Embed Size (px)
Citation preview
Әдістемелік нұсқаулық Нысан ПМУ ҰС Н 7.18.2/05
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі
С. Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
Математика кафедрасы
Математикалық талдау пәнді оқыту
ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛЫҚ
В5070300 «Ақпараттық жүйелер», В5070400 «Есептеуіш техника жәнебағдарламалау» студенттеріне арналған
Павлодар
Әдістемелік нұсқаулықты Нысан бекіту парағы ПМУ ҰС Н 7.18.1/05
БЕКІТЕМІНФМжАТФ деканы_________ Ж.К. Нурбекова200_ж. «__»___________
Құрастырушы: ПМУдоценті Ф.К. Баяхметовa _______________
Математика кафедрасы
Математикалық талдау
пәнді оқыту
Әдістемелік нұсқаулық
В5070300 «Ақпараттық жүйелер», В5070400 «Есептеуіш техника және бағдарламалау» мамандыққа арналған
2010 ж. «31» тамызында кафедра отырысында ұсынылған Хаттама № 1 .
Кафедра меңгерушісі _________________ И.И.Павлюк
Физика, математика және ақпараттық технологиялар факультеттіңәдістемелік кеңесімен құпталған 200_ж. «____»___________ №__хаттама
ӘК төрағасы _____________________ Ж.Г.Муканова
Математикалық талдау пәнінің негізгі мақсаты мен міндеттері
Мақсаты:
Ғылымның, техниканың және экономиканың өніп-өркендеуінематематикальқ зерттеу, модельдеу және жобалау әдіс-тәсілдерініңколданылуы ерекше әсер ететіні белгілі. Бұған қaзipri кезеңдегі eceптeriштехникалардьң айрықша түрлерінің дамығандығы және компьютерлікжүйенің өмірдегі және табиғаттағы ic әрекеттердің баршасына жаппайараласуының мәні зор болып отыр. Осылардан - математикалық әдіс-тәсілдеріөмірлік нақтылы есептерге колдана білудің ауқымы ұлғайды.
Сондықтан да, техникалық инженер мамандар даярлауда математикапәндері фундаменталдік білімдер жүйесінің алдыңгыларына жатады да, оныоқытудың мақсат негіздері мыналарға бағытталады:
- логикалық және алгоритмдік ой тұю қабілеттіліктерің жетілдіру;- eceптi қоя білуді және оны есептеу мен шешімдерін математикалық
зерттеп, әдістерін негізінде игерту;- математикалық білімін өз еркімен кеңейтуге және өндірістік қолданбалы
есептерге нақтылы қолдана білуге машықтандыру;- математикалық есептегіш әдістерінің негіздерін иrepiп олардың ЭЕМ-
ларда өткерілуіне үйрену;- математикалық модельдеудің басты принциптерінің негізін оқыту,
математикалық модельдерді құру әдістеріне үйрету және процесстер мен объектілерді математикалық формальді тұрпаттардың бейнелеуді игерту;
- есептеу-қисаптау сынақтарды өткізгенде математикалық модельдерді тікелей қолдана білуге және есеп шешімдерінің ұтымдылығын зерттеуде модельдерін қуатын арттыруды үйрету.
Міндеттері:Математикалық білім беру жалпы инженерліқ пәндерді оқыту
бағдарламаларымен тығыз байланыста өтуі шарт. Математикалық білім беру,түптен келгенде, болашақ техника инженерлерініц профессионалдықмақсаттарына бағытталуы қажет.
Қойылган мақсаттардың орындалуы үшін математиканы оқытыпүйретуге мынадай негізгі талаптар қойылады:
- студенттерге математикалық ұғым мен әдістердің (тәсілдердің) негізіндеғылыми зерттеудің мағанасын ашып көрсету;
- өндірістік қолданбалы есептерді шешудегі математиканың алатын орны меноның спецификасы;
- студенттердің кәсіби ic әрекеттерінде математикалық әдістердің қосымшаларына назар аудару.
Ұсынылатын әдебиет тізімі
Негізгі әдебиет:1. Фихтенгольц Г.М. Математикалық анализ негіздері. 1,2 том. Алматы, 1972.2. Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Бірінші және екінші бөлім. Алматы,1991.3. Н.А. Давыдов и др. Сборник задач по математичесому анализу. М., 1973.4 Қабдықаиров Қ., Есельбаева Р. Дифференциалдық және интегралдықесептеулер. Алматы. «Мектеп»
Қосымша әдебиет1. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа. Том 1,2. М.,1976.2. Задачник по курсу математического анализа. Под ред. Н.Я. Виленкина. Ч. 2. М., 1971.3. Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1977,-528с.4. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука,1985,-446с
Тақырып № 1
1. Математикалық талдауға кіріспеНақты санның геометриялық бейнесі-сандар өсіндегі нүкте және керісінше, сандар
өсіндегі әрбір нүкте нақты санды анықтайды. Сондықтан «нақты сан», «сандар өсіндегінүкте» терминдері бір мағыналы, яғни синонимді сөздер ретінде қолданылады.
Нақты сандар жиыны рационал және иррационал сандар жиындарыныңбіріктірілуінен тұрады. Рационал сан деп екі бүтін санның қатнасы ретінде өрнектелетінсанды айтады. Бұл сан шекті ондық бөлшек немесе периодты шексіз ондық бөлшек түрінекелтіріледі. Иррационал сан периодты емес шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектеледі. Егерсандар өсіндегі нүктенің координат басына дейінгі қашықтығы бірлік кесіндімен(масштабпен) өлшемдес болса, онда бұл нүкте рационал санның, өлшемдес болмасаиррационал санның бейнесі болады. Рационал сандар жиыны Q , иррационал сандар жиыныI , ал нақты сандар жиыны R әріпімен белгіленеді және IQR болады.
«Нақты сандар жиыны» мен «нақты сандар өсіндегі нүктелер жиыны» туралыұғымдар бір мағынада қолданылады да, қысқаша «сандар жиыны» немесе «нүктелер жиыны»деп айтылады.
Екі санмен шектелген нүктелер жиыны аралық деп аталады да ba, деп
белгіленеді. Егер аралықты шектейтін нүктелер осы жиынға енсе, онда бұл аралық сегментдеп аталады да ],[ ba деп, ал енбесе интервал делінеді де, ),( ba деп белгіленеді; осынүктелердің біреуі еніп екіншісі енбесе, онда аралық жартылай интервал немесежартысегмент деп аталады да ),[ ba немесе ],( ba деп белгіленеді. Интервал өзіне енетінкез келген нүктенің маңайы деп аталады. Центрі 0x нүктесінде болатын ұзындығы 2 -гетең интервал осы нүктенің -маңайы деп аталды да ),()( 000 xxxO деп белгіленеді.
Нақты сандар жиынының негізгі қасиеті-оның үзіліссіздігі. Бұл қасиет төмендегітеорема түрінде айтылады:
Теорема 1 Ұзындықтары нөлге ұмтылатын, бірінің ішінде бірі орналасқансегменттердің бәріне ортақ тек қана бір нүкте бар болады.
Төмендегі суретте осы теореманың геометриялық нұсқасы көрсетілген.
х~
. 1a 2a na nb 2b 1b Мұндағы ...],[...],[],[ 2211 nn bababa және ],[ nn ba сегментінің ұзындығы
nn ab нөлге ұмтылатын шама, ал х~ осы сегменттердің бәріне ортақ нүкте.Өлшеу процесін қолдануға болатын әрбір объектің сандық мәні шама деп аталады.
Табиғатты зерттейтін ғылым саласының тек өзіне тән шамалары болады. Атап айтқанда:физикадасалмақ, масса, жылу сыйымдылығы т.с.с.; химияда-атомдық салмақ, валенттілік,т.т.; геометриядакесіндінің ұзындығы, фигураның ауданы, дененің көлемі т.с.с.Белгілі бір сандық мәнін сақтайтын шама тұрақты деп аталады. Әр түрлі сандық мәндерқабылдай алатын шама айнымалы делінеді. Әдетте, тұрақты шама латын алфавитініңалғашқы әріптерімен ,...),,( cba айнымалы шама соңғы әріптерімен ,...),,( zyx
белгіленеді.2. Функция түсінігі
2.1Функцияның анықтамасы.
Айталық, бізге нақты сандардан тұратын X және Y жиындары берілсін.Анықтама. Егер белгілі бір ереже немесе заң бойынша X жиынының әрбір элементі х -кеY жиынының тек қана бір элементі у сәйкес келсе, онда X жиынында бір мәнді )(xfy
функциясы анықталған дейді. Бұл ережені немесе заңды X жиынын Y жиынына бейнелеудеп те атайды.
