложения и умножения образуют кольца (называемые числовыми

кольцами).

Множество, состоящее из одного нуля, образует кольцо, называемое нулевым.

Свойства колец. Свойства умножения переносятся на название кольца.

Например, если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным, если ас-

социативно, – то ассоциативным.

Ненулевые элементы кольца называются делителями нуля, если их произведение равно нулю.

В следующей главе появится важное для приложений и, в частности, для изучения электри-

ческих цепей, кольцо квадратных матриц – ассоциативное, ноне коммутативное, с единицей и с

делителями нуля.

Кольцо называют лиевым (или кольцом Ли1), если в нем выполняются тождества:

a2 = 0 и a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0.

Множество трехмерных векторов с операциями сложение и векторное умножение образуют

лиево кольцо.

Ассоциативно-коммутативное ненулевое кольцо, не содержащее делителей нуля, называют

целостным кольцом (или областью целостности).

Если все ненулевые элементы кольца образуют абелеву группу по умножению, то кольцо

называется полем.

Так как группа может быть задана только на непустом множестве, поле содержит, по край-

ней мере, два элемента – нуль и единицу.

Наибольшим числовым полем является поле комплексных чисел. Поэтому числовое кольцо –

это (ненулевое) подкольцо поля комплексных чисел C, а числовое поле – это подполе поля C.

Любое ненулевое подкольцо поля является целостным. Верно и обратное утверждение:

каждое целостное кольцо – это подкольцо некоторого поля.

Кольцо множеств. Если U – произвольное множество, то символом P(U) обозначают буле-

ан2 множества U. Элементами булеана P(U) являются подмножества множества U.

1 Мариус Софус Ли (1842–1899) – норвежский математик. 2 В честь английского математика Джорджа Буля (1815–1864), основоположника математической логики.

20

Теоретико-множественные операции пересечения, объединения, дополнения и симметриче-

ской разности, примененные к элементам из P(U), не выводят за пределы P(U), поэтому можно

говорить об алгебре множеств

< P(U); , , >.

Эта алгебра является решеткой, где операция объедения играет роль точной верхней грани, а

пересечение – это точная нижняя грань. Кроме того, в этой решетке операции взятия точных гра-

ней связаны законами дистрибутивности:

A (B C) = (A B) (A C);

A (B C) = (A B) (A C).

Решетку с таким свойством называют дистрибутивной решеткой. В решетке подмножеств

еще два дополнительных свойства. Во-первых, там есть наибольший и наименьший элементы.

Наибольший – это все множество U, а наименьший – пустое множество . Каждое элемент буле-

ана включается в U и включает . Во-вторых, у каждого элемента A из P(U) есть дополнение –

такое подмножество ,A что AA и .UAA

Решетка с таким свойством называется решеткой с дополнениями.

Дистрибутивную решетку с дополнениями называют булевой решеткой.

Алгебра < P(U); , , > является булевой решеткой.

Определим в этой решетке операцию сложения по правилу:

A B = .BABA

С таким сложением и операцией пересечения, играющим роль умножения, булеан превра-

щается в кольцо.

«Умножение» в этом кольце необычное: для каждого A выполняется тождество: A A = A.

Тождество x2 = x называют свойством идемпотентности.

Ненулевое, ассоциативное, идемпотентное кольцо с единицей называется булевым кольцом.

Алгебра < P(U); , > образует булево кольцо.

Только что отмеченная связь между решеткой < P(U); , , > и кольцом < P(U); , >

переносится на самый общий случай.

Отношение , введенное в булевом кольце <B; +, > по правилу:

x y x = xy,

является отношением частичного порядка.

Из идемпотентности умножения следует рефлективность отношения , а из ассоциативно-

сти – транзитивность этого отношения. Если x = x y и y = xy, то x = y, т. е. отношение анти-

симметрично.

Положив (для всех x, y из B):

x y = x + y + x y,

x y = x y,

,1 xx

мы превратим кольцо B в решетку, и решетка эта будет булевой.

Наоборот, если B = < B; , > – булева решетка, то множество B с операциями, заданными

тождествами:

x + y = yxyx ,

x y = x y

превращается в булево кольцо.

21

Итак, каждая булева решетка может быть превращена в булево кольцо на том же множестве;

и, наоборот, любое булево кольцо можно превратить в булеву решетку.

Эта связь между булевыми кольцами и булевыми решетками была обнаружена в 30-х годах

прошлого века американским математиком Стоуном1.

Кольцо многочленов. Многочленом f(x) с коэффициентами из (не обязательно числового,

но, как правило, целостного) кольца K называется выражение

a0xn+a1x

n – 1+ … +an – 1x+an,

где n Z0, a0, a1, … an – 1, an K.

Множество всех многочленов над кольцом K обозначают символом K [x]. С обычными

операциями сложения и умножения2 множество K [x] образует кольцо.

Роль нуля в этом кольце играет многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю.

Такой многочлен называют нулевым.

Заметим, что если f(x) – многочлен, то равенство f(x) = 0, в зависимости от контекста, может

означать уравнение, а может изображать и нулевой многочлен.

Запись f(x) 0, означающая, что функция y = f(x) тождественно равна нулю, для конечного

кольца K вовсе не означает, что все коэффициенты у многочлена f(x) равны нулю.

Если a0 0, то многочлен f(x) имеет степень n; пишут:

deg f(x) = n.

В этом случае одночлен a0xn называют старшим членом многочлена.

Многочлен, у которого все коэффициенты, кроме свободного члена an, равны нулю, имеет

нулевую степень. Нулевой многочлен степени не имеет.

Подкольцо. Новое кольцо может быть построено из уже имеющегося кольца K, причем это

построенное кольцо может быть как меньше, так и больше кольца K.

Например, кольцо многочленов над кольцом K – это расширение кольца K; кольцо K [x]

больше кольца K.

«Меньше» – это значит, что подмножество элементов из K само является кольцом относи-

тельно тех же операций, что и K.

Точнее, непустое подмножество H из кольца K называется подкольцом, если H замкнуто от-

носительно операций сложения, вычитания и умножения, т.е.

.,,, HyxHyxHyxHyHx

Например, сумма, разность и произведение четных чисел снова являются четными числами,

поэтому множество четных чисел образует кольцо.

Множество нечетных чисел не замкнуто относительно сложения (сумма двух нечетных чи-

сел не является нечетным числом), и множество нечетных чисел кольцо не образуют.

Вообще числовым кольцом будет любое непустое подмножество поля комплексных чисел C,

замкнутое относительно сложения, вычитания и умножения.

Когда новое кольцо больше старого, – это значит, что строящееся кольцо содержит данное

кольцо K в качестве подкольца. Такой способ построения нового кольца состоит в присоединении

к данному кольцу K новых элементов.

Например, если кольцо K – целостное, но не поле, то, присоединив к множеству K частные

всех элементов из K, получим более широкое кольцо K , являющееся полем и содержащее K.

Поле K называют полем частных кольца K.

Можно присоединять к кольцу некоторое множество элементов (например, всего один но-

вый элемент), а затем уже потребовать выполнения кольцевых операций: сложения, вычитания и

умножения.

1 Маршалл Харви Стоун (1903–1989) – американский математик. Связь между булевыми решетками и булевыми

кольцами установлена Стоуном в двух работах 1935 г. и 1936 г.; тогда же М. Стоун впервые ввел термин «булево

кольцо». 2 То есть операциями сложения и умножения, определенными точно так, же в школьном курсе математики было

сделано для многочленов с числовыми коэффициентами.

22

Примером такого присоединения является множество K[x] всех многочленов f(x) с коэффи-

циентами из кольца K, которое получается присоединением к полю K сначала одного элемента –

x, а затем – всех результатов кольцевых операций, примененных к элементам из K и элементу x.

Кольцевое присоединение одного элемента к кольцу K называют простым расширением

и обозначают символом K [].

Если является корнем многочлена с коэффициентами из кольца K, то расширение K []

называют простым алгебраическим расширением.

Теорема (Кронекер1). Если P – поле, а – корень неприводимого многочлена степени n c

коэффициентами из P, то множество

{a0n + a1

n – 1 + … + an – 1 + an aiP}

образует простое алгебраическое расширение P [], причем представление каждого элемента из

P [] в таком виде единственно.

Отсюда следует, что для любого поля P и любого многочлена f(x) с коэффициентами из P

существует поле, содержащее и P, и все корни многочлена f(x).

Наименьшее такое поле принято называть полем разложения многочлена f(x). Например,

каждое конечное поле, состоящее из pn элементов, является полем разложения многочлена

xxnp .

Поле разложения однозначно задается многочленом f(x), т.е. любые два поле разложения од-

ного и того же многочлена изоморфны. Именно отсюда следует, что все конечные поля одинако-

вого порядка изоморфны.

Поле комплексных чисел C является простым алгебраическим расширением поля действи-

тельных чисел R с помощью корня i многочлена x2 + 1, неприводимого над полем R,

C = R[i].

Теорема Кронекера означает в этом случае, что каждое комплексное число z можно предста-

вить (и единственным образом) в виде

z = a + bi,

где a, b – действительные числа, а i2 = 1.

§ 4. Кольцо многочленов от одной переменной

Деление с остатком и схема Горнера. В кольце многочленов над полем выполняется де-

ление с остатком.

ТЕОРЕМА (О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ) . Для любых многочленов f(x) и g(x) с ко-

эффициентами из поля P , если g(x) – ненулевой, то существуют многочлены q(x)

и r(x) из P[x] такие, что

f(x) = g(x) q(x) + r(x) ,

где r(x)=0 или deg r(x)<deg g(x) .

Найти частное (многочлен q(x)) и остаток (многочлен r(x)) можно, используя схему «де-

ления уголком»:

1 Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий математик; теорема о строении простого алгебраического расширения

доказана им в 1882 г.

23

При делении многочлена на многочлен x- нет необходимости оформлять деление уголком.

Если b0 xn-1

+ b1xm-1

+ ... + bn-2x +bn-1 – частное, а r – остаток от деления многочлена

a0 xn + a1x

n-1 + ... + an-1x +an с коэффициентами из целостного кольца на двучлен x , то:

b0=a0;

bi=bi-1 + bi, (для i=1, 2, ..., n1);

r=bn-1 + bn.

Эти формулы называют схемой Горнера1.Вычисления по схеме Горнера обычно выполняют

в виде таблицы.

В первой строке этой таблицы расположены коэффициенты делимого f(x). Делитель (x)

обозначен в схеме символом , стоящим перед второй строкой.

В первых n клетках второй строки находятся коэффициенты частного q(x) от деления f(x) на

x. В последней клетке второй строки расположен остаток от деления f(x) на x.

Последовательно деля многочлен f(x) на двучлен x, затем частные от деления, можно по-

лучить разложение многочлена по степеням этого двучлена.

Разложение многочлена по степеням x-. Многочлен

f(x)=a0 xn + a1x

n-1 + ... + an-1x +an

может быть разложен по степеням x-,

f(x)=b0 (x)n + b1(x)

n-1 + ... + bn-1(x) +bn

Эти вычисления оформляют обычно в виде треугольной таблицы.

Разложение многочлена по степеням (x-) можно получить и другим способом.

Определим сначала формальную производную )(xf многочлена

f(x)=a0 xn + a1x

n -- 1 + ... + an – 1x + an

по правилу:

опр

xf )( a0nxn – 1

+ a1(n 1) xn – 2

+ ... + an -- 22 x + an – 1.

Все свойства обычной производной выполняются и для такой производной, введенной фор-

мально (единственное различие состоит в том, что для нечисловых полей производная одночлена

положительной степени может случайно стать нулем).

В частности, для формальной производной выполняются тождества:

),()()()( xgxfxgxf

),()()()()()( xgxfxgxfxgxf

.)()( 1

mm axkmaxk

1 Вильямс Джордж Горнер (1768–1837) – английский математик. Схему деления многочлена на двучлен Горнер

опубликовал в 1819 г.

24

Пусть многочлен f(x) разложен по степеням ax ,

f(x) = b0 ax n + b1 ax

n-1 + ... + bn-1 ax +bn.

Вычислим его производные:

)(xf = b0n ax n – 1 + b1(n 1) ax n – 2

+ ... + bn – 1,

)(xf = b0n(n 1) ax n-2 + b1(n 1)(n2) ax n-3

+ ... + 2bn – 2,

...

)()( xf n= b0 n (n 1) (n 2) ... 2 1.

Подставив в каждую из производных элемент a вместо x, получим равенства:

)(af = bn – 1,

)(af = 2bn – 2,

...

)()( af i= 2 3 ...i bn – i = i! bn - i,

...

)()( af n

= b0 n!

Из этих равенств можно выразить коэффициенты bj разложения многочлена f(x) по степе-

ням ax ,

in

i

i

axi

afxf

0

)(

!.

Полученная формула является частным случаем ряда Тейлора1 разложения функции в сте-

пенной ряд.

Таким образом, с помощью схемы Горнера можно найти значения все производных много-

члена f(x) при x = a.

Корни многочлена и теорема Безу. Элемент (возможно, принадлежащий полю, более

широкому, чем поле коэффициентов) называется корнем многочлена f(x), если f() = 0.

ТЕОРЕМА (Безу2). Остаток от деления многочлена f(x) с коэффициентами из

целостного кольца на двучлен x равен f() .

Если a, b – целые числа или многочлены с коэффициентами из поля (или вообще элементы

из кольца, в котором выполняется теорема о делении с остатком), то символом Rest (a, b) обозна-

чают остаток от деления a на b.

С такой символикой теорему Безу можно записать короче:

Rest (f(x), x ) = f().

Если – корень многочлена, то f() = 0, и многочлен делится на (x ). Наоборот, если мно-

гочлен делится на x-, то является корнем этого многочлена.

Для краткой записи этого утверждения воспользуемся символом делимости («x y» читает-

ся: «икс делит игрек»):

1 Брук Тейлор (1685–1731) – английский математик и философ. Разложение функции в степенной ряд Тейлор опуб-

ликовал в 1715 г. 2 Этьенн Безу (1730–1783) – французский математик. Теорему о свойствах корней многочлена Безу опубликовал в

1779 г.

25

f() = 0 (x ) f(x).

Это значит, что если в схеме Горнера, примененной к многочлену f(x) и (x ), последний

элемент второй строки равен нулю, то – корень этого многочлена, а если не равен нулю, то –

не корень.

Кратность корня. Многочлен f(x) может делиться на αx несколько раз; тогда

называют кратным корнем.

Точнее, – корень кратности k, если

,α xqxxfk

где многочлен xq уже не делится на (x ).

Кратность этого корня можно определить с помощью схемы Горнера.

Для этого последовательно делим на (x ) сначала сам многочлен. Если деление состоя-

лось нацело, то делим частное от деления. Если частное снова разделилось, то делим новое част-

ное и так далее, до тех пор, пока деление будет происходить без остатка.

В последних строках таблицы будут появляться нули. Как только появится не нуль, крат-

ность корня будет определена – она равна числу нулей в последних столбцах треугольной табли-

цы.

По существу эта процедура является началом поиска разложения многочлена f(x) по степе-

ням (x),

f(x)=b0(x )n + b1(x )

n - 1 + ... + bn - 1(x ) +bn.

Если bn = bn – 1= bn – 2 = … = b(n – k) – 1 = 0, а bn – k 0, то является корнем кратности k.

Многочлены над полем рациональных чисел. Рассмотрим задачу разыскания рациональ-

ных корней многочлена с целыми коэффициентами. Сначала сделаем замечание о целых корнях.

В с е ц е л ы е к о р н и м н о г о ч л е н а с ц е л ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и я в л я ю т с я

д е л и т е л я м и с в о б о д н о г о ч л е н а .

Действительно, если

f (x) = a0 x

n + a1 x

n – 1 + ... + an– 1 x + an

и – целый корень многочлена f (x), то свободный член является суммой целых чисел, каждое

из которых делится на ,

an = (–a0 n) + (–a1

n – 1) + ... + (–an – 1 ).

Таким образом, для поиска целых корней многочлена f (x) с целыми коэффициентами

можно просто испытать все делители свободного члена многочлена.

Для проверки, является ли кандидат в корни действительно таковым, удобно использовать

схему Горнера. Если число c окажется корнем, то схема Горнера кроме информации об удаче

предоставит и коэффициенты частного от деления f (x) на x – c.

В случае успеха (нахождения корня c) следует этот успех закрепить, расширяя захваченный

плацдарм: возможно, что c является k-кратным корнем, тогда степень многочлена f (x) будет по-

нижена до числа deg f (x) – k.

Первыми кандидатами в корни многочлена являются числа 1 и –1, так как эти числа делят

любое целое число.

Если ни f (1), ни f

(–1) не равны нулю, то полученные числа можно использовать для предва-

рительного отсеивания кандидатов в корни.

26

Пусть – целый корень многочлена f (x). Тогда

f (x) = (x – )

q(x),

где q(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Подставим в оба члена этого равенства вместо

x единицу и получим:

f (1) = (1 – )

q(1).

Отсюда следует, что е с л и – ц е л ы й к о р е н ь м н о г о ч л е н а с ц е л ы м и к о э ф -

ф и ц и е н т а м и , т о ч и с л о – ц е л о е .

Вместо x в равенство можно поставить –1, и тогда получим, что е с л и –

ц е л ы й к о р е н ь м н о г о ч л е н а с ц е л ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и , т о ч и с л о

– ц е л о е .

Перейдем теперь к поиску (и отсеву) рациональных корней многочлена с целыми коэффи-

циентами.

Если несократимая дробь – является рациональным корнем многочлена

a0 xn + a1 x

n – 1 + … + an – 1 x + an

с целыми коэффициентами, то p делит an , а q делит a0 .

Действительно, из равенства

a0 pn + a1 p

n – 1q + … + an – 1 pq

n – 1 + an q

n = 0

следует, что q делит a0 pn, и, следовательно, делит a0 . По аналогичной причине p делит an

Итак, задача нахождения рациональных корней многочлена с рациональными коэф-

фициентами в принципе решена. Эти корни находятся среди элементов конечного множества, ко-

торое легко строится по данному многочлену. Достаточно сделать коэффициенты исследуемого

многочлена целыми, а затем перебрать всевозможные варианты числителей и знаменателей –

кандидатов в корни – и непосредственным испытанием (например, с помощью схемы Горне-

ра) проверить, кто из кандидатов действительно является корнем. С помощью схемы Горнера

определяется и кратность полученного корня.

Если многочлен нормированный, то поиск рациональных корней сводится к поиску лишь це-

лых корней, так как все рациональные корни нормированного многочлена с целыми коэффициен-

тами являются целыми.

Если многочлен ненормированный, т. е. коэффициент a0 старшего члена отличен от единицы,

вычисления могут и затянуться, особенно если делителей у свободного члена и коэффициента

старшего члена оказалось слишком много.

Первыми кандидатами в корни многочлена являются числа 1 и –1: они делят любое целое

число.

В случае удачи (одно из этих чисел или оба оказались корнями) последовательно деля много-

член на x – 1 (или x + 1), определим кратность корня и одновременно понизим степень исследуе-

мого многочлена.

Если же корнями многочлена являются не только 1 и –1, то или в самом начале, или в ходе

вычислений деление на x – 1 (или x + 1) закончится ненулевым остатком.

Однако эту неудачу легко обратить в полезное улучшение дальнейших вычислений, предла-

гая последующим кандидатам в корни предварительное и легкое для вычислителя испытание.

Пусть – корень многочлена f (x) степени n, тогда по теореме Безу

где многочлен g(x) имеет степень (n – 1), а коэффициенты его можно вычислить по схеме Горнера.

1

1f

1

1f

q

p

q

p

,xgq

pxxf

27

При вычислениях коэффициентов придется последовательно производить умноже -

ния на дробь поэтому все эти коэффициенты, начиная со второго, имеют вид дробей,

знаменатели которых являются степенями q. Умножим левую и правую части равенства на число

qn. Тогда все коэффициенты многочлена q

n – 1 g(x) после раскрытия скобок становятся целыми

числами, а равенство принимает вид:

qn f

(x) = (xq – p)[q

n – 1g(x)]. (*)

Подставим в тождество (*) вместо x единицу и получим:

qnf(1) = (q – p)[q

n – 1g(k)].

Так как q и p – взаимно просты НОД (qn, q – p) = 1. Следовательно, по теореме Евклида о

делимости число f (1) делится на (q – p).

Если в тождество (*) вместо x подставить –1, то получим, что число p + q должно де-

лить f (–1).

Таким образом, е с л и н е с о к р а т и м а я д р о б ь я в л я е т с я р а ц и о н а л ь н ы м к о р н е м

м н о г о ч л е н а f ( x ) с ц е л ы м и к о эф ф и ц и е н т а м и , т о ч и с л а и – ц е -

л ы е ч и с л а .

Число возможных кандидатов в корни может оказаться слишком велико, и испытание на при-

надлежность чисел и множеству Z, мало поможет делу.

Однако в действительности роль единицы здесь может выполнять любое целое число k, т. е.

в удачу можно превращать любую неудачу с целым кандидатом в корни.

Е с л и н е с о к р а т и м а я д р о б ь – к о р е н ь м н о г о ч л е н а f ( x ) с ц е л ы м и к о эф -

ф иц и ен та м и, то д ля л юбо го ц ел ог о ч исла k чи сл о

– це лое .

Заметим, что это свойство является лишь необходимым, но не недостаточным условием

свойства «быть корнем».

Если это условие не выполнено, то претендент в корни уж точно корнем не будет. Однако

выполнение этого условия не дает еще полной гарантии, что корень найден; окончательным

решением вопроса будет вычисление значения многочлена в этой точке.

Это вычисление лучше выполнять по схеме Горнера – в случае удачи степень исследуемого

многочлена понижается на единицу.

Неприводимые многочлены. Многочлен f(x) положительной степени с коэффициентами

из поля P неприводим над полем P, если его нельзя представить в виде произведения многочленов

меньшей степени с коэффициентами из этого же поля:

f(x) = a(x)b(x) deg a(x) = 0 или deg b(x)=0.

Например, все многочлены первой степени над любым полем неприводимы.

Многочлен f(x) – приводимый, если его можно представить в виде произведения двух много-

членов ненулевой степени,

f(x) = a(x) b(x),

где deg a(x) > 0 и deg b(x) > 0.

,q

p

q

p

qp

f

1 qp

f

1

qp

f

1 qp

f

1

q

p

qkp

kf

28

В кольце многочленов P[x] с коэффициентами из поля каждый приводимый многочлен по-

ложительной степени можно представить в виде произведения неприводимых многочленов, при-

чем такое представление единственно с точностью до порядка множителей и коэффициентов из

поля P.

Аналогичным свойством обладает кольцо целых чисел: каждый элемент отличный от нуля, 1

и -1, является либо простым, либо произведением простых, причем такое представление един-

ственно с точностью до порядка множителей и коэффициентов 1.

Такое свойство кольца называют факториальностью (или гауссовостью1).

Одинаковые неприводимые множители многочлена f(x) можно собрать в степени, и тогда

многочлен примет вид:

xp...xpxpxf kmk

mm 21

21 ,

где числа m1, m2, … , mk – кратности соответствующих неприводимых множителей.

По теореме Безу линейный множитель (т. е. множитель первой степени) для многочлена f(x)

определяется корнем многочлена f(x). Кратность корня – это в точности кратность неприводимо-

го множителя (x-).

Примеры конечных колец. Конечные поля играют важную роль при передаче информа-

ции: в теории кодирования и криптографии. Рассмотрим примеры конечных полей.

Поле – это частный случай кольца, поэтому покажем сначала, что для любого натурального

числа m существует кольцо с ненулевым умножением, состоящее в точности из m элементов.

Пусть m – положительное целое число. Отношение сравнимости по модулю m, заданное

правилом

a b (mod m) m(a – b),

является эквивалентностью на множестве целых чисел, и поэтому, как каждая эквивалентность,

разбивает множество Z на классы эквивалентных элементов.

Смежный класс с представителем x обозначим символом [x],

[x] = {y Z x y(mod m)}.

Сравнимость по модулю является не просто эквивалентностью; она согласована с операция-

ми сложения и умножения:

a a1 (mod m), b b1 (mod m) a + b a1 + b1 (mod m);

a a1 (mod m), b b1 (mod m) a b a1 b1 (mod m)

Согласованность сравнимости и операций означает, что можно определить операции сложе-

ния и умножения на классах сравнимых чисел по правилу:

[a] + [b] = [a + b],

[a] [b] = [a b].

В класс [a] попадут все числа, имеющие такой же остаток при делении на m. что и число a:

a b (mod m) Rest(a, m) = Rest(b, m).

Следовательно, число различных классов равно числу различных остатков от деления на m,

т. е. равно m. Числа 0, 1, …, (m 1) можно выбрать в качестве представителей классов.

Если a – целое число, то, вычитая из a произвольное число раз число m или m, снова полу-

чим элемент из того же класса.

Поэтому множество всех чисел, сравнимых между собой по модулю m, называют классом

вычетов.

1 Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) – немецкий математик.

29

Множество этих классов с операциями сложения и умножения образуют кольцо. Это кольцо

обозначают символом Zm (и называют кольцом классов вычетов по модулю m).

Если модуль m – составное число, то кольцо Zm содержит делители нуля, и, следовательно,

не является полем1.

Примеры конечных полей. С другой стороны, если модуль p – простое число, то кольцо

Zp является полем.

Например, для p = 2 получается поле Z2, состоящее всего из двух элементов.

Одним из основных применений конечных полей, и в особенности поля Z2, является тео-

рия кодирования.

Рассмотрим еще один пример конечного поля. Пусть p=5, тогда поле Zp состоит из пяти

элементов, в качестве представителей которых можно взять числа 0, 1, 2, 3, 4 (или любой другой

набор из пяти чисел, дающих при делении на пять различные остатки, например числа: 0, 1,

2, 2, 1).

Таблицы сложения и умножения в этом поле имеют вид:

+ 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

В каждой строке в каждом столбце таблицы сложения любой элемент встречается в точно-

сти один раз. Это свойство таблицы для ассоциативной операции означает, что множество с такой

операцией образует группу.

В таблице умножения все ненулевые элементы обладают таким же свойством; в поле все

ненулевые элементы образуют группу по умножению.

Обе таблицы симметричны относительно диагонали, что означает коммутативность операций.

Функции над конечным полем. Конечные поля относятся к числу алгебраических си-

стем, изученных наиболее полно и имеющих довольно прозрачное строение.

Одно из замечательных свойств конечных полей состоит в том, что над конечным полем нет

всюду определенных функций, кроме многочленов. Это утверждение следует из простых арифме-

тических соображений: число всех функций над конечным полем в точности совпадает с числом

функций, представимых многочленами.

Более того, если функция над конечным полем не является всюду определенной, то ее можно

представить в виде рациональной дроби. Корни многочлена –знаменателя и будут теми точками,

в которых функция не определена.

В настоящее время конечные поля нашли широкое применение в теории кодирования, а

функции над конечными полями – в криптографии.

Число элементов в конечном поле может быть любым натуральным числом или это число об-

ладает особым свойством? Если выполняется это «или», то для любого ли такого особого числа m

найдется поле из m элементов? Как устроена решетка подполей конечного поля и его группа ав-

томорфизмов? На все эти вопросы есть ответы.

Число элементов в конечном поле. Кольцо классов вычетов Zp по простому модулю p яв-

ляется полем. Это значит, что для каждого простого числа p существует поле из p элементов.

Пусть P – конечное поле из q элементов. Тогда характеристика поля P ненулевая и является

простым числом (в противном случае в P появятся делители нуля).

Аддитивная подгруппа H, порожденная единицей, состоит из p элементов, а ее множество за-

мкнуто относительно умножения, т. е. образует подкольцо кольца P. Подкольцо H изоморфно по-

лю классов вычетов Zp.

1 Верно и обратное утверждение: каждое конечное целостное кольцо с единицей является полем.

30

Итак, если конечное поле P существует, то его характеристика – простое число и это поле

является расширением поля Zp.

Каждое n-мерное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству

строк. Число различных таких строк (размещений по n элементов из p с повторениями) равно pn.

Таким образом, ч и с л о э л е м е н т о в в к о н е ч н о м п о л е р а в н о pn, г д е p – п р о с -

т о е , а n – н е к о т о р о е н а т у р а л ь н о е ч и с л о .

Остается показать, что поле такого порядка действительно всегда существует.

Если f (x) – неприводимый над полем Zp многочлен степени n, то многочлен степени n, то

простое алгебраическое расширение ZP (g) содержит в точности pn элементов.

Таким образом, для существования нужного поля достаточно показать, что для любого нату-

рального n существует неприводимый над полем Zp многочлен.

Оказалось, что можно указать более замечательный многочлен с коэффициентами

из поля Zp.

Конечное поле – это поле разложения многочлена. Размерность P как векторного про-

странства над Zp конечна, поэтому каждый элемент из P является корнем некоторого многочлена

с коэффициентами из Zp . Перемножив эти многочлены и отделив кратные корни, можно постро-

ить многочлен, среди корней которого будут все элементы поля P.

Впрочем, многочлен, корнями которого являются элементы из P, можно указать явно.

Множество P* ненулевых элементов поля образует группу по умножению.

Любой элемент группы, возведенный в степень, равную порядку группы, превращается в

единицу. Поэтому для любого ненулевого элемента x из P выполняется равенство xq – 1

= 1. Умно-

жим левую и правую части равенства на x и получим тождество xq = x.

Итак, если конечное поле P, состоящее из q элементов, существует, то каждый элемент этого

поля является корнем многочлена xq – x, причем коэффициенты этого многочлена принадлежат

полю Zp, которое входит как подполе в поле P.

Пусть P1 – поле разложения многочлена над Zp. Поле P1 содержит Zp в качестве

подполя и множество Mвсех корней многочлена f (x).

Производная f //

(x) многочлена f (x) равна–1, так как p

n 0(mod p). Отсюда следует, что много-

член f (x) взаимно прост со своей производной, а это значит, что многочлен f

(x)не имеет кратных

корней и, следовательно, число элементов в M в точности равно pn.

Используя формулу бинома Ньютона и тот факт, что при k 0 и k pnчисло

всегда делится на p, получаем тождество (для любых элементов x, y из P1):

Кроме того, а для ненулевого элемента b

Все это означает, что множество M замкнуто относительно сложения, вычитания, умноже-

ния и деления на ненулевой элемент и поэтому образует поле. Иначе говоря, поле

разложения многочлена над полем Zp и есть M. Существование поля из p

n элементов доказано: д л я к а ж д о г о п р о с т о г о p

и л ю б о г о н а т у р а л ь н о г о n с у щ е с т в у е т п о л е и з pn

э л е м е н т о в .

Поле разложения многочлена единственно с точностью до изоморфизма. Поэтому конечное

поле полностью определяется числом своих элементов.

xxnp

k

kppp

k

p nnnn

...21

)1(...)1(

.nnn

pppyxyx

,nnn

pppbaba

.n

nn

p

pp

b

a

b

a

xxnp

31

По этой причине конечное поле из q элементов принято обозначать символом Fq . Бука F –

первая в слове Field (поле), а q – число элементов в этом поле.

В честь автора1 конечное поле Fq называют полем Галуа, обозначают его еще и символом

GF(q), что означает: GaloisField из q элементов.

Построение конечного поля. Существование поля порядка pn означает, что для любого

натурального n существует неприводимый над полем Zp многочлен f (x).

Можно указать даже место поиска многочлена f (x). Все неприводимые над Zp многочлены

любой степени, не превышающей число n, – это в точности неприводимые над Zp множители

многочлена .

Итак, пусть

f (x) = x

n + a1 x

n – 1 + … + an– 1 x + an

неприводимый над Zp многочлен степени n, а I = – идеал, порожденный многочленом f (x), в кольце ZP [x].

Тогда факторкольцо образует поле. Это поле содержит изоморфную копию поля Zp и

элемент I + x является корнем многочлена f (X) =X

n + (I + a1) X

n – 1 + … + (I + an – 1)

X + (I + an).

С точностью до изоморфизма поле и есть искомое поле ZP (g).

Если g – корень многочлена f (x), то элементы 1, g, g

2, … g

n – 1 образуют базис векторного

пространства ZP (g) над Zp. Это значит, что каждый элемент из ZP (g) можно представить, и

единственным образом, в виде линейной комбинации

b0 + b1 g + … + bn– 1 gn– 1

,

где bi принадлежат Zp .

Сложение таких комбинаций сводится к сложению в поле Zp, а при построении таблицы

умножения следует лишь учесть, что

gn

= –a1 gn – 1

– … – an – 1 g – an .

Отметим, что ZP (g) – линейная алгебра над Zp, поэтому таблица умножения в

ZP (g)полностью определяется таблицей умножения базисных элементов: 1, g, g2, … g

n – 1.

Построим, например, поле P, состоящее из 8 элементов. Для этого сначала разложим много-

член x8 – x на неприводимые множители над полем Z2:

x8 – x = (x

3 + x + 1) (x

3 + x

2 + 1) (x + 1) x.

В этом разложении оказались два многочлена третьей степени. Любой из них годится для

наших целей.

Заметим, кстати, что расширение любого конечного P с помощью одного корня одного из

неприводимых многочленов, автоматически захватывает и остальные корни этого многочлена, и

корни всех других многочленов такой же (или меньшей) степени.

Итак, пусть f (x) = x

3 + x + 1, а g – корень этого многочлена. Тогда поле P состоит

из линейных комбинаций элементов 1, g, g2:

P = {a + bg + cg2a, b, cZp}.

Сложение таких комбинаций происходит по правилу:

(a1 + b1g + c1g2) + (a2 + b2g + c2g

2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)g + (c1 + c2)g

2.

1 Эварист Галуа (1811–1832) – французский математик, первым получивший полное решение задачи о корнях ал-

гебраического уравнения. Понятие конечного поля он ввел в 1832г.

xxnp

xf

I

xpZ

I

xpZ

32

При умножении линейных комбинаций (в частности, базисных элементов) используем ра-

венство g3 = –1 – g.

Для поля Z2, впрочем, –1 – g = 1 + g. Например:

g2g

2 = g

4 = g

3g = (–1 – g) g = – g – g

2 = g + g

2.

Итак, поле из восьми элементов построено. При желании можно выписать его таблицы Кэли

для сложения и умножения.

Вспомним теперь, что поле P – это соединение двух групп: аддитивной <P; +> и мультипли-

кативной < P*; >.

В конечном поле строение этих групп несложное. Особенно просто устроена муль-

типликативная группа.

Конечное поля – это поле разложения многочлена. Пусть P – конечное поле, и P –

его порядок, равный pn.

Аддитивная группа <P; + > – это группа векторного пространства над Zp , и она изоморфна

прямой n-й степени группы <Zp ; + >,

<P; + > Zp Zp … Zp .

Все элементы аддитивной группы имеют порядок p, поэтому если поле P не совпадает с Zp,

то группа <P; + > – нециклическая

В отличие от аддитивной группы (которая порождается одним элементом лишь в полях Zp),

мультипликативная группа конечного поля всегда циклическая, так как все конечные мультипли-

кативные группы любого поля порождаются одним элементом.

В поле P мультипликативную группу P* составляют все его ненулевые элементы, т. е. поря-

док P* мультипликативной группы поля P равен pn – 1. Итак, в поле P найдется такой элемент

g, что

Если циклическая группа гр(g) имеет порядок m, то элемент gk порождает эту группу тогда и

только тогда, когда k и m взаимно просты. Таким образом, в конечном поле P порядка pn содер-

жится в точности (pn – 1) элементов, каждый из которых порождает группу < P*; >.

Порождающий элемент g мультипликативной группы P может быть выбран в качестве при-

соединяемого элемента, т. е. P = ZP (g). Действительно, степени элемента g – это все ненулевые

элементы из P, а 0 = g – g.

Это факт можно рассмотреть с иной точки зрения.

Каждый элемент конечного расширения поля Zp является корнем многочлена с коэф-

фициентами из Zp и степень этого многочлена не превышает число n. Не будет исключением и по-

рождающий элемент g мультипликативной группы P* поля P.

Если k – наименьшая степень многочлена f (x) над Zp , корнем которого является эле-

мент g, то элементы 1, g, g2, … g

k – 1 еще линейно независимы над полем Zp , а элементы 1, g, g

2,

… gk – 1

, gk уже линейно зависимы. Поэтому

gk = a0 + a1 g + … + ak – 1 g

k – 1, ()

где ao, a1, …, ak – 1 – элементы из Zp .

Из минимальности выбора числа k следует, что многочлен

f (x) = a0 + a1 x + … + ak– 1 x

k– 1

неприводим, поэтому простое алгебраическое расширение ZP (g) поля Zpс помощью g – корня

многочлена f (x) – имеет над Zp размерность k. Поле ZP (g)содержится в поле P.

С помощью равенства () можно получить все остальные степени элемента g. Так как g – по-

рождающий элемент группы P*, эти остальные степени вместе с уже имеющимися: 1, g, g2, … g

k –

1, дадут все ненулевые элементы поля P. Поэтому ZP (g) = P, а k = n.

....,,,,10\ 22 npgggP

33

Многочлен не имеет кратных корней, поэтому каждый его неприводимый множи-

тель степени n имеет n различных корней. Каждый порождающий мультипликативной группы по-

ля является корнем одного из таких многочленов-множителей. Число различных порождающих

циклической группы порядка pn равно(p

n – 1) Кроме того, если один из корней неприводимого

многочлена степени n оказался порождающим мультипликативной группы поля FG(pn), то и все

остальные корни этого многочлена тоже будут порождающими. Если k – число неприводимых

над Zp многочленов степени n, корни которых оказались порождающими циклической группы

<P*; >, то

kn = (pn – 1).

Следовательно, общее число неприводимых над Zp многочленов степени n не меньше числа

Это число для некоторых pn действительно равно числу неприводимых многочленов степени

n над полем Zp(например, для рассмотренного ранее поля из восьми элементов), но, вообще гово-

ря, эта оценка слишком грубая.

Дело в том, что не каждый корень минимального многочлена обязан быть порождающим

мультипликативной группы поля.

Например,

но в действительности число неприводимых над Z2 многочленов степени 12 равно 335. Это зна-

чит, что поле FG(212

) можно представить как расширение поля Zp с помощью любого из двенадца-

ти корней 191 многочлена и этот корень не будет порождающим мультипликативной группы

ненулевых элементов этого поля.

Точное значение числа многочленов степени m и неприводимых над полем Zp равно

,

где (n) – функция Мебиуса1: (1) = 1 и если pi – различные простые числа, и

где i 1, то

Подполя и автоморфизмы конечного поля. Для строения поля важную роль играет устрой-

ство решетки подполей. Как и для любой алгебры, в исследовании поля одной из первостепенных

задач является описание автоморфизмов поля.

Пусть P – конечное поле порядка pn, и H – его подполе. Порядок k подполя H является дели-

телем числа pn, поэтому k = p

m, где m n.

Поле P является расширением подполя H, и значит, P образует векторное пространство над H

конечной размерности s. Каждое такое пространство изоморфно s-мерному арифметическому про-

странству строк. Число различных таких строк (размещений по s элементов из k с повторениями)

равно ks, т.

е.(p

m)

s = p

n.

1 Август Фердинанд Мебиус (1790–1868) – немецкий математик, получивший в основном результаты в геометрии;

в 1858 г. установил существование односторонних поверхностей (лист Мебиуса). Функция (n) введена А. Мебиусом в

1832 г.

xxnp

.

1

n

pn

,144

12

12646

12

13753

12

4095

12

12 212

d

m

md

pdm

1

,...21

21k

kpppn

.1всеесли,1

,1чтотакой,существуетесли,0...21

21

ik

i

k

ippp k

34

Таким образом, число элементов в подполе конечного поля порядка pn

равно

pm

, где m делит n .

С другой стороны, для каждого делителя m числа n в поле P найдется подполе порядка pm.

Действительно, многочлен делится на и, следовательно,

поле разложения H многочлена g(x) содержится в поле разложения многочлена f (x).

Порядок H равен pm, а это значит, что для каждого m – делителя числа n в поле порядка p

n

найдется подполе порядка pm.

Мультипликативная группа каждого подполя является подгруппой мультипликативной груп-

пы поля, но в циклической группе порядка t существует в точности одна подгруппа порядка q для

каждого q – делителя числа t. Единственная подгруппа дает единственное подполе.

Д л я к а ж д о г о m – д е л и т е л я ч и с л а n в п о л е п о р я д к а pn

н а й д е т с я е д и н -

с т в е н н о е п о д п о л е п о р я д к а pm

. Это все означает, что решетка подполей поля GF(pn) эле-

ментов изоморфна решетке делителей числа n.

Решетка подполей поля GF(212)

Например, шести делителям числа 12 соответствуют шесть подполей поля GF(p12

).

Полное описание алгебры включает исследование ее полугруппы эндоморфизмов и группы

автоморфизмов. Эндоморфизмов, отличных от изоморфизмов, не имеет любое поле, в том числе и

конечное.

Любой автоморфизм поля оставляет на месте нейтральные элементы. Поэтому (1) = 1, а

тогда для любого натурального n выполняется тождество

(n 1) = n 1.

Следовательно, любой автоморфизм оставляет простое подполе неподвижным. В конечном

поле характеристики p простым подполем является Zp . Элементы из Zp не перемещаются при лю-

бом автоморфизме, в частности группа Aut(Zp) – единичная.

Посмотрим, как устроена группа автоморфизмов конечного поля P из pn элементов при

n > 1.Отображение : сохраняет операции и, следовательно, является (коль-

цевым)гомоморфизмом. При этом гомоморфизме единица переходит в единицу, т. е. отображение

ненулевое. У полей любой ненулевой гомоморфизм является изоморфизмом. Поле P –конечно,

с л е д о в а т е л ь н о , – о т о б р а ж е н и е н а ( б и е к ц и я ) , т . е . а в т о м о р ф и з м .

Этот автоморфизм называют автоморфизмом Фробениуса1. Для любого натурального

m < n в поле P не выполняется тождество , поэтому и сам автоморфизм Фробениуса нетож-

дественный, все n степеней этого автоморфизма(1 k n)

1 Фердинанд Георг Фробениус (Frobenius, 1849–1917) – немецкий математик, профессор Цюрихского политехни-

кума (1875–1892), Берлинского университета(с 1892 г.). В 1877 г. Ф. Фробениус доказал теорему, из которой следует,

что поле комплексных чисел – наибольшая из возможных числовых систем.

xxxfnp xxxg

mp

pxx

xxmp

kp

k

pppk xxx

...

35

различны. Тождество означает, что n = . Итак, циклическая группа, порожденная авто-

м о р ф и з м о м Ф р о б е н и у с а , с о с т о и т в т о ч н о с т и и з n э л е м е н т о в .

Пусть элемент – корень неприводимого над Zp многочлена f (x) степени n и 2, 3, ..., n –

остальные корни этого многочлена. Все эти корни принадлежат полю P, равному ZP () –

простому алгебраическому расширению поля Zp . Поэтому любой автоморфизм, оставляющий по-

ле Zp неподвижным, однозначно определяется отображением i (i = 2, 3, …, n). Число таких

отображений равно n, значит, порядок Aut(P) тоже равен n.

Отсюда следует, что д р у г и х а в т о м о р ф и з м о в , к р о м е с т е п е н е й а в т о м о р ф и з -

м а Ф р о б е н и у с а , у к о н е ч н о г о п о л я н е т .

Группа автоморфизмов конечного поля GF(pn) найдена.

Aut(GF(pn)) – э т о ц и к л и ч е с к а я г р у п п а п о р я д к а n , п о р о ж д е н н а я а в т о -

м о р ф и з м о м , и с о с т о я щ а я и з о т о б р а ж е н и й в и д а

Это означает, в частности, что если – один из корней минимального многочлена, то все

корни этого многочлена имеют вид где i = 0, 3, …, n – 1.

Кроме того, из биективности отображения следует, что для любого натурального n уравнение в поле характеристики p имеет в точности одно решение

для любого элемента a.

Квадратичные вычеты. Особый интерес представляют квадратные двучленные уравнения над

конечным полем.

Как и в поле классов вычетов по простому модулю, для произвольного конечного поля опре-

деляются квадратичные вычеты и невычеты.

Пусть a – ненулевой элемент конечного поля GF(pm). Если уравнение x

2 = a имеет решение

в поле GF(pm), то a называют квадратичным вычетом. В противном случае, т.

е. тогда, когда не

существует такого элемента b, что a = b2, элемент a называется квадратичным невычетом.

Если g – порождающий мультипликативной группы ненулевых элементов этого поля, то

каждый ненулевой элемент этого поля имеет вид gk. Сравнение

2x k(mod 2m – 1)

имеет решение для любого целого числа k. Следовательно, уравнение gk = x

2 в поле GF(2

m) имеет

решение для любого k, поэтому все ненулевые элементы из GF(2m) являются квадратичными вы-

четами.

Если p нечетное простое число, то сравнение

2x k(mod pm – 1)

имеет решение тогда и только тогда, когда число k – четное. Это значит, что четные степени по-

рождающего элемента являются квадратичными вычетами, а нечетные степени – квадратичны-

ми невычетами.

Таким образом, в поле GF(pm

) содержится квадратичных вычетов и ровно

столько же квадратичных невычетов.

Заметим, кстати, что одно из важнейших применений конечных полей – это тео-

рия кодирования.

§ 5. Многочлены от нескольких переменных

Кратное расширение кольца. Определим кольцо от n переменных x1, x2, ..., xn с коэффици-

ентами из кольца K по правилу

K[x1, x2, ..., xn-1, xn] = (K[x1, x2, ..., xn-1])[xn],

xxnp

pxx .npxx

,ip

npxxax

np

2

1mp

36

т. е. взяв в качестве кольца коэффициентов кольцо многочленов от n –1 переменного. Используя

свойства кольца можно раскрыть скобки и собрать подобные одночлены.

Это же кольцо называют кратным трансцендентным расширением кольца K.

Все свойства кольца, которые сохраняются при присоединении одного переменного, сохра-

нятся и при кратном расширении кольца. В частности, сохранятся свойства целостности, гауссо-

вости и нетеровости.

Другими словами, кольцо многочленов K[x1, x2, ..., xn] над целостным кольцом K является це-

лостным кольцом; кольцо многочленов K[x1, x2, ..., xn] над гауссовым кольцом K является гауссо-

вым кольцом; кольцо многочленов K[x1, x2, ..., xn] над нетеровым кольцом K является нетеровым

кольцом.

Последнее означает, что л ю б а я с и с т е м а а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й с n

н е и з в е с т н ы м и и к о э ф ф и ц и е н т а м и и з п о л я р а в н о с и л ь н а с в о е й к о н е ч н о й

п о д с и с т е м е .

Два многочлена f(x1, x2, ..., xn) и g(x1, x2, ..., xn) с коэффициентами из бесконечного целостного

кольца равны в функциональном смысле тогда и только тогда, когда они равны в алгебраическом

смысле.

Не сохранение соответствующих свойств колец при простом (однократном) расширении

приводит к следующим фактам.

Если n > 1, то кольцо многочленов K[x1, x2, ..., xn] над любым ненулевым кольцом K не явля-

ется евклидовым кольцом.

Кольцо многочленов K[x1, x2, ..., xn] над любым ненулевым кольцом K не является кольцом

главных идеалов.

Не существует алгоритма деления для многочленов от двух и более переменных.

Отметим, что кратное расширение можно получить, не присоединяя один элемент за другим,

а разом. Кратное трансцендентное расширение кольца K является полугрупповой алгеброй прямо-

го произведения мультипликативно записанных моноидов, изоморфных аддитивному моноиду

натуральных чисел. Такое определение открывает новые возможности. Прямое произведение

можно взять любого числа моноидов, считая, что в образовании каждого элемента участвует лишь

конечное прямых сомножителей. Таким образом, можно говорить о составном трансцендентном

расширении K[M] кольца K с помощью переменных из множества M. Если K – конечно или счет-

но, а M – бесконечно, то мощность K[M] равна мощности M.

Напомним, что каждое целостное кольцо изоморфно вложимо в поле, а каждое поле – в бо-

лее широкое поле.

Более широкое поле, содержащее поле P, может оказаться изоморфным полю P. Например,

если P – поле рациональных дробей от счетного числа переменных x1, x2, ..., xn, ..., то поле P(y)

изоморфно полю P.

Однако, используя теорему Кантора о неограниченности мощностей, всегда можно указать

новое, более широкое поле, существенно отличающееся от исходного. Иначе говоря, к а ж д о е

п о л е и з о м о р ф н о в л о ж и м о в н е и з о м о р ф н о е е м у п о л е .

Однако важнейшим трансцендентным расширением является случай конечного числа пере-

менных.

Рассмотрим особо и случай конечного кольца коэффициентов.

Многочлен над конечным кольцом. Если K – конечное целостное кольцо, а

y = f(x1, xn, ..., xn) – функция от n переменных, определенная над K со значениями в K этом кольце,

то f(x1, xn, ..., xn) является многочленом от n переменных.

Действительно, число различных функций от n переменных, определенных в K со значениями

в K, совпадает с числом различных многочленов, степень которых не выше числа элементов в K.

37

Функции от n переменных, определенные над двухэлементным полем Z2, со значениями в

этом поле принято называть булевыми функциями.

Для кольца Z2 утверждение о представимости любой функции над конечным кольцом в виде

многочлена принимает вид: каждую булеву функцию y = f(x1, xn, ..., xn) можно представить в виде

многочлена от n переменных.

В честь автора многочлен, представляющий булеву функцию, называют полиномом Жегал-

кина1.

Упорядочение одночленов; высший член произведения одночленов. Одночлены в мно-

гочлене от одной переменной можно упорядочить по возрастанию или убыванию степеней. Для

многочлена от нескольких переменных такое упорядочение не годится – в нем может оказаться

несколько одночленов одной и той же степени; более того, все одночлены, входящие в одночлен

могут оказаться одной степени. В таком случае многочлен называется однородным (или формой).

Каждый многочлен f(x1, xn, ..., xn) можно представить в виде суммы форм. Можно упорядочить эти

формы, например, по убыванию степеней, проблема упорядочения многочленов внутри формы

остается.

Упорядочить одночлены можно все сразу, не проводя никаких предварительных упорядоче-

ний по форме. Такой порядок – по алфавиту – издавна используется при составлении словарей

Уточним это понятие.

Пусть M – множество произвольных символов, которые назовем буквами, а M – соответ-

ственно алфавитом. Среди символов поместим и символ пробела, например,. . Любую конеч-

ную цепочку букв назовем словом.

Упорядочение слов в словаре называют словарным (или лексикографическим2) упорядоче-

нием. Текст в словаре идет сверху вниз, одно слово расположено выше или ниже другого, поэтому

словарное упорядочение является упорядочением по высоте.

Словарное упорядочение является продолжением упорядочения алфавита. Пусть алфавит

M = { , a, b, c, ..., d} упорядочен по высоте, причем символ пробела расположен ниже всех

остальных символов. Возьмем два слова в этом алфавите:

U = x1 x2 x3...xn, W = y1 y2 y3...ym,

где xi, yj M.

Слово U в словаре будет расположено выше слова W, если x1 = y1, x2 = y2, ... xk – 1 = yk – 1 , но

xk выше yk.

Таким образом, словарное упорядочение определяется по первым отличающимся символам

в словах.

Одночлены от переменных x1, x2, ..., xn тоже являются словами (с коммутирующими буквами

и дополнительной буквой – ненулевым коэффициентом).

Таким образом, слово n

nxxxU

...21

21 выше слова n

nxxxW

...21

21 , если первое ненуле-

вое число в последовательности

1 – 1, 2 – 2, … n – n,

положительно.

1 Иван Иванович Жегалкин (1869-1947) – русский математик, профессор Московского университета (1902–1911 и с

1917), автор первой русской монографии по теории множеств («Трансфинитные числа», 1907 г.). Представление буле-

вых функций многочленами от n переменных обнаружено им в 1927 г. 2 От греческих – относящийся к слову и – пишу.

38

Это действительно упорядочение, т. е. рефлексивное, транзитивное и антисимметричное от-

ношение на множестве слов.

Более того, это отношение связно, т.е. является отношением линейного порядка. Каждая

убывающая цепь слов обрывается на конечном шаге, поэтому лексикографический порядок явля-

ется вполне упорядочением.

Иначе говоря, в этом упорядочении по высоте каждое непустое подмножество слов имеет

наименьший элемент.

Так как словарное упорядочение является линейным порядком, одночлены любого много-

члена от нескольких переменных можно единственным образом упорядочено высоте. Самый пер-

вый член такого упорядочения в не ненулевом многочлене принято называть высшим членом мно-

гочлена.

Если в многочлене всего одно переменное, то понятие высшего и старшего членов совпада-

ют. В упорядочении «по возрасту» было важное свойство: если кольцо коэффициентов – целост-

ное, то старший член произведения многочленов является произведением старших членов.

Это свойство с естественным изменением в терминологии переносится на кольцо многочле-

нов от нескольких переменных над целостным кольцом: высший член произведения многочленов

является произведением высших членов.

Действительно, если одночлены многочленов f(x1, xn, ..., xn) и g(x1, xn, ..., xn) упорядочены по

высоте:

f(x1, xn, ..., xn) = ............. 2121

2121 nn

nn

axxBxxxAx

g(x1, xn, ..., xn) = ,............ 2121

2121 nn

nn xxDxxxCx

то одночлен nnn

ax...xAx

2211

21 будет выше всех остальных членов произведения.

Симметрические многочлены. Результатом действия подстановки

на многочлен f (x1, x2, ..., xn) называют многочлен

f (x1, x2, ..., xn) = f

(x(1), x(2), …, x(n)).

Говорят, что многочлен f выдерживает подстановку , если f = f.

Если многочлен от n переменных выдерживает все подстановки степени n, то этот многочлен

называют симметрическим. Итак, многочлен f (x1, x2, …, xn) – симметрический, если для лю-

бой подстановки из Sn

f (x(1), x(2), ..., x(n)) = f

(x1, x2, …, xn).

Чтобы узнать, является ли данный многочлен от n переменных симметрическим, нет необхо-

димости проверять действие на него каждой из n! подстановок степени n. Так как симметрическая

группа Sn порождается транспозициями, перемещающими соседние символы, достаточно лишь (n

– 1) проверок.

Многочлен f (x1, x2, …, xn) является симметрическим, если он выдерживает все транспозиции (i i

+ 1), где i = 1, 2, …, n – 1.

Однако число испытаний на симметричность можно снизить до двух, так как симметрическая

группа Sn порождается всего лишь двумя элементами: (1 2) и (1 2 … n).

Таким образом, многочлен f (x1, x2, …, xn) является симметрическим, если:

f (x2, x1, x3, …, xn – 1, xn) = f

(x1, x2, x3, …, xn – 1, xn);

f (x2, x3, …, xn – 1, xn, x1) = f

(x1, x2, x3, …, xn – 1, xn).

n

n

...21

...21

39

Менее чем двумя проверками для n > 2 обойтись нельзя. При n > 2 группа Sn – нецикличе-

ская, поэтому даже если многочлен f (x1, x2, …, xn) выдержал какую-нибудь неединичную подста-

новку, то наверняка найдется подстановка из Sn , которая этот многочлен изменит.

Простейшим симметрическим многочленом будет многочлен, состоящий из одного свобод-

ного члена: он, конечно, «выдержит» все подстановки переменных, которых в нем попросту нет.

Рассмотрим менее тривиальный пример, а именно серию симметрических многочленов сте-

пеней 1, 2, …, n:

1(x1, …, xn) = x1+ x2 + … + xn =

2(x1, …, xn) = x1x2+ x1x3 + … + xn – 1 xn =

3(x1, …, xn) = x1x2x3+ x1x3x4+ … + xn – 2 xn – 1 xn= ,

. . . . . . . . .

k (x1, …, xn) =

. . . . . . . . .

n (x1, ..., xn) = x1x2…xn.

Многочлены i (x1, …, xn) называют основными (или элементарными, или простейшими)

симметрическими многочленами.

Тайна происхождения основных симметрических многочленов (и предпочтение именно этих

многочленов, например, суммам i-х степеней переменных) проясняется следующим фактом.

К о эф ф и ц и е н т ы н о р м и р о ва н н о г о м н о г о ч л е н а о т о д н о й п е р е м е н н о й с т о ч -

н о с т ь ю д о з н а к а я в л я ю т с я з н а ч е н и я м и о с н о в н ы х с и м м е т р и ч е с к и х м н о г о -

ч л е н о в о т к о р н е й м н о г о ч л е н а .

О «точности до знака» можно сказать точнее.

Знаки значений симметрических многочленов от корней многочлена просто чередуются, а

именно: если многочлен

xn + a1 x

n – 1 + … + an – 1 x + an

имеет корни x1, x2, ..., xn , где каждый корень считается столько раз, какова его кратность, то:

a1 = –(x1+ x2+ … + xn);

a2 = (x1 x2 + x1 x3 + … + xn – 1 xn);

a3 =

. . . . . . .

ak =

. . . . . . .

an = (–1)kx1 x2…xn ;

или, то же самое, но короче:

ak = (–1)kk (x1, x2, …, xn).

В честь автора эти формулы называют формулами Виета1.

1 Франсуа Виет (1540–1603) – французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру и первым

ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях. Среди своих алгебраических открытий сам Виет особен-

но ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

,11

1 nii

ix

nii

ii xx21

21

1

,

niii

iii xxx321

321

1

,......1 21

21 niii

iii

k

kxxx

321

321;

iii

iii xxx

k

k

iii

iii

kxxx

...21

21;...1

40

Для доказательства формул Виета достаточно раскрыть скобки в произведении

xn + a1 x

n – 1 + …+ an – 1 x + an = (x – x1) (x – x2) …(x – xn),

привести подобные члены и приравнять коэффициенты у одинаковых степеней x у многочленов в

левой и правой частях равенства.

Для вопроса о корнях требование нормированности многочлена несущественно – корни

многочлена от нормирования не меняются.

Но формулы Виета несложно записать и для произвольного многочлена: корни x1, x2, ..., xn

многочлена

a0 xn+ a1 xn – 1

+ …+ an – 1 x+ an ,

(где каждый корень считается столько раз, какова его кратность) связаны следующими соотноше-

ниями:

= (–1)kk (x1, x2, …, xn).

Если f (x1, x2, …, xm) – произвольный многочлен, а si (x1, x2, …, xn) – симметрические мно-

гочлены (i = 1, 2, ..., m), то

f (s1(x1, x2, …, xn), s2(x1, x2, …, xn), …, sm(x1, x2, …, xn)) –

тоже симметрический многочлен. Другими словами, подстановка симметрических многочленов в

произвольный многочлен является симметрическим многочленом.

Так как нулевой многочлен и многочлен нулевой степени – тоже симметрические, это ут-

верждение равносильно тому, что сумма, разность и произведение симметрических многочленов

снова являются симметрическими многочленами.

Иначе говоря, множество симметрических многочленов образует подкольцо.

Для изучения объекта, в первую очередь, полезно найти порождающие элементы.

П о д к о л ь ц о с и м м е т р и ч е с к и х м н о г о ч л е н о в п о р о ж д а е т с я э л е м е н -

т а р н ы м и с и м м е т р и ч е с к и м и м н о г о ч л е н а м и .

Этот факт носит название основной теоремы о симметрических многочленах.

Доказательство основной теоремы можно провести методом математической индукции, а

именно индукцией по высоте высшего члена многочлена f (x1, x2, ..., xn).

Низший возможный член многочлена – это свободный член (равный нулю или ненулевой).

В свободном члене вообще нет переменных, поэтому формально он является симметрическим

многочленом. База индукции доказана.

Шаг индукции. Симметрический многочлен f (x1, x2, …, xn) состоит не из одного свободного

члена, и пусть

W =

его высший член. По индуктивному предположению для всех симметрических многочленов с

высшим членом ниже, чем одночлен W, утверждение теоремы верно.

Подберем одночлен от основных симметрических многочленов, имеющий такой же высший

член, что и W.

Заметим сначала, что в W показатели степеней не возрастают.

Действительно, если, например, 2 > 1, то многочлен f как симметрический должен выдер-

жать подстановку (1 2). Но тогда среди одночленов многочлена должен быть одночлен

,

который выше, чем W.

Итак, 22 … n.

0a

ak

nnxxAx ...21

2α1

nnxxAx αα

2α1 ...12

41

Высший член U многочлена

f1(x1, x2, …, xn) =

равен произведению высших членов элементарных многочленов:

Чтобы найти числа m1, m2, …, mn – 1, mn , составим и решим систему уравнений:

Эта система имеет единственное решение:

(12, 23, …, n – 1n , n).

Итак,

f1(x1, x2, …, xn) = .... 13221

21nnn

n

aA

Многочлен

f2(x1, x2, …, xn) = f (x1, x2, …, xn) f1(x1, x2, …, xn)

является разностью двух симметрических многочленов, и поэтому сам симметрический. Его

высший член ниже, чем высший член многочлена W.

Для лексикографически упорядоченного множества одночленов от x1, x2, …, xn выполняет-

ся условие индуктивности (равносильное условию обрыва убывающих цепей). Поэтому из того,

что утверждение верно для всех симметрических многочленов с высшим членом ниже W, следует

истинность предложения и для многочлена f (x1, x2, …, xn).

Впрочем, то, что цепочка промежуточных многочленов непременно оборвется, можно увидеть

и из простых арифметических соображений.

Если многочлен f2(x1, x2, …, xn) состоит не из одного свободного члена, то его высший член

имеет вид

,...21

21n

nxxBx

где 2 1 2 … n.

