ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ · 2019-09-07 · ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ efstathioupetros.weebly.com 165 η ψ−1 2 =4 3 (χ-1)=>6ψ-3=8(χ-1)=>8χ-6ψ-5=0 Το κέν

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

efstathioupetros.weebly.com 183

ΚΥΚΛΟΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άσκηση 1

Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x2+y2=4 που είναι παράλληλες στην ευθεία x+y=0.

Λύση Έστω ε→x+y=0 (1) Υποθέτουμε ότι: Ρ(x1,y1) το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης (η) με τον κύκλο C. Τότε: η→xx1+yy1=4 (2)

Όμως: ε//η=> λε=λη=>−𝑥1

y1= −1 =>x1=y1 (3)

Αλλά: PC άρα: x12+y12=4 (3)=>x12+x12=4=>

2x12=4=>x12=2=>x1=±√2

Αν x1= 2=>y1= 2 οπότε: η→x 2+y 2=4=>x+y=2

2 Αν x1==>y1=οπότε:

η→-x√2-y√2=4=>x+y=-2√2



2οςτρόπος

Έστω η: y=λx+β η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Επειδή ε//η=> λε=λη=>-1=λη Άρα: η:y=-x+β Βρίσκουμε τα κοινά σημεία της (η) και του κύκλου, λύνοντας το σύστημα:

{𝑦 = −𝑥 + 𝛽

𝑥2 + 𝑦2 = 4⟺{

y = −x + 𝛽

𝑥2 + (−𝑥 + 𝛽)2 = 4⟺

{𝑦 = −𝑥 + 𝛽

𝑥2 + 𝑥2 − 2𝛽𝑥 + 𝛽2⟺ {𝑦 = −𝑥 + 𝛽

2𝑥2 − 2𝛽𝑥 + 𝛽2 − 4 = 0

Το τριώνυμο πρέπει να έχει διπλή ρίζα ως προς x, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου θα είναι ίση με το 0, άρα: Δ=(-2β)2-4*2(β2-4)=0=> 4β2-8β2+32=0=> β2=8=>

β=±2√2

Επομένως: η→ y=-x±2√2

3ος τρόπος

Όπως είπαμε στο 2ο τρόπο λύσης η ευθεία (η) θα έχει την μορφή: η: y=-x+β ή η: -x+y+β=0 πρέπει όμως d(Κ,η)=R, όπου Κ(0,0) το κέντρο του κύκλου C και R=2 η ακτίνα του C.

Έτσι: d(Κ,η)=R=>|0+0−β|

√12+12= 2 =>

|β|

√2=2=> |β|=2√2=>

β=±2√2. Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) είναι:

η→y=-x±2√2.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου

χ2+ψ2=9 που γράφονται από το σημείο (0,6)



ΛΥΣΗ

Για χ=0 και ψ=6 η εξίσωση του κύκλου δίνει:

02+62=9=>36=9 άτοπο,άρα Τ(0,6) C

Επειδή επιπλέον 02+62>9 το σημείο Τ είναι εξωτερικό σημείο

του κυκλικού δίσκου

Αν λοιπόν ΤΡ με Ρ(χ1,ψ1) είναι μια από τις ζητούμενες

εφαπτομένες του κύκλου (Ρ σημείο επαφής),τότε:

ΤΡ χχ1+ψψ1=9

Επειδή Τ ΤΡ θα είναι:

0*χ1+6*ψ1=9=>6ψ1=9=>ψ1=9/6=>ψ1=3/2 (2)

Όμως Ρ(χ1,ψ1) ∈C,άρα:

χ12+ψ1

2=9=> χ12 +

9

4 =9 =>x1

2=9−9

4 => χ1

2=27

4=>χ1=±

3√3

2 και άρα:

Αν χ1=2

33και ψ1=

2

3τότε:ΤΡ x

2

33 + y

2

3 =9 => 3

χ+ψ=6

Αν χ1=-2

33 και ψ1=

2

3 τότε:ΤΡ→ x

2

33 + y

2

3 =9 =>

3 χ+ψ=6



ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνονται τα σημεία Α(1,2),Β(2,4) και Γ(3,1)

α)Να αποδειχθεί ότι :γωνία ΒΑΓ = 900

β)Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα

σημεία Α,Β και Γ

ΛΥΣΗ

α)Είναι 21

2

12

24λΑΒ

και

2

1

13

21

Επειδή λΑΒλΑΓ=-1 έχω ΑΒΑΓ. β)Το κέντρο του κύκλου προφανώς είναι το μέσο του ΒΓ

Αρα:Μ( )2

41,

2

23 δηλαδή Μ( )

2

5,

2

5

Η ακτίνα του κύκλου είναι:

R=|𝛭𝛤⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3 −5

2)2 + (1 −

5

2)2 =√(

1

2)2 + (

3

2)2 =

√1

4+

9

4=

√10

2

Η εξίσωση του κύκλου είναι:

(𝜒 −5

2)2 + (𝜓 −

5

2)2 =

10

4



ΑΣΚΗΣΗ 4

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του

στην ευθεία (ε):2χ+ψ+1=0 και διέρχεται από τα σημεία

Α(-1,2) και Β(3,-1)

ΛΥΣΗ

Το κέντρο του κύκλου θα βρίσκεται και στην μεσοκάθετη του

ΑΒ

Όμως

𝜆𝛢𝛣 = (2−(−1)

−1−3)=

3

−4=−

3

4

Το μέσο,έστω Μ του ΑΒ είναι:

Μ (−1+3

2,2−1

2) δηλ Μ(1,

1

2)

Άρα η εξίσωση της μεσοκάθετης (η)(με 𝜆𝜂=4

3),είναι:

η ψ−1

2=

4

3(χ-1)=>6ψ-3=8(χ-1)=>8χ-6ψ-5=0

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο τομής των ευθείων (ε)

και (η)



Και επομένως οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από

την λύση του συστήματος των εξισώσεων:

{8𝜒 − 6𝜓 − 5 = 02𝜒 + 𝜓 + 1 = 0

{8𝜒 − 6𝜓 = 5

−8𝜒 − 4𝜓 = 4{

2𝜒 + 𝜓 = −1−10𝜓 = 9

{𝜒 = −

1

20

𝜓 = −9

10

Άρα Κ(−1

20, −

9

10)

Η ακτίνα του κύκλου είναι:

R=|𝛫𝛢⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|=√(−1 +1

20)2 + (2 +

9

10)2 =√(

19

20)2 + (

29

10)2 =

√192+582

202 =√3725

20=

5√149

20=

√149

4

Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι:

(𝜒 +1

20)2 + (𝜓 +

9

10)2 =

149

16

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να βρεθεί η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι

ομόκεντροι οι κύκλοι

C1:x2+y2+Α1χ+Β1y+Γ1=0 και C2:x2+y2+Α2χ+Β2y+Γ2=0

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση C1:x2+y2+Α1χ+Β1y+Γ1=0 παριστάνει κύκλο αν

Α12 +Β1

2-4Γ1>0 (1)

Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι:Κ1(−𝛢1

2, −

Β1

2)



Η εξίσωση C2:x2+y2+Α2χ+Β2y+Γ2=0 παριστάνει κύκλο αν

Α22 +Β2

2-4Γ2 >0 (2)

Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι:Κ2(−𝛢2

2, −

Β2

2)

Για να είναι οι κύκλοι ομόκεντροι πρέπει τα σημεία Κ1,Κ2 να

ταυτίζονται,που σημαίνει ότι:

−𝛢1

2= −

𝛢2

2=>Α1=Α2

−𝛣1

2= −

𝛣2

2=>Β1=Β2

Η σχέση (1) γράφεται: Α12 +Β1

2>4Γ1

Η σχέση (2) γράφεται: Α12 +Β1

2>4Γ2

Επομένως :2(Α12 +Β1

2)>4(Γ2+Γ2)=> Α12 +Β1

2>2(Γ1+Γ2)

ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεωρούμε τον κύκλο C:χ2+ψ2+4ψ=0 και το σημείο Α(-1,-1)

Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο

χορδή,με μέσο το σημείο Α.

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση C:χ2+ψ2+4ψ=0 γράφεται:

C:χ2+(ψ+2)2=4



Η οποία παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(0,-2) και ακτίνας R=2

Επειδή (-1)2+[(-1)+2]2=1+1=2<4, το σημείο Α είναι εσωτερικό

του κύκλου C

Η ζητούμενη ευθεία(ε) είναι κάθετη στην ΚΑ και διέρχεται από

το σημείο Α

Είναι:𝜆𝛫𝛢 =−2+1

0+1=

−1

1= −1 και επειδή ΚΑε θα είναι:

𝜆𝛫𝛢*𝜆𝜀 =-1=>-1*𝜆𝜀=-1=>𝜆𝜀 = 1

Επομένως η εξίσωση της ευθείας (ε) θα είναι:

ε→ψ+1=1(χ+1)=>ψ=χ

Άσκηση 7

Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις

παρακάτω περιπτώσεις.

α)έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2√2

β)έχει κέντρο το σημείο (3,-1) και ακτίνα 5

γ)έχει κέντρο το σημείο (-2,1) και διέρχεται από το σημείο

(-2,3)

δ)έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(1,3) και

Β(-3,5)

ε)διέρχεται από τα σημεία (2,1),(1,2), και (-2,-1)

ΛΥΣΗ

α)Η αρχή των αξόνων είναι το σημείο: Ο(0,0)

Άρα:C x2+y2=8

β)Η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x-3)2+(y+1)2=25



γ)Αν Α(-2,1) είναι το κέντρο του κύκλου και Κ(-2,3) είναι το

σημείο απ’όπου περνά τότε:R=|KA⃗⃗⃗⃗ ⃗|=√02 + 22=2

Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x+2)2+(y-1)2=4

δ)Αν Α(1,3) και Β(-3,5),τότε το μέσο Μ είναι το Μ(-1,4)

Η απόσταση ΑΒ είναι: ΑΒ=√42 + 22=√20=2√5 άρα

R=1

2AB=√5

Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x+1)2+(y-4)2=5

ε)Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο της τομής των

μεσοκαθέτων των ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ.

Εύρεση της μεσοκαθέτου της ΑΒ

Είναι:λΑΒ=1−2

2−1=-1 και το Τ(

3

2,3

2) είναι το μέσο του ΑΒ

Αν (η) είναι η εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ (με λη=1),τότε:

η y-3

2=1(x −

3

2) =>x-y=0 (1)

Εύρεση της μεσοκαθέτου της ΒΓ

Το μέσο της ΒΓ είναι το Ρ(−1

2,1

2)

Είναι:λΒΓ=2−(−1)

1−(−2)=1

Αν (ε) είναι η εξίσωση της μεσοκάθετης του ΒΓ (με λε=-1),τότε

η y-1

2=-1(x +

1

2) =>x+y=0

Εύρεση των συντεταγμένων του κέντρου του κύκλου

Λύνουμε το σύστημα:{𝑥 + 𝑦 = 0x − y = 0

{x = 0y = 0

Άρα το κέντρο του

κύκλου είναι το Ο

Η ακτίνα του κύκλου είναι: R=|KA⃗⃗⃗⃗ ⃗|=√(2 − 0)2 + (1 − 0)2=√5

Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι:C x2+y2=5



Άσκηση 8

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το

σημείο (1,0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x+y+6=0 και

3x+y-12=0

ΛΥΣΗ

Έστω ότι:ε 3x+y+6=0

η 3x+y-12=0

Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Α δεν ικανοποιούν τις

εξισώσεις των (ε) και (η),αφού:

3*1+0+6 0 και 3*1+0-12 0

Ακόμα:λε=-3 και λη=-3,άρα:(ε)//(η)

Έστω C (x-x0)2+(y-y0)2=R2

Η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου.

