Министерство образования и науки Украины

А.В.Ивашко

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ

ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Учебное пособие

Утверждено

редакционно-издательским

советом унивеситета

протокол №____от

Харьков

НТУ ХПИ 2003

УДК 621.391

Рецензенты:

Ивашко А.В. Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов.

Учеб. пособие – Харьков: НТУ “ХПИ” – 2003 – 233с. – Русск. яз.

Рассмотрены основные алгоритмы цифровой обработки сигналов: цифровая КИХ- и

БИХ- фильтрация, медианная фильтрация, ортогональные преобразования, спектральный и

вейвлет-анализ. Приведены примеры применения алгоритмов для обработки различных

сигналов. Предназначено для студентов бакалавратов “Компьютеризованные системы,

автоматика и управление” и “Электронные аппараты”, может быть полезным для студентов

смежных специальностей.

Ил. 107. Табл. 14. Библиогр. 54 назв.

Розглянуті основні алгоритми цифрової обробки сигналів: цифрова КІХ- та БІХ-

фільтрація, медіанна фільтрація, ортогональні перетворення, спектральний та вейвлет-аналіз.

Наведено приклади застосування алгоритмів для обробки різних сигналів. Призначено для

студентів бакалавратів “Комп’ютеризовані системи, автоматика і управління” та “Електронні

апарати”, може бути корисним для студентів суміжних спеціальностей.

Іл. 107 Табл. 14. Бібліогр. 54 найм.

Ивашко А.В. 2003.

3

ВВЕДЕНИЕ

Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС) находят все

более широкое применение в различных областях промышленной и бытовой

техники. Многие разработанные еще в середине прошлого века подходы нашли

широкое применение только в последние 10-15 лет после широкого внедрения

технологий заказных и полузаказных программируемых больших интегральных

схем и цифровых сигнальных процессоров. Рядовой потребитель, который

снимает на цифровую фото- или видеокамеру, разговаривает по мобильному

телефону, смотрит кабельное телевидение, проходит медицинское

обследование на УЗИ или томографе, как правило, не представляет себе,

насколько сложные алгоритмы лежат в основе этих приборов, и насколько

тонкий математический аппарат применен при разработке этих алгоритмов.

Преимущества устройств ЦОС, определяющие столь бурное внедрение

цифровых методов в различные промышленные и бытовые электронные

приборы и системы определяются, в основном, возможностью их реализации на

базе микроэлектронной, в частности микропроцессорной технологии. Это

обеспечивает миниатюрные размеры устройств ЦОС, пониженное

энергопотребление, высокую надежность, стабильность характеристик,

удобство автоматизированного проектирования, наладки и диагностики таких

устройств. Поэтому изучение основ теории и применения ЦОС специалистами

в области автоматики, вычислительной техники, промышленной и бытовой

электроники является весьма актуальным.

Монографии и учебники по цифровой обработке сигналов начали

издаваться на русском языке в 70-х годах прошлого века. Среди них в первую

очередь следует отметить переводные издания Ч. Рэйдера, Л.Рабинера,

Б.Гоулда, Э.Оппенгейма, Р. Шафера, В.Каппелини, [1-5], ставшие классикой

жанра. К сожалению, эти книги, с одной стороны малодоступны, с другой,

несколько утратили актуальность, особенно в вопросах аппаратной и

программной реализации. Аналогичными недостатками страдают и русско- и

украиноязычные издания 80-х, начала 90-х годов [6-9]. После некоторого

4

вызванного объективными причинами перерыва на рубеже тысячелетий

появилась новая волна книг по ЦОС, среди которых выделяются изданные в

Украине [10] и России [11] учебные пособия, а также издания, отражающие

отдельные стороны упомянутой области науки [12-14].

Однако, математические методы, алгоритмы и реализационные основы

устройств и систем ЦОС развиваются столь быстро, что отдельные быстро

развивающиеся в настоящее время области, не нашли отражения в упомянутых

книгах. Среди них – новые методы спектрального анализа и отображения

информации о спектре сигналов, вейвлет-преобразования, медианная

фильтрация, методы синтеза цифровых фильтров, ориентированные на ПЛИС-

реализацию и ряд других.

Предлагаемое читателю учебное пособие позволяет частично заполнить

упомянутые пробелы. Основой пособия является читаемый автором студентам

кафедры автоматики и управления в технических системах НТУ “ХПИ”

лекционный курс, дополненный, однако, некоторыми разделами и примерами,

не укладывающимися в односеместровый курс. При написании пособия автор

пытался максимально избегать громоздких математических выкладок, особенно

использующих аппарат математической статистики, заменяя их ссылками на

фундаментальные работы, но в то же время не допуская вульгаризации

изложения. Для упрощения восприятия теоретический материал везде, где это

возможно, проиллюстрирован подробно изложенными численными примерами.

Автор выражает благодарность коллективу НПФ “Диагностические

системы” за предоставленную возможность проверки применимости

излагаемых алгоритмов для решения задач обработки реальных

биомедицинских сигналов.

Замечания и предложения по содержанию книги автор просит присылать

по e-mail адресу ai@kpi.kharkov.ua.

5

1.СВЯЗЬ МЕЖДУ АНАЛОГОВЫМИ И ЦИФРОВЫМИ СИГНАЛАМИ

1.1 Классификация сигналов

Большинство сигналов, используемых в автоматике, связи, бытовой

технике описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией x(t),

причем и аргумент t и сам сигнал могут принимать любые значения в

некоторых интервалах tmin

≤ t ≤ tmax , xmin≤ x ≤ xmax. Такие сигналы называются

аналоговыми. К аналоговым сигналам относятся сигналы, снимаемые с

датчиков температуры, давления и т.д. в системах управления, звуковые

сигналы, поступающие с микрофонов, телевизионные

электрокардиографические и ряд других.

В то же время, все более широкое применение находят цифровые системы,

обрабатывающие последовательности двоичных кодов. Для ввода в такие

системы сигналы должны быть подвергнуты дискретизации по времени и

квантованию по уровню.

Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией

(последовательностью, временным рядом) x(iTд). Каждый элемент

последовательности может принимать любые значения в некотором интервале,

в то время как номер отсчета сигнала i принимает целые дискретные значения

i = 0, 1, .. . При этом промежуток времени Тд, через который берутся отсчеты

сигнала х, называется интервалом дискретизации. Величина fд=1/Tд - частота

дискретизации.

На практике при многих расчетах интервал времени Tд между

последовательными отсчетами не важен, а существенно лишь значение каждого

из отсчетов и порядок их следования. В этом случае отсчеты дискретного

сигнала обозначаются просто xi. Если необходимо подчеркнуть, что речь идет о

последовательности в целом, а не об отдельном отсчете, применяется

обозначение { xi }.