Осы анықтамадағы X жиынын )(xfy функциясының анықталу облысы, ал Yжиынын )(xfy функциясы мәндерінің жиыны немесе функцияның өзгеру облысы деп, х- ты тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп, ал у - ті тәуелді айнымалы немесе функциясыдеп атайды.
Тәуелсіз айнымалы х - тың кейбір 0х мәніне сәйкес тәуелді айнымалы (функция))(xfy -тің мәнін функцияның 0хх болғандағы (немесе 0х нүктесіндегі) мәні деп
атайды және )( 00 xfy символымен белгілейді. Мысалы, 13 2 ху функциясы берілсе, оның 10 х нүктесіндегі мәні
2)1(0 fy .Егер X сан осінің бойында жатқан жиын болса, онда )(xfy функциясының
анықталу облысы не интервал );( ba , не сегмент ];[ ba , не жартылай түзулер];(),;[ aa немесе бүкіл сан осі );( болуы мүмкін. Сонымен қатар
функцияның анықталу облысы бірнеше аралықтың бірігуі болуы мүмкін.
Мысалы, 6
1lg
2
xx
xy функциясын қарастырайық. Бұл функция айнымалы х -
тың мына 06
12
xx
x теңсіздігін қанағаттандыратын мәндерінде анықталған. Сонда бұл
теңсіздіктен 0)6)(1( 2 xxx немесе 0)3)(2)(1( xxx теңсіздігі шығады. Демек,берілген функцияның анықталу облысы екі аралықтан тұрады: )2;( және )3;1( .Яғни, )3;1()2;( X .
Бір X жиынында берілген )(xf және )(x функцияларына қосу )()( xxf ,
азайту )()( xxf , көбейту )()( xxf , бөлу 0)(,)(
)(x
x
xf
амалдарын қолдануға
болады, сонда осы амалдар орындалғаннан кейін шығатын функциялардың да анықталуоблысы X немесе оның бөлігі болуға тиіс.
Мысалы, мына x
xy
1
1 формуламен берілген функцияны қарастырайық. Бұл
функция екі функцияның қосындысынан тұрады. Олардың біреуі xxf )( , ал екіншісі
xx
1
1)( . Бірінші функцияның анықталу облысы 0x , яғни );0[ . Екінші
функцияның анықталу облысы 01 x , немесе )1;( . Сонда осы екі функцияның
қосындысы болып табылатын бастапқы x
xy
1
1 функциясының анықталу облысы
(қосылғыш функциялардың анықталу облыстарының көбейтіндісі) жартылай интервал)1;0[ болады.
)(xfy функциясының графигі деп, координаттары берілген функционалдықтәуелділікті қанағаттандыратын, жазықтықтағы нүктелер жиынын айтады, ))(;( xfxM
нүктелер жиыны.Функциялардың графиктері көбінесе қисық сызықтар немесе түзулер болады.
2.2Функцияның берілу тәсілдері.Функцияның берілуінің бірнеше тәсілдері бар. Солардың негізгілері – аналитикалық,
таблица түрінде, графикпен және сөзбен берілу тәсілдері.Айнымалылар арасындағы сәйкестік формуламен берілсе, онда функция
аналитикалық түрде берілді дейді.
Мысалы, )lg(cos,2
,10 xxyx
tgyxy .
Аналитикалық тәсілмен берілген функцияның ықшамдығы оның зерттеулердеқолданылуының қолайлығын арттырады және берілген функцияны зерттегендематематиканың аппаратымен пайдалануға өте жақсы бейімделген.
Функцияның таблицалық әдіспен берілу тәсілі эксперименттік жұмыстардақолданылады. Мұның артықшылығы аргументтің әрбір мәніне сәйкес функцияның мәнітікелей табылатындығында. Сонымен бірге аргументтің өзгеруіне байланысты функцияныңөзгеру заңдылығы таблицадан байқалмайды және математикалық амалдар қолдануға өтеыңғайсыз.
Функцияның графикпен берілу тәсілі көп тараған әдіс. Оның басқаларданартықшылығы – оның көрнектілігінде. өйткені аргументтің өзгеруіне байланыстыфункцияның өзгеруінің бағыттарын тыңғылықты байқап отыруға болады.2.3Функциялардың классификациясы.
Негізгі элементар функциялар деп келесі функцияларды айтады: тұрақты функцияconstccy , , дәрежелік функция xy ( - кез келген сан), көрсеткіштік функция
xay )10( a , логарифмдік функция xy alog )10( a , тригонометриялықфункциялар: ctgxytgxyxyxy ,,cos,sin және кері тригонометриялық функциялар:
arcctgxarctgxxx ,,arccos,arcsin .Алгебралық амалдарды, тиісті композицияларды қолданып жоғарыда аталған негізгі
элементар функциялар тобынан құрылған күрделі функцияларды элементар функциялардеп атайды. Мысалы, 2
32 sinlog,1),(ln xxyxctgyxtgy .
Барлық элементар функциялар алгебралық және трансценденттік функцияларболып екі класқа бөлінеді. Алгебралық функцияларға бүтін-рационал, бөлшек-рационал,иррационал функциялар жатады.
Кез келген иррационал емес функция трансценденттік функция болып табылады.Мысалы, xxyxy sin,sin және т.с.с.
Мысалы, 5
3 33
xx
xaxy - алгебралық, ал ,2 xy ,log 5 xy
,sin xy tgxy arg т.б,– трансценденттік функциялар.Айқындалған және айқындалмаған функциялар.)(xfy түрінде берілген функция айқындалған деп аталады. Мысалы, 3 2 1 xy ,
,cosln xy xy – айқындалған функциялар. ),( yxF түрінде берілген функцияайқындылмаған деп аталады, мысалы, ,122 yx 0152 yxy – айқындалмағанфункциялар.
Бір мәнді және көп мәнді функциялар. ,31 xy ,sin xy ,5 xy – бір мәнді, ал,1 2xy ,sinarg xy tgxy arg – көп мәнді функциялар.
Кері функция. Берілген функцияға кері функцияның болу шарты:Егер )(xfy функциясы ba; аралығында бірсарынды және бір мәнді болып, осы
аралықта dс; аралығында бейнелесе, онда кері функция ),( yx бар болады және);( dc аралығында бір мәнді және бірсарынды функция болады.
Мысалы ,42 xy сандар өсінде анықталған және осы аралықта өспелі функция.
Сондықтан ; аралығында анықталған 2
4
yx кері функция бір мәнді және
бірсарынды. Осы функциядағы аргументі мен функцияның әдеттегідей ух, деп белгілесек,
бұл функция, 2
4
xy түрінде жазылады. Демек, 42 xy пен
2
4
xy - функциялары
өзара кері болады.Дәл сол сияқты xay және ,log xy a функциялары өзара кері. Күрделі функция.
)x(z функциясы )b;a( аралығында анықталып өзгеру облысы )d;с( болсынжәне )d;с( аралығында )z(fy функциясы анықталсын. Соңғы теңдіктегі z - ті оныңмәнімен ауыстырып, ))x((fy функциясына келеміз. Бұл жаңа функция )b;a(
аралығында анықталған. Осы функцияны функциядан функция алу әдісімен анықталғанкүрделі функция деп атайды. (Функциялар суперпозициясы).
Мысалы: 12 xz , 32 zy , деп алып, 3)1(2 2 xy - күрделі функциясынкұрамыз.
Тақырып № 2
Тізбек және тізбектің шегіНатурал сандар жиынында анықталған f функциясының мәндерін сан тізбегі немесе
тізбек деп атайды.Егер nanf )( тізбегі берілсе, оны na символымен белгілейді немесе былай
жазады: ,...,...,, 21 naaa
Анықтама 1. Егер кез келген n үшін nn aa 1 теңсіздігі орындалса, онда na
тізбегін өспелі дейді.Анықтама 2. егер кез келген n үшін nn aa 1 теңсіздігі орындалса, онда na
тізбегін кемімелі дейді.Анықтама 3. егер кез келген n үшін Man )( теңсіздігін қанағаттандыратындай оң
M саны табылса, онда na тізбегін шектелген деп атайды.Анықтама. Егер әрбір алдын ала берілген 0 санына сәйкес N натурал саны
табылса және кез келген Nn нөмірлері үшін || aan теңсіздігі орындалса, онда a
санын na тізбегінің шегі деп атайды. Жазылуы: aann
lim немесе n ұмтылғанда
aan деп жазады.
Мысалы, ;...43
32;...
16
11;
13
9;
10
7;
7
5
n
n тізбектің шегін табу керек.
Шешімі. 3
24
3
32
lim43
32lim
n
nn
nnn
болады.
Анықтама. Шегі бар тізбекті жинақты деп, шегі жоқ тізбекті жинақсыз деп атайды.Егер тізбектің шегі бар болса, онда тізбек шектелген болады. Жинақты тізбектің бір ғана шегібар. Жоғары (төменгі) жағынан шектелген өспелі (кемімелі) тізбектің шегі бар.