Επειδή το Α C,θα έχουμε:

(1-x0)2+(0-y0)2=R2 =>(1-x0)2+y02=R2(1)

To σημείο Κ(x0,y0) ανήκει στη μεσοπαράλληλη των (ε) και (η)

Αν (ζ) είναι η μεσοπαράλληλη των (ε) και (η) τότε:ζ

3x+y+k=0

Έστω Λ(0,-6) σημείο της (ε) και Ρ(0,12) σημείο της (η)

Τότε το μέσο Ν(0,3) είναι σήμειο της ευθείας (ζ),

οπότε:3*0+3+κ=0,άρα κ=-3

Έτσι:ζ 3x+y-3=0

Επειδή όμως Κ ∈ (ζ) θα έχουμε:3x0+y0=3 =>y0=3(1-x0) (2)

Τότε η (1) λόγω της (2) γράφεται:(1-x0)2+[3(1-x0)]2=R2 =>

=> 10(1-x0)2=R2 (3)



Eίναι:R=1

2d(ε,η)=

1

2d(Λ,η)=

1

2*|3∗0−6−12|

√32+12=

18

2√10=

9

√10=

9√10

10 (4)

Οι σχέσεις (3) και (4) δίνουν:

10(1-x0)2=81

10 => (1-x0)2=

81

100 => 1-x0=±

9

10 =>x0=1 ±

9

10

=>{x0 = 1 +

9

10=> x0 =

19

10

x0 = 1 −9

10=> x0 =

1

10

Αν X0=19

10 τότε:yo=3(1 −

19

10)=3(−

9

10)=-

27

10 οπότε η εξίσωση του

κύκλου είναι:C→ (x −19

10)2+(𝑦 +

27

10)2=

81

10

Aν x0=1

10 τότε:y0=3(1 −

1

10)=3(

9

10)=

27

10 οπότε η εξίσωση του

κύκλου είναι:C→ (x −19

10)2+ (y −

27

10)2=

81

10

Άσκηση 9

Δίνεται η ευθεία y=λx και ο κύκλος x2+y2-4x+1=0.Να βρεθεί

η τιμή του λ ώστε η ευθεία:

α)να τέμνει τον κύκλο

β)να εφάπτεται του κύκλου

γ)να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο

ΛΥΣΗ

Έστω ε y=λx και C x2+y2-4x+1=0

Βρίσκουμε το πλήθος των κοινών σημείων της (ε) και του

(C),λύνοντας το σύστημα y=λx (1)

χ2+y2-4x+1=0 (2)

Η (2) λόγω της (1) γράφεται (1+λ2)χ2-4χ+1=0 (3)

Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (3) είναι:



Δ=(-4)2-4(1+λ2)=16-4(1+λ2)=16-4-λ2=12-λ2=4(3-λ2)

α)Έστω Δ > 0 τότε:

4(3-λ2) > 0 => 3-λ2< 0 => -√3< λ <√3

Η (ε) τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β.Οι τετμημένες των

Α και Β είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων (1) και

(2)

β)

Έστω Δ=0 τότε:

4(3-λ2)=0 => 3-λ2=0 => λ=±√3

Η (ε) τότε εφάπτεται του κύκλου στα σημεία Α και Β.Οι

εξισώσεις των εφαπτομένων στην περίπτωση αυτή είναι:

ε1 y=√3x

ε2 y=-√3x

γ)

Έστω Δ < 0 τότε:

4(3-λ2) < 0 => 3-λ2> 0 => λ (- ,-√3)(√3,+∞)



Η (ε) και ο κύκλος (C) δεν έχουν κοινά σημεία.

Άσκηση 10

Δίνεται ο κύκλος x2+y2-2x-1=0 και η ευθεία y=x-3.Να

αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη

συνέχεια να βρείτε το σημείο επαφής

ΛΥΣΗ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι:d(Κ,ε)=R,όπου Κ είναι το κέντρο του

κύκλου

Η εξίσωση x2+y2-2x-1=0 γράφεται:(x-1)2+y2=2

Και επομένως παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας

R=√2

Επομένως η (ε) εφάπτεται του κύκλου

Αν Ρ(x1,y1) είναι το σημείο επαφής,τότε:

ΚΡε => λΚΛ*λε=-1 => λΚΡ*1=-1 => λΚΡ=-1 (1)

Όμως:λΚΡ=y1−0

𝑥1−1=

y1

𝑥1−1 (x1-1 0) (2)

Εκ των σχέσεων(1)και(2)συμπεραίνουμε:y1

𝑥1−1=-1=>

y1=-x1+1(3)

Επειδή όμως Ρ ∈ C θα είναι:

χ12+y1

2-2x1-1=0 =(3)=>x12+(1-x1

2)-2x1-1=0 => 2x12-4x1=0 =>

2x1(x1-2)=0 =>{x1 = 0

x1 − 2 = 0 => x1 = 2

Aν x1=0 και y1=1 τότε:Ρ(0,1) απορρίπτεται διότι Ρ (ε)

Αν x1=2 και y1=-1 τότε:Ρ(2,-1) δεκτή διότι Ρ (ε)



2ος τρόπος

Για να είναι η ευθεία (ε) εφαπτόμενη του κύκλου θα πρέπει

ευθεία και κύκλος να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο ή το

σύστημα των εξισώσεων:

{y = x − 3 (1)

x2 + y2 − 2x − 1 = 0 (2) ,να έχει ακριβώς μια λύση.

Η σχέση (2) λόγω της (1) γράφεται:

χ2+(x-3)2-2x-1=0 =>x2+x2-6x+9-2x-1=0 => 2x2-8x+8=0 =>

x2-4x+4=0 => (x-2)2=0 =>x-2=0 =>x=2(διπλή)

Για x=-2 η σχέση (1) δίνει:y=-1

Επομένως το σημείο επαφής είναι το Ρ(-2,-1)

3ος τρόπος

Αν η ευθεία (ε) δεν εφάπτεται του κύκλου C,τότε θα υπάρχει

κάποια άλλη ευθεία παράλληλη της (ε) που θα εφάπτεται του

κύκλου στο σημείο Ρ

Αν (η) είναι η ευθεία αυτή,τότε:

η xx1 +yy1-(x+x1)=0 => (x1-1)x+yy1-(1+x1)=0

Πρέπει:ε//η => λη=λε => -x1−1

𝑦1=1 =>y1=1-x1

Επεδή όμως Ρ ∈ C θα είναι:

x12+y1

2-2x1-1=0 => x12+(1-x1

2)-2x1-1=0 => 2x12-4x1=0 =>

2x1(x1-2)=0 =>{x1 = 0

x1 − 2 = 0 => x1 = 2

Aν x1=0 και y1=1 τότε:η -x+y-1=0

Αν x1=2 και y1=-1 τότε:η x-y-3=0 δηλαδή (ε) (η)

Το σημείο επαφής είναι το Ρ(2,-1)

Άσκηση 11

Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην

ευθεία y=x και είναι ομόκεντρος του κύκλου

x2+y2-2x+4y+1=0

ΛΥΣΗ



Επειδή ισχύει:(-2)2+42-4*1=16 > 0

η εξίσωση C:x2+y2-2x+4y+1=0 παριστάνει κύκλο κέντρου

Κ(1,-2) και η ακτίνα:ρ=1

2√16=

1

2*4=2

Αν C λοιπόν είναι ο ζητούμενος κύκλος,τότε το κέντρο του θα

είναι Κ(1,-2) και η ακτίνα του,έστω R θα είναι:

R=d(Κ,ε)=|1−(−2)|

√12+(−1)2=

3

√2=

3√2

2

Ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση: C (x-1)2+(y+2)2=9

2

Άσκηση 12

Να βρείτε τι παριστάνει καθεμιά από τις παρακάτω

εξισώσεις:

2 2

2 2

2 2

2 2

) 8 6 21 0

) 4 2 5 0

) 4 10 0

)4 4 4 12 15 0

i x y x y

ii x y x y

iii x y y

iv x y x y

ΛΥΣΗ

i)Στην εξίσωση αυτή είναι Α=-8 , Β=6 , Γ=21.

Έχουμε 22 2 24 8 6 4 21 64 36 84 16 0

Άρα παριστάνει κύκλο με κέντρο , 4, 32 2

A BK K

και

ακτίνα 2 2 4 16 4

22 2 2

ii)Στην εξίσωση είναι Α=4 , Β=-2 , Γ=5

Έχουμε : 22 2 24 4 2 4 5 16 4 20 0

Άρα παριστάνει ένα μόνο σημείο , το , 2,12 2

iii) Στην εξίσωση είναι Α=0 , Β=-4 , Γ=10

Έχουμε 22 2 24 0 4 4 10 16 20 24 0

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

iv)Πρέπει να διαιρέσουμε με 4 γιατί οι συντελεστες των 2 2,x y

πρέπει να είναι 1. Έχουμε Α=1 , Β=-3 , 15

4 .



Είναι 22 2 2 15

4 1 3 4 1 9 15 25 04

Άρα παριστάνει κύκλο με κέντρο 1 3

, ,2 2 2 2

και ακτίνα 2 2 4 25 5

2 2 2



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ

1.Η εξίσωση (χ-χ0)2+(y-y0)

2=k ,kείναι πάντοτε

εξίσωση κύκλου Σ Λ

2.Το κέντρο του κύκλου (χ-1)2 + (y+2)2=9, βρίσκεται

πάνω στην ευθεία χ+y=-1. Σ Λ

3.Ο κύκλος που έχει κέντρο Κ(0,3) και διέρχεται από το

Α(-4,0) έχει ακτίνα ρ=5 Σ Λ

4.Ο κύκλος (χ+1)2+(y-4)2=25 τέμνει τον άξονα χ΄χ

στα σημεία (-4,0) και (2,0) Σ Λ

5.Αν Κ και Κ΄ είναι τα κέντρα των κύκλων

(χ-1)2+(y-1)2=4 και (χ+1)2+(y-1)2=5 αντίστοιχα,

Ο η αρχή των αξόνων, τότε ' 0OK OK Σ Λ

6.Ο κύκλος με εξίσωση (χ+2)2+(y+2)2=4 εφάπτεται

με τους άξονες χ΄χ και y’y Σ Λ

7.Ο κύκλος (χ-α)2+(y-β)2=β2 εφάπτεται με τον χ΄χ Σ Λ

8.Οι κύκλοι (χ+1)2+(y-2)2=25 και (χ+1)2+(y-2)2=36

δεν έχουν κοινά σημεία Σ Λ

9.Οι κύκλοι χ2+y2=1 και (χ-3)2+y2=4 εφάπτονται

εξωτερικά Σ Λ

10.Οι κύκλοι χ2+y2=4 και χ2+(y-1)2=1 εφάπτονται

εσωτερικά Σ Λ



ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το

σημείο Κ(6,4) και διέρχεται από το σημείο Α(2,1)

2.Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων με εξισώσεις: (x-3)2+(y-1)2=25 (x+2)2+y2=4 x2+(y-3)2=5

x2+y2=9√2

3.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο το

τμήμα ΑΒ με Α(7,5) και Β(1,-3).

4.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την

αρχή των αξόνων και

Α) ακτίνα ρ=3

Β)διέρχεται από το σημείο Β(-12,5)

Γ)εφάπτεται της ευθείας (ε) : 3x-4y+10=0

5.να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5,-3) και επιπλέον:

i)έχει ακτίνα ίση με 2√3 ii)διέρχεται από το σημείο Α(2,1) iii)εφάπτεται της ευθείας ε: y=-3x+2

6.Να βρεθεί ο κύκλος ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5,-4)

και εφάπτεται της ευθείας ε:y=3x+1.

7. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος

Α) έχει κέντρο Κ(2,-3) και ακτίνα 4.

Β)έχει κέντρο Κ(-8,2) και διέρχεται από το σημείο Α(4,-3)

Γ)έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(-6,14) και

Β(2,8)



Δ) έχει κέντρο Κ(3,1) κι εφάπτεται στην ευθεία

(ε): 4x-3y+6=0

Ε) Διέρχεται από το Α(1,1) και εφάπτεται στον άξονα y’yστο

σημείο Β(0,2)

8. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνάει από τα

σημεία Α(2,3) και Β(2,5) και έχει ακτίνα 5.

9. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (C) όταν έχει

Α) κέντρο το Κ(-5,2) και διέρχεται από το σημείο Α(-3,-1)

Β)διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(-4,-1) και Β(2,3)

Γ)κέντρο το σημείο Κ(-5,-3) και εφάπτεται στον άξονα x’x

Δ)κέντρο το Κ(-2,3) και εφάπτεται στην ευθεία (ε):x-y=2

10.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από τα

σημεία Α(3,1) και Β(-1,3) και το κέντρο του ανήκει στην

ευθεία ε:3χ-y-2=0.

11. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου όταν:

Α) εφάπτεται στον άξονα y’yκαι τέμνει τον x’x στο σημείο

Α(-1,0) και Β(-5,0)

Β) διέρχεται από το Β(-1,-8) και εφάπτεται στην ευθεία

(ε) 3x-4y-4=0 στο Α(0,-1)

12. Θεωρούμε τον κύκλο: 2 2: 5C x y

Α) Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ε του κύκλου στο

σημείο Α(1,2)

Β)Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης 1 του κύκλου που

είναι παράλληλη στην (ε).

13. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 4C x y

Α)Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που είναι

παράλληλες προς την ευθεία (ε):3x+4y=1

Β)Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που είναι

κάθετες προς την (ζ): 2x+y=1



Γ)Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου οι οποίες

διέρχονται από το σημείο Μ(2,3)

14. Δίνεται ο κύκλος : 2 2: 25C x y , να βρείτε :

Α) την εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου Cστο σημείο

του Α(-4,3)

Β)την εξίσωση της εφαπτόμενης του Cπου είναι κάθετη

στην ευθεία (ε) :4x-3y+2019=0

Γ) τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου Cπου

διέρχονται από το σημείο Β(5,10)

15. Βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου 2 2 16x y που

σχηματίζει με τον x’x γωνία 0120 .

16. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 2 2: 25C x y που διέρχονται από το Α(-1,7) και να

αποδειχτεί ότι είναι μεταξύ τους κάθετες.

17. να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου 2 2: 8C x y που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες

τρίγωνο με εμβαδό ίσο με 8.

18. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 2 0C x y x και το σημείο Α(3,0) .

Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που

διέρχονται από το Α και την οξεία γωνία που σχηματίζουν

αυτές.

19. Δίνονται οι κύκλοι 2 2 2 2

1 2

2 23

: 1 , C : 3 4 0

: 0.

C x y x y x y

C x y x y

Να βρείτε τις τιμές του λ , ώστε ;

Α) οι κύκλοι 1 2,C C εφάπτονται εξωτερικά

Β) οι κύκλοι 1 3,C C εφάπτονται εσωτερικά.

20. Δίνεται ο κύκλος 2 2: 10C x y και το σημείο Α(3,4) .

Από το Α φέρουμε τις εφαπτόμενες προς αυτόν και έστω Λ,Μ



τα σημεία επαφής . Να δείξετε ότι η ΛΜ έχει εξίσωση

ε:3x+4y=10.

21. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην

ευθεία (ε): 4x-3y=4 και είναι ομόκεντρος με τον 2 2: 4 3 3 0C x y x y

22.Δίνεται ο κύκλος 2 2

: 2 1 8C x y

Α)Δείξτε ότι το σημείο Μ(3,1) βρίσκεται στο εσωτερικό του

κύκλου

Β) Βρείτε την εξίσωση της χορδής η οποία έχει μέσο το

σημείο Μ.

23. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα

σημεία Α(1,1) , Β(1,-1) , Γ(2,0)

24.Έστω η εξίσωση 2 2: 6 2 2 1 0,C x y x ay a a

i)Να δειχθεί ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε α

ii)Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία ο κύκλος Cδιέρχεται

από την αρχή των αξόνων

iii)Να βρεθεί η τιμή του α για την οποία η ακτίνα του κύκλου

Cείναι ίση με 3.

25.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (8χ-5)2+(8y+12)2=192

παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η

ακτίνα.

26. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από

τα σημεία Α(3,1) , Β(-1,3) και το κέντρο του βρίσκεται

στην ευθεία (ε): 3x-y-2=0

27. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος διέρχεται από

τα σημεία Α(2,2) , Β(6,-2) και το κέντρο του είναι σημείο

της ευθείας (ε): 2x+y=5.

28. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(-3,2)

και αποκόπτει από την ευθεία (ε): x-2y=3 χορδή μήκους 6.



29.Έστω η εξίσωση 2 2: 12 4 8 2 2 12 18C x y k x y y

i)Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες η εξίσωση

παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο του.

ii)Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία φορέας μιας

διαμέτρου του είναι η ευθεία ε:4x+3y+27=0

iii)Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία ο κύκλος έχει το

κέντρο του

α)στον άξονα x’x

β)στον άξονα y’y

30. Έστω η εξίσωση 2 2: 1 1 2 3 1 0,C x y x y

i)Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε η εξίσωση να

παριστάνει κύκλο.

ii)Να βρείτε τις τιμές του λ έτσι ώστε η εξίσωση να

παριστάνει κύκλο με ακτίνα 21

2

iii)Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το κέντρο του κύκλου να

ανήκει στον άξονα y’y.

31.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση

χ2+y2+3λχ-4λy+25=0

παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του

κύκλου αυτού.Ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων

των κύκλων αυτών;

32.Δίνεται ο κύκλος χ2+y2=9 και το σημείο Α(1,2).Να βρεθεί

η εξίσωση της χορδής του κύκλου η οποία έχει μέσο το σημείο

Α.

33.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ,ο οποίος έχει κέντρο το

σημείο Κ(1,3) και ορίζει πάνω στην ευθεία ε:3χ-4y+14=0

χορδή μήκους 6.



34.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C΄ ,οποίος έχει ακτίνα ίση

με 15 και εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου C : χ2+y2=25 στο

σημείο του Α(-3,4).

35.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών του κύκλου

C:(χ-5)2+(y+3)2=20 οι οποίες έχουν ως ένα άκρο τους το

σημείο Α(3,1) του C, ανήκουν σε άλλο κύκλο του οποίου να

βρείτε την εξίσωση.

36.Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις:

i)x2+y2-3x+5y+10=0 ii)x2+y2+5x-y+2=0

iii)x2+y2-2x+6y+10=0

37.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3χ2+3y2-4x+6y-1=0

παριστάνει κύκλο.Στη συνέχεια να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα του.

38.Θεωρούμε τον κύκλο C: x2+y2-10x+16=0 και την ευθεία

ε:y=κχ.Να βρεθούν οι τιμές του κ για τις οποίες η ευθεία ε και ο

κύκλος C:

i)τέμνονται σε δύο σημεία ιι)εφάπτονται

iii)δεν έχουν κοινά σημεία

39.Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των Α,Β,Γ ώστε ο κύκλος

C: x2+y2+Ax+By+Γ=0

να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και να εφάπτεται στην

ευθεία Αχ+Βy=0

40.Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με εξίσωση 2 2: 2 0C x y ax y εφάπτεται στην ευθεία ε:2αx+βy=0

0, 0

41.Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση 2 2: 4 11 0.C x y x Να βρείτε

τη σχετική θέση του κύκλου Cως προς τα σημεία:

i)A(-1,-2)

ii)B(1,-5)



iii)Γ(2,1)

42.Να βρείτε τη σχετική θέση της ευθείας : 2 3y x με τον

κύκλο με εξίσωση 2 2

: 3 1 18C x y

43.Να βρεθεί η σχετική θέση των κύκλων με εξισώσεις:

2 2 221 2

2 2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

: 1 1 C : 3 5 16

: 5 1 9 C : 1 2 1

: 3 4 4 C : 5 1 36

C x y x y

C x y x y

C x y x y

44.Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ έτσι

ώστε οι κύκλοι : 2 2

1

2 22

: 4 2 5 0

: 3 0

C x y x y

C x y x y

να εφάπτονται.

45.Δίνεται ο κύκλος C:x2+y2-10x-6y+9=0.Να δειχτεί ότι το

σημείο Α(2,-1) ανήκει στον κύκλο C και να βρεθούν οι

συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του σημείου Α΄.

46. να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Α(-2,3) και εφάπτεται του άξονα: i)x’x ii)y’y

47.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων: C: x2+y2-xημθ+yσυνθ-10=0 ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα.

48.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες

στις ευθείες ε1:χ+3ψ-4=0 και ε2:2χ+6ψ+14=0 στο σημειο

Α(2,-3) που ανήκει σε μία απ’αυτές.

49.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την

διάκεντρο των δύο κύκλων χ2+ψ2+2χ-6ψ+1=0 και

χ2+ψ2+6χ-6ψ-7=0.



50.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του

στον άξονα χ΄χ και διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5)

51.Να βρεθεί το κ ώστε η εξίσωση

κ(χ2+3ψ2)+(ψ-3χ+1)(ψ+3χ+2)=0 να παριστάνει κύκλο και

έπειτα να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου.

52.Δίνεται ο κύκλος (χ+3)2+(ψ-3)2=40 και το σημείο Α(3,2) .

Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής που έχει μέσον το σημείο Α.

53.Να βρείτε την εξίσωση του φορέα της χορδής του κύκλου

2 2

: 3 7 169C x y που έχει μέσο το σημείο Μ(2,5)

54. Να βρεθεί το μήκος της χορδής που αποκόπτει ο κύκλος 2 2: 2 4 1 0C x y x y από την ευθεία : 1y x .

55.Έστω ο κύκλος 2 2

: 3 1 25C x y και χορδή του ΑΒ

με (ΑΒ)=8.

i)Να βρείτε το μήκος d του αποστήματος της χορδής ΑΒ.

ii)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών ΑΒ.

56.Να βρείτε το πραγματικό αριθμό λ έτσι ώστε ο κύκλος με

εξίσωση

2 2 2: 2 2 2 2 0C x y x y να αποκόπτει από την ευθεία

ε:y=2x+2 χορδή μήκους 21

45

57.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(α,1)

και εφάπτεται στις ευθείες ε1:5χ+12ψ-35=0 και ε2:5χ+12ψ-9=0.

58.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος

στο τρίγωνο με πλευρές ε1:2χ+ψ+4=0 ,ε2:χ-2ψ+12=0 και

ε3:2χ-ψ+8=0.



59.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-3,0) και εφάπτεται της ευθείας ε: x+2y=7 στο σημείο B(3,2).

60.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που είναι

ομόκεντρος του κύκλου με εξίσωση 2 2:3 3 6 12 9 0C x y x y και

εφάπτεται στην ευθεία ε:y=3x+5.

61.Να βρείτε την εξίσωση του φορέα της κοινής χορδής των

κύκλων 2 2

1

2 22

: 4 2 4 0

: 2 3 0

C x y x y

C x y x

62.Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από

το σημείο Α(1,2) και εφάπτονται στις ευθείες

1 2:3 4 1 0 και ε :3 4 21 0x y x y

63.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα

σημεία Α(2,2) ,Β(8,4) και η ευθεία ε:y=x+2 διέρχεται από το

κέντρο του.

64.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα

σημεία Α(1,2) ,Β(-3,4) και η ακτίνα του είναι ίση με 10

65. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα

σημεία Α(-1,2), Β(-2,-1) και Γ(3,4)

66.Έστω η εξίσωση

2 2: 1 ( 1) 4 2 6 6 0,C x y x y

i)Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς μ για τους οποίους η

εξίσωση παριστάνει κύκλο.

ii) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος Cδιέρχεται από δύο σταθερά

σημεία τα οποία να προσδιορίσετε.

67.Έστω η εξίσωση 2 2 2 2: 2 3 1 6 1 0,C x y x y

i)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε



ii)Να αποδείξετε ότι ο κύκλος Cδιέρχεται από σταθερό σημείο

Μ για κάθε .

68.Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου με εξίσωση

2 2

3 2 20x y στο σημείο Α(1,2)

69.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων από το σημείο

Α(1,6) στον κύκλο (χ+1)2+ψ2=20.

70.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου

(χ+3)2+(ψ-2)2=40 που είναι παράλληλες προς την ευθεία

ε:3χ+ψ-8=0.

