Відділ освіти Уманського міськвиконкому міський методичний кабінет

Розв’язування рівнянь вищих степенів

м. Умань2009 р.

Яковлева Л.В.Розв’язування рівнянь вищих степенів. Методичний посібник. м. Умань –

2009 р.

Посібник містить понад 50 розв’язаних рівнянь вищих степенів із поступовим їх ускладненням. До кожного типу рівнянь пропонується декілька прикладів з метою кращого розуміння застосування теорії на практиці.

У посібнику подано загальні методи знаходження раціональних коренів і деякі окремі методи визначення дійсних і комплексних коренів раціональних рівнянь. Робота буде корисною для учнів, які цікавляться математикою, навчаються у класах з поглибленим вивченням предмету і готуються до складання іспиту у вищий навчальний заклад.

ЗМІСТ

Вступ

1. Основні теоретичні відомості про рівняння

1. Ціле раціональне рівняння.Теорема Безу, схема Горнера

2.1. Симетричні рівняння

2.2. Зворотні рівняння

2.3. Двочленні рівняння

2.4. Тричленні рівняння

3. Дробово-раціональні рівняння

4. Штучні методи розв'язування рівнянь вищих степенів

5. Рівняння з параметрами

Література

ВСТУП

Історія розвитку розв'язування рівнянь вищих степенів.

Математики постійно стикалися із задачами, що приводили їх до

розв'язування рівнянь 3, 4, 5-го степенів. Найчастіше 3-го.

Протягом багатьох сотень років учені безуспішно шукали рішення рівнянь

3-го степеня.

Розв'язування одного виду кубічного рівняння було відкрито талановитим

узбецьким ученим з м.Самарканд Джемшидом аль-Паші (помер близько 1456

року). Геометричний метод розв'язування одного виду чисельного кубічного

рівняння був відомий ще Архімеду. Алгебраїчний же метод рішення кубічного

рівняння протягом багатьох століть залишався невідомим. Перший крок у

цьому напрямі зробив на початку XVI століття італійський учений Сціліон дель

Феро. Він знайшов розв'язок рівняння х3+ах=b при a>0 і b>0. Своє розв’язання

він повідомив і спадкоємцю по кафедрі Фіорі. Той скористався цим секретом і

викликав на математичний двобій талановитого вченого Нікколо Тарталью

(1500-1557), розраховуючи „вбити" своїм умінням розв'язувати кубічні

рівняння. Тарталья довідався, що Фіоре знає таємницю розв'язання кубічного

рівняння, і за тиждень до двобою самостійно знайшов розв'язок рівняння більш

загального вигляду x3+px=q, для будь-яких р і q.

12 лютого 1535 року, у день двобою, Тарталья розв'язав усі 30 задач Фіоре і

переміг його.

Ось рівняння Тартальї, записані в нашій символіці:

Рівняння виду

х3 + рх + q = 0 має

Усяке рівняння 3-го степеня може бути зведене за допомогою спеціальної

підстановки до вигляду x3+px=q.

Свій спосіб Тарталья повідомив по секрету ученому Кордано, який

опублікував, його у своїй книзі. З тих пір формула зветься „формулою

Кардано”.

Учень Кардано, Феррарі (XVI століття) знайшов формулу коренів рівняння

4-го степеня. Таким чином до кінця XVI століття вміли виражати корені рівнянь

1, 2, 3, 4-го степенів через їхні коефіцієнти за допомогою шести дій (додавання,

віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і здобування кореня) при

цьому кількість дій, необхідних для знаходження коренів, була нескінченною.

Протягом XVII-XVIII століття багато математиків безуспішно намагалися

знайти подібну формулу для розв'язання рівнянь 5, 6-го степеня і більш

високих.

На початку XIX століття норвезький математик Нільс Абель (1802-1829)

довів, що рівняння п'ятого степеня і вищого в загальному вигляді нерозв'язні в

радикалах (тобто не можна виразити їхні корені за допомогою шести дій).