Анықтама. Егер тізбектің шегі нөльге тең болса, онда мұндай тізбекті шексіз аз депатайды.
Теорема 1. Екі шексіз аз тізбектердің қосындысы шексіз аз болады.Теорема 2. Шектелген тізбектің шексіз аз тізбекке көбейтіндісі шексіз аз тізбек
болады.Анықтама. Егер кез келген 0A саны үшін N нөмірі табылып, барлық Nn үшінAan )( теңсіздігі орындалса, онда na тізбегін шексіз үлкен шама дейді және былай
жазады:
nn
alim .
Теорема 3. Егер na тізбегі, 0na шексіз үлкен болса, онда
na
1 тізбегі шексіз аз
және керісінше na тізбегі шексіз аз болса, онда
na
1 тізбегі шексіз үлкен.
Теорема 4. Егер na және nb тізбектері жинақты болса, онда
1) nnnn baba limlim)lim( ;2) nnnn baba limlim)lim( ;
3) )0(limlim
limlim n
n
n
n
n bb
a
b
a;
4) nn acac lim)lim( .Егер nn ba , онда nn ba limlim
Анықталмаған өрнектер. Ақырлы шегі бар шамаларға арифметикалық амалдарқолдану нәтижесінде шекке көшкенде ешбір мазмұны жоқ, анықталмаған өрнекте депаталатын, өрнектер шығуы мүмкін. Ондай жағдайларда айнымалы шаманың шектік мәнінтабуға көшпес бұрын шыққан өрнектерді түрлендіру керек.
1) берілген айнымалылар nx мен ny үшін 0lim nx және 0lim ny )0( ny
болсын. Онда олардың қатынасының
n
n
y
x шегі
n
n
y
xlim
0
0 түріндегі анықталмағандық
болады. Себебі бұл екі айнымалының өзгеру заңына байланысты, бұл шек неше түрлі мәнгеие болуы мүмкін немесе шектің болмауы да мүмкін.
Мысалы, егер 3
1
nxn ,
nyn
1 болса, олардың қатынасының
n
n
y
x шегін табу керек.
01
limlim3
nx
nnn, 0
1limlim
ny
nnn. Сонда
n
n
n
n
n y
x
y
x
lim
limlim
яғни
0
0 түріндегі
анықталмағандық шығады. Бірақ, 23
11:
1
nnny
x
n
n . Демек, 01
limlim2
ny
xn
n
n
n.
Ақырсыз аз шамаларды салыстыру. Ақырсыз аз }{ n және }{ n шамалары
берілсін )0,0( nn . Осы шамаларды салыстыру денеміз n
n
қатнасының шегін табу.
Бұл қатынас
0
0 түріндегі анықталмағандық деп аталады.
Анықтама 5 Егер ақырсыз }{ n және }{ n шамалары үшін:
а) 0lim
n
n
n
болса, онда }{ n шамасы n -мен салыстырғанда жоғарғы ретті
ақырсыз аз шама деп аталады, ал n шамасы n -мен салыстырғанда төменгі реттіақырсыз аз шама деп аталады.
б) An
n
n
lim , 0A болса, онда n мен n бір ретті ақырсыз аз шамалар деп
аталады.
в) 1lim
n
n
n
болса, онда n мен n эквивалентті ақырсыз аз шамалар деп
аталады.Жиі қолданылатын шектер
1sin
lim0
n
n
x x
xn
– бірінші тамаша шек.
ex n
n
хnx
1
01lim - екінші тамаша шек.
,...,2,1,1
1
n
n
n
n тізбегі үшін 32 n теңсіздігі орындалады. Сондықтан
}{ n жоғарыдан шенелген өспелі тізбек.
en
n
n
11lim
шегі бар болады. е санының жуық мәні 72,2е болатыны дәлелденген. Бұл сан Неперсаны деп аталады.
Тақырып № 3
Функцияның шегі.)(xfy функциясы 0xx нүктесінің манайында мүмкін сол нүктенің өзінен
басқа анықталсын.Анықтама Егер кішкене 0 саны үшін, осы саннан тәуелді )( санын 0xx теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х нүктелерінде Axf )( теңсіздігі
орындалатындай етіп табуға болса, онда А саны )(xf -тің 0x нүктесіндегі шегі деп
аталадыда Аxfxx
0
)(lim деп белгілінеді. Аталған шек 0,)( xxAxf түрінде де жазылады.
Мысалы, 7)52(lim1
xx екенін дәлелдейік. Кез келген 0 саны үшін 7)52( x деп
алып, ,2
1
x болатынын көреміз. Демек, .2
Яғни, ,1 x болса, 7)52( x
болады.Анықтама Бізге Е жиынындағы сандардан құралған кез келген nx тізбегі, яғни
,...,...,, 21 nxxx берілсін. Ол тізбек 0x нүктесіне жинақталатын (шегі бар) тізбек болсын,
яғни 0lim xxnn
( nxxn ,0 - кез келген натурал сан). Сонда, егер осы nx тізбегінің
мәндеріне сәйкес берілген функция мәндерінің тізбегі ),...(),...,(),( 21 nxfxfxf әрқашан дабір А санына жинақталатын болса, онда )(xf функциясы А санына ұмтылады дейді де, Асанын )(xf функциясының 0xx нүктесіндегі )( 0xxn шегі деп атайды. Оны былайжазады:
Axf nxx n
)(lim0
.
Бұл екі анықтама эквивалентті анықтамалар.Шектер туралы теоремалар және оларды шешу тәсілдері : Теорема 1 zyzy limlim)lim( . Қосындының шегі шектердің қосындысына тең.Теорема 2 yxyx limlim)lim( . Көбейтіндінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең.
Теорема 3 y
x
y
x
lim
limlim , 0lim у . Егер 0lim у болса, онда бөлшектің шегі
алымының шегін бөлімнің шегіне бөлгенге тең.Теорема 4 CC lim . Тұрақты шаманың шегі сол шаманың өзіне тең. Теорема 5 yCCy limlim . Тұрақты шаманы шектің сыртына шығаруға болады.Шектерді есептеу мысалдар:Мысал 1 Шек астындағы бөлшекті (х-2)-ге қысқартып
52
22
0
0
103
4limlim
22
2
2 xx
xx
xx
xxx 7
4
5
2lim
2
x
xx
Мысал 2
0
0
1
23lim
1 x
xx
xxx
xxxx 1231
12323lim
1
231
143lim
1 xx
xxx
2
1
4
2
231
11lim
1
xx
xxx
Мысал 3
0012
sin
2
2sin
2sin2
1limlimlim
0
2
00
xx
x
x
x
x
сosxxxx
Мұндағы 1
2
2sin
lim0
x
x
x (бірінші тамаша шек)
Мысал 4
111cos
1sinlimlimlim
000
xx
x
x
tgxxxx
Бесінші және алтыншы мысалдардағы шектер бізге белгілі ez
z
z
11lim немесе
e
1
0
1lim (екінші тамаша шек) теңсіздіктерін қолдану арқылы есептеледі.
Мысал 5
k
k
k
x
x
x
x
ex
k
x
k
11 limlim
Мысал 6
exx x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
112 limlim
Ескерту: 1sin
lim0
x
xx
шегі 0
0анықталмағандығын, ал e
x
x
x
11lim және
ex x
x
1
0
1lim шектері 1 анықталмағандығын айқындайды.
Анықтама )(xfy функциясының 0xx болып х-тің 0x -ге ұмтылғандағы 1A -ге
тең шегі осы функцияның сол жақты шегі деп аталады да 10)(lim
0
Axfxx
деп белгіленеді,
ал 0xx болып х-тің 0x -ге ұмтылғандығы 2A -ге тең шегі функцияның оң жақты шегі
деп аталады да, 20)(lim
0
Axfxx
деп белгіленеді.
Егер )(xfy функциясы 0xx нүктесінде және осы нүктенің маңайында
анықталып, )()(lim)(lim 000 00
xfxfxfxxxx
теңдігі орындалса, онда )(xf функциясы 0xx
нүктесінде үзіліссіз болады.Егер осы екі теңдіктің ең кемінде біреуі орындалмаса, онда 0xx үзіліс нүктесі деп
аталады. Үзілістің екі түрі бар: 1. Секірме үзіліс, егер 12 АА болып 2010 )(,)( AxfAxf немесе
1020 )(,)( AxfAxf немесе 0x нүктесінде )(xfy анықталмаса. 2. Шексіз үзіліс.Мысал 1
1,3
1,1)(
x
xxxf функциясы үшін
2)1(lim)(lim0101
xxfxx 33lim)(lim
0101
xxxf
теңдіктері орындалады, демек 1x - секірме үзіліс нүктесі; секіріс 123 -ге тең.
