1

معادالت دیفرانسیل معمولی

:تهیه وتنظیم •

هوشمند عزیزی •

مدرس دانشگاه فنی و حرفه ای •

بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست

2

سرفصل معادالت دیفرانسیل عنوان

معادله دیفرانسیل مرتبه اول: فصل اول

ماهیت معادالت دیفرانسیل و طبقه بندی آنها: 1

معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن : 2

معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن: 3

دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد : 4

معادله دیفرانسیل كامل: 5

عامل انتگرال ساز:6

معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن: 7

3

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم: فصل دوم

یا معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت خاص فاقد : 1

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن : 2

اویلر-معادله دیفرانسیل کشی: 3

تغییر ) معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن : 4

(متغیر

( ضرایب نامعین) روش ضرایب ثابت: 5

y x

4

حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها: فصل سوم

سری توانی: 1

نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادالت : 2

دیفرانسیل

نقاط منفرد منظم معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم: 3

حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر است4:

5

: فصل چهارم

دستگاه معادالت دیفرانسیل: 1

6

تبدیالت الپالس: فصل پنجم

تبدیل الپالس : 1

خواص تبدیل الپالس: 2

معکوس تبدیل الپالس: 3

حل معادله دیفرانسیل به روش الپالس: 4

تبدیل الپالس برخی توابع: 5

7

ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن

با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن : مقدمه

ساده ترین معادله یک . تساوی باشد، آشنا هستیم

مجهولی می باشد،

مثال. می دهیمنشان که بانماد

معادله یک مجهولی درجه اول و

معادله یک مجهولی درجه دوم و

معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر

0xf0bax

02 cbxax

023 dcxbxax

8

معادله دو مجهولی که بانماد 0, yxfنشان می دهیم

0 cbyax

022 feydxcybxyax

معادله دو مجهولی درجه اول مثال

معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر

:درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد

0x 0xf آیا( الف می باشد؟ جواب معادله

جواب معادله راپیدا کنید؟( ب 00 , yx 0, yxf می باشد؟ جواب معادله آیا جفت

9

ساده می باشد زیرا با ( جواب دادن به سوال الف

ولی جواب دادن .جایگذاری می توان مشخص کرد

ابتدا باید معادالت را . مشکل می باشد( به سوال ب

دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی

راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو

:مرحله را مشخص کنیم

مرحله شناخت( 1

(روش حل)مرحله حل( 2

10

0, yxfx

yy

x

رابعنوان متغیر متغیر حال اگر درمعادله

را بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه

می باشد و می توان درمورد مشتق تابع تابعی از

مستقل و

:صحبت کرد یعنی

n

nn

dx

ydyy

dx

ydy

dx

dyy ,...,, 2

2

2

11

xy

0,...,,,, nyyyyxf

و (متغیر مستقل) معادله ای که شامل ترکیباتی از

و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد( متغیر وابسته)

نشان می دهیم

:تعریف

:درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد

آیا تابع ( الف 0, yxfجواب معادله دیفرانسیل می باشد؟

جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟( ب

12

xey 2065 yyy

تابع یاآمثال ( با جایگذاری)ساده است ( جواب دادن به سوال الف

میباشد؟ جواب معادله

مشکل می باشد وبستگی به نوع ( جواب دادن به سوال ب

باتعریف مرتبه ودرجه معادله . معادله وطبقه بندی آن دارد

.می رویم( دیفرانسیل به سراغ سوال ب

بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن :تعریف

.وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم

13

:مثال

معادله 1)

.مرتبه اول ، درجه سوم می باشد

معادله ( 2

.مرتبه سوم ، درجه اول می باشد

معادله( 3

.مرتبه سوم ، درجه اول می باشد

543xyy

xdx

yd

dx

yd

2

2

2

3

3

432 yyy

14

معادله دیفرانسیل جدا شدنی

مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله

بنابراین ساده ترین . دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد

معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت

برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه می باشد که اگر توان

اول درجه اول می باشد

0,, yyxf

y

بصورت کلی

),(,

,yxF

yxg

yxfy

مرتبه اول درجه اول که

می باشد

15

معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت :تعریف

هر معادله مرتبه (. مرحله شناخت)را معادله جدا شدنی نامیم

جدایی )اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی

هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی . نامیم(پذیر

.تبدیل کرد

yg

xfy

0 dyyNdxxM

16

از معادله جداشدنی گیریبا انتگرال :حل معادله دیفرانسیل جداشدنی

0 dyyNdxxM

.می توان جواب آنرا محاسبه کرد

هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی : تذکر

جوابی را جواب عمومی نامیم . معادله دیفرانسیل می باشد

هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که

.بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد

17

. را حل می کنیم معادله :مثال

داریم: حل

آن گاه

ویا درنتیجه

.معادله است(عمومی)جواب

yy

xxy

2

2

yy

xx

dx

dy

2

2

022 dyyydxxx

022

dyyydxxx

cyyxx 3223

3

1

2

1

2

1

3

1

18

معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر

جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به

.جدا شدنی نمود

معادله : مثال

به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات

:داریم اضافی

: داریم گیریکه جدا شدنی است پس با انتگرال

.جواب معادله است

01111 22 dyyxdxxy

11 yx01

1

1

1 22

dy

y

ydx

x

x

cyyyxxx 1ln22

11ln2

2

1 22

19

معادله دیفرانسیل همگن

مالحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصورت

ویا به صورت

می باشد

yxg

yxfy

,

,

0,, dyyxNdxyxM

20

مثال معادالت

معادالت مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی

نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله

درمعادله دیفرانسیل اول تمام جمالت توابع . دومی نیست

این . از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست

.مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم

xy

yxy

xy

yxy

22

2

2

,

),(,),( yxfzyxgz

21

تابع دو متغیره :تعریف

:نامیم هرگاه درشرط زیر صدق کند را تابع همگن از درجه

),( yxfz

yxfttytxf n ,,

n

تابع 22, yxyxyxf تابع همگن ازدرجه دو می باشد

تابع

x

yyxeyxf x

y

sin,

.تابع همگن از درجه یک می باشد

22

معادله دیفرانسیل : تعریف

را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره

بعبارت دیگر معادله . توابع همگن از درجه یکسان باشند

دیفرانسیل

را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره

.توابع همگن از درجه یکسان باشند

yxg

yxfy

,

,

fg,

0,, dyyxNdxyxM

NM,

23

فرض کنیم معادله : حل معادله دیفرانسیل همگن

پس داریم بافرض تغییر متغیر . همگن باشد

آن گاه با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود که

که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا

شدنی حل کرد وبا جایگذاری

.جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید

yxg

yxfy

,

,

x

yv vxy

vxy

1, 1,

1, 1,

f v f vdv dv dxv x v x v f v

g v dx g v f v x

x

yv

24

معادله دیفرانسیل همگن :مثال

و را حل می کنیم باجایگذاری

:داریم

با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی

:داریم

xdvvdxdy vxy

221 vx

021 2

dv

v

v

x

dx

022 xydydxyx

021

021

0

0

2

322

322222

222

xvdvdxv

vdvxdxvx

vdvxdxxvxvx

xdvvdxxvxdxxvx

25

را بعنوان معموال رای ساده کردن به جایب: تذکر

.پارامتر ثابت اختیار می کنیم

.جواب معادله دیفرانسیل می باشد

21ln ln(1 2 ) ln

4x v c

ccln

1

2 4

24

2

42

ln (1 2 ) ln

(1 2 )

2(1 )

x v c

x v c

yx c

x

26

دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامد مالحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول

وقتی . معموال شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است

مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود، یک دسته

منحنی به دست می آید هر یک از این منحنی ها یک جواب

خصوصی معادله دیفرانسیل مفروض است وهمه آنها با هم

بنابراین معادله. جواب عمومی آن را تشکیل می دهند

بنابراین معادله. جواب عمومی آن را تشکیل می دهند

.یک دسته منحنی می باشد

0),,( cyxf

0),,( cyxf

27

حااال ماای خااواهیم دسااته منحناای هااای متعامااد بریااک دسااته منحناای

مفااااروض رابااسااااتفاده از معادلااااه دیفرانساااایل بدساااات آوریاااام کااااه

بعنااوان مثااال تعاادادی . کاااربردی از معادلااه دیفرانساایل ماای باشااد

:دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم

28

29

وبا استفاده از روند زیر می توان باال حال با توجه به مطالب

:دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد

0),,(01

,,0,,

1

cyxgy

yxfyyxf yy

0),,( cyxf

معادله دسته منحنی ها

معادله دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل دسته دسته منحنی ها

منحنی های متعامد

دسته

منحنی های

متعامد

30

دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به :مثال

مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می

: آوریم

مشتق

دسته منحنی های متعامد

222 cyx 0022 yyxyyx

01

1

yyxy

y

yyxy

yx

cxyx

dx

y

dyy

dx

dyx lnlnln

cxycxy lnln

31

32

اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب

مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده

زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن می کنیم که اگر

با استفاده بحث باال برای (. ریاضی عمومی) گاه

له دیفرانسیل دسته منحنی درمعادیافتن دسته منحنی های متعامد

منفی عکس آن یعنی داده شده به جای عبارت

.را جایگذاری می کنیم

dr

rd tan

dr

rd

rd

dr

33

دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های: مثال

معادله دسته منحنی ها . را درمختصات قطبی بدست می آوریم

:در مختصات قطبی عبارت است از

: بنابراین

:داریم که با حذف

ویا

cxyx 222

cos2cr

sin2cd

dr

c

sin

cos

r

d

dr

sin

cos

dr

rd

34

:داریم به که با جایگذاری

. معادله دسته منحنی های متعامد می باشد

dr

rd

rd

dr

sin2

sin2lnln2lnsinlnln

sin

cos

sin

cos

cr

crcr

dr

drr

rd

dr

35

36

معادله دیفرانسیل کامل

درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره

آشنا شدیم ومالحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع را که با

ز نشان می دهیم عبارت است ا نماد

وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت

.می باشد کلی

),( yxfz

df

dyy

fdx

x

fdf

0,, dyyxNdxyxM

37

معادله دیفرانسیل:تعریف

را معادله کامل نامیم هر گاه تابع دو متغیره

. و موجود باشد بطوری که

با توجه به تعریف باال تعیین اینکه معادله دیفرانسیل داده شده

کامل می باشد، مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره

راجستجو کنیم ومالحظه کنیم که بترتیب کدام تابع دارای

برابر با توابع مشتقات جزیی نسبت به

می باشد و

0,, dyyxNdxyxM

),( yxfz

yxMx

f,

yxN

y

f,

xy,

yxMM , yxNN ,

38

اگر این کار امکان پذیر باشد، مشکل است به همین دلیل

بدست می آوریم که وجود چنین شرایطی روی

با مشتق گیری جزیی از طرفین رابطه . تابعی را تضمین کند

های

: داریم به ترتیب نسبت به

:با توجه به اینکه برای توابع پیوسته داریم

:بنابراین

NM,

yxMx

f,

yxNy

f,

yx,

y

M

x

f

yx

N

y

f

x

,

xy

f

yx

f

22

x

N

y

M

39

بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل

: عبارت است از

.(مرحله شناخت)