Таким же свойством будут обладать все высшие члены промежуточных многочленов. Число

всевозможных наборов целых неотрицательных чисел (1, 2, … , n) таких, что

2 2 1 … n ,

конечно; поэтому через конечное число шагов будет получен многочлен, состоящий из одного

свободного члена.

Доказательство основной теоремы подсказывает и алгоритм нахождения конкретного пред-

ставления симметрического многочлена от основных симметрических многочленов. Выпишем

сначала выражения возможных высших членов всех промежуточных многочленов, начиная с

данного многочленаf2(x1, x2, …, xn).

nmn

mmσ...σσ 21

21

nm

nmmm xxxxxxxxxU ...... 21321211

321 .... 132221

1...

2...

1nnnn m

nmm

nmmmmmm

xxxx

.

,

..........

,...

,...

11

212

1121

nn

nnn

nn

nn

m

mm

mmm

mmmm

42

В результате мы получим искомое выражения от элементарных симметрических много-

членов с пока неопределенными коэффициентами. Найдем эти коэффициенты, придав наборы

значений переменным x1, x2, ..., xn и решив получившуюся систему уравнений.

Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов

различных степеней. Одночлен от элементарных симметрических многочленов после раскрытия

скобок тоже превращается в однородный многочлен.

Поэтому целесообразно искать выражение от элементарных симметрических многочленов

для каждого слагаемого отдельно. Для однородного симметрического многочлена степени k воз-

можности для промежуточного высшего члена

n

nxxx

...21

21

еще более ограниченны. К условию 2 2 1 … n в этом случае добавляется еще одно:

2 + 1 + … + n= k.

Вернемся к общей картине. На ситуацию с симметрическими многочленами можно взглянуть

и с иной точки зрения.

В кольце K [x1, x2, …, xn] рассмотрим подкольцо S, порожденное основными симмет-

рическими многочленами i . Основная теорема о симметрических многочленах решает проблему

вхождения в подкольцо S: многочлен f принадлежит S тогда и только тогда, когда f – симмет-

рический. Проверка симметричности состоит в ответе на вопрос, выдерживает или нет многочлен

подстановки (1 2) и (1 2 … n)?

Кроме ответа на вопрос «входит или нет многочлен в подкольцо S», можно получить

и представление этого многочлена в порождающих i .

Если A12 ... n – одночлен от i , то после замены i многочленами от x1, x2, …, xn по пока-

зателям степеней xi в высшем члене полученного многочлена можно однозначно восстановить исход-

ный одночлен A12 … n . Поэтому ненулевой многочлен f (1, 2, …, n)остается ненулевым и по-

сле замены i на их выражения через x1, x2, …, xn .

Отсюда следует, что каждый симметрический от переменных xi многочлен имеет един-

ственное представление в виде многочлена от i .

Но каждый многочлен f (x1, x2, …, xn) также имеет единственное представление от переменных xi .

Отображение xi i, i = 1, 2, …, n, при неподвижных элементах из K можно продолжить до отоб-

ражения всего кольца K [x1, x2, …, xn] на кольцо K

[1, 2, …, n], причем это отображение вза-

имно однозначно и сохраняет операции. Иначе говоря,

Ко ль цо си м ме тр и чес ки х м но го чл ен о в K [ 1 , 2 , … , n ] и зом о рфн о ко ль ц у

K [x 1 , x 2 , …, x n ] .

Естественно, что можно взять симметрические многочлены от i в результате снова получит-

ся кольцо, изоморфное исходному кольцу многочленов, и т. д. Таким образом, в кольце много-

членов от нескольких переменных содержится бесконечная убывающаяцепочка подколец, изо-

морфных кольцу K [x1, x2, ..., xn].

Кратные корни. Задача о кратных корнях многочлена f (x)с коэффициентами из целостного

кольца K характеристики нуль легко решается. Многочлен f (x)имеет кратные корни тогда и только

тогда, когда он не взаимно прост со своей производной. Вычислить наибольший делитель много-

члена f (x) и его производной можно вычислить в кольце многочленов над – полем

частных кольца K.

Есть, однако, и другой путь, известный (в частном случае) даже школьникам. Рассмотрим эту

школьную ситуацию подробно.

Пусть

f (x) = ax

2 + bx + c

][xK K

43

многочлен второй степени. Этот многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его

дискриминант

D = b2 – 4ac

равен нулю.

Утверждение о дискриминанте и кратных корнях квадратного многочлена связано

с формулой для нахождения корней этого многочлена. Можно ли так определить понятие дискри-

минанта для многочлена, степени больше двух, что его свойство (равенство нулю тогда и только

тогда, когда многочлен имеет корни) сохранилось? Возникает еще один вопрос: возможно ли это

сделать без формулы для нахождения корней?

Сначала рассмотрим ситуацию с многочленом второй степени более тщательно. Пусть x1,

x2 – корни этого многочлена. Тогда они совпадают тогда и только тогда, когда x1 – x2 = 0. Выра-

жение x1 – x2не симметрично, однако симметрию легко внести, сохранив главное свойство этого

выражения. Многочлен x + bx + c имеет кратные корни тогда и только тогда, когда выражение

(x1 –x2)2

равно нулю. Такое D уже симметрично, поэтому его можно выразить через основные симмет-

рические многочлены, а те, в свою очередь, через коэффициенты a, b многочлена. Чтобы остаться

в кольце (а не в поле) коэффициентов, надо вспомнить, что в выражении основных симметриче-

с к и х м н о г о ч л е н о в ч е р е з к о р н и м н о г о ч л е н а б у д е т п р и с у т с т в о в а т ь

множитель . Наибольшую степень этого множителя здесь видно непосредственно –

эта степень равна двум. Поэтому, чтобы остаться в кольце коэффициентов, следует умножить (x1 –

x2)2 на a

2.

Итак,

D = a2 (x1 – x2)

2 = (x1+ x2)

2– 4x1x2 = = b

2 – 4ac.

Тайна дискриминанта нормированного многочлена второй степени раскрыта – это просто

квадрат разности его корней (с ненулевым множителем, убирающим знаменатели в его выраже-

нии через коэффициенты многочлена).

Дискриминант. После этого наблюдения несложно обобщить понятие дискриминанта на

случай произвольного нормированного многочлена.

Пусть f (x) – многочлен с коэффициентами из целостного кольца K нулевой характеристики:

f (x) = a0 xn+ a1 x

n – 1+ …+ an – 1 x+ an ,

где a0 0; x1, x2, …, xn – корни этого многочлена. Тогда среди этих элементов встретятся равные

тогда и только тогда, когда выражение

равно нулю.

Переменное x1 входит в это произведение в степени 2n – 2; поэтому для того, чтобы это про-

изведение осталось в кольце коэффициентов многочлена, достаточно умножить

его на . Выражение

называют дискриминантом1 многочлена f

(x).

Понятие дискриминатна введено Джеймсом Сильвестром2.

1 От латинского discriminare – разделять, различать. 2 Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) – английский математик, иностранный член-корреспондент Петер-

бургской академии наук (с 1872 г.).

a

1

a

c

a

ba 4

2

22

nji

ji xx1

2

220

na

220

nafD

nji

ji xx1

2

44

Точно так же, как и в случае квадратного многочлена, f (x) имеет кратные корни тогда и

только тогда, когда его дискриминант D( f ) = 0.

Дискриминант D( f ) является симметричным выражением от корней многочлена f

(x),поэтому

по основной теореме о симметрических многочленах он выражается через основные симметриче-

ские многочлены, а те, в свою очередь, выражаются по формулам Виета через коэффициенты мно-

гочлена f (x). Иначе говоря, д и с к р и м и н а н т н о р м и р о в а н н о г о м н о г о ч л е н а п р и -

н а д л е ж и т к о л ь ц у к о э ф ф и ц и е н т о в э т о г о м н о г о ч л е н а

Вычисление дискриминанта. С помощью основной теоремы о симметрических много-

членах и формул Виета дискриминант многочлена может быть вычислен без нахождения кор-

ней многочлена.

Найдем, например, дискриминант нормированного многочлена третьей степени. Если x1,

x2, x3 – корни многочлена

f (x) = ax

3 + bx

2 + cx + d,

то

D( f ) = a

4 (x1– x2)

2 (x1 – x3)

2 (x2 – x3)

2.

Используя алгоритм нахождения представления симметрического многочлена через основ-

ные симметрические многочлены, можно получить выражение D через коэффициенты многочле-

на. Это выражение и входит составной частью в формулу Кардано.

Дискриминант многочлена ax3 + bx

2 + cx + d равен

b2c

2– 4b

3d – 4c

2a + 18abcd – 27a

2d

2.

При нахождении корней многочлена n-й степени можно считать, что коэффициент

у одночлена xn – 1

равен нулю. Именно это уравнение рассматривается для нахождения корней

методом Кардано. В такой ситуации выражение дискриминанта упрощается (все члены, содержа-

щие коэффициент a, исчезают).

Дискриминант многочлена x3 + px + q равен

–4p3– 27q

2.

В формуле Кардано выражение под квадратным корнем отличается лишь числовым множи-

телем:

–4p3– 27q

2 = –108 .

Это значит, что и формулы Кардано в случае нулевого дискриминанта дают по крайней мере

два равных корня.

Практическое вычисление дискриминанта многочлена степени выше второй можно упрос-

тить, используя определитель Вандермонда:

Определитель не изменяется при транспонировании его матрицы, а это значит, что произве-

дение

274

32 pq

1

112

11

222

21

21

..

...

...

...

...

1...11

jin

ji

nn

nn

n

n

xx

xxx

xxx

xxx

45

равно дискриминанту нормированного многочлена.

Если, как обычно, Sk обозначает сумму k-х степеней элементов x1, x2, …, xn , то дискриминант

равен

D=

Используя формулы для вычисления Si , теперь можно получить выражение для D.

Напомним, что дискриминант является произведением квадратов. Если D < 0, то это значит,

что многочлен имеет комплексный (недействительный) корень. Однако многочлен с действитель-

ными коэффициентами вместе с комплексным корнем a + bi имеет корнем и сопряженное с кор-

нем число a – bi. Кроме того, многочлен имеет нечетную степень, и, следовательно, всегда имеет,

по крайней мере, один действительный корень.

Если дискриминант многочлена третьей степени меньше нуля, то один из корней многочле-

на – действительный, а два сопряженные комплексные.

Непосредственным вычислением можно поверить, что и обратное утверждение тоже верно:

если один из корней многочлена третьей степени – действительный, а два – сопряженные ком-

плексные, то дискриминант многочлена отрицательный.

Оба эти утверждения можно собрать вместе: д и с к р и м и н а н т м н о г о ч л е н а т р е т ь -

е й с т е п е н и м е н ь ш е н у л я т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а о д и н и з к о р н е й

м н о г о ч л е н а – д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о , а д в а д р у г и х – с о п р я ж е н н ы е к о м -

п л е к с н ы е .

Если D = 0, то это значит, что многочлен имеет кратные корни. Совпадение двух комплекс-

ных (недействительных) корней невозможно: в таком случае общее число корней будет не меньше

четырех. Иначе говоря, е с л и д и с к р и м и н а н т м н о г о ч л е н а т р е т ь е й с т е п е н и р а -

в е н н у л ю , т о в с е к о р н и м н о г о ч л е н а – д е й с т в и т е л ь н ы е и п о к р а й н е й

м е р е д в а и з н и х с о в п а д а ю т .

Разумеется, верно и обратное утверждение – равенство двух корней означает, что дискри-

минант многочлена нулевой.

Таким образом, д и с к р и м и н а н т м н о г о ч л е н а т р е т ь е й с т е п е н и р а в е н н у л ю

т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а в с е к о р н и м н о г о ч л е н а – д е й с т в и т е л ь н ы е и

п о к р а й н е й м е р е д в а и з н и х с о в п а д а ю т .

Наконец, дискриминант кубического многочлена может оказаться положительным. Так как

случаи отрицательного и нулевого дискриминанта рассмотрены полностью, для положительного

D осталась лишь последняя возможность.

Дискриминант многочлена третьей степени больше нуля тогда и только тогда, когда все кор-

ни многочлена действительные и различные.

Исключение переменной из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим систему

алгебраических уравнений с коэффициентами из поля P, т. е. систему

112

11

222

21

21

.

...

...

...

...

1...11

nn

nn

n

n

xxx

xxx

xxx

12

11

211

12

222

12

211

...1

...1

.....

...1

...1

nnnn

nnnn

n

n

xxx

xxx

xxx

xxx

2211

132

21

11

.

...

...

...

...

...

nnn

n

n

n

SSS

SSS

SSS

SSn

,0...,,,

........

,0...,,,

,0...,,,

21

212

211

nm

n

n

xxxf

xxxf

xxxf

46

где fi (x1, x2, ..., xn) – многочлены, а число m не обязательно конечно. Впрочем, теорема Гильбер-

та о базисе (т. е. нетеровость кольца P

[x1, x2, ..., xn]) означает, что любая система алгебраических

уравнений равносильна своей конечной подсистеме, поэтому m можно всегда считать натураль-

ным числом.

В курсе линейной алгебры уже рассматривался частный случай таких систем, а именно системы

линейных уравнений, т. е. случай, когда

deg fi (x1, x2, …, xn) = 1.

Основным методом решения произвольной системы линейных уравнений является метод

Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Метод последовательного исключения неизвестных, с помощью которого решение системы ал-

гебраических уравнений от n неизвестных сводится к решению системы от n – 1 одного неизвест-

ного, применим и для произвольной системы алгебраических уравнений.

Чтобы это увидеть, достаточно показать, что систему из двух уравнений с двумя неиз-

вестными

(*)

можно свести к решению одного уравнения с одним неизвестным.

Так как P [x, y] = (P

[x]) [y], каждый многочлен s(x, y) от переменных x, y является многочле-

ном от y, коэффициенты которого – многочлены от x:

s(x, y) = S(y) = c0(x) y k+ c1(x) y

k – 1+ …+ ck (x).

В частности, многочлены из нашей системы имеют такой же вид:

f (x, y) = F(y) = a0(x) y

n+ a1(x) y

n – 1+ … + an (x),

g(x, y) = G(y) = b0(x) y m

+ b1(x) y m – 1

+ …+ cm (x).

Многочлен a0(x) – ненулевой, поэтому степень многочлена F(y) равна n. Аналогично b0(x) –

ненулевой и степень G(y) равна m.

Так как P [x] является лишь кольцом, но не полем, кольцо (P [x]) [y] – неевклидово: теорема

о делении с остатком там не выполняется. Однако она выполняется для нормированного много-

члена G(y), а если этот многочлен – не нормирован, то – для многочленов [b0(y)]n – m + 1

F(y) и

G(y):

[b0(x)]n – m + 1

F(y) = G(y)Q(y) + R(y),

где Q(y), R(x) (P [x]) [y] и deg R(y) < deg G(y).

Многочлен R(y) выражается через многочлены системы (*):

R(y) = [b0(x)]n – m + 1

F(y) – G(y)Q(y),

значит, R(y) является следствием системы (*). Не все решения уравнения R(y) = r(x, y) являются

решениями системы (*): если b0(x) обращается в нуль, то степень многочлена F(y)на самом деле

строго меньше n.

В любом случае решение системы (*) сводится к решению двух систем:

(s1)

0,

,0,

yxg

yxf

;0

,0,

,0,

0 xb

yxg

yxr

47

(s2)

Сумма степеней всех уравнений системы (si) по y строго меньше такой же суммы системы (*).

Таким образом, применяя индукцию по степени y, получаем следующее утверждение: о д н о

и з н е и з в е с т н ы х в с и с т е м е , с о с т о я щ е й и з д в у х а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е -

н и й с д в у м я н е и з в е с т н ы м и , м о ж н о и с к л ю ч и т ь .

А теперь индукцией по числу m уравнений получаем: о д н о и з н е и з в е с т н ы х в с и -

с т е м е , с о с т о я щ е й и з m а л г е б р а и ч е с к и х у р а в н е н и й с д в у м я н е и з в е с т -

н ы м и , м о ж н о и с к л ю ч и т ь .

Рассмотрим два многочлена степени n и m:

f (x) = a0 x

n + a1x

n – 1 + … + an – 1 x + an ,

g(x) = b0 x m

+ b1x m – 1

+ … + bm – 1 x + bm .

Для определенности будем считать, что n m. Многочлены f (x) и g(x) имеют общий корень

тогда и только тогда, когда они не взаимно просты, т. е.

deg (f (x), g(x)) > 0.

Кольцо многочленов с коэффициентами из поля является гауссовым, а в каждом гауссовом

кольце любая пара элементов a, b обладает наибольшим общим делителем (a, b)и наименьшим

общим кратным [a, b], причем

(a, b) [a, b] = ab.

Так как deg f(x) g(x) =n + m, а deg (f(x), g(x))>0, из равенства

(f(x), g(x)) [f(x), g(x)] = f(x) g(x)

следует: deg [f (x), g(x)] < n + m.

Это значит, что существуют такие многочлены u(x) и v(x) из того же кольца P [x], что

[f (x), g(x)] = u(x) g(x) = v(x) f

(x),

причем deg u(x) <n, deg v(x) <m.

Пусть

u(x) = c1 xn – 1

+ c2 xn – 2

+ … + cn – 1 x + cn ,

v(x) = d1 xm – 1

+ d2 xm – 2

+ … + dm – 1 x + dm .

Равенство

u(x) g(x) = v(x) f

(x)

означает, что коэффициенты при равных степенях неизвестного в левой и правых частях равенства

совпадают.

k Коэффициент xk в v(x) f (x) Коэффициент xk в u(x) g(x)

n + m – 1 a0d1 b0c1

n + m – 2 a1d1 + a0d2 b1c1 + b0c2

n + m – 3 a2d1 + a1d2 + a0d3 b2c1 + b1c2 + b0c3

...

n an d1 + an – 1 d1 + ... + an – m + 1 dm ... bm cn – m + ... + b0cn

.0

,0...

,0,

0

11

xb

xbyxb

yxf

mm

48

k Коэффициент xk в v(x) f (x) Коэффициент xk в u(x) g(x)

an – 1 d1 + ... + an – m + 2 dm bm cn – m + 1 + ... + b1cn

...

1 an dm – 1 + an – 1 dm bm cn – 1 + bm + 1 cn

0 an dm bm cn

Равенство коэффициентов приводит к системе однородных линейных уравнений с неиз-

вестными, c1, c2, …, cn , d1, d2, …, dm . Коэффициенты в уравнениях при неизвестных расположим в

таблице (не выписывая нули)

Н е и з в е с т н ы е

c1, c2 с3 ... cn – 1 cn d1 d2 ... dm – 1 dm

a0 ... -b0 ...

a1 a0 ... –b1 –b0 ...

... a1 a0 ... ... –b1 ...

am – 1 ... a1 ... –bm – 1 ... ...

am am – 1 ... ... –bm –bm-1 ...

am + 1 am am – 1 ... –bm ...

... am + 1 am ... ...

an ... am + 1 ... ...

an ... ... ...

an ... ... –b0

... ... –b1 –b0

... ... ... –b1

... ... –bm – 1 ...

... an an – 1 ... –bm –bm – 1

... an ... –bm

Система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда,

когда ее определитель равен нулю. Матрицу коэффициентов при неизвестных в этой системе

для красоты можно транспонировать, а затем умножить на число –1 последние n строк. Опреде-

литель будет иметь коэффициент (-1)n, который не изменит его равенство (или неравенство) ну-

лю. Итак, многочлены

a0 xn+ a1 x

n – 1 + ... + an – 1 x + an , b0 x

m + b1 x

m – 1 + ... + bm –1 x + bm ,

где ai , bi из целостного кольца и a0илиb0отличны от нуля, имеют общий корень тогда и только то-

гда, когда определитель (n + m)-го порядка

равен нулю.

49

Полученный определитель обозначают символом R(f, g) и называют результантом1многочле-

нов f и g.

Сам определитель такого вида называют определителем Сильвестра2.

На рисунке схематически изображен результант многочленов f (x) и g(x). Имеется в виду, что

deg f(x) = n, deg g(x) = m.

Для наглядности коэффициенты многочленов раскрашены в разные цвета. Чтобы получить

результант, на главную диагональ квадратной матрицы нанизываются старшими членами m строк

коэффициентов многочлена f (x). Эти строки на рисунке выделены черным цветом (если смотреть

на них издали, то они сливаются в черный параллелограмм). Затем, снова цепляясь за главную

диагональ, но теперь уже свободными членами, располагаются n строк коэффициентов многочле-

на g(x)(на рисунке они выделены серым цветом и сливаются в серый параллелограмм). На осталь-

ных (белых) местах матрицы стоят нули.

Для примера найдем результант многочленов

f (x) = a0 x

3 + a1 x

2 + a2 x + a3иg(x) = b0 x

2 + b1 x + b2:

Отметим, что предложения «многочлены f (x) и g(x) имеют общий корень» и «многочлены

g(x) и f (x) имеют общий корень» означают одно и то же. Следовательно, f и g должны входить

симметричным образом и в выражение для результанта. В действительности это не совсем так.

Если (n + m) (n + m)-матрицу сначала заполнить коэффициентами многочлена g(x), а затем

лишь коэффициентами f (x), то получится R (g, f

), который отличается от R (

f, g)лишь расположе-

нием строк. Это значит, что R (g, f ) отличается от R (f, g) лишь множителем вида (–1)

k, где k –

число перемен строк в R ( f, g), необходимых для получения R (g, f

) (или k – число такой же

четности).

Впрочем, число k можно вычислить точно.

Если f (x), g(x) – многочлены с коэффициентами из целостного кольца и deg f

(x) = n,

deg g(x) = m, то

R( f, g) = (–1)

nmR(g, f).

Это замечание означает, что R( f, g) и R(g, f

) равны нулю одновременно и матрицу результан-

та можно заполнять в любом порядке.

1 От латинского слова resultantis – отражающийся.

2 Джеймс Джозеф Сильвестр (1814–1897) – английский математик.

210

210

210

3210

3210

00

00

00

0

0

,

bbb

bbb

bbb

aaaa

aaaa

gfR

22

210 bab 321

202 abab 011

22 abab 2

330 ab 231003 babab 21201 baabb

32120 aabb 220

21 baab 3

2110 abab 3

310 aba 2

2202 abb 0

22202 abab .3

220 ba

50

Для того чтобы многочлены f (x) и g(x) с коэффициентами из целостного кольца были не

взаимно просты, необходимо, чтобы результант R( f, g) был равен нулю.

Равенство нулю результанта без оговорок о старших коэффициентах многочленов является

лишь необходимым, но не достаточным условием. Действительно, если a0 = b0, то результант ра-

вен нулю, даже если у многочленов и нет общих корней.

Результант можно использовать для исключения неизвестного из системы алгебраических

уравнений.

Общий случай (произвольного числа уравнений и произвольного числа неизвестных) снова

сводится к системе из двух уравнений с двумя неизвестными:

(s)

Каждый многочлен s(x, y) от переменных x, y является многочленом от переменной x, а ко-

эффициентами этого многочлена являются многочлены от y:

s(x, y) = S(x) = c0(y) yk + c1(y) y

k – 1 + ... + ck (y),

В частности, многочлены из системы (s) имеют такой же вид:

f (x, y) = F(x) = a0(y) x

n + a1(y) x

n – 1 + ... + an (y),

g(x, y) = G(x) = b0(y) xm + b1(y) x

m – 1 + ... + cm (y).

Многочлен a0(y) – ненулевой, поэтому степень многочлена F(x) равна n. Аналогично

b0(y) – ненулевой, и степень G(x) равна m.

Система (s) принимает вид:

(S)

Если (x0, y0) – решение системы (s), то x0 – общий корень многочленов F(x) и

G(x)и, следовательно, результант этих многочленов R(F, G) равен нулю. В этом результанте членами

матрицы являются многочлены от неизвестного y, и результант R(F, G) имеет вид:

В этом определителе, как обычно для результанта, в первых m строках располагаются коэф-

фициенты многочлена F(x), а в нижних n строках находятся коэффициенты многочлена G(x). И

те, и другие заполняют свои строки не полностью, на всех оставшихся местах строк стоят нули.

Но это значит, что y0 является корнем уравнения

R(F, G) = 0.

Таким образом, решение системы из двух алгебраических уравнений с коэффициентами из

целостного кольца и двумя неизвестными можно свести к решению одного уравнения R(F, G) = 0 с

одним неизвестным, а затем к решению систем из двух алгебраических уравнений с одним неиз-

вестным.

Другими словами, с помощью результанта одно из неизвестных в системе, состоящей из

двух алгебраических уравнений, можно исключить.

Теперь отметим следующее обстоятельство.

.0,

,0,

yxg

yxf

.0

,0

xG

xF

51

Дискриминант многочлена появился как симметрическое выражение от корней многочлена.

Происхождение результанта иное, но связь между результантом и дискриминантом должна быть

непременно.

Дело в том, что многочлен f (x) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда он не взаим-

но прост со своей производной, но одновременно тогда и только тогда, когда его дискриминант

равен нулю. Таким образом,

D(f) = 0

Вычисления показывают, что действительно результант многочлена и его производной ока-

зался дискриминантом, умноженным, правда, на старший член многочлена f (x) и на –1. Так как

старший член всегда в таких случаях отличен от нуля, равенство (или неравенство) нулю дискри-

минанта или результанта многочлена и его производной будет происходить одновременно.

Для многочлена f (x)=ax

2 + bx + c эта связь тоже имеет место:

= –ab2 + 4ac = –aD(f).

Если f (x) = ax

4 + bx

3 + cx + d, то результант f

(x) многочлена и его производной имеет

вид:

a (– 4d

3b

3– 27d

4a

2 + c

2b

2d

2– 4c

3b

2e + 144cb

2ae

2+ 144d

2a

2ec + 256e

3a

3– 6d

2aeb

2–

– 27b4e

2– 4c

3ad

2+ 16c

4ae – 128c

2a

2e

2+ 18d

3acb – 80dac

2be + 18dcb

3e – 192da

2e

2b).

Здесь выражение в скобках – это в точности дискриминант f (x), т.

е. в этом случае

= aD(f).

Таким образом, для многочленов второй, третьей и четвертой степеней видна простая связь

между дискриминантом и результантом этого многочлена:

D(f) = k

В этом равенстве коэффициент k для многочленов второй и третьей степеней равен 1, а для

четвертой степени k = 1. Чтобы доказать, что такое равенство выполняется для любого многочлена

с коэффициентами из целостного кольца и разгадать тайну коэффициента k, нужно другое опреде-

ление результанта, более близкое к определению дискриминанта. Дискриминант определялся с

помощью симметрических многочленов. Для решения поставленной задачи нужно определить

результант аналогичным образом – через симметрические многочлены.

Отметим связь между понятиями результанта и дискриминанта.

Если f (x) = a0x

n + ... + an многочлен с коэффициентами из целостного кольца (a0 0), то

Иначе говоря, с точностью до числового коэффициента дискриминант многочлена является

результантом этого многочлена со своей производной.

§ 6. Поле комплексных чисел

Определение поля комплексных чисел. В кольце целых чисел разрешимы не все уравне-

ния первой степени, т. е. уравнения вида ax+b=0, где a0. Однако в поле рациональных чисел все

такие уравнения уже разрешимы.

Можно сказать, что поле рациональных чисел получилось присоединением к кольцу целых

чисел всех корней многочленов первой степени.

Расширение поля Q до поля R действительных чисел, решая задачи, связанные с измерени-

ем, и тем самым, присоединяя к рациональным числам корни многих алгебраических уравнений,

не решает задачу с уравнениями полностью – и над полем действительных чисел остаются квад-

ратные уравнения, не имеющие решений в поле R.

.0, ffR

ffR ,

ffR ,

.,0 ffRa

.1, 02

1

fDaffRnn

52

Простейшим примером такого уравнения будет x2 + 1 = 0.

Наименьшее поле, которое содержит подполе действительные чисел и решение уравнения

x2 + 1 = 0 называют полем комплексных чисел. Одно из решений уравнения x

2 + 1 = 0 обозначают

буквой i и называют мнимой единицей (второе решение i). Поле комплексных чисел обозначают

символом C.

Существование поля комплексных чисел. Доказательства существования поля C можно

провести конструктивно, т. е. просто построить поле C, исходя из поля R и элемента i.

Подобно тому, как в геометрии решаются задачи на построение, можно сначала провести

анализ, т. е. предположить, что поле C существует, и посмотреть, что из этого следует.

Если поле комплексных чисел существует, то среди них должны содержаться и все числа

вида a + bi, где a, b – действительные числа и i2 + 1 = 0. Такое представление числа будет един-

ственным (в противном случае i окажется действительным числом, а это не так). Единственность,

в частности, означает, что если a + bi = 0, то a = b = 0.

Из аксиом поля следует, что если z1=a+bi, z2=c+di – два комплексных числа, то непосред-

ственно из аксиом поля следует, что

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

z1z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) .

Таким образом, множество M чисел указанного вида a + bi замкнуто относительно сло-

жен6ия и умножения.

Замкнуто оно и относительно вычитания:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i,

и относительно деления на ненулевой элемент,

dic

bia

dicdic

dicbia

22 dc

iadbcbdac

22 dc

bdac.

22i

dc

adbc

Таким образом, множество M само является полем, и это поле содержит R и i.

Поле C – минимальное с такими свойствами, следовательно, M = C.

Итак, если поле комплексных чисел существует, то каждое комплексное число имеет вид

a + bi, где a, b – действительные числа и i2 + 1 = 0.

Анализ закончен.

Теперь, исходя из анализа, можно построить поле C, взяв в качестве его множества декартов

квадрат R R, и определив арифметические операции так, как подсказывает анализ задачи.

Таким образом, если существует поле действительных чисел, то существует и поле ком-

плексных чисел.

Разумеется, после построения (описания множества-носителя и операций на нем) следует

провести доказательство того, что построено именно то, что и хотели.

Кроме того, как и в геометрии, не лишен смысла вопрос о числе решений этой задачи, т. е. о

вопрос, сколько существует различных полей комплексных чисел? Конечно, как обычно в алгебре,

изоморфные поля не считаются различными. И снова анализ помогает ответить и на этот вопрос.

Существует единственное поле комплексных чисел.

Алгебраическая форма комплексного числа. Представление комплексного числа z в виде

z = a + bi, где a, b – действительные числа и i2 + 1 = 0, называют алгебраической формой ком-

плексного числа.

Каждое комплексное число имеет единственную алгебра и-

ческую форму .

Первое слагаемое алгебраической формы принято называть действи-

тельной частью, а действительный множитель второго слагаемого называют

мнимой частью числа. Для них приняты обозначения A = Re z, bi = Im z, то

есть z = Re z + Im z

53

Множество действительных чисел R наглядно изображается в виде числовой прямой.

Множество комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответсвии с декарто-

вым квадратом множества R.

Декартов квадрат R R множества R наглядно изображается координированной плоско-

стью. Таким образом, каждое комплексное число можно представить точкой на плоскости с декар-

товыми прямоугольными координатами. На оси абсцисс комплексной плоскости находятся дей-

ствительные части комплексных чисел, поэтому ее называют иногда действительной осью, а ось

ординат соответственно – мнимой осью.

Каждая точка плоскости изображает одно комплексное число и, наоборот, – число изобража-

ется одной точкой. Можно соединить начало координат с этой точкой и,

таким образом, каждое комплексное число будет изображено радиус-

вектором.

Двумерные векторы над полем действительных чисел так же, как

и комплексное числа, представляются парами действительных чисел, и

сложение векторов происходит также – покомпонентно (первая коорди-

ната складывается с первой, а вторая – со второй).

Сложение комплексных чисел происходит тоже покомпонентно (если компонентами назвать

действительные и мнимую части). Это значит, что при сложении комплексных чисел, вектора их

изображающие складываются по правилу параллелограмма.

И в векторах с операциями сложения, и в комплексных числах с той же операцией есть нечто

общее – обе эти системы являются прямыми суммами двух групп <R; +>.

Итак, аддитивная группа комплексных чисел является прямой суммой аддитивных групп

действительных чисел:

C = R R.

У поля действительных чисел нет ни одного нетривиального автоморфизма.

Геометрическая иллюстрация поля C подсказывает, что, по крайней мере, один неединич-

ный автоморфизм в уполя C есть.

Сопряженные числа. Геометрические соображения следующие: осевая симметрия в дей-

ствительной оси является взаимно однозначным отображением комплексной плоскости на себя и

явно сохраняет операцию сложения. Остается проверить только сохранение умножения.

Сначала введем более точное определение.

Пусть z = x + yi произвольное комплексное число. Число x – yi называют сопряженным с z, и

обозначают символом z .

Из определения видно, что отображение z z является взаимно однозначным; и z =z тогда и

только тогда, когда z – действительное число. Кроме того, непосредственным вычислением про-

веряется, что

,2121 zzzz .2121 zzzz

Все это вместе означает, что отображение, переводящее число в комплексно с о-

пряженное является автоморфизмом поля комплексных чисел,

оставляющее поле действительных чисел неподвижным.

Если числа z и z – сопряженные, то z + z и z z принадлежат R.

Поэтому если z z , то эти числа являются корнями одного и того же

многочлена второй степени с действительными коэффициентами.

Впрочем, про многочлены с действительными коэффициентами лю-

бой положительной степени можно сказать больше.

Если число z является корнем многочлена f(z) с действительными

коэффициентами, то и z – тоже корень этого многочлена.

Геометрически это означает, что если на комплексной плоскости

изобразить корни многочлена с действительными коэффициентами, то

полученное множество всегда симметрично относительно действитель-

ной оси.

54

В поле действительных чисел аддитивная группа изоморфна мультипликативной группе по-

ложительных действительных чисел.

Точного аналога этому факту в поле комплексных чисел нет по простой причине: поле ком-

плексных чисел не упорядочиваемо (и поэтому нет понятия «положительный» и «отрицатель-

ный»).

Действительно, если бы конус положительности C+ существовал, то любое из предположе-

ний iC+ или -iC+ ведет к противоречию.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Зададим на комплексной плоскости

полярные координаты, положив началом координат точку O, а полярной осью выберем положи-

тельное направление действительной оси.

Полярный радиус – расстояние r от точки z до начала координат называ-

ют модулем числа z. Обозначается модуль так же, как модуль действительного

числа z.

Если комплексное число z = a+bi, то z= .ba 22

Полярный угол точки z (угол, на который надо повернуть полярную ось

до совмещения ее с направлением на точку z) принято называть аргументом

числа z.

Аргумент обозначается символом Arg z.

Аргумент для нуля не определен, но нулевое число, впрочем, полностью

задается своим модулем.

Если же ненулевое число z=a+bi задано в алгебраической форме, то модуль z0, а аргу-

мент arg z можно вычислить, и таким образом, перейти от декартовой системы координат к поляр-

ной системе:

22

argsinba

bz

,

22argcos

ba

az

.

Эти два равенства определяют arg z однозначно с точностью до сравнимости по модулю 2.

Точнее, если 1 и 2 два решения системы уравнений

,sin

,cos

d

c

то 12(mod 2), т. е. 1 – 2 = 2k, где k – целое число.

Пусть, наоборот, заданы полярные координаты комплексного (ненулевого) числа z,

z=r, arg z=.

Тогда алгебраическую форму a+bi числа z можно найти по формулам:

a=r cos , b=rsin .

Подставим вместо a, b эти значения, и получим выражение для z:

z= r(cos + i sin ).

Такое представление комплексного числа называют тригонометрической формой.

Тригонометрическая формула одновременно представляет число и в декартовых координа-

тах (достаточно раскрыть скобки), и в полярных (в ней участвуют и модуль, и аргумент числа).

Используя единственность алгебраической форме и равенство

cos2 + sin

2 = 1,

получаем утверждение о единственности тригонометрической формы: если r1(cos + i sin

) и r2(cos + i sin ) две тригонометрические формы одного и того же ко м-

плексного числа, то r 1=r2 , и (mod 2) .

Алгебраическую форму комплексное числа можно было взять произвольно – каждая пара

действительных чисел a, b однозначно задает комплексное число.

То же самое (при естественных ограничениях) верно и для тригонометрической формы.

Для каждого действительного числа r > 0, и каждых действительных , таких, что

2 +

2=1, существует единственное комплексное число z, имеющее тригонометрическую форму

z= r(cos + isin ),

где cos =, sin =.

55

Модуль комплексного числа, как и модуль действительного, – это расстояние от точки,

изображающей число, до начала координат.

Если y=0, т. е. число z – действительное, то новый модуль в точности совпадает со старым.

Переносятся в комплексную область и другие свойства модуля действительных чисел.

Например, модуль произведения действительных чисел равен произведению модулей.

Это свойство распространяется на все комплексные числа: модуль произведения ком-

плексных чисел равен произведению модулей сомножителей .

Последнее утверждение можно проверить непосредственным вычислением, а можно вос-

пользоваться тождеством z= zz .

Кстати, зная, как выглядит выражение для модуля, из равенства =, где и –

произвольные комплексные числа можно получить чисто арифметический факт: произведение

двух сумм двух квадратов целых чисел само является суммой двух квадратов.

Свойства модуля комплексного числа. Продолжим перечисление свойств модуля ком-

плексных чисел, взяв за основу свойства модуля действительных чисел.

Для произвольных комплексных чисел , выполняются следующие неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Кроме свойства , для любых действительных чисел , выполняется еще

правило знаков:

() = () = и () () = .

Знак действительного числа – это множитель, равный 1 или -1. В случае комплексных чисел

знак превращается в комплексное число, модуль которого равен единице, а правило знаков при-

нимает вид: для любых комплексных чисел , :

Arg () = Arg +Arg .

Для действительных чисел аргумент принимает лишь два значения: 0 или . В первом случае

знак равен 1, а во втором 1.

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножают-

ся, а аргументы складываются.

Образно говоря, если число представлено радиус-вектором , то

умножение на число означает, что вектор поворачивается на угол

arg , а модуль вектора растягивается (или сжимается) в раз.

Если =1, то умножение на число сводится лишь к повороту

вектора на некоторый угол.

Правило знаков для действительных чисел означает, что мульти-

пликативная группа ненулевых действительных чисел является прямым произведением мульти-

пликативной группы положительных действительных чисел и группы, состоящей из действитель-

ных чисел, модуль которых равен единице.

Перечисленные свойства модуля и аргумента комплексных чисел

означают, что это свойство буквально переносится на мультипликативную

группу комплексных чисел (только множество комплексных чисел, модуль

которых равен единице – теперь значительно большее множество):

Мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел является

прямым произведением мультипликативной группы положительных дей-

ствительных чисел и группы, состоящей из комплексных чисел, модуль

которых равен единице.

На рисунке черным цветом выделены прямые множители мульти-

пликативной группы ненулевых комплексных чисел. Пересечение окруж-

ности единичного радиуса с действительной осью и как раз и дает соответствующий прямой мно-

житель группы действительных чисел.

56

Деление (а ненулевое число) является операцией, обратной умножению, поэтому для любых

комплексных чисел , ()

β

α

β

α и Arg

β

α= Arg Arg .

Если число 0, то

-1=

-1, arg

-1 = – arg .

Последнее замечание означает, что геометрически число -1

получается из числа компози-

цией осевой симметрии в оси абсцисс и инверсии в окружности единичного радиуса с центром в

начале координат. На рисунке изображено соответствующее построение.

Экспоненциальная форма комплексного числа. Разложим функции ex, cos x и sin x в ряды

Тейлора:

,...!

...!1

1 n

xxe

nx

,...!12

1...!3

sin123

n

xxxx

nn

....!2

1...!2

1cos22

n

xxx

nn

Если теперь ряд для sin x умножить на i,

,...!12

1...!3

sin123

n

xi

xiixxi

nn

и затем сложить с рядом для cos x, то получим ряд для eix:

....!

...!2!1

12

n

xi

xixe

nnix

Таким образом (для любого x):

.sincos xixeix

Последнее тождество называют формулой Эйлера.

Из формулы Эйлера следует, что

.sincos bibrrei

Если r>0. то выражение справа – это тригонометрическая форма комплексного числа. Выра-

жение слева называют экспоненциальной (показательной) формой комплексного числа.

Этой же форме можно придать другой вид. Для любого действительного числа a число ea

–

положительно, поэтому любое ненулевое комплексное число можно представить в виде:

.sincos bibee abia

57

Умножение и деление в экспоненциальной форме подтверждают свойства модуля и аргу-

мента, полученные ранее с помощью тригонометрической формы:

ier1 ier2 =

;21

ierr .

2

1

2

1

i

i

i

er

r

er

er

Отметим, что для x = принимает вид

.1ie

Перенесем –1 в левую часть равенства, и в результате получим загадочную связь между

всеми важнейшими константами математики (e, , i, 1, 0):

.01ie

Формула Муавра. Используя индукцию по n, для равных множителей получаем следующее

равенство (для каждого натурального числа n):

[r(cos + i sin )]n = r

n(cos n + i sin n).

В честь автора эту формулу называют формулой Муавра1.

Возвести комплексное число в натуральную степень n можно и с помощью бинома Ньюто-

на. Используя для возведения степень числа

z = cos + i sin

формулу Муавра и бином Ньютона, с помощью единственности алгебраической формы комплекс-

ного числа можно получить все школьные формулы, выражающие cos 2, sin 2, cos 3, sin 3

через cos и sin .

Впрочем, с помощью бинома Ньютона можно получить сразу общее выражение (для любого

натурального n):

...sincos4

sincos2

coscos 4422

xx

nxx

nxnx nnn

...sincos5

sincos3

sincossin 55331

xx

nxx

nxxnnx nnn

Извлечение корней в поле комплексных чисел. Своему происхождению поле комплекс-

ных чисел обязано невозможности извлечения корня квадратного из отрицательного числа в поле

действительных чисел. Само поле C по такой причине расширять не придется – в поле комплекс-

ных чисел извлекается корень любой степени из любого числа2.

Используя формулу Муавра и единственность тригонометрической формы комплексного

числа (более точно единственность аргумента по модулю 2), получаем формулу для нахождения

корня n-ой степени из любого комплексного числа (эту формулу также называют формулой Му-

авра3).

Если комплексное число sincosα ir отлично от нуля, то уравнение αnz имеет в

точности n различных решений z0, z1, ... , zn 1, которые можно найти по формуле

1 Абрахам де Муавр (1667–1754) – английский математик французского происхождения. 2 И более того, каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в поле C. Этот факт принято

называть основной теоремой алгебры. 3 Эти формулы были получены А. де Муавром в 1707 году, современная запись предложена Л. Эйлером в 1748 году.

58

,2

sin2

cos

n

ki

n

krz n

k

где k=0, 1, ... , n1.

Заметим, что все эти zk имеют один и тот же модуль, и поэтому находятся на окружности,

радиуса n r и с центром в начале координат. Более того, каждый новый корень можно получить

из предыдущего умножением на число

ni

n

2sin

2 cos , т. е. поворотом на угол

n

π2.

Таким образом, если комплексное число отлично от нуля, то все корни n-ой степени из

расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n α и с

центром в начале координат.

При решении уравнения α2 z , где – положительное действительное число, получается

два значения. Одно из них α арифметический корень из числа ,. второе получается умноже-

нием α на –1. Если бы взяли сначала корень – α , то снова умножением на 1 и –1 получаем все

корни этого уравнения. Числа 1 и –1 – это решения уравнения z2 = 1, т. е. корни второй степени из

единицы.

В поле комплексных чисел эта идея (получить все корни из одного умножением на корни из

единицы) получает естественное обобщение с помощью корней n-ой степени из единицы..

1. Корни из единицы. Решение уравнения zn = 1 называют корнем n-ой степени из единицы.

Обычно корни из единицы обозначают символ k. Все свойства произвольных корней из ненуле-

вого комплексного числа, разумеется, переносятся и на корни из единицы.

С учетом, что все k имеют модуль 1, получаем, что корни n-ой степени из единицы имеют

вид:

n

ki

n

kk

2sin

2 cosε ,

где k=0, 1, 2, ..., n-1.

Для каждого натурального числа n существует n различных корней n-ой степени из единицы.

Корни n-ой степени из единицы расположены в вершинах правильного n-угольника, впи-

санного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Пусть M – множество всех корней n-ой степени из единицы. Единица принадлежит M, кроме

того, M замкнуто относительно умножения и взятия обратного. Короче говоря, множество корней

n-ой степени из единицы образует мультипликативную группу.

Обычно слово «мультипликативную» в этом случае лишь подразумевают и говорят просто о

группе корней n-ой степени из единицы.

В отличие от общей ситуации, многоугольник корней n-ой степени из единицы легко изоб-

разить – одна из вершин этого n-угольника известна (а если n – четное, то и – две).

59

Непосредственно из формул для корней видно, что

k = k

1ε,

а это значит, что все корни n-ой степени из единицы можно получить из корня

ni

n

π2sin

π2 cosε1

с помощью возведения его в степень.

Группа корней n -ой степени из единицы порождается одним элементом ; эта

группа – циклическая.

Элемент, порождающий группу корней n-ой степени из единицы, называют первообразным

корнем.

Иначе говоря, комплексное число называют первообразным корнем n-ой степени из едини-

цы, если любой корень n-ой степени из единицы получается из числа возведением в некоторую

степень с целым показателем.

Кроме 1, в группе корней n-ой степени из единицы могут оказаться и другие корни, облада-

ющие тем же свойством. Если два целых числа взаимно просты, то существуют целые u, v такие,

что au + bv = 1. Используя это свойство, получаем: число

n

ki

n

kk

π2sin

π2 cosε

является первообразным корнем n-ой степени из единицы тогда и только тогда, когда НОД(n, k)=1.

Отметим дополнительно, что если

kn

nm

,НОД ,

то число

n

ki

n

kk

2sin

2 cosε

является первообразным корнем m-ой степени из единицы.

Если – какое-нибудь решение уравнения ,αnz а 0, 1, ... , n - 1 – корни n-ой степени из

единицы, то {0, 1, ... , n - 1} – это все множество решений этого уравнения.

Если – какое-нибудь решение уравнения α,nz а – первообразный корень n-ой степени

из единицы, то {, , 2... ,

n - 1} – это все множество решений этого уравнения.

Сделаем еще несколько дополнительных замечаний.

Используя школьную формулу для суммы членов геометрической прогрессии, получаем, что

сумма всех корней n-ой степени из единицы равна нулю.

Рассмотрим теперь корни из единицы различных степеней. Используя непосредственно три-

гонометрическую форму корня из единицы и свойство взаимно простых чисел, получаем, что если

m и n взаимно просты, то произведение первообразных корней m-ой и n-ой степеней из единицы

является первообразным корнем mn-ой степени из единицы.

Обозначим символом Gk группу корней k-ой степени из единицы. Последнее замечание о

первообразных корнях означает, что если m и n взаимно просты, то группа Gmn корней mn-ой сте-

пени из единицы является прямым произведением групп Gm и Gn.

Это достаточное условие разложимости группы корней из единицы в прямое произведение

является и необходимым. Сформулируем его сначала на арифметическом языке, а затем то же са-

мое в групповых терминах:

1) если m и n не взаимно просты, то произведение первообразных корней m-ой и n-ой степе-

ней из единицы не является первообразным корнем mn-ой степени из единицы;

2) если m и n не взаимно просты, то группа Gmn корней mn-ой степени из единицы не являет-

ся прямым произведением групп Gm и Gn.

60

Числовые поля. Числовым полем называют любое подполе поля комплексных чисел.

Поле Q рациональных чисел, поле R действительных чисел, поле C комплексных чисел –

три примера числовых полей.

Непустое подмножество множества комплексных чисел образует числовое поле тогда и

только тогда, когда оно состоит более чем из одного элемента и замкнуто относительно сложения,

вычитания, умножения и деления на не нуль.

По определению наибольшее числовое поле – это поле C комплексных чисел.

Каждое поле должно содержать единицу, а вместе с единицей – и все кратные и единицы и

ее противоположной, а также – все отношения этих кратных.

Иначе говоря, наименьшее числовое поле – это поле Q рациональных чисел.

Таким образом, каждое числовое поле P является промежуточным между полем Q рацио-

нальных чисел и полем C комплексных чисел,

Q P C.

Заметим, что для решения уравнения x2 + 1 = 0 вовсе не требуется большое (несчетное) поле

комплексных чисел.

Присоединим мнимую единицу i к полю рациональных чисел, т. е. рассмотрим наименьшее

числовое поле, содержащее число i. Те же соображения, что были проведены при построении поля

комплексных чисел показывают, что наименьшее числовое поле, содержащее элемент i, состоит

из всех комплексных чисел вида a + bi, где a, b – рациональные числа.

Впрочем, еще до появления мнимой единицы можно было отметить числа, не принадлежа-

щие полю Q. Классическим примером является неразрешимость в поле Q уравнения x2 – 2 = 0.

Если бы это был единственный недостаток поля рациональных чисел, то вовсе не требова-

лось для его устранения такое большое (несчетное) поле действительных чисел.

Точно такая же проверка, как для комплексных чисел, показывает, что наименьшее числовое

поле, содержащее число 2 , состоит из всех действительных чисел вида a+b 2 , где a, b – раци-

ональные числа.

Как и для любой алгебры, для полей можно говорить о подалгебре, порожденной некоторым

множеством.

Пересечение любого числа числовых полей снова является числовым полем.

Поэтому если M – произвольное непустое множество комплексных чисел, то существует

наименьшее поле, содержащее множество M.

Так как любое числовое поле содержит поле рациональных чисел, можно считать, что M

присоединяется к полю Q. Пишут в таком случае о поле Q(M).

§ 7. Контрольные задания по теме «Алгебра»

В этом параграфе приведены контрольные задачи для самостоятельного решения по первой

теме. После каждого типа задач в качестве методических рекомендаций приводятся образцы ре-

шения.

Задача1. Дано множество

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

и множества А, В и С. Найдите множества:

W1 = А В;

W2 = А В;

W3 = А B;

W4 = А (B C);

W5 = A \ С;

W6 = А (С В).

61

Номер варианта Множества A, B, C

1 А = {2; 3; 4}, В = {7; 9; 10}, С = {1; 2; 5; 6; 7; 8}

2 А = {1; 2; 4; 5}, В = {3; 4; 7; 9}, С = {2; 3; 5; 7; 8}

3 А = {2; 3; 4; 5}, В = {1; 4; 5; 6; 8}, С = {4; 6; 7; 9; 10}

4 А = {4; 5; 6; 7}, В = {1; 2; 4; 5; 6}, С = {4;5;7;8;9}

5 А = {3; 4; 5; 7}, В = {1; 2; 5; 6}, С = {4; 5; 6; 8; 10}

6 А = {2; 4; 6; 7}, B = {4; 5; 6; 7; 8}, С = {1; 2; 7; 8; 10}

7 А = {1; 4; 5; 7}, В = {2; 3; 4; 5; 6}, С = {6; 7; 8; 10}

8 А = {1; 2; 4; 5}, В = {4; 5; 8; 9}, С = {6; 7; 9; 10}

9 А = {3; 7; 8; 9}, В = {1; 3; 8; 9}, С = {1; 3; 4; 6; 9}

10 А = {1; 4; 8; 9}, В = {2; 4; 7; 10}, С = {3; 4; 6; 8; 10}

Образец решения задачи

З а д а ч а . Дано множество

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

и множества А = {1; 2; 4; 6, 8, 10}, В = {1; 2; 3; 4, 5}, С = {3, 4; 7; 9; 10}. Найдите множества:

W1 = А В;

W2 = А В;

W3 = A \ С;

W4 = А B;

W5 = А (B C);

W6 = А (С В).

Р е ш е н и е . Множество W1 = А В – объединение множеств A и B; W1 состоит из элемен-

тов, принадлежащих множеству A или множеству B (или обоим одновременно):

W1 = А В = {x x A или x B} = {1; 2; 3; 5, 4; 6, 8, 10}.

Множество W2 = А В – пересечение множеств A и B; W2 состоит из элементов, принадле-

жащих множеству A и множеству B одновременно:

W2 = А В = {x x A и x B} = {1; 2; 4}.

Множество W3 = А \ В –разность множеств A и B; W3 состоит из элементов множества A, не

принадлежащих множеству B:

W3 =А \ В = {x x A и x B} = {6, 8, 10}.

62

Множество W4 = А В – симметрическая разность множеств A и B; W4 можно представить в

виде:

W4 = А B = (А В) \ (А В).

Таким образом,

W4 = А B = {1; 2; 3; 5, 4; 6, 8, 10} \ {1; 2; 4} = {3; 5, 6, 8, 10}.

Для нахождения множества W5 = А (B C) сначала найдем B C:

B C = {x x B и x C} = {3; 4}.

Теперь находим множество W5:

W5 = = А (B C) = {1; 2; 4; 6, 8, 10} {3; 4} = {1; 2; 3, 4; 6, 8, 10}.

Для нахождения W6 = А ( C В) сначала найдем дополнение C множества C. Дополнение

множества состоит из тех элементов универсального множества U, которые не попали в C:

C = {x x U и x C} = {1; 2; 5; 6; 8}.

Теперь находим C В:

C В = {1; 2; 5; 6; 8} {1; 2; 3; 4, 5} = {1; 2; 3, 4, 5, 6; 8}.

Наконец, определяем W6 :

А (C В) = {1; 2; 4; 6, 8, 10} {1; 2; 3, 4, 5, 6; 8} = {1; 2; 4; 6, 8}.

Ответ .

W1 = {1; 2; 3; 5, 4; 6, 8, 10};

W2 = {1; 2; 4};

W3 = 6, 8, 10};

W4 {3; 5, 6, 8, 10};

W5 = {1; 2; 3, 4; 6, 8, 10};

W6 = {1; 2; 4; 6, 8}.

Задача 2. Выясните, будет ли операция * на множестве M ассоциативной, коммутативной,

имеет ли она левые (правые) единицы и нули.

Номер варианта Операция Множество M

1 a b = a b множество действительных чисел R

2 a b = ab множество действительных чисел R

3 a b = НОД(a, b) множество целых чисел Z

4 a b = НОК(a, b) множество целых чисел Z

5 22 baba

множество положительных

действительных чисел R+

6 a b = a + b bb множество действительных чисел R

7 a b = 2ab множество действительных чисел R

8 a b = a2 + b

2 множество действительных чисел R

9 (a, b (a1, b1) = (aa1, ab1 + b) множество действительных чисел R

10 a(x) b(x) = a(b(x))

множество функций, определенных

на множестве действительных чисел R

со значениями в множестве R

63

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Выясните, будет ли операция

ab = a + b + ab

на множестве действительных чисел R ассоциативной, коммутативной, имеет ли она левые (пра-

вые) единицы и нули.

Р е ш е н и е . Проверим, выполняется ли для данной операции тождество ассоциативности

(для любых элементов a, b, c):

(a b) с = a (b с).

Для проверяемой операции левая часть проверяемого тождества принимает вид:

(a b) с = (a + b + ab) с = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c =

= a + b + ab + c + ac + bc + abc

Правая часть проверяемого равенства

a (b с) =a (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) =

= a + b + c + bc + ab + ac + abc.

Левая и правая часть проверяемого тождества совпали, следовательно, операция ассоциа-

тивна.

Проверим, выполняется ли для операции тождество коммутативности

a b = b a.

Для проверки вычислим левую и правую части проверяемого тождества:

a b = a + b + ab,

b a = b + a + ba.

Тождество выполняется – операция коммутативна.

Выясним, имеет ли операция единицу (нейтральный элемент). Так как операция коммута-

тивна, левая единица (если она существует) будет одновременно и правой. Обозначим искомую

(левую) единицу буквой x. Имеем (для любого a): xa= a, т. е.

x a = x + a + xa = a.

У этого уравнения есть решение x = 0. Важно, что решение это не зависит от элемента a, т. е.

единица (число 0) – общая для всех элементов из множества R.

Следовательно, операция имеет единицу. Ее роль играет число 0.

Наконец проверим, есть ли этой операции поглощающий элемент (нуль). Так как операция

коммутативна, левый нуль (если он существует) будет одновременно и правым. Обозначим пра-

вый нуль буквой y, тогда (для любого a)

a y = a + y + ay =y.

Этому уравнению, независимо от значения a, удовлетворяет y = 1. Это значит, что опера-

ция имеет нулевой элемент – это число 1.

Ответ . Операция ab = a + b + ab на множестве действительных чисел R ассоциативна,

коммутативна, имеет единицу (число 0) и нуль (число --1).

64

Задача 3. Найдите число элементов, правостороннее разложение группы G по подгруппе H и

решетку подгрупп группы G.

Номер вари-

анта

Группа G Подгруппа H

1

<a, b; a2, b

4, bab

–1a

>

гр(a)

2

<a, b; a3, b

3, a

–1b

2ab

>

гр(b)

3

<a, b; a2, b

6, ab

5ab

>

гр(ab)

4

<a, b; a3, b

9, ba

2b

–1a

>

гр(a)

5

<a, b; a2, b

5, bab

–1a>

гр(ab)

6

<a, b; a3, b

4, ba

2b

–1a>

гр(b)

7

<a, b; a3, b

5, ba

2b

–1a>

гр(a)

8

<a, b; a3, b

2, abab>

гр(b )

9

<a, b; a2, b

7, ab

–1ab

>

гр(ab)

10

<a, b; a5, b

2, ba

–1ba>

гр(b)

Образцы решения задач.

З а д а ч а 1 . Найдите число элементов, решетку подгрупп, решетку нормальных делителей

группы

G = <a, b; a3, b

7, a

-1b

-1ab

>

и правостороннее разложение группы G по подгруппе H=гр(b).

Р е ш е н и е . Порядок элемента b в группе G равен семи, поэтому подгруппа H состоит из

семи элементов:

гр(b) = {1, b, b2, b

3, b

4, b

5, b

6}.

Подгруппа A, порожденная элементом a, состоит из трех элементов:

A = гр(a) = {1, a, a2}.

Найдем правостороннее разложение группы G по подгруппе H. Одним из классов является

сама подгруппа H, еще два класса получаются умножением элементов подгруппы H сначала на

элемент a, а потом на элемент a2:

G = {1, b, b2, b

3, b

4, b

5, b

6} + {a, ba, b

2a, b

3a, b

4a, b

5a, b

6a} + {a

2, ba

2, b

2a

2, b

3a

2, b

4a

2, b

5a

2, b

6a

2} + …

Соотношение a–1

b–1

ab = 1 равносильно равенству ab = ba.

Это значит, что группа G абелева, и поэтому если умножить элементы из H на a и a2 справа,

то получим те же самые элементы из группы G. Таким образом, других элементов, кроме уже пе-

речисленных, в группе G не содержится.

Следовательно, и на месте многоточия в перечислении смежных классов группы G больше

ничего нет:

G = H + Ha + H a2.

65

В каждом классе содержится семь элементов, поэтому в группе G содержится 73 = 21 эле-

мент.

Если элемент ab последовательно возводить в степень, то наименьшим натуральным числом

n, при котором степень ab будет равна 1, будет число 21. Это значит, что порядок элемента ab ра-

вен 21, и, следовательно, группа G – циклическая,

G = гр(ab).

В циклической группе порядка n содержится в точности столько подгрупп, сколько делите-

лей у числа n. У числа 21 четыре делителя: 1, 3, 7, 21. Поэтому решетка подгрупп группы G со-

держит четыре подгруппы: E, A, H, G.

Так как группа G абелева, каждая ее подгруппа – нормальна в G, и, следовательно, решетка

подгрупп является одновременно и решеткой нормальных делителей.

Ответ . Группа G = <a, b; a3, b

7, a

-1b

-1ab

> содержит 21 элемент и четыре подгруппы: G,

гр(b), гр(a), E; все они нормальны в G; решетка подгрупп имеет вид:

Разложение группы G по подгруппе H:

G = H + Ha + H a2.

З а д а ч а 2 . Найдите число элементов, решетку подгрупп, решетку нормальных делителей

группы

G = <a, b; a2, b

4, bab

-1a

>

и правостороннее разложение группы G по подгруппе H = гр(ab).

Р е ш е н и е . Порядок элемента b в группе G равен четырем, поэтому подгруппа B = гр(b)

состоит из четырех элементов:

гр(b) = {1, b, b2, b

3 }.

Подгруппа A, порожденная элементом a, состоит из двух элементов:

A = гр(a) = {1, a}.

Соотношение bab–1

a = 1 равносильно равенству ba=.a

-1b. Из равенства a

2 =1 следует, что

a–1

= a. Таким образом, ba = .ab.

Это значит, что группа G абелева, и является прямым произведением своих подгрупп A и B.

Произвольный элемент этой группы имеет вид aib

j, где i {0, 1}, j{0, 1, 2, 3}, и такое пред-

ставление элемента единственно. Отсюда следует, что группа G состоит из 42 = 8 элементов.

Четвертая степень любого такого элемента равна единице, поэтому порядок любого эле-

мента – это делитель числа 4. В частности, в группе G нет элемента порядка 8, и поэтому группа

G – не циклическая.

Число 2 – простое, поэтому все подгруппы порядка два – это циклические подгруппы, по-

рожденные элементами второго порядка:

H1 = гр(a), H2 = гр(b2), H3 = гр(ab

2).

Пересечения любой пары этих подгрупп равно единичной подгруппе E.

Циклические подгруппы четвертого порядка порождаются элементами четвертого порядка:

H4 = гр(b) = {1, b, b2, b

3 },

H5 = гр(ab) = {1, ab, b2, ab

3}.