У
3 2
1
-1 0 1 х
Сурет 1.Мысал 2
],;0[,)( xtgxxf функциясын 2
x нүктесінде функцияны үзіліссіздікке
зерттейік.
tgxxfxx 0
30
2
lim)(lim
tgxxfxx 0
30
2
lim)(lim
теңдіктері орындалады, демек 2
x шексіз үзіліс нүктесі. (Сурет-2)
у
0 π х
Сурет 2.
Тақырып № 5
Функцияның нүктедегі туындысы мен дифференциалы8.1 Туындының анықтамасы. Туындының механикалық мағынасы.8.2 Туындының геометриялық мағынасы8.3 Функцияның дифференциалдануы8.4 Функцияның дифференциалы8.5 Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы.8.6 Дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары. Лопиталь ережесі.8.7 Туынды арқылы функцияның зерттеу.
5.1 Туындының анықтамасы. Туындының механикалық мағынасы.Түзу сызықты қозғалыстың жылдамдығын қарастырайық. Дене түзу сызық бойымен
және t уақыт ішінде s жолын жүрсін, яғни s қашықтық t уақыттың функциясы берілсін:)(tfs . Бұл қозғалыс теңдеуі.Дене қозғалысын уақыттың 0t мезгілінен tt 0 мезгіліне дейін, яғни t
интервалында қарастырамыз. Дене t уақытта )()( 00 tfttfs жол жүреді.
t
s
қатынасын дене қозғалысының t уақыты ішіндегі орта жылдамдығы деп
аталады және белгілеуі: ортаvt
s
.
Шекке көшеміз: vt
tfttf
t
sv
ttорта
)()(limlimlim 00
00.
Анықтама. Жол өсімшесінің уақыт өсімшесіне қатынасының уақыт өсімшесі нөльге
ұмтылғандағы шегі: vt
st
0
lim теңдігімен анықталатын v шамасын дене қозғалысының
0tt мезгіліндегі лездік жылдамдығы деп аталады.Айталық, Х аралығында )(xfy функциясы анықталсын. Бұл аралықтан 0x
нүктесін алып, оған x өсімшесін берейік. Сонда )(xfy функциясы да өсімшеқабылдайды: )()( 00 xfxxfy , мұнда Xxx 0 .Анықтама. Егер x нөльге ұмтылғанда функция өсімшесі мен аргумент өсімшесіқатынасының шегі бар болса, онда бұл шек берілген функцияның 0x нүктесіндегі
туындысы деп аталады: x
xfxxf
x
yy
xx
)()(limlim 00
00
' .
Туындыны табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды. Жоғарыдақарастырылған физикалық есепте айнымалы жылдамдық жүрген жолдың туындысына тең:
)(tfv . Бұл есеп туындының механикалық мағынасын анықтайды.5.2 Туындының геометриялық мағынасы
L қисық сызықтың бойынан екі нүкте M және N алайық және сол нүктелер арқылықиюшы жүргізейік. M нүктесін қозғалмайды деп есептеп, N нүктесін L қисығы бойыменM нүктесіне дейін жүргізейік. Егер 0MN , онда MN түзуі MP -ға ұмтылады.Анықтама. M нүктесі N нүктесіне ұмтылғанда қиюшы MN мен түзу MP арасындағыбұрыш нөльге ұмтылса, онда MP түзуін L қисық сызықтың M нүктесіндегі жанамасыдеп атайды.
Айталық, )(xf -тың 0xx нүктесіндегі туындысы )( 0xf . Қиюшы MN Ox осімен
бұрыш жасайды. Сонда x
y
x
xfxxftg
)()( 00 немесе x
yarctg
. Егер 0x ,
онда1) MN ;2) MPMN ;
3) , онда )(limlim 000
xfarctgx
yarctg
x
yarctg
xx
.
)(lim 0xfarctg , онда lim )( 0xfarctg tgxf )( 0 .
Сонымен, туынды )(xf )(xfy функцияның ),( yxM нүктесіне жүргізілгенжанама мен Ox осінің оң бағытының арасындағы бұрыштың тангенсін кескіндейді.
Онда жанаманың теңдеуі: ))(( 000 xxxfyy .Осы нүктедегі жанамаға перпендикуляр түзуді нормаль түзу деп атайды; оның
теңдеуі: )()(
10
00 xx
xfyy
.
5.3 Функцияның дифференциалдануыФункцияның туындысын табу амалын дифференциалдау деп, ал туындысы бар
функцияны дифференциалданатын функция деп атайды. Егер )(xfy функциясының 0x нүктесінде туындысы бар болса, онда )(xfy
функциясы осы нүктеде үздіксіз болады, ал үзіліс функцияның 0x нүктеде туындысыболмайды.Арифметикалық амалдардың дифференциалдау ережелері: Айталық,, u және vүздіксіз функциялары берілсін. Екі функцияның алгебралық қосындысының, көбейтіндісініңжәне қатынасының туындылары бар болады да мына формулалар бойынша табылады:
vuvu )( ;vuvuvu )( ;
)0(,2
vv
vuvu
v
u
Егер көбейтіндіде көбейткіштің біреуі тұрақты шама болса, онда uCuCuCuC )( ,өйткені тұрақты шаманың туындысы нөльге тең.Күрделі функцияның дифференциалдануы: Егер )(xu функциясының x нүктесінде,ал )(ufy функциясының сол x -ке сәйкес )(xu нүктесінде туындылары бар болса,онда сол x нүктесінде күрделі ))(( xfy функциясының да туындысы бар болады жәнемынаған тең: xuux fxxfxfy )())((]))(([ .
Мысалы: ?,)12( 32 yxy
12 2 xu 3uy
xxxxxxuxuuuy 1248484)12(343)12()()( 3522233 .Кері функцияның дифференциалдануы: Егер )(xfy функциясының x нүктесінденөльге тең емес )(xf туындысы бар болса, онда сол x -ке сәйкес )( 00 xfy нүктесінде
щған кері )(yx функциясының туындысы бар болады және)(
1)(
xfyx y .
Мысалы: 3 xy . Осы функцияға кері функция: 3yx және 23yx y . Олай болса,23
1
yy x .
Дәрежелік функцияның туындысы: 1)( nn nxx .Тригонометриялық функциялардың туындысы:
xx cos)(sin ; xx sin)(cos ;x
tgx2cos
1)( ;
xctgx
2sin
1)(
Кері тригонометриялық функциялардың туындысы:
21
1)(arcsin
xx
; 21
1)(arccos
xx
; 21
1)(
xarctgx
;
21
1)(
xarcctgx
Логарифмдік және көрсеткіштік функциялардың туындылары:
xx
1)(ln ; aaa xx ln)( ; xx ee )(
Логарифмдік дифференциалдау тәсілі: )()]([ xvxuy көрсеткішті-дәрежелік функцияныңтуындысын анықтайық. Ол үшін берілген функцияны логарифмдеп, содан кейін логарифмдеунәтижесінде шыққан функцияға дифференциалдау ережелерін қолданамыз.
Сонымен vuy функциясын логарифмдесек uvy lnln болады. Осы өрнектенкүрделі функцияның туындысының формуласы бойынша:
)ln()(ln uvy ; uu
vuvyy
1
ln1
; ]1
ln[ uu
vuvuy v ;
Мысалы: xxy1
)(cos функциясының туындысын табу керек.
xx
y cosln1
ln , )(cos)cos(ln1
cosln1
)(ln
xx
xx
xy
xxx
xx
yy
sincos
11cosln
112
, ]cos
sin1cosln
1[
2 x
x
xx
xyy
]cos
sin1cosln
1[)(cos
2
1
x
x
xx
xxy x .
Айқындалмаған функциялардың туындылары: Айталық, y x -тің айқындалмағанфункциясы, яғни x тәуелсіз айнымалыны y функциясымен байланыстыратын, y -кеқатысты шешілмейтін, қандай да бір теңдеу арқылы беріледі. Онда y функциясы x -тентәуелді екенін есепке ала тұра, бұл теңдеуді x бойынша дифференциалдаймыз.Мысалы: 122 yx теңдеуімен берілген y функциясының туындысын табу керек.
)1()( 22 yx , 022 yyx , y
xy .
Параметр арқылы берілген функцияның туындысы: Айталық, функция y -тің аргументі
x -тен тәуелділігі параметр t арқылы берілсін: ),()(
)(bat
ty
tx
және )(t , )(t
функциялардың туындылары бар болсын. Бұл тәуелділікті былай түсінуге болады: егер
)(tx функцияның кері функциясы )(1 xt бар болса және t
x xtx
1
))(( 1 , онда бір
формуладан тұратын теңдікке келуге болады: ))(( 1 xy . Енді күрделі функцияны
дифференциалдау ережесін пайдаланамыз: xx tty )( . Осыдан t
tx x
y
t
ty
)(
)(
.