0,, dyyxNdxyxM

x

N

y

M

40

.معادالت دیفرانسیل زیر کامل می باشد:مثال

( الف

زیرا

(ب

زیرا

032 2 dyyxdxyx

11

x

N

y

M

0332 2223 dyxyyxdxyxy

1616 22

xy

x

Nxy

y

M

41

:حل معادله دیفرانسیل کامل

فرض کنیم که معادله دیفرانسیل

کامل باشد بنابر تعریف معادله دیفرانسیل کامل، تابعی مانند

:موجود است که

پس بنابر تساوی های باال نتیجه می شود

.جواب معادله دیفرانسیل می باشد ویا

0,, dyyxNdxyxM

),( yxfz

yxMx

f,

yxNy

f,

0df

cf

42

می باشد که با استفاده از تنها معلومات، مشتقات جزیی

.روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد

بدست مقدار آن گاه با استفاده از رابطه دوم

که همان می آید که با انتگرال گیری از آن مجهول

بدست می آید که می باشد محاسبه می شود در نتیجه

.جواب معادله دیفرانسیل است

f

ydxyxmyy

f

ydxyxMfyxMx

f

yxNy

f

yx

,

,,

,

yxNy

f,

y

f y f

cf

43

مالحظه شد که معادله :مثال

: کامل می باشد پس

. جواب معادله دیفرانسیل است

cyyxxyyxxfyy

yyyxyxyxy

f

yxy

fyyxxfyx

x

f

df

yx

320323

222

2

333

2

032 2 dyyxdxyx

44

عامل انتگرال ساز

معادله دیفرانسیل

کامل نمی باشد زیرا

ولی اگر طرفین معادله باال را در

:ضرب کنیم داریم

واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیرا

.و می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد

02 dyxxydx

1,12

y

Mx

x

N

2

1

xu

01

12

dy

xdx

x

y

22

1,

1

xy

M

xx

N

45

بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی

باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل

اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز . به کامل کرد

فرض کنیم که معادله. وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم

کامل نباشد یعنی

باشد، آنگاه طبق ودارای عامل انتگرال ساز

تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید

کامل می باشد

0,, dyyxNdxyxM

x

N

y

M

),( yxuu

0uNdyuMdx

46

x

uN

x

Nu

y

uM

y

Mu

از این معادله ممکن نیست به همین دلیل که محاسبه

تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می

.کنیم

u

فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی ( لفا

، آن گاه باشد یعنی از

x)(xuu

, 0u du u

x dx y

47

:که با جایگذاری داریم

.عامل انتگرال ساز می باشد

فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از( ب

ن گاه ، آ باشد یعنی

y

)(yuu

dxxp

euوx

N

y

M

Nxp

1

, 0u du u

y dy x

48

:که با جایگذاری داریم

. عامل انتگرال ساز می باشد

x

N

y

M

Myq

1 dyyq

eu

49

عامل انتگرال سازی برای معادله:مثال

.را پیدا می کنیم

ابتدا مقدار مشترک :حل

: داریم را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر

عامل انتگرال ساز پس

.می باشد

01 2 dyxxydx

xxxx

N

y

M

2

M

1 1 1M N

q y xM y x xy y

yeeu ydy

y

ln

1

50

گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال :تذکر

سازی بصورت

.ثابت های مناسبی هستند است، که درآن

, n mu x y x y

mn,

برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت

کاملواز شرط طرفین معادله را درآن ضرب می کنیم

.استفاده می کنیم

, n mu x y x y

51

، گاهی با جستجو کردن می روش دسته بندی یا کوتاه: تذکر

توان معادله دیفرانسیل را به یکی از حاالت زیر دسته بندی

:کرد

(جداشدنی) ( الف

( ب

( ج

( د

که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادالت

.جواب آنها را بدست آورد

dyyNdxxM

yxvddxxM ,

dyyNyxud ,

yxvdyxud ,,

52

:یادآوری

(الف

(ب

(ج

(د

2

2

1

2 2

( )

( )

( )

(tan )

d xy ydx xdy

x ydx xdyd

y y

y ydx xdyd

x x

y ydx xdyd

x x y

53

(ه

(و

(ز 2

1

2 2

2

2 2

(ln )