66

Нециклическая подгруппа четвертого порядка в нашей группе одна – она порождается эле-

ментами второго порядка:

H6 = гр(a, b2) = {1, a, b

2, ab

2}.

Для построения графа решетки подгрупп отметим, что

H4 H5 = H4 H6 = H5 H6 = H2,

H1 H6, H3 H6.

Итак, решетка подгрупп группы G содержит шесть нетривиальных подгрупп H1, H2, H3, H4,

H5, H6 и две тривиальных: G и E.

Так как группа G абелева, каждая ее подгруппа – нормальна в G, и, поэтому, решетка под-

групп является одновременно и решеткой нормальных делителей.

Теперь найдем разложение группы G по подгруппе H = гр(ab).

В наших обозначениях H = H5.

Эта подгруппа состоит из четырех элементов, всего в группе восемь элементов, поэтому по

теореме Лагранжа будет в точности два класса по подгруппе H.

Один класс – это сама H, а представителем второго смежного класса можно взять любой

элемент, не принадлежащий H, например:

G = H + Ha.

Ответ . Группа G = <a, b; a2, b

4, ba

-1b

-1a

> содержит восемь элементов и восемь подгрупп;

все подгруппы нормальны в G ; решетка подгрупп имеет вид:

Разложение группы G по подгруппе H:

G = H + Ha.

З а д а ч а 4 . Выясните, образует ли кольцо числовое множество M относительно обычных

операций сложения и умножения.

Номер варианта Множество M

1 множество целых чисел, кратных фиксированному числу m

2 множество рациональных чисел, в несократимой записи

которых знаменатели делят фиксированное число n

3 множество рациональных чисел, в несократимой записи

которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число p

4

кольцо множество рациональных чисел, в несократимой записи

которых знаменатели содержат лишь простые числа

из некоторого фиксированного множества простых чисел M

5 множество рациональных чисел, в несократимой записи которых

знаменатели являются степенями фиксированного простого числа p

6 множество действительных чисел вида 2ba , где a, b Q

67

Номер варианта Множество M

7 множество действительных чисел вида ,23ba где a, b Q

8 множество действительных чисел вида ,42 33 cba где a, b, c Q

9 множество действительных чисел вида ,33ba где a, b Q

10 множество действительных чисел вида ,32 33 cba где a, b, c Q

Образцы решения задач.

З а д а ч а 1 . Выясните, образует ли кольцо множество рациональных чисел, в несократи-

мой записи которых знаменатели делятся только на 2 и 5, относительно обычных операций сложе-

ния и умножения.

Р е ш е н и е . Пусть H – это множество рациональных чисел, в несократимой записи которых

знаменатели делятся только на 2 и 5 (это множество называется множеством конечных десятич-

ных дробей),

0,10

ZZ kaa

Hk

.

При сложении дробей общий знаменатель суммы будет снова делиться только на 2 и 5 (т.е.

сумма конечных десятичных дробей снова является конечной десятичной дробью):

mk

km

mk

baba

10

1010

1010.

Это значит, что множество H замкнуто относительно сложения:

xH, yH x + y H.

При вычитании двух элементов из H снова получается элемент из H:

mk

km

mk

baba

10

1010

1010,

разность двух конечных десятичных дробей – это конечная десятичная дробь, таким образом,

множество H замкнуто относительно вычитания:

xH, yH x – yH.

При умножении дробей знаменатели перемножаются,

,101010 mkmk

baba

поэтому произведение конечных десятичных дробей является конечной десятичной дробью:

xH, yH x y H.

Ответ . Множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели де-

лятся только на 2 и 5, относительно обычных операций сложения и умножения образует кольцо.

З а д а ч а 2 . Выясните, образует ли кольцо множество действительных чисел вида

,53ba где a, bQ, относительно обычных операций сложения и умножения.

68

Р е ш е н и е . Пусть M – это множество действительных чисел вида ,53ba где a, b Q.

Пусть x, y принадлежат M, т. е. ,5311 bax .53

22 bay Тогда

311 5bayx 3

22 5ba .532121 bbaa

Так как сумма двух рациональных чисел снова является рациональным числом, x + y при-

надлежит множеству M.

Разность двух рациональных чисел – это рациональное число, поэтому число

3

11 5bayx 322 5ba 32121 5bbaa

также принадлежит M.

Таким образом, множество M замкнуто относительно сложения и вычитания.

Остается проверить, замкнуто ли множество M относительно умножения. Перемножим эле-

менты x и y:

3

11 5bayx 3

22 5ba .255 321

3122121 bbbabaaa

Получилось выражение не совсем такого вида, который имеют элементы из M, но, вполне

возможно, что и это число нам удастся представить в должном виде.

Для возможности такого представления необходимо (и достаточно), чтобы число 3 25 при-

надлежало M. Предположим, что это действительно так, т. е.

,525 33 ba (*)

где a, b – рациональные числа. Рассмотрим простое алгебраическое расширение 3 5Q . Число

3 5 – это корень неприводимого над Q многочлена 53 x (если бы этот многочлен был приво-

дим, то число 3 5 было бы рациональным). По теореме Кронекера каждый элемент из кольца

3 5Q имеет единственное представление в виде:

,255 3

2

3

10 aaa

где a0, a1, a2 – рациональные числа.

Однако равенство (*) означает, что элемент 33 525 ba имеет два различных пред-

ставления:

,25150025 333

333 250525 ba .

Полученное противоречие означает, что число 3 25 не принадлежит M, и, следовательно,

множество M не замкнуто относительно умножения.

Ответ . Множество действительных чисел вида: ,53ba где a, bQ, относительно

обычных операций сложения и умножения не образует кольцо.

З а д а ч а 5 . Выполните действия над комплексными числами и изобразите указанные мно-

жества на комплексной плоскости.

69

Номер варианта Задание

1 1. Вычислите комплексное число23

1

1

341

3

19

5

ii

i. Ответ запишите в ал-

гебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

1

2

221 ,22,232

z

zwiziz .

3. Вычислите комплексное число 4

15

88

31

i

i

, используя формулу Муавра.

Результат запишите в алгебраической форме.

4. Вычислите все значения корня 5 31 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

2

1

z

iz

2 1. Вычислите комплексное число 14

2

51

121

3

20

ii. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

2

2

121 ,434,55 zzwiziz .

3. Вычислите комплексное число z, используя формулу Муавра. Результат

запишите в алгебраической форме: 10153221 ii

4. Вычислите все значения корня 4 5 и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

1

11

iz

z

3 1. Вычислите комплексное число14

2

21 15

2

15

3

i

i

i

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2, z3 запишите в тригонометрической

форме. Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраиче-

ской форме:

70

Номер варианта Задание

,31,1 21 iziz z3 = ,3 i 321 zzzw .

3. Вычислите комплексное число 1720

131 ii , используя формулу Му-

авра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 5 22 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

2

2

iz

iz

4 1. Вычислите комплексное число 12

3

32

117

3

10

i

i

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число и запишите результат в алгебраической

форме:

22

121 ,322,1

z

ziziz .

3. Вычислите комплексное число 105

223 ii , используя формулу

Муавра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 7 22 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

41arg

4

2

z

z

5 1. Вычислите комплексное число 32

1

2

117

2

17

3

ii

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

,31,1 21 iziz z3 = ,3 i 321 zzzw .

3. Вычислите комплексное число 67311 ii , используя формулу Муа-

вра. Результат запишите в алгебраической форме.

4. Вычислите все значения корня 7 7 и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

1Re

0Im

211

z

z

z

71

Номер варианта Задание

6 1. Вычислите комплексное число 32

3

22

2531

2

11

7

ii

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

,331 iz ,2321 iz

.2

2

1

z

zw

3. Вычислите комплексное число

10

7

31

22

i

i

, используя формулу Муавра.

Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 6 3 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

21

11

z

z

7 1. Вычислите комплексное число 15

2

22 15

3

17

5

ii

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

22

1

21 ,344,22z

zwiziz

3. Вычислите комплексное число 208322 ii , используя формулу

Муавра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 5 1 i и изобразите их на комплексной

плоскости:

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

1

11

iz

z

8 1. Вычислите комплексное число 34

2

25

421

2

18

ii. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

2

3

121 ,1,232 zzwiziz

3. Вычислите комплексное число 105311 ii , используя формулу Му-

72

Номер варианта Задание

авра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 6 3i и изобразите их на комплексной

плоскости:

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

2arg

42

z

iz

9 1. Вычислите комплексное число 15

5

32 21

2

29

ii

i. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

32121 ,3,55 zzwiziz

3. Вычислите комплексное число 610

13 ii , используя формулу Муа-

вра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 5 44 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую нера-

венствам:

4arg

1

iz

z

10

1. Вычислите комплексное число 23

2

32

222

3

11

ii. Ответ запишите в

алгебраической форме:

2. Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме.

Вычислите комплексное число w и запишите результат в алгебраической

форме:

,221 iz ,312 iz

221 zzw .

3. Вычислите комплексное число 1520

13 ii , используя формулу Му-

авра. Результат запишите в алгебраической форме:

4. Вычислите все значения корня 8 i и изобразите их на комплексной

плоскости.

5. Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую неравен-

ствам:

1Re

1Im

11

z

z

iz

73

Образец решения задачи

З а д а ч а . Выполните действия над комплексными числами и изобразите указанные множе-

ства на комплексной плоскости.

1) Вычислите комплексное число .14

1

21

11001

10

20

ii Ответ запишите в алгебраической

форме:

Решение. Так как, i 4 = 1, имеем:

i 20 = ( i 4

)5 = 1

5 = 1.

Таким образом,

Переходим ко второму слагаемому. Сначала вычислим большую степень, стоящую в знаме-

нателе:

i 1001 = i 1000

i = (i4)

250 i = 1

250 i = i .

Подставим найденное значение степени i в знаменатель второй дроби и с помощью умно-

жения числителя и знаменателя дроби на сопряжение знаменателя произведем деление: :

.

5

4

5

1

41

41

4141

41

41

1

14

11001

ii

ii

i

ii

осталось только сложить полученные два числа:

.5

4

5

11

5

4

5

11 ii

2) Данные комплексные числа z1, z2 запишите в тригонометрической форме. Вычислите ком-

плексное число w и запишите результат в алгебраической форме:

32

121 ,322,1

z

zwiziz .

Решение . Тригонометрическая форма комплексного числа z имеет вид:

,sincos izz

где z модуль числа z, а – его аргумент.

Вычислим модуль числа :11 iz

.211 22

1 z

Аргумент числа 1z – это решение системы уравнений:

.2

1sin

,2

1cos

74

Таким углом является .4

Все компоненты тригонометрической формы числа z1 найде-

ны, его тригонометрическая форма имеет вид:

.4

sin4

cos21

iz

Переходим к комплексному числу .3222 iz Вычислим модуль этого числа:

4.161243222

2

2 z

Аргумент числа 2z – это решение системы уравнений:

.4

32sin

,4

2cos

Таким углом является .3

Все, что нужно для тригонометрической формы, найдено, его

тригонометрическая форма числа 2z имеет вид:

.3

sin3

cos42

iz

Теперь вычислим число w, используя формулу Муавра и тот факт, что комплексно сопря-

женные числа отличаются лишь знаком своего аргумента:

33

2

1

3sin

3cos4

4sin

4cos2

i

i

z

zw

3

3sin

3

3cos4

4sin

4cos2

3

i

i

sincos4

4sin

4cos2

3 i

i

4sin

4cos

64

2i

ii

264

22

264

22

2

2

2

2

64

2

i

264

2

264

2.

64

1

64

1i

3) Вычислите комплексное число

20

15

31

33

i

i

, используя формулу Муавра. Результат запи-

шите в алгебраической форме:

Решение . Для того чтобы использовать формулу Муавра, комплексные числа необходимо

представить в тригонометрической форме. Пусть

75

Тогда

а является решением системы

Это значит, что

Теперь пусть

.sincos1 2 iri

Тогда

,21122

2 r

а является решением системы

.2

1sin

,2

1cos

Это значит, что ,4

и

.4

sin4

cos21

ii

Теперь по формуле Муавра вычислим степень в числителе данной дроби:

4

15sin

4

15cos23

4sin

4cos23

1515

ii

4

16sin

4

16cos23 2

15

15 i

44sin

44cos223 715

i

76

.4

sin4

cos223 715

i

Переходим к вычислению знаменателя:

4

20sin

4

20cos2

4sin

4cos2

20

20

ii

5sin5cos210 i 56sin56cos210 i .sincos210 i

Теперь вычислим саму дробь:

Замечание. Ответ получен; однако действительные числа, появившиеся в окончательном

результате, сравнительно небольшие, и результат можно записать в более явном виде:

4) Вычислите все значения корня 6 64i и изобразите их на комплексной плоскости.

Решение . Найдем сначала тригонометрическую форму числа, стоящего под знаком корня:

–64i = 64(cos + i sin ).

Уравнение iz 64-6 имеет в точности 6 различных решений z0, z1, ... , z6, которые можно

найти по формуле

,6

2sin

6

2 cos646

ki

kzk

где k = 0, 1, ... , 6.

77

Все эти zk имеют один и тот же модуль, равный 2, а каждый новый корень можно получить

из предыдущего умножением на число

6

2sin

6

2 cos

i , т. е. поворотом на угол .

6

π2

Таким образом,

;32

1

2

32

6sin

6 cos20 iiiz

6

2sin

6

2 cos21

iz

2sin

2 cos2

i ;2102 ii

6

4sin

6

4 cos22

iz

6sin

6 cos2

i ;3

2

1

2

32 ii

6

6sin

6

6 cos23

iz ;3

2

1

2

32 ii

6

8sin

6

8 cos24

iz

2sin

2 cos2

i ;2102 ii

6

10sin

6

10 cos25

iz

6sin

6 cos2

i .3

2

1

2

32 ii

Все корни шестой степени из –64i расположены в вершинах правильного шестиугольника,

вписанного в окружность радиуса 2 и с центром в начале координат. На рисунке точки, соответ-

ствующие корням, раскрашены черным.

5) Начертите на комплексной плоскости область, удовлетворяющую неравенствам:

.2Re

,1Im

,21

z

z

iz

Решение . Модуль разности 21 zz равен расстоянию между точками z1 и z2. Это означа-

ет, что множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих равенству rzz 0 , явля-

ется окружности с центром в точке z0 и радиуса, равным r. Неравенство rzz 0 задает круг с

78

таким же центром и радиусом, а неравенство rzz 0 определяет на плоскости окружность и

внешнюю часть круга – «плоскость с дыркой».

В нашем случае 21 iz определяет круг с центром в точке 1 – i радиуса, равного 2.

Изобразим это множество на комплексной плоскости.

Функция Im z – это мнимая часть числа z. Значение Im z = –1 имеют все комплексные числа

z вида z = a – i, где a – любое действительное число. На координированной плоскости это прямая,

заданная уравнением y = –1. Неравенство Im z –1 определяет полуплоскость, лежащую выше

этой прямой, причем сама прямая включается в эту полуплоскость. Изобразим это множество на

комплексной плоскости.

Функция Re z – это действительная часть числа z. Значение Re z = 2 имеют все комплексные

числа z вида z = 2 + bi, где b – любое действительное число. На комплексной плоскости это пря-

мая. заданная уравнением x = 2. Неравенство Re z < 2 определяет полуплоскость, лежащую слева

от этой прямой, причем сама прямая в эту полуплоскость не включается. Изобразим это множе-

ство на комплексной плоскости.

79

Теперь остается только собрать все три полученные множества на одном чертеже; пересече-

ние этих множеств и является ответом для упражнения.

Задача 6. Для многочлена f(x) с помощью схемы Горнера найдите f(a) и f/(a), определите

кратность корней x1, x2 и разложите этот многочлен по степеням x – b.

Номер варианта Многочлен f(x) a x1 x2 b

1 x6 6x

4 4x

3 + 9x

2 + 12x + 4 –2 –1 2 –3

2 x5 – 10x

3 – 20x

2 – 15x – 4 3 –1 4 –1

3 x6 – 15x

4 + 8x

3 + 51x

2 – 72x + 27 –1 1 –3 2

4 x5 5x

4 5x

3 + 45x

2 108 2 –2 3 3

5 x5 + x

4 2x

3 2x

2 + x + 1 –3 –1 1 1

6 x5 + 7x

4 + 19x

3 + 25x

2 + 16x + 4 -1 –1 –2 –3

7 x5 3x

4 21x

3 + 43x

2 + 96x 180 2 2 –3 2

8 x5 x

4 2x

3 + 2x

2 + x 1 3 –1 1 –4

9 x5 10x

3 20x

2 15x – 4 1 –1 4 1

10 x5 x

4 5x

3 + x

2 + 8x + 4 –3 2 –1 –2

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Для многочлена

f(x) = x5 + 4x

4 + x

3 10x

2 4x + 8

с помощью схемы Горнера найдите 2f и 2f и определите кратность корней x1= 1, x2= 2;

разложите этот многочлен по степеням x – 2.

Р е ш е н и е . Разделим многочлен f(x) на x 2:

1 4 1 10 4 8

2 1 21 + 4 = 6 26 + 1 = 13 213 10 = 16 216 – 4 = 28 228 + 8 = 64

В последней клетке второй строки находится значение f(2).

Значение многочлена f(x) при x = 2 найдено: f(2) = 64.

Остальные элементы второй строки – это коэффициенты частного q(x) от деления многочле-

на f(x) на x – 2:

f(x)=(x 2)(x4 + 6x

3 + 13x

2 + 16x + 28).

Теперь разделим многочлен q(x) на x2, используя схему Горнера.

80

1 6 13 16 28 2 1 21 + 6 = 8 28 + 13 = 29 229+16 = 74 274 + 28 = 176

В последней клетке второй строки находится значение 2f .

Значение первой производной многочлена f(x) при x=2 найдено: 1762 f .

Определим кратность корня x1= 1. Для этого будем последовательно выполнять деление

многочлена и получающихся частных на x – 1 до тех пор, пока деление будет происходить с

остатком, равным нулю.

1 4 1 –10 –4 8

1 1 11 + 4 = 5 15 + 1 = 6 16 – 10= -4 1(–4) – 4 = -8 1(-8) + 8 = 0

1 1 11 + 5 = 6 16 + 6 = 12 112 – 4= 8 1(8) – 8 = 0

1 1 11 + 6 = 7 17 + 12 = 19 119 + 8= 270

Деление нацело состоялось два раза.

Корень x1 = 1 имеет кратность два.

Остальные элементы строки, содержащей второй нуль, – это коэффициенты второго частно-

го:

f(x)=(x 1)2(x

3 + 6x

2 + 12x + 8).

Определим кратность корня x2 = –2.

Для этого нет необходимости возвращаться к исходному многочлену f(x).

Многочлен (x – 1)2 не делится на x + 2, поэтому корень x2 = –2 с той же кратностью является

корнем многочлена x3 + 6x

2 + 12x + 8.

Будем последовательно выполнять деление этого многочлена на и получающихся частных

на (x + 2) до тех пор, пока деление будет происходить с остатком, равным нулю.

1 6 12 8

–2 1 (2)1+6 = 4 (2)4+12 = 4 (2) 4+8 = 0

–2 1 (2)1+4 = 2 (2)2+4 = 0

–2 1 (2) 1+2 = 0

Деление многочлена f(x) на (x + 2) без остатка состоялось три раза. Последнее частное равно

единице. Корень x2 = –2 имеет кратность три.

Многочлен f(x) можно представить в виде:

f(x)=(x 1)2(x + 2)

3.

Найдем разложение многочлена f(x) по степеням x 2.

Для этого будем делить многочлен и последующие частные на x 2.

Полученные остатки являются искомыми коэффициентами.

1 4 1 10 4 8

2 1 21 + 4 = 6 26 + 1 = 13 213 10 = 16 216 4 = 28 228 + 8 = 64

2 1 21 + 6 = 8 28 + 13 = 29 229 + 16 = 74 274 + 28= 176

2 1 21 + 8 = 10 210 + 29 = 49 249 + 74 = 172

2 1 21 + 10 = 12 212 + 49 = 73

2 1 21 + 12 = 14

2 1

81

Выделенные последние элементы строк таблицы являются коэффициентами искомого раз-

ложения многочлена f(x) по степеням (x – 2).

Ответ . f(2) = 64, 1762 f ; кратность корня x1=1 равна двум, кратность корня x2= 2

равна трем;

f(x) = (x2)5 + 14(x2)

4 + 73(x2)

3 + 172(x2)

2 + 176(x2) +64.

Задача 7. Найдите все рациональные корни многочлена f(x).

Номер варианта Многочлен f(x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Образцы решения задач

З а д а ч а 1 . Найдите все рациональные корни многочлена

f (x) = 6x

4 + 19x

3 – 7x

2 – 26x + 12.

Если у многочлена f(x) есть рациональный корень, то он содержится в множестве несокра-

тиммых дробей

M =

q

p,

где p делит 12, а q делит 6. Таким образом, множество кандидатов в корни имеет вид:

82

.6

1,

3

2,

3

1,

2

1,12,6,4,3,2,1

M

Испытаем сначала числа 1 и –1. Числа 1 и –1 не являются корнями f (x):

f (1) = 4, f

(–1) = 18.

Теперь проверим на свойство «быть корнем» числа из множества M, но для этого сначала ис-

пытаем кандидатов на целостность чисел и

.1

qp

f

Результаты испытания оформим в виде таблицы. Если для некоторого соответствующее

число целое, то поставим букву «ц» (целое) и перейдем к следующей проверке этого же . Если

кандидат проверку не прошел, то ставим букву «н» (не целое), а в графе «Примечание» сразу

пишем: «Не корень». Для кандидата в корни, прошедшего обе проверки, пишем в последней гра-

фе: «Корень?» и сразу же проверяем его с помощью схемы Горнера.

Итак, заполняем ведомость испытаний:

p

pкандидат

в корни

p q qp

4

qp

18 Примечание

2 2 1 ц ц Корень?

Первая же проверка необходимого условия удалась. Число 2, возможно, является корнем

нашего многочлена. Однако, окончательным решением будет вычисление значения f(2). Сделаем

это вычисление с помощью схемы Горнера.

6 19 7 26 12

2 6 2 6 + 19 = 31 2 31 7 = 55 2 55 26 = 84 3 84 + 12 =180

Число 2 испытания не выдержало; f(2) = 180 0, 2 – не корень. Число 2 не корень, но значе-

ние f(2) можно использовать для дальнейших проверок. Так как число

должно быть целым

для корня ,p

p ведомость испытаний отборочного тура пополним еще одним столбцом, и продол-

жим.

p

pкандидат

в корни

p q qp

4

qp

18

qp 2

180

Примечание

–2 –2 1 н Не корень

3 3 1 ц н Не корень

–3 –3 1 ц ц ц Корень?

qp

f

1

qkp

kf

83

Число –3 выдержало три испытания отборочного тура, и, может быть, является корнем

нашего многочлена. Проверим это с помощью схемы Горнера.

6 19 7 26 12

–3

6 (–3) 6 + 19 = 1 (–3) 1 7 =–10 –3 (–10) 26 = 4 (–3) 4 + 12 = 0

Число 3 оказалось корнем многочлена, многочлен распадается в произведение:

f (x) = (x + 3) (6x

3 + x

2 –10x

+ 4).

Задача изменилась, теперь нам нужно найти корни многочлена

f 1(x) = 6x

3 + x

2 –10x

+ 4.

Множество кандидатов в корни для этого многочлена существенно уменьшилось; с учетом

уже отсеявшихся корней множество M превратилось в

.6

1,

3

2,

3

1,

2

1,41

M

Корень многочлена f1(x) является корнем исходного многочлена; поэтому мы можем про-

должить испытания корней с той же самой отборочной ведомостью, что и раньше. Продолжаем.

p

pкандидат

в корни

p q qp

4

qp

18

qp 2

180

Примечание

4 4 1 н Не корень

–4 –4 1 н Не корень

2

1

1

2 ц ц

ц Корень?

Появился еще один кандидат в корни, прошедший предварительную проверку. Сделаем про-

верку окончательную.

Проверка удалась. Найден второй корень исходного многочлена f(x). Сам же многочлен те-

перь распался на три множителя:

f (x) = (x + 3) (x

2

1 ) (6x

2 + 4x –24).

«Для красоты» умножим второй множитель на 2, а третий разделим на 2; и получим:

f (x) = (x + 3) (2x

– 1 ) (3x

2 + 2x –12).

84

Круг «подозреваемых» после появления множителя

f2 (x) = 3x

2 + 2x – 12.

еще более сузился: множество возможных корней уменьшилось до

.3

2,

3

1,

2

12

M

Если бы степень многочлена f2 (x) была больше двух, то пришлось бы продолжать действо-

вать по той же схеме: предлагать проверочное «собеседования» для элементов из M2, и после пра-

вильных ответов («ц», «ц» и «ц») делать окончательную проверку.

Однако, deg f2 (x) = 2, и поэтому вычисления можно закончить, «по-школьному». Вычислим

дискриминант D этого многочлена:

D = 22 – 4 3 (–12) = 148.

Число 148 – иррациональное, поэтому многочлен f2 (x) рациональных корней не имеет. Вы-

числения окончены.

Ответ . У многочлена два рациональных корня: –3; 2

1.

З а д а ч а 2 . Найдите все рациональные корни многочлена

f (x) = x

5 – 5x

4 + 13x

3 – 22x

2 + 27x – 20.

Коэффициент старшего члена у многочлена f (x) равен единице, поэтому рациональные корни

многочлена – целые. Это значит, что в выражении для корня всегда будет q = 1. Числа 1 и

1 не являются корнями f (x):

f (1) = –6, f

(–1) = –88.

Теперь проверим на свойство «быть корнем» числа из множества

{2, –2, 4, –4, 5, –5, 10, –10, 20, –20}.

Сначала испытаем этих кандидатов на целостность чисел и .

Результаты испытания оформим в виде таблицы. Если для некоторого соответствующее

число целое, то поставим букву «ц» (целое) и перейдем к следующей проверке этого же . Если

кандидат проверку не прошел, то ставим букву «н» (не целое), а в графе «Примечание» сразу

пишем: «Не корень». Для кандидатов, прошедших обе проверки, пишем в последней графе: «Ко-

рень?». С помощью схемы Горнера для таких ставим окончательный эксперимент.

Заполняем ведомость испытаний:

Кандидат в корни Примечание

2 ц н Не корень

–2 ц ц Корень?

4 ц н Не корень

q

p

1

1

f 1

1

f

1

6

1

88

85

Кандидат в корни Примечание

– 4 н Не корень

5 н Не корень

–5 ц ц Корень?

10 н Не корень

–10 н Не корень

20 н Не корень

–20 н Не корень

Таким образом, лишь два числа: –2 и –5 выдержали «отборочный тур» и допускаются к основ-

ному и окончательному экзамену. Однако ни то, ни другое число этот экзамен не выдерживают:

f (–2) = –378, f(–5) = –8580.

Таким образом, многочлен

f (x) = x

5 – 5x

4 + 13x

3– 22x

2 + 27x – 20

рациональных корней не имеет1.

Ответ . Рациональных корней у многочлена нет.

Задача 8. Разложите многочлен f(x) на неприводимые множители над полем Zp.

Номер варианта Многочлен f(x) p

1 17

2 23

3 19

4 11

5 19

6 13

7 23

8 17

9 19

10 13

Образцы решения задач

З а д а ч а 1 . Разложите многочлен

f(x) = x5 – 10x

4 + 14x

3 + 5x

2 + 6x + 7

на неприводимые множители над полем Z23.

1 Над полем рациональных чисел многочлен f (x) имеет разложение (x2 – 3x + 4)(x3 – 2x2 + 3x – 5), и у этого мно-

гочлена лишь один действительный корень, приближенно равный 1,843734.

1

6

1

88

86

Р е ш е н и е . Попробуем сначала найти какой-нибудь корень этого многочлена. Для этого

проверим элементы из Z23. Множество Z23 содержит 23 элемента, и в качестве их представителей

можно взять числа: 0, 1, 2, 3, … , 22.

Проверяем:

f(0) = 05 – 100

4 +140

3 + 50

2 + 60 + 7 = 7,

f(1) = 15 – 101

4 +141

3 + 51

2 + 61 + 7 = 23 0(mod 23).

Таким образом, число 1 является представителем корня многочлена f(x).

С помощью схемы Горнера разделим многочлен f(x) на x – 1. Заранее известно, что в послед-

ней клетке схемы будет находиться число, изображающее нуль в поле Z23, но 1 может оказаться

кратным корнем, поэтому сразу же и определим его кратность.

1 -10 14 5 6 7

1 1 11 – 10 = -9 1(–9) + 14 = 5 15 + 5 = 10 110 + 6 = 16 116 + 7 = 23

1 1 11 – 9 = –8 1(–8) + 5 = –3 1(–3) + 10 = 7 17+16 = 23

1 1 11 – 8 = –7 1(–7)– 3 = –10 1(–10) + 7 = –3

Итак, элемент с представителем 1 – это корень кратности два, а числа 1, -8, -3, 7 – коэффи-

циенты частного после деления многочлена f(x) на (x – 1)2.

Получаем разложение многочлена f(x):

f(x) = (x – 1)2(x

3 – 8x

2 – 3x + 7).

Пусть g(x) = x3 – 8x

2 –

3x + 7. Теперь задача состоит в разложении многочлена g(x). Уже из-

вестно, что 0 и 1 не являются представителями корней мн6огочлена g(x). Продолжаем испытания:

f(2) = 23 – 82

2 –32 + 7 = 23 0(mod 23).

Это значит, что число 2 является представителем корня многочлена g(x).

С помощью схемы Горнера разделим многочлен f(x) на x – 2. Заранее известно, что в послед-

ней клетке схемы будет находиться число, изображающее нуль в поле Z23, но 2 может оказаться

кратным корнем многочлена g(x), поэтому сразу же и определим его кратность.

1 -8 –3 7

2 1 21 – 8 = –6 2(–6) – 3 = –15 2(–15) +7 = –23

2 1 21 – 6 = –4 2(–4) – 15 = –23

2 1 21 – 4 = –2

Элемент с представителем 2 – это корень кратности два, а числа 1, 4 – представители ко-

эффициентов частного после деления многочлена g(x) на (x – 2)2.

Получаем разложение многочлена g(x):

g(x)= (x – 2)2(x – 4).

Это разложение подставляем в разложение исходного многочлена f(x), и получаем оконча-

тельный ответ.

Ответ . Над полем Z23

x5 – 10x

4 + 14x

3 + 5x

2 + 6x + 7 = (x – 1)

2 (x – 2)

2 (x – 4).

З а д а ч а 2 . Разложите многочлен

f(x) = x5 + 6x

4 – 2x

2 + 8x – 2

на неприводимые множители над полем Z11.

87

Р е ш е н и е . Попробуем сначала найти какой-нибудь корень этого многочлена.

Для этого проверим элементы из Z11.

Множество Z11 содержит 11 элементов, и в качестве их представителей можно взять числа:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Проверяем:

f(0) = 05

+ 6 04 – 2 0

2 + 8 0 – 2 = –2,

f(1) = 15

+ 6 14 – 2 1

2 + 8 1 – 2 = 11 0(mod 11).

Таким образом, в поле Z11 число 1 является представителем корня многочлена f(x).

С помощью схемы Горнера разделим многочлен f(x) на x 1.

Так как 1 является представителем корня, в последней клетке схемы Горнера будет нахо-

диться число, изображающее нуль в поле Z11.

Однако 1 может оказаться кратным корнем, т. е. деление на x – 1 может состояться несколь-

ко раз.

Определим это число возможных делений с помощью той же схемы Горнера, и, таким обра-

зом, узнаем кратность корня с представителем 1.

1 6 0 2 8 2

1 1 11+6 = 7 17+0 = 7 172 = 5 15+8 = 13 1132 = 11

1 1 11+7 = 8 18+7 = 15 115+5 = 20 120+13 = 33

1 1 11+8 = 9 19+15 = 24 124+20 = 44

1 1 11+9 = 10 110+24 = 34 134+44 = 78

Деление нацело состоялось три раза, поэтому элемент с представителем 1. Следовательно, 1

является корнем кратности три, а числа 1, 9, 24 – коэффициенты частного после деления много-

члена f(x) на (x 1)3.

Получаем разложение многочлена f(x):

f(x) = (x 1)3(x

2 + 9x

+ 24).

Для упрощения вычислений можно заменить коэффициенты 9 и 24 меньшими по модулю:

9 2(mod 11),

24 2(mod 11).

Итак,

f(x) = (x 1)3(x

2 – 2x

+ 2).

Обозначим g(x) = x2 2x + 2.

Теперь задача состоит в разложении на множители многочлена g(x). Уже известно, что 0 и 1

не являются представителями корней для многочлена g(x). Продолжаем испытания, выбрав (для

удобства вычислений) в качестве остальных представителей элементов Z11 числа 2, 3, 4, 5, 5, 4,

3, 2, 1:

f(2) = 22 – 22 + 2 = 2;

f(3) = 32 – 23 + 2 = 5;

f(4) = 42 – 24 + 2 = 10;

88

f(5) = 52 – 25 + 2 = 17 5(mod 11);

f(–5) = (5)2 – 2(5) + 2 = 37 4(mod 11);

f(–4) = (4)2 – 2(4) + 2 = 26 4(mod 11);

f(–3) = (3)2 –

2(3) + 2 = 17 6(mod 11);

f(–2) = (2)2 – 2(2) + 2 = 10;

f(–1) = (1)2 – 2(1) + 2 = 5.

Ни одно из чисел не является корнем многочлена g(x), поэтому g(x) – неприводимый много-

член, и разложение, полученное ранее, и является окончательным.

Ответ . Над полем Z11

x5+ 6x

4 -2x

2 + 8x – 2 = (x 1)

3(x

2 2x

+ 2).

З а м е ч а н и е . Школьная формула

a

acbbx

2

42

2,1

для нахождения корней квадратного уравнения ax2 + bx

+ c = 0 «через дискриминант» верна для

любого поля, в том числе и для конечного. Другими словами, многочлен

ax2 + bx

+ c

распадается в произведение двух линейных множителей тогда и только тогда, когда дискриминант

этого многочлена b2 – ac является квадратом

1 некоторого элемента из P , т. е. уравнение

b2 – ac = x

2

имеет решение в поле P.

Это замечание позволяет значительно упростить проверку приводимости (или неприводимо-

сти) многочлена второй степени.

Например, для только что рассмотренной задачи 2 дискриминант

(2)2 – 42 = 4 7(mod 11).

Так как y2 = (y)

2, вычисления достаточно проделать только для положительной части мно-

жества {1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1}:

12 = 1; 2

2 = 4; 3

2 = 9; 4

2 = 16 5(mod 11); 5

2 = 25 3(mod 11).

Число 7 не появилось среди этих квадратов, поэтому из дискриминанта (2)2 – 42 в поле Z11

квадратный корень не извлекается, и многочлен x2 2x

+ 2 неприводим над этим полем.

Задача 9. Выразите многочлен f(x1, x2, x3) через элементарные симметрические многочлены

Номер варианта Многочлен f(x)

1 111 321 xxx

1 Иначе говоря, квадратичным вычетом по модулю 11.

89

Номер варианта Многочлен f(x)

2 111 321 xxx

3 313221 xxxxxx

4 111 2

3

2

2

2

1 xxx

5 111 2

3

2

2

2

1 xxx

6 111 2

3

2

2

2

1 xxx

7 213312321 222 xxxxxxxxx

8 213312321 222 xxxxxxxxx

9 4

3

4

2

4

1 xxx

10 132231321 xxxxxxxxx

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Выразите многочлен

f(x1, x2, x3) = 3

3

3

2

3

1 xxx

через элементарные симметрические многочлены

Элементарные симметрические многочлены от трех переменных:

1(x, y, z) = ;321 xxx

2(x, y, z) = ;323121 xxxxxx

3(x, y, z) = .321 xxx

Многочлен f(x1, x2, x3) – однородный, его высший член .3

1x Построим сначала последователь-

ности целых неотрицательных – возможных показателей у высших членов, а затем соответст-

вующие одночлены от i .

Оформим эти поиски в виде таблицы.

В первом столбце нам нужен, по существу, лишь один элемент – высший член исходного

многочлена. По его системе показателей заполняем второй столбец, а по второму столбцу строим

третий.

90

Высший член от xi Показатели высшего члена Одночлен от i

3

1x 3, 0, 0 0

3

0

2

3

1 A

2, 1, 0 0

3

1

2

1

1 B

1, 1, 1 1

3

0

2

0

1 C

Итак,

3

3

3

2

3

1 xxx =

3

1A + 21B + 3C .

Коэффициенты у высших членов многочленов слева и справа совпадают, поэтому A = 1.

Остается найти коэффициенты B и C. Придадим значения переменным 3

3

3

2

3

1 ,, xxx и вычислим

при этих значениях i (x1, x2, x3) и f (x1, x2, x3). Результаты вычислений оформим в виде второй

таблицы.

x y z 321 xxx 323121 xxxxxx 321 xxx

3

3

3

2

3

1 xxx

1 1 1 3 3 1 3

1 1 –2 0 –3 –2 –6

В результате получена система уравнений для B и C:

Решаем систему B = 3, С =3 и получаем окончательное решение вопроса.

Ответ . 3

3

3

2

3

1 xxx =

3

13 – 213 + .3 3

Задача 10. Решить систему уравнений, исключив x с помощью результанта.

Номер варианта Система уравнений

1

5428149

,321374

22

22

yxxyyx

yxxyyx

2

42

,16655

22

22

yxxyyx

xyyx

3

12

,474

2

22

yxxyy

yxxyyx

4

133

,4822

2

22

xxyy

yxxyyx

5

24222

,1213743

2

22

yxxyy

yxxyyx

.62

,3927

С

CB

91

Номер варианта Система уравнений

6

yxxyy

yxxyyx

2

,101725

2

22

7

811223

,410524

2

22

yxxyy

yxxyyx

8

432

,12112

22

22

yyx

yxxyyx

9

23666

,8572

22

22

yxxyyx

yxxyyx

10

34

,7663

2

22

yxxyy

yxxyyx

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Решить систему уравнений

,5633

,852

2

22

yxxyy

yxxyyx

исключив x с помощью результанта.

Решение. Будем рассматривать многочлены системы как многочлены от одной переменной x

из кольца многочленов R[y]:

f(x, y) = x2 – y

2 + 2xy + 5x + y – 8 = x

2 + (2y + 5) x + (– y

2 + y – 8)

g(x, y) = y2 + 3xy – 3x – 6y +5 = (3y – 3)x + (y

2– 6y +5)

Исключим из системы переменную x. Для этого найдем результант для многочленов

F(x) = x2 + (2y + 5) x + (– y

2 + y – 8),

G(x) = 3y – 3)x + (y2– 6y +5),

где y играет роль параметра:

'

56330

05633

8521

,2

2

2

yyy

yyy

yyy

GFR

Вычислим определитель (например, используя правило Саррюса) и получим:

GFR , –14y4 +42y

3 – 14y

2 – 42y + 28.

Вынесем общий множитель коэффициентов одночленов,

–14y4 + 42y

3 – 14y

2 – 42y + 28 = –14(y

4 – 3y

3 + y

2 + 3y – 2).

и будем искать корни многочлена

y4 – 3y

3 + y

2 + 3y – 2.

92

Попробуем сначала найти целые корни. Целый корень многочлена с целыми коэф-

фициентами непременно должен делить свободный член этого многочлена. Испытаем с

помощью схемы Горнера число 1 в качестве корня.

Сигналом того, что x = 1 является корнем, является появление нуля в последней

клетке схемы Горнера. Если таковой появится, то сразу же попробуем разделить полу-

чившиеся частное (вдруг x = 1 имеет кратность больше единицы).

Если удастся второе деление, то «расширяя получившийся плацдарм», будем делить

на x – 1 снова. Итак, действуем по этому плану.

1 – 3 1 3 –2

1 1 11 – 3 = –2 1(–2) + 1 = –1 1(–1) + 3 = 2 12 – 2 = 0

1 1 11 – 2 = –1 1(–1) – 1 = –2 1(–2) + 2 = 0

1 1 11 – 1 = 0 10 – 2 = –2

Деление нацело на x – 1 удалось два раза. Это значит, что x = 1 является двукратным

корнем, и исследуемый многочлен распадается на множители:

f(x, y) = ( y2 – y – 2) (y – 1)

2.

Первый множитель имеет всего лишь вторую степень, и его корни можно найти по

«школьным формулам»:

.

2

31

2

91

2

12411 2

4,3

y

Получаем: y3 = 2, y4 = –1.

y4 – 3y

3 + y

2 + 3y – 2 = (y – 1)

2(y – 2) (y + 1).

Итак, возможные значения переменной y в качестве корней найдены.

При любом значении y0 {1, 2, 1 } уравнения f(x, y0) = 0 и g(x, y0) = 0 имеют общие

корни. Найдем эти корни для каждого такого значения y. Пусть y = 1. Тогда

f(x, 1) = x2 + (2 1 + 5) x + (–1

2 + 1 – 8)

Проделаем вычисления и получим уравнение:

x2 + 7 x – 8 = 0

У этого многочлена два корня: x1 = –8, x2 = 1.

Вычислим второй многочлен:

g(x, 1) = (3 1 – 3)x + (12– 6 1 +5) = 0 x + 0.

Таким образом, второй многочлен исчез, и мы получаем первые два решения исходной

системы: (–8, 1); (1, 1).

Пусть теперь y = 2.

f(x, 2) = x2 + (2 2 + 5) x + (–2

2 + 2 – 8)

93

Получаем уравнение

x2 + 9 x – 10 = 0,

корни которого: x1 = –10, x2 = 1.

g(x, 2) = (3 2 – 3)x + (22– 6 2 +5) = 3x – 3.

Уравнению 3x – 3 = 0 удовлетворяет лишь x = 1. Получается еще одно решение ис-

ходной системы – (1, 2).

Пусть, наконец, y = –1.

f(x, –1) = x2 + (2 (–1) + 5) x + (–(–1)

2 – 1 – 8) = x

2 + 3 x – 10;

g(x, –1) = (3 (–1) – 3)x + ((–1)2

– 6 (–1) +5) = –6x + 12.

Уравнение x2 + 3 x – 10 = 0 имеет два корня: x1 = 2, x2 = – 5, но лишь один из них удо-

влетворяет второму уравнению системы:

–6x + 12 = 0.

Следовательно, (2, –1) – еще одно решение данной системы.

О т в е т . Система

,5633

,852

2

22

yxxyy

yxxyyx

имеет четыре решения:

(–8, 1); (1, 1); (1, 2); (2, –1).

94

II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Раздел математики, посвященный изучению векторных и евклидовых пространств, их под-

пространств, линейных преобразований, исследованию алгебр матриц и других, непосредственно

связанных с этими понятиями объектов, традиционно называют линейной алгеброй.

Результаты линейной алгебры имеют многочисленные приложения в различных областях

науки и техники.

Конкретными объектами изучения линейной алгебры являются векторные пространства.

При исследовании векторных пространств естественным образом возникает понятие матрицы.

Одна из важнейших характеристик квадратной матрицы – ее определитель.

§ 1. Векторные пространства, матрицы и определители

Векторное пространство. Векторным (линейным) пространством над полем P называют

множество с двумя операциями, внутренней (сложением) и внешней (умножением на скаляр) при-

чем алгебра <L; + > является абелевой группой, и для каждых , из L каждых a, b из P:

a ( + ) = a + a ;

(a + b) = a + b ;

a (b ) = (a b) ;

1 =.

Элементы из L называют векторами, а элементы из P – скалярами.

Элементы из L (векторы) здесь обозначены буквами греческого алфавита, а элементы из P

(скаляры) – буквами латинского алфавита. Символом 1 обозначен единичный элемент поля P.

Нулевой элемент в L соответственно обозначают буквой . Вектор, противоположный для

вектора обозначим символом – .

Векторное пространство над полем R действительных чисел называют действительным

векторным пространством. Это пространство – одно из важнейших для многочисленных прило-

жений.

Важным примером пространства над любым полем является арифметическое векторное

пространство.

Арифметическим вектором над полем P называют строку naaa ...,,, 21 , где ai принадле-

жит P. Все множество векторов-строк обозначают символом P n.

Сложение в Pn задается правилом:

naaa ...,,, 21 + nbbb ...,,, 21

опр

nn bababa ...,,, 2211 .

Иначе говоря, сложение двух строк происходит покомпонентно: первая компонента склады-

вается с первой, вторая – со второй и так далее.

Аналогичным образом определяется и умножение на скаляр:

naaak ...,,, 21

опр

....,,, 21 nakakak

Отметим, что строки можно записать на «восточный манер» в виде столбцов. Множество

столбцов с операциями, заданными покомпонентно, – это тоже арифметическое векторное про-

странство.

Вектор k11 + k22 + ... + knn из произвольного векторного пространства L над полем P назы-

вают линейной комбинацией векторов 1, 2, ... n.

Если в линейной комбинации все скаляры равны нулю, то и комбинация равна нулю. Обрат-

ное утверждение выполняется не всегда, т. е. может случиться, что не все коэффициенты в ли-

95

нейной комбинации k11 + k22 + ... + knn, нулевые, а комбинация равна нулю. В этом случае гово-

рят, что векторы 1, 2, ..., n линейно зависимы.

Соответственно, система векторов S называется линейно независимой, если каждая линейная

комбинация любых ее элементов, содержащая, хотя бы один ненулевой коэффициент, отлична от

нулевого вектора. Иначе говоря, система 1, 2, ..., s линейно независима тогда и только тогда,

когда

k11+ k22 + ... + kss = k1 = k2 =...= ks =0.

Если вектор является линейной комбинацией векторов 1, 2, ..., n,

=k11+k22 +...+knn,

то говорят, что линейно выражается через векторы 1, 2, ..., n.

С и с т е м а в е к т о р о в л и н е й н о з а в и с и м а т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а

о д и н и з в е к т о р о в л и н е й н о в ы р а ж а е т с я ч е р е з о с т а л ь н ы е . И соответственно,

система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из векторов не выража-

ется линейно через остальные.

Бесконечная система векторов линейно независима, если линейно независима любая ее ко-

нечная подсистема.

Если каждый элемент из L является линейной комбинацией некоторой конечной системы

векторов 1, 2, ..., n, , то L называют конечномерным, а систему 1, 2, ..., n – порождающей.

Линейно независимую систему порождающих называют базисом. Число элементов в базисе назы-

вается размерностью пространства L и обозначается символом1 dim P.

Размерность пространства может быть и бесконечной. Важным примером бесконечномерно-

го пространства является множество C[a. b] непрерывных функций от действительного перемен-

ного, заданных на отрезке [a, b]. Сложение и умножение на скаляр не выводят за пределы C[a. b],

и поэтому C[a. b] является действительным векторным пространством. Это пространство называ-

ют пространством Чебышева.

Бесконечномерным будет пространство всех функций от одного или нескольких перемен-

ных, заданных над бесконечным полем P со значениями в этом поле, пространство функций диф-

ференцируемых, интегрируемых, k-кратно дифференцируемых, интегрируемых с k-степенью и т.п.

На множестве пр(1, 2, ..., s) всех линейных комбинаций системы векторов 1, 2, ..., s,

выбранных из произвольного пространства L, выполняются все аксиомы векторного пространства.

Пространство пр(1, 2, ..., s) называют подпространством, порожденным системой

1, 2, ..., s. Если H – подпространство пространства L, то пишут: H < L. Здесь знак не означает

строгое включение: пространство L – это тоже подпространство. Размерность подпространства не

превышает размерности всего пространства:

H < L dim H dim L.

В случае равенства размерностей H совпадает с L.

Отображение f векторного пространства L в пространство L1 называют линейным, если оно

сохраняет операции сложения и умножения на скаляр, т. е. (для каждых , из L и каждого k из P):

f( + ) = f() + f(),

f(kx) = kf().

Линейное отображение векторного пространства полностью задается образами его базиса, а

отображение базиса, в свою очередь, можно задать с помощью матрицы.

1 От англ. dimensionality – размерность.

96

Матрицы. Двумерный массив, заполненный элементами из поля P, называют матрицей1 над

кольцом P.

Поле P здесь может быть любым числовым и нечисловым. Однако наибольшее значение

имеют матрицы над полем действительных или над полем комплексных чисел (или над конечным

полем из двух элементов).

Обычно матрицу заключают в скобки (круглые или квадратные, или даже двойные квадрат-

ные) и обозначают одним символом (как правило, прописной буквой латинского алфавита).

Матрицу, состоящую из m строк и n столбцов, принято называть mn-матрицей.

Элементы матрицы нумеруют двойными индексами: первый индекс – номер строки, второй –

номер столбца.

Например, запись aij означает, что элемент aij находится в i-ой строке и j-ом столбце матри-

цы.

Размеры матрицы (число строк и число столбцов) называют еще типом матрицы. Напри-

мер, матрица

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

,

имеет m строк n столбцов, т. е. является mn-матрицей.

Две матрицы однотипны, если их размеры совпадают.

Если размеры матриц зафиксированы, то условно можно обозначить матрицу видом типич-

ного элемента (отдельно пояснив, как именно выглядят эти типажи). Например, запись

A= (aij), B= (bij),

означает, что матрицы A, B одного типа (индексы i, j пробегают одни и те же множества), типич-

ным элементом первой матрицы является aij , а второй – bij. Если m = n, то матрицу называют

квадратной матрицей порядка n.

Элементы a11, a22, a33, … называют диагональными. Диагональ будет «настоящей» лишь для

квадратной матрицы.

При перемене мест нижних индексов у элементов матрицы A строки и столбцы матрицы ме-

няются местами. Новую матрицу называют транспонированной и обозначают символом A T.

Если матрица A = (aij) имеет тип mn, то транспонированная матрица – это матрица имеет

тип nm,

A T

= (aji).

Матрица может иметь всего одну строку или всего один столбец. При транспонировании

строка превращается в столбец, а столбец – в строку.

Две однотипные матрицы A и B, состоящие из элементов aij и bij соответственно, равны, если

они состоят из одних и тех же элементов, т. е. для каждого места (i, j) элементы первой и второй

матрицы совпадают: aij = bij.

Одной из важных характеристик квадратной матрицы A является элемент A из поля P,

называемый определителем матрицы. Определение определителя существенно опирается на по-

нятие подстановки.

Подстановки. Взаимно однозначное отображение множества M = {1, 2, …, n} на себя

называют подстановкой степени n.

1 От латинского matrix – матка животного. Термин ввел английский математик Джеймс Сильвестр (1814 – 1897),

имея в виду, что именно в матрице зарождается линейное отображение векторного пространства.

97

Подстановку на множестве M можно задать табличным способом. Соответствующая таб-

лица имеет вид 2n-матрицы. В верхней строке располагаются элементы x из M, а в точности под

каждым x находится (x):

.)(σ...)2(σ)1(σ

...21σ

n

n

Число всех подстановок множества из n символов равно числу Pn перестановок n символов

и равно n!

Произведением подстановок называют последовательное их выполнение. Например,

2143

4321

1234

4321.

3412

4321

Это умножение можно представить наглядно в виде графа.

Подстановка, переводящая каждый элемент из M сам в себя, играет роль единичного эле-

мента при умножении, а подстановка

n

n

...21

σ...2σ1σσ1

является обратной для подстановки . Произведение любых отображений ассоциативно, а это зна-

чит, что множество всех подстановок образует группу. Эта группа называется симметрической

группой степени n и обозначается символом Sn.

Подстановка, меняющая местами два элемента i, j, а остальные оставляющая на месте, назы-

вается транспозицией и обозначается транспозиция символом (i j).

Каждую подстановку можно представить в виде произведения транспозиций. Например,

представим в таком виде подстановку

1432

4321α

Это разложение можно увидеть, например, на графе подстановки: проведем горизонтальные

прямые по графу подстановки таким образом, что между каждой парой прямых оказалось в точно-

сти одно пересечение стрелок.

98

Каждое такое пересечение изображает одну транспозицию, участвующую в разложении под-

становки на множители. С помощью линий, построенных на рисунке, получается разложение :

= (3 4) (2 3) (1 2).

Представить подстановку в виде произведения транспозиций можно различными способами,

но если число транспозиций в каком-нибудь представлении окажется числом четным, то и любое

другое представление этой подстановки будет иметь четное число транспозиций-множителей.

Подстановку называют четной, если ее можно представить в виде четного числа подстано-

вок, и нечетной – в противном случае.

Функция sgn , заданная правилом (для каждой из Sn):

нечетная,σесли,1

четная,σесли,1σsgn

называется знаком подстановки.

Определитель квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице A над полем P

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

поставим в соответствие элемент A из P по правилу:

nS

nn

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

σ)()2(2)1(1

21

22221

11211

....σsgn

...

....

...

...

По записи видно, что круглые скобки матрицы опускаются внутри символа определителя.

Обычно, допуская вольность речи, опускают слова «квадратной матрицы», и говорят об

определителе порядка n, строках и столбцах определителя и т.п. Например, если A – квадратная матрица второго порядка, то ее определитель (говорят:

«определитель второго порядка»):

2221

1211

aa

aaa11 a22 – a12 a21.

На схеме отрезками соединены элементы, которые надо перемножить, чтобы получить член

определителя; внизу знак, с которым этот член входит в определитель.

Схема вычисления определителя второго порядка

99

Определитель третьего порядка имеет вид:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –

– a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32.

На схеме, называемой правилом Саррюса1, отрезками одинакового цвета соединены группы

по три элемента, которые надо перемножить, чтобы получить член определителя третьего поряд-

ка. Знак, с которым член входит в определитель, указан снизу.

Определитель четвертого порядка содержит 24 члена, в определитель порядка 5 входит уже

120 слагаемых и далее с возрастанием порядка определителя число его членов n! быстро покидает

пределы разумного. Поэтому схем, подобных правилу Саррюса, для определителей порядков,

больших 3, указать невозможно.

Однако вычисление определителей порядка n можно свести к вычислению определителя по-

рядка n – 1. Такой переход можно осуществить благодаря свойствам определителей.

Геометрический смысл определителей второго и третьего порядков. Определитель диа-

гональной матрицы

равен произведению ее диагональных элементов. Если строки определителя считать двумерными

векторами = (a, 0) и = (0, b), то в этом случае абсолютная величина определителя равна пло-

щади параллелограмма, построенного на этих векторах.

На рисунке значения a и b выбраны положительными, менять знак определителя придется в

случае различных знаков у a и b.

В этом частном случае параллелограмм на самом деле является прямоугольником, но ока-

зывается, что и в общем случае ситуация не меняется: абсолютная величина определителя

2221

1211

aa

aa

равна площади параллелограмма, построенного на векторах = (a11, a12) и = (a21, a22).

1 Фредерик Пьер Саррюс (1798 – 1861) – французский математик.

b

a

0

0

Схема вычисления определителя третьего порядка

100

В частности, площадь параллелограмма будут равна нулю тогда и только когда, когда век-

торы линейно зависимы, т. е. в данном случае находятся на одной прямой (коллинеарны).

Картина принципиально не изменяется и при выходе в трехмерное пространство. Свойство,

очевидное для определителя диагональной матрицы, переносится на общий случай: абсолютная

величина определителя

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

равна объему параллелепипеда, построенного на векторах:

= (a11, a12, a13),

= (a21, a22, a23),

= (a31, a32, a33).

Нулевой объем этого параллелепипеда сигнализирует нам, что векторы линейно зависимы,

они находятся в одной плоскости (компланарны).

Элементарные преобразования матрицы и свойства определителей. Так как знак под-

становки –1

равен знаку подстановки , о п р е д е л и т е л ь н е и з м е н я е т с я п р и т р а н с -

п о н и р о в а н и и е г о м а т р и ц ы .

Это свойство означает, что строки и столбцы определителя равноправны – любое утвержде-

ние о строках автоматически выполняется для столбцов определителя, и наоборот.

Это равноправие позволяет формулировать и доказать лишь свойства строк определителя

(свойства столбцов получатся сами собой).

Так как при умножении подстановки на транспозицию, знак подстановки изменяется на про-

тивоположный, п е р е м е н а м е с т д в у х с т р о к о п р е д е л и т е л я и з м е н я е т е г о з н а к .

Отсюда, кстати, следует, что определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Равен нулю и любой определитель, содержащий нулевую строку.

Это свойство можно значительно усилить.

Умножение элементов строки матрицы на любой ненулевой элемент k из поля P называют

элементарным преобразованием первого типа.

П р и э л е м е н т а р н о м п р е о б р а з о в а н и и п е р в о г о т и п а о п р е д е л и т е л ь

у м н о ж а е т с я н а э л е м е н т k , к о т о р ы й у ч а с т в у е т в п р е о б р а з о в а н и и .

Элементарным преобразованием второго типа называют сложение элементов какой-либо

строки матрицы с соответствующими элементами другой строки, умноженными на элемент s из P.

101

П р и э л е м е н т а р н о м п р е о б р а з о в а н и и в т о р о г о т и п а о п р е д е -

л и т е л ь н е и з м е н я е т с я .

Отсюда следует, что если две строки определителя пропорциональны, то определитель ра-

вен нулю. Пропорциональность означает линейную зависимость двух строк матриц. Линейная

зависимость строк может быть не столь очевидной, но и в общем случае линейной зависимости,

когда одна из строк линейно выражается через остальные, определитель равен нулю.

Матрица с нулевым определителем называется вырожденной.

Таким образом, м а т р и ц а в ы р о ж д е н а т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а е е

с т р о к и ( с т о л б ц ы ) л и н е й н о з а в и с и м ы .

Перечисленных свойств достаточно для ответа на вопрос: равен или не равен нулю данный

определитель. Для точного вычисления потребуется понятие определителя подматрицы.

Разложение определителя по ряду. Сгруппируем члены определителя третьего порядка

следующим образом:

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 =

= a11 ( a22 a33 a23 a32 ) – a12 (a23 a31 a21 a33) + a13 (a21 a32 – a22 a31).

Выражения, стоящие в скобках, – это определители второго порядка:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

a11 3332

2322

aa

aaa12

3331

2321

aa

aaa13 .

3231

2221

aa

aa

Полученное представление называют разложением определителя по элементам первой строки.

При другой группировке членов определителя можно получить разложения по элементам

другой строки (или столбца).

Аналогичная картина и для определителя квадратной матрицы A порядка n (при n > 2). Ра-

бочими понятиями здесь является понятие дополнительного минора и алгебраического дополне-

ния.

Выделим в nn-матрице A элемент aij и вычеркнем в i-ую строку и j-ый столбец. Определи-

тель оставшейся (n – 1) (n – 1)-матрицы называют дополнительным минором1 элемента aij и

обозначают символом jiM .

Дополнительный минор элемента aij взятый со знаком (–1)i + j

называется алгебраическим

дополнением элемента aij и обозначается символом Aij,

Aij = (1)i + j

jiM .

С у м м а п р о и з в е д е н и й э л е м е н т о в с т р о к и ( с т о л б ц а ) о п р е д е л и т е л я н а

и х а л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я р а в н а о п р е д е л и т е л ю :

....

...

....

...

...

2211

21

22221

11211

ininiiii

nnnn

n

n

AaAaAa

aaa

aaa

aaa

Такую сумму называют разложением определителя по элементам строки.

Так как определитель с двумя равными строками равен нулю, с у м м а п р о и з в е д е н и й

э л е м е н т о в с т р о к и о п р е д е л и т е л я н а а л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я с о о т -

в е т с т в у ю щ и х э л е м е н т о в д р у г о й с т р о к и р а в н а н у л ю .

Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то определитель этой матрицы равен нулю.

1 Минор – от латинского minor – меньший.

102

Если же такой строки и столбца нет, то с помощью элементарных преобразований строк (или

столбцов) можно в любой строке (столбце) сделать все элементы нулевыми, кроме одного. Опре-

делитель при этом не измениться.

Разложим определитель по элементам этой строки (столбца), и, таким образом, сведем вы-

числение определителя n-го порядка к вычислению определителя (n – 1)-го порядка.

Пример разложения определителя. Найдем разложение определителя

31

2

0

00

123

cc

b

по элементам второй строки.

Вычисляем:

31

2

0

00

123

cc

b =

=

3

12

0

1201

с

3

2

22

1

131

ссb

0

2301

1

32

с

=

32

1

13

ссb .

Векторное пространство матриц. Множество mn-матриц можно рассматривать как мно-

жество mn-мерных арифметических векторов. пространства. Элементы этого пространства Pmn

мы

записывали раньше в виде строк или в виде столбцов, а сейчас можно считать, что длинная строка

(или столбец) разломана на равные части, из которых затем сложили прямоугольную таблицу –

матрицу.

Сложение и умножение на скаляр в этом пространстве Pmn

задаются обычными правилами

(для каждых A= (aij), B= (bij) из Pmn

и каждого k из P):

A+B = (aij+bij), kA = (kaij).

Нулевым элементом в этом пространстве будет матрица O, сплошь заполненная нулями.

Умножение матриц. На множестве матриц всех типов определим частичную операцию

умножения.

Эта операция будет применима лишь к матрицам особого размера, а именно: можно гово-

рить о произведении матриц A и B только тогда, когда A – mn-матрица, а B – nk-матрица

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

,

nknn

k

k

bbb

bbb

bbb

B

...

....

...

...

21

22221

11211

.

Другими словами, для существования произведения AB матриц A и B необходимо (и доста-

точно), чтобы длина строки матрицы A была равна длине столбца матрицы B.

Произведением AB матриц A и B является mk-матрица

mkmm

k

k

ccc

ccc

ccc

C

...