Екінші ретті туынды: t
txxx x
yy
)(
және үшінші ретті туынды: t
txxxxx x
yy
)(
.
5.4 Функцияның дифференциалыАйталық, )(xf функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда
)(lim0
xfx
yx
, демек )()( xxfx
y
, 0)(lim
0
x
x , - шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі: xxxxfy )()( . Осы теңдікте екінші қосылғышжоғары ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш функция өсімшесінеэквивалентті болады.Анықтама. Функцияның туындысы мен аргумент өсімшесінің көбейтіндісі дифференциалдеп аталады және мына түрде жазады: xxfdy )( .Онда жоғарыда берілген теңдіктің бірінші қосылғышы дифференциал болады. Дербесжағдайда, егер xy болса, онда xxxdxdy )( , яғни xdx және осыныпайдаланып дифференциалдың формуласын келесі түрде жазуға болады: dxxfdy )( .
Осыдан dx
dyxf )( , яғни туынды функция дифференциалының аргумент дифференциалына
бөлінген мәніне тең. Дифференциалдың қасиеттері:Негізігі элементар функциялардың туындыларын біле тұрып, біз еш қиындықсыз осыфункциялардың дифференциалдарының кестесін құрастыра аламыз.Айталық, dxnxxd nn 1)( , adxaad xx ln)( , т.с.с.Арифметикалық амалдар нәтижелерінің дифференциалдары:
dwdvduwvud ...)...( ;udvvduuvd )( ;
2v
udvvdu
v
ud
.
Күрделі функцияның дифференциалы:Айталық, )(ufy және )(xu - үзіліссіз функциялар және олардың туынддылары: )(uf
, )(x . Егер )]([)( xfxF белгілесек, онда )()()( xufxFy . Екі жағын dx -кекөбейтеміз: dxxufdy )()( , ал dudxx )( , олай болса, duufdy )( .Функцияның дифференциалдануы.Анықтама. )(xf функциясы x нүктесінде дифференциалданады, егер оның осы нүктедедифференциалы болса.Егер )(xf функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті түрде үзіліссіз болады.Дифференциалды жуықтап есептеулерге пайдалану.
xxxxfy )()(
dyxxfxfxxf )()()(xxfxfxxf )()()( . Соңғы жуықталған теңдік ең алдымен тәжірибелік тұрғыдан
қарағанда келесі есепті шешу үшін қолданады: xxfxf ),(),( 00 мәндері белгілі; )( 0 xxf
-тің жуық мәнін есептеу керек. Сонда төменгі формула анықталады:xxfxfxxf )()()( 000 .
Мысалы: 3 001,8 мәнін табу керек: 3)( xxf , 80 x , 001.0x , демек 2)( 0 xf . Ал
3 2
3
2
3
1
3
1)(
xxxf
, 12
1
8
1
3
1)(
3 20 xf . Сонда 0002.2001.012
12001.8)001.8( 3 f .
5.5 Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы.Егер )(xfy функциясының туындысы бар болса, онда оны )(xf деп белгілеп, біріншіретті туынды деп атаймыз. Осы 1-ші ретті туындыны бөлек функция деп қарастырайық, онда
оның туындысы бар болуы мүмкін және )(xf екінші ретті туынды деп аталады. Солсияқты функцияның n -ші ретті туындысын жазуға болады: ))(()( )1()( xfxf nn немесе
)( )1()( nn yy .Мысалдар:
xnx ee )()(
aaa xnx ln)( )( nmnm xnmmmx )1)...(1()( )(
)2
sin()(sin )( nxx n
)2
cos()(cos )( nxx n .
Егер u және v дифференциалданатын функциялар болса, онда сызықты комбинация үшінкелесі формула орынды: ),(,)( 21
)(2
)(1
)(21 constccvcucvcuc nnn , ал олардың
көбейтіндісі үшін:
n
m
mmnmn
n
kknnnnn
vuCvu
vuk
knnnvu
nnvunvuvu
0
)()()(
)()2()1()()( ...!
)1)...(1(...
21
)1()(
Бұл формула Лейбниц формуласы деп аталады.
Мұнда vvuu )0()0( , ; )!(!
!
...321
)1)...(1(
knk
n
k
knnnC m
n
- бином коэффициенттері.
Жоғары ретті дифференциалдарФункцияның бірінші ретті дифференциалы келесі формуламен анықталады: dxxfdy )( , алекінші ретті дифференциалы: 22 )( dxxfyd , )(2 dydyd . Сол сияқты n -ші ретті дифференциал мына формуламен анықталады:
nnnn dxxfyddyd )()( )(1 . Бұл формуладан: n
nnn
x dx
ydxfy )()()( n -ші ретті туынды
шығады.
Тақырып № 6
Дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары.Ферма теоремасы. Айталық, )(xfy функциясы қандайда бір аралықта анықталсын.Осыаралықтың ішкі 0x нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәндерін қабылдайтын болса, онда
бұл нүктедегі туындысы нөльге тең болады: 0)( 0 xf .Ферма теоремасының геометриялық мағынасы: функцияның графигіне жүргізілген жанамаоның ең үлкен немесе ең кіші нүктесінде абсцисса осіне параллель болып орналасады.Ролль теоремасы. Егер )(xfy функциясы ];[ ba кесіндіде үзіліссіз және осыинтервалдың ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса, )()( bfaf теңдігі орындалса,онда ];[ ba -да ең болмағанда бір 0x нүктесі табылып, сол нүктеде 0)( 0 xf болады.Лагранж теоремасы. Егер ];[ ba сегментінде )(xfy функциясы үзіліссіз, );( ba
аралығында дифференциалданса, онда сол аралықта кем дегенде бір 0x нүктесі табылып,
келесі теңдік орындалады: )()()()( 0 abxfbfaf .Коши теоремасы. Айталық, ];[ ba сегментінде )(xf және )(xg функцияларыанықталсын, сол кесіндіде үзіліссіз және оның ішкі нүктелерінде дифференциалданатын
болса, онда бір 0x нүктесі табылып, сол нүктеде төмендегі теңдік орындалады:
)(
)(
)()(
)()(
0
0
xg
xf
agbg
afbf
.
Лопиталь ережесі. )(xu және )(xv функциялары );( ba интервалындадифференциалданатын және cx нүктесінде нөльге айналатын болсын. Сонда егер тиісті
шектер бар болса: )(
)(lim
)(
)(lim
xv
xu
xv
xucxcx
, 0)(,0)( xvxv , онда осы өрнектер бойынша
табылған шектерді анықталмағандықтың түрін айқындаудың Лопиталь ережесі деп аталады.6.1 Туынды арқылы функцияның зерттеу.Дифференциалдық есептеудің ең маңыздысы – оны функцияның зерттеуіне қолдану, әсіресебірінші ретті туындыны қолдану.Функцияның монотондылығы. Айталық, ];[ ba кесіндіде )(xf функциясы анықталсынжәне кесіндінің ішінде дифференциалданатын болсын, онда1) )(xf функциясы ];[ ba -да кемімейтін (өспейтін) функция болу үшін );( bax ,
0)( xf )0)(( xf теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті.2) )(xf функциясы ];[ ba -да өспелі (кемімелі) болуы үшін );( bax , 0)( xf
)0)(( xf теңсіздіктердің орындалуы қажетті және жеткілікті.Анықтама. )(xf функциясының туындысын нөльге айналдыратын нүктелерді кризистікнүктелер деп атайды.Кризистік нүктелерді табу үшін 0)( xf теңдеуін шешу керек.Функцияның монотондылық аралықтарын табу үшін:
1) берілген функцияның анықталу облысын табамыз;2) берілген функцияның кризистік нүктелерін табамыз;3) кризистік нүктелер функцияның анықталу облысын интервалдарға бөледібұл
интервалдардың әрқайсынды туынды тұрақты таңбаларын сақтайды;4) 0)( xf болатын интервалда функция қатал өседі, ал 0)( xf болатын интервалда
қатал кемиді.Функцияның экстремум нүктелері.Анықтама. Бір аралықта анықталған және үзіліссіз болатын )(xfy функциясы берілсін.
0x осы аралықта ішкі нүктесі. Егер 0x нүктесінің );( 00 xx аймағының ішінде жатқанбарлық x -тер үшін )()( 0xfxf ))()(( 0xfxf теңсіздігі орындалса, онда )(xf
функциясының 0x нүктесінде максимумы (минимумы) бар деп айтады.Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелер, ал осы нүктедегіфункция мәндерін функцияның экстремумы деп атайды.