Дискретизованные отсчеты затем обычно подвергаются затем

квантованию по уровню и образуют цифровой сигнал xц(iTд), то есть

6

преобразуются в решетчатую функцию, принимающую дискретные значения

как по времени, так и по уровню. Дискретные значения, до которых

округляются значения сигнала, называются уровнями квантования.

Каждый из уровней квантования кодируется двоичным кодом, состоящим

из m двоичных разрядов. Число разрядов выбирается в соответствии с

соотношением m ≥ int(log2M), где M - число уровней квантования, int -

операция выделения целой части числа. При этом для кодирования значений

могут использоваться прямой, обратный или дополнительный коды, либо

какие-нибудь специализированные коды.

Пример 1.1 Рассмотрим преобразование сигнала вида

x(t)=А1sinωt+А2cos2ωt. (1.1)

Пусть А1=1, А2=0.5, ω=2π, то есть f = 1. Частоту дискретизации возьмем

равной fд =16, кодировать сигнал будем дополнительным кодом, причем два

разряда отведем на дробную часть, один на целую и один на знак.

Значения дискретных отсчетов сигнала x(iTд) получаются путем

подстановки величин iTд вместо t в (1.1), то есть

x(iTд) = А1sin(2πfiTд) + А2cos(4πfiTд) = А1sin(2πif/fд) + А2cos(4πif/fд) =

= А1sin(πi/8) + А2cos(πi/4). (1.2)

Цифровые отсчеты xц(iTд) получаются путем округления значений x(iTд)

до ближайшего значения, кратного 0.25, поскольку два разряда дробной части

позволяют выражать числа с дробными частями 0, 0.25, 0.5, 0.75. Отсчеты

xц(iTд) представляются, наконец, в двоичном коде. Значения отсчетов сведены

в табл.1.1. Непрерывный сигнал x(t) и значения дискретных отсчетов x(iTд),

xц(iTд) изображены на рис.1.1. Из рисунка видно, что дискретные значения

сигнала, обозначенные кружками, лежат на горизонтальных линиях,

соответствующих уровням квантования. Максимальная ошибка округления не

превышает половины шага квантования, то есть 0.125.

7

Таблица 1.1 – Результаты преобразования аналогового сигнала в цифровой

i iTд x(iTд) xц(iTд)

десятичный код Двоичный код

0 0 0.500 0.5 0010

1 0.0625 0.736 0.75 0011

2 0.125 0.707 0.75 0011

3 0.1875 0.570 0.5 0010

4 0.25 0.500 0.5 0010

5 0.3125 0.570 0.5 0010

6 0.375 0.707 0.75 0011

7 0.4375 0.736 0.75 0011

8 0.5 0.5 0.5 0010

9 0.5625 −0.029 0 0000 10 0.625 −0.707 −0.75 1101 11 0.6875 −1.277 −1.25 1011 12 0.75 −1.5 −1.5 1010 13 0.8125 −1.277 −1.25 1011 14 0.875 −0.707 −0.75 1101 15 0.9375 −0.029 0 0000 16 1.0 0.5 0.5 0010

x(t) * x(iTд) � xкв(iTд) Рисунок 1.1 - Получение цифровых отсчетов аналогового сигнала

1.2 Дискретизация сигналов по времени

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

t

x(t)

1 1

8

При дискретизации по времени на основе непрерывного сигнала x(t)

строится дискретный сигнал x(iTд). По отсчетам x(iTд) можно восстановить

исходный аналоговый сигнал с заданной точностью, то есть от дискретного

сигнала x(iTд) перейти к воспроизводящей функции x’(t). Воспроизводящая

функция x'(t) обычно строится как взвешенная сумма некоторого ряда базисных

функций ϕi(t).

д

0

'( ) ( ) ( )ii

x t x iT tϕ∞

==∑ . (1.3)

Точность восстановления ε(t)=x(t)-x'(t) зависит от интервала

дискретизации Тд и выбранного метода восстановления. При малых

величинах Тд количество отсчетов на заданном отрезке и, следовательно,

трудоемкость обработки увеличивается, но в то же время повышается

точность восстановления.

В качестве базисных наиболее часто используются полиномиальные

функции различных степеней. Как правило, увеличение степени полинома

влечет за собой повышение точности.

Для класса сигналов с ограниченным спектром восстановление сигнала

наиболее эффективно осуществляется на основе теоремы В.А.Котельникова.

Теорема Котельникова [15] гласит: если аналоговый сигнал x(t) имеет спектр,

ограниченный верхней граничной частотой fmax

, то сигнал может быть

однозначно восстановлен по последовательности дискретных отсчетов x(iTд),

взятых через интервалы времени Tд=1/2fmax Отметим, что в зарубежной

литературе частота fд=2fmax часто называется частотой Найквиста.

Восстановление сигнала производится в соответствии с выражением

дmaxд

д0 max

sin 2π ( )'( ) ( ) ,

2π ( )i

f t iTx t x iT

f t iT

∞

=

−=−∑

(1.4)

которое называется рядом Котельникова. Базисными функциями в данном

случае служат функции отсчетов

9

max д

max д

sin 2π ( ).

2π ( )i

f t iT

f t iTϕ −=

− (1.5)

В соответствии с (1.4) непрерывный сигнал восстанавливается, если на

вход идеального фильтра нижних частот с полосой пропускания 0...fmax подать

последовательность δ-функций δ(t-iTд), умноженных на значения x(iTд).

Однако, ни сигнал в виде δ-функции, ни идеальный фильтр нижних частот

физически не реализуемы. Поэтому на практике вместо δ-функций используют

короткие импульсы, а вместо идеального фильтра - реально реализуемый

фильтр нижних частот, что естественно приводит к погрешности

восстановления. Кроме того, все реальные сигналы конечны во времени и

имеют неограниченный по частоте спектр, что также приводит к погрешности

восстановления.

Тем не менее, теорема Котельникова имеет большое практическое

значение при выборе частоты дискретизации. Обычно ее определяют по

приближенной формуле

fд ≈ λ⋅2 fmax , (1.6)

где λ - коэффициент, зависящий от заданной точности и метода

восстановления и лежащий, как правило, в пределах 1.25...2.5, а иногда и

больше.

На практике помимо функций отсчетов в качестве базисных функций

часто используются полиномы нулевой и первой степени. При ступенчатой

интерполяции (полиномом нулевого порядка) (рис.1.2а) используется один

отсчет. Восстановленная функция определяется как x'(t) = x(iTд),

iTд ≤ t ≤ (i+1) Tд . При линейной интерполяции (полиномом первого порядка)

(рис.1.2б) используются два смежных отсчета.

дд д д д д

д

'( ) ( ) (( 1) ) ( ) , ( 1) .t iT

x t x iT x i T x iT iT t i TT

−= + + − ≤ ≤ +

Для указанных методов исследованиями установлена связь между

частотой дискретизации и погрешностью восстановления.

10

Так, для сигнала с прямоугольной спектральной плотностью мощностью,

ограниченной частотой fmax отношение fд/2fmax равно π/6ε при ступенчатой

интерполяции и 4 2600/ επ при линейной [15], где ε - относительная

среднеквадратичная погрешность . Так при ε = 0.05 частота дискретизации

должна превышать частоту Котельникова - Найквиста в 10.47 раз при

ступенчатой интерполяции и в 2.84 раза при линейной. При ε = 0.01

превышение должно составлять соответственно 52.36 и 6.35 раз.

Представляет интерес также вычисление спектра дискретного сигнала.

Если сигнал x(t) заменяется набором равноотстоящих дискретных отсчетов

iTд (i+1)Tд (i+m)Tд 0

t

x(t)

iTд (i+1)Tд (i+m)Tд 0

t

x(t)

а

б

Рисунок 1.2 - Восстановление сигналов методом ступенчатой (а) и

линейной (б) интерполяции

11

x(iTд), соотношения для прямого и обратного преобразования Фурье

приобретают вид

дωдд ( ω) ( ) ,

j iT

i

X j x iT e∞

−

=−∞= ∑ (1.7)

д

д

д

π /

ω

д д

π /

( ) ( ω) ω.2π

T

j iT

T

Tx iT X j e d

−

= ∫ (1.8)

Выполнив ряд операций, рассмотренных, например в [2], можно связать

спектры непрерывного xн(jω) и дискретного x

д(jω) сигналов.

д н

д д

1 2π( ω) (ω ).

k

X j X kT T

∞

=−∞= +∑ (1.9)

Из этой формулы видно, что спектр дискретной последовательности имеет

периодический характер и состоит из суммы бесконечного числа спектральных

компонент непрерывного сигнала. Если спектр непрерывного сигнала

ограничен по полосе частотой ω≤π/Tд, то в этом диапазоне спектр

дискретного сигнала с точностью до постоянного множителя совпадает со

спектром непрерывного сигнала (рис 1.3 а, б).

д н

д

1( ω) (ω).X j X

T=

Таким образом, после прохождения дискретизованного сигнала x(iTд) через

фильтр нижних частот, с частотой среза π/Tд (характеристика Нф(ω) на рис.1.4)

повторяющиеся реплики в спектре будут подавлены, а сигнал на выходе такого

фильтра будет с точностью до постоянного множителя совпадать с исходным

аналоговым сигналом x(t), что подтверждает справедливость выводов

Котельникова. Если же Xн(jω) не ограничен диапазоном ω≤π/Tд, то

соотношение между спектрами оказывается более сложным ввиду наложения

спектров (рис.1.4). В полосу пропускания фильтра Нф(ω) будет попадать часть

энергии от лепестков-реплик, и сигнал на выходе фильтра будет отличаться от

12

исходного аналогового сигнала . Наложения можно избежать, повышая частоту

дискретизации.

ω 0 ωmax

0 0

1 xн (ω)

x д (ω)

ω ωmax

π/Tд 2π/Tд 4π/Tд

π/Tд a

б

Xд(ω)

Xн(ω)

1/Tд

Рисунок 1.3 – Связь между спектрами непрерывного (а) и дискретного (б)

сигналов при правильном выборе частоты дискретизации

0 0

1/Tд

0

1

π/Tд 0

ω

π/Tд 2π/Tд 4π/Tд

Xн(ω)

Xд(ω)

ωmax

Hф(ω)

ω

a

б

Рисунок 1.4 – Эффекты наложения в спектре дискретного сигнала при

недостаточной частоте дискретизации

13

Из рис.1.3, 1.4 следует, что максимальная частота в спектре сигнала не

должна превышать половину частоты дискретизации, что соответствует

теореме Котельникова.

1.3 Квантование по уровню

Операция квантования по уровню (аналого-цифрового преобразования)

состоит в том, что непрерывное множество значений, которые может

принимать непрерывный сигнал x(t) заменяется множеством уровней

квантования ( )квk

x , k=1...m .

Такое преобразование выполняет нелинейное устройство с

характеристикой, изображенной на рис.1.5. Диапазон возможных значений

сообщения разбивается на m интервалов. При попадании отсчета сигнала в k-й

интервал ему присваивается значение ( )квk

x . Квантование по уровню может

выполняться как совместно с операцией дискретизации по времени, так и

отдельно.

Различают равномерное и неравномерное квантование. При равномерном

квантовании шаг ( 1 ) ( )( )

к в к в к в

k kkX X X+∆ = − берется постоянным. При

неравномерном квантовании шаг ( )кв

kX∆ является переменным и зависит от

номера уровня k .

X кв (t)

Xкв(6)

X(t)

Xкв(5)

Xкв(4)

Xкв(3)

Xкв(2)

Xкв(1)

Рисунок 1.5 – Характеристика обобщенногоквантователя

14

Кроме того, операция квантования может осуществляться с округлением к

ближайшему большему значению, ближайшему меньшему и к середине

интервала квантования. Характеристики равномерного квантователя для этих

трех случаев изображены на рис.1.6. а-в.

На выходе устройства цифровой обработки сигналов, как правило,

ставится цифро-аналоговый преобразователь, преобразующий

последовательность двоичных кодов в аналоговый сигнал. Операции аналого-

цифрового и цифро-аналогового преобразования не являются точно взаимно

обратными и приводят к погрешности, называемой шумом квантования. Для

случая равномерного квантования и характеристик квантователя рис.1.6 а, б

максимальное абсолютное значение погрешности квантования составляет ∆xкв

,

Xкв

X

в

∆X

2∆X

3∆X

-∆X

-∆X/2 -5∆X/2 -3∆X/2 ∆X/2 3∆X/2 5∆X/2

3∆X

2∆X

∆X

-∆X

-2∆X

∆X 2∆X

-∆X -2∆X

Xкв

X

а

3∆X

2∆X

∆X

-∆X

-2∆X

∆X 2∆X

-∆X -2∆X

Xкв

X

б

3∆X

Рисунок 1.6 - Характеристики равномерного квантователя с различными методами округления:

а-округление к ближайшему большему, б-округление к ближайшему меньшему, в-округление к

середине интервала

-2∆X

15

для характеристики рис.1.6 в максимальное значение погрешности

определяется величиной ∆xкв

/2. Отметим, что эта характеристика может быть

легко получена из первых двух путем добавления к исходному сигналу

постоянного смещения, равного соответственно −∆xкв

/2 (рис.1.6а) и +∆xкв

/2

(рис.1.6 б).

На рис.1.7 приведён пример квантования по уровню непрерывного

аналогового сигнала. Квантованный сигнал xкв(t) получается путём округления

x(t) до целых значений. Таким образом ∆кв=1. Шум квантования εкв(t)=xкв(t)–x(t)

распределён в пределах ±0.5, то есть ±∆кв/2.

Погрешность квантования εкв - величина случайная. Дисперсия

погрешности квантования зависит от вида квантования и распределения

значений входного сигнала. Для наиболее простого и часто встречающегося

случая равномерного квантования и равномерного распределения значений

входного сигнала дисперсия составит

Dкв

=(∆xкв

)2

/12. (1.10)

Заметим, что при большом числе уровней квантования Dкв

≈(∆xкв )

2

/12 при

любом законе распределения мгновенных значений сигнала.

Из (1.10) очевидно, что погрешность квантования можно уменьшить,

уменьшив шаг квантования ∆xкв или при заданном размахе значений сигнала,

увеличив число уровней квантования. Увеличение числа уровней влечет за

собой увеличение числа двоичных разрядов для кодирования значений

отсчетов и, в свою очередь, увеличение аппаратных и временных затрат на

аналого-цифровое преобразование, хранение, передачу и обработку

информации. Действительно, если сигнал распределён в диапазоне xmin...xmax, то

число уровней квантования составит max minуркв

x xN

x

−=∆

, а число двоичных

разрядов, необходимых для кодирования сигнала np=] log2Nур [, где ] a [ -

обозначение ближайшего целого, большего или равного а.

Для оценки отношения сигнал/шум воспользуемся соотношением

16

с с

ш квσ

P PS

D= = , (1.11)

где S – отношение сигнал/шум, Pc – мощность сигнала,

σш – среднее квадратическое отклонение шума, D ш – дисперсия шума.

−2

−1

0

1

2

x(t)

t

a

−2

−1

0

1

2

xкв(t)

t

б

−0.5

0

0.5

εкв(t)

t

в

Рисунок 1.7 - Квантование по уровню аналогового сигнала:

а - исходный сигнал; б - квантованный сигнал; в - шум квантования

17

Для гармонического сигнала 2

с2

AP = , где А – амплитуда сигнала:

А=(xmax−xmin)/2=(∆xкв⋅ pn

2 )/2=∆xкв⋅ p1

2n −

.

Тогда, используя (1.10),

p

p

nnкв

кв

2 2 3 32

22 2

xS

x

∆ ⋅ ⋅= = ⋅∆

. (1.12)

Если выразить этот результат в децибелах, получится простая формула

выражающая связь между числом двоичных разрядов и отношением

сигнал/шум

p

дб р p

3 320 lg(2 ) 20 lg2 10 lg 6 1.76 дБ

2 2

nS n n= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈ + . (1.13)

Для сигналов, отличных от гармонических, вид соотношения (1.13)

несколько изменится. Так, при 16-разрядном квантования вычисленное

значение для гармонического сигнала составит 98 дБ, а для звукового сигнала

106..110 дБ. Поэтому на практике применяют другие методы снижения шума

квантования.

Так, зачастую применяется неравномерное квантование сигналов,

несколько более сложное в реализации. Неравномерное квантование

эффективно в случае сигналов с распределением, отличным от равномерного,

например, речевых. Для таких сигналов малые значения гораздо более

вероятны, чем большие. Поэтому при равномерном квантовании вероятности

попадания сигнала в разные интервалы квантования различны. Погрешность

квантования в таком случае можно уменьшить, если шаг квантования брать

меньшим для более вероятных значений сигнала и большим для менее

вероятных. Характеристика такого неравномерного квантователя изображена

на рис 1.8 (показана только положительная ветвь).

Неравномерное квантование можно реализовать различными способами,

например, квантователем с соответствующей амплитудной характеристикой

(Рис.1.8) (непосредственное неравномерное квантование). При этом. границы

18

интервалов xk )( и уровни квантования x

k )(

ΚΒ

выбираются в зависимости от

распределения мгновенных значений

сигналов с целью получения минимальной

дисперсии погрешности Dкв

. Такой же

эффект можно получить путем сжатия

(компрессирования) динамического диа-

пазона сигнала, применения равномерного

квантования и последующего расширения

(экспандирования) после цифро-аналогового преобразования (рис. 1.9).

Характеристики компрессора и экспандера должны быть взаимно обратными.

Этот метод получил название квантования с компандированием сигнала.

Характеристику компрессора выбирают из условий обеспечения минимума

Dкв. Так, в системах цифровой обработки и передачи речевых и звуковых

сигналов используются два основных закона компандирования.

Логарифмическое компандирование или µ-закон компандирования описывается

выражением:

ком

ln(1 µ )sign( ) .

ln(1 µ)

xx x

+=

+ (1.14)

Чем больше значение µ, тем выше степень компрессии сигнала (рис.1.10). На

практике часто используется значение µ=255, при этом качество передачи речи

x(t)

xкв(t) Xкв

(4)

Xкв(3)

Xкв(2)

Xкв(1)

Xкв(0)

X

(1) X

(2) X

(3) X

(4)

Рисунок 1.8 – Характеристика

неравномерного квантователя

Компрессор x(t) Равномерный

квантователь X(t)

xком(t) Экспандер

xкв(t) xэ(t)

xвх

xком

xвх

xкв

xвх

xэ

Рисунок 1.9 – Структурная схема системы компандирования

19

с 7 двоичными разрядами

или 128 уровнями на

отсчет эквивалентно речи

равноквантованной с 11

разрядами (2048 уровнями)

на отсчет. Из рис. 1.10

следует, что при µ>1

малые значения сигнала

передаются на выход

компандера с большим

коэффициентом, чем большие, причём степень компрессии тем выше, чем

больше µ.

В системах цифровой телефонии с импульсно-кодовой модуляцией и

системах цифровой связи используется также А-закон, описываемый

выражением (1.15). На практике для речевых сигналов выбирается значение

А=87.6. При этом выигрыш от компандирования составляет 24.1дБ.:

ком

1 ln( ) 1sign( ) , при 1;

1 ln( )

1sign( ) , при 0

1 ln

A xx x

A Ax

A xx x

A A

+≤ ≤ +=

≤ ≤ +

. (1.15)

Выражения (1.14) и (1.15) сложно реализуются программно и аппаратно,

поэтому на практике используется кусочно-линейная аппроксимация кривых

рис.1.10 и аналогичных ей. В системах цифрового звукового вещания

применяется аппроксимация 11, 13 и 15 сегментами [16, 17].

Другим методом, часто используемым для повышения качества

квантованных звуковых и видеосигналов, является так называемая

динамическая интерполяция [17]. Этот метод основан на том факте, что шумы в

высокочастотной части спектра сигнала менее заметны для наблюдателя, чем в

низкочастотной. Сущность метода состоит в добавлении к преобразуемому

сигналу псевдослучайного возмущающего сигнала (рис.1.11)

1 0

1 µ=100 µ=10 µ=1

xвх

xком

Рисунок 1.10 - µ - закон компандирования

20

Значения псевдослучайного сигнала должны распределяться в диапазоне

±∆xкв

/2 и иметь спектр, расположенный преимущественно выше верхней

граничной частоты сигнала. Такой сигнал может успешно генерироваться при

помощи сдвиговых регистров с обратными связями [18]. После передачи или

обработки цифрового сигнала возмущающий сигнал может вычитаться или

подавляться фильтром низких частот.

Действие псевдослучайного сигнала иллюстрируется рис 1.12 и состоит в

том, что в момент перехода от одного уровня квантования к другому

+ x(t) xкв

АЦП ЦАП ФНЧ

- xвосст

Псевдослучайный сигнал

Рисунок 1.11 - Использование псевдослучайного сигнала для уменьшения погрешности

квантования

-1

0

1

б

-1

0

1

в

-1

0

1

г

-1

0

1

д

-1

0

1

е

-1

0

1

а

t t

t t

t t

x(t) xкв(t)

s(t)

x′кв(t) xвост(t)

x(t)+s(t)

Рисунок 1.12 - Квантование сигнала с использованием динамической интерполяции:

а - исходный сигнал; б - квантованный сигнал; в - шумовой псевдослучайный сигнал;

г - сумма исходного и псевдослучайного сигналов; д - результат квантования сигнала с

примесью шума; е - восстановленный после фильтрации сигнал

s(t)

21

происходят кратковременные флуктуации (рис.1.12в) После сглаживания

сигнала фильтром низких частот удается восстановить часть информации,

потерянной при грубом квантовании (сравните рис. 1.12 б и рис 1.12е).

С целью сокращения числа уровней квантования при сохранении

отношения сигнал/шум также применяется так называемая дифференциальная

импульсно-кодовая модуляция (ДИКМ). ДИКМ использует близость значений

соседних отчётов сигналов. Кодирование разностей между поступающими на

вход АЦП отсчётами и их предсказанными на основании предшествующих

отсчётов значениями требует намного меньше уровней, чем при кодировании

непосредственно отсчетов. Как правило, для предсказания значения

следующего отсчета используется линейная комбинация нескольких

предыдущих

( )п д кв д1

( ) ( )m

k

k

x iT x i k Tα=

= ⋅ − ⋅∑ . (1.16)

Структурная схема одного из вариантов АЦП/ЦАП с ДИКМ приведена на

рис 1.13.

Рисунок 1.13 - Структурная схема системы с ДИКМ

Наиболее распространённой разновидностью ДИКМ является дельта-

модуляция. В своём простейшем виде она представляет собой ДИКМ систему, в

которой осуществляется однопороговое квантование разности между отсчётом

и предсказанным значением, в качестве которого используется

предшествующий отсчет (рис 1.14).

АЦП

Предсказатель

+ +...

ПредсказательЦАП

ЦАПx(t) +

- x*(t)

x п(iTд)

x кв(iTд) x`(t)

22

Рисунок 1.14 - Структурная схема системы с дельта-модуляцией

Вместо квантователя здесь включен компаратор, который соответствует

одноразрядному АЦП, а в качестве предсказателя используется интегратор.

Достоинство такой системы – простота технической реализации, а недостатки

наглядно видны из рис.1.15.

+ ...x(t)+

- x*(t)

x кв (iTд ) x`(t)Фильтр

∫

∫

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 x(t), x*(t)

Гранулярный

шум

Перегрузка по

крутизне

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

30

20

10

−10

а

−20

−30

0

3

−1

1

t

xкв(iTд)

б

Рисунок 1.15 – Временные диаграммы системы с дельта-модуляцией:

а – исходный сигнал x(t) (--) и предсказанный сигнал x*(t) (); б – квантованный сигнал xкв(t)

t

0 3

0

23

На участках быстрого изменения сигнала предсказанный сигнал “не

успевает” за поступающим, поскольку не может измениться более чем на

значение, соответствующее одному порядку. Такие ошибки называют

перегрузкой по крутизне. Для снижения ошибок перегрузки по крутизне

необходима высокая частота дискретизации, значительно превышающая

частоту, вычисляемую из теоремы Котельникова, а также усложнение

простейшей схемы, например применение рассмотренной ниже сигма-дельта

модуляции.

С другой стороны, использование одного разряда для представления

ошибки приводит к специфическим особенностям кодирования и медленно

меняющихся сигналов. Аппроксимирующий сигнал как бы “скачет”

относительно кодируемого уровня. Возникающие в этом случае ошибки

называют гранулярным шумом.

В последнее время всё более широко применяются АЦП и ЦАП на основе

уже упоминавшейся сигма-дельта модуляции. Схема АЦП с сигма-дельта

модуляцией приведена на рис 1.16.

Рисунок 1.16 - Простейший сигма–дельта модулятор

Особенностью сигма-дельта модуляторов является наличие фильтра-

преобразователя шума, который перемещает часть спектра шума в

высокочастотную область, где шум может быть легко подавлен. При этом

обычно применяется промежуточное повышение частоты дискретизации, а

затем прореживание (децимация) полученного цифрового потока. Сигма-дельта

модуляция применяется в современных высокоточных АЦП, например в

+x(t) +

- x*(t)

x кв (iTд )+

Фильтр-преобра-

зователь шума

∫

24

системе “Bit Stream” фирмы Philips, в котором используется промежуточное

повышение частоты дискретизации в 256 раз, а также динамическая

интерполяция и микросхеме 16-разрядного АЦП MSP 430 фирмы Texas

Instruments.

В заключение раздела отметим характерные значения частот

дискретизации и количество двоичных разрядов для некоторых широко

встречающихся в инженерной практике сигналов.

Таблица 1.2 – Частоты дискретизации и количество требуемых двоичных разрядов для некоторых сигналов

Вид сигнала Частота

дискретизации (кГц)

Число двоичных

разрядов

Речь 8 8

Сигналы цифровой

звукозаписи 44.1-48 16-24

Телевизионные сигналы 13500-17734 8

Кардиограмма 0.2-0.5 8-12

Фонокардиограмма 4-6 8-12

Из табл. 1 следует, что звуковые сигналы требуют значительно меньших

частот дискретизации, но в то же время, в связи с особенностями органов слуха

человека для их кодирования необходимо существенно больше разрядов и

уровней квантования.

Проведенный в разделе 1 анализ показывает, что операции

дискретизации, и квантования неизбежно вызывают неустранимые

погрешности при восстановлении сигнала. Вместе с тем, правильным выбором

частоты дискретизации и числа уровней квантования, как правило, можно

снизить погрешности до приемлемой величины.

Контрольные вопросы и задания к разделу 1

1. Чем отличаются друг от друга аналоговый, дискретный и цифровой

сигналы?

25

2. Какие двоичные коды используются для кодирования значений

дискретных отсчетов сигнала?

3. Определить значения дискретных отчетов сигнала

π 2π2sin(2π 1кГц t ) 3sin(2π 1.5кГц t )

3 3⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + , если частота дискретизации

fд=4кГц. Преобразовать полученные значения в дополнительный двоичный код.

4. Сформулируйте теорему Котельникова.

5. Выбрать частоту дискретизации сигнала, имеющего в спектре

гармоники 3.5, 15 и 7 кГц.

6. Какие факторы ограничивают применение теоремы Котельникова?

7. Как можно восстановить аналоговый сигнал по дискретным

отсчетам в теории ина практике?

8. Максимальная частота, содержащаяся в спектре сигнала 12 кГц,

допустимая ошибка восстановления ε=0.1, метод восстановления – линейная

интерполяция. Определить требуемую частоту дискретизации.

9. В чем состоит сходство и различие спектров аналогового и

дискретного сигналов?

10. Всегда ли можно по известному спектру аналогового сигнала найти

спектр дискретного?

11. Всегда ли можно по известному спектру дискретного сигнала найти

спектр аналогового?

12. Какие вам известны методы округления значений сигнала при

квантовании по уровню?

13. Сколько необходимо уровней квантования и двоичных разрядов

для кодирования сигнала имеющегося в диапазоне ±10В с шагом квантования

0.01В?

14. Шаг квантования равен 0.5В. Чему равны дисперсия и среднее

квадратическое отклонение шума квантования?

15. Во сколько раз и на сколько децибел меняется отношение

сигнал/шум при увеличении разрядности АЦП на 1бит?

26

16. Из каких составных частей состоит компандер?

17. Как связаны между собой характеристики компрессора и

экспандера?

18. Какие требования предъявляются к шумовому сигналу при

динамической интерполяции?

19. В чём принцип дельта-модуляции?

20. На каких участках сигнала, подвергаемого дельта-модуляции,

возникают гранулярный шум и перегрузка по крутизне?

21. В чём преимущества сигма-дельта модуляции по сравнению с

другими видами ДИКМ?

22. В каких случаях целесообразно применять неравномерное

квантование?

23. Как соотносятся последовательные интервалы квантования при

неравномерном квантовании?

27

2.ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ И ИХ СВОЙСТВА

2.1.Дискретные последовательности

Как было показано в разделе 1, аналоговые сигналы, снимаемые с

датчиков, могут быть с помощью АЦП преобразованы в последовательность

дискретных отсчетов. Поэтому в дальнейшем в качестве носителей

информации в цифровых системах ЦОС будем рассматривать дискретные

последовательности, то есть последовательности вещественных или целых

чисел. Обозначать дискретную последовательность будем следующим образом:

{xi} , 1,0 −= Ni (последовательность отсчетов сигнала х, причем индексы

элементов принимают значения от 0 до N−1).

Последовательности могут задаваться не только дискретизацией

аналогового сигнала, но и при помощи математических соотношений.

Например, числа 0,1,2, ... i ... N-1 образуют пилообразную последовательность.

Последовательность может быть задана в виде рекуррентного соотношения.

Например, равенство hi=2hi-1 (h0=1) задает последовательность hi=2i.

Наиболее важными при анализе и синтезе систем ЦОС оказываются

следующие последовательности:

а) единичный импульс (дискретная δ -функция)

≠=

=0,0

0,1

i

iu

i , (2.1)

б) единичный скачок

=≥

=00

01

i,

i,u

i ,

в) дискретная комплексная экспонента

iji eu

ω= , (2.2)

где 1−=j - мнимая единица.

Поскольку эта последовательность является комплексной, для нее

можно рассмотреть отдельно вещественную и мнимую части

28

Re (ui) = cos (ωi), (2.3а)

Im (ui) = sin (ωi). (2.3б)

2.2 Дискретные линейные системы

Дискретная система осуществляет преобразование входной дискретной

последовательности {xi} в выходную {yi} согласно некоторому алгоритму, вид

которого определяет свойства системы.

yi=Ф(xi). (2.4)

Линейная система определяется следующим образом. Если хi' и хi" -

некоторые входные последовательности, а yi' и yi" - соответствующие им

выходные, то при подаче на вход последовательности aхi'+bхi" на выходе

образуется последовательность аyi' + byi".

Система с постоянными параметрами характерна тем, что если входной

последовательности хi соответствует выходная yi , то задержанной на k тактов

последовательности хi , то есть последовательности хi-k соответствует на выходе

последовательность yi-k. Характеристики систем с постоянными параметрами

не зависят от времени.

Для анализа дискретных линейных систем принято рассматривать их

реакцию на тестовые последовательности (2.1) и (2.2) . Так, реакция системы на

единичный импульс, то есть последовательность hi на выходе системы (рис.2.1)

называется импульсной характеристикой системы .

Рисунок 2.1 – Определение импульсной характеристики

Дискретная

линейная

система

ui hi

…

29

В зависимости от вида импульсной характеристики могут быть выделены

следующие разновидности дискретных линейных систем.

Систему называют физически реализуемой, если k-й отсчет выходной

последовательности уk зависит только от отсчетов входной последовательности

хi с номерами i≤k, то есть импульсная характеристика равна нулю при i

30

Далее, учитывая принцип суперпозиции, и задержку в один такт после

каждого отсчета входной последовательности получим следующее

соотношение:

h0x0 h1x0 h2x0 h3x0

h0x1 h1x1 h2x1 h3x1

h0x1 h1x2 h2x2 h3x2

y0 y1 y2 y3 y4 y5,

то есть y0 = h0x0,

y1 = h1x0 + h0x1,

y2=h2x0+h1x1+h0x2, (2.6)

y3 = h3x0 + h2x1 + h1x2,

y4 = h3x1 + h2x2,

y5 = h3x2.

Распространяя выражения (2.6) на произвольное число отсчетов входной

последовательности N1 и импульсной характеристики N2, получаем:

∑=

− −+==k

iikik NN...k,xhy

021 20 (2.7)

или

∑=

− −+==k

iikik .NN...k,hxy

021 20 (2.8)

При этом предполагается, что xi=0 при 0

31

Во многих случаях приходится иметь дело с периодическими

последовательностями. Таковы последовательности, получаемые

дискретизацией сигналов, снимаемых с вращающихся агрегатов,

биомедицинских сигналов (электрокардиограмма, спирограмма и т.д.). В

случаях, когда последовательность непериодична по своей природе, она, как

правило, наблюдается на конечном интервале длительностью N отсчетов и

может быть периодически продолжена за пределами этого интервала. Легко

показать, что, когда последовательности hl и xi периодичны с периодом N

каждая, выходная последовательность также имеет период N и определяется

уравнением круговой (периодической, циклической) свертки:

∑−

=−=

1

0mod

N

i)N(ikik xhy (2.10)

или

∑−

=−=

1

0mod

N

i)N(ikik hxy (2.11)

В силу периодичности последовательностей предполагается, что x–1=xN-1,

x–2=xN-2, x–3=xN-3 и т.д. Аналогичные соотношения справедливы и для

последовательности hi . Уравнения (2.10), (2.11) распространимы и на конечные

последовательности hi и xl , если рассматривать их как один период

соответствующих им периодических последовательностей. Если

последовательности hi и xl имеют разное число отсчетов, то более длинную

последовательность усекают до длины меньшей или (более часто) короткую

дополняют нулями до большей длины.

Отметим связь между линейной и круговой сверткой. Пусть

последовательность xi имеет длину N1, последовательность hl - длину N2.

Дополним последовательности xi и hl нулями до длины N1+N2-1. Получим

последовательности xi' и hl' , обе длиной N1+N2-1. Тогда линейная свертка

последовательностей hl и xi будет равна (N1+N2-1) - точечной круговой свертке

последовательностей xi' и hl'.

32

∑−+

=− −+=

′⋅′=1

021

21

21 0NN

iikik NN...,k,hxy (2.12)

Таким образом, линейная свертка может быть вычислена через круговую.

С первого взгляда этот результат не представляется практически важным,

однако, в дальнейшем будут получены эффективные алгоритмы циклической

свертки, требующие уменьшенного числа арифметических операций.

Используя эти алгоритмы, можно разрабатывать аппаратуру или программы

для микроЭВМ, выдающие на выходе последовательность - результат свертки

входной последовательности и импульсной характеристики и, таким образом,

реализующие дискретные линейные системы с заданными свойствами.

Пример 2.1. Пусть длина последовательности xi, N1=5, а сама

последовательность имеет вид {1, 3, -2, 2, -1}. Соответственно для импульсной

характеристики N2=4, hl ={2, -1, 1, 3}.Линейную свертку согласно (2.8)

вычисляют как:

−=⋅−===⋅−+⋅=+=

−=−⋅−+⋅+⋅−=++==⋅−+−⋅+⋅−+⋅=+++=

=⋅+−⋅−+⋅+⋅=+++=−=⋅−+−⋅+⋅=++=

=⋅+−⋅=+==⋅==

.hxy

;hxhxy

;hxhxhxy

;hxhxhxhxy

;hxhxhxhxy

;hxhxhxy

;hxhxy

;hxy

33)1(

51)1(32

3)1()1(123)2(

32)1()1(21)2(33

1222)1()2(1331

62)2()1(311

523)1(1

221

347

24336

1423325

041322314

031221303

0211202

01101

000

Отметим, что сумма индексов i+l в каждом из слагаемых xihl равна

номеру k отсчета выходной последовательности yk .

Циклическую свертку этих же последовательностей можно вычислить,

если с целью уравнения количества отсчетов в последовательностях дополнить

последовательность hl одним нулем. Тогда hl={2, -1, 1, 3, 0}, xi={1, 3, -2, 2, -1}.

Общий период последовательностей N=5. Результаты вычисления циклической

свертки согласно (2.11) можно представить в виде:

33

=⋅−+−⋅+⋅−+⋅+⋅=++++==⋅−+⋅+−⋅−+⋅+⋅=++++=

−=⋅−+⋅+⋅−+−⋅+⋅=++++==⋅−+⋅+⋅−+⋅+−⋅=++++=

−=−⋅−+⋅+⋅−+⋅+⋅=+++ +=

.hxhxhxhxhxy

hxhxhxhxhxy

hxhxhxhxhxy

hxhxhxhxhxy

hhxhxhxhxy x

32)1()1(21)2(3301

;120)1(22)1()2(1331

;93)1(022)2()1(311

;101)1(320)2(23)1(1

;1)1()1( 123)2(0312

04132231404

44031221303

34430211202

24334201101

14233241000

При вычислении циклической свертки сумма индексов i+l также равна k,

однако элементы с отрицательными индексами не исключаются из

рассмотрения, как в случае линейной, а заменяются соответствующими

элементами из предыдущего периода, так x–1 = x4, x–2 = x3, x–3 = x2 и т.д.

И, наконец, отметим, что линейную свертку можно получить также как

циклическую свертку последовательностей xi и hl дополненных нулями до

длины N=N1+N2-1 =8.

xi'= {1, 3, -2, 2, -1, 0, 0, 0}, hl'= {2, -1, 1, 3, 0, 0, 0, 0}.

Например, попытаемся вычислить y4'

y4'=x0'h4' + x1'h3'+ x2'h2'+ x3'h1'+ x4'h0'+ x5'h7'+ x6'h6'+ x7'h5'=

=1·0+3·3+(-2)·1+2·(-1)+(-1)·2+0·0+0·0+0·0=3

Вычисленное значение y4 совпадает с результатом вычисления линейной

свёртки исходных последовательностей.

2.4.Частотные характеристики дискретных систем

В предыдущих разделах было показано, что дискретная линейная система

может быть описана при помощи импульсной характеристики. Однако во

многих случаях более эффективным для анализа и синтеза системы

оказывается рассмотрение ее реакции на функцию вида (2.2)

xi = e jωi = cos (ωi) + j sin (ωi) , (2.13)

где ω- круговая частота, j - мнимая единица.

Покажем, чем обусловлен интерес к этому классу последовательностей.

Если последовательность (2.13) поступает на вход линейной дискретной

системы с импульсной характеристикой hi , то в соответствии с (2.9)

.eHxeheehyi i

jk

iji

kj)ik(jik ∑ ∑

∞

=

∞

=

ωω−ω−ω ===0 0

)( (2.14)

34

Таким образом, выходная последовательность yk равна входной xi,

умноженной на постоянный для данного значения ω комплексный множитель

H(ejω

) или H(jω). Говорят, что последовательности ejωi составляют класс

собственных функций для дискретных линейных систем.

Поскольку последовательность ejωi

соответствует дискретизованной

гармонике частоты ω, то комплексный множитель H(jω) называется

частотной характеристикой (ЧХ) системы и выражается через импульсную

характеристику следующим образом:

.ehjHi

iji∑

∞

=

ω−=ω0

)( (2.15)

Если система обладает конечной импульсной характеристикой длины N,

то (2.15) записывается в виде

∑−

=

ω−=ω1

0

)(N

i

iji .ehjH (2.16)

Поскольку отсчеты функции (2.13) - комплексные числа то и функция

H(ejω

) будет комплексной

H(jω)= HR(jω) + jHI (jω) (2.17)

или через амплитуду и фазу

H(jω)= H(jω) ejϕ(ω) (2.18)

где H(jω)=H(ω)= )(H)(H IR ω+ω22

- (2.19)

амплитудно - частотная характеристика (АЧХ),

ϕ(ω)= arctg )(H

)(H

R

I

ωω

- (2.20)

фазочастотная характеристика (ФЧХ ).

Отметим некоторые свойства частотных характеристик. Поскольку

комплексная экспонента периодична с периодом 2π, то и частотная

характеристика является периодической функцией, и для полного описания

достаточно задать ее на интервале 0≤ω

35

действительных значений hi действительная часть ЧХ HR(ω) симметрична, а

мнимая HI(ω) антисимметрична на интервале 0≤ω

36

получить, вычислив сначала преобразование Фурье от входной

последовательности, умножив его на частотную характеристику системы и взяв

обратное преобразование Фурье.

Отметим, что в выражениях (2.13)-(2.24) мы рассматривали

безразмерную круговую частоту ω. На практике же часто возникает

необходимость выразить частотные характеристики в единицах частоты,

связанных с интервалом дискретизации Тд или частотой дискретизации f

д.

Последовательность hi может быть в этом случае представлена в виде h(iTд), а

(2.15) преобразуется к виду:

,)()ω(0

ω

ддpдp∑

∞

=

−=i

TijeTihTjH (2.25)

где ωр - реальная круговая частота, выражаемая в радианах в секунду.

ωр=T д

ω = ω f д , ω =

f д

рω (2.26)

Аналогично можно получить выражение для реальной частоты,

выраженной в герцах

f p = f⋅ f д , f = ff

д

р. (2.27)

Если, например, частота дискретизации f д=1кГц, а безразмерная частота

ω= π⁄3, то эта точка соответствует реальной круговой частоте 1000π⁄3 рад/с, то

есть частоте 500⁄3=166.7 Гц. Таким образом, в дальнейшем все частотные

характеристики будем строить в интервале 0≤ω≤π или 0≤ƒ≤0.5 и иметь в виду,

что ω и f - безразмерные частоты, получаемые путем деления соответствующих

реальных частот на частоту квантования. Заметим, кстати, что частота f=0.5,

соответствующая реальной частоте fр=0.5fд, определяет гармонику

максимально высокой частоты, которая по теореме Котельникова может

присутствовать в исходном сигнале, а рассмотрение интервала f > 0.5 не имеет

смысла. Рассмотрим ряд примеров построения частотных характеристик

дискретных систем.

37

Пример 2.2. Построим частотные характеристики системы из примера

2.1. N=4, hi={2, −1, 1, 3}.

Тогда согласно (2.16)

==ω ∑=

ω−3

0

)(i

ijiehjH h0e

-jω0+h1e

-jω1+h2e

-jω2+h3e

-jω3=h

0cos(ω⋅0)+h1cos(ω⋅1)+

+h2cos(ω⋅2)+ + h3cos(ω⋅3) + j⋅(h0sin(ω⋅0)+h1sin(ω⋅)+h2sin(ω⋅2) +h3sin(ω⋅3)).

Например, при ω=π/2

H(jω)=h0cos (0)+h1cos(π/2)+h2cos(π)+h3cos(3π/2)−j[h0sin(0)+h1sin(π/2)+

+h2sin(π)+h3sin(3π/2)]=(h0-h2)-j(h1-h3)=1+4j.

HR(ω)=1; HI(ω)=4; H(ω)= 17 =4.123; ϕ(ω)=arctg(4)=75.96 град.

Значения частотных характеристик на интервале от 0 до π с шагом π/8 сведены

в табл.2.1.

Таблица 2.1 – Отсчеты значений частотных характеристик КИХ-системы

ω 0 π/8 π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8 π

f 0 0.0625 0.125 0.1875 0.25 0.3125 0.375 0.4375 0.5

HR(ω) 5 2.931 −0.828 −1.861 1 4.447 4.828 2.483 1

HI(ω) 0 −3.096 −2.414 1.365 4 2.779 −0.414 −1.682 0

H(ω) 5 4.264 2.552 2.308 4.123 5.224 4.846 2.999 1

ϕ(ω) 0 −46.57 71.06 −36.25 75.96 32.00 −4.90 −34.11 0

Графики действительной, мнимой частей и модуля H(jω) изображены на

рис. 2.2. На данном примере можно проверить свойства периодичности и

симметрии частотных характеристик.

Так H(j5π/4)= H)

(j3π/4)=4.828+j0.414, (^ - знак комплексной

сопряженности); H(j9π/4)= H) (j π/4)=−0.828−j 2.414.

Пример2.3. Рассмотрим построение АЧХ БИХ-системы

Пусть hi=ai (0

38

Рисунок 2.2 - Частотные характеристики КИХ – системы:

- - - HR(ω) – вещественная ЧХ, ······HI(ω) – мнимая ЧХ, H(ω) – АЧХ.

Выражение (2.30) определяет сумму бесконечно убывающей

геометрической прогрессии.

.aa

jaa

aa

jaa

jaaae)j(H

j )( cos21

)(sin )cos(1

))sin(()cos(1(

)sin()cos(1

)sin()( cos1

1

1

1222 ω−+

ω−ω−=ω+ω−ω−ω−=

ω+ω−=

−=ω ω−

,ωa

ωaH R

)cos(21

)cos(1)(

2 −+−=ω ,

ωaa

ωaH I

)cos(21

)sin()(

2 −+−=ω

.)cos(21

1)(

2 ωaaH

−+=ω

Графики характеристик для случая a=0.5 изображены на Рис 2.3.

Рисунок 2.3 – Частотные характеристики БИХ-системы

- - - HR(ω) – вещественная ЧХ, ······HI(ω) – мнимая ЧХ, H(ω) – АЧХ.

0 0.25 0.5

0

1

2

f

H(f)

0 0.25 0.5

−2

0

2

4

6

π/2 π

f, ω

H(f, ω)

39

Пример 2.4 Проверим для частного случая справедливость выражения

(2.24). Пусть N1=2, xi={x0, x1}; N2=3, hl={h0, h1, h2}. Значения ЧХ для xi и hl

соответственно

X(jω) =x0+ x1e −jω

, H(jω) =h0+h1e−jω + h2e−2jω

.

Вычислим произведение частотных характеристик

Y(jω)=X(jω)⋅H(jω)=h0x0+(h0x1+h1x0)e−jω+(h1x1+h2x0)e−2jω+h2x1e−3jω. (2.29)

Определим значения отсчетов выходной последовательности yk. Согласно

(2.21)

ωω ωπ

πdejYy kjk ∫

−= )(

π2

1 (2.30)

Подставим (2.31) в (2.32) и возьмем интеграл для всех значений к от нуля

до трех. При этом заметим:

=ππ−ω−π

π−ω=ω+=ω ∫∫π

π−

π

π−

ω || kk

kk

dkjkde kj cos1

sin1

ω)sinω(cos

.)0 (0)coscos00(1

)]cos(cos)sin([sin1 ≠=+−−=−+−−−= kkk

kkπkkk

kπππππ

Учитывая это соотношение, определим, например, y1.

∫−=ππ

ω ωω djYy j)e(π2

11 (2.31)

Подставляя (2.29) в (2.31), получаем:

[ ] =ω+++++π

= ∫π

π−

ω−ω−ω dexhexhxhxhxhexhy jjj 21202110110001 )()(2

1

.xhxhxhxh | 01100110 )(2

1 +=ω+π

= ππ−

Аналогично y0=h0x0; y2=h1x1+h2x0; y3=h2x1. Легко видеть, что полученные

значения yk совпадают с результатами вычисления линейной свертки xi и hj.

2.5 Дискретное преобразование Фурье.