....

...

...

21

22221

11211

,

элементы которой задаются следующим правилом:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj,

103

или, в сокращенной записи:

cij =

n

k

kjikba1

.

Для получения (i, j)-го элемента произведения AB надо все элементы i-ой строки матрицы A

умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, а затем эти произведения сло-

жить.

Наглядно умножение матриц изображено на следующей схеме.

Такое определение умножения связано с основным назначением матрицы – порождать ли-

нейное отображение. Если матрица A соответствует линейному отображению A, а матрица B по-

рождает отображение B, то отображению AB соответствует матрица AB.

Умножение отображений1 ассоциативно, поэтому и умножение прямоугольных матриц ас-

социативно.

Так как умножение матриц – частичная операция, то утверждение об ассоциативности пони-

мается следующим образом. Произведения (AB)C и A(BC) определены или не определены одно-

временно, а в случае существования этого произведения выполняется равенство

(AB)C = A(BC).

Умножение матриц некоммутативно. Если A или B (или обе вместе) – не квадратные матри-

цы, то одно из произведений AB или BA вообще не определено. Но и для квадратных матриц по-

рядка больше 1 коммутативность может не выполняться. Например,

,00

10

00

10

00

01

.00

00

00

01

00

10

Отметим, кстати, что множители здесь ненулевые, однако второе произведение равно нулю.

Эти две матрицы – делители нуля.

Заметим еще, что обе матрицы здесь вырожденные (их определители равны нулю). Этим

свойством («делить нуль») обладают все вырожденные матрицы: каждая вырожденная мат-

рица – это делитель нуля. Верно и обратное: если матрица – делитель нуля, то она

вырожденная. Иначе говоря, определитель AB произведения AB равен нулю, если хотя бы один

из определителей A или B равен нулю.

Это свойство можно значительно усилить. На самом деле всегда о п р е д е л и т е л ь п р о -

и з в е д е н и я м а т р и ц р а в е н п р о и з в е д е н и ю о п р е д е л и т е л е й :

1 Умножение отображений состоит в их последовательном выполнении. Результат последовательного выполнения (и

само это выполнение) часто называют композицией.

Умножение матриц

104

A B = A B.

Умножение прямоугольных матриц дистрибутивно относительно сложения. Это значит, что

если A – m n-матрица, а B, C – n k-матрицы, то матрицы A(B + C) и AB + AC определены (или

не определены) одновременно, и

A(B+C) = AB+AC.

Для m n-матриц существует левый и правый, нейтральные при умножении элементы. Роли

нейтральных элементов играют квадратные матрицы соответствующего размера, у которых на

диагонали стоят только единицы, а на остальных местах – нули.

Места (ii) в матрице называют диагональными (хотя «настоящую» диагональ они будут об-

разовывать лишь для квадратных матриц).

В квадратной матрице диагональ, состоящую из (ii)-элементов, называют главной.

Для квадратных матриц одинакового порядка произведение матриц всегда определено, по-

этому множество матриц одного и того же порядка n образует кольцо. Кольцо матриц порядка n

над полем P обозначают символом Mn(P).

Кольцо Mn(P) ассоциативно и с единицей. Роль единицы в матричном кольце играет квад-

ратная матрица

10...00

010...0

.....

0...010

0...001

E .

Роль единичной матрицы состоит E в том, что для любой матрицы A из Mn(P) выполняют-

ся тождества

A E = E A = A.

Если n > 1, то это кольцо не коммутативно и обладает делителями нуля.

В кольце матриц определено дополнительно умножение на скаляр, поэтому Mn(P) называют

еще полной матричной алгеброй.

Особо отметим, что одна из умножаемых матриц может быть «узенькой», т. е. являться про-

сто строкой или столбцом. При таком умножении строка умножается на прямоугольную матрицу

A или матрица A умножается на столбец. Иначе говоря, при умножении строка стоит слева от A, а

столбец – справа.

В результате умножения строки на матрицу A снова появляется строка (если матрица A – не

квадратная, то строка другой длины). При умножении матрицы A на столбец появится столбец

(другой длины, если A – не квадратная).

В следующем примере как раз и происходит умножение матрицы на столбец. Столбец, как и

положено, при умножении стоит справа.

Пример умножения матриц. Найдем произведение AB матриц

40

11A и

2

1B :

105

Вычисляем:

2

1

40

11BA

2410

2111

8

1.

Ранг системы векторов. Пусть 1, 2, ..., s – конечная система арифметических векторов.

Выберем максимальную (по числу элементов) линейно независимую подсистему из этих векторов.

Такую систему просто называю максимальной. Число векторов в максимальной подсистеме назы-

вают рангом системы 1, 2, ..., s и обозначают символом rang или rang. Таким образом, система

векторов 1, 2, ..., s линейно независима тогда и только тогда, когда

rang{1, 2, ..., s} = s.

В m-мерном арифметическом векторном пространстве ранг любой системы векторов не пре-

вышает m.

Две системы векторов называют эквивалентными, если каждый вектор одной системы ли-

нейно выражается через векторы другой. Другими словами, системы эквивалентны, если они по-

рождают одно и то же подпространство. Размерность подпространства и ранг системы, его порож-

дающей, связаны равенством

rang{1, 2, ..., s} = dim пр(1, 2, ..., s)

Отсюда следует, что э к в и в а л е н т н ы е с и с т е м ы и м е ю т о д и н и т о т ж е р а н г .

Пусть 1, 2, ..., s – произвольная система векторов. Элементарным преобразованием пер-

вого типа называется умножение одного из векторов этой системы на ненулевой скаляр. Замену

одного из векторов i на вектор i + kj (где i j) называют элементарным преобразованием

второго типа. Элементарные преобразования преобразуют систему векторов в эквивалентную, и

поэтому не изменяют ранга системы.

Заметим, что если две системы эквивалентны, то одну систему можно получить из другой с

помощью цепочки элементарных преобразований первого или второго типа (и выбрасываний или

вставки нулевых векторов).

Вычисление ранга системы векторов с помощью элементарных преобразований. Чтобы

узнать размерность подпространства, порожденного данной системой векторов, надо уметь нахо-

дить ранг этой системы. С помощью координат общая ситуация сводится к вычислению ранга си-

стемы арифметических векторов.

Поэтому для примера рассмотрим векторы из арифметического n-мерного векторного про-

странства:

1 = (a11, a12, ..., a1n),

2 = (a21, a22, ..., a2n),

. . . . . . . .

m = (am1, am2, ..., amn).

Если все векторы этой системы – нулевые, то ранг ее равен нулю. Если в ней есть ненулевые

векторы, удалим из нее все нулевые, и пусть для определенности 1 . Это значит, что найдется

a1i 0. Заменим вектор 2 на 2 +

i

i

a

a

1

2 1, вектор 3 – на 3 +

i

i

a

a

1

3 1 и так далее, вектор m

заменим на m +

i

mi

a

a

1

1.

106

Если после таких преобразований все векторы, кроме первого, станут нулевыми, то ранг си-

стемы равен единице (а первый вектор образует максимальную подсистему).

Если в результате еще есть ненулевые векторы, отличные от первого, то снова удалим все

нулевые, и пусть 1 первый ненулевой вектор среди оставшихся. Продолжим те же рассуждения

для всех векторов, начиная с вектора 1.

Если в результате новой серии преобразований получатся одни нулевые векторы, то ранг си-

стемы равен двум (а векторы 1 и 2 образуют ее максимальную подсистему).

Если есть ненулевой вектор среди оставшихся, то продолжаем рассуждения и далее таким

же образом. В результате получится линейно независимая система векторов, ранг которой совпа-

дает с рангом исходной системы.

Для таких вычислений удобно записать координаты всех векторов системы в виде матрицы

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

и производить элементарные преобразования над ее строками.

Описанная процедура элементарных преобразований строк матрицы A приводит к новой

матрице A1 с таким же числом столбцов и, возможно, меньшим числом строк (r m):

rnrr

n

n

ccc

cca

ccc

A

...

....

...

...

21

22221

11211

1 .

Внутри A1 находится треугольник из нулей, рассыпанный, возможно, по столбцам матрицы.

Иначе говоря, в матрице A1 под некоторым ненулевым элементом первой строки и i1-го столбца

стоят одни нули. Если вычеркнуть первую строку и i1-ой столбец из A1, то снова (если r > 1) под

некоторым ненулевым элементом первой строки и i2-го столбца находятся одни нули. Снова, если

r>2, вычеркнем новую первую строку и i2-ый столбец и так далее.

Для наглядности пусть i1 = 1, i2 = 2, ir = r, т. е. треугольник из нулей расположен в первых

столбцах матрицы A1.

rnrrrr

nrr

nrr

ccc

cccc

ccccc

A

1

212222

11111211

1

00

.......

....00

......0

......

Система строк матрицы A1 линейно независима.

Если нулевые строки не выбрасывать, а перемещать вниз, то наглядно ситуацию можно

представить следующей схемой матрицы.

Матрицу такого вида называют ступенчатой матрицей, а нахождение ранга этим спосо-

бом – приведением матрицы к ступенчатому виду.

Примерный вид ступенчатой матрицы

107

На рисунке показано, как примерно выглядит ступенчатая матрица. Белым цветом покраше-

на лестница из нулей, черным выделены заведомо ненулевые элементы, а серым цветом – все

прочие элементы матрицы (может, нулевые, а, может быть, и нет).

Р а н г с и с т е м ы в е к т о р о в р а в е н ч и с л у н е н у л е в ы х

с т р о к в с о о т в е т с т в у ю щ е й с т у п е н ч а т о й м а т р и ц е .

Ранг матрицы. Ранг системы векторов-строк и организованных в виде матрицы (т. е. сло-

женные друг на друга в виде «поленницы») называют строчечным рангом матрицы.

Матрицу можно рассматривать как систему столбцов (поставленных в ряд в виде «заборчи-

ка»), и соответственно говорить о столбцовом ранге матрицы.

Таким образом, строчечный ранг – это максимальное число линейно независимых строк

матрицы, а столбцовый ранг – максимальное число линейно независимых столбцов.

Элементарные преобразования строк не изменяют ни строчечного, ни столбцового рангов

матрицы. То же самое верно и для элементарных преобразований столбцов. Отсюда следует, что

строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.

Поэтому говорят просто о ранге матрицы. Ранг матрицы A обозначают символом rang (A).

В предыдущем разделе было показано, как вычислить ранг матрицы с помощью элементар-

ных преобразований строк. Теперь при вычислениях, если в этом будет необходимость, можно

выполнять и элементарные преобразования столбцов. С помощью таких комбинированных пре-

образований можно получить красивую, «настоящую» ступенчатую матрицу.

Р а н г м а т р и ц ы р а в е н ч и с л у н е н у л е в ы х с т р о к в

с о о т в е т с т в у ю щ е й с т у п е н ч а т о й м а т р и ц е .

Способ решения системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований

называется по имени автора методом Гаусса1.

Методом Гаусса называют и вычисление ранга матрицы путем приведения ее к ступенчато-

му виду.

Есть и другой способ вычисления ранга матрицы, опирающийся на свойства определителей

подматриц.

Пусть A – прямоугольная m n-матрица и число k не превышает ни m, ни n. Выделим в мат-

рице k строк и k столбцов. Определитель, составленный из дважды выделенных элементов, назы-

вают минором k-го порядка.

Миноры квадратной n n-матрицы, расположенные в первых k строках и первых k столбцах

(1 k n), называют главными угловыми минорами.

Главная роль главных миноров еще впереди, а пока пусть M – произвольный минор не обя-

зательно главный и необязательно квадратной матрицы. Добавим к минору M еще одну строку и

еще один столбец. Полученный минор порядка на единицу больше порядка минора M называют

окаймляющим минор M.

Теорема о ранге матрицы.

С помощью миноров можно вычислить ранг матрицы.

ТЕОРЕМА (О РАНГЕ МАТРИЦЫ). Р а н г м а т р и ц ы р а в е н r , е с л и в н е й с о д е р ж и т -

с я н е н у л е в о й м и н о р M п о р я д к а r , а в с е м и н о р ы , о к а й м л я ю щ и е M , р а в -

н ы н у л ю .

Если ранг матрицы A равен r, то любой ее минор r-го порядка, отличный от нуля, называют

базисным минором.

Строки матрицы, проходящие через базисный минор, образуют базис системы строк, а

столбцы, проходящие через базисный минор, – базис системы столбцов.

Если нас интересует, может ли данная подсистема строк (или столбцов) выбрана в качестве

базиса, то ответ связан только с базисным минором. Если на выбранных r строках находится ба-

зисный минор, то строки образуют базис, а если все миноры, расположенные на них равны нулю,

то – нет.

1 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик.

108

Пример вычисления ранга матрицы. Вычислим ранг матрицы

415

642

321

A

двумя способами.

Способ 1. Приведем матрицу A к ступенчатому виду. Первый элемент первой строки объ-

явим разрешающим , (он заключен в рамочку), все элементы первой строки оставим без измене-

ния, остальные (кроме разрешающего) элементы первого столбца заменим нулями, а остальные

элементы матрицы пересчитаем по правилу прямоугольника. Получим:

~

415

642

321

11110

000

321

.

Если удалить нулевую строку (или поменять ее местами с третьей строкой), то получится

ступенчатая матрица с двумя ненулевыми строками. Поэтому ранг матрицы A равен 2, rang(A) = 2.

Второй способ основан на использовании теоремы о ранге матрицы. Рассуждаем следую-

щим образом. В матрице A есть ненулевые элементы. Следовательно, rang(A) 1.

В матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля. Например, минор, расположен-

ный в двух последних столбцах и двух последних строках:

,0614441

64

а это значит, что rang(A) 2.

Если определитель матрицы равен нулю, то ранг матрицы точно равен 2. Вычислим опреде-

литель, разложив матрицу по элементам третьей строки:

415

642

321

=

64

325

62

311

62

314

= 5 ((–4) 6 – 3 (–4)) – 1 (1 6 – 3 2) + 4 (1 6 – 3 2) =

= 0 + 0 + 0 = 0.

Итак, rang(A) 2.

Замечание 1. То, что вычисляемый определитель равен нулю, в нашем случае можно было за-

метить и без вычисления. Вторая строка нашей матрицы – это первая строка, умноженная на 2, а

определитель матрицы с пропорциональными строками равен нулю. Важно, что это именно «наш

случай». Могло случиться, что линейная зависимость строк матрицы была бы и не такой очевидной.

Замечание 2. Теперь, зная точное значение ранга матрицы A, можно легко указать макси-

мальные системы строк или столбцов данной матрицы. Например, все три минора, расположен-

ных на второй и третьей строках, являются базисными, а это значит, что любая пара столбцов яв-

ляется максимальной системой столбцов. Сами же эти строки образуют максимальную систему

строк. Вторая максимальная система строк – это строка номер 1 и строка номер 3.

109

Ранг произведения матриц. Если 1, 2, ..., s и 1, 2, ..., k – две системы векторов и i

линейно выражается через j, то

rang{1, 2, ..., s } rang{1, 2, ..., k }.

Столбцы произведения матрицы AB являются линейными комбинациями столбцов матрицы

A, поэтому

rang (AB) rang (A).

Строки матрицы AB – это линейные комбинации столбцов матрицы B, поэтому

rang (AB) ранг (B).

Другими словами, р а н г п р о и з в е д е н и я м а т р и ц н е п р е в ы ш а е т р а н г а к а ж -

д о г о и з с о м н о ж и т е л е й .

Обратная матрица. Квадратная nn-матрица A – обратима, если существует такая матрица

X, что

AX = XA = E.

Обратная матрица, если она существует, единственна, поэтому обратную матрицу обознача-

ют символом A–1

.

Множество обратимых матриц порядка n группу по умножению в матричном кольце Mn(P)

над полем P. Эту группу называют полной линейной группой над полем P и обозначать символом1

GLn(P).

Группа, которая изоморфна некоторой подгруппе полной линейной группы, называется ли-

нейной.

Группу подстановок степени n можно изоморфно представить в виде линейной группы, по-

ставив в соответствие подстановке

n

n

...21

...21α

матрицу, в которой в i-строке и (i)-столбце стоят единицы (i = 1, 2, …, n), а на всех прочих ме-

стах – нули. Такую матрицу принято называть подстановочной. Так как rang (E) = n, необходимым

условием обратимости является невырожденность матрицы. Этого условия и достаточно: невы-

рожденная матрица обратима.

Другими словами, м а т р и ц а A о б р а т и м а т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а е е

о п р е д е л и т е л ь A о т л и ч е н о т н у л я .

Нахождение обратной матрицы. Обратную матрицу A–1

для матрицы

можно найти по формуле

1 GL – первые две буквы слов Group Linear.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

110

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

....

...

...

1

21

22212

12111

1

.

Снова видно, что такая формула будет работать в том и только в том случае, когда A 0.

Обратную матрицу можно найти и с помощью элементарных преобразований (т. е. методом

Гаусса).

Для этого припишем к квадратной nn-матрице A справа единичную матрицу E того же по-

рядка и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем n2n-матрицу так, чтобы на

месте матрицы A появилась единичная матрица. Тогда на месте E появится матрица A1

.

На рисунке схематически проиллюстрирована эта процедура получения обратной матрицы.

Под стрелками и многоточием скрываются элементарные преобразования строк большой прямо-

угольной матрицы.

Решение матричного уравнения. Различного рода процессы (в том числе и экономическо-

го характера) описываются с помощью матричных уравнений. Простейшими из них, как и для

числовых уравнений, являются уравнения вида AX = B и XA = B, где A, B – данные матрицы, а X –

неизвестная матрица.

Если квадратная матрица A обратима, то каждое из уравнений вида AX = B и XA = B имеет

единственное решение (даже в случае квадратных матриц X и B эти решения, вообще говоря, не

совпадают, так как умножение матриц некоммутативно).

Умножив слева левую и правую части равенства AX = B на A–1

, получим

A–1 AX = A

–1 B,

что равносильно E X = A–1 B, откуда

X = A–1 B.

Умножая не слева, а справа, и рассуждая аналогичным образом, получаем, что уравнение

XA = B также имеет единственное решение.

Ситуация несколько усложняется, если матрица A – не обратима.

Уравнение может оказаться несовместным, а в случае совместности – неопределенным.

Ранг произведения матриц не превышает ранга каждого из сомножителей. Поэтому если

rang (A) < rang (B),

то оба уравнения XA = B и AX = B решения не имеют:

Однако система может оказаться несовместной, даже если ранги матриц A и B совпадают.

Рассмотрим небольшой пример, который одновременно покажет, как действовать в подоб-

ной ситуации. Пусть

42

21A ,

129

43B .

111

Ранг каждой из этих матриц равен единице. Попробуем решить уравнение AX = B. Учитывая

размеры матриц A и B, видим, что неизвестная матрица X имеет две строки и два столбца. Эту не-

известную матрицу X заполним пока неизвестными элементами:

2221

1211

xx

xxX .

Теперь задача состоит в нахождении неизвестных x11, x12, x21, x22. Выполним умножение мат-

риц:

2221

1211

42

21

xx

xxAX

22122111

22122111

4242

22

xxxx

xxxx,

и получим матричное равенство:

22122111

22122111

4242

22

xxxx

xxxx=

129

43.

Из этого равенства возникают две системы линейных уравнений, неизвестными которых яв-

ляются элементы искомой матрицы:

,942

,32

2111

2111

xx

xx

.1242

,42

2212

2212

xx

xx

Обе эти системы не имеют решения и поэтому уравнение

129

43

решений не имеет.

Приведенный пример наглядно показывает, как задача о матрицах быстро сводится к реше-

нию некоторой системы уравнений.

Это не случайно: основным инструментарием при решении задач линейной алгебры явля-

ются системы линейных уравнений.

§ 2. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений. Системой линейных уравнений называют систему вида:

,2221

22222121

11212111

...

...........

,...

,...

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

(S)

X

42

21

112

Элементы aij и bi предполагаются выбранными из некоторого поля P, а xj – неизвестные,

которые также разыскиваются в поле P. Элементы aij называют коэффициентами системы, а bi –

свободными членами.

Уравнения системы становятся однородными, если все свободные члены равны нулю.

Решением системы является такая n-ка вида (c1, c2, …, cn), что после подстановки ci вместо

xi уравнения превращаются в верные равенства.

Множество решений системы от n неизвестных находится в арифметическом n-мерном

векторном пространстве Pn. Пространство, в котором находится множество решений, удобней

представлять как пространство векторов-строк.

Система уравнений (не обязательно линейных) называется совместной, если она имеет, хотя

бы одно решение. Если система совместна и имеет в точности одно решение, то ее называют опре-

деленной, а если решений больше двух, то – неопределенной.

Две системы от одинакового числа неизвестных называют равносильными, если их множе-

ства решений совпадают. Для изображения равносильности используется символ ; системы (S1)

и (S2) равносильны записывается:

(S1) (S2).

Системы равносильны, если каждое решение одной системы является решением другой.

Если каждое решение системы (S1) является решением системы (S2), то (S2) называют след-

ствием системы (S1); пишут в таком случае: (S1) (S2).

Критерий совместности системы линейных уравнений. С системой (S) свяжем две мат-

рицы. В первую матрицу A включим все коэффициенты уравнений системы в том порядке, как

они расположены:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

Во вторую матрицу A включим и коэффициенты, и свободные члены уравнений системы:

mmnm

n

n

baa

baa

baa

A

...

....

...

...

1

2221

1111

.

Матрицу A называют основной матрицей системы, а A – расширенной матрицей системы.

Систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения

x11+ x22 + … + xnn = , где

1

21

11

1

.

.

.

ma

a

a

,

2

22

12

2

.

.

.

ma

a

a

, …,

mn

n

n

a

a

a

.

.

.

2

1

1 ,

mb

b

b

.

.

.

2

1

.

113

Система линейных уравнений будет совместной, если вектор линейно выражается через

векторы 1, 2, ..., n, и несовместной в противном случае.

Для того чтобы вектор линейно выражался через векторы 1, 2, ... n необходимо и до-

статочно, чтобы принадлежал подпространству H = пр(1, 2, ... n), порожденному векторами

1, 2, ... n, а для этого в свою очередь необходимо и достаточно (как видно из поясняющей схе-

мы) совпадения подпространств H и H1 = пр(1, 2, ... n, ).

Используя связь ранга системы и размерности подпространства, получаем следующие необ-

ходимое и достаточное условие (критерий) совместности системы линейных уравнений: с и с т е -

м а л и н е й н ы х у р а в н е н и й с о в м е с т н а т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а р а н г и

о с н о в н о й и р а с ш и р е н н о й м а т р и ц с и с т е м ы с о в п а д а ю т .

Этот факт принято называть теоремой Кронекера1-Капелли

2.

Таким образом, можно, не решая систему, заранее установить, пусто или нет ее множество

решений.

Кстати, не решая систему, можно узнать, является ли она определенной или неопределен-

ной. Число свободных неизвестных в системе равно n – rang (A), и поэтому с и с т е м а л и н е й -

н ы х у р а в н е н и й и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о -

г д а р а н г и о с н о в н о й и р а с ш и р е н н о й м а т р и ц с и с т е м ы с о в п а д а ю т и р а в -

н ы ч и с л у н е и з в е с т н ы х .

Получение ответов на вопросы, совместна система или нет, определенна или нет, называют

исследованием системы. И все-таки, кроме исследования, нужно уметь и находить множество ре-

шений системы – говорят: «решить систему». Решить систему можно, приведя ее к такому виду

)сохраняя множество решений), что решение ее очевидно. Проще всего это сделать с помощью

элементарных преобразований.

Элементарные преобразования системы уравнений. Преобразования системы, не изме-

няющие ее множества решений, называют равносильными преобразованиями. Элементарные пре-

образования систем векторов или строк матрицы почти дословно переносятся на системы уравне-

ний.

Умножение левой и правой частей одного из уравнений системы на ненулевой элемент из P

называют элементарным преобразованием первого типа.

Замену одного из уравнений системы на сумму этого уравнения с другим уравнением,

умноженным на любой элемент из P, называют элементарным преобразованием второго типа.

Э л е м е н т а р н ы е п р е о б р а з о в а н и я с и с т е м ы у р а в н е н и й н е и з м е н я ю т е е

м н о ж е с т в о р е ш е н и й .

Если среди уравнений системы находится противоречивое уравнение,

0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = b,

где b 0, то система несовместна, ее множество решений – пусто.

Система будет несовместной и в том случае, когда противоречивое уравнение можно полу-

чить из уравнений данной системы с помощью элементарных преобразований.

1 Леопольд Кронекер (1823–1891) – немецкий математик; эта теорема содержится в лекциях Кронекера 1883–1991 гг. 2Альфредо Капелли (1855–1910) – итальянский математик, критерий совместности опубликован им в 1892 г.

H H

114

Уравнение, в котором все коэффициенты и свободный член равны нулю (нулевое уравнение)

будет верно при подстановке в него любых наборов значений неизвестных, поэтому нулевое

уравнение можно из системы удалить – множество решений системы от этого не изменится.

Удалить нулевое уравнение можно и тогда, когда оно возникнет при элементарных преобра-

зованиях системы.

Метод Гаусса-Жордана. Для практического нахождения множества решений линейной си-

стемы уравнений удобней всего воспользоваться последовательным исключением неизвестных из

уравнений системы.

Метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (в школьном кур-

се математики его называют сложением) состоит в следующем.

Предположим, что коэффициент a11 в системе (S) отличен от нуля. Проделаем элементарное

преобразование системы (S): ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на

11

21

a

a . В результате первое переменное x исчезнет из второго уравнения. Теперь к третьему урав-

нению прибавим первое, умноженное на 11

31

a

a , к четвертому – первое , умноженное на

11

41

a

a и

так далее до m-того уравнения, к m-тому уравнению прибавим первое, умноженное на 11

1

a

am . По-

сле вычислений получится система

,22

33232

22222

11212111

...

...........

,...

,...

,...

mnmnm

nn

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

(S1)

равносильная исходной системе (S). Неизвестное x1 входит лишь в первое уравнение системы (S1),

из всех остальных уравнений оно исключено.

Если в системе (S1) появилось противоречивое уравнение, то система (S1), а вместе с ней и

исходная система (S) – несовместна.

Если же вдруг возникло нулевое уравнение, то его из системы можно удалить.

Предположим, что a11 = 0, но один из коэффициентов первого уравнения, например, a1i 0.

Тогда изменим нумерацию неизвестных – во всех уравнениях поменяем местами первое и i-тое

переменное. Если же для всех i = 1, 2, ..., n коэффициенты a1i = 0, то первое уравнение или несов-

местно (при b 0), и тогда вся система несовместна, или является следствием остальных уравне-

ний (при b = 0), и тогда первое уравнение можно из системы удалить.

Теперь те же самые рассуждения применим к системе уравнений с n 1 неизвестными:

....

..........

,...

,...

22

33232

22222

bxaxa

bxaxa

bxaxa

nmnm

nn

nn

Затем, если все еще не будет получен ответ, к системе с n 2 неизвестными и так далее.

Если в ходе преобразований появится противоречивое уравнение, то система (S) – несов-

местна.

Если же система совместна, то в результате через конечное число шагов в случае совместно-

сти исходной системы (с точностью до нумерации неизвестных) получится система

115

.2

222222

111212111

...

.............

,......

,......

rnnrrr

nnrr

nnrr

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

Эта система имеет вид трапеции (если r < n) или треугольника (при r = n).

Если система имеет треугольный вид, то из последнего уравнения можно найти единствен-

ное значение xn, затем из предпоследнего уравнения будет найдено xn -1 и так далее.

В результате будет получено единственное решение системы.

Если же система имеет трапецеидальный вид, то x1, x2, ..., xr объявим несвободными, а xr + 1, xr + 2, ..., xn – свободными неизвестными.

Свобода неизвестных xr + 1, xr + 2, ..., xn состоит в том, что им можно придавать любые значе-

ния из исходного поля.

При конкретном наборе значений для свободных неизвестных трапецеидальная система

превращается в треугольную. В этой треугольной системе однозначно находятся несвободные

неизвестные.

Таким образом, если система (S) – неопределенная, то ее множество решений M можно опи-

сать следующим образом:

M={ (f1(xr + 1, ..., xn ), …, fr(xr + 1, …, xn), xr + 1, …, xn ) xr + 1, …, xn P },

где fi(xr + 1, ..., xn) – линейные функции от свободных неизвестных xr + 1, ..., xn.

Метод последовательного исключения неизвестных из системы линейных уравнений назы-

вают по имени автора методом Гаусса1.

При практическом использовании метода Гаусса нет необходимости каждый раз полностью

переписывать возникающие уравнения, достаточно записывать их коэффициенты. Да и сама си-

стема однозначно задается матрицей коэффициентов и свободных членов:

Свободные члены отделены в матрице вертикальной чертой. Если все свободные члены рав-

ны нулю, т. е. система однородная, то последний столбец можно не писать – при всех преобразо-

ваниях нули останутся нулями (чтобы помнить, что речь идет о решении системы уравнений, вер-

тикальную черту за последним столбцом матрицы все равно проводят).

Множество элементов {a11, a22, …ak k}, где k равно наименьшему из чисел m, n, образует диа-

гональю. Матричная диагональ похоже на геометрическую диагональ прямоугольника лишь тогда,

когда m = n.

Преобразования Гаусса сводятся к тому, чтобы сначала «сделать нули» под первым диаго-

нальным элементом, затем – под вторым и так далее, пока под диагональю не возникнет треуголь-

ник из нулей.

Матрица системы тогда превратиться в трапецеидальную или треугольную.

На рисунках изображены примерные виды треугольной и трапецеидальной матриц. Белым

цветом выделены нули, черным – ненулевые (диагональные) элементы. Серым цветом изображе-

ны прочие (нулевые и ненулевые) элементы.

1Впервые этот метод описан К. Гауссом в 1849 г.

116

Полученную матрицу можно улучшить, построив таким же способом треугольник из нулей

над диагональю матрицы.

Затем с помощью элементарных преобразований первого типа ненулевые элементы, стоящие

на диагонали, можно дополнительно превратить в единицы.

Такое преобразование матрицы называют в честь авторов1 методом Гаусса-Жордана.

На рисунке изображен примерный вид трапецеидальной rn-матрицы после преобразования

ее методом Гаусса-Жордана. Черными квадратиками здесь изображены единицы. На белом поле

стоят только нули, а под серым цветом скрываются прочие элементы.

Если матрица системы имеет такой вид, то остается только записать множество решений си-

стемы, выразив первые r неизвестных через оставшиеся n r неизвестных. Такие выражения

называют общим решение системы.

Таким образом, если система уравнений совместна, то ее матрица с помощью элементарных

преобразований при подходящей нумерации неизвестных превратится в матрицу вида

00...0000...00

..........

00...0000...00

...10...00

..........

...0...010

...0...001

21

222212

112111

rnrrrrr

nrr

nrr

baaa

baaa

baaa

.

Нулевые строчки соответствуют уравнениям, в которых все коэффициенты и свободные

члены равны нулю – такие уравнения можно из системы удалить: множество решений от этого не

изменится.

Правило прямоугольника. Основной этап преобразований состоит в «изготовлении ну-

лей» над или под некоторым ненулевым элементом. Этот особый элемент этапа преобразований

называют разрешающим. Строку, в которой находится разрешающий элемент, называют разре-

шающей строкой, а столбец – разрешающим столбцом.

Умножая разрешающую строку на подходящие коэффициенты и складывая с остальными

строками, получаем нули выше и ниже разрешающего элемента. Чтобы избежать дробных коэф-

фициентов, можно предварительно воспользоваться элементарным произведением первого типа:

умножить элементы на наименьше общее кратное знаменателей коэффициентов.

Можно преобразовывать матрицу, используя оба элементарных преобразований сразу.

Пусть элемент a – разрешающий, элемент – на рисунке он выделен рамочкой. При комбини-

рованном элементарном преобразовании все элементы разрешающего столбца (кроме элемента a)

превратятся в нули, а все элементы разрешающей строки останутся без изменения.

1 Камиль Мари Энмон Жордан (1838–1922) – французский математик.

117

На рисунке элементы a, b останутся без изменения, а на месте c появится нуль. Остается

только заменить элемент d, составляющий четвертую вершину прямоугольника. На месте элемен-

та d ставим элемент ad – bc (на первом рисунке множители соединены диагоналями). На второй

схеме стрелками указано, какой элемент нужно поставить в конце острия.

Такой способ преобразования матрицы называют правилом прямоугольника.

Расположение элементов a, d, c, d в матрице может быть и другим; правило не изменяется:

з а м е н я е м ы й э л е м е н т у м н о ж а е т с я н а р а з р е ш а ю щ и й и в ы ч и т а е т с я п р о и з -

в е д е н и е э л е м е н т о в п о д р у г о й д и а г о н а л и (независимо от направления диагоналей).

Метод Гаусса-Жордана является алгоритмическим предписанием: следуя указаниям пред-

писания, постепенно вычисляются значения неизвестных. Возможно наша задача такова, что нам

нужно всего лишь значение одного из неизвестных, и вовсе не интересуют остальные. Чтобы

найти это значение методом Гаусса-Жордана, нам придется или предварительно перетасовывать

уравнения системы, или вычислить несколько лишних значений неизвестных.

Однако есть и второй способ решения системы линейных уравнений, позволяющий, в част-

ности, вычислить одно значение неизвестного. При решении определенных систем линейных

уравнений одинаковые знаменатели в выражениях неизвестных подсказали исследователям вид

общих формул.

В историю математики эти формулы вошли под названием правило Крамера1.

Матричная запись и решение системы линейных уравнений. Систему линейных уравне-

ний можно записать в виде одного матричного уравнения.

С системой линейных уравнений (S) из пункта 1 этого параграфа свяжем три матрицы: mn-

матрицу системы A, n1-матрицу X из одного столбца, заполненного неизвестными x1, x2, …, xn, и

m1-матрицу B тоже из одного столбца, заполненного свободными членами:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

,

nx

x

x

X..

2

1

,

mb

b

b

B...

2

1

.

При этих обозначениях система линейных уравнений записывается в виде одного уравнения:

AX = B,

где A, B – данные матрицы, а X – неизвестная матрица.

Если матрица A – квадратная и к том у же обратимая, то уравнение AX = B равносильно X =

A–1

B.

Система из n линейных уравнений с n неизвестными с невырожденной матрицей системы

называется крамеровской.

Используя формулу для обратной матрицы, можно получить формулы для решения краме-

ровской системы линейных уравнений: Если определитель системы линейных уравнений:

nnnnn

n

n

b

b

b

AAA

AAA

AAA

ABAX

2

1

21

22212

12111

1

...

....

...

...

1.

1 Габриель Крамер (1704–1752) – швейцарский математик; правило решения системы линейных уравнений опубли-

ковано им в 1750 году.

118

После умножения матриц получаем

nnnnn

nn

nn

n bAbAbA

bAbAbA

bAbAbA

A

x

x

x

...

...

...

1

2211

2222112

1212111

2

1

.

Выражения для элементов матрицы можно «свернуть» в определители, используя разложе-

ние определителя по элементам столбца.

В результате получим окончательный результат, который и называется правилом (или фор-

мулами) Крамера: к р а м е р о в с к а я с и с т е м а и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е

,,...,, 21

n г д е – о п р е д е л и т е л ь м а т р и ц ы , с о с т а в л е н н о й и з к о э ф ф и -

ц и е н т о в у р а в н е н и й с и с т е м ы , а о п р е д е л и т е л ь i п о л у ч е н и з о п р е д е л и -

т е л я з а м е н о й i - т о г о с т о л б ц а н а с т о л б е ц с в о б о д н ы х ч л е н о в .

Пример решения системы с помощью правила Крамера. Решим методом Крамера си-

стему линейных уравнений

.152

,42

yx

yx

Сначала вычислим определитель матрицы системы:

.9225152

21

Определитель отличен от нуля; следовательно, система крамеровская. Ее единственное ре-

шение (x0, y0) можно найти по формулам Крамера:

,10

x .2

0

y

Определитель 1 получается из определителя заменой первого столбца на столбец свобод-

ных членов, т. е.

.22125451

241

Теперь можно найти x0:

9

22

45

220

52

21

51

24

0

x

Определитель 2 получается из определителя заменой второго столбца на столбец свобод-

ных членов, т. е.

.7241112

412

119

Вычисляем y0:

9

7

45

81

52

21

12

41

0

y

Система решена, ее множество решений

9

7,

9

22 состоит из единственной точки. Сдела-

ем на всякий случай проверку.

Проверка. Подставляем найденные значения неизвестных в уравнения системы и получаем

верные равенства:

49

36

9

72

9

22 ,

19

3544

9

75

9

222

.

Система решена верно.

Множество решений системы однородных линейных уравнений. Когда система имеет

единственное решение (система определенная), то задача описания множества решений системы

вообще не встает: достаточно назвать это единственное решение. Однако в случае неопределенной

системы ситуация иная.

Общее решение неопределенной системы, полученное методом Гаусса-Жордана, выглядит

совершенно не наглядно – его геометрическая природа не ясна. После получения общего решения

возникает задача хорошего описания множества решений неопределенной системы.

Множество решений системы линейных однородных уравнений является подпространством

пространства Pn, так как оно замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр. Если си-

стема определенная, т. е. имеет единственное решение, то это подпространство состоит из одного

нулевого вектора (нулевое подпространство).

Для неопределенной системы однородных линейных уравнений подпространство решений со-

стоит не из одного нуля и имеет базис – линейно независимую порождающую систему. Число эле-

ментов в базисе (размерность подпространства) равно числу свободных неизвестных системы.

Если размерность подпространства H равна m, то любая линейно независимая векторов этого

подпространства образует базис. Поэтому, придав такие значения свободным неизвестным, чтобы

полученные решения были независимы, получим базис пространства решений этой системы.

Проще всего набрать такие линейно независимые наборы для свободных неизвестных, ис-

пользуя лишь нули и единицы исходного поля (тем более что поле может вообще не содержать

других элементов).

Если в системе (S) не все линейные уравнения однородны, то ее множество решений уже не

будет подпространством в Pn. Рассмотрим вместе системой (S) однородную систему

,0...

..........

,0...

,0...

2221

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

(S0)

которую называют сопутствующей для системы (S). Множество решений сопутствующей систе-

мы образует подпространство H в пространстве Pn

.

Множество

H + = { h + h H}

называют линейным многообразием подпространства H с представителем .

120

Множество р е ш е н и й с и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й я в л я е т с я л и н е й н ы м

м н о г о о б р а з и е м п р о с т р а н с т в а Pn.

Пусть 1, 2, …, k – базис сопутствующей для (S) системы, а – произвольное решение си-

стемы (S). Тогда множество решений M принимает вид:

M = {s11 + s2 + … + skk + s1, s2, ..., sk P},

Число k, равное размерности пространства, порожденного векторами 1, 2, ...,k, совпадает с

числом свободных переменных в системе (S).

Рассмотрим для пояснения ситуации простой пример школьного типа. Решим в поле R дей-

ствительных чисел систему

.222

,1

yx

yx

Применим метод Гаусса. После первого же шага второе уравнение исчезает. Система равно-

сильна системе, состоящей из одного уравнения x + y = 1.

Объявим переменное y свободным, тогда система примет вид:

x = 1 – y,

а сопутствующая ей система, соответственно:

x = –y

Эта система имеет множеством решений одномерное подпространство H, порожденное,

например, вектором 1 = (–1, 1).

Возьмем теперь какое-нибудь решение исходной системы. Пусть это будет, например,

= (1, 0). С помощью векторов 1 и множество решений системы записывается в виде:

M = H + = {s11 + s1 R} = {s1(–1, 1) + (1, 0) s1 R}.

Геометрический смысл ситуации поясняет следующая схема.

Множество решений H однородной сопутствующей системы изображается прямой, прохо-

дящей через начало координат; эта прямая и есть пространство решений однородной системы.

Линейное многообразие H + – это прямая, параллельно перенесенная на вектор . Отметим,

что вместо вектора в качестве вектора сдвига можно взять любое решение исходной системы.

Чтобы прояснить ситуацию с описанием множества решений еще более, рассмотрим систе-

мы с малым числом неизвестных.

Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными. Рассмотрим системами линейных

уравнений с двумя и тремя неизвестными над полем действительных чисел.

Итак, пусть дана система

,2221

2222121

1212111

.....

,

,

mmm bxaxa

bxaxa

bxaxa

в которой все коэффициенты и свободные члены являются действительными числами (и не все

коэффициенты равны нулю). Как обычно, обозначим буквой A основную матрицу системы, а

символом A – расширенную матрицу.

Наличие ненулевого коэффициента означает, что ранг основной матрицы системы равен 1

или 2.

121

Если rang (A) = 1, а rang ( A ) = 2, то это значит, что векторы

1

21

11

1

.

.

.

ma

a

a

,

2

22

12

2

.

.

.

ma

a

a

коллинеарны, т. е. в m-мерном арифметическом пространстве Rm они лежат на одной прямой, а

вектор

mb

b

b

.

.

.

2

1

этой прямой не принадлежит. Никакая комбинация векторов 1 и 2 не даст вектор : данная си-

стема несовместна.

В пространстве R2 это значит, что все прямые, изображающие множества решений уравне-

ний системы, параллельны (некоторые из них, но не все, возможно совпадают).

Если rang (A) = rang ( A ) = 1, то все строки матрицы A являются линейными комбинациями

одной строки, т. е. данная система фактически состоит из одного уравнения, все прямые, заданные

системой совпадают; множеством решений этого уравнения является прямая в пространстве R2

(свободное неизвестное одно).

Если rang (A) = rang ( A ) = 2, то наименьшим подпространством в Rm, содержим векторы 1

и 2, является плоскость. Каждый вектор, лежащий в этой плоскости (в том числе и вектор ),

имеет единственное представление в виде линейной комбинации 1 и 2. Данная система уравне-

ний имеет единственное решение.

В этом случае в пространстве R2 все прямые имеют в точности одну общую точку.

Наконец, если rang (A) = 2, а rang ( A ) = 3, то векторы 1 и 2 порождают плоскость в про-

странстве Rm, а вектор не принадлежит этой плоскости. Система несовместна.

Геометрически это значит, что, по крайней мере, одна пара прямых пересекается в одной

точке, но есть еще одна прямая, не проходящая через эту точку. На схеме показаны варианты та-

кого расположения прямых.

Возьмем теперь систему уравнений с числовыми коэффициентами и с тремя неизвестными

.

........

,

,

332221

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

mmm

(S3)

Несовместные системы с двумя неизвестными

122

Снова будем рассматривать уравнения, в которых не все коэффициенты нулевые. Тогда

множеством решений каждого из уравнений этой системы является плоскость в пространстве R3.

Пусть снова A – основная и A – расширенная матрицы системы (S3).

Если rang (A) = rang ( A ) = 3, то три 1, 2, 3 – вектора-столбца коэффициентов системы (S3)

некомпланарны в арифметическом m-мерном векторном пространстве Rm, каждый вектор этой

плоскости (в том числе и – вектор-столбец свободных членов) имеет единственное представле-

ние в виде их линейной комбинации; система (S3) – определенная. Все плоскости-множества ре-

шений уравнений системы имеют в точности одну общую точку.

Если rang (A) = 1, а rang ( A ) = 2, то в пространстве Rm вектор не принадлежит прямой, по-

рожденной коллинеарными векторами 1, 2, 3. В пространстве R3 все плоскости, задающие

уравнения, параллельны (некоторые из них, но не все, может быть, совпадают).

Предположим, что rang (A) = 2, а rang ( A ) = 3. Тогда в пространстве Rm вектор не при-

надлежит плоскости, порожденной компланарными векторами 1, 2, 3.

Геометрически это значит, что, по крайней мере, две не параллельные плоскости имеют об-

щую прямую, но существует еще плоскость, параллельная этой прямой. Кроме того, никакая

тройка плоскостей не пересекается в одной точке. Так может случиться, если две плоскости пере-

секаются по прямой, а остальные плоскости (параллельные или пересекающиеся) параллельны

этой линии пересечения.

На рисунке изображены возможные случаи такой ситуации (на второй схеме все плоскости

расположены вертикально).

Наконец, пусть rang (A) = 3, а rang ( A ) = 4. Тогда в пространстве Rm некомпланарные векто-

ры 1, 2, 3 порождают трехмерное подпространство, но вектор этому подпространству не при-

надлежит. Система (S3) несовместна.

В пространстве R3 в этом случае некоторые три плоскости имеют в точности одну общую

точку, но найдется плоскость, не проходящая через эту точку.

После этого элементарного геометрического обзора вернемся теперь к общей ситуации, а

точнее, подведем итоги, связанные с исследованием и решением систем линейных уравнений.

Исследование и решение системы линейных уравнений. Сформулируем в теорему Кро-

некера-Капелли, используя теорему о ранге матрицы.

С и с т е м а л и н е й н ы х у р а в н е н и й с о в м е с т н а т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о -

г д а б а з и с н ы й м и н о р м а т р и ц ы с и с т е м ы о с т а е т с я б а з и с н ы м и м и н о р о м

р а с ш и р е н н о й м а т р и ц ы э т о й с и с т е м ы .

Кстати, именно в таком виде и была впервые опубликована теорема Кронекера-Капеллли.

Автором публикации был не Кронекер, и не Капелли, а английский математик Чарльз Доджсон1.

В системе могут быть лишние уравнения, которые являются следствиями остальных уравне-

ний системы, и при решении системы любым методом они исчезнут. Какие именно уравнения мо-

гут исчезнуть, а какие останутся, можно сказать заранее.

У р а в н е н и я , н е п р о х о д я щ и е с к в о з ь б а з и с н ы й м и н о р , м о ж н о и з с и -

с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й у д а л и т ь .

На рисунке символически изображена расширенная матрица системы уравнений с выделен-

ным базисным минором. Просто серым цветом окрашены строки и столбцы базисного минора, а в

темно-серых клетках находятся элементы базисного минора (порядка 5).

1 Чарльз Лютвидж Доджсон (1832 – 1896) – английский математик, более известный широкой публике под псевдо-

нимом Льюис Кэрролл. Доказательство критерия совместности системы линейных уравнений опубликовано им в

1867 г., и по исторической справедливости теорема Кронекера-Капелли должна бы называться теоремой Доджсона.

Несовместные системы с тремя неизвестными

123

В белых столбцах расположены коэффициенты свободных неизвестных, последний белый

столбец – это свободные члены уравнений. В белых строках находятся лишние уравнения систе-

мы, их можно удалить – множество решений от этого удаления не изменится.

Вопрос, какие неизвестные можно объявить свободными, а какие нельзя, решается с помо-

щью базисного минора матрицы системы. Н е и з в е с т н ы е , н е я в л я ю щ и е с я н о м е р а м и

с т о л б ц о в б а з и с н о г о м и н о р а , м о ж н о о б ъ я в и т ь с в о б о д н ы м и , а п р о х о д я -

щ и е с к в о з ь б а з и с н ы й м и н о р – н е с в о б о д н ы м и .

Предположим, что системы линейных уравнений совместна. Это значит, что базисный ми-

нор M r-го порядка матрицы системы остался базисным минором ее расширенной матрицы.

Выбросим из системы все уравнения, не проходящие через базисный минор, а неизвестные,

не проходящие через базисный минор, объявим свободными и перенесем в правые части уравне-

ний (изменив знаки коэффициентов на противоположные). В результате возникнет крамеровская

система из r линейно независимых уравнений от r неизвестных. Решив ее, например, по форму-

лам Крамера, мы получим общее решение системы.

Таким образом, р е ш е н и е л ю б о й с о в м е с т н о й с и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е -

н и й с в о д и т с я к р е ш е н и ю к р а м е р о в с к о й с и с т е м ы .

Напомним, что решение систем линейных уравнений – это не самоцель и не искусство для

искусства. Изучение любого математического объекта включает в себя исследование его подси-

стем, в нашем случае – подпространств. Ситуация с подпространствами векторного пространства

существенно облегчается тем, что они образуют решетку.

§ 3. Системы линейных неравенств

Линейные неравенства. Система линейных неравенств над полем R – это система вида

,,...,,

.......

,,...,,

,,...,,

21

2212

1211

mnm

n

n

bxxxf

bxxxf

bxxxf

(s)

где все fi(x1, x2, ..., xn) – однородные линейные многочлены с действительными коэффициентами.

Если все bi равны нулю, то система (s) называется однородной. Приравняв все bi нулю, по-

лучим сопутствующую для (s) систему однородных линейных неравенств.

Неравенство, в котором все коэффициенты равны нулю

0x1 + 0x2 +...+ 0xn b,

а свободный член положителен (b > 0), является противоречивым, если система (s) содержит про-

тиворечивое неравенство, то она несовместна.

Множество решений уравнения

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b,

является линейным многообразием в L размерности n – 1, т. е. гиперплоскостью.

Базисный минор в темных клетках

124

Множество решений неравенства a1x1 + a2x2 +...+ anxn b называют полупространством

пространства L, задаваемым этой гиперплоскостью.

Если , принадлежат действительному векторному пространству L, то отрезком [, ]

называется множество

{ L = + x( – ), 0 x 1}.

Подмножество S из L называется выпуклым, если оно вместе с каждыми двумя элементами

, содержит и отрезок [, ]:

, L [, ] L.

Пересечение любого числа выпуклых подмножеств является выпуклым множеством, и по-

лупространство является выпуклым множеством. Поэтому м н о ж е с т в о р е ш е н и й с и с т е м ы

л и н е й н ы х н е р а в е н с т в я в л я е т с я в ы п у к л ы м м н о ж е с т в о м .

Наименьшее выпуклое множество, содержащее данное множество M, называют выпуклой

оболочкой множества M. Каждое подмножество множества L имеет (и в точности одну) выпуклую

оболочку. Выпуклой оболочкой множества S из действительного пространства L является множе-

ство, состоящее из всех линейных комбинаций k11 + k22 + ... + kmm , где iS, ki0,

k1 + k2 + ... + km=1. Рангом системы линейных неравенств

,...

...

,...

,...

2221

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

(s1)

называют ранг системы векторов

1 = (a11, a12, ..., a1n),

2 = (a21, a22, ..., a2n),

. . . . . . .

m = (am1, am2, ..., amn).

Вершиной системы линейных неравенств ранга r называется такое решение системы, кото-

рое обращает в равенства ее r неравенств с линейно независимыми левыми частями.

Если ранг совместной системы линейных неравенств положителен, то среди ее решений есть

решение, обращающее в равенство одно из неравенств системы. Множество решений совместной

системы линейных неравенств ненулевого ранга имеет хотя бы одну вершину.

Следствия системы линейных неравенств. Все следствия системы линейных уравнений

полностью описываются линейными комбинациями уравнений этой системы. Для неравенств это

утверждение не выполняется.

Однако для однородных систем линейных неравенств аналогичная теорема о следствиях (с

естественной поправкой) уже выполняется.

ТЕОРЕМА (Г. Минковского, о следствиях однородной системы линейных неравенств): е с л и

л и н е й н о е н е р а в е н с т в о g ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) 0 я в л я е т с я с л е д с т в и е м с и с т е м ы :

,0,...,,

...

,0,...,,

,0,...,,

21

212

211

nm

n

n

xxxf

xxxf

xxxf

(s0)

т о с у щ е с т в у ю т н е о т р и ц а т е л ь н ы е ч и с л а k 1 , k 2 , . . . , k m т а к и е , ч т о

g ( x ) = k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) + . . . + k m f m ( x ) .

125

Критерий совместности системы линейных неравенств. Система линейных уравнений

несовместна тогда и только тогда, когда некоторая линейная комбинаций уравнений системы яв-

ляется противоречивым уравнением.

Из теоремы Минковского следует, что аналогичный критерий несовместности остается вер-

ным и для систем линейных неравенств.

ТЕОРЕМА (А.Д. Александрова1): с и с т е м а л и н е й н ы х н е р а в е н с т в н е с о в м е с т н а

т о г д а и т о л ь к о т о г д а , л и н е й н а я к о м б и н а ц и я л е в ы х ч а с т е й н е р а в е н с т в

с и с т е м ы с н е о т р и ц а т е л ь н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и k i р а в н а н у л ю ,

k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) + . . . + k m f m ( x ) 0 ,

а т а ж е к о м б и н а ц и я с в о б о д н ы х ч л е н о в о т р и ц а т е л ь н а ,

k 1 b 1 + k 2 b 2 + . . . + k m b m < 0 .

Пусть система (s1) несовместна. Рассмотрим вспомогательную систему из m уравнений от

n+1 неизвестного

fi(x) – biy 0, i = 1, 2, ..., m. (s2)

Если (c1, c2, ..., cn, d) – решение этой системы, то d0, так как в противном случае

(c1d-1

, c2d-1

, ..., cnd-1

) является решением несовместной системы (s1). Отсюда следует, что неравен-

ство y0 является следствием системы (s2). По теореме Минковского существуют неотрицатель-

ные числа ki такие, что

y =

m

i

iii ybxfk1

)( .

Теорему Александрова можно доказать, не ссылаясь на теорему Минковского, а примерно

теми же рассуждениями, что и при решении системы линейных уравнений методом Гаусса, т. е.

применив последовательное исключение неизвестных из неравенств системы.

Множество решений системы линейных неравенств. Множество векторов действитель-

ного векторного пространства называют выпуклым конусом, если оно замкнуто относительно сло-

жения и умножения на неотрицательный скаляр. Выпуклый конус является выпуклым множе-

ством. Пересечение выпуклых конусов является выпуклым конусом. Множество решений одно-

родной системы линейных неравенств является выпуклым конусом.

Если S – подмножество действительного векторного пространства, то множество

{k11 + ... + kmmiS, ki0,}

является наименьшим выпуклым конусом, содержащим множество S.

Выпуклый конус K называется конечно порожденным (или многогранным), если множество

S можно выбрать конечным.

Конус решений однородной системы линейных неравенств конечно порожден.

Опорой множества S называют полупространство, заданное гиперплоскостью, проходящей

через начала координат, и включающее в себя S.

Иначе говоря, множество O – опора S, если O – множество решений уравнения

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0,

и O содержит S.

1 Александр Данилович Александров (1912-1999) – российский математик, академик АН СССР

(с1964 г.)

126

Крайней опорой системы векторов S ранга r называется полупространство решений этого

уравнения, содержащее все векторы из S, причем, по крайней мере, r 1 вектор из S принадлежит

гиперплоскости, заданной уравнением.

ТЕОРЕМА (Вейля). Е с л и в ы п у к л ы й к о н у с , п о р о ж д е н н ы й к о н е ч н о й с и с т е -

м о й S р а н г а n и з n - м е р н о г о в е к т о р н о г о п р о с т р а н с т в а L , н е с о в п а д а е т

с о в с е м L , т о о н р а в е н п е р е с е ч е н и ю в с е х к р а й н и х о п о р м н о ж е с т в а S .

Пусть теперь (s0) – однородная система, сопутствующая для системы (s1). Произвольное

решение системы линейных неравенств ранга n можно представить в виде = + , где при-

надлежит выпуклому замыканию S множества вершин системы (s1), а принадлежит выпуклому

конусу K множества решений системы (s0).

На рисунке изображено множество решений системы линейных неравенств с двумя пере-

менными.

Это описание означает, что если – решение системы (S1), то

= k11 + k22 + ... + kpp + t11 + t22 + ... +tqq,

где 1, 2, ..., p – вершины системы (1), 1, 2, ... , q – граничные решения соответствующей одно-

родной системы, ki, tj 0, k1 + k2 + ... + kq = 1. Такое описание множества решений системы линейных неравенств называют принципом

граничных решений.

Напомним, что решение систем линейных уравнений или неравенств – это не самоцель и не

искусство для искусства. Изучение любого математического объекта включает в себя исследова-

ние его подсистем, в нашем случае – подпространств. Ситуация с подпространствами векторного

пространства существенно облегчается тем, что они образуют решетку.

§ 4. Решетка подпространств

Сумма и пересечение подпространств. Если A, B – подпространства векторного простран-

ства L, то множество A+B={a+b aA, bB} является подпространством в L.

Пространство A+B является наименьшим подпространством векторного пространства L, со-

держащим подпространства A, B.

Пересечение AB подпространств A, B само является подпространством. Это наибольшее

подпространство, содержащееся одновременно и в A, и в B.

Таким образом, множество подпространств пространства L образует решетку: точная ниж-

няя грань для подпространств A, B – это пересечение AB, а точная верхняя грань – сумма A+B.

127

Если каждый элемент суммы подпространств A, B имеет единственное представление в виде

суммы a+b, где aA, bB, то сумма A+B называется прямой и обозначается символом AB.

Сумма подпространств A и B является прямой тогда и только тогда, когда AB = {}.

Каждое конечномерное векторное пространство является прямой суммой одномерных под-

пространств.

Нахождение базиса и размерности подпространства. Если 1, 2, ..., n – порождающие

векторы пространства A, то линейно независимая система, эквивалентная системе 1, 2, ..., n

образует базис A. Размерность dim A пространства A равна числу элементов в этом базисе.

Для практического нахождения базиса можно воспользоваться методом Гаусса. Для этого

векторы i запишем как строки матрицы, и с помощью элементарных преобразований приведем

эту матрицу к ступенчатому виду.

Ненулевые строки полученной ступенчатой матрицы являются одним из базисов. Соответ-

ственно число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно размерности пространства A.

Если A и B – два подпространства, заданные своими порождающими,

A = пр(1, 2, ..., n), В = пр(1, 2, ..., m ),

то сумма A + B порождается векторами 1, 2, ..., n, 1, 2, ..., m.

Для нахождения базиса и размерности пространства A + B используем тот же прием: запи-

шем все порождающие векторы в виде матрицы и приведем эту матрицу к ступенчатому виду.

При практическом применении этого метода целесообразно брать не данные порождающие

подпространств, а найденные ранее их базисы.

Нахождение базиса и размерности пересечения подпространств. Если A, B – подпро-

странства конечномерного векторного пространства, то

dim(A+B)=dim A+dim Bdim AB.

Таким образом, если dim(A+B), dim A, dim B, то размерность пересечения можно вычислить:

dim AB = dim A + dim B dim(A+B).

Если размерность пересечения – нулевая, то это значит, что пересечение состоит только из

нулевого вектора.

Если dim(AB) > 0, то возникает проблема разыскания базиса пересечения.

Это можно сделать двумя способами.

Можно составить систему уравнений

x11 + x22 + ... + xnn = y11 + y22 +... +ymm

и с помощью ее множества решений найти координаты базисных векторов подпространства AB в

некотором базисе подпространства-слагаемого.

Второй способ основывается на том, что любое подпространство H в пространстве L являет-

ся множеством решений некоторой системы линейных однородных уравнений. Найти эту систему

позволяет тот факт, что ортогональное H

дополнение H совпадает с исходным подпростран-

ством H,

H

= H.

Если dim L = n, то ортогональное дополнение для H = (h1, h2, … , hk) состоит из векторов

x = (x1, x2, …, xn), которые являются решениями системы:

.0,

...

,0,

,0,

2

1

xh

xh

xh

k

128

Отметим, что рассматриваемая ситуация нетривиальная для общих математических систем:

проблема нахождения порождающих пересечения в других алгебрах (например, в группах) может

и не иметь алгоритмического решения.

§ 5. Линейные операторы

Линейные отображения. Эндоморфизм векторного пространства принято называть линей-

ным оператором, а гомоморфизм векторного пространства – линейным отображением.

При гомоморфизме, как обычно, можно сравнивать только однотипные алгебры, и, следова-

тельно, поля скаляров у векторных пространств, находящихся в гомоморфной связи, должны сов-

падать.

Отображение f: L L1 векторного пространства L на векторное пространство L1 является

линейным тогда и только тогда, когда для каждых , из L и каждых скаляров k, s выполняется

тождество

f (k + s ) = k f () + s f ().

Если отображение f : L L1 векторного пространства L на векторное пространство L1 явля-

ется линейным, то f() является нулем в пространстве L1, и f(–) = –f().

Отображение, переводящее каждый вектор из L в нулевой вектор из L1, называют нулевым

отображением. Отображение L на L, переводящее каждый вектор сам в себя называется единич-

ным. И единичное и нулевое отображения – линейны.

Если пространство L является прямой суммой двух подпространств, L = A B, то каждый x

элемент из L можно представить и единственным образом в виде x = + , где A, B.

Отображение, заданное правилом αx , является линейным (его называют проектирова-

нием на подпространство A параллельно подпространству B).

Ядро и образ линейного отображения. Как обычно при отображении, образ пространства

L при линейном отображении f обозначают символом f(L) и понимают под ним множество значе-

ний функции f,

f(L) = {f(x)x L}.

Если отображение f: LL1 – линейное, то образ f(L) является подпространством простран-

ства L1, причем dim f(L) dim L.

Полный прообраз нулевого элемента из L1 называется ядром линейного отображения f,

Ядро f = Ker f = f – 1

() = {x L f (x) = }.

Если отображение f : L L1 – линейное, то ядро f является подпространством пространства

L. В этом случае, как каждое подпространство, Ker f обладает базисом и имеет размерность.

Ранг и дефект линейного отображения. Размерность образа f(L) пространства L при ли-

нейном отображении f приято называть рангом отображения f, а размерность ядра – дефектом

отображения f,

ранг f + дефект f = dim L.

Пространство размерности n содержит изоморфную копию любого пространства, размерно-

сти, не превышающей n. Все пространства одной размерности изоморфны. Поэтому любое линей-

ное отображение пространства L можно представить как отображение L в себя, т. е. в виде линей-

ного оператора L.