];[ ba сегменттің a мен b нүктелерінде функцияның экстремумы бола алмайды.Егер 0x нүктесі )(xf функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедефункцияның туындысы болады және нөльге тең.Айталық, )(xf функциясы 0x нүктесінде үзіліссіз және оның аймағында туындысы болса,онда
1) егер функция 0x -ден өткенде )(xf өзінің таңбасын плюстен минуске өзгертсе, 0x -функцияның максимум нүктесі болады;
2) егер функция 0x -ден өткенде )(xf өзінің таңбасын минустен плюске өзгертсе, 0x -функцияның минимум нүктесі болады.
Сонымен, функцияның экстремумын табу үшін:1) функцияның туындысын табамыз;2) туындыны нөльге теңстіріп, кризистік нүктелерді табамыз;3) туындының кризистік нүкте аймағында таңбаларын зерттеп, экстремумын
анықтаймыз.Функцияның экстремумын екінші ретті туындыны пайдаланып іздестіруге болады.
Ол үшін:1) бірінші ретті туындыны табамыз;2) кризистік нүктелерін анықтаймыз;3) егер кризистік нүктелер болса,екінші ретті туындыны табамыз;4) егер 0)( 0 xf , онда осы нүктеде минимум анықталады, ал 0)( 0 xf , онда
максимум болады.Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.Анықтама. ];[ ba сегментінде үзіліссіз )(xf функцияның ең үлкен (ең кіші) мәні деп осыфункцияның экстремумдерінің және )(af мен )(bf сандарының ішіндегі ең үлкенін (еңкішісін) айтады.Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін:
1) кризистік нүктелерін табамыз;2) функцияның максимум және минимум мәндерін, сондай-ақ )(af мен )(bf мәндерін
есептейміз;3) есептелген мәндердің ішінен ең үлкенін және ең кішісін аламыз.
Қисықтың ойыстығы мен дөңестігі. Иілу нүктелері.Егер );( ba интервалында 0)( xf )0)(( xf болса, онда осы интервалда )(xf қисығыдөңес (ойыс) болады, яғни қисық сызық жанаманың астында (үстінде) орналасқан.Егер 0)( 0 xf немесе болмаса, бірақ )( 0xf бар болса және 2-ші ретті туындының 0x
нүктесінің маңайында таңбасы өзгеретін болса, онда ))(;( 00 xfx нүктесі )(xf қисығыныңиілу нүктесі деп аталады.Асимптоталар.Анықтама. Түзу сызық )(xfy қисығының асимптотасы деп аталады, егер де қисықбойында жатқан нүктенің қисықтың қандай да тармағы бойымен шексіздікке қозғалысында,сол нүктенің түзу сызықтан қашықтығы нөльге ұмтылатын болса.Асимптотаның үштүрі болады: вертикаль, горизонталь, көлбеу.
Егер мына шектердің )(lim xf
axax
,
)(lim xfaxax
біреуі плюс немесе минус шексіздікке тең
болса, онда ax түзуін )(xfy функцияның вертикаль асимптотасы деп атайды.
bkxy түзуі )(xfy сызығының көлбеу асимптотасы болады, егер x
yk
x lim ,
][lim kxybx
.
Егер 0k болса, онда bxfx
)(lim , яғни by түзуі горизонталь асимптота болып
табылады.
Тақырып № 8Бір айнымалы функцияны интегралдық есептеу
1 Анықталмаған интегралАлғашқы функция, анықталмаған интеграл ұғымы: Егер бір Х аралығының әрбір
нүктесінде F(x) функциясы үшін )()( xfxF немесе dxxfxdF )()( теңдігі орындалса,онда F(x) функциясы осы аралықта )x(f үшін алғашқы функция болады.
Мысалы xxF sin)( функциясы xxf cos)( функциясының алғашқы функциясыболады.
Теорема Егер )(xF функциясы Х аралығында )(xf үшін алғашқы функциясы болса,онда СxF )( функциясы да (С-кез келген тұрақты) )(xf үшін осы аралықта алғашқы
функция болады.Анықтама Егер )(xF функциясы )(xf -тің алғашқы функциясы болса, онда
оның барлық алғашқы функцияларының жиынын, яғни СxF )( өрнегін )(xf -тің анықталмаған интегралы деп атайды және былай белгілейді:
CxFdxxf )()(
Бұл өрнектегі dxxf )( -интеграл астындағы өрнек, ал х-интегралдау айнымалысы деп аталады. -интеграл белгісі.
Интегралдаудың негізгі ережелері:1 Егер )()( xfxF болса, онда CxFdxxf )()( , мұндағы ConstC
2 dxxfAdxxAf )()( , демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруғаболады.
3 dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121
4 Егер CxFdxxf )()( және )(xu болса, онда CuFduuf )()( болады.Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз.
Мысалы, baxu деп алсақ
CbaxFa
baxdbaxfa
dxbaxf )(1
)()(1
)( , 0a
Жиі қолданылатын интегралдар кестесі:
1
1,1
1
nCn
xdxx
nn
2 Cxnx
dx
3 Cna
adxa
xx
4 Cxxdx sincos
5 Cxxdx cossin
6 Ctgxx
dx2cos
7 Cctgxx
dx2sin
8 )0(,11
22
aC
a
xarcctg
aC
a
xarctg
aax
dx
9 )0(,arccosarcsin22
aCa
xC
a
x
xa
dx
10 )0(,2
122
aC
ax
axn
aax
dx
11 )0(,2
122
aC
xa
xan
axa
dx
12 )0(,22
22
aCaxxn
ax
dx
13 Cxntgxdx cos
14 Cxnctgxdx sin
15 Cx
tgnx
dx
2sin
16 Cx
tgnx
dx)
42(
cos
17 Cchxshdx
18 Cshxchxdx
19 Cthxxch
dx2
20 Ccthxxsh
dx2
Интеграл астындағы функцияны ықшамдау арқылы кейбір анықталмаған интегралдар1-18 кестелік интегралды қолданып есептеледі. Осыған мысалдар келтірейік.
Мысал 1
dxx
xxxxJ
4653 434
Шешуі Қажетті элементар түрлендірулерді жүргізгеннен кейін, мүшелепинтегралдасақ интеграл кестедегі 1 және 2 формулаларына келтіріледі.
Cxnxxx
x
dxdxxdxxdxxJ 4
5
24
3
5
434653 4
534
4123
Мысал 2
dxJx
xx
10
52
Шешуі Элементар түрлендірулері және (3) формуланы қолданып мына тењдіккекелеміз.
.22
1
55
1
2
2
5
5
)(2)(5252552
52
Cnnnn
xdxddxdxdxdx
dxJ
xx
xx
xxxx
xxxx
xx
Мысал 3 dxtgJ 2
Шешуі Cxtgxdxx
dxJ
xxtg
22
2
cos1
cos
1
Мысал 4
.3462 xx
dxJ
Бөліміндегі көпмүшеліктен толық квадрат бөліп аламыз. 222 5)3(346 xxx . Енді )3( xddx екенін ескеріп, кестедегі 8 формуланы
пайдаланамыз.
C
xarctg
x
xd
x
dx
xx
dxJ
5
3
10
1
5)3(
)3(
5)3(346 22222
Дифференциал белгісінің астына кіргізу арқылы интегралдау: 4 ереже бойынша
)()(.))(()()()())(()()(( ufuFCxFCuFduufxdxfdxxxf
және мұндағы )(xu . Бұл түрлендіру )(x функциясын дифференциал белгісінің астынакіргізу деп аталады.
Мысал 5
)25(5
252525
5
1
252
1
xddxdu
xuxdx
x
dx
CxCu
duu 255
2
2
15
1
5
1 21
2
1
2 Интегралдаудың негізгі әдістеріБөліктеп интегралдау әдіс: Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті
айтамыз. vduuvudv (1)
Бөліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.
1) dxxfxP )()( - түрдегі интеграл
Егер, 01
1
1)( axaxaxaxP n
n
n
n
-п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі )(xf
kxkxe kx cos,sin, , k=Const, функциялардың бірі болса, онда dxxfdvxPu )(),( депалып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда бөліктеп интегралдау п рет қайталанады.
2) dxxxP )()( -түріндегі интеграл
Егер )(xP -п дәрежелі көпмүшелік, ал )(х -келесі функциялардың бірі болсаConstkarcctgkxarctgkxkxkxnkx ,,,arccos,arcsin, , онда dxxPdvxu )(),( . Деп
алып, бөліктеп интегралданады.
3) bxdxebxdxe axax sin,cos түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.
Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылыалғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.
Мысал 1 dxexx x22 )72( интегралын есептеу керек.