71.Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου με εξίσωση

2 2

1 1 8x y που σχηματίζει γωνία 045 με τον x’x.

72.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου

χ2+ψ2-6χ+2ψ+5=0 που είναι κάθετες στην ευθεία ε:2χ+ψ+7=0.

73.Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου με εξίσωση 2 2 2 4 1 0x y x y που διέρχεται από το σημείο Μ(-1,2)

74.Έστω η εξίσωση 2 2 12 6 0,x y x y

i)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ έτσι ώστε η παραπάνω

εξίσωση να παριστάνει κύκλο που διέρχεται από το σημείο Μ(-

1,-2).

ii) Αν μ=-5 να αποδείξετε ότι το σημείο Λ(-1,-12) είναι

εξωτερικό του κύκλου.

iii)Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που

διέρχεται από το σημείο Λ(-1,-12)

75.Να βρεθεί το κ ώστε το μήκος της εφαπτομένης που

φέρεται από το σημείο Α(4,3) στον κύκλο χ2+ψ2+2κψ=0 να

είναι 8.



76.Έστω ο κύκλος με εξίσωση 2 2: 4 6 9 0C x y x y και το

σημείο Λ(7,5).

i)Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου.

ii)Να αποδείξετε ότι το Λ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου

.

iii)Να βρείτε το μήκος των εφαπτομένων τμημάτων ΑΛ , ΛΒ

που φέρουμε από το Λ προς τον κύκλο .

iv) Να βρείτε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΚΑΛΒ

77. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων με

εξισώσεις 2 2 2 2

1 2: 1 1 και C : 4 2 1 0C x y x y x y

78.Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων με

εξισώσεις 2 2 2 2

1 2: 1 1 1 και C : 5 5 25C x y x y

79.Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον

x’xστο σημείο Α(4,0) και αποκόπτει από τον άξονα

y’yχορδή μήκους 6.

80. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου Cπου διέρχεται από το

σημείο Α(-9,-4) και εφάπτεται στον κύκλο

2 2' : 2 1 10C x y στο σημείο του Β(-1,0) . Στην συνέχεια να

προσδιορίσετε αν οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά ή

εξωτερικά.

81.Να αποδείξετε ότι

ι)ο κύκλος χ2+ψ2=3 και η ευθεία 2χ-ψ-5=0 δεν έχουν κοινά

σημεία.

ιι) η εξίσωση χ2+ψ2-3+λ(2χ-ψ-5)=0 παριστάνει κύκλο . Ποιος

είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών;

82. Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στις

ευθείες 1 2 3:2 3 21 0, :2 3 9 0, :3 2 6 0x y x y x y



83. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το

σημείο Α(1,1) και εφάπτεται της ευθείας ε:x=3 στο σημείο

Β(3,-1).

84.Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ από τα

οποία οι εφαπτόμενες που φέρουμε προς τον κύκλο

2 2

: 2 3 1C x y που είναι κάθετες μεταξύ τους.

85. Δίνεται η εξίσωση 2 2 2: 2 2 2 0 , λC x y x y

Να βρείτε:

Α) τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η

εξίσωση παριστάνει κύκλο.

Β) το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου C και την

γραμμή στην οποία κινείται το κέντρο του για τις διάφορες

τιμές του λ.

Γ) Τις τιμές του λ , ώστε η ευθεία ε: x-y-2=0 να εφάπτεται

στον C.

86. Θεωρούμε τις εξισώσεις 2 2: 1 0 και ε: x=λx ,λC x y x y

Α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ

η Cπαριστάνει κύκλο , του οποίου να βρείτε το κέντρο κι

την ακτίνα.

Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων για τις

διάφορες τιμές του λ,

Γ) Να δείξετε ότι η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο Cσε δύο

σημεία Α και Β.

Δ)Αν 6AB , να βρείτε το λ.

87. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(2λ-1, 3λ+2) , Β(1,2)

Γ(2,3) , λ -2

Α) να δείξετε ότι το Α κινείται σε ευθεία , καθώς το λ

μεταβάλλεται στο .

Β)Εάν λ=1 , να βρείτε:

i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.



ii) την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την κορυφή

Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ.

88.Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα

, και η εξίσωση 2 2 4 6 12 0 (1)x y a x y a

α)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C

με ακτίνα 2 3

β)Αν το κέντρο του κύκλου C ανήκει στην ευθεία

:2 3 2 0x y και η εφαπτομένη ( ε) στο σημείο του

( , 6 ) έχει συντελεστή διεύθυνσης 2

3 τότε :

β1)να αποδείξετε ότι 04, 2 και , 60

β2)να αποδείξετε ότι τα διανύσματα

3 και 2 11v a u a είναι κάθετα.

Β3)να βρείτε το μέτρο του διανύσματος : 2w a

Β4)να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου C στα σημεία

που τέμνει τον x’x.

89.Δίνεται η εξίσωση 2 2 4 2 4 0 ,0<θ<2πx y x y

α)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει

κύκλο για κάθε θ.

β)Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου

γ)Να βρείτε την τιμή του θ για την οποία το εμβαδό του

κύκλου γίνεται ελάχιστο

δ)Για θ=π να βρείτε

δ1)τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που

άγονται από την αρχή των αξόνων

δ2)τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση της αρχής των

αξόνων από τον κύκλο

90. Δίνεται η εξίσωση 2 2-2xημθ-2yσυνθ-3=0 ,θx y

Α)Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει

κύκλο για κάθε θ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την

ακτίνα.

Β)Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων



Γ)Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε:xημθ+yσυνθ-3=0

εφάπτεται στον κύκλο

91.Δίνεται η εξίσωση 2 2 2-2=2xlnθ+ln θ+4lnθ ,θ>0 (1)x y

Α)Για ποια τιμή του θ η (1) παριστάνει κύκλο;

Β)Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των παραπάνω

κύκλων.

Γ)να εξεταστεί αν υπάρχει τιμή του θ για την οποία η

ευθεία : 4 0x y να εφάπτεται του κύκλου.

92. Η εξίσωση 24 4 1 2 0x a x έχει δύο ίσες

πραγματικές ρίζες.Να βρείτε

Α)τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(α,β)

Β)την εφαπτομένη του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, η

οποία άγεται από το σημείο Α(0,2)

93 . Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. . Κάθε

μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό n=1,2,3,…,1999 και

κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο Oxyδιαγράφοντας μια

τροχιά με εξίσωση 2 21 2 1x y n x y .

Να αποδείξετε ότι :

Α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν

οι συντεταγμένες του κέντρου του.

Β)Κατά την κίνηση τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από

ένα σταθερό σημείο Α ( που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι

οι συντεταγμένες του Α.

Γ) οι τροχιές όλων των μυρμηγκιού εφάπτονται της ευθείας

x+y-1=0 στο Α.

94. Δίνεται η εξίσωση 2 2 0 (1) x y x y και η ευθεία

ε:y=x+3.

Α) να βρεθούν οι τιμές του λ , για τις οποίες η (1) παριστάνει

κύκλο.

Β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε η ε να

τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία .



Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει λ , ώστε η χορδή που ορίζεται

από την τομή της ε και του κύκλου να φαίνεται από την αρχή

των αξόνων υπό ορθή γωνία.

95.Δίνεται η ευθεία (ε) :2x-y-3=0 και ο κύκλος 2 2: 2 0C x y x y

Α)Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) και ο κύκλος Cτέμνονται σε

δύο σημεία Μ,Ν

Β)Δίνεται η εξίσωση 2 2: 2 2 3 0 (1).C x y x y x y

Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ , ο

οποίος διέρχεται από τα σημεία Μ,Ν

Γ)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου.

Π.96.Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 1 1 1 0x y x y

α)να δειχτεί ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε

.

β)να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των

παραπάνω κύκλων

Π.97.Δίνεται η εξίσωση 2 2 4 6 9 0.x y x y

α)να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο και να βρεθεί το κέντρο

και η ακτίνα του.

β)να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω

κύκλου ώστε να είναι παράλληλη στην δ:2χ+y-3=0.

Π.98.Δίνεται ο κύκλος 2 24 8 16 0.x x y y

α)να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου

β)να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που

διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

Π.99Δίνεται η εξίσωση 2 2 2 1 0.x y x y

α)να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου

να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

β)να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω

κύκλου που άγονται από το σημείο Μ(1,3)

γ)να υπολογίσετε τη γωνία των εφαπτομένων αυτών.



Π.100.Δίνεται η εξίσωση

2

2 2 1 (1 ) 0,2

x y x y

α)να εξετάσετε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει

κύκλο.

β)να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των

παραπάνω κύκλων

γ)για ποια τιμή του λ η οικογένεια των παραπάνω κύκλων διέρχεται από το Ο(0,0).

Π.101.Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση χ=λy και ο κύκλος με εξίσωση 2 2 2 0.x y y

α)να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος τέμνονται με ένα σημείο τομής το Ο(0,0) β)Αν Α το δεύτερο κοινό τους σημείο , να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΟΑ συναρτήσει του λ. γ)Να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται το Μ

κινείται επίσης σε κύκλο με εξίσωση 2

2 1 1.

2 4x y

Π.102.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου , ο οποίος διέρχεται από το Α(-1,0) και Β(3,4) και τέμνει από την ευθεία

ε1:χ+y+1=0 χορδή μήκους 8 2.

Π.103.Δίνεται η εξίσωση C:x2 +y2-2κy-3λ=0 με λ>0.

Α)Δείξτε ότι η εξίσωση Cπαριστάνει κύκλο.

Β)Αν κ=1 και λ=1 δείξτε ότι ο κύκλος που προκύπτει

εφάπτεται στην ευθεία 3x+4y+6=0

Γ)Αν κ=0 και λ=1 να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων

του κύκλου στα σημεία του που έχουν τετμημένη χ1=1.

Π.104.α)Να δειχτεί ότι η εξίσωση C:x2+y2-6x+4y+12=0 είναι

κύκλος και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.

β)Να δειχτεί ότι οι ευθείες ε1:y=x-4 και ε2:3x+2y-7=0

τέμνονται σε σημείο του προηγούμενου κύκλου.



γ)Να βρεθούν οι εφαπτομένες στον κύκλο Cπου είναι

παράλληλες στην ευθεία ε1.

Π.105. Δίνεται η εξίσωση 2 2

1 1 ( 1) 0 (1)x y x

Α.Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η (1)

παριστάνει κύκλο και στη συνέχεια να βρεθούν το

κέντρο και η ακτίνα του κύκλου.

Β. Για τις παραπάνω τιμές του λ να βρεθεί ο γεωμετρικός

τόπος του κέντρου του κύκλου.

Γ. Να βρεθούν οι τιμές του ώστε ο κύκλος (1) να

εφάπτεται στην ευθεία ε:4x+3y-2=0.

Π.106.Α.Να βρείτε την εφαπτομένη ευθεία ε του κύκλου

C:x2+y2=2 στο σημείο Α(-1,1)

Β.Δίνεται η εξίσωση x2+y2-2+λ(x-y+2)=0 (1) ,

α)Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η (1) να παριστάνει

κύκλο.

β)Για λ=2 να βρείτε τι παριστάνει η (1)

γ)Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την

(1) διέρχονται από σταθερό σημείο.

δ)Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την

(1) εφάπτονται της ευθείας ε (του ερωτήματος Α)

Π.107.Δίνεται μια γραμμή : 2 22 2 0x x y y όπου κ,λ

θετικοί αριθμοί.

Α)Να αποδείξετε ότι η γραμμή είναι εξίσωση κύκλου και

βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του.

Β)Δείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση ε:κx+2κλ=λy δεν τέμνει

τον παραπάνω κύκλο.

Γ)Αν το τρίγωνο που σχηματίζει με τους άξονες η ευθεία ε

είναι ισοσκελές δείξτε ότι το κέντρο του κύκλου είναι

σημείο της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων.