Матрица линейного отображения. Линейное отображение однозначно задается образами

базиса. Если 1, 2, ..., m – базис пространства L, а 1, 2, ,...., n – базис пространства L1, и f – ли-

нейное отображение L в L1, то f полностью задается векторами f(1), f(2), ..., f(m). Эти вектора, в

свою очередь, единственным образом выражаются через 1, 2, ,...., n,

129

f(1) = a111 + a122 + ... + a1nn,

f(2) = a211 + a222 + ... + a2nn,

. . . . . . . . .

f(m) = am11 + am22 + ...+ amnn.

Это значит, что при фиксированных базисах пространств L и L1 каждое линейное отображе-

ние f единственным образом задается матрицей

mnnm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

....

...

...

21

22221

11211

.

Эту матрицу называют матрицей линейного отображения.

Если dim L = m, dim L1 = n, то любая (m n)-матрица является матрицей линейного отобра-

жения пространства L в пространство L1.

Матрица линейного оператора. В случае гомоморфизма пространства L в себя, линейное

отображение называется линейным оператором, и соответственно матрица гомоморфизма стано-

вится матрицей линейного оператора. Образ элемента x при действии оператора A принято обо-

значать символом xA.

Если A – матрица линейного оператора A векторного пространства L, то для любого векто-

ра x из L

[xA] = [x]A.

Поэтому изучение произвольного n-мерного векторного пространства можно заменить изу-

чением арифметического пространства. То, что линейный оператор произвольного пространства

представляется умножением элементов арифметического пространства на квадратную матрицу,

означает, что изучение линейных операторов произвольного n-мерного векторного пространства

можно заменить изучением nn-матриц.

Если A, B – две квадратные матрицы, векторы 1, 2, ..., n из Pn – линейно независимы и для

каждого i

i A = i B

(i = 1, 2, ..., n), то A = B.

Любой линейный оператор можно представить как умножение на квадратную матрицу эле-

ментов из арифметического пространства строк.

Множество решений системы линейных уравнений является прообразом элемента при дей-

ствии линейного оператора арифметического n-мерного векторного пространства. Поэтому пол-

ные прообразы элементов при действии линейного отображения являются пересечениями не более

чем n различных гиперплоскостей.

Операции на множестве линейных операторов. На множестве матриц Mn (P) определены

операции: сложение, умножение и умножение на скаляр.

На множестве Hom(L, L) гомоморфизмов векторного пространства L в себя можно опреде-

лить те же самые операции следующими правилами: если A, B принадлежат Hom(L, L), то для

каждого x из L каждого k из P:

x(A +B) = xA + xB,

130

x(A B) = (xA)B,

x(kA) = (kx)A.

Сумма и произведение линейных операторов и произведение линейного оператора на ска-

ляр снова являются линейным оператором. Множество линейных операторов с этими операциями

образует линейную алгебру над P.

Линейные алгебры nn-матриц и линейных операторов n-мерного векторного пространства

с операциями сложения, умножения и умножения на скаляр изоморфны.

Так как матричное кольцо < Mn(P) ; + , > просто, простой является и матричная алгебра

Mn(P): у нее нет ненулевых гомоморфизмов, отличных от изоморфизмов.

Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Мат-

рица перехода от одного базиса к другому является обратимой матрицей. Сопряженные квадрат-

ные матрицы принято называть подобными. Две матрицы одного линейного оператора подобны

тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор (в разных бази-

сах).

Характеристические многочлены подобных матриц совпадают, поэтому, в частности, по-

добные матрицы имеют равные следы и определители.

Инвариантные подмножества линейных пространств. Подмножество H пространства L

называется инвариантным подмножеством линейного оператора A, если каждый элемент из H

отображается линейным оператором снова в H, т. е. для каждого x из H элемент xA принадлежит H.

Пересечение и объединение инвариантных подмножеств является инвариантным подмноже-

ством.

Линейный оператор можно представить диагональной матрицей тогда и только тогда, когда

найдется базис, каждый элемент которого порождает инвариантное подпространство этого опера-

тора.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Вектор, порожда-

ющий одномерное инвариантное подпространство, называют собственным вектором.

Ненулевой вектор x является собственным вектором линейного оператора A, если xA = x

для некоторого скаляра из P. Скаляр называют собственным значением собственного вектора x.

Линейный оператор n-мерного пространства представим диагональной матрицей тогда и

только тогда, когда он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Если собственных векторов у оператора нет вообще, или они есть, но не образуют базис, то

оператор нельзя представить диагональной матрицей.

Сначала проще найти собственные значения оператора, а уж потом искать собственные век-

торы.

Множество собственных значений матрицы и множество корней характеристического мно-

гочлена этой матрицы совпадают.

Зная собственное значение 0, с помощью векторного уравнения [x]A = 0[x] можно найти

координатную строку [x] собственного вектора x.

Диагонализируемость оператора. Если найдется базис пространства, состоящий из соб-

ственных векторов линейного оператора, то в этом базисе оператор можно представить диаго-

нальной матрицей вида:

n

0...00

.....

0...00

000

000

3

2

1

Говорят: оператор можно диагонализировать.

131

Если характеристический многочлен не раскладывается над данным полем в произведение

линейных множителей, то его нельзя представить ни в каком базисе диагональной матрицей.

Существование n корней у характеристического многочлена иногда и достаточно для диа-

гонализируемости оператора.

Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно незави-

симы. Поэтому если оператор n-мерного пространства имеет n различных собственных значений,

то его можно представить диагональной матрицей.

Собственное значение как корень характеристического многочлена, кроме геометриче-

ской, имеет и алгебраическую кратность. Алгебраическая кратность равна наибольшему нату-

ральному числу k такому, что ( x)k делит характеристический многочлен матрицы (т. е. (

x)k+1

уже не делит этот многочлен).

Линейный оператор n-мерного векторного пространства можно представить диагональной

матрицей тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет n корней, алгебра-

ические и геометрические кратности которых совпадают.

Квадратичные формы. Однородный многочлен второй степени от n переменных называют

квадратичной формой. Квадратичная форма задается симметрической матрицей коэффициентов.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагональная. Над полем

действительных чисел матрицу квадратичной форму можно привести к диагональному виду, в ко-

торой все ненулевые элементы равны 1.

Ч и с л о к о э ф ф и ц и е н т о в , р а в н ы х + 1 и – 1 н е з а в и с и т о т в ы б о р а б а з и с а .

Этот факт приято называть законом инерции или по имени автора – теоремой Сильвестра.

Форма называется положительно определенной, если при любых ненулевых значениях ее пе-

ременных она принимает значения строго больше нуля, отрицательно определенной, если при

ненулевых значениях ее переменных значения формы строго меньше нуля. Форма знаконеопред-

ленная, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Если квадратичная форма f(x1, x2, … xn) задается симметрической матрицей A, то f является

положительной определенной тогда и только тогда все ее главные угловые миноры были строго

положительны.

Положительно определенная квадратичная форма становится отрицательно определенной, ес-

ли ее матрицу A умножить на –1. Определитель матрицы четного порядка при умножении его мат-

рицы на –1 не изменятся, а нечетного порядка – изменяет знак. Соответственно появляется крите-

рий отрицательной определенности квадратичной формы. Форма f является отрицательно опреде-

ленной тогда и только тогда знаки ее главных угловых миноров чередуются, начиная с –1.

§ 6. Евклидовы пространства

Скалярное умножение. Пусть L векторное пространство над полем P. Рассмотрим еще од-

ну внешнюю операцию над L, а именно: отображение L L P.

Результат этой операции, примененной к элементам и , обозначают символом (, ), а

операцию называют скалярным умножением, если она обладает свойствами (для каждых , ,

из L и каждого k из P):

(, ) = (, );

(, + ) = (, ) + (, );

(k, ) = (, k) = k(, ).

если , то (, ) 0,

Евклидово векторное пространство. Наибольший интерес среди пространств со скаляр-

ным умножением представляют пространства над полем действительных чисел R, для таких про-

странств четвертое свойство скалярного умножения записывается немного иначе:

4*) если , то (, ) > 0.

132

Действительное векторное пространство со скалярным умножением, удовлетворяющим

условиям 1), 2), 3), 4*), называют евклидовым пространством.

Размерностью евклидова пространства E называется размерность его векторного простран-

ства; обозначают ее тем же символом: dim E (индекс P писать нет необходимости, поле P сейчас

всегда R).

Арифметическое n-мерное векторное пространство Rn

превращается в евклидово простран-

ство, если определить скалярное умножение по правилу:

nn bbbaaa ,...,,,...,,, 2121

опр

a1b1+a2b2+...+anbn.

Пусть L пространство трехмерных (или двумерных) направленных отрезков. Скалярным

произведением (, ) ненулевых векторов и называют произведение их модулей на косинус

угла между ними: (, )опр

cos .

Все свойства скалярного произведения для этой операции выполнены, и пространство трех-

мерных векторов становится евклидовым пространством.

Приведем еще один пример (уже бесконечномерного) евклидова пространства. Рассмотрим

множество M функций от одного действительного переменного, интегрируемых на отрезке [a, b].

Сложение и умножение на скаляр не выводят за пределы M, и поэтому M является действитель-

ным векторным пространством. Опередим скалярное произведение функций f(x) и g(x) следую-

щим правилом:

(f(x), g(x)) опр

b

a

dxxgxf )()( .

Все свойства скалярного произведения выполнены, так что M является евклидовым про-

странством.

Два евклидовых пространства E1 и E2 изоморфны, если существует взаимно однозначное со-

ответствие f: E1 E2, сохраняющее операции (для всех , из E1 и всех k из R):

f( + ) = f() + f() (сохранение сложения);

f(k) = kf() (сохранение умножения на скаляр);

(f(), f()) = (, ) (сохранение скалярного умножения).

Норма вектора. Если E – евклидово (не обязательно конечномерное) пространство, то нор-

мой вектора из E называют число , вычисляемое по формуле: = ),( .

Если норма вектора равна единице, то вектор называют нормированным.

Для каждого ненулевого вектора евклидова пространства найдется нормированный вектор,

коллинеарный с данным вектором.

Если каждый вектор системы векторов нормирован, то систему принято называть нормиро-

ванной.

В каждом конечномерном евклидовом пространстве существует нормированный базис.

Ортогональность и ортонормированность. Два вектора и из произвольного евклидова

пространства E ортогональны, если (, )=0 (иногда ограничивают ситуацию ненулевыми векто-

рами).

Если векторы и ортогональны, то пишут .

Обычно считают, что векторы и ненулевые.

Два подмножества A и B евклидова пространства называют ортогональными, если каждый

элемент из A ортогонален каждому элементу из B,

A B (a A)(b B)[A b].

133

Система векторов 1, 2, ..., m называется ортогональной, если каждая пара различных век-

торов ортогональна: i j i j.

Ортогональная система векторов линейно независима

Система векторов, являющаяся одновременно ортогональной и нормированной, называется

ортонормированной.

Система 1, 2, ..., m ортонормированна, если

.jiесли,0

,jiесли,1, ji

Если евклидово пространство имеет ортонормированный базис, то оно изоморфно арифме-

тическому евклидову пространству

Ортогонализация системы векторов. Две системы векторов называют эквивалентными,

если они порождают одно и то же подпространство. Иначе говоря, системы эквиваленты, если

каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой.

Для любой системы векторов найдется ортогональная система, эквивалентная данной.

Пусть 1, 2, ..., m – произвольная (не обязательно линейно независимая) система векторов.

Для построения ортогональной и эквивалентной данной системе системы векторов нулевые векто-

ры из 1, 2, ..., m можно сразу выбросить, они на эквивалентность не влияют.

Предположим, что это уже сделано, и все i отличны от нулевого вектора.

Начнем перерабатывать данную систему 1, 2, ..., m в систему 1, 2, ..., m, в которой все

ненулевые различные векторы попарно ортогональны.

На первом шаге положим 1=1. Системы 1 и 1 – эквиваленты, и 1 – ортогональна.

Пусть на k шаге мы уже получили систему 1, 2, ..., k-1, эквивалентную системе

1, 2, ..., k-1 (k-1<m), и 1, 2, ..., k-1 обладает нужными свойствами.

Заменим вектор k на вектор

k=k+x11+x22+...+xk-1k-1,

где коэффициенты xi (i=1, 2, ..., k-1) найдем из уравнений:

(k, 1) = 0,

(k, 2) = 0,

. . . . . .

(k, k – 1) = 0.

Эти уравнения равносильны уравнениям:

(k, 1) + x1(1, 1) = 0,

(k, 2) + x2(2, 2) = 0,

. . . . . . . . . . .

(k, k – 1) + xk – 1(k – 1, k – 1) = 0.

В результате k-того шага возникает система 1, 2, ..., k, которая эквивалентна системе

1, 2, ..., k – 1, и в которой все попарные скалярные произведения равны нулю. Такой же будет

система и на последнем шаге. Выбросив из полученной системы нулевые векторы (конечно, это

можно делать и по ходу вычислений) мы получим ортогональную систему, эквивалентную исход-

ной системе 1, 2, ..., m.

Эта процедура получения ортогональной системы равносильной данной, называется орто-

гонализацией.

134

Если система 1, 2, ..., m линейно независима, то в ортогонализированной системе снова

будет m векторов, а если исходная система линейно зависима, то при ортогонализации число век-

торов уменьшится.

Все векторы, которые линейно выражаются через остальные, можно удалить до начала про-

цесса ортогонализации, т.е. вместо системы 1, 2, ..., m рассматривать ее максимальную подси-

стему.

Рассмотрим геометрический смысл ортогонализации.

Пусть система состоит всего двух линейно независимых векторов 1, 2, а 1, 2 – система,

полученная в результате ортогонализации. Тогда 1 = 1, а 2 = 2 + k1., причем коэффициент k

подобран таким образом, чтобы 1 .

Из приведенной на рисунке схемы видно, что модуль вектора 2 равен высоте параллело-

грамма, две стороны которого – это исходные векторы 1, 2. Это значит, что произведение моду-

лей ортогонализированных векторов 1, 2 равно площади параллелограмма, двумя сторонами

которого являются векторы 1, 2.

При ортогонализации используются лишь элементарные преобразования второго типа, не

изменяющего определителя квадратной матрицы, поэтому площадь параллелограмма, сторонами

которого являются векторы (a11, a12) и (a21, a22), равна абсолютной величине определителя, со-

ставленного из координат данных векторов,

V = abs2221

1211

aa

aa.

Если в исходной системе векторов взять три элемента, то при ортогонализации первых двух

векторов появится площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы.

При ортогонализации третьего вектора возникнет высота параллелепипеда, построенного на

трех исходных векторах как на ребрах. Это значит, что произведение модулей векторов ортогона-

лизированной системы из трех векторов равно объему параллелепипеда, тремя ребрами которого

являются данные векторы.

Однако элементарные преобразования второго типа не изменяет определитель, а именно эти

преобразования и дают ортогонализированную систему. Поэтому объем параллелепипеда, реб-

рами которого являются векторы (a11, a12, a13), (a21, a22, a23), (a31, a32, a33) равен абсолютной вели-

чине определителя

135

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональным дополнением M непустого

подмножества M из евклидова пространства E называют множество всех векторов, ортогональ-

ных каждому элементу из M, включая и нулевой вектор:

M

={x E (x, y) = 0 для любого y M }.

Ортогональное дополнение любого непустого подмножества евклидова пространства явля-

ется подпространством.

Если H – подпространство евклидова пространства и порождается (не обязательно линейно

независимыми) векторами:

1 = (a11, a12, ... a1n),

2 = (a21, a22, ... a2n),

. . . . . . . . . . .

m = (am1, am2, ... amn),

то вектор x = (x1, x2, ..., xn) принадлежит множеству H тогда и только тогда, когда все скалярные

произведения (x, i) равны нулю, i = 1, 2, ..., m. Точнее,

H

=

.0),(

...

,0),(

,0),(

),...,,(2

1

mx

x

x

xxx

=

=

.0...

...

,0...

,0...

),...,,(

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xxx .

Таким образом, H

– это множество решений системы однородных линейных уравнений

.0...

..........

,0...

,0...

2221

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Фундаментальный набор решений этой системы является базисом ортогонального дополне-

ния H подпространства H. Число элементов в фундаментальном наборе решений, т.е. размерность

подпространства H, равно n – r, где r – ранг матрицы системы уравнений.

Отсюда следует, что евклидово пространство E можно представить в виде прямой суммы

любого подпространства H и ортогонального дополнения H,

E = H H.

136

С помощью ортогонализации устанавливается, что любое конечномерное евклидово про-

странство обладает ортонормированным базисом.

Существование ортонормированного базиса у каждого евклидова пространства означает,

что конечномерное евклидово пространство изоморфно арифметическому n-мерному евклидову

пространству. Два евклидовых пространства E1 и E2 изоморфны тогда и только тогда, когда

dim E1=dim E2.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Любое двумерное евклидово пространство

изоморфно пространству направленных отрезков на плоскости. Так как cos 1 для любого ,

в этом пространстве для любых a, b выполняется неравенство baba , .

Так как все евклидовы пространства одинаковой размерности изоморфны, а dim пр(a, b)2,

это неравенство будет выполняться и в произвольном евклидовом пространстве. В частности, для

любых действительных чисел xi, yi

(x1y1+x2y2+...+xnyn)2(x1

2+x2

2+...xn

2)(y1

2+y2

2+...+yn

2),

и для любых интегрируемых на отрезке [a, b] функций f(x) и g(x)

.22

2

dxxgdxxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a

Ортогональное дополнение к подпространству. Пусть M – произвольное непустое под-

множество евклидова пространства E. Назовем ортогональным дополнением и обозначим симво-

лом M множество всех векторов, ортогональных каждому элементу из M, включив туда и нуле-

вой вектор: M

={xE(yM)[(x, y)=0]}.

Ортогональное дополнение любого непустого подмножества евклидова пространства является

подпространством.

Как найти базис H, если известен базис H? Какая связь между размерностями пространств

H и H?

Чтобы ответить на эти вопросы, можно воспользоваться изоморфизмом евклидовых про-

странств одинаковой размерности, т. е. решить эти задачи лишь для арифметического n-мерного

евклидова пространства (а ответ будет верен для всех конечномерных евклидовых пространств).

Если H – подпространство произвольного n-мерного евклидова пространства, то

.dimdim HnH

Так как только нулевой вектор ортогонален сам себе, пересечение HH

состоит только из

нуля. Следовательно, сумма HH – прямая, и ее размерность совпадает с размерностью всего

пространства. Это значит, что каждое конечномерное евклидово пространство E является прямой

суммой любого своего подпространства H и его ортогонального дополнения H, . HHE

Если dim E = n, то

.dimdimdim HHnnH

Из равенства размерностей и включения HH

следует .HH

Из этого равен-

ства следует, что каждое линейное многообразие арифметического n-мерного векторного про-

странства Rn

(и, в частности, каждое подпространство) является множеством решений некоторой

системы линейных уравнений.

Если пересечение линейных многообразий не пусто, то оно является линейным многообра-

зием, причем найти это пресечение можно решая систему линейных уравнений.

Строение конечномерных евклидовых пространств. Каждое арифметическое n-мерное

евклидово пространство является прямой суммой попарно ортогональных одномерных евклидо-

вых подпространств. Следовательно, этот свойством обладают и все евклидовы пространства.

137

Каждое n-мерное евклидово пространство E является прямой суммой одномерных попарно

ортогональных евклидовых подпространств,

E=E1E2...En,

причем для всех i dim Ei = 1, и если i j, то Ei Ej.

§ 7. Контрольные задания по теме «Линейная алгебра»

Задача 1. Решите систему уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Представите си-

стему в виде матричного уравнения с вектором-столбцом неизвестных и решите это уравнение с

помощью обратной матрицы.

Номер варианта Система уравнений

1

0

17352

43

321

321

321

ххх

ххх

ххх

2

1772

8543

332

32

321

321

хх

ххх

ххх

3

123

42

732

321

321

321

ххх

ххх

ххх

4

1542

02

53

321

321

21

ххх

ххх

хх

5

1278

7532

9934

321

321

321

ххх

ххх

ххх

6

83

162

2

21

321

321

хх

ххх

ххх

7

52

32

63

321

321

321

ххх

ххх

ххх

8

7223

4432

2

321

321

321

ххх

ххх

ххх

9

473

653

82

321

321

321

ххх

ххх

ххх

138

Номер варианта Система уравнений

10

232

232

023

321

321

321

ххх

ххх

ххх

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Решите систему уравнений

,723

,12

,6

321

321

321

xхх

ххх

ххх

методом Гаусса и методом Крамера. Представите систему в виде матричного уравнения с векто-

ром-столбцом неизвестных и решите это уравнение с помощью обратной матрицы.

Р е ш е н и е . Для решения системы методом Гаусса запишем коэффициенты и свободные

члены системы в виде матрицы

и приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Вертикальная черта внутри матрицы отделяет сво-

бодные члены от коэффициентов. При решении системы методом Гаусса, если возникнет необхо-

димость, можно временно перенумеровать неизвестные, т. е. переставить местами столбцы, но за

черту заходить нельзя.

На первом шаге выберем разрешающий элемент. Пусть это будет первый элемент первой

строки. Обведем его рамочкой.

7213

1112

6111

.

Разрешающую строку оставим без изменения, а остальные элементы разрешающего столбца

(т. е. все, кроме того, что в рамке) заменим нулями:

343332

242322

0

0

6111

ddd

ddd .

Буквы с индексами в матрице заменяют элементы, которые надо пересчитать. Вычислим

эти элементы по правилу прямоугольника:

d22 = 1 1 – 1 2 = –1;

d23 = (–1) 1 – 1 2 = –3;

d24 = 1 1 – 6 2 = –11;

d32 = (–1) 1 – 1 3 = – 4;

d33 = 2 1 – 1 3 = –1;

d34 = 7 1 – 6 3 = –11;

139

После этих вычислений матрица принимает вид:

11140

11310

6111

Первая строка и первый столбец у нас пока готовы. Работаем с оставшимися строками и

столбцами. Для красоты (и удобства дальнейших вычислений) умножим вторую и третью строку

на –1. Затем выберем новый разрешающий элемент, в матрице он обведен рамочкой:

11140

11310

6111

Первую строку и первый столбец оставляем без изменения. Разрешающую строку тоже не

меняем. Элементы разрешающего столбца, кроме готового сверху и того, что в рамке, заменяем

нулями (такой элемент там всего один). Оставшиеся два элемента пересчитаем по правилу прямо-

угольника:

114111431100

11310

6111

.

Проделаем вычисления, в результате появляется матрица

331100

11310

6111

.

Получившаяся ступенчатая матрица является треугольной, а это значит, что система имеет

единственное решение. Треугольник из нулей под диагональю получен, так называемый «прямой

ход» в решении системы завершен. «Обратный ход» состоит в изготовлении нулей над диагона-

лью. Прежде чем это сделать, умножим третью строку на 11

1 , и матрица примет вид (разрешаю-

щий элемент уже обозначен рамочкой):

.

3100

11310

6111

Разрешающую строку оставим без изменения, все остальные элементы разрешающего

столбца заменим нулями, а остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника. Полу-

чаем:

.

3100

33111003110

3116001110111

140

Проделаем вычисления и сразу поместим в рамку новый разрешающий элемент:

.

3100

2010

3011

Последний шаг состоит в получении нуля над разрешающим элементом. Можно это сделать

точно по алгоритму, но проще просто вычесть из первой строки вторую и мы получим желаемое:

.

3100

2010

1001

Этой матрице соответствует система

,3

,2

,1

3

2

1

x

x

х

равносильная исходной. Полученная система является общим решением данной системы. Множе-

ство решений системы имеет вид {(1, 2, 3)}.

Для проверки достаточно подставить найденные значения неизвестных в уравнения систе-

мы, и убедиться в том, что получатся верные равенства. В качестве проверки решим эту систему

другим способом.

Теперь решим ту же систему методом Крамера. Сначала вычислим определитель матрицы

системы. Для этого разложим по элементам первого столбца:

213

112

111

=

21

111

21

112

11

113

= [1 2 – (–1) (–1)] – 2[1 2 – 1 (–1)] + 3 [ 1 (–1) – 1 1] =

= 1 – 2 3 + 3 (–2) = –11.

Определитель отличен от нуля; следовательно, система крамеровская. Ее единственное ре-

шение можно найти по формулам Крамера:

,11

x ,2

2

x .3

3

x

Определители i получаются из определителя заменой i-го столбца на столбец свободных

членов, т. е.

;

217

111

116

1

;

273

112

161

2 .

713

112

611

3

141

Вычислим вспомогательные определители, раскладывая каждый из них по элементам перво-

го столбца:

217

111

116

1

21

116

21

111

11

117

= 6 [1 2 – (–1) (–1)] – [1 2 – 1 (–1)] + 7 [ 1 (–1) – 1 1] =

= 6 – 3 + 7 (–2) = –11;

273

112

161

2

27

111

27

162

11

163

= [1 2 – (–1) 7] – 2 [6 2 – 1 7] + 3 [ 6 (–1) – 1 1] =1

= 9 – 2 5 + 3 (–7) = –22;

713

112

611

3

71

111

71

612

11

613

= [1 7 – 1 (–1)] – 2 [1 7 – 6 (–1)] + 3 [ 1 1 – 1 6] =

= 8 – 2 13 + 3 (–5) = –33.

С помощью формул Крамера получаем решение исходной системы:

,111

1111

x

,211

2222

x

.311

3333

x

Можно сказать, что проверка удалась: другой способ дал тот же самый ответ. Однако в этой

задаче тройной запас прочности. Найдем решение системы третьим способом, а именно: запишем

систему линейных уравнений в виде одного матричного уравнения и решим это уравнение.

Данную систему представляет уравнение

AX = B,

где

,

213

112

111

A

3

2

1

x

x

x

X ,

7

1

6

B .

Определитель матрицы A отличен от нуля, а это значит, матрица A – обратима, она имеет

обратную матрицу A–1

. В этом случае уравнение AX = B равносильно уравнению

A–1 AX = A

–1B,

а это уравнение, в свою очередь, равносильно X= A-1 B.

142

Найдем обратную матрицу по формуле

.1

332313

322212

312111

1

AAA

AAA

AAA

AA

Алгебраические дополнения Aij удобней находить с помощью транспонированной матрицы

.

211

111

321

TA

Вычисляем Aij:

;1112121

1111

A

;3112121

1112

A ;21111

11

1113

A

;7132221

3221

A ;11321

21

3122 A

;3121111

2123

A ;51312

11

3231

A

;4131111

3132

A

.1121111

2133 A

Подставляем найденные значения в формулу обратной матрицы

145

317

231

11

1A ,

и находим матрицу X:

3

2

1

x

x

x

X = A-1 B

145

317

231

11

1

7

1

6

=

711465

731167

721361

11

1

33

22

11

11

1

3

2

1

.

Матричное уравнение, а весте с ним и данная система линейных уравнений решены.

Ответ. Система линейных уравнений имеет единственное решение (1, 2, 3).

143

З а д а ч а 2 . Вычислите размерность базиса пространства решений системы уравнений с

помощью ранга матрицы системы. Найдите базис пространства решений системы уравнений.

Номер варианта Система уравнений

1

05341211

027322

0283

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

2

054194

02310

022

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

3

074616

0285

032

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

4

0233

01022

0123

421

54321

54321

ххх

ххххх

ххххх

5

02223

07532

0572

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

6

0441233

02285

010

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

7

0

022214224

011712

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

8

033096

01032

01032

54321

5421

54321

ххххх

ххххх

ххххх

х

9

06112

0472

0232

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

10

0655

03422

0323

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Вычислите размерность базиса пространства решений системы уравнений с по-

мощью ранга матрицы системы. Найдите базис пространства решений системы уравнений

.023

,0282

,0102

5421

54321

54321

xxxx

xxxxx

xxxxx

144

Р е ш е н и е . Обозначим буквой H пространство решений данной системы уравнений. Для

того чтобы найти размерность H , вычислим ранг матрицы системы.

Запишем матрицу коэффициентов системы

A =

12013

28112

110121

и найдем ее ранг с помощью теоремы о ранге матрицы.

В этой матрице есть ненулевой минор первого порядка (он обведен рамочкой), поэтому rang

(A) 1.

Выполним окаймление выбранного минора: добавим к нему вторую строку и второй стол-

бец.

В матрице окаймляющий минор обведен рамочкой. Этот минор M второго порядка

541221112

21

отличен от нуля и, следовательно, rang (A) 2.

Теперь вычислим миноры, окаймляющие минор M. Таких миноров будет 3, и вычислять их

удобнее с помощью разложения определителя по элементам третьей строки:

;0311312

210

12

111

11

123

013

112

121

12

212

82

1011

81

1023

213

812

1021

;05228163

12

211

22

111

21

123

113

212

121

;0514133

Все миноры, окаймляющие минор M, равны нулю, а это значит, что вычисления ранга мат-

рицы A окончены: rang (A) = 2.

Вычислим размерность пространства H по формуле:

dim H = n – rang A,

где n – число неизвестных в системе. В нашем случае

dim H = 5 – 2 = 3.

Размерность пространства решений определена, она равна 3.

145

Найдем базис этого пространства. Для этого сначала разыщем общее решение нашей системы.

Обнаруженный базисный минор матрицы системы позволяет упростить задачу. Третье урав-

нение, не проходящее через базисный минор, из системы удалим, а неизвестные x3, x4, x5 (!не про-

ходящие» через базисный минор) объявим свободными и перенесем в правые части уравнений,

поменяв знаки у их коэффициентов. В результате получим систему

,282

,102

54321

54321

xxxxx

xxxxx

(*)

равносильную исходной.

В системе (*) два уравнения с двумя несвободными неизвестными. Определитель системы

отличен от нуля. Иначе говоря, эта система крамеровская, и решить ее можно методом Крамера.

Определитель системы нам уже известен, = –5. Вычислим вспомогательные определители:

128

210

543

543

1xxx

xxx

= (–1) (x3 – 10x4 + x5) – 2 (–x3 + 8x4 – 2x5) = –x3 + 10x4 – x5 + 2x3 – 16x4 + 4x5 = x3 – 6x4 + 3x5;

543

543

2282

101

xxx

xxx

= 1 (–x3 + 8x4 – 2x5) – 2 (x3 – 10x4 + x5) = x3 + 8x4 – 2x5 – 2x3 + 20x4 – 2 x5 = –3x3 + 28x4 – 4x5.

Теперь по формулам Крамера

,11

x ,2

2

x

получаем общее решение системы:

.5

4283

,5

36

5432

5431

xxxx

xxxx

Множество H решений системы (*) и равносильной ей исходной системы имеет вид:

R543543

543543 ,,,,,5

4283,

5

36xxxxxx

xxxxxxH .

Теперь для окончательного решения задачи нам нужно найти всего лишь три линейно неза-

висимых решения нашей системы.

Чтобы не утомлять себя лишними вычислениями, проще всего придать значения свободных

неизвестных, оперируя только нулями и единицами (причем единиц ставить как можно меньше).

С помощью общего решения найдем соответствующие значения несвободных неизвестных. Ре-

зультаты оформим в виде следующей таблицы.

146

Несвободные неизвестные Свободные неизвестные x1 x2 x3 x4 x5

5

1

5

3

1 0 0

5

6

5

28

0 1 0

5

3

5

4

0 0 1

В трех последних строках этой таблицы и находится то, что мы искали, – векторы базиса

пространства H.

Каждый вектор можно умножить на ненулевой скаляр, они все равно останутся базисными.

Умножим для красоты каждый вектор на число 5 и запишем окончательный ответ.

Ответ. Размерность пространства решений равна 3. Векторы:

(–1, 3, 5, 0, 0),

(6, –28, 0, 5, 0),

(–3, 4, 0, 0, 5)

можно выбрать в качестве базиса.

Замечание. Задача решена полностью; для проверки достаточно лишь убедиться, что каждый

из трех базисных векторов действительно является решением исходной системы.

Проверим, например, что первый вектор найден безошибочно. После подстановки его коор-

динат в уравнения системы вместо неизвестных получаем три верных равенства:

1 (–1) + 2 3 – 1 5 + 10 0 – 1 0 = 0,

2 (–1) – 1 3 + 1 5 – 8 0 + 2 0 = 0,

3(–1) + 1 3 – 0 5 + 2 0 + 1 0 = 0.

Точно так же проверяется, что и остальные два решения найдены верно.

Задача 3. Найдите общее решение системы линейных уравнений в зависимости от значения

параметра k. Выясните, при каких значениях k система совместна, а при каких – определенна.

Номер варианта Система уравнений

1

23973

7452

52171232

14254

4321

4321

4321

4321

kxxxx

,kxkxxx

,kxxxx

,kkxxxx

2

10653

23141327

42122

228115

4321

421

4321

4321

kxxxx

,kxxx

,kkxxxx

,kxkxxx

3

722

93202923

710234

4333

4321

4321

4321

4321

kkxxxx

,kxxxx

,kxxxx

,kxkxxx

147

Номер варианта Система уравнений

4

728

3181657

41591565

23174

4321

4321

4321

4321

kkxxxx

,kxkxxx

,kxxxx

,kxxxx

5

17112454

567133

7233

8414332

4321

4321

4321

4321

kxkxxx

,kxxxx

k,kxxxx

,kxxxx

6

4322

912124

411323

115435

4321

4321

4321

4321

kkxxxx

,kxxxx

,kxkxxx

,kxxxx

7

1781474

1335

251019225

653023

4321

4321

4321

4321

kxxxx

,kxkxxx

,kxxxx

,kkxxxx

8

7519115

13717937

12222

8323

4321

4321

4321

4321

kxxxx

,k-xxxx

,kxkxxx

,kkxxxx

9

2183743

6310

1815291725

3122824

4321

4321

4321

4321

kxkxxx

,kxxxx

,kxxxx

,kkxxxx

10

56832

1212194

3315177

4452

4321

4321

4321

4321

kxxxx

,k-kxxxx

,kxxxx

,kxkxxx

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите общее решение системы линейных уравнений

,29723

15

52632

325

4321

4321

4321

4321

kxxxx

,kxkxxx

,kxxxx

k,xxxx

в зависимости от значения параметра k. Выясните, при каких значениях k система совместна, а при

каких – определенна.

148

Р е ш е н и е . Матрица системы (с отделенным вертикальной чертой столбцом свободных

членов уравнений) имеет вид:

Применим к этой матрице элементарные преобразования так, чтобы под диагональю возник

треугольник из нулей (чтобы избежать слишком больших знаменателей у дробей иногда целесо-

образно поменять местами строки промежуточных матриц). В результате получим ступенчатую

матрицу:

Теперь рассмотрим два случая.

С л у ч а й 1 . 56k + 197 0.

Тогда исходная система имеет единственное решение при любом .8

13k Чтобы найти это

решение преобразуем ступенчатую матрицу далее методом Гаусса-Жордана и получим матрицу:

Итак, общее решение системы:

При 8

13k эти формулы остаются верными, и так же дают решение системы.

149

С л у ч а й 2 . Если 56k + 197 = 0, то ранг основной матрицы системы равен трем:

Если ,56

197k то

0784

818331182112 2 kk

и

.056

3009813 k

Следовательно, в этом случае ранг расширенной матрицы системы больше трех:

В этом случае по теореме Кронекера-Капелли система решения не имеет.

О т в е т . При любом 56

197k система совместна и определенна; ее общее решение имеет

вид:

Если ,k56

197 то система несовместна.

З а д а ч а 3 . Даны две системы векторов a1, a2, a3 и b1, b2, b3. Определите, какая из этих си-

стем является базисом пространства арифметического пространства R3, и разложите вектор с по

векторам этого базиса.

Номер варианта Векторы a1, a2, a3 Векторы b1, b2, b3. Вектор c

1

a1 = (1, 1, 1),

a2 = (2, 1, –1),

a3 = (3, 2, 0).

b1 = (4, 1, 1),

b2 = (1, 2, 0),

b3 = (5, 3, –1).

(1, 2, 3)

150

Номер варианта Векторы a1, a2, a3 Векторы b1, b2, b3. Вектор c

2

a1 = (5, 3, 1),

a2 = (2, 1, –1),

a3 = (3, 1, 0).

b1 = (3, 1, –1),

b2 = (1, 2, 0),

b3 = (3, 3, –1).

(2, 1, 3)

3

a1 = (–1, –1, –1),

a2 = (2, 1, 0),

a3 = (1, 0, –1).

b1 = (0, 2, –2),

b2 = (6, –1, –1),

b3 = (5, 3, 1).

(3, 2, 1)

4

a1 = (1, 0, –1, –2),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (3, 2, –1, –1).

b1 = (1, –5, 3),

b2 = (6, –1, –1),

b3 = (5, 4, 1, –4).

(1, –2, 3)

5

a1 = (2, 1, 0),

a2 = (4, 3, 2),

a3 = (2, 2, 2).

b1 = (5, 3, 1),

b2 = (–1, 1 0),

b3 = (4, 1, –1).

(–1, 2, 3)

6

a1 = (1, 1, 1),

a2 = (1, 2, –1),

a3 = (2, 3, 0).

b1 = (1, 4, –1),

b2 = (2, 1, 0),

b3 = (3, 1, –1).

(1, 2, –3)

7

a1 = (4, 1, –1),

a2 = (1, 2, 0,),

a3 = (5, 3, –1).

b1 = (1, 1, 1),

b2 = (2, –1, 1),

b3 = (3, 2, 1).

(–1, 2, –3)

8

a1 = (1, 1, 1),

a2 = (2, 0, –1),

a3 = (3, 1, 0).

b1 = (4, 1, –1),

b2 = (1, 2, 0),

b3 = (5, 1, –1).

(1, –2, –3)

9

a1 = (2, 2, 2),

a2 = (–1, 0, 2),

a3 = (1, 2, 3).

b1 = (–1, 1, 4),

b2 = (0, 2, 1),

b3 = (–1, 3, 1).

(1, –1, 3)

10

a1 = (3, 3, 3),

a2 = (2, 1, –1),

a3 = (1, 2, 4).

b1 = (4, 1, –1),

b2 = (6, 5, –1,),

b3 = (5, 3, –1).

(1, –3, 3)

151

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Даны две системы векторов:

a1 = (1, 3, 2); a2 = (1, 1, –1); a3 = (2, 4, 1);

b1 = (3, 1, –1); b2 = (2, 1, –1,); b3 = (1, 3, –1).

Определите, какая из этих систем является базисом пространства арифметического про-

странства R3 и разложите вектор с = (3, 2, 1) по векторам этого базиса.

Р е ш е н и е . Система из трех векторов является базисом трехмерного пространства, если эта

система линейно независима, т. е. ее ранг равен трем. Для вычисления ранга достаточно записать

векторы системы в виде строк (или столбцов) матрицы и элементарными преобразованиями при-

вести эту матрицу к ступенчатому виду. Число ненулевых строк в ступенчатой матрице равно ран-

гу исходной системы векторов.

Таким образом, если, и только если

,3

142

111

231

rang

то система векторов a1, a2, a3 образует базис пространства R3.

Выберем первый элемент в качестве разрешающего:

142

111

231

и проделаем соответствующие преобразования. Получаем:

142

111

231

~

140

110

231

~ .

320

320

231

Появление двух одинаковых строк говорит о том, что при дальнейших преобразованиях

матрицы непременно появится нулевая строка. Таким образом,

,3

142

111

231

rang

система векторов a1, a2, a3 – линейно зависима, и, следовательно, не является базисом.

Если бы вопрос, состоял только в одном: «базис или не базис», то при исследовании системы

b1, b2, b3 можно было поступить точно также: расположить векторы системы в виде строк матри-

цы и вычислить ее ранг.

Однако в задании есть дополнительный вопрос: «разложить вектор c по векторам базиса».

Правда, может быть, в этой задаче ни одна из данных систем базисом всего пространства не явля-

ется, и, кроме того, вектор c не принадлежит ни одному из подпространств, порожденными этими

системами, поэтому разложить его по векторам любой из этих систем невозможно.

Но так это или нет, мы можем выяснить, сразу начав разложение вектора c по векторам си-

стемы b1, b2, b3. Если такое разложение существует, и оно единственное, то мы одновременно с

разложением мы будем знать, что b1, b2, b3 – базис трехмерного пространства.

152

Итак, разложим вектор c по векторам системы b1, b2, b3,

c = x1 b1 + x2 b2 + x3 b3,

и запишем это векторное уравнение в виде системы линейных уравнений:

.1

23

323

321

321

321

xxx

,xxx

,xxx

Решим эту систему методом Гаусса:

1111

2311

3123

~

6210

3810

3123

~

9600

3810

3123

~

3200

3810

3123

~

3200

18020

3046

~

3200

9010

3046

~

3200

9010

39006

~ .

2

3100

9010

6

39001

Система решена. Она имеет единственное решение и, ,2

3,9,

2

13

следовательно система

b1, b2, b3 образует базис трехмерного пространства.

О т в е т . Система векторов a1 = (1, 3, 2), a2 = (1, 1, –1), a3 = (2, 4, 1) базис арифметического

пространства R3 не образует.

Система b1 = (3, 1, –1), b2 = (2, 1, –1,), b3 = (1, 3, –1) является базисом этого пространства.

Разложение вектора с = (3, 2, 1) в этом базисе имеет вид:

.2

39

2

13321 bbbc

З а м е ч а н и е . Определить равен ли ранг порядку квадратной матрицы, можно было просто

вычислив определитель этой матрицы. После того, как задача решена, мы знаем точно, что опре-

делитель первой матрицы равен нулю (и поэтому ее ранг меньше трех), а определитель второй

матрицы отличен от нуля (и поэтому ее ранг равен трем). Однако с точки зрения количества

арифметических операций при решении задачи примененный способ решения без определителей

значительно экономнее.

Задача 5. Найдите определитель матрицы A с помощью разложения его по элементам пер-

вой строки, вычислите матрицу A–1

и решите матричное уравнение.

153

Номер варианта Матрица A Матрица B Уравнение

1

201

335

212

496

375

254

AX = B

2

212

044

010

941

1362

331

XA = B

3

496

375

244

776

874

431

AX = B

4

141

162

311

122

191

611

XA = B

5

143

654

321

521

321

421

AX = B

6

123

675

321

213

132

321

XA = B

7

187

654

321

332

120

121

AX = B

8

311

312

013

312

123

321

XA = B

9

312

321

031

987

654

321

AX = B

10

314

503

013

141

260

035

XA = B

154

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите определитель матрицы A с помощью разложения его по элементам пер-

вой строки, вычислите матрицу A–1

и решите матричное уравнение AX = B, если

A =

163

252

341

, B =

987

654

321

.

Р е ш е н и е . Вычислим определитель матрицы A, разложив его по элементам первой стро-

ки:

163

252

341

= 16

251

13

224

63

523 =

= [5 (1) – 2 6] – 4 [2 (–1) – 2 3] + 3 [2 6 5 3] =

–5 – 12 – 4 (–2 – 6) + 3 (12 – 15) = –17 + 32 – 9 = 6.

Определитель отличен от нуля, поэтому матрица A имеет обратную A–1

.

Найдем матрицу A–1

по формуле:

332313

322212

312111

1 1

AAA

AAA

AAA

AA =

52

41

63

41

63

52

22

31

13

31

13

22

25

34

16

34

16

25

6

1

363

4108

72217

6

1.

Теперь решим матричного уравнения AX = B.

Так как матрица A – обратима, уравнение AX = B равносильно уравнению A–1 AX = A

–1B, а

это уравнение, в свою очередь, равносильно

X = A–1 B.

Это значит, что

X= A-1 B

363

4108

72217

6

1

987

654

321

=

155

6

936633

6

835623

6

734613

6

94610312

6

84510212

6

74410112

6

97622317

6

87522217

6

77422117

.

000

03

1

3

2

33

10

3

11

Ответ . Решением данного уравнения является матрица

.

000

03

1

3

2

33

10

3

11

X

З а м е ч а н и е . Задача решена, а для проверки достаточно выполнить умножение

,

000

03

1

3

2

33

10

3

11

163

252

341

и убедиться, что в результате получится матрица

987

654

321

.

З а д а ч а 6 . Найдите базисы и размерности подпространств A, B, A + B и A B.

156

Номер варианта Векторы, порождающие

подпространство A Векторы, порождающие

подпространство B

1

a1 = (1, 1, 1, 1),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (3, 2, 1, 0).

b1 = (4, 1, 1, –1),

b2 = (1, 2, 0, 0),

b3 = (5, 3, 1, –1).

2

a1 = (5, 3, 1, –1),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (3, 2, 1, 0).

b1 = (3, –1, 1, –1),

b2 = (1, 2, 0, 0),

b3 = (5, 3, 1, –1).

3

a1 = (–1, –1, –1, –1),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (1, 0, –1, 0).

b1 = (7, 0, 2, –2),

b2 = (6, 5, –1, –1),

b3 = (5, 3, 1, –1).

4

a1 = (1, 0, –1, –2),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (3, 2, –1, –1).

b1 = (1, –5, 3, 3),

b2 = (6, 5, –1, –1),

b3 = (5, 3, 1, –1).

5

a1 = (2, 1, 0, –1),

a2 = (4, 3, 2, 1),

a3 = (3, 2, 1, 0).

b1 = (5, 3, 1, –1),

b2 = (–1, –2, 0, 0),

b3 = (4, 1, 1, –1).

6

a1 = (1, 1, 1, 1),

a2 = (1, 2, 0, –1),

a3 = (2, 3, 1, 0).

b1 = (1, 4, 1, –1),

b2 = (2, 1, 0, 0),

b3 = (3, 5, 1, –1).

7

a1 = (4, 1, 1, –1),

a2 = (1, 2, 0, 0,),

a3 = (5, 3, 1, –1).

b1 = (1, 1, 1, 1),

b2 = (2, 1, –1, 1),

b3 = (3, 2, 0, 1).

8

a1 = (1, 1, 1, 1),

a2 = (2, 0, 0, –1),

a3 = (3, 1, 2, 0).

b1 = (4, 1, 1, –1),

b2 = (1, 0, 2, 0),

b3 = (5, 1, 3, –1).

9

a1 = (2, 2, 2, 2),

a2 = (–1, 1, 0, 2),

a3 = (0, 2, 1, 3).

b1 = (–1, 1, 1, 4),

b2 = (0, 2, 0, 1),

b3 = (–1, 3, 1, 5).

10

a1 = (3, 3, 3, 3),

a2 = (2, 1, 0, –1),

a3 = (0, –1, –2, –3).

b1 = (4, 1, 1, –1),

b2 = (6, 5, 1, –1,),

b3 = (5, 3, 1, –1).

157

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите базисы и размерности подпространств A = пр(a1, a2, a3), B = пр(b1, b2, b3),

A + B и A B, если:

a2 = (1, –2, –1, 0), a3 = (–1, 5, 3, 1), a1 = (–1, 11, 7, 3);

b1 = (1, –4, –1, –1), b2 = (–1, 8, 9, 1), b3 = (–2, 13, 12, 2).

Р е ш е н и е . Найдем размерность и базис пространства A. Для этого матрицу

37111

1351

0121

элементарными преобразованиями приведем к ступенчатому виду:

37111

1351

0121

~

3690

1230

0121

~ .

0000

1230

0121

Таким образом, dim A = 2, а векторы

1 = (1, –2, –1, 0),

2 = (0, 3, 2, 1)

можно выбрать в качестве базисных.

Теперь найдем размерность и базис пространства В. Матрицу

212132

1981

1141

преобразуем к ступенчатому виду:

212132

1981

1141

~

01050

0840

1141

~

~

0000

0840

1141

~ .

0000

0210

1141

Это значит, что dim B = 2, а векторы

1 = (1, –4, –1, –1),

2 = (0, 1, 2, 0)

можно выбрать в качестве базисных.

158

Чтобы найти базис пространства A + B приведем к ступенчатому виду матрицу

0210

1141

1230

0121

,

являющуюся «объединением» двух ступенчатых матриц, полученных ранее.

Выполняем элементарные преобразования:

0210

1141

1230

0121

~

0210

1020

1230

0121

~

1020

1020

1230

0121

~

0000

1020

1230

0121

.

В полученной ступенчатой матрицы три ненулевых строчки. Это значит, что dim (A + B) = 3,

а векторы

1 = (1, –2, –1, 0),

2 = (0, 3, 2, 1),

3 = (0, –2, 0, –1)

можно выбрать в качестве базиса суммы подпространств.

Прежде чем искать базис пересечения, найдем его размерность:

dim A B = dim A + dim B dim(A + B) = 2 + 2 – 3 = 1.

Если бы эта размерность оказалась равной нулю, то вычисления на этом бы и закончились –

у нулевого подпространства нет базиса.

В нашем случае пересечение имеет размерность 1, и, следовательно, базисом пересечения

будет любой ненулевой вектор , одновременно принадлежащий и пространству A, и простран-

ству B. Это значит, что

= x11 + x22 = –y21 – y22.

Для нахождения вектора достаточно найти хотя бы один ненулевой набор значений x1, x2

из решений системы уравнений

x11 + x22 + y21 + y22 = .

Запишем эту систему в развернутом виде:

,0

,022

,0432

,0

12

2121

2121

11

yx

yyxx

yyxx

yx

и решим ее методом Гаусса-Жордана. Для этого преобразуем матрицу этой системы:

159

0110

2121

1432

0101

~

0110

2020

1230

0101

~

0110

2200

1100

0101

~

~

1100

2200

0110

0101

~ ~

0000

1100

0110

0101

.

0000

1100

1010

1001

Исходная система равносильна системе:

.

,

,

21

22

21

yy

yx

yx

Пусть y2 = 1, тогда (1, –1, –1, 1) – ненулевое решение системы, а вектор

= x11 + x22 = (1, –2, –1, 0) – (0, 3, 2, 1) = (1, –5, –3, 1) –

искомый.

О т в е т . Векторы

1 = (1, –2, –1, 0),

2 = (0, 3, 2, 1)

образуют базис пространства A; векторы

1 =(1, –4, –1, –1),

2 = (0, 1, 2, 0)

являются базисом пространства B, векторы

1 = (1, –2, –1, 0),

2 = (0, 3, 2, 1),

3 = (0, –2, 0, –1)

образуют базис A + B.

Вектор (1, –5, –3, 1) – базисный для A B.

Пространства имеют размерности:

dim A = 2;

dim B = 2;

dim (A + B) = 3;

dim A B = 1.

160

З а м е ч а н и е . Найденное решение означает, что, несмотря на то, что речь идет о подпро-

странствах четырехмерного пространства, подпространства A и B – это просто две плоскости в

обычном трехмерном пространстве A + B, пересекающиеся по прямой с направляющим векто-

ром .

Общий для плоскостей вектор можно включить в базисы пространств A и B. Любая линей-

но независимая система из двух векторов, выбранных из этих пространств, образует их базисы.

Поэтому в качестве базиса A можно взять, например, векторы 1, , а базисом B выбрать векторы

1, .

З а д а ч а 7 . В арифметическом пространстве R4 в базисе e1, e2, e3, e4 линейный оператор

A задан матрицей A. Найдите базисы образа, ядра, ранг и дефект оператора A.

Номер варианта Матрица A

1

8624

1213

8532

5321

2

8624

1213

8532

3121

3

8624

1213

8532

3211

4

1011

1213

8532

7523

5

1011

1213

8532

1011

6

1011

1213

8532

4132

7

1011

1213

8532

4341

161

Номер варианта Матрица A

8

1011

1213

5321

4341

9

1011

1011

8532

4341

10

1011

1213

7431

5143

Образец решения задачи.

З а д а ч а . В арифметическом пространстве R4 в базисе e1, e2, e3, e4 линейный оператор A за-

дан матрицей A. Найдите базисы образа, ядра, ранг и дефект оператора A.

1011

3211

8532

14954

Р е ш е н и е . Образ оператора порождается образами базиса e1A , e2 A , e3 A, e4 A. Подейству-

ем, например, на первый вектор e1 = (1, 0, 0, 0):

.14954

1011

3211

8532

14954

0001

Аналогичная картина возникнет при действии оператора на остальные базисные векторы.

Это значит, что образ оператора A порождается векторами-строками матрицы A. Ранг оператора A

равен рангу этой матрицы. Вычислим rang A, приведя матрицу к ступенчатому виду. Выделим

разрешающий элемент и проделаем первые преобразования:

1011

3211

8532

14954

~

18990

2110

4220

14954

.

Больше преобразований и не потребуется; три вектора. изображенные второй, третьей и чет-

вертой строкой матрицы, коллинеарны, а это значит, что первые две строки являются максималь-

ной подсистемой строк. Итак, ранг оператор равен двум, а векторы

1 = (4, 5, 9, 14),

2 = (0, 1, 1, 2)

можно выбрать в качестве базиса подпространства A (R4).

162

Ядро оператора A совпадает с множеством решений системы линейных уравнений

.0000

1011

3211

8532

14954

4321

xxxx

Выполним матричное и умножение, и запишем систему уравнений в явном виде:

.03814

,0259

,035

,024

4321

321

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

(s)

Ранг матрицы системы (s) нам уже известен – он равен двум. Это значит, что любой минор

второго порядка в матрице системы является базисным. Уравнения, не проходящие через базис-

ный минор, из системы можно удалить – это не изменит ее множество решений. Неизвестные, не

затронутые базисным минором, можно перенести с противоположными знаками в правые части

уравнений.

Таким образом, система (s) равносильна системе

.35

,24

2143

2143

xxxx

xxxx

Сначала сложив эти уравнения, а затем, вычтя из второго уравнения первое, получим общее

решение системы:

.2

,2

59

214

213

xxx

xxx

С помощью общего решения найдем соответствующие значения несвободных неизвестных.

Результаты оформим в виде следующей таблицы. Чтобы избежать дробей в представлении векто-

ров, вместо единичных значений свободных переменных возьмем число 2.

Свободные неизвестные Несвободные неизвестные x1 x2 x3 x4

2 0 –9 1

0 2 –5 1

Размерность ядра равна двум; и, например, векторы

1 = (2, 0, –9, 1),

2 = (0, 2, –5, 1),

образуют базис ядра.

163

О т в е т . Ранг оператора A равен 2; дефект A равен 2. В качестве базиса образа можно вы-

брать векторы

1 = (4, 5, 9, 14),

2 = (0, 1, 1, 2).

Векторы

1 = (2, 0, –9, 1),

2 = (0, 2, –5, 1)

образуют базис ядра.

З а д а ч а 8 . Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора,

заданного в некотором базисе матрицей A; выясните, можно ли этот оператор в некотором базисе

представить диагональной матрицей.

Номер варианта Матрица A

1

2

3

4

5

6

7

164

Номер варианта Матрица A

8

9

10

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразова-

ния, заданного в некотором базисе матрицей

110

201

234

A ;

выясните, можно ли этот оператор в некотором базисе представить диагональной матрицей.

Р е ш е н и е . Вычислим сначала собственные значения линейного преобразования. Для это-

го построим характеристический многочлен матрицы:

A – E= .

110

201

234

и найдем его корни. Раскроем определитель:

11202314

110

201

234

.35513121402 23

Характеристический многочлен оператора найден. Его корни являются искомыми собствен-

ными значениями линейного преобразования. Попробуем сначала найти целые корни этого мно-

гочлена. Коэффициенты многочлена – целые числа, а целые корни многочлена с целыми коэффи-

циентами являются делителями свободного члена. Таким образом, если этот многочлен имеет це-

лые корни, то они принадлежат множеству {1, -1, 3, -3}.

Проверяем:

,0315151 23

,031515123

.0335353 23

165

Число 3 является одним из корней многочлена. Одно из собственных значений найдено:

1 = 3. Разделим многочлен 355 23 на – 3 с помощью схемы Горнера.

1 -5 5 3

3 1 31 – 5 = –2 3 (–2) + 5= –1 3(–1) +3 = 0

Итак,

.123355 223

Корни второго множителя – 122 можно найти по школьным формулам:

.212

82

2

14423,2

Найдены еще два собственных значения преобразования: ,212 .213

Итак, характеристический многочлен имеет столько действительных корней, какова его сте-

пень, причем все эти корни различны. Это значит, что в базисе, состоящем из собственных векто-

ров, этот оператор представляется диагональной матрицей:

2100

0210

003

D .

Разыщем этот базис, т. е. найдем собственные векторы для каждого собственного значения.

Найдем сначала собственный вектор собственного значения 1 = 3. Пока это неизвестный

ненулевой вектор x = (x1, x2, x3). Тогда

.3

110

201

234

321321 xxxxxx

Выполним умножение и получим в результате систему линейных уравнений:

,322

,33

,34

3321

231

121

xxxx

xxx

xxx

равносильную системе

.0222

,033

,0

321

321

21

xxx

xxx

xx

Решим эту систему методом Гаусса. После преобразований получим систему:

.0

,0

3

21

x

xx

166

Неизвестное x1 объявим свободным и с противоположным знаком перенесем в правую часть

уравнения:

.0

,

3

12

x

xx

Присвоим свободному неизвестному ненулевое значение (пусть, например, x1=1) и вычис-

лим несвободное неизвестное x2. Получаем фундаментальный набор решений нашей системы – он

состоит из одного вектора: a1 = (1, –1, 0).

Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору a1, также является собственным вектором

для собственного значения, равного 3.

Таким образом, любой вектор (k, –k, 0), где k0, является собственным вектором с собствен-

ным значением, равным 3.

Геометрически это означает, что прямая, проходящая, через вектор (1, –1, 0), при действии

линейного оператора с матрицей A отобразится в себя.

Найдем теперь собственный вектор собственного значения .212

Снова это будет неизвестный ненулевой вектор x = (x1, x2, x3), являющийся решением си-

стемы:

.21

110

201

234

321321 xxxxxx

Матрицей этой системы является матрица (A – 2E)T:

21122

1213

01214

.

Преобразуем матрицу методом Гаусса-Жордана, и получим матрицу:

10242

0123.

Объявим x1 свободным неизвестным и перенесем его в правую часть уравнений. Система

примет вид:

.242

,23

13

12

xx

xx

Присвоим свободному неизвестному ненулевое значение (пусть, например, x1 = 1) и вычис-

лим неизвестные x2 и x3.

Получаем фундаментальный набор решений нашей системы – он состоит из одного векто-

ра: a2 = )242,23,1( .

Любой ненулевой вектор ka2 также является собственным вектором для собственного значе-

ния .212

Наконец найдем собственный вектор собственного значения .213

167

Снова обозначим этот неизвестный вектор символом (x1, x2, x3) и будем искать ненулевое

решение системы линейных уравнений:

.21

110

201

234

321321 xxxxxx

После преобразований получим систему:

.222

,23

13

12

xx

xx

Присвоим свободному неизвестному x1 ненулевое значение (пусть, например, x1=1) и вычис-

лим неизвестные x2 и x3.

Получаем фундаментальный набор решений нашей системы – он состоит из одного векто-

ра: a3 = )222,23,1( .

Любой ненулевой вектор ka2 также является собственным вектором для собственного значе-

ния .212

Итак, собственные значения и собственные векторы линейного преобразования найдены; в

итоговой таблице в одной строке с собственным вектором расположено его собственное значение.

Собственное значение Собственный вектор

,31 a1 = (1, –1, 0).

,212 a2 = )242,23,1( ;

.213 a3 = )222,23,1( .

Ответ . Линейное преобразование имеет собственные значения:

31 с собственным вектором k1(1, –1, 0);

212 с собственным вектором ),242,23,1(2 k

213 с собственным вектором ),222,23,1(3 k

где k1, k2, k3 – любые ненулевые действительные числа.

Оператор можно представить диагональной матрицей.

2100

0210

003

.

З а м е ч а н и е . Найденное решение означает, что при данном линейном преобразовании

пространства прямые, натянутые на векторы a1, a2, a3, переходят сами в себя.

Если же векторы a1, a2, a3 выбрать в качестве базисных, то в новом базисе линейное преобра-

зование, первоначально заданное матрицей

110

201

234

,

будет представлено диагональной матрицей

168

2100

0210

003

D .

Другими словами, оператор из условия задачи можно диагонализировать.

На языке матриц это значит, что матрица из условия задачи и матрица D подобны, т. е. су-

ществует такая обратимая матрица Т, что

1

110

201

234

TT

2100

0210

003

.

З а д а ч а 9 . Найдите ортогональный базис подпространства, порожденного данными век-

торами.

Номер варианта Векторы

1

a1 = (0, –1, 0, –1, 0, 2),

a2 = (1, 2, 0, 2, 0, –1),

a3 = (–1, –1, 1, –2, 0, 0),

a4 = (0, 0, 1, –1, 0, 1).

2

a1 = (–1, 1, –1, –1, 0, 1),

a2 = (2, 1, 0, –1, 1, –2),

a3 = (0, -1, 2, –1, 0, 0),

a4 = (1, 1, 1, –1, 1, –1).

3

a1 = (0, –1 0, –1, –1, 1),

a2 = (–1, 1, –2, 1, 1, 0),

a3 = (1, –1, 1, 0, 0, 0),

a4 = (0, –1, –1, 0, 0, 1).

4

a1 = (–1, 2, 0, 1, 0, –1),

a2 = (0, –1, 1, 0, –1, 1),

a3 = (1, 1, 0, –1, 1, 1),

a4 = (0, 2, 1, 0, 0, 1).

5

a1 = (2, -1, 1, –1, 0, –2),

a2 = (–1, 2, –2, 0, 1, –1),

a3 = (–1, 0, 1, –1, –1, 1),

a4 = (0, 1, 0, 0, 0, 2).