(tan ( ))1

(ln( )) 2

x ydx xdyd

y xy

ydx xdyd xy

x y

xdx ydyd x y

x y

54

را باروش معادله دیفرانسیل :مثال

.دسته بندی حل می کنیم

معادله دیفرانسیل را به صورت : حل

)ب(واز فرمول می نویسیم که

:داریم

که با انتگرال گیری نتیجه می شود

. جواب معادله دیفرانسیل می باشد

02 xdydxyy

02 xdyydxdxy

dxyxdyydx 2

dxy

xdyydxdx

y

xd

2

,

cxy

x

xc

xy

,

55

معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی

مالحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت

برابر با یک باشد آنرا معادله می باشد که اگر توان های

مالحظه شد که معادله خط)مرتبه اول خطی نامیم

به یا برابر با یک می باشد که اگر توان یکی از توان

بنابراین معادله ( غیر یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد

مرتبه اول خطی به صورت

.می باشد

0,, yyxfyy ,

cbyax

yx,xy

xfyxfyxf 321 )()(

56

معادله مرتبه اول خطی بصورت با تقسیم طرفین بر

کلی

مثال معادالت زیر مرتبه اول خطی ( مرحله شناخت)است

:هستند

( الف

( ب

(ج

1f

xqyxpy

31xy

xy

xeyx

y 1

2

2 xexyy

57

برای حل معادله دیفرانسیل

ابتدا مالحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟

عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی

و است

xqyxpy

dxxp

eu

cdxxqeey

dxxpdxxp

.[

جواب عمومی معادله مرتبه اول خطی xqyxpy

می باشد

58

.را حل می کنیم معادله مرتبه اول خطی :مثال

:پس و چون

.است جواب معادله دیفرانسیل

31xy

xy

x

xp1

3xxq cdxxeeydx

xdx

x

3

11

.[

].[].[ 3ln3.lnln 1

cdxxxeycdxxeey xxx

x

cxycxxy

451

5

1

5

1

59

حالت خاصی از معادالت مرتبه اول خطی به صورت

با . برابر با یک می باشد می باشد که توان های

توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش

وبالعکس نتیجه می شود که با

yqxypdy

dx

dy

dxxx ,

xy

].[ cdyyqeex

dyypdyyp

60

حالت خاصی از معادالت مرتبه اول که تبدیل به خطی می -

شود به صورت

معادله مرتبه اول خطی است وبه می باشد که به ازای

، معادله جدا شدنی است وبه ازای ازای

معادله دیفرانسیل برنولی را می . معادله برنولی نامیده می شود

دارای جواب و حل کرد توان با تغییر متغیر

.است

nyxqyxpy )()(

0n

1n1,0n

nyz 1

cdxxqneeyzdxxpndxxpnn

)()1.([)()1()()1(1

61

.را حل می کنیم معادله: مثال

و و و داریم :حل

: پس

.جواب عمومی معادله است

431yxy

xy

4n31 nx

xp1

)( 3)( xxq

])3.([ 3

1)3(

1)3(

3 cdxxeeydx

xdx

x

343

33

33

3333

3

)3(

]3[

])3.([

cxxy

cxxy

cdxxy

cdxxxxy

62

بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیل

بسادگی . معروف است (Clairaut)کلرو را مطرح کرد به نام

جوابی از معادله مالحظه می شود که

با جایگذاری باالمی باشد زیرا با مشتق گیری داریم

که معادله درجواب نتیجه می شود

بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری . کلرو است

.بدست می آید

)(yfyxy

)(cfcxy

cy )(yfyxy

yc

yc

63

معادله :مثال

.را حل کنید

معادله دارای جواب با جایگذاری: حل

.است

2)(yyxy

cy

2ccxy

64

ریکاتی بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول -

(Riccati)رابیان می کنیم که به صورت

می باشد برای پیدا کردن جواب عمومی با شرط

.معادله باال باید جوابی خاص از آن معلوم باشد

جایگذاری. یک جواب خاص از معادله باال باشد اگر

معادله را به معادله دیفرانسیل و

.تبدیل می کنداست، مرتبه اول خطی که

2)()()( yxhyxgxfy

0)( xh

)(1 xyy

uyy

11

21u

uyy

)(])(2)([ 1 xhuyxhxgu

65

( با) معادله : مثال

:را حل می کنیم

و و چون : حل

: پس

: پس و بنابراین

23 12y

xy

xxy 2

1 xy

3)( xxf x

xg2

)( 1

( )h xx

xux

xxu

1)]).(

1(2

2[ 2

xux

xu

1)2

2(

xx

xp 22

)( x

xq1

)(

]1

[22 ln2)ln2( cdx

xeeu xxxx

66

]1

[22 ln2)ln2( cdx

xeeu xxxx

]1

.[22 ln2ln2 cdx

xeeeeu xxxx

2 22 2 1[ . ]x xu x e x e dx c

x

][222 cdxexexu xx

2

2

2

2

222

22

2

2

2

1

2

1x

x

x

x

ex

ce

ex

c

xecxxu

ce

exxy

x

x

2

22

22

67

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم

را مرتبه دوم دراین فصل معادله

.درحاالت خاص بررسی می کنیم

xیا yمعادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد

.برابر صفر باشدیا ممکن است درمعادله ضریب

0),,,( yyyxf

xy

68

مرتبه دوم فاقدرا معادله به صورت -

و مثال . نامیم

.می باشند معادالت مرتبه دوم فاقد

مرتبه دوم فاقدرا معادله به صورت -

و مثال. نامیم

.می باشند معادالت مرتبه دوم فاقد

0),,( yyyfx

2)(yyy 0 yyx

0),,( yyxfy

yyx 23xyyx y

69

حل معادله (الف

می توان معادله را به معادله مرتبه با تغییر متغیر

اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادالت

می توان آنرا حل کرد مرتبه اول باشد که قبال بحث شده است

که با جایگذاری داریم زیرا بافرض

درمعادله نتیجه می شود

.که معادله مرتبه اول می باشد

0),,( yyxfpy

py dx

dpy

0),,( dx

dppxf

70

حل معادله( ب

می توان معادله را به معادله مرتبه با تغییر متغیر

اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادالت

می توان آنرا حل کرد مرتبه اول باشد که قبال بحث شده است

که داریم زیرا بافرض

با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود

متغیر متغیر مستقل و که معادله مرتبه اول با فرض

.وابسته می باشد

py

py

0),,( yyyf

dy

dpp

dx

dy

dy

dp

dx

dpy

0),,( dy

dpppyf

yp

71

را باتغییر متغیر ، معادله فاقد : مثال

.حل می کنیم

:داریم که با جایگذاری

.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است

yyyx py

dx

dpy

x

dx

p

dpp

dx

dpx

2

2

11

111

2

1

lnlnlnlnln

cxcyxdxcdyxcdx

dy

xcpxcpcxp

72

را ، معادله مرتبه دوم فاقد : مثال

حل می کنیم که با جایگذاری باتغییر متغیر

:داریم

.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است

x2)(yyy py

dy

dppy pdyydpp

dy

dpyp 2

1 1 1

1 1

1 1 1

2

ln ln ln

ln

.c x c c x c xc

dp dyp y c p c y

p y

dy dyc y c dx y c x c

dx y

y e e e y c e

73

درحل این نوع معادالت دیفرانسیل :تذکر

مرتبه دوم، درواقع هر معادله مرتبه دوم را

به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را

.حل می کنیم

74

معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن

. دراین بخش حالت خاصی از مرتبه دوم رابررسی می کنیم

مالحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی

آنرا مرتبه دوم خطی همگن می باشد که اگر

نامیم

)()()()( 4321 xfyxfyxfyxf

0)(4 xf

75

توابع ثابت باشند بعبارت اگر

دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت

می باشد که می توان آنرا بصورت ساده

مالحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب

(مرحله شناخت. )ثابت ، یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم

321 ,, fff

0321 yayaya

0 byyay

76

:حل معادله

و داریم با تعریف نماد

که با جایگذاری درمعادله

: نتیجه می شود که

0 byyay

dx

dD Dy

dx

dyy

yDdx

dy

dx

dy 2)(

2( ) 0D aD b y

0 byyay

77

نامیم (یا مفسر)را معادله کمکی معادله

معادله کمکی، یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است

:سه حالت زیر رخ دهد

دارای دو ریشه متمایز باشد یعنی ( الف

باشد یعنی(تکراری)دارای ریشه مضاعف ( ب

دارای ریشه مختلط باشد یعنی (ج

02 baDD

0))(( 21

2 mDmDbaDD

0))((2 mDmDbaDD

0)()(((2 iDiDbaDD

78

را با توجه بنابراین معادله دیفرانسیل

به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل

:بنابراین . می کنیم

داریم که بافرض ( الف

وبا حل معادله مرتبه اول

.شود نتیجه می

که با جایگذاری درمعادله

حل معادله خطی باال داریمو

0)( 2 ybaDD

0))(( 21 ymDmDuymD )( 2

0)( 1 umD0)( 1 umD

xmecu 1

1

uymD )( 2

xmxmececy 21

21

79

( آن گاه مشابه قسمت الف اگر ( ب

نتیجه می شود که

. جواب معادله دیفرانسیل می باشد

( اگر معادله کمکی دارای دو ریشه مختلط باشد بنابر الف( ج

:داریم

ویا

دیفرانسیل می باشد جواب معادله

0))(( ymDmD

mxmx xececy 21

)sincos( 21 xcxcey x

xixi ececy )(

2

)(

1

80

معادالت:مثال

(الف

(ب

( ج

.معادالت مرتبه دوم با ضرایب ثابت می باشند

065 yyy

044 yyy

0 yyy

81

معادله کمکی عبارت است از ( الف: حل

جواب عمومی :بنابراین که

.معادله دیفرانسیل است

که معادله کمکی عبارت است از ( ب

جواب عمومی : بنابراین

.معادله دیفرانسیل است

که معادله کمکی عبارت است از( ج

پس و :بنابراین

.جواب عمومی معادله دیفرانسیل است

0652 DD3,2Dxx ececy 3

2

2

1

0442 DD2,2D

xx xececy 2

2

2

1

012 DDiD

2

3

2

1

2

1

2

3

)2

3sin

2

3cos( 21

2

1

xcxceyx

82

معادله مرتبه دوم را به روش دیگرنیز می توان حل :تذکر

توابعی باشند که و کرد که اگر

جوابی از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن، آن گاه

توابعی جوابی از معادله دیفرانسیل می باشد واگر

مستقل خطی باشند آنگاه این جواب ، جواب عمومی معادله

دیفرانسیل است ومی توان معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را از

.این دیدگاه بررسی کرد

)(11 xyy )(22 xyy

)()( 2211 xycxycy

12 , yy

83

معموال شرایط وجود جواب معادله

دیفرانسیل مرتبه دوم همگن دردرس نظریه

معادالت دیفرانسیل بحث می شود

وشرایطی را روی توابع بیان می کنند که

وجود جواب معادله دیفرانسیل را تضمین

.کند که ما اینجا وارد این بحث نمی شویم

84

دترمینان و برای هر دو تابع :تعریف

می نامیم توابع (Wronskian) نییرا رونسک

وبا نماد

.نشان می دهیم

)(xf)(xg

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g xf x g x g x f x

f x g x

fg,

)()()()(),( xgxfxgxfgfw

85

نی متحد با صفر یثابت می شود که رونسک -

. است اگر وفقط اگر دوتابع وابسته خطی اند

بعبارت ساده تر دو تابع، وابسته خطی اند هر

گاه یکی مضرب دیگری باشد، درغیر این

.صورت آنها را مستقل خطی می نامیم

86

بسادگی مال حظه میشود که توابع : توجه

مستقل خطی اند مشا بها با شرط

مستقل خطی اند و همچنین

و

.مستقل خطی اند با شرط

xmxmeyey 12

12 ,

21 mm

mxmx eyxey 12 ,

xey x cos1 xey x sin2

0

87

نتایج باال را برای معادالت دیفرانسیل :تذکر

با ضرایب ثابت مرتبه باالنیزمی توان تعمیم

یعنی اگر معادله کمکی معادله . کرد

دیفرانسیل دارای ریشه های حقیقی متمایز

آن گاه جواب . ومضاعف ومختلط داشته باشد

معادله دیفرانسیل ترکیبی از جواب های بیان

. شده است

88

مثال معادله دیفرانسیل

ه های آن عبارت استیشدارای معادله کمکی می باشد که ر

:از

بنابراین

. جواب معادله دیفرانسیل است

0212

yDDD

2,2,1,0D

xxxx xececececy 2

4

2

32

0

1

89

اویلر-معادله کشی معادله مرتبه دوم خطی همگن

-ثا بت اند معادله کشی اعداد راکه درآن

.می نامیم(Cauchy-Euler)اویلر

اویلر می –مثال معادالت دیفرانسیل زیر معادله های کشی

.باشند

( الف

( ب

02 byyaxyx

ab,

0642 yyxyx

02 yyxyx

90

اویلر –حل معادله کشی

می توان به معادله این معادله را با تغییر متغیر

:مرتبه دوم با ضریب ثابت تبدیل کرد زیرا

و

نشان دهیم، را با نسبت به اگر مشتق های

معادله تبدیل به

.می شود که معادله با ضرایب ثابت است

02 byyaxyx

tex

dt

dyyx

dt

dy

dt

ydyx

2

22

ytYY ,

0)( bYYaYY

91

:اویلر زیر را حل می کنیم –معادله کشی :مثال

: داریم با فرض : حل

: است بنابراین پس معادله کمکی دارای ریشه های

:نتیجه می شود( یا ) با جایگذاری

.اویلر است –جواب معادله کشی

0642 yyxyxtex

064)1( YDYYDD

3,2Dtt ececY 3

2

2

1 tex xt ln

3

2

2

1 xcxcy

92

اویلر –نتایج باال را برای معادالت دیفرانسیل کشی :تذکر

. مرتبه باال نیز می توان تعمیم داد

اویلر مرتبه سوم –مثال معادله کشی

:تبدیل به معادله را می توان با تغییر متغیر

.نمود وآنرا با روش ضرایب ثابت حل کرد

023 cyybxyaxyxtex

0))1()2)(1(( YcbDDaDDDD

93

:اویلر زیر را حل می کنیم –معادله دیفرانسیل کشی :مثال

:داریم با فرض : حل

: بنابراین

0884 23 yyxyxyxtex

088)1(4)2)(1( YDYyDDYDDD

0)88)1(4)2)(1(( YDDDDDD

4,2,10)4)(2)(1( DDDD

ttt ecececY 4

3

2

21

4

3

2

21

xcxcxcy

94

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن

مالحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت غیر

می باشد که همگن بصورت

آنرا معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت اگر

:همگن نامیم یعنی

می ودارای جوابی بصورت

.باشد

)(xfbyyay

0)( xf

0 byyay

2211 uucy

95

جواب عمومی معادله همگن حال اگر

جوابی خاص از معادله غیر همگن و

باشد آن گاه

.جواب عمومی معادله غیر همگن می باشد

0 byyaycy

py

)(xfbyyay

pc yyy

96

را معادله دیفرانسیل :تعریف

معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت وابسته معادله دیفرانسیل

.نامیم

هدف از این قسمت درس پیدا کردن جواب خاص معادله غیر

همگن

.ارائه می دهیم می باشد که دو روش برای پیدا کردن

0 byyay

)(xfbyyay

)(xfbyyay

py

97

:روش تغییر پارامتر (الف

بصورت دراین روش فرض می کنیم که جواب خاص

جواب همگن می با شد که چون

به توابع باشد وبا تغییر پارامترهای

بدست آمده است، به همین دلیل این روش و

.را تغییر پارامتر نامیم

py

2211 uvuvyp

2211 ucucyc

21,cc)(11 xvv )(22 xvv

98

حال با توجه به معلوم بودن ظاهر جواب خاص کافی است

. درآن صدق می کنند را پیدا کنیم روابطی که توابع

: بنابراین داریم

صدق کند، چون باید درمعادله همگن

بنابراین

12 ,vv

22221111 uvuvuvuvyp

2222222211111111 uvuvuvuvuvuvuvuvyp

)(xfbyyay ppp

1 1 2 2

1 1 2 2

0

( )

v u v u

v u v u f x

99

که دستگاه دو معادله دو مجهولی می باشد ومی توان از

را محاسبه کرده و با انتگرال گیری آن مقادیر

محاسبه می شود واز آن جا

.بدست می آید

با یک مثال توضیح می دهیم

12 ,vv

12 ,vv

1 1 2 2py v u v u

100

را معادله غیر همگن :مثال

: حل می کنیم

دارای جواب معادله وابسته : حل

و است بنابراین

: پس

و جمع طرفین دومعادله باال با ضرب معادله اول در

:داریم

: درمعادله اول داریم با جایگذاری

xeyyy 365

065 yyyxx

c ececy 3

2

2

1 xeu 2

1 xeu 3

2

xxx

xx

eevev

evev

3)3()2(

0

3

2

2

1

3

2

2

1

2xx eev 33

2

xx evev 2

2

2

22

33

xev 2

2 3

101

:درنتیجه

پس

. جواب عمومی معادله غیر همگن است

0)3( 322

1 xxx eeevxxxx eveveev 333 11

2

1

xxx

xxxx

p

eee

eeeeuvuvy

2

3

2

33

.2

3.3 322

2211

xxx eececy2

33

2

2

1

102

را معادله غیر همگن :مثال

.حل می کنیم

دارای جواب معادله وابسته : حل

و است بنابراین

: پس

و جمع طرفین دو معادله باال -2با ضرب معادله اول در

: داریم

: در معادله اول داریم با جایگذاری

xyyy 165

065 yyyxx

c ececy 3

2

2

1 xeu 2

1 xeu 3

2

xevev

evev

xx

xx

1)3()2(

0

3

2

2

1

3

2

2

1

xev x 13

2

xxx eexvexv 33

2

3

28

1)1(

3

1)1(

xexv 3

2 )1(

103

:درنتیجه

پس

.جواب عمومی معادله غیر همگن است

xxxx exveexev 2

1

332

1 )1(0)1(

xxxx eexveexv 22

1

22

14

1)1(

2

1)

4

1)1(

2

1(

36

11

6

1

9

1

3

1

3

1

4

1

2

1

2

1

9

1)1(

3

1

4

1)1(

2

12211

xxx

xxuvuvy p

xececy xx

6

1

36

113

2

2

1

104

روش تغییرپارامتررا می توان برای معادالت مرتبه: تذكر

: ، خطی غیر همگن تعمیم داد، یعنی اگر

جواب عمومی معادله همگن وابسته باشد آن گاه با فرض

مجهولی زیر می توان جواب معادله و وحل دستگاه

:خاص معادله غیر همگن را بدست آورد

n

n n

1 1 2 2 ...c n ny c u c u c u

1 1 2 2 ...p n ny v u v u v u

105

)(...

0...

0...

0...