ΠΑΡΑΒΟΛΗ


ΑΣΚΗΣΗ 1

Να βρεθεί η σχετική θέση της ευθείας χ+ψ+ 1=0 ως προς την

παραβολή ψ2=2χ

ΛΥΣΗ

C→ ψ2=2χ

Λύνουμε το σύστημα:

ψ2=2χ (1)

χ+ψ+1=0 (2)

Η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται:

(-χ-1)2 =2χ=>(χ+1)2=2χ=>χ2+2χ+1=2χ=>χ2+1=0(αδύνατη) στο

R

Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή και η ευθεία δεν έχουν κοινά

σημεία



ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνεται η παραβολή ψ2=4χ και η ευθεία (ε):ψ=χ-1

α) Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Α,Β της (ε) και της παραβολής

γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία

Α,Β είναι κάθετες

δ) Να δείξετε ότι κάθε ευθεία που περνά από την εστία και

τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία έχει την ιδιότητα (γ)

ΛΥΣΗ

Υποθέτουμε ότι C→ ψ2=4χ

α)Οι συντεταγμένες της εστίας Ε είναι Ε(1,0)

(διότι 2ρ=4 ή ρ=2)

Η εστία Ε ανήκει στην ευθεία (ε) διότι:

Για χ=1 και ψ=0 η (ε) ικανοποιείται

β) Εύρεση των συντεταγμένων των Α και Β

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

{ ψ2 = 4χ ψ = χ − 1

(χ-1)2 =4χ χ2-6χ+1=0χ=3 2 2



Αν χ= 3+2 2=>ψ=3+2 2-1=2+2 2 .Αρα Α(3+2 2 ,2+2

2)

Αν χ= 3-2 2=>ψ=3-2 2-1=2-2 2 .Αρα Α(3-2 2 ,2-2 2)

γ)Εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης ε1 της C στο

σημείο Α

είναι ε1→ψ(2+2√2)=2(χ+3+2√2)=>

2χ-2(1+√2)ψ+2(3+2√2)=0 με 𝜆𝜀1= −2

−2(1+√2)=

1

(1+√2)=√2 -1

Εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης ε2 της C στο

σημείο Β

Είναι ε2→ψ(2-2√2)=2(χ+3-2√2)=>

2χ-2(1-√2)ψ+2(3-2√2)=0 με 𝜆𝜀2= −2

−2(1−√2)=

1

(1−√2)=

-(√2 +1)

Επειδή είναι 𝜆𝜀1*𝜆𝜀2 =(√2 -1)*[ -(√2 +1)]= -(√22 -1)=-2+1=-1

συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες

δ)Υποθέτουμε ότι έχουμε την παραβολή με εξίσωση

C→ ψ2=2ρχ και την ευθεία (ε) με εξίσωση ε→ψ=λχ+β για την

οποία δεχόμαστε ότι περνά από την εστία Ε(ρ/2,0)

Επειδή Ε (ε) θα έχουμε:

0=λ*ρ/2+β=>2β=-λρ (1)

Έστω Α(χ1,ψ1),Β(χ2,ψ2) τα σημεία τομής (ε) και της C

Η εφαπτομένη της C στο σημείο Α έχει εξίσωση:

ε1→ψψ1=ρ(χ+χ1) με λε1 =−𝜌

𝜓1



Η εφαπτομένη της C στο σημείο Β έχει εξίσωση:

ε2→ψψ2=ρ(χ+χ2) με λε2 =−𝜌

𝜓2

Τότε θα είναι λε1* λε2 =(−𝜌

𝜓1)* (−

𝜌

𝜓2)=

𝜌2

𝜓1𝜓2 (2)

ΘΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ψ1Ψ2

Τα ψ1,ψ2 είναι οι τεταγμένες των κοινών σημείων τομής της

ευθείας (ε) με την καμπύλη C. Αρα αποτελούν λύση του

συστήματος των εξισώσεων:

{ψ2 = 2ρχ

𝜓 = 𝜆𝜒 + 𝛽{

ψ2 = 2ρχ𝜓−𝛽

𝜆= 𝜒

ψ2=2ρ𝜓−𝛽

𝜆 λψ2- 2ρψ+2ρβ (3)

Αν 𝜓1,𝜓2 είναι οι ρίζες της (2) τότε ψ1ψ2=2ρβ

𝜆 (4)

Η σχέση (2) λόγω της (4):

λε1* λε2=𝜌2

𝜓1𝜓2=

𝜌2

2ρβ

𝜆

=λ𝜌2

2𝜌𝛽=

λ𝜌

2𝛽=

λ𝜌

−𝜆𝜌=-1

Άρα θα είναι: ε1ε2

Άσκηση 3

Δίνεται η παραβολή 2y2=x.

Α) να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της.

Β) να βρεθεί η απόσταση του σημείου της Α(2,1) από την

εστία Ε και να συγκριθεί με την απόσταση (ΟΕ).

Γ) να αποδείξεται ότι σε κάθε παραβολή το σημείο της με

την μικρότερη απόσταση από τη εστία είναι η κορυφή

της Ο.

Δ) να βρεθεί σημείο στην παραβολή y2=2px που να απέχει

από την εστία απόσταση διπλάσια της ΟΕ.



Λύση

Η εξίσωση της παραβολής είναι: C→y2=1

2x

Α) πρέπει λοιπόν να είναι: 2p=1

2=>p=

1

4, οπότε

Η εστία της παραβολής: Ε(8

1,0)

Η διευθετούσα της παραβολής είναι: δ→x=-8

1

Β) προφανώς το Α∈C. Είναι:

d(Α,Ε)= √(2 −1

8)2 + 12 = √(

15

8)2 + 12 = √

225

64+ 1 =

√289

64=

17

8μ.μ

Επομένως d(Α,Ε)>(OE) Γ) έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο της C. Τότε:

d(Μ,Ε)=√(𝑥 −𝑝

2)2 + y2

y2-2px= √x2 − px +p2

4+ 2px=

√x2 + px +p2

4= |x +

p

2| (1)

η παράσταση όμως της σχέσης (1) γίνεται ελάχιστη όταν x=0(x,p είναι ομόσημοι). Για x=0 είναι y=0, άρα το σημείο Ο(0,0) απέχει από την εστία Ε την ελάχιστη απόσταση. Δ) έστω Μ(x,y) το ζητούμενο σημείο. Τότε:

d(Μ,Ε)= 2(ΟΕ)=> |x+p

2|= 2

p

2=>x+

p

2=±p=>

{x =

p

2

x = −3p

2

(1)

Για χ=2

pείναι y2=2p

2

p=>y=±p



Για χ=2

3p είναι αδύνατη διότι πρέπει x, p ομόσημοι

Επομένως τα ζητούμενα σημεία Μ είναι τα:

Μ(p

2,0) ή Μ(

p

2,-p)

Άσκηση 4 Δίνεται η παραβολή: C:y2=2px και δύο χορδές ΟΒ,ΟΓ, ώστε γωνία ΒΟΓ=90ο. να αποδειχθεί ότι η ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο.

Λύση Υποθέτουμε ότι η εξίσωση της ΟΒ είναι: ΟΒ→y=λx, λR* Επειδή ΟΒΟΓ θα έχουμε:

1 => λΟΓ=-1

λ

Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου B. Το σημείο Β είναι κοινό σημείο των ΟΒ και C. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΟΒ καιC.

{𝑦2 = 2pxy = 𝜆𝑥

⟺λ2x2=2pxx≠0x=2p

λ2. Τότε: y=λ2p

𝜆2 =2𝑝

𝜆.

Επομένως: B(2p

𝜆2,2𝑝

𝜆)

Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου Γ. Το σημείο Γ είναι κοινό σημείο ων ΟΓ καιC. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΟΓ καιC.

{𝑦2 = 2px

y = −1

𝜆𝑥

⟺𝑥2

𝜆2=2pxx≠0x=2pλ2.. Τότε: y=-

1

λ2pλ2=-2pλ.

Επομένως: Γ(2pλ2,2pλ).



Εύρεση της εξίσωσης της ΒΓ.

Είναι: λΒΓ=2𝑝

𝜆+2𝑝𝜆

2𝑝

λ2−2𝑝𝜆2=

2𝑝(1

𝜆+𝜆)

2𝑝(1

𝜆2−𝜆2)=

1

𝜆+𝜆

(1

𝜆+𝜆)(

1

𝜆−𝜆)

= 𝜆

1−𝜆2

Επομένως η εξίσωση της ΒΓ θα είναι:

ΒΓ→y+2pλ=λ

1−λ2(𝑥 − 2𝑝𝜆2) (1)

Για y=0 η σχέση (1) δίνει:

0+2pλ=λ

1−λ2(x-2pλ2) λ≠0=> 2p(1-λ2)= x-2pλ2=>x=2p

Άραη ΒΓ περνά από το σημείο Μ(2p,0) που είναι σταθερό. Άσκηση 5 Από το σημείο (-2,3) προς τη παραβολή y2=8x γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. Α) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων αυτών ευθειών. Β) να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές ευθείες είναι κάθετες.

Λύση Έστω C→y2=8x και Μ(-2,3) Το ΜC αφού 9≠-16 Α) έστω ΜΡ1 και ΜΡ2 οι εφαπτόμενες της C που φέρνουμε από το σημείο Μ. Τότε: ΜΡ1→yy1=4(x+x1) (1) και ΜΡ2→yy2=4(x+x2) (2) Επειδή όμως ΜΜΡ1 θα είναι:



3y1=4(-2+x1)=>y1=4(x1−2)

3 (3)

Όμως Ρ1(x1,y1)C και επομένως:

y12=8x1=> [4(x1−2)

3]2=8x1=>

16(x1−2)2

9= 8x1=>

2(x1 − 2)2 = 9x1=>

2x12-17x1+8=0=>+8=0=>{x1 =

17+15

4=

32

4= 8

x1 =17−15

2=

2

4=

1

2

Αν χ1x1 = 8 => 𝑦1 =4(8−2)

3=> y1 =

24

3=> y1 = 8. η

εξίσωση της ΜΡ1 είναι: ΜΡ1→8y=4(x+8) ή MP1→4x-8y+32=0 ή ΜΡ1→ x-2y+8=0 (4)

Αν χ1x1 =1

2=> 𝑦1 =

4(1

2−2)

3=> y1 =

2−8

3=> y1 = −2

Η εξίσωση της ΜΡ1 είναι:

ΜΡ1→y(-2)=4(x+1

2)=> -2y=4x+2=>y=-2x-1 (5)

Β) είναι: λΜΡ1=1

2 και λΜΡ2=-2, οπότε:

λΜΡ1=λΜΡ2=1

2(-2)=-1 και άρα ΜΡ1ΜΡ2.

Άσκηση 6 Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0,0) στις παρακάτω περιπτώσεις. Α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Ox και έχει παράμετρο p=5. Β) είναι συμμετρική ως προς το άξονα Ox και διέρχεται από το σημείο (-1,4) Γ) είναι συμμετρική ως προς το άξονα Oy και διέρχεται από το σημείο (2,2). Δ) έχει άξονα συμμετρίας το Oy και εστία Ε(0,-4). Ε) έχει εστία Ε(-2,0) και και διευθετούσα δ: x-2=0. Στ) έχει άξονα συμμετρίας τον Ox και εφάπτεται της ευθείας y=4x+1.

Λύση



Α) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: y2=2px ή y2=10x Β) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C→y2=2px (1) Επειδή όμως ΑC θα είναι: 42=2p(-1)=> 16=-2p=>p=-8 Επομένως: C→y2=-16x. Γ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C→x2=2py (2) Επειδή όμως ΒC θα είναι: 4=2p*2=>4=4p=>p=1 Επομένως: C→x2=2y Δ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C→x2=2py (3)

Πρέπει: -4=𝑝

2=> 𝑝 = −8 και άρα: C→x2=-16y.

Ε) η διευθετούσα της παραβολής είναι η δ→x=2. Η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C→y2=2px. (4)

Επειδή όμως ισχύει: −p

2= 2 => 𝑝 = −4 και άρα θα είναι:

C→y2=-8x Στ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C→y2=2px (5)

Το σύστημα:{y2 = 2px (6)y = 4x + 1 (7)

πρέπει να έχει μία μόνο λύση.