6

a1 = (0, 1, –1, –1, 0, 2),

a2 = (0, -1, 0, 1, –1, –1),

a3 = (–1, 1, –2, –1, 0, 2),

a4 = (1, 1, 1, –1, 1, 1).

169

Номер варианта Векторы

7

a1 = (–1, 0, 0, –1, 0, 1),

a2 = (–1, 0, 0, –1, 1, 2),

a3 = (–1, 1, –2, 1, –1, 0),

a4 = (1, –1, 2, –1, 2, 1).

8

a1 = (1, –1, 0, –1, 0, –1),

a2 = (–1, 2, 0, 1, 1, 3),

a3 = (–2, –2, 0, 1, 1, 0),

a4 = (–2, –1, 0, 1, 1, 2).

9

a1 = (0, 1, 0, –1, 0, 0),

a2 = (–1, –1, 1, 0, -1, 0),

a3 = (2, 1, 0, –1, 0, 1),

a4 = (1, 0, 1, –1, –1, 1).

10

a1 = (1, 0, 0, –1, 1, 0),

a2 = (–1, 1, 0, –1, 0, 1),

a3 = (0, 1, 0, –2, 1, 1),

a4 = (1, 2, 0, –1, 0, 2).

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите ортогональный базис подпространства, порожденного векторами:

a1 = (1, 0, 1, –1, 0, -2),

a2 = (0, –1, 0, 0, 1, 1),

a3 = (0, 1, 0, 1, –1, 0),

a4 = (1, 0, 1, 0, 0, –1).

Р е ш е н и е . Сначала выясним, не являются ли данные векторы линейно зависимыми. Для

этого найдем ранг данной системы векторов. Запишем данные векторы в идее строк матрицы, и

приведем элементарными преобразованиями эту матрицу к ступенчатому виду. Рамкой будем вы-

делять разрешающий элемент каждого этапа.

100101

011010

110010

201101

~

~

101000

011010

110010

201101

~

170

~

101000

101000

110010

201101

~

~

000000

101000

110010

201101

Ранг системы найден – он равен числу ненулевых ступеней полученной ступенчатой матри-

цы, т. е. трем.

Последний вектор является линейной комбинацией первых трех, поэтому его из системы

можно удалить. Более того, строки полученной ступенчатой матрицы образуют систему векторов,

эквивалентную данной так, что в дальнейших вычислениях можно использовать именно их.

Можно пойти еще дальше. Сложив третью строку с первой, получить еще один нуль в пер-

вой строке.

000000

101000

110010

201101

~

000000

101000

110010

100101

.

Вместо данных векторов воспользуемся новыми векторами, которые порождают то же самое

подпространство (обозначим новые векторы теми же буквами, что и данные, а вектор a4 из списка

удалим). Итак, исследуемое подпространство порождается векторами

a1 = (1, 0, 1, 0, 0, –1),

a2 = (0, –1, 0, 0, 1, 1),

a3 = (0, 0, 0, 1, 0, 1).

После такой подготовки начинаем процесс ортогонализации.

Сначала положим вектор b1, равным вектору a1, т.е.

b1 = (1, 0, 1, 0, 0, –1).

Теперь будем искать вектор b2. Этот вектор будем искать в виде

b2 = a2 + xb1,

где x найдем из уравнения (b1, b2) = 0.

Подставим в это уравнение вместо b2 его выражение и раскроем скобки:

(b1, a2 + xb1) = (b1, a2) + x(b1, b1),

уравнение принимает вид:

(b1, a2) + x(b1, b1) = 0.

Отсюда находим x:

222222

11

21

)1(00101

1)1(100001)1(001

,

,

bb

abx

3

1.

171

Теперь найдем b2:

b2 = a2 + xb1= (0, –1, 0, 0, 1, 1) + 3

1 (1, 0, 1, 0, 0, –1).

Чтобы не было дробных чисел в выражении вектора b2, умножим b2 на число 3; ортогональ-

ность векторов при этом сохранится. Вектор 3b2 обозначим тем же символом b2, т.е. теперь:

b2 = 3(0, –1, 0, 0, 1, 1) + (1, 0, 1, 0, 0, –1) =

= (0, –3, 0, 0, 3, 3) + (1, 0, 1, 0, 0, –1) = (1, –3, 1, 0, 3, 2).

Теперь ищем вектор b3 в виде:

b3 = a3 + xb1 + yb2

где x и y найдем из системы уравнений:

.0,

,0,

23

13

bb

bb

Подставим в уравнения выражения для b3, и получим:

.0,

,0,

2213

1213

bybxba

bybxba

Выполним скалярные произведения, используя закон дистрибутивности умножения относитель-

но сложения векторов. Система принимает вид:

.0,,,

,0,,,

222123

121113

bbybbxba

bbybbxba

С учетом уже имеющейся ортогональности векторов b1 b2 получаем:

.0,,

,0,,

2223

1113

bbyba

bbxba

Откуда:

.0,

,

,0,

,

22

23

11

13

bb

bay

bb

bax

Вычисляем значения x и y:

222222

11

31

)1(00101

1)1(0010010001

,

,

bb

abx

3

1.

172

222222

22

32

2301)3(1

120310010)3(01

,

,

bb

aby

22

2 =

11

1 .

Итак,

b3 = a3 + xb1 + yb2 = a3 + 3

1b1

11

1 b2

Чтобы избежать дробных координат, вместо b3 будем искать коллинеарный ему вектор 33b3

(который обозначим тем же символом b3), т. е. теперь

b3 = 33a3 + 11b1 – 3b2 =

= 33(0, 0, 0, 1, 0, 1) +11(1, 0, 1, 0, 0, –1) – 3(1, –3, 1, 0, 3, 2) =

= (0, 0, 0, 33, 0, 33) + (11, 0, 11, 0, 0, –11) + (–3, 9, –3, 0, –9, –6) = (8, 9, 8, 33, –9, 16).

Ответ. Ортогональный базис подпространства, порожденного векторами a1, a2, a3, a4, обра-

зуют, например, векторы:

b1= (1, 0, 1, 0, 0, –1),

b2 = (1, –3, 1, 0, 3, 2),

b3 = (8, 9, 8, 33, –9, 16).

Задача 10. Найдите ортогональное дополнение подпространства, порожденного векторами

Номер варианта Векторы

1

b1= (2, 1, 0, –1, 3, –2),

b2 = (1, 1, 5, –1, 3, 1),

b3 = (–3, –2, 5, 1, 1, 9).

2

b1= (7, 1, 0, –1, 0, 7),

b2 = (1, 2, 0, –1, 4, 3),

b3 = (3, 1, 0, –1, 2, 4).

3

b1= (1, 1, 5, –1, 1, 1),

b2 = (1, 1, 0, –1, 0, 3),

b3 = (1, 1, 4, 5, 0, 5).

4

b1= (–1, 8, 9, –1, 0, 3),

b2 = (–1, 1, 2, 3, 1, 5),

b3 = (-3, 1, 6, –1, 0, 3).

5

b1= (1, 1, 6, –1, 0, 3),

b2 = (1, 2, 0, 3, 0, –1),

b3 = (7, 1, 0, –1, 0, 7).

173

Номер варианта Векторы

6

b1= (2, 0, 5, 1, 1, 8),

b2 = (2, 1, 0, –1, 3, –2),

b3 = (1, 1, 5, –1, 1, 1).

7

b1= (3, 1, 5, 1, –1, 2),

b2 = (4, 3, 1, 0, –1, 2),

b3 =(–1, 8, 9, –1, 0, 3).

8

b1= (7, 1, 5, –1, 0, 2),

b2 = (1, 4, 5, 0, 5, 6),

b3 = (2, 1, 0, –1, 0, 3) .

9

b1= (2, 1, 0, –1, 0, 3),

b2 = (3, –3, 1, 6, –1, 3),

b3 = (1, 1, 2, –1, 0, 3).

10

b1= (1, 2, 0, 3, 0, –1),

b2 = (0, –1, 0, 7, 7, 1),

b3 = (–8, 7, 5, 1, 1, 7).

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите ортогональное дополнение подпространства, порожденного векторами

b1= (2, 1, –1, 3, 0, –1),

b2 = (0, –1, 0, 2, 3, 1),

b3 = (2, 0, –5, 5, 3, 3).

Р е ш е н и е . Требуется найти все векторы x, ортогональные каждому из b1, b2, b3:

.

,

,

3

2

1

xb

xb

xb

Если вектор

x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6),

то эти ортогональности можно записать в виде системы уравнений:

.03235502

,0132010

,0103112

654321

654321

654321

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

174

Запишем матрицу коэффициентов системы

335502

132010

103112

и элемент первой строки и первого столбца объявим разрешающим.

При элементарных преобразованиях с этим разрешающим элементом разрешающая строка

остается неизменной, а в разрешающем столбце все элементы, кроме разрешающего, становятся

нулями. Один нуль в этом столбце уже есть. Это значит, что пересчитывать придется только эле-

менты третьей строки (символом обозначены элементы, которые надо еще вычислить):

Вычислим эти элементы, используя правило прямоугольника. Получим матрицу

Произведем предписанные вычисления и объявим разрешающим элемент второй строки

второго столбца. Обозначим символом элементы, которые надо еще вычислить:

Вычисляем:

и получаем матрицу:

600800

132010

103112

.

В этой матрице третий элемент третьей строки – число 8 – объявим разрешающим и будем

делать нули уже над этим элементом.

Один нуль уже есть, это значит, что пересчитать придется только элементы первой строки:

2606610210200

132010

103112

****00

132010

103112

2866440800

132010

103112

*****0

132010

103112

175

600800

132010

***0**

.

Выполняем пересчет по правилу прямоугольника:

600800

132010

6800024008016

,

в результате получим матрицу

600800

132010

140240816

.

В этой матрице рамкой выделен новый разрешающий элемент; теперь нужно сделать нуль

над ним. Пересчитывать снова придется элементы первой строки, причем, нули полученные ранее,

сохранятся:

600800

132010

***00*

.

Проделаем вычисления:

600800

132010

814240162400016

;

и получим матрицу

600800

132010

624400016

.

Теперь разделим и первую строку на –16, вторую на –1, а третью – на 8, и получим в ре-

зультате матрицу

8

600100

13201016

6

16

24

16

40001

.

Выполним сокращения дробей и получим матрицу

4

300100

1320108

3

2

3

2

5001

.

176

Эта матрица соответствует системе уравнений (равносильной исходной системе):

.04

3

,032

,08

3

2

3

2

5

63

6542

6541

xx

xxxx

xxxx

Перенесем свободные неизвестные с противоположными знаками в правые части уравне-

ний, и получим общее решение системы.

.4

3

,32

,8

3

2

3

2

5

63

6542

6541

xx

xxxx

xxxx

Число элементов в базисе пространства решений равно числу свободных неизвестных, т.е.

трем. Возьмем такие наборы свободных неизвестных, чтобы получившиеся решения были заведо-

мо линейно независимы. Придав эти значения свободным переменным, найдем значения не сво-

бодных переменных по формулам общего решения системы. Результаты вычислений оформим в

виде таблицы:

Несвободные неизвестные Свободные неизвестные x1 x2 x3 x4 x5 x6

2

5 2 0 1 0 0

2

3 3 0 0 1 0

8

3 1

4

3 0 0 1

В строках таблицы уже содержится искомый базис. Чтобы координаты базиса стали целыми

числами, можно умножить первую и вторую строки на 2, а третью – на 8.

В результате получим базис ортогонального дополнения:

a1 = (–5, 4, 0, 2, 0, 0),

a2 = (–3, 6, 0, 0, 2, 0),

a3 = (3, 8, 6, 0, 0, 8).

Чтобы убедиться в безошибочности вычислений, достаточно проверить, что все девять ска-

лярных произведений (ai, bj), где i. j {1, 2, 3}, равны нулю:

(a1, b1) = (–5)2 + 41 + 0(–1) + 23 + 00 + 0(–1) = 0,

(a1, b2) = (–5)0 + 4(–1) + 00 + 22 + 03 + 01 = 0,

(a1, b3) = (–5)2 + 40 + 0(–5) + 25 + 03 + 03 = 0,

(a2, b1) = (–3)2 + 61 + 0(–1) + 03 + 20 + 0(–1) = 0,

(a2, b2) = (–3)0 + 6(–1) + 00 + 02 + 23 + 01 = 0,

177

(a2, b3) = (–3)2 + 60 + 0(–5) + 05 + 23 + 03 = 0,

(a3, b1) = 32 + 81 + 6(–1) + 03 + 00 + 8(–1) = 0,

(a3, b2) = 30 + 8(–1) + 60 + 02 + 03 + 81 = 0,

(a3, b3) = 32 + 80 + 6(–5) + 05 + 03 + 83 = 0.

Ответ . Векторы:

a1 = (–5, 4, 0, 2, 0, 0),

a2 = (–3, 6, 0, 0, 2, 0),

a3 = (3, 8, 6, 0, 0, 8).

образуют базис ортогонального дополнения данного подпространства.

178

III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Объектами изучения аналитической геометрии являются линии и поверхности, задаваемые

алгебраическими уравнениями первой и второй степени. Оказалось, что многие процессы и явле-

ния реальной жизни описываются с достаточно большой точностью именно такими уравнениями.

С помощью уравнений второй степени от двух переменных задаются и изучаются кривые

второго порядка.

§ 1. Кривые второго порядка

Определение кривой второго порядка. График уравнения

Ax2 + 2Bxy + Cy

2+ 2Dx + 2Ey + F = 0

называют кривой второго порядка, если коэффициенты A, B, C не равны нулю одновременно.

На самом деле «кривая» может превратиться в две прямые (тогда левая часть уравнения рав-

на произведению двух линейных множителей, которые могут и совпадать) или в множество, со-

стоящее из одной точки (например, когда A > 0, C > 0, B = D = E = F = 0), или вообще в пустое

множество (когда A > 0, C > 0, F > 0, B = D = E = 0).

Другими словами, левая часть уравнения может распадаться на произведение двух линейных

множителей с, возможно, комплексными коэффициентами.

Это распадение произойдет тогда и только тогда, когда большой определитель уравнения

FED

ECB

DBA

равен нулю.

Строение большого определителя проще запомнить, используя другие обозначения для ко-

эффициентов уравнения.

Обозначим коэффициенты уравнения символами aij, считая, что нижний индекс, равный 1, –

это признак первой степени переменного x, индекс 2 является признаком первой степени у пере-

менного y, а индекс 3 означает нулевую степень любого из этих переменных. Так как умножение

коммутативно, при таком договоре aij = aji.

Уравнение кривой при таком соглашении принимает вид:

a11x2 + a12xy + a21yx + a22y

2+ a13x + a31x+ a23y + a32y + a33 = 0.

Собрав подобные члены, получаем уравнение:

a11 x2 +2 a12xy + a22y

2+ 2a13x+ 2a23y + a33 = 0.

Многочлен f(x, y), задающий эту кривую, можно представить в матричном виде:

f(x, y) = Z A ZT,

где A – симметрическая 3 3-матрица, а матрица Z – 1 3-матрица вида

Z = (x y 1).

179

Большой определитель в таких обозначениях становится обычной записью определителя

матрицы коэффициентов A:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Инварианты уравнения второго порядка. Большой определитель сохраняет свое значе-

ние при параллельных переносах и поворотах системы прямоугольных координат; говорят: D яв-

ляется инвариантом уравнения.

Инвариантом уравнения является и сумма коэффициентов у квадратов переменных, т. е.

число A + C (оно же: a11 + a22), и малый определитель второго порядка (левый верхний угол опре-

делителя D):

.2221

1211

aa

aa

CB

BA

Если кривая не распалась, т. е. если большой определитель отличен от нуля, то с помощью

малого определителя можно определить вид линии:

Е с л и d > 0 , т о г р а ф и к о м у р а в н е н и я я в л я е т с я э л л и п с ( и л и т о ч к а

и л и п у с т о е м н о ж е с т в о ) .

Е с л и d < 0 , т о г р а ф и к о м у р а в н е н и я я в л я е т с я г и п е р б о л а ( и л и п а р а

п е р е с е к а ю щ и х с я п р я м ы х ) .

Е с л и d = 0 , т о г р а ф и к о м у р а в н е н и я я в л я е т с я п а р а б о л а ( и л и п а р а

п а р а л л е л ь н ы х п р я м ы х и л и п у с т о е м н о ж е с т в о ) .

После определения вида линии можно найти ее каноническое уравнение, т. е. уравнение

наиболее простого вида (которое получается при самом благоприятном для этой линии располо-

жении координат).

Кривая может находиться и не в каноническом положении на координатной плоскости. То-

гда параллельным переносом и поворотом кривую (или систему координат) можно передвинуть

так, что кривая окажется в канонической позиции. Это касается не только кривой второго поряд-

ка, а вообще любой кривой. Например, график кривой, заданной уравнением

f(x – a, y – b) = 0,

получается из графика кривой f(x, y) = 0 параллельным переносом на вектор (a, b).

Эллипс. Уравнение окружности радиуса r имеет наиболее простой вид, если центр окруж-

ности совпадает с началом координат:

,222 ryx

Разделив на r2 левую и правую части этого уравнения, получаем каноническое уравнение

окружности:

.12

2

2

2

r

y

r

x

Если знаменатели дробей в левой части уравнения не обязательно равны, то каноническое

уравнение окружности превращается в каноническое уравнение эллипса:

180

12

2

2

2

b

y

a

x

,

где a, b – положительные числа и a > b (эти числа называют длинами большой и малой полуосей).

Можно сказать, что эллипс получается равномерным сжатием окружности вдоль малой оси

с коэффициентов сжатия .a

bk

Если M(x, y) – точка, принадлежащая эллипсу, то

,ax ,by

т. е. эллипс лежит целиком внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = ± a, y = ± b. Этот

прямоугольник принято называть основным прямоугольником эллипса. Центр этого прямоуголь-

ника (пересечение диагоналей) называют центром эллипса.

Хотя эллипс сейчас появился как график особого уравнения, на самом деле определение эл-

липса вовсе не зависит от системы координат.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных то-

чек F1 и F

2 – фокусами

1 эллипса – постоянна и равна длине большой оси.

Другими словами, точка M плоскости принадлежит эллипсу (заданному каноническим урав-

нением) тогда и только тогда, когда

F1 М + F

2 M = 2a.

В каноническом положении фокусы эллипса расположены симметрично относительно нача-

ла координат, т. е. для некоторого положительного числа c: OF1 = OF

2 = c, а начало координат –

это центр эллипса.

Связь между числами a, b, c устанавливается с помощью теоремы Пифагора (достаточно

рассмотреть точку эллипса, лежащую на оси Oy):

a2 = b

2 + c

2.

Использование слова «фокус» оправдано следующим свойством эллипса, которое часто

называют оптическим свойством. Если в один из фокусов эллипса поместить огонь (или источник

света или источник какого-либо другого излучения), то излучение, отразившись от стенок эллип-

са, создаст иллюзию, что источник света расположен во втором фокусе эллипса.

Заметим, что окружность при любом вращении плоскости снова переходит в окружность.

Поэтому произвольное уравнение окружности с помощью выделения полных квадратов можно

представить в виде:

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2,

где точка M(a, b) – центр окружности, а число r – ее радиус.

1 Фокус – от латинского focus – огонь.

181

Гипербола. Уравнение вида

12

2

2

2

b

y

a

x

.

называют каноническим уравнением гиперболы.

Число a называют действительной полуосью гиперболы, а число b мнимой полуосью.

Как и для эллипса, определение гиперболы в действительности не связано ни с уравнением,

ни с системой координат.

Гипербола – это множество точек плоскости, разность расстояний которых от двух дан-

ных точек F1, F

2 – фокусов гиперболы – постоянна и равна длине действительной оси ги-

перболы.

Другими словами, точка M плоскости принадлежит гиперболе (заданной каноническим

уравнением) тогда и только тогда, когда

F1М – F

2M = 2a.

Фокусы гиперболы расположены симметрично относительно начала координат, т. е. для не-

которого положительного числа c

OF1 = OF

2 = c.

Фокусы гиперболы так же обладают оптическим свойством, похожим на свойство фокусов

эллипса. Если в один из фокусов гиперболы поместить источник излучения (свет, звук, тепло, ра-

диоизлучение и т. п.), то излучение, отразившись от стенок гиперболы будет распространяться

так, как будто источник расположен во втором фокусе.

Основной прямоугольник гиперболы точно такой же, как у эллипса.

Диагонали основного прямоугольника, т. е. прямые, заданные уравнениями:

,xa

by

являются асимптотами гиперболы.

182

В прямоугольном треугольнике OAB катеты равны полуосям гиперболы,

OB = a, AB = b,

а гипотенуза равна фокусному расстоянию:

OA = OF1 = OF2 = c.

С помощью теоремы Пифагора получаем:

c2 = a

2 + b

2.

Гиперболы, задаваемые уравнениями

12

2

2

2

b

y

a

x, ,1

2

2

2

2

b

y

a

x

имеют один и тот же основной прямоугольник и одни и те же асимптоты. Эти гиперболы называ-

ют сопряженными.

Если вместо единицы в правой части уравнений сопряженных гипербол подставить положи-

тельное число k и устремить это k к нулю, то обе полуоси начнут уменьшаться, и сопряженные

гиперболы в пределе сольются со своими асимптотами. Два уравнения

,02

2

2

2

b

y

a

x ,0

2

2

2

2

b

y

a

x

равносильны, и задают на плоскости асимптоты сопряженных гипербол.

Парабола. Уравнение y2 = 2px называют каноническим уравнением параболы. Парабола –

это множество точек плоскости М, расстояния от которых до данной точки F и до данной пря-

мой d равны.

Точку F называют фокусом, а прямая d называется директрисой1.

Оптическое свойство параболы для современной цивилизации невозможно переоценить. Ес-

ли в фокусе параболы расположить источник излучения, то, отразившись от стенок параболы, из-

лучение будет распространяться параллельно оси параболы.

Излучение может происходить и «наоборот»; в этом случае приемник, находящийся в фоку-

се параболы воспримет излучение, пришедшее настолько издалека, что его можно считаь распро-

страняющимся параллельно прямой-оси параболы.

1 Директриса – от лат. dirigo – направлять.

183

Всевозможные приемно-передающие радиоустройства, использующие небольшие длины

волн, без этого замечательного свойств параболы были бы просто невозможны.

На схеме точка M плоскости принадлежит параболе (заданной каноническим уравнением

y2

px) тогда и только тогда, когда FM равна длине перпендикуляра, опущенного на прямую d. Фо-

кус F имеет абсциссу, равную ,2

p а директриса задается уравнением .

2

py

Парабола имеет лишь одну ось симметрии (и не имеет центра). Пересечение оси с параболой

принято называть вершиной параболы. Число p называют фокальным параметром. Вместо равен-

ства

MF = MK

можно написать отношение:

.1MK

MF

Таким образом, парабола, в отличие от эллипса и гиперболы, имеет всего лишь один фокус,

но зато еще и директрису. Директриса параболы, однако, вовсе не компенсация отсутствующего

второго фокуса; и эллипс (за одним исключением), и гипербола имеют директрисы – и даже две.

Директрисы и эксцентриситет кривой второго порядка. Половина эллипса (полуэллипс),

одна ветвь гиперболы и парабола – это множество точек полуплоскости, отношение расстояний от

которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная.

Это отношение принято называть эксцентриситетом1 и обозначать буквой .

Эксцентриситет параболы равен единице. Для эллипса < 1 (если = 0, то эллипс превраща-

ется в окружность) для гиперболы > 1. При возрастании , начиная с нуля, эллипс – первона-

чально окружность – становится все более сплющенным; при = 1 половинки эллипса разрывают-

ся и превращаются в параболы, а при дальнейшем увеличении – в гиперболы. У гиперболы уже

есть асимптоты – гипербола «круче» параболы.

Эксцентриситет характеризует кривую второго порядка с точностью до подобия: кривые,

имеющие одинаковые эксцентриситеты, подобны2. Все параболы имеют один и тот же эксцентри-

ситет, поэтому все параболы подобны.

1 Эксцентриситет – от лат. ex – вне и центр. Термин введен немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630).

Оказалось, что каждое космическое тело движется по кривой второго порядка (эллипсу, параболе или гиперболе), в фо-

кусе которой находится центр масс системы. 2 Эксцентриситет характеризует и космические скорости. До второй космической скорости включительно космиче-

ское тело движется по эллипсу, т. е. кривой с эксцентриситетом < 1; при увеличении траектория превращается в па-

раболу и при дальнейшем возрастании – в гиперболу. Иначе говоря, чем быстрее, тем круче.

184

Для канонического представления эллипса и гиперболы

,εa

c

а уравнения их директрис имеют вид:

.ε

,ε

ax

ax

Впрочем, уравнения директрис можно написать, используя непосредственно параметры са-

мого канонического уравнения:

22

2

ba

ax

– директрисы эллипса;

22

2

ba

ax

– директрисы гиперболы

2

px – директриса параболы.

Так как на нуль делить нельзя, у о к р у ж н о с т и д и р е к т р и с ы н е т .

Если при фиксированном a в каноническом уравнении эллипса, начать уменьшать его экс-

центриситет, то директрисы начнут удаляться влево и вправо от эллипса; чем меньше , тем даль-

ше директриса. Поэтому можно считать, что директрисы у окружности есть, только находятся они

в бесконечности.

При исследовании кривой второго порядка после определения ее типа следует найти кано-

ническое уравнение. После этого уже легко вычислить координаты ее фокусов (фокуса, если это

парабола), эксцентриситет, и написать уравнения директрис.

Потом остается лишь выяснить, каким именно преобразованием координат получено задан-

ное уравнение из канонического. Этим будет определено местонахождение изучаемой кривой на

координатной плоскости.

Кривые второго порядка в полярных координатах. Простой вид канонического уравне-

ния кривые второго порядка имеют в полярной системе координат. Правда, в полярных ординатах

полностью будет описана лишь парабола, а от эллипса и гиперболы останутся лишь половинки, но

это не умаляет красоты получившегося уравнения.

Если полярную систему координат накладывают на прямоугольную декартову, то обычно

начало декартовых координат совмещают с полюсом, а полярную ось направляют по положитель-

ной части оси абсцисс.

Для канонического уравнения кривой второго порядка в полярной системе координат фокус

кривой помещают в полюсе, а директрису располагают перпендикулярно полярной оси (на ри-

сунке директриса – это прямая d).

185

Длину перпендикуляра к оси, восстановленного в фокусе до пересечения с кривой (на ри-

сунке – это отрезок OA) называют фокальным параметром и означают буквой p. Таким образом,

,εAB

AO

откуда .ε

pAB

Точка M(, r) – произвольная точка нашей кривой, и, следовательно,

,εMK

MO

откуда .εε

rMOMK

С другой стороны,

MK = AB + OC = .ε

p + r cos .

Отсюда поучаем к а н о н и ч е с к о е у р а в н е н и е к р и в о й в т о р о г о п о р я д к а

cosε1

pr .

При = 0 получаем каноническое уравнение окружности: r = p.

Например, эксцентриситет орбиты Земли всего 0,0167, а это значит, что расстояние r от

Земли до Солнца (в километрах) можно вычислить по формуле

cos0167,01

000600149

r .

Пример классификации кривых второго порядка. Четыре кривые второго порядка зада-

ны своим уравнениями:

(1) (x + 6)2 + (y – 2)

2 = 64;

(2) x2 + 4y = 16;

(3) x 2 + 4y

2 = 4;

(4) 199

22

yx

.

Выясним, что представляет собой каждая из этих кривых.

Кривая (1) является окружностью с центром в точке M(–6, 2) и радиуса 8. Точнее, окруж-

ность

x2 + y

2 = 8

2

с центром в начале координат и радиуса 8 перенесена параллельно на вектор (–6, 2).

Вторая кривая – это парабола. Уравнение (2) можно записать в виде –4(y – 4) = x2, что рав-

носильно

2

8

124 xy

186

Таким образом уравнение (2) получается из канонического уравнения параболы 2

8

12 xy

поворотом на 180 и сдвигом на вектор (0, 4). Так расположенная парабола является графиком

квадратичной функции, ее ось вертикальна, а ветви направлены вниз.

Третье уравнение можно записать в виде

.112 2

2

2

2

yx

Это каноническое уравнение эллипса, у которого большая полуось a = 2, а малая b = 1 (соот-

ветственно, значения абсцисс фокусов ,322 ba а эксцентриситет 2

3

a

c ).

Наконец, четвертое уравнение – это просто каноническое уравнение равнобочной гиперболы,

у которой и действительная a, и мнимая b полуоси равны 3 (соответственно, значения абсцисс

фокусов ,2322 ba эксцентриситет 2

23ε

a

c и асимптоты задаются уравнениями y

= x).

Классификация кривых, указанных в примере, полностью закончена, однако для полноты

картины посмотрим на сами эти кривые:

№ Уравнение Кривая

1 (x + 6)2 + (y – 2)

2 = 64

2 x2 + 4y = 16

3 x 2 + 4y

2 = 4;

4 199

22

yx

187

§ 2. Поверхности второго порядка

Определение поверхности второго порядка. Множество точек, декартовы координаты ко-

торых удовлетворяют уравнению второй степени с тремя неизвестными, называют поверхностью

второго порядка.

Как и для кривых, поверхность второго порядка может выродиться в пару плоскостей, пря-

мую, одну точку или пустое множество.

Преобразования координат (параллельные переносы и повороты) переводят уравнения вто-

рой степени снова в уравнение второй степени; поэтому поверхности второго порядка классифи-

цируются, подобно кривым второго порядка, своими каноническими уравнениями.

Принято выделять п я т ь о с н о в н ы х т и п о в п о в е р х н о с т е й в т о р о г о п о р я д к а

( э л л и п с о и д ы , д в а т и п а г и п е р б о л о и д о в и д в а т и п о в п а р а б о л о и д о в ) и

д е с я т ь в т о р о с т е п е н н ы х ( к о н у с ы , ц и л и н д р ы т р е х в и д о в , п е р е с е к а ю щ и е -

с я и п а р а л л е л ь н ы е п л о с к о с т и , п р я м ы е , т о ч к и и п у с т о е м н о ж е с т в о ) .

Рассмотрим эти пять основных типов и четыре персонажа второго плана.

Сначала уместно сделать замечание общего характера об изучении любых поверхностей, за-

данных произвольными уравнениями.

Метод сечений. Пусть две поверхности и в трехмерном пространстве заданы уравнени-

ями f(x, y, z) = 0 и g(x, y, z) = 0 соответственно. Тогда пересечение этих поверхностей определяется

системой уравнений:

.0,,

,0,,

zyxg

zyxf

Плоскость, параллельная плоскости xOy, задается уравнением z = t (где t – произвольное

действительное число, и, в частности, при t = 0 – это сама плоскость xOy). Поэтому сечения по-

верхности плоскостями, параллельными плоскости xOy, задаются системами уравнений вида:

.

,0,,

tz

tyxf

Аналогично обстоит дело и для других координатных плоскостей. Для практических целей

этих сечений (может быть, с очень малым изменением параметра t) обычно достаточно для изуче-

ния самой поверхности1.

Уравнение f(x, y, 0) = 0, рассматриваемое как уравнение поверхности в трехмерном про-

странстве, имеет с любой плоскостью z = t сечение, получаемое из любого другого сечения парал-

лельным переносом вдоль оси аппликат.

Это значит, что уравнение f(x, y, 0) = 0 определяет в трехмерном пространстве цилиндриче-

скую поверхность (говорят еще: цилиндр), образованную скольжением прямой, параллельной оси

аппликат по кривой, заданной уравнением f(x, y, 0) = 0 на плоскости xOy.

Пусть – поверхность второго порядка, то есть f(x, y, z) – многочлен второй степени.

Если – произвольная плоскость в пространстве, то можно преобразовать систему коорди-

нат так, чтобы задавалась уравнением z = 0. В этой системе координат пересечение будет

задаваться уравнением f(x, y, 0) = 0. В зависимости от того, какие члены f(x, y, z) при z = 0 исчез-

нут, а какие сохранятся, это пересечение будет кривой второго порядка или плоскостью.

Если – прямая в пространстве, заданная параметрическими уравнениями:

,

,

,

0

0

0

zckz

ybky

xakx

то подставив в уравнение для вместо x, y, z , их значения с параметром k, получим уравнение

1 Например, с помощью горизонталей – сечений линий на географической карте, соединяющих точки земной по-

верхности с одинаковой абсолютной высотой, вполне точно можно передать форму рельефа. На относительно неболь-

ших по размеру участках можно считать, что горизонтали – это пересечения рельефа плоскостями вида z = t.

188

f(ak +x0, bk +y0,y, ck +z0) = 0

второй степени с неизвестным k. Следовательно, пересечение поверхности второго порядка и пря-

мой содержит не более двух точек.

После этих предварительных замечаний перейдем к обзору основных видов поверхностей

второго порядка.

Эллипсоид. Уравнение сферы радиуса r имеет наиболее простой вид, если центр окружно-

сти совпадает с началом координат:

,rzyx 2222

Разделив на r2 левую и правую части этого уравнения, получаем:

.r

z

r

y

r

x1

2

2

2

2

2

2

Если знаменатели дробей в левой части уравнения не обязательно равны, то каноническое

уравнение сферы превращается в каноническое уравнение эллипсоида:

.c

z

b

y

a

x1

2

2

2

2

2

2

Эллипсоид можно получить из сферы равномерным сжатием (растяжением) в произвольных

отношениях в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Если, по крайней мере, два из чисел a, b, c, совпадают, то эллипсоид превращается в эллип-

соид вращения – поверхность, получаемая вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Каждое из слагаемых суммы в левой части уравнения не превышает единицы; поэтому

,ax ,by .cz

Это значит, что эллипсоид находится внутри прямоугольного параллелепипеда, задаваемого

этими неравенствами.

Непустое пересечение плоскости и эллипсоида является либо точкой, либо ограниченной

кривой второго порядка, т. е. эллипсом. Наиболее удобны для изучения эллипсоида плоскости,

параллельные координатным плоскостям, в частности сами координатные плоскости.

189

Например, при z = 0 получаем пересечение плоскости xOy с эллипсоидом; уравнение этого

пересечения – это уравнение эллипса

.12

2

2

2

b

y

a

x

Аналогично, получаются уравнения пересечений с плоскостью yOz,

.12

2

2

2

c

z

b

y

и плоскостью xOz,

.12

2

2

2

c

z

a

x

Изменяя значения z, получим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости

xOy. На рисунке эллипсоид, заданный уравнением

,1132 2

2

2

2

2

2

zyx

рассечен плоскостями z = 0, z = –0,5, z = 0,5. Аналогичным образом получаются сечения эллипсои-

да другими плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Эллипсоидами вращения являются поверхности планет и звезд. Например, по форме планета

Земля близка к эллипсоиду, сплюснутому у полюсов и растянутому в экваториальной зоне (т. е. по

форме отдаленно похожа на мандарин).

Полярный радиус Земли составляет 6 356 777 м, экваториальный – 6 378 160 м. Это значит,

что поверхность Земли описывается уравнением

.1635677763781606378160 2

2

2

2

2

2

zyx

190

Гиперболоиды. Изменив в каноническом уравнении эллипсоида знаки у одного или двух

слагаемых, получим канонические уравнения гиперболоидов. Уравнение

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

задает однополостный гиперболоид. Пересечения однополостного гиперболоида с плоскостями

x = 0 и y = 0 являются гиперболами. Плоскости, параллельные xOy, задаваемые уравнениями

z = a, где произвольное действительное число, пересекают однополостный гиперболоид по эл-

липсам. Эллипс, получаемый при z = 0, называется горловым сечением.

От горлового сечения однополостный гиперболоид расширяется в обе стороны.

На рисунке изображен фрагмент однополостного гиперболоида, задаваемого уравнением

1132 2

2

2

2

2

2

zyx

.

Если a = b, то однополостный гиперболоид – эта поверхность, получаемая вращением ги-

перболы вокруг ее действительной оси.

Изменим два знака у слагаемых в каноническом уравнении эллипсоида. Полученное уравне-

ние

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

()

задает двуполостный гиперболоид.

При всех значениях x таких, что ax уравнение

2

2

2

2

2

2

1c

z

b

y

a

x

решений не имеет. С другой стороны, если ,ax то уравнение () всегда имеет решение в дей-

ствительных числах.

191

Это означает, что поверхность, описываемая уравнением (), распадается на две несвязанные

части – полости1 разделенные слоем, задаваемых неравенствами –a x a.

Если b = c, то двуполостный гиперболоид – эта поверхность, получаемая вращением гипер-

болы вокруг ее мнимой оси.

На рисунке изображен фрагмент двуполостного гиперболоида, задаваемого уравнением

1232 2

2

2

2

2

2

zyx

.

Уравнения

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

задают два гиперболоида – однополостный и двуполостный, вложенные один в другой.

Эти гиперболоиды называют сопряженными, в бесконечности сопряженные гиперболоиды

приближаются – изнутри и снаружи – к конической поверхности.

Коническая поверхность. Поверхность, задаваемая уравнением

1 Вместо слова полость иногда употребляется термин пола, и, соответственно, – однополый и двуполый гиперболоиды.

192

,02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

называется конической (или конусом). Плоскости z = k при изменяющимся k пересекают эту по-

верхность по эллипсам. Пересечение с другими координатными плоскостями образуют пару пере-

секающихся прямых.

Если a = b, то конус превращается в конус вращения, образованный вращением прямой az =

cx вокруг оси Oz.

На рисунке изображен фрагмент конуса, задаваемого уравнением

.0232 222 zyx

Поверхность второго порядка задается уравнением F(x, y, z) = 0, а плоскость определяется

уравнением вида

Ax + By + Cz D = 0,

где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля. Это значит, что из переменных мож-

но выразить через два остальных, пусть для определенности это будет переменное z. Тогда z =

f(x, y), где f – линейная функция. После подстановки z в F получаем уравнение пересечения по-

верхности плоскостью. Это уравнение является алгебраическим второго порядка, т. е. пересече-

ние (говорят еще «сечение») поверхности второго порядка и плоскости – это кривая второго по-

рядка.

193

Особенно наглядно выглядит эта картина для сечения конической поверхности. Пересечения

конуса, заданного уравнением

,02

2

2

2

2

2

c

z

a

y

a

x

с плоскостями z = kx + b в зависимости от значений k и b представляют все основные кривые вто-

рого порядка: эллипс, гиперболу и параболу.

Доказательство соответствующих утверждений можно провести без всяких аналитических

выкладок, а лишь геометрическими рассуждениями.

Например, п л о с к о с т ь , н е п р о х о д я щ а я ч е р е з в е р ш и н у к о н у с а , н о п р е -

с е к а ю щ а я о б е п о л о с т и к о н и ч е с к о й п о в е р х н о с т и о т с е к а е т о т к о н и ч е -

с к о й п о в е р х н о с т и г и п е р б о л у .

Чтобы это увидеть, поместим в обе полости конической поверхности сферы, которые сопри-

касаются как с конусом, так и с плоскостью. Касание каждой сферы и конической поверхности

произойдет по окружности, причем окружности касания находятся в параллельных плоскостях.

Точки касания сфер с плоскостью являются фокусами гиперболы. При перемещении точки A по

линии сечения разность AF – AF = BC, а длина отрезка BC не зависит от положения A.

Плоскости, проходящие через линии касания сфер, пересекаются с секущей плоскостью по

директрисам гиперболы.

Начнем наклонять секущую плоскость таким образом, чтобы она не проходила через верши-

ну конуса. В какой-то момент секущая плоскость пересечет лишь одну полость конуса и при этом

будет параллельна образующей конической поверхности. В этот момент в сечении появится пара-

бола. Парабола, как и гипербола, – линия неограниченная. Если плоскость наклонить еще более,

то она будет продолжать пересекать одну полость, но линия сечения уже будет ограниченной. Это

сечение будет эллипсом. Если секущая плоскость станет перпендикулярной оси конуса, то эллипс

превратится в окружность.

Параболоиды. Поверхность, заданная уравнением

,22

2

2

2

zb

y

a

x

называется эллиптическим параболоидом.

При k 0 сечения этой поверхности плоскостями z = k являются эллипсами, а при k < 0 –

пустые множества. При пересечении поверхности координатными плоскостями xOz и yOz обра-

зуются параболы.

194

На рисунке изображен эллиптический параболоид, заданный уравнением

.332 2

2

2

2 zyx

Уравнение

z = 9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92

также задает эллиптический параболоид. Это параболоид получается из канонического положения

с помощью параллельного сдвига на вектор = (1, 2, 0). Чтобы увидеть этот вектор сдвига доста-

точно выделить целые квадраты в правой части.

Пересечение этого параболоида двумя секущими плоскостями: z = –25 и z = 400 изображено

на рисунке.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями

Если a = b, то эллиптический параболоид превращается в параболоид вращения.

Спутниковые антенны, антенны радиолокационных устройств, отражатели фар и прожекто-

ров и т. п. – все это фрагменты параболоидов вращения.

Поверхность, заданная уравнением

,22

2

2

2

zb

y

a

x

называется гиперболическим параболоидом.

Пересечения гиперболического параболоида с координатными плоскостями x = 0 и y = 0

представляют собой параболы, а пересечение с плоскостью z = 0 является парой пересекающихся

прямых.

Каждый параболоид получается в результате движения параболы по другой неподвижной

параболе. Оси этих парабол параллельны, парабола перемещается параллельным переносом, при-

чем вершина движущейся (образующей) параболы скользит по неподвижной (направляющей) па-

раболе.

195

Если ветви образующей и направляющей парабол направлены в одну сторону, то получается

эллиптический параболоид. Если же ветви направлены в противоположные стороны, то возникнет

гиперболический параболоид.

На рисунке изображен гиперболический параболоид, заданный уравнением

.332 2

2

2

2 zyx

Цилиндры. Поверхность в трехмерном пространстве, задаваемая произвольным уравнени-

ем f(x, y) = 0, образует цилиндрическую поверхность (цилиндр).

Если f(x, y) – многочлен второй степени, то цилиндр образует некоторую поверхность второй

степени. Название соответствующей кривой переходит на название цилиндра. Таким образом,

уравнение

12

2

2

2

b

y

a

x

определяет эллиптический цилиндр, уравнение

12

2

2

2

b

y

a

x

–

гиперболический, а y2 = 2px – параболический цилиндры.

В таблице показаны примеры цилиндров при конкретных значениях числовых параметров.

Уравнение, название Цилиндр

132 2

2

2

2

yx

эллиптический цилиндр

132 2

2

2

2

yx

гиперболический цилиндр

y2 = x

параболический цилиндр

196

Линейчатые поверхности. Цилиндры, как и конусы, являются линейчатыми поверхностя-

ми: прямые, параллельные оси аппликат, являются образующими для цилиндра с уравнением

f(x, y) = 0.

Прямолинейными образующими обладает и конус (причем, не обязательно конус вращения).

Прямолинейные образующие имеет и любой другой конус. Действительно, если ненулевая

точка (x0, y0, z0) принадлежит поверхности, задаваемой уравнением

,02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

то при любом t точка (x0t, y0t, z0t) также принадлежит этой поверхности. Система

,

,

,

0

0

0

tzz

tyy

txx

является параметрическими уравнениями прямой, проходящей через начало координат. Таким

образом, вместе с каждой ненулевой точкой конус содержит и всю прямую проходящую через эту

точку и начало координат. Поверхность, имеющую прямолинейные образующие, называют линей-

чатой. Конус – линейчатая поверхность.

Эллипсоид – ограниченная поверхность; поэтому он не может быть порожден никакими

прямыми. Вполне очевидно, что и эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид пря-

молинейных образующих не имеют.

Замечательным и неожиданным является тот факт, что оставшиеся две из основных поверх-

ностей второго порядка – однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид– порож-

даются прямыми.

Уравнение однополостного гиперболоида

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

равносильно уравнению

,12

2

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x

левую и правую части которого можно разложить на множители:

.11

b

y

b

y

c

z

a

x

c

z

a

x

(**)

Если k – произвольное ненулевое действительное число, то система уравнений

b

yk

c

z

a

x

b

y

kc

z

a

x

1

,11

задает некоторую прямую в пространстве. Координаты каждой точки этой прямой удовлетворяют

уравнению (**), а это значит, что вся прямая целиком принадлежит однополостному гиперболо-

иду.

197

Верно и обратное утверждение: через каждую точку однополостного гиперболоида проходит

некоторая прямая, целиком, принадлежащая этой поверхности. Однополостный гиперболоид –

линейчатая поверхность.

В частности, гиперболоид вращения является результатом вращения некоторой прямой во-

круг оси, не параллельной этой прямой.

Практические применения этого замечательного свойства однополостного гиперболоида

вошло в историю под названием «башни Шухова1»

Множители в левой и правой частях уравнения (**) можно было объединить в пары и по-

другому. Тогда будет получена вторая серия прямолинейных порождающих этой поверхности.

Левая часть уравнения

,22

2

2

2

zb

y

a

x

задающего гиперболический параболоид, раскладывается на множители:

.2zb

y

a

x

b

y

a

x

Для произвольного ненулевого k система уравнений

,

,2

kc

z

a

x

k

z

c

z

a

x

определяет некоторую прямую, целиком принадлежащую гиперболическому параболоиду. Верно

и обратное утверждение: через каждую точку гиперболического параболоида проходит некоторая

прямая, целиком, принадлежащая этой поверхности.

1 Владимир Григорьевич Шухов (1853-1939) – русский инженер. В.Г. Шухов создал десятки конструкций, среди ко-

торых – гиперболоидные башни. В частности, радиобашня на Шаболовке в Москве, сооруженная в 1921 г., представля-

ет собой ряд однополостных гиперболоидов вращения.

198

Гиперболический параболоид – линейчатая поверхность. Точно так же, как в предыдущем

случае, найдется и вторая серия прямолинейных образующих гиперболического параболоида.

§ 3. Типы уравнений прямой

Уравнение плоскости и уравнение прямой. Линейное уравнение, т. е. уравнение вида:

ax + by + cz + d = 0,

где среди коэффициентов a, b, c, по крайней мере, один отличен от нуля, имеет своим множеством

решений двумерное линейное многообразие. Если речь идет о пространстве над полем действи-

тельных чисел, то такое уравнение – это уравнение плоскости.

Система из двух таких уравнений

,0

,0

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

может быть несовместной – тогда соответствующие плоскости параллельны. Система может быть

совместной, и, более того, иметь два свободных неизвестных, в таком случае плоскости совпадают.

Если система совместна, а линейное многообразие решений – одномерно, то эта система

уравнений определяет прямую.

В этом случае ранги матрицы этой системы

222

111

cba

cba

и расширенной матрицы

2222

1111

dcba

dcba

совпадают, и равны двум. Соответственно число свободных неизвестных равно одному.

Если плоскость задана уравнением

ax + by + cz + d = 0,

то множество решений системы уравнений

,0

,0

,0

2222

1111

dczbyax

dzcybxa

dzcybxa

(S)

состоит из точек, принадлежащих одновременно этой прямой и плоскости, т. е. является пересече-

нием прямой и плоскости.

Может случиться, что эта прямая принадлежит плоскости, в этом случае ранг системы (S)

равен двум, и третье уравнение является следствием двух первых.

Если ранг матрицы

cba

cba

cba

222

111

равен двум, а ранг матрицы

199

dcba

dcba

dcba

2222

1111

равен трем, то система (S) несовместна, в этом случае прямая параллельна плоскости.

Если же ранги обеих матриц – основной и расширенной матриц системы (S) – равны трем, то

свободных неизвестных нет совсем, и множество решений состоит из одной точки.

Если система (S) имеет ранг 2 и первые два уравнения задают прямую, то третье уравнение

системы определяет плоскость, проходящую через эту прямую. Третье уравнение в этом случае

является линейной комбинацией первых двух уравнений. Иначе говоря, если система

,0

,0

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

определяет прямую, то уравнение

k1(a1x + b1y + c1z + d1) + k2(a2x + b2y + c2z + d2) = 0, ()

где k1, k2 не равны нулю одновременно, – это уравнение плоскости, проходящей через эту прямую.

Множество всех таких плоскостей называют пучком. Таким образом, () – это уравнение

пучка плоскостей.

Параметрические уравнения прямой. Прямая может быть задана и не как пересечение

двух плоскостей.

Например, существует единственная прямая, проходящая через данную точку в заданном

направлении. Точку M(x0, y0, z0), в пространстве можно задать как конец вектора OM =

= (x0, y0, z0), а направление определить с помощью вектора = (m, n, l).

На рисунке = OC; а для наглядности изображены точки (A и B) пересечения нашей пря-

мой с координатными плоскостями yOz и xOz, а также проекции прямой и направляющего вектора

на плоскость xOy (эти проекции параллельны).

Точки прямой – это множество всех концов векторов x = (x, y, z) вида:

x = k + ,

где k – любое действительное число.

Из равенства

(x, y, z) = k(m, n, l) + (x0, y0, z0)

следует:

.

,

,

0

0

0

zklz

ykny

xkmx

Эти уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

200

Симметричные уравнения прямой. Исключив параметр k, получаем уравнение прямой,

проходящей через заданную точку M(x0, y0, z0) в заданном направлении = (m, n, l):

l

zz

n

yy

m

xx 000

.

Такое уравнение принято называть симметричным (или каноническим) уравнением прямой.

Отметим, что симметричное уравнение прямой (правильнее говорить во множественном

числе: «симметричные уравнения») на самом деле являются системой из двух уравнений, напри-

мер,

,0

,0

00

00

l

zz

n

yy

n

yy

m

xx

каждое из которых определяет плоскость, параллельную одной из координатных осей.

Отметим дополнительно, всевозможные ненулевые линейные комбинации этих уравнений

задают элементы пучка плоскостей, проходящих через данную прямую.

У направляющего вектора могут быть и нулевые координаты. Пусть, например, m = 0, тогда

параметрические уравнения имеют вид:

.

,

,

0

0

0

zklz

ykny

xx

В первом уравнении уже нет параметра k, однако уравнение прямой удобно записать в том

же виде (т. е. содержащем все координаты направляющего вектора):

.0

000

c

zz

b

yyxx

Частные случаи прямых – это оси координат. Например, ось абсцисс Ox проходит через точ-

ку O(0, 0, 0) в направлении вектора (1, 0, 0). Следовательно, каноническое уравнение этой оси

имеет вид:

.0

0

0

0

1

0

zyx

После преобразований получаем, что ось абсцисс задается уравнением

.00

zyx

Направление прямой может задать вторая точка. Если прямая проходит через две точки

M(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1), то ее направление задается вектором (x1`– x0 , y1 – y0, z1 – z0), и соответ-

ственно уравнение прямой, проходящей через точки M и M1, принимает вид:

01

0

01

0

01

0

zz

zz

yy

yy

xx

xx

.

201

Уравнение прямой на плоскости. На плоскости прямая задается уравнением от двух пере-

менных. Уравнение

ax + by + c = 0, где коэффициенты a, b не равны нулю одновременно, называется общим уравне-

нием прямой – им можно задать любую прямую (в том числе и прямую, параллельную какой-

нибудь координатной оси). Уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0), имеет вид:

a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

Множество всех таких прямых называют пучком. Придавая произвольные значения парамет-

рам a, b (не обнуливая их одновременно) можно получить любую прямую из этого пучка.

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку M(x0, y0) в заданном

направлении = (m, n) принимает вид:

.00

n

yy

m

xx

Направление прямой можно задать ее второй точкой, тогда уравнение прямой на плоскости,

проходящей через две точки M(x0, y0) и M1(x1, y1) становится:

.01

0

01

0

yy

yy

xx

xx

Используя свойства определителя, этому уравнению можно придать легко запоминающуюся

красивую форму в виде определителя:

.0

1

1

1

11

00

yx

yx

yx

Если все коэффициенты и свободный член в общем уравнении прямой отличны от нуля, то

уравнение можно привести к виду, который называется уравнением прямой в отрезках:

.1B

y

A

x

С таким уравнением удобно построить прямую на координатной плоскости: параметры A,

B – это точки пересечения прямой с координатными осями.

Равенство нулю одного из коэффициентов означает, что прямая параллельна одной из коор-

динатных осей. Например, если у игрека b = 0, то прямая параллельна оси ординат Oy.

Если коэффициент b отличен от нуля, т. е. прямая не параллельна оси Oy, то ее можно задать

уравнением с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

202

На координатной плоскости такая прямая пересекает ось ординат в точке b, а тангенс угла

между осью абсцисс и прямой равен k.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x0, y0), под углом с осью абсцисс имеет вид

(y – y0) = k(x – x0),

где k = tg .

Уравнение

01

0

01

0

yy

yy

xx

xx

прямой, проходящей через две точки M(x0, y0) и M1(x1, y1), при y1 – y0 0 равносильно

00

01

01 yyxxxx

yy

,

а это значит, что угловой коэффициент такой прямой равен

.01

01

xx

yy

Пример вычисления углового коэффициента. Если прямая проходит через точки O(0; 0) и

B(–2; 1), то ее угловой коэффициент k равен

.2

1

02

01

k

Так как прямая y = kx + b пересекает ось ординат при x = 0, значение b = 0. Таким образом,

прямая задается уравнением

.2

1xy

Напомним, что угловой коэффициент – это тангенс угла между осью абсцисс и данной

прямой.

203

Нормальное уравнение прямой. Для нахождения расстояния от точки до прямой, располо-

женных в координатной плоскости, можно использовать нормальное уравнение прямой:

x cos + y cos = p,

где p – расстояние от начала координат до прямой (на рисунке длина отрезка OD), а , – углы

между направлением на прямую координатными осями Ox и Oy.

Для прямой на плоскости нормальное уравнение можно получить из общего уравнения. Если

Ax + By + C = 0

()

общее уравнение прямой, то нормальное уравнение этой же прямой имеет вид:

,222222 BA

Сy

BA

Bx

BA

A

где знак корня выбирается так, чтобы

,022

BA

С

Расстояние d от точки M(x0, y0) до прямой, заданной уравнением (), вычисляется по фор-

муле:

.22

00

BA

CyBxAd

Условие перпендикулярности двух прямых. Углом между прямыми в пространстве назы-

вают угол между их направляющими векторами. Пусть прямые u, w заданы каноническими урав-

нениями

соответственно, и угол между этими прямыми равен . Вектор = (m, n, l) направляет прямую u,

а вектор = (m1, n1, l1) является направляющим для прямой w.

Угол между векторами и фигурирует в определении скалярного произведения

(, ) этих векторов:

(, ) = cos .

,000

l

zz

n

yy

m

xx

1

1

1

1

1

1

l

zz

n

yy

m

xx

204

Отсюда можно найти косинус искомого угла:

.

βα

β,αcos

2

1

2

1

2

1

222

111

lnmlnm

llnnmm

Перпендикулярные векторы чаще называют ортогональными1. В частности, векторы (и со-

ответственно – прямые) перпендикулярны тогда и только тогда, когда

m ma1 + n n1 + l l1 = 0.

Для прямых на плоскости, заданных общими уравнениям ax + by + c = 0 и a1x + b1y + c1 = 0

соответственно, векторы = (a, b) и = (a1, b1) являются нормальными. Однако угол между этими

векторами в точности равен углу между соответствующими прямыми. Таким образом, и в этом

случае угол (а точнее, косинус этого угла) можно найти с помощью скалярного произведения:

.

,cos

2

1

2

1

22

11

baba

bbaa

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности в этом случае принимает вид:

a a1 + b b1 = 0.

Если прямые на плоскости заданы угловыми коэффициентами

y = k1x + b, y = k2x + b2,

то их общие уравнения имеют вид

k1x – y + b = 0, k2x – y + b1 = 0 ,

а критерий перпендикулярности становится следующим:

k1 k2 + (–1) (–1) = 0.

Это равносильно равенству k1 k2 = –1.

Таким образом, если прямая задана уравнением y = kx + b, то прямая, ей перпендикулярная и

проходящая через точку M(x0, y0), имеет уравнение

00

1xx

kyy .

Отметим, что угол между прямыми y = k1x + b, y = k2x + b2 можно вычислить иначе. Угло-

вой коэффициент ki равен тангенсу угла i, который образует прямая с осью абсцисс.

1 От греческого – прямой.

205

Тангенс угла равен тангенсу разности улов 1 – 2 и, следовательно,

Теперь уже из свойств тангенса появляется тот же критерий перпендикулярности прямых.

Знаменатель в дроби превращается в нуль тогда и только тогда, когда прямые перпендикулярны,

т. е. в случае, когда k1 k2 = –1.

Пример вычисления углов между прямыми. Пусть прямая u имеет уравнение y = 2x + 3, а

прямые wi (i = 1, 2, 3, 4) задаются соответственно уравнениями:

x + 2y + 4 = 0,

x – 2y + 4 = 0,

4x – 2y + 3 = 0,

3x – y – 3 = 0.

Найдем углы i между прямой u и прямыми wi. Для этого сначала исходное уравнение пря-

мой представим в общем виде:

2x – y + 3 = 0.

Далее вычисляем косинусы искомых углов, используя скалярное произведение нормальных

векторов прямых:

.0

2112

2112cos

22221

Оказалось, что прямые, заданные уравнениями x + 2y + 4 = 0 и y = 2x + 3, перпендикулярны.

Найдем теперь угол 2 между прямой u и прямой w2:

.

5

4

55

4

2112

2112cos

22222

Отсюда получаем

.6435011088,05

4arccos2

Найдем угол 3 между прямыми u и w3:

.1

10

10

205

10

2412

2142cos

22223

Это значит, что 3 = 0; прямые u и w3 параллельны.

Вычислим, наконец, угол 4,

21

21

1tg

kk

kk

206

.

25

7

105

7

1312

1132cos

22224

Приближенное значение четвертого угла

.1418970522,010

27arccos4

Замечание 1. При решении вопроса о величине угла между прямыми свободные члены урав-

нений прямых никакой роли не играют.

Замечание 2. Если вопрос состоит лишь в нахождении прямой, перпендикулярной к прямой

y = 2x + 3 (она же 2x – y +3 = 0), то вычисления значительно ускоряются:

2 1 + (–1) 2 = 0 прямые перпендикулярны;

2 1 + (–1) (–2) 0 прямые не перпендикулярны;

2 4 + (–1) (–2) 0 прямые не перпендикулярны;

2 3 + (–1) (–1) 0 прямые не перпендикулярны.

Замечание 3. Прямую параллельную данной также можно обнаружить ускоренно, проверяя

лишь пропорциональность коэффициентов в уравнениях (т. е. равенство угловых коэффициентов).

Сделать это можно с помощью определителя второго порядка. Например,

;0112221

12

это значит, что прямые 2x – y +3 = 0 и x – 2y + 4 = 0 не параллельны. Равенство нулю определителя

24

12

означает, что прямые 2x – y + 3 = 0 и 4x – 2y +3 = 0 параллельны.

§ 4. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Типы уравнений плоскости. Множеством решений линейного уравнения от трех неизвест-

ных, в котором не все коэффициенты равны нулю, является линейное многообразие размерности

2, т. е. плоскость. Наоборот, каждую плоскость можно задать уравнение такого вида. Итак, урав-

нение

Ax + By + Cy + D = 0,

где не все числа A, B, C равны нулю, задает плоскость, и наоборот каждую плоскость можно за-

дать уравнение такого вида. Это уравнение называют общим уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости представляет собой систему линейных уравнений из одного

уравнения с тремя неизвестными. Ранг матрицы этой системы равен 1, поэтому она всегда сов-

местна и число свободных неизвестных равно двум. Свободные неизвестные можно считать пара-

метрами k1, k2 в параметрическом задании плоскости:

x = k11 + k21 + ,

где 1, 2 – базисные векторы для множества решений сопутствующей однородной системы, а –

вектор сдвига.

207

Вектор (A, B, C), построенный из коэффициентов общего уравнения плоскости, перпенди-

кулярен этой плоскости. Вместо слова «перпендикулярный» в такой ситуации принято говорить:

«нормальный»1.

Через каждую точку M(x0, y0, z0) пространства проходит единственная плоскость, перпенди-

кулярная вектору (A, B, C), Уравнение этой плоскости напоминает каноническое уравнение пря-

мой, только там вектор направляющий, а здесь – нормальный; и поэтому вместо деления здесь

умножение, а вместо равенств – сложение. Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку

M(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору (A, B, C), имеет вид

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Если в таком уравнении изменять параметры A, B, C совершенно произвольно, то получим

множество плоскостей трехмерного пространства, имеющих одну общую точку M(x0, y0, z0). Такое

множество плоскостей называют связкой. Таким образом уравнение

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0,

где не все A, B, C равны нулю одновременно, является уравнением связки плоскостей с общей

точкой M(x0, y0, z0).

Для вычисления расстояния от точки до плоскости удобно использовать не общее уравнение

плоскости, а так называемое нормальное уравнение.

Пусть вектор OD является нормальным вектором этой плоскости и углы, который этот век-

тор образует с координатными осями Ox, Oy и Oz равны , , и соответственно.

Вектор, длина которого равна 1, называется нормированным. Любой ненулевой вектор

можно нормировать, т. е. указать, коллинеарный вектор единичной длины. Для этого достаточно

умножить вектор на скаляр, равный –1

.

В нашем случае нормированный вектор v, одинаково направленный с вектором OD, имеет

координаты (cos , cos , cos ) .

Если плоскость удалена от начала координат на расстояние p, то конец вектора x = (x, y ,z)

принадлежит данной плоскости тогда и только тогда, когда (x, v) = p.