)1()1(

22

)1(

11

)2()2(

22

)2(

11

2211

2211

xfuvuvuv

uvuvuv

uvuvuv

uvuvuv

n

nn

nn

n

nn

nn

nn

nn

106

اویلر غیر همگن را نیز می توان با –معادله كشی : تذكر

تغییر متغیر مناسب تبدیل به معادله با ضرایب غیر همگن

.نمود وآنرا به روش تغییرپارامتر حل كرد

مثال

تبدیل به معادلهبا تغییر متغیر

.می شود

xexyyxyx 22 2tx e

teteeYDYYDD 22)1(

107

(ضرایب نامعین)روش ضرایب ثابت مالحظه شد درمعادله غیر همگن

نیز تابعی نمایی باشد آن گاه كه اگر

آن گاه دیدیم كه اگر قبال. نمایی می باشد

از این مطلب استفاده كرده وروشی را . است

بیان به نام روش ضرایب ثابت درحاالت خاص

.می كنیم

)(xfbyyay

)(xfpyxexf 3)(

x

p ey2

3

)(xf

108

تابع نمایی باشد درصورتی كه اگر ( الف

نیز بصورت تابع نمایی ریشه معادله كمكی نباشد آنگاه

است كه با مشتق گیری وجایگذاری درمعادله

.آیدمی بدست مقدار

مثال

xAexf )(

pyx

p Bey

B

xeyyy 365

109

یكبار ریشه معادله كمكی باشد و حال اگر

جواب معادله همگن است بنابراین آن گاه چون

درنظر جواب خاص را بصورت

می گیریم

.با یك مثال توضیح می دهیم

xAexf )(xec

1

x

p Bxey

xeyyy 265

110

دو بار ریشه معادله كمكی و حال اگر

جواب هایی از معادله همگن باشد آن گاه

می باشد پس جواب خاص را بصورت

. درنظر می گیریم

ریشه معادله كمكی از و اگر بنابر این

: باشد آن گاه مرتبه تكرار

.جواب خاص معادله غیر همگن است

xAexf )(xx ecxec

12 ,

x

p eBxy 2

xAexf )(jxj

p Bexy

111

.را حل می كنیم معادله :مثال

دو بار ریشه معادله كمكی است پس چون : حل

در نتیجه بنابراین

: درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم

و پس

. است جواب

xeyyy 2344

22jx

p eBxy 222 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 4 4 4

x x

x x x x

p

y Bxe Bx e

y Be Bxe Bxe Bx e

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 8 4 4(2 2 ) 4 3

32 3

2

x x x x x x x

x x

Be Bxe Bx e Bxe Bx e Bx e e

Be e B

x

p exy 22

2

3

xxx exececy 223

2

2

12

3

عمومی معادله

112

تابع چند جمله ای اگر ( ب

. باشد آن گاه جواب خاص نیز تابعی چند جمله ای می باشد

ولی اگر جواب خاص، جواب معادله همگن باشد آن گاه باید

درصورتی جواب . ضرب كنیم جواب خاص را در

همگن به صورت چند جمله ای است كه صفر ریشه معادله

كه مالحظه شد قبال.كمكی باشد

چند جمله ای درجه یك می باشد آن گاه

.نیز تابعی چند جمله ای است

n

nxAxAAxf ...)( 10

jx

xxf 1)(

xy p6

1

36

11

113

ریشه و اگر :تذكر

باشد آن گاه معادله كمكی از مرتبه تكرار

. جواب خاص معادله غیر همگن است

n

nxAxAAxf ...)( 100

j

)...( 10

n

n

j

p xBxBBxy

114

.را حل می كنیم معادله :مثال

یكبار ریشه معادله كمكی است چون: حل

درنتیجه بنابراین پس

:با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم

جواب خاص غیر همگن است پس

و

.جواب عمومی معادله غیر همگن است

21 xyy 0)1,0( D

1j)( 2

210 xBxBBxyp

5

3,1,

3

1

13

026

152

012

2

12

01

BBB

B

BB

BB

32

3

1

5

3xxxy p

32

213

1

5

3xxxeccy x

115

باشد نیز اگر ( ج

جواب خاص بصورت مثلثاتی سینوس وكسینوس می باشد

ریشه مختلط محض معادله كمكی باشد ودرصورتی كه

آنگاه جواب معادله همگن بصورت یعنی اگر

مثلثاتی است كه دراین حالت باید به

.ضرب شود

xAxAxf cossin)( 21

iD

jx

116

اگر:تذكر

ریشه مختلط محض معادله كمكی ازمرتبه تكرار و

باشد آنگاه

. جواب خاص معادله غیر همگن است

xAxAxf cossin)( 21

j

1 2( sin cos )j

py x B x B x

117

.را حل می كنیم معادله :مثال

ریشه مختلط محض معادله كمكی نیست چون : حل

بنابراین پس

:و با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم

جواب خاص معادله غیر همگن و پس

.جواب عمومی معادله غیر همگن است

xyy sin3

11D0jxBxByp cossin 10

002,2

332

sin3cossincossin

1100

1010

BBBB

xxBxBxBxB

xy p sin2

3

xecxcy xx sin2

321

118

هر گاه درمعادله غیر همگن اگر: تذكر

یك جواب معادله ، به ازای هر

غیر همگن

باشد، آنگاه معادله غیر همگن، جوابی بصورت

.دارد

)(...)()()( 21 xfxfxfxf n

ni ,...,2,1)(xyi

)(xfbyyay i

)(...)()( 21 xyxyxyy np

119

روش ضرایب ثابت را می توان برای معادالت :تذكر

، خطی غیر همگن استفاده كرد كه دراین مرتبه

است برابربا در حالت

مرتبه تكرار ریشه معادله كمكی بودن ، كه

. است

n

jxnj ,...,2,1 py

j

120

معادله مثال

ریشه معادله كمكی نیستند و چون

:پس

: با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم

xexyyy 32 4223 30

)2,1( D

2

321

3

0 xBxBBeBy x

p

xBBeBy x

p 32

3

0 23

3

3

0 29 BeBy x

p

23 32

72 xxey x

p

121

حل معادله دیفرانسیل به روش های سریها

درفصل قبل با حل معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با

ضرایب ثابت، درچند حالت خاص با ضرایب متغیر آشنا

دراین فصل با یكی از موثرترین روش حل برای . شدیم

، یعنی، از (وباالتر)معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

دردرس ریاضیات . سریهای توانی استفاده می كنیم

برای اینكه مطالب . عمومی با مفهوم سری آشنا شده ایم

این فصل رابهتر درك كنیم، بحث را با مرور مختصری

.برسریهای توانی شروع می كنیم

122

سری توانی سری به صورت

كه درآن یا

متغیر است را سری توانی به اعداد ثابتی بوده و

.نامیم مركز

...)(...)()( 0

2

02010 n

n xxaxxaxxaa

0

0 )(n

n

n xxa,...,...,,,, 2100 naaaax

x

0x

123

سری توانی ممكن است كه دریكی از سه حالت زیر صدق

:كند

.همگرا باشد تنها به ازای -1

مطلقا همگرا باشد، دریك همسایگی به ازای هر -2

واگر همگرا وبرای یعنی برای

.را شعاع همگرایی سری نامیم باشد عدد

.مطلقا همگرا باشد به ازای هر -3

را كه سری توانی همگرا است، بازه مجموعه مقادیر

.همگرایی سری می نامیم(فاصله)

0xx x

0xRxx 0

Rxx 0

Rxx

124

همگرا باشد آنگاه اگر سری به ازای :تذكر

برابر است با بازه همگرایی

دردرس ریاضی عمومی با پیدا كردن بازه همگرایی سری

توانی آشنا شده ایم كه شعاع همگرایی عبارت است از

. حد باال نامتناهی باشد آنگاه ممكن است

Rxx 0

R

RxxRx 00

1

lim n

nn

aR

a

125

بازه همگرایی سری توانی :مثال

. را پیدا كنید

چون

.همگرا است بنابراین ، سری تنها به ازای

0

!n

nxn

01

1lim

)!1(

!lim

nn

nR

nn

0x

126

بازه همگرایی سری توانی:مثال

.را پیدا كنید

چون

جا مهپس سری روی مجموعه اعداد حقیقی، یعنی در ه

.همگرا است

0 !

)1(2

n

nn

n

x

2

1

)!1(

2

!

2

lim lim1

n

n

nRn

n

n

n

127

بازه همگرایی سری توانی :مثال

. را پیدا كنید

چون

هایی كه پس، سری روی مجموعه

. همگرا است

1

)2(1n

nxn

n

1)1)(1(

)2(

2

11lim lim

nn

nn

n

nn

n

Rn

n

x12 x

128

كه درآن اگر سری توانی بربازه :قضیه

یك عدد ثابت مثبت است همگرا باشد، آنگاه سری توانی

را تعریف می كند كه به ازای هر تابعی مانند

.دربازه پیوسته است

به طور طبیعی این سوال مطرح می شود كه به كدام :تذكر

.تابع پیوسته همگرا است

.پاسخ دادن به این سوال درحالت كلی آسان نیست

Rxx 0R

)(xf

x

129

به صورت زیر توسط یك سری توانی تعریف اگر :قضیه

شده باشد،

آنگاه می توان از سری باال جمله به جمله مشتق گیری كرد

: وهمین طور انتگرال گرفت یعنی

كه

)(xf

0

0 )()(n

n

n xxaxf Rxx 0

1

1

0 )()(n

n

n xxnaxf

0

1

0 )(1

)(n

nn

b

a

xxn

adxxf ),(, 00 RxRxba

130

: فرض كنیم :قضیه

آن گاه

:داریم به ازای هر عدد حقیقی ( الف

(ب

( ج

:كه درآن

0

0 )()(n

n

n xxaxf

0

0 )()(n

n

n xxbxg

0

0 )()(n

n

n xxcaxcf

c

0

0 ))(()()(n

n

nn xxbaxgxf

0

0 )()().(n

n

n xxcxgxf

n

k

n

k

kknKnKnnnn bababababac0 0

0110 ...

131

:با انتقال اندیس می توان نشان داد كه :تذكر

واحد از اندیس جمع سری بعبارت دیگر، با كم كردن

های داخل عالمت واحد به همه واضافه كردن

.سری، دو سری مساوی به دست می آید

دركار كردن با سریهای توانی با مركزبسط -12.1.3: تذكر

مخالف با صفر، غالبا به كار بردن تغییر متغیر

:یعنی . مفید است

kn n

n

kn

kn

n xxaxxa0

00 )()(

kkn

0x

0xxz

0 0

0 )(n n

n

n

n

n zaxxa

132

فرض كنیم سری : قضیه

باشد، همگرا به تابع با برای

بسادگی نشان داده می شود كه

آنگاه ودرحالت خاص اگر

0

0 )(n

n

n xxa

Rxx 00R)(xf

,...2,1,0,!

)( 0

)(

nn

xfa

n

n

00 x

,...2,1,0,!

)0()(

nn

fa

n

n

133

سری را : تعریف

وسری را ، حول نقطه ر لبسط سری تی

.حول نقطه صفر می نامیم بسط ماك لورن

0

00

)(

)(!

)()(

n

nn

xxn

xfxf

)(xf0x

0

)(

)(!

)0()(

n

nn

xn

fxf

)(xf

134

اگر سری : تعریف

به دربازه به ازای هر

درنقطه همگرا باشد می گوییم

.تحلیلی است

0

00

)(

)(!