Η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται: (4x+1)2=2px=> 16x2+8x+1-2px=0=> 16x2+(8-2p)x+1=0 (8) Για να έχει η εξίσωση (8) μία μόνο λύση, πρέπει: Δ=0=>(8-2p)2-4*16*1=0=> 4(4-p)2=64=> (4-p)2=16=>

4-p=±4=>{p = 0p = 8

Δεκτή γίνεται η τιμή p=8(διότι p>0) Επομένως C→y2=16x. Άσκηση 7 Έστω η παραβολή C: y2=2px και μια χορδή της ΑΒ παράλληλη με τον άξονα y’y, η οποία περνάει από την εστία. Να αποδειχθεί ότι: Α) (ΑΒ)=2(ΕΚ), όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x’x τη διευθετούσα. Β) οι εφαπτόμενες στα Α και Β διέρχονται από το Κ.



Λύση Α) η εστία της παραβολής είναι: Ε(

p

2,0)

Επομένως η εξίσωση της ΑΒ θα είναι:

ΑΒ→x=p

2 (1)

Τα κοινά σημεία της ΑΒ με την παραβολή έχουν συντεταγμένες που βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων:

{𝑦2 = 2px

x =p

2

⟺{𝑦2 = 𝑝2

x =p

2

⟺{y = ±p

x =p

2

Επομένως: Α(𝑝

2,p) και B(

𝑝

2,-p)

Τότε όμως είναι: d(Α,Β)=(ΑΒ)=2p (1)

Ακόμα είναι: Κ(−𝑝

2,0) και Ε(

p

2,0) οπότε (ΕΚ)=p (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε: (ΑΒ)=2(ΕΚ) (3) Β) η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α είναι:

ε1→yp=p(x+p

2)=>y=x+

p

2 (4)

για x=−p

2 και y=0 η σχέση (4) ικανοποιείται και άρα Κ

(ε1). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Β είναι:

ε2→y(-p)=p(x+p

2)=>y=-x-

p

2 (5)

Για x=−p

2 και y=0 η σχέση (5) ικανοποιείται και άρα Κ

(ε2)



Άρα το Κ είναι κοινό σημείο των (ε1) και (ε2). Άσκηση 8 Ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή y2=4px με κορυφή το Ο. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.

ΛΥΣΗ Αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο τότε θα είναι ΟΑ=ΟΒ και άρα το σημείο Ο θα είναι σημείο της μεσοκάθετης της ΑΒ. Η ΟΜ λοιπόν θα είναι διάμεσος και ύψος στο τρίγωνο ΟΑΒ και άρα και διχοτόμος. Τότε τα σημεία Α,Β θα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x’x. Επειδή είναι Β�̂�Α=60ο θα είναι και ΜΟ̂Α=30ο και ΜΟ̂Β=-30ο. Επομένως:

λΟΑ= εφ30ο=2

3 √3

3 και άρα η εξίσωση της ΟΑ είναι:

ΟΑ xy2

3

λΟΒ=εφ(-30ο)=2

3 και άρα η εξίσωση της ΟΒ είναι:

ΟΒ→y=x Η ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα x’x και άρα θα έχει εξίσωση: ΑΒ→x=x1 όπου Α(x1,y1). Θα βρούμε λοιπόν το x1.



Το σημείο Α είναι κοινό σημείο των ΟΑ και της C και επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Α βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων:

{𝑦 = −√3

3𝑥

y2 = 4px

⟺(−√3

3x)

2

= 4𝑝𝑥 ⟺

1

3𝑥2=4pxx2=12px{

x = 0 (ά𝜏𝜊𝜋𝜊)

𝑥 = 12𝑝 (𝛿휀𝜅𝜏ή)

Επομένως θα είναι Α(12p,4√3p) διότι: y=√3

312p=4√3p

Άρα:ΑΒ→x=12p. Άσκηση 9 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y2=3x που είναι παράλληλη στην ευθεία 2x-y+2008=0.

Λύση Έστω C→y2=3x και ε→2x-y+2008=0. Αν (η) είναι η ζητούμενη ευθεία και Ρ(x1,y1) το σημείο επαφής, τότε:

η→yy1=3

2(x+x1)=> 3x-

2yy1+3x1=0 (1) Είναι όμως:

ε//η=> λε=λη=> 2=3

2𝑦1=>y1=

3

4

επειδή όμως ΡC θα ισχύει:

y12=3x1=>9

16=3x1=>

3

16=x1

Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) θα είναι:

η→3x-2y*3

16=0=>x-

1

2𝑦+

3

16=0=> 16x-8y+3=0.



Άσκηση 10 Έστω η παραβολή y2=4px, p>0. Μια χορδή της ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα και έχει μήκος 8p. Να αποδειχθεί ότι

=0.

Λύση Έστω C→y2=4px Για την παραπάνω παραβολή άξονας συμμετρίας είναι ο x’x. Άρα, λόγω του ότι ΑΒx’x, τα σημεία Α και Β θα είναι συμμετρικά ως προς τον x’x. Αν υποθέσουμε ότι Α(x1,y1) και Β(x1,-y1), επειδή είναι d(Α,Β)=8p, θα έχουμε:

d(Α,Β)= 8p=>√02 + (2y1)2 = 8𝑝=> |2y1|=8p=>y1=±4p

Όμως ΑC=> (±4p)2=4px1=> 16p2=4px1=>x1=4p. Επομένως θα είναι: Α(4p,4p) και Β(4p,-4p).

Τότε θα είναι: ΟΑ⃗⃗⃗⃗ ⃗=(4p,4p) και ΟΒ⃗⃗⃗⃗ ⃗=(4p,-4p), οπότε:

ΟΑ⃗⃗⃗⃗ ⃗ΟΒ⃗⃗⃗⃗ ⃗=4p*4p+4p(-4p)=0 άραΟΑ⃗⃗⃗⃗ ⃗ΟΒ⃗⃗⃗⃗ ⃗.




1.Η παραβολή C:y=21

8x έχει εστία Ε(0,2) και

διευθετούσα y=-2 Σ Λ

2.Η ευθεία y=xείναι εφαπτομένη της παραβολής

C:x=21

4y . Σ Λ

3.Η παραβολή C:21

4y x έχει άξονα συμμετρίας τον χ΄χ Σ Λ

4.Στην παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ΄χ , αν το ρ

είναι θετικό , τότε και το χ είναι θετικό. Σ Λ

5.Αν το σημείο (1,-2) ανήκει στην παραβολή

C:x=21

2y

pτότε και το (1,2) ανήκει στην ίδια παραβολή Σ Λ

6.Αν η παραβολή C:21

2y x

p περνά από το (2,3) τότε

έχει διευθετούσα 1

3y Σ Λ

7.Η παραβολή που έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0) και

διευθετούσα 1

36x , έχει εξίσωση

2 1

18y x Σ Λ

8.Η κορυφή της παραβολής ισαπέχει από την εστία

και την διευθετούσα αυτής. Σ Λ




1.Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής ,που έχει κορυφή την

αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα χ΄χ ,στις

παρακάτω περιπτώσεις:

α)έχει εστία Ε(2,0)

β)έχει εστία Ε(-3/2,0)

γ)έχει διευθετούσα την ευθεία δ:χ=-1

δ)διέρχεται από το σημείο Α(-1,2)

2.Να προσδιορίσετε την εστία και την διευθετούσα της

παραβολής στις παρακάτω περιπτώσεις:

ι)y2=8χ ιι)y2=-6xiii)x2=2 2 yiv)x2=-2 2 y.

3.Να προσδιορίσετε την εστία και την διευθετούσα των

παραβολών με εξισώσεις: 2

1

2

2

23

) : 2

) :16

) :

i C x y

yii C x

iii C y ax

4.Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με άξονα συμμετρίας

τον y’yόταν η απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα είναι

ίση με 8

5. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει άξονα

συμμετρίας τον y’yκαι διέρχεται από το σημείο Β(6,2)

6.Δίνεται η παραβολή C:y2=-2x.Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της παραβολής η οποία :

ι)είναι παράλληλη στην ευθεία ζ:χ+y=1

ιι)διέρχεται από το σημείο Α(2,1)

7.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2: 12C y x που είναι παράλληλη στην ευθεία ε:3x+y+5=0



8.Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει άξονα

συμμετρίας τον χ’χ και εφάπτεται στην ευθεία ε:y=x+1.

9.Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής C:y2=8x η

οποία έχει το σημείο Μ(2,-3) ως μέσο και δεν είναι παράλληλη

στον άξονα χ΄χ.

10.Έστω η παραβολή 2 4 .x y Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής

της παραβολής που έχει μέσο το σημείο Μ(1,2).

11.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή

C:y2=16x η οποία σχηματίζει με τον άξονα χ΄χ γωνία 600 .

12.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής

C:x2=-16y που απέχει από την κορυφή της απόσταση ίση με 22 .

13.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2

:2

yC x που διέρχεται από το σημείο

5,2

2

14.Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής , η οποία έχει κορυφή

Ο(0,0) ,άξονα συμμετρίας τον άξονα χ΄χ και εφάπτεται στην

ευθεία ε:y=-x+2.

15.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής

C:y2=4x ,οι οποίες έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-1 ,

βρίσκονται σε ευθεία γραμμή ,την οποία και να προσδιορίσετε.

16. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής 2: 6C y x που οι άξονες αποκόπτουν από αυτή τμήμα μήκους

3 3.d

17.Να βρεθεί το σημείο της παραβολής C: y2=4x που έχει την

μικρότερη απόσταση από την ευθεία ε:y=4x+2.



18.Δίνεται η παραβολή C:y2=2px και η εφαπτομένη της ε στο

Α(χ1,y1) η οποία τέμνει τους άξονες χ΄χ και y΄y στα σημεία Β

και Κ αντίστοιχα. Έστω Γ το σημείο τομής της διευθετούσας

δ:χ=-2

και της ευθείας ΕΚ.

ι)Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β,Γ,Κ και να

αποδείξετε ότι το Κ είναι το μέσο των ΑΒ και ΕΓ.

ιι)Να αποδείξετε ότι ΑΒΕΓ και ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ

είναι ρόμβος.

19.Δίνονται ο κύκλος C1: x2+y2-6x-27=0 και η παραβολή

C:y2=12x .Να δειχτεί ότι α)ο κύκλος και η παραβολή

τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β β)Οι εφαπτόμενες της

παραβολής στα Α και Β τέμνονται πάνω στον κύκλο.

20.Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(6,1) ,

τέμνει την παραβολή y2=12x στα σημεία Α,Β και το Μ είναι

μέσο του ΑΒ.

21.Να βρεθεί το μήκος της χορδής της παραβολής y2=2px που

είναι κάθετη στον άξονα χ΄χ και διέρχεται από την εστία της

παραβολής.

22.Δίνεται η παραβολή y2=2px και η εφαπτομένη της στο

τυχαίο σημείο της Μ(α,β) που τέμνει τον άξονα ψψ΄στο σημείο

Α.Αν Ε είναι η εστία της παραβολής να δειχτεί ότι ΑΕ ΑΜ.

23.Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής 2: 4C y x που

σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τ.μ.

24.Δίνεται η παραβολή x4y:C 2 και η εφαπτομένη ε στο τυχαίο

της σημείο Α. Αν η κάθετη της ε στο Α τέμνει τον x’x στο

σημείο Β, έστω Μ το μέσο του ΑΒ.

Α. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε παραβολή

Β. α) Αν Ε η εστία της παραβολής C, να αποδείξετε ότι ΑΒΕΜ .



β) Αν το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο, να βρείτε τις

συντεταγμένες του Α.

25. Έστω η παραβολή 2: 2C y px και , , ,A A B Bx y B x y δύο

διαφορετικά σημεία της παραβολής. Αν η ευθεία ΑΒ διέρχεται

από την εστία Ε της παραβολής , να αποδείξετε ότι: 2A By y p

26.Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής px2y:C 2 ,

οι οποίες άγονται από τυχαίο σημείο της διευθετούσας της

παραβολής, είναι κάθετες.