Это уравнение называют нормальным уравнением плоскости.

Нормальное уравнение в развернутом виде:

x cos + y cos + z cos = p.

Расстояние d от точки M (x0, y0, z0) до плоскости равно

(OM, v) – p,

или, в развернутом виде

x0 cos + y0 cos + z0 cos – p .

1 От лат. normalis – прямой.

208

Таким образом, если

Ax + By + Cz + D = 0

общее уравнение плоскости, то уравнение

,222222222222 CBA

Dz

CBA

Cy

CBA

Bx

CBA

A

где знак корня выбирается так, чтобы

,0222

CBA

D

является нормальным уравнением той же плоскости.

Следовательно, расстояние от точки M (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно

.222

000

CBA

DCyByAx

Плоскость однозначно задается и тремя точками, не лежащими на одной прямой. Для полу-

чения уравнения в этом случае удобно воспользоваться геометрической интерпретацией опреде-

лителя третьего порядка.

Геометрический смысл определителя третьего порядка состоит в том, что абсолютная вели-

чина этого определителя равна объему параллелепипеда, построенного на векторах-строках. Если

построить параллелепипед на четырех точках, лежащих в одной плоскости, то его объем будет

равен нулю.

Это значит, что если плоскость задана тремя точками A(ax, ay, az), B(bx, by, bz), , C(cx, cy, cz), не

лежащими на одной прямой, то уравнение этой плоскости имеет вид:

.0

zzyyxx

zzyyxx

zyx

acacac

ababab

azayax

После раскрытия определителя получится общее уравнение плоскости.

Используя свойства определителя первоначальное уравнение в виде определителе 3-го по-

рядка можно записать в более красивом (и легко запоминающемся) виде:

.0

1

1

1

1

zyx

cxc

bbb

aaa

zyx

zyx

zyx

Геометрический смысл определителя третьего порядка можно использовать и непосред-

ственно для вычисления объема параллелепипеда или его части. Треугольную пирамиду (не обя-

зательно правильную) принято называть тетраэдром. Вычислим объем тетраэдра.

Объем тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр (он же – четырехгранник, он же – треугольная пи-

рамида), вершинами которого являются точки A(ax, ay, az), B(bx, by, bz), C(cx, cy, cz), D(dx, dy, dz).

Три стороны этого тетраэдра образуют векторы AB, AC, AD. Обозначим эти векторы строч-

ными буквами и заодно вычислим их координаты:

209

AB = a = (bx – ax, by – ay, bz – az),

AC = b = (cx – ax, cy – ay, cz – az),

AD = c = (dx – ax, dy – ay, dz – az).

Дополним тетраэдр ABCD до параллелепипеда ABB1CDD1A1C1.

Объем параллелепипеда, тремя ребрами которого являются векторы a = (a11, a12, a13),

b = (a21, a22, a23), c = (a31, a32, a33), равен абсолютной величине определителя

.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Теперь сравним объем параллелепипеда и тетраэдра.

Объем тетраэдра равен одной трети произведения площади основания на высоту, проведен-

ную к этому основанию. Основанием тетраэдра выберем треугольник ABC (двумя сторонами ко-

торого являются векторы a и b).

Тогда высота будет опущена из вершины D на грань ABC. Площадь треугольника ABC равна

половине площади параллелограмма ABB1C. Высота тетраэдра равна высоте параллелепипеда,

опущенной на основание ABB1C. Объем параллелепипеда равен произведению основания на вы-

соту, и, следовательно, объем тетраэдра ABCD в шесть раз меньше объема дополняющего парал-

лелепипеда.

Таким образом, объем тетраэдра ABCD равен абсолютной величине

.6

1

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Чтобы найти высоту тетраэдра, проведенную через точку D, достаточно найти площадь ос-

нования, т. е. площадь треугольника ABC.

Площадь треугольника. Площадь треугольника ABC можно найти разными способами.

Можно воспользоваться тем, что площадь параллелограмма ABB1C, двумя сторонами кото-

рого являются векторы a и a, равна модулю векторного произведения a b, а искомая площадь

треугольника – это в точности половина площади параллелограмма.

Наконец, можно использовать формулу:

,sin2

1ACABS ABC

где ACAB , длины сторон AB и AC, а – величина угла между этими сторонами.

210

Длины сторон – это модули векторов a, b, а синус угла можно найти, зная скалярное про-

изведение этих векторов:

baba cos, .

Отсюда

ba

ba

, ,

и соответственно:

ba

ba

ba2

2,

12

1ABCS .,

2

1 22baba

Наконец, можно, вычислив длины отрезков AB, AC, BC, найти площадь треугольника ABC по

формуле Герона1.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Чтобы узнать, не пересе-

каются ли две прямые, заданные уравнениями

,1

1

1

1

1

1

l

zz

n

yy

m

xx

достаточно объединить их знаком системы и решить эту систему. Впрочем, еще до решения си-

стемы можно сделать прогноз: если векторы = (m, n, l) и 1 = (m1, n1, l1) – коллинеарны, то пря-

мые параллельны, и, возможно, к тому же совпадают. Если и 1 не коллинеарны, то прямые или

пересекаются, или скрещиваются.

Для прямых на плоскости (т. е тогда, когда нет третьей координаты z) ситуация упрощается:

для пересечения прямых необходимо и достаточно не коллинеарности векторов (m, n) и (m1, n1).

В частности, прямые, заданные уравнениями с угловым коэффициентами, параллельны тогда и

только тогда, когда эти коэффициенты совпадают. Если прямые на плоскости заданы общими

уравнениям, то в нашем распоряжении нормальные векторы этих прямых, и ситуация принципи-

ально не меняется: если нормальные векторы коллинеарные, то прямые параллельны.

Нахождение пересечения прямой, заданной каноническим уравнением

и плоскостью, заданной общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

сводится к решению системы линейных уравнений. Этой искомой точкой (или прямой или пустым

множеством) является множество решений системы из трех линейных уравнений:

1 Если a, b, c – стороны треугольника и , то площадь треугольника равна

,000

l

zz

n

yy

m

xx

,000

l

zz

n

yy

m

xx

2

cbap

.cpbpapp

211

Если ранг этой системы равен 3, то прямая и плоскость имеют одну общую точку. Если ранг

равен 2 и система совместна, то прямая лежит на плоскости. Наконец, если система несовместна,

то прямая параллельна плоскости. Частичный прогноз здесь тоже возможен. Прямая параллельна

плоскости, если их задающие векторы ортогональны, т. е.

Am + Bn + Cl = 0,

а точка M(x0, y0, z0) не принадлежит плоскости:

Ax0 + By0 + Cz0 + D 0,

Вектор = (A, B, C) нормален плоскости, поэтому каждая прямая, проходящая через точку

M(x0, y0, z0) в направлении ,

будет перпендикулярна этой плоскости. Наоборот, плоскость, проходящая через точку M(x0, y0, z0)

перпендикулярно прямой

имеет уравнение

m(x – x0) + n(y – y0) + l(z – z0) = 0.

Две плоскости перпендикулярны, если ортогональны их нормальные векторы, т. е. тогда, ко-

гда скалярное произведение этих векторов равно нулю.

В более общей ситуации с помощью скалярного произведения можно вычислить любой угол

между нормальными векторами двух плоскостей, а также найти угол между направляющим векто-

ром прямой и нормальным вектором плоскости.

Две плоскости, заданные уравнениями

a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0,

a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0,

параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны, т. е. строки матрицы

пропорциональны, а строки матрицы

не пропорциональны.

.0

,000

DCzByAx

l

zz

n

yy

m

xx

,000

C

zz

B

yy

A

xx

,000

l

zz

n

yy

m

xx

222

111

cba

cba

2222

1111

dcba

dcba

212

Расположение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

в пространстве характеризуется, в первую очередь, ее положением относительно координатных

осей.

Если все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля, то общее уравне-

ние можно преобразовать в уравнение плоскости в отрезках:

Такое уравнение особенно удобно для построения плоскости в системе координат: точки a,

b, c – это координаты отрезков, отсеченных нашей плоскостью на координатных осях.

Если свободный член D в уравнении равен нулю, то плоскость проходит через начало коор-

динат – точку O(0, 0, 0), и, таким образом, пересекает все координатные оси. Если D 0, то плос-

кость не содержит точку O и может случиться так, что некоторую ось, а то и две сразу не пересе-

кает вообще.

Если все коэффициенты A, B, C отличны от нуля, то плоскость не проходит через начало ко-

ординат.

Если D 0, а коэффициент A = 0, то плоскость параллельна оси абсцисс Ox. Аналогично, при

B = 0 плоскость параллельна оси ординат, а при C = 0 параллельна оси аппликат. Если равны нулю

сразу два коэффициента, то плоскость параллельна сразу двум оставшимся координатным осям, а

следовательно, параллельна одной из координатных плоскостей.

Примеры различных положений плоскости в пространстве. Пусть четыре плоскости за-

даны уравнениями

(1) 2x + 3z + 5 = 0;

(2) 4y – z – 3 = 0;

(3) 5x + 2y – 9 = 0;

(4) x + 7y – 2z = 0.

Посмотрим, как расположены эти плоскости относительно координатных осей.

Сначала найдем среди них плоскости, проходящие через начало координат. Такие плоскости

задают уравнения с нулевым свободным членом. Таким является лишь одно – уравнение номер

(4). Итак, плоскость (4) и только она проходит через начало координат.

.1c

z

b

y

a

x

213

Уравнения, содержащие нулевой коэффициент, параллельны координатным осям. В уравне-

нии плоскости (1) коэффициент у игрека равен нулю, поэтому плоскость (1) параллельна оси Oy.

По аналогичной причине плоскость (2) параллельна оси Ox, а плоскость (3) параллельна оси

оси Oz. Из этого набора плоскостей только одна плоскость (1) не имеет с осью Oy общих точек.

Три остальные проходят через ось Oy, а точнее каждая пересекает ось ординат в точности в одной

точке. Плоскость (2) имеет общую точку с осью ординат точку , плоскость (3) пересека-

ет Oy в точке , а плоскость (4) в .

Классификация расположения плоскостей, указанных в примере, полностью закончена, од-

нако для полноты картины посмотрим на сами эти плоскости.

№ Уравнение Плоскость

1 2x + 3z + 5 = 0

2 4y – z – 3 = 0

3 5x + 2y – 9 = 0

4 x + 7y – 2z = 0

0,

4

3,0

0,

2

9,0 0,0,0

214

Векторное произведение. Взаимное расположение точек и прямых характеризуется метри-

чески. Для вычисления длины отрезка достаточно воспользоваться теоремой Пифагора. В принци-

пе с помощью этой теоремы можно найти и расстояние от точки до прямой в пространстве и рас-

стояние между скрещивающимися прямыми.

Однако для решения этих задач более удобным инструментом является векторное произве-

дение.

Если , – два трехмерных вектора, то векторным произведением векторов и называет-

ся вектор , такой, что:

1) ортогонален векторам и ;

2) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

3) направление обхода концов векторов , , совпадает с направлением обхода коор-

динатных векторов.

Под «обходом» понимается движение внутри трехгранного телесного угла, образованного

этими тремя векторами.

Например, если орты i, j, k обходятся против часовой стрелки, то и обход векторов , ,

так же должен происходить против часовой стрелки (на рисунке – заштрихованная часть

представляет «вид снизу»).

Если – угол между векторами и . то

= | | | | sin .

Векторы i, j, k – попарно ортогональны и имеют единичные модулю, поэтому произведение

любых двух из них дает или третий вектор, или противоположный третьему.

Квадрат каждого вектора репера (как и любых коллинеарных векторов) равен нулю.

Используя эти свойства можно выразить координаты векторного произведения через коор-

динаты сомножителей.

Если = (ax, ay, az), = (bx, by, bz), то

= .

Соответственно,

= .

Площадь треугольника, натянутого на два трехмерных вектора , равна половине площа-

ди параллелограмма, образованного этими векторами, т. е. равна .

yx

yx

xz

xz

zy

zy

bb

aa

bb

aa

bb

aa,,

222

yx

yx

xz

xz

zy

zy

bb

aa

bb

aa

bb

aa

2

βα

215

Расстояние от точки до прямой в пространстве. Рассмотрим теперь прямую a в трехмер-

ном пространстве, проходящую через точку M(x0, y0, z0) параллельно вектору = (m, n, l).

Это значит, что симметричное уравнение прямой a имеет вид:

Найдем расстояние от точки B(x1, y1, z1) до этой прямой. Пусть

= MB = (x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0).

Можно считать, что направляющий вектор имеет своим началом точку M (как изображено на

схеме).

Тогда расстояние d от точки B до прямой a равно высоте параллелограмма MBB1M1.

Площадь параллелограмма – это модуль векторного произведения , основание паралле-

лограмма – это модуль вектора , поэтому

,

или, в развернутом виде:

.

Расстояние между параллельными прямыми. Если прямые заданы каноническими урав-

нениями и направляющие векторы этих прямых коллинеарны, то эти прямые параллельны. Чтобы

найти расстояние между этими прямыми, достаточно взять любую точку на одной прямой (коор-

динаты подходящей точки уже есть в каноническом уравнении) и найти расстояние от этой точки

до второй прямой.

Если прямые лежат в координатной плоскости, заданы общими уравнениями, то параллель-

ность прямых означает, что векторы, ортогональные к этим прямым коллинеарны.

Расстояние между параллельными прямыми на плоскости можно вычислить по той же схе-

ме, что и для прямых в пространстве.

В этом случае для нахождения расстояние от точки, лежащей на одной прямой, до второй

прямой удобно вторую прямую представить нормальным уравнением.

Пример. Найдем расстояние между прямыми, заданными уравнениями

4x – 2y – 6 = 0; 2x – y + 3 = 0.

.000

l

zz

n

yy

m

xx

γ

γδd

222

2

0101

2

0101

2

0101

lnm

nm

yyxx

ml

xxzz

ln

zzyy

d

216

Нормальные векторы этих прямых (2, -1) и (4, -2) коллинеарны, следовательно, прямые па-

раллельны. Точка M(0, -3) принадлежит первой прямой: найдем расстояние d от точки M до вто-

рой прямой:

.

5

56

5

6

12

3302

22

d

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Если прямые пересекаются, то расстоя-

ние между ними равно нулю.

Если прямые параллельны и не совпадают, то расстояние между этими параллелями – это

длина общего перпендикуляра. Его длину можно вычислить с помощью векторного произведения.

Длина общего перпендикуляра к двум прямым является расстоянием между прямыми и в

общем случае, когда прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.

Длину этого перпендикуляра можно вычислить, используя две формулы для нахождения

объема параллелепипеда, три стороны которого являются данными векторами.

Если , , – три линейно независимых вектора, то объем параллелепипеда, построенного

как на сторонах на этих векторах является модулем скалярного произведения ( , ).

Такое произведение называют смешанным и обозначают символом (, , ).

Предположим, что прямые a и b – скрещивающиеся, вектор – направляющий для прямой a,

вектор – направляющий для прямой b, a вектор соединяет две точки, лежащих на этих прямых.

Если

= (a11, a12, a13),

= (a21, a22, a23),

= (a31, a32, a33)

то о б ъ е м п а р а л л е л е п и п е д а A B B 1 C D D 1 A 1 C 1 р а в е н а б с о л ю т н о й в е л и ч и н е

о п р е д е л и т е л я

С другой стороны, этот же объем равен произведению площади основания параллелепипеда

на его высоту.

Площадь основания равна модулю вектора , а высота – это и есть искомое расстояние d

между прямыми a и b.

.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

217

Таким образом, расстояние между скрещивающимися прямыми

§ 5. Контрольные задания по теме «Аналитическая геометрия»

Задача 1. Прямая a пересекает плоскость в точке M. Найдите уравнение прямой, лежащей

в плоскости , проходящей через точку M и перпендикулярной прямой a.

Номер варианта Уравнение прямой a Уравнение плоскости

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Прямая a пересекает плоскость в точке M. Найдите уравнение прямой, лежащей

в плоскости , проходящей через точку M и перпендикулярной прямой a. Прямая a и плоскость

заданы уравнениями:

6x +10y + 15z + 1 = 0.

Р е ш е н и е . Координаты точки M(x0, y0, z0) являются решением системы линейных уравне-

ний:

.

,

βα

γβα

d

0

2

1

3

1

5

zух0153 zух

5

1

4

3

3

1

zух0123 zух

2

3

01

1

zух042 zух

2

1

4

5

1

1

zух02473 zух

5

1

4

3

3

1

zух02052 zух

4

1

1

3

1

2

zух01732 zух

0

2

1

3

1

5

zух01032 zух

3

3

2

2

1

1

zух01023 zух

2

3

3

2

4

1

zух01345 zух

2

3

2

1

1

1

zух0532 zух

,5

3

3

2

2

1

zyx

.0115106

,5

3

3

1

2

1

zyx

zyx

218

Перепишем эту систему, заменив двойное равенство двумя уравнениями:

Сделаем преобразования, раскрыв скобки:

Перенесем все неизвестные в левые части уравнений, получим:

Решим эту систему используя правило Крамера.

При вычислении определителя системы и вспомогательных определителей i воспользу-

емся разложением определителя по ряду и тем обстоятельством, что элементарное преобразование

второго типа не изменяет определителя:

= =3 (–1)2+1

= (–3) (5 15 – (–3) 14) = –3 (75 + 42) = –351;

1(–1)1 + 1

= 3 12 – (–3) 15 = 36 + 45 = 81;

= 3 (–1)2 + 1

= (–3) [1 15 – (–3) 1] = (–3) (15 + 3) = –54;

.0115106

,2213

,3325

zyx

yx

zy

.0115106

,4233

,93105

zyx

yx

zy

.115106

,123

,135

zyx

yx

zy

15106

023

350

15140

023

350

1514

35

15101

021

351

1

12150

330

351

1215

33

1516

013

310

2

1510

013

310

151

31

219

=3 (–1)2+1

= (–3) (1 5 – 1 14) = (–3) (–9) = 27.

По правилу Крамера решением системы является точка , т. е.

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке M . Через эту точку прохо-

дит искомая прямая, следовательно, каноническое уравнение этой прямой имеет вид:

где направляющий вектор = (m, n, l) перпендикулярен направляющему вектору = (2, 3, 5) дан-

ной прямой. Это значит, что скалярное произведение векторов и равно нулю. Но равенство

(, ) = 0

равносильно

2m + 3n + 5l = 0

Искомая прямая лежит в плоскости , а это значит, что вектор перпендикулярен вектору

= (6, 10, 15). Снова из равенства нулю скалярного произведения (, ) получаем уравнение

6m + 10n + 15l = 0

Таким образом, поиск направляющего вектора свелся к нахождению любого ненулевого ре-

шения системы уравнений

1106

123

150

3

1140

123

150

114

15

321 ,,

,13

3

351

8110

x

,13

2

351

5420

y

.13

1

351

2710

z

13

1,

13

2,

13

3

,13

1

13

2

13

3

l

z

n

y

m

x

.015106

,0532

lnm

lnm

220

Ранг матрицы этой системы равен двум, число неизвестным трем, а это значит, что в систе-

ме одно свободное неизвестное. Определитель

отличен от нуля, поэтому его матрицу можно взять в качестве базисного минора. Тогда неизвест-

ное l объявляется свободным. Придадим ему какое-нибудь ненулевое значение, например, пусть

l = 1, и решим получившуюся систему

по формулам Крамера. Вычисляем:

Это означает, что в качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять век-

тор = ( , 0, 1). Любой ненулевой вектор, коллинеарный , также будет направляющим векто-

ром. «Для красоты» умножим вектор на скаляр 2, т. е. в качестве направляющего теперь будет

вектор (–5, 0. 2), коллинеарный вектору .

Искомое уравнение прямой получено:

О т в е т . Прямая, проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости перпенди-

кулярно прямой a и лежащая в плоскости , задается уравнением

З а д а ч а 2 . Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями f(x, y, z) = 0,

g(x, y, z) = 0.

,263102106

32

,15106

,532

nm

mm

;

2

5

2

5

63101

153105

106

32

1015

35

m

.0

2

0

63101

65152

106

32

156

52

n

2

5

,2

13

1

0

13

2

5

13

3

zyx

.2

13

1

0

13

2

5

13

3

zyx

221

Номер варианта f(x, y, z) = 0 g(x, y, z) = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями:

, .

Р е ш е н и е . Плоскости (если они не параллельны) образуют четыре двугранных угла. Один

из них равен углу между векторами, перпендикулярными к этим плоскостям.

К первой плоскости нормален вектор a= (1, 2, 3), а ко второй – вектор b =(4, 5, 6).

Пусть – угол между этими векторами.

Найдем угол с помощью скалярного произведения:

(a, b) = cos a b,

откуда

.

Отсюда 13.

Ответ . Угол между плоскостями равен

Задача 3. Найдите расстояние от точки M до плоскости, проходящей через точки A, B , C.

01523 zyx 01395 zyx

017426 zyx 04639 zyx

053 yx 01652 zyx

013 zyx 01 zx

01354 zyx 094 zyx

01223 zyx 0103 zyx

0165 zyx 049 zyx

0135 zyx 012 zyx

0469 zyx 0153 zyx

01354 zyx 094 zyx

0432 zyx 015654 zyx

ba

ba,cos

222222 654321

635241

7714

32

227

32

7714

32

227

32arccos

.1377

2216arccos

222

Номер варианта Точка M Точка A Точка B Точка C 1 M(–12, 7, –1) A(1, 5, –4) B(–3, 4, –7) C(–5, –2, 0)

2 M(1, –6, –5) A(4, –1, 0) B(–1, 2, –3) C(2, –6, –5)

3 M(4, –2, –6) A(10, –5, –8) B(–2, 3, 0) C(5, –2, 4)

4 M(2, 2, 1) A(–4, 6, –3) B(–1, 0, 1) C(1, 3, 6)

5 M(–10, 5, 8) A(2, –3, 0) B(–5, 2, –4), C(–4, 2, 6)

6 M(–1, –5, 2) A(3, 6, –3) B(–6, 0, –3) C(–10, 6, 7)

7 M(1, 3, 6) A(–1, 0, 1) B(2, 2, 1), C(–4, 6, -3)

8 M(–4, 2, 6) A(–10, 5, 8) B(2, –3, 0) C(–5, 2, –4)

9 M(–6, 0, –3) A(–1, –5, 2) B(3, 6, –3), C(–10, 6, 7)

10 M(3, 3, 1) A(7, 2, 4) B(–1, 2, 1) C(7, –1, –2)

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Найдите расстояние от точки M(1, 2, 3) до плоскости, проходящей через точ-

ки A(1, 1, –1), B(–1, 3, 7), C(4, 2, 4).

Р е ш е н и е . Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C:

Вычисляем:

Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

+

.

Уравнение плоскости найдено:

.0

141214

171311

111

zyx

.0

513

822

111

zyx

513

822

111 zyx

51

8211

11x

53

8211

21y

13

2211

31z

81521x 83521y 32121z

1813412 zyx 448342 zyx

.0448342 zyx

223

Пусть d – искомое расстояние. Тогда

0,0581 .

Ответ . Расстояние от точки от точки M(1, 2, 3) до плоскости, проходящей через точ-

ки A(1, 1, –1), B(–1, 3, 7), C(4, 2, 4), равно 0,0581.

З а д а ч а 4 . Найдите расстояние от точки B до прямой, заданной уравнением.

Номер варианта Точка B Уравнение прямой

1 B(–12, 7, –1)

2 B(1, –6, –5)

3 B(4, –2, –6)

4 B(2, 2, 1)

5 B(–10, 5, 8)

6 B(–1, –5, 2)

7 B(1, 3, 6)

8 B(–4, 2, 6)

9 B(3, 3, 1)

10 B(–6, 0, –3)

Образец решения задачи

З а д а ч а . Найдите расстояние от точки B(2, 4, 8) до прямой, заданной уравнением:

222 )8(342

443823412d

222 )8(342

443823412d

346

2

1224

2d

102

34

343

1

102

34

0

2

1

3

1

5

zyx

5

1

4

3

3

1

zyx

2

3

01

1

zyx

2

1

4

5

1

1

zyx

5

1

4

3

3

1

zyx

4

1

1

3

1

2

zyx

0

2

1

3

1

5

zyx

3

3

2

2

1

1

zyx

2

3

3

2

4

1

zyx

2

3

2

1

1

1

zyx

.5

3

3

2

2

1

zyx

224

Р е ш е н и е . Прямая проходит через точку M(1, 2, 3) и имеет направляющий вектор

= (2, 3, 5). Найдем векторное произведение вектора

= (1 – 2, 2 – 4, 3 – 8) = (–1, –2, –5),

и вектора :

= = (5, –5, 1).

Модуль этого вектора равен

,

а модуль направляющего вектора

=

Чтобы получить ответ, остается только разделить первое число на второе.

Ответ . Расстояние от точки B(2, 4, 8) до прямой, заданной уравнением

равно .

Задача 5. Найдите расстояние между прямыми a, b, заданными уравнениями

Номер варианта Уравнение прямой a Уравнение прямой b

1

2

3

4

5

6

MB

MB

32

21,

25

15,

53

52

51155 222

.38532 222

,5

3

3

2

2

1

zyx

158493,138

51

10

2

1

13

1

5

zyx

2

3

2

1

1

6

zyx

5

9

4

3

3

10

zyx

7

2

1

8

1

5

zyx

2

3

91

5

zyx

5

6

4

3

3

1

zyx

2

1

4

5

1

1

zyx

2

3

15

7

6

1

zyx

5

3

4

3

3

4

zyx

2

12

4

9

1

9

zyx

4

1

1

3

1

2

zyx

15

2

4

3

3

1

zyx

225

Номер варианта Уравнение прямой a Уравнение прямой b

7

8

9

10

Образец решения задачи

З а д а ч а . Найдите расстояние между прямыми, заданными уравнениями:

.

Р е ш е н и е . Первая прямая проходит через точку A(1, 2, 3) и имеет направляющий вектор

= (2, 3, 5). Вторая прямая проходит через точку B(1, 2, –3), а ее направляющий вектор

= (4, 3, 2).

Рассмотрим вектор , соединяющий эти прямые:

= = (1 – 1, 2 – 2, –3 – 3) = (0, 0, –6).

Теперь вычислим смешанное произведение этих трех векторов:

(, , ) = ((), ) =

Вычислим векторное произведение векторов :

= (–9, 16, -6).

Модуль этого вектора равен

19,3132

Наконец, разделив объем параллелепипеда на площадь его основание, найдем высоту этого

параллелепипеда, равную искомому расстоянию:

1,8640

Ответ . Расстояние между прямыми, заданными уравнениями:

равно 1,8640

6

2

16

3

1

5

zyx

4

1

8

3

1

2

zyx

3

3

2

2

1

1

zyx

4

2

1

3

1

5

zyx

2

3

3

2

4

1

zyx

3

3

2

2

1

1

zyx

4

3

2

2

1

1

zyx

2

1

3

2

4

4

zyx

,5

3

3

2

2

1

zyx

2

3

3

2

4

1

zyx

AB

AB

600

234

532

.363432634

3216

33

34

32,

42

25,

23

53

3736169222

373

36

,5

3

3

2

2

1

zyx,

2

3

3

2

4

1

zyx

373

36

226

З а д а ч а 6 . Вычислите объем тетраэдра ABCD, длину его высоты, опущенной из верши-

ны D на грань ABC, угол между гранями ABC и ACD и расстояние между прямыми AB и CD.

Номер варианта Вершины тетраэдра

1 A(7, 2, 4), B(7, –1, –2), C(3, 3, 1), D(–1, 2, 1)

2 A(2, 1, 4), B(–1, 5, –2), C(–7, –3, 2), D(–6, –3, 6)

3 A(–1, –5, 2), B(–6, 0, –3), C(3, 6, –3), D(–10, 6, 7)

4 A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(–1, 0, 1), D(–4, 6, –3)

5 A(–4, 2, 6), B(2, –3, 0), C(–10, 5, 8), D(–5, 2, –4)

6 A(3, 3, 1), B(–1, 2, 1), C(7, 2, 4), D(7, –1, –2)

7 A(-6, 0, –3), B(3, 6, –3), C(–1, –5, 2), D(–10, 6, 7)

8 A(4, –2, –6), B(–2, 3, 0), C(10, –5, –8), D(5, –2, 4)

9 A(2, 2, 1), B(–1, 0, 1), C(–4, 6, –3), D(1, 3, 6)

10 A, (–10, 5, 8) B(–5, 2, –4), C(2, –3, 0), D(–4, 2, 6)

Образец решения задачи.

З а д а ч а . Вычислите объем тетраэдра ABCD, длину его высоты, опущенной из вершины D

на грань ABC, угол между гранями ABC и ACD и расстояние между прямыми AB и CD, если

A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(5, 8, –1), D(–1, 2, –1).

Р е ш е н и е . Три стороны тетраэдра образуют векторы a = AB, b = AC, c = AD. Вычислим

координаты этих векторов:

a = (bx – ax, by – ay, bz – az) = (4 – 1, 5 – 2, 6 – 3) = (3, 3, 3),

b = (cx – ax, cy – ay, cz – az) = (5 – 1, 8 – 2, –1 – 3) = (4, 6, –4),

c = (dx – ax, dy – ay, dz – az) = (–1 – 1, 2 – 2, –1– 3) = (–2, 0, –4).

Объем V тетраэдра ABCD равен абсолютной величине

227

Для нахождения высоты OD найдем сначала площадь треугольника ABC.

Она равна половине площади параллелограмма, двумя сторонами которого являются век-

торы a и b. Эта площадь равна модулю векторного произведения a b.

Вычисляем координаты вектора u = a b:

(–12 – 18, 12 + 12, 18 – 12)= (–30, 24, 6).

Теперь найдем модуль этого вектора:

Отсюда следует, что площадь треугольника ABC равна Объем тетраэдра V

равен откуда

Вектор u = a b ортогонален плоскости ABC. Вектор v = c b ортогонален плоскости ACD .

Вычислим координаты вектора v:

(0+24, –16 – 8, –12 – 0)= (24, –16, 12).

Угол между плоскостями ABC и ACD равен углу между векторами u, v. Найдем угол ,

используя скалярное произведение векторов:

333231

232221

131211

6

1

aaa

aaa

aaa

.66

36

402

464

333

6

1

64

33,

44

33,

46

33bau

.88,38426151262430 222u

.44,19423

,3

1DOS ABC

.26,07

42

42

426

42

6

423

633

ABCS

VDO

64

02,

44

24,

46

40bcv

222222 62430121624

12624162430,cos

uv

uv

228

Отсюда 77,76.

Прямые AB и CD – скрещивающиеся, вектор a = направляющий для прямой AB, вектор d –

направляющий для прямой CD, вектор b соединяет две точки, лежащих на этих прямых.

Так как d = c – b , объем V1 параллелепипеда, построенного на векторах a, b, d, равен объему

параллелепипеда, построенного на векторах a, b, с. Объем V1 вычислен ранее, и, таким образом,

V1 = V = 36.

Найдем координаты вектора d:

d = c – b = (–2 – 4, 0 – 6, –4 + 4) = (–6, –6, 0).

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, опущенную на грань, образованную

векторами a, d. Площадь этой грани равна модулю вектора a d. Найдем этот вектор и вычислим

его модуль:

(0 + 18, –18, –18 + 18) = (18, –18, 0);

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно

О т в е т . Объем тетраэдра ABCD равен 6; длина его высоты, опущенной из вершины D на

грань ABC равна угол между гранями ABC и ACD приближенно равен 77,76; рас-

стояние между прямыми AB и CD равно

Задача 7. Приведите к каноническому виду уравнение линии, определите тип линии, найди-

те координаты ее фокусов, уравнения директрис и асимптот (если они есть) и постройте линию.

Номер варианта Уравнение линии

1

2

3

4

5

212,025624

43

4266116

1032

426976

1032

66

33,

60

33,

06

33da

.46,2521801818 222 da

.414,122

2

218

36

;26,07

42

.414,12

036642 22 yxyx

024636 22 yxyx

01101044 22 yxyx

014210 22 yxyx

014242 22 yxyx

229

Номер варианта Уравнение линии

6

7

8

9

10

Образцы решения задач.

З а д а ч а 1 . Исследуйте кривую, заданную уравнением

9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92 = 0

и постройте ее.

Р е ш е н и е . Большой определитель этой кривой,

= 20736,

отличен от нуля, а малый

= 916

больше нуля. Это значит, что исследуемая кривая является эллипсом.

В данном уравнении кривой нет одночлена с произведением xy, поэтому это график этого

уравнения получен из графика канонического равнения только параллельным переносом системы

координат.

Найдем этот параллельный сдвиг и каноническое уравнение нашего эллипса.

Выделим полные квадраты в левой части:

9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92 = 9(x

2 – 4x) + 16(y

2 – 2y) – 92=

= 9(x2 – 4x + 4 – 4) + 16(y

2 – 2y + 1 – 1) – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) – 94 + 16(y

2 – 2y + 1) – 116 – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) + 16(y

2 – 2y + 1) – (92 + 36 + 16) =

= 9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 – 144.

01684 22 yxyx

01884 22 yxyx

01489 22 yxyx

07224 22 yxyx

016894 22 yxyx

921618

16160

1809

160

09

230

Уравнение

9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 – 144 = 0

равносильно

9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 =144.

Разделим левую и правую части уравнения на 144:

преобразуем:

Знаменатели дробей представим в виде квадратов и получим окончательно:

Каноническое уравнение эллипса найдено:

Большая полуось эллипса равна 4, а малая полуось равна 3, соответственно коэффициент

сжатия

.

Найдем координаты фокусов

c =

В каноническом виде фокусы находятся в точках F1 и F2 .

На рисунке изображен эллипс в каноническом положении.

Эксцентриситет эллипса равен

= 0,66,

и уравнения директрис эллипса в каноническом виде имеют вид:

x = 6,05 и .

;1

144

116

144

2922

yx

.1

9

1

16

222

yx

.1

3

1

4

22

2

2

2

yx

.134 2

2

2

2

yx

4

3

a

bk

22 ba 22 34 .7

0,7 0,7

4

7

a 7

7

16

7

16

4

7

4

7

716x

231

Уравнение, данное в условии задачи, получено из канонического параллельным сдвигом си-

стемы координат.

Начало новых координат, выраженное в старых координатах, – это точка (2, 1).

С учетом параллельного сдвига системы координат получаем координаты основного прямо-

угольника и координаты фокусов данной линии.

Эллипс вписан в прямоугольник, ограниченный прямыми:

x = 2, x = 6,

y = 2, y = 4.

Соответственно прямые x = 2 и y = 1 являются осями симметрии эллипса.

Фокусы данного (а не канонического эллипса) обозначим теми же символами F1 и F2. С уче-

том сдвига: F1 и F2

С учетом параллельного сдвига уравнения директрис принимают вид:

С помощью основного прямоугольника строим эллипс, заданный уравнением.

На этом же чертеже укажем фокусы (точки F1 и F2) и директрисы эллипса.

З а д а ч а 2 . Исследуйте кривую, заданную уравнением

9x2 – 16y

2 – 36x – 32y – 92 = 0

и постройте ее.

Р е ш е н и е . Большой определитель этой кривой,

= 16128,

отличен от нуля, а малый

= 9 (16)

меньше нуля.

1,27 1,27

,27

716x

.27

716x

921618

16160

1809

160

09

232

Это значит, что исследуемая кривая является гиперболой.

В данном уравнении нет одночлена с произведением xy, поэтому это уравнение получено из

канонического только параллельным переносом системы координат.

Найдем этот сдвиг и каноническое уравнение гиперболы.

Для этого выделим полные квадраты в левой части:

9x2 – 16y

2 – 36x – 32y – 92 = 9(x

2 – 4x) – 16(y

2 + 2y) – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4 – 4) – 16(y

2 + 2y + 1 – 1) – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) – 94 – 16(y

2 + 2y + 1) – (–16) 1 – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) + 16(y

2 + 2y + 1) – (92 + 36 – 16) =

= 9(x – 2)2 – 16(y +1)

2 – 112.

Уравнение

9(x – 2)2 – 16(y +1)

2 – 112 = 0

равносильно

9(x – 2)2 – 16(y + 1)

2 = 112.

Разделим левую и правую части уравнения на 112:

преобразуем:

или что, то же самое

Знаменатели дробей представим в виде квадратов

и получим окончательно:

;1

112

116

112

2922

yx

.1

16

112

1

9

112

222

yx

.1

7

1

9

112

222

yx

1

7

122

2

2

3

112

2

yx

.1

7

122

2

2

3

74

2

yx

233

Каноническое уравнение гиперболы найдено:

Действительная полуось гиперболы a = 3,528, а мнимая полуось b = 2,646.

Асимптоты канонической гиперболы задаются уравнениями:

, т. е.

Фокусы гиперболы в каноническом виде имеют координаты (c, 0), где

Для данной гиперболы

4,410.

Эксцентриситет гиперболы равен

,

и уравнения директрис гиперболы в каноническом виде имеют вид:

и x=

С помощью основного прямоугольника можно построить нашу гиперболу в каноническом

расположении относительно координат.

Для получения графика исходного уравнения нужно сдвинуть систему координат так, чтобы

начало новых координат, выраженное в старых координатах, оказалось точкой точка (2, –1).

С учетом параллельного сдвига системы координат получаем координаты основного прямо-

угольника и координаты фокусов данной линии. Основной прямоугольник гиперболы ограничен

прямыми , .

.1

72

2

2

3

74

2

yx

3

747

xy

3

74

7 .

4

3xy

.22 bac

79

112c

9

63112

3

75

9

175

4

5

743

375

3

74

3

75

a

c

2,822,≈715

16

53

474

4

5

3

74

ax

.715

16

,23

74x 2

3

74x ,17 y 17 y

234

Фокусы исследуемой гиперболы находятся в точках и .

Соответственно уравнения директрис становятся:

и

Асимптоты заданной гиперболы задаются уравнениями:

Используя основной прямоугольник и асимптоты, строим гиперболу, заданную уравнением

задачи.

На этом же чертеже укажем фокусы и директрисы гиперболы.

Задача 8. Напишите канонические уравнения в декартовой системе координат для кривых

второго порядка, заданных уравнениями в полярных координатах.

Номер варианта Уравнение кривых

1

а)

б)

в)

2

а)

б)

в)

1,27

3

5

1,27

3

5

2715

16x .27

15

16x

.24

31 xy

cos132

9ρ

cos53

16ρ

cos33

1

cos1312

25ρ

cos32

3ρ

cos44

2

235

Номер варианта Уравнение кривых

3

а)

б)

в)

4

а)

б)

в)

5

а)

б)

в)

6

а)

б)

в)

7

а)

б)

в)

cos558

9ρ

cos133

4ρ

cos55

3

cos101

9ρ

cos337

16ρ

cos55

4

cos52

1ρ

cos116

25ρ

cos33

5

cos45

9ρ

cos345

9ρ

cos44

6

cos51

12ρ

cos537

4ρ

cos33

7

236

Номер варианта Уравнение кривых

8

а)

б)

в)

9

а)

б)

в)

10

а)

б)

в)

Образец решения задачи.

З а д а ч а 1 . Напишите канонические уравнения в декартовой системе координат для кри-

вых второго порядка, заданных уравнениями в полярных координатах.

(a) ;

(б);

(в) .

Р е ш е н и е . Каноническое уравнение кривой второго порядка в полярных координатах име-

ет единообразный вид:

,

где – эксцентриситет кривой, p – фокальный параметр.

cos415

16ρ

cos13311

4ρ

cos33

8

cos116

25ρ

cos13011

9ρ

cos44

9

cos33

10

cos174

3ρ

cos53

4ρ

cos345

9ρ

cos2111

100ρ

cos44

13

cosε1

p

237

Для параболы фокальный параметр имеет то же самое значение, что и параметр p в канони-

ческом уравнении параболы: y2 = 2px.

Для эллипса и гиперболы фокальный параметр находится по формуле

Таким образом, для каждого из уравнений нм нужно найти фокальный параметр и экс-

центриситет.

Пусть u > 0, w > 0, s > 0, и уравнение кривой имеет вид:

Разделив числитель и знаменатель на w, мы получим уравнение

где фокальный параметр, а эксцентриситет.

После такого преобразования уравнение для кривой (а) превращается в уравнение

.

Эксцентриситет а это значит, что кривая (а) является гиперболой, и ее канониче-

ское уравнение в декартовых координатах имеет вид:

Для того чтобы найти a, b – полуоси гиперболы составляем систему уравнений:

.2

a

bp

.cos

sw

u

,

cos1

w

sw

u

w

u

w

s

cos5

341

5

9

ρ

,15

34

.12

2

2

2

b

y

a

x

.

,5

34

,5

9

222

2

bac

a

c

a

b

238

С помощью из первых уравнений выразим неизвестные b, c через a:

, ,

и подставим найденные значения в третье уравнение. Получаем:

.

Это уравнение равносильно

34a = 25a + 45,

откуда a = 5. Из равенства получаем b = 3.

Каноническим уравнением гиперболы будет

Запишем уравнение для кривой (б) в виде:

Эксцентриситет а это значит, что кривая (б) является эллипсом, и ее каноническое

уравнение в декартовых координатах имеет вид:

Для того чтобы найти a, b – полуоси эллипса составляем систему уравнений:

Решаем эту систему:

, , .

откуда

121a2 = 1100a + 21 a

2.

Получаем a= 11, b = 10, и каноническим уравнением эллипса:

Запишем уравнение для кривой (в) в виде:

.

5

92 ab

25

34 22 a

c

5

9

25

34 22 a

aa

5

592 b

.1925

22

yx

.

cos11

211

11

100

ρ

,111

21

.12

2

2

2

b

y

a

x

.

,11

21

,11

100

222

2

cba

a

c

a

b

11

1002 ab

121

21 22 a

c ,121

21

11

100 22 aa

a

.1100121

22

yx

cos1

4

13

239

Эксцентриситет кривой равен единице, а это значит, что кривая (в) является параболой, и ее

каноническое уравнение в декартовых координатах имеет вид:

О т в е т . В декартовой системе координат кривые имеют уравнения:

(а)

(б)

(в)

Задача 9. Определите тип поверхности, сделайте чертеж, нарисуйте сечения поверхности с

координатными плоскостями, найдите фокусы и асимптоты (если они есть) полученных кривых.

Выясните, по одну или по разные стороны от поверхности находятся точки A и B, и сколько то-

чек пересечения с поверхностью имеет прямая AB.

Номер варианта Уравнение поверхности A B

1 (1, –1, 1) (3, 1, 1)

2 (0, 0, 1) (–1, –2, –2)

3 (1, 2, 0) (–1, 3, 0)

4 (1, 0, 0) (3, 1, 1)

5 (0, 0, ) (0, 1, )

6 (0, – 4) (0, 0, 2)

7 (0, –1, 0) (–1, 3, 4)

8 (0, 1, 0) (3, 1, 4)

9 (1, 1, 0) (2, 1, –1)

10 (1, 2, 3) (0, –3, 2)

xy4

1322

;1925

22

yx

;1100121

22

yx

.2

132 xy

4211 222 zyx

22212 yxz

0

42

1 22

2

z

yx

3636419 222 zyx

421 222 zyx 2 2

22212 yxz ,2

0142 222 zyx

3636149 222 zyx

1194

222

zyx

22 39436 yxz

240

Образец решения задачи. З а д а ч а . Определите тип поверхности, заданной уравнением,

нарисуйте сечения поверхности с координатными плоскостями, найдите фокусы и асимптоты (ес-

ли они есть) полученных кривых, выполните эскизное изображение поверхности. Выясните, по

одну или по разные стороны от поверхности находятся точки A(1, 2, 3) и B(-3, -1, 1), и сколько

точек пересечения с поверхностью имеет прямая AB.

Р е ш е н и е . Данное уравнение равносильно

Это уравнение получено из канонического уравнения гиперболического параболоида, име-

ющего вид:

где

параллельным переносом на вектор .

Тип поверхности определен: это гиперболический параболоид.

Найдем сечение поверхности с координатной плоскостью xOy. Уравнение этого сечения

что равносильно

Это значит, что искомое сечение образует гиперболу с каноническим уравнением

и последующим сдвигом на вектор (–1, –2). Параметр c, определяющий координаты фокусов в ка-

ноническом виде, равен

6,71.

Это значит, что в каноническом виде фокусы имеют координаты и .

Гипербола в сечении имеет фокусы F1 и F2 .

,zyx 362521422

,

25

362

2

25

2

8

25

122

z

yx

,22

2

2

2

zb

y

a

x

,4

25

8

25a ,

2

25

2

25b

25

36,2,1

,3602521422

yx

.1

36

2

9

122

yx

163 2

2

2

2

yx

22 ba 534563 22

0,53 0,53

2,153 2,153

241

Обе асимптоты гиперболы задаются одним уравнением: достаточно в правой части канони-

ческого уравнения вместо единицы поставить нуль. Ту же процедуру можно проделать и с гипер-

болой, полученной из канонической параллельным сдвигом. Таким образом, координаты асимптот

полученной гиперболы удовлетворяют уравнению:

Следовательно, искомые уравнения асимптот имеют вид:

6(x + 1) – 3(y + 2) = 0, 6(x + 1) + 3(y + 2) = 0,

что равносильно

y =2x, y = -2x – 4.

Подставив в уравнение значения x = 0 и y = 0, найдем точки пересечения гиперболы с коор-

динатными осями.

Построим это сечение.

Теперь найдем второе сечение – пересечение исследуемой поверхности с координатной

плоскостью xOz. Уравнение этой линии

что равносильно

Это уравнение получено из канонического уравнения параболы x2 = 2pz, где p = 12,5, сдви-

гом на вектор .

При x =- 1 парабола достигает своей вершины. Следовательно вершина параболы имеет координа-

ты .В каноническом положении координаты фокуса параболы , следовательно,

координаты фокуса нашей параболы F(-1, 4,65). Асимптот парабола не имеет.

Подставив в уравнения значения x = 0 и z = 0, найдем точки пересечения параболы с ко-

ординатными осями.

Ветви параболы направлены вверх. Построим это сечение.

.0

36

2

9

122

yx

,3625201422

zx

.25

40

2

2521

2

zx

611 ,,

611 ,,

4

250,

242

Теперь найдем сечение поверхности с координатной плоскостью y O z. Уравнение этого се-

чения

что равносильно

Это уравнение получено из канонического уравнения параболы x2 = 2pz, где p = 12,5, осе-

вой симметрией в оси Oz с последующим сдвигом на вектор .

При y = –2 парабола проходит через вершину. Следовательно, вершина исследуемой парабо-

лы . В каноническом виде парабола имеет координаты фокуса . Следовательно,

координаты фокуса полученной параболы F0(-2, -4,97). Асимптот у параболы нет, Ветви парабо-

лы направлены вниз и координатную ось Oy парабола не пересекает. Подставив в уравнения зна-

чение y= 0, найдем точку пересечения параболы с осью Oz.

Строим третье пересечение.

Полученных пересечений с координатными плоскостями достаточно для эскизного изобра-

жения исследуемой поверхности.

Построим уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2, 3) и B(-3, -1, 1). Эта прямая

имеет направляющий вектор BA(4, 3, 2) и проходит через точку A, поэтому она имеет параметри-

ческие уравнения:

Подставим эти значения переменных в уравнения поверхности,

раскроем скобки и приведем подобные члены; получаем уравнение:

55k2 – 10k – 111 = 0.

Решаем это уравнение и находим значения параметра

,3625210422

zy

.25

32

2

2522

2

zy

2812 ,,

25

320,

4

250,

.32

,23

,14

kz

ky

kx

,3632254324422

kkk

;51,155

613051

k

243

Подставим найденные значения параметра в выражения для координат, и получим коор-

динаты точек C(x1, y1, z1) и D(x2, y2, z2), в которых поверхность пересекается с прямой AB:

x1 7,06, y1 6,54, z1 6,03,

x2 –4,33, y2 –1,99, z2 0,33.

Итак, если двигаться по прямой AB с возрастанием абсцисс ее точек, то порядок расположе-

ния данных точек и найденных точек пересечения с поверхностью следующий:

D(–4,33; –1,99; 0,33);

B(–3; –1; 1);

A(1; 2; 3);

С(7,06; 6,54; 6,03).

Это значит, что точки A и B находятся по одну сторону от поверхности.

О т в е т . Поверхность является гиперболическим параболоидом.

Пересечение поверхности с координатной плоскостью z = 0 образует гиперболу, с фокуса-

ми F1 и F2 и уравнениями асимптот

y =2x, y = –2x – 4.

Пересечение поверхности с координатной плоскостью y = 0 образует параболу с фокусом

F(–1, 4,65).

Пересечение поверхности с координатной плоскостью x = 0 образует параболу с фокусом

F0(–2, –4,97).

Эскизное изображение поверхности имеет вид:

Точки A(1, 2, 3) и B(–3, –1, 1) находятся по одну сторону от поверхности; прямая AB име-

ет две точки пересечения с поверхностью.

Задача 10. Постройте несколько линий уровня функции z = z(x, y), найдите уравнение каса-

тельной плоскости к поверхности в точке M и нормированную нормаль к этой касательной плос-

кости.

.33,155

613051

k

2,153 2,153

244

Номер варианта Уравнение поверхности Точка M

1 z = 4x2 + 25y

2 – 16x + 50y + 38 M(–1; –1)

2 z = –4x2 + 25y

2 + 8x + 50y + 22 M(1; –1)

3 z = 25x2 – 4y

2 + 50x + 16y + 7 M(2; –1)

4 z = –25x2 – 4y

2 –50x + 8y – 27 M(–1; 1)

5 z = 4x2 + y

2 + 8x + 4y + 4 M(–1; 2)

6 z = x2 + 25y

2 –2x + 50y + 25 M(2; –1)

7 z = –25x2 + y

2 –50x – 4y – 18 M(–1; 1)

8 z = x2 + 4y

2 – 2x – 16y + 20 M(1; 1)

9 z = –4x2 + y

2 – 16x – 2y – 13 M(–1; 1)

10 z = x2 – 4y

2 + 2x + 8y + 1 M(2; –1)

Образец решения задачи. З а д а ч а 1 . Найдите несколько линий уровня функции

z = 9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92

уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1; 2) и нормированную нормаль к этой

касательной плоскости.

Р е ш е н и е . Линия уровня c функции z = z(x, y) – это множество точек

Lk = {(x, y) f(X) = k}.

При фиксированном значении числа k уравнение линии Lk имеет вид:

9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92 = k.

Преобразуем левую часть этого уравнения, выделив в ней полные квадраты:

9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92 = 9(x

2 – 4x) + 16(y

2 – 2y) – 92=

= 9(x2 – 4x + 4 – 4) + 16(y

2 – 2y + 1 – 1) – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) – 94 + 16(y

2 – 2y + 1) – 116 – 92 =

= 9(x2 – 4x + 4) + 16(y

2 – 2y + 1) – (92 + 36 + 16) =

= 9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 – 144.

Уравнение

9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 – 144 = k

равносильно

9(x – 2)2 + 16(y – 1)

2 = k + 144.

Так как сумма квадратов всегда неотрицательна, при k = – 144 линия уровня превращается в

одну точку A(2: 1) на плоскости xOy. Эта точка является проекцией точки минимума функции

z = z(x, y).

245

Для k < 144 линии уровня представляют собой пустые множества. Будем считать далее, что

k > –144. Это значит, что левую и правую части уравнения линии уровня можно разделить

на k + 144:

Преобразуем полученное уравнение:

Знаменатели дробей представим в виде квадратов и получим почти канонические уравнения

эллипсов:

Линии уровня исследуемой поверхности являются эллипсами. Все эти эллипсы для любого

k > –144 получаются из канонических положений параллельным переносом на вектор = (2, 1).

Найдем сначала для нашей функции линию уровня для k = 0. Тогда линия уровня задается

уравнением

или, после сокращений:

Каноническое уравнение такого эллипса имеет вид:

На рисунке изображен график этого уравнения.

Эллипс в каноническом положении

.1

144

116

144

2922

k

y

k

x

.1

16

144

1

9

144

222

k

y

k

x

.1

4

144

1

3

144

22

2

2

2

k

y

k

x

,1

4

12

1

3

12

22

2

2

2

yx

.1

3

1

4

22

2

2

2

yx

.134 2

2

2

2

yx

246

С учетом параллельного сдвига системы координат получаем координаты основного прямо-

угольника, и видим, что этот эллипс вписан в прямоугольник, ограниченный прямыми:

x = 2, x = 6,

y = 2, y = 4.

Соответственно прямые x = 2 и y = 1 являются осями симметрии эллипса.

С помощью основного прямоугольника строим эллипс, заданный уравнением.

Линия уровня L0

Изменим значение числа k, и в результате получим новую линию уровня. В погоне за

красотой возьмем такое k, чтобы k + 144 было квадратом целого числа. При k = –23 полу-

чаем

что равносильно:

Полуоси нового эллипса чуть уменьшились; поэтому кривая L23 лежит внутри кривой L0.

Полагаем теперь k = 25; линия уровня L25 будет задаваться уравнением:

Полуоси у нового эллипса больше полуосей линии L0, поэтому линия L25 будет самой внеш-

ней из трех найденных пока линий уровня.

По сюжету задачи нам будет интересно местоположение линии уровня, проходящей через

точку M(1; 2). Для определения «высоты» этой линии просто подставим значения x, y в нашу

функцию: z(1, 2) = –119. При значении k = –119 получаем:

,1

4

121

1

3

121

22

2

2

2

yx

.1

4

11

1

3

11

22

2

2

2

yx

.1

4

13

1

3

13

22

2

2

2

yx

247

Кривая L –119 будет самой внутренней из найденных четырех горизонталей. Отметим, кстати,

что z(1, 0) = –119, а это значит, что линия L –119 проходит через точку B(1; 0).

Изобразим все линии на одно чертеже.

Линии уровня функции z = 9x2 + 16y2 – 36x – 32y – 92

При движении по исследуемой поверхности в направлении от точки A значение z

увеличивается, т. е. функция возрастает. Точное направление наибольшего возрастания и

скорость этого роста для каждой конкретной точки определяется при помощи градиента в

этой точке. Найдем градиент в точке M(1; 2).

Для этого сначала найдем частные производные:

Таким образом:

grad z = (18x – 36) i + (32y – 32) j.

В точке M(1: 2) градиент grad z превращается в вектор = (– 18; 32). На нашем чер-

теже этот вектор не поместится, поэтому на рисунке «Линии уровня» изобразим вектор ,

коллинеарный вектору . Вектор (и коллинеарный ему вектор ) направлен по нормали

к линии уровня в этой точке.

Линии уровня и направление градиента в точке M(1; 2)

.1

4

5

1

3

5

22

2

2

2

yx

,3618 xzx

.3232 yzy

248

Точка M(1; 2) – это проекция на плоскость xOy точки M1(1; 2; z(1, 2)), лежащей на поверхно-

сти, заданной уравнением i = z(x, y).

Значение третьей координаты этой точки у нас уже вычислено ранее: M1(1; 2; –119).

Касательная плоскость в точке M1 проходит через эту плоскость и перпендикулярна вектору

= (– 18; 32; –1). Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид:

– 18(x – 1) + 32(y – 2) – (z + 119) = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные, получим окончательно:

– 18x + 2y – z –165 = 0.

Вычислим модуль нормального к касательной плоскости вектора :

Вектор

не только нормален к касательной плоскости, но и нормирован: его модуль (норма) равен единице.

О т в е т . Четыре линии уровня L–119, L–23, L0, L25 функции

z = 9x2 + 16y

2 – 36x – 32y – 92

изображены на рисунке «Линии уровня». Уравнение касательной плоскости к поверхности в точ-

ке M(1; 2) имеет вид:

– 18x + 2y – z –165 = 0.

Нормированной нормалью к этой касательной плоскости является вектор

З а м е ч а н и е . Для наглядности приведем график фрагмент нашей поверхности и касатель-

ной плоскости. На поверхности хорошо видны и сечения горизонтальными плоскостями.

Эта иллюстрация (как и аналогичные рисунки, приведенные ранее) получена с помощью па-

кета символьных вычислений Maple.

222

13218γ .1349

1349

1;

1349

32;

1349

18

1349

1γ

.1349

1;

1349

32;

1349

18γ

249

IV. ВОПРОСЫ И ТЕСТЫ

В этой главе предлагается развернутая программа по первой курса «Алгебра и геометрия».

Второй параграф главы предназначен для самоподготовки к экзамену по курсу «Алгебра и

геометрия». В нем перечислены типичные вопросы для экзаменационных заданий. Знание ответов

эти вопросы гарантирует отличное знание предмета.

Существенно более простые вопросы, ответы на которые означают лишь удовлетворитель-

ное знание курса, приводятся в третьем параграфе.

§ 1. Программа курса «Алгебра и геометрия»

Основные алгебраические структуры. Алгебры и алгебраические системы. Действие в

множестве. Таблица Кэли. Свойства коммутативности, ассоциативности, обратимости, сократимо-

сти, нейтральный элемент, обратные элементы. Связь дистрибутивности между операциями. При-

меры алгебр. Порождающие элементы. Изоморфизмы и гомоморфизмы.

Бинарные отношения. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения, граф и гра-

фик бинарного отношения. Свойства бинарных отношений. Отношение эквивалентности и смеж-

ные классы. Фактор-множество. Отношение эквивалентности на алгебре. Конгруэнции. Сравни-

мость по модулю конгруэнции. Факторалгебры. Отношение порядка. Упорядоченные множества.

Группы. Полугруппы и моноиды. Алгебраические свойства полугрупп. Примеры групп.

Полугруппы преобразований множества и группы обратимых преобразований. Изоморфизмы и

гомоморфизмы групп. Обобщенный закон ассоциативности. Абелевы группы. Подгруппы. Сим-

метрическая группа и ее порождающие. Циклы и транспозиции. Четность и знак подстановки.

Знакопеременная группа. Подгруппы симметрической группы.

Теорема Кэли. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы. Изомор-

физм циклических групп равных порядков. Гомоморфные образы циклических групп. Сравни-

мость по модулю подгруппы. Смежные классы по подгруппе.

Теорема Лагранжа и ее применения. Гомоморфизм групп и ядро гомоморфизма. Нормаль-

ные делители группы. Факторгруппа. Естественный гомоморфизм. Теорема о гомоморфизмах

групп.

Кольца. Примеры колец. Целостные кольца и поля. Простейшие следствия из аксиом коль-

ца. Отношение делимости в целостном кольце. Ассоциированность и смежные классы по ассоции-

рованности. Делимость и главные идеалы кольца. Простые и составные элементы целостного

кольца. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Пример числового кольца с неоднозначным разложением на множители. Делители нуля и

свойство сократимости. Характеристика кольца. Поле частных целостного кольца.

Числовые кольца и числовые поля. Поле комплексных чисел. Подкольца кольца целых чи-

сел. Гомоморфизм колец и ядро гомоморфизма. Идеалы кольца. Факторкольцо. Естественный го-

моморфизм и теорема о гомоморфизмах колец.

Разложение кольца в прямое произведение. Китайская теорема об остатках. Главные идеалы.

Евклидовы кольца. Идеалы евклидовых колец. Идеалы кольца целых чисел.

Факториальные кольца. Факториальность колец главных идеалов. Факториальность кольца

многочленов над факториальным кольцом. Факторкольцо кольца многочленов. Условия, при ко-

торых оно является полем. Производная многочлена и ее свойства. Связь производной с кратно-

стью корня.

Кольца многочленов. Корни многочлена. Деление на нормированный многочлен и корни

многочлена. Теорема Безу и схема Горнера. Алгебраическое и функциональное равенство много-

членов Формулы Виета.

250

Многочлены с целыми и рациональными коэффициентами. Рациональные корни многочле-

нов. Критерий неприводимости Эйзенштейна. Неприводимые над полем рациональных чисел мно-

гочлены.

Многочлены от нескольких переменных. Подкольцо симметрических многочленов и его по-

рождающие. Многочлены над полем комплексных чисел. Алгебраически замкнутые поля. Поле

разложения многочлена.

Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые над полем комплекс-

ных чисел многочлены. Многочлены над полем действительных чисел. Отделение действитель-

ных корней многочлена. Границы корней многочлена с действительными коэффициентами. Мно-

гочлены Штурма.

Поля. Примеры полей. Числовые и нечисловые поля. Простейшие свойства полей. Изомор-

физмы полей. Характеристика поля. Поле Zp. Аддитивная и мультипликативная группы поля.

Простое подполе. Поле частных коммутативного кольца и поле рациональных функций. Разложе-

ние правильной рациональной дроби на простейшие. Подполя. Простые поля.

Алгебраическое и трансцендентное расширения полей. Простые расширения. Строение про-

стого алгебраическое расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности в

знаменателе дроби. Конечные расширения полей. Составное алгебраическое расширение. Теорема

о примитивном элементе. Простота и алгебраичность составного алгебраического расширения.

Поле разложения многочлена. Поле разложения многочлена над полем Zp. Существование

поля из pn элементов. Свойства конечных полей.

Векторные пространства. Понятие векторного пространства. Примеры векторных про-

странств. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Подпространство и порождающие

элементы подпространства. Линейные многообразия. Конечномерные пространства. Размерность

векторного пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Базис и ранг системы векторов. Теорема Штейница о замене. Размерность. Изоморфизм век-

торных пространств равных размерностей.