)(

n

nn

xxn

xf

x),( 00 RxRx )(xf

f0x

135

: بسط سری ماك لورن برخی توابع عبارت است از :مثال

كه ( الف

كه ( ب

كه ( ج

n

nx

n

xe

!x

x

x

0

2

)!2(

)1(cos

n

nn

n

xx

0

12

)!12(

)1(sin

n

nn

n

xx

136

كه ( د

كه ( ه

كه (و

1x

x

x

0

1

1

n

n

xx

0

12

)!12(sinh

n

n

n

xx

0

2

)!2(cosh

n

n

n

xx

137

نقاط معمولی ومنفرد

برای معادله ( عادی)را یك نقطه معمولی نقطه : تعریف

ام دیفرانسیل خطی مرتبه

. تحلیلی باشند در و می گویم هرگاه ضرایب

معادله (غیر عادی)نقطه ای را كه معمولی نباشد نقطه منفرد

.می نامیم

0xn

)()()(...)( 01

)1(

1

)( xgyxfyxfyxfy n

n

n

( )if x)(xg0x

138

نقاط منفرد معادله دیفرانسیل :مثال

.را پیدا كنید

بصورت ضریب معادله را با تقسیم بر : حل

:مشتق باال ترین برابر یك می كنیم یعنی

بدیهی است كه همه ضرایب این معادله درهمه نقاط به جز

پس . تحلیلی می باشند و و نقاط

.نقاط منفرد وهمه نقاط دیگر نقاط معمولی معادله هستند آنها

0)1()1()1( 23 yxyxxyxx

)1( 23 xx

0)1(

1

)1(

132

yxx

yxx

y

0x1x1x

139

اگر هریك از توابع : قضیه

تحلیلی باشند، آن گاه یك جواب منحصر به فرد درنقطه

شرط تحلیلی است ودر وجود دارد كه در مانند

اولیه

توسط سری دیفرانسیل یعنی هر جواب معادله. صدق می كند

.بیان می شود هزدربا تیلر خود درنقطه

011 ,,...,, fffg n

0x)(xy0xn

10

)1(

1000 )(,...,)(,)(

n

n axyaxyaxy

0xI

140

دریك (جواب های سری معادالت دیفرانسیل

)نقطه معمولی

را با پیدا كردن معادله دیفرانسیل مرتبه اول :مثال

.جواب بصورت سری مك لورن حل می كنیم

فرض : حل

كه

:پس باید چون

yy

0

10 .......n

n

n

n

n xaxaaxay

RxR ,0

1 1

1 2

1

2 ... ...n n

n n

n

y na x a a x na x

yy

1 0

1

n n

n

n

n

n xaxna

141

وبا حل كردن دستگاه از باال به پایین

:كه نتیجه می شود

ویارابطه بازگشتی

كه به دست می آوریم،

nn aan

aa

aa

aa

aa

1

34

23

12

01

)1(

4

3

2

0 0 01 0 2 3, , ,..., ,...

2! 3! !n

a a aa a a a a

n

11

n

aa n

n

!

0

n

aan

142

حال با جایگذاری ضرایب باال در

:داریم

پارامتر می باشد دقت كنیم كه جواب باال همان كه

جوابی است كه از روش های قبلی بدست می آید یعنی

.جواب معادله جداشدنی باال است

0n

n

n xay

0 0

00

!!n n

nn

n

xax

n

ay

0a

xeay 0

143

بسط تیلر جواب های معادله :مثال

.پیدا كنید را درنقطه معمولی

استفاده می كنیم برای سادگی از تغییر متغیر : حل

:می باشد وداریم با دراین صورت متناظر

بنابراین با جایگذاری ، معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله

می شود چون همه ضرایب چند جمله ای هستند

0)1(4)1( 2 yxyxy

1x1 xt

1x0t

2

2

2

2

)()(dt

yd

dx

dt

dt

dy

dt

d

dt

dy

dx

d

dx

yd

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

042

2

2

tydt

dyt

dt

yd

144

، پس بازه همگرایی سریهای جواب معادله برابر با

است، بازه همگرایی سریهای جواب

سری . است معادله اصلی نیز برابر با

توانی جواب را بصورت سری ماك لورن

: پس. درنظر می گیریم

: با قرار دادن سریهای باال درمعادله دیفرانسیل ثانویه داریم

t

x

n

n

n

n

n tatatataay

0

2

210 ......

1

1

1

21 ......2

n

n

n

n

n tnatnataadt

dy

2

2

2

22

2

)1(...)1(...2

n

n

n

n

n tanntannadt

yd

145

1 0

112

2

04)1(n n

n

n

n

n

n

n

n tatnatann

04)3()1(

04467

04356

04245

0434

0423

02

33

447

336

225

114

03

2

nnn aanann

aaa

aaa

aaa

aaa

aa

a

146

: درنتیجه

چنانکه مالحظه می شود همه ستون های سوم وستون دوم

بغیر اولین جمله بقیه صفراند تنها ستون اول ناصفرمی

:است بنابراین باشدوبرحسب

23

4,

34

3,0 0

31

42

a

aa

aa

2356

4,0,0 0

675

a

aaa

235689

42,0,0 0

9108

aaaa

2356891112

245,0,0 0

121311

aaaa

0a

147

33333)13(3

)73(

)13(3

)433(

nn a

nn

na

nn

na

032)...43)(13()3)...(33(3

4)1(258)...103)(73(a

nnnn

nna

n

n

3

3

2 5 8 ... (3 10)(3 7) ( 1) 4

3 ( ( 1)( 2).... (2 1)2 5 ... (3 4) (3 1)

( 1) 4

3 . ! (3 4)(3 1)

n

n n

n

n n

n na

n n n n n

an n n

148

2 3 4 5 6

0 1 0 1 0

7 8 9 10 11

0

11

0

4 3 40 0

3 2 4 3 6 5 3 2

2 40 0 0 0

9 8 6 5 3 2

2 5 4...

12 11 9 8 6 5 3 2

y a a t t a t a t t a t

t t a t t t

a t

4 3 6

1 0

9 12

3

1 2 4( ) (1

4 3 6 5 3 2

2 4 2 5 4...

9 8 6 5 3 2 12 11 9 8 6 5 3 2

( 1) .4...

3 . !(3 4)(3 1)

nn

n

y a t t a t t

t t

tn n n

149

ویا

:داریم با قرار دادن

جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده به ازای هر

.می باشد

))13)(43(!.3

4)1(1()

4

1(

1

3

0

4

1

n

n

n

n

tnnn

attay

1 xt

1

3

0

4

1 ))1()13)(43(!.3

4)1(1())1(

4

1)1(()(

n

n

n

n

xnnn

axxaxy

x

150

ممکن است رابطه بازگشتی بر حسب جمله عمومی :تذکر

یا بسادگی نتوان پیدا کرد در چنین حالتی امکان پذیر نباشد

.پیدا نمی کنیم"جمله عمومی را معموال

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

لژاندر عدد ثابتی است به معادله دیفرانسیل که در آن

یک نقطه مالحظه می شود که نقطه.موسوم است

: معمولی معادله است بنابراین دارای جوابی بصورت

.همگراست است که حداقل برای

2(1 ) 2 ( 1) 0x y xy p p y p

00 x

1

1

n

n

n xay

1|| x

151

:که با جایگذاری در معادله داریم

:با تغییر اندیس داریم

2 1 0

122 0)1(2)1()1(n n n

n

n

n

n

n

n xappxnaxxannx

2 1 0

122 0)1(2)1()1(n n n

n

n

n

n

n

n xappxnaxxannx

00 00

2 0)1(2)1()2)(1(n

n

n

n n

n

nnn

n

n

n xappxxaxannxann

0

2 0)1(2)1()1)(2(n

n

nnnn xappnaannann

152

2

2 2

2 2

( 1) 2 ( 1)

( 2)( 1)

2

( 2)( 1)

( 2)( 1)

( )( 1), 0

( 2)( 1)

n n

n

n

n

n n n p pa a

n n

n n n p pa

n n

n p n pa

n n

p n n pa n

n n

:ورابطه بازگشتی

:نتیجه می شود که

153

157

046

135

024

13

02

!7

)6)(4)(2)(5)(3)(1(

76

)6)(5(

!6

)5)(3)(1)(4)(2(

65

)5)(4(

!5

)4)(2)(3)(1(

54

)4)(3(

!4

)3)(1)(1(

43

)3)(2(

!3

)2)(1(

!2

)1(

apppppp

app

a

apppppp

app

a

apppp

app

a

apppp

app

a

app

a

app

a

:که با جایگذاری در معادله داریم

154

:با قرار دادن این ضرایب در سری داریم

عدد صحیح نباشد همگراست واگر كه برای

شعاع همگرایی هر دو سری داخل پرانتز برابر با یک

توابع تعریف شده در جواب سری مشهور به توابع .است

در حالت خاص.لژاندر می باشد که توابع متعالی هستند

.جواب سری ها ممکن است متناهی باشد

753

1

642

0

4

0

3

1

2

010

!7

)6)(4)(2)(5)(3)(1(

!5

)4)(2)(3)(1(

!2

)2)(1(

!6

)5)(3)(1)(4)(2(

!4

)3)(1)(2(

!2

)1(1

!4

)3)(1)(2(

!3

)2)(1(

!2

)1(

xpppppp

xpppp

xpp

xa

xpppppp

xpppp

xpp

ay

xapppp

xapp

xapp

xaay

1|| x

p

p

155

نقاط منفردمنظم معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دومیك نقطه منفرد معادله كه نقطه فرض کنیم

دیفرانسیل خطی همگن

درصورتی كه اگر معادله را بصورت باشد

را نقطه ،تحلیلی باشند در و بنویسیم

د را نتحلیلی نباش نامیم واگر منفرد منظمنقطه

.منفرد غیر منظم می گوییمنقطه

0x

0)()( 01 yxfyxfy

0)()()()( 0

2

0 yxqyxpxxyxx

)(),( xpxq0x

)(),( xpxq

156

نوع نقاط منفرد معادله دیفرانسیل :مثال

.را پیدا كنید

، معادله باال به با تقسیم دو طرف معادله در : حل

صورت

: در می آید مشاهده می كنیم كه نقاط منفرد عبارت است از

:داریم با ضرب معادله باال در

پس

021

)1( yyx

yx

1x

01

2

)1(

1

y

xy

xxy

0,1 xx2x

01

2

1

1 22

y

x

xy

xxyx

1

1)(,

1

2)(

2

xxp

x

xxq

157

یك نقطه منفرد پس . تحلیلی اند كه هر دو در

ضرب در را حال اگر طرفین معادله. منظم است

:كنیم داریم

در كه ، هردو

تحلیلی اند

.یك نقطه منفرد منظم است پس

0x0x2)1( x

01

)1(21)1( 2

y

xy

x

xyx

xxpxxq

1)(),1(2)( 1x

1x

158

معادله لژاندر :مثال

.را به صورت زیر می نویسیم

نقاط منفرد معادله اند كه و روشن است كه

:ضرب می كنیم داریم را در اگر طرفین معادله

0)1(2)1( 2 yppyxyx

01

)1(

1

222

y

x

ppy

x

xy

1x1x2)1( x

01

)1)(1(

)1(

)1(2)1( 2

y

x

xppy

x

xxyx

159

: آنگاه

هردو در و

. یك نقطه منفرد منظم معادله است تحلیلی اند پس

: ضرب كنیم داریم حال اگر طرفین معادله را در

هردو در و كه

یك نقطه منفرد منظم معادله تحلیلی اند پس

.است

)1(

)1(2)(

x

xxxp

1

)1)(1()(

x

xppxq1x

1x2)1( x

01

)1)(1(

)1(

)1(2)1( 2

y

x

xppy

x

xxyx

)1(

)1(2)(

x

xxxp

1

)1)(1()(

x

xppxq

1x 1x

160

معادله دیفرانسیل خطی :مثال

معروف است از مرتبه ( Bessel)را که به معادله بسل

عدد ثابت نا صفر در نظر می گیریم در این معادله که

می باشد با نوشتن معادله بصورت

نقطه منفرد معادله می باشد وبا مالحظه می شود که

درنقطه که توجه به توابع

نقطه منفرد تحلیلی اند پس

.ومنظم معادله است

0)( 222 ypxyxyx

pp

01

2

22

yx

pxy

xy

0x

0x

22)(,1)( pxxqxp

0x

161

سری بصورت :تعریف

عددی حقیقی ویا مختلط است به سری که در آن

.مشهور است( frobenius)فروبنیوس

0 0

0

0

0

( ) ( )