Шешуі dxedvxxu x22 ,72 деп аламыз. Сондаxevdxxdu 2
2
1,)22( .(1)-формуласы бойынша,
)2(.)1()72(2
1)22(
2
1
)72(2
1
2
1,)22(
,72)72(
2222
22
2
22
22
dxexexxdxxe
exxevdxxdu
dxedvxxudxexx
xxx
x
x
x
x
Соңғы интегралға да бөліктеу интегарлдау әдісін пайдаланып
Ceex
dxeexevdxdu
dxedvxudxex
xx
xx
x
x
x
22
22
2
2
2
4
1)1(
2
1
2
1)1(
2
1
2
1,
,1)1(
теңдігіне келеміз. Интегралдың осы мәнін (2) теңдігіне қойып, берілген интегалды табамыз:
Соңында,
Cexx
Ceexexxdxexx
x
xxxx
22
222222
)1762(4
14
1)1(
2
1)72(
2
1)72(
Мысал 2 nxdxxx )563( 2
Шешуі dxxxdvnxu 72, 2 деп алсақ, онда xxxvx
dxdu 53, 23 .
Бөліктеп интегралдау формуласы бойынша,
nxxxxxxxv
x
dxdu
dxxxdvnxunxdxxx
)53(53,
)563(,)563( 23
23
2
2
Cxxx
nxxxxdxx
xxx
5
2
3
3)53(
53 2323
23
Мысал 3 xdxeJ x 3sin2 интегралын есептеу керек.Шешуі xdxdveu x 3sin,2 -деп алсақ
xdxexexe
xvdxedu
xdxdveuxdxe
xexvdxedu
xdxdveuxdxeJ
xxx
x
x
x
x
x
x
x
3sin3
23sin
3
1
3
23cos
3
1
3sin3
1,2
3cos,3cos
3
2
3cos3
1
3cos3
1,2
3sin,3sin
222
2
2
2
2
2
2
2
Соңғы интегралды тағы да бөліктеп интегралдап, берілген интеграл белгісіз ретінде енетін
JxexeJ xx
9
43sin
9
23cos
3
1 22 теңдеуіне келеміз. Осы теңдеуден
.3cos3sin3
2
3
3 2 CxxeJ x
болатынын көреміз.
Алмастыру тәсілін пайдаланып интегралдау: Көп жағдайда тәуелсіз х айнымалысын алмастыру арқылы dxxf )( интегралын есептеугеболады.
1 Анықталмаған интегралдың айнымалысын екі түрлі тәсілмен алмастыруға болады.а) ),(zx мұндағы )(z -монотоннды үзіліссіз дифференциалданатын функция.
Бұл жағдайдағы айнымалыны алмастыру формуласы.
CxFCzFdzzzfdxxf )()()()()( (3)
Мысал 4 dxxxJ 1
Шешуі 1 xz деп алсақ, онда 12 zx
.)1(3
2)1(
5
23
2
5
2)(22)1(
2
111
23
25
35242
2
Cxx
Czzdzzzzdzzz
zdzdx
zxxzdxxxJ
ә) Алмастырудың екінші түрі ),(xu мұндағы u –жаңа айнымалы. Алмастыруформуласы:
CxFCuFduufdxxxf ))(()()()( (4)
Мысал 5
12xx
dxJ
Шешуі Жаңа айнымалыны 12 xt алмастыру арқылы еңгіземіз. Бұл формуладан
1,1
22
2
tx
x
xdxdt деп алып, интеграл астындағы өрнекке қойсақ
C
t
tn
t
dt
x
dt
xx
dx
1
1
2
1
11222
. Енді алғашқы айнымалыға ораламыз.
C
x
xnC
x
xn
xx
dx2
22
2
2
2
)11(
2
1
11
11
2
1
1 C
x
xn
2
2 11
Тригонометриялық алмастырулар
а) Егер интегралда 22 xa түріндегі өрнек кездессе, )cos(sin taxtax депалынады да, taxa cos22 , болады;
ә) Егер интегралда 22 ax түріндегі өрнек кездессе, t
atax
cossec деп алынады
да, atgtax 22 , болады;б) Егер интегралда 22 ax түріндегі өрнек кездессе, atgtx деп алынады да,
tt
aax sec
cos22 , болады;
Мысал 6 dxxaJ 22
Шешуі tax sin деп алсақ, tdtadx cos . Осыдан
Cta
ta
dtta
tdtatdta
taxa
tdtadx
tax
dxxaJ
2sin42
2cos12
coscos
cos
cos
sin
222
2222
22
22
Енді tsinax теңдігінен a
xt
a
xt arcsinsin Сондықтан,
Cxax
a
xadxxaJ
222
22
2arcsin
2.
Бөлшек-рационал функцияларды интегралдауЕкі көпмүшеліктің қатынасы ретінде өрнектелетін R(x) функциясын рационал
функция деп атайды.
m
m
n
n
m
n
bxbxb
axaxa
xQ
xPxR
1
10
1
10
)(
)()( (1)
мұндағы m, n –теріс емес бүтін сандар.Егер n<m болса, онда R(x) дұрыс бөлшек деп, ал mn болса, бұрыс бөлшек деп аталады.Келесі төрт түрде берілген бөлшектерді жай бөлшектер деп атайды.
kk qpxx
NMx
qpxx
NMx
ax
A
ax
A
)(4;3;
)(2;1
22
мұндағы a, A, N, M, p, q тұрақты, ал k- бүтін сан, 04,2 2 qpk .Рационал функцияларды интегралдағанда оларды дұрыс бөлшекке келтіріп, дұрыс бөлшектіжай бөлшектердің қосынды түрінде жазамыз.
Жоғары алгебра пәнінде, коэффициенттері нақты сан болатын m дәрежелі көпмүшеліктөмендегі канондық түрде жіктелетіні дәлелденген
r
s
e
rr
ek
s
kk
m
qxpx
qxpxxxxxxxbxQ
)(
)()()()()(2
11
2
210121
(2)
Мұндағы meekkk rs )(2 121 және .,,2,1,042
rii eiqp
Егер )(
)(
xQ
xP
m
n бұрыс рационал бөлшек болса )( mn , онда оны, көпмүшелікті
көпмүшелікке бөлу арқылы бөлщектің бүтін бөлімін анықтап,
)(
)()(
)(
)(
xQ
xPxL
xQ
xP
m
e
m
n
түріне келтіреміз. Мұндағы me , демек )(
)(
xQ
xP
m
eдұрыс бөлшек. Ал кез келген дұрыс
бөлшек жай бөлшектердің қосындысына төмендегі түрде жіктеледі:
11
2
1
11
2
22
11
2
11
1
1
2
1
11
11
11
1
)()(
)()()()(
)(
qxpx
cxB
qxpx
cxB
qxpx
cxB
xx
A
xx
A
xx
A
xQ
xP
ee
ee
k
s
k
kk
s
(4)
Бұл тепе- теңдік. Сондықтан анықталмаған А1, А2,...,Аk1, B1,C1,B2,C2,…,Be1,Ce1,… коэффициентерді, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріпалымдарын теңестіру арқылы есептеледі.
Мысал 1
dx
xx
xx2
35 13 интегралын есептейік
Интеграл астындағы бұрыс бөлшекті көпмүшеліктерді бөлу арқылы дұрыс бөлшеккекелтіреміз.
(*)14
)44(13
;14
4413
2
23
2
35
2
23
2
35
xx
xdxxxxdx
xx
xxxx
xxxx
xx
xx
dx
xx
x2
14 интегралды жеке есептейміз. Интеграл астындағы бөлшектің бөлімі
х2+х=х(х+1) түрінде жіктеп, )1(
14
хх
х дұрыс бөлшегін жай бөлшектердің қосындысы
ретінде жазамыз: .1)1(
14
х
В
х
А
хх
х Өрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп алымдарын
теңестіреміз: 4х-1=А(х+1)+Вх. Енді х=-1 деп алсақ, онда В=5; ал х=0 десек, А=-1.
Сондықтан .1
51142
xxxx
x Демек,
Cxnxnx
dx
x
dxdx
xx
x
15
15
142
яғни, берілген интеграл
Cx
xnxx
xxdx
xx
xx
52
34
2
35 )1(42
34
13 .
Мысал 2
dx
xx
xx3
3
)1(
12 интегралын есептеу керек.
Шешуі Интеграл астындағы бөлшек дұрыс. Сондықтан оны жай бөлшектердіңқосындысына жіктейміз. Бөліміндегі х3 –тің дәрежесінің кему ретімен үш қосындыға жіктепжазамыз.
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
233
3
1)1(
12;
A,B,C,D- белгісіздерді анықталмаған коэффициенттерді табу әдісімен есептейміз. Ол үшінөрнектің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз де алымдарын теңестіреміз.
BxCBxDCxDAxx
xDxxCxxBAxxx
)()()(12
)1()1()1(12233
233
х-тің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз.