З чисто практичної точки зору не завжди обов'язкове знання точних коренів

рівнянь вищих степенів. У науці розроблено численні методи наближеного

розв'язання рівнянь. Один із кращих способів належить великому російському

математику Н.І.Лобачевському.

1. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ПРО РІВНЯННЯ

Розв'язування багатьох задач теоретичного і практичного характеру

зводиться до розв'язування різних рівнянь та систем рівнянь. Тому

розв'язуванню рівнянь та їх систем в алгебрі надається особливо велика увага.

Основні теоретичні відомості про рівняння:

Рівняння - це рівність, яка містить невідоме.1. Областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння називається множина

значень змінної, при якій мають зміст його ліва і права частини.

2. Число а з ОДЗ рівняння називається розв'язком (коренем) рівняння,

якщо при підстановці його замість змінної рівняння перетворюється у

правильну числову рівність.

3. Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що

вони не існують.

4. Якщо всі корені одного рівняння є коренями другого рівняння, то друге

рівняння є наслідком першого.

5. Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті

самі корені.

6. Два рівняння рівносильні на деякій множині значень змінної, якщо

вони мають одні й ті самі розв'язки, які належать цій множині.

Таблиця № 1Основні теоретичні відомості про рівняння

РІВНЯННЯ

ОД

З

Кор

інь

Що

озна

чає

розв

’яза

ти

рівн

яння

Рівн

яння

ВН

аслі

док

А

Рівн

осил

ьні

рівн

яння

2. ЦІЛЕ РАЦІОНАЛЬНЕ РІВНЯННЯ.

Рівняння , де n - натуральне число, а {Р1,

Р2, … , Рn} – довільні сталі коефіцієнти, називається зведений цілим

раціональним рівнянням.

Теорема 1. Якщо зведене ціле раціональне рівняння з цілими

коефіцієнтами має раціональний корінь, то цей корінь є ціле число.

Доведення. Нехай зведене ціле раціональне рівняння з цілими

коефіцієнтам має дробовий раціональний корінь , де а і b – взаємно прості

цілі числа і b . Тоді

або

Помноживши обидві частини останньої рівності на bn-1, одержимо

Одержали суперечність, так як ліва частина рівності - нескоротний дріб, а

права - ціле число, так як а і b - взаємно прості цілі числа, b і {Р1 , Р2, ..., Рn} –

за умовою цілі числа. Ця суперечність доводить теорему.

Теорема 2. Якщо ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами має

цілі корені, то вони є дільниками вільного члена.

Доведення. Нехай ціле раціональне рівняння з цілими коефіцієнтами

мають цілий корінь х = хо

Тоді виконується тотожність

Із цього співвідношення видно, що вільний член аn подається у вигляді

добутку двох цілих чисел х0 і (-а0х0 n-1 - ... - аn-1).

Тому х0 є дільником вільного члена аn.

Існує, багато різних типів раціональних рівнянь (Таблиця 2) і тому також

існує багато методів розв'язування цілих раціональних рівнянь (Таблиця 3).

Таблиця 2

Таблиця 3

Для розв'язування цілих раціональних алгебраїчних рівнянь застосовують

теорему Безу і схему Горнера.

Раціональні рівняння

Цілі раціональні рівняння Дробово-раціональні рівняння

Дво

член

ні

Трич

ленн

і

Сим

етри

чні

Одн

орід

ні

Звор

отні

Біквадратні

Методи розв’язування цілих раціональних рівнянь

Метод невизначених коефіцієнтів

Метод заміни змінної

Метод розкладання на

множники

Штучні методиСхема ГорнераТеорема Безу

Схема Горнера

Нехай потрібно поділити многочлен степеня n на двочлен (х-а). В частці

одержимо многочлен степеня n-1, а в остачі не буде міститися х. Можна

записати

або

На основі тотожності многочленів маємо:

Знайдемо коефіцієнти частки і остачі:

При використанні схеми Горнера зручно користуватися таблицею

а0 а1 а2 а3 … аn-1 аn

b0=а0

b1 =

=а1+b0a

b2 =

=а2+b1a

b3 =

=а3+b2а…

bn-1 =

=an-1+bn-2a

bn =

=an+bn-1a

Теорема Безу

Якщо многочлен

Рn(х) = аnхn + аn-1хn-1 + ... + а1х + а0

поділити на двочлен х-а, то в остачі одержимо число R=Pn(a)

Наслідок. При діленні Рn(х) на ах+b одержується остача, яка дорівнює

значенню цього многочлена при , тобто R=Pn ( )

Приклад 1. Розв’язати рівняння

x3-6x+11x-6

Якщо P(x) поділити на x-2, то понизимо степінь на одиницю

Відповідь.

,

4

Приклад 1.

є ціле число. Якщо ми вибрали , то числа повинні

Нехай

,

,

2

в якому .

Поділимо обидві частини рівняння на

2у2+3у-20 =0,

4

,

,

,

D=9+160=169, ,

,

1) ,

2) .

Відповідь:

Приклад 2. Розв'язати рівняння

4x5+x4-5x3-5x2+x+4=0

Розв'язання.

Групуємо симетричні члени

4(х5+1)+х(х3+1)-5х2(х+1)=0,

4(х+1)(х4-х3+х2-х+1)+(х+1)(х3-х2+х)-5x2(x+1)=0,

(х+1)(4х4-3х3-2х2-3х+4)=0, х1=-1,

4х4-3х3-2х2-3х+4=0

,

,

,

,

,

,

Зворотним рівнянням називається

якщо степінь рівняння непарний і рівняння виду

,

якщо степінь рівняння парний ( - деяке число).

Впізнати зворотне рівняння можна по особливості: відношення його

першого коефіцієнта до вільного члена і квадрат відношення другого

коефіцієнта до передостаннього рівні між собою.

Приклад 1. Розв'язати рівняння

х4- 7х3 + 6х2 + 21х+9 = 0

Розв’язання.

Так як , то дане рівняння зворотне.

4

Приклад 2. Розв’язування рівнянь в полі дійсних чисел

Маємо зворотне рівняння 8-го степеня. Поділимо обидві частини на

6

-

9

,

.

Відповідь: 1; 2.

,

,

,

,

,

,

.

,

,

Де n - натуральне число і Поділивши обидві частини рівняння (1) на , одержимо , нехай

, то (2) - рівняння рівносильне (1).

Випадок 1 і 2

6)

де натуральне число, називається тричленним.Заміна приводить до квадратного рівняння

Знайшовши його корені і маємо

звідси визначаємо корені вихідного рівняння.

,

,

,

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Приклад 3.

За теоремою Вієта маємо:

Тому ,

,

раціональна функція.

,

,

,

,

,

,

,

Перенесемо все в ліву частину і по групуємо члени.

,

,

, , ,

,,,

,

,

,

,

.

,

.,

,

,

,

,

,

, .

, :

Відповідь: .

Відповідь: {-1;2}

,

,

,

,

,

,

,

Відповідь: -6, 1.

2. Рівняння виду

не

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розділимо на обидві частини рівняння

,

,

,

,

Розв’язування.

Відповідь: 4. Рівняння виду

ОДЗ:

,

,

Відповідь: {-7- ; -7; 7+ }

5. Рівняння виду

Розв’язується за допомогою заміни , де с- середнє арифметичне

чисел a і b.

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання

ОДЗ

,,

Відповідь: .

Відповідь:

,

,

,

,

,

,,

,

,

4

ОДЗ:

.

Відповідь: ; 5.

7. Рівняння, що розв’язуються за допомогою розкладання на множники.