( )

s n

n

n

n s

n

n

y x x a x x

a x x

s

162

یک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم اگر :تذکر

خطی باشد ثابت می شود که معادله دارای یک وگاهی دو

. است جواب بصورت سری فروبنیوس با

عددی حقیقی است در اینجا

.این روش را با ارائه چند مثال توضیح می دهیم

0xx

00 a

s

163

معادله دیفرانسیل :مثال

نقطه منفرد منظم را در نظر می گیریم واضح است که

معادله است جواب سری فروبنیوس

:را در نظر می گیریم بنابراین

: با جایگذاری در معادله دیفرانسیل نتیجه می شود

0)12(2 2 yyxxyx

00 x

00 n

sn

n

n

n

n

s xaxaxy

0

2

0

1 )1)(()(n

sn

n

n

sn

n xasnsnyxasny

0 0 0

122 0)()12()1)()2n n n

sn

n

sn

n

sn

n xaxasnxxxasnsnx

164

:و یا

:با تغییر اندیس داریم

0 0 0 0

1 0)()(2)1)((2n n n n

sn

n

sn

n

sn

n

sn

n xaxasnxasnxasnsn

0 0 0 0

1

1 0)()1(2)1)((2n n n n

sn

n

sn

n

sn

n

sn

n xaxasnxasnxasnsn

s

n n

sn

n

sn

n

s xsaxasnxasnsnxass 0

1 1

110 )1(2)1)((2)1)((2

1 1

0 0)(n

sn

nn

ssn

n xaxaxasn

165

:و یا

: پس چون فرض بر آن است که

این معادله را معادله شاخص و ریشه های آن را توان شاخص

توان های پس. معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیم

شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم هستند

0)1(21)()1)((21)1(2 10

sn

nn

s xasnasnsnsnxasss

00 a

012

0122

01)1(2

2

2

ss

sss

sss

1,2

1 ss

166

ها در ضرایب حال به ازای هر کدام از مقادیر

: رابطه بازگشتی

:و یا

. صدق می کند

sna

1)1(21)1)((2 nn asnasnsnsn

1,1)1)((2

)1(21

na

snsnsn

sna nn

1,122

2

)122)(1(

)1(211

na

sna

snsn

snnn

167

:رابطه باال نتیجه می دهد که اگر ( الف

1s

0

023

012

01

1

)32(975

)2(

975

)2)(2)(2(

9

2

75

)2)(2(

7

2

5

2

1,32

2

an

a

aaa

aaa

aa

nan

a

n

n

nn

168

: آنگاه اگر ( ب

با

:پس

2

1s

111

1

2

2

1)2

1(22

2

nnnn a

na

na

n

a 1n

01

023

012

001

!

)1(1

32

)1)(1)(1(

3

1

2

)1)(1(

2

1

1

1

an

an

a

aaa

aaa

aaa

n

nn

169

:در نتیجه دو جواب سری فروبینوس عبارت است از

در بازه بدلیل و دو تابع

: مستقل خطی وهمگرا هستند پس

. جواب عمومی معادله دیفرانسیل است

n

n

xn

xxxxy)32(75

)2(

975

)2(

75

)2(

5

21 3

32

2

1

nn

xn

xxxxy!

)1(

!3

)1(

!2

)1(1 3

32

2

2

1

2

12 , yy2

1

x ,0

0

2

1

2

0

1!

)1(

)32(75

)2(

n

nn

n

nn

xn

xcxn

xcy

170

.حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر استدرادامه بحث خود معادالتی را مورد بررسی قرار می : تذکر