.1
,1
,0
,2
:
:
:
:
0
2
3
B
CB
DC
DA
x
x
x
x
Бұл жүйенің шешімі: .2,0,0,1 ADCB
Ендеше
C
xxn
x
dx
x
dxdx
xx
xx233
3
2
112
12
)1(
12 .
Мысал 3
dx
xxx
xxx
)1()1(
24422
23
интегралын есептеу керек.
Шешуі (4) теңдігі бойынша интеграл астындағы рационал бөлшекті жайбөлшектердің қосындысы ретінде жазамыз:
11)1()1()1(
2442222
23
xx
DCx
x
B
x
A
xxx
xxx
A,B,C,D- белгісіздерін табу үшін осы теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп,алымдарын теңестіріп, ұқсас мүшелерді біріктіріп, х-тің дәрежесінің төмендеу ретіменжазамыз. Сонда
DBAxDCBA
xDCBAxCBxxx
)22(
)22()(244 2323
(2)
Енді х-тің тең дәрежелерінің коэффициентерін теңестіру арқылы келесі жүйеге келеміз.
.2
,422
,422
,1
:
:
:
:
0
2
3
DBA
DCBA
DCBA
CB
x
x
x
x
Бұл жүйенің шешімі: .1,1,0,1 DCBA
Осыдан
dx
xx
x
x
dxdx
xxx
xxx
1
1
)1()1()1(
2442222
23
.3
12
3
11
2
1
1
1
4
3
2
12
1
1
)1(
2
11
1
1
1)12(
2
1
1
1
2
22
2
2
Cx
arctgxxnx
x
dx
xx
xxdx
dxxx
x
x
Иррационал функцияларды интегралдау
1 dxxxxR sr
nm
),,( түріндегі интеграл. Мұндағы, R-рационал функция, m,n,r,s –
бүтін сандар. Егер ;,s
r
n
m бөлшектерінің ортақ бөлімі к болса, онда kzx алмастыру
арқылы интеграл астындағы функция z –тен тәуелді рационал функцияға келтіріледі:
dzzR )( . Мұндағы R(z) рационал функция.
2
m
dcx
baxxR , түрдегі интеграл, m-натурал сан, a,b,c,d-тұрақты сандар және ad-
cb≠0.
m
dcx
baxxR , бөлшек-сызықтық иррационал функция деп аталады.
Бұл функция acz
dzbx
dcx
baxz
dcx
baxz
m
mmm
алмастыруы арқылы бұл интеграл рационал функциядан алынатын интегарға келтіріледі
Мысал 1
Jdzz
DCz
z
B
z
Adz
zz
z
dzzdx
xzzx
k
dxxx
x
2222
3
444
1)1(
1
4
42
1;
4
1;1
1
Белгісіз A, B, C, D коэффициенттерін табу үшін. zzdCzzBzAz 1)()1()1( 222 тепе-теңдігінен
.1
,1
,0
,0
:
:
:
:
0
2
3
B
A
DB
CA
z
z
z
z
теңдеулер жүйесіне келеміз. Бұл жүйенің шешімі: .1,1,1,1 DCBA
Cxarctgxx
xn
Carctgzznz
znz
dz
z
zdz
z
dz
z
dzJ
4
4
4
2
222
1
1
12
11
11
Мысал 2
dzzdx
zxzx
k
dxxx
x
5
66
3
6
6
11
63
1;
2
1;
6
1
11
1
1
116
166 23
45
23 zzzzdz
z
zdzz
zz
z
Cxnxxxx
Cznzzzz
116161312)1(2
3
166324
3
6633 2
234
3 dxCBxAxxR ),( 2 - түрдегі интеграл, мұндағы
),( 2 CBxAxxR квадраттық иррационал функция деп аталады. A,B,C=тұрақты шамалар.Егер 02 CBxAx теңдеуінің шешімдері нақты сандар болса, онда бұл интеграл 2пункттегі иррационал функцияға келтіріледі.
Егер 02 CBxAx теңдеуінің нақты шешімі болмаса, онда А
Bxz
2 алмастыруы
арқылы келесі интегралдардың біріне келеді..),(,),(,),( 222222
dzazzRdzzazRdzzazR Мұндағы бірінші интеграл
intaSz , екіншісі интеграл atgtz , үшінші интеграл t
ataz
cossec алмастыруы арқылы
рационал функциядан алынатын интегралға келтіріледі.4 Эйлер алмастыруыа) Егер А>0 болса, онда AxzCBxAx 2, алмастыруы ал A<0 болып C>0
болса czxCBxAx 2 алмастыруы орындалады. Бұл алмастырулар Эйлердің біріншіжәне екінші алмастырулары деп аталады.
Мысал 3
344 2 xxx
dxJ
Шешуі A=4>0 Эйлердің бірінші алмастыруы бойынша,
;)1(2
32
)1(4
)3(2344
)1(4
32;
)1(4
34
34443442344
222
2
222
2222
z
zz
z
zzxx
dzz
zzdx
z
zxxzz
xxxzzxxxzxx
Бұл рацинал функция.
J-ге қойсақ,
C
z
zn
z
dzJ
3
3
3
1
32
2 . Алғашқы айнымалы х-ке оралып,
Cxxx
xxxnJ
33442
33442
3
12
2
болатынын көреміз.
Мысал 4 dxxx 241 . Мұндағы ,01a ал 01c . Эйлердің екінші
алмастыруы бойынша, 141 2 zxxx . Осы алмастыру арқылы берілген интеграл астындағы функция рационалданады да,
Cx
xxxdxxx
5
2arcsin541)2(
2
141 22 болады.
Тригонометриялық функцияларды интегралдау: dxxx nm cossin , m,n бүтін (нақты)
сандар. Интеграл астындағы функция мына жағдайларда рационалданады:а) Егер 01k2m болса, t=cosx алмастыруы, ал 012n болса t=sinx
алмастыруы арқылы:ә) m, n-жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең болса, онда дәреже төмендететін
келесі формулалар пайдаланылады:
xxx
xxxx
2sin2
1cossin
;2cos12
1cos;2cos1
2
1sin 22
(2)
Мысал 1
;sin
sin
111
11
cos)sin1(coscoscos
cos;sin03
sin
cos
22
2
2232
3
Cxx
Ctt
dttt
dtt
xxxxx
xdxdtxtn
x
xdxJ
Мысал 2 xdxCosxcJ 24sin
Шешуі
.48
2sin
64
4sin
16
sin2sin16
14cos1
16
1
2cos2sin8
12sin
8
12cos12sin
8
1
2cos12cos18
1
2
2cos1
4
2cos1
2
22
222
2
2
Cxxx
xxddxx
xdxxxdxdxxx
dxxxdxxx
б) Егер m мен n-сандары жұп болып,және біреуі теріс немесе m+n нөлден кіші жұпболса, онда келесі алмастырулар қолданылады.
.
1
1cos
;1
sin;1
;)(
2
2
2
22
2
zx
z
zx
z
dzdxarctgzxctgxztgxz
(5.3)
Мысал 3 dxx
xdx6
4
cos
sin интегралды есептеу керек.
Шешуі
Cxtg
tgxxdtg
x
dxdz
tgxz
x
dx
x
xdx
x
xdx
5)(
coscoscos
sin
cos
sin
54
2
2
4
6
4
2 dxxxR cos,sin түріндегі интеграл, мұндағы R-интеграл астындағырационал функция. Бұл функция
)(2
xx
tgz алмастыруы арқылы рационалданады. Бұл алмастыру
22
2
2 1
2,2
2;
1
1cos;
1
2sin
z
dzdxarctgzxarctgz
x
z
zx
z
zx
формулалары арқылы sinx пен cosx –тен тәуелді рационал функцияны z-тен тәуелді рационалфункцияға келтіреді. Осы мағынада бұл алмастыру универсал алмастыру деп аталады.
Ескерту: Кей жағдайда 2
xtgz орнына )20(
2 x
xctgz алмастыруы
пайдаланылуы мүмкін.
Мысал 4 xx
dx
cossin1
Шешуі 2
xtgz алмастыруы бойынша,
Cx
tgnCznz
dz
z
z
z
zz
dz
2
111
1
1
1
21
1
2
2
2
2
2
3 dxnxmx cossin , dxnxmx sinsin , dxnxmx coscos -түріндегі интегралдар.
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
)cos()cos(2
1coscos)3
)cos()cos(2
1sinsin)2
)sin()sin(2
1cossin)1
формулалар арқылы есептеледі.
Гиперболалық функцияларды интегралдау: Негізгі формулалар:
xshchxshx
xchxch
xchxsh
xshxch
22
14
)12(2
13
)12(2
12
11
2
2
22
Мысал
Cxsh
shxshxdxshshxxdchxdxch 3)1(
3222