27.Έστω η παραβολή 2: 2C y px και η εφαπτομένη της ε σε

ένα σημείο Α. Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της

παραβολής στο Β να αποδειχθεί ότι ΒΕ//ε.

28. ΄Εστω η παραβολή 2: 4C x y και τα σημεία 2 2(2 , ) και Γ(2γ,γ ) . Αν η χορδή ΒΓ διέρχεται από την εστία Ε

της παραβολής τότε:

i) να αποδείξετε ότι 1

ii) να βρεθεί η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των μέσων Μ

των χορδών.

29. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν

τα μέσα των χορδών της παραβολής 2: 2C y px που διέρχεται

από την κορυφή της.

30. Έστω η παραβολή 2: 2 , 0C y px p .Αν Μ τυχαίο σημείο

της διευθετούσας και

ΜΑ, ΜΒ οι εφαπτόμενες της παραβολής που φέρνουμε από το

Μ, να αποδείξετε ότι )i MA MB

ii) τα σημεία Α,Β,Ε είναι συνευθειακά.

Π.31.Δίνεται η παραβολή x2=2py.

Α)Να βρεθεί το p αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο

Α(6,-9).



Β)Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ της παραπάνω

παραβολής.

Γ)Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο

σημείο 2 3, 3 .B

Δ)Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ΕΒ με τον χ΄χ.

Π.32.Δίνεται η παραβολή y2=4xκαι η ευθεία (ε):y=x-1

Α)Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής

Β)Να βρείτε τα κοινά σημεία Α,Β της (ε) με την παραβολή.

Γ)Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία

Α,Β είναι κάθετες.



ΕΛΛΕΙΨΗ


Άσκηση 1

Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμιάς από τις

παρακάτω ελλείψεις: 2

2

2 2

) 14

)4 9 36

xa y

x y

ΛΥΣΗ

Α)Για την καμπύλη 2

2 14

xC y ,έχουμε:

2

2

2 2 2 2 2

4 2

1 1

4 1 3 3

a a

Επομένως:3

2

Β) Για την καμπύλη 2 2

2 2

2

2

2 2 2 2

4 9 36 19 4

9 3

4 2

5 5

x yC x y

Επομένως :5

3



Άσκηση 2

Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης 2 29 16 144x y

που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: x+y=0.

ΛΥΣΗ

Είναι 1

1 . Υποθέτουμε ότι η ζητούμενη εφαπτομένη της

έλλειψης είναι: 1 1 19 16 144x x y y . Επειδή (ε)//(ε1) θα

ισχύει: 1

1 11

1

9 161

16 9

x yx

y

Όμως το σημείο Ρ είναι σημείο της έλλειψης,επομένως: 2

2 2 211 1 1

2 21 1 1

16 169 16 144 9

9 9

81 925 81

25 5

yy y y

y y y

Επομένως θα έχουμε:

1 1 1

1

9 16 9 16:

5 9 5 5

16 9Αρα: 9 16 144 1 5

5 5 5 5

y x x

x yx y x y

1 1 1

1

9 16 9 16 y

5 9 5 5

16 9: 9 16 144 1 5

5 5 5 5

x x

x yx y x y



Άσκηση 3

Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα β διέρχεται από τις

εστίες της έλλειψης 2 2

2 21

x y

με α>β. Να βρεθεί η

εκκεντρότητα της έλλειψης.

ΛΥΣΗ

Ο κύκλος έχει εξίσωση: 2 2 21C x y .

Οι εστίες της έλλειψης 2 2

2 2 21

x yC

a έχουν συντεταγμένες

Ε1(-γ,0) και Ε2(γ,0). Επειδή όμως

2 2 2 2 2

1 1 0C

Από την σχέση:

2 2 2 2 2 2 2 22

2 2.

Επομένως η εκκεντρότητα θα είναι:1 2

22 2




1.Η ευθεία χ=2 είναι εφαπτομένη της έλλειψης

2 2

12 3

x y Σ Λ

2.Εστιακή απόσταση μιας έλλειψης ονομάζεται η

απόσταση δύο σημείων της που είναι συμμετρικά

ως προς το κέντρο της. Σ Λ

3.Η εφαπτομένη της έλλειψης 2 2

2 21

x y

a στο σημείο

της Μ(ασυνθ,βημθ) είναι (συνθ)x+(ημθ)y=1 Σ Λ

4.Η εκκεντρότητα της έλλειψης 4x2+y2=4

είναι 2 3

3 Σ Λ

5.Η ευθεία y=-3 είναι εφαπτομένη της έλλειψης 2 2

12 9

x y Σ Λ

6.Η εξίσωση 2 2

2 21

x y

a παριστάνει έλλειψη μόνο

αν α>β. Σ Λ

7.Η εστιακή απόσταση μιας έλλειψης είναι το μισό

του μεγάλου άξονα . Η εκκεντρότητα είναι 1

2 Σ Λ

8.Δύο ελλείψεις που έχουν τις ίδιες εστίες είναι

όμοιες Σ Λ

9.Δύο όμοιες ελλείψεις έχουν πάντα τις ίδιες εστίες Σ Λ

10.Δύο από τις κορυφές και οι εστίες οποιαδήποτε

έλλειψης βρίσκονται στην ίδια ευθεία Σ Λ

11.Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει

προς το 0 τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος Σ Λ

12.Το σημείο Α(2,-2) βρίσκεται έξω από την έλλειψη 2 2

125 9

x y Σ Λ




1.Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης ,η οποία έχει:

ι)εστίες Ε΄(-4,0) ,Ε(4,0) και μήκος μεγάλου άξονα 12

ιι)εστίες Ε΄(0,-5) ,Ε(0,5) και μήκος μικρού άξονα 2

ιιι)εστίες Ε΄(-3,0) ,Ε(3,0) και εκκεντρότητα 5

3

2.Να βρείτε τα μήκη των αξόνων ,τις κορυφές ,τις εστίες και

την εκκεντρότητα των ελλείψεων:

ι)25x2+4y2=100 ii)5x2+169y2=845

3. Να βρείτε τις εστίες και τις κορυφές της έλλειψης με

εξίσωση 2 2

: 125 9

x yC

4.Αν οι εφαπτόμενες της έλλειψης C:2

2

a

x+ 1

β2

2

y

στα σημεία

της Β και Γ τέμνονται στο Μ(χ0,y0), να βρεθεί :

ι)η εξίσωση της ευθείας ΒΓ

ιι)ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία η ΒΓ

διέρχεται από την εστία Ε(γ,0).

5. Να βρείτε την εστιακή απόσταση , τα μήκη του μικρού και

του μεγάλου άξονα και την εκκεντρότητα της έλλειψης με

εξίσωση 2 2:12 8 4C x y

6. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει για εστίες

τα σημεία Ε(0,2) και Ε’(0,-2) και κορυφές του μεγάλου

άξονα τα σημεία Α(0,4) και Α’(0,-4)

7.Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει για άκρα

του μικρού άξονα τα σημεία Β(2,0) και Β’(-2,0) και το

άθροισμα των αποστάσεων ενός τυχαίου του σημείου της από

τις εστίες είναι ίσο με 16.



8.Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης Cπου έχει για εστίες

τα σημεία Ε(0,4) και Ε’(0,-4) και διέρχεται από το σημείο

3, 5

9.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ,η οποία τέμνει την

έλλειψη C: 134

22

yx

σε δύο σημεία Κ,Λ έτσι ώστε το τμήμα

ΚΛ να έχει ως μέσο το σημείο Μ(1,-1).

10.Έστω η εξίσωση 2 2

2: 1.

4 4 1

x yC

i)Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι ώστε η εξίσωση Cνα

παριστάνει έλλειψη με τις εστίες της να ανήκουν στον y’y.

ii)Να βρεθεί η τιμή του λ έτσι ώστε η έλλειψη Cνα έχει

εστίες τα σημεία 0,2 2 Ε' 0, 2 2

11. Έστω η έλλειψη με εξίσωση

2 2

2 2: 1, 1

11

x yC

i)Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες οι εστίες της

έλλειψης ανήκουν στον x’x.

ii)Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία η εκκεντρότητα

της έλλειψης είναι ίση με 2

2

12.Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης Cπου έχει τις εστίες

της στον άξονα x’xκαι διέρχεται από τα σημεία 1

1,1 Λ 2,2

13.Δίνεται η έλλειψη C: 1β2

2

2

2

y

a

x και η εφαπτομένη σε ένα

σημείο της Ν(χ1,y1) , η οποία τέμνει τους άξονες χ΄χ και y΄y

στα σημεία Α και Β αντίστοιχα . Αν Μ(χ0,y0) είναι το μέσο του

τμήματος ΑΒ,να αποδείξετε ότι .420

2

20

2

y

14. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης Cμε εστίες τα

σημεία 2 2

,0 και Ε' ,02 2

και η ευθεία 2

: 12

y x είναι

η εφαπτομένη της.



15. Να βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης με εξίσωση 2 2

18 4

x y στο σημείο της 2, 2

16.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης:

C:x2+3y2=3 οι οποίες είναι:

i)παράλληλες στην ευθεία ε:x+3y+1=0.

ii)κάθετες στην ευθεία ε:x+y+2=0.

17.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψη

C: 159

22

y

που φέρνουμε από το σημείο Μ(3,3).

18.Εστω Μ(χ,y) σημείο της έλλειψης C:β2χ2+α2y2=α2β2 .

Αν Ε(γ,0) και Ε΄(-γ,0) οι εστίες της έλλειψης C ,να

αποδείξετε ότι (ΜΕ)=α-εχ και (ΜΕ΄)=α+εχ.

19.Έστω η έλλειψη C: 1β

y2

2

2

2

.Να αποδείξετε ότι το

γινόμενο των αποστάσεων των εστιών της από κάθε

εφαπτομένη της είναι β2.

20.Δίνεται η έλλειψη C: 1β2

2

2

2

y

και το σημείο της Ρ(χ1,y1).

Η κάθετη στην έλλειψη στο σημείο Ρ τέμνει τον χ΄χ στο σημείο

Δ .Αν Η η προβολή του Ρ στον χ΄χ να αποδείξετε ΟΔ=ε2ΟΗ ,

όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης.

21.Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης 149

22

y

,τις

οποίες φέρνουμε από το σημείο (3,4).

22.Δίνεται η έλλειψη 19

y

25

22

και (ε) μια τυχαία εφαπτομένη

της. Αν d(E1,ε) και d(Ε2,ε) είναι οι αποστάσεις των εστιών της

από την εφαπτομένης (ε) ,να δειχθεί ότι d(Ε1,ε)d(Ε2,ε)=9.



23.Από το σημείο Μ(-6,7) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ,ΜΒ

στην έλλειψη 143

22

y

.Να βρεθεί η απόσταση του Μ από την

ΑΒ.

24.Να δειχτεί ότι το σημείο Μ(3,2) είναι εξωτερικό σημείο της

έλλειψης 120

y

5

22

και να βρεθούν οι εφαπτόμενες της

έλλειψης ,οι οποίες διέρχονται από το Μ.

25.Έστω η έλλειψη 2 2

2 2: 1x y

Ca με α>β>0 με εστίες Ε,Ε’.

Αν ε μια τυχαία εφαπτομένη της στο σημείο Μ(x,y) να

αποδείξετε ότι: 2, ', .d d E

26.Έστω η έλλειψη 2 2

2 2: 1x y

Ca με α>β>0 και κορυφές τα

σημεία Α και Α’. Αν Μ ένα τυχαίο σημείο της έλλειψης να

αποδειχθεί ότι : 2

' 2

27.Δίνονται δύο κωνικές τομές ,η παραβολή y2=2px και η

έλλειψη 4x2+2y2=3p2 , p>0 .

i) Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε΄της έλλειψης είναι τα

σημεία Ε(0,2

3) και Ε΄(0,-

2

3)

ii)Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο

κωνικών τομών είναι τα σημεία Κ( ),2

και Λ( ),

2

.

iii)Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών

στο σημείο Κ( ),2

είναι κάθετες.

28. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης

14

y

9

x:C

22

που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β έτσι

ώστε το τρίγωνο ΑΟΒ να είναι ισοσκελές



29.Έστω η έλλειψη 14

ψx:C

22 και το σημείο Μ(4,0). Έστω Ρ,

Σ τα σημεία επαφής των εφαπτομένων της έλλειψης που

διέρχονται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι ΟΜΡΣ.

30. Έστω η έλλειψη 2 2

2 2: 1x y

Ca με α>β>0 . Αν οι

εφαπτόμενες της έλλειψης στην κορυφή Α και σε τυχαίο

σημείο Μ τέμνονται στο Κ να αποδείξετε ότι: ΟΚ//Α’Μ .

31.Δίνονται οι ελλείψεις

.0,1xα:C1 x

:C 222222

2

2

2

1 βαμεψβκαιβ

ψ

α

Η ημιευθεία 2

πθ00,xεφθ)x,(y τέμνει τη C1 στο σημείο

Γ(x1,ψ1) και τη C2 στο σημείο Δ(x2,ψ2). Αν λ1 ο συντελεστής

διεύθυνσης της εφαπτομένης C1 στο Γ και λ2 ο συντελεστής

διεύθυνσης της εφαπτομένης της C2 στο Δ, να αποδειχθεί

ότι : θεφ

λλ221

1

32.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της έλλειψης

βαβα

,1yx

:C2

2

2

2

που έχουν συντελεστή διεύθυνσης 2

2

α

βλ

βρίσκονται σε ευθεία γραμμή της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

33.Να συγκριθούν οι εκκεντρότητες των ελλείψεων 2 2 2 2

1 22 2 4 4: 1 και : 1x y x y

C Ca a με α>β.

34.Να βρεθεί η μορφή της εξίσωσης της έλλειψης με

εκκεντρότητα 2

.2



35.Δίνεται ο κύκλος χ2+y2=4 και η έλλειψη 2 2

12 6

x y .

Α)Να δείξετε ότι το σημείο 1, 3 είναι κοινό τους σημείο και

στη συνέχεια να βρείτε όλα τα κοινά τους σημεία.

Β)Να δείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές

ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Γ)Να βρεθούν τα σημεία Μ(x0,y0) ώστε

2 20 0 4 και ' 2 6x y (Ε΄, Ε οι εστίες της

έλλειψης)



ΥΠΕΡΒΟΛΗ


Άσκηση 1

Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις

ίδιες εστίες με την έλλειψη 2 2

1.25 16

x y

ΛΥΣΗ Για την έλλειψη είναι : α2=25 και β2=16 ,οπότε:

γ2=α2-β2=25-16=9 , άρα γ=3.

Επομένως οι εστίες της έλλειψης είναι Ε1(-3,0) Ε2(3,0)

Επειδή η υπερβολή είναι ισοσκελής θα είναι α=β, οπότε 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 9 2

9.

2

Άρα η εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής θα είναι

2 2 9

2C x y

Άσκηση 2

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της

στον άξονα χ΄χ συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων και

ακόμα:

Α)έχει εστιακή απόσταση (Ε΄Ε)=6 και εκκεντρότητα 3

2 .

Β)έχει εστιακή απόσταση (Ε Έ)=20 και ασύμπτωτες 4 4

και y=- .3 3

y x x

Γ)έχει εστιακή απόσταση (Ε Έ)=4 και ασύμπτωτες τις

διχοτόμους των γωνιών των αξόνων

ΛΥΣΗ



Η εξίσωση της υπερβολής θα είναι 2 2

2 21.

x yC

a

Α)Αν Ε΄Ε=6 τότε 2γ=6 και άρα γ=3

Αν 3 3 3 3

22 2 2

Επειδή β2=γ2-α2=9-4=5


14 5

x yC

B)AvΕ΄Ε=20 τότε 2γ=20 και άρα γ=10

Αν οι ασύμπτωτες της είναι οι ευθείες 4

3y x τότε πρέπει:

4 4

3 3

Επειδή 2 2 2 2 2 216100 36

9

Τότε: 4 4

6 83 3


: 136 64

x yC

Γ)Αν Ε΄Ε =4 τότε 2γ=4 και άρα γ=2

Η υπερβολή θα είναι ισοσκελή και άρα β=α

Επειδή 2 2 2 2 2 2 2 24 2 4 2 άρα 2


2 2: 1 2.2 2

x yC x y



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ

1.Η εξίσωση μιας υπερβολής είναι 2 2

2 21.

x y

a

Ισχύει πάντα α>β. Σ Λ

2.Η υπερβολή 2 2

2 21.

x y

a τέμνει τον y’yσε

δύο σημεία . Σ Λ

3.Η ισοσκελής υπερβολή x2-y2=α2 έχει

εκκεντρότητα 2. Σ Λ

4.Το σημείο (5,4) ανήκει σε μια ασύμπτωτη

ευθεία της υπερβολής 16x2-25y2=40 Σ Λ

5.Υπάρχουν υπερβολές που οι ασύμπτωτες τους

είναι κάθετες μεταξύ τους. Σ Λ

6.Η εξίσωση κx2+λy2=0 παριστάνει υπερβολή

για κάθε κ,λ Σ Λ

7.Η ευθεία 1

2y x εφάπτεται της υπερβολής

22 1

4

xy Σ Λ

8.Κάθε ασύμπτωτη της υπερβολής 2 2

2 21

x y

a

είναι κάθετη σε μία από τις ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2

2 21.

y x

a Σ Λ

9.Η υπερβολή 2 2

15 4

x y τέμνει τον άξονα y’yστα

σημεία (0,2) και (0,-2) Σ Λ

10.Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι πάντα

μη αρνητικός αριθμός. Σ Λ




1.Να βρείτε τις εστίες ,την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες

της υπερβολής με εξίσωση:

i)25x2-16y2=400 ii)4x2-y2=4

iii)64y2 – 169x2=10816

2.Να βρείτε τις εστίες , τις κορυφές και τις ασύμπτωτες της

υπερβολής: 2 2

: 19 16

y xC

3.Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής ,η οποία έχει:

i)εστίες τα σημεία Ε΄(-5,0) ,Ε(5,0) και η απόσταση των

κορυφών της είναι ίση με 6,

ii)εστίες τα σημεία Ε΄(0,-10) ,Ε(0,10) και εκκεντρότητα 4

5

iii)εστίες τα σημεία Ε΄( -5,0) και Ε(5,0) και διέρχεται από το

σημείο Μ(-4 )3,2 .

4.Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα

σημεία Ε(0,5) και Ε’(0,-5) και κορυφές τα σημεία Α(0,4)

και Α’(0,-4)

5. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής με εστίες τα

σημεία Ε(0,2) και Ε’(0,-2) και εκκεντρότητα ε=4.

6. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής Cπου έχει τις

εστίες της στον y’yεκκεντρότητα ε=3 και διέρχεται από το (2 2,4)

7.Έστω Μ(χ1,y1) ένα σημείο της υπερβολής C: 1β2

2

2

2

y

και

Ε΄(-γ,0) , Ε(γ,0) οι εστίες της. Αν r΄=(ΜΕ΄) και r=(ΜΕ) ,να

αποδείξετε ότι r΄= 1 και r= 1 ,όπου ε η εκκεντρότητα

της C.



8.Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής Cπου έχει

ασύμπτωτες τις ευθείες 1

4:

3y x και 2

4:

3y x και διέρχεται ν

από το σημείο 3 2,4

9.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής

C: 8x2-3y2=24 , η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία

ε:2x-y+1=0.


C:4x2-5y2=20 , η οποία είναι κάθετη στην ε:x+2y-6=0.


C:4χ2-3y2=1 , η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(0,- 12

1 )

12.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής

C:8x2 – y2=8 η οποία απέχει από την εστία Ε(3,0) απόσταση

ίση με 2.

13.Να αποδείξετε ότι η απόσταση μιας εστίας της υπερβολής

1β2

2

2

2

y

από μια ασύμπτωτη της είναι ίση με β.

14.Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός

μεταβλητού σημείου Μ της υπερβολής 1β2

2

2

2

y

από τις

ασύμπτωτες της είναι σταθερό.

15.Να βρεθεί η οξεία γωνία των ασύμπτωτων μιας υπερβολής,η

οποία έχει εκκεντρότητα ίση με 2.

16.Αν η εφαπτομένη της υπερβολής 1β

y2

2

2

2

a

x σ’ένα σημείο Μ

, διαφορετικό του Α(α,0) τέμνει την ευθεία ε1:χ=α στο Κ , να



αποδείξετε ότι ΟΚ//Α΄Μ.

17.Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται

από μια εφαπτομένη της υπερβολής 1β2

2

2

2

y

και τις

ασύμπτωτές της είναι σταθερό και ίσο με αβ.

18.Έστω η υπερβολή 1β2

2

2

2

y

και η ευθεία ε , η οποία

διέρχεται από το σημείο Κ(0,-2β) και έχει συντελεστή λ. Αν η

ε τέμνει τις ευθείες ε1:χ=-α και ε2:χ=α στα σημεία Γ΄ και Γ

αντίστοιχα, να βρείτε :

i)την εξίσωση του κύκλου ΓΓ΄

ii)τις τιμές του λ για τις οποίες ο παραπάνω κύκλος διέρχεται

από τις εστίες της υπερβολής.

19.Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της υπερβολής 149

22

y

, που το σημείο Μ(3,1) είναι μέσο της χορδής.

20.Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής

,01x

:C2

2

2

2

βαβ

ψ

α αν η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι

ασύμπτωτες είναι 60 .

21.Έστω η υπερβολή 222x:C αψ και το σημείο της

.0),x( 000 ψμεψΜ Από το σημείο Μ φέρνουμε κάθετη στην

εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ η οποία τέμνει τους άξονες

στα σημεία Ρ και Σ. Να αποδειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του

τμήματος ΣΡ.

22.Θεωρούμε την υπερβολή 1yx

:C2

2

2

2

βα

. Αν η ασύμπτωτη

xy:1α

βε σχηματίζει με την ασύμπτωτη xy:2

α

βε γωνία

3

2π, να

βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής.



23.Ο κύκλος με εξίσωση x2+y2=16 διέρχεται από τις κορυφές

της υπερβολής Cτης οποίας η μία ασύμπτωτη έχει εξίσωση 4

3y x .Να βρεθούν:

Α) οι εστίες της υπερβολής

Β)η εστιακή τους απόσταση

Γ)η εξίσωση της

Δ)να προσδιοριστεί το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής

Ε)η εκκεντρότητά της.

24.Δίνεται η υπερβολή 2 2

2 21

x y

a με κλάδους C1και C2 και

τυχαίο σημείο της Μ(x1,y1) στον κλάδο C1 ( 1 0y )

A)Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο σημείο Μ

και να βρείτε τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες.

Β)Να δείξετε ότι η (ε) τέμνει τον χ΄χ σε σημείο μεταξύ των

κορυφών της υπερβολής

Γ)Με δεδομένο ότι η (ε) τέμνει τον κλάδο C2στο Μ΄(x2,y2) να

δείξετε ότι y1y2<0.

25.Θεωρούμε την υπερβολή C:x2-y2=1 και την ευθεία

(ε):x+2y=α .Να βρεθούν οι τιμές του α ,για τις οποίες η (ε)

εφάπτεται στη C.

26. Έστω η υπέρβολή 2 2

2 2: 1.x y

Ca Να δειχτεί ότι κάθε

παράλληλη προς μία ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σ’ένα

μόνο σημείο.

27.Έστω Μ τυχαίο σημείο της υπερβολής y2-x2=α2 , (ε) η

εφαπτομένη στο Μ και Α,Β τα σημεία που η (ε) τέμνει τις

ασύμπτωτες. Τότε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό.



28. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται

από τις ασύμπτωτες της υπερβολής: 2 2

116 9

x y και την ευθεία

y=2.

Documents

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ · 2019-09-07 · ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ efstathioupetros.weebly.com 165 η ψ−1 2 =4 3 (χ-1)=>6ψ-3=8(χ-1)=>8χ-6ψ-5=0 Το κέν