در این حالت .است دهیم که دارای یک نقطه منفرد در

معادله به صورت

تحلیلی در در می آید،که در آن

همچنانکه قبال مشاهده کردیم،این محدودیت از کلیت .هستند

نقطه زیرابا تغییر متغیر بحث نمی کاهد،

.را به صفر تبدیل می کند منفردمنظم

0x0)()(2 yxqyxxpyx

)(),( xpxq0x

0xxt

0x

171

حالت کلیبررسی -

دیفرانسیل مرتبه دوممعادله

در نقطه منفردمنظم باشد فرض . را در نظرمی گیریم

تحلیلی هستند،در نتیجه به این صورت در

:، داریم ازای

:تابعی بصورت و

0)()(2 yxqyxxpyx

0x)(),( xpxq

Rx

n

n

n xqxq

0

)(n

n

n xpxp

0

)(

y

172

:باشد، آنگاه

:دیفرانسیل داریمبا قرار دادن مقادیر باال در معادله

sn

n

n

n

n

n

s xaxaxxy

00

)(

1

0

)()(

sn

n

n xsnaxy

2

0

)1)(()(

sn

n

n xsnsnaxy

sn

kn

n

k

k

nn

n

n

n

n

n

s xpaskxpxasnxxyxxp

))(())()(()()(0000

sn

kn

n

k

k

nn

n

n

n

n

n

s xqaxqxaxxyxq

)())(()()(0000

173

در نتیجه

:داریم که با فرض ضریب کوچکترین توان

پس چون

ویا

توان های شاخصمی باشد و ریشه های آن را معادله شاخص

.معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیده می شود

0)())(()1)((0 0000

sn

kn

n

n

k

k

sn

kn

n

k

k

n

sn

n

n

xqaxpaskxasnsn

0}])[()1)({(00

sn

kknkn

n

k

n

n

xaqpskasnsn

xn ),0(

0)()1( 0000 aqspass00 a

00)1()( qspsssf

00

2 )1()( qspssf

174

مالحظه می شودکه سه حالت زیر می تواند در مورد معادله

:شاخص رخ دهد

.عدد غیر صحیح وغیرصفر باشد اگر ( الف

.عدد صحیح ومثبت باشد اگر ( ب

.صفر باشد اگر ( ج

دیفرانسیل دارای دو جواب مستقل به معادله ( در حالت الف

صورت

و

.قبال مثالهایی در این مورد مالحظه شد. دارد

21 ss

21 ss 21 ss

n

n

n

sxaxxy

0

11)(n

n

n

sxbxxy

0

22)(

175

فقط یک جواب به صورت( و ج( در حالت ب

جواب مستقل دیگر نشان داده می شود برای پیدا کردن . دارد

که جواب به صورت

معادله در است که می توان با مشتق گیری وجایگذاری

پیدا کردکه ممکن را ها و دیفرانسیل ضرایب

به برابرصفر باشد که در این صورت است مقدار

.شکل یک سری فروبینوس می با شد

n

n

n

sxaxxy

0

11)(

n

n

n

sxcxxxAyy

0

122log)(

ncAA)(2 xy

176

در فیزیک و ریاضیات محض،اغلب بررسی جواب :تذکر

دیفرانسیلمعادله

با به . بینهایت باشد،مورد نظر است وقتی متغیر مستقل

با مقادیر بزرگ کار بردن تغییر متغیر

. متناظر خواهند بود مقادیرکوچک

0)()(2 yxqyxxpyx

x

tx

1x

t

177

دیفرانسیل جدید جوابهایی از معادله به جای با جایگذاری

را بدست

می آوریم که اگر معادله جدید دارای یک نقطه معمولی در

دیفرانسیل دارای یک نقطه معادله باشد، گوییم

اگر معادله جدید به همین نحو، . بینهایت استمعمولی در

معادله باشد، گوییم دارای یک نقطه منفرد منظم در

.بینهایت استدیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم در

x t

0t

0t

178

دستگاه معادالت دیفرانسیل

در این فصل با توجه به كاربردهای دستگاه معادالت

دیفرانسیل در فیزیك و مكانیك و دیگر كاربردهای آن به

.بررسی و مطالعه این دستگاه ها می پردازیم

179

مجموعه ای بیش از یك معادله دیفرانسیل همزمان :تعریف

.را دستگاه معادالت دیفرانسیل نامیم

ساده ترین دستگاه معادالت دیفرانسیل دستگاه دو معادله

:دیفرانسیل می باشد كه عبارت است از

0),,,,,(

0),,,,,(

2

2

2

2

m

m

n

n

dt

yd

dt

yd

dt

dyytg

dt

xd

dt

xd

dt

dxxtf

180

برای اینكه ساده ترین دستگاه معادالت دیفرانسیل را بررسی

كنیم این نوع دستگاهها را با بیان شرایطی به ساده ترین

ساده ترین دستگاه معادالت . صورت در نظر می گیریم

دیفرانسیل، دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد

:كه عبارت است از

0),,(

0),,(

dt

dyytg

dt

dxxtf

181

كه ممكن است مضربی از اولی در دومی ظاهر شود و

بالعكس، بنابراین صورت دیگری از دستگاه دو معادله

:دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است

0),,,,(

0),,,,(

dt

dy

dt

dxyxtg

dt

dy

dt

dxyxtf

182

حال اگر توانهای

برابر با یك باشد آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی

:نامیم یعنی

xydt

dx

dt

dy,,,

)()()(

)()()(

654

321

tfytfxtfdt

dy

tfytfxtfdt

dx

183

آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول كه اگر

خطی همگن نامیم و در صورتی كه

، اعداد ثابت باشند آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی

اكنون با تعدادی از دستگاه . همگن با ضرایب ثابت نامیم

روشهایی را برای حل برخی . معادالت دیفرانسیل آشنا شدیم

الزم به تذكر می باشد كه جواب دستگاه . از آنها بیان می كنیم

. می باشد دو معادله دیفرانسیل بصورت

قضیه ای، وجود دارد كه شرط وجود جواب و منحصر بفرد

بودن را بررسی می كند كه از ذكر آن صرفنظر می كنیم و

.فرض می كنیم كه وجود دارد و منحصر بفرد است

0)()( 63 tftf

)(,)(,)(,)( 1245 tftftftf

( ) , ( )y y t x x t

184

برای حل برخی از دستگاه دو معادالت دیفرانسیل

.روشهایی را بیان می كنیم

یكی از معادالت دستگاه مستقاًل قابل حل می :روش اول

.با یك مثال توضیح می دهیم. باشد

:دستگاه زیر را حل می كنیم:مثال

xytdt

dy

xxtdt

dx

2

2

185

چنانكه مالحظه می شود معادله اول معادله جداشدنی است

پس

:داریم برابر با كه با انتخاب

:كه با جایگذاری در معادله دوم دستگاه نتیجه می شود

dttx

dxtx

dt

dx)12()12(

cttctt eeexcttx 222lnce1cttecx

2

1

tttt ectydt

dyecyt

dt

dy 22

11 22

186

:و این معادله نیز معادله مرتبه اول خطی است پس

پس

.جواب دستگاه می باشد

21

22 2

cdteceey tttdttdt

21

222

cdteecey tttt

2121

22

ceceycdtecey tttt

22

2

21

1

ttt

tt

ececy

ecx

187

روش باال را می توان برای دستگاه سه معادله نیز بكار

.برد

.مثال دستگاه سه معادله زیر را می توان حل كرد

tyxdt

dz

txdt

dy

xdt

dx

4

23

2

188

حل دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی با :روش دوم

:ضرایب ثابت

با مشتق گیری از معادالت دستگاه و استفاده از معادله دوم

دستگاه آنرا به معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت تبدیل

.می كنیم كه با حل آن قباًل آشنا شده ایم

.با یك مثال توضیح می دهیم

)(

)(

22

11

tgybxadt

dy

tfybxadt

dx

189

: دستگاه زیر را حل می كنیم: مثال

: با مشتق گیری از معادله اول داریم

:و با جایگذاری از معادله دومی نتیجه می شود

xydt

dy

yxdt

dx

3

3

dt

dy

dt

dx

dt

xd 3

2

2

dt

dy

xydt

dx

dt

xd 33

2

2

190

:با جایگذاری از معادله اول داریم

y

xxdt

dx

dt

dx

dt

xd )3(33

2

2

0862

2

xdt

dx

dt

xd

086 xxx

191

كه دارای معادله كمكی است كه و

: پس. ریشه های متمایز هستند

:حال با جایگذاری در معادله اول داریم

بنابراین

.جواب دستگاه است

0862 DD4D

2Dtt ececx 4

2

2

1

tttt ececececxdt

dxy 4

2

2

1

4

2

2

1 33423

tt ececy 4

2

2

1

tt

tt

ececy

ececx

4

2

2

1

4

2

2

1

192

این روش مشهور به روش :روش سوم

. می باشد اپراتوریا عملگر

، در این روش فرض می كنیم كه

آنگاه با جایگذاری عملگر دستگاه را به روش

با یك مثال این . حذفی گوس حل می كنیم

.روش را توضیح می دهیم

Ddt

d

193

:دستگاه زیر را به روش حل می كنیم: مثال

:با استفاده از نماد داریم

D

2 4 1

1

dx dyx y

dt dt

dx dyt

dt dt

Ddt

d

1

142

tDyDx

yDyxDx

194

با ضرب معادله اول در ومعادله دوم در

:و جمع طرفین دستگاه داریم

این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

:غیرهمگن می باشد پس

1

1)4()12(

tDyDx

yDxD

D4D

)1)(4()1()4()12( tDDDxDxDD

4)1(4)(0)42( 22 DttDxDDDD

34)33( 2 txDD

195

بنابراین و برای پیدا كردن جواب

.خاص غیرهمگن آنرا به روش ضرایب ثابت حل می كنیم

:چون صفر ریشه معادله كمكی است پس

23 3 0 3 ( 1) 0 0 , 1D D D D D D

t

c eccx 21px

AxAtAxtAtAx

AtAtx

ppp

p

22

)(

11

2

1

196

: با جایگذاری در معادله نتیجه می شود

پس ، بنابراین

:بنابراین با جایگذاری معادله داریم

3433 txx pp

3

7,

3

234366 11 AAtAtAA

ttx p3

7

3

2 2 tteccx t

3

7

3

2 2

21

11 tdt

dx

dt

dyt

dt

dy

dt

dx

197

.پس جواب دستگاه می باشد

13

7

3

42 ttec

dt

dy t

3

4

3

12 tec

dt

dy t

dttecdy t )3

4

3

1( 2

3

2

23

4

6

1cttecy t

3

2

2

2

21

3

4

6

1

3

7

3

2

cttecy

tteccx

t

t

198

روشهای اول و سوم چنانكه مالحظه می شود از حل : تذكر

دستگاه معمولی

مثاًل دستگاه معمولی را می توان . نتیجه گیری شده است

بسادگی حل كرد كه یكی از معادالت دستگاه مستقاًل قابل حل

می باشد و روش سوم نیز همان روش حذفی گاوس می باشد

كه درحل دستگاه

.استفاده می شود

3

732

yx

x

2

732

yx

x

199

روشهای باال را برای حل دستگاه دو : تذكر

معادالت خطی استفاده كردیم می توان آنرا

برای حل دستگاه سه معادالت خطی نیز استفاده

كرد و همچنین می توان آن را تعمیم داد و

برای دستگاههایی با معادالت دیفرانسیل خطی

.بیشتر نیز استفاده كرد

200

همانطوری كه در دستگاه معمولی ممكن است : تذكر

دستگاه دارای جواب منحصر بفرد و یا بی نهایت

جواب و یا جواب نداشته باشند در دستگاه معادالت

مثاًل دستگاه. دیفرانسیل نیز چنین می باشد

.دارای بی نهایت جواب می باشد

tDxDx

tDxDx

444 21

21

201

مثاًل و جوابهایی

.از دستگاه است

در هر كدام از جوابها را به دلخواه انتخاب

ولی . كرده و دستگاه را بر حسب حل می كنیم

دستگاه

.دارای جواب نیست

cx

ct

x

5

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

22

2

ctt

x

ct

x

)(11 txx

)(22 txx

2

21

21

tDxDx

tDxDx

202

مالحظه شد كه دستگاه معادال ت دیفرانسیل در : تذكر

:روش سوم بصورت كلی

:می باشد كه دترمینال ضرایب یعنی

.را دترمینان دستگاه معادالت دیفرانسیل نامیم

)()()(

)()()(

43

21

thyDfxDf

tgyDfxDf

)()(

)()(

)(43

21

DfDf

DfDf

DW

203

.قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم

تعداد پارامتر در جواب عمومی :قضیه

و دستگاه باال برابر با توان

.است مشروط بر اینكه باشد

بنابراین در جوابهایی از دستگاههایی كه تعداد

پارامتر بیشتر از توان است ، می

توان پارامترهای اضافی را با جایگذاری در

.دستگاه معادالت حذف كرد

)(txx

)(tyy

)(DW0)( DW

)(DW

204

در این فصل مالحظه خواهیم كرد چگونه با به كار

بردن تبدیل الپالس در مورد یك معادله دیفرانسیل با

شرایط اولیه ، می توان آن را به مسئله ساده تری

تبدیل كرده بطوری كه با وارون تبدیل الپالس جواب

مسئله ابتدائی بدست می آید و همچنین مالحظه خواهد

شد كه روش های تغییر پارامتر و ضرایب ثابت را

در مورد حل معادالت دیفرانسیل غیر همگن كه تابع

طرف دوم ناپیوسته باشد نمی توان بكار برد كه در

.این حالت می توان از تبدیل الپالس استفاده كرد

205

تبدیل الپالستبدیل مفهوم تعمیم یافته تابع می باشد ، یعنی رابطه ای كه به

از جمله . هر تابع ، تابع دیگری را نسبت دهد، یك تبدیل نامیم

تبدیالت مشهور تبدیل مشتق و انتگرال و مضرب در عبارتی

.می باشد كه معمواًل با نماد زیر بترتیب نشان می دهیم

1 )

2)

ضرب در( 3

)())(( xFxfD

cxFdxxf )()(

)())(( xfexfM x xe

206

تعریف شده باشد بربازه فرض كنیم تابع : تعریف

، انتگرال ناسره

را كه عدد حقیقی است به ازای مقادیر ا ز

همگرا باشد آنرا تبدیل الپالس تابع نامیم و با نماد

:نشان می دهیم یعنی

برای بیان رابطه بین تابع و تبدیل الپالس تابع

:می نویسیم

f 0,

( )sxe f x dx

s sRA

f)(sF

( ) ( )sxs A F s e f x dx

Ff

( ) ( )( )F s L f x

207

. شرایط وجود تبدیل الپالس را بعدًا مطالعه خواهیم كرد

.اینك تبدیل الپالس چند تابع خاص را پیدا می كنیم

:یعنی. تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم

:به ازای انتگرال همگراست پس

1)( xf

b

sx

b

b

sx

b

sx es

imdxeimdxesFL

1

)()1(

)11

( es

es

im sb

b

0s

sL

1)1(

208

:تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم

به ازای انتگرال همگراست پس

xxf )(

b

sx

b

sx dxxeimxdxesFxL

)()(

b

sxsx

b

sxbsx

be

sxe

simdxe

sxe

sim

2

1111

es

xes

es

bes

im sbsb

b 22

1111

0s2

1)(

sxL

209

تبدیل الپالس تابع را پیدا می كنیم

: انتگرال همگراست پس به ازای

nxxf )(

dxxes

n

s

exdxxexL nsx

sxnnsxn 1)(

1 21 1 1( ) ( ) ( ) (1)n nn n n n n

L x L x Ls s s s s s

0s

1

!)(

n

n

s

nxL

210

:درتمرینات نشان داده می شود

آنگاه ، اگر

s

seL x 1

)(

211

خواص تبدیل الپالس

با توجه به اینكه تبدیل الپالس توسط انتگرال تعریف شده

.است الاقل دارای خواص خطی انتگرال را می باشد

212

:نشان دهید كه : قضیه

عدد ثابت می باشد پس چون : اثبات

گرچه این خاصیت اثبات كوتاهی دارد ولی خواص خیلی

قوی می باشد و می توان بسیاری از تبدیل الپالس توابع را

.پیدا كرد

( ( ) ( )) ( ( ) ( ( ))L f x g x L f x L g x

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))sxL f x g x e f x g x dx

))(())(()()( xgLxfLdxxgedxxfe sxsx

213

)1(12)(5)125())(( 22 LxLxLxfL

ssss

1210112

!25

33

)(3)(3)33())(( 22 xLeLxeLxgL xx

22

3

2

313

2

13

ssss

:مثال

214

حال تبدیل الپالس تابع عبارت است از

و از طرفی

: بنابر تساوی دو طرف اول تساویها داریم

xiexf )(

222222

11)(

si

s

s

s

is

is

is

isiseL xi

)(sin)(cos)sin(cos)( xiLxLxixLeL xi

22)(cos

s

sxL

22)(sin

sxL

215

: مثال

با شرط

( ( )) (sinh ) ( )2

x xe eL f x L x L

2222

)(2

1)

11(

2

1)()(

2

1

ss

ss

sseLeL xx

( ( )) (cosh ) ( ) ( ( ) ( ))2

x xxe e

L g x L x L L e L e

2222)(

2

1)

11(

2

1

s

s

s

ss

ss

s

216

انتقال به عنوان دومین خاصیت ا ز تبدیل الپالس خاصیت

.می باشد

آنگاه فرض كنید :قضیه

: اثبات

چون

))(()( xfLsF

)())(( sFxfeL x

dxxfeexfeL xsxx )())((

)()()(

sFdxxfe xs

dxxfesF sx )()(

217

: مثال

(الف

(ب

(ج

25)7(

5)5sin(

2

7

sxeL x

16)3(

3)4cos(

2

3

s

sxeL x

6

52

)2(

!5)(

sxeL x

218

مضرببه عنوان سومین خاصیت از تبدیل الپالس خاصیت

.می باشد

فرض كنید آنگاه :قضیه

:اثبات

))(()( xfLsF

)())(( sFds

dxxfL

dxxfes

dxxfeds

dsF

ds

d sxsx )()()(

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))sx sxx e f x dx e xf x dx L xf x

219

:نتیجه

:اثبات

به استقراء نتیجه می شود كه

)()1())((2

22 sFds

dxfxL

))(()1())(())(( 2 xxfLds

dxxfxLxfxL

)()1())(()1(2

2

sFds

dxfL

ds

d

ds

d n

))(()1())(( xfLds

dxfxL

n

nnn

220

:مثال

الف)

ب)

ج)

22222 )1(

2

)1(

2)

1

1()sin(

s

s

s

s

sds

dxxL

22

2

22

22

2 )1(

1

)1(

21)

1()cos(

s

s

s

ss

s

s

ds

dxxL

42

24

42

2222

22

2

)1(

246

)1(

)1(8)1(2)

)1(

2()sin(

s

ss

s

sss

s

s

ds

dxxL

221

از آنجائیكه معادله دیفرانسیل ازتركیباتی

از یعنی ومشتق یعنی

و مشتقات مراتب باال تشكیل شده است

بنابراین در این قسمت تبدیل الپالس

.مشتق را بررسی می كنیم

x)(xfy

222

نشان دهید :قضیه

چون : اثبات

: با استفاده از روشی جز به جز داریم

و

و

پس

: اگر آنگاه

)0()()( yysLyL

dxyeimdxyeyL

b

sx

b

sx

)(

ue sx dvdxy

dudxse sx vy

)()( ydxSeyeimyL

b

sxbsx

b

))0()(( ydxeseyebyim

b

sxsb

b

0s)0()()()0()( yysLysLyyL

223

. نشان دهید :نتیجه

: اثبات

:به استقراء نتیجه می شود كه

)0()0()()( 2 ysyyLsyL

)0())0()(()0()())(()( yyysLsyysLyLyL

)0()0()(2 ysyyLs

)0()0()0()0()()( )1()2(21)( nnnnnn ysyysysyLsyL

224

معكوس تبدیل الپالس در . فرض كنیم تبدیل الپالس تابع وجود داشته باشد

این صورت واضح است كه تابع منحصر بفردی مانند

وجود دارد كه

فرض كنید . اینك عكس این حالت را در نظر می گیریم

آیا تابع منحصر بفردی . تابعی مانند داده شده باشد

:مانند وجود دارد به گونه ای كه داشته باشیم

: اگر پاسخ سؤال مثبت باشد می نویسیم

.را وارون یا معكوس تبدیل الپالس تابع نامیم

)(xf

)(sF))(()( xfLsF

)(sF

)(xf))(()( xfLsF

))(()( 1 sFLxf

)(xf)(sF

225

اینك برخی خواص معكوس تبدیل

.الپالس را بررسی می كنیم

:نشان دهید: قضیه

.قضیه قبلی مالحظه شود: اثبات

1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))L F s G s L F s L G s

226

:مثال

( الف

( ب

(ج

515)1

(5)5

( 11

sL

sL

xxs

Ls

Lss

L 2sin32)4

2(3)

!2(2)

4

64( 2

2

1

3

1

23

1

xes

Ls

L 311 2))3(

1(2)

3

2(

227

( د

( هـ

)1

11()

)1(

1()

1( 11

2

1

ssL

ssL

ssL

xes

Ls

L

1))1(

1()

1( 11

)1

11()

)1(

1()

1(

22

1

22

1

24

1

ssL

ssL

ssL

xxs

Ls

L sin))1

1()

1(

2

1

2

1

228

خواص معكوس تبدیل الپالس

:نشان دهید: قضیه

.اثبات قضیه قبلی مالحظه شود

)())((1 xfesFL x

229

:مثال

( الف

(ب

xes

Lss

L x sin)1)2(

1()

54

1( 2

22

1

2

1

xes

Ls

L x 3sin2)3)2(

3(2)

9)2(

6( 2

22

11

230

:بقیه مثال

( ج

( د

33

4

1

4

1 2))3(

!3(2)

)3(

12( xe

sL

sL x

)2)1(

2()

2)1(

1()

2)1(

21()

52

3(

22

1

22

1

22

1

2

1

sL

s

sL

s

sL

ss

sL

xexe xx 2sin2cos

231

حل معادله دیفرانسیل بروش الپالساینك آماده هستیم نشان دهیم كه چگونه می توان

جواب یك مسئله با مقدار اولیه دشوار را به كمك

تبدیالت الپالس ، به مسئله دیگری با شرایط ساده تر

تبدیل كرده و سپس با استفاده از وارون تبدیل الپالس

با یك مثال . جواب معادله دیفرانسیل را بدست آورد

ساده در مورد معادله دیفرانسیل مرتبه اول توضیح

.می دهیم

232

معادله را با شرط : مثال

:حل می كنیم

: ابتدا تبدیل الپالس را روی معادله اثر می دهیم : حل

xeyy 1)0( y

)()()()()( xx eLyLyLeLyyL

)()()0()( xeLyLyySL

1

1)(1)(

syLySL

11

111

1

1)()1(

s

s

s

s

syLs

233

:حال وارون تبدیل الپالس را محاسبه می كنیم

)1)(1()(

ss

syL

)1

2

1

1

2

1

())1)(1(

( 11

ssL

ss

sLy

)1

1(

2

1)

1

1(

2

1 11

sL

sLy

1 1cosh

2 2

x xy e e x

234

معادله را با شرط : مثال

.حل می كنیم

:ابتدا تبدیل الپالس را روی معادله اثر می دهیم: حل

xeyy 22)0( y

)()(2)()()2( xx eLyLyLeLyyL

)()(2)0()( xeLyLyySL

)2)(1(

32)(

1

322

1

1)()2(

ss

syL

s

s

syLs

235

: حال وارون تبدیل الپالس را محاسبه می كنیم

))2)(1(

32(1

ss

sLy

)2

1

1

1(1

ssLy

xx eeys

Ls

Ly 211 )2

1()

1

1(

236

مطلوب است جواب معادله : مثال

با شرایط و

:حل

xyy 44 1)0( y(0) 5y

)(4)(4)()4()4( xLyLyLxLyyL

)(4)(4)0()0()(2 xLyLysyyLs

3 22

2 2

4 4 5( 4) ( ) 5

s ss L y s

s s

237

))4(

45(

)4(

45)(

22

231

22

23

ss

ssLy

ss

ssyL

)4

4

4

1()

4

41(

222

1

22

1

ss

s

sL

s

s

sLy

)4

2(2)

4()

1(

2

1

2

1

2

1

sL

s

sL

sLy

238

تبدیل الپالس برخی توابعقبل از آنکه به تبدیل الپالس برخی توابع دیگر بپردازیم

خوب است شرایطی را که تابع باید دارا باشد تا تبدیل

برای . الپالس داشته باشد، دقیفتر مورد توجه قرار دهیم

تضمین وجود تبدیل الپالس، کافی است فرض کنیم که

مقصود . پیوسته و یا الاقل قطعه به قطعه پیوسته است

از عبارت اخیر آن است که تابع

پیوسته در هر فاصله متناهی

است، مگر احتماآل در تعدادی متناهی نقطه که دارای نا

،پیوستگی جهشی است

)(xfbx 0

239

. یعنی تابع در آن نقاط حد های چپ و راست متفاوتی دارد

این شرط الزم نیست مثآل تابع در

دارای یک نا پیوستگی از نوع بینهایت است وبنابر این

قطعه به قطعه پیوسته نیست، با این وجود انتگرالش از

تا

وجود دارد و از آنجا که برای های بزرگ کراندار

در واقع، برای، . نیز هست، تبدیل الپالس آن وجود دارد

:داریم

2

1

)(

xxf0x

0b

0s

dxxexL sx 2

1

0

2

1

)(

240

و تغییر متغیر نتیجه می دهد

یک تغییر متغیر بدست می دهد

در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان داده می شود که

:انتگرال اخیر برابر با است، لذا داریم

tsx dttesxL t 2

1

0

2

1

2

1

)(

2st dsesxL s

0

2

1

2

12

2)(

2

sxL

)( 2

1

241

تابع :تعریف

که می باشد را تابع پله ای واحد نامیم و تبدیل

:الپالس آن را پیدا می کنیم

با شرط

cx

cxxuc

1

00)(

0c

dxedxedxedxxuexuLb

c

sx

bc

sxc

sx

c

sx

c

lim1.0.)(.))((

00

0s

s

ee

se

se

s

cscssb

b

b

c

sx

b

)

11(lim)

1(lim

242

تابع زیر را برحسب توابع پله ای واحد می نویسیم؟: مثال

:حل

34

323

212

101

00

)(

)(

)(

)(

0)(

)(

xxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxf

xf

)()]()([)()]()([

)()]()([)()]()([)()(

32

10

3423

12010

xuxfxfxuxfxf

xuxfxfxuxfxfxfxf

xx

xx

243

تابع :مثال

را بصورت تابع پله ای واحد می نویسیم؟

5

545

40

)(

2 xx

x

xx

xf

)()5()()5()( 5

2

4 xuxxuxxxf

244

از تابع پله ای واحد می توان برای انتقال تابع داده :تذکر

شده ، که دامنه تعریف آن به اندازه

برای مثال تابع تعریف . واحد در جهت راست استفاده کرد

شده توسط

واحد در جهت نمایش انتقالی از تابع به اندازه

. می باشد مثبت

f0xc

cxcxf

cxcxfxuy c

)(

00)()(

xc

245

: نشان دهید :قضیه

:اثبات

: با تغییر متغیر داریم

0)())()(( ssFecxfxuL xc

c

dxcxfedxcxfxuecxfxuLc

sx

c

sx

c )()()())()((0

cxu

0)()(

)())()((

0

0

)(

ssFeduufee

duufecxfxuL

cssucs

cus

c

246

تبدیل الپالس تابع:مثال

.را پیدا می کنیم

با استفاده از مثال قبل تابع را می توان بر : حل

حسب تابع پله ای به صورت

. نوشت

چون پس

بنابر خواص و فرمول های تبدیل الپالس

2cossin

20sin)(

xxx

xxxf

f)(2 xu

xxuxxf cos)(sin)( 2

)2cos(cos xt

)2cos()(sin)( 2 xxuxxf

01

1

11

1)(

2

2

2

2

2

s

s

se

s

se

ssF

ss

247

و اگر:قضیه

موجود باشد آنگاه هر دو به ازای

که در آن

معروف است وآن را با و کنولوسیون به تابع

.نشان می دهیم

))(()( xfLsF ))(()( xgLsG

0s

))(()()()( xhLsGsFxH

x

duuguxfxh0

)()()(

hfg

gfh

248

نشان می دهیم که

زیرا

با بکار بردن تغییر متغیر انتگرال باال

:را می توان به صورت زیر نوشت

)()( xfgxgf

x

duuguxfxgf0

)()()(

vux

)(

)()(

))(()()(

0

0

xfg

dvvfvxg

dvvxgvfxgf

x

x

249

کنولوسیون تبدیل معکوس تابع با بکار بردن:مثال

را پیدا می کنیم؟

با فرض و تبدیل الپالس :حل

:و داریم

: با بکار بردن روش جزبه جز داریم

)()(

222 ass

asH

2

1)(

ssF 22

)(as

asG

2

1)(

sxL

22)(sin

as

aaxL

x

auduuxxgfxh0

sin)()()(

2

sin)(

a

axaxxh

250

مثال باال را می توان با بکار بردن کسرهای جزیی :تذکر

:بصورت زیر محاسبه کرد

بنابر این

)(1

)(2222 as

a

s

a

asH

)sin(1

)(2

axaxa

xh

251

نشان دهید که اگر یک عدد مثبت باشد آنگاه :قضیه

:اثبات

با به کار بردن تغییر متغیر انتگرال باال به صورت

c)(

1))((

c

sF

ccxfL

0

)())(( dxcxfecxfL sx

ucx

casac

s

c

sF

cduufe

c

duc

ufecxfL

uc

s

uc

s

,)(1

)(1

1)())((

0

0

252

! اگر در حین یادگیری گریستید

پایان

موفق باشید