Системы линейных уравнений. Следствие из системы. Равносильные системы. Элементар-

ные преобразования системы и решение системы методом Гаусса. Системы однородных линейных

уравнений. Подпространство решений и фундаментальный набор решений системы однородных

линейных уравнений. Векторная запись системы уравнений. Критерий совместности системы ли-

нейных уравнений.

Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица. Строчечный и столбцовый ранги

матрицы. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований строк и столб-

цов. Элементарные матрицы. Условия обратимости матрицы и нахождение обратной матрицы.

Матричная запись и решение системы линейных уравнений.

Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя. Определитель произведения

матриц. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю.

Применения определителя. Теорема о ранге матрицы. Формула обратной матрицы. Правило

Крамера. Условия, при которых система из n однородных уравнений с n неизвестными имеет

ненулевое решение. Исследование системы линейных уравнений при помощи миноров матриц

системы.

Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Линейные преобразования.

Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами линейного преобразования относи-

тельно различных базисов. Полная матричная алгебра. Изоморфизм линейной матричной алгебры

и алгебры линейных преобразований. Примеры линейных алгебр над различными полями. Группа

обратимых линейных преобразований.

xxnp

251

Собственные векторы и собственные значения. Инвариантные подмножества линейных

пространств. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Характе-

ристическое уравнение и спектр линейного преобразования. Линейные преобразования с простым

спектром. Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений.

Подобие матриц. Диагональные матрицы. Представимость линейного преобразования диа-

гональной матрицей. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.

Линейные отображения конечных векторных пространств. Расстояние Хэмминга. Основные

понятия теории кодирования. Обнаружение и исправление ошибок кодирования. Линейные коды.

Бинарный совершенный код Хэмминга. Порождающая и проверяющая матрица линейного кода.

Циклические коды.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Сигнатура

квадратичной формы. Закон инерции.

Булевы алгебры и булевы кольца. Упорядоченные множества. Упорядоченные кольца и

поля. Монотонность операций. Максимальные и наибольшие элементы. Минимальные и

наименьшие элементы. Грани и точные грани. Решетки. Дистрибутивные решетки. Дополнения.

Булевы решетки. Решетка множеств.

Булевы кольца. Кольцо множеств. Коммутативность булевых колец. Характеристика булева

кольца. Частичное упорядочение булева кольца.

Теорема Стоуна о связи между булевыми решетками и булевыми кольцами Прямое произ-

ведение булевых колец. Строение конечных булевых колец. Конечные булевы решетки.

Аналитическая геометрия на плоскости. Метод координат на плоскости. Аффинная, де-

картова и полярная системы координат на плоскости, их преобразования. Линии и их уравнения.

Прямая в координатной плоскости, ее частные и общее уравнения. Взаимное расположение

прямых и угол между прямыми на плоскости, Расстояние от точки до прямой.

Эллипс, гипербола и парабола, их канонические и полярные уравнения, свойства, эксцен-

триситеты, директрисы и способы построения на плоскости. Общее уравнение линии второго по-

рядка. Сопряженные, асимптотические и главные направления, касательные, диаметры и главные

диаметры, центральные и нецентральные линии второго порядка.

Классификация линий второго порядка и приведения их уравнений к каноническому виду.

Аналитическая геометрия в пространстве. Метод координат в пространстве. Скалярное,

векторное и смешанное произведения векторов. Поверхности и их уравнения. Линии в простран-

стве и их уравнения.

Плоскость, ее частные и общее уравнения. Взаимное расположение плоскостей и угол меж-

ду плоскостями. Прямая в пространстве и ее уравнения. Взаимное расположение прямых и угол

между прямыми в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Расстояние от точ-

ки до плоскости. Расстояние между прямыми.

Поверхности второго порядка. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, их канонические

уравнения и свойства. Цилиндры и конусы второго порядка. Исследование поверхностей второго

порядка методом сечений.

Многомерная евклидова геометрия. Евклидово векторное пространство. Норма вектора.

Ортогональность и ортогонализация. Изоморфизм евклидовых пространств равных размерностей.

Ортогональные дополнения к подпространству. Строение конечномерных евклидовых про-

странств. Геометрия n-мерного евклидова пространства.

Метод координат в многомерном пространстве. Плоскости в многомерном пространстве.

Квадратичные формы, их матрицы. Ранг, индексы и сигнатура квадратичной формы.

Закон инерции. Гиперповерхности второго порядка (квадрики) в аффинном и евклидовом

пространствах, их классификация. Классификация линий и поверхностей второго порядка.

252

Элементы топологии. Топологические пространства. Замкнутые множества. Внутренние,

внешние, граничные точки. Замыкание и базис. Подпространства Отображения топологических

пространств. Гомеоморфизмы и их группа. Отделимость, компактность и связность множеств. Ак-

сиома отделимости.

Топологические многообразия. Многообразие и многообразие с краем. Эйлерова характери-

стика. Ориентированные и неориентированные многообразия. Топологическая классификация

двумерных многообразий. Классификация правильных многогранников.

§ 2. Вопросы для самоконтроля

Докажите, что любая функция над конечным полем является полиномиальной.

Докажите, что мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел неизоморфна пря-

мому квадрату мультипликативной группы ненулевых действительных чисел.

Докажите, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда столбцо-

вые ранги основной и расширенной матриц системы совпадают.

Докажите, что сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические до-

полнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Докажите, что если f(x) – многочлен степени n с коэффициентами из целостного кольца K,

то функция f: KK, переводящая x в f(x), полностью задается значениями в n+1 точке.

Докажите, что число различных корней многочлена степени n не превышает n, даже если

считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Докажите, что ультипликативная группа ненулевых комплексных чисел неизоморфна адди-

тивной группе комплексных чисел.

Докажите, что каждую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса

векторного пространства.

Докажите, что система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и

только тогда, когда столбцовый ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Докажите, что если матрица A обратима, то A-1

существует, и

Докажите, что в булевой решетке можно так определить сложение и умножение, что решет-

ка превратится в булево кольцо.

Докажите, что многочлен не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда он взаимно

прост со своей производной.

Докажите, что множество решений системы линейных однородных уравнений является

подпространством пространства Pn.

Докажите, что симметрическая группа порождается транспозициями, переставляющими со-

седние элементы.

Докажите, что ранг матрицы равен наивысшему порядку ее ненулевого минора.

Докажите, что аддитивная группа рациональных чисел и мультипликативная группа поло-

жительных рациональных чисел неизоморфны.

Докажите, что тригонометрическая форма комплексного числа единственна.

Докажите, что если каждый вектор системы векторов 1, 2, ... k из арифметического n-

мерного пространства линейно выражается через векторы системы 1, 2, .... m и m < k, то

система 1, 2, ... ,k линейно зависима.

Докажите, что размерность пространства решений системы линейных однородных уравне-

ний с n неизвестными и ранга r равна nr.

Докажите, что любая линейно независимая система векторов евклидова пространства экви-

валентна ортонормированной системе векторов.

Докажите, что ранг матрицы равен r, если в ней содержится ненулевой минор M порядка r,

а все миноры, окаймляющие M, равны нулю.

Докажите, что если многочлен f(x) с коэффициентами из поля P нулевой характеристики не

имеет кратных корней в P, то он не имеет кратных корней в любом расширении поля P.

.1 *1 AA

A

253

Докажите, что множество решений системы линейных уравнений является линейным мно-

гообразием пространства Pn.

Докажите, что четность числа транспозиций в представлении любой подстановки зависит

не от способа представления, а только от самой подстановки.

Докажите, что ортонормированная система векторов линейно независима.

Докажите, что определитель матрицы, содержащей две равные строки, равен нулю.

Докажите, что для каждого поля и многочлена f(x) с коэффициентами из этого поля суще-

ствует поле разложения f(x).

Докажите, что все базисы конечномерного векторного пространства состоят из одинакового

числа элементов.

Докажите, что каждое подпространство пространства Pn

является множеством решений не-

которой системы линейных уравнений.

Докажите, что не существует алгоритма деления для многочленов от двух и более перемен-

ных.

Докажите, что в n-мерном векторном пространстве любая система, состоящая из n+1 вектора

линейно зависима.

Докажите, что для любого поля P линейное многообразие арифметического векторного про-

странства Pn

является множеством решений некоторой системы линейных уравнений с n

неизвестными.

Докажите, что для любой группы G и любого элемента g из G множества G,

и совпадают.

Докажите, что не существует алгоритма деления для многочленов от одного переменного с

целочисленными коэффициентами.

Докажите, что евклидовы пространства одинаковой размерности изоморфны.

Докажите, что для каждого комплексного числа r(cos + i sin ) и каждого натурального

n: [r(cos + i sin )]n = r

n(cos n + i sin n).

Докажите, что два пространства L и L1 над одним и тем же полем изоморфны тогда и толь-

ко тогда, когда dim L = dim L

Докажите, что любое подпространство n-мерного векторного пространства является пересе-

чением (n1)-мерных подпространств.

Докажите, что простое трансцендентное расширение гауссового кольца является гауссовым

кольцом.

Докажите, что в любом евклидовом пространстве для каждых векторов a, b выполняется ра-

венство

Докажите, что кольцо многочленов над полем является кольцом главных идеалов.

Докажите, что если комплексное число g отлично от нуля, то уравнение zn=g имеет в точно-

сти n различных решений.

Докажите, что подпространство конечномерного векторного пространства само конечно-

мерно.

Докажите, что любое линейное многообразие n-векторного пространства является пересече-

нием гиперплоскостей.

Докажите, что линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда его ядро состоит из

одного нуля.

Докажите, что аддитивная группа рациональных чисел неразложима в прямое произведение

своих подгрупп.

Докажите, что если H – подпространство пространства L, то dimH dimL, причем равенство

достигается тогда и только тогда, когда H=L.

Докажите, что любое линейное многообразие n-векторного пространства является пересече-

нием гиперплоскостей.

Докажите, что алгебры nn-матриц и линейных операторов n-мерного векторного про-

странства с операциями сложения, умножения и умножения на скаляр изоморфны.

GxxgGg GxgxgG

.22222

bababa

254

Докажите, что для любых действительных чисел xi , yi выполняется неравенство

(x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)2 (x1

2 + x2

2 + ... xn

2)(y1

2 + y2

2 + ... + yn

2). Когда достигается точное ра-

венство?

Докажите, что единичный элемент группы содержится в любой ее подгруппе.

Докажите, что вектор тогда и только тогда принадлежит подпространству, порожденному

векторами 1, 2, ... n, когда dim пр(1, 2, ... n) = dim пр(1, 2, ... n, ).

Докажите, что умножение прямоугольных матриц ассоциативно.

Докажите, что если A – линейный оператор n-мерного векторного пространства, то ранг

A + дефект A =n.

Докажите, что для любых интегрируемых на отрезке [a, b] функций f(x) и g(x) выполняется

неравенство Когда достигается точное равенство?

Докажите, что пересечение любого числа подгрупп является подгруппой.

Докажите, что множество корней n-ой степени из единицы образует группу, и эта группа

порождается одним элементом.

Докажите, что для каждых двух многочленов f(x), g(x) с коэффициентами из поля P суще-

ствуют такие многочлены u(x), v(x) из P[x], что u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x), g(x)), где

deg v(x) <deg f(x), deg u(x)<deg g(x).

Докажите, что пересечение подпространств само является подпространством.

Докажите, что если A – матрица линейного оператора A, то ранг A= ранг A.

Докажите, что евклидово пространство является прямой суммой любого своего подпро-

странства и его ортогонального дополнения.

Докажите, что если – какое-нибудь решение уравнения а 0, 1, ... , n – корни

n-ой степени из единицы, то {0, 1, ... , n} – это все множество решений этого уравнения.

Докажите, что если A, B – подпространства векторного пространства, то сумма A+B явля-

ется подпространством.

Докажите, что кольцо многочленов над полем является гауссовым кольцом.

Докажите, что каждое упорядоченное множество изоморфно вкладывается во множество

подмножеств некоторого множества, упорядоченного отношением включения.

Докажите, что непустое подмножество H является подгруппой тогда и только тогда, когда

H замкнуто относительно деления справа.

Докажите, что кКаждое отношение эквивалентности на множестве задает его разбиение на

смежные классы.

Докажите, что строчечный ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях

столбцов.

Докажите, что определитель не изменяется при транспонировании его матрицы.

Докажите, что матрица перехода от одного базиса к другому обратима.

Докажите, что центр группы является характеристической подгруппой.

Докажите, что в кольце рациональных чисел содержится в точности континуум подколец.

Докажите, что если A, B – подпространства конечномерного векторного пространства, то

dim (A + B) = dim A + dim B dim A B.

Докажите, что столбцовый ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях

строк.

Докажите, что при умножении строки матрицы на число на это число умножается и ее

определитель.

Докажите, что центр полной матричной алгебры состоит только из скалярных матриц.

Докажите, что гомоморфизм алгебраической системы задает отношение конгруэнции на

множестве-носителе этой системы.

Докажите, что если в группе G содержится лишь один неединичный элемент g такой, что

g2=e, единице группы, то g принадлежит центру группы G.

Докажите, что характеристические уравнения подобных матриц совпадают.

.22

2

dxxgdxxfdxxgxf

b

a

b

a

b

a

,nz

255

Докажите, что если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель изменит

знак.

Докажите, что отображение, ставящее в соответствие каждому линейному оператору его

матрицу, является изоморфизмом.

Докажите, что в группе четного порядка число элементов содержится подгруппа, содержа-

щая два элемента

Докажите, что строчечный и столбцовый ранги матрицы совпадают.

Докажите, что конечномерное векторное пространство является прямой суммой одномер-

ных подпространств.

Докажите, что число различных перестановок с повторениями из n элементов, в которых

элементы a1, a2, . . . , am повторяются соответственно b1, b2, . . . , bm раз, где b1+ b2+ . . .

+bm=n, равно

Найдите полугруппу эндоморфизмов арифметического векторного пространства P2 , где

поле P состоит из двух элементов.

Докажите, что каждое поле нулевой характеристики является расширением поля рациональ-

ных чисел.

Докажите, что каждая конечная группа изоморфна группе подстановок.

Докажите, что элементарные преобразования системы уравнений не изменяют ее множество

решений.

Докажите, что квадратная nn-матрица обратима тогда и только тогда, когда ее строки

(столбцы) линейно независимы.

Докажите, что определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки, равен

нулю.

Докажите, что значение произведения a1 a2 ... an элементов полугруппы не зависит от

расстановки скобок.

Докажите, что система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда строчеч-

ные ранги основной и расширенной матриц системы совпадают.

Докажите, что каждое поле нулевой характеристики является расширением поля рациональ-

ных чисел.

Докажите, что квадратная nn-матрица обратима тогда и только тогда, когда она не являет-

ся делителем нуля.

Докажите, что линейный оператор n-мерного пространства представим диагональной мат-

рицей тогда и только тогда, когда его характеристическое уравнение имеет n корней, у ко-

торых совпадают алгебраическая и геометрические кратности.

Докажите, что для любого простого p и натурального n существует поле, состоящее из pn

элементов.

Докажите, что если к одной строке матрицы прибавить числа, пропорциональные элемен-

там другой строки, то определитель этой матрицы не изменится.

Докажите, что линейное уравнение является следствием системы линейных уравнений тогда

и только тогда, когда это уравнение – линейная комбинация уравнений системы.

Докажите, что для представимости линейного оператора n-мерного пространства диаго-

нальной матрицей необходимо, чтобы его характеристическое уравнение имело n корней в

поле скаляров.

Докажите, что если целостное кольцо K не имеет гомоморфизмов, отличных от гомомор-

физма на нулевое кольцо и изоморфизмов, то K – поле.

Докажите, что симметрическая группа порождается двумя элементами:

Докажите, что если – гомоморфное отображение поля P1 на P2, то – изоморфизм.

Докажите, что если квадратная матрица обратима, то ее можно преобразовать в единичную

матрицу с помощью элементарных преобразований строк.

Докажите, что невырожденная матрица является произведением элементарных матриц.

.!...!!

!

21 mbbb

n

Sn

256

Докажите, что если – собственное значение обратимого линейного оператора A, то -1

–

собственное значение оператора A-.

Докажите, что каждая группа на множестве M изоморфна подгруппе группы SM обратимых

преобразований множества M.

Докажите, что полугруппа с делением является группой.

Докажите, что если A, B – квадратные матрицы, то rang (AB) rang (A); rang (AB) rang (B).

Докажите, что если матрица A равна произведению элементарных матриц A=S1 S2 Sm,

то определитель матрицы A равен произведению определителей сомножителей:

A=S1S2 Sm.

Докажите, что если матрица A обратима, то матрицы A и A–1

имеют одни и те же собствен-

ные векторы.

Докажите, что каждое комплексное число имеет единственную алгебраическую форму.

Докажите, что система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда с по-

мощью элементарных преобразований системы можно получить противоречивое уравнение.

Докажите, что мультипликативная подгруппа конечного поля является циклической.

Докажите, что ранг произведения матриц не больше ранга каждого из сомножителей.

Докажите, что определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Докажите, что каждая полугруппа изоморфно вложима в полугруппу преобразований неко-

торого множества.

Докажите, что система из m однородных линейных уравнений от n переменных имеет нену-

левые решения, если n > m.

Докажите, что если матрица B – обратима, то для любой матрицы A rang AB = rang BA.

Докажите, что определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее

строки линейно независимы.

Докажите, что все собственные значения линейного оператора отличны от нуля тогда и

только тогда, когда оператор обратим.

Докажите, что для того чтобы вектор линейно выражался через векторы 1, 2, ... n

необходимо и достаточно, чтобы ранги систем 1, 2, ... n и 1, 2, ... n, совпадали.

Докажите, что сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические

дополнения равна определителю.

Докажите, что следы подобных матриц совпадают.

Докажите, что линейный оператор n-мерного пространства представим диагональной мат-

рицей тогда и только тогда, когда он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Докажите, что множество образует числовое кольцо, и это кольцо не-

евклидово.

Докажите, что для того чтобы вектор линейно выражался через векторы 1, 2, ... n

необходимо и достаточно, чтобы принадлежал подпространству, порожденному векторами

1, 2, ... n.

Докажите, что полная матричная алгебра Mn(P) проста.

Докажите, что каждое конечное целостное кольцо является полем.

Если одна из матриц A или B – вырождена, то и произведение AB тоже вырождено.

Докажите, что линейный оператор n-мерного пространства представим диагональной мат-

рицей тогда и только тогда, когда его характеристическое уравнение имеет n корней, у ко-

торых совпадают геометрическая и алгебраическая кратности.

Докажите, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.

Докажите, что квадратная nn-матрица обратима тогда и только тогда, когда она предста-

вима в виде произведения элементарных матриц.

Докажите, что для любых действительных a, b любого натурального n

},3{ Z baba

.0

inin

i

nba

i

nba

257

Докажите, что пересечение любого числа нормальных делителей группы само является нор-

мальным делителем.

Докажите, что число различных сопряжений подгруппы H в группе G равно индексу норма-

лизатора NG(H) группы H в группе G.

Докажите, что множество внутренних автоморфизмов группы является нормальным дели-

телем группы всех автоморфизмов этой группы.

Докажите, что все циклические группы одинакового порядка изоморфны.

Докажите, что матрицы одного и того же линейного оператора в различных базисах подобны.

Докажите, что единичный элемент группы содержится в любой ее подгруппе.

Докажите, что множество корней n-ой степени из единицы образует группу, и эта группа

порождается одним элементом.

Докажите, что кольцо Zab, где a, b – взаимно просты, изоморфно прямому произведению ко-

лец Za и Zb.

Докажите, что отношение сопряженности в группе является отношением эквивалентности.

Докажите, что кольцо целых чисел неразложимо в прямое произведение своих подколец.

Докажите, что все конечные поля одинакового порядка изоморфны.

Докажите, что пересечение любого числа идеалов кольца является идеалом.

Докажите, что если группа неабелева, то ее группа автоморфизмов нециклическая.

Докажите, что простое трансцендентное расширение поля является евклидовым кольцом.

Докажите, что характеристика булева кольца равна двум.

Докажите, что если A – подпространство евклидова пространства, то (A)

=A.

Докажите, что если факторгруппа группы G по ее центру отлична от единицы, то G – нецик-

лическая.

Докажите формулу для вычисления расстояние между двумя прямыми.

Докажите формулу для вычисления расстояние от точки до плоскости.

Докажите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой.

Докажите формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Докажите формулу для нахождения угла между плоскостями.

Докажите формулу для нахождения уравнения касательной плоскости.

Докажите формулу Эйлера.

Докажите, что существует только пять видов правильных многогранников.

Найдите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Найдите каноническое уравнение прямой в пространстве.

Найдите каноническое уравнение гиперболы.

Найдите каноническое уравнение параболы.

Найдите каноническое уравнение эллипса.

Найдите прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.

Найдите прямолинейные образующие гиперболического параболоида.

Найдите формулу для вычисления угла между прямыми на плоскости.

Найдите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой.

Найдите формулу для вычисления расстояния между прямыми.

Найдите формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми.

Опишите взаимное расположение прямых на плоскости.

Опишите канонические уравнения поверхностей второго порядка .

Опишите множество решений системы линейных неравенств.

Опишите нахождение канонического уравнения кривой второго порядка.

Опишите особенности взаимного расположения плоскостей.

Опишите переход к новым координатам на плоскости.

Сформулируйте и докажите геометрический смысл определителей второго и третьего по-

рядков.

Сформулируйте и докажите свойства векторного произведения трехмерных векторов.

Сформулируйте и докажите свойства инвариантов кривой второго порядка.

Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведения векторов.

258

Докажите свойства касательных гиперболы.

Докажите свойства касательных параболы.

Докажите свойства касательных эллипса.

§ 3. Примеры тестовых заданий Федерального Интернет-экзамена

В последнее время наиболее распространенной формой такой проверки является Интернет-

экзамен в сфере профессионального образования.

Во время его проведения по дисциплине «Математика» тестируемый студент в течение од-

ного-двух академических часов находится у персонального компьютера, и через Интернет мето-

дом случайной выборки получает 50-70 тестовых заданий.

Вопросы федерального экзамена, вообще говоря, не сложные, но охватывают все разделы

курса.

Здесь предлагается подборка типичных тестовых заданий Интернет-тестирования по мате-

матике из разделов «Алгебра и геометрия» разных лет. Число заданий в этом списке примерно в

полтора превышает число заданий в современном федеральном Интернет-экзамене. Напомним,

что для зачета в реальном Интернет-тестировании необходимо ответить не менее чем на половину

вопросов для каждой дидактической единицы.

Следует отметить, что вопросы Интернет-экзамена бывают сформулированными и оформ-

ленными не совсем корректно. Например, отношение включения для множеств может фигуриро-

вать под названием «операция». Часто в тестах нет единообразия в обозначении координат точек и

векторов; латинские буквы в формулах или на фрагменте графика могут оказаться записанными

не курсивом и т. п.

Бывали случаи, когда среди предложенных вариантов не было верного ответа; в предлагае-

мых примерах таких безответных заданий нет, хотя некоторые упомянутые мелкие неряшливости

представлены так, как в оригинале.

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Если

,

то матрица C = A B имеет вид ...

(1 8)

( – выберите один вариант ответа)

Разложение определителя

по элементам второй строки имеет вид…

,40

11

A

2

1B

8

0

1

8

8

1

31

2

0

00

123

cc

b

31

13

сс

3

2

1

13

ссb

3

2

1

13

ссb

3

2

1

13

ссb

259

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Ранг матрицы

равен …

1

2

0

3

( – выберите один вариант ответа)

Если (x0, y0) – решение системы линейных

уравнений

то x0 может определяться по формуле …

( – выберите один вариант ответа)

Линейное отображение задано в стандарт-

ном базисе матрицей

Тогда координатами образа вектора

являются …

(–10; –9)

(–5; 7)

(–28; 9)

(7; –5)

( – выберите один вариант ответа)

Даны точки A(1; 4) и B(3; –2). Тогда коор-

динаты середины отрезка AB равны

(2; 2)

(2; 1)

(4; 2)

(1; 3)

( – выберите один вариант ответа)

Действительными корнями многочлена

являются

5; ; – ; 2i

5; ; –

–5; –3

5; 3; 2

415

642

321

A

,152

,42

yx

yx52

21

51

24

0

x

51

24

52

21

0

x

52

21

12

41

0

x

52

21

15

42

0

x

.12

34

A

3

4x

435 22 xxxxf

3 3

3 3

260

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Если z1 = 1 +3i, z2 = 1 – 4i, то z1 z2 равно

13 + i

–13 – i

13 – i

–13 + i

( – выберите один вариант ответа)

Если уравнение гиперболы имеет вид

то длина ее действительной полуоси равна

…

16

2

1

4

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

является

B \ A

A \ B

A B

A B

( – выберите один вариант ответа)

Поверхность, определяемая уравнением

является …

конусом

эллипсоидом

гиперболическим цилиндром

эллиптическим цилиндром

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение прямой, проведенной из точки

A(2; 2; –2) перпендикулярно плоскости

7x + 7y – z – 7 = 0, имеет вид …

,1216

22

yx

,11636

22

yx

1

2

7

2

7

2

zyx

1

2

7

2

7

2

zyx

1

2

7

2

7

2

zyx

1

2

7

2

7

2

zyx

261

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Действительный корень уравнения x3 + 6x –

1 = 0 принадлежит интервалу …

( – выберите один вариант ответа)

Даны векторы и

. Тогда линейная комбина-

ция этих векторов имеет вид …

( – выберите один вариант ответа)

Дано множество натуральных четных чи-

сел. Укажите, какие из арифметических

действий всегда выполнимы на этом мно-

жестве

умножение и деление

сложение и умножение

вычитание и сложение

деление и вычитание

( – выберите один вариант ответа)

Образом отрезка [–2; 2] при отображении

f = 7x – 7 является …

[–14; 7]

[–14; 14]

[–21; 14]

[–21; 7]

( – выберите один вариант ответа)

Действительная часть комплексного числа

(2 – i)2 равна …

–1

3

5

4

( – выберите один вариант ответа)

Из состава конференции, на которой при-

сутствует 52 человека, надо избрать делега-

цию, состоящую из 5 человек. Тогда коли-

чество способов равно …

5!

52!

1;

2

1

2

3;1

2;

2

3

2

1;0

kjia 23

kjib 32

ba 3

kji 453

kji 853

kji 29

kji 853

!47!5

!52

!47

!52

262

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Радиус окружности, заданной уравнением

x2 + y

2 + 2y – 8 = 0

равен …

6

9

4

3

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

является

A B

A B

B \ A

A \ B

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

является

A B

A B

B \ A

A \ B

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

является

A B

A B

B \ A

A \ B

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

263

Задание Варианты ответа

является

B A

A B

B \ A

A B

( – выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами A и B, резуль-

тат которой выделен на рисунке

является

A B

B A

A B

A \ B

( – выберите один вариант ответа)

Изображенная поверхность является…

эллиптическим параболоидом

эллипсоидом

однополостным гиперболоидом

гиперболическим параболои-

дом

( – выберите один вариант ответа)

Прямая проходит через точки O(0; 0) и

B(–7; 14). Тогда ее угловой коэффициент

равен …

7

2

-7

-2

( – выберите один вариант ответа)

Модуль комплексного числа z = 6 – 2i ра-

вен…

4

2

8

6

10

10

264

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Ранг матрицы

равен …

2

3

1

0

( – выберите один вариант ответа)

Дано множество целых положительных чи-

сел. Укажите, какие из арифметических

действий всегда выполнимы на этом мно-

жестве

деление и вычитание

сложение и деление

сложение и умножение

умножение и вычитание

( – выберите один вариант ответа)

Векторы и коллине-

арны, если k равно …

10

–5

–10

5

( – выберите один вариант ответа)

Если (x0; y0) – решение системы линейных

уравнений

то x0 + y0 равно …

–5,5

0,5

–0,5

5,5

( – выберите один вариант ответа)

Нормальный вектор плоскости x + 2y + z –

15 = 0 имеет координаты

(2; 1; –15)

(1; 1; –15)

(1; 2; –15)

(1; 2; 1)

( – выберите один вариант ответа)

Дана матрица

Тогда ее собственные значения равны …

1 = 1; 2 = 2

1 = –1; 2 = 4

1 = –1; 2 = –6

1 = 1; 2 = –4

( – выберите один вариант ответа)

Если то матри-

ца

C = A B имеет вид …

(–4 3)

81284

2321

6963

A

25;5;ka kb ;1;1

,122

,22

yx

yx

21

61A

,11

04

A ,

2

1

B

3

4

265

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Если f(x) = 3x3 +1, то коэффициент a6 разло-

жения данной функции в ряд Тейлора по

степеням (x – 4) равен …

0

9

10

18

( – выберите один вариант ответа)

Если то

угол между векторами и равен …

( – выберите один вариант ответа)

Определитель

равен …

4

2

3

0

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Укажите соответствие между кривыми вто-

рого порядка и их уравнениями:

1. (x + 6)2 + (y – 2)

2 = 64

2. x2 + 4y = 16

3. x 2 + 4y

2 = 4

4.

гипербола

окружность

парабола

эллипс

( – выберите один вариант ответа)

Прямая проходит через точки O(0; 0) и B(–

2; 1). Тогда ее угловой коэффициент ра-

вен…

4

3

3

4

,24ba

,16a

,5,0b

a

b

2

3

6

4

4321

0420

0021

0210

199

22

yx

2

1

266

Задание Варианты ответа

– 2

2

( – выберите один вариант ответа)

В пространстве имеется отрезок, соединя-

ющий две точки с аппликатами одинаковых

знаков. Тогда этот отрезок не может пере-

секать …

ось ординат

плоскость Oxy

плоскость Oyz

плоскость Oxz

( – выберите один вариант ответа)

Уравнением прямой, перпендикулярной

прямой y = 2x + 3, является …

3x – y – 3 = 0

4x – 2y + 3 = 0

x + 3y – 4 = 0

x + 2y + 4 = 0

( - выберите варианты согласно тексту

задания)

Установите соответствие между уравнени-

ем плоскости и ее положением в простран-

стве

1. 2x + 3z + 5 = 0

2. 4y – z – 3 = 0

3. 5x + 2y – 9 = 0

4. x + 7y – 2z = 0

проходит через начало координат

проходит через ось Oy

параллельна оси Oz

параллельна оси Oy

параллельна оси Ox

( – введите ответ)

Выражение

2 равно

Ответ:

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение линии в поляр-

ных координатах имеет вид

2

1

)2( kji )2( kji )4( ji

2322 5xyx cos53 r

24 cos5r

cos55 r

23 sin5r

267

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение касательной плоскости к по-

верхности xyz = 1 в точке M(1, 1, 1) имеет

вид…

2x + 2y + 2z – 3 = 0

x + y + z – 3 = 0

x + y + z + 3 = 0

x + y + z = 0

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Укажите соответствие между кривыми вто-

рого порядка и их уравнениями:

1. 3x2 + y = 4

2. 3x2 – y

2 = 4

3.

4. (x + 6)2 + (y – 1)

2 = 16

окружность

парабола

гипербола

эллипс

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Даны графики прямых f, g, h, u

Укажите последовательность этих прямых в

порядке возрастания их угловых коэффици-

ентов.

f

g

h

u

( – выберите один вариант ответа)

В системе уравнений

базисными переменными можно считать

x1, x2, x3

x5

x3, x5

x4, x5

( – выберите один вариант ответа)

цилиндром

эллипсоидом

1169

22

yx

268

Задание Варианты ответа

Изображенная поверхность является…

конусом

параболоидом

( – выберите один вариант ответа)

Изображенная поверхность является…

гиперболоидом

цилиндром

эллипсоидом

конусом

( – выберите один вариант ответа)

Изображенная поверхность является…

цилиндром

эллипсоидом

конусом

параболоидом

( – выберите несколько вариантов от-

ветов)

Какие из данных прямых перпендикулярны

прямой

( – введите ответ)

Если z – комплексное число, Im z = 10,

то модуль числа z равен…

Ответ:

032 yx

01784 yx

01184 yx

52

1 xy

72 xy

1510

yx

,6

5arcsinarg z

269

Задание Варианты ответа

( – выберите несколько вариантов от-

ветов)

Корнями комплексного числа яв-

ляются…

( – выберите один вариант ответа)

Действительный корень уравнения

x3 + 4x – 2 = 0 принадлежит интервалу

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение пересечения гиперболоида

и плоскости Oyz имеет вид…

( – выберите варианты согласно тексту

задания)

Пусть

Установите соответствие между элемен-

тами двух множеств

1)

2)

3)

iz

i 12

2

i12

2

i12

2

i12

2

2

3;1

2;

2

3

2

1;0

1;

2

1

1945

222

zyx

049

22

yz

194

22

yz

149

22

yz

149

22

yz

2,1,1 a .23 kjib

ba 5

ba

ba 2

ki 44

kj 44

2,3,5

8,6,14

2,6,14

270

Задание Варианты ответа

( – введите ответ)

Если определитель

равен то определитель

равен…

Ответ:

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Установите соответствие между изображе-

нием поверхности и ее каноническим урав-

нением.

( – выберите один вариант ответа)

Расстояние между центрами окружностей

x2 + y

2 – 4x – 2y + 1 = 0 и x

2 + y

2 = 1

равно …

3

b

a

6

3

,7

2

336-

343

3500

a

b

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

zb

y

a

x2

2

2

2

2

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

zb

y

a

x2

2

2

2

2

20

5

3

271

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Синус угла между прямой

и плоскостью x – 2y –

3z + 9 = 0 равен…

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение поверхности

имеет вид…

( – выберите один вариант ответа)

Координаты точки, симметричной точке

(заданной в полярной системе

координат), относительно полярного полю-

са равны…

21

1

3

2 zyx

196

1

14

1

14

1

70

4

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

b

y

a

x

π

4

3;3A

4

3;3

B

3;

4

B

4

3;3

B

4;3

B

272

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

На рисунке приведено геометрическое

изображение комплексного числа. Его три-

гонометрическая форма записи имеет вид

…

( – выберите один вариант ответа)

Даны две матрицы и

Тогда матрица B будет об-

ратной к матрице A при равном …

-1

1

0

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Установите соответствие между матрицей

оператора и его характеристическим урав-

нением

13

05.4

4sin

4cos4

i

4sin

4cos4

i

4sin

4cos24

i

4sin

4cos24

i

21

53A

.31

5λ2

B 2

3

13

03.1

21

48.2

03

41.3

013

05

013

03

021

48

03

41

03

41

273

Задание Варианты ответа

( – введите ответ) Пусть cos – косинус угла между плоско-

стями

2x –z + 11 = 0 и Тогда зна-

чение выражения 10 cos равно…

Ответ:

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение касательной плоскости к по-

верхности

x2 + y

2 + z

2 = 169 в точке M(3, 4, 12) имеет

вид

3x + 4y + 12z + 169 = 0

3x + 4y + 12z – 169 = 0

9x + 8y + 24z – 169 = 0

9x + 8y + 24z = 0

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Даны матрицы

Установите соответствие между двумя

множествами

1) A B

2) A C

3) B C

( – выберите один вариант ответа)

Скалярное произведение векторов

и равно…

1

2

-1

0

( – выберите один вариант ответа)

Изображенная поверхность является…

.2624

zy

,43

51

A ,

53

02

B .

61

32

C

3518

102

3020

155

1510

277

206

2513

391

64

)0,1,2(a )1,3,1( b

274

Задание Варианты ответа

эллиптическим параболоидом

двуполостным гиперболоидом

однополостным гиперболоидом

гиперболическим параболоидом

( – выберите один вариант ответа)

Векторное произведение векторов = (3,

2, –1) и = (0, 2, –5) имеет координаты…

(–8, 15, 6)

(0, 4, 5)

(3, 4, –6)

(–8, –15, 6)

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Укажите прямые, перпендикулярные пря-

мой

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Укажите соответствие между комплексным

числом и его аргументом

1.

2.

3.

0

а

b

032 yx

01784 yx 01184 yx

52

1 xy

72 xy

1510

yx

iz2

3

2

1

iz2

1

2z

3

2

3

2

275

Задание Варианты ответа

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Операция умножения матриц правильно

определена для матричного умножения ви-

да…

( – выберите один вариант ответа)

Матрице соответствует квадра-

тичная форма…

3x2 – xy + 2y

2

3x2 + 2xy + 2y

2

3x2 – 2xy + 2y

2

6x2 – xy + 6y

2

( – введите ответ)

Объем параллелепипеда, построенного на

векторах , равен 60 куб. ед. Тройка

векторов правая. Тогда смешанное

произведение равно …

Ответ:

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Установите соответствие между уравнени-

ями плоскости и точками, которые лежат в

этих плоскостях

1) 7x – y – z – 3 = 0

2) x + 2y + z – 5 = 0

3) y + z – 3x + 2 = 0

4) 3y + z – 9x = 0

(1, 0, 1)

(0, 0, 0)

(–2, 0, 0)

(1, 2, 2)

(2, 1, 1)

( – выберите один вариант ответа)

Изображенная поверхность является…

эллиптическим параболоидом

двуполостным гиперболоидом

однополостным гиперболоидом

гиперболическим параболоидом

21

08

143

120

35

13

21

08

21

0853

5321

08

143

120

21

08

21

13

cba ,,

cba ,,

cba

276

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Квадратичная форма явля-

ется…

положительно определенной

отрицательно определенной

неотрицательно определенной

знаконеопределенной

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Даны числовые множества A = {3, 4, 7} и

B = {2, 4, 6, 8, 9, 10}. Укажите соответствие

между операциями и множествами

1. A B

2. A B

3. A \ B

4. B \ A

{2, 6, 8, 9, 10}

{2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

{2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

{3, 7}

{4}

( – выберите один вариант ответа)

Матрица не имеет обратной

при равном…

2

8

4

–8

( – введите ответ)

Даны графики прямых f, g, h, u

Тогда сумма их угловых коэффициентов

равна….

Ответ:

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Среди матриц

A2

A3

A4

A1

22 45 yxyx

12

4A

277

Задание Варианты ответа

обратную имеет только матрица …

( – введите ответ)

Расстояние между фокусами эллипса

равно…

Ответ:

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Установите соответствие между матрицами

и их рангами

2

0

3

1

4

( – выберите варианты согласно тек-

сту задания)

Установите соответствие между канониче-

скими уравнениями прямых и их располо-

жением в пространстве

перпендикулярна оси Oz

перпендикулярна вектору a =(2; -2; 4)

перпендикулярна оси Ox

параллельна прямой

проходит через начало координат

62

1

4

zyx

278

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Расстояние между прямыми l1: 2x – y + 3 и

l2: 4x – 2y – 6=0 равно…

0

9

12

5

56

( – выберите один вариант ответа)

Точка пересечения прямой

и плоскости

x – 2y + 5z – 9 = 0 имеет координаты …

(2; -4; 2 )

(7; 4; 2)

(4; -5; -1)

(0; 3; -5 )

( – выберите один вариант ответа)

Уравнение параболы с вершиной в начале

координат, симметричной относительно оси

Ox и проходящей через точку A(4; -2), име-

ет вид…

y2 = 4x

y2 = -x

x2 = -8y

y2 = x

( – выберите один вариант ответа)

Пересечение прямой и плоскости в про-

странстве не может быть…

пустым множеством

плоскостью

точкой

прямой

( – выберите один вариант ответа)

Эксцентриситет эллипса

9x2 + 16y

2 – 36x + 96y + 36 = 0

равен…

4

5

7

7

4

4

7

2

3

4

1

2

2

zyx

279

Задание Варианты ответа

( – выберите один вариант ответа)

Кольцом явялется множество…

прямоугольных матриц порядка

2 4

натуральных чисел, кратных числу

11

функций, непрерывных на отрезке

[0, 1]

квадратных матриц порядка вида

,

ab

ba где a b

280

Глоссарий

Абелева группа – алгебра с одной операцией, которая ассоциативна, коммутативна, имеет

нейтральный элемент, а каждый элемент имеет обратный.

Аксиома выбора – в любом множестве смежных классов можно выбрать по одному предста-

вителю из каждого класса.

Алгебра – множество с операциями.

Алгебраическая система – множество с операциями и отношениями.

Алгебраическая форма комплексного числа z – представление комплексного числа в виде

z = a + bi, где a, b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Алгебраическое дополнение элемента aij – дополнительный минор элемента aij, взятый со

знаком (–1)i+j

; обозначается символом Aij, т. е. Aij = (–1)i + j

Mij.

Аннулятор в алгебре – поглощающий элемент (нуль).

Аргумент числа z – полярный угол точки z. Аргумент обозначается символом arg z.

Арифметическое m-мерное векторное пространство над полем P – декартова степень Pm

с операциями сложения и умножения на скаляр, выполняемым покомпонентно.

Базис векторного пространства – линейно независимая система порождающих, и он же –

максимальная линейно независимая система векторов этого пространства.

Биекция – взаимно однозначное отображение на все множество.

Булеан P(M) – множество подмножеств множества M.

Бинарное отношение на множестве M – подмножество декартова квадрата .

Вектор – элемент векторного пространства.

Векторное произведение векторов , – вектор , такой, что:

1) ортогонален векторам и ;

2) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ;

3) направление обхода концов векторов , , совпадает с направлением обхода коор-

динатных векторов.

Векторное пространство над полем P – алгебра L с двумя операциями, внутренней (сложе-

нием) и внешней (умножением на скаляр), причем алгебра < L; + > является абелевой группой, и

для каждых , из L и a, b из P:

a( + ) = a + a;

(a + b) = a + b;

a(b) = (ab);

1 = .

Вершина системы линейных неравенств ранга r – решение системы, которое обращает в

равенства ее r неравенств с линейно независимыми левыми частями.

2M

281

Выпуклая оболочка множества M – наименьшее выпуклое множество, содержащее данное

множество M.

Выпуклая оболочка множества S из действительного пространства L – множество, состо-

ящее из всех линейных комбинаций

k11 + k22 + ... + kmm,

где i S, ki 0, k1 + k2 + ... + km = 1.

Выпуклое подмножество S из действительного векторного пространства L – подмноже-

ство, обладающее свойством: , S [, ] S.

Гипербола – множество точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных

точек F1, F

2 – фокусов гиперболы – постоянна.

Гауссово кольцо – целостное кольцо, в котором выполняется аналог основной теоремы

арифметики.

Главный идеал – идеал, порожденный одним элементом.

Гомоморфизм – отображение, сохраняющее операции и отношения.

Группа – моноид, в котором каждый элемент обратим.

Действительная часть комплексного числа z – число a в алгебраической форме z = a + bi.

Принято обозначение a = Re z.

Действительное векторное пространство – векторное пространство над полем действитель-

ных чисел.

Декартово произведение множеств A, B – множество

A B = {(a, b) a A, b B}.

Делители нуля в кольце – такие ненулевые элементы a, b, что ab = 0.

Дефект отображения f – размерность Ker f – ядра этого отображения.

Дополнительный минор элемента aij – определитель Mij.матрицы, оставшейся после вычер-

кивания в данной квадратной матрице i-ой строки и j-го столбца.

Директриса кривой второго порядка – см. эллипс, гипербола, парабола.

Дискриминант многочлена

f(x) = a0xn +a1x

n – 1 + … + an –

выражение

где x1, x2, …, xn – корни многочлена f(x). Дискриминант многочлена с точностью до знака равен

результанту (см.) многочлена и его производной.

,2

1

22

0

nji

ji

n xxaD

282

Дискриминант многочлена второй степени

ax2 + bx + c

выражение D = b2 – 4ac.

Дискриминант кубического многочлена

x3 + px + q

выражение D = –4p3 – 27q

2.

Дистрибутивность – то же самое, что распределительное свойство.

Дополнительный минор элемента aij – определитель Mij.матрицы, оставшейся после вычер-

кивания в данной квадратной матрице i-той строки и j-того столбца.

Евклидово кольцо – целостное кольцо, в котором выполняется теорема о делении с остат-

ком.

Евклидово пространство – действительное векторное пространство со скалярным умноже-

нием.

Знак подстановки – функция, заданная на симметрической группе со значениями в {1, –1},

заданная правилом (для каждой из Sn)

Знакопеременная группа – множество An четных подстановок с операцией умножение (ком-

позиция).

Идеал кольца K – непустое подмножество в K, замкнутое относительно вычитания и умноже-

ния на элементы из K.

Идемпотент – элемент x, совпадающий со своим квадратом: x2 = x.

Изоморфизм – взаимно однозначное отображение, сохраняющее операции и отношения.

Инвариантное подмножество линейного оператора f – подмножество, содержащее вместе

с каждым элементом x и его образ f(x).

Каноническая задача линейного программирования – нахождение минимального значения

некоторой линейной функции на множестве неотрицательных решений системы линейных урав-

нений.

Каноническое уравнение гиперболического параболоида –

.нечетнаяσесли,1

,четнаяσесли,1σsgn

.22

2

2

2

zb

y

a

x

283

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида – уравнение вида

.

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида – уравнение вида

.

Каноническое уравнение эллиптического параболоида – уравнение вида

Каноническое уравнение гиперболы – уравнение вида

где a, b – положительные числа. Число a называют действительной полуосью гиперболы, а число

b – мнимой полуосью.

Каноническое уравнение параболы – уравнение вида y2 = 2px (или x

2=2py).

Каноническое уравнение прямой – то же самое, что и симметричное уравнение.

Каноническое уравнение эллипса – уравнение вида

где a, b – положительные числа. Большее из них называют большой полуосью эллипса, а мень-

шее – малой полуосью.

Каноническое уравнение эллипсоида – уравнение вида

Кольцо – аддитивно записанная абелева группа с умножением, дистрибутивным относитель-

но сложения.

Кольцо главных идеалов – целостное кольцо, в котором все идеалы одно-порождены.

Кольцо классов вычетов – факторкольцо.

Кольцо целых чисел Z – наименьшее кольцо, содержащее полукольцо целых неотрицатель-

ных чисел.

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

.22

2

2

2

zb

y

a

x

,12

22

2

b

y

a

x

,12

22

2

b

y

a

x

.12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

284

Коническая поверхность – поверхность, задаваемая уравнением

Конгруэнция – эквивалентность, согласованная с операциями и отношениями алгебраиче-

ской системы.

Крамеровская система линейных уравнений – система из n линейных уравнений с n неиз-

вестными и с ненулевым определителем.

Кривая второго порядка – график уравнения

Ax2 + 2Bxy + Cy

2+ 2Dx + 2Ey + F = 0,

где коэффициенты A, B, C не равны нулю одновременно.

Линейная алгебра – векторное пространство над полем, в котором задано умножение, пере-

становочное с умножением на скаляр и дистрибутивное относительно сложения.

Линейная комбинация векторов 1, 2, ..., n – вектор = k11 + k22 + ... + knn,

Линейное выражение вектора через векторы 1, 2, ..., n – является линейной комби-

нацией векторов 1, 2, ..., n.

Линейная зависимость системы векторов S – один из векторов из S линейно выражается

через остальные векторы системы.

Линейная независимость системы векторов S – ни один из векторов из S не выражается

линейно через остальные векторы системы.

Линейное отображение – отображение векторного пространства, сохраняющие операции

сложения и умножения на скаляр.

Линейный оператор – линейное отображение векторного пространства в себя.

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам

решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линей-

ных неравенств и равенств.

Линейный оператор – линейное отображение векторного пространства в себя.

Линейчатая поверхность – поверхность, порожденная прямыми. Цилиндры, конусы, одно-

полостный гиперболоид и гиперболический параболоид – примеры линейчатых поверхностей.

Максимальная подсистема системы векторов 1, 2, ..., n – максимальная линейно неза-

висимая подсистема.

.02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

285

Матрица Грама – матрица (i j) для системы векторов евклидова пространства 1, 2, …, n;

где i j = (i, j,))

Матрица линейного отображения (оператора) – матрица, составленная из скаляров разло-

жения образов векторов базиса.

Матрица над кольцом K – двумерный массив, заполненный элементами из кольца K.

Минор k-того порядка матрицы – определитель квадратной подматрицы k-того порядка.

Минор главный угловой – минор квадратной n n-матрицы, расположенный в первых k

строках и первых k столбцах этой матрицы (1 k n).

Мнимая часть комплексного числа z – число b в алгебраической форме числа z = a + bi.

Принято обозначение b = Im z.

Модуль комплексного числа z – расстояние от точки z до начала координат координирован-

ной комплексной плоскости.

Моноид – полугруппа с нейтральным элементом.

Нетерово кольцо – целостное кольцо, в котором все идеалы конечно порождены. В нетеро-

вом кольце возрастающая цепочка идеалов обрывается на конечном шаге.

Нечетная подстановка – подстановка, которую можно представить в виде нечетного числа

транспозиций.

Норма вектора из евклидова пространства – число = .

Нормальное уравнение плоскости – уравнение вида

x cos + y cos + z cos = p.

Нормальное уравнение прямой – уравнение вида

x cos + y cos = p.

Нормальный делитель (нормальная подгруппа) группы G – подгруппа N, для которой

каждый правый смежный класс совпадает с левым классом:

Nx = xN

для каждого элемента x из группы G.

Нормированный вектор – вектора, норма которого равна единице.

Образ пространства L при линейном отображении f – множество f(L) = {f(x)xL}.

Обратная матрица матрицы A – такая матрица A-1

, что AA-1

= E. Обратную матрицу можно

вычислить по формуле

.

),(

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

...

...

...

1

21

22212

12111

1

286

Общее уравнение плоскости – уравнение вида

Ax + By + Cz + D = 0

Общее уравнение прямой – уравнение вида

Ax + By + C = 0

Определитель квадратной матрицы A (с элементами из P) – элемент A из P, вычисляе-

мый по правилу

Ортогональность векторов и – равенство нулю их скалярного произведения, (, ) = 0;

пишут .

Ортонормированность – система 1, 2, ..., m ортонормированна, если

Матрица Грама (см.) ортонормированной системы является единичной матрицей.

Основная теорема алгебры – поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Основная теорема арифметики – каждое целое число, отличное от 0, 1, –1, является либо

простым, либо произведением простых; причем такое представление единственно с точностью до

порядка и ассоциированности множителей.

Основная теорема о линейной зависимости – если каждый вектор системы 1, 2, …, m

линейно выражается векторы системы 1 2 , …, k, то m k.

Основная теорема о симметрических многочленах – подкольцо симметрических много-

членов порождается простевшими симметрическими многочленами.

Отношение порядка – рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение.

Отношение линейного порядка (цепь) – связное отношение порядка.

Отношение эквивалентности – рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение.

Отображение – то же, что и функция.

Отрезок , в действительном векторном пространстве L, множество вида

[, ] = { L = + x( – ), 0 x 1}.

nS

nn

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

....sgn

...

...

...

...

)()2(2)1(1

21

22221

11211

.если,0

,если,1α,α

ji

jiji

287

Парабола – множество точек плоскости, расстояния которых до данной точки F (фокуса)

и до данной прямой d (директрисы) равны.

Параметрические уравнения прямой – уравнения вида

Поверхность второго порядка – множество точек пространства, декартовы координаты ко-

торых удовлетворяют уравнению второй степени с тремя неизвестными.

Подалгебра – алгебры A – непустое подмножество множество A, образующее с операциями A

такого же типа и класса, что и A.

Подгруппа – непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и взятия

обратного.

Подкольцо – непустое подмножество кольца, замкнутое относительно вычитания и умноже-

ния.

Поле – алгебра с двумя операциями: сложение и умножение, причем все элементы со сложе-

нием и все ненулевые элементы с умножением образуют абелевы группы, и умножение дистрибу-

тивно относительно сложения.

Поле действительных чисел R – непрерывное поле, содержащее поле рациональных

чисел Q.

Поле комплексных чисел – наименьшее поле, содержащее как подполе поле действитель-

ных чисел и решение уравнения x2 + 1 = 0.

Поле рациональных чисел Q – поле частных кольца целых чисел.

Поле частных целостного кольца K – наименьшее поле, содержащее кольцо K как подал-

гебру.

Полугруппа – алгебра с одной ассоциативной операцией.

Подпространство векторного пространства – непустое подмножество H из векторного

пространства, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляр.

Полукольцо – алгебра A= <A; , > с двумя операциями, причем A = <A; > – коммутатив-

ная полугруппа с сокращением, а операция () – дистрибутивна относительно .

Полярный угол точки z – угол, на который надо повернуть полярную ось до совмещения

ее с направлением на точку z.

Представление группы – задание группы с помощью порождающего множества и опреде-

ляющих соотношений.

.

,

,

0

0

0

zkcz

ykby

xkax

288

Произведение матриц

,

(m k)-матрица

,

элементы которой имеют вид:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj.

Простейший симметрический многочлен – многочлен

k(x1, x2, …, xn) = .

Противоречивое неравенство – неравенство вида

0 x1 + 0 x2 +...+ 0 xn b, где 0 < b.

Размерность пространства L – число элементов в базисе векторного пространства L; обо-

значают символом dim L.

Ранг системы линейных неравенств

ранг системы векторов

1 = (a11, a12, ..., a1n),

2 = (a21, a22, ..., a2n),

...

m = (am1, am2, ..., amn).

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

....

...

...

21

22221

11211

nknn

k

k

bbb

bbb

bbb

B

...

....

...

...

21

22221

11211

mkmm

k

k

ccc

ccc

ccc

C

...

....

...

...

21

22221

11211

niii

iii

k

kxxx

...1 21

21...

,...

............

,...

,...

2221

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

289

Ранг отображения f – размерность образа f(L) пространства L при линейном отображении f.

Ранг системы векторов S – число элементов в максимальной линейно независимой подси-

стеме векторов данной системы.

Ранг системы векторов 1, 2, ..., n – число элементов в максимальной подсистеме.

Результант многочленов

f(x) = a0xn +a1x

n – 1 + … + an,

g(x) = b0xm +b1x

m – 1 + … + bm,

степеней n и m соответственно – выражение

где x1, x2, …, xn – корни многочлена f(x), а y1, y2, …, ym – корни многочлена g(x).

Результант многочлена с точностью до знака равен дискриминанту (см.) многочлена.

Решетка – упорядоченное множество, в котором каждая пара элементов имеет точную верх-

нюю и точную нижнюю грани.

Сигнатура алгебраической системы – символы для обозначений операций и отношений си-

стемы.

Сигнатура алгебры – символы для обозначений операций алгебры.

Симметрическая группа – множество Sn всех биекций множества из n элементов на себя с

операцией умножение.

Симметрическая разность множеств A и B – множество

A B = (A \ B) (B \ A).

Симметричные уравнение прямой – уравнение вида

.

Система действительных чисел R – наименьшее непрерывное поле, содержащее поле раци-

ональных чисел в качестве подполя.

Система линейных неравенств – система вида

где все fi(x1, x2, ..., xn) – однородные линейные уравнения с действительными коэффициентами.

,,1 1

0

n

i

m

j

ji

n

m

m yxbagfR

c

zz

b

yy

a

xx 000

,,...,,

........

,,...,,

,,...,,

21

2212

1211

mnm

n

n

bxxxf

bxxxf

bxxxf

290

Система линейных уравнений – система вида:

Элементы aij и bi предполагаются выбранными из некоторого поля P, и неизвестные xj

разыскиваются в том же поле P. Элементы aij называют коэффициентами системы, а bi – свобод-

ными членами.

Скаляр – элемент из P – поля скаляров векторного пространства.

Скалярное умножение – отображение декартова квадрата векторного пространства L в по-

ле скаляров P. Результат этой операции, примененной к элементам и из L, обозначают симво-

лом (, ), и называют скалярным произведением, и для каждых , , из L и каждого k из P:

1) (, ) = (, );

2) (, + ) = (, ) + (, );

3) (k, ) = (, k) = k(, ).

4) если , то (, ) 0.

Для действительных векторных пространств четвертое свойство скалярного умножения за-

писывается в виде:

4*) если , то (, ) > 0.

Скалярное произведение – результат скалярного умножения (см.).

След матрицы – сумма диагональных элементов матрицы.

Собственное значение линейного оператора A – такой скаляр , что xA = x для некоторого

ненулевого вектора x. Вектор x называют собственными вектором линейного оператора A.

Собственный вектор линейного оператора A – вектор, порождающий одномерное инвари-

антное подпространство. Ненулевой вектор x является собственным вектором линейного операто-

ра A, если x A = x для некоторого скаляра из P. Скаляр называют собственным значением

собственного вектора x.

Тело – ассоциативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Тело кватернионов – четырехмерная действительная линейная алгебра с базисом 1, i, j, k:

i2 = j

2 = –1, ij = – ji = k.

Тип алгебраической системы – набор местностей операций и отношений системы.

Тип алгебры – набор местностей операций алгебры.

....

...........

,...

,...

2221

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

291

Сопряженные гиперболоиды – поверхности, заданные уравнениями

, .

Транспозиция – подстановка, перемещающая в точности два символа.

Тригонометрическая форма комплексного числа z – представление комплексного числа в

виде z =r(cos + i sin a), где r – модуль числа, -аргумент.

Фокус кривой второго порядка – см. эллипс, гипербола, парабола.

Факторгруппа – группа, состоящая из смежных классов по нормальной подгруппе с опера-

цией, определенной по представителям.

Факторкольцо – кольцо, состоящее из смежных классов по идеалу с операцией, определен-

ной по представителям.

Фактормножество – множество, состоящее из смежных классов.

Формулы Крамера – решение крамеровской системы в виде

где – определитель матрицы, составленной из коэффициентов уравнений системы, а i получен

из заменой i-того столбца столбцом свободных членов.

Фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений – решения,

образующие базис пространства решений системы.

Функциональное отношение (функция, отображение) – бинарное отношение, в котором

каждый элемент имеет не более одного образа.

Функция Мебиуса – функция (n) натурального аргумента n; (1) = 1 и если pi – различ-

ные простые числа, и где i 1, то

Функция Эйлера – функция (n) натурального аргумента n; (1) = 1, если n > 1, то (n) рав-

на числу натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Характеристика кольца – аддитивный порядок единичного элемента.

Характеристика поля – то же, что и характеристика кольца.

Характеристический многочлен матрицы A – многочлен

f() = .

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

,,...,, 21

n

,...21

21k

kpppn

.1всеесли,1

,1чтотакой,существуетесли,0...21

21

ik

i

k

ippp k

EA

292

Характеристическое уравнение матрицы A – уравнение

f() = = 0

Характеристическое уравнение линейного оператора – характеристическое уравнение

матрицы этого оператора.

Центр группы – множество Z(G) элементов группы G, перестановочных с каждым элементом

этой группы.

Целостное кольцо – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля.

Центр кольца – множество элементов кольца, перестановочных со всеми элементами кольца.

Цепь (цепочка) – линейно упорядоченное множество.

Циклическая группа – группа, порожденная одним элементом.

Цилиндрическая поверхность (цилиндр) – поверхность в трехмерном пространстве, задава-

емая уравнением f(x, y) = 0.

Четная подстановка – подстановка, которую можно представить в виде четного числа

транспозиций.

Эквивалентные системы векторов – каждый вектор одной системы линейно выражаются

через векторы другой.

Эксцентриситет кривой второго порядка – отношение расстояний от точки кривой до

фокуса к расстоянию до директрисы. Эксцентриситет параболы равен единице. Для эллипса < 1

(если = 0, то эллипс превращается в окружность), для гиперболы > 1.

Элементарное преобразование второго типа – замена одного из уравнений системы на

сумму этого уравнения с другим, умноженным на любой элемент из поля коэффициентов.

Элементарное преобразование первого типа – умножение левой и правой частей одного из

уравнений системы на ненулевой элемент из поля коэффициентов.

Элементарный симметрический многочлен – см. простейший симметрический многочлен.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек F1

и F2 – фокусов эллипса – постоянна.

Ядро линейного отображения f – полный прообраз нулевого элемента из L1:

Ker f = f-1

() = {xL f(x) = }.

EA

293

Библиографический список

Основная литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геомет-

рии. М.: Академия, 2005.

2. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Факториала, 2011.

3. Горюшкин А. П. Задачи по алгебре (Векторные пространства и линейные отображения).

Камчатский гос. пед. ун-т, Петропавловск-Камч., 2000.

Дополнительная литература

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. М.: Физматлит, 2006.

2. Горюшкин А. П., Горюшкин В. А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры.

КамГУ им. Витуса Беринга, Петропавловск-Камч., 2011.

3. Горюшкин А. П. Конспективный курс алгебры. Камчатский гос. пед. ин-т, Петропав-

ловск-Камч., 2001.

Справочная литература

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель-АСТ, 2003.

294

Учебное издание

Горюшкин Александр Петрович

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

ДЛЯ БАКАЛАВРОВ

Учебно-методическое пособие

В авторской редакции

Издание осуществлено при финансовой поддержке

Министерства образования и науки РФ

в рамках программы стратегического развития

ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет

имени Витуса Беринга» на 2012–2016 гг.

ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный

университет имени Витуса Беринга»

683032, Петропавловск-Камчатский, Пограничная, 4

e-mail: nio@kamgu.ru, www.kamgu.ru

Технический редактор, верстка: Т. А. Абаимова

Подписано в печать 20.06.2013. Формат 60 ×

84

1/6

Бумага офсетная. Печать цифровая

Гарнитура «Times New Roman».

Уч.-изд. л. 20,9. Усл. печ. л. 33,7

Тираж 500 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета.

Индивидуальный предприниматель Романенко М. И.

683000, Петропавловск-Камчатский, ул. Ленинская, 46

«Оперативная полиграфия»

ISBN 978-5-9002-6120-4