,

,

,

,

,

,

Відповідь:

Приклад 2. Розв’яжіть рівнянняв полі дійсних чисел

,

,

,

,,

,

,

,

,

,

,

,

/

,

Відповідь: 1.

8. Виділення повного квадрата.

ОДЗ

,

,

,

Зробимо заміну

функції

Відповідь:

.

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язування. ОДЗ:

Відповідь:

5. РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИРозв’язати рівняння з параметрами означає: знайти всі розв’язки рівняння

для кожної допустимої системи значень параметрів.

Знайдемо, при яких значеннях параметра невідоме х набуватиме

,

,

,

,

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання

Нехай тоді

,

за теоремою Вієта

,

,

.

Відповідь: Приклад 5. Розв’язати рівняння:

,

.

,

,

,

,

.

Заміна ,

Відповідь:

Приклад 8. Розв’язати рівняння

Приклад 9. Знайти всі пари дійсних чисел m і n, при яких рівняння має хоча б один розв’язок.

,

,

,

,

,

,

Приклад 10. Розв’язати рівняння.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

,

Отже, .В цьому і полягає достатня умова існування дійсних коренів

квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами.

,

,

,

,

Висновки

Основними методами розв’язування рівнянь вищих ступенів є метод

розкладання на множники та заміни змінної, але загального методу не існує. Всі

методи базуються на загальному підході, коли дане рівняння поступово

замінюється простішим.

Робота містить понад 50 розв’язаних рівнянь вищих степенів із

поступовим їх ускладненням. До кожного типу рівнянь пропонується декілька

прикладів з метою кращого розуміння застосування теорії на практиці.

Тут подано загальні методи знаходження раціональних коренів і деякі

окремі методи визначення дійсних і комплексних коренів раціональних

рівнянь.

Робота буде корисною для учнів, які цікавляться математикою,

навчаються у класах з поглибленим вивченням предмету, готуються до

складання іспиту у вищий навчальний заклад, мріють пов’язати свою

професійну діяльність з математикою.

ЛІТЕРАТУРА

1. Математика. Дитяча енциклопедія. Харків. „ФОЛІО", 2003 р.

2. С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. „Радянська школа", 1973.

3. Г.В.Дорофеєв, М.К.Потапов, А.Х.Розов. Пособие по математике для

поступающих в ВУЗы. «Наука», 1972.

4. Л.И.Шарова. Уравнения и неравенства. «Вища школа», 1981.

5. Я.П.Каплан. Рівняння. „Радянська школа”.

6. Л.І. Шкіль, Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. Алгебра і початки аналізу 10.

„Освіта”, 2000.

7. А.И.Бородин. Математика. Пособие для подготовительных отделений.

Київ. „Вища школа". 1980.

8. В.И.Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы.

Москва. «Высшая школа». 1988.

9. Н.С.Залогин. Конкурсные задачи по математике. Государственное

издательство технической литературы. УССР. Киев. 1964.

10.К.У.Шахно. Сборник задач по элементарной математике повышенной

трудности. Издательство «Высшая школа», Минск 1965.

11.В.М.Алексеев. Элементарная математика. Решение задач. Киев. «Высшая

школа», 1989.

12.Ш.П.Горделадзе, М.М.Кахурчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач

з математики. К.: “Вища школа”, 1988.

13.А.И.Прилипко. сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы.

Москва. «Высшая школа». 1984.

14.В.І.Михайловський, В.Є.Тарасюк, Є.О.Ченакал, Н.М.Шунда. Практикум з

розв'язування задач з математики.

15.Г.Ю.Бевз, О.М.Боголюбов, О.Ф.Фільчаков, Е.І.Швецов, Ф.П.Янчук.

Довідник з елементарної математики. „Наукова думка". Київ. 1975.

Поліграфічний центр “Візаві” (ПП Абрамець), м. Умань, вул. Тищика, 18/19, тел. (04744) 2